Antara berbagai ekspresi, yang dipertimbangkan dalam aljabar, tempat penting adalah jumlah dari monomial. Berikut adalah contoh ekspresi seperti itu:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Jumlah monomial disebut polinomial. Suku-suku dalam polinomial disebut anggota polinomial. Mononomial juga disebut sebagai polinomial, mengingat monomial sebagai polinomial yang terdiri dari satu anggota.

Misalnya polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
dapat disederhanakan.

Kami mewakili semua istilah sebagai monomial dari bentuk standar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Kami memberikan istilah serupa dalam polinomial yang dihasilkan:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya adalah polinomial, yang semua anggotanya adalah monomial dari bentuk standar, dan di antara mereka tidak ada yang serupa. Polinomial semacam itu disebut polinomial bentuk standar.

Di belakang derajat polinomial bentuk standar mengambil kekuatan terbesar dari anggotanya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b \) memiliki derajat ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) memiliki derajat kedua.

Biasanya, suku-suku polinomial bentuk standar yang mengandung satu variabel disusun dalam urutan menurun dari eksponennya. Sebagai contoh:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Jumlah beberapa polinomial dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar.

Kadang-kadang anggota polinomial perlu dibagi menjadi beberapa kelompok, dengan menyertakan setiap kelompok dalam tanda kurung. Karena tanda kurung adalah kebalikan dari tanda kurung, maka mudah untuk merumuskannya aturan pembukaan tanda kurung:

Jika tanda + diletakkan di depan tanda kurung, maka suku-suku yang berada di dalam tanda kurung ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda "-" diletakkan di depan tanda kurung, maka istilah yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan.

Transformasi (penyederhanaan) dari produk monomial dan polinomial

Menggunakan sifat distributif perkalian, seseorang dapat mengubah (menyederhanakan) produk dari monomial dan polinomial menjadi polinomial. Sebagai contoh:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Hasil kali suatu monomial dan suatu polinomial identik sama dengan jumlah hasil kali monomial ini dan setiap suku-suku polinomial tersebut.

Hasil ini biasanya dirumuskan sebagai suatu aturan.

Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, seseorang harus mengalikan monomial ini dengan masing-masing suku polinomial.

Kami telah berulang kali menggunakan aturan ini untuk mengalikan dengan jumlah.

Produk dari polinomial. Transformasi (penyederhanaan) dari produk dua polinomial

Secara umum, hasil kali dua polinomial identik sama dengan jumlah produk dari setiap suku dari satu polinomial dan setiap suku yang lain.

Biasanya menggunakan aturan berikut.

Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku lainnya dan menambahkan produk yang dihasilkan.

Rumus perkalian yang disingkat. Jumlah, Selisih, dan Kuadrat Selisih

Dengan beberapa ekspresi di transformasi aljabar harus berurusan dengan lebih dari yang lain. Mungkin ekspresi yang paling umum adalah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), yaitu, kuadrat dari jumlah, kuadrat selisih, dan selisih kuadrat. Anda telah memperhatikan bahwa nama-nama ekspresi ini tampaknya tidak lengkap, jadi, misalnya, \((a + b)^2 \) tentu saja, bukan hanya kuadrat dari jumlah, tetapi kuadrat dari jumlah a dan b. Namun, kuadrat jumlah a dan b tidak begitu umum, sebagai aturan, alih-alih huruf a dan b, itu berisi berbagai ekspresi yang terkadang cukup kompleks.

Ekspresi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) mudah diubah (disederhanakan) menjadi polinomial dari bentuk standar, pada kenyataannya, Anda telah menemukan tugas seperti itu saat mengalikan polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitas yang dihasilkan berguna untuk diingat dan diterapkan tanpa perhitungan perantara. Formulasi verbal pendek membantu ini.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - jumlah kuadrat sama dengan jumlah kuadrat dan produk ganda.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuadrat selisihnya adalah jumlah kuadrat tanpa menggandakan hasil kali.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - selisih kuadrat sama dengan hasil kali selisih dan jumlah.

Ketiga identitas ini memungkinkan dalam transformasi untuk mengganti bagian kiri dengan bagian kanan dan sebaliknya - bagian kanan dengan bagian kiri. Hal yang paling sulit dalam hal ini adalah melihat ekspresi yang sesuai dan memahami variabel a dan b apa yang diganti di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus perkalian yang disingkat.

Sekarang kita hanya akan beralih ke kurung buka dalam ekspresi di mana ekspresi dalam kurung dikalikan dengan angka atau ekspresi. Mari kita rumuskan aturan untuk membuka tanda kurung yang didahului dengan tanda minus: tanda kurung bersama dengan tanda minus dihilangkan, dan tanda semua suku dalam tanda kurung diganti dengan yang berlawanan.

Salah satu jenis transformasi ekspresi adalah ekspansi tanda kurung. Ekspresi numerik, literal, dan variabel disusun menggunakan tanda kurung, yang dapat menunjukkan urutan tindakan yang dilakukan, berisi angka negatif, dll. Mari kita asumsikan bahwa dalam ekspresi yang dijelaskan di atas, alih-alih angka dan variabel, bisa ada ekspresi apa pun.

Dan mari kita perhatikan satu hal lagi tentang kekhasan penulisan solusi saat membuka tanda kurung. Pada paragraf sebelumnya, kita membahas apa yang disebut ekspansi kurung. Untuk melakukan ini, ada aturan untuk membuka kurung, yang sekarang kami tinjau. Aturan ini ditentukan oleh fakta bahwa biasanya menulis angka positif tanpa tanda kurung, tanda kurung dalam hal ini tidak diperlukan. Ekspresi (−3.7)−(−2)+4+(−9) dapat ditulis tanpa tanda kurung sebagai 3.7+2+4−9.

Akhirnya, bagian ketiga dari aturan ini hanya karena kekhasan penulisan angka negatif di sebelah kiri dalam ekspresi (yang kami sebutkan di bagian tanda kurung untuk menulis angka negatif). Anda mungkin menemukan ekspresi yang terdiri dari angka, tanda minus, dan beberapa pasang tanda kurung. Jika Anda memperluas tanda kurung, bergerak dari dalam ke luar, maka solusinya adalah: (−((−(5)))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

Bagaimana cara membuka kurung?

Berikut penjelasannya: (−2 x) adalah +2 x, dan karena ekspresi ini didahulukan, maka +2 x dapat ditulis sebagai 2 x, (x2)=−x2, +(−1/ x)= 1/x dan (2 x y2:z)=−2 x y2:z. Bagian pertama dari aturan tertulis untuk membuka kurung mengikuti langsung dari aturan untuk mengalikan angka negatif. Bagian kedua adalah konsekuensi dari aturan untuk mengalikan angka dengan tanda yang berbeda. Mari kita beralih ke contoh tanda kurung perluasan dalam produk dan hasil bagi dua angka dengan tanda yang berbeda.

Pembukaan braket: aturan, contoh, solusi.

Aturan di atas memperhitungkan seluruh rantai tindakan ini dan secara signifikan mempercepat proses membuka tanda kurung. Aturan yang sama memungkinkan Anda untuk membuka tanda kurung dalam ekspresi yang merupakan produk dan ekspresi parsial dengan tanda minus yang bukan jumlah dan perbedaan.

Perhatikan contoh penerapan aturan ini. Kami memberikan aturan yang sesuai. Di atas, kita telah menemukan ekspresi bentuk (a) dan (−a), yang tanpa tanda kurung ditulis masing-masing sebagai a dan a. Misalnya, (3)=3, dan. Ini adalah kasus khusus dari aturan yang disebutkan. Sekarang perhatikan contoh kurung buka ketika jumlah atau perbedaan terlampir di dalamnya. Kami akan menunjukkan contoh penggunaan aturan ini. Tunjukkan ekspresi (b1+b2) sebagai b, setelah itu kita menggunakan aturan untuk mengalikan tanda kurung dengan ekspresi dari paragraf sebelumnya, kita memiliki (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

Dengan induksi, pernyataan ini dapat diperluas ke sejumlah suku yang berubah-ubah dalam setiap kurung. Tetap membuka tanda kurung dalam ekspresi yang dihasilkan, menggunakan aturan dari paragraf sebelumnya, sebagai hasilnya, kita mendapatkan 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

Aturan dalam matematika adalah pembukaan kurung jika ada (+) dan (-) di depan kurung, aturan yang sangat diperlukan

Ekspresi ini adalah produk dari tiga faktor (2+4), 3 dan (5+7 8). Tanda kurung harus dibuka secara berurutan. Sekarang kita menggunakan aturan untuk mengalikan tanda kurung dengan angka, kita memiliki ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Kekuatan yang basisnya adalah beberapa ekspresi yang ditulis dalam tanda kurung, dengan indikator alami dapat dianggap sebagai produk dari beberapa tanda kurung.

Sebagai contoh, mari kita ubah ekspresi (a+b+c)2. Pertama, kita menulisnya sebagai produk dari dua kurung (a + b + c) (a + b + c), sekarang kita mengalikan kurung dengan kurung, kita mendapatkan a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.

Katakan juga bahwa untuk menaikkan jumlah dan selisih dua bilangan dalam gelar alami disarankan untuk menggunakan rumus binomial Newton. Misalnya, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Tidak kalah mudahnya untuk mengganti pembagian dengan perkalian terlebih dahulu, dan kemudian menggunakan aturan yang sesuai untuk membuka tanda kurung dalam produk.

Tetap mencari tahu urutan kurung buka menggunakan contoh. Ambil ekspresi (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Substitusikan hasil ini ke ekspresi aslinya: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Tinggal menyelesaikan pembukaan tanda kurung, sebagai hasilnya kita memiliki 5+3 2:4+6 7. Ini berarti bahwa ketika melewati dari sisi kiri persamaan ke sisi kanan, tanda kurung dibuka.

Perhatikan bahwa dalam ketiga contoh, kami hanya menghapus tanda kurung. Pertama, tambahkan 445 menjadi 889. Tindakan mental ini dapat dilakukan, tetapi tidak mudah. Mari kita buka tanda kurung dan lihat bahwa urutan operasi yang diubah akan sangat menyederhanakan perhitungan.

Cara membuka tanda kurung dalam derajat yang berbeda

Contoh ilustrasi dan aturan. Perhatikan sebuah contoh: . Anda dapat menemukan nilai ekspresi dengan menambahkan 2 dan 5, lalu mengambil angka yang dihasilkan dengan tanda yang berlawanan. Aturan tidak berubah jika tidak ada dua, tetapi tiga atau lebih istilah dalam tanda kurung. Komentar. Tanda dibalik hanya di depan istilah. Untuk membuka tanda kurung, kasus ini mengingat sifat distributif.

Angka tunggal dalam kurung

Kesalahanmu bukan terletak pada tanda-tandanya, tetapi pada pekerjaan yang salah dengan pecahan? Di kelas 6, kami bertemu dengan positif dan angka negatif. Bagaimana kita akan memecahkan contoh dan persamaan?

Berapa yang di dalam kurung? Apa yang bisa dikatakan tentang ekspresi ini? Tentu saja, hasil dari contoh pertama dan kedua adalah sama, sehingga Anda dapat memberi tanda sama dengan: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Apa yang kita lakukan dengan tanda kurung?

Demonstrasi slide 6 dengan aturan kurung buka. Dengan demikian, aturan untuk membuka kurung akan membantu kita memecahkan contoh, menyederhanakan ekspresi. Selanjutnya, siswa diundang untuk bekerja berpasangan: perlu untuk menghubungkan ekspresi yang mengandung tanda kurung dengan ekspresi yang sesuai tanpa tanda kurung dengan panah.

Slide 11 Sekali Waktu kota yang cerah Znayka dan Dunno berpendapat siapa di antara mereka yang menyelesaikan persamaan dengan benar. Selanjutnya, siswa secara mandiri memecahkan persamaan, menerapkan aturan untuk membuka kurung. Memecahkan persamaan ”Tujuan pelajaran: pendidikan (memperbaiki ZUN pada topik:“ Tanda kurung buka.

Topik pelajaran: “Kurung buka. Dalam hal ini, Anda perlu mengalikan setiap istilah dari kurung pertama dengan setiap istilah dari kurung kedua dan kemudian menambahkan hasilnya. Pertama, dua faktor pertama diambil, diapit dalam satu kurung lagi, dan di dalam kurung ini, kurung dibuka sesuai dengan salah satu aturan yang sudah diketahui.

rawalan.freezeet.ru

Pembukaan braket: aturan dan contoh (Kelas 7)

Fungsi utama tanda kurung adalah untuk mengubah urutan tindakan saat menghitung nilai ekspresi numerik . Misalnya, di dalam istilah numerik\(5 3+7\) perkalian akan dihitung terlebih dahulu, lalu penjumlahan: \(5 3+7 =15+7=22\). Namun dalam ekspresi \(5·(3+7)\), penjumlahan dalam kurung akan dihitung terlebih dahulu, baru kemudian perkalian: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Namun, jika kita berurusan dengan ekspresi aljabar mengandung variabel- misalnya seperti ini: \ (2 (x-3) \) - maka tidak mungkin untuk menghitung nilai dalam kurung, variabel mengganggu. Oleh karena itu, dalam hal ini, tanda kurung "dibuka", menggunakan aturan yang sesuai untuk ini.

Aturan ekspansi braket

Jika ada tanda tambah di depan tanda kurung, maka tanda kurung dihilangkan begitu saja, ekspresi di dalamnya tetap tidak berubah. Dengan kata lain:

Di sini perlu diklarifikasi bahwa dalam matematika, untuk mengurangi entri, biasanya tidak menulis tanda tambah jika itu adalah yang pertama dalam ekspresi. Misalnya, jika kita menambahkan dua angka positif, misalnya, tujuh dan tiga, maka kita tidak menulis \(+7+3\), tetapi hanya \(7+3\), meskipun faktanya tujuh juga nomor positif. Demikian pula, jika Anda melihat, misalnya, ekspresi \((5+x)\) - ketahuilah bahwa ada plus di depan braket yang tidak tertulis.

Contoh . Buka tanda kurung dan berikan suku sejenis: \((x-11)+(2+3x)\).
Keputusan : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Jika ada tanda minus di depan tanda kurung, maka ketika tanda kurung dilepas, setiap anggota ekspresi di dalamnya berubah tanda menjadi kebalikannya:

Di sini perlu diklarifikasi bahwa a, ketika berada dalam tanda kurung, memiliki tanda tambah (mereka hanya tidak menulisnya), dan setelah melepas tanda kurung, tanda tambah ini berubah menjadi minus.

Contoh : Sederhanakan ekspresi \(2x-(-7+x)\).
Keputusan : ada dua suku di dalam kurung: \(-7\) dan \(x\), dan ada minus sebelum kurung. Ini berarti bahwa tanda-tanda akan berubah - dan tujuh sekarang dengan plus, dan x dengan minus. buka braket dan bawa istilah suka .

Contoh. Luaskan tanda kurung dan berikan suku sejenis \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Keputusan : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Jika ada faktor di depan braket, maka setiap anggota braket dikalikan dengan itu, yaitu:

Contoh. Perluas tanda kurung \(5(3-x)\).
Keputusan : Kami memiliki \(3\) dan \(-x\) di dalam kurung, dan lima di depan kurung. Ini berarti bahwa setiap anggota kurung dikalikan dengan \ (5 \) - saya ingatkan Anda bahwa tanda perkalian antara angka dan tanda kurung dalam matematika tidak ditulis untuk mengurangi ukuran catatan.

Contoh. Perluas tanda kurung \(-2(-3x+5)\).
Keputusan : Seperti pada contoh sebelumnya, tanda kurung \(-3x\) dan \(5\) dikalikan dengan \(-2\).

Masih mempertimbangkan situasi terakhir.

Saat mengalikan kurung dengan kurung, setiap suku kurung pertama dikalikan dengan setiap suku kedua:

Contoh. Perluas tanda kurung \((2-x)(3x-1)\).
Keputusan : Kami memiliki produk kurung dan bisa langsung dibuka menggunakan rumus di atas. Namun agar tidak bingung, mari kita lakukan semuanya langkah demi langkah.
Langkah 1. Kami menghapus braket pertama - masing-masing anggotanya dikalikan dengan braket kedua:

Langkah 2. Perluas produk braket dengan faktor seperti yang dijelaskan di atas:
- yang pertama dulu...

Langkah 3. Sekarang kita kalikan dan bawa suku-suku serupa:

Tidak perlu melukis semua transformasi secara detail, Anda bisa langsung mengalikannya. Tetapi jika Anda baru belajar membuka tanda kurung - tulis dengan detail, kemungkinan membuat kesalahan akan lebih kecil.

Catatan untuk seluruh bagian. Sebenarnya, Anda tidak perlu mengingat keempat aturan tersebut, Anda hanya perlu mengingat satu, yang ini: \(c(a-b)=ca-cb\) . Mengapa? Karena jika kita mengganti satu dan bukan c, kita mendapatkan aturan \((a-b)=a-b\) . Dan jika kita mengganti minus satu, kita mendapatkan aturan \(-(a-b)=-a+b\) . Nah, jika Anda mengganti braket lain alih-alih c, Anda bisa mendapatkan aturan terakhir.

kurung di dalam kurung

Terkadang dalam praktiknya ada masalah dengan tanda kurung yang bersarang di dalam tanda kurung lainnya. Berikut adalah contoh tugas tersebut: untuk menyederhanakan ekspresi \(7x+2(5-(3x+y))\).

Agar berhasil dalam tugas-tugas ini, Anda perlu:
- pahami dengan cermat sarang tanda kurung - yang mana;
- buka tanda kurung secara berurutan, mulai, misalnya, dengan yang terdalam.

Penting saat membuka salah satu kurung jangan sentuh sisa ekspresi, hanya menulis ulang apa adanya.
Mari kita ambil tugas di atas sebagai contoh.

Contoh. Buka tanda kurung dan berikan suku sejenis \(7x+2(5-(3x+y))\).
Keputusan:

Mari kita mulai tugas dengan membuka braket bagian dalam (yang ada di dalam). Membukanya, kami hanya berurusan dengan fakta bahwa itu terkait langsung dengannya - ini adalah braket itu sendiri dan minus di depannya (disorot dengan warna hijau). Segala sesuatu yang lain (tidak dipilih) ditulis ulang seperti semula.

Memecahkan masalah dalam matematika online

Kalkulator daring.
Penyederhanaan polinomial.
Perkalian polinomial.

Dengan program matematika ini, Anda dapat menyederhanakan polinomial.
Saat program sedang berjalan:
- mengalikan polinomial
- jumlah monomials (memberi seperti yang)
- buka kurung
- Menaikkan polinomial ke pangkat

Program penyederhanaan polinomial tidak hanya memberikan jawaban atas masalah, tetapi mengarah solusi terperinci dengan penjelasan, yaitu menampilkan proses solusi sehingga Anda dapat memeriksa pengetahuan Anda tentang matematika dan / atau aljabar.

Program ini semoga bermanfaat bagi siswa sekolah pendidikan umum dalam persiapan untuk pekerjaan kontrol dan ujian, ketika menguji pengetahuan sebelum ujian, orang tua mengontrol solusi dari banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikannya sesegera mungkin? pekerjaan rumah matematika atau aljabar? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau melatih adik laki-laki atau saudara perempuan, sedangkan tingkat pendidikan di bidang tugas yang diselesaikan meningkat.

Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda diantrekan.
Setelah beberapa detik, solusi akan muncul di bawah ini.
Mohon tunggu sebentar.

Sedikit teori.

Produk dari monomial dan polinomial. Konsep polinomial

Di antara berbagai ekspresi yang dipertimbangkan dalam aljabar, jumlah monomial menempati tempat yang penting. Berikut adalah contoh ekspresi seperti itu:

Jumlah monomial disebut polinomial. Suku-suku dalam polinomial disebut anggota polinomial. Mononomial juga disebut sebagai polinomial, mengingat monomial sebagai polinomial yang terdiri dari satu anggota.

Kami mewakili semua istilah sebagai monomial dari bentuk standar:

Kami memberikan istilah serupa dalam polinomial yang dihasilkan:

Hasilnya adalah polinomial, yang semua anggotanya adalah monomial dari bentuk standar, dan di antara mereka tidak ada yang serupa. Polinomial semacam itu disebut polinomial bentuk standar.

Di belakang derajat polinomial bentuk standar mengambil kekuatan terbesar dari anggotanya. Jadi, binomial memiliki derajat ketiga, dan trinomial memiliki derajat kedua.

Biasanya, suku-suku polinomial bentuk standar yang mengandung satu variabel disusun dalam urutan menurun dari eksponennya. Sebagai contoh:

Jumlah beberapa polinomial dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar.

Kadang-kadang anggota polinomial perlu dibagi menjadi beberapa kelompok, dengan menyertakan setiap kelompok dalam tanda kurung. Karena tanda kurung adalah kebalikan dari tanda kurung, maka mudah untuk merumuskannya aturan pembukaan tanda kurung:

Jika tanda + diletakkan di depan tanda kurung, maka suku-suku yang berada di dalam tanda kurung ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda "-" diletakkan di depan tanda kurung, maka istilah yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan.

Transformasi (penyederhanaan) dari produk monomial dan polinomial

Menggunakan sifat distributif perkalian, seseorang dapat mengubah (menyederhanakan) produk dari monomial dan polinomial menjadi polinomial. Sebagai contoh:

Hasil kali suatu monomial dan suatu polinomial identik sama dengan jumlah hasil kali monomial ini dan setiap suku-suku polinomial tersebut.

Hasil ini biasanya dirumuskan sebagai suatu aturan.

Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, seseorang harus mengalikan monomial ini dengan masing-masing suku polinomial.

Kami telah berulang kali menggunakan aturan ini untuk mengalikan dengan jumlah.

Produk dari polinomial. Transformasi (penyederhanaan) dari produk dua polinomial

Secara umum, hasil kali dua polinomial identik sama dengan jumlah produk dari setiap suku dari satu polinomial dan setiap suku yang lain.

Biasanya menggunakan aturan berikut.

Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku lainnya dan menambahkan produk yang dihasilkan.

Rumus perkalian yang disingkat. Jumlah, Selisih, dan Kuadrat Selisih

Beberapa ekspresi dalam transformasi aljabar harus ditangani lebih sering daripada yang lain. Mungkin ekspresi yang paling umum adalah dan, yaitu, kuadrat dari jumlah, kuadrat selisih, dan selisih kuadrat. Anda telah memperhatikan bahwa nama-nama ekspresi ini tampaknya tidak lengkap, jadi, misalnya, - ini, tentu saja, bukan hanya kuadrat dari jumlah, tetapi kuadrat dari jumlah a dan b. Namun, kuadrat jumlah a dan b tidak begitu umum, sebagai aturan, alih-alih huruf a dan b, itu berisi berbagai ekspresi yang terkadang cukup kompleks.

Ekspresi mudah diubah (disederhanakan) menjadi polinomial dari bentuk standar, pada kenyataannya, Anda telah menemukan tugas seperti itu saat mengalikan polinomial:

Identitas yang dihasilkan berguna untuk diingat dan diterapkan tanpa perhitungan perantara. Formulasi verbal pendek membantu ini.

- kuadrat dari jumlah sama dengan jumlah kuadrat dan dua kali produk.

- kuadrat selisihnya sama dengan jumlah kuadrat tanpa hasil ganda.

- selisih kuadrat sama dengan hasil kali selisih jumlah.

Ketiga identitas ini memungkinkan dalam transformasi untuk mengganti bagian kiri dengan bagian kanan dan sebaliknya - bagian kanan dengan bagian kiri. Hal yang paling sulit dalam hal ini adalah melihat ekspresi yang sesuai dan memahami variabel a dan b apa yang diganti di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus perkalian yang disingkat.

Buku (buku pelajaran) Abstrak ujian dan tes OGE Game online, fungsi Merencanakan teka-teki gambar kamus ortografi dari kamus bahasa Rusia bahasa gaul pemuda Katalog sekolah di Rusia Katalog sekolah menengah di Rusia Katalog universitas Rusia Bilangan kompleks: jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi Sistem 2 persamaan linear dengan dua solusi variabel persamaan kuadrat Mengkuadratkan binomial dan anjak piutang trinomial persegi Memecahkan pertidaksamaan Memecahkan sistem pertidaksamaan Merencanakan fungsi kuadrat Memplot fungsi linear-fraksional Memecahkan aritmatika dan deret geometri Menyelesaikan trigonometri, eksponensial, persamaan logaritma Perhitungan limit, turunan, tangen Integral, Solusi antiturunan segitiga Perhitungan aksi dengan vektor Perhitungan aksi dengan garis dan bidang Luas bentuk geometris Keliling bangun-bangun geometri Volume benda geometris Luas permukaan benda geometris
Konstruktor situasi lalu lintas
Cuaca - berita - horoskop

www.mathsolution.ru

Ekspansi braket

Kami terus mempelajari dasar-dasar aljabar. PADA pelajaran ini kita akan belajar cara membuka tanda kurung dalam ekspresi. Memperluas tanda kurung berarti menghilangkan ekspresi tanda kurung ini.

Untuk membuka tanda kurung, Anda hanya perlu menghafal dua aturan. Dengan latihan teratur, Anda dapat membuka kurung dengan mata tertutup, dan aturan-aturan yang perlu diingat dapat dilupakan dengan aman.

Aturan pertama ekspansi kurung

Perhatikan ungkapan berikut:

Nilai dari ekspresi ini adalah 2 . Mari kita buka tanda kurung dalam ekspresi ini. Memperluas tanda kurung berarti menghilangkannya tanpa mempengaruhi makna ekspresi. Yaitu, setelah menghilangkan tanda kurung, nilai dari ekspresi 8+(−9+3) harus tetap sama dengan dua.

Aturan ekspansi kurung pertama terlihat seperti ini:

Saat membuka kurung, jika ada plus sebelum kurung, maka plus ini dihilangkan bersama dengan kurung.

Jadi kita melihatnya dalam ekspresi 8+(−9+3) ada plus di depan kurung. Tanda tambah ini harus dihilangkan bersama dengan tanda kurung. Dengan kata lain, tanda kurung akan hilang seiring dengan plus yang berdiri di depannya. Dan apa yang ada di dalam kurung akan ditulis tidak berubah:

8−9+3 . Ekspresi ini sama dengan 2 , seperti ekspresi kurung sebelumnya sama dengan 2 .

8+(−9+3) dan 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Contoh 2 Perluas tanda kurung dalam ekspresi 3 + (−1 − 4)

Ada plus di depan tanda kurung, jadi plus ini dihilangkan bersama dengan tanda kurung. Apa yang ada di dalam kurung tidak akan berubah:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Contoh 3 Perluas tanda kurung dalam ekspresi 2 + (−1)

PADA contoh ini pembukaan tanda kurung telah menjadi semacam operasi kebalikan dari penggantian pengurangan dengan penambahan. Apa artinya?

Dalam ekspresi 2−1 pengurangan terjadi, tetapi dapat diganti dengan penambahan. Kemudian Anda mendapatkan ekspresi 2+(−1) . Tetapi jika dalam ekspresi 2+(−1) buka kurung, Anda mendapatkan yang asli 2−1 .

Oleh karena itu, aturan ekspansi kurung pertama dapat digunakan untuk menyederhanakan ekspresi setelah beberapa transformasi. Artinya, menghilangkan kurung dan membuatnya lebih mudah.

Sebagai contoh, mari kita sederhanakan ekspresi 2a+a−5b+b .

Untuk menyederhanakan ekspresi ini, kita dapat menambahkan suku-suku sejenis. Ingat itu untuk membawa istilah serupa, Anda perlu menambahkan koefisien dari suku-suku serupa dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf yang sama:

Punya ekspresi 3a+(−4b). Dalam ekspresi ini, buka tanda kurung. Ada plus di depan kurung, jadi kita menggunakan aturan pertama untuk membuka kurung, yaitu kita menghilangkan tanda kurung bersama dengan plus yang datang sebelum kurung ini:

Jadi ekspresinya 2a+a−5b+b disederhanakan menjadi 3a−4b .

Setelah membuka satu kurung, yang lain mungkin bertemu di sepanjang jalan. Kami menerapkan aturan yang sama untuk mereka seperti yang pertama. Misalnya, mari kita perluas tanda kurung dalam ekspresi berikut:

Ada dua tempat di mana Anda perlu memperluas tanda kurung. Dalam hal ini, aturan pertama untuk memperluas tanda kurung berlaku, yaitu menghilangkan tanda kurung bersama dengan plus yang datang sebelum tanda kurung ini:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Contoh 3 Perluas tanda kurung dalam ekspresi 6+(−3)+(−2)

Di kedua tempat di mana ada tanda kurung, mereka didahului dengan tanda tambah. Di sini sekali lagi, aturan ekspansi kurung pertama berlaku:

Terkadang istilah pertama dalam tanda kurung ditulis tanpa tanda. Misalnya, dalam ekspresi 1+(2+3−4) suku pertama dalam kurung 2 ditulis tanpa tanda. Timbul pertanyaan, tanda apa yang akan muncul sebelum deuce setelah tanda kurung dan plus di depan tanda kurung dihilangkan? Jawabannya menyarankan sendiri - akan ada nilai tambah di depan deuce.

Bahkan di dalam kurung, ada plus di depan deuce, tetapi kami tidak melihatnya karena tidak ditulis. Kami telah mengatakan bahwa notasi penuh bilangan positif terlihat seperti +1, +2, +3. Tetapi nilai plus tidak ditulis secara tradisional, itulah sebabnya kami melihat angka positif yang akrab bagi kami. 1, 2, 3 .

Oleh karena itu, untuk membuka tanda kurung dalam ekspresi 1+(2+3−4) , Anda harus menghilangkan tanda kurung seperti biasa bersama dengan tanda tambah di depan tanda kurung ini, tetapi tulis istilah pertama yang ada dalam tanda kurung dengan tanda tambah:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Contoh 4 Perluas tanda kurung dalam ekspresi −5 + (2 − 3)

Ada plus di depan kurung, jadi kita terapkan aturan pertama untuk kurung buka, yaitu kita menghilangkan tanda kurung beserta plus yang ada di depan kurung tersebut. Tetapi istilah pertama, yang ditulis dalam tanda kurung dengan tanda tambah:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Contoh 5 Perluas tanda kurung dalam ekspresi (−5)

Ada plus di depan tanda kurung, tetapi tidak ditulis karena tidak ada angka atau ekspresi lain sebelumnya. Tugas kita adalah menghilangkan tanda kurung dengan menerapkan aturan pertama untuk memperluas tanda kurung, yaitu menghilangkan tanda kurung beserta tanda tambah ini (walaupun tidak terlihat)

Contoh 6 Perluas tanda kurung dalam ekspresi 2a + (−6a + b)

Ada plus di depan tanda kurung, jadi plus ini dihilangkan bersama dengan tanda kurung. Apa yang ada di dalam kurung akan ditulis tidak berubah:

2a + (−6a + b) = 2a 6a + b

Contoh 7 Perluas tanda kurung dalam ekspresi 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Dalam ekspresi ini, ada dua tempat di mana Anda perlu membuka tanda kurung. Di kedua bagian, ada plus di depan tanda kurung, yang berarti plus ini dihilangkan bersama dengan tanda kurung. Apa yang ada di dalam kurung akan ditulis tidak berubah:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a 7b + 6c + 3a 2d

Aturan kedua untuk membuka tanda kurung

Sekarang mari kita lihat aturan ekspansi kurung kedua. Ini digunakan ketika ada minus sebelum tanda kurung.

Jika ada minus sebelum tanda kurung, maka minus ini dihilangkan bersama dengan tanda kurung, tetapi istilah yang ada di dalam kurung mengubah tandanya menjadi kebalikannya.

Misalnya, mari kita perluas tanda kurung dalam ekspresi berikut

Kami melihat bahwa ada minus sebelum tanda kurung. Jadi Anda perlu menerapkan aturan ekspansi kedua, yaitu menghilangkan tanda kurung beserta tanda minus di depan tanda kurung tersebut. Dalam hal ini, istilah yang berada dalam tanda kurung akan berubah tandanya menjadi kebalikannya:

Kami mendapat ekspresi tanpa tanda kurung 5+2+3 . Ekspresi ini sama dengan 10, sama seperti ekspresi sebelumnya dengan tanda kurung sama dengan 10.

Jadi, di antara ekspresi 5−(−2−3) dan 5+2+3 Anda dapat memberi tanda sama dengan, karena mereka sama dengan nilai yang sama:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Contoh 2 Perluas tanda kurung dalam ekspresi 6 − (−2 − 5)

Ada minus di depan tanda kurung, jadi kita terapkan aturan kedua untuk tanda kurung buka, yaitu kita menghilangkan tanda kurung beserta minus yang ada di depan tanda kurung tersebut. Dalam hal ini, istilah yang ada di dalam kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Contoh 3 Perluas tanda kurung dalam ekspresi 2 − (7 + 3)

Ada minus sebelum tanda kurung, jadi kami menerapkan aturan kedua untuk membuka tanda kurung:

Contoh 4 Perluas tanda kurung dalam ekspresi −(−3 + 4)

Contoh 5 Perluas tanda kurung dalam ekspresi −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Ada dua tempat di mana Anda perlu memperluas tanda kurung. Dalam kasus pertama, Anda perlu menerapkan aturan kedua untuk membuka tanda kurung, dan ketika giliran datang ke ekspresi +(−9−2) Anda perlu menerapkan aturan pertama:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Contoh 6 Perluas tanda kurung dalam ekspresi (−a−1)

Contoh 7 Perluas tanda kurung dalam ekspresi (4a + 3)

Contoh 8 Perluas tanda kurung dalam ekspresi sebuah (4b + 3) + 15

Contoh 9 Perluas tanda kurung dalam ekspresi 2a + (3b b) (3c + 5)

Ada dua tempat di mana Anda perlu memperluas tanda kurung. Dalam kasus pertama, Anda perlu menerapkan aturan pertama untuk memperluas tanda kurung, dan ketika giliran datang ke ekspresi (3c+5) Anda perlu menerapkan aturan kedua:

2a + (3b b) (3c + 5) = 2a + 3b b 3c 5

Contoh 10 Perluas tanda kurung dalam ekspresi -sebuah (−4a) + (−6b) (−8c + 15)

Ada tiga tempat di mana Anda perlu memperluas tanda kurung. Pertama, Anda perlu menerapkan aturan kedua untuk memperluas tanda kurung, lalu yang pertama, dan lagi yang kedua:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = a + 4a - 6b + 8c - 15

Mekanisme ekspansi tanda kurung

Aturan untuk kurung buka, yang sekarang telah kita bahas, didasarkan pada hukum perkalian distributif:

Sebenarnya kurung buka panggil prosedur ketika faktor umum kalikan dengan setiap istilah dalam tanda kurung. Sebagai hasil dari perkalian seperti itu, tanda kurung menghilang. Misalnya, mari kita perluas tanda kurung dalam ekspresi 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Oleh karena itu, jika Anda perlu mengalikan angka dengan ekspresi dalam tanda kurung (atau mengalikan ekspresi dalam tanda kurung dengan angka), Anda perlu mengatakan buka kurung.

Tapi bagaimana hubungan hukum distributif perkalian dengan aturan kurung buka yang kita bahas tadi?

Faktanya adalah bahwa sebelum tanda kurung ada faktor persekutuan. Dalam contoh 3×(4+5) faktor persekutuannya adalah 3 . Dan dalam contoh a(b+c) faktor persekutuan adalah variabel sebuah.

Jika tidak ada bilangan atau variabel sebelum tanda kurung, maka faktor persekutuannya adalah 1 atau −1 , tergantung pada karakter mana yang muncul sebelum tanda kurung. Jika ada plus di depan tanda kurung, maka faktor persekutuannya adalah 1 . Jika ada minus sebelum tanda kurung, maka faktor persekutuannya adalah −1 .

Misalnya, mari kita perluas tanda kurung dalam ekspresi (3b−1). Ada minus sebelum tanda kurung, jadi Anda perlu menggunakan aturan kedua untuk membuka tanda kurung, yaitu menghilangkan tanda kurung bersama dengan minus sebelum tanda kurung. Dan ungkapan yang ada di dalam kurung, tulis dengan tanda yang berlawanan:

Kami memperluas tanda kurung menggunakan aturan ekspansi tanda kurung. Tetapi kurung yang sama ini dapat dibuka dengan menggunakan hukum perkalian distributif. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita tulis faktor persekutuan 1 di depan tanda kurung, yang tidak dituliskan:

Minus yang digunakan untuk berdiri di depan kurung mengacu pada unit ini. Sekarang Anda dapat membuka tanda kurung dengan menerapkan hukum perkalian distributif. Untuk ini, faktor persekutuan −1 Anda perlu mengalikan dengan setiap istilah dalam tanda kurung dan menambahkan hasilnya.

Untuk kenyamanan, kami mengganti perbedaan dalam tanda kurung dengan jumlah:

1 (3b 1) = 1 (3b + (−1)) = 1 × 3b + (−1) × (−1) = 3b + 1

Seperti dalam terakhir kali kami mendapat ekspresi 3b+1. Semua orang akan setuju bahwa kali ini lebih banyak waktu dihabiskan untuk memecahkan contoh sederhana seperti itu. Oleh karena itu, lebih masuk akal untuk menggunakan aturan yang sudah jadi untuk kurung buka, yang kami pertimbangkan dalam pelajaran ini:

Tapi tidak ada salahnya untuk mengetahui bagaimana aturan ini bekerja.

Dalam pelajaran ini, kita mempelajari transformasi identik lainnya. Bersama-sama dengan membuka tanda kurung, mengeluarkan umum dari tanda kurung dan membawa istilah yang sama, adalah mungkin untuk sedikit memperluas jangkauan tugas yang harus diselesaikan. Sebagai contoh:

Di sini Anda perlu melakukan dua tindakan - pertama buka tanda kurung, lalu bawa istilah serupa. Jadi, secara berurutan:

1) Perluas tanda kurung:

2) Kami memberikan persyaratan seperti:

Dalam ekspresi yang dihasilkan 10b+(−1) Anda dapat membuka tanda kurung:

Contoh 2 Buka tanda kurung dan tambahkan istilah serupa dalam ekspresi berikut:

1) Perluas tanda kurung:

2) Kami menyajikan istilah serupa. Kali ini, untuk menghemat waktu dan tempat, kita tidak akan menuliskan bagaimana koefisien dikalikan dengan bagian huruf biasa

Contoh 3 Sederhanakan Ekspresi 8m + 3m dan cari nilainya di m=−4

1) Mari kita sederhanakan ekspresinya terlebih dahulu. Untuk menyederhanakan ekspresi 8m + 3m, Anda dapat mengambil faktor persekutuan di dalamnya m untuk tanda kurung:

2) Temukan nilai dari ekspresi m(8+3) pada m=−4. Untuk ini, dalam ekspresi m(8+3) bukannya variabel m ganti nomornya −4

m(8 + 3) = 4 (8 + 3) = 4 × 8 + (−4) × 3 = 32 + (−12) = 44

Pada artikel ini, kita akan melihat lebih dekat aturan dasar seperti itu topik penting mata kuliah matematika, sebagai pembuka kurung. Anda perlu mengetahui aturan untuk membuka tanda kurung untuk menyelesaikan persamaan yang digunakan dengan benar.

Cara membuka tanda kurung dengan benar saat menambahkan

Perluas tanda kurung yang didahului dengan tanda "+"

Ini adalah kasus yang paling sederhana, karena jika ada tanda tambahan di depan kurung, ketika kurung dibuka, tanda-tanda di dalamnya tidak berubah. Contoh:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Cara membuka tanda kurung yang didahului dengan tanda "-"

Dalam hal ini, Anda perlu menulis ulang semua istilah tanpa tanda kurung, tetapi pada saat yang sama mengubah semua tanda di dalamnya menjadi yang berlawanan. Perubahan tanda hanya untuk istilah dari tanda kurung yang didahului dengan tanda “-”. Contoh:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Cara membuka tanda kurung saat mengalikan

Tanda kurung didahului oleh pengali

Dalam hal ini, Anda perlu mengalikan setiap suku dengan faktor dan membuka tanda kurung tanpa mengubah tanda. Jika pengganda memiliki tanda "-", maka saat mengalikan, tanda-tanda istilahnya dibalik. Contoh:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Cara membuka dua tanda kurung dengan tanda perkalian di antaranya

Dalam hal ini, Anda perlu mengalikan setiap istilah dari kurung pertama dengan setiap istilah dari kurung kedua dan kemudian menambahkan hasilnya. Contoh:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Cara membuka tanda kurung di kotak

Jika jumlah atau selisih dua suku dikuadratkan, tanda kurung harus diperluas menurut rumus berikut:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

Dalam kasus minus di dalam tanda kurung, rumusnya tidak berubah. Contoh:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Cara membuka tanda kurung dalam derajat yang berbeda

Jika jumlah atau selisih istilah dinaikkan, misalnya, ke pangkat 3 atau 4, maka Anda hanya perlu memecah derajat kurung menjadi "kotak". Kekuatan faktor yang sama ditambahkan, dan ketika membagi, tingkat pembagi dikurangi dari tingkat pembagian. Contoh:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Cara membuka 3 kurung

Ada persamaan di mana 3 kurung dikalikan sekaligus. Dalam hal ini, pertama-tama Anda harus mengalikan suku dari dua kurung pertama di antara mereka sendiri, lalu mengalikan jumlah perkalian ini dengan suku-suku kurung ketiga. Contoh:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Aturan bukaan kurung siku ini berlaku sama untuk persamaan linier dan trigonometri.

Tanda kurung digunakan untuk menunjukkan urutan operasi yang dilakukan dalam numerik dan ekspresi literal, serta dalam ekspresi dengan variabel. Lebih mudah untuk berpindah dari ekspresi dengan tanda kurung ke ekspresi identik yang sama tanpa tanda kurung. Teknik ini disebut pembukaan kurung.

Memperluas tanda kurung berarti menghilangkan ekspresi tanda kurung ini.

Poin lain patut mendapat perhatian khusus, yang menyangkut kekhasan solusi penulisan saat membuka tanda kurung. Kita dapat menulis ekspresi awal dengan tanda kurung dan hasil yang diperoleh setelah membuka tanda kurung sebagai persamaan. Misalnya, setelah membuka tanda kurung, alih-alih ekspresi
3−(5−7) kita mendapatkan ekspresi 3−5+7. Kita dapat menulis kedua ekspresi ini sebagai persamaan 3−(5−7)=3−5+7.

Dan satu lagi poin penting. Dalam matematika, untuk mengurangi entri, biasanya tidak menulis tanda tambah jika itu adalah yang pertama dalam ekspresi atau dalam tanda kurung. Misalnya, jika kita menambahkan dua angka positif, misalnya, tujuh dan tiga, maka kita tidak menulis +7 + 3, tetapi hanya 7 + 3, meskipun faktanya tujuh juga merupakan angka positif. Demikian pula, jika Anda melihat, misalnya, ekspresi (5 + x) - ketahuilah bahwa ada plus di depan tanda kurung, yang tidak ditulis, dan ada plus + (+5 + x) di depan tanda kurung. lima.

Aturan ekspansi braket untuk penambahan

Saat membuka kurung, jika ada plus sebelum kurung, maka plus ini dihilangkan bersama dengan kurung.

Contoh. Buka tanda kurung pada ekspresi 2 + (7 + 3) Sebelum tanda kurung ditambah, maka karakter di depan angka dalam tanda kurung tidak berubah.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Aturan untuk memperluas tanda kurung saat mengurangkan

Jika ada minus sebelum tanda kurung, maka minus ini dihilangkan bersama dengan tanda kurung, tetapi istilah yang ada di dalam kurung mengubah tandanya menjadi kebalikannya. Ketiadaan tanda sebelum suku pertama dalam kurung menyiratkan tanda +.

Contoh. Tanda kurung buka dalam ekspresi 2 (7 + 3)

Ada minus sebelum kurung, jadi Anda perlu mengubah tanda sebelum angka dari kurung. Tidak ada tanda dalam kurung sebelum angka 7, artinya angka tujuh itu positif, dianggap tanda + di depannya.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Saat membuka tanda kurung, kami menghapus tanda minus dari contoh, yang ada di depan tanda kurung, dan tanda kurung itu sendiri 2 (+ 7 + 3), dan mengubah tanda yang ada di dalam tanda kurung menjadi tanda yang berlawanan.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Memperluas tanda kurung saat mengalikan

Jika ada tanda perkalian di depan kurung, maka setiap bilangan di dalam kurung dikalikan dengan faktor di depan kurung. Pada saat yang sama, mengalikan minus dengan minus menghasilkan plus, dan mengalikan minus dengan plus, seperti mengalikan plus dengan minus, menghasilkan minus.

Jadi, tanda kurung dalam karya diperluas sesuai dengan sifat distributif perkalian.

Contoh. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Saat mengalikan kurung dengan kurung, setiap suku kurung pertama dikalikan dengan setiap suku kurung kedua.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Sebenarnya tidak perlu mengingat semua aturan, cukup mengingat satu saja, yang ini: c(a−b)=ca−cb. Mengapa? Karena jika kita mengganti satu dan bukan c, kita mendapatkan aturan (a−b)=a−b. Dan jika kita mengganti minus satu, kita mendapatkan aturan (a−b)=−a+b. Nah, jika Anda mengganti braket lain alih-alih c, Anda bisa mendapatkan aturan terakhir.

Perluas tanda kurung saat membagi

Jika ada tanda pembagian setelah tanda kurung, maka setiap bilangan di dalam tanda kurung habis dibagi oleh pembagi setelah tanda kurung, dan sebaliknya.

Contoh. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Cara memperluas tanda kurung bersarang

Jika ekspresi berisi tanda kurung bersarang, maka akan diperluas secara berurutan, dimulai dengan eksternal atau internal.

Pada saat yang sama, saat membuka salah satu tanda kurung, penting untuk tidak menyentuh tanda kurung lainnya, cukup tulis ulang sebagaimana adanya.

Contoh. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Saya melanjutkan serangkaian artikel metodologis tentang topik pengajaran. Saatnya mempertimbangkan fitur-fiturnya pekerjaan individu guru matematika dengan siswa kelas 7. Dengan senang hati saya akan membagikan pemikiran saya tentang bentuk-bentuk ketundukan dari salah satu topik utama kursus aljabar di kelas 7 - "kurung buka." Agar tidak mencoba merangkul luasnya, mari fokus padanya sekolah dasar dan menganalisis metodologi tutor dengan perkalian polinomial dengan polinomial. bagaimana guru matematika berlaku di situasi sulit, Kapan murid yang lemah tidak mengerti bentuk klasik penjelasan? Tugas apa yang harus disiapkan untuk siswa kelas tujuh yang kuat? Mari kita pertimbangkan ini dan pertanyaan lainnya.

Tampaknya, apa yang begitu sulit? “Kurung itu mudah,” kata siswa yang baik mana pun. “Ada hukum distributif dan sifat derajat untuk bekerja dengan monomial, algoritma umum untuk sejumlah istilah. Kalikan masing-masing dengan masing-masing dan bawa yang serupa. Namun, tidak semuanya begitu sederhana dalam bekerja dengan tertinggal. Terlepas dari upaya tutor matematika, siswa berhasil membuat kesalahan berkaliber bahkan dalam transformasi yang paling sederhana. Sifat kesalahan sangat mencolok dalam keragamannya: dari penghilangan huruf dan tanda yang kecil, hingga "kesalahan berhenti" yang serius.

Apa yang mencegah siswa melakukan transformasi dengan benar? Mengapa ada kesalahpahaman?

Ada masalah individu banyak sekali dan salah satu hambatan utama untuk asimilasi dan konsolidasi materi adalah kesulitan dalam mengalihkan perhatian secara tepat waktu dan cepat, kesulitan dalam memproses sejumlah besar informasi. Mungkin tampak aneh bagi beberapa orang yang saya bicarakan volume besar, tetapi siswa kelas 7 yang lemah mungkin tidak memiliki cukup daya ingat dan perhatian bahkan untuk empat semester. Koefisien, variabel, derajat (indikator) mengganggu. Siswa bingung urutan operasi, lupa monomial mana yang telah dikalikan dan yang tetap tidak tersentuh, tidak dapat mengingat bagaimana mereka dikalikan, dll.

Pendekatan numerik tutor matematika

Tentu saja, Anda perlu memulai dengan penjelasan tentang logika membangun algoritme itu sendiri. Bagaimana cara melakukannya? Kita perlu mengatur tugas: bagaimana mengubah urutan tindakan dalam ekspresi tanpa mengubah hasilnya? Saya cukup sering memberikan contoh yang menjelaskan pengoperasian aturan tertentu pada angka tertentu. Dan kemudian saya menggantinya dengan huruf. Teknik untuk menggunakan pendekatan numerik akan dijelaskan di bawah ini.

Masalah motivasi.
Pada awal pembelajaran, guru matematika sulit mengumpulkan siswa jika tidak memahami relevansi dari apa yang sedang dipelajari. Dalam kerangka program untuk kelas 6-7, sulit untuk menemukan contoh penggunaan aturan perkalian polinomial. Saya akan menekankan perlunya belajar ubah urutan tindakan dalam ekspresi Fakta bahwa ini membantu memecahkan masalah, siswa harus tahu dari pengalaman menambahkan istilah serupa. Dia juga harus menambahkannya saat menyelesaikan persamaan. Misalnya, dalam 2x+5x+13=34 dia menggunakan 2x+5x=7x itu. Seorang tutor matematika hanya perlu memusatkan perhatian siswa pada hal ini.

Guru matematika sering menyebut teknik buka kurung aturan air mancur.

Gambar ini diingat dengan baik dan harus digunakan. Tapi bagaimana aturan ini terbukti? Ingat bentuk klasik menggunakan transformasi identitas yang jelas:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+iklan+bd

Sulit bagi seorang tutor matematika untuk mengomentari apa pun di sini. Surat-surat itu berbicara sendiri. Ya, dan tidak dibutuhkan oleh siswa kelas 7 yang kuat penjelasan rinci. Namun, apa yang harus dilakukan dengan yang lemah, siapa yang kosong tidak melihat konten apa pun dalam "campuran abjad" ini?

Masalah utama yang menghalangi persepsi pembenaran matematis klasik tentang "air mancur" adalah bentuk penulisan faktor pertama yang tidak biasa. Baik di kelas 5 maupun di kelas 6 siswa tidak harus menarik tanda kurung pertama ke setiap suku di suku kedua. Anak-anak hanya berurusan dengan angka (koefisien), terletak, paling sering, di sebelah kiri tanda kurung, misalnya:

Pada akhir kelas 6, siswa berkembang gambar visual objek - kombinasi tanda (tindakan) tertentu yang terkait dengan tanda kurung. Dan setiap penyimpangan dari pandangan biasa terhadap sesuatu yang baru dapat membingungkan siswa kelas tujuh. Ini adalah gambaran visual dari pasangan “angka + kurung” yang dibawa oleh tutor matematika saat menjelaskan.

Penjelasan berikut dapat ditawarkan. Tutor berpendapat: “Jika ada beberapa nomor di depan braket, misalnya 5, maka kita bisa mengubah arah tindakan dalam ekspresi ini? Tentu. Mari kita lakukan kemudian . Pikirkan apakah hasilnya akan berubah jika alih-alih angka 5 kita memasukkan jumlah 2 + 3 yang diapit dalam tanda kurung? Setiap siswa akan memberi tahu tutor: "Apa bedanya cara menulis: 5 atau 2 + 3." Sempurna. Dapatkan catatan. Guru matematika mengambil jeda sejenak agar siswa secara visual mengingat gambar-gambar benda tersebut. Kemudian dia menarik perhatiannya pada fakta bahwa tanda kurung, seperti angka, "didistribusikan" atau "dilompati" ke setiap istilah. Apa artinya ini? Ini berarti bahwa operasi ini dapat dilakukan tidak hanya dengan angka, tetapi juga dengan tanda kurung. Kami mendapat dua pasang faktor dan . Dengan mereka kebanyakan siswa dapat dengan mudah mengatasinya sendiri dan menuliskan hasilnya kepada tutor. Penting untuk membandingkan pasangan yang dihasilkan dengan isi kurung 2+3 dan 6+4 dan akan menjadi jelas bagaimana mereka membukanya.

Jika perlu, setelah contoh dengan angka, tutor matematika melakukan pembuktian secara harafiah. Ternyata menjadi cakewalk melalui bagian yang sama dari algoritma sebelumnya.

Pembentukan keterampilan membuka kurung

Pembentukan keterampilan mengalikan tanda kurung adalah salah satu dari tonggak sejarah karya seorang tutor matematika dengan tema. Dan bahkan lebih penting daripada tahap menjelaskan logika aturan "air mancur". Mengapa? Pembenaran untuk transformasi akan dilupakan pada hari berikutnya, dan keterampilan, jika dibentuk dan diperbaiki pada waktunya, akan tetap ada. Siswa melakukan operasi secara mekanis, seolah-olah mengekstraksi tabel perkalian dari memori. Inilah yang perlu dicapai. Mengapa? Jika setiap kali siswa membuka tanda kurung, dia akan ingat mengapa dia membukanya dengan cara ini dan bukan sebaliknya, dia akan melupakan masalah yang sedang dia selesaikan. Itulah sebabnya tutor matematika menghabiskan sisa pelajaran untuk mengubah pemahaman menjadi hafalan. Strategi ini sering digunakan dalam topik lain juga.

Bagaimana seorang tutor dapat mengembangkan keterampilan membuka kurung pada siswa? Untuk melakukan ini, seorang siswa kelas 7 harus melakukan serangkaian latihan dalam jumlah yang cukup untuk dikonsolidasikan. Ini menimbulkan masalah lain. Seorang siswa kelas tujuh yang lemah tidak dapat mengatasi peningkatan jumlah transformasi. Bahkan yang kecil. Dan kesalahan terus datang satu demi satu. Apa yang harus dilakukan guru matematika? Pertama, perlu untuk merekomendasikan lukisan panah dari setiap istilah ke masing-masing. Jika siswa sangat lemah dan tidak dapat dengan cepat beralih dari satu jenis pekerjaan ke pekerjaan lain, kehilangan konsentrasi ketika menjalankan perintah sederhana dari guru, maka tutor matematika menggambar sendiri panah ini. Dan tidak sekaligus. Pertama, tutor menghubungkan suku pertama kurung kiri dengan setiap suku kurung kanan dan meminta untuk melakukan perkalian yang sesuai. Baru setelah itu panah bergerak dari suku kedua ke kurung siku yang sama. Dengan kata lain, tutor membagi proses menjadi dua tahap. Lebih baik untuk mempertahankan jeda sementara kecil (5-7 detik) antara operasi pertama dan kedua.

1) Satu set panah harus digambar di atas ekspresi dan set lain di bawahnya.
2) Paling tidak untuk melewati antar baris beberapa sel. Jika tidak, catatannya akan sangat padat, dan panah tidak hanya akan naik ke baris sebelumnya, tetapi juga akan bercampur dengan panah dari latihan berikutnya.

3) Dalam hal mengalikan tanda kurung dalam format 3 dengan 2, panah ditarik dari tanda kurung pendek ke tanda kurung panjang. Kalau tidak, "air mancur" ini bukan dua, tetapi tiga. Implementasi yang ketiga terasa lebih rumit karena kurangnya ruang kosong untuk panah.
4) panah selalu diarahkan dari satu titik. Salah satu siswa saya terus mencoba untuk menempatkan mereka berdampingan dan inilah yang dia lakukan:

Pengaturan seperti itu tidak memungkinkan untuk memilih dan memperbaiki istilah saat ini, yang dengannya siswa bekerja di setiap tahap.

Hasil karya jari tutor

4) Untuk tetap memperhatikan pasangan terpisah istilah dikalikan, tutor matematika menempatkan dua jari pada mereka. Hal ini harus dilakukan sedemikian rupa agar tidak menghalangi pandangan siswa. Untuk siswa yang paling lalai, Anda dapat menggunakan metode "denyut". Tutor matematika membawa jari pertama ke awal panah (ke salah satu istilah) dan memperbaikinya, dan dengan "mengetuk" kedua di ujungnya (pada istilah kedua). Denyut membantu memusatkan perhatian pada istilah yang digunakan siswa untuk mengalikan. Setelah perkalian pertama dengan kurung siku selesai, tutor matematika berkata: “Sekarang kita bekerja dengan suku lain.” Tutor menggerakkan "jari tetap" ke sana, dan "berdenyut" melewati istilah dari braket lain. Denyut bekerja seperti "sinyal belok" di dalam mobil dan memungkinkan Anda untuk mengumpulkan perhatian siswa yang linglung pada operasi yang dia lakukan. Jika anak menulis kecil, maka dua pensil digunakan sebagai pengganti jari.

Pengoptimalan pengulangan

Seperti dalam mempelajari topik lain dalam kursus aljabar, perkalian polinomial dapat dan harus diintegrasikan dengan materi yang dibahas sebelumnya. Untuk melakukan ini, tutor matematika menggunakan tugas-tugas jembatan khusus yang memungkinkan Anda menemukan aplikasi yang dipelajari di berbagai objek matematika. Mereka tidak hanya menghubungkan topik menjadi satu kesatuan, tetapi juga sangat efektif mengatur pengulangan seluruh kursus matematika. Dan semakin banyak jembatan yang dibangun oleh tutor, semakin baik.

Secara tradisional, dalam buku teks aljabar untuk kelas 7, bukaan kurung diintegrasikan dengan solusi persamaan linier. Di akhir daftar angka selalu ada tugas dengan urutan berikut: selesaikan persamaan. Saat membuka tanda kurung, kuadratnya diperkecil dan persamaannya mudah diselesaikan melalui kelas 7. Namun, untuk beberapa alasan, penulis buku teks dengan aman lupa tentang memplot grafik fungsi linier. Untuk memperbaiki kekurangan ini, saya akan menyarankan tutor matematika untuk menyertakan tanda kurung di ekspresi analitik fungsi linier, Sebagai contoh . Pada latihan seperti itu, siswa tidak hanya melatih keterampilan melakukan transformasi identik, tetapi juga mengulangi grafik. Anda dapat meminta untuk menemukan titik persimpangan dua "monster", tentukan pengaturan bersama garis, temukan titik perpotongannya dengan sumbu, dll.

Kolpakov A.N. Guru matematika di Strogino. Moskow