ასევე იხილეთ: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

აბსტრაქცია მათემატიკაში ორნახევარი ათასწლეულია გამოიყენება. განზომილებიანი წერტილი, რაც ეწინააღმდეგება არა მარტო საღი აზრი, არამედ ცოდნა მიმდებარე სამყაროს შესახებ, მიღებული ისეთი მეცნიერებებით, როგორიცაა ფიზიკა, ქიმია, კვანტური მექანიკადა ინფორმატიკა.

სხვა აბსტრაქციებისგან განსხვავებით, უგანზომილებიანი მათემატიკური წერტილის აბსტრაქცია არ ახდენს რეალობის იდეალიზებას, ამარტივებს მის შემეცნებას, არამედ მიზანმიმართულად ამახინჯებს მას, აძლევს მას საპირისპირო მნიშვნელობას, რაც, კერძოდ, ფუნდამენტურად შეუძლებელს ხდის უმაღლესი განზომილებების სივრცის გაგებას და შესწავლას!

უგანზომილებიანი წერტილის აბსტრაქციის გამოყენება მათემატიკაში შეიძლება შევადაროთ საბაზისო გამოყენებას ფულადი ერთეულინულოვანი ხარჯით. საბედნიეროდ, ეკონომიკას ამაზე არ უფიქრია.

მოდით დავამტკიცოთ უგანზომილებიანი წერტილის აბსტრაქციის აბსურდულობა.

თეორემა. მათემატიკური წერტილი მოცულობითია.

მტკიცებულება.

ვინაიდან მათემატიკაში

წერტილი_ზომა = 0,

სასრული (არანულოვანი) სიგრძის სეგმენტისთვის გვაქვს

სეგმენტის_ზომა = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

სეგმენტის მიღებული ნულოვანი ზომა, როგორც მისი შემადგენელი წერტილების თანმიმდევრობა, ეწინააღმდეგება სეგმენტის სიგრძის სასრულობის პირობას. გარდა ამისა, ნულოვანი წერტილის ზომა აბსურდულია იმით, რომ ნულების ჯამი არ არის დამოკიდებული ტერმინების რაოდენობაზე, ანუ სეგმენტში "ნულოვანი" წერტილების რაოდენობა არ ახდენს გავლენას სეგმენტის ზომაზე.

აქედან გამომდინარე, ორიგინალური ვარაუდი მათემატიკური წერტილის ნულოვანი ზომის შესახებ არასწორია.

ამრიგად, შეიძლება ითქვას, რომ მათემატიკურ წერტილს აქვს არანულოვანი (სასრული) ზომა. ვინაიდან წერტილი ეკუთვნის არა მხოლოდ სეგმენტს, არამედ იმ სივრცეს, რომელშიც მდებარეობს სეგმენტი, მას აქვს სივრცის განზომილება, ანუ მათემატიკური წერტილი არის მოცულობითი. ქ.ე.დ.

შედეგი.

ზემოთ მოყვანილი მტკიცებულება, შესრულებული მათემატიკური აპარატის გამოყენებით უმცროსი ჯგუფი საბავშვო ბაღიამყარებს სიამაყეს მღვდლებისა და „ყველა მეცნიერების დედოფლის“ ადეპტების უსაზღვრო სიბრძნით, რომლებმაც მოახერხეს ათასწლეულების გავლა და შთამომავლობისთვის თავდაპირველი სახით შენახვა კაცობრიობის უძველესი ილუზიებით.

მიმოხილვები

ძვირფასო ალექსანდრე! მათემატიკაში არ ვარ ძლიერი, მაგრამ იქნებ მითხრათ სად და ვის მიერ არის მითითებული, რომ წერტილი ნულის ტოლია? კიდევ ერთი რამ, მას აქვს უსასრულო მცირე რაოდენობით, კონვენციამდე, მაგრამ საერთოდ არ არის ნული. ამრიგად, ნებისმიერი სეგმენტი შეიძლება ჩაითვალოს ნულამდე, რადგან არსებობს სხვა სეგმენტი, რომელიც შეიცავს უსასრულო ნაკრებისაწყისი სეგმენტები, უხეშად რომ ვთქვათ. იქნებ არ უნდა ავურიოთ მათემატიკა და ფიზიკა. მათემატიკა არის მეცნიერება ყოფიერების შესახებ, ფიზიკა არის არსებულის შესახებ. პატივისცემით.

აქილევსი ორჯერ დაწვრილებით და არაერთხელ ვახსენე:
"რატომ არ დაეწია აქილევსი კუს"
"აქილევსი და კუ - პარადოქსი კუბში"

შესაძლოა, ზენონის პარადოქსის ერთ-ერთი გამოსავალი არის ის, რომ სივრცე დისკრეტულია და დრო უწყვეტი. მან ჩათვალა, როგორც შენთვის შესაძლებელია, ორივე დისკრეტულია. სხეულს შეუძლია გარკვეული დროით დარჩეს სივრცეში რაღაც მომენტში. მაგრამ ის არ შეიძლება იყოს ერთდროულად სხვადასხვა ადგილას. ეს ყველაფერი, რა თქმა უნდა, სამოყვარულოა, ისევე როგორც მთელი ჩვენი დიალოგი. პატივისცემით.
სხვათა შორის, თუ წერტილი არის 3D, რა არის მისი ზომები?

დროის დისკრეტულობა მოჰყვება, მაგალითად, აპორიას „ისარი“. "ერთდროულად დარჩენა სხვადასხვა ადგილას" შეიძლება იყოს ელექტრონი მხოლოდ ფიზიკოსებისთვის, რომლებსაც, პრინციპში, არ ესმით და არ ეთანხმებიან არც ეთერის სტრუქტურას და არც 4-განზომილებიანი სივრცის სტრუქტურას. მე არ ვიცი ამ ფენომენის სხვა მაგალითები. ჩვენს საუბარში „მოყვარულობას“ ვერ ვხედავ. პირიქით, ყველაფერი ძალიან მარტივია: წერტილი ან განზომილებიანია, ან აქვს ზომა; უწყვეტობა და უსასრულობა ან არსებობს ან არ არსებობს. მესამე არ არის მოცემული - ან ჭეშმარიტი ან მცდარი! საფუძვლებიმათემატიკოსები, სამწუხაროდ, აგებულნი არიან ცრუ დოგმებზე, მიღებული უცოდინრობის გამო 2500 წლის წინ.

წერტილის ზომა დამოკიდებულია მოგვარებული პრობლემის მდგომარეობაზე და საჭირო სიზუსტეზე. მაგალითად, თუ მექანიზმი განკუთვნილია მაჯის საათი, მაშინ სიზუსტე შეიძლება შემოიფარგლოს ატომის ზომით, ანუ რვა ათობითი ადგილით. თავად ატომი აქ იქნება მათემატიკური წერტილის ფიზიკური ანალოგი. შეიძლება დაგჭირდეთ სადმე 16-სიმბოლოიანი სიზუსტე; მაშინ წერტილის როლს შეასრულებს ეთერის ნაწილაკი. გაითვალისწინეთ, რომ საუბარი პრაქტიკაში თითქოსდა „უსასრულო“ სიზუსტეზე გადადის ველურ სისულელედ, ან, რბილად რომ ვთქვათ, აბსურდში.

მე მაინც ვერ გავიგე: არსებობს აზრი? თუ ის ობიექტურად არსებობს, მაშასადამე, მას აქვს გარკვეული ფიზიკური ღირებულება, თუ არსებობს სუბიექტურად, ჩვენი გონების აბსტრაქციის სახით, მაშინ მას აქვს მათემატიკური მნიშვნელობა. ნულს არაფერი აქვს, ის არ არსებობს, ეს არის არარსებობის აბსტრაქტული განმარტება მათემატიკაში ან სიცარიელის ფიზიკაში. წერტილი თავისთავად არ არსებობს ურთიერთობის მიღმა. როგორც კი მეორე წერტილი გამოჩნდება, ჩნდება სეგმენტი - რაღაც და ა.შ. ეს თემა შეიძლება უსასრულოდ განვითარდეს. ერთად uv.

მომეჩვენა, რომ მოვიყვანე კარგი მაგალითი, მაგრამ ალბათ არ არის საკმარისად დეტალური. ობიექტურად, არსებობს სამყარო, რომელსაც მეცნიერება იცნობს და ამჟამად ის ძირითადად მათემატიკური მეთოდებით იცნობს. მათემატიკა ცნობს სამყაროს კონსტრუქციით მათემატიკური მოდელები. ამ მოდელების ასაშენებლად, ძირითადი მათემატიკური აბსტრაქციები, კერძოდ, როგორიცაა: წერტილი, წრფე, უწყვეტობა, უსასრულობა. ეს აბსტრაქციები ძირითადია, რადგან აღარ არის შესაძლებელი მათი შემდგომი დაყოფა და გამარტივება. თითოეული ძირითადი აბსტრაქცია შეიძლება იყოს ადეკვატური ობიექტური რეალობა(მართალია) თუ არა (მცდარი). ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი აბსტრაქცია თავდაპირველად მცდარია, რადგან ისინი ეწინააღმდეგება უახლეს ცოდნას რეალური სამყაროს შესახებ. ასე რომ, ეს აბსტრაქციები ხელს უშლის სწორი გაგება რეალური სამყარო. შეიძლება როგორმე შეეგუო ამას, სანამ მეცნიერება სწავლობდა სამგანზომილებიან სამყაროს. თუმცა, უგანზომილებიანი წერტილისა და უწყვეტობის აბსტრაქციები უმაღლესი განზომილების ყველა სამყაროს პრინციპში შეუცნობს ხდის!

სამყაროს აგური - წერტილი - არ შეიძლება იყოს სიცარიელე. ყველამ იცის, რომ სიცარიელისგან არაფერი მოდის. ფიზიკოსებმა, რომლებიც ეთერს არარსებულად აცხადებდნენ, სამყარო სიცარიელეებით ავსებდნენ. მე მჯერა, რომ მათემატიკა თავისი ცარიელი წერტილით უბიძგებს მათ ამ სისულელემდე. მე არ ვსაუბრობ 4D-ზე მაღალი განზომილების სამყაროების ატომებზე - წერტილებზე. ასე რომ, თითოეული განზომილებისთვის განუყოფელი (პირობითად) მათემატიკური წერტილის როლს ასრულებს ამ სამყაროს (სივრცე, მატერია) (პირობითად) განუყოფელი ატომი. 3D-სთვის - ფიზიკური ატომი, 4D-სთვის - ეთერის ნაწილაკი, 5D-სთვის - ასტრალური ატომი, 6D-სთვის - გონებრივი ატომი და ა.შ. პატივისცემით,

ასე რომ, მიუხედავად ამისა, სამყაროს აგურს აქვს გარკვეული აბსოლუტური მნიშვნელობა? და რას წარმოადგენს ის, თქვენი აზრით, ეთერულ თუ მენტალურ სამყაროში. მეშინია ვიკითხო თვით სამყაროებზე. ინტერესით...

ეთერის ნაწილაკები (ისინი არ არიან ატომები!) არის ელექტრონ-პოზიტრონის წყვილი, რომლებშიც თავად ნაწილაკები ბრუნავენ ერთმანეთთან შედარებით სინათლის სიჩქარით. ეს სრულად ხსნის ყველა ნუკლეონის სტრუქტურას, გამრავლებას ელექტრომაგნიტური რხევებიდა ყველა ეფექტი ე.წ ფიზიკური ვაკუუმი. აზროვნების ატომის სტრუქტურა ვინმესთვის უცნობია. არსებობს მხოლოდ მტკიცებულება, რომ ყველა ყველაზე უმაღლესი სამყაროებიმასალა, ანუ მათ აქვთ საკუთარი ატომები. აბსოლუტის საკითხამდე. თუმცა ირონიულად ხარ. მართლა ჭიის ხვრელებიდა დიდი აფეთქებებიუფრო დამაჯერებლად მიგაჩნიათ?

რა არის აქ ირონია, ცოტა გაოგნებული ინფორმაციის ასეთი ზვავის შემდეგ. მე, თქვენგან განსხვავებით, არ ვარ პროფესიონალი და მიჭირს რაიმეს თქმა სივრცეების ხუთ-ექვსგანზომილებიანობაზე. მე სულ ჩვენს სულგრძელ აზრზე ვარ... რამდენადაც მე მესმის, თქვენ წინააღმდეგი ხართ მატერიალური უწყვეტობისა და საქმე იმაშია, რომ თქვენ გაქვთ ნამდვილად არსებული "დემოკრატიული" ატომი. "სამყაროს აგური". შეიძლება მე ვიყავი უყურადღებო, მაგრამ მაინც, ნუ მოგერიდებათ გავიმეორო, რა არის მისი სტრუქტურა, ფიზიკური პარამეტრები, ზომები და ა.შ.
და ასევე უპასუხეთ, არსებობს თუ არა ერთეული თავისთავად, როგორც ასეთი, რაიმე ურთიერთობის მიღმა? Გმადლობთ.

MKOOST SANATORIUM-ის სკოლა-ინტერნატი

წერტილი და გეომეტრიული ფიგურები.

Კვლევამათემატიკა.

დაასრულა: ანატოლი ვასილიევი, III კლასის მოსწავლე

სამუშაო მენეჯერი:

დუბოვაია ნატალია ლეონიდოვნა,

Დაწყებითი სკოლის მასწავლებელი.

ტომმოტი, 2013 წელი

1. მოკლე ანოტაცია. ..................................................... ...................2
2. Ანოტაცია. ..................................................... ................................3
3. Კვლევითი სტატია. ..................................................... ...................6
4. დასკვნა................................................ ..............................................7

ბიბლიოგრაფია.

მოკლე ანოტაცია.

ნაშრომში განხილულია წერტილი და გეომეტრიული ფორმები: წრფე, სხივი, სეგმენტი, კუთხე, სამკუთხედი, ოთხკუთხედი, წრე და წრე, აგრეთვე წერტილის როლი ამ ფიგურების შედგენისა და აგებაში.

Ანოტაცია.

კვლევის მიზანი:გაარკვიეთ რა იგულისხმება წერტილის ცნებებში და რა გეომეტრიული ფორმებისგან შედგება: სწორი ხაზი, სხივი, კუთხე, ოთხკუთხედი, სამკუთხედი, წრე.

კვლევის ობიექტი:წერტილი და გეომეტრიული ფორმების განმარტებები: წრფე, სხივი, კუთხე, ოთხკუთხედი, სამკუთხედი, წრე.

კვლევის საგანი:წერტილი და გეომეტრიული ფორმები: სწორი ხაზი, სხივი, კუთხე, ოთხკუთხედი, სამკუთხედი, წრე.

კვლევის ჰიპოთეზა:წერტილი - ერთადერთი გეომეტრიული ფიგურა, ხოლო დანარჩენი მრავალი წერტილისგან შედგება.

კვლევის მიზნები:

1. სასწავლო მასალა თემაზე: „წერტილი და გეომეტრიული ფიგურები: სწორი ხაზი, სხივი, კუთხე, ოთხკუთხედი, სამკუთხედი, წრე.“;
2. იპოვეთ წერტილის, სწორი ხაზის, ოთხკუთხედის, სამკუთხედის, კუთხის, სხივის, წრის განმარტებები;
3. წარმოადგინონ თავიანთი ანალიზი და რეფლექსია თემაზე;
4. წარმოადგინეთ პრეზენტაცია ამ კვლევით ნაშრომზე დაყრდნობით.

Კვლევის მეთოდები:ლიტერატურის შესწავლა, ლექსიკონებთან მუშაობა, კვლევის ანალიზი, დასკვნა.

Კვლევითი სტატია.

მათემატიკა წარმოიშვა ანტიკური დროხალხის პრაქტიკული მოთხოვნილებებიდან. მათემატიკის სიძველეზე არავინ კამათობს, მაგრამ არსებობს სხვა მოსაზრება იმის შესახებ, თუ რამ უბიძგა ხალხს ამისკენ. მისი თქმით, მათემატიკა, ისევე როგორც პოეზია, მხატვრობა, მუსიკა, თეატრი და ზოგადად ხელოვნება, გააცოცხლა ადამიანის სულიერმა მოთხოვნილებებმა, მისმა, შესაძლოა, ჯერ კიდევ ბოლომდე გაცნობიერებულმა სურვილმა ცოდნისა და სილამაზის მიმართ.

ოდესმე გიფიქრიათ რა არის წერტილი და რა გეომეტრიული ფორმებისგან შედგება?

ერთი შეხედვით, აქ ყველაფერი ნათელია: წერტილი არის წერტილი, სწორი ხაზი არის სწორი, რა შეიძლება იყოს აქ გაუგებარი? ერთი და იგივე, როგორ უნდა ავუხსნათ ეს იმას, ვინც საერთოდ არ იცის ეს და, უფრო მეტიც, ყველაფერი ძალიან სიტყვასიტყვით ესმის? ასე მარტივია? თურმე სულაც არა!

შრომის გაკვეთილებზე, როდესაც ვსწავლობდით იზოთრედის ტექნიკას, მე მქონდა ვარაუდი, რომ ყველა გეომეტრიული ფორმა შედგება წერტილებისგან. სწორედ ამ თემას გადავწყვიტე მიმეძღვნა ჩემი კვლევითი სამუშაო.

”მე ვიცი, რომ არაფერი ვიცი”, - თქვა სოკრატემ და ცდილობდა თანამოსაუბრესთან დიალოგის საშუალებით გაერკვია, რა იცის მან. ამიტომ, გადავწყვიტე ჯერ გამეგო, რა ვიცი გეომეტრიული ფორმების შესახებ.

მაშ ასე, გადავხედოთ ჩემი კვლევითი სამუშაოს თემით მითითებულ გეომეტრიული ფორმების განმარტებებს.

1. Წერტილი - ეს არის ნიშანი, კვალი შეხებიდან, ინექცია რაღაც მკვეთრი; პატარა მრგვალი ლაქა, ლაქა; რაღაც ძალიან პატარა, ძლივს შესამჩნევი. წერტილი არის ძირითადი გეომეტრიული ფიგურა

1. ხაზი - ბევრი ქულაა. თუ გეომეტრიის აგების საფუძველი არის სივრცეში წერტილებს შორის მანძილის კონცეფცია, მაშინ სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ხაზი, რომლის გასწვრივ ორ წერტილს შორის მანძილი ყველაზე მოკლეა.პირდაპირი - არის ხაზი, რომელიც თანაბრად მდებარეობს მისი ყველა წერტილის მიმართ. ტერმინი „ხაზი“ წარმოიშვა ლათინური linum-დან - „თეთრეული, სელის ძაფი“.

_________________________________________________

1. რეი არის წრფის ნაწილი, რომელიც შედგება ამ წრფის ყველა წერტილისგან, რომელიც მდებარეობს მისი მოცემული წერტილის ერთ მხარეს.

1. ხაზის სეგმენტი არის წრფის ნაწილი, რომელიც შედგება ამ წრფის ყველა წერტილისგან, რომელიც მდებარეობს მასზე მოცემულ ორ წერტილს შორის.

1. ინექცია - ეს არის ფიგურა, რომელიც შედგება კუთხის წვეროსა და ორი განსხვავებული ნახევარწრისაგან, რომლებიც ჩამოდიან ამ წერტილიდან, კუთხის გვერდებიდან.

1. ოთხკუთხედიარის ფიგურა, რომელიც შედგება ოთხი ქულადა ოთხი ზედიზედ დამაკავშირებელი სეგმენტი.

1. სამკუთხედი - ფიგურა, რომელიც შედგება სამი წერტილისგან, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე, რომლებიც დაკავშირებულია სეგმენტებით.

1. Წრე -

წრე არის ფიგურა, რომელიც შედგება სიბრტყის ყველა წერტილისგან, რომელიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული მოცემული წერტილიდან. დახურული ხაზი წრის გარშემო.

დასკვნა.

წერტილისა და სწორი ხაზის ცნებები ჩვენს ცხოვრებაში ყველგან და ყველგან გვხვდება. მაგალითად, თუ რუსულ ენას გადახედავთ, მაშინ წერტილი არის სასვენი ნიშანი (.), რომელიც გამოყოფს სრულ წინადადებას. ასევე რუსულში არის ისეთი სასვენი ნიშნები, როგორიცაა მძიმით, ორწერტით, ელიფსისით.

ფიზიკაში წერტილი - გარკვეული ღირებულებარაოდენობები.

გეოგრაფიაში წერტილი განიხილება, როგორც კონკრეტული ადგილი სივრცეში.

ბიოლოგიაში ეს არის მცენარეების ზრდის წერტილი.

ქიმიაში - გაყინვის წერტილი, დუღილის წერტილი, დნობის წერტილი.

მუსიკაში წერტილი არის ნიშანი, რომელიც მუსიკალური ნოტაციის ერთ-ერთი ძირითადი ელემენტია.

მათემატიკაში წერტილი არის ძირითადი გეომეტრიული ფიგურა; ორი წრფის გადაკვეთა, ხაზის სეგმენტის საზღვარი, სხივის დასაწყისი და ა.შ.

ნებისმიერი ფიგურის ასაგებად, ჩვენ გვჭირდება წერტილი. სწორი ხაზის განმარტებაზე დაყრდნობით,ხაზი არის ბევრი ქულა, და განმარტებებიდან ვიცით, რომ ნებისმიერი ფიგურა აგებულია წერტილისა და წრფის გამოყენებით, ამიტომ ყველა ფიგურა შედგება წერტილებისგან.

ჩვენს ცხოვრებაში, წერტილი არის ინექციის სამკერდე ნიშანი, პატარა ლაქა.

ჩემი კვლევითი სამუშაოები მივყავართ დასკვნამდე, რომ წერტილი ერთადერთი გეომეტრიული ფიგურაა. ყველაფერი წერტილით იწყება და ამით მთავრდება და ჯერ უცნობია, რა გახსნა იქნება მისი დასაწყისი.

ლიტერატურა:

1 .აქსენოვა მ.დ. ენციკლოპედია ბავშვებისთვის. T.11. - მათემატიკა, მ .: ავანტა +, 1999. გვ. 575.

2 .ატანასიანი ლ.ს., გეომეტრია, 7-9: სახელმძღვანელო ამისთვის საგანმანათლებო ინსტიტუტები/ მე-12 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 2002. გვ. 5, 146, 177,178.

3. ატანასიანი L.S., გეომეტრია, 10-11: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის / მე-15 გამოცემა, დამატება. - მ.: განათლება, 2006. გვ.5-7.

4 .ვინოგრადოვი ი.მ., მათემატიკური ენციკლოპედია / მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. გვ 410, 722.

5 .ევგენევა ა.პ. რუსული ენის ლექსიკონი. - მ.: განმანათლებლობა, 1984 წ.

6 .ყაბარდო ო.ფ. ფიზიკა: საცნობარო მასალები. - მ.: განათლება, 1991 წ.

7 .კრამერ გ. მათემატიკური მეთოდებისტატისტიკა, ინგლისურიდან თარგმნილი, მე-2 გამოცემა, მ., 1975 წ.

8 .ლაპატუხინი მ.ს. სკოლა ლექსიკონიᲠუსული ენა. - მ.: განათლება, 1981 წ.

9 .პროხოროვი ა.მ. დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი. - მ.: განათლება, 1998 წ.

10. პროხოროვი იუ.ვ. მათემატიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი. - მ.: განათლება, 1998 წ.

11 .სავინი ა.პ. ენციკლოპედიური ლექსიკონი ახალგაზრდა მათემატიკოსი. - მ.: პედაგოგიკა, 1985, გვ.69.

12 .შარიგინი ი.ფ. ვიზუალური გეომეტრია. - მ.: განათლება, 1995 წ.

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ წერტილი. წერტილების ნაკრები თვითმფრინავზე

Წერტილი - აბსტრაქტული ობიექტისივრცეში, რომელსაც არ გააჩნია რაიმე გაზომვადი მახასიათებლები (ნულოვანი განზომილებიანი ობიექტი). წერტილი არის ერთ-ერთი ფუნდამენტური ცნებებიმათემატიკაში.

წერტილი ევკლიდეს გეომეტრიაში

ევკლიდემ განსაზღვრა წერტილი, როგორც "ობიექტი ნაწილების გარეშე". ევკლიდეს გეომეტრიის თანამედროვე აქსიომიკაში წერტილი არის პირველადი კონცეფცია, რომელიც განისაზღვრება მხოლოდ მისი თვისებების - აქსიომების ჩამონათვალით.

არჩეულ კოორდინატთა სისტემაში, ორგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ნებისმიერი წერტილი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მოწესრიგებული წყვილის სახით ( x; წ) რეალური რიცხვები. ანალოგიურად, მიუთითეთ ნ-განზომილებიანი ევკლიდური სივრცე (ისევე როგორც ვექტორული ან აფინური სივრცე) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ტოპის სახით ( ა 1 , ა 2 , … , ა ნ)-დან ნნომრები.

ბმულები

• წერტილი(ინგლისურად) PlanetMath ვებსაიტზე.
• ვაისტეინი, ერიკ ვ.მიუთითეთ Wolfram MathWorld ვებსაიტზე.

წერტილი არის:

წერტილი წერტილი არსებითი სახელი, კარგად., გამოყენება ხშირად მორფოლოგია: (არა) რა? წერტილები, რა? წერტილი, (იხილეთ) რა? წერტილი, როგორ? წერტილი, რის შესახებ? პუნქტის შესახებ; pl. რა? წერტილები, (არა რა? ქულები, რა? ქულები, (იხილეთ) რა? წერტილები, როგორ? წერტილები, რის შესახებ? ქულების შესახებ 1. Წერტილი- ეს არის პატარა მრგვალი ლაქა, კვალი რაიმე მკვეთრთან ან ნაწერთან შეხებიდან.

წერტილოვანი ნიმუში. | პუნქციის წერტილი. | რუკაზე ქალაქი მითითებულია პატარა წერტილით და ხელმისაწვდომობით შემოვლითი გზამხოლოდ გამოცნობა შეიძლება.

2. Წერტილი- ეს არის რაღაც ძალიან პატარა, ცუდად შესამჩნევი სიშორის ან სხვა მიზეზების გამო.

წერტილი ჰორიზონტზე. | როდესაც ბურთი ცის დასავლეთ ნაწილში ჰორიზონტს მიუახლოვდა, მან ნელ-ნელა ზომით კლება დაიწყო, სანამ წერტილად იქცა.

3. Წერტილი- სასვენი ნიშანი, რომელიც იდება წინადადების ბოლოს ან სიტყვების შემოკლებისას.

დააყენე წერტილი. | არ დაგავიწყდეთ წინადადების ბოლოს წერტილის დასმა

4. მათემატიკაში, გეომეტრიასა და ფიზიკაში წერტილიარის ერთეული, რომელსაც აქვს პოზიცია სივრცეში, ხაზის სეგმენტის საზღვარი.

მათემატიკური წერტილი.

5. წერტილიდაურეკა გარკვეული ადგილისივრცეში, მიწაზე ან რაიმეს ზედაპირზე.

განთავსების წერტილი. | ტკივილის წერტილი.

6. წერტილიდაასახელეთ ადგილი, სადაც რაღაც მდებარეობს ან ხორციელდება, გარკვეული კვანძი სისტემაში ან ნებისმიერი წერტილის ქსელში.

თითოეულ განყოფილებას უნდა ჰქონდეს თავისი ნიშანი.

7. წერტილიისინი რაღაცის განვითარების ზღვარს, განვითარების გარკვეულ დონეს ან მომენტს უწოდებენ.

ნაი უმაღლესი წერტილი. | განვითარების წერტილი. | ვითარებამ კრიტიკულ წერტილამდე მიაღწია. | ეს არის ადამიანის სულიერი ძალის გამოვლენის უმაღლესი წერტილი.

8. წერტილიეწოდება ტემპერატურის ზღვარი, რომლის დროსაც ხდება ნივთიერების გარდაქმნა ერთიდან აგრეგაციის მდგომარეობამეორეში.

Დუღილის წერტილი. | Გაყინვის წერტილი. | დნობის წერტილი. | Როგორ მეტი სიმაღლერაც უფრო დაბალია წყლის დუღილის წერტილი.

9. მძიმით (;)სასვენ ნიშანს უწოდებენ, რომელიც გამოიყენება საერთო, მეტის გამოსაყოფად დამოუკიდებელი ნაწილებირთული წინადადება.

AT ინგლისური ენაპრაქტიკულად იგივე სასვენი ნიშნები გამოიყენება როგორც რუსულში: წერტილი, მძიმე, მძიმით, ტირე, აპოსტროფი, ფრჩხილები, ელიფსი, კითხვითი და ძახილის ნიშნები, დეფისი.

10. როცა საუბრობენ შეხედულება, იგულისხმება ვინმეს აზრი გარკვეული პრობლემის შესახებ, რაღაცეების შეხედვა.

ახლა ნაკლებად პოპულარულია სხვა თვალსაზრისი, ადრე თითქმის საყოველთაოდ აღიარებული. | ამ თვალსაზრისს დღეს არავინ იზიარებს.

11. თუ ადამიანებზე ამბობენ კონტაქტის წერტილებიამიტომ მათ საერთო ინტერესები აქვთ.

ჩვენ შეგვიძლია საერთო ენის გამონახვა.

12. თუ რამე ითქვა წერტილიდან წერტილამდე, რაც ნიშნავს აბსოლუტურად ზუსტ შესატყვისს.

წერტილიდან წერტილამდე იმ ადგილას, სადაც მითითებული იყო, ყავისფერი მანქანა იყო.

13. თუ ადამიანზე ამბობენ მიაღწია წერტილს, რაც იმას ნიშნავს, რომ მან მიაღწია უკიდურეს ზღვარს ზოგიერთი უარყოფითი თვისების გამოვლენაში.

ჩვენ მივედით პუნქტამდე! ასე ცხოვრება აღარ შეგიძლია! | ვერ გეტყვით, რომ საიდუმლო სამსახურებმა მისი ბრძნული ხელმძღვანელობით მიაღწიეს საქმეს.

14. თუ ვინმე ბოლოს აყენებსზოგიერთ ბიზნესში, ეს ნიშნავს, რომ ის აჩერებს მას.

შემდეგ ემიგრაციიდან სამშობლოში, რუსეთში დაბრუნდა საბჭოთა კავშირიდა ამან ბოლო მოუღო მის ყველა ძიებას და ფიქრს.

15. თუ ვინმე წერტილი "და"(ან მეტი ი), რაც იმას ნიშნავს, რომ საქმეს ლოგიკურ დასასრულამდე მიიყვანს, არაფერს ტოვებს უთქმელად.

მოდი წერტილი გავავლოთ მე. შენი ინიციატივის შესახებ არაფერი ვიცოდი.

16. თუ ვინმე ურტყამს ერთ ქულას, რაც იმას ნიშნავს, რომ მან მთელი ძალები ერთი მიზნის მიღწევაზე გაამახვილა.

ამიტომაა მისი გამოსახულებები ასე გამორჩეული; ის ყოველთვის ურტყამს ერთ ქულას, არასოდეს არ გაიტაცებს უმნიშვნელო დეტალებს. | მას კარგად ესმის, რა არის მისი ბიზნესის ამოცანა და მიზანმიმართულად ურტყამს ერთ წერტილს.

17. თუ ვინმე ადგილზე მოხვდა, რაც იმას ნიშნავს, რომ მან თქვა ან გააკეთა ზუსტად ის, რაც საჭირო იყო, გამოიცნო.

კონკურსის მომდევნო ტურში მოსულმა პირველივე ასომ სასიამოვნოდ გააკვირვა რედაქტორები - ერთ-ერთ ჩამოთვლილ ვარიანტში ჩვენი მკითხველი მაშინვე მოხვდა ნიშანს!

წერტილი ადგ.

აკუპრესურა.

რუსული ენის განმარტებითი ლექსიკონი დიმიტრიევი. დ.ვ.დმიტრიევი. 2003 წ.

Წერტილი

Წერტილიშეიძლება ნიშნავდეს:

ვიქციონერს აქვს სტატია "წერტილი"

• წერტილი არის აბსტრაქტული ობიექტი სივრცეში, რომელსაც არ გააჩნია რაიმე გაზომვადი მახასიათებელი, გარდა კოორდინატებისა.
• Წერტილი - დიაკრიტული, რომელიც შეიძლება განთავსდეს ასოს ზემოთ, ქვემოთ ან შუაში.
• წერტილი - მანძილის საზომი ერთეული რუსულ ენაზე და ინგლისური სისტემებიზომები.
• წერტილი არის ათობითი გამყოფის ერთ-ერთი გამოსახულება.
• Dot (ქსელის ტექნოლოგიები) - ძირეული დომენის აღნიშვნა გლობალური ქსელის დომენების იერარქიაში.
• ტოჩკა - ელექტრონიკის და გასართობი მაღაზიების ქსელი
• ტოჩკა - ჯგუფის "ლენინგრადის" ალბომი
• წერტილი - 2006 წლის რუსული ფილმი გრიგორი რიაჟსკის ამავე სახელწოდების მოთხრობის მიხედვით
• Dot არის რეპერ სტენის მეორე სტუდიური ალბომი.
• ტოჩკა არის დივიზიონის სარაკეტო სისტემა.
• ტოჩკა - კრასნოიარსკის ახალგაზრდული და სუბკულტურული ჟურნალი.
• ტოჩკა არის კლუბი და საკონცერტო ადგილი მოსკოვში.
• წერტილი მორზეს კოდის ერთ-ერთი სიმბოლოა.
• საქმე არის საბრძოლო მოვალეობის ადგილი.
• წერტილი (დამუშავება) - დამუშავების, გადახვევის, სიმკვეთრის პროცესი.
• POINT - საინფორმაციო და ანალიტიკური გადაცემა NTV-ზე.
• Tochka არის როკ ჯგუფი ქალაქ ნორილსკიდან, რომელიც დაარსდა 2012 წელს.

ტოპონიმი

ყაზახეთი

• Წერტილი- 1992 წლამდე ერქვა სოფელ ბაიაშ უტეპოვს აღმოსავლეთ ყაზახეთის რეგიონის ულანის რაიონში.

რუსეთი

• ტოჩკა არის სოფელი ვოლოგდას რაიონის შექსნინსკის რაიონში.
• ტოჩკა არის სოფელი ნოვგოროდის ოლქის ვოლოტოვსკის რაიონში.
• ტოჩკა არის სოფელი პენზას ოლქის ლოპატინსკის რაიონში.

შეგიძლიათ ისეთი ცნებების განმარტება, როგორიცაა წერტილი და ხაზი?

ჩვენს სკოლებსა და უნივერსიტეტებს არ ჰქონდათ ეს განმარტებები, თუმცა ისინი საკვანძოა ჩემი აზრით (არ ვიცი როგორ არის ეს სხვა ქვეყნებში). ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ეს ცნებები, როგორც „წარმატებული და წარუმატებელი“ და განვიხილოთ ეს სასარგებლოა თუ არა აზროვნების განვითარებისთვის.

მოჭიდავე

უცნაურია, მაგრამ ჩვენ მოგვცეს წერტილის განმარტება. ეს არის აბსტრაქტული ობიექტი (კონვენცია), რომელიც მდებარეობს სივრცეში, რომელსაც არ აქვს ზომები. ეს არის პირველი რამ, რაც სკოლაში ჩაგვარდა თავში - წერტილს ზომები არ აქვს, ის არის "ნულგანზომილებიანი" ობიექტი. პირობითი კონცეფცია, როგორც ყველაფერი გეომეტრიაში.

სწორი ხაზები კიდევ უფრო რთულია. პირველ რიგში, ეს არის ხაზი. მეორეც, ეს არის წერტილების ნაკრები, რომელიც მდებარეობს სივრცეში გარკვეული გზით. ძალიან მარტივი განმარტებაეს არის ხაზი, რომელიც განისაზღვრება ორი წერტილით, რომლითაც ის გადის.

მედივიჰ

წერტილი არის ერთგვარი აბსტრაქტული ობიექტი. წერტილს აქვს კოორდინატები, მაგრამ არ აქვს მასა და ზომები. გეომეტრიაში ყველაფერი ზუსტად წერტილიდან იწყება, ეს არის ყველა სხვა ფიგურის დასაწყისი (მწერლობაშიც, სხვათა შორის, წერტილის გარეშე სიტყვის დასაწყისი არ იქნება). სწორი ხაზი არის მანძილი ორ წერტილს შორის.

ლეონიდ კუტნი

თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ ყველაფერი და ყველაფერი. მაგრამ ჩნდება კითხვა: იმუშავებს თუ არა ეს განმარტება კონკრეტულ მეცნიერებაში? იმის მიხედვით, რაც გვაქვს, აზრი არ აქვს წერტილის, წრფის და სიბრტყის განსაზღვრას. ძალიან მომეწონა არტურის გამონათქვამები, მინდა დავამატო, რომ წერტილს ბევრი თვისება აქვს: არ აქვს სიგრძე, სიგანე, სიმაღლე, მასა და წონა და ა.შ. მაგრამ წერტილის მთავარი თვისება ის არის, რომ ნათლად მიუთითებს წერტილის მდებარეობაზე. ობიექტი, ობიექტი სიბრტყეზე, სივრცეში. ამიტომაც გვჭირდება წერტილი!მაგრამ ჭკვიანი მკითხველი იტყვის, რომ მაშინ შეიძლება წიგნი, სკამი, საათი და სხვა რამ მივიღოთ პუნქტად. Აბსოლუტურად სწორი! აქედან გამომდინარე, აზრი არ აქვს პუნქტის განსაზღვრას. პატივისცემით, L.A. Kutniy

სწორი ხაზი არის გეომეტრიის ერთ-ერთი ძირითადი კონცეფცია.

ეს წერტილი არის პუნქტუაციის ნიშანი წერილობით მრავალ ენაზე.

ასევე, წერტილი მორზეს კოდის ერთ-ერთი სიმბოლოა

ამდენი განმარტება :D

წერტილის, წრფის, სიბრტყის განმარტებები მე მივეცი ჯერ კიდევ მე-20 საუკუნის 80-იანი წლების ბოლოს და 90-იანი წლების დასაწყისში. ლინკს ვაძლევ:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

328 გვერდიან ტომში ამ ცნებების შემეცნებითი არსი აღწერილია სრულიად ახალ ასპექტში, რომლებიც ახსნილია რეალური ფიზიკური მსოფლმხედველობისა და მე არსებობის განცდის საფუძველზე, რაც ნიშნავს "მე" ვარსებობ, ისევე როგორც სამყარო. თავად, რომელსაც მე ვეკუთვნი, არსებობს.

ყველაფერი წერია ეს სამუშაოდასტურდება კაცობრიობის მიერ დიდი ხნის წინ აღმოჩენილი და ჯერ კიდევ შესწავლილი ბუნების და მისი თვისებების შესახებ ამ მომენტშიდრო. მათემატიკა იმდენად რთული გახდა გასაგები და გონივრული მისი აბსტრაქტული სურათების გამოყენება ტექნოლოგიური მიღწევების პრაქტიკაში. საფუძვლების გამოვლენის შემდეგ, რომლებიც ფუნდამენტური პრინციპებია, შესაძლებელია სტუდენტისთვისაც კი აუხსნას დაწყებითი სკოლამიზეზები, რომლებიც საფუძვლად უდევს სამყაროს არსებობას. წაიკითხეთ და მიუახლოვდით სიმართლეს. გაბედეთ, სამყარო, რომელშიც ჩვენ ვარსებობთ, იხსნება თქვენს წინაშე ახალი შუქით.

არსებობს თუ არა „წერტილის“ ცნების განმარტება მათემატიკაში, გეომეტრიაში.

მიხაილ ლევინი

"განუსაზღვრელი კონცეფცია" არის განმარტება?

სინამდვილეში, სწორედ ცნებების გაურკვევლობა იძლევა მათემატიკის გამოყენებას სხვადასხვა ობიექტზე.

მათემატიკოსს შეუძლია თქვას კიდეც "წერტილში ვგულისხმობ ევკლიდეს სიბრტყეს, სიბრტყეში ვგულისხმობ ევკლიდეს წერტილს" - შეამოწმეთ ყველა აქსიომა და მიიღეთ ახალი გეომეტრიაან ახალი თეორემები.

საქმე იმაშია, რომ A ტერმინის განსასაზღვრად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ტერმინი B. B-ს განსაზღვრისთვის გჭირდებათ ტერმინი C. და ასე შემდეგ ad infinitum. და ამ უსასრულობისგან თავის დასაღწევად, ადამიანმა უნდა მიიღოს ზოგიერთი ტერმინი განმარტებების გარეშე და მათზე ააგოს სხვათა განმარტებები. ©

გრიგორი პივენი

მათემატიკაში პივენ გრიგორი, წერტილი არის სივრცის ნაწილი, რომელიც აბსტრაქტულად არის აღებული, როგორც მინიმალური სიგრძის სეგმენტი 1-ის ტოლი, რომელიც გამოიყენება სივრცის სხვა ნაწილების გასაზომად. მაშასადამე, ადამიანი ირჩევს წერტილის შკალას მოხერხებულობისთვის, პროდუქტიული გაზომვის პროცესისთვის: 1მმ, 1სმ, 1მ, 1კმ, 1ა. ე., 1 ქ. წელიწადი. და ა.შ.

კრიტიკული წერტილის კონცეფცია შეიძლება განზოგადდეს დიფერენცირებადი რუკების შემთხვევაში და თვითნებური დიფერენცირებადი რუკების შემთხვევაში. ჯიშები f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\ to M^(m)). ამ შემთხვევაში კრიტიკული წერტილის განმარტება არის ის წოდება იაკობის მატრიცებიჩვენება f (\displaystyle f)მას აქვს მაქსიმუმზე ნაკლები შესაძლო ღირებულება, ტოლია .

კრიტიკული წერტილებიფუნქციები და რუკების თამაში მნიშვნელოვანი როლიმათემატიკის ისეთ სფეროებში, როგორიცაა დიფერენციალური განტოლებები , ვარიაციების გაანგარიშება , სტაბილურობის თეორიაასევე მექანიკაში და ფიზიკაში. გლუვი რუკების კრიტიკული წერტილების შესწავლა ერთ-ერთი მთავარი საკითხია კატასტროფის თეორია. კრიტიკული წერტილის ცნება ასევე განზოგადებულია საქმეზე ფუნქციონალებიგანსაზღვრულია უსასრულო განზომილებიანი ფუნქციის სივრცეებზე. ასეთი ფუნქციების კრიტიკული წერტილების ძიება არის მნიშვნელოვანი ნაწილი ვარიაციების გაანგარიშება. ფუნქციონალების კრიტიკულ წერტილებს (რომლებიც, თავის მხრივ, ფუნქციებია) ე.წ ექსტრემალები.

ფორმალური განმარტება

კრიტიკული(ან განსაკუთრებულიან სტაციონარული) მუდმივად დიფერენცირებადი რუკების წერტილი f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))არის წერტილი, სადაც დიფერენციალურიეს ჩვენება f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\ნაწილობრივი f)(\ნაწილობრივი x)))არის დეგენერატი ხაზოვანი ტრანსფორმაციაშესაბამისი ტანგენტური სივრცეები T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n))და T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), ე.ი განზომილება გამოსახულებაგარდაქმნები f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0)))უფრო პატარა წთ (n, m) (\displaystyle \წთ\(n,m\)). კოორდინატთა აღნიშვნაში for n = m (\displaystyle n=m)ეს ნიშნავს, რომ იაკობიანი- განმსაზღვრელი იაკობის მატრიცებიჩვენება f (\displaystyle f), შედგება ყველა ნაწილობრივი წარმოებულისგან ∂ f j ∂ x i (\ ჩვენების სტილი (\ frac (\ ნაწილობრივი f_(j)) (\ ნაწილობრივი x_(i))))- ერთ წერტილში ქრება. ფართები და R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m))ამ განმარტებაში შეიძლება შეიცვალოს მრავალფეროვნება N n (\displaystyle N^(n))და M m (\displaystyle M^(m))იგივე ზომები.

სარდის თეორემა

ჩვენების მნიშვნელობას კრიტიკულ წერტილში მისი ეწოდება კრიტიკული. Მიხედვით სარდის თეორემანებისმიერის კრიტიკული მნიშვნელობების ნაკრები საკმარისად გლუვიჩვენება f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))აქვს ნული ლებეგის ზომა(თუმცა შეიძლება იყოს ნებისმიერი რაოდენობის კრიტიკული წერტილი, მაგალითად, იდენტური რუკებისთვის, ნებისმიერი წერტილი კრიტიკულია).

მუდმივი რანგის რუქები

თუ წერტილის სიახლოვეს x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n))მუდმივად დიფერენცირებადი რუკების რანგი f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))იგივე რიცხვის ტოლია r (\displaystyle r), შემდეგ ამ წერტილის სიახლოვეს x 0 (\displaystyle x_(0))არის ადგილობრივი კოორდინატები, რომლებიც ორიენტირებულია x 0 (\displaystyle x_(0)), ხოლო მისი გამოსახულების მიმდებარედ - წერტილები y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- არის ადგილობრივი კოორდინატები (y 1 , … , y m) (\ჩვენების სტილი (y_(1),\ldots ,y_(m)))ორიენტირებული f (\displaystyle f)მოცემულია ურთიერთობებით:

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. ),\ y_(r+1)=0,\ \ლდოტები ,\ y_(მ)=0.)

კერძოდ, თუ r = n = m (\displaystyle r=n=m), მაშინ არის ლოკალური კოორდინატები (x 1 , … , x n) (\ჩვენების სტილი (x_(1),\ldots ,x_(n)))ორიენტირებული x 0 (\displaystyle x_(0))და ლოკალური კოორდინატები (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n)))ორიენტირებული y 0 (\displaystyle y_(0)), ისეთი, რომ ისინი აჩვენებენ f (\displaystyle f)იდენტურია.

ხდება მ = 1

Როდესაც ამ განმარტებასნიშნავს რომ გრადიენტი ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n))))ქრება ამ ეტაპზე.

დავუშვათ, რომ ფუნქცია f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\ to \mathbb (R) )აქვს სიგლუვის კლასი მინიმუმ C 3 (\displaystyle C^(3)). ფუნქციის კრიტიკული წერტილი ვდაურეკა არადეგენერატითუ მასში ჰესიანი | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |))განსხვავდება ნულიდან. არადეგენერაციული კრიტიკული წერტილის სამეზობლოში არის კოორდინატები, რომლებშიც ფუნქციონირებს ვაქვს კვადრატული ნორმალური ფორმა ( მორზე ლემა) .

მორზეს ლემის ბუნებრივი განზოგადება დეგენერაციული კრიტიკული წერტილებისთვის არის ტუჟრონის თეორემა:ფუნქციის გადაგვარებული კრიტიკული წერტილის მიმდებარედ ვ, დიფერენცირებადი უსასრულო რიცხვიჯერ() საბოლოო სიმრავლეები µ (\displaystyle \mu)არის კოორდინატთა სისტემა, რომელშიც გლუვი ფუნქციააქვს ხარისხის მრავალწევრის ფორმა μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(როგორც P μ + 1 (x) (\ჩვენების სტილი P_(\mu +1)(x))შეიძლება აიღოთ ფუნქციის ტეილორის პოლინომი f (x) (\displaystyle f(x))თავდაპირველი კოორდინატების წერტილში) .

ზე m = 1 (\displaystyle m=1)აზრი აქვს ვიკითხოთ ფუნქციის მაქსიმუმზე და მინიმუმზე. ცნობილი განცხადების მიხედვით მათემატიკური ანალიზი, მუდმივად დიფერენცირებადი ფუნქცია f (\displaystyle f), განსაზღვრულია მთელ სივრცეში R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))ან მის ღია ქვეჯგუფში, შეუძლია მიაღწიოს ადგილობრივი მაქსიმუმი(მინიმუმი) მხოლოდ კრიტიკულ წერტილებში და თუ წერტილი არადეგენერატია, მაშინ მატრიცა (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\ ნაწილობრივი ^(2)f)(\ნაწილობრივი x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,)ეს უნდა იყოს უარყოფითი (დადებითი) გარკვეული. ეს უკანასკნელიც არის საკმარისი მდგომარეობაადგილობრივი მაქსიმუმი (შესაბამისად, მინიმალური).

ხდება ნ = მ = 2

Როდესაც n=m=2ჩვენ გვაქვს რუკა ვთვითმფრინავი სიბრტყეზე (ან ორგანზომილებიანი მანიფოლდი სხვა ორგანზომილებიან კოლექტორზე). დავუშვათ, რომ ჩვენება ვდიფერენცირებადია უსასრულო რაოდენობის ჯერ ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). Ამ შემთხვევაში ტიპიურიჩვენების კრიტიკული წერტილები ვარის ისეთები, რომლებშიც იაკობის მატრიცის განმსაზღვრელი ნული, მაგრამ მისი რეიტინგი არის 1 და აქედან გამომდინარეობს რუკის დიფერენციალი ვასეთ წერტილებში აქვს ერთგანზომილებიანი ბირთვი. ტიპიურობის მეორე პირობა არის ის, რომ განხილული წერტილის სამეზობლოში შებრუნებული გამოსახულების სიბრტყეზე, კრიტიკული წერტილების სიმრავლე ქმნის რეგულარულ მრუდს. სდა მრუდის თითქმის ყველა წერტილში სბირთვი ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*))არ ეხება ს, მაშინ როცა ის წერტილები, სადაც ეს ასე არ არის, იზოლირებულია და მათზე ტანგენცია პირველი რიგისაა. პირველი ტიპის კრიტიკულ წერტილებს უწოდებენ ნაკეცების წერტილებიდა მეორე ტიპი შეკრების წერტილები. ნაკეცები და კოლექციები ერთადერთი სახეობაა მახასიათებლებისიბრტყიდან სიბრტყემდე რუკები, რომლებიც სტაბილურია მცირე აურზაურებთან მიმართებაში: მცირე აშლილობის შემთხვევაში, დასაკეცი და დასაკეცი წერტილები მხოლოდ ოდნავ მოძრაობენ მრუდის დეფორმაციასთან ერთად. ს, მაგრამ არ გაქრეს, არ გადაგვარდეს და არ დაიშალოთ სხვა სინგულარობად.