Გაკვეთილი 1
თემა: მე-11 კლასი (გამოცდისთვის მზადება)
გამარტივება ტრიგონომეტრიული გამონათქვამები.
უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა. (2 საათი)
მიზნები:
- ტრიგონომეტრიის ფორმულების გამოყენებასთან და უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნასთან დაკავშირებული სტუდენტების ცოდნისა და უნარების სისტემატიზაცია, განზოგადება.
აღჭურვილობა გაკვეთილისთვის:
გაკვეთილის სტრუქტურა:
- ორგმომენტი
- ლეპტოპებზე ტესტირება. შედეგების განხილვა.
- ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება
- უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა
- დამოუკიდებელი მუშაობა.
- გაკვეთილის შეჯამება. საშინაო დავალების ახსნა.
1. საორგანიზაციო მომენტი. (2 წუთი.)
მასწავლებელი მიესალმება აუდიტორიას, აცხადებს გაკვეთილის თემას, იხსენებს, რომ ადრე იყო დავალებული ტრიგონომეტრიის ფორმულების გამეორება და აყენებს მოსწავლეებს ტესტირებისთვის.
2. ტესტირება. (15წთ + 3წთ დისკუსია)
მიზანია ტრიგონომეტრიული ფორმულების ცოდნისა და მათი გამოყენების უნარის შემოწმება. თითოეულ სტუდენტს აქვს ლეპტოპი თავის მაგიდაზე, რომელშიც არის ტესტის ვარიანტი.
შეიძლება იყოს ნებისმიერი რაოდენობის ვარიანტი, მე მივცემ ერთ-ერთ მათგანს მაგალითს:
I ვარიანტი.
გამოთქმების გამარტივება:
ა) ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები
1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;
ბ) დამატების ფორმულები
3. sin5x - sin3x;
გ) პროდუქტის ჯამად გადაქცევა
6. 2sin8y cos3y;
დ) ორმაგი კუთხის ფორმულები
7.2sin5x cos5x;
ე) ნახევარკუთხის ფორმულები
ვ) სამკუთხა ფორმულები
თ) ხარისხის დაწევა
16. cos 2 (3x/7);
მოსწავლეები ლეპტოპზე თითოეული ფორმულის წინ ხედავენ მათ პასუხებს.
სამუშაო მყისიერად მოწმდება კომპიუტერით. შედეგები ნაჩვენებია დიდი ეკრანისაზოგადოების თვალში.
ასევე, სამუშაოს დასრულების შემდეგ სწორი პასუხები ნაჩვენებია მოსწავლეთა ლეპტოპებზე. თითოეული მოსწავლე ხედავს სად დაუშვა შეცდომა და რა ფორმულები უნდა გაიმეოროს.
3. ტრიგონომეტრიული გამოსახულებების გამარტივება. (25 წთ.)
მიზანია განაცხადის გამეორება, პრაქტიკა და გაძლიერება ძირითადი ფორმულებიტრიგონომეტრია. B7 ამოცანების ამოხსნა გამოცდიდან.
Ზე ამ ეტაპზემიზანშეწონილია კლასი დაიყოს მასწავლებელთან მომუშავე ძლიერი (დამოუკიდებლად მუშაობა შემდგომი გადამოწმებით) და სუსტი მოსწავლეების ჯგუფებად.
დავალება ძლიერი მოსწავლეებისთვის (წინასწარ მომზადებული დაბეჭდილი საფუძველი). ძირითადი აქცენტი კეთდება შემცირების ფორმულებზე და ორმაგი კუთხე USE 2011 წლის მიხედვით.
გამოთქმების გამარტივება (ძლიერი მოსწავლეებისთვის):
პარალელურად მასწავლებელი მუშაობს სუსტ მოსწავლეებთან, მოსწავლეების კარნახით მსჯელობს და ხსნის ამოცანებს ეკრანზე.
გამოთვალეთ:
5) sin (270º - α) + cos (270º + α)
6) 
გამარტივება:
ძლიერი ჯგუფის მუშაობის შედეგების განხილვის ჯერი დადგა.
ეკრანზე ჩნდება პასუხები და ასევე, ვიდეოკამერის საშუალებით, გამოდის 5 სხვადასხვა მოსწავლის ნამუშევარი (თითოეული დავალება).
სუსტი ჯგუფი ხედავს მდგომარეობას და ამოხსნის მეთოდს. არის დისკუსია და ანალიზი. გამოყენება ტექნიკური საშუალებებიეს ხდება სწრაფად.
4. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა. (30 წთ.)
მიზანია უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის გამეორება, სისტემატიზაცია და განზოგადება, მათი ფესვების ჩაწერა. B3 პრობლემის გადაწყვეტა.
ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლება, როგორც არ უნდა ამოხსნათ იგი, მივყავართ უმარტივესამდე.
დავალების შესრულებისას მოსწავლეებმა ყურადღება უნდა მიაქციონ განსაკუთრებული შემთხვევების განტოლებების ფესვების დაწერას და ზოგადი ხედიხოლო ბოლო განტოლებაში ფესვების შერჩევაზე.
განტოლებების ამოხსნა:
ჩაწერეთ პასუხის ყველაზე პატარა დადებითი ფესვი.
5. დამოუკიდებელი მუშაობა (10 წთ.)
მიზანია შეძენილი უნარების გამოცდა, პრობლემების, შეცდომების და მათი აღმოფხვრის გზების გამოვლენა.
სტუდენტის არჩევანით სთავაზობენ მრავალფეროვან სამუშაოს.
ვარიანტი "3"
1) იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 
2) გაამარტივე გამოთქმა 1 - sin 2 3α - cos 2 3α
3) ამოხსენით განტოლება 
ვარიანტი "4"
1) იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა
2) ამოხსენით განტოლება 
ჩაწერეთ თქვენი პასუხის ყველაზე პატარა დადებითი ფესვი.
ვარიანტი "5"
1) იპოვეთ tgα თუ 
2) იპოვეთ განტოლების ფესვი 
ჩაწერეთ თქვენი პასუხის ყველაზე პატარა დადებითი ფესვი.
6. გაკვეთილის შეჯამება (5 წთ.)
მასწავლებელი აჯამებს იმას, რაც განმეორდა და გააერთიანა გაკვეთილზე ტრიგონომეტრიული ფორმულები, უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.
საშინაო დავალება ენიჭება (წინასწარ მომზადებულია ნაბეჭდი საფუძველზე) მომდევნო გაკვეთილზე ადგილზე შემოწმებით.
განტოლებების ამოხსნა:
9) 
10) 
მიეცით თქვენი პასუხი, როგორც ყველაზე პატარა დადებითი ფესვი.
გაკვეთილი 2
თემა: მე-11 კლასი (გამოცდისთვის მზადება)
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები. ფესვის შერჩევა. (2 საათი)
მიზნები:
- ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია სხვადასხვა ტიპის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის შესახებ.
- ხელი შეუწყოს განვითარებას მათემატიკური აზროვნებამოსწავლეებს, დაკვირვების, შედარების, განზოგადების, კლასიფიკაციის უნარი.
- წაახალისეთ მოსწავლეები, გადალახონ სირთულეები პროცესში გონებრივი აქტივობათვითკონტროლი, საკუთარი საქმიანობის თვითანალიზი.
აღჭურვილობა გაკვეთილისთვის: KRMu, ლეპტოპები თითოეული სტუდენტისთვის.
გაკვეთილის სტრუქტურა:
- ორგმომენტი
- დისკუსია დ/ს და სამოთ. ბოლო გაკვეთილის ნამუშევარი
- ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების გამეორება.
- ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა
- ფესვების შერჩევა ტრიგონომეტრიულ განტოლებებში.
- დამოუკიდებელი მუშაობა.
- გაკვეთილის შეჯამება. Საშინაო დავალება.
1. საორგანიზაციო მომენტი (2 წთ.)
მასწავლებელი მიესალმება აუდიტორიას, აცხადებს გაკვეთილის თემას და სამუშაო გეგმას.
2. ა) გარჩევა საშინაო დავალება(5 წუთი.)
მიზანი არის შესრულების შემოწმება. ვიდეოკამერის დახმარებით ერთი ნამუშევარი გამოსახულია ეკრანზე, დანარჩენი შერჩევით გროვდება მასწავლებლის შესამოწმებლად.
ბ) პარსინგი დამოუკიდებელი მუშაობა(3 წთ.)
მიზანია შეცდომების დალაგება, მათი დაძლევის გზების მითითება.
ეკრანზე არის პასუხები და გადაწყვეტილებები, მოსწავლეებმა წინასწარ გამოაქვეყნეს ნამუშევარი. ანალიზი სწრაფად მიდის.
3. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების გამეორება (5 წთ.)
მიზანია გავიხსენოთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.
ჰკითხეთ მოსწავლეებს ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის რა მეთოდები იციან. ხაზგასმით აღვნიშნო, რომ არსებობს ე.წ. ძირითადი (ხშირად გამოყენებული) მეთოდები:
- ცვლადი ჩანაცვლება,
- ფაქტორიზაცია,
- ერთგვაროვანი განტოლებები,
და ჭამე გამოყენებული მეთოდები:
- ჯამის ნამრავლად და ნამრავლის ჯამად გადაქცევის ფორმულების მიხედვით,
- ფორმულები რეიტინგის დაქვეითება,
- უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება
- შესავალი დამხმარე კუთხე,
- გამრავლება ზოგიერთზე ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.
ასევე უნდა გვახსოვდეს, რომ ერთი განტოლება შეიძლება ამოხსნას სხვადასხვა გზით.
4. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა (30 წთ.)
მიზანია ამ თემაზე ცოდნისა და უნარების განზოგადება და კონსოლიდაცია, USE-დან C1 ამოხსნისთვის მომზადება.
მიზანშეწონილად მიმაჩნია მოსწავლეებთან ერთად თითოეული მეთოდის განტოლებების ამოხსნა.
მოსწავლე კარნახობს გამოსავალს, მასწავლებელი წერს ტაბლეტზე, მთელი პროცესი ნაჩვენებია ეკრანზე. ეს საშუალებას მოგცემთ სწრაფად და ეფექტურად აღადგინოთ ადრე დაფარული მასალა თქვენს მეხსიერებაში.
განტოლებების ამოხსნა:
1) ცვლადის ცვლილება 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0
2) ფაქტორიზაცია 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0
3) ერთგვაროვანი განტოლებები sin2x + 3cos2x - 2sin2x = 0
4) ჯამის გადაქცევა ნამრავლში cos5x + cos7x = cos(π + 6x)
5) პროდუქტის გარდაქმნა ჯამად 2sinx sin2x + cos3x = 0
6) ცოდვის ხარისხის დაქვეითება2x - ცოდვა 2 2x + ცოდვა 2 3x \u003d 0.5
7) უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება sinx + 5cosx + 5 = 0.
ამ განტოლების ამოხსნისას უნდა აღინიშნოს, რომ გამოყენება ამ მეთოდითიწვევს განმარტების დომენის შევიწროებას, ვინაიდან სინუსი და კოსინუსი ჩანაცვლებულია tg(x/2)-ით. ამიტომ, სანამ პასუხს დაწერთ, უნდა შეამოწმოთ, არის თუ არა რიცხვები π + 2πn, n Z სიმრავლიდან ამ განტოლების ცხენები.
8) დამხმარე კუთხის შეყვანა √3sinx + cosx - √2 = 0
9) გამრავლება რამდენიმე ტრიგონომეტრიულზე cosx ფუნქცია cos2x cos4x = 1/8.
5. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვების შერჩევა (20 წთ.)
ვინაიდან სასტიკი კონკურენციის პირობებში, უნივერსიტეტებში შესვლისას, გამოცდის ერთი პირველი ნაწილის ამოხსნა საკმარისი არ არის, სტუდენტების უმეტესობამ ყურადღება უნდა მიაქციოს მეორე ნაწილის (C1, C2, C3) ამოცანებს.
ამიტომ, გაკვეთილის ამ ეტაპის მიზანია ადრე შესწავლილი მასალის გახსენება, C1 პრობლემის გადასაჭრელად მომზადება USE-დან 2011 წელს.
არსებობს ტრიგონომეტრიული განტოლებები, რომელშიც პასუხის ამოღებისას აუცილებელია ფესვების შერჩევა. ეს გამოწვეულია გარკვეული შეზღუდვით, მაგალითად: წილადის მნიშვნელი არ არის ნული, გამოხატულება ფესვის ქვეშ ხარისხიც კიარის არაუარყოფითი, ლოგარითმის ქვეშ გამოხატვა დადებითია და ა.შ.
ასეთი განტოლებები განტოლებად ითვლება გაზრდილი სირთულედა ში გამოცდის ვერსიაარიან მეორე ნაწილში, კერძოდ C1.
ამოხსენით განტოლება:
წილადი ნულის ტოლია თუ მაშინ 
მეშვეობით ერთეული წრეჩვენ ვირჩევთ ფესვებს (იხ. სურათი 1)
სურათი 1.
ვიღებთ x = π + 2πn, n Z
პასუხი: π + 2πn, n Z
ეკრანზე ფესვების შერჩევა ნაჩვენებია წრეზე ფერადი გამოსახულებით.
ნამრავლი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია და რკალი, ამავე დროს, არ კარგავს თავის მნიშვნელობას. მერე
ერთეული წრის გამოყენებით აირჩიეთ ფესვები (იხ. სურათი 2)
ვიდეოგაკვეთილი „ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება“ შექმნილია მოსწავლეებში ამოხსნის უნარების ჩამოყალიბებისთვის. ტრიგონომეტრიული პრობლემებიძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით. ვიდეოგაკვეთილზე განიხილება ტრიგონომეტრიული იდენტობების ტიპები, მათი გამოყენებით ამოცანების ამოხსნის მაგალითები. მიმართვა ვიზუალური მასალამასწავლებელს უადვილებს გაკვეთილის მიზნების მიღწევას. მასალის ნათელი წარმოდგენა ხელს უწყობს დამახსოვრებას მნიშვნელოვანი პუნქტები. ანიმაციური ეფექტებისა და ხმოვანი მოქმედების გამოყენება საშუალებას გაძლევთ მთლიანად შეცვალოთ მასწავლებელი მასალის ახსნის ეტაპზე. ამრიგად, მათემატიკის გაკვეთილებზე ამ თვალსაჩინოების გამოყენებით მასწავლებელს შეუძლია გაზარდოს სწავლების ეფექტურობა.
ვიდეოგაკვეთილის დასაწყისში ცხადდება მისი თემა. შემდეგ გავიხსენოთ ადრე შესწავლილი ტრიგონომეტრიული იდენტობები. ეკრანზე ნაჩვენებია ტოლობები sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, სადაც t≠π/2+πk kϵZ, ctg t=cos t/sin t, ჭეშმარიტი t≠πk, სადაც kϵZ, tan t · ctg t=1, t≠πk/2-ზე, სადაც kϵZ, რომელსაც ეწოდება ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები. აღნიშნულია, რომ ეს იდენტობები ხშირად გამოიყენება პრობლემების გადასაჭრელად, სადაც აუცილებელია თანასწორობის დამტკიცება ან გამოხატვის გამარტივება.
გარდა ამისა, განხილულია ამ იდენტობების გამოყენების მაგალითები პრობლემების გადაჭრაში. პირველ რიგში, შემოთავაზებულია განიხილოს გამონათქვამების გამარტივების პრობლემების გადაჭრა. მაგალით 1-ში აუცილებელია გამოთქმის გამარტივება cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t. მაგალითის ამოსახსნელად ჯერ ჩაწერეთ ფრჩხილებში საერთო ფაქტორი cos2t. ფრჩხილებში ასეთი ტრანსფორმაციის შედეგად მიიღება გამოთქმა 1-cos 2 t, რომლის მნიშვნელობა ტრიგონომეტრიის ძირითადი იდენტობიდან უდრის sin 2 t. გამოხატვის ტრანსფორმაციის შემდეგ აშკარაა ფრჩხილებიდან კიდევ ერთი საერთო ფაქტორის sin 2 t გამოყვანის შესაძლებლობა, რის შემდეგაც გამოხატულება იღებს sin 2 t ფორმას (sin 2 t + cos 2 t). იგივე საბაზისო იდენტობიდან გამოვაქვთ ფრჩხილებში გამოსახულების მნიშვნელობა 1-ის ტოლი. გამარტივების შედეგად ვიღებთ cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.
მაგალით 2-ში გამოთქმა cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) ასევე საჭიროებს გამარტივებას. ვინაიდან გამოხატვის ღირებულება არის ორივე წილადის მრიცხველებში, ის შეიძლება გამოიყოს როგორც საერთო ფაქტორი. შემდეგ ფრჩხილებში მოთავსებული წილადები მცირდება საერთო მნიშვნელიგამრავლება (1- სინტი)(1+ სინტი). მსახიობის შემდეგ მსგავსი ტერმინები 2 რჩება მრიცხველში, ხოლო 1 - ცოდვა 2 ტ მნიშვნელში. ეკრანის მარჯვენა მხარეს არის ძირითადი ტრიგონომეტრიული პირადობის ცოდვა 2 t+cos 2 t=1. მისი გამოყენებით ვპოულობთ წილადის cos 2 t მნიშვნელს. წილადის შემცირების შემდეგ ვიღებთ გამოთქმის გამარტივებულ ფორმას cost / (1- sint) + cost / (1 + sint) \u003d 2 / cost.
შემდეგ განვიხილავთ იდენტობების დამადასტურებელ მაგალითებს, რომლებშიც გამოყენებულია მიღებული ცოდნა ტრიგონომეტრიის ძირითადი იდენტობების შესახებ. მე-3 მაგალითში აუცილებელია იდენტურობის დადასტურება (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. ეკრანის მარჯვენა მხარეს გამოსახულია სამი იდენტობა, რომელიც დაგჭირდებათ მტკიცებულებისთვის - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t და tg t=sin t/cos t შეზღუდვებით. იდენტურობის დასადასტურებლად ჯერ იხსნება ფრჩხილები, რის შემდეგაც იქმნება პროდუქტი, რომელიც ასახავს ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობის გამოხატვას tg t·ctg t=1. შემდეგ, კოტანგენტის განმარტებიდან იდენტურობის მიხედვით, გარდაიქმნება ctg 2 t. გარდაქმნების შედეგად მიიღება გამოთქმა 1-cos 2 t. ძირითადი იდენტობის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ გამოხატვის მნიშვნელობას. ამრიგად, დადასტურებულია, რომ (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.
მე-4 მაგალითში თქვენ უნდა იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა tg 2 t+ctg 2 t, თუ tg t+ctg t=6. გამოთქმის შესაფასებლად, ჯერ კვადრატში იკვრება განტოლების მარჯვენა და მარცხენა მხარეები (tg t+ctg t) 2 =6 2. გამრავლების შემოკლებული ფორმულა ნაჩვენებია ეკრანის მარჯვენა მხარეს. გამონათქვამის მარცხენა მხარეს ფრჩხილების გახსნის შემდეგ ყალიბდება ჯამი tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, რომლის გარდაქმნისთვის შეიძლება გამოვიყენოთ ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული იდენტობა tg t ctg t=1. რომლის ფორმა იხსენებს ეკრანის მარჯვენა მხარეს. გარდაქმნის შემდეგ მიიღება ტოლობა tg 2 t+ctg 2 t=34. ტოლობის მარცხენა მხარე ემთხვევა ამოცანის პირობას, ამიტომ პასუხი არის 34. პრობლემა მოგვარებულია.
ვიდეო გაკვეთილი "ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება" რეკომენდებულია ტრადიციულზე გამოსაყენებლად სკოლის გაკვეთილიმათემატიკა. ასევე, მასალა გამოადგება მასწავლებელს, ახორციელებს დისტანციური სწავლება. ტრიგონომეტრიული ამოცანების ამოხსნის უნარის ჩამოყალიბების მიზნით.
ტექსტის ინტერპრეტაცია:
„ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება“.
Თანასწორობა
1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (სინუს კვადრატში te პლუს კოსინუს კვადრატში te უდრის ერთს)
2) tgt =, t ≠ + πk, kϵZ (te-ის ტანგენსი ტოლია te-ის სინუსს te-ს კოსინუსთან შეფარდებას, როდესაც te არ არის pi-ს ტოლი ორი პლუს pi ka, ka ეკუთვნის zet-ს)
3) ctgt = , t ≠ πk, kϵZ-ზე (te-ს კოტანგენსი უდრის te-ის კოსინუსს te-ს სინუსთან შეფარდებას, როცა te არ არის ტოლი ka-ს მწვერვალთან, რომელიც ეკუთვნის z-ს).
4) tgt ∙ ctgt = 1 t ≠ , kϵZ
ეწოდება ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები.
ხშირად ისინი გამოიყენება ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივებისა და დასამტკიცებლად.
განვიხილოთ ამ ფორმულების გამოყენების მაგალითები ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივებისას.
მაგალითი 1. გაამარტივეთ გამოთქმა: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (გამოხატვა კოსინუსი კვადრატში te მინუს ტე-ს მეოთხე ხარისხის კოსინუსი პლუს ტე-ს მეოთხე ხარისხის სინუსი).
გადაწყვეტილება. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 ტ) = ცოდვა 2 ტ 1= ცოდვა 2 ტ
(ვიღებთ საერთო ფაქტორს კოსინუს კვადრატს te, ფრჩხილებში ვიღებთ განსხვავებას ერთიანობასა და ტე-ს კვადრატს შორის, რომელიც უდრის პირველი იდენტობის სინუს ტე-ს კვადრატს. ვიღებთ მეოთხეს სინუსების ჯამს. ტე ხარისხი ნამრავლის კოსინუსის კვადრატი te და სინუს კვადრატი te. საერთო ფაქტორი სინუს კვადრატი te ამოიღება ფრჩხილების გარეთ, ფრჩხილებში ვიღებთ კოსინუსის და სინუსის კვადრატების ჯამს, რომელიც, ძირითადის მიხედვით. ტრიგონომეტრიული იდენტურობაერთის ტოლი. შედეგად ვიღებთ ტე-ის სინუს კვადრატს).
მაგალითი 2. გაამარტივეთ გამოთქმა: + .
(გამოხატვა არის ორი წილადის ჯამი პირველი კოსინუსის te მრიცხველში მნიშვნელში ერთი მინუს sine te, მეორე კოსინუსის მრიცხველში te მეორეს მნიშვნელში პლუს sine te).
(მოდით, ავიღოთ საერთო ფაქტორი კოსინუსი te ფრჩხილებიდან და ფრჩხილებში მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელთან, რომელიც არის ერთი მინუს te-ს ნამრავლი ერთ პლუს sine te-ზე.
მრიცხველში ვიღებთ: ერთს პლუს სინ ტე პლუს ერთი მინუს სინ ტე, ვაძლევთ მსგავსებს, მრიცხველი უდრის ორს მსგავსების მოყვანის შემდეგ.
მნიშვნელში შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა (კვადრატების სხვაობა) და მიიღოთ განსხვავება ერთეულსა და კვადრატს შორის, რომელიც, ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით
უდრის კოსინუს ტე-ს კვადრატს. ტე-ით შემცირების შემდეგ მივიღებთ საბოლოო პასუხს: ორი გაყოფილი კოსინუს ტე-ზე).
განვიხილოთ ამ ფორმულების გამოყენების მაგალითები ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების მტკიცებულებაში.
მაგალითი 3. დაადასტურეთ იდენტურობა (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (ტე-ს ტანგენსის კვადრატებსა და ტე-ს სინუსსა და კოტანგენსის კვადრატს შორის სხვაობის ნამრავლი ტე უდრის ტე-ის სინუს კვადრატს).
მტკიცებულება.
მოდით გარდავქმნათ ტოლობის მარცხენა მხარე:
(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 ტ = ცოდვა 2 ტ
(გახსნათ ფრჩხილები, ადრე მიღებული მიმართებიდან ცნობილია, რომ ტე-ს ტანგენსის კვადრატების ნამრავლი ტე-ის კოტანგენსით უდრის ერთს. შეგახსენებთ, რომ ტე-ს კოტანგენსი. თანაფარდობის ტოლიაკოსინუსი ტე სინუს ტე-სთან, ამიტომ კოტანგენსის კვადრატი არის ტე-ს კვადრატის შეფარდება სინუს ტე-ს კვადრატთან.
ტე-ს სინუს კვადრატით შემცირების შემდეგ ვიღებთ განსხვავებას ერთიანობასა და ტე-ს კვადრატის კოსინუსს შორის, რომელიც უდრის ტე-ს კვადრატის სინუსს). ქ.ე.დ.
მაგალითი 4. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა tg 2 t + ctg 2 t, თუ tgt + ctgt = 6.
(ტე-სა და ტე-ს ტანგენსის კვადრატების ჯამი, თუ ტანგენსის და კოტანგენსის ჯამი ექვსია).
გადაწყვეტილება. (tgt + ctgt) 2 = 6 2
tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36
tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36
tg 2 t + ctg 2 t = 36-2
tg 2 t + ctg 2 t = 34
მოდით, კვადრატში გავამრავლოთ თავდაპირველი თანასწორობის ორივე ნაწილი:
(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (te-ს ტანგენსის და ტე-ს კოტანგენსის ჯამის კვადრატი არის ექვსი კვადრატი). გავიხსენოთ გამრავლების შემოკლებული ფორმულა: ორი სიდიდის ჯამის კვადრატი უდრის კვადრატსპირველს პლუს ორჯერ ნამრავლი პირველისა და მეორეს პლუს მეორის კვადრატი. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 მივიღებთ tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .
ვინაიდან te-სა და te-ს კოტანგენსების ნამრავლი უდრის ერთს, მაშინ tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (te-ს ტანგენსის კვადრატების ჯამი და te-ს და ორი კოტანგენსი არის ოცდათექვსმეტი),
თქვენი თხოვნით.
6. გამოთქმის გამარტივება:
როგორც კუთხეების თანაფუნქციები, რომლებიც ავსებენ ერთმანეთს 90°-მდე, ტოლია, შემდეგ წილადის მრიცხველში sin50°-ს ვცვლით cos40°-ით და გამოვიყენებთ მრიცხველს სინუსების ფორმულას. ორმაგი არგუმენტი. მრიცხველში ვიღებთ 5sin80°-ს. შევცვალოთ sin80° cos10°-ით, რაც მოგვცემს წილადის შემცირების საშუალებას.
გამოყენებული ფორმულები: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.
7. AT არითმეტიკული პროგრესია, რომლის სხვაობა არის 12, ხოლო მერვე წევრი არის 54, იპოვეთ უარყოფითი წევრთა რაოდენობა.
გადაწყვეტის გეგმა. მოდით გავაკეთოთ ფორმულა საერთო წევრიმიეცით პროგრესი და გაარკვიეთ n-ის რა მნიშვნელობებისთვის მიიღება უარყოფითი ტერმინები. ამისათვის ჩვენ უნდა ვიპოვოთ პროგრესის პირველი ტერმინი.
გვაქვს d=12, a 8 =54. ფორმულის მიხედვით a n \u003d a 1 + (n-1) ∙ d ჩვენ ვწერთ:
a 8 =a 1 +7d. შეცვალეთ არსებული მონაცემები. 54=a 1 +7∙12;
a 1 \u003d -30. ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა ფორმულაში a n =a 1 +(n-1)∙d
a n =-30+(n-1)∙12 ან n =-30+12n-12. გამარტივება: a n \u003d 12n-42.
ჩვენ ვეძებთ უარყოფითი ტერმინების რაოდენობას, ამიტომ უნდა გადავჭრათ უტოლობა:
a n<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;
12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.
8. იპოვეთ შემდეგი ფუნქციის დიაპაზონები: y=x-|x|.
მოდით გავაფართოვოთ მოდულური ფრჩხილები. თუ x≥0, მაშინ y=x-x ⇒ y=0. გრაფიკი იქნება x-ღერძი საწყისის მარჯვნივ. თუ x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].
9. იპოვეთ მარჯვენა წრიული კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, თუ მისი გენერაცია არის 18 სმ, ხოლო ფუძის ფართობი 36 სმ 2.
მოცემულია კონუსი ღერძული განყოფილებით MAB. გენერირება BM=18, S მთავარი. =36π. კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით: S მხარე. \u003d πRl, სადაც l არის გენერატორი და უდრის 18 სმ პირობით, R არის ფუძის რადიუსი, ჩვენ ვპოულობთ ფორმულით: S cr. = πR 2. ჩვენ გვაქვს S კრ. = S მთავარი. = 36π. აქედან გამომდინარე πR 2 =36π ⇒ R=6.
შემდეგ S მხარე. =π∙6∙18 ⇒ S მხარე. \u003d 108π სმ 2.
12. ჩვენ ვხსნით ლოგარითმულ განტოლებას. წილადი 1-ის ტოლია, თუ მისი მრიცხველი ტოლია მნიშვნელის, ე.ი.
lg(x 2 +5x+4)=2lgx lgx≠0-ზე. ჩვენ გამოვიყენებთ რიცხვის ხარისხის თვისებას ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ტოლობის მარჯვენა მხარეს: lg (x 2 +5x+4) \u003d lgx 2, ეს ათობითი ლოგარითმები ტოლია, ამიტომ რიცხვები ნიშნების ქვეშ ლოგარითმები ასევე ტოლია, ამიტომ:
x 2 +5x+4=x 2, შესაბამისად 5x=-4; ვიღებთ x=-0.8. ამასთან, ამ მნიშვნელობის მიღება შეუძლებელია, რადგან მხოლოდ დადებითი რიცხვები შეიძლება იყოს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, ამიტომ ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. Შენიშვნა. არ არის აუცილებელი ODZ-ის პოვნა ამოხსნის დასაწყისში (დაიჭირეთ დრო!), სჯობს, ბოლოს გააკეთოთ შემოწმება (როგორც ახლა ვართ).
13. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (x o - y o), სადაც (x o; y o) არის განტოლებათა სისტემის ამონახსნი:
14. ამოხსენით განტოლება:
თუ გაყოფთ 2 და წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გაიგებთ ორმაგი კუთხის ტანგენსის ფორმულას. თქვენ მიიღებთ მარტივ განტოლებას: tg4x=1.
15. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული: f(x)=(6x 2 -4x) 5 .
ჩვენ გვეძლევა რთული ფუნქცია. ერთი სიტყვით განვსაზღვრავთ - ეს არის ხარისხი. მაშასადამე, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის მიხედვით, ვიპოვით ხარისხის წარმოებულს და ვამრავლებთ მას ამ ხარისხის ფუძის წარმოებულზე ფორმულის მიხედვით:
(u n)' = n ∙ u n-1 ∙ შენ.
f ‘(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5 (6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)=5(6x2-4x)4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .
16. საჭიროა იპოვოთ f '(1), თუ ფუნქცია
17. ტოლგვერდა სამკუთხედში ყველა ბისექტრის ჯამი არის 33√3 სმ. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი.
ტოლგვერდა სამკუთხედის ბისექტრი არის შუალედიც და სიმაღლეც. ამრიგად, ამ სამკუთხედის BD სიმაღლის სიგრძე არის
ვიპოვოთ AB გვერდი მართკუთხა Δ ABD-დან. ვინაიდან sin60° = BD : AB, შემდეგ AB = BD : sin60°.
18. წრე იწერება ტოლგვერდა სამკუთხედში, რომლის სიმაღლეა 12 სმ. იპოვეთ წრის ფართობი.
წრე (O; OD) ჩაწერილია ტოლგვერდა Δ ABC-ში. სიმაღლე BD ასევე არის ბისექტორი და მედიანა, ხოლო წრის ცენტრი, წერტილი O, დევს BD-ზე.
O - სიმაღლეების, ბისექტრებისა და მედიანების გადაკვეთის წერტილი ყოფს მედიანურ BD-ს 2:1 თანაფარდობით, ზემოდან დათვლა. ამიტომ, OD=(1/3)BD=12:3=4. წრის რადიუსი R=OD=4 სმ წრის ფართობი S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π სმ 2.
19. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გვერდითი კიდეებია 9სმ, ფუძის გვერდი 8სმ.იპოვეთ პირამიდის სიმაღლე.
რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის საფუძველია კვადრატი ABCD, MO სიმაღლის ფუძე არის კვადრატის ცენტრი.
20. გამარტივება:
მრიცხველში სხვაობის კვადრატი შემცირებულია.
მნიშვნელს ვანაწილებთ ჯამური დაჯგუფების მეთოდის გამოყენებით.
21. გამოთვალეთ:
იმისათვის, რომ შეძლოთ არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ამოღება, ფესვის გამოხატულება უნდა იყოს სრული კვადრატი. ჩვენ წარმოვადგენთ გამოხატულებას ფესვის ნიშნის ქვეშ, როგორც ორი გამონათქვამის განსხვავების კვადრატი ფორმულის მიხედვით:
a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2, თუ დავუშვებთ, რომ a 2 +b 2 =10.
22. ამოხსენით უტოლობა:
ჩვენ წარმოვადგენთ უტოლობის მარცხენა მხარეს, როგორც პროდუქტი. ორი კუთხის სინუსების ჯამი ტოლია ამ კუთხის ნახევრად ჯამის სინუსის ნამრავლისა და ამ კუთხეების ნახევრად განსხვავების კოსინუსის ნამრავლის:
ჩვენ ვიღებთ:
მოდი ეს უტოლობა გრაფიკულად გადავჭრათ. ვირჩევთ გრაფიკის y=cost წერტილებს, რომლებიც დგანან სწორ ხაზზე და განვსაზღვრავთ ამ წერტილების აბსცისებს (დაჩრდილვით).
23. იპოვეთ ყველა ანტიდერივატი ფუნქციისთვის: h(x)=cos 2 x.
ჩვენ გარდაქმნით ამ ფუნქციას მისი ხარისხის შემცირებით ფორმულის გამოყენებით:
1+cos2α=2cos2α. ჩვენ ვიღებთ ფუნქციას:
24. იპოვნეთ ვექტორული კოორდინატები
25. ვარსკვლავის ნაცვლად ჩადეთ არითმეტიკული ნიშნები ისე, რომ სწორი თანასწორობა მიიღება: (3 * 3) * (4 * 4) \u003d 31 - 6.
ჩვენ ვკამათობთ: უნდა მიიღოთ ნომერი 25 (31 - 6 \u003d 25). როგორ მივიღოთ ეს რიცხვი ორი „სამიდან“ და ორი „ოთხიდან“ მოქმედების ნიშნების გამოყენებით?
რა თქმა უნდა არის: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 \u003d 9 + 16 \u003d 25. პასუხი E).
