Petunjuk
Tuliskan yang diberikan ekspresi logaritma. Jika ekspresi menggunakan logaritma 10, maka notasinya dipersingkat dan terlihat seperti ini: lg b adalah logaritma desimal. Jika logaritma memiliki angka e sebagai basis, maka ekspresinya ditulis: ln b adalah logaritma natural. Dapat dipahami bahwa hasil dari sembarang adalah pangkat yang harus dinaikkan bilangan dasarnya untuk mendapatkan bilangan b.
Saat menemukan dua fungsi dari jumlah, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu, dan menambahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";
Ketika menemukan turunan dari produk dua fungsi, turunan dari fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan turunan dari fungsi kedua dikalikan dengan fungsi pertama: (u*v)" = u"* v+v"*u;
Untuk menemukan turunan dari hasil bagi dua fungsi, dari hasil kali turunan dikalikan dengan fungsi pembagi, perlu untuk mengurangkan produk turunan dari pembagi dikalikan dengan fungsi pembagi, dan membagi semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Jika diberikan fungsi kompleks, maka turunan dari perlu dikalikan fungsi internal dan turunan dari yang terluar. Misalkan y=u(v(x)), lalu y"(x)=y"(u)*v"(x).
Dengan menggunakan yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ada juga tugas untuk menghitung turunan pada suatu titik. Biarkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Hitung nilai fungsi dalam poin yang diberikan y"(1)=8*e^0=8
Video Terkait
Pelajari tabel turunan dasar. Ini akan menghemat banyak waktu.
Sumber:
- turunan konstan
Jadi, apa perbedaan antara persamaan rasional dari rasional? Jika variabel yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar pangkat dua, maka persamaan tersebut dianggap irasional.
Petunjuk
Metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah metode menaikkan kedua bagian persamaan menjadi persegi. Namun. ini wajar, langkah pertama adalah menyingkirkan tanda itu. Secara teknis, metode ini tidak sulit, tetapi terkadang dapat menyebabkan masalah. Misalnya, persamaan v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua sisi, Anda mendapatkan 2x-5=4x-7. Persamaan seperti itu tidak sulit untuk dipecahkan; x=1. Tapi nomor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Substitusikan satuan dalam persamaan sebagai ganti nilai x. Dan ruas kanan dan kiri akan berisi ekspresi yang tidak masuk akal, yaitu. Nilai seperti itu tidak valid untuk akar kuadrat. Oleh karena itu 1 adalah akar asing, dan karena itu persamaan yang diberikan tidak memiliki akar.
Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan menggunakan metode kuadrat kedua bagiannya. Dan setelah menyelesaikan persamaan, perlu untuk memotong akar asing. Untuk melakukan ini, substitusikan akar yang ditemukan dalam persamaan asli.
Pertimbangkan yang lain.
2x+vx-3=0
Tentu saja, persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang sama seperti sebelumnya. senyawa transfer persamaan, yang tidak memiliki akar kuadrat, sisi kanan dan kemudian menggunakan metode kuadrat. selesaikan persamaan dan akar rasional yang dihasilkan. Tapi satu lagi, yang lebih elegan. Masukkan variabel baru; vx=y. Dengan demikian, Anda akan mendapatkan persamaan seperti 2y2+y-3=0. Yaitu, biasa persamaan kuadrat. Temukan akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Selanjutnya, selesaikan dua persamaan vx=1; vx \u003d -3/2. Persamaan kedua tidak memiliki akar, dari persamaan pertama kita temukan bahwa x=1. Jangan lupa tentang perlunya memeriksa akarnya.
Memecahkan identitas cukup mudah. Ini membutuhkan melakukan transformasi identik sampai target tercapai. Jadi, dengan bantuan sederhana operasi aritmatika tugas akan terpecahkan.
Anda akan perlu
- - kertas;
- - pena.
Petunjuk
Transformasi yang paling sederhana adalah perkalian singkatan aljabar (seperti kuadrat jumlah (selisih), selisih kuadrat, jumlah (selisih), pangkat tiga jumlah (selisih)). Selain itu, ada banyak rumus trigonometri, yang pada dasarnya adalah identitas yang sama.
Memang, kuadrat dari jumlah dua istilah sama dengan kuadrat dari yang pertama ditambah dua kali hasil kali yang pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari yang kedua, yaitu (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^ 2=a^2+2ab +b^2.
Sederhanakan Keduanya
Prinsip umum solusi
Ulangi buku teks analisis matematis atau matematika yang lebih tinggi, yang merupakan integral tertentu. Seperti yang Anda tahu, solusinya integral tertentu ada fungsi yang turunannya akan menghasilkan integran. Fungsi ini disebut primitif. Menurut prinsip ini, integral dasar dibangun.Tentukan berdasarkan jenis integral, yang mana integral tabel cocok dengan kasus ini. Tidak selalu mungkin untuk menentukan ini segera. Seringkali, bentuk tabel menjadi terlihat hanya setelah beberapa transformasi untuk menyederhanakan integran.
Metode substitusi variabel
Jika integralnya adalah fungsi trigonometri, yang argumennya berupa polinomial, lalu coba gunakan metode substitusi variabel. Untuk melakukannya, ganti polinomial dalam argumen integran dengan beberapa variabel baru. Berdasarkan rasio antara variabel baru dan lama, tentukan batas integrasi baru. Diferensiasi ekspresi yang diberikan temukan diferensial baru di . Dengan demikian Anda akan menerima jenis baru mantan integral, dekat atau bahkan sesuai dengan salah satu tabular.Solusi integral jenis kedua
Jika integral tersebut merupakan integral jenis kedua, bentuk vektor dari integral tersebut, maka Anda perlu menggunakan aturan untuk berpindah dari integral ini ke integral skalar. Salah satu aturan tersebut adalah rasio Ostrogradsky-Gauss. hukum ini memungkinkan lewat dari aliran rotor dari beberapa fungsi vektor ke integral rangkap tiga melalui divergensi dari medan vektor yang diberikan.Substitusi limit integrasi
Setelah menemukan antiturunan, perlu untuk mensubstitusikan batas-batas integrasi. Pertama, substitusikan nilai batas atas ke dalam ekspresi antiturunan. Anda akan menerima beberapa nomor. Selanjutnya, kurangi dari angka yang dihasilkan angka lain, batas bawah yang dihasilkan untuk antiturunan. Jika salah satu limit integrasinya adalah tak hingga, maka substitusikan ke dalam fungsi antiturunan perlu untuk pergi ke batas dan menemukan apa ekspresi cenderung.Jika integralnya adalah dua dimensi atau tiga dimensi, maka Anda harus menyatakan batas geometrik integrasi untuk memahami cara menghitung integral tersebut. Memang, dalam kasus, katakanlah, integral tiga dimensi, batas integrasi dapat berupa seluruh bidang yang membatasi volume yang akan diintegrasikan.
Mari kita mulai dengan sifat-sifat logaritma kesatuan. Rumusannya adalah sebagai berikut: logaritma persatuan nol, yaitu, log a 1=0 untuk setiap a>0 , a≠1 . Buktinya mudah: karena a 0 =1 untuk setiap a yang memenuhi kondisi di atas a>0 dan a≠1 , maka log persamaan terbukti a 1=0 segera mengikuti dari definisi logaritma.
Mari berikan contoh penerapan properti yang dipertimbangkan: log 3 1=0 , lg1=0 dan .
Mari kita beralih ke properti berikutnya: logaritma suatu bilangan sama dengan dasar, sama dengan satu , yaitu, log a = 1 untuk a>0 , a≠1 . Memang, karena a 1 =a untuk setiap a , maka dengan definisi logaritma log a a=1 .
Contoh penggunaan properti logaritma ini adalah log 5 5=1 , log 5.6 5.6 dan lne=1 .
Misalnya, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 dan 
.
Logaritma hasil kali dua bilangan positif x dan y sama dengan produk logaritma dari bilangan-bilangan ini: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma hasil kali. Karena sifat-sifat derajat a log a x+log a y =a log a x a log a y, dan karena dengan identitas logaritma utama a log a x =x dan log a y =y , maka log a x a log a y =x y . Jadi, a log a x+log a y =x y , di mana persamaan yang diperlukan mengikuti definisi logaritma.
Mari kita tunjukkan contoh penggunaan properti logaritma produk: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan 
.
Properti logaritma produk dapat digeneralisasi ke produk dari bilangan terbatas n bilangan positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Kesetaraan ini mudah dibuktikan.
Misalnya, logaritma natural suatu produk dapat diganti dengan jumlah tiga logaritma natural bilangan 4 , e , dan .
Logaritma hasil bagi dua bilangan positif x dan y sama dengan perbedaan antara logaritma dari angka-angka ini. Properti logaritma hasil bagi sesuai dengan rumus bentuk , di mana a>0 , a≠1 , x dan y adalah beberapa bilangan positif. Keabsahan rumus ini dibuktikan dengan rumus logaritma hasil kali: karena 
, maka dengan definisi logaritma .
Berikut adalah contoh penggunaan properti logaritma ini: 
.
Mari kita lanjutkan ke sifat logaritma derajat. Logaritma derajat sama dengan produk eksponen dan logaritma modulus basis derajat ini. Kami menulis properti logaritma derajat ini dalam bentuk rumus: log a b p =p log a |b|, di mana a>0 , a≠1 , b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0 .
Kami pertama membuktikan properti ini untuk b positif . Utama identitas logaritma memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , kemudian b p =(a log a b) p , dan ekspresi yang dihasilkan, berdasarkan sifat daya, sama dengan a p log a b . Jadi kita sampai pada persamaan b p =a p log a b , dari mana, dengan definisi logaritma, kita menyimpulkan bahwa log a b p =p log a b .
Tetap membuktikan sifat ini untuk b negatif. Di sini kita perhatikan bahwa ekspresi log a b p untuk b negatif masuk akal hanya untuk eksponen genap p (karena nilai derajat b p harus lebih besar dari nol, jika tidak, logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam kasus ini b p =|b| p . Kemudian b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, dari mana log a b p =p log a |b| .
Sebagai contoh, 
dan ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Ini mengikuti dari properti sebelumnya properti logaritma dari root: logaritma akar derajat ke-n sama dengan hasil kali pecahan 1/n dan logaritma ekspresi radikal, yaitu, 
, dimana a>0 , a≠1 , n – bilangan asli, lebih besar dari satu, b>0 .
Pembuktian didasarkan pada persamaan (lihat ), yang berlaku untuk setiap positif b , dan sifat logaritma derajat: 
.
Berikut adalah contoh penggunaan properti ini: 
.
Sekarang mari kita buktikan rumus konversi ke basis baru logaritma jenis 
. Untuk melakukan ini, cukup membuktikan validitas persamaan log c b=log a b log c a . Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , lalu log c b=log c a log a b . Tetap menggunakan properti logaritma derajat: log c a log a b = log a b log c a. Dengan demikian, persamaan log c b=log a b log c a terbukti, yang berarti bahwa rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma juga terbukti.
Mari kita tunjukkan beberapa contoh penerapan sifat logaritma ini: dan 
.
Rumus untuk pindah ke basis baru memungkinkan Anda untuk melanjutkan bekerja dengan logaritma yang memiliki basis "nyaman". Misalnya, dengan bantuannya Anda dapat beralih ke alami atau logaritma desimal sehingga Anda dapat menghitung nilai logaritma dari tabel logaritma. Rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma juga memungkinkan dalam beberapa kasus untuk menemukan nilainya diberikan logaritma ketika nilai beberapa logaritma dengan basis lain diketahui.
Sering digunakan kasus spesial rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma untuk c=b dari bentuk 
. Ini menunjukkan bahwa log a b dan log b a – . Sebagai contoh, 
.
Juga sering digunakan adalah rumus 
, yang berguna untuk mencari nilai logaritma. Untuk mengkonfirmasi kata-kata kami, kami akan menunjukkan bagaimana nilai logaritma dari formulir dihitung dengan menggunakannya. Kita punya 
. Untuk membuktikan rumus 
cukup menggunakan rumus transisi ke basis baru logaritma a: 
.
Masih membuktikan sifat perbandingan logaritma.
Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif b 1 dan b 2 , b 1 log a b 2 , dan untuk a>1, log pertidaksamaan a b 1 Akhirnya, masih harus membuktikan yang terakhir dari properti logaritma yang terdaftar. Kami membatasi diri untuk membuktikan bagian pertama, yaitu, kami membuktikan bahwa jika a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 1 benar log a 1 b>log a 2 b . Pernyataan yang tersisa dari sifat logaritma ini dibuktikan dengan prinsip yang sama. Mari kita gunakan cara sebaliknya. Misalkan untuk a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b benar. Dengan sifat-sifat logaritma, pertidaksamaan ini dapat ditulis ulang sebagai: 
dan 
masing-masing, dan dari mereka berikut bahwa log b a 1 log b a 2 dan log b a 1 log b a 2, masing-masing. Kemudian, dengan sifat-sifat pangkat dengan basis yang sama, persamaan b log b a 1 b log b a 2 dan b log b a 1 b log b a 2 harus dipenuhi, yaitu, a 1 a 2 . Dengan demikian, kita telah sampai pada kontradiksi dengan kondisi a 1
Bibliografi.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).
Kami terus mempelajari logaritma. Pada artikel ini kita akan berbicara tentang perhitungan logaritma, proses ini disebut logaritma. Pertama, kita akan berurusan dengan perhitungan logaritma menurut definisi. Selanjutnya, pertimbangkan bagaimana nilai logaritma ditemukan menggunakan propertinya. Setelah itu, kita akan membahas perhitungan logaritma melalui nilai-nilai logaritma lain yang awalnya diberikan. Terakhir, mari belajar bagaimana menggunakan tabel logaritma. Seluruh teori diberikan dengan contoh-contoh dengan solusi rinci.
Navigasi halaman.
Menghitung logaritma menurut definisi
Dalam kasus yang paling sederhana, adalah mungkin untuk melakukan dengan cepat dan mudah menemukan logaritma menurut definisi. Mari kita lihat lebih dekat bagaimana proses ini terjadi.
Esensinya adalah untuk mewakili angka b dalam bentuk a c , di mana, menurut definisi logaritma, angka c adalah nilai logaritma. Artinya, menemukan logaritma menurut definisi sesuai dengan rantai persamaan berikut: log a b=log a a c =c .
Jadi, perhitungan logaritma, menurut definisi, turun untuk menemukan angka c sehingga a c \u003d b, dan angka c itu sendiri adalah nilai logaritma yang diinginkan.
Mengingat informasi dari paragraf sebelumnya, ketika angka di bawah tanda logaritma diberikan oleh beberapa derajat dasar logaritma, maka Anda dapat segera menunjukkan apa yang sama dengan logaritma - itu sama dengan eksponen. Mari kita tunjukkan contoh.
Contoh.
Cari log 2 2 3 , dan juga hitung logaritma natural dari e 5.3 .
Keputusan.
Definisi logaritma memungkinkan kita untuk langsung mengatakan bahwa log 2 2 3 = 3 . Memang, angka di bawah tanda logaritma sama dengan basis 2 pangkat 3.
Demikian pula, kami menemukan logaritma kedua: jalur 5.3 =5.3.
Menjawab:
log 2 2 3 = 3 dan jalur 5.3 =5.3 .
Jika angka b di bawah tanda logaritma tidak diberikan sebagai pangkat dari basis logaritma, maka Anda perlu mempertimbangkan dengan cermat apakah mungkin untuk membuat representasi angka b dalam bentuk a c . Seringkali representasi ini cukup jelas, terutama ketika angka di bawah tanda logaritma sama dengan basis pangkat 1, atau 2, atau 3, ...
Contoh.
Hitung logaritma log 5 25 , dan .
Keputusan.
Sangat mudah untuk melihat bahwa 25=5 2 , ini memungkinkan Anda untuk menghitung logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2 .
Kami melanjutkan ke perhitungan logaritma kedua. Suatu bilangan dapat direpresentasikan sebagai pangkat 7: 
(lihat jika perlu). Karena itu, 
.
Mari kita tulis ulang logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang Anda dapat melihatnya 
, dari mana kita menyimpulkan bahwa 
. Oleh karena itu, dengan definisi logaritma 
.
Secara singkat, solusinya dapat ditulis sebagai berikut: .
Menjawab:
log 5 25=2 , 
dan .
Ketika bilangan asli yang cukup besar berada di bawah tanda logaritma, maka tidak ada salahnya untuk menguraikannya menjadi faktor prima. Seringkali membantu untuk mewakili angka seperti beberapa kekuatan dasar logaritma, dan karena itu menghitung logaritma ini dengan definisi.
Contoh.
Cari nilai logaritmanya.
Keputusan.
Beberapa properti logaritma memungkinkan Anda untuk segera menentukan nilai logaritma. Sifat-sifat ini termasuk sifat logaritma satu dan sifat logaritma bilangan yang sama dengan basis: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1 . Artinya, ketika angka 1 atau angka a berada di bawah tanda logaritma, sama dengan basis logaritma, maka dalam kasus ini logaritmanya masing-masing adalah 0 dan 1.
Contoh.
Apa logaritma dan lg10 ?
Keputusan.
Karena , itu mengikuti dari definisi logaritma 
.
Dalam contoh kedua, angka 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan basisnya, sehingga logaritma desimal dari sepuluh sama dengan satu, yaitu, lg10=lg10 1 =1 .
Menjawab:
Dan lg10=1 .
Perhatikan bahwa menghitung logaritma menurut definisi (yang telah kita bahas di paragraf sebelumnya) menyiratkan penggunaan log kesetaraan a a p =p , yang merupakan salah satu sifat logaritma.
Dalam praktiknya, ketika angka di bawah tanda logaritma dan basis logaritma dengan mudah direpresentasikan sebagai kekuatan beberapa angka, sangat mudah untuk menggunakan rumus 
, yang sesuai dengan salah satu sifat logaritma. Pertimbangkan contoh menemukan logaritma, yang menggambarkan penggunaan rumus ini.
Contoh.
Hitung logaritma dari .
Keputusan.
Menjawab:
.
Sifat-sifat logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam perhitungan, tetapi kita akan membicarakannya dalam paragraf berikut.
Menemukan logaritma dalam hal logaritma lain yang diketahui
Informasi dalam paragraf ini melanjutkan topik penggunaan sifat-sifat logaritma dalam perhitungannya. Tetapi di sini perbedaan utamanya adalah bahwa sifat-sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asli dalam bentuk logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita ambil contoh untuk klarifikasi. Katakanlah kita tahu bahwa log 2 3≈1.584963 , maka kita dapat menemukan, misalnya, log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Dalam contoh di atas, kita cukup menggunakan properti logaritma produk. Namun, jauh lebih sering Anda harus menggunakan gudang properti logaritma yang lebih luas untuk menghitung logaritma asli dalam hal yang diberikan.
Contoh.
Hitung logaritma dari 27 hingga basis 60 jika diketahui log 60 2=a dan log 60 5=b .
Keputusan.
Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Sangat mudah untuk melihat bahwa 27=3 3 , dan logaritma asli, karena sifat dari logaritma derajat, dapat ditulis ulang menjadi 3·log 60 3 .
Sekarang mari kita lihat bagaimana log 60 3 dapat dinyatakan dalam logaritma yang diketahui. Properti logaritma dari angka yang sama dengan basis memungkinkan Anda untuk menulis log kesetaraan 60 60=1 . Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Dengan demikian, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Karena itu, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.
Akhirnya, kami menghitung logaritma asli: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.
Menjawab:
log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.
Secara terpisah, perlu disebutkan arti rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma bentuk 
. Ini memungkinkan Anda untuk berpindah dari logaritma dengan basis apa pun ke logaritma dengan basis tertentu, yang nilainya diketahui atau dimungkinkan untuk menemukannya. Biasanya, dari logaritma asli, menurut rumus transisi, mereka beralih ke logaritma di salah satu basis 2, e atau 10, karena untuk basis ini ada tabel logaritma yang memungkinkan penghitungan nilainya dengan derajat tertentu akurasi. Di bagian selanjutnya, kami akan menunjukkan bagaimana ini dilakukan.
Tabel logaritma, kegunaannya
Untuk perkiraan perhitungan nilai logaritma, seseorang dapat menggunakan tabel logaritma. Yang paling umum digunakan adalah tabel logaritma basis 2, tabel logaritma natural, dan tabel logaritma desimal. Saat bekerja dalam sistem bilangan desimal, akan lebih mudah menggunakan tabel logaritma ke basis sepuluh. Dengan bantuannya, kita akan belajar menemukan nilai-nilai logaritma.
Tabel yang disajikan memungkinkan, dengan akurasi sepersepuluh ribu, untuk menemukan nilai-nilai logaritma desimal angka dari 1.000 hingga 9.999 (dengan tiga tempat desimal). Kami akan menganalisis prinsip menemukan nilai logaritma menggunakan tabel logaritma desimal menggunakan contoh spesifik - lebih jelas. Mari temukan lg1,256 .
Di kolom kiri tabel logaritma desimal kami menemukan dua digit pertama dari angka 1.256, yaitu, kami menemukan 1.2 (angka ini dilingkari dengan warna biru untuk kejelasan). Digit ketiga dari angka 1.256 (angka 5) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garis ganda (angka ini dilingkari merah). Digit keempat dari angka asli 1.256 (angka 6) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis ganda (angka ini dilingkari dengan warna hijau). Sekarang kita menemukan angka-angka dalam sel tabel logaritma di persimpangan baris yang ditandai dan kolom yang ditandai (angka-angka ini disorot dalam warna oranye). Jumlah angka yang ditandai memberikan nilai yang diinginkan dari logaritma desimal hingga tempat desimal keempat, yaitu, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Apakah mungkin, dengan menggunakan tabel di atas, untuk menemukan nilai logaritma desimal dari angka yang memiliki lebih dari tiga digit setelah titik desimal, dan juga melampaui batas dari 1 hingga 9,999? Ya kamu bisa. Mari kita tunjukkan bagaimana ini dilakukan dengan sebuah contoh.
Mari kita hitung lg102.76332 . Pertama, Anda perlu menulis nomor dalam bentuk standar: 102.76332=1.0276332 10 2 . Setelah itu, mantissa harus dibulatkan ke tempat desimal ketiga, kita punya 1.0276332 10 2 1.028 10 2, sedangkan logaritma desimal asli kira-kira sama dengan logaritma dari angka yang dihasilkan, yaitu, kita mengambil lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sekarang terapkan properti logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Akhirnya, kami menemukan nilai logaritma lg1.028 menurut tabel logaritma desimal lg1.028≈0,0086+0,0034=0,012. Akibatnya, seluruh proses penghitungan logaritma terlihat seperti ini: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.
Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa menggunakan tabel logaritma desimal, Anda dapat menghitung nilai perkiraan logaritma apa pun. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan rumus transisi untuk pergi ke logaritma desimal, menemukan nilainya dalam tabel, dan melakukan perhitungan yang tersisa.
Sebagai contoh, mari kita hitung log 2 3 . Menurut rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma, kami memiliki . Dari tabel logaritma desimal kami menemukan lg3≈0.4771 dan lg2≈0.3010. Dengan demikian, 
.
Bibliografi.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).
Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b * a c = a b + c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, matematikawan Virasen membuat tabel indikator bilangan bulat. Merekalah yang bertugas untuk penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di mana-mana di mana diperlukan untuk menyederhanakan perkalian yang rumit menjadi penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Bahasa yang sederhana dan mudah diakses.
Definisi dalam matematika
Logaritma adalah ekspresi dari bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma dari setiap bilangan non-negatif (yaitu, setiap positif) "b" dengan basisnya "a" dianggap pangkat dari "c" , yang basis "a" harus dinaikkan, sehingga pada akhirnya mendapatkan nilai "b". Mari kita analisis logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana menemukan jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu menemukan gelar sedemikian rupa sehingga dari 2 ke tingkat yang diperlukan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan dalam pikiran Anda, kami mendapatkan nomor 3! Dan memang benar, karena 2 pangkat 3 memberikan angka 8 dalam jawabannya.
Varietas logaritma
Bagi banyak siswa dan siswa, topik ini tampak rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi pada kenyataannya, logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami makna umumnya dan mengingat sifat-sifatnya dan beberapa aturannya. Ada tiga jenis ekspresi logaritma yang berbeda:
- Logaritma natural ln a, dengan basis adalah bilangan Euler (e = 2,7).
- Desimal a, dengan basis 10.
- Logaritma dari setiap nomor b ke basis a>1.
Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi dan reduksi selanjutnya menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, seseorang harus mengingat propertinya dan urutan tindakan dalam keputusannya.
Aturan dan beberapa batasan
Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu, mereka tidak perlu dibahas dan benar. Misalnya, tidak mungkin membagi angka dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar derajat genap dari angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, yang dengannya Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:
- basis "a" harus selalu lebih besar dari nol, dan pada saat yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak, ekspresi akan kehilangan artinya, karena "1" dan "0" pada tingkat apa pun selalu sama dengan nilainya;
- jika a > 0, maka a b > 0, ternyata “c” harus lebih besar dari nol.
Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?
Misalnya, tugas diberikan untuk menemukan jawaban dari persamaan 10 x \u003d 100. Sangat mudah, Anda harus memilih kekuatan seperti itu, menaikkan angka sepuluh yang kita dapatkan 100. Ini, tentu saja, adalah 10 2 \u003d 100.
Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini sebagai logaritmik. Kami mendapatkan log 10 100 = 2. Saat memecahkan logaritma, semua tindakan praktis bertemu untuk menemukan sejauh mana basis logaritma harus dimasukkan untuk mendapatkan angka yang diberikan.
Untuk secara akurat menentukan nilai derajat yang tidak diketahui, Anda harus mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:
Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pola pikir teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, nilai yang lebih besar akan membutuhkan tabel daya. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak mengerti sama sekali dalam topik matematika yang kompleks. Kolom kiri berisi angka (basis a), baris angka paling atas adalah nilai pangkat c, di mana angka a dinaikkan. Di persimpangan sel, nilai angka ditentukan, yang merupakan jawabannya (a c = b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan kuadratkan, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Semuanya sangat sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati pun akan mengerti!
Persamaan dan pertidaksamaan
Ternyata dalam kondisi tertentu, eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritmik. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma dari 81 ke basis 3, yaitu empat (log 3 81 = 4). Untuk pangkat negatif, aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapatkan log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik "logaritma". Kami akan mempertimbangkan contoh dan solusi persamaan sedikit lebih rendah, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa ketidaksetaraan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.
Sebuah ekspresi dari bentuk berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - itu adalah ketidaksetaraan logaritmik, karena nilai yang tidak diketahui "x" berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua kuantitas dibandingkan: logaritma dari angka yang diinginkan di basis dua lebih besar dari angka tiga.
Perbedaan yang paling penting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah bahwa persamaan dengan logaritma (misalnya, logaritma dari 2 x = 9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawaban, sedangkan ketika memecahkan pertidaksamaan, kedua rentang nilai yang dapat diterima dan poin yang melanggar fungsi ini. Akibatnya, jawabannya bukan kumpulan angka individu yang sederhana, seperti pada jawaban persamaan, tetapi deret atau kumpulan angka yang berkesinambungan.
Teorema dasar tentang logaritma
Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, ketika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, perlu dipahami dan diterapkan dengan jelas semua sifat dasar logaritma. Kita akan berkenalan dengan contoh-contoh persamaan nanti, mari kita analisa dulu masing-masing properti lebih detail.
- Identitas dasarnya terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
- Logaritma hasil kali dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini, prasyaratnya adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti untuk rumus logaritma ini, dengan contoh dan solusi. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2 , maka a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat derajat ), dan selanjutnya menurut definisi: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang harus dibuktikan.
- Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.
Rumus ini disebut "sifat derajat logaritma". Ini menyerupai sifat derajat biasa, dan tidak mengherankan, karena semua matematika bertumpu pada postulat biasa. Mari kita lihat buktinya.
Biarkan log a b \u003d t, ternyata a t \u003d b. Jika Anda menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;
tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n , maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema telah terbukti.
Contoh masalah dan ketidaksetaraan
Jenis masalah logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga termasuk dalam bagian wajib ujian matematika. Untuk memasuki universitas atau lulus tes masuk dalam matematika, Anda perlu tahu cara menyelesaikan tugas-tugas tersebut dengan benar.
Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk memecahkan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun, aturan tertentu dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematis atau persamaan logaritma. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi dapat disederhanakan atau direduksi menjadi bentuk umum. Anda dapat menyederhanakan ekspresi logaritmik panjang jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita mengenal mereka segera.
Saat memecahkan persamaan logaritmik, perlu untuk menentukan jenis logaritma yang kita miliki sebelum kita: contoh ekspresi dapat berisi logaritma natural atau desimal.
Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Solusinya bermuara pada fakta bahwa Anda perlu menentukan sejauh mana basis 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk penyelesaian logaritma natural, kita harus menerapkan identitas logaritma atau sifat-sifatnya. Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah logaritmik dari berbagai jenis.
Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Solusi
Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema utama pada logaritma.
- Properti logaritma produk dapat digunakan dalam tugas-tugas di mana perlu untuk menguraikan nilai besar angka b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari derajat logaritma, kami berhasil memecahkan pada pandangan pertama ekspresi yang kompleks dan tidak dapat diselesaikan. Anda hanya perlu memfaktorkan basis dan kemudian mengambil nilai eksponen dari tanda logaritma.
Tugas dari ujian
Logaritma sering ditemukan dalam ujian masuk, terutama banyak sekali soal-soal logaritma pada UN Unified State Exam (ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (bagian tes termudah dari ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling sulit dan banyak). Ujian ini menyiratkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik "logaritma alami".
Contoh dan pemecahan masalah diambil dari versi resmi ujian. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.
Diberikan log 2 (2x-1) = 4. Solusi:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2 , dengan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4 , oleh karena itu 2x = 17; x = 8.5.
- Semua logaritma sebaiknya direduksi menjadi basis yang sama sehingga penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
- Semua ekspresi di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh karena itu, ketika mengambil eksponen dari eksponen ekspresi, yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.
diturunkan dari definisinya. Dan jadi logaritma dari angka b dengan alasan sebuah didefinisikan sebagai eksponen yang angkanya harus dinaikkan sebuah untuk mendapatkan nomornya b(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).
Dari rumusan ini maka perhitungannya x = log a b, setara dengan menyelesaikan persamaan kapak = b. Sebagai contoh, log 2 8 = 3 karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, maka logaritma dari bilangan tersebut b dengan alasan sebuah sama dengan dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma berkaitan erat dengan topik pangkat suatu bilangan.
Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan dan mengubah dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi mengingat fakta bahwa logaritma bukanlah bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut sifat dasar.
Penjumlahan dan pengurangan logaritma.
Ambil dua logaritma dengan basis yang sama: log x dan log a y. Kemudian hapus dimungkinkan untuk melakukan operasi penambahan dan pengurangan:
log a x+ log a y= log a (x y);
log a x - log a y = log a (x:y).
log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.
Dari teorema logaritma hasil bagi satu lagi properti logaritma dapat diperoleh. Diketahui bahwa log sebuah 1 = 0, oleh karena itu,
catatan sebuah 1 /b= log sebuah 1 - log a b= -log a b.
Jadi ada persamaan:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritma dari dua bilangan yang saling berlawanan atas dasar yang sama akan berbeda satu sama lain hanya dalam tanda. Jadi:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
