În cele din urmă, am pus mâna pe un subiect amplu și mult așteptat geometrie analitică . În primul rând, puțin despre această secțiune de matematică superioară... Cu siguranță că acum ți-ai amintit cursul de geometrie școlară cu numeroase teoreme, dovezile lor, desene etc. Ce să ascunzi, un subiect neiubit și adesea obscur pentru o proporție semnificativă de studenți. Geometria analitică, destul de ciudat, poate părea mai interesantă și mai accesibilă. Ce înseamnă adjectivul „analitic”? Imediat îmi vin în minte două expresii matematice ștampilate: „metoda grafică de soluție” și „ metoda analitica soluții”. Metoda grafică , desigur, este asociat cu construcția de grafice, desene. Analitic la fel metodă presupune rezolvarea problemelor predominant prin operații algebrice. În acest sens, algoritmul pentru rezolvarea aproape a tuturor problemelor de geometrie analitică este simplu și transparent, este adesea destul de precis de aplicat formulele necesare- și răspunsul este gata! Nu, desigur, nu se va lipsi deloc de desene, în plus, pentru o mai bună înțelegere a materialului, voi încerca să le aduc peste nevoie.

Cursul deschis de lecții de geometrie nu pretinde a fi complet teoretic, este axat pe rezolvarea problemelor practice. Voi include în prelegerile mele doar ceea ce, din punctul meu de vedere, este important în în termeni practici. Dacă ai nevoie de mai mult ajutor deplin pe orice subsecțiune, recomand complet următoarele literatura disponibilă:

1) Un lucru care, fără glumă, este familiar mai multor generații: Manual școlar de geometrie, autorii - L.S. Atanasyan și Compania. Acest umeraș pentru vestiar a școlii a rezistat deja la 20 (!) reeditări, ceea ce, desigur, nu este limita.

2) Geometrie în 2 volume. Autorii L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Aceasta este literatura pentru liceu, vei avea nevoie primul volum. Sarcinile care apar rar pot cădea în afara câmpului meu vizual și tutorial va oferi un ajutor neprețuit.

Ambele cărți pot fi descărcate gratuit online. De asemenea, puteți folosi arhiva mea cu soluții gata făcute, care poate fi găsit pe pagină Descărcați exemple de matematică superioară.

Dintre instrumente, ofer din nou propria mea dezvoltare - pachete software pe geometria analitică, care va simplifica foarte mult viața și va economisi mult timp.

Se presupune că cititorul este familiarizat cu elementele de bază concepte geometriceși figuri: punct, dreaptă, plan, triunghi, paralelogram, paralelipiped, cub etc. Este indicat să vă amintiți unele teoreme, cel puțin teorema lui Pitagora, salut repetitoare)

Și acum vom lua în considerare secvențial: conceptul de vector, acțiuni cu vectori, coordonate vectoriale. Mai departe recomand lectura cel mai important articol Produsul punctual al vectorilor, precum și Vector și produsul mixt al vectorilor. Sarcina locală nu va fi de prisos - Divizarea segmentului în acest sens. Pe baza informațiilor de mai sus, puteți ecuația unei drepte într-un plan cu cele mai simple exemple de soluții, ceea ce va permite învață cum să rezolvi probleme de geometrie. Următoarele articole sunt de asemenea utile: Ecuația unui plan în spațiu, Ecuațiile unei linii drepte în spațiu, Probleme de bază pe linie și plan , alte secțiuni de geometrie analitică. Desigur, sarcinile standard vor fi luate în considerare pe parcurs.

Conceptul de vector. vector liber

Mai întâi, să repetăm ​​definiția școlară a unui vector. Vector numit regizat un segment pentru care sunt indicate începutul și sfârșitul:

LA acest cazînceputul segmentului este punctul , sfârșitul segmentului este punctul . Vectorul însuși este notat cu . Direcţie este esențial, dacă rearanjați săgeata la celălalt capăt al segmentului, obțineți un vector și acesta este deja vector complet diferit. Este convenabil să identificăm conceptul de vector cu mișcare corpul fizic: de acord, sa intri pe usile institutului sau sa iesi pe usile institutului sunt cu totul alte lucruri.

Este convenabil să luați în considerare punctele individuale ale unui plan, spațiul așa-numitul vector zero. Un astfel de vector are același capăt și același început.

!!! Notă: Aici și mai jos, puteți presupune că vectorii se află în același plan sau puteți presupune că sunt localizați în spațiu - esența materialului prezentat este valabilă atât pentru plan, cât și pentru spațiu.

Denumiri: Mulți au atras imediat atenția asupra unui băț fără săgeată în denumire și au spus că au pus și o săgeată în vârf! Așa e, poți scrie cu o săgeată: , dar admisibil și înregistrare pe care o voi folosi mai târziu. De ce? Aparent, un astfel de obicei s-a dezvoltat din considerente practice, împușcătorii mei de la școală și universitate s-au dovedit a fi prea diverși și plini. LA literatură educațională uneori nu se deranjează deloc cu cuneiforme, ci evidențiază literele cu aldine: , implicând că este un vector.

Acesta a fost stilul și acum despre modalitățile de scriere a vectorilor:

1) Vectorii se pot scrie cu două litere mari latine:
etc. În timp ce prima literă neapărat indică punctul de început al vectorului, iar a doua literă indică punctul final al vectorului.

2) Vectorii se scriu și cu litere mici latine:
În special, vectorul nostru poate fi re-notat pentru concizie prin mic Literă latină.

Lungime sau modul vectorul diferit de zero se numește lungimea segmentului. Lungimea vectorului nul este zero. Logic.

Lungimea unui vector se notează prin semnul modulo: ,

Cum să găsim lungimea unui vector, vom învăța (sau vom repeta, pentru cineva cum) puțin mai târziu.

Era o informație elementară despre vector, familiară tuturor școlarilor. În geometria analitică, așa-numita vector liber.

Dacă este destul de simplu - vectorul poate fi desenat din orice punct:

Suntem obișnuiți să numim astfel de vectori egali (definiția vectorilor egali va fi dată mai jos), dar pur cu punct matematic viziunea este ACEȘI VECTOR sau vector liber. De ce gratuit? Pentru că în cursul rezolvării problemelor, puteți „atașa” unul sau altul vector la ORICE punct al planului sau spațiului de care aveți nevoie. Aceasta este o proprietate foarte cool! Imaginați-vă un vector de lungime și direcție arbitrară - poate fi „clonat” de un număr infinit de ori și în orice punct al spațiului, de fapt, există ORIUNDE. Există un astfel de proverb al elevului: Fiecare lector în f ** u în vector. La urma urmei, nu doar o rimă plină de duh, totul este corect din punct de vedere matematic - un vector poate fi atașat și acolo. Dar nu vă grăbiți să vă bucurați, elevii înșiși suferă mai des =)

Asa de, vector liber- Acest o multime de segmente direcţionale identice. definiția școlii vector, dat la începutul paragrafului: „Un segment direcționat se numește vector ...”, implică specific un segment direcționat luat dintr-o mulțime dată, care este atașat unui anumit punct din plan sau spațiu.

Trebuie remarcat faptul că din punct de vedere al fizicii, conceptul de vector liber în caz general este incorectă, iar punctul de aplicare al vectorului contează. Într-adevăr, o lovitură directă de aceeași forță pe nas sau pe frunte este suficientă pentru a dezvolta exemplul meu stupid presupune consecințe diferite. In orice caz, nu este gratis vectori se găsesc și în cursul vyshmat (nu mergeți acolo :)).

Acțiuni cu vectori. Coliniaritatea vectorilor

În cursul de geometrie școlară, sunt luate în considerare o serie de acțiuni și reguli cu vectori: adunarea după regula triunghiului, adunarea după regula paralelogramului, regula diferenței vectorilor, înmulțirea unui vector cu un număr, produsul scalar al vectorilor etc. Ca sămânță, repetăm ​​două reguli care sunt deosebit de relevante pentru rezolvarea problemelor de geometrie analitică.

Regula adunării vectorilor după regula triunghiurilor

Luați în considerare doi vectori arbitrari nenuli și:

Este necesar să se găsească suma acestor vectori. Datorită faptului că toți vectorii sunt considerați liberi, amânăm vectorul de la Sfârşit vector:

Suma vectorilor este vectorul. Pentru o mai bună înțelegere a regulii, este recomandabil să îi puneți un sens fizic: lăsați un corp să facă o cale de-a lungul vectorului și apoi de-a lungul vectorului. Atunci suma vectorilor este vectorul drumului rezultat care începe în punctul de plecare și se termină în punctul de sosire. O regulă similară este formulată pentru suma oricărui număr de vectori. După cum se spune, corpul își poate merge puternic în zig-zag, sau poate pe pilot automat - de-a lungul vectorului sumă rezultat.

Apropo, dacă vectorul este amânat de la start vector , atunci obținem echivalentul regula paralelogramului adaos de vectori.

În primul rând, despre coliniaritatea vectorilor. Cei doi vectori sunt numiți coliniare dacă se află pe aceeaşi linie sau pe drepte paralele. În linii mari, vorbim despre vectori paraleli. Dar în raport cu ele, se folosește întotdeauna adjectivul „coliniar”.

Imaginează-ți doi vectori coliniari. Dacă săgețile acestor vectori sunt îndreptate în aceeași direcție, atunci se numesc astfel de vectori co-directional. Dacă săgețile indică către laturi diferite, atunci vectorii vor fi îndreptat opus.

Denumiri: coliniaritatea vectorilor este scrisă cu pictograma obișnuită de paralelism: , în timp ce detalierea este posibilă: (vectorii sunt co-direcționați) sau (vectorii sunt direcționați opus).

muncă a unui vector diferit de zero printr-un număr este un vector a cărui lungime este egală cu , iar vectorii și sunt co-direcționați către și direcționați opus către .

Regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr este mai ușor de înțeles cu o imagine:

Înțelegem mai detaliat:

1) Direcția. Dacă multiplicatorul este negativ, atunci vectorul schimbă direcția spre opus.

2) Lungimea. Dacă factorul este conținut în sau , atunci lungimea vectorului scade. Deci, lungimea vectorului este de două ori mai mică decât lungimea vectorului. Dacă multiplicatorul modulo este mai mare decât unu, atunci lungimea vectorului crește la timp.

3) Vă rugăm să rețineți că toți vectorii sunt coliniari, în timp ce un vector este exprimat prin altul, de exemplu, . Este adevărat și invers: dacă un vector poate fi exprimat în termenii altuia, atunci astfel de vectori sunt în mod necesar coliniari. Prin urmare: dacă înmulțim un vector cu un număr, obținem coliniari(față de original) vector.

4) Vectorii sunt codirectionali. Vectorii și sunt, de asemenea, codirecționali. Orice vector al primului grup este opus oricărui vector al celui de-al doilea grup.

Ce vectori sunt egali?

Doi vectori sunt egali daca sunt codirectionali si au aceeasi lungime. Rețineți că co-direcția implică faptul că vectorii sunt coliniari. Definiția va fi inexactă (redundantă) dacă spuneți: „Doi vectori sunt egali dacă sunt coliniari, co-direcționați și au aceeași lungime”.

Din punctul de vedere al conceptului de vector liber, vectorii egali sunt același vector, ceea ce a fost deja discutat în paragraful anterior.

Coordonate vectoriale în plan și în spațiu

Primul punct este să luăm în considerare vectorii pe un plan. Să înfățișăm cartezianul sistem dreptunghiular coordonatele si de la origine punem deoparte singur vectori și:

Vectori și ortogonală. Ortogonal = Perpendicular. Vă recomand să vă obișnuiți încet cu termenii: în loc de paralelism și perpendicularitate, folosim cuvintele respectiv coliniaritateși ortogonalitatea.

Desemnare: ortogonalitatea vectorilor se scrie cu semnul perpendicular obișnuit, de exemplu: .

Vectorii considerați sunt numiți vectori de coordonate sau orts. Acești vectori se formează bază la suprafata. Care este baza, cred, este intuitiv clar pentru mulți, mai mulți informatii detaliate pot fi găsite în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială.Cu cuvinte simple, baza și originea coordonatelor stabilesc întregul sistem - acesta este un fel de fundație pe care fierbe o viață geometrică plină și bogată.

Uneori se numește baza construită ortonormal baza planului: „orto” – deoarece vectori de coordonate ortogonal, adjectivul „normalizat” înseamnă singur, adică. lungimile vectorilor de bază sunt egale cu unu.

Desemnare: baza este de obicei scrisă în parantezele, în interiorul căruia în ordine strictă vectorii de bază sunt listați, de exemplu: . Vectori de coordonate este interzis schimba locurile.

Orice vector plan singura cale exprimat ca:
, Unde - numerele, care se numesc coordonate vectorialeîn această bază. Dar expresia în sine numit descompunere vectorialăbază .

Cina servita:

Să începem cu prima literă a alfabetului: . Desenul arată clar că atunci când se descompune vectorul din punct de vedere al bazei, se folosesc cele luate în considerare:
1) regula înmulțirii unui vector cu un număr: și ;
2) adunarea vectorilor după regula triunghiului: .

Acum lăsați mental deoparte vectorul din orice alt punct al planului. Este destul de evident că corupția lui îl va „urma neîncetat”. Iată, libertatea vectorului - vectorul „poartă totul cu tine”. Această proprietate, desigur, este adevărată pentru orice vector. Este amuzant că vectorii de bază (liberi) în sine nu trebuie să fie puși deoparte de origine, unul poate fi desenat, de exemplu, în stânga jos, iar celălalt în dreapta sus, și nimic nu se va schimba! Adevărat, nu trebuie să faceți acest lucru, deoarece profesorul va arăta, de asemenea, originalitate și vă va trage un „permis” într-un loc neașteptat.

Vectori , ilustrează exact regula de înmulțire a unui vector cu un număr, vectorul este co-direcționat cu vectorul de bază, vectorul este direcționat opus vectorului de bază. Pentru acești vectori, una dintre coordonate este egală cu zero, poate fi scrisă meticulos după cum urmează:


Și vectorii de bază, apropo, sunt așa: (de fapt, ei sunt exprimați prin ei înșiși).

Și, în sfârșit: , . Apropo, ce este scăderea vectorială și de ce nu ți-am spus despre regula scăderii? Undeva în algebră liniară, nu-mi amintesc unde, am observat că scăderea este un caz special de adunare. Deci, expansiunile vectorilor „de” și „e” sunt scrise calm ca o sumă: . Rearanjați termenii pe locuri și urmăriți desenul cât de clar funcționează vechea adunare a vectorilor conform regulii triunghiului în aceste situații.

Considerată descompunerea formei numită uneori descompunere vectorială în sistem ort(adică în sistemul de vectori unitari). Dar aceasta nu este singura modalitate de a scrie un vector, următoarea opțiune este comună:

Sau cu semnul egal:

Vectorii de bază înșiși sunt scriși după cum urmează: și

Adică, coordonatele vectorului sunt indicate în paranteze. LA sarcini practice Sunt utilizate toate cele trei opțiuni.

Mă îndoiam dacă să vorbesc, dar totuși voi spune: coordonatele vectoriale nu pot fi rearanjate. Strict pe primul loc notează coordonatele care corespund vectorului unitar, strict pe locul doi notează coordonata care corespunde vectorului unitar . Într-adevăr, și sunt doi vectori diferiți.

Ne-am dat seama de coordonatele din avion. Acum luați în considerare vectorii din spațiul tridimensional, totul este aproape la fel aici! Va fi adăugată doar o singură coordonată. Este dificil de realizat desene tridimensionale, așa că mă voi limita la un vector, pe care pentru simplitate îl voi amâna de la origine:

Orice vector spațial 3d singura cale se extinde pe o bază ortonormală:
, unde sunt coordonatele vectorului (numărului) în baza dată.

Exemplu din imagine: . Să vedem cum funcționează aici regulile de acțiune vectorială. În primul rând, înmulțind un vector cu un număr: (săgeată roșie), (săgeată verde) și (săgeată magenta). În al doilea rând, iată un exemplu de adăugare a mai multor, în acest caz trei, vectori: . Vectorul sumă începe la punct de start plecare (începutul vectorului) și împinge în punctul final de sosire (sfârșitul vectorului).

Toți vectorii spațiului tridimensional, desigur, sunt și ei liberi, încercați să amânați mental vectorul din orice alt punct și veți înțelege că expansiunea lui „rămâne cu el”.

Similar cu cazul avionului, pe lângă scris versiunile cu paranteze sunt utilizate pe scară largă: fie .

Dacă unul (sau doi) vectori de coordonate lipsesc în expansiune, atunci se pun zerouri. Exemple:
vector (minuțios ) - scrie ;
vector (minuțios ) - scrie ;
vector (minuțios ) - scrie .

Vectorii de bază se scriu după cum urmează:

Iată, poate, toate minimele cunoștințe teoretice necesare pentru rezolvarea problemelor de geometrie analitică. Poate că există prea mulți termeni și definiții, așa că recomand manechine pentru a reciti și a înțelege aceasta informatie din nou. Și va fi util pentru orice cititor din când în când să se refere lecție de bază pentru o mai bună înțelegere a materialului. Coliniaritate, ortogonalitate, bază ortonormală, descompunere vectorială - acestea și alte concepte vor fi adesea folosite în cele ce urmează. Observ că materialele site-ului nu sunt suficiente pentru a trece un test teoretic, un colocviu de geometrie, deoarece criptez cu grijă toate teoremele (și fără dovezi) - în detrimentul stilul științific prezentare, ci un plus pentru înțelegerea ta a subiectului. Pentru informații teoretice detaliate, vă rog să vă înclinați în fața profesorului Atanasyan.

Acum să trecem la partea practică:

Cele mai simple probleme de geometrie analitică.
Acțiuni cu vectori în coordonate

Sarcinile care vor fi luate în considerare, este foarte de dorit să învățați cum să le rezolvați complet automat și formulele memora, nici nu-l amintesc intenționat, își vor aminti ei înșiși =) Acest lucru este foarte important, deoarece alte probleme de geometrie analitică se bazează pe cele mai simple exemple elementare și va fi enervant să cheltuiți timp suplimentar să mănânce pioni. Nu trebuie să-ți închizi nasturii de sus pe cămașă, multe lucruri îți sunt familiare de la școală.

Prezentarea materialului va urma un curs paralel - atât pentru avion, cât și pentru spațiu. Din motivul că toate formulele... veți vedea singur.

Cum să găsiți un vector având două puncte?

Dacă sunt date două puncte ale planului și, atunci vectorul are următoarele coordonate:

Dacă sunt date două puncte în spațiu și, atunci vectorul are următoarele coordonate:

adica de la coordonatele capătului vectorului trebuie să scazi coordonatele corespunzătoare pornire vectorială.

Exercițiu: Pentru aceleași puncte, scrieți formulele pentru găsirea coordonatelor vectorului. Formule la sfârșitul lecției.

Exemplul 1

Având în vedere două puncte în plan și . Găsiți coordonatele vectoriale

Decizie: după formula corespunzătoare:

În mod alternativ, se poate folosi următoarea notație:

Esteții vor decide astfel:

Personal, m-am obișnuit cu prima versiune a discului.

Răspuns:

Conform condiției, nu a fost necesar să se construiască un desen (ceea ce este tipic pentru problemele de geometrie analitică), dar pentru a explica unele puncte manechinilor, nu voi fi prea leneș:

Trebuie inteles diferența dintre coordonatele punctului și coordonatele vectoriale:

Coordonatele punctului sunt coordonatele obișnuite într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Pune deoparte puncte pentru plan de coordonate Cred că toată lumea o poate face din clasa 5-6. Fiecare punct are loc strictîn avion și nu le poți muta nicăieri.

Coordonatele aceluiasi vector este extinderea sa în raport cu baza , în acest caz . Orice vector este liber, prin urmare, dacă este necesar, îl putem amâna cu ușurință dintr-un alt punct din plan. Interesant, pentru vectori, nu puteți construi deloc axe, un sistem de coordonate dreptunghiular, aveți nevoie doar de o bază, în acest caz, de o bază ortonormală a planului.

Înregistrările coordonatelor punctului și ale coordonatelor vectoriale par a fi similare: , și simțul coordonatelor absolut diferit, și ar trebui să fiți bine conștienți de această diferență. Această diferență, desigur, este valabilă și pentru spațiu.

Doamnelor și domnilor, ne umplem mâinile:

Exemplul 2

a) Punctele date și . Găsiți vectori și .
b) Se acordă puncte și . Găsiți vectori și .
c) Punctele date și . Găsiți vectori și .
d) Se acordă puncte. Găsiți Vectori .

Poate suficient. Acestea sunt exemple pentru decizie independentă, incearca sa nu le neglijezi, va da roade ;-). Desenele nu sunt necesare. Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Ce este important în rezolvarea problemelor de geometrie analitică? Este important să fii EXTREM DE ATENȚIE pentru a evita eroarea magistrală „doi plus doi egal zero”. Îmi cer scuze anticipat dacă am greșit =)

Cum se află lungimea unui segment?

Lungimea, așa cum sa menționat deja, este indicată de semnul modulului.

Dacă sunt date două puncte ale planului și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată prin formula

Dacă sunt date două puncte în spațiu și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată prin formula

Notă: Formulele vor rămâne corecte dacă coordonatele corespunzătoare sunt schimbate: și , dar prima opțiune este mai standard

Exemplul 3

Decizie: după formula corespunzătoare:

Răspuns:

Pentru claritate, voi face un desen

Segment de linie - nu este un vector, și nu o poți muta nicăieri, desigur. În plus, dacă completați desenul la scară: 1 unitate. \u003d 1 cm (două celule tetrade), atunci răspunsul poate fi verificat cu o riglă obișnuită, măsurând direct lungimea segmentului.

Da, soluția este scurtă, dar mai are câteva Puncte importante As dori sa clarific:

În primul rând, în răspuns am stabilit dimensiunea: „unități”. Condiția nu spune CE este, milimetri, centimetri, metri sau kilometri. Prin urmare, formularea generală va fi o soluție competentă din punct de vedere matematic: „unități” - abreviat ca „unități”.

În al doilea rând, să repetăm material scolar, care este util nu numai pentru problema luată în considerare:

fi atent la important tehnică – scotând multiplicatorul de sub rădăcină. Ca rezultat al calculelor, am obținut rezultatul și un stil matematic bun implică scoaterea multiplicatorului de sub rădăcină (dacă este posibil). Procesul arată astfel mai detaliat: . Bineînțeles, lăsarea răspunsului în formă nu va fi o greșeală - dar este cu siguranță un defect și un argument serios pentru ridicarea din partea profesorului.

Iată și alte cazuri comune:

Adesea sub rădăcină se dovedește suficient număr mare, De exemplu . Cum să fii în astfel de cazuri? Pe calculator, verificăm dacă numărul este divizibil cu 4:. Da, împărțiți complet, astfel: . Sau poate numărul poate fi împărțit din nou la 4? . Prin urmare: . Ultima cifră a numărului este impară, deci împărțirea la 4 pentru a treia oară nu este în mod clar posibilă. Încercarea de a împărți la nouă: . Ca urmare:
Gata.

Concluzie: dacă sub rădăcină obținem un număr complet neextractabil, atunci încercăm să scoatem factorul de sub rădăcină - pe calculator verificăm dacă numărul este divizibil cu: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.

În timpul deciziei diverse sarcini rădăcinile sunt obișnuite, încercați întotdeauna să extrageți factori de sub rădăcină pentru a evita un scor mai mic și probleme inutile la finalizarea soluțiilor conform observației profesorului.

Să repetăm ​​în același timp pătrarea rădăcinilor și a altor puteri:

Reguli pentru acțiuni cu grade în vedere generala poate fi găsit în manual scolarîn algebră, dar, cred, din exemplele date, totul sau aproape totul este deja clar.

Sarcina pentru o soluție independentă cu un segment în spațiu:

Exemplul 4

Puncte date și . Aflați lungimea segmentului.

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Cum se află lungimea unui vector?

Dacă este dat un vector plan, atunci lungimea acestuia este calculată prin formula.

Dacă este dat un vector spațial, atunci lungimea acestuia este calculată prin formula .

În această lecție, ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs încrucișat al vectorilorși produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). E în regulă, uneori se întâmplă că pt fericire deplină, în afară de produs scalar al vectorilor, este nevoie din ce în ce mai mult. Așa este dependența de vectori. Se poate avea impresia că intrăm în jungla geometriei analitice. Nu este adevarat. În această secțiune a matematicii superioare, în general există puține lemne de foc, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai dificil decât același produs scalar, chiar sarcini tipice va fi mai putin. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor vedea sau au văzut deja, este A NU greși CALCULELE. Repetați ca o vrajă și veți fi fericit =)

Dacă vectorii scânteie undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restaura sau a răscumpăra cunostinte de baza despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv, am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea în munca practica

Ce te va face fericit? Când eram mică, puteam jongla cu două și chiar trei bile. A mers bine. Acum nu este nevoie să jonglam deloc, deoarece vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vector și produs mixt vectorii sunt definiți și lucrează în spatiu tridimensional. Deja mai ușor!

În această operație, în același mod ca și în produsul scalar, doi vectori. Să fie litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notatîn felul următor: . Există și alte opțiuni, dar obișnuiam să desemnez produsul încrucișat al vectorilor în acest fel, în paranteza patrata cu o cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produs scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci Care este diferența? O diferență clară, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este un NUMĂR:

Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este un VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici și numele operațiunii. În diverse literaturi educaționale, denumirile pot varia, de asemenea, voi folosi litera .

Definiţia cross product

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiție: produs încrucișat necoliniare vectori, luate în această ordine, se numește VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Analizăm definiția după oase, sunt o mulțime de lucruri interesante!

Deci, putem evidenția următoarele puncte semnificative:

1) Vectori sursă, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Se întâmplă vectori coliniari va fi potrivit să luăm în considerare puțin mai târziu.

2) Vectorii luați într-o ordine strictă: – „a” se înmulțește cu „fi”, nu „fi” la „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR , care este notat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți cu ordine inversă, atunci obținem un vector egal în lungime și opus în direcție (culoare purpurie). Adică egalitatea .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Aceasta este foarte punct important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu ) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectorii . În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Notă : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului încrucișat nu este egală cu aria paralelogramului.

Ne amintim unul dintre formule geometrice: aria unui paralelogram este egală cu produsul partidele adiacente prin sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula pentru calcularea LUNGIMEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că în formulă vorbim despre LUNGIMEA vectorului, și nu despre vectorul în sine. Care este sensul practic? Și semnificația este de așa natură încât, în problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Să luăm o secundă formula importanta. Diagonala paralelogramului (linia punctată roșie) îl împarte în două triunghi egal. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită prin formula:

4) Nu mai puțin de fapt important este că vectorul este ortogonal cu vectorii, adică . Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata purpurie) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază Are dreapta orientare. Într-o lecție despre trecerea la o nouă bază Am vorbit în detaliu despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama care este orientarea spațiului. Îți voi explica pe degete mana dreapta . Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector . Degetul inelar și degetul mic apăsați în palmă. Ca urmare deget mare - produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este baza orientată spre dreapta (este în figură). Acum schimbați vectorii ( index și degetele mijlocii ) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. Poate aveți o întrebare: ce bază are o orientare spre stânga? „Atribuiți” aceleași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea spațiului stâng (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, cea mai obișnuită oglindă schimbă orientarea spațiului și, dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci, în general, nu va fi posibil să combinați-l cu „originalul”. Apropo, aduceți trei degete la oglindă și analizați reflexia ;-)

... cât de bine este despre care știi acum orientat spre dreapta si stanga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre schimbarea de orientare sunt groaznice =)

Produs vectorial al vectorilor coliniari

Definiția a fost elaborată în detaliu, rămâne de aflat ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci pot fi plasați pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru se „pliază” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenerat paralelogramul este zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul de zero sau 180 de grade zero, și prin urmare aria este zero

Astfel, dacă , atunci . Strict vorbind, produsul vectorial în sine este vector zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și scris că este pur și simplu egal cu zero.

caz special este produsul încrucișat al unui vector și al lui însuși:

Folosind produsul încrucișat, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și aceasta sarcina printre altele, vom analiza și noi.

Pentru solutii exemple practice poate fi cerut tabel trigonometric pentru a afla valorile sinusurilor din ea.

Ei bine, hai să pornim un foc:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Decizie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod intenționat datele inițiale din elementele de stare la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) După condiție, se cere să se constate lungime vector (produs vectorial). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Deoarece a fost întrebat despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.

b) După condiţie se cere să se constate pătrat paralelogram construit pe vectori . Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului încrucișat:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că în răspunsul despre produsul vectorial nu se vorbește deloc, despre care am fost întrebați zona figurii, respectiv, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie să fie găsit de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar Răspuns. Poate părea literalism, dar există destui literaliști printre profesori, iar sarcina cu șanse mari va fi returnată pentru revizuire. Deși aceasta nu este o idee deosebit de tensionată - dacă răspunsul este incorect, atunci se are impresia că persoana nu înțelege lucruri simpleși/sau nu a înțeles esența sarcinii. Acest moment trebuie ținut mereu sub control, rezolvând orice problemă matematica superioara si la alte materii.

Unde s-a dus litera mare „en”? În principiu, ar putea fi în plus lipit de soluție, dar pentru a scurta înregistrarea, nu am făcut-o. Sper că toată lumea înțelege asta și este denumirea aceluiași lucru.

Exemplu popular pentru solutie independenta:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, triunghiurile pot fi în general torturate.

Pentru a rezolva alte probleme, avem nevoie de:

Proprietăți ale produsului încrucișat al vectorilor

Am luat în considerare deja unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei distins în proprietăți, dar este foarte important din punct de vedere practic. Asa ca lasa sa fie.

2) - mai sus se discuta si proprietatea, uneori se numeste anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) - combinație sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele sunt ușor scoase din limitele produsului vectorial. Serios, ce fac ei acolo?

4) - distributie sau distributie legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.

Ca o demonstrație, luați în considerare un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Decizie: Prin condiție, este din nou necesar să se găsească lungimea produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura:

(1) Conform legilor asociative, scoatem constantele dincolo de limitele produsului vectorial.

(2) Scoatem constanta din modul, în timp ce modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Ceea ce urmează este clar.

Răspuns:

E timpul să aruncăm lemne pe foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Decizie: Găsiți aria unui triunghi folosind formula . Problema este că vectorii „ce” și „te” sunt ei înșiși reprezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției. Produsul punctual al vectorilor. Să o împărțim în trei pași pentru claritate:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, exprimă vectorul în termeni de vector. Nu există încă niciun cuvânt despre lungime!

(1) Înlocuim expresii ale vectorilor .

(2) Folosind legi distributive, deschidem parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legile asociative, scoatem toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, acțiunile 2 și 3 pot fi efectuate simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății plăcute . În al doilea termen, folosim proprietatea de anticomutativitate a produsului vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca rezultat, vectorul s-a dovedit a fi exprimat printr-un vector, care era ceea ce trebuia să fie realizat:

2) La a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune amintește de exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului dorit:

Pașii 2-3 ai soluției ar putea fi aranjați într-o singură linie.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în munca de control, iată un exemplu pentru o soluție de tip do-it-yourself:

Exemplul 5

Găsiți dacă

Soluție rapidăși răspunsul la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate

, dat în baza ortonormală , se exprimă prin formula:

Formula este foarte simplă: scriem vectorii de coordonate în linia superioară a determinantului, „împachetăm” coordonatele vectorilor în a doua și a treia linie și punem în ordine strictă- mai întâi, coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci liniile ar trebui, de asemenea, schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
A)
b)

Decizie: Validare pe baza uneia dintre afirmații această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor vectorial este zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul vectorial:

Deci vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul vectorial:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Aici, probabil, sunt toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Aceasta sectiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul se va baza pe definiție, sens geometricși câteva formule de lucru.

Produsul mixt al vectorilor este produs de trei vectori:

Așa s-au aliniat ca un tren și așteaptă, nu pot aștepta până vor fi calculate.

În primul rând, definiția și imaginea:

Definiție: produs amestecat necoplanare vectori, luate în această ordine, se numește volumul paralelipipedului, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „-” dacă baza este stângă.

Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt trasate de o linie punctată:

Să ne aruncăm în definiție:

2) Vectorii luați într-o anumită ordine, adică permutarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu este fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, notez fapt evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi oarecum diferit, am folosit pentru a desemna un produs mixt prin, iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.

A-prioriu produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul paralelipipedului dat.

Notă : Desenul este schematic.

4) Să nu ne mai chinuim cu conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. În termeni simpli, produsul mixt poate fi negativ: .

Formula de calcul a volumului unui paralelipiped construit pe vectori rezultă direct din definiție.

7.1. Definiţia cross product

Trei vectori necoplanari a , b și c , luați în ordinea indicată, formează un triplu drept dacă de la sfârșitul celui de-al treilea vector c se vede cea mai scurtă rotație de la primul vector a la al doilea vector b în sens invers acelor de ceasornic și unul stâng dacă în sensul acelor de ceasornic (vezi Fig. 16).

Produsul vectorial al unui vector a și al vectorului b se numește vector c, care:

1. Perpendicular pe vectorii a și b, adică c ^ a și c ^ b;

2. Are o lungime egală numeric cu aria paralelogramului construit pe vectorii a șib ca pe laterale (vezi fig. 17), i.e.

3. Vectorii a , b și c formează un triplu drept.

produs vectorial notată a x b sau [a,b]. Din definiția unui produs vectorial, următoarele relații între ortele pe care le urmez direct, jși k(vezi fig. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Să demonstrăm, de exemplu, că i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, dar | eu x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vectorii i , j și k formează un triplu drept (vezi Fig. 16).

7.2. Proprietăți încrucișate ale produsului

1. Când factorii sunt rearanjați, produsul vectorial își schimbă semnul, adică. și xb \u003d (b xa) (a se vedea Fig. 19).

Vectorii a xb și b xa sunt coliniari, au aceleași module (aria paralelogramului rămâne neschimbată), dar sunt direcționați opus (triplii a, b și xb și a, b, b x a de orientare opusă). Acesta este axb = -(bxa).

2. Produsul vectorial are Proprietate asociativăîn raport cu un factor scalar, adică l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Fie l >0. Vectorul l (a xb) este perpendicular pe vectorii a și b. Vector ( l a) x b este de asemenea perpendiculară pe vectorii a şi b(vectorii a, l dar se află în același plan). Deci vectorii l(a xb) și ( l a) x b coliniare. Este evident că direcțiile lor coincid. Au aceeasi lungime:

Asa de l(a xb)= l un xb. Se dovedește în mod similar pentru l<0.

3. Doi vectori nenuli a și b sunt coliniare dacă și numai dacă produsul lor vectorial este egal cu vectorul zero, adică și ||b<=>și xb \u003d 0.

În special, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Produsul vectorial are o proprietate de distribuție:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Accept fara dovezi.

7.3. Expresia încrucișată a produsului în termeni de coordonate

Vom folosi tabelul de produse vectoriale încrucișate i, jși k:

dacă direcția drumului cel mai scurt de la primul vector la al doilea coincide cu direcția săgeții, atunci produsul este egal cu al treilea vector, dacă nu se potrivește, al treilea vector este luat cu semnul minus.

Fie doi vectori a =a x i +a y j+az kși b=bx i+de către j+bz k. Să găsim produsul vectorial al acestor vectori înmulțindu-i ca polinoame (în funcție de proprietățile produsului vectorial):

Formula rezultată poate fi scrisă și mai scurt:

întrucât partea dreaptă a egalității (7.1) corespunde expansiunii determinantului de ordinul trei în ceea ce privește elementele din primul rând.Egalitatea (7.2) este ușor de reținut.

7.4. Unele aplicații ale produsului încrucișat

Stabilirea coliniarității vectorilor

Aflarea ariei unui paralelogram și a unui triunghi

Conform definiției produsului încrucișat al vectorilor Ași b |a xb | =| a | * |b |sin g , adică S par = |a x b |. Și, prin urmare, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Determinarea momentului de forță în jurul unui punct

Să fie aplicată o forță în punctul A F =AB lăsați-l să plece O- un punct din spațiu (vezi Fig. 20).

Din fizică se știe că cuplu F relativ la punct O numit vector M, care trece prin punct Oși:

1) perpendicular pe planul care trece prin puncte O, A, B;

2) egal numeric cu produsul dintre forță și braț

3) formează un triplu drept cu vectorii OA și A B .

Prin urmare, M \u003d OA x F.

Aflarea vitezei liniare de rotație

Viteză v punctul M al unui corp rigid care se rotește cu o viteză unghiulară wîn jurul unei axe fixe, este determinată de formula Euler v \u003d w x r, unde r \u003d OM, unde O este un punct fix al axei (vezi Fig. 21).

Yandex.RTB R-A-339285-1

Înainte de a da conceptul de produs vectorial, să ne întoarcem la întrebarea orientării triplului ordonat al vectorilor a → , b → , c → în spațiul tridimensional.

Pentru început, să lăsăm deoparte vectorii a → , b → , c → dintr-un punct. Orientarea triplei a → , b → , c → este dreapta sau stânga, în funcție de direcția vectorului c → . Din direcția în care se face cea mai scurtă întoarcere de la vectorul a → la b → de la capătul vectorului c → , se va determina forma triplul a → , b → , c →.

Dacă cea mai scurtă rotație este în sens invers acelor de ceasornic, atunci triplul vectorilor a → , b → , c → se numește dreapta dacă în sensul acelor de ceasornic - stânga.

În continuare, luăm doi vectori necoliniari a → și b → . Să amânăm atunci vectorii A B → = a → și A C → = b → din punctul A. Să construim un vector A D → = c → , care este simultan perpendicular atât pe A B → cât și pe A C → . Astfel, atunci când construim vectorul A D → = c →, putem face două lucruri, dându-i fie o direcție, fie invers (vezi ilustrația).

Trio-ul ordonat de vectori a → , b → , c → poate fi, după cum am aflat, dreapta sau stânga în funcție de direcția vectorului.

Din cele de mai sus, putem introduce definiția unui produs vectorial. Această definiție este dată pentru doi vectori definiți într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional.

Definiția 1

Produsul vectorial al doi vectori a → și b → vom numi un astfel de vector dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional astfel încât:

• dacă vectorii a → și b → sunt coliniari, va fi zero;
• va fi perpendicular atât pe vectorul a →​​ cât și pe vectorul b → adică. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• lungimea sa este determinată de formula: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• tripletul vectorilor a → , b → , c → are aceeași orientare ca și sistemul de coordonate dat.

Produsul încrucișat al vectorilor a → și b → are următoarea notație: a → × b → .

Coordonatele încrucișate ale produsului

Deoarece orice vector are anumite coordonate în sistemul de coordonate, este posibil să introduceți o a doua definiție a produsului încrucișat, care vă va permite să găsiți coordonatele sale din coordonatele date ale vectorilor.

Definiția 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional produs vectorial al doi vectori a → = (a x ; a y ; a z) și b → = (b x ; b y ; b z) numiți vectorul c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , unde i → , j → , k → sunt vectori de coordonate.

Produsul vectorial poate fi reprezentat ca determinant al unei matrice pătrate de ordinul trei, unde primul rând sunt vectorii orta i → , j → , k → , al doilea rând conține coordonatele vectorului a → , iar al treilea este coordonatele vectorului b → într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, acest determinant de matrice arată astfel: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Expandând acest determinant peste elementele primului rând, obținem egalitatea: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Proprietăți încrucișate ale produsului

Se știe că produsul vectorial în coordonate este reprezentat ca determinant al matricei c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , apoi pe bază proprietățile determinante ale matricei următoarele proprietăți ale produsului vectorial:

1. anticomutatie a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitatea a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → sau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociativitatea λ a → × b → = λ a → × b → sau a → × (λ b →) = λ a → × b → , unde λ este un număr real arbitrar.

Aceste proprietăți nu au dovezi complicate.

De exemplu, putem demonstra proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial.

Dovada anticomutativității

Prin definiție, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z și b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Și dacă două rânduri ale matricei sunt schimbate, atunci valoarea determinantului matricei ar trebui să se schimbe la opus, prin urmare, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , care și demonstrează anticomutativitatea produsului vectorial.

Produs vectorial - Exemple și soluții

În cele mai multe cazuri, există trei tipuri de sarcini.

În problemele de primul tip, lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei sunt de obicei date, dar trebuie să găsiți lungimea produsului încrucișat. În acest caz, utilizați următoarea formulă c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Exemplul 1

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor a → și b → dacă a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 este cunoscută.

Decizie

Folosind definiția lungimii produsului vectorial al vectorilor a → și b →, rezolvăm această problemă: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Răspuns: 15 2 2 .

Sarcinile de al doilea tip au o legătură cu coordonatele vectorilor, conțin un produs vectorial, lungimea acestuia etc. sunt căutate prin coordonatele cunoscute ale vectorilor dați a → = (a x ; a y ; a z) și b → = (b x ; b y ; b z) .

Pentru acest tip de sarcină, puteți rezolva o mulțime de opțiuni pentru sarcini. De exemplu, nu coordonatele vectorilor a → și b → , ci expansiunile lor în vectori de coordonate de forma b → = b x i → + b y j → + b z k → și c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , sau vectorii a → și b → pot fi dați de coordonatele lor puncte de început și de sfârșit.

Luați în considerare următoarele exemple.

Exemplul 2

Doi vectori sunt stabiliți într-un sistem de coordonate dreptunghiular a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Găsiți produsul lor vectorial.

Decizie

Conform celei de-a doua definiții, găsim produsul vectorial al doi vectori în coordonate date: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Dacă scriem produsul vectorial prin determinantul matricei, atunci soluția acestui exemplu este următoarea: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Răspuns: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Exemplul 3

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor i → - j → și i → + j → + k → , unde i → , j → , k → - orte ale unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Decizie

Mai întâi, să găsim coordonatele produsului vectorial dat i → - j → × i → + j → + k → în sistemul de coordonate dreptunghiular dat.

Se știe că vectorii i → - j → și i → + j → + k → au coordonatele (1 ; - 1 ; 0) și respectiv (1 ; 1 ; 1). Aflați lungimea produsului vectorial folosind determinantul matricei, atunci avem i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Prin urmare, produsul vectorial i → - j → × i → + j → + k → are coordonate (- 1 ; - 1 ; 2) în sistemul de coordonate dat.

Găsim lungimea produsului vectorial prin formula (vezi secțiunea privind găsirea lungimii vectorului): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Răspuns: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Exemplul 4

Coordonatele a trei puncte A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) sunt date într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Găsiți un vector perpendicular pe A B → și A C → în același timp.

Decizie

Vectorii A B → și A C → au următoarele coordonate (- 1 ; 2 ; 2) și respectiv (0 ; 4 ; 1). După ce am găsit produsul vectorial al vectorilor A B → și A C → , este evident că acesta este un vector perpendicular prin definiție atât pe A B → cât și pe A C → , adică este soluția problemei noastre. Găsiți-l A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Răspuns: - 6 i → + j → - 4 k → . este unul dintre vectorii perpendiculari.

Problemele de al treilea tip sunt concentrate pe utilizarea proprietăților produsului vectorial al vectorilor. După aplicarea căruia, vom obține o soluție la problema dată.

Exemplul 5

Vectorii a → și b → sunt perpendiculari și lungimile lor sunt 3 și respectiv 4. Aflați lungimea produsului încrucișat 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Decizie

Prin proprietatea de distributivitate a produsului vectorial, putem scrie 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Prin proprietatea asociativității, scoatem coeficienții numerici dincolo de semnul produselor vectoriale din ultima expresie: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Produsele vectoriale a → × a → și b → × b → sunt egale cu 0, deoarece a → × a → = a → a → sin 0 = 0 și b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , atunci 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Din anticomutativitatea produsului vectorial rezultă - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Folosind proprietățile produsului vectorial, obținem egalitatea 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Prin condiție, vectorii a → și b → sunt perpendiculari, adică unghiul dintre ei este egal cu π 2 . Acum rămâne doar să înlocuim valorile găsite în formulele corespunzătoare: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Răspuns: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Lungimea produsului încrucișat al vectorilor prin definiție este a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Deoarece se știe deja (din cursul școlar) că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor celor două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre aceste laturi. Prin urmare, lungimea produsului vectorial este egală cu aria unui paralelogram - un triunghi dublat, și anume produsul laturilor sub formă de vectori a → și b → , îndepărtați dintr-un punct, de sinus. a unghiului dintre ele sin ∠ a → , b → .

Acesta este sensul geometric al produsului vectorial.

Semnificația fizică a produsului vectorial

În mecanică, una dintre ramurile fizicii, datorită produsului vectorial, puteți determina momentul de forță relativ la un punct din spațiu.

Definiția 3

Sub momentul forței F → , aplicat punctului B , relativ la punctul A vom înțelege următorul produs vectorial A B → × F → .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Definiție O colecție ordonată (x 1 , x 2 , ... , x n) n de numere reale se numește vector n-dimensional, iar numerele x i (i = ) - componente sau coordonate,

Exemplu. Dacă, de exemplu, o anumită fabrică de automobile trebuie să producă 50 de mașini, 100 de camioane, 10 autobuze, 50 de seturi de piese de schimb pentru mașini și 150 de seturi pentru camioane și autobuze pe schimb, atunci programul de producție al acestei fabrici poate fi scris ca: vector (50, 100, 10, 50, 150), care are cinci componente.

Notaţie. Vectorii sunt indicați cu litere mici aldine sau litere cu o bară sau săgeată în partea de sus, de exemplu, A sau. Cei doi vectori sunt numiți egal dacă au același număr de componente și componentele lor corespunzătoare sunt egale.

Componentele vectoriale nu pot fi interschimbate, de exemplu (3, 2, 5, 0, 1)și (2, 3, 5, 0, 1) vectori diferiți.
Operații pe vectori. muncă X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) la un număr realλ numit vectorλ X= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

sumăX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) și y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) se numește vector x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Spațiul vectorilor. N -spațiu vectorial dimensional R n este definit ca multimea tuturor vectorilor n-dimensionali pentru care sunt definite operatiile de inmultire cu numere reale si de adunare.

Ilustrație economică. O ilustrare economică a unui spațiu vectorial n-dimensional: spațiu al mărfurilor (bunuri). Sub marfă vom înțelege un bun sau un serviciu care a fost pus în vânzare la un anumit moment într-un anumit loc. Să presupunem că există un număr finit de bunuri disponibile n; cantităţile fiecăruia dintre ele achiziţionate de consumator se caracterizează printr-un set de bunuri

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

unde x i desemnează cantitatea celui de-al i-lea bun cumpărat de consumator. Vom presupune că toate bunurile au proprietatea de divizibilitate arbitrară, astfel încât orice cantitate nenegativă din fiecare dintre ele poate fi cumpărată. Atunci toate seturile posibile de bunuri sunt vectori ai spațiului bunurilor C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Independență liniară. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m vectori n-dimensionali se numesc dependent liniar dacă există astfel de numereλ 1 , λ 2 , ... , λ m , dintre care cel puțin unul este diferit de zero, ceea ce satisface egalitateaλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; în caz contrar, acest sistem de vectori se numește liniar independent, adică această egalitate este posibilă numai în cazul în care toate . Semnificația geometrică a dependenței liniare a vectorilor în R 3, interpretate ca segmente direcționate, explică următoarele teoreme.

Teorema 1. Un sistem format dintr-un singur vector este dependent liniar dacă și numai dacă acest vector este zero.

Teorema 2. Pentru ca doi vectori să fie dependenți liniar, este necesar și suficient ca aceștia să fie coliniari (paraleli).

Teorema 3 . Pentru ca trei vectori să fie liniar dependenți, este necesar și suficient ca aceștia să fie coplanari (în același plan).

Triple stânga și dreapta ale vectorilor. Un triplu de vectori necoplanari a, b, c numit dreapta, dacă observatorul de la originea lor comună ocolește capetele vectorilor a, b, cîn această ordine, se pare că merge în sensul acelor de ceasornic. In caz contrar a, b, c -a lăsat triplu. Se numesc toate triplele din dreapta (sau stânga) ale vectorilor la fel de orientat.

Baza și coordonatele. Troica e 1, e 2 , e 3 vectori necoplanari în R 3 a sunat bază, și vectorii înșiși e 1, e 2 , e 3 - de bază. Orice vector A poate fi extins într-un mod unic în ceea ce privește vectorii de bază, adică poate fi reprezentat sub formă

A= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

numerele x 1 , x 2 , x 3 din expansiune (1.1) se numesc coordonateAîn bază e 1, e 2 , e 3 și sunt notate A(x 1 , x 2 , x 3).

Baza ortonormala. Dacă vectorii e 1, e 2 , e 3 sunt perpendiculare perechi și lungimea fiecăruia dintre ele este egală cu unu, atunci baza se numește ortonormal, iar coordonatele x 1 , x 2 , x 3 - dreptunghiular. Se vor nota vectorii de bază ai unei baze ortonormale i, j, k.

Vom presupune că în spațiu R 3 sistemul drept de coordonate carteziene dreptunghiulare (0, i, j, k}.

Produs vectorial. arta vectoriala A pe vector b numit vector c, care este determinată de următoarele trei condiții:

1. Lungimea vectorului c numeric egal cu aria paralelogramului construit pe vectori Ași b, adică
c= |a||b| păcat( A^b).

2. Vector c perpendicular pe fiecare dintre vectori Ași b.

3. Vectori A, bși c, luate în această ordine, formează un triplu drept.

Pentru produs vectorial c se introduce denumirea c=[ab] sau
c = a × b.

Dacă vectorii Ași b sunt coliniare, apoi păcat( a^b) = 0 și [ ab] = 0, în special, [ aa] = 0. Produse vectoriale ale orturilor: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Dacă vectorii Ași b dat în bază i, j, k coordonate A(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), atunci

Munca mixta. Dacă produsul încrucișat a doi vectori Ași b scalar înmulțit cu al treilea vector c, atunci se numește un astfel de produs de trei vectori produs mixtși este notat cu simbolul A bc.

Dacă vectorii a, bși cîn bază i, j, k stabilite de coordonatele lor
A(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), atunci

.

Produsul mixt are o interpretare geometrică simplă - este un scalar, în valoare absolută egală cu volumul unui paralelipiped construit pe trei vectori dați.

Dacă vectorii formează un triplu drept, atunci produsul lor mixt este un număr pozitiv egal cu volumul indicat; dacă cei trei a, b, c - stânga, atunci a b c<0 и V = - a b c, prin urmare V =|a b c|.

Coordonatele vectorilor întâlniți în problemele din primul capitol se presupune că sunt date relativ la baza ortonormală dreaptă. Vector unitar codirecțional cu vector A, notat cu simbolul A despre. Simbol r=OM notate cu vectorul raza punctului M, simbolurile a, AB sau|a|, | AB |se notează modulele vectorilor Ași AB.

Exemplu 1.2. Găsiți unghiul dintre vectori A= 2m+4nși b= m-n, Unde mși n- vectorii unitari si unghiul dintre mși n egal cu 120 o.

Decizie. Avem: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; A 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, deci a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, deci b = . În sfârșit avem: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Exemplul 1.3.Cunoașterea vectorilor AB(-3,-2,6) și î.Hr(-2,4,4), calculați înălțimea AD a triunghiului ABC.

Decizie. Notând aria triunghiului ABC cu S, obținem:
S = 1/2 î.Hr. Apoi AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, deci vectorul AC are coordonate
. .

Exemplu 1.4 . Dați doi vectori A(11,10,2) și b(4,0,3). Găsiți vectorul unitar c, ortogonală la vectori Ași bși direcționat astfel încât triplul ordonat al vectorilor a, b, c avea dreptate.

Decizie.Să notăm coordonatele vectorului cîn raport cu baza ortonormală dreaptă dată în termeni de x, y, z.

În măsura în care c ⊥ a, c ⊥b, apoi ca= 0, cb= 0. După condiția problemei, se cere ca c = 1 și a b c >0.

Avem un sistem de ecuații pentru a afla x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Din prima și a doua ecuație a sistemului obținem z = -4/3 x, y = -5/6 x. Înlocuind y și z în a treia ecuație, vom avea: x 2 = 36/125, de unde
x=± . Condiție de utilizare a b c > 0, obținem inegalitatea

Ținând cont de expresiile pentru z și y, rescriem inegalitatea rezultată sub forma: 625/6 x > 0, de unde rezultă că x>0. Deci x = , y = - , z = - .