एमबीओयू लिसेयुम "तकनीकी और आर्थिक"

गणितीय प्रेरण की विधि

गणितीय प्रेरण की विधि.

व्याख्यात्मक नोट

पद्धतिगत विकास "विधि गणितीय प्रेरण"10वीं कक्षा के गणित के छात्रों के लिए संकलित।

प्राथमिक लक्ष्य: छात्रों को गणितीय प्रेरण की विधि से परिचित कराना और हल करते समय इसे लागू करना सिखाना विभिन्न कार्य.

में पद्धतिगत विकासप्रारंभिक गणित के प्रश्नों पर विचार किया जाता है: विभाज्यता समस्याएँ, पहचान का प्रमाण, असमानताओं का प्रमाण, समस्याएँ प्रस्तावित हैं बदलती डिग्रीकठिनाइयाँ, जिनमें ओलंपियाड में पेश किए गए कार्य भी शामिल हैं।

आगमनात्मक अनुमानों की भूमिका प्रायोगिक विज्ञानबहुत बड़ा। वे वे प्रावधान देते हैं जिनसे कटौती के माध्यम से आगे के निष्कर्ष निकाले जाते हैं। नाम गणितीय प्रेरण की विधिभ्रामक - वास्तव में, यह विधि निगमनात्मक है और प्रेरण के माध्यम से अनुमान लगाए गए कथनों का कठोर प्रमाण प्रदान करती है। गणितीय प्रेरण की विधि गणित की विभिन्न शाखाओं के बीच संबंधों की पहचान करने में मदद करती है और छात्र की गणितीय संस्कृति के विकास में मदद करती है।

गणितीय प्रेरण की विधि की परिभाषा. पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण. असमानताओं का प्रमाण. पहचान का प्रमाण. विभाज्यता की समस्याओं का समाधान. "गणितीय प्रेरण की विधि" विषय पर विभिन्न समस्याओं का समाधान।

शिक्षकों के लिए साहित्य

1. एम.एल. गैलिट्स्की। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम का गहन अध्ययन। - एम. ​​एजुकेशन. 1986.

2. एल.आई.ज्वाविच। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत. उपदेशात्मक सामग्री. एम. बस्टर्ड.2001.

3. एन.या.विलेंकिन। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण. एम एनलाइटेनमेंट.1995.

4. यू.वी. मिखेव। गणितीय प्रेरण की विधि. एनजीयू.1995.

छात्रों के लिए साहित्य

1. एन.या.विलेंकिन। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण. एम एनलाइटेनमेंट.1995.

2. यू.वी. मिखेव। गणितीय प्रेरण की विधि. एनजीयू.1995.

कीवर्ड

प्रेरण, अभिगृहीत, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत, पूर्ण प्रेरण, अपूर्ण प्रेरण, कथन, पहचान, असमानता, विभाज्यता।

विषय का उपदेशात्मक परिशिष्ट

"गणितीय प्रेरण की विधि"।

पाठ 1

गणितीय प्रेरण की विधि की परिभाषा.

गणितीय प्रेरण की विधि नए परिणामों की खोज करने और बनाई गई धारणाओं की सच्चाई को साबित करने के अत्यधिक प्रभावी तरीकों में से एक है। हालाँकि गणित में यह पद्धति नई नहीं है, फिर भी इसमें रुचि कम नहीं हुई है। एक स्पष्ट प्रस्तुति में पहली बार, गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग 17वीं शताब्दी में उत्कृष्ट फ्रांसीसी वैज्ञानिक ब्लेज़ पास्कल द्वारा संख्या त्रिकोण के गुणों को सिद्ध करते समय किया गया था, जो तब से उनके नाम पर है। हालाँकि, गणितीय प्रेरण का विचार प्राचीन यूनानियों को ज्ञात था। गणितीय आगमन की विधि गणितीय आगमन के सिद्धांत पर आधारित है, जिसे एक अभिगृहीत के रूप में स्वीकार किया जाता है। आइए उदाहरणों का उपयोग करके गणितीय प्रेरण के विचार को देखें।

उदाहरण क्रमांक 1.

वर्ग को एक खंड द्वारा दो भागों में विभाजित किया जाता है, फिर परिणामी भागों में से एक को दो भागों में विभाजित किया जाता है, और इसी तरह। निर्धारित करें कि वर्ग को कितने भागों में विभाजित किया जाएगा पीकदम?

समाधान।

पहले चरण के बाद शर्त के अनुसार हमें 2 भाग मिलेंगे। दूसरे चरण में, हम एक भाग को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे को 2 भागों में विभाजित करते हैं और 3 भाग प्राप्त करते हैं। तीसरे चरण में, हम 2 भागों को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और तीसरे को दो भागों में विभाजित करते हैं और 4 भाग प्राप्त करते हैं। चौथे चरण में, हम 3 भागों को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और अंतिम भागदो भागों में विभाजित करें और 5 भाग प्राप्त करें। पांचवे चरण में हमें 6 भाग प्राप्त होंगे। इससे यह सुझाव मिलता है कि इसके माध्यम से पीचरण हमें मिलते हैं (एन+1)भाग। लेकिन इस प्रस्ताव को सिद्ध करने की जरूरत है. चलो उसके बाद मान लेते हैं कोवर्ग को चरणों में विभाजित किया जाएगा (के+1)भाग। तब से (के+1)हम जो कदम उठाते हैं कोभागों को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाएगा, लेकिन (के+1)भाग को दो भागों में विभाजित करें और प्राप्त करें (के+2)भागों. आपने देखा है कि आप जब तक चाहें, अनंत काल तक इस तरह बहस कर सकते हैं। यानी हमारी धारणा यह है कि थ्रू पीवर्ग को चरणों में विभाजित किया जाएगा (एन+1)भाग सिद्ध हो जाता है।

उदाहरण क्रमांक 2.

मेरी दादी की एक पोती थी जिसे जैम बहुत पसंद था, और खासतौर पर वह जैम जो एक लीटर जार में आता था। लेकिन मेरी दादी ने मुझे उसे छूने की इजाज़त नहीं दी. और पोतियों ने अपनी दादी को धोखा देने की योजना बनाई। उसने हर दिन इस जार से 1/10 लीटर खाने और ऊपर से पानी डालकर अच्छी तरह मिलाने का फैसला किया। यदि जैम पानी में आधा पतला करने पर भी वैसा ही दिखता है तो दादी को धोखे का पता चलने में कितने दिन लगेंगे?

समाधान।

आइये जानें कि इसके बाद जार में कितना शुद्ध जैम बचता है पीदिन. पहले दिन के बाद जार में 9/10 जैम और 1/10 पानी का मिश्रण रह जाएगा। दो दिनों के बाद, पानी और जैम का मिश्रण जार से 1/10 भाग गायब हो जाएगा और रह जाएगा (1 लीटर मिश्रण में 9/10 लीटर जैम होता है, 1/10 लीटर मिश्रण में 9/100 लीटर जैम होता है) )

9/10 – 9/100=81/100=(9/10) 2 लीटर जैम। तीसरे दिन, 81/100 जैम और 19/100 पानी वाले मिश्रण का 1/10 लीटर जार से गायब हो जाएगा। 1 लीटर मिश्रण में 81/100 लीटर जैम है, 1/10 लीटर मिश्रण में 81/1000 लीटर जैम है। 81/100 - 81/1000=

729/1000=(9/10) 3 दिन बाद 3 लीटर जैम बचेगा और बाकी पानी सोख लेगा। एक पैटर्न उभरता है. के माध्यम से पीबैंक में दिन बचे हैं (9/10) पीएल जाम. लेकिन यह, फिर से, सिर्फ हमारा अनुमान है।

होने देना को- एक मनमाना प्राकृतिक संख्या. चलो उसके बाद मान लेते हैं कोकुछ दिनों बाद जार में (9/10) लीटर जैम बचेगा। देखते हैं अगले दिन यानि कि बैंक में क्या होगा (के+1)दिन। जार से गायब हो जायेगा 1/10 लीएक मिश्रण जिसमें शामिल है (9/10) को एलजाम और पानी. में 1एलमिश्रण है (9/10) को एलजाम, में 1/10 लीमिश्रण (9/10) क+1 एलजाम। अब हम यह बात सुरक्षित रूप से कह सकते हैं पीबैंक में दिन बचे हैं (9/10) पी एलजाम। 6 दिनों में बैंक के पास होगा 531444/1000000एलजाम, 7 दिन बाद - 4782969/10000000एलजाम, यानी आधे से भी कम.

उत्तर: 7 दिन बाद दादी को धोखे का पता चलेगा।

आइए विचार की गई समस्याओं के समाधान में सबसे महत्वपूर्ण बातों पर प्रकाश डालने का प्रयास करें। हमने उनमें से प्रत्येक को व्यक्तिगत या, जैसा कि वे कहते हैं, विशेष मामलों पर विचार करके हल करना शुरू किया। फिर, अपनी टिप्पणियों के आधार पर, हमने कुछ धारणाएँ बनाईं पी(एन), प्राकृतिक पर निर्भर करता है पी।

कथन सत्यापित अर्थात् सिद्ध हो चुका है पी(1), पी(2), पी(3);

सुझाव दिया जाता है कि पी(एन)के लिए मान्य एन=केऔर निष्कर्ष निकाला कि तब यह अगले में सत्य होगा n, n=k+1.

और फिर उन्होंने कुछ इस तरह तर्क दिया: पी(1)सही, पी(2)सही, पी(3)सही, पी(4)सही... इसका मतलब सही है पी(एन).

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत.

कथन पी(एन), प्राकृतिक पर निर्भर करता है पी, सभी प्राकृतिक के लिए मान्य पी, अगर

1) कथन की वैधता कब सिद्ध हुई है एन=1;

2) कथन की वैधता की धारणा से पी(एन)पर पी=केचाहिए

न्याय पी(एन)पर n=k+1.

गणित में, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत को, एक नियम के रूप में, संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला को परिभाषित करने वाले सिद्धांतों में से एक के रूप में चुना जाता है, और इसलिए, बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके प्रमाण की विधि को आमतौर पर गणितीय प्रेरण की विधि कहा जाता है। ध्यान दें कि विभाज्यता समस्याओं और कई अन्य समस्याओं को हल करने में प्रमेयों, सर्वसमिकाओं, असमानताओं को सिद्ध करने में इस पद्धति का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

पाठ 2

पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण.

ऐसे मामले में जहां गणितीय कथन वस्तुओं की एक सीमित संख्या से संबंधित है, इसे प्रत्येक वस्तु की जांच करके सिद्ध किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, कथन "प्रत्येक दो-मूल्यवान" सम संख्यादो अभाज्य संख्याओं का योग है. प्रमाण की वह विधि जिसमें हम किसी कथन का परीक्षण मामलों की एक सीमित संख्या के लिए करते हैं, पूर्ण गणितीय प्रेरण कहलाती है। इस पद्धति का उपयोग अपेक्षाकृत कम ही किया जाता है, क्योंकि कथनों पर सबसे अधिक बार विचार किया जाता है अनंत सेट. उदाहरण के लिए, प्रमेय "कोई भी सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं के योग के बराबर होती है" अभी तक सिद्ध या अस्वीकृत नहीं हुआ है। भले ही हमने पहले अरबों के लिए इस प्रमेय का परीक्षण किया हो, यह हमें इसके प्रमाण के एक कदम भी करीब नहीं लाएगा।

में प्राकृतिक विज्ञानवे अपूर्ण प्रेरण का उपयोग करते हैं, प्रयोग की कई बार जाँच करते हैं, और परिणाम को सभी मामलों में स्थानांतरित करते हैं।

उदाहरण संख्या 3.

आइए प्रयोग करके अनुमान लगाएं अपूर्ण प्रेरणप्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग का सूत्र।

समाधान।

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; ...; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .

सबूत।

इसे सच होने दो पी=के.

आइए हम साबित करें कि यह सच है n=k+1.

निष्कर्ष: प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग का सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है पी।

उदाहरण संख्या 4.

समानताओं पर विचार करें और अनुमान लगाएं कि कौन सी है सामान्य कानूनये उदाहरण इसे संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं।

समाधान।

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

उदाहरण क्रमांक 5.

निम्नलिखित भावों को योग के रूप में लिखिए:

1)
2)
3)
; 4)
.

यूनानी पत्र"सिग्मा"।

उदाहरण संख्या 6.

निम्नलिखित योगों को चिन्ह की सहायता से लिखिए
:

2)

उदाहरण संख्या 7.

निम्नलिखित भावों को उत्पाद के रूप में लिखिए:

1)

3)
4)

उदाहरण संख्या 8.

निम्नलिखित कार्यों को चिन्ह की सहायता से लिखिए

(बड़े ग्रीक अक्षर "pi")

1)
2)

उदाहरण संख्या 9.

एक बहुपद के मान की गणना करना एफ ( एन )= एन 2 + एन +11 , पर n=1,2,3,4.5,6,7 यह माना जा सकता है कि किसी भी प्राकृतिक के लिएपीसंख्या एफ ( एन ) सरल।

क्या यह धारणा सही है?

समाधान।

यदि किसी योग का प्रत्येक पद किसी संख्या से विभाज्य है, तो योग उस संख्या से विभाजित होता है,
क्या नहीं है प्रधान संख्याकिसी भी प्राकृतिक के तहतपी।

मामलों की एक सीमित संख्या का विश्लेषण चलता है महत्वपूर्ण भूमिकागणित में: किसी विशेष कथन का प्रमाण दिए बिना अनुमान लगाने में मदद मिलती है सही शब्दांकनयह कथन यदि पहले से ज्ञात नहीं है। इस तरह सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य गोल्डबैक इस परिकल्पना पर पहुंचे कि दो से शुरू होने वाली कोई भी प्राकृतिक संख्या, से अधिक का योग नहीं है तीन सरलनंबर.

अध्याय 3।

गणितीय प्रेरण की विधि विभिन्न पहचानों को सिद्ध करने की अनुमति देती है।

उदाहरण संख्या 10.आइए हम इसे सभी के लिए साबित करें पीपहचान रखती है

समाधान।

चलो रखो

हमें यह साबित करने की जरूरत है

आइए हम उस पहचान की सच्चाई से साबित करें

पहचान की सच्चाई का पालन करता है

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके, पहचान की सच्चाई सभी के लिए सिद्ध की जाती है पी.

उदाहरण क्रमांक 11.

आइए पहचान साबित करें

सबूत।

परिणामी समानताएँ पद दर पद।

;
. इसका मतलब यह है कि यह पहचान हर किसी के लिए सच हैपी .

पाठ संख्या 4.

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके पहचान का प्रमाण।

उदाहरण क्रमांक 12. आइए पहचान साबित करें

सबूत।

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके, हमने साबित किया कि समानता सभी के लिए सत्य है पी.

उदाहरण क्रमांक 13. आइए पहचान साबित करें

सबूत।

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करके, हमने साबित किया कि यह कथन किसी भी प्राकृतिक के लिए सत्य है पी.

उदाहरण संख्या 14. आइए पहचान साबित करें

सबूत।

उदाहरण क्रमांक 15. आइए पहचान साबित करें

1) एन=1;

2) के लिए पी=के समानता रखती है

3) हम साबित करते हैं कि समानता कायम है पी=के+1:

निष्कर्ष: पहचान किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है पी।

उदाहरण संख्या 16.आइए पहचान साबित करें

सबूत।

अगर एन=1 , वह

पहचान को कायम रहने दीजिए पी=के.

आइए हम साबित करें कि पहचान कायम है n=k+1.

तब पहचान किसी भी प्राकृतिक के लिए सत्य है पी.

पाठ संख्या 5.

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके पहचान का प्रमाण।

उदाहरण संख्या 17.आइए पहचान साबित करें

सबूत।

अगर एन=2 , तो हमें सही समानता मिलती है:

समानता को सच होने दोपी=के:

आइए हम कथन की वैधता कब सिद्ध करें n=k+1.

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, पहचान सिद्ध होती है।

उदाहरण संख्या 18. आइए पहचान साबित करें
जब n≥2.

पर एन=2 यह पहचान बहुत में फिर से लिखी जाएगी अराल तरीका

और जाहिर तौर पर सच है.

चलो पर पी=केवास्तव में

.

आइए हम कथन की वैधता कब सिद्ध करेंn=k+1, अर्थात्, समानता रखती है: .

इसलिए, हमने साबित कर दिया है कि पहचान किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है n≥2.

उदाहरण संख्या 19. आइए पहचान साबित करें

पर एन=1 हमें सही समानता मिलती है:

चलिए मान लेते हैं कि कब पी=केहमें सही समानता भी मिलती है:

आइए हम साबित करें कि समानता वैध है पी=के+1:

फिर पहचान किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए मान्य है पी.

पाठ संख्या 6.

विभाज्यता की समस्याओं का समाधान.

उदाहरण संख्या 20.गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध कीजिए

द्वारा विभाजित 6 एक का पता लगाए बिना।

सबूत।

पर एन=1 में एक विभाजन है6 एक का पता लगाए बिना,
.

चलो पर पी=के अभिव्यक्ति
एकाधिक6.

आइए हम साबित करें कि कब n=k+1 अभिव्यक्ति
एकाधिक6 .

प्रत्येक पद एक गुणज है 6 , इसलिए योग एक गुणज है 6 .

उदाहरण क्रमांक 21.
पर5 एक का पता लगाए बिना।

सबूत।

पर एन=1 अभिव्यक्ति बिना किसी अवशेष के विभाजित है
.

चलो पर पी=के अभिव्यक्ति
में भी विभाजित किया गया है5 एक का पता लगाए बिना।

पर n=k+1द्वारा विभाजित 5 .

उदाहरण #22. किसी व्यंजक की विभाज्यता सिद्ध कीजिए
पर16.

सबूत।

पर एन=1एकाधिक 16 .

चलो पर पी=के
एकाधिक16.

पर n=k+1

सभी पद विभाज्य हैं 16: पहला स्पष्ट है, दूसरा अनुमान से है, और तीसरे में कोष्ठक में सम संख्या है।

उदाहरण #23. विभाज्यता सिद्ध करें
पर676.

सबूत।

आइए पहले इसे साबित करें
द्वारा विभाजित
.

पर एन=0
.

चलो पर पी=के
द्वारा विभाजित26 .

तो फिर n=k+1द्वारा विभाजित 26 .

अब हम समस्या कथन में सूत्रित कथन का प्रमाण प्रस्तुत करेंगे।

पर एन=1द्वारा विभाजित 676.

पर पी=के यह सच है कि
द्वारा विभाजित26 2 .

पर n=k+1 .

दोनों पद विभाज्य हैं 676 ; पहला - क्योंकि हमने विभाज्यता सिद्ध की 26 कोष्ठकों में अभिव्यक्ति, और दूसरे को प्रेरण की धारणा के अनुसार विभाजित किया गया है।

पाठ संख्या 7.

विभाज्यता की समस्याओं का समाधान.

उदाहरण संख्या 24.

साबित करें कि
द्वारा विभाजित5 एक का पता लगाए बिना।

सबूत।

पर एन=1
द्वारा विभाजित5.

पर पी=के
द्वारा विभाजित5 एक का पता लगाए बिना।

पर n=k+1 प्रत्येक पद को विभाजित किया गया है5 एक का पता लगाए बिना।

उदाहरण #25.

साबित करें कि
द्वारा विभाजित6 एक का पता लगाए बिना।

सबूत।

पर एन=1
द्वारा विभाजित6 एक का पता लगाए बिना।

चलो पर पी=के
द्वारा विभाजित6 एक का पता लगाए बिना।

पर n=k+1द्वारा विभाजित 6 बिना किसी शेषफल के, क्योंकि प्रत्येक पद विभाज्य है6 शेष के बिना: पहला पद प्रेरण परिकल्पना द्वारा है, दूसरा स्पष्ट है, तीसरा इसलिए है
सम संख्या।

उदाहरण संख्या 26.

साबित करें कि
जब विभाजित किया जाता है9 शेष देता है 1 .

सबूत।

आइए इसे साबित करें
द्वारा विभाजित9 .

पर एन=1
द्वारा विभाजित 9 . चलो पर पी=के
द्वारा विभाजित9 .

पर n=k+1द्वारा विभाजित 9 .

उदाहरण संख्या 27.

सिद्ध कीजिए कि यह विभाज्य है15 एक का पता लगाए बिना।

सबूत।

पर एन=1द्वारा विभाजित 15 .

चलो पर एन=केद्वारा विभाजित 15 एक का पता लगाए बिना।

पर n=k+1

पहला पद एक गुणज है15 प्रेरण परिकल्पना के अनुसार, दूसरा पद का गुणज है15 - जाहिर है, तीसरा पद का गुणज है15 , क्योंकि
एकाधिक5 (उदाहरण संख्या 21 में सिद्ध), चौथा और पाँचवाँ पद भी गुणज हैं5 , जो स्पष्ट है, तो योग एक गुणज है15 .

पाठ संख्या 8-9.

गणितीय प्रेरण द्वारा असमानताओं को सिद्ध करना

उदाहरण संख्या 28.
.

पर एन=1हमारे पास है
- सही।

चलो पर पी=के
- सच्ची असमानता.

पर n=k+1

फिर असमानता किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है पी.

उदाहरण संख्या 29.साबित करें कि असमानता सत्य है
किसी पर पी.

पर एन=1हमें सही असमानता मिलती है 4 >1.

चलो पर पी=केअसमानता सत्य है
.

आइए हम साबित करें कि कब n=k+1असमानता सत्य है

किसी भी प्राकृतिक के लिए कोअसमानता है.

अगर
पर
वह

उदाहरण संख्या 30.

किसी भी प्राकृतिक के लिए पीऔर कोई भी

होने देना एन=1
, सही।

आइए मान लें कि असमानता कायम है पी=के:
.

पर n=k+1

उदाहरण संख्या 31.असमानता की वैधता सिद्ध करें

किसी भी प्राकृतिक के लिए पी.

आइए पहले हम इसे किसी भी प्राकृतिक के लिए सिद्ध करें टीअसमानता सत्य है

असमानता के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें
. हम एक समतुल्य असमानता प्राप्त करते हैं या
;
; - यह असमानता किसी भी प्राकृतिक के लिए लागू होती है टी.

पर एन=1मूल असमानता सत्य है
;
;
.

असमानता को कायम रहने दें पी=के:
.

पर n=k+1

पाठ संख्या 10.

विषय पर समस्याओं का समाधान करना

गणितीय प्रेरण की विधि.

उदाहरण संख्या 32.बर्नौली की असमानता सिद्ध करें।

अगर
, फिर सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिएपी असमानता कायम है

सबूत।

पर एन=1 असमानता सिद्ध होने का रूप ले लेती है
और जाहिर तौर पर सही है. आइए मान लें कि यह सच हैपी=के , यह क्या है
.

चूंकि शर्त के अनुसार
, वह
, और इसलिए जब इसके दोनों भागों को गुणा किया जाता है तो असमानता का अर्थ नहीं बदलता है
:

क्योंकि
, तो हमें वह मिल जाता है

.

अतः, असमानता सत्य है एन=1, और इसकी सच्चाई से पी=केइससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यह सत्य है भले ही n=k+1.इसका मतलब यह है कि, गणितीय प्रेरण के आधार पर, यह सब कुछ प्राकृतिक मानता है पी।

उदाहरण के लिए,

उदाहरण संख्या 33. सभी प्राकृतिक मूल्य खोजेंपी , जिसके लिए असमानता सत्य है

समाधान।

पर एन=1असमानता सही है. पर एन=2असमानता भी सच है.

पर एन=3असमानता अब संतुष्ट नहीं है. केवल जब एन=6असमानता कायम है, ताकि हम प्रेरण आधार के लिए ले सकें एन=6.

मान लें कि असमानता कुछ प्राकृतिक के लिए सत्य है को:

असमानता पर विचार करें

अंतिम असमानता यदि कायम है
परीक्षाविषय पर n=1 बार-बार दिया जाता है: n≥5 , जहां पी- -प्राकृतिक संख्या।

व्याख्यान 6. गणितीय प्रेरण की विधि.

विज्ञान और जीवन में नया ज्ञान अलग-अलग तरीकों से प्राप्त होता है, लेकिन उन सभी को (यदि आप विवरण में नहीं जाते हैं) दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है - सामान्य से विशिष्ट की ओर संक्रमण और विशिष्ट से सामान्य की ओर संक्रमण। पहला है डिडक्शन, दूसरा है इंडक्शन. गणित में निगमनात्मक तर्क को सामान्यतः कहा जाता है। तार्किक विचार, और में गणितीय विज्ञानकटौती जांच का एकमात्र वैध तरीका है। तार्किक तर्क के नियम ढाई सहस्राब्दी पहले प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक अरस्तू द्वारा तैयार किए गए थे। उन्होंने सबसे सरल सही तर्क की एक पूरी सूची बनाई, syllogisms- तर्क के "निर्माण खंड", साथ ही विशिष्ट तर्क का संकेत देते हैं जो सही के समान है, लेकिन गलत है (हम अक्सर मीडिया में ऐसे "छद्मवैज्ञानिक" तर्क का सामना करते हैं)।

प्रेरण (प्रेरण - लैटिन में मार्गदर्शन) इस प्रसिद्ध किंवदंती से स्पष्ट रूप से चित्रित होता है कि कैसे आइजैक न्यूटन ने अपने सिर पर एक सेब गिरने के बाद सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम तैयार किया था। भौतिकी से एक और उदाहरण: विद्युत चुम्बकीय प्रेरण जैसी घटना में, एक विद्युत क्षेत्र एक चुंबकीय क्षेत्र बनाता है, "प्रेरित" करता है। "न्यूटन का सेब" ऐसी स्थिति का एक विशिष्ट उदाहरण है जहां एक या अधिक विशेष मामले, अर्थात्, टिप्पणियों, एक सामान्य कथन "सुझाव" दें; विशेष मामलों के आधार पर एक सामान्य निष्कर्ष निकाला जाता है। प्राकृतिक और मानव विज्ञान दोनों में सामान्य पैटर्न प्राप्त करने के लिए आगमनात्मक विधि मुख्य है। लेकिन इसमें एक बहुत ही महत्वपूर्ण खामी है: विशेष उदाहरणों के आधार पर, एक गलत निष्कर्ष निकाला जा सकता है। निजी अवलोकनों से उत्पन्न परिकल्पनाएँ हमेशा सही नहीं होती हैं। आइए यूलर के कारण एक उदाहरण पर विचार करें।

हम कुछ प्रथम मानों के लिए त्रिपद के मान की गणना करेंगे एन:

ध्यान दें कि गणना के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्याएँ अभाज्य हैं। और कोई भी प्रत्येक के लिए इसे सीधे सत्यापित कर सकता है एन 1 से 39 बहुपद मान
एक अभाज्य संख्या है. हालाँकि, जब एन=40 हमें संख्या 1681=41 2 प्राप्त होती है, जो अभाज्य नहीं है। इस प्रकार, यहां जो परिकल्पना उत्पन्न हो सकती है, वह परिकल्पना है कि प्रत्येक के लिए एनसंख्या
सरल है, झूठा हो जाता है।

लीबनिज ने 17वीं शताब्दी में यह सिद्ध किया कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए एनसंख्या
3 से विभाज्य संख्या
5 आदि से विभाज्य इसके आधार पर, उन्होंने यह मान लिया कि किसी भी विषम के लिए कऔर कोई भी प्राकृतिक एनसंख्या
द्वारा विभाजित क, लेकिन जल्द ही मैंने उस पर ध्यान दिया
9 से विभाज्य नहीं है.

सुविचारित उदाहरण हमें एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं: एक बयान कई विशेष मामलों में निष्पक्ष हो सकता है और साथ ही सामान्य तौर पर अनुचित भी हो सकता है। सामान्य मामले में किसी कथन की वैधता के प्रश्न को तर्क की एक विशेष विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है जिसे कहा जाता है गणितीय प्रेरण द्वारा(पूर्ण प्रेरण, उत्तम प्रेरण)।

6.1. गणितीय प्रेरण का सिद्धांत.

♦ गणितीय प्रेरण की विधि आधारित है गणितीय प्रेरण का सिद्धांत , जो इस प्रकार है:

1) इस कथन की वैधता की जाँच की जाती हैएन=1 (प्रेरण आधार) ,

2) इस कथन की वैधता मानी जाती हैएन= क, कहाँक– मनमाना प्राकृत संख्या 1(प्रेरण धारणा) , और इस धारणा को ध्यान में रखते हुए, इसकी वैधता स्थापित की जाती हैएन= क+1.

सबूत. आइए हम इसके विपरीत मान लें, अर्थात मान लें कि यह कथन प्रत्येक प्राकृतिक के लिए सत्य नहीं है एन. फिर तो ऐसा प्राकृतिक है एम, क्या:

1) के लिए अनुमोदन एन=एमनिष्पक्ष नहीं,

2) सबके लिए एन, छोटा एम, कथन सत्य है (दूसरे शब्दों में, एमपहली प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए कथन सत्य नहीं है)।

यह तो स्पष्ट है एम>1, क्योंकि के लिए एन=1 कथन सत्य है (शर्त 1)। इस तरह,
- प्राकृतिक संख्या। यह पता चला है कि के लिए प्राकृतिक संख्या
कथन सत्य है, और अगली प्राकृत संख्या के लिए एमयह उचित नहीं है। यह शर्त 2 का खंडन करता है। ■

ध्यान दें कि प्रमाण में इस सिद्धांत का उपयोग किया गया है कि प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी संग्रह में सबसे छोटी संख्या होती है।

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित प्रमाण को कहा जाता है सम्पूर्ण गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा .

 उदाहरण6.1. इसे किसी भी प्राकृतिक के लिए सिद्ध करें एनसंख्या
3 से विभाज्य.

समाधान।

1) कब एन=1, तो ए 1, 3 से विभाज्य है और कथन सत्य है जब एन=1.

2) मान लीजिए कि कथन सत्य है एन=क,
, अर्थात वह संख्या
3 से विभाज्य है, और हम इसे कब स्थापित करते हैं एन=क+1 संख्या 3 से विभाज्य है.

वास्तव में,

क्योंकि प्रत्येक पद 3 से विभाज्य है, तो उनका योग भी 3 से विभाज्य है। ■ 

 उदाहरण6.2. सिद्ध कीजिए कि प्रथम का योग है एनप्राकृतिक विषम संख्याउनकी संख्या के वर्ग के बराबर, यानी.

समाधान।आइए संपूर्ण गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करें।

1) हम इस कथन की वैधता की जाँच कब करते हैं एन=1:1=1 2 – यह सत्य है।

2) मान लीजिए कि पहले का योग क (
) विषम संख्याओं का वर्ग इन संख्याओं के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात। इस समानता के आधार पर, हम यह स्थापित करते हैं कि पहले का योग क+1 विषम संख्या के बराबर है
, वह है ।

हम अपनी धारणा का उपयोग करते हैं और प्राप्त करते हैं

. ■ 

कुछ असमानताओं को सिद्ध करने के लिए पूर्ण गणितीय आगमन की विधि का उपयोग किया जाता है। आइए हम बर्नौली की असमानता को सिद्ध करें।

 उदाहरण6.3. जब साबित करो
और कोई भी प्राकृतिक एनअसमानता सत्य है
(बर्नौली की असमानता)।

समाधान। 1) कब एन=1 हमें मिलता है
, कौन सा सही है।

2) हम यह मान लेते हैं कि कब एन=कअसमानता है
(*). इस धारणा का उपयोग करके, हम इसे सिद्ध करते हैं
. ध्यान दें कि कब
यह असमानता कायम है और इसलिए मामले पर विचार करना पर्याप्त है
.

आइए असमानता के दोनों पक्षों (*) को संख्या से गुणा करें
और पाओ:

यानी (1+
.■ 

विधि द्वारा प्रमाण करना अपूर्ण गणितीय प्रेरण कुछ कथन पर निर्भर करता है एन, कहाँ
समान तरीके से किया जाता है, लेकिन शुरुआत में सबसे छोटे मूल्य के लिए निष्पक्षता स्थापित की जाती है एन.

कुछ समस्याएँ स्पष्ट रूप से कोई कथन नहीं बताती हैं जिसे गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, आपको स्वयं पैटर्न स्थापित करने और इस पैटर्न की वैधता के बारे में एक परिकल्पना बनाने की आवश्यकता है, और फिर प्रस्तावित परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करें।

 उदाहरण6.4. राशि ज्ञात कीजिये
.

समाधान।आइए योग ज्ञात करें एस 1 , एस 2 , एस 3. हमारे पास है
,
,
. हम किसी भी प्राकृतिक के लिए इसकी परिकल्पना करते हैं एनसूत्र मान्य है
. इस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, हम पूर्ण गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करेंगे।

1) कब एन=1 परिकल्पना सही है, क्योंकि
.

2) मान लीजिए कि परिकल्पना सत्य है एन=क,
, वह है
. इस सूत्र का उपयोग करके, हम यह स्थापित करते हैं कि परिकल्पना तब भी सत्य है जब एन=क+1, यानी

वास्तव में,

तो, इस धारणा के आधार पर कि परिकल्पना कब सत्य है एन=क,
, यह सिद्ध हो चुका है कि यह सत्य भी है एन=क+1, और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए मान्य है एन. ■ 

 उदाहरण6.5. गणित में, यह सिद्ध है कि दो समान रूप से सतत फलनों का योग एक समान रूप से सतत फलन होता है। इस कथन के आधार पर, आपको यह सिद्ध करना होगा कि किसी भी संख्या का योग
समान रूप से निरंतर कार्य समान रूप से होते हैं सतत कार्य. लेकिन चूंकि हमने अभी तक "समान रूप से निरंतर कार्य" की अवधारणा को पेश नहीं किया है, आइए हम समस्या को और अधिक संक्षेप में प्रस्तुत करें: यह ज्ञात करें कि दो कार्यों का योग कुछ संपत्ति है एस, के पास खुद की संपत्ति है एस. आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी संख्या के कार्यों के योग में गुण होता है एस.

समाधान।यहां प्रेरण का आधार समस्या के निरूपण में ही निहित है। प्रेरण धारणा बनाने के बाद, विचार करें
कार्य एफ 1 , एफ 2 , …, एफ एन , एफ एन+1 जिसके पास संपत्ति है एस. तब । दाहिनी ओर, पहले पद में गुण है एसप्रेरण परिकल्पना के अनुसार, दूसरे पद में गुण है एसशर्त के अनुसार. फलस्वरूप इनके योग में संपत्ति होती है एस- दो शब्दों के लिए प्रेरण आधार "कार्य" करता है।

इससे यह कथन सिद्ध होता है और हम इसे आगे भी प्रयोग करेंगे। ■ 

 उदाहरण6.6. सभी प्राकृतिक खोजें एन, जिसके लिए असमानता सत्य है

.

समाधान।चलो गौर करते हैं एन=1, 2, 3, 4, 5, 6. हमारे पास है: 2 1 >1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2, 2 6 >6 2. इस प्रकार, हम एक परिकल्पना बना सकते हैं: असमानता
हर किसी के लिए एक जगह है
. इस परिकल्पना की सत्यता को सिद्ध करने के लिए हम अपूर्ण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का उपयोग करेंगे।

1) जैसा कि ऊपर कहा गया है, यह परिकल्पनासच है जब एन=5.

2) मान लें कि यह सत्य है एन=क,
, अर्थात असमानता वैध है
. इस धारणा का उपयोग करते हुए, हम असमानता को सिद्ध करते हैं
.

क्योंकि
और कम से
असमानता है

पर
,

तब हमें वह मिलता है
. तो, परिकल्पना की सच्चाई एन=क+1 इस धारणा से चलता है कि यह कब सत्य है एन=क,
.

पैराग्राफ से. 1 और 2, अपूर्ण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह असमानता का अनुसरण करता है
हर प्राकृतिक के लिए सच है
. ■ 

 उदाहरण6.7. किसी भी प्राकृत संख्या के लिए इसे सिद्ध करें एनविभेदन सूत्र मान्य है
.

समाधान।पर एन=1 यह सूत्र इस प्रकार दिखता है
, या 1=1, अर्थात यह सही है। प्रेरण धारणा बनाते हुए, हमारे पास है:

क्यू.ई.डी. ■ 

 उदाहरण6.8. साबित करें कि सेट से मिलकर बनता है एनतत्व, है सबसेट

समाधान।एक सेट जिसमें एक तत्व होता है ए, के दो उपसमुच्चय हैं। यह सत्य है क्योंकि इसके सभी उपसमुच्चय रिक्त समुच्चय और स्वयं रिक्त समुच्चय हैं, और 2 1 =2।

आइए मान लें कि प्रत्येक सेट एनतत्वों के पास है सबसेट यदि समुच्चय A में शामिल है एन+1 तत्व, फिर हम इसमें एक तत्व ठीक करते हैं - हम इसे निरूपित करते हैं डी, और सभी उपसमुच्चयों को दो वर्गों में विभाजित करें - जिनमें शामिल नहीं हैं डीऔर युक्त डी. प्रथम श्रेणी के सभी उपसमुच्चय समुच्चय B के उपसमुच्चय हैं जो एक तत्व को हटाकर A से प्राप्त किए गए हैं डी.

सेट बी में शामिल हैं एनतत्व, और इसलिए, प्रेरण द्वारा, उसके पास है उपसमुच्चय, इसलिए प्रथम श्रेणी में सबसेट

लेकिन दूसरे वर्ग में समान संख्या में उपसमुच्चय हैं: उनमें से प्रत्येक को प्रथम वर्ग के ठीक एक उपसमुच्चय से एक तत्व जोड़कर प्राप्त किया जाता है डी. इसलिए, कुल मिलाकर सेट ए
सबसेट

इस प्रकार कथन सिद्ध होता है। ध्यान दें कि यह 0 तत्वों वाले सेट के लिए भी सत्य है - खाली सेट: इसका एक उपसमुच्चय है - स्वयं, और 2 0 = 1। ■ 

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, किसी भी प्राकृतिक के लिए सिद्ध करें एननिम्नलिखित समानताएँ मान्य हैं:
ए) ;
बी) .

समाधान।

क) कब एन= 1 समानता सत्य है. समानता की वैधता को मानते हुए एनआइए हम इसकी वैधता तब भी दिखाएं जब एन+ 1. वास्तव में,

क्यू.ई.डी.

ख) कब एन= 1 समानता की वैधता स्पष्ट है। इसकी वैधता की धारणा से एनचाहिए

समानता 1 + 2 + ... + दी गई है एन = एन(एन+ 1)/2, हमें मिलता है

1 3 + 2 3 + ... + एन 3 + (एन + 1) 3 = (1 + 2 + ... + एन + (एन + 1)) 2 ,

यानी कथन भी सत्य है जब एन + 1.

उदाहरण 1।निम्नलिखित समानताएँ सिद्ध कीजिए

कहाँ एनके बारे में एन.

समाधान।क) कब एन= 1 समानता 1=1 का रूप लेगी, इसलिए, पी(1) सत्य है. आइए मान लें कि यह समानता सत्य है, यानी कायम है

. उसको जांचना (साबित करना) जरूरी हैपी(एन+1), अर्थात् सत्य। चूंकि (प्रेरण परिकल्पना का उपयोग करके)हमें वह मिलता है, पी(एन+1) एक सत्य कथन है।

इस प्रकार, गणितीय प्रेरण की विधि के अनुसार, मूल समानता किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है एन.

टिप्पणी 2.इस उदाहरण को अलग तरीके से हल किया जा सकता था। दरअसल, योग 1 + 2 + 3 + ... + है एनप्रथम का योग है एनसदस्यों अंकगणितीय प्रगतिपहले सदस्य के साथ ए 1 = 1 और अंतर डी= 1. के कारण प्रसिद्ध सूत्र , हम पाते हैं

ख) कब एन= 1 समानता का रूप होगा: 2 1 - 1 = 1 2 या 1=1, अर्थात, पी(1) सत्य है. चलिए मान लेते हैं कि समानता

1 + 3 + 5 + ... + (2एन - 1) = एन 2 और सिद्ध करें कि ऐसा होता हैपी(एन + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2एन - 1) + (2(एन + 1) - 1) = (एन+ 1) 2 या 1 + 3 + 5 + ... + (2 एन - 1) + (2एन + 1) = (एन + 1) 2 .

प्रेरण परिकल्पना का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

1 + 3 + 5 + ... + (2एन - 1) + (2एन + 1) = एन 2 + (2एन + 1) = (एन + 1) 2 .

इस प्रकार, पी(एन+1) सत्य है और, इसलिए, आवश्यक समानता सिद्ध होती है।

नोट 3।इस उदाहरण को गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग किए बिना (पिछले के समान) हल किया जा सकता है।

ग) कब एन= 1 समानता सत्य है: 1=1. आइए मान लें कि समानता सत्य है

और दिखाओ वही सच्चाई हैपी(एन) सत्य का तात्पर्य हैपी(एन+1). वास्तव में,और, 2 से एन 2 + 7 एन + 6 = (2 एन + 3)(एन+2), हमें मिलता है और, इसलिए, मूल समानता किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य हैएन.

घ) कब एन= 1 समानता सत्य है: 1=1. चलिए मान लेते हैं कि ऐसा होता है

और हम यह साबित करेंगे

वास्तव में,

ई) अनुमोदन पी(1) सत्य: 2=2. चलिए मान लेते हैं कि समानता

सत्य है, और हम सिद्ध करेंगे कि इसका तात्पर्य समानता से हैवास्तव में,

नतीजतन, मूल समानता किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है एन.

एफ) पी(1) सत्य: 1/3 = 1/3. समानता हो पी(एन):

. आइए हम दिखाते हैं कि अंतिम समानता का तात्पर्य निम्नलिखित है:

वास्तव में, उस पर विचार करते हुए पी(एन) धारण करता है, हमें मिलता है

इस प्रकार समानता सिद्ध होती है।

छ) कब एन= 1 हमारे पास है ए + बी = बी + एऔर इसलिए समानता उचित है.

मान लीजिए कि न्यूटन का द्विपद सूत्र मान्य है एन = क, वह है,

तब समानता का उपयोग करनाहम पाते हैं

उदाहरण 2.असमानताएँ सिद्ध करें

ए) बर्नौली असमानता: (1 + ए) एन ≥ 1 + एनए , ए > -1, एनके बारे में एन.

बी) एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन ≥ एन, अगर एक्स 1 एक्स 2 · ... · एक्स एन= 1 और एक्स मैं > 0, .

ग) अंकगणितीय माध्य और ज्यामितीय माध्य के संबंध में कॉची की असमानता कहाँ एक्स मैं > 0, , एन ≥ 2.

घ) पाप 2 एनए + कॉस 2 एनए ≤ 1, एनके बारे में एन.

इ)

च) 2 एन > एन 3 , एनके बारे में एन, एन ≥ 10.

समाधान।क) कब एन= 1 हमें वास्तविक असमानता प्राप्त होती है

1 + ए ≥ 1 + ए . चलिए मान लेते हैं कि असमानता है

(1 + ए) एन ≥ 1 + एनए

(1)

और हम दिखाएंगे कि तब यह घटित होता है और(1 + ए) एन + 1 ≥ 1 + (एन+ 1)ए .

वास्तव में, चूँकि a > -1 का तात्पर्य a + 1 > 0 है, तो असमानता के दोनों पक्षों (1) को (a + 1) से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(1 + ए) एन(1 + ए) ≥ (1 + एनए )(1 + ए ) या (1 + ए ) एन + 1 ≥ 1 + (एन+ 1)ए + एनए 2 चूंकि एनएक 2 ≥ 0, इसलिए(1 + ए) एन + 1 ≥ 1 + (एन+ 1)ए + एनए 2 ≥ 1 + ( एन+ 1)ए .

इस प्रकार, यदि पी(एन) तो फिर सच है पी(एन+1) सत्य है, इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, बर्नौली की असमानता सत्य है।

ख) कब एन= 1 हमें मिलता है एक्स 1 = 1 और इसलिए एक्स 1 ≥ 1 अर्थात पी(1) एक निष्पक्ष कथन है. चलिए ऐसा दिखावा करते हैं पी(एन) सत्य है, अर्थात, यदि एडिका, एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,एक्स एन - एनधनात्मक संख्याएँ जिनका गुणनफल एक के बराबर है, एक्स 1 एक्स 2·...· एक्स एन= 1, और एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन ≥ एन.

आइए हम दिखाएं कि यह वाक्य निम्नलिखित की सच्चाई पर जोर देता है: यदि एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,एक्स एन ,एक्स एन+1 - (एन+1) धनात्मक संख्याएँ जैसे कि एक्स 1 एक्स 2·...· एक्स एन · एक्स एन+1 = 1, फिर एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन + एक्स एन + 1 ≥एन + 1.

निम्नलिखित दो मामलों पर विचार करें:

1) एक्स 1 = एक्स 2 = ... = एक्स एन = एक्स एन+1 = 1. तो इन संख्याओं का योग है ( एन+ 1), और आवश्यक असमानता संतुष्ट है;

2) कम से कम एक संख्या एक से भिन्न है, उदाहरण के लिए, एक से बड़ी हो। तब से एक्स 1 एक्स 2 · ... · एक्स एन · एक्स एन+ 1 = 1, एक से भिन्न कम से कम एक और संख्या है (अधिक सटीक रूप से, एक से भी कम). होने देना एक्स एन+ 1 > 1 और एक्स एन < 1. Рассмотрим एनसकारात्मक संख्या

एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,एक्स एन-1 ,(एक्स एन · एक्स एन+1). इन संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर है, और, परिकल्पना के अनुसार, एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन-1 + एक्स एन एक्स एन + 1 ≥ एन. अंतिम असमानता को इस प्रकार फिर से लिखा गया है: एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन-1 + एक्स एन एक्स एन+1 + एक्स एन + एक्स एन+1 ≥ एन + एक्स एन + एक्स एन+1 या एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन-1 + एक्स एन + एक्स एन+1 ≥ एन + एक्स एन + एक्स एन+1 - एक्स एन एक्स एन+1 .

क्योंकि

(1 - एक्स एन)(एक्स एन+1 - 1) > 0, फिर एन + एक्स एन + एक्स एन+1 - एक्स एन एक्स एन+1 = एन + 1 + एक्स एन+1 (1 - एक्स एन) - 1 + एक्स एन =
= एन + 1 + एक्स एन+1 (1 - एक्स एन) - (1 - एक्स एन) = एन + 1 + (1 - एक्स एन)(एक्स एन+1 - 1) ≥ एन+ 1. इसलिए, एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन + एक्स एन+1 ≥ एन+1, अर्थात्, यदि पी(एन) तो फिर सच हैपी(एन+1) निष्पक्ष। असमानता सिद्ध हो चुकी है।

नोट 4.समान चिन्ह यदि और केवल यदि को धारण करता है एक्स 1 = एक्स 2 = ... = एक्स एन = 1.

ग) चलो एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,एक्स एन- मनमानी सकारात्मक संख्याएँ। निम्न पर विचार करें एनसकारात्मक संख्याएँ:

चूँकि उनका उत्पाद एक के बराबर है: पहले से सिद्ध असमानता बी के अनुसार), यह इस प्रकार हैकहाँ

नोट 5.समानता यदि और केवल यदि ही मान्य है एक्स 1 = एक्स 2 = ... = एक्स एन .

डी) पी(1) एक उचित कथन है: पाप 2 ए + कॉस 2 ए = 1। आइए मान लें पी(एन) एक सत्य कथन है:

पाप 2 एनए + कॉस 2 एनए ≤ 1 और दिखाओ क्या होता हैपी(एन+1). वास्तव में,पाप 2( एन+ 1) ए + कॉस 2( एन+1) ए = पाप 2 एनए पाप 2 ए + कॉस 2 एनए कॉस 2 ए< sin 2एनए + कॉस 2 एनए ≤ 1 (यदि पाप 2 ए ≤ 1, तो कॉस 2 ए < 1, и обратно: если cos 2 ए ≤ 1, फिर पाप 2 ए < 1). Таким образом, для любого एनके बारे में एनपाप 2 एनए + कॉस 2 एन ≤ 1 तथा समता चिन्ह तभी प्राप्त होता है जबएन = 1.

ई) कब एन= 1 कथन सत्य है: 1< 3 / 2 .

चलिए मान लेते हैं और हम यह साबित करेंगे

क्योंकि
मानते हुए पी(एन), हम पाते हैं

च) टिप्पणी 1 को ध्यान में रखते हुए, आइए जाँच करें पी(10): 2 10 > 10 3, 1024 > 1000, इसलिए, के लिए एन=10 कथन सत्य है। चलिए मान लेते हैं कि 2 एन > एन 3 (एन>10) और सिद्ध करें पी(एन+1), अर्थात 2 एन+1 > (एन + 1) 3 .

कब से एन> 10 हमारे पास है या , उसका अनुसरण करता है

2एन 3 > एन 3 + 3एन 2 + 3एन+ 1 या एन 3 > 3एन 2 + 3एन + 1. असमानता को देखते हुए (2 एन > एन 3 ), हमें 2 मिलता है एन+1 = 2 एन·2 = 2 एन + 2 एन > एन 3 + एन 3 > एन 3 + 3एन 2 + 3एन + 1 = (एन + 1) 3 .

इस प्रकार, गणितीय प्रेरण की विधि के अनुसार, किसी भी प्राकृतिक के लिए एनके बारे में एन, एन≥ 10 हमारे पास 2 हैं एन > एन 3 .

उदाहरण 3.इसे किसी के लिए भी साबित करें एनके बारे में एन

समाधान।ए) पी(1) एक सत्य कथन है (0 को 6 से विभाजित किया गया है)। होने देना पी(एन) उचित है, अर्थात् एन(2एन 2 - 3एन + 1) = एन(एन - 1)(2एन- 1) 6 से विभाज्य है। आइए हम दिखाते हैं कि तब ऐसा होता है पी(एन+ 1), यानी, ( एन + 1)एन(2एन+1) 6 से विभाज्य है। वास्तव में, चूँकि

और कैसे एन(एन - 1)(2 एन- 1), और 6 एन 2 6 से विभाज्य हैं, तो उनका योग हैएन(एन + 1)(2 एन+1) 6 से विभाज्य है।

इस प्रकार, पी(एन+1) एक उचित कथन है, और इसलिए एन(2एन 2 - 3एन+1) किसी के लिए 6 से विभाज्य एनके बारे में एन.

ख) आइए जाँच करें पी(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11, इसलिए, पी(1) एक निष्पक्ष कथन है. यह सिद्ध करना चाहिए कि यदि 6 2 एन-2 + 3 एन+1 + 3 एन-1 को 11 से विभाजित किया जाता है ( पी(एन)), फिर 6 2 एन + 3 एन+2 + 3 एन 11 से भी विभाज्य ( पी(एन+1)). दरअसल, तब से

6 2एन + 3 एन+2 + 3 एन = 6 2एन-2+2 + 3 एन+1+1 + 3 एन-1+1 = = 6 2 6 2 एन-2 + 3 3 एन+1 + 3 3 एन-1 = 3·(6 2 एन-2 + 3 एन+1 + 3 एन-1) + 33 6 2 एन-2 और 6 2 की तरह एन-2 + 3 एन+1 + 3 एन-1 और 33 6 2 एन-2 11 से विभाज्य हैं, तो उनका योग 6 है 2एन + 3 एन+2 + 3 एन 11 से विभाज्य है। कथन सिद्ध होता है। ज्यामिति में प्रेरण

उदाहरण 4.सही 2 की भुजा की गणना करें एन-गोन त्रिज्या के एक वृत्त में अंकित है आर.

सेवलीवा एकातेरिना

पेपर विभाज्यता समस्याओं और योग श्रृंखला को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग पर चर्चा करता है। असमानताओं को सिद्ध करने और हल करने के लिए गणितीय प्रेरण की विधि को लागू करने के उदाहरण ज्यामितीय समस्याएँ. कार्य को एक प्रेजेंटेशन के साथ चित्रित किया गया है।

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पूर्व दर्शन:

रूसी संघ के विज्ञान और शिक्षा मंत्रालय

राज्य शिक्षण संस्थान

औसत समावेशी स्कूल № 618

पाठ्यक्रम: बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत

परियोजना कार्य का विषय

"गणितीय प्रेरण की विधि और समस्या समाधान के लिए इसका अनुप्रयोग"

काम पूरा हो गया है: सेवलीवा ई, 11बी कक्षा

पर्यवेक्षक : मकारोवा टी.पी., गणित शिक्षक, जीओयू माध्यमिक विद्यालय संख्या 618

1 परिचय।

2. विभाज्यता समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि।

3. श्रृंखला के योग में गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग।

4. असमानताओं के प्रमाण के लिए गणितीय प्रेरण की विधि को लागू करने के उदाहरण।

5. ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग।

6. प्रयुक्त साहित्य की सूची.

परिचय

प्रत्येक के आधार पर गणितीय अनुसंधानझूठ निगमनात्मक और आगमनात्मक तरीके. तर्क की निगमनात्मक विधि सामान्य से विशिष्ट की ओर तर्क करना है, अर्थात। तर्क, जिसका प्रारंभिक बिंदु है संपूर्ण परिणाम, और अंतिम बिंदु एक विशेष परिणाम है। विशेष परिणामों से सामान्य परिणामों की ओर बढ़ते समय प्रेरण का उपयोग किया जाता है, अर्थात। निगमनात्मक विधि के विपरीत है। गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। परिणामस्वरूप, हम नीचे से शुरू करते हैं तर्कसम्मत सोचहम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने सदैव प्रगति के लिए, अपने विचारों को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए प्रयास किया है, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे आगमनात्मक रूप से सोचने के लिए नियुक्त किया है। यद्यपि गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग का दायरा बढ़ गया है, स्कूल के पाठ्यक्रमउसे बहुत कम समय दिया जाता है। लेकिन प्रेरक ढंग से सोचने में सक्षम होना बहुत महत्वपूर्ण है। समस्याओं को सुलझाने और प्रमेयों को सिद्ध करने में इस सिद्धांत का अनुप्रयोग विचार के बराबर है स्कूल अभ्यासऔर अन्य गणितीय सिद्धांत: बहिष्कृत मध्य, समावेशन-बहिष्करण, डिरिचलेट, आदि। इस सार में गणित की विभिन्न शाखाओं की समस्याएं शामिल हैं, जिसमें मुख्य उपकरण गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग है। इस पद्धति के महत्व के बारे में बोलते हुए ए.एन. कोलमोगोरोव ने कहा कि “गणितीय प्रेरण के सिद्धांत को लागू करने की समझ और क्षमता है अच्छा मानदंडपरिपक्वता, जो एक गणितज्ञ के लिए नितांत आवश्यक है।” अपने व्यापक अर्थ में प्रेरण की विधि विशेष अवलोकन से सार्वभौमिक तक संक्रमण में शामिल है, सामान्य पैटर्नया सामान्य शब्दांकन. इस व्याख्या में, विधि, निश्चित रूप से, किसी भी प्रयोगात्मक प्राकृतिक विज्ञान में अनुसंधान करने की मुख्य विधि है।

मानवीय गतिविधियाँ। गणितीय प्रेरण की विधि (सिद्धांत) का उसके सरलतम रूप में उपयोग तब किया जाता है जब सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक निश्चित कथन को सिद्ध करना आवश्यक होता है।

कार्य 1. अपने लेख "मैं गणितज्ञ कैसे बना" में ए.एन. कोलमोगोरोव लिखते हैं: "मैंने गणितीय "खोज" का आनंद जल्दी ही सीख लिया था, मैंने पांच या छह साल की उम्र में एक पैटर्न देखा था।

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 = 3 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 इत्यादि।

स्कूल ने "स्प्रिंग स्वैलोज़" पत्रिका प्रकाशित की। इसमें मेरी खोज प्रकाशित हुई...''

हमें नहीं पता कि इस जर्नल में किस तरह के सबूत दिए गए, लेकिन यह सब निजी टिप्पणियों से शुरू हुआ। स्वयं परिकल्पना, जो संभवतः इन आंशिक समानताओं की खोज के बाद उत्पन्न हुई, वह सूत्र है

1 + 3 + 5 + ... + (2एन - 1) = एन 2

किसी भी संख्या के लिए सत्य हैएन = 1, 2, 3, ...

इस परिकल्पना को सिद्ध करने के लिए दो तथ्य स्थापित करना पर्याप्त है। सबसे पहले, के लिए n = 1 (और n = के लिए भी 2, 3, 4) वांछित कथन सत्य है। दूसरे, मान लीजिए कि कथन सत्य हैपी = के, और हम यह सुनिश्चित करेंगे कि तब यह सच भी होएन = के + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (के + आई) 2.

इसका अर्थ यह है कि सिद्ध किया जा रहा कथन सभी मूल्यों के लिए सत्य है n: n = के लिए 1 यह सत्य है (यह सत्यापित हो चुका है), और दूसरे तथ्य के कारण - के लिए n = 2, जहाँ से n के लिए = 3 (उसी, दूसरे तथ्य के कारण), आदि।

कार्य 2. सभी संभव पर विचार करें सामान्य भिन्नअंश 1 और किसी भी (धनात्मक पूर्णांक) के साथ

(नाममात्र) हर: किसी के लिए इसे सिद्ध करेंपी> 3 हम इकाई को योग के रूप में निरूपित कर सकते हैंपी इस प्रकार के विभिन्न अंश.

समाधान, आइए पहले जाँच करें यह वक्तव्यपरएन = 3; हमारे पास है:

अतः मूल कथन संतुष्ट है

आइए अब मान लें कि जिस कथन में हमारी रुचि है वह किसी संख्या के लिए सत्य हैको, और सिद्ध करें कि यह इसके बाद वाली संख्या के लिए भी सत्य हैको + 1. दूसरे शब्दों में, मान लीजिए कि एक प्रतिनिधित्व है

जिसमें के पद और सभी हर अलग-अलग हैं। आइए हम साबित करें कि तब हम योग के रूप में एकता का प्रतिनिधित्व प्राप्त कर सकते हैंको + 1 भिन्न वांछित प्रकार. हम मान लेंगे कि भिन्न कम हो रहे हैं, यानी, हर (योग द्वारा इकाई के प्रतिनिधित्व में)को शर्तें) बाएँ से दाएँ बढ़ती हैं ताकिटी - हरों में सबसे बड़ा। हमें जो प्रतिनिधित्व चाहिए वह राशि के रूप में मिलेगा(को + 1)वाँ अंश, यदि हम एक भिन्न को, उदाहरण के लिए अंतिम भिन्न को, दो भागों में विभाजित करते हैं। ऐसा इसलिए किया जा सकता है क्योंकि

और इसलिए

इसके अलावा, सभी अंश अलग-अलग रहेटी सबसे बड़ा भाजक था, औरटी + 1 > टी, और

t(t + 1) > t.

इस प्रकार, हमने स्थापित किया है:

1. एन = के साथ 3 यह कथन सत्य है;

1. यदि जिस कथन में हमारी रुचि है वह सत्य हैको,
   तो यह भी सच हैके + 1.

इस आधार पर, हम यह दावा कर सकते हैं कि विचाराधीन कथन तीन से शुरू करके सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है। इसके अलावा, उपरोक्त प्रमाण एकता के आवश्यक विभाजन को खोजने के लिए एक एल्गोरिदम का भी संकेत देता है। (यह कौन सा एल्गोरिथम है? संख्या 1 को 4, 5, 7 पदों के योग के रूप में कल्पना करें।)

पिछली दो समस्याओं को हल करने में, दो कदम उठाए गए थे। पहला कदम कहा जाता हैआधार प्रेरण, दूसरा -आगमनात्मक संक्रमणया प्रेरण का चरण. दूसरा चरण सबसे महत्वपूर्ण है, और इसमें एक धारणा बनाना शामिल है (कथन सत्य है जब)।एन = के) और निष्कर्ष (कथन सत्य है जबएन = के + 1). पैरामीटर n को ही कहा जाता है प्रेरण पैरामीटर.यह तर्क सर्किट(तकनीक), जो हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है कि प्रश्न में दिया गया कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं (या कुछ से शुरू करके सभी के लिए) के लिए सत्य है, क्योंकि आधार और संक्रमण दोनों मान्य हैं, कहलाती हैगणितीय प्रेरण का सिद्धांत,जिस पर गणितीय प्रेरण की विधि आधारित है।"इंडक्शन" शब्द स्वयं लैटिन शब्द से आया हैप्रेरण (मार्गदर्शन), जिसका अर्थ है एकल ज्ञान से संक्रमण व्यक्तिगत विषयइस वर्ग के लिए सामान्य निष्कर्षकिसी दिए गए वर्ग के सभी विषयों के बारे में, जो अनुभूति की मुख्य विधियों में से एक है।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत, सटीक रूप से दो चरणों के परिचित रूप में, पहली बार 1654 में ब्लेज़ पास्कल के "अंकगणित त्रिभुज पर ग्रंथ" में दिखाई दिया, जिसमें संयोजनों की संख्या (द्विपद गुणांक) की गणना करने का एक सरल तरीका प्रेरण द्वारा सिद्ध किया गया था। डी. पोल्या ने पुस्तक में बी. पास्कल को उद्धृत किया है मामूली बदलाव, वर्गाकार कोष्ठक में दिया गया है:

"हालांकि विचाराधीन प्रस्ताव [द्विपद गुणांक के लिए स्पष्ट सूत्र] में अनगिनत विशेष मामले शामिल हैं, मैं इसके लिए दो लेम्मा के आधार पर एक बहुत ही संक्षिप्त प्रमाण दूंगा।

पहला लेम्मा बताता है कि धारणा इस कारण से सत्य है - यह स्पष्ट है। [परपी = 1 स्पष्ट सूत्र मान्य है...]

दूसरा लेम्मा निम्नलिखित बताता है: यदि हमारी धारणा एक मनमाने आधार के लिए सत्य है [एक मनमाना आर के लिए], तो यह निम्नलिखित कारण से सत्य होगी [के लिएएन + 1]।

इन दो सूत्रों से यह आवश्यक रूप से पता चलता है कि प्रस्ताव सभी मूल्यों के लिए मान्य हैपी। दरअसल, पहले लेम्मा के आधार पर यह सच हैपी = 1; इसलिए, दूसरे लेम्मा के आधार पर, यह सत्य हैपी = 2; इसलिए, दूसरे लेम्मा के आधार पर, यह फिर से मान्य है n = 3 और इसी तरह अनंत काल तक।"

समस्या 3. हनोई के टावर्स पहेली में तीन छड़ें हैं। छड़ों में से एक पर एक पिरामिड है (चित्र 1), जिसमें विभिन्न व्यास के कई छल्ले हैं, जो नीचे से ऊपर की ओर घटते हैं

चित्र .1

इस पिरामिड को अन्य छड़ों में से एक पर ले जाना चाहिए, हर बार केवल एक रिंग को हिलाना चाहिए और बड़ी रिंग को छोटी रिंग पर नहीं रखना चाहिए। क्या इसे करना संभव है?

समाधान। तो, हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: क्या पिरामिड को स्थानांतरित करना संभव हैपी खेल के नियमों का पालन करते हुए, एक छड़ से दूसरे छड़ तक विभिन्न व्यास के छल्ले? अब, जैसा कि वे कहते हैं, हमने समस्या को पैरामीट्रिज़ कर दिया है (एक प्राकृतिक संख्या को विचार में पेश किया गया हैपी), और इसे गणितीय प्रेरण द्वारा हल किया जा सकता है।

1. प्रेरण आधार. जब एन = 1 सब कुछ स्पष्ट है, क्योंकि एक रिंग के पिरामिड को स्पष्ट रूप से किसी भी छड़ पर ले जाया जा सकता है।
2. प्रेरण चरण. आइए मान लें कि हम रिंगों की संख्या के साथ किसी भी पिरामिड को स्थानांतरित कर सकते हैंपी = के.
   आइए हम साबित करें कि तब हम पायरा मिडका को वहां से हटा सकते हैंएन = के + 1.

से पिरामिड छल्ले सबसे बड़े पर पड़े हुए हैं(को + 1)-वीं रिंग, हम धारणा के अनुसार, इसे किसी अन्य छड़ पर ले जा सकते हैं। चलो यह करते हैं। स्तब्ध(को + 1)वीं रिंग हमें मूवमेंट एल्गोरिदम को पूरा करने से नहीं रोकेगी, क्योंकि यह सबसे बड़ी है। चलने के बादको रिंग्स, आइए इस सबसे बड़े को आगे बढ़ाएं(को + 1) शेष छड़ पर वां घेरा। और फिर हम आगमनात्मक धारणा द्वारा हमें ज्ञात आंदोलन एल्गोरिथ्म को लागू करते हैंको छल्ले, और उन्हें नीचे पड़ी छड़ी के पास ले जाएँ(को + 1)वाँ वलय। इस प्रकार, यदि हम जानते हैं कि पिरामिडों को कैसे घुमाना हैको छल्ले, तो हम जानते हैं कि पिरामिडों को कैसे हिलाना हैको + 1 रिंग. इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, पिरामिड को स्थानांतरित करना हमेशा संभव होता है n छल्ले, जहां n > 1.

विभाज्यता समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, आप प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संबंध में विभिन्न कथनों को सिद्ध कर सकते हैं।

कार्य 4 . यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो वह संख्या सम है।

जब n=1 हमारा कथन सत्य है: - एक सम संख्या। आइए मान लें कि यह एक सम संख्या है. चूँकि 2k एक सम संख्या है, तो यह सम है। तो, n=1 के लिए समता सिद्ध है, समता समता से निकाली जाती है। इसका मतलब यह है कि यह n के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए भी है।

समस्या 3. सिद्ध कीजिए कि संख्या Z है 3 + 3 - 26एन - 27 मनमाना प्राकृतिक के साथ n बिना किसी शेषफल के 26 2 से विभाज्य है।

समाधान। आइए सबसे पहले सहायक कथन को शामिल करके सिद्ध करें कि 3 3एन+3 - 1 बिना किसी शेषफल के 26 से विभाज्य हैएन > 0.

1. प्रेरण आधार. n = 0 के लिए हमारे पास है: 3 3 - 1 = 26—26 से विभाज्य।

प्रेरण चरण. चलिए मान लेते हैं कि 3 3एन+3 - 1 को 26 से विभाजित किया जाता है जबएन = के, और आइए हम सिद्ध करें कि इस मामले में कथन सत्य होगा n = k + 1. चूँकि 3

फिर आगमनात्मक परिकल्पना से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि संख्या 3 3k + 6 - 1, 26 से विभाज्य है।

अब हम समस्या कथन में सूत्रित कथन को सिद्ध करेंगे। और फिर प्रेरण द्वारा.

1. प्रेरण आधार. जाहिर सी बात है कि जबएन = 1 कथन सत्य है: चूँकि 3 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. प्रेरण चरण. चलिए मान लेते हैं कि कबपी = के
   अभिव्यक्ति 3 3k + 3 - 26k - 27 को 26 से विभाजित किया जाता है 2 बिना किसी शेष के, और साबित करें कि कथन सत्य हैएन = के + 1,
   अर्थात् वह संख्या

26 से विभाज्य 2 एक का पता लगाए बिना। अंतिम योग में, दोनों पद 26 से विभाज्य हैं 2 . पहला इसलिए क्योंकि हमने सिद्ध कर दिया है कि कोष्ठक में दिया गया व्यंजक 26 से विभाज्य है; दूसरा प्रेरण परिकल्पना द्वारा है। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर वांछित कथन पूर्णतः सिद्ध होता है।

श्रृंखला के योग के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग।

कार्य 5. सूत्र सिद्ध करें

N एक प्राकृतिक संख्या है.

समाधान।

जब n=1, समानता के दोनों पक्ष एक में बदल जाते हैं और इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की पहली शर्त संतुष्ट होती है।

आइए मान लें कि सूत्र n=k के लिए सही है, यानी।

आइए इस समानता और परिवर्तन के दोनों पक्षों को जोड़ें दाहिनी ओर. फिर हमें मिलता है

इस प्रकार, इस तथ्य से कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, यह निम्नानुसार है कि यह n=k+1 के लिए भी सत्य है। यह कथन k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए सत्य है। अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत की दूसरी शर्त भी पूरी होती है। सूत्र सिद्ध है.

काम 6. बोर्ड पर दो नंबर लिखे हैं: 1.1. संख्याओं के बीच उनका योग डालने पर हमें संख्याएँ 1, 2, 1 प्राप्त होती हैं। इस संक्रिया को दोबारा दोहराने पर हमें संख्याएँ 1, 3, 2, 3, 1 प्राप्त होती हैं। तीन संक्रियाओं के बाद संख्याएँ 1, 4, 3 होंगी , 5, 2, 5, 3, 4, 1. के बाद बोर्ड पर सभी संख्याओं का योग क्या होगा? 100 ऑपरेशन?

समाधान। सब कुछ 100 करो संचालन बहुत समय लेने वाला और समय लेने वाला होगा। इसका मतलब है कि हमें योग S के लिए कुछ सामान्य सूत्र खोजने की कोशिश करनी होगी n के बाद की संख्याएँ परिचालन. आइए तालिका देखें:

क्या आपने यहां कोई पैटर्न देखा है? यदि नहीं, तो आप एक और कदम उठा सकते हैं: चार ऑपरेशनों के बाद संख्याएँ होंगी

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

जिसका योग S 4 82 के बराबर है।

वास्तव में, आप संख्याओं को लिख नहीं सकते हैं, लेकिन तुरंत बता सकते हैं कि नई संख्याएँ जोड़ने के बाद योग कैसे बदल जाएगा। मान लीजिए कि योग 5 के बराबर है। नई संख्याएँ जोड़ने पर यह क्या हो जाएगा? आइए प्रत्येक नई संख्या को दो पुरानी संख्याओं के योग से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, 1, 3, 2, 3, 1 से हम 1 पर जाते हैं,

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

अर्थात्, प्रत्येक पुरानी संख्या (दो चरम इकाइयों को छोड़कर) को अब तीन बार योग में शामिल किया गया है, इसलिए नया योग 3S - 2 के बराबर है (लुप्त इकाइयों को ध्यान में रखने के लिए 2 घटाएं)। इसलिए एस 5 = 3एस 4 - 2 = 244, और सामान्य तौर पर

यह क्या है सामान्य सूत्र? यदि यह दो इकाइयों का घटाव नहीं होता, तो हर बार योग तीन गुना बढ़ जाता, जैसे तीन की घातों में (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...)। और हमारी संख्या, जैसा कि हम अब देख सकते हैं, एक और है। अत: यह माना जा सकता है

आइए अब हम इसे प्रेरण द्वारा सिद्ध करने का प्रयास करें।

प्रेरण आधार. तालिका देखें (के लिए)एन = 0, 1, 2, 3).

प्रेरण चरण. चलिए ऐसा दिखावा करते हैं

आइए फिर हम इसे साबित करेंएस के + 1 = जेड के + 1 + 1.

वास्तव में,

तो, हमारा सूत्र सिद्ध है. इससे पता चलता है कि एक सौ ऑपरेशन के बाद बोर्ड पर सभी नंबरों का योग 3 के बराबर होगा 100 + 1.

आइए एक पर विचार करें अद्भुत उदाहरणगणितीय प्रेरण के सिद्धांत का अनुप्रयोग, जिसमें आपको पहले दो प्राकृतिक मापदंडों का परिचय देना होगा और फिर उनके योग पर प्रेरण करना होगा।

काम 7. सिद्ध करें कि यदि= 2, x 2 = 3 और किसी भी प्राकृतिक के लिएपी> 3 संबंध कायम है

एक्स पी = 3एक्स पी - 1 - 2एक्स पी - 2,

वह

2 पी - 1 + 1, पी = 1, 2, 3, ...

समाधान। ध्यान दें कि इस समस्या में संख्याओं का मूल क्रम(एक्स पी) प्रेरण द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि हमारे अनुक्रम की शर्तें, पहले दो को छोड़कर, पिछले वाले के माध्यम से, आगमनात्मक रूप से निर्दिष्ट की जाती हैं। तो दिए गए अनुक्रम कहलाते हैंआवर्ती, और हमारे मामले में, यह क्रम एक अनूठे तरीके से (इसके पहले दो शब्दों को निर्दिष्ट करके) निर्धारित किया जाता है।

प्रेरण आधार. इसमें दो कथनों की जाँच शामिल है: कब n = 1 और n = 2.V दोनों ही मामलों में कथन शर्त के अनुसार सत्य है।

प्रेरण चरण. चलिए मान लेते हैं कि n = k - 1 और n = k कथन पूरा हो गया है, अर्थात्

आइए फिर हम कथन की वैधता सिद्ध करें n = k + 1. हमारे पास है:

एक्स 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2+1, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

कार्य 8. साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को कई के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है विभिन्न सदस्यफाइबोनैचि संख्याओं का आवर्ती क्रम:

k > 2 के लिए.

समाधान। चलो एन - प्राकृतिक संख्या। हम आगे प्रेरण कार्यान्वित करेंगेपी।

प्रेरण आधार. जब एन = कथन 1 सत्य है क्योंकि एक स्वयं एक फाइबोनैचि संख्या है।

प्रेरण चरण. मान लीजिए कि सभी प्राकृत संख्याएँ किसी संख्या से छोटी हैंपी, इसे फाइबोनैचि अनुक्रम के कई अलग-अलग शब्दों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। हम ढूंढ लेंगे सबसे बड़ी संख्याफाइबोनैचिफीट, श्रेष्ठ नहींपी; इस प्रकार, F t p और F t +1 > p.

क्योंकि

प्रेरण परिकल्पना के अनुसार, संख्याएन- एफ टी फाइबोनैचि अनुक्रम के कई अलग-अलग शब्दों के योग 5 के रूप में दर्शाया जा सकता है, और अंतिम असमानता से यह पता चलता है कि योग 8 में शामिल फाइबोनैचि अनुक्रम के सभी पद कम हैंएफ टी . अत: संख्या का विस्तारएन = 8 + एफ टी समस्या की शर्तों को संतुष्ट करता है।

असमानताओं को सिद्ध करने के लिए गणितीय प्रेरण की विधि को लागू करने के उदाहरण।

कार्य 9. (बर्नौली की असमानता।)जब साबित करो x > -1, x 0, और पूर्णांक n > के लिए 2 असमानता सत्य है

(1 + एक्स) एन > 1 + एक्सएन।

समाधान। हम पुन: प्रेरण द्वारा प्रमाण प्रस्तुत करेंगे।

1. प्रेरण का आधार. आइए हम असमानता की वैधता को सत्यापित करेंएन = 2. वास्तव में,

(1 + एक्स) 2 = 1 + 2एक्स + एक्स 2 > 1 + 2एक्स।

2. प्रेरण कदम. चलिए मान लेते हैं कि संख्या के लिएपी = के कथन सत्य है, अर्थात्

(1 + एक्स) के > 1 + एक्सके,

जहां k > 2. आइए इसे n = k + 1 के लिए सिद्ध करें। हमारे पास है: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)>(1 + kx)(1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x.

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम दावा कर सकते हैं कि बर्नौली की असमानता किसी के लिए भी सत्य हैएन > 2.

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके हल की गई समस्याओं के संदर्भ में, जिस सामान्य कानून को सिद्ध करने की आवश्यकता होती है वह हमेशा स्पष्ट रूप से तैयार नहीं किया जाता है। कभी-कभी, विशेष मामलों का अवलोकन करके, पहले यह पता लगाना (अनुमान लगाना) आवश्यक होता है कि वे किस सामान्य नियम की ओर ले जाते हैं, और उसके बाद ही गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा बताई गई परिकल्पना को सिद्ध करें। इसके अलावा, इंडक्शन वेरिएबल को छुपाया जा सकता है, और समस्या को हल करने से पहले, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि इंडक्शन किस पैरामीटर पर किया जाएगा। उदाहरण के तौर पर निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें।

समस्या 10. इसे सिद्ध करें

किसी भी प्राकृतिक के लिएएन > 1.

समाधान, आइए गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके इस असमानता को सिद्ध करने का प्रयास करें।

प्रेरण आधार को आसानी से सत्यापित किया जा सकता है:1+

प्रेरण परिकल्पना द्वारा

और यह साबित करना हमारे लिए बाकी है

यदि हम आगमनात्मक परिकल्पना का उपयोग करते हैं, तो हम उस पर तर्क देंगे

हालाँकि यह समानता वास्तव में सत्य है, लेकिन यह हमें समस्या का समाधान नहीं देती है।

आइए मूल समस्या में आवश्यकता से अधिक मजबूत कथन सिद्ध करने का प्रयास करें। अर्थात्, हम इसे साबित करेंगे

ऐसा लग सकता है कि इस कथन को प्रेरण द्वारा सिद्ध करना एक निराशाजनक मामला है।

हालाँकि, जब एन = 1 हमारे पास है: कथन सत्य है। आगमनात्मक कदम को उचित ठहराने के लिए, आइए हम यह मान लें

और फिर हम इसे साबित करेंगे

वास्तव में,

इस प्रकार, हमने एक मजबूत कथन सिद्ध किया है, जिससे समस्या के कथन में निहित कथन तुरंत अनुसरण करता है।

यहां शिक्षाप्रद बात यह है कि यद्यपि हमें समस्या में आवश्यकता से अधिक मजबूत कथन साबित करना था, हम आगमनात्मक चरण में एक मजबूत धारणा का उपयोग कर सकते थे। यह बताता है कि गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का सीधा अनुप्रयोग हमेशा लक्ष्य की ओर नहीं ले जाता है।

समस्या का समाधान करते समय जो स्थिति उत्पन्न हुई उसे कहा गयाआविष्कारक का विरोधाभास.विरोधाभास स्वयं इतना अधिक है जटिल योजनाएँयदि वे मामले के सार की गहरी समझ पर आधारित हों तो उन्हें बड़ी सफलता के साथ लागू किया जा सकता है।

समस्या 11. सिद्ध करें कि 2 मीटर + एन - 2 मीटर किसी भी प्राकृतिक के लिएप्रकार।

समाधान। यहां हमारे पास दो पैरामीटर हैं। इसलिए, आप तथाकथित को पूरा करने का प्रयास कर सकते हैंदोहरा प्रेरण(प्रेरण के भीतर प्रेरण)।

हम आगमनात्मक तर्क का संचालन करेंगेपी।

1. पैराग्राफ के अनुसार इंडक्शन बेस।जब एन = मुझे इसकी जांच करने की जरूरत है 2 टी ~ 1 > टी. इस असमानता को सिद्ध करने के लिए हम प्रेरण का उपयोग करते हैंटी।

ए) तथाकथित के अनुसार प्रेरण आधारजब टी = 1 निष्पादित
समानता, जो स्वीकार्य है.

बी) तथाकथित के अनुसार प्रेरण कदमचलिए मान लेते हैं कि कबटी = के कथन सत्य है, अर्थात् 2 के ~ 1 > के. फिर तक
मान लीजिए कि यह कथन सत्य है भले हीटी = के + 1.
हमारे पास है:

प्राकृतिक के साथ.

तो असमानता 2 किसी भी प्राकृतिक में प्रदर्शन कियाटी।

2. आइटम के अनुसार इंडक्शन चरण।आइए कुछ प्राकृत संख्या चुनें और निश्चित करेंटी। चलिए मान लेते हैं कि कबएन = मैं कथन सत्य है (निश्चित के लिए)। t), अर्थात, 2 t +1 ~ 2 > t1, और हम यह सिद्ध कर देंगे कि तब यह कथन सत्य भी होगाएन = एल + 1.
हमारे पास है:

किसी भी प्राकृतिक के लिएप्रकार।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर (द्वारापी) समस्या का कथन किसी के लिए भी सत्य हैपी और किसी भी निश्चित के लिएटी। इस प्रकार, यह असमानता किसी भी प्राकृतिक के लिए लागू होती हैप्रकार।

समस्या 12. मान लीजिए m, n और k प्राकृतिक संख्याएँ हैं, औरटी > पी. दोनों में से कौन सी संख्या बड़ी है:

हर अभिव्यक्ति मेंको लक्षण वर्गमूल, टी और पी वैकल्पिक।

समाधान। आइए पहले कुछ सहायक कथन सिद्ध करें।

लेम्मा. किसी भी प्राकृतिक के लिएटी और पी (टी > पी) और गैर-नकारात्मक (जरूरी नहीं कि संपूर्ण)एक्स असमानता सत्य है

सबूत। असमानता पर विचार करें

यह असमानता सत्य है क्योंकि बाईं ओर के दोनों कारक सकारात्मक हैं। कोष्ठक का विस्तार करने और रूपांतरित करने पर, हम पाते हैं:

अंतिम असमानता के दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें लेम्मा का विवरण प्राप्त होता है। तो, लेम्मा सिद्ध है।

आइए अब समस्या के समाधान की ओर आगे बढ़ें। आइए हम इनमें से पहली संख्या को इससे निरूपित करेंए, और दूसरा - के माध्यम सेबी के. आइए हम साबित करें कि ए किसी भी प्राकृतिक के लिएको। सम और विषम के लिए पृथक-पृथक गणितीय प्रेरण विधि द्वारा प्रमाण किया जाएगाको।

प्रेरण आधार. जब k = 1 हमारे यहां असमानता है

y[t > y/n , इस तथ्य के कारण उचित हैटी > पी. जब के = 2 प्रतिस्थापन द्वारा सिद्ध प्रमेयिका से आवश्यक प्राप्त किया जाता हैएक्स = 0.

प्रेरण चरण. मान लीजिए, कुछ के लिए k असमानता a > b k गोरा। आइए इसे साबित करें

प्रेरण धारणा और वर्गमूल एकरसता से हमारे पास है:

दूसरी ओर, सिद्ध प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है

अंतिम दो असमानताओं को मिलाने पर, हमें प्राप्त होता है:

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार कथन सिद्ध होता है।

समस्या 13. (कॉची की असमानता।)किसी भी धनात्मक संख्या के लिए सिद्ध करें...,एक पी असमानता सत्य है

समाधान। n = 2 के लिए असमानता

अंकगणित माध्य और ज्यामितीय माध्य (दो संख्याओं के लिए) ज्ञात माना जाएगा। होने देनाएन= 2, के = 1, 2, 3, ... और पहले इंडक्शन निष्पादित करेंको। इस प्रेरण का आधार यह है कि अब यह मानते हुए कि वांछित असमानता पहले ही स्थापित हो चुकी हैएन = 2, आइए इसे सिद्ध करेंपी = 2 . हमारे पास (दो संख्याओं के लिए असमानता लागू करने पर) है:

अत: आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा

इस प्रकार, k पर प्रेरण द्वारा हमने सभी के लिए असमानता सिद्ध कर दी हैपृष्ठ 9 दो की शक्ति होना.

अन्य मूल्यों के लिए असमानता सिद्ध करनापी आइए हम "डाउनवर्ड इंडक्शन" का उपयोग करें, यानी, हम साबित करेंगे कि यदि असमानता मनमाने ढंग से गैर-नकारात्मक हैपी संख्याएँ, तो यह भी सत्य है(पी - पहला दिन। इसे सत्यापित करने के लिए, हम इस बात पर ध्यान देते हैं कि, बनाई गई धारणा के अनुसारपी संख्याएँ असमानता रखती हैं

अर्थात्, a g + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1)A. दोनों भागों में बाँटनापी - 1, हमें आवश्यक असमानता प्राप्त होती है।

तो, सबसे पहले हमने यह स्थापित किया कि असमानता कायम है असीमित संख्यासंभावित मानपी, और फिर दिखाया कि यदि असमानता कायम हैपी संख्याओं के लिए भी यह मान्य है(पी - 1) संख्याएँ। इससे अब हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि कोटी की असमानता एक सेट के लिए हैपी कोई गैर-नकारात्मक संख्याएँकिसी परएन = 2, 3, 4, ...

समस्या 14. (डी. उसपेन्स्की।) कोणों वाले किसी भी त्रिभुज ABC के लिए =सीएबी, = सीबीए समनुरूप हैं, असमानताएँ हैं

समाधान। कोण और तुलनीय हैं, और इसका (परिभाषा के अनुसार) मतलब है कि इन कोणों का एक सामान्य माप है, जिसके लिए = पी, = (पी, क्यू सहअभाज्य प्राकृतिक संख्याएं हैं)।

आइए हम गणितीय आगमन की विधि का उपयोग करें और इसे योग के ऊपर निकालेंपी = पी + q प्राकृतिक सहअभाज्य संख्याएँ..

प्रेरण आधार. p + q = 2 के लिए हमारे पास है: p = 1 और q = 1. फिर त्रिकोण एबीसीसमद्विबाहु, और आवश्यक असमानताएँ स्पष्ट हैं: वे त्रिभुज असमानता से उत्पन्न होती हैं

प्रेरण चरण. आइए अब मान लें कि p + q = 2, 3, ... के लिए आवश्यक असमानताएँ स्थापित हो गई हैं। k - 1, जहाँ k > 2. आइए हम सिद्ध करें कि असमानताएँ भी मान्य हैंपी + क्यू = के.

चलो एबीसी — दिया गया त्रिकोण, कौन सा> 2. फिर भुजाएं AC और BC बराबर नहीं हो सकता: चलोएसी > बीसी. आइए अब चित्र 2 के अनुसार एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण करेंएबीसी; हमारे पास है:

AC = DC और AD = AB + BD, इसलिए,

2एसी > एबी + बीडी (1)

अब त्रिभुज पर विचार करेंबीडीसी, जिनके कोण भी अनुरूप हैं:

डीसीवी = (क्यू - आर), वीडीसी = पी।

चावल। 2

इस त्रिभुज के लिए आगमनात्मक परिकल्पना मान्य है, और इसलिए

(2)

(1) और (2) जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:

2एसी+बीडी>

और इसलिए

उसी त्रिभुज सेवी.बी.एस प्रेरण परिकल्पना से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं

पिछली असमानता को ध्यान में रखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं

इस प्रकार, आगमनात्मक संक्रमण प्राप्त होता है, और समस्या का कथन गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का अनुसरण करता है।

टिप्पणी। समस्या का कथन उस स्थिति में भी मान्य रहता है जब कोण a और p समानुपाती नहीं होते हैं। में विचार के आधार पर सामान्य मामलापहले से ही एक और महत्वपूर्ण आवेदन करना होगा गणितीय सिद्धांत- निरंतरता का सिद्धांत.

समस्या 15. कई सीधी रेखाएँ समतल को भागों में विभाजित करती हैं। साबित करें कि आप इन हिस्सों को सफ़ेद रंग से रंग सकते हैं

और काले रंग ताकि आसन्न भाग हों सामान्य खंडसीमाएँ थीं भिन्न रंग(जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया हैएन = 4).

तस्वीर 3

समाधान। आइए हम रेखाओं की संख्या पर प्रेरण का उपयोग करें। तो चलोपी - हमारे विमान को भागों में विभाजित करने वाली रेखाओं की संख्या,एन > 1.

प्रेरण आधार. यदि केवल एक सीधी रेखा है(पी = 1), फिर यह समतल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करता है, जिनमें से एक को रंगीन किया जा सकता है सफेद रंग, और दूसरा काले रंग में, और समस्या का कथन सही है।

प्रेरण चरण. आगमनात्मक संक्रमण के प्रमाण को और अधिक स्पष्ट करने के लिए, एक नई पंक्ति जोड़ने की प्रक्रिया पर विचार करें। यदि हम दूसरी सीधी रेखा खींचते हैं(पी= 2), तो हमें चार भाग मिलते हैं जिन्हें पेंटिंग द्वारा आवश्यकतानुसार रंगा जा सकता है विपरीत कोणएक रंग में. आइए देखें कि यदि हम तीसरी सीधी रेखा खींचते हैं तो क्या होता है। यह कुछ "पुराने" हिस्सों को विभाजित कर देगा, जबकि सीमा के नए खंड दिखाई देंगे, जिनके दोनों किनारों पर रंग समान है (चित्र 4)।

चावल। 4

आइए निम्नानुसार आगे बढ़ें:एक तरफनई सीधी रेखा से हम रंग बदल देंगे - हम सफेद को काला कर देंगे और इसके विपरीत; साथ ही, हम उन हिस्सों को दोबारा नहीं रंगते हैं जो इस सीधी रेखा के दूसरी तरफ स्थित हैं (चित्र 5)। तब यह नई रंग भरने वाली किताब संतुष्ट करेगी आवश्यक आवश्यकताएँ: सीधी रेखा के एक तरफ यह पहले से ही वैकल्पिक था (लेकिन विभिन्न रंगों के साथ), और दूसरी तरफ यह वही था जिसकी आवश्यकता थी। भागों के लिए सामान्य सीमाखींची गई सीधी रेखा से संबंधित, विभिन्न रंगों में चित्रित किए गए थे, और हमने इस खींची गई सीधी रेखा के केवल एक तरफ के हिस्सों को फिर से रंग दिया।

चित्र.5

आइए अब हम आगमनात्मक संक्रमण को सिद्ध करें। आइए कुछ लोगों के लिए यह मान लेंपी = केसमस्या का कथन सत्य है, अर्थात् तल के वे सभी भाग जिनमें वह इनके द्वारा विभाजित हैकोसीधे, आप उन्हें सफेद और काले रंग से रंग सकते हैं ताकि आसन्न हिस्से अलग-अलग रंगों के हों। आइए हम साबित करें कि ऐसा कोई रंग मौजूद हैपी= को+ 1 प्रत्यक्ष. आइए हम दो रेखाओं से तीन में संक्रमण के मामले की तरह ही आगे बढ़ें। आइए समतल पर चित्र बनाएंकोसीधा फिर, प्रेरण परिकल्पना द्वारा, परिणामी "मानचित्र" को वांछित तरीके से रंगीन किया जा सकता है। चलो अब अमल करते हैं(को+ 1)वीं सीधी रेखा और उसके एक तरफ हम रंगों को विपरीत रंगों में बदलते हैं। तो अब(को+ 1)-वीं सीधी रेखा हर जगह अलग-अलग रंगों के क्षेत्रों को अलग करती है, जबकि "पुराने" हिस्से, जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, सही रंग में बने रहते हैं। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार समस्या का समाधान किया जाता है।

काम16. रेगिस्तान के किनारे पर हैं बड़ा स्टॉकगैसोलीन और एक कार, जो पूरी तरह से ईंधन भरने पर 50 किलोमीटर की यात्रा कर सकती है। इसमें असीमित मात्रा में कनस्तर हैं जिनमें आप अपनी कार के गैस टैंक से गैसोलीन डाल सकते हैं और इसे रेगिस्तान में कहीं भी भंडारण के लिए छोड़ सकते हैं। साबित करें कि एक कार 50 किलोमीटर से अधिक किसी भी पूर्णांक दूरी की यात्रा कर सकती है। आपको गैसोलीन के डिब्बे ले जाने की अनुमति नहीं है, आप किसी भी मात्रा में खाली डिब्बे ले जा सकते हैं।

समाधान।आइए प्रेरण द्वारा सिद्ध करने का प्रयास करेंपी,कि गाड़ी भगा सकते हैंपीरेगिस्तान के किनारे से किलोमीटर. परपी= 50 ज्ञात है. जो कुछ बचा है वह है प्रेरण चरण को पूरा करना और यह बताना कि वहां कैसे पहुंचा जाएपी = के+1 किलोमीटर यदि ज्ञात हो तोपी = केआप किलोमीटर ड्राइव कर सकते हैं.

हालाँकि, यहाँ हमें एक कठिनाई का सामना करना पड़ता है: हमारे गुजरने के बादकोकिलोमीटर, वापसी यात्रा (भंडारण का उल्लेख नहीं) के लिए भी पर्याप्त गैसोलीन नहीं हो सकता है। और में इस मामले मेंइसका समाधान सिद्ध किये जा रहे कथन (आविष्कारक के विरोधाभास) को मजबूत करना है। हम साबित करेंगे कि आप न केवल गाड़ी चला सकते हैंपीकिलोमीटर, लेकिन दूरी पर एक बिंदु पर गैसोलीन की मनमाने ढंग से बड़ी आपूर्ति करने के लिए भीपीरेगिस्तान के किनारे से किलोमीटर दूर, परिवहन समाप्त होने के बाद इस बिंदु पर पहुँचना।

प्रेरण आधार.माना गैसोलीन की एक इकाई एक किलोमीटर की यात्रा के लिए आवश्यक गैसोलीन की मात्रा है। फिर 1 किलोमीटर की यात्रा और वापसी के लिए दो यूनिट गैसोलीन की आवश्यकता होती है, इसलिए हम किनारे से एक किलोमीटर दूर भंडारण सुविधा में 48 यूनिट गैसोलीन छोड़ सकते हैं और एक नए हिस्से के लिए वापस आ सकते हैं। इस प्रकार, भंडारण सुविधा की कई यात्राओं में, हम अपनी आवश्यकता के अनुसार किसी भी आकार का स्टॉक बना सकते हैं। वहीं, 48 यूनिट स्टॉक बनाने के लिए हम 50 यूनिट गैसोलीन खर्च करते हैं।

प्रेरण चरण.चलिए मान लेते हैं कि कुछ दूरी परपी= कोरेगिस्तान के किनारे से आप कितनी भी मात्रा में गैसोलीन जमा कर सकते हैं। आइए हम साबित करें कि दूरी पर एक भंडार बनाना संभव हैपी = के+ पहले से निर्दिष्ट गैसोलीन के किसी भी रिजर्व के साथ 1 किलोमीटर और परिवहन के अंत में इस भंडारण सुविधा पर समाप्त होता है। क्योंकि बिंदु परपी= कोगैसोलीन की असीमित आपूर्ति है, तो (इंडक्शन बेस के अनुसार) हम कई यात्राओं में एक बिंदु तक पहुंच सकते हैंपी = के+1 बिंदु पर करेंपी= को4- आपकी आवश्यकता के किसी भी आकार का 1 स्टॉक।

समस्या कथन की तुलना में अधिक सामान्य कथन की सच्चाई अब गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित है।

निष्कर्ष

विशेष रूप से, गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन करके, मैंने गणित के इस क्षेत्र में अपना ज्ञान बढ़ाया, और उन समस्याओं को हल करना भी सीखा जो पहले मेरी शक्ति से परे थीं।

मूलतः यह तार्किक था और मनोरंजक कार्य, अर्थात। केवल वे जो एक विज्ञान के रूप में गणित में रुचि बढ़ाते हैं। ऐसी समस्याओं का समाधान हो जाता है मनोरंजक गतिविधिऔर अधिक से अधिक जिज्ञासु लोगों को गणितीय भूलभुलैया की ओर आकर्षित कर सकता है। मेरी राय में, यह किसी भी विज्ञान का आधार है।

गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन जारी रखते हुए, मैं यह सीखने का प्रयास करूंगा कि इसे न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीवन की समस्याओं को हल करने में भी कैसे लागू किया जाए।

साहित्य

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यदि एक वाक्य A(n), जो प्राकृतिक संख्या n पर निर्भर करता है, n=1 के लिए सत्य है और इस तथ्य से कि यह n=k के लिए भी सत्य है (जहाँ k कोई प्राकृतिक संख्या है), यह इस प्रकार है कि यह n=1 के लिए भी सत्य है अगली संख्या n=k +1, तो धारणा A(n) किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

कई मामलों में, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n>p के लिए एक निश्चित कथन की वैधता साबित करना आवश्यक हो सकता है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है।

यदि प्रस्ताव A(n) n=p के लिए सत्य है और यदि A(k) ≈ A(k+1) किसी भी k>p के लिए है, तो प्रस्ताव A(n) किसी भी n>p के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हुए प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, सिद्ध किए जाने वाले कथन को n=1 के लिए जाँचा जाता है, अर्थात। कथन A(1) की सत्यता स्थापित हो गई है। प्रमाण के इस भाग को प्रेरण आधार कहा जाता है। इसके बाद प्रमाण का वह भाग आता है जिसे प्रेरण चरण कहा जाता है। इस भाग में, वे n=k (प्रेरण धारणा) के लिए कथन की वैधता की धारणा के तहत n=k+1 के लिए कथन की वैधता साबित करते हैं, यानी। साबित करें कि A(k) 1 A(k+1)

सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.

• 1) हमारे पास n=1=1 2 है। इसलिए, कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात। ए(1) सत्य
• 2) आइए हम साबित करें कि A(k) ≥ A(k+1)

मान लीजिए कि k कोई प्राकृत संख्या है और यह कथन n=k के लिए सत्य है, अर्थात्।

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

आइए हम साबित करें कि यह कथन अगली प्राकृतिक संख्या n=k+1 के लिए भी सत्य है, अर्थात। क्या

• 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 वास्तव में,
• 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

तो, A(k) 1 A(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि धारणा A(n) किसी भी n O N के लिए सत्य है

साबित करें कि

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), जहां x संख्या 1

• 1) n=1 के लिए हमें मिलता है
• 1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

इसलिए, n=1 के लिए सूत्र सही है; ए(1) सत्य

• 2) मान लीजिए कि k कोई प्राकृत संख्या है और सूत्र n=k के लिए सत्य है,
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

आइए हम इसे समानता साबित करें

• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) वास्तव में
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

तो, A(k) 1 A(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है

सिद्ध कीजिए कि विकर्णों की संख्या है उत्तल एन-गॉन n(n-3)/2 के बराबर है

समाधान: 1) n=3 के लिए कथन सत्य है, क्योंकि त्रिभुज में

ए 3 =3(3-3)/2=0 विकर्ण; ए 2 ए(3) सत्य

2) मान लीजिए कि प्रत्येक उत्तल k-गॉन में A 1 x A k =k(k-3)/2 विकर्ण हैं। A k आइए सिद्ध करें कि उत्तल A k+1 (k+1)-gon में विकर्णों की संख्या A k+1 =(k+1)(k-2)/2 है।

मान लीजिए A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 एक उत्तल (k+1)-गोन है। आइए इसमें एक विकर्ण A 1 A k बनाएं। गिनती करने के लिए कुल गणनाइस (k+1)-गोन के विकर्ण, आपको k-gon A 1 A 2 ...A k में विकर्णों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या k-2 में जोड़ें, अर्थात। शीर्ष A k+1 से निकलने वाले (k+1)-गोन के विकर्णों की संख्या, और, इसके अलावा, विकर्ण A 1 A k को ध्यान में रखा जाना चाहिए

इस प्रकार,

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

तो, A(k) 1 A(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, यह कथन किसी भी उत्तल एन-गॉन के लिए सत्य है।

साबित करें कि किसी भी n के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

समाधान: 1) मान लीजिए n=1, तो

एक्स 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

2) मान लें कि n=k

एक्स के =के 2 =के(के+1)(2के+1)/6

3) n=k+1 के लिए इस कथन पर विचार करें

एक्स के+1 =(के+1)(के+2)(2के+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

हमने n=k+1 के लिए समानता को सत्य साबित कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

समाधान: 1) मान लीजिए n=1

फिर X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लीजिए कि समानता n=k के लिए सत्य है

एक्स के =के 2 (के+1) 2 /4

3) आइए n=k+1 के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करें, अर्थात।

एक्स के+1 =(के+1) 2 (के+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

उपरोक्त प्रमाण से यह स्पष्ट है कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है, इसलिए, समानता किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है

साबित करें कि

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ ... ґ ((एन 3 +1)/(एन 3 -1) )= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), जहां n>2

समाधान: 1) n=2 के लिए पहचान इस तरह दिखती है:

• (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), यानी। यह सच है
• 2) मान लें कि अभिव्यक्ति n=k के लिए सत्य है
• (2 3 +1)/(2 3 -1) ґ … ґ (k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1)
• 3) आइए हम n=k+1 के लिए अभिव्यक्ति की वैधता साबित करें
• (((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

हमने n=k+1 के लिए समानता को सत्य साबित कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी n>2 के लिए सत्य है

साबित करें कि

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) किसी प्राकृत संख्या n के लिए

समाधान: 1) मान लीजिए n=1, तो

• 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
• 2) मान लीजिए कि n=k, तो
• 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
• 3) आइए n=k+1 के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करें
• (1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

n=k+1 के लिए समानता की वैधता भी सिद्ध हो चुकी है, इसलिए यह कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

साबित करें कि पहचान सही है

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) किसी भी प्राकृतिक एन के लिए

• 1) n=1 के लिए पहचान सत्य है 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
• 2) मान लीजिए कि n=k के लिए
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
• 3) आइए हम साबित करें कि पहचान n=k+1 के लिए सत्य है
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (के+2)/2(2(के+1)+1)

उपरोक्त प्रमाण से यह स्पष्ट है कि कथन किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि (11 n+2 +12 2n+1) बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है

समाधान: 1) मान लीजिए n=1, तो

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

लेकिन (23 ґ 133) बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि n=1 के लिए कथन सत्य है; ए(1) सत्य है.

• 2) मान लीजिए कि (11 k+2 +12 2k+1) बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है
• 3) आइए हम साबित करें कि इस मामले में (11 k+3 +12 2k+3) बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है। वास्तव में
• 11 k+3 +12 2l+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

परिणामी योग को बिना किसी शेषफल के 133 से विभाजित किया जाता है, क्योंकि इसका पहला पद अनुमान के आधार पर बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है, और दूसरे में कारकों में से एक 133 है। तो, A(k) 1 A(k+1)। गणितीय आगमन विधि के आधार पर कथन सिद्ध होता है

साबित करें कि किसी भी n 7 के लिए n -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है

• 1) मान लीजिए n=1, तो X 1 =7 1 -1=6 को बिना किसी शेषफल के 6 से विभाजित किया जाता है। इसका मतलब यह है कि n=1 के लिए कथन सत्य है
• 2) मान लीजिए कि जब n=k 7 k -1 को बिना किसी शेषफल के 6 से विभाजित किया जाता है
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है

X k+1 =7 k+1 -1=7 ґ 7 k -7+6=7(7 k -1)+6

पहला पद 6 से विभाज्य है, क्योंकि 7 k -1 धारणा के अनुसार 6 से विभाज्य है, और दूसरा पद 6 है। इसका मतलब है कि 7 n -1 किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए 6 का गुणज है। गणितीय आगमन विधि के आधार पर कथन सिद्ध होता है।

सिद्ध करें कि एक मनमानी प्राकृतिक संख्या n के लिए 3 3n-1 +2 4n-3 11 से विभाज्य है।

1) मान लीजिए n=1, तो

एक्स 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 को बिना किसी शेषफल के 11 से विभाजित किया जाता है।

इसका मतलब यह है कि n=1 के लिए कथन सत्य है

• 2) मान लीजिए कि जब n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 को बिना किसी शेषफल के 11 से विभाजित किया जाता है
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 ґ 3 3k-1 +2 4 ґ 2 4k-3 =

27 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =(16+11) ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16 ґ 3 3k-1 +

11 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 ґ 3 3k-1

पहला पद बिना किसी शेषफल के 11 से विभाज्य है, क्योंकि 3 3k-1 +2 4k-3 अनुमान के अनुसार 11 से विभाज्य है, दूसरा 11 से विभाज्य है, क्योंकि इसका एक गुणनखंड संख्या 11 है। इसका मतलब है कि योग किसी प्राकृत संख्या n के शेषफल के बिना 11 से विभाज्य है। गणितीय आगमन विधि के आधार पर कथन सिद्ध होता है।

साबित करें कि एक मनमानी प्राकृतिक संख्या n के लिए 11 2n -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है

• 1) मान लीजिए n=1, तो 11 2 -1=120 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है। इसका मतलब यह है कि n=1 के लिए कथन सत्य है
• 2) मान लीजिए कि जब n=k 1 2k -1 को बिना किसी शेषफल के 6 से विभाजित किया जाता है
• 11 2(के+1) -1=121 ґ 11 2के -1=120 ґ 11 2के +(11 2के -1)

दोनों पद बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य हैं: पहले में 6, 120 का गुणज है, और दूसरे में अनुमान के आधार पर बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है। इसका मतलब यह है कि योग बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है। गणितीय आगमन विधि के आधार पर कथन सिद्ध होता है।

साबित करें कि एक मनमानी प्राकृतिक संख्या n के लिए 3 3n+3 -26n-27 बिना किसी शेषफल के 26 2 (676) से विभाज्य है

आइए पहले हम सिद्ध करें कि 3 3n+3 -1 बिना किसी शेषफल के 26 से विभाज्य है

• 1. जब n=0
• 3 3 -1=26 को 26 से विभाजित किया जाता है
• 2. मान लीजिए कि n=k के लिए
• 3 3k+3 -1, 26 से विभाज्य है
• 3. आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है
• 3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3л+3 +(3 3k+3 -1) -26 से विभाजित

आइए अब समस्या कथन में दिए गए कथन को सिद्ध करें

• 1) जाहिर है, n=1 के लिए कथन सत्य है
• 3 3+3 -26-27=676
• 2) मान लीजिए कि n=k के लिए अभिव्यक्ति 3 3k+3 -26k-27 को बिना किसी शेषफल के 26 2 से विभाजित किया जाता है
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है
• 3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

दोनों पद 26 2 से विभाज्य हैं; पहला 26 2 से विभाज्य है क्योंकि हमने साबित कर दिया है कि कोष्ठक में अभिव्यक्ति 26 से विभाज्य है, और दूसरा प्रेरण परिकल्पना द्वारा विभाज्य है। गणितीय आगमन विधि के आधार पर कथन सिद्ध होता है

साबित करें कि यदि n>2 और x>0, तो असमानता (1+x) n >1+n ґ x सत्य है

• 1) n=2 के लिए असमानता वैध है
• (1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

अतः A(2) सत्य है

• 2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k) ≈ A(k+1), यदि k> 2. मान लें कि A(k) सत्य है, अर्थात असमानता
• (1+x) k >1+k ґ x. (3)

आइए हम सिद्ध करें कि तब A(k+1) भी सत्य है, अर्थात असमानता

(1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

दरअसल, असमानता के दोनों पक्षों (3) को गुणा करने पर सकारात्मक संख्या 1+x, हमें मिलता है

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

अंतिम असमानता के दाहिने पक्ष पर विचार करें; हमारे पास है

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

परिणामस्वरूप, हमें वह मिलता है (1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

तो, A(k) 1 A(k+1). गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी भी n> 2 के लिए मान्य है

साबित करें कि असमानता (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 for a> 0 सत्य है

समाधान: 1) जब m=1

• (1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 दोनों भुजाएं बराबर हैं
• 2) मान लीजिए कि m=k के लिए
• (1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि m=k+1 के लिए असमानता सत्य है
• (1+ए+ए 2) के+1 =(1+ए+ए 2)(1+ए+ए 2) के >(1+ए+ए 2)(1+के ґ ए+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ a 2

हमने असमानता को m=k+1 के लिए सत्य साबित कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, असमानता किसी भी प्राकृतिक संख्या m के लिए मान्य है

साबित करें कि n>6 के लिए असमानता 3 n >n ґ 2 n+1 सत्य है

आइए असमानता को (3/2) n >2n के रूप में फिर से लिखें

• 1. n=7 के लिए हमारे पास 3 7 /2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 है, असमानता सत्य है
• 2. मान लीजिए कि n=k (3/2) k >2k के लिए
• 3) आइए n=k+1 के लिए असमानता सिद्ध करें
• 3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

चूँकि k>7, अंतिम असमानता स्पष्ट है।

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, असमानता किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए मान्य है

साबित करें कि n>2 के लिए असमानता सत्य है

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/एन 2)<1,7-(1/n)

• 1) n=3 के लिए असमानता सत्य है
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
• 2. मान लीजिए कि n=k के लिए
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k)
• 3) आइए हम n=k+1 के लिए असमानता की वैधता साबित करें
• (1+(1/2 2)+…+(1/के 2))+(1/(के+1) 2)

आइए हम सिद्ध करें कि 1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

एस (1/(के+1) 2)+(1/के+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

ы k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

उत्तरार्द्ध स्पष्ट है, और इसलिए

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर असमानता सिद्ध होती है।