Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja ketika Anda menghubungi kami.
Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.
Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya dan acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai studi untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
- Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Pengungkapan kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.
Perlindungan informasi pribadi
Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.
Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.
Di antara semua varietas pertidaksamaan logaritma mempelajari pertidaksamaan secara terpisah dengan basis variabel. Mereka diselesaikan sesuai dengan formula khusus, yang karena alasan tertentu jarang diajarkan di sekolah:
log k (x ) f (x ) log k (x ) g (x ) (f (x ) g (x )) (k (x ) 1) 0
Alih-alih gagak "∨", Anda dapat meletakkan tanda ketidaksetaraan apa pun: kurang lebih. Hal utama adalah bahwa dalam kedua ketidaksetaraan tandanya sama.
Jadi kita singkirkan logaritma dan perkecil masalahnya menjadi ketidaksetaraan rasional. Yang terakhir ini jauh lebih mudah untuk dipecahkan, tetapi ketika membuang logaritma, akar tambahan mungkin muncul. Untuk memotongnya, cukup dengan menemukan areanya nilai yang diizinkan. Jika Anda lupa ODZ logaritma, saya sangat menyarankan untuk mengulanginya - lihat "Apa itu logaritma".
Segala sesuatu yang terkait dengan rentang nilai yang dapat diterima harus ditulis dan diselesaikan secara terpisah:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) 1.
Keempat ketidaksetaraan ini merupakan suatu sistem dan harus dipenuhi secara bersamaan. Ketika kisaran nilai yang dapat diterima ditemukan, tetap melintasinya dengan solusi ketidaksetaraan rasional- dan jawabannya sudah siap.
Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:
Pertama, mari kita tulis ODZ dari logaritma:
Dua ketidaksetaraan pertama dilakukan secara otomatis, dan yang terakhir harus ditulis. Karena kuadrat dari bilangan nol jika dan hanya jika bilangan itu sendiri sama dengan nol, kita memiliki:
x 2 + 1 1;
x2 0;
x 0.
Ternyata ODZ dari logaritma adalah semua bilangan kecuali nol: x (−∞ 0)∪(0; +∞). Sekarang kami memecahkan ketidaksetaraan utama:
Kami melakukan transisi dari pertidaksamaan logaritmik ke pertidaksamaan rasional. Pada pertidaksamaan asal terdapat tanda “kurang dari”, maka pertidaksamaan yang dihasilkan juga harus memiliki tanda “kurang dari”. Kita punya:
(10 (x 2 + 1)) (x 2 + 1 1)< 0;
(9 x2) x2< 0;
(3 x) (3 + x) x 2< 0.
Nol dari ekspresi ini: x = 3; x = -3; x = 0. Selain itu, x = 0 adalah akar dari perkalian kedua, yang berarti bahwa ketika melewatinya, tanda fungsi tidak berubah. Kita punya:
Kami mendapatkan x (−∞ 3)∪(3; +∞). Himpunan ini sepenuhnya terkandung dalam ODZ dari logaritma, yang berarti bahwa ini adalah jawabannya.
Transformasi pertidaksamaan logaritma
Seringkali ketidaksetaraan asli berbeda dari yang di atas. Ini mudah diperbaiki dengan aturan standar bekerja dengan logaritma - lihat "Sifat dasar logaritma". Yaitu:
- Setiap nomor dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis yang diberikan;
- Jumlah dan selisih logaritma dengan basis yang sama dapat diganti dengan logaritma tunggal.
Secara terpisah, saya ingin mengingatkan Anda tentang kisaran nilai yang dapat diterima. Karena mungkin ada beberapa logaritma dalam pertidaksamaan asli, maka diperlukan untuk menemukan DPV dari masing-masingnya. Dengan demikian, skema umum penyelesaian pertidaksamaan logaritma adalah sebagai berikut:
- Temukan ODZ dari setiap logaritma yang termasuk dalam pertidaksamaan;
- Kurangi pertidaksamaan ke standar menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan logaritma;
- Selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan sesuai dengan skema di atas.
Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:
Temukan domain definisi (ODZ) dari logaritma pertama:
Kami memecahkan dengan metode interval. Mencari angka nol pembilangnya:
3x 2 = 0;
x = 2/3.
Kemudian - nol penyebut:
x 1 = 0;
x = 1.
Kami menandai nol dan tanda pada panah koordinat:
Kami mendapatkan x (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logaritma kedua dari ODZ akan sama. Jika Anda tidak percaya saya, Anda dapat memeriksa. Sekarang kita ubah logaritma kedua sehingga basisnya adalah dua:
Seperti yang Anda lihat, tiga kali lipat di pangkalan dan sebelum logaritma telah menyusut. Kami mendapat dua logaritma dari dasar yang sama. Mari kita satukan:
log 2 (x 1) 2< 2;
log 2 (x 1) 2< log 2 2 2 .
Kami telah memperoleh ketidaksetaraan logaritmik standar. Kami menyingkirkan logaritma dengan rumus. Karena ada tanda “kurang dari” pada pertidaksamaan asli, hasil ekspresi rasional juga harus kurang dari nol. Kita punya:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x 1) 2 2 2)(2 1)< 0;
x 2 2x + 1 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x 3)(x + 1)< 0;
x (−1; 3).
Kami mendapat dua set:
- ODZ: x (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Kandidat jawaban: x (−1; 3).
Tetap melewati set ini - kami mendapatkan jawaban sebenarnya:
Kami tertarik pada perpotongan himpunan, jadi kami memilih interval yang diarsir pada kedua panah. Kami mendapatkan x (−1; 2/3)∪(1; 3) - semua titik tertusuk.
Pelajaran satu ketimpangan membentuk keterampilan kerja penelitian, membangkitkan pemikiran siswa, mengembangkan kecerdikan, dan meningkatkan minat siswa dalam bekerja. Lebih baik melakukannya ketika siswa telah belajar konsep yang diperlukan dan menganalisis sejumlah metode khusus untuk memecahkan pertidaksamaan logaritmik. Dalam pembelajaran ini, siswa merupakan peserta aktif dalam mencari solusi.
Jenis pelajaran
. Sebuah pelajaran dalam penerapan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan dalam situasi baru. (Pelajaran sistematisasi dan generalisasi materi yang dipelajari).Tujuan Pelajaran
:- pendidikan : untuk membentuk keterampilan dan kemampuan untuk memecahkan ketidaksetaraan logaritmik dari jenis yang ditentukan cara yang berbeda; belajar untuk memperoleh pengetahuan sendiri ( kegiatan sendiri siswa untuk mempelajari dan menguasai konten bahan pendidikan);
- mengembangkan : bekerja pada pengembangan bicara; untuk mengajar menganalisis, menyoroti hal utama, membuktikan dan menyangkal kesimpulan logis;
- pendidikan : pembentukan kualitas moral, hubungan manusiawi, ketelitian, disiplin, harga diri, sikap bertanggung jawab terhadap pencapaian tujuan.
Selama kelas.
1. Momen organisasi.
pekerjaan lisan.
2. Memeriksa pekerjaan rumah.
Buatlah kalimat dalam bahasa matematika: “Bilangan a dan b berada pada satu sisi”, “Bilangan a dan b pada sisi yang berbeda dari kesatuan” dan buktikan ketidaksetaraan yang dihasilkan. (Di papan tulis, salah satu siswa menyiapkan solusi terlebih dahulu).
3. Melaporkan topik pelajaran, tujuan dan sasarannya.
Menganalisis pilihan untuk ujian masuk dalam matematika, orang dapat melihat bahwa dari teori logaritma dalam ujian, ketidaksetaraan logaritmik sering terjadi yang mengandung variabel di bawah logaritma dan dalam dasar logaritma.
Pelajaran kita adalah pelajaran dalam satu ketidaksetaraan, berisi variabel di bawah logaritma dan di dasar logaritma, diselesaikan dengan cara yang berbeda. Dikatakan bahwa lebih baik menyelesaikan satu pertidaksamaan, tetapi dengan cara yang berbeda, daripada beberapa pertidaksamaan dengan cara yang sama. Memang, Anda harus dapat memeriksa keputusan Anda. Periksa lebih baik tidak, daripada menyelesaikan tugas dengan cara yang berbeda dan mendapatkan jawaban yang sama (Anda dapat menemukan sistem yang sama, ketidaksetaraan yang sama, persamaan dengan cara yang berbeda). Tetapi tidak hanya tujuan ini yang dikejar ketika menyelesaikan tugas dengan cara yang berbeda. Mencari solusi yang berbeda, mempertimbangkan semua kemungkinan kasus, Penilaian Kritis mereka untuk menyoroti yang paling rasional, indah, adalah faktor penting pengembangan pemikiran matematis, menjauh dari template. Oleh karena itu, hari ini kita hanya akan menyelesaikan satu pertidaksamaan, tetapi kita akan mencoba mencari beberapa cara untuk menyelesaikannya.
4. aplikasi kreatif dan perolehan pengetahuan, pengembangan metode kegiatan dengan memecahkan tugas-tugas bermasalah yang dibangun berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh sebelumnya dalam memecahkan pertidaksamaan log x (x 2 - 2x - 3)< 0.
Berikut adalah solusi untuk ketidaksetaraan ini, diambil dari satu kertas ujian. Perhatikan baik-baik dan coba analisis solusinya. (Penyelesaian pertidaksamaan ditulis di papan tulis terlebih dahulu)
log x (x 2 - 2x - 3)< log x 1;
sebuah) x 2 – 2x – 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 1;
x 2 - 2x - 3 = 0; x 2 - 2x - 4< 0;
x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3; x 2 - 2x - 4 = 0;
c. solusi sistem
Kemungkinan penjelasan siswa:
Ini bukan persamaan, tetapi pertidaksamaan, jadi ketika berpindah dari pertidaksamaan logaritmik ke tanda rasional pertidaksamaan akan tergantung pada basis logaritma dan monotonisitas fungsi logaritma.
Dengan keputusan ini, dimungkinkan untuk membeli keputusan asing, atau hilangnya solusi, dan tidak menutup kemungkinan dengan keputusan yang salah akan diperoleh jawaban yang benar.
Jadi bagaimana itu diperlukan untuk menyelesaikan ketidaksetaraan ini, di mana variabel berada di bawah tanda logaritma dan di dasar logaritma?!
Pertidaksamaan ini ekuivalen dengan kombinasi dua sistem pertidaksamaan.
Sistem pertidaksamaan pertama tidak memiliki solusi.
Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah
Dalam solusi yang diusulkan dari pertidaksamaan dari kertas ujian, jawabannya benar. Mengapa?
Kemungkinan tanggapan siswa:
Karena daerah asal fungsi di ruas kiri pertidaksamaan terdiri dari bilangan-bilangan yang lebih besar dari 3, maka fungsi y = log x t bertambah. Jadi jawabannya benar.
Bagaimana seseorang bisa menuliskan solusi yang benar secara matematis di kertas ujian?
cara II.
Kami menemukan domain fungsi di sisi kiri pertidaksamaan, dan kemudian, dengan mempertimbangkan domain definisi, pertimbangkan hanya satu kasus
Bagaimana lagi ketidaksetaraan ini dapat diselesaikan? Formula apa yang bisa diterapkan?
Rumus transisi ke basa baru a > 0, a 1
III cara.
cara IV.
Apakah mungkin untuk menerapkan pada ketidaksetaraan itu sendiri fakta bahwa logaritma kurang dari nol?
Ya. Ekspresi di bawah logaritma dan basis logaritma berada di sisi berlawanan dari kesatuan, tetapi positif!
Artinya, kita mendapatkan lagi himpunan dua sistem pertidaksamaan yang sama:
Semua metode yang dipertimbangkan mengarah pada serangkaian dua sistem ketidaksetaraan. Dalam semua kasus, jawaban yang sama diperoleh. Semua metode secara teoritis dibenarkan.
Pertanyaan untuk siswa: bagaimana menurut Anda, mengapa pertanyaan yang diajukan dalam pekerjaan rumah tidak terkait dengan materi yang dipelajari di kelas 11?
Mengetahui sifat-sifat logaritma yang log a b< 0 , jika sebuah dan b di sisi berlawanan dari 1
log a b > 0 jika sebuah dan b di satu sisi 1, Anda bisa menjadi sangat menarik dan cara yang tidak terduga solusi ketidaksetaraan. Metode ini dijelaskan dalam artikel “Beberapa Hubungan Logaritma yang Berguna” dalam jurnal Kvant No. 10, 1990.
log g(x) f(x) > 0 jika
log g(x) f(x)< 0, если
(Mengapa kondisi g(x) 1 apakah tidak perlu ditulis?)
Memecahkan ketidaksetaraan log x (x 2 - 2x - 3)< 0 terlihat seperti itu:
sebuah) x 2 – 2x – 3 > 0; b) (x - 1) (x 2 - 2x - 4)< 0;
c) penyelesaian sistem pertidaksamaan
cara VI.
metode interval. (“Menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik menggunakan metode interval” adalah topik pelajaran berikutnya).
5. Hasil pekerjaan yang dilakukan.
1. Dengan cara apa ketidaksetaraan diselesaikan? Berapa banyak cara untuk menyelesaikan ini
apakah kita menemukan ketidaksetaraan?
2. Mana yang paling rasional? Cantik?
3. Apa dasar untuk menyelesaikan pertidaksamaan dalam setiap kasus?
4. Mengapa ketimpangan ini menarik?
Karakteristik kualitatif dari pekerjaan kelas oleh guru.
6. Generalisasi materi yang dipelajari.
Apakah mungkin untuk mempertimbangkan ketidaksetaraan ini sebagai kasus spesial masalah yang lebih umum?
Ketimpangan bentuk log g(x) f(x)<(>) log g(x) h(x) dapat direduksi menjadi pertidaksamaan log g(x)p(x)<(>) 0 menggunakan sifat-sifat logaritma dan sifat-sifat pertidaksamaan.
Selesaikan pertidaksamaan
log x (x 2 + 3x - 3) > 1
oleh salah satu metode di atas.
7. Pekerjaan rumah petunjuk pelaksanaannya
.1. Memecahkan ketidaksetaraan (dari opsi untuk ujian masuk matematika):
2. Dalam pelajaran berikutnya, kita akan mempertimbangkan pertidaksamaan logaritmik yang diselesaikan dengan metode interval. Ulangi algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan metode interval.
3. Susun angka dalam urutan menaik (jelaskan mengapa pengaturan ini):
log 0,35; ; ; log 0,5 3 (ulangi untuk pelajaran berikutnya).
KETIMPANGAN LOGARITMI DALAM PENGGUNAAN
Sechin Mikhail Alexandrovich
Akademi Ilmu Pengetahuan Kecil untuk Pelajar Republik Kazakhstan "Pencari"
MBOU "Sekolah menengah Soviet No. 1", kelas 11, kota. Distrik Soviet Sovietsky
Gunko Ludmila Dmitrievna, guru MBOU"Sekolah Soviet No. 1"
Distrik Sovietsky
Objektif: studi tentang mekanisme untuk memecahkan ketidaksetaraan logaritmik C3 menggunakan metode non-standar, mengidentifikasi fakta Menarik logaritma.
Subjek studi:
3) Belajar memecahkan pertidaksamaan logaritmik C3 spesifik menggunakan metode non-standar.
Hasil:
Isi
Pendahuluan……………………………………………………………………………….4
Bab 1. Latar Belakang……………………………………………………….5
Bab 2. Kumpulan Pertidaksamaan Logaritma ………………………… 7
2.1. Transisi yang setara dan digeneralisasi metode interval…………… 7
2.2. Metode rasionalisasi ………………………………………………… 15
2.3. Substitusi non-standar…………………………………………………………………………………………………. ..... 22
2.4. Tugas dengan jebakan…………………………………………………… 27
Kesimpulan……………………………………………………………………… 30
Literatur……………………………………………………………………. 31
pengantar
Saya di kelas 11 dan saya berencana untuk masuk universitas, di mana subjek profil adalah matematika. Dan karena itu saya banyak bekerja dengan tugas-tugas bagian C. Dalam tugas C3, Anda perlu menyelesaikannya ketidaksetaraan non-standar atau sistem ketidaksetaraan, biasanya terkait dengan logaritma. Saat mempersiapkan ujian, saya mengalami masalah kurangnya metode dan teknik untuk memecahkan ketidaksetaraan logaritmik ujian yang ditawarkan di C3. Metode yang dipelajari dalam kurikulum sekolah pada topik ini, tidak memberikan dasar untuk memecahkan tugas C3. Guru matematika menyarankan agar saya mengerjakan tugas C3 sendiri di bawah bimbingannya. Selain itu, saya tertarik dengan pertanyaan: apakah ada logaritma dalam hidup kita?
Dengan pertimbangan ini, tema dipilih:
"Persamaan logaritma dalam ujian"
Objektif: studi tentang mekanisme untuk memecahkan masalah C3 menggunakan metode non-standar, mengungkapkan fakta menarik tentang logaritma.
Subjek studi:
1) Temukan informasi yang perlu tentang metode non-standar solusi pertidaksamaan logaritma.
2) Temukan informasi tambahan tentang logaritma.
3) Belajar untuk memutuskan tugas tertentu C3 menggunakan metode non-standar.
Hasil:
Signifikansi praktis adalah untuk memperluas peralatan untuk memecahkan masalah C3. bahan ini dapat digunakan dalam beberapa pelajaran, untuk melakukan lingkaran, kegiatan ekstrakulikuler matematika.
produk proyek akan menjadi kumpulan "Pertidaksamaan logaritma C3 dengan solusi".
Bab 1. Latar Belakang
Selama abad ke-16, jumlah perkiraan perhitungan meningkat pesat, terutama dalam astronomi. Peningkatan instrumen, studi tentang pergerakan planet, dan pekerjaan lain membutuhkan perhitungan yang sangat besar, terkadang bertahun-tahun. Astronomi berada dalam bahaya nyata tenggelam dalam perhitungan yang tidak terpenuhi. Kesulitan juga muncul di bidang lain, misalnya dalam bisnis asuransi diperlukan tabel bunga majemuk untuk arti yang berbeda persen. Kesulitan utama adalah perkalian, pembagian angka multi-digit, khususnya besaran trigonometri.
Penemuan logaritma didasarkan pada sifat-sifat progresi yang terkenal pada akhir abad ke-16. Tentang komunikasi antar anggota deret geometri q, q2, q3, ... dan deret aritmatika indikatornya adalah 1, 2, 3, ... Archimedes berbicara di "Psalmite". Prasyarat lain adalah perluasan konsep derajat ke negatif dan indikator pecahan. Banyak penulis telah menunjukkan bahwa perkalian, pembagian, pangkat, dan ekstraksi akar secara eksponensial sesuai dalam aritmatika - dalam urutan yang sama - penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.
Berikut adalah ide logaritma sebagai eksponen.
Dalam sejarah perkembangan doktrin logaritma, beberapa tahapan telah dilalui.
Tahap 1
Logaritma ditemukan paling lambat 1594 secara independen oleh baron Skotlandia Napier (1550-1617) dan sepuluh tahun kemudian oleh mekanik Swiss Burgi (1552-1632). Keduanya ingin memberikan cara baru yang nyaman perhitungan aritmatika meskipun mereka mendekati masalah ini dengan cara yang berbeda. Napier secara kinematis menyatakan fungsi logaritmik dan, dengan demikian, dimasukkan ke dalam daerah baru teori fungsi. Bürgi tetap atas dasar pertimbangan progresi diskrit. Namun, definisi logaritma untuk keduanya tidak sama dengan definisi modern. Istilah "logaritma" (logaritmus) milik Napier. Itu muncul dari kombinasi kata Yunani: logos - "hubungan" dan ariqmo - "angka", yang berarti "jumlah hubungan". Awalnya, Napier menggunakan istilah yang berbeda: numeri artificiales - "bilangan buatan", sebagai lawan dari numeri naturalts - "bilangan asli".
Pada tahun 1615, dalam percakapan dengan Henry Briggs (1561-1631), seorang profesor matematika di Gresh College di London, Napier menyarankan mengambil nol untuk logaritma satu, dan 100 untuk logaritma sepuluh, atau, apa yang bermuara pada hal yang sama, hanya 1. Begini caranya logaritma desimal dan tabel logaritma pertama dicetak. Kemudian, tabel Briggs dilengkapi oleh penjual buku dan matematikawan Belanda Andrian Flakk (1600-1667). Napier dan Briggs, meskipun mereka datang ke logaritma sebelum orang lain, menerbitkan tabel mereka lebih lambat dari yang lain - pada tahun 1620. Tanda-tanda log dan log diperkenalkan pada tahun 1624 oleh I. Kepler. Istilah "logaritma natural" diperkenalkan oleh Mengoli pada tahun 1659, diikuti oleh N. Mercator pada tahun 1668, dan guru London John Spadel menerbitkan tabel-tabel logaritma natural dari angka dari 1 hingga 1000 dengan nama "Logaritma Baru".
Di Rusia, tabel logaritmik pertama diterbitkan pada 1703. Namun di semua tabel logaritmik, terjadi kesalahan dalam perhitungan. Tabel bebas kesalahan pertama diterbitkan pada tahun 1857 di Berlin dalam pemrosesan matematikawan Jerman K. Bremiker (1804-1877).
Tahap 2
Pengembangan lebih lanjut dari teori logaritma dikaitkan dengan lebih banyak aplikasi luas geometri analitik dan kalkulus sangat kecil. Pada saat itu, pembentukan hubungan antara kuadratur hiperbola sama sisi dan logaritma natural. Teori logaritma periode ini dikaitkan dengan nama sejumlah matematikawan.
Ahli matematika, astronom, dan insinyur Jerman Nikolaus Mercator dalam esainya
"Logarithmotechnics" (1668) memberikan deret yang memberikan ekspansi ln(x + 1) dalam bentuk
kekuatan x:
Ungkapan ini sesuai persis dengan jalan pikirannya, meskipun, tentu saja, dia tidak menggunakan tanda d, ..., tetapi simbol yang lebih rumit. Dengan ditemukannya deret logaritma, teknik penghitungan logaritma berubah: mulai ditentukan menggunakan deret tak hingga. Dalam kuliahnya “Matematika Dasar dengan titik tertinggi view", baca pada tahun 1907-1908, F. Klein menyarankan menggunakan rumus sebagai titik awal untuk membangun teori logaritma.
Tahap 3
Definisi fungsi logaritma sebagai fungsi dari invers
eksponensial, logaritma sebagai eksponen tanah ini
tidak segera dirumuskan. Karya Leonhard Euler (1707-1783)
"Pengantar analisis infinitesimals" (1748) berfungsi sebagai lebih lanjut
pengembangan teori fungsi logaritma. Dengan demikian,
134 tahun telah berlalu sejak logaritma pertama kali diperkenalkan
(dihitung dari 1614) sebelum matematikawan menemukan definisi
konsep logaritma, yang sekarang menjadi dasar kursus sekolah.
Bab 2. Kumpulan pertidaksamaan logaritma
2.1. Transisi ekuivalen dan metode umum interval.
Transisi yang setara
jika a > 1
jika 0 <
а <
1
Metode interval umum
Metode ini paling universal dalam memecahkan ketidaksetaraan dari hampir semua jenis. Skema solusi terlihat seperti ini:
1. Bawa pertidaksamaan ke bentuk seperti itu, di mana fungsinya terletak di sisi kiri 
, dan 0 di sebelah kanan.
2. Temukan ruang lingkup fungsi .
3. Temukan nol dari suatu fungsi , yaitu, selesaikan persamaan 
(dan menyelesaikan persamaan biasanya lebih mudah daripada menyelesaikan pertidaksamaan).
4. Gambarkan domain definisi dan nol dari fungsi tersebut pada garis nyata.
5. Tentukan tanda-tanda fungsi pada interval yang diterima.
6. Pilih interval di mana fungsi mengambil nilai yang dibutuhkan, dan tuliskan jawabannya.
Contoh 1
Keputusan:
Terapkan metode interval
di mana
Untuk nilai-nilai ini, semua ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif.
Menjawab:
Contoh 2
Keputusan:
1 jalan . ODZ ditentukan oleh pertidaksamaan x> 3. Mengambil logaritma untuk itu x di basis 10, kita dapatkan
Pertidaksamaan terakhir dapat diselesaikan dengan menerapkan aturan dekomposisi, yaitu membandingkan faktor dengan nol. Namun, di kasus ini mudah untuk menentukan interval kekonstanan tanda dari suatu fungsi
sehingga metode interval dapat diterapkan.
Fungsi f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ kontinu untuk x> 3 dan menghilang di titik x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Jadi, kami menentukan interval kekonstanan fungsi f(x):
Menjawab:
cara ke-2 . Mari kita terapkan ide-ide metode interval langsung ke pertidaksamaan asli.
Untuk ini, kita ingat bahwa ekspresi sebuah b- sebuah c dan ( sebuah - 1)(b- 1) memiliki satu tanda. Maka pertidaksamaan kita untuk x> 3 sama dengan pertidaksamaan
atau
Pertidaksamaan terakhir diselesaikan dengan metode interval
Menjawab:
Contoh 3
Keputusan:
Terapkan metode interval
Menjawab:
Contoh 4
Keputusan:
Sejak 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 untuk semua nyata x, kemudian
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kedua, kami menggunakan metode interval
Pada pertidaksamaan pertama, kita buat perubahannya
maka kita sampai pada pertidaksamaan 2y 2 - kamu - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те kamu, yang memenuhi pertidaksamaan -0,5< kamu < 1.
Dari mana, karena
kita mendapatkan ketidaksetaraan
yang dilakukan dengan x, untuk 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Sekarang, dengan mempertimbangkan solusi dari pertidaksamaan kedua dari sistem, kita akhirnya memperoleh
Menjawab:
Contoh 5
Keputusan:
Ketimpangan setara dengan seperangkat sistem
atau
Terapkan metode interval atau
Menjawab:
Contoh 6
Keputusan:
Ketimpangan sama saja dengan sebuah sistem
Biarlah
kemudian kamu > 0,
dan pertidaksamaan pertama
sistem mengambil bentuk
atau, memperluas
trinomial persegi untuk pengganda,
Menerapkan metode interval ke pertidaksamaan terakhir,
kita melihat bahwa solusinya memenuhi kondisi kamu> 0 akan menjadi segalanya kamu > 4.
Jadi, pertidaksamaan asli ekuivalen dengan sistem:
Jadi, solusi dari pertidaksamaan adalah semua
2.2. metode rasionalisasi.
Sebelumnya, metode rasionalisasi ketidaksetaraan tidak diselesaikan, tidak diketahui. Ini baru modern metode yang efektif solusi pertidaksamaan eksponensial dan logaritmik" (kutipan dari buku oleh Kolesnikova S.I.)
Dan bahkan jika guru mengenalnya, ada rasa takut - tetapi apakah dia tahu? GUNAKAN ahli Mengapa mereka tidak memberikannya di sekolah? Ada situasi ketika guru berkata kepada siswa: "Di mana kamu mendapatkannya? Duduklah - 2."
Sekarang metode ini sedang dipromosikan di mana-mana. Dan untuk para ahli ada pedoman terkait dengan metode ini dan dalam "Kebanyakan" edisi lengkap pilihan standar..." solusi C3 menggunakan metode ini.
METODENYA BAGUS!
"Meja Ajaib"
Di sumber lain
jika a >1 dan b >1, lalu log a b >0 dan (a -1)(b -1)>0;
jika a >1 dan 0 jika 0<sebuah<1 и b
>1, lalu log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jika 0<sebuah<1 и 00 dan (a -1)(b -1)>0. Alasan di atas sederhana, tetapi sangat menyederhanakan solusi pertidaksamaan logaritmik. Contoh 4
log x (x 2 -3)<0
Keputusan:
Contoh 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Keputusan: Contoh 6
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita tulis (x-1-1) (x-1) sebagai ganti penyebut, dan hasil kali (x-1) (x-3-9 + x) sebagai ganti pembilang. Contoh 7
Contoh 8
2.3. Substitusi non-standar. Contoh 1
Contoh 2
Contoh 3
Contoh 4
Contoh 5
Contoh 6
Contoh 7
log 4 (3 x -1) log 0,25 Mari kita buat substitusi y=3 x -1; maka pertidaksamaan ini berbentuk log 4 log 0,25 Sebagai log 0.25 Mari kita buat penggantian t =log 4 y dan dapatkan pertidaksamaan t 2 -2t +≥0, solusinya adalah interval - Jadi, untuk menemukan nilai y, kami memiliki dua pertidaksamaan paling sederhana Oleh karena itu, pertidaksamaan asli ekuivalen dengan himpunan dua pertidaksamaan eksponensial, Solusi dari pertidaksamaan pertama dari himpunan ini adalah interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Contoh 8
Keputusan:
Ketimpangan sama saja dengan sebuah sistem Penyelesaian pertidaksamaan kedua, yang menentukan ODZ, adalah himpunan dari pertidaksamaan tersebut x,
untuk itu x > 0.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama, kita buat perubahannya Maka kita dapatkan pertidaksamaan atau Himpunan solusi dari pertidaksamaan terakhir ditemukan dengan metode interval: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, kita mendapatkan atau Banyak dari mereka x, yang memenuhi pertidaksamaan terakhir milik ODZ ( x> 0), oleh karena itu, adalah solusi untuk sistem, dan karenanya ketidaksetaraan asli. Menjawab: 2.4. Tugas dengan perangkap. Contoh 1
Keputusan. ODZ dari pertidaksamaan adalah semua x memenuhi kondisi 0 Contoh 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Menjawab. (0; 0,5) U .
Menjawab :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , maka pertidaksamaan terakhir kita tulis ulang menjadi 2log 4 y -log 4 2 y .
Solusi dari himpunan ini adalah interval 0<у≤2 и 8≤у<+.
yaitu agregat 
. Jadi, pertidaksamaan asli berlaku untuk semua nilai x dari interval 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Oleh karena itu, semua x dari interval 0
Kesimpulan
Tidak mudah untuk menemukan metode khusus untuk memecahkan masalah C3 dari berbagai macam sumber pendidikan yang berbeda. Selama pekerjaan yang dilakukan, saya dapat mempelajari metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik kompleks. Ini adalah: transisi ekuivalen dan metode interval umum, metode rasionalisasi , substitusi non-standar , tugas dengan jebakan di ODZ. Metode-metode ini tidak ada dalam kurikulum sekolah.
Dengan menggunakan metode yang berbeda, saya memecahkan 27 ketidaksetaraan yang ditawarkan di USE di bagian C, yaitu C3. Ketidaksetaraan dengan solusi dengan metode ini membentuk dasar dari kumpulan "Ketidaksetaraan Logaritmik C3 dengan Solusi", yang menjadi produk proyek dari aktivitas saya. Hipotesis yang saya kemukakan di awal proyek terbukti: masalah C3 dapat diselesaikan secara efektif jika metode ini diketahui.
Selain itu, saya menemukan fakta menarik tentang logaritma. Itu menarik bagi saya untuk melakukannya. Produk proyek saya akan berguna bagi siswa dan guru.
Temuan:
Dengan demikian, tujuan proyek tercapai, masalahnya terpecahkan. Dan saya mendapatkan pengalaman paling lengkap dan serbaguna dalam aktivitas proyek di semua tahap pekerjaan. Selama mengerjakan proyek, dampak perkembangan utama saya adalah pada kompetensi mental, kegiatan yang berkaitan dengan operasi mental logis, pengembangan kompetensi kreatif, inisiatif pribadi, tanggung jawab, ketekunan, dan aktivitas.
Jaminan keberhasilan saat membuat proyek penelitian untuk Saya telah menjadi: pengalaman sekolah yang signifikan, kemampuan untuk mengekstrak informasi dari berbagai sumber, memeriksa keandalannya, memberi peringkat menurut signifikansinya.
Selain pengetahuan mata pelajaran matematika secara langsung, ia memperluas keterampilan praktisnya di bidang ilmu komputer, memperoleh pengetahuan dan pengalaman baru di bidang psikologi, menjalin kontak dengan teman sekelas, dan belajar bekerja sama dengan orang dewasa. Selama kegiatan proyek, keterampilan dan kemampuan pendidikan umum organisasi, intelektual dan komunikatif dikembangkan.
literatur
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistem ketidaksetaraan dengan satu variabel (tugas khas C3).
2. Malkova A. G. Mempersiapkan Ujian Negara Bersatu dalam Matematika.
3. S. S. Samarova, Solusi pertidaksamaan logaritma.
4. Matematika. Kumpulan karya pelatihan yang diedit oleh A.L. Semyonov dan I.V. Yaschenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 hal.-
Di antara seluruh variasi pertidaksamaan logaritmik, pertidaksamaan dengan basis variabel dipelajari secara terpisah. Mereka diselesaikan sesuai dengan formula khusus, yang karena alasan tertentu jarang diajarkan di sekolah. Presentasi menyajikan solusi untuk tugas C3 USE - 2014 dalam matematika.
Unduh:
Pratinjau:
Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com
Teks slide:
Memecahkan pertidaksamaan logaritma yang mengandung variabel pada basis logaritma: metode, teknik, transisi setara guru matematika sekolah menengah MBOU No. 143 Knyazkina T.V.
Di antara seluruh variasi pertidaksamaan logaritmik, pertidaksamaan dengan basis variabel dipelajari secara terpisah. Mereka diselesaikan menggunakan rumus khusus, yang karena alasan tertentu jarang diajarkan di sekolah: log k (x) f (x) log k (x) g (x) (f (x) g (x)) ( k ( x) 1) 0 Alih-alih kotak centang “∨”, Anda dapat memberi tanda pertidaksamaan apa pun: lebih atau kurang. Hal utama adalah bahwa dalam kedua ketidaksetaraan tandanya sama. Jadi kita singkirkan logaritma dan perkecil masalahnya menjadi ketidaksetaraan rasional. Yang terakhir ini jauh lebih mudah untuk dipecahkan, tetapi ketika membuang logaritma, akar tambahan mungkin muncul. Untuk memotongnya, cukup dengan menemukan kisaran nilai yang dapat diterima. Jangan lupa ODZ dari logaritma! Segala sesuatu yang berkaitan dengan rentang nilai yang dapat diterima harus ditulis dan diselesaikan secara terpisah: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) 1. Keempat pertidaksamaan ini merupakan suatu sistem dan harus dipenuhi secara bersamaan. Ketika kisaran nilai yang dapat diterima ditemukan, ia masih harus menyeberanginya dengan solusi ketidaksetaraan rasional - dan jawabannya sudah siap.
Memecahkan pertidaksamaan: Solusi Untuk memulainya, mari kita tuliskan ODZ dari logaritma.Dua pertidaksamaan pertama dilakukan secara otomatis, dan pertidaksamaan terakhir harus dicat. Karena kuadrat suatu bilangan sama dengan nol jika dan hanya jika bilangan itu sendiri sama dengan nol, kita memiliki: x 2 + 1 1; x2 0; x 0 . Ternyata ODZ dari logaritma adalah semua bilangan kecuali nol: x (−∞0)∪(0 ;+ ). Sekarang kita memecahkan pertidaksamaan utama: Kita melakukan transisi dari pertidaksamaan logaritmik ke pertidaksamaan rasional. Pada pertidaksamaan asal terdapat tanda “kurang dari”, maka pertidaksamaan yang dihasilkan juga harus memiliki tanda “kurang dari”.
Kami memiliki: (10 (x 2 + 1)) (x 2 + 1 1)
Mengonversi pertidaksamaan logaritmik Seringkali pertidaksamaan asal berbeda dengan pertidaksamaan di atas. Ini mudah diperbaiki menggunakan aturan standar untuk bekerja dengan logaritma. Yaitu: Setiap nomor dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis yang diberikan; Jumlah dan selisih logaritma dengan basis yang sama dapat diganti dengan logaritma tunggal. Secara terpisah, saya ingin mengingatkan Anda tentang kisaran nilai yang dapat diterima. Karena mungkin ada beberapa logaritma dalam pertidaksamaan asli, maka diperlukan untuk menemukan DPV dari masing-masingnya. Jadi, skema umum untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma adalah sebagai berikut: Carilah ODZ untuk setiap logaritma yang termasuk dalam pertidaksamaan tersebut; Kurangi pertidaksamaan ke standar menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan logaritma; Selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan sesuai dengan skema di atas.
Memecahkan pertidaksamaan: Solusi Mari kita cari domain definisi (ODZ) dari logaritma pertama: Kita selesaikan dengan metode interval. Tentukan nol pembilangnya: 3 x 2 = 0; x = 2/3. Kemudian - penyebut nol: x 1 = 0; x = 1. Kami menandai nol dan tanda pada garis koordinat:
Kami mendapatkan x (−∞ 2/3) (1; +∞). Logaritma kedua dari ODZ akan sama. Jika Anda tidak percaya saya, Anda dapat memeriksa. Sekarang mari kita ubah logaritma kedua sehingga ada dua di pangkalan: Seperti yang Anda lihat, tiga kali lipat di pangkalan dan di depan logaritma telah dikurangi. Dapatkan dua logaritma dengan basis yang sama. Jumlahkan: log 2 (x 1) 2
(f (x) g (x)) (k (x) 1)
Kami tertarik pada perpotongan himpunan, jadi kami memilih interval yang diarsir pada kedua panah. Kami mendapatkan: x (−1; 2/3) (1; 3) - semua titik tertusuk. Jawaban: x (−1; 2/3)∪(1; 3)
Menyelesaikan tugas Unified State Exam-2014 tipe C3
Memecahkan sistem pertidaksamaan Solusi. ODZ: 1) 2)
Memecahkan sistem pertidaksamaan 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + (lanjutan)
Memecahkan sistem pertidaksamaan 4) Solusi umum: dan -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (lanjutan)
Selesaikan pertidaksamaan (lanjutan) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4
Memecahkan solusi pertidaksamaan. ODZ:
Memecahkan ketidaksetaraan (lanjutan)
Memecahkan solusi pertidaksamaan. ODZ: -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2
