Tarkastellaan nyt logaritmeja sisältävien lausekkeiden muuntamista kohteesta yhteiset kannat. Tässä ei analysoida vain lausekkeiden muuntamista logaritmien ominaisuuksien avulla, vaan tarkastellaan lausekkeiden muuntamista logaritmeilla yleisnäkymä, jotka sisältävät logaritmien lisäksi myös potenssit, murtoluvut, juuret jne. Kuten tavallista, toimitamme kaiken materiaalin tyypillisiä esimerkkejä kanssa yksityiskohtaiset kuvaukset ratkaisuja.

Sivulla navigointi.

Lausekkeet logaritmeilla ja logaritmisilla lausekkeilla

Toimintojen suorittaminen murtoluvuilla

Edellisessä kappaleessa tarkastelimme tärkeimpiä muunnoksia, jotka suoritetaan yksittäisillä logaritmeja sisältävillä murtoluvuilla. Nämä muunnokset voidaan tietysti suorittaa jokaisella yksittäisellä fraktiolla, joka on osa suurempaa monimutkainen ilmaisu, joka edustaa esimerkiksi summaa, erotusta, tuotetta ja osamäärää samanlaisia ​​fraktioita. Mutta yksittäisten murtolukujen kanssa työskentelyn lisäksi lausekkeiden muuntaminen määritetty tyyppi tarkoittaa usein asianmukaisten toimintojen suorittamista murtoluvuille. Seuraavaksi tarkastelemme sääntöjä, joiden mukaan nämä toimet suoritetaan.

Luokilta 5-6 tiedämme säännöt, joiden mukaan . Artikkelissa yleisnäkymä operaatioille murtolukujen kanssa olemme levittäneet näitä sääntöjä tavallisia murtolukuja yleisen muodon A/B murto-osiksi, joissa A ja B ovat joitain numeerisia, kirjaimellisia ilmaisuja tai lausekkeita, joissa on muuttujia, ja B on identtisesti nollasta poikkeava. On selvää, että logaritmilliset murtoluvut ovat yleisten murtolukujen erikoistapauksia. Ja tässä suhteessa on selvää, että toiminnot murtoluvuilla, jotka sisältävät logaritmeja tietueissaan, suoritetaan samojen sääntöjen mukaisesti. Nimittäin:

• Kahden murtoluvun lisääminen tai vähentäminen samat nimittäjät, on tarpeen lisätä tai vähentää osoittajat vastaavasti ja jättää nimittäjä ennalleen.
• Kahden murtoluvun lisääminen tai vähentäminen eri nimittäjiä, meidän on tuotava heidät yhteinen nimittäjä ja suorita vastaavat toimet edellisen säännön mukaisesti.
• Kahden murtoluvun kertomiseksi sinun on kirjoitettava murtoluku, jonka osoittaja on alkuperäisten murtolukujen osoittajien tulo ja nimittäjä nimittäjien tulo.
• Jos haluat jakaa murto-osan murtoluvulla, jaollinen murtoluku kerrotaan jakajan käänteisluvulla, eli murtoluvulla, jonka osoittaja ja nimittäjä on järjestetty uudelleen.

Tässä on joitain esimerkkejä toimien suorittamisesta logaritmeja sisältävillä murtoluvuilla.

Esimerkki.

Suorita toimintoja logaritmeja sisältävillä murtoluvuilla: a), b) , sisään) , G) .

Päätös.

a) Lisättyjen murtolukujen nimittäjät ovat ilmeisesti samat. Siksi samoilla nimittäjillä olevien murto-osien lisäämissäännön mukaan lisäämme osoittajat ja jätämme nimittäjän ennalleen: .

b) Tässä nimittäjät ovat erilaisia. Siksi ensin tarvitset tuo murtoluvut samaan nimittäjään. Meidän tapauksessamme nimittäjät esitetään jo tuloina, ja meidän on vielä otettava ensimmäisen murto-osan nimittäjä ja lisättävä siihen puuttuvat tekijät toisen murto-osan nimittäjästä. Joten saamme muodolle yhteisen nimittäjän . Tässä tapauksessa vähennetyt murtoluvut vähennetään yhteiseksi nimittäjäksi käyttämällä lisäkertoimia logaritmin ja lausekkeen x 2 ·(x+1) muodossa. Sen jälkeen on jäljellä murto-osien vähentäminen samoilla nimittäjillä, mikä ei ole vaikeaa.

Joten ratkaisu on:

c) Tiedetään, että murtolukujen kertomisen tulos on murtoluku, jonka osoittaja on osoittajien tulo ja nimittäjä nimittäjien tulo, joten

On helppo nähdä, että se on mahdollista fraktion vähentäminen kahdelle ja desimaalilogaritmi, seurauksena meillä on .

d) Siirrymme murtolukujen jaosta kertolaskuun korvaamalla murto-osan jakajan käänteisluvulla. Niin

Tuloksena olevan murtoluvun osoittaja voidaan esittää muodossa , josta näkee selvästi yhteinen tekijä osoittaja ja nimittäjä - tekijä x, voit pienentää murtolukua sillä:

Vastaus:

a), b) , sisään) , G) .

On muistettava, että toiminnot murtoluvuilla suoritetaan ottaen huomioon toimintojen suoritusjärjestys: ensin kerto- ja jakolasku, sitten yhteen- ja vähennyslasku, ja jos on sulkuja, suluissa olevat toimet suoritetaan ensin.

Esimerkki.

Tee toimintoja murtoluvuilla .

Päätös.

Ensin lisäämme murtoluvut suluissa, minkä jälkeen suoritamme kertolaskun:

Vastaus:

Tässä vaiheessa on vielä sanottava ääneen kolme melko ilmeistä, mutta samalla tärkeää asiaa:

Lausekkeiden muuntaminen logaritmien ominaisuuksien avulla

Useimmiten lausekkeiden muuntamiseen logaritmeilla käytetään logaritmin määritelmää ilmaisevia identiteettejä ja

Logaritmeja, kuten mitä tahansa lukua, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin mahdollisin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole täsmälleen säännölliset numerot, täällä on säännöt, joita kutsutaan perusominaisuudet.

Nämä säännöt on tunnettava - ilman niitä ei ainuttakaan vakavaa logaritminen ongelma. Lisäksi niitä on hyvin vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku

Harkitse kahta logaritmia kanssa samoilla perusteilla: Hirsi a x ja kirjaudu sisään a y. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. Hirsi a x+loki a y= loki a (x · y);
2. Hirsi a x-loki a y= loki a (x : y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi, ja ero on osamäärän logaritmi. Huomautus: avainhetki täällä - samoilla perusteilla. Jos perusteet ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat sinua laskemaan logaritminen lauseke vaikka sen yksittäisiä osia ei oteta huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

loki 6 4 + loki 6 9.

Koska logaritmien kantaluvut ovat samat, käytämme summakaavaa:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 2 48 − log 2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 3 135 − log 3 5.

Jälleen, perusteet ovat samat, joten meillä on:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei käsitellä erikseen. Mutta muunnosten jälkeen tulee melko normaaleja lukuja. Tämän tosiasian perusteella monet koepaperit. Kyllä, mitkä ovat ohjaus - samanlaisia ​​ilmaisuja kokeessa tarjotaan täysin vakavissaan (joskus käytännössä muuttumattomina).

Eksponentin poistaminen logaritmista

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman. Entä jos logaritmin kantaosassa tai argumentissa on aste? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Se on helppo nähdä viimeinen sääntö seuraa kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissain tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ja vielä yksi asia: opettele soveltamaan kaikkia kaavoja ei vain vasemmalta oikealle, vaan myös päinvastoin, ts. voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin. Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 7 49 6 .

Päästään eroon argumentin asteesta ensimmäisen kaavan mukaan:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

[Kuvan kuvateksti]

Huomaa, että nimittäjä on logaritmi, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Meillä on:

[Kuvan kuvateksti]

luulen että viimeinen esimerkki selvennystä tarvitaan. Mihin logaritmit ovat kadonneet? koko matkan viimeinen hetki työskentelemme vain nimittäjällä. He esittivät siellä seisovan logaritmin kannan ja argumentin asteiden muodossa ja ottivat indikaattorit - he saivat "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittajalla ja nimittäjällä on sama luku: log 2 7. Koska log 2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä tehtiin. Tuloksena on vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos pohjat ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uuteen tukikohtaan siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilemme ne lauseen muodossa:

Antaa sen olla annettu logaritmin loki a x. Siis mille tahansa numerolle c sellasta c> 0 ja c≠ 1, yhtälö on totta:

[Kuvan kuvateksti]

Varsinkin jos laitamme c = x, saamme:

[Kuvan kuvateksti]

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa keskenään, mutta koko lauseke "käännetään" ts. logaritmi on nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisia lausekkeita. On mahdollista arvioida, kuinka käteviä ne ovat, vasta päätettäessä logaritmiset yhtälöt ja eriarvoisuudet.

On kuitenkin tehtäviä, joita ei voida ratkaista ollenkaan muulla kuin uudelle perustalle siirtymällä. Tarkastellaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 5 16 log 2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit ovat tarkat eksponentit. Otetaan indikaattorit pois: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Käännetään nyt toinen logaritmi:

[Kuvan kuvateksti]

Koska tulo ei muutu tekijöiden permutaatiosta, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten selvitimme logaritmit.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjataan se ylös ja päästään eroon indikaattoreista:

[Kuvan kuvateksti]

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

[Kuvan kuvateksti]

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on esitettävä luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa numero n tulee väitteen eksponentti. Määrä n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan: perus logaritminen identiteetti.

Todellakin, mitä tapahtuu, jos numero b nosta valtaan niin, että b tässä määrin antaa numeron a? Aivan oikein: tämä on sama numero a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset "roikkuvat" siinä.

Kuten uudet perusmuunnoskaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

[Kuvan kuvateksti]

Huomaa, että log 25 64 = log 5 8 - juuri poisti neliön kannasta ja logaritmin argumentin. Ottaen huomioon potenssien kertomisen säännöt samalla kantalla, saamme:

[Kuvan kuvateksti]

Jos joku ei ole perillä, tämä oli todellinen tehtävä kokeesta :)

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita on vaikea kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin nämä ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Heitä löytyy jatkuvasti ongelmista ja yllättäen ne aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. Hirsi a a= 1 on logaritminen yksikkö. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a tästä perustasta itse on yhtä suuri kuin yksi.
2. Hirsi a 1 = 0 on logaritminen nolla. Pohja a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti on yksi - logaritmi nolla! koska a 0 = 1 on suora seuraus määritelmästä.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

johdettu sen määritelmästä. Ja niin luvun logaritmi b syystä a määritellään eksponenttiksi, johon luku on nostettava a saadaksesi numeron b(logaritmi on olemassa vain positiivisille luvuille).

Tästä sanamuodosta seuraa, että laskelma x=log a b, vastaa yhtälön ratkaisemista ax=b. Esimerkiksi, log 2 8 = 3 koska 8 = 2 3 . Logaritmin muotoilu mahdollistaa sen, että jos b=a c, sitten luvun logaritmi b syystä a on yhtä suuri kanssa. On myös selvää, että logaritmin aihe liittyy läheisesti luvun potenssiin.

Logaritmeilla, kuten millä tahansa numerolla, voit suorittaa yhteen- ja vähennysoperaatiot ja muuttaa kaikin mahdollisin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä pätevät omat erityissäännönsä, joita kutsutaan ns. perusominaisuudet.

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku.

Ota kaksi logaritmia samalla kantavalla: loki x ja kirjaudu a y. Poista sitten on mahdollista suorittaa yhteen- ja vähennystoimintoja:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

kirjaudu a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = loki x 1 + loki x 2 + loki x 3 + ... + log a x k.

From osamäärä logaritmilauseet voidaan saada yksi logaritmin ominaisuus lisää. On hyvin tiedossa, että loki a 1 = 0, joten

Hirsi a 1 /b= loki a 1 - loki a b= -loki a b.

Eli tasa-arvo on olemassa:

log a 1 / b = - log a b.

Kahden keskenään käänteisen luvun logaritmit samalla perusteella eroavat toisistaan ​​vain merkillä. Niin:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Luonnollisen logaritmin, graafin, määritelmäalueen, arvojoukon, peruskaavojen, derivaatan, integraalin, laajennuksen tärkeimmät ominaisuudet teho sarja ja funktion ln x esittäminen kompleksilukuina.

Määritelmä

luonnollinen logaritmi on funktio y = ln x, käänteinen eksponenttiin, x \u003d e y , ja joka on logaritmi luvun e kantaan: ln x = log e x.

Luonnollista logaritmia käytetään laajalti matematiikassa, koska sen derivaatalla on yksinkertaisin muoto: (ln x)′ = 1/x.

Perustuu määritelmät, luonnollisen logaritmin kanta on luku e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funktion y = kuvaaja ln x.

Luonnollisen logaritmin kuvaaja (funktiot y = ln x) saadaan eksponenttikaaviosta peilikuva suhteessa suoraan y = x .

Luonnollinen logaritmi määritellään kohdassa positiivisia arvoja muuttuja x. Se kasvaa monotonisesti määrittelyalueellaan.

Kuten x → 0 luonnollisen logaritmin raja on miinus ääretön ( - ∞ ).

Kuten x → + ∞, luonnollisen logaritmin raja on plus ääretön ( + ∞ ). Suurella x:llä logaritmi kasvaa melko hitaasti. Minkä tahansa tehotoiminto x a positiivisella eksponentilla a kasvaa nopeammin kuin logaritmi.

Luonnollisen logaritmin ominaisuudet

Määritelmäalue, arvojoukko, ääripäät, lisäys, vähennys

Luonnollinen logaritmi on monotonisesti kasvava funktio, joten sillä ei ole ääriarvoja. Luonnollisen logaritmin pääominaisuudet on esitetty taulukossa.

ln x arvoja

log 1 = 0

Luonnollisten logaritmien peruskaavat

Käänteisfunktion määritelmästä johtuvat kaavat:

Logaritmien pääominaisuus ja sen seuraukset

Peruskorvauskaava

Mikä tahansa logaritmi voidaan ilmaista luonnollisina logaritmeina käyttämällä kantamuutoskaavaa:

Näiden kaavojen todistukset on esitetty "Logaritmi"-osiossa.

Käänteinen funktio

Luonnollisen logaritmin käänteisluku on eksponentti.

Jos sitten

Jos sitten .

Johdannainen ln x

Luonnollisen logaritmin johdannainen:
.
Moduulin x luonnollisen logaritmin derivaatta:
.
N:nnen kertaluvun johdannainen:
.
Kaavojen johtaminen >>>

Integraali

Integraali lasketaan integroimalla osien mukaan:
.
Niin,

Lausekkeet kompleksilukuina

Tarkastellaan kompleksisen muuttujan z funktiota:
.
Ilmaistaan ​​kompleksimuuttuja z moduulin kautta r ja argumentti φ :
.
Käyttämällä logaritmin ominaisuuksia saamme:
.
Tai
.
Argumenttia φ ei ​​ole yksiselitteisesti määritelty. Jos laitamme
, jossa n on kokonaisluku,
silloin se on sama luku eri n:lle.

Niin luonnollinen logaritmi, kompleksisen muuttujan funktiona, ei ole yksiarvoinen funktio.

Power-sarjan laajennus

Laajennus tapahtuu:

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.

Ohje

Kirjoita annettu logaritminen lauseke muistiin. Jos lauseke käyttää logaritmia 10, sen merkintätapa lyhennetään ja näyttää tältä: lg b on desimaalilogaritmi. Jos logaritmin kantana on luku e, niin lauseke kirjoitetaan: ln b on luonnollinen logaritmi. Ymmärretään, että minkä tahansa tulos on potenssi, johon perusluku on nostettava, jotta saadaan luku b.

Kun löydät summasta kaksi funktiota, sinun tarvitsee vain erottaa ne yksitellen ja laskea tulokset yhteen: (u+v)" = u"+v";

Kun löydetään kahden funktion tulon derivaatta, on välttämätöntä kertoa ensimmäisen funktion derivaatta toisella ja lisätä toisen funktion derivaatta kerrottuna ensimmäisellä funktiolla: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Kahden funktion osamäärän derivaatan löytämiseksi on välttämätöntä, että osingon derivaatan tulosta kerrottuna jakajafunktiolla on vähennettävä jakajan derivaatan tulo kerrottuna jakajafunktiolla ja jaettava kaikki tämä jakajafunktiolla neliöitynä. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jos annetaan monimutkainen toiminto, niin on tarpeen kertoa derivaatta sisäinen toiminto ja ulomman johdannainen. Olkoon y=u(v(x)), sitten y"(x)=y"(u)*v"(x).

Yllä saatujen tietojen avulla voit erottaa melkein minkä tahansa toiminnon. Katsotaanpa siis muutamia esimerkkejä:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
On myös tehtäviä derivaatan laskemiseksi pisteessä. Olkoon funktio y=e^(x^2+6x+5) annettu, pitää löytää funktion arvo pisteestä x=1.
1) Etsi funktion derivaatta: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Laske funktion arvo in annettu piste y"(1)=8*e^0=8

Liittyvät videot

Hyödyllinen neuvo

Opi alkeisjohdannaisten taulukko. Tämä säästää paljon aikaa.

Lähteet:

• vakio derivaatta

Joten mitä eroa on rationaalinen yhtälö rationaalisesta? Jos tuntematon muuttuja on merkin alla neliöjuuri, yhtälöä pidetään irrationaalisena.

Ohje

Päämenetelmä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on menetelmä molempien puolten nostamiseksi yhtälöt neliöön. Kuitenkin. tämä on luonnollista, ensimmäinen askel on päästä eroon merkistä. Teknisesti tämä menetelmä ei ole vaikea, mutta joskus se voi aiheuttaa ongelmia. Esimerkiksi yhtälö v(2x-5)=v(4x-7). Neliöimällä molemmat puolet, saat 2x-5=4x-7. Sellaista yhtälöä ei ole vaikea ratkaista; x=1. Mutta numeroa 1 ei anneta yhtälöt. Miksi? Korvaa yhtälön yksikkö x-arvon sijaan ja oikealla ja vasemmalla puolella on lausekkeita, joissa ei ole järkeä, eli. Tällainen arvo ei kelpaa neliöjuurelle. Siksi 1 on ulkopuolinen juuri ja siksi annettu yhtälö ei ole juuria.

Niin, irrationaalinen yhtälö ratkaistaan ​​käyttämällä menetelmää neliöimällä sen molemmat osat. Ja kun yhtälö on ratkaistu, on välttämätöntä katkaista vieraat juuret. Voit tehdä tämän korvaamalla löydetyt juuret alkuperäiseen yhtälöön.

Harkitse toista.
2x+vx-3=0
Tietenkin tämä yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä samaa yhtälöä kuin edellinen. Siirtoyhdisteet yhtälöt, joilla ei ole neliöjuurta, oikea puoli ja käytä sitten neliöintimenetelmää. ratkaise tuloksena oleva rationaalinen yhtälö ja juuret. Mutta toinen, tyylikkäämpi. Syötä uusi muuttuja; vx=y. Vastaavasti saat yhtälön kuten 2y2+y-3=0. Eli tavallista toisen asteen yhtälö. Etsi sen juuret; y1 = 1 ja y2 = -3/2. Seuraavaksi ratkaise kaksi yhtälöt vx=1; vx \u003d -3/2. Toisella yhtälöllä ei ole juuria, ensimmäisestä saamme selville, että x=1. Älä unohda tarvetta tarkistaa juuret.

Identiteettien ratkaiseminen on melko helppoa. Tämä vaatii tekemistä identtisiä muunnoksia kunnes tavoite saavutetaan. Siten yksinkertaisen avulla aritmeettiset operaatiot tehtävä ratkaistaan.

Tarvitset

• - paperi;
• - kynä.

Ohje

Yksinkertaisimpia tällaisia ​​muunnoksia ovat algebralliset lyhennetty kertolasku (kuten summan neliö (ero), neliöiden erotus, summa (ero), summan kuutio (erotus)). Lisäksi niitä on monia trigonometriset kaavat, jotka ovat pohjimmiltaan samoja identiteettejä.

Todellakin, kahden termin summan neliö on yhtä suuri kuin neliö ensimmäisen plus kaksi kertaa ensimmäisen ja toisen tulo plus toisen neliö, eli (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^ 2=a^2+2ab +b^2.

Yksinkertaista molemmat

Ratkaisun yleiset periaatteet

Toista oppikirja matemaattinen analyysi tai korkeampi matematiikka, joka on selvä integraali. Kuten tiedät, ratkaisu selvä integraali on funktio, jonka derivaatta antaa integrandin. Tämä toiminto kutsutaan primitiiviseksi. Tämän periaatteen mukaan perusintegraalit muodostetaan.
Määritä tyypin mukaan integrand, mikä niistä taulukon integraalit sopii joukkoon Tämä tapaus. Tätä ei aina ole mahdollista määrittää heti. Usein taulukkomuoto tulee havaittavaksi vasta useiden muunnosten jälkeen integrandin yksinkertaistamiseksi.

Muuttujan korvausmenetelmä

Jos integrandi on trigonometrinen funktio, jonka argumentti on jokin polynomi, yritä sitten käyttää muuttujan korvausmenetelmää. Voit tehdä tämän korvaamalla integrandin argumentin polynomin jollain uudella muuttujalla. Määritä integroinnin uudet rajat uuden ja vanhan muuttujan välisen suhteen perusteella. Erilaistuminen annettu ilmaisu etsi uusi ero . Näin saat uutta lajia entinen integraali, lähellä tai jopa vastaavaa mitä tahansa taulukkoa.

Toisen tyyppisten integraalien ratkaisu

Jos integraali on toisen tyyppinen integraali, integrandin vektorimuoto, sinun on käytettävä sääntöjä siirtyäksesi näistä integraaleista skalaariin. Yksi tällainen sääntö on Ostrogradsky-Gauss-suhde. Tämä laki mahdollistaa siirtymisen jonkin vektorifunktion roottorivirrasta kolmoisintegraaliin tietyn vektorikentän divergenssin yli.

Integraation rajojen korvaaminen

Antiderivaatin löytämisen jälkeen on tarpeen korvata integraation rajat. Korvaa ensin ylärajan arvo antijohdannaisen lausekkeeseen. Saat jonkin numeron. Seuraavaksi vähennetään tuloksena olevasta luvusta toinen luku, tuloksena oleva antiderivaatin alaraja. Jos yksi integrointirajoista on ääretön, korvaa se arvon antiderivatiivinen toiminto on tarpeen mennä äärirajoille ja löytää se, mihin ilmaisu pyrkii.
Jos integraali on kaksi- tai kolmiulotteinen, sinun on esitettävä integroinnin geometriset rajat ymmärtääksesi kuinka integraali lasketaan. Sanotaanhan, että esimerkiksi kolmiulotteisen integraalin tapauksessa integroinnin rajat voivat olla kokonaisia ​​tasoja, jotka rajoittavat integroitavaa tilavuutta.