მაგალითები:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

როგორ ამოხსნათ ექსპონენციალური განტოლებები

ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნისას, ჩვენ ვცდილობთ მივიყვანოთ ის ფორმამდე \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), შემდეგ კი გადავიდეთ ინდიკატორების თანასწორობაზე, ანუ:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Მაგალითად:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Მნიშვნელოვანი! იგივე ლოგიკით, ასეთი გადასვლისთვის ორი მოთხოვნა მოდის:
- ნომერი შევიდა მარცხენა და მარჯვენა უნდა იყოს იგივე;
- მარცხნივ და მარჯვნივ გრადუსი უნდა იყოს "სუფთა"ანუ არ უნდა იყოს არცერთი, გამრავლება, გაყოფა და ა.შ.

Მაგალითად:

განტოლების გამოსატანად ფორმაში \(a^(f(x))=a^(g(x))\) და გამოიყენება.

მაგალითი . ამოხსენით ექსპონენციალური განტოლება \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
გადაწყვეტილება:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		ჩვენ ვიცით, რომ \(27 = 3^3\). ამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვცვლით განტოლებას.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		ფესვის თვისებით \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) ვიღებთ, რომ \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). გარდა ამისა, ხარისხის თვისების გამოყენებით \((a^b)^c=a^(bc)\), ვიღებთ \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		ჩვენ ასევე ვიცით, რომ \(a^b a^c=a^(b+c)\). ამის მარცხენა მხარეს გამოყენებისას მივიღებთ: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		ახლა გახსოვდეთ, რომ: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). ეს ფორმულა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას საპირისპირო მხარეს: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). შემდეგ \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		თვისების \((a^b)^c=a^(bc)\) მარჯვენა მხარეს გამოყენებისას მივიღებთ: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		ახლა კი გვაქვს საფუძვლები ტოლი და არ არის ჩარევის კოეფიციენტები და ა.შ. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ.
		მაგალითი . ამოხსენით ექსპონენციალური განტოლება \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) გადაწყვეტილება: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) ჩვენ კვლავ ვიყენებთ ხარისხის თვისებას \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) საპირისპირო მიმართულება. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) ახლა გახსოვდეთ, რომ \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) ხარისხის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ გარდაქმნით: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ განტოლებას და ვხედავთ, რომ ჩანაცვლება \(t=2^x\) აქ თავისთავად გვთავაზობს. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) თუმცა, ჩვენ ვიპოვეთ \(t\) მნიშვნელობები და გვჭირდება \(x\). ჩვენ ვუბრუნდებით X-ს, ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) მეორე განტოლებას ვაქცევთ თვისების გამოყენებით უარყოფითი ხარისხი… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...და გადაჭრით პასუხამდე. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) უპასუხე : \(-1; 1\). რჩება კითხვა - როგორ გავიგოთ, როდის რომელი მეთოდის გამოყენება? გააჩნია გამოცდილებას. ამასობაში, თქვენ არ გამოგიმუშავეთ, გამოიყენეთ ზოგადი რეკომენდაციაგადაწყვეტილებისთვის რთული ამოცანები"თუ არ იცი რა გააკეთო, გააკეთე რაც შეგიძლია." ანუ, მოძებნეთ როგორ შეგიძლიათ პრინციპში გარდაქმნას განტოლება და სცადეთ ამის გაკეთება - რა მოხდება, თუ ის გამოვა? მთავარია გავაკეთოთ მხოლოდ მათემატიკურად გამართლებული გარდაქმნები. ექსპონენციალური განტოლებები ამონახსნების გარეშე მოდით შევხედოთ კიდევ ორ სიტუაციას, რომლებიც ხშირად აბნევს სტუდენტებს: - დადებითი რიცხვიუდრის სიმძლავრის ნულს, მაგალითად, \(2^x=0\); - დადებითი რიცხვი სიმძლავრის ტოლია უარყოფითი რიცხვი, მაგალითად, \(2^x=-4\). ვცადოთ მისი გადაჭრა უხეში ძალით. თუ x დადებითი რიცხვია, მაშინ როცა x იზრდება, მთელი სიმძლავრე \(2^x\) მხოლოდ გაიზრდება: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) ასევე წარსული. არის უარყოფითი x-ები. დამახსოვრების თვისება \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), ჩვენ ვამოწმებთ: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) იმისდა მიუხედავად, რომ რიცხვი ყოველ ნაბიჯზე მცირდება, ის არასოდეს მიაღწევს ნულს. ასე რომ, არც უარყოფითმა ხარისხმა გადაგვარჩინა. მივდივართ ლოგიკურ დასკვნამდე: ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი დარჩება დადებით რიცხვად. ამრიგად, ზემოთ მოცემულ ორივე განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. ექსპონენციალური განტოლებები სხვადასხვა ფუძით პრაქტიკაში, ზოგჯერ არსებობს ექსპონენციალური განტოლებები სხვადასხვა ფუძეებით, რომლებიც არ შემცირდება ერთმანეთთან და ამავე დროს ერთი და იგივე მაჩვენებლებით. ისინი ასე გამოიყურება: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), სადაც \(a\) და \(b\) დადებითი რიცხვებია. Მაგალითად: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) ასეთი განტოლებები ადვილად ამოიხსნება განტოლების რომელიმე ნაწილზე გაყოფით (ჩვეულებრივ, მარჯვენა მხარეს, ანუ \ (b ^ (f (x)) \-ზე). შეგიძლიათ გაყოთ ასე, რადგან დადებითი რიცხვი დადებითია ნებისმიერი ხარისხით (ანუ არ ვყოფთ ნულზე.) მივიღებთ: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) მაგალითი . ამოხსენით ექსპონენციალური განტოლება \(5^(x+7)=3^(x+7)\) გადაწყვეტილება: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) აქ ხუთს ვერ ვაქციოთ სამად, ან პირიქით (შესაბამისად მინიმუმგამოყენების გარეშე). ასე რომ, ჩვენ ვერ მივალთ ფორმამდე \(a^(f(x))=a^(g(x))\). ამავე დროს, ინდიკატორები იგივეა. მოდით გავყოთ განტოლება მარჯვენა მხარეს, ანუ \(3^(x+7)\)-ზე (ეს შეგვიძლია, რადგან ვიცით, რომ სამმაგი არ იქნება ნული არც ერთ გრადუსზე). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) ახლა დაიმახსოვრეთ თვისება \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) და გამოიყენეთ იგი მარცხნიდან საპირისპირო მიმართულებით. მარჯვნივ, ჩვენ უბრალოდ ვამცირებთ წილადს. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) ეს არ ჩანდა უკეთესი. მაგრამ გახსოვდეთ ხარისხის კიდევ ერთი თვისება: \(a^0=1\), სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: "ნებისმიერი რიცხვი in ნულოვანი ხარისხიუდრის \(1\)". პირიქითაც მართალია: „ერთეული შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ამაღლებულია ნულის ხარისხზე“. ჩვენ ამას ვიყენებთ იმით, რომ ვაკეთებთ ბაზას მარჯვნივ, როგორც მარცხნივ. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) ვოილა! ჩვენ ვიშორებთ საძირკველს. ჩვენ ვწერთ პასუხს. უპასუხე : \(-7\). ზოგჯერ მაჩვენებლების „ერთგვაროვნება“ აშკარა არ არის, მაგრამ ხარისხის თვისებების ოსტატურად გამოყენება წყვეტს ამ საკითხს. მაგალითი . ამოხსენით ექსპონენციალური განტოლება \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) გადაწყვეტილება: \(7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) განტოლება ძალიან სევდიანად გამოიყურება... არა მხოლოდ ეს, საფუძვლების შემცირება შეუძლებელია იგივე ნომერი(შვიდი არ იქნება \(\frac(1)(3)\) ტოლი), ასე რომ, ინდიკატორებიც განსხვავებულია... თუმცა მარცხენა ხარისხის ინდიკატორში ავიღოთ დიუზი. \(7^(2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) თვისების გათვალისწინებით \((a^b)^c=a^(b c)\) მარცხნივ გარდაქმნა: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) ახლა, როდესაც გავიხსენოთ უარყოფითი სიმძლავრის თვისება \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), ჩვენ გარდაქმნით მარჯვნივ: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) ალილუია! ქულები იგივეა! ჩვენთვის უკვე ნაცნობი სქემის მიხედვით ვმოქმედებთ, პასუხამდე ვწყვეტთ. უპასუხე : \(2\).

ლექცია: „ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები“.

1 . ექსპონენციალური განტოლებები.

განტოლებებს, რომლებიც შეიცავს უცნობებს ექსპონენტში, ეწოდება ექსპონენციალური განტოლებები. მათგან უმარტივესი არის განტოლება ax = b, სადაც a > 0 და a ≠ 1.

1) ბ< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 ექსპონენციალური ფუნქცია, გამოსავალი არ აქვს.

2) b > 0-ისთვის, ფუნქციისა და ფესვის თეორემის ერთფეროვნების გამოყენებით, განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. მის საპოვნელად b უნდა იყოს წარმოდგენილი b = aс, ax = bс ó x = c ან x = logab.

ექსპონენციალური განტოლებები მიერ ალგებრული გარდაქმნებიგაძღოლა სტანდარტული განტოლება, რომლებიც მოგვარებულია შემდეგი მეთოდების გამოყენებით:

1) ერთ ბაზამდე შემცირების მეთოდი;

2) შეფასების მეთოდი;

3) გრაფიკული მეთოდი;

4) ახალი ცვლადების შემოტანის მეთოდი;

5) ფაქტორიზაციის მეთოდი;

6) საჩვენებელი - სიმძლავრის განტოლებები;

7) ექსპონენციალური პარამეტრით.

2 . ერთ საფუძვლამდე შემცირების მეთოდი.

მეთოდი ემყარება გრადუსების შემდეგ თვისებებს: თუ ორი გრადუსი ტოლია და მათი ფუძეები ტოლია, მაშინ მათი მაჩვენებლები ტოლია, ანუ განტოლება უნდა შემცირდეს ფორმამდე.

მაგალითები. ამოხსენით განტოლება:

1 . 3x=81;

წარმოვადგენთ განტოლების მარჯვენა მხარეს სახით 81 = 34 და დავწეროთ განტოლება ორიგინალის ექვივალენტური 3 x = 34; x = 4. პასუხი: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> და გადადით მაჩვენებლების განტოლებაზე 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 პასუხი: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები 0.2, 0.04, √5 და 25 არის 5-ის ხარისხები. მოდით ვისარგებლოთ ამით და გადავიტანოთ თავდაპირველი განტოლება შემდეგნაირად:

, საიდანაც 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, საიდანაც ვპოულობთ ამონახს x = -1. პასუხი: -1.

5. 3x = 5. ლოგარითმის განმარტებით, x = log35. პასუხი: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

გადავიწეროთ განტოლება, როგორც 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, ანუ png" width="181" height="49 src="> აქედან x - 4 =0, x = 4. პასუხი: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით ვწერთ განტოლებას e.x+1 = 2, x =1. პასუხი: 1.

დავალებათა ბანკი No1.

ამოხსენით განტოლება:

ტესტი ნომერი 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ფესვების გარეშე
	1) 7;1 2) ფესვების გარეშე 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

ტესტი #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) ფესვების გარეშე 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 შეფასების მეთოდი.

ფესვის თეორემა: თუ ფუნქცია f (x) იზრდება (მცირდება) I ინტერვალზე, რიცხვი a არის ნებისმიერი მნიშვნელობა, რომელიც აღებულია f-ით ამ ინტერვალზე, მაშინ განტოლებას f (x) = a აქვს ერთი ფესვი I ინტერვალზე.

განტოლებების შეფასების მეთოდით ამოხსნისას გამოიყენება ეს თეორემა და ფუნქციის ერთფეროვნების თვისებები.

მაგალითები. განტოლებების ამოხსნა: 1. 4x = 5 - x.

გადაწყვეტილება. გადავიწეროთ განტოლება როგორც 4x + x = 5.

1. თუ x \u003d 1, მაშინ 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 მართალია, მაშინ 1 არის განტოლების ფესვი.

ფუნქცია f(x) = 4x იზრდება R-ზე და g(x) = x იზრდება R => h(x)= f(x)+g(x) იზრდება R-ზე, როგორც მზარდი ფუნქციების ჯამი, ასე რომ x = 1 არის 4x = 5 – x განტოლების ერთადერთი ფესვი. პასუხი: 1.

2.

გადაწყვეტილება. განტოლებას ვწერთ ფორმაში .

1. თუ x = -1, მაშინ , 3 = 3-true, ამიტომ x = -1 არის განტოლების ფესვი.

2. დაამტკიცეთ, რომ ის უნიკალურია.

3. ფუნქცია f(x) = - მცირდება R-ზე, ხოლო g(x) = - x - მცირდება R => h(x) = f(x) + g(x) - მცირდება R-ზე, როგორც ჯამი. ფუნქციების შემცირება. ასე რომ, ფესვის თეორემით, x = -1 არის განტოლების ერთადერთი ფესვი. პასუხი: -1.

დავალებათა ბანკი No2. განტოლების ამოხსნა

ა) 4x + 1 = 6 - x;

ბ)

გ) 2x – 2 =1 – x;

4. ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი.

მეთოდი აღწერილია 2.1 ნაწილში. ახალი ცვლადის (ჩანაცვლება) დანერგვა ჩვეულებრივ ხორციელდება განტოლების ტერმინების გარდაქმნების (გამარტივების) შემდეგ. განვიხილოთ მაგალითები.

მაგალითები. რჭამის განტოლება: 1. .

მოდი, განტოლება სხვანაირად გადავწეროთ: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> ანუ png" width="210" სიმაღლე = "45">

გადაწყვეტილება. მოდი, განტოლება სხვანაირად გადავწეროთ:

მიუთითეთ https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - არ არის შესაფერისი.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - ირაციონალური განტოლება. ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ

განტოლების ამონახსნი არის x = 2,5 ≤ 4, ამიტომ 2,5 არის განტოლების ფესვი. პასუხი: 2.5.

გადაწყვეტილება. გადავწეროთ განტოლება ფორმაში და გავყოთ ორივე მხარე 56x+6 ≠ 0-ზე. მივიღებთ განტოლებას

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, ასე რომ..png" width="118" height="56">

კვადრატული განტოლების ფესვები - t1 = 1 და t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

გადაწყვეტილება . განტოლებას ვწერთ ფორმაში

და გაითვალისწინეთ, რომ ეს არის მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება.

განტოლება გავყოთ 42x-ზე, მივიღებთ

შეცვალეთ https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src=">.

პასუხი: 0; 0.5.

დავალების ბანკი #3. განტოლების ამოხსნა

ბ)

გ)

ტესტი #3 პასუხების არჩევანით. მინიმალური დონე.

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) ფესვების გარეშე 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) ფესვების გარეშე 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

ტესტი #4 პასუხების არჩევანით. ზოგადი დონე.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0; 1 4) ფესვების გარეშე

5. ფაქტორიზაციის მეთოდი.

1. ამოხსენით განტოლება: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , საიდანაც

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

გადაწყვეტილება. ამოვიღოთ 6x განტოლების მარცხენა მხარეს და 2x მარჯვენა მხარეს. ვიღებთ განტოლებას 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

ვინაიდან 2x >0 ყველა x-ისთვის, ჩვენ შეგვიძლია ამ განტოლების ორივე მხარე გავყოთ 2x-ზე ამონახსნების დაკარგვის შიშის გარეშე. ჩვენ ვიღებთ 3x = 1- x = 0.

3.

გადაწყვეტილება. განტოლებას ვხსნით ფაქტორინგით.

ვირჩევთ ბინომის კვადრატს

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 არის განტოლების ფესვი.

განტოლება x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

ტესტი #6 ზოგადი დონე.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. ექსპონენციალური - სიმძლავრის განტოლებები.

ეგ.

თუ ცნობილია, რომ f(x)>0 და f(x) ≠ 1, მაშინ განტოლება, ისევე როგორც ექსპონენციალური, იხსნება g(x) = f(x) მაჩვენებლების ტოლობით.

თუ პირობა არ გამორიცხავს f(x)=0 და f(x)=1-ის შესაძლებლობას, მაშინ ეს შემთხვევები უნდა გავითვალისწინოთ ექსპონენციალური სიმძლავრის განტოლების ამოხსნისას.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

გადაწყვეტილება. x2 +2x-8 - აზრი აქვს ნებისმიერ x-ს, რადგან პოლინომია, ამიტომ განტოლება სიმრავლის ტოლია

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

ბ)

7. ექსპონენციალური განტოლებები პარამეტრებით.

1. p პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს განტოლება 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) მხოლოდ გადაწყვეტილება?

გადაწყვეტილება. მოდით შემოვიტანოთ ცვლილება 2x = t, t > 0, შემდეგ განტოლება (1) მიიღებს ფორმას t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

(2) განტოლების დისკრიმინანტი არის D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

განტოლებას (1) აქვს უნიკალური ამონახსნი, თუ განტოლებას (2) აქვს ერთი დადებითი ფესვი. ეს შესაძლებელია შემდეგ შემთხვევებში.

1. თუ D = 0, ანუ p = 1, მაშინ განტოლება (2) მიიღებს ფორმას t2 – 2t + 1 = 0, აქედან გამომდინარე, t = 1, შესაბამისად, განტოლებას (1) აქვს უნიკალური ამონახსნი x = 0.

2. თუ p1, მაშინ 9(p – 1)2 > 0, მაშინ განტოლებას (2) აქვს ორი განსხვავებული ფესვი t1 = p, t2 = 4p – 3. სისტემების სიმრავლე აკმაყოფილებს ამოცანის პირობას.

T1 და t2 ჩანაცვლება სისტემებში, გვაქვს

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

გადაწყვეტილება. დაე იყოს მაშინ განტოლება (3) მიიღებს ფორმას t2 – 6t – a = 0. (4)

მოდი ვიპოვოთ ღირებულებებიპარამეტრი a, რომლისთვისაც (4) განტოლების ერთი ფესვი აკმაყოფილებს t > 0 პირობას.

შემოვიტანოთ ფუნქცია f(t) = t2 – 6t – a. შესაძლებელია შემდეგი შემთხვევები.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} კვადრატული ტრინომიალი f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

შემთხვევა 2. განტოლებას (4) აქვს უნიკალური დადებითი გადაწყვეტილება, თუ

D = 0, თუ a = – 9, მაშინ განტოლება (4) მიიღებს ფორმას (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

შემთხვევა 3. განტოლებას (4) აქვს ორი ფესვი, მაგრამ ერთი მათგანი არ აკმაყოფილებს t > 0 უტოლობას. ეს შესაძლებელია, თუ

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

ამრიგად, a 0 განტოლებას (4) აქვს ერთი დადებითი ფესვი . მაშინ განტოლებას (3) აქვს უნიკალური ამონახსნი

Თვის< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

თუ< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
თუ a = – 9, მაშინ x = – 1;

თუ a  0, მაშინ

შევადაროთ (1) და (3) განტოლებების ამოხსნის მეთოდები. გაითვალისწინეთ, რომ განტოლების ამოხსნისას (1) შემცირდა კვადრატულ განტოლებამდე, რომლის დისკრიმინანტი არის სრული კვადრატი; ამრიგად, (2) განტოლების ფესვები დაუყოვნებლივ გამოითვალეს კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულით და შემდეგ გამოიტანეს დასკვნები ამ ფესვებთან დაკავშირებით. განტოლება (3) დაყვანილი იქნა კვადრატულ განტოლებამდე (4), რომლის დისკრიმინანტი არ არის სრულყოფილი კვადრატი, ამიტომ, განტოლების (3) ამოხსნისას მიზანშეწონილია გამოიყენოთ თეორემები კვადრატული ტრინომის ფესვების მდებარეობაზე და გრაფიკული მოდელი. გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება (4) შეიძლება ამოიხსნას ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

მოდით ამოხსნათ უფრო რთული განტოლებები.

ამოცანა 3. ამოხსენით განტოლება

გადაწყვეტილება. ODZ: x1, x2.

წარმოგიდგინოთ შემცვლელი. მოდით 2x = t, t > 0, შემდეგ, გარდაქმნების შედეგად, განტოლება მიიღებს ფორმას t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) იპოვეთ a-ს მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც მინიმუმ ერთი ფესვი განტოლება (*) აკმაყოფილებს პირობას t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

პასუხი: თუ a > - 13, a  11, a  5, მაშინ თუ a - 13,

a = 11, a = 5, მაშინ ფესვები არ არის.

ბიბლიოგრაფია.

1. გუზეევის საგანმანათლებლო ტექნოლოგიების საფუძვლები.

2. გუზეევის ტექნოლოგია: მიმღებიდან ფილოსოფიამდე.

მ.„დირექტორი“ No4, 1996წ

3. გუზეევი და ორგანიზაციული ფორმებისწავლა.

4. გუზეევი და ინტეგრალური საგანმანათლებლო ტექნოლოგიების პრაქტიკა.

მ." საჯარო განათლება“, 2001 წ

5. გუზეევი გაკვეთილის ფორმებიდან - სემინარი.

მათემატიკა მე-2 სკოლაში, 1987 წ., გვ.9 - 11.

6. სელევკოს საგანმანათლებლო ტექნოლოგიები.

მ.„სახალხო განათლება“, 1998 წ

7. ეპიშევას სკოლის მოსწავლეები სწავლობენ მათემატიკას.

მ.„განმანათლებლობა“, 1990 წ

8. ივანოვი მოამზადოს გაკვეთილები - სემინარები.

მათემატიკა მე-6 სკოლაში, 1990 წ., გვ. 37-40.

9. მათემატიკის სწავლების სმირნოვის მოდელი.

მათემატიკა No1 სკოლაში, 1997 წ., გვ. 32-36.

10. ტარასენკოს პრაქტიკული მუშაობის ორგანიზების გზები.

მათემატიკა No1 სკოლაში, 1993 წ., გვ. 27 - 28.

11. ინდივიდუალური მუშაობის ერთ-ერთი სახეობის შესახებ.

მათემატიკა მე-2 სკოლაში, 1994 წ., გვ.63 - 64.

12. ხაზანკინი შემოქმედებითი უნარებისკოლის მოსწავლეები.

მათემატიკა მე-2 სკოლაში, 1989 წ., გვ. ათი.

13. სკანავი. გამომცემელი, 1997 წ

14. და სხვები ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. დიდაქტიკური მასალებიამისთვის

15. კრივონოგოვის ამოცანები მათემატიკაში.

M. „პირველი სექტემბერი“, 2002 წ

16. ჩერკასოვი. სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის და

უნივერსიტეტებში შესვლა. "A S T - პრესის სკოლა", 2002 წ

17. ჟევნიაკი უნივერსიტეტებში აბიტურიენტებისთვის.

მინსკი და RF "მიმოხილვა", 1996 წ

18. წერილობითი დ. მომზადება გამოცდისთვის მათემატიკაში. M. Rolf, 1999 წ

19. და სხვა.განტოლებებისა და უტოლობაების ამოხსნის სწავლა.

მ "ინტელექტი - ცენტრი", 2003 წ

20. და სხვა საგანმანათლებლო - სასწავლო მასალებიმომზადება E G E-სთვის.

მ „ინტელექტი – ცენტრი“, 2003 და 2004 წ

21 და სხვა.CMM-ის ვარიანტები. რუსეთის ფედერაციის თავდაცვის სამინისტროს ტესტირების ცენტრი, 2002, 2003 წ

22. გოლდბერგის განტოლებები. „კვანტი“ No3, 1971 წ

23. ვოლოვიჩ მ. როგორ წარმატებით ვასწავლოთ მათემატიკა.

მათემატიკა, 1997 No3.

24 ოკუნევი გაკვეთილისთვის, ბავშვებო! მ.განმანათლებლობა, 1988 წ

25. იაკიმანსკაია - ორიენტირებული სწავლასკოლაში.

26. გაკვეთილზე ლიმეცის მუშაობა. M. Knowledge, 1975 წ

პირველი დონე

ექსპონენციალური განტოლებები. ყოვლისმომცველი სახელმძღვანელო (2019)

ჰეი! დღეს ჩვენ განვიხილავთ თქვენთან ერთად, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ განტოლებები, რომლებიც შეიძლება იყოს როგორც ელემენტარული (და იმედი მაქვს, რომ ამ სტატიის წაკითხვის შემდეგ, თითქმის ყველა ასე იქნება თქვენთვის), და ის, რასაც ჩვეულებრივ აძლევენ "backfill". ეტყობა, მთლიანად ჩაეძინა. მაგრამ მე ვეცდები მაქსიმალურად გავაკეთო, რომ ახლა თქვენ არ შეგექმნათ პრობლემები ამ ტიპის განტოლების წინაშე. ბუჩქს აღარ ვცემ, მაგრამ მაშინვე გავხსნი პატარა საიდუმლო: დღეს ჩვენ ვიმუშავებთ ექსპონენციალური განტოლებები.

სანამ მათ გადაჭრის გზების ანალიზს გადავაწყდებით, მაშინვე გამოვყოფ კითხვების წრეს (საკმაოდ მცირე), რომელიც უნდა გაიმეოროთ, სანამ ამ თემის შტურმით აჩქარდებით. ასე რომ, მისაღებად საუკეთესო შედეგი, გთხოვთ, გაიმეორე:

1. თვისებები და
2. ამოხსნა და განტოლებები

გაიმეორა? საოცარი! მაშინ არ გაგიჭირდებათ შეამჩნიოთ, რომ განტოლების ფესვი არის რიცხვი. დარწმუნებული ხარ, რომ გესმის, როგორ გავაკეთე ეს? სიმართლე? შემდეგ ვაგრძელებთ. ახლა მიპასუხე კითხვაზე, რას უდრის მესამე ძალა? აბსოლუტურად მართალი ხარ: . რვა რა ძალაა ორი? მართალია - მესამე! იმიტომ რომ. აბა, ახლა ვცადოთ შემდეგი ამოცანის ამოხსნა: ნება მომეცით გავამრავლო რიცხვი თავის თავზე და მივიღო შედეგი. საკითხავია, რამდენჯერ გავამრავლე საკუთარ თავზე? თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ პირდაპირ შეამოწმოთ ეს:

\ დასაწყისი (გასწორება) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( გასწორება)

მერე დაასკვნი, რომ მე თვითონ გავამრავლე. სხვაგვარად როგორ შეიძლება ამის შემოწმება? და აი როგორ: პირდაპირ ხარისხის განსაზღვრით: . მაგრამ, უნდა აღიარო, რომ მეკითხა, რამდენჯერ უნდა გამრავლდეს ორი თავისთავად, რომ მივიღო, ვთქვათ, მეუბნებოდი: თავს არ მოვიტყუებ და არ გავმრავლდები, სანამ სახეში არ გავლურჯდები. და ის აბსოლუტურად მართალი იქნებოდა. რადგან როგორ შეგიძლია მოკლედ ჩამოწერეთ ყველა მოქმედება(და სიბრტყე არის ნიჭის და)

სად - ეს არის ძალიან "ჯერ"როცა თავისთავად ამრავლებ.

მე ვფიქრობ, რომ თქვენ იცით (და თუ არ იცით, სასწრაფოდ, ძალიან სასწრაფოდ გაიმეორეთ ხარისხები!) რომ მაშინ ჩემი პრობლემა დაიწერება ფორმაში:

როგორ შეგიძლიათ გონივრულად დაასკვნათ, რომ:

ასე რომ, ჩუმად, ყველაზე მარტივი დავწერე ექსპონენციალური განტოლება:

და იპოვა კიდეც ფესვი. არ ფიქრობთ, რომ ყველაფერი საკმაოდ ტრივიალურია? ზუსტად მაგას ვფიქრობ მეც. აქ არის კიდევ ერთი მაგალითი თქვენთვის:

მაგრამ რა უნდა გააკეთოს? ყოველივე ამის შემდეგ, ის არ შეიძლება დაიწეროს, როგორც (გონივრული) რიცხვის ხარისხი. არ დავიდარდოთ და აღვნიშნოთ, რომ ორივე ეს რიცხვი შესანიშნავად არის გამოხატული ერთი და იგივე რიცხვის სიმძლავრის მიხედვით. Რა? მარჯვენა:. შემდეგ ორიგინალური განტოლება გარდაიქმნება ფორმაში:

საიდანაც, როგორც უკვე მიხვდით, . აღარ დავძლიოთ და დავწეროთ განმარტება:

ჩვენს შემთხვევაში თქვენთან: .

ეს განტოლებები იხსნება მათი სახით შემცირებით:

განტოლების შემდგომი ამოხსნით

ჩვენ, ფაქტობრივად, ეს გავაკეთეთ წინა მაგალითში: მივიღეთ ეს. და ჩვენ გადავწყვიტეთ უმარტივესი განტოლება თქვენთან ერთად.

როგორც ჩანს, არაფერია რთული, არა? ჯერ ვივარჯიშოთ უმარტივესზე. მაგალითები:

ჩვენ კვლავ ვხედავთ, რომ განტოლების მარჯვენა და მარცხენა მხარეები უნდა იყოს წარმოდგენილი ერთი რიცხვის ხარისხად. მართალია, ეს უკვე გაკეთდა მარცხნივ, მაგრამ მარჯვნივ არის ნომერი. მაგრამ, ბოლოს და ბოლოს, კარგია და ჩემი განტოლება სასწაულებრივადგარდაიქმნება შემდეგში:

აქ რა უნდა მექნა? რა წესი? Power to Power წესირომელიც წერია:

Რა იქნება თუ:

სანამ ამ კითხვაზე პასუხს გავცემდეთ, თქვენთან ერთად შეავსოთ შემდეგი ცხრილი:

ჩვენთვის ძნელი არ არის შევამჩნიოთ, რომ რაც უფრო ნაკლებია ნაკლები ღირებულება, მაგრამ მიუხედავად ამისა, ყველა ეს მნიშვნელობა ნულზე მეტია. და ყოველთვის ასე იქნება!!! იგივე თვისება მართალია ნებისმიერი ბაზისთვის, ნებისმიერი ინდექსით!! (ნებისმიერი და). მაშინ რა დასკვნის გაკეთება შეგვიძლია განტოლებაზე? და აი ერთი: ის ფესვები არ აქვს! ისევე, როგორც ნებისმიერ განტოლებას არ აქვს ფესვები. ახლა ვივარჯიშოთ და მოდით გადავწყვიტოთ რამდენიმე მარტივი მაგალითი:

მოდით შევამოწმოთ:

1. აქ არაფერია საჭირო შენგან, გარდა ძალაუფლების თვისებების ცოდნისა (რისი გამეორება სხვათა შორის გთხოვე!) როგორც წესი, ყველაფერს უმცირეს ფუძამდე მივყავართ: , . მაშინ თავდაპირველი განტოლება იქნება შემდეგის ექვივალენტი: ყველაფერი რაც მე მჭირდება არის ძალაუფლების თვისებების გამოყენება: ერთსა და იმავე ფუძეზე რიცხვების გამრავლებისას ემატება მაჩვენებლები, ხოლო გაყოფისას აკლება.შემდეგ მივიღებ: კარგი, ახლა სუფთა სინდისით გადავალ ექსპონენციალური განტოლებიდან წრფივზე: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\ბოლო (გასწორება)

2. მეორე მაგალითში უფრო ფრთხილად უნდა იყოთ: უბედურება ისაა, რომ მარცხენა მხარეს, ჩვენ ვერ შევძლებთ იმავე რიცხვის წარმოდგენას, როგორც სიმძლავრეს. ამ შემთხვევაში ზოგჯერ სასარგებლოა წარმოადგენენ რიცხვებს, როგორც ხარისხების ნამრავლს სხვადასხვა ფუძეებით, მაგრამ იგივე მაჩვენებლებით:

განტოლების მარცხენა მხარე მიიღებს ფორმას: რა მოგვცა ამან? და აი რა: რიცხვები სხვადასხვა ფუძეებით, მაგრამ ერთი და იგივე მაჩვენებლით შეიძლება გამრავლდეს.ამ შემთხვევაში, ფუძეები მრავლდება, მაგრამ მაჩვენებლები არ იცვლება:

ჩემს სიტუაციაში გამოყენებისას, ეს მისცემს:

\ დასაწყისი (გასწორება)
& 4\cdot ((64)^(x))(25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\ბოლო (გასწორება)

ცუდი არ არის, არა?

3. არ მომწონს, როცა განტოლების ერთ მხარეს მაქვს ორი წევრი, მეორეზე კი არცერთი (ზოგჯერ, რა თქმა უნდა, ეს გამართლებულია, მაგრამ ახლა ასე არ არის). გადაიტანეთ მინუს ტერმინი მარჯვნივ:

ახლა, როგორც ადრე, ყველაფერს დავწერ სამეულის ძალებით:

ვამატებ ხარისხებს მარცხნივ და ვიღებ ეკვივალენტურ განტოლებას

თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ მისი ფესვი:

4. როგორც სამ მაგალითში, ტერმინი მინუსით - ადგილი მარჯვენა მხარეს!

მარცხნივ, თითქმის ყველაფერი კარგადაა ჩემთან, რის გარდა? დიახ, დედის "არასწორი ხარისხი" მაწუხებს. მაგრამ ამის გამოსწორება მარტივად შემიძლია წერით: . ევრიკა - მარცხნივ, ყველა ფუძე განსხვავებულია, მაგრამ ყველა ხარისხი ერთი და იგივეა! ჩვენ სწრაფად ვმრავლდებით!

აქ ისევ ყველაფერი ნათელია: (თუ ვერ გაიგეთ რა ჯადოსნურად მივიღე ბოლო თანასწორობა, შეისვენეთ ერთი წუთით, შეისვენეთ და კვლავ ყურადღებით წაიკითხეთ ხარისხის თვისებები. ვინ თქვა, რომ შეგიძლიათ გამოტოვოთ ხარისხით უარყოფითი მაჩვენებელი? აქ მე დაახლოებით იგივე ვარ, რაც არავინ). ახლა მე მივიღებ:

\ დასაწყისი (გასწორება)
& ((2)^(4\მარცხნივ((x) -9 \მარჯვნივ)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\ბოლო (გასწორება)

აქ არის თქვენთვის სავარჯიშო ამოცანები, რომლებზეც მხოლოდ პასუხებს გავცემ (ოღონდ „შერეული“ ფორმით). მოაგვარეთ ისინი, შეამოწმეთ და ჩვენ გავაგრძელებთ კვლევას!

მზადაა? პასუხებიამათ მსგავსად:

1. ნებისმიერი ნომერი

კარგი, კარგი, ვიხუმრე! აქ მოცემულია გადაწყვეტილებების მონახაზი (ზოგიერთი საკმაოდ მოკლეა!)

არ ფიქრობთ, რომ შემთხვევითი არ არის, რომ მარცხნივ ერთი წილადი არის "შებრუნებული" მეორე? ცოდვა იქნება ამის არ გამოყენება:

ეს წესი ძალიან ხშირად გამოიყენება ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას, კარგად დაიმახსოვრეთ!

შემდეგ ორიგინალური განტოლება ხდება:

მისი გადაჭრა კვადრატული განტოლება, თქვენ მიიღებთ შემდეგ ფესვებს:

2. კიდევ ერთი ამონახსნი: განტოლების ორივე ნაწილის დაყოფა მარცხნივ (ან მარჯვნივ) გამოსახულებით. გავყოფ მარჯვენაზე, შემდეგ მივიღებ:

სად (რატომ?!)

3. არც მინდა გავიმეორო, უკვე ისედაც "დაღეჭა" ყველაფერი.

4. კვადრატული განტოლების ტოლფასი ფესვები

5. თქვენ უნდა გამოიყენოთ პირველ ამოცანაში მოცემული ფორმულა, შემდეგ მიიღებთ რომ:

განტოლება გადაიქცა ტრივიალურ იდენტობად, რაც მართალია ნებისმიერისთვის. მაშინ პასუხი არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

აბა, აქ ხართ და ივარჯიშეთ გადასაწყვეტად უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებები.ახლა მინდა მოგცეთ ცხოვრების მაგალითები, რომელიც დაგეხმარებათ გაიგოთ, რატომ არის ისინი საჭირო პრინციპში. აქ მე მოვიყვან ორ მაგალითს. ერთი მათგანი საკმაოდ ყოველდღიურია, მაგრამ მეორე უფრო მეცნიერული, ვიდრე პრაქტიკული ინტერესია.

მაგალითი 1 (მერკანტილური)ნება მიეცით გქონდეთ რუბლი, მაგრამ გსურთ მისი გადაქცევა რუბლებში. ბანკი გთავაზობთ ამ თანხის აღებას თქვენგან წლიური საპროცენტო განაკვეთით პროცენტის ყოველთვიური კაპიტალიზაციით (თვიური დარიცხვა). საკითხავია, რამდენი თვის განმავლობაში გჭირდებათ ანაბრის გახსნა სასურველი საბოლოო თანხის ასაღებად? საკმაოდ ამქვეყნიური ამოცანაა, არა? მიუხედავად ამისა, მისი ამოხსნა დაკავშირებულია შესაბამისი ექსპონენციალური განტოლების აგებასთან: მოდით - საწყისი რაოდენობა, - საბოლოო რაოდენობა, - საპროცენტო განაკვეთიპერიოდზე, - პერიოდების რაოდენობა. შემდეგ:

ჩვენს შემთხვევაში (თუ განაკვეთი არის წლიური, მაშინ ის გამოითვლება თვეში). რატომ იყოფა? თუ არ იცით ამ კითხვაზე პასუხი, დაიმახსოვრე თემა ""! შემდეგ მივიღებთ შემდეგ განტოლებას:

ამ ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა უკვე შესაძლებელია მხოლოდ კალკულატორით (მის გარეგნობაამაზე მიანიშნებს და ამისთვის საჭიროა ლოგარითმების ცოდნა, რომელსაც ცოტა მოგვიანებით გავეცნობით), რასაც გავაკეთებ: ... ამგვარად, მილიონის მისაღებად საჭიროა დეპოზიტის ჩარიცხვა ერთი თვის განმავლობაში (არა ძალიან სწრაფად, არა?).

მაგალითი 2 (საკმაოდ სამეცნიერო).მიუხედავად მისი, გარკვეული „იზოლირებისა“, გირჩევთ, ყურადღება მიაქციოთ მას: ის რეგულარულად „გადის გამოცდაზე!! (ამოცანა აღებული „რეალური“ ვერსიიდან) კოლაფსის დროს რადიოაქტიური იზოტოპიმისი მასა მცირდება კანონის მიხედვით, სადაც (მგ) არის იზოტოპის საწყისი მასა, (მინ.) არის საწყისი მომენტიდან გასული დრო, (მინ.) არის ნახევარგამოყოფის პერიოდი. AT საწყისი მომენტიდროის იზოტოპის მასა მგ. მისი ნახევარგამოყოფის პერიოდი მინ. რამდენ წუთში იქნება იზოტოპის მასა მგ-ის ტოლი? არა უშავს: ჩვენ უბრალოდ ვიღებთ და ვცვლით ყველა მონაცემს ჩვენთვის შემოთავაზებულ ფორმულაში:

მოდით გავყოთ ორივე ნაწილად, "იმ იმედით", რომ მარცხნივ მივიღებთ რაღაც საჭმლის მონელებას:

ისე, ჩვენ ძალიან გაგვიმართლა! ის დგას მარცხნივ, შემდეგ გადავიდეთ ეკვივალენტურ განტოლებაზე:

სადაც მინ.

როგორც ხედავთ, ექსპონენციალურ განტოლებებს პრაქტიკაში ძალიან რეალური გამოყენება აქვთ. ახლა მინდა თქვენთან ერთად განვიხილო ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის კიდევ ერთი (მარტივი) გზა, რომელიც ეფუძნება საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღებას და შემდეგ ტერმინების დაჯგუფებას. ნუ გეშინიათ ჩემი სიტყვების, ეს მეთოდი უკვე შეგხვდათ მე-7 კლასში, როცა სწავლობდით მრავალწევრებს. მაგალითად, თუ დაგჭირდათ გამოხატვის ფაქტორიზირება:

დავაჯგუფოთ: პირველი და მესამე ტერმინები, ასევე მეორე და მეოთხე. ნათელია, რომ პირველი და მესამე არის კვადრატების განსხვავება:

ხოლო მეორე და მეოთხე აქვს საერთო ფაქტორისამი საუკეთესო:

მაშინ ორიგინალური გამოთქმა ამის ტოლფასია:

სად ამოიღოთ საერთო ფაქტორი, აღარ არის რთული:

აქედან გამომდინარე,

დაახლოებით ასე მოვიქცევით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას: ტერმინებს შორის მოძებნეთ „საერთოება“ და ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან და შემდეგ - რაც შეიძლება, მჯერა, რომ გაგვიმართლებს =)) მაგალითად:

მარჯვნივ შორს არის შვიდის სიმძლავრე (მე შევამოწმე!) და მარცხნივ - ოდნავ უკეთესი, შეგიძლიათ, რა თქმა უნდა, „ამოჭრათ“ ფაქტორი a პირველი ტერმინიდან და მეორედან და შემდეგ გაუმკლავდეთ. რაც გაქვს, მაგრამ მოდი შენთან უფრო გონივრულად ვიმოქმედოთ. არ მინდა საქმე იმ ფრაქციებთან, რომლებიც აუცილებლად წარმოიქმნება „შერჩევით“, ასე რომ არ ჯობია გავძლო? მაშინ მე არ მექნება წილადები: როგორც ამბობენ, მგლებიც სავსეა და ცხვარიც უსაფრთხოა:

დაითვალეთ გამოხატულება ფრჩხილებში. ჯადოსნურად, ჯადოსნურად, გამოდის ეს (გასაკვირველია, თუმცა სხვას რას უნდა ველოდოთ?).

შემდეგ ამ ფაქტორით ვამცირებთ განტოლების ორივე მხარეს. ვიღებთ: სად.

აქ არის უფრო რთული მაგალითი (საკმაოდ, ნამდვილად):

აი უბედურება! აქ არ გვყავს საერთო საფუძველი! არ არის სრულიად ნათელი რა უნდა გააკეთოს ახლა. და მოდით გავაკეთოთ ის, რაც შეგვიძლია: პირველ რიგში, ჩვენ გადავიტანთ "ოთხებს" ერთი მიმართულებით, ხოლო "ხუთიანებს" მეორეში:

ახლა მოდით ამოვიღოთ "საერთო" მარცხნივ და მარჯვნივ:

Ახლა რა? რა სარგებელი მოაქვს ასეთ სულელურ დაჯგუფებას? ერთი შეხედვით, ეს საერთოდ არ ჩანს, მაგრამ მოდით, უფრო ღრმად ჩავიხედოთ:

კარგი, ახლა მოდით გავაკეთოთ ისე, რომ მარცხნივ გვქონდეს მხოლოდ გამოთქმა c, ხოლო მარჯვნივ - ყველაფერი დანარჩენი. როგორ გავაკეთოთ ეს? და აი როგორ: ჯერ გაყავით განტოლების ორივე მხარე (ასე რომ მოვიშოროთ მაჩვენებლის მარჯვნივ) და შემდეგ გავყოთ ორივე მხარეზე (ასე მოვიშოროთ რიცხვითი ფაქტორი მარცხნივ). საბოლოოდ მივიღებთ:

წარმოუდგენელი! მარცხნივ გვაქვს გამოხატულება, ხოლო მარჯვნივ - უბრალოდ. მაშინვე დავასკვნათ, რომ

აქ არის კიდევ ერთი მაგალითი გასამყარებლად:

მოვიყვან მას მოკლე გამოსავალი(ახსნა ნამდვილად არ მჭირს), შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ გადაწყვეტის ყველა „დახვეწილობა“.

ახლა დაფარული მასალის საბოლოო კონსოლიდაცია. ეცადეთ, დამოუკიდებლად მოაგვაროთ შემდეგი პრობლემები. მოვიტან მხოლოდ მოკლე რეკომენდაციებიდა რჩევები მათი გადაჭრისთვის:

1. ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:
2. ჩვენ წარმოვადგენთ პირველ გამონათქვამს სახით: , გაყავით ორივე ნაწილი და მიიღეთ ეს
3. , მაშინ თავდაპირველი განტოლება გარდაიქმნება ფორმაში: კარგი, ახლა მინიშნება - მოძებნე სად მოვაგვარეთ მე და თქვენ უკვე ეს განტოლება!
4. წარმოიდგინეთ როგორ, როგორ, აჰ, კარგად, შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი, ასე რომ მიიღებთ უმარტივეს ექსპონენციალურ განტოლებას.
5. ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან.
6. ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან.

ექსპოზიციური განტოლებები. შუა დონე

ვვარაუდობ, რომ პირველი სტატიის წაკითხვის შემდეგ, რომელშიც ნათქვამია რა არის ექსპონენციალური განტოლებები და როგორ ამოხსნათ ისინითქვენ დაეუფლეთ აუცილებელი მინიმუმიმარტივი მაგალითების გადასაჭრელად საჭირო ცოდნა.

ახლა გავაანალიზებ ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის სხვა მეთოდს, ეს არის

„ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდი“ (ან ჩანაცვლება).ის ხსნის „რთულ“ ამოცანების უმეტესობას, ექსპონენციალური განტოლებების (და არა მარტო განტოლებების) თემაზე. ეს მეთოდი ერთ-ერთი ყველაზე ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში. პირველ რიგში, გირჩევთ გაეცნოთ თემას.

როგორც სახელიდან უკვე მიხვდით, ამ მეთოდის არსი არის ცვლადის ისეთი ცვლილების შემოღება, რომ თქვენი ექსპონენციალური განტოლება სასწაულებრივად გარდაიქმნება ისეთად, რომლის ამოხსნასაც უკვე მარტივად შეძლებთ. ამ ძალიან „გამარტივებული განტოლების“ ამოხსნის შემდეგ რჩება მხოლოდ „საპირისპირო ჩანაცვლება“: ანუ შეცვლილიდან შეცვლილზე დაბრუნება. მოდით ილუსტრაციულად ვაჩვენოთ ის, რაც ახლა ვთქვით ძალიან მარტივი მაგალითით:

მაგალითი 1:

ეს განტოლება წყდება "მარტივი ჩანაცვლებით", როგორც მათემატიკოსები დამამცირებლად უწოდებენ. მართლაც, ჩანაცვლება აქ ყველაზე აშკარაა. უბრალოდ ამის დანახვაა საჭირო

შემდეგ ორიგინალური განტოლება ხდება:

თუ დამატებით წარმოვიდგენთ როგორ, მაშინ სავსებით გასაგებია, რა უნდა შეიცვალოს: რა თქმა უნდა, . რა ხდება მაშინ თავდაპირველი განტოლება? და აი რა:

თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ მისი ფესვები დამოუკიდებლად:. Რა უნდა გავაკეთოთ ახლა? დროა დავუბრუნდეთ საწყის ცვლადს. რისი ჩასმა დამავიწყდა? კერძოდ: გარკვეული ხარისხის ახალი ცვლადით ჩანაცვლებისას (ანუ ტიპის ჩანაცვლებისას), დავინტერესდები მხოლოდ დადებითი ფესვები! თქვენ თვითონ შეგიძლიათ მარტივად უპასუხოთ რატომ. ამრიგად, ჩვენ არ ვართ დაინტერესებული თქვენით, მაგრამ მეორე ფესვი საკმაოდ შესაფერისია ჩვენთვის:

მერე სად.

პასუხი:

როგორც ხედავთ, წინა მაგალითში შემცვლელი ითხოვდა ჩვენს ხელებს. სამწუხაროდ, ეს ყოველთვის ასე არ არის. თუმცა, პირდაპირ სამწუხაროზე არ გადავიდეთ, არამედ ვივარჯიშოთ კიდევ ერთ მაგალითზე საკმაოდ მარტივი ჩანაცვლებით

მაგალითი 2

გასაგებია, რომ დიდი ალბათობით, საჭირო იქნება ჩანაცვლება (ეს არის ყველაზე პატარა ძალაუფლება, რომელიც შედის ჩვენს განტოლებაში), თუმცა, სანამ ჩანაცვლებას შემოვიტანთ, ჩვენი განტოლება უნდა იყოს „მომზადებული“ ამისთვის, კერძოდ: , . შემდეგ შეგიძლიათ შეცვალოთ, შედეგად მე მივიღებ შემდეგ გამოთქმას:

Ო ღმერთო: კუბური განტოლებამისი გადაჭრის აბსოლუტურად საშინელი ფორმულებით (კარგი, ზოგადად რომ ვთქვათ). ოღონდ მაშინვე ნუ ვიდარდებთ, არამედ ვიფიქროთ რა უნდა გავაკეთოთ. მე შემოგთავაზებთ მოტყუებას: ჩვენ ვიცით, რომ იმისათვის, რომ მივიღოთ "ლამაზი" პასუხი, ჩვენ უნდა მივიღოთ სამის სიმძლავრის ფორმა (რატომ იქნება ეს, ჰა?). და შევეცადოთ გამოვიცნოთ ჩვენი განტოლების ერთი ფესვი მაინც (გამოცნობას დავიწყებ სამის ხარისხებიდან).

პირველი გამოცნობა. არ არის ფესვი. ვაი და აჰ...

.
მარცხენა მხარე თანაბარია.
მარჯვენა ნაწილი: !
Იქ არის! გამოიცნო პირველი ფესვი. ახლა ყველაფერი გამარტივდება!

იცით თუ არა „კუთხის“ გაყოფის სქემა? რა თქმა უნდა, იცით, თქვენ იყენებთ მას, როდესაც ერთ რიცხვს მეორეზე ყოფთ. მაგრამ ცოტამ თუ იცის, რომ იგივე შეიძლება გაკეთდეს მრავალწევრებთან. არსებობს ერთი მშვენიერი თეორემა:

გამოიყენება ჩემს სიტუაციაში, ის მეუბნება, თუ რა იყოფა ნაშთის გარეშე. როგორ ხდება გაყოფა? ასე:

მე ვუყურებ რომელი მონომი უნდა გავამრავლო, რომ Clear მივიღო, შემდეგ:

გამოვაკლებ მიღებულ გამონათქვამს, მივიღებ:

ახლა რა უნდა გავამრავლო რომ მივიღო? გასაგებია, რომ შემდეგ მე მივიღებ:

და კვლავ გამოვაკლოთ მიღებული გამონათქვამი დანარჩენს:

ბოლო საფეხურს ვამრავლებ და ვაკლებ დარჩენილ გამონათქვამს:

ჰოოი, დაყოფა დასრულდა! რა დავაგროვეთ პირადში? Თავისით: .

შემდეგ მივიღეთ თავდაპირველი მრავალწევრის შემდეგი გაფართოება:

ამოხსნათ მეორე განტოლება:

მას აქვს ფესვები:

შემდეგ ორიგინალური განტოლება:

აქვს სამი ფესვი:

ჩვენ, რა თქმა უნდა, უარვყოფთ ბოლო ფესვს, რადგან ის ნულზე ნაკლები. და პირველი ორი საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ მოგვცემს ორ ფესვს:

პასუხი:..

ამ მაგალითით სულაც არ მინდოდა შენი შეშინება, პირიქით, მე დავანახე, რომ მაინც საკმარისი გვქონდა მარტივი ჩანაცვლება, თუმცა ამან გამოიწვია საკმაოდ რთული განტოლება, რომლის გადაწყვეტაც ჩვენგან განსაკუთრებულ უნარებს მოითხოვდა. ისე, არავინ არ არის დაზღვეული ამისგან. მაგრამ ჩანაცვლება შიგნით ამ საქმესსაკმაოდ აშკარა იყო.

აქ არის მაგალითი ოდნავ ნაკლებად აშკარა ჩანაცვლებით:

საერთოდ არ არის ნათელი რა უნდა გავაკეთოთ: პრობლემა ის არის, რომ ჩვენს განტოლებაში არის ორი სხვადასხვა ბაზებიდა ერთი საძირკველი მეორისგან არ მიიღება მისი რაიმე (გონივრული, ბუნებრივია) ხარისხით ამაღლებით. თუმცა, რას ვხედავთ? ორივე ფუძე განსხვავდება მხოლოდ ნიშნით და მათი ნამრავლია კვადრატების სხვაობა ერთის ტოლი:

განმარტება:

ამრიგად, რიცხვები, რომლებიც ჩვენს მაგალითში ფუძეა, არის კონიუგატი.

ამ შემთხვევაში, ჭკვიანური ნაბიჯი იქნება გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე კონიუგატულ რიცხვზე.

მაგალითად, on, მაშინ განტოლების მარცხენა მხარე თანაბარი გახდება, ხოლო მარჯვენა მხარე. თუ ჩვენ შევცვლით, მაშინ ჩვენი თავდაპირველი განტოლება თქვენთან გახდება ასეთი:

მისი ფესვები, მაშ, მაგრამ ამის გახსენებით, ჩვენ ამას მივიღებთ.

პასუხი: ,.

როგორც წესი, ჩანაცვლების მეთოდი საკმარისია "სასკოლო" ექსპონენციალური განტოლებების უმეტესობის ამოსახსნელად. შემდეგი ამოცანები აღებულია USE C1-დან ( ამაღლებული დონესირთულეები). თქვენ უკვე საკმარისად განათლებული ხართ, რომ ეს მაგალითები დამოუკიდებლად მოაგვაროთ. მე მივცემ მხოლოდ საჭირო ჩანაცვლებას.

1. ამოხსენით განტოლება:
2. იპოვეთ განტოლების ფესვები:
3. ამოხსენით განტოლება: . იპოვეთ ამ განტოლების ყველა ფესვი, რომელიც ეკუთვნის სეგმენტს:

ახლა რამდენიმე სწრაფი ახსნა და პასუხი:

1. აქ საკმარისია აღინიშნოს, რომ და. მაშინ ორიგინალური განტოლება იქნება ამის ექვივალენტი: ეს განტოლებამოგვარებულია ჩანაცვლებით, შემდგომი გამოთვლები თავად გააკეთეთ. საბოლოო ჯამში, თქვენი ამოცანა შემცირდება უმარტივესი ტრიგონომეტრიის ამოხსნამდე (დამოკიდებულია სინუსზე ან კოსინუსზე). გადაწყვეტილება მსგავსი მაგალითებიჩვენ სხვა განყოფილებებში შევისწავლით.
2. აქ შეგიძლიათ გააკეთოთ ჩანაცვლების გარეშეც: საკმარისია ქვეტრაჰენდის მარჯვნივ გადატანა და ორივე ფუძის წარმოდგენა ორი ძალების საშუალებით: და შემდეგ დაუყოვნებლივ გადადით კვადრატულ განტოლებაზე.
3. მესამე განტოლებაც საკმაოდ სტანდარტულად არის ამოხსნილი: წარმოიდგინეთ როგორ. შემდეგ, ჩანაცვლებით მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას: მაშინ,

   უკვე იცით რა არის ლოგარითმი? არა? მაშინ სასწრაფოდ წაიკითხე თემა!

   პირველი ფესვი, ცხადია, სეგმენტს არ ეკუთვნის, მეორე კი გაუგებარია! მაგრამ ძალიან მალე გავარკვევთ! მას შემდეგ (ეს ლოგარითმის თვისებაა!) მოდით შევადაროთ:

   გამოვაკლოთ ორივე ნაწილს და მივიღებთ:

   მარცხენა მხარე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

   გავამრავლოთ ორივე მხარე:

   შეიძლება გამრავლდეს მაშინ

   მაშინ შევადაროთ:

   მას შემდეგ:

   შემდეგ მეორე ფესვი მიეკუთვნება სასურველ ინტერვალს

   პასუხი:

Როგორც ხედავ, ექსპონენციალური განტოლებების ფესვების შერჩევა მოითხოვს საკმარისს ღრმა ცოდნალოგარითმების თვისებები, ამიტომ გირჩევთ იყოთ მაქსიმალურად ფრთხილად ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას. მოგეხსენებათ, მათემატიკაში ყველაფერი ურთიერთდაკავშირებულია! როგორც ჩემი მათემატიკის მასწავლებელი ამბობდა: „ერთ ღამეში მათემატიკის წაკითხვა არ შეიძლება, როგორც ისტორია“.

როგორც წესი, ყველა C1 ამოცანების ამოხსნის სირთულე არის სწორედ განტოლების ფესვების შერჩევა.ვივარჯიშოთ სხვა მაგალითით:

ცხადია, რომ განტოლება თავისთავად ამოხსნილია საკმაოდ მარტივად. ჩანაცვლების შემდეგ, ჩვენ ვამცირებთ ჩვენს თავდაპირველ განტოლებას შემდეგზე:

ჯერ პირველ ფესვს გადავხედოთ. შეადარე და: მას შემდეგ. (ლოგარითმული ფუნქციის თვისება, at). მაშინ ცხადია, რომ არც პირველი ძირი არ ეკუთვნის ჩვენს ინტერვალს. ახლა მეორე ფესვი: . გასაგებია, რომ (რადგან ფუნქცია იზრდება). რჩება შედარება და

მას შემდეგ, რაც, ამავე დროს. ამდენად, მე შემიძლია "გავატარო პეგი" შორის და. ეს სამაგრი რიცხვია. პირველი გამოხატულება ნაკლებია, ხოლო მეორე მეტია ვიდრე. მაშინ მეორე გამოხატულება უფრო დიდია ვიდრე პირველი და ფესვი ეკუთვნის ინტერვალს.

პასუხი:.

დასასრულს, მოდით გადავხედოთ განტოლების სხვა მაგალითს, სადაც ჩანაცვლება საკმაოდ არასტანდარტულია:

მოდი დაუყოვნებლივ დავიწყოთ იმით, რისი გაკეთება შეგიძლიათ და რა - პრინციპში, შეგიძლიათ, მაგრამ უმჯობესია არ გააკეთოთ ეს. შესაძლებელია - ყველაფრის წარმოდგენა სამი, ორი და ექვსის ძალებით. სად მივყავართ? დიახ, და არაფერამდე არ მიგვიყვანს: ხარისხების აურზაური, რომელთაგან ზოგიერთის მოშორება საკმაოდ რთული იქნება. მერე რა არის საჭირო? აღვნიშნოთ, რომ ა და რას მოგვცემს? და ის ფაქტი, რომ ჩვენ შეგვიძლია ამ მაგალითის ამონახსნები შევამციროთ საკმაოდ მარტივი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნამდე! პირველი, მოდით გადავიწეროთ ჩვენი განტოლება შემდეგნაირად:

ახლა ჩვენ ვყოფთ მიღებული განტოლების ორივე მხარეს:

ევრიკა! ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ, მივიღებთ:

აჰა, ახლა თქვენი ჯერია პრობლემების დემონსტრაციისთვის გადაჭრა და მე მათ მხოლოდ მოკლე კომენტარებს მივცემ, რომ არ გადახვიდეთ! Წარმატებები!

1. ყველაზე რთული! აქ შემცვლელის ნახვა ოჰ, რა მახინჯია! მიუხედავად ამისა, ამ მაგალითის სრულად მოგვარება შესაძლებელია განაწილება სრული მოედანი . მის გადასაჭრელად, საკმარისია აღინიშნოს, რომ:

ასე რომ, აქ არის თქვენი შემცვლელი:

(გაითვალისწინეთ, რომ აქ, ჩვენს ჩანაცვლებაში, ჩვენ არ შეგვიძლია გაუქმება უარყოფითი ფესვი!!! Რატომ ფიქრობ?)

ახლა, მაგალითის ამოსახსნელად, თქვენ უნდა ამოხსნათ ორი განტოლება:

ორივე მოგვარებულია "სტანდარტული ჩანაცვლებით" (მაგრამ მეორე ერთ მაგალითში!)

2. დააკვირდით ამას და გააკეთეთ ჩანაცვლება.

3. გააფართოვეთ რიცხვი თანაპირობით ფაქტორებად და გაამარტივეთ მიღებული გამოხატულება.

4. წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გაყავით (ან თუ გსურთ) და გააკეთეთ ჩანაცვლება ან.

5. გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები და შერწყმულია.

ექსპოზიციური განტოლებები. გაფართოებული დონე

გარდა ამისა, მოდით შევხედოთ სხვა გზას - ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა ლოგარითმის მეთოდით. ვერ ვიტყვი, რომ ამ მეთოდით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა ძალიან პოპულარულია, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში მხოლოდ ამან შეიძლება მიგვიყვანოს სწორი გადაწყვეტილებაჩვენი განტოლება. განსაკუთრებით ხშირად გამოიყენება ე.წ. შერეული განტოლებები ': ანუ ის, სადაც არის სხვადასხვა ტიპის ფუნქციები.

მაგალითად, განტოლება, როგორიცაა:

in ზოგადი შემთხვევამისი ამოხსნა შესაძლებელია მხოლოდ ორივე ნაწილის ლოგარითმის აღებით (მაგალითად, ბაზის მიხედვით), რომელშიც თავდაპირველი განტოლება გადაიქცევა შემდეგში:

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

გასაგებია, რომ ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ ლოგარითმული ფუნქციის ODZ. თუმცა, ეს გამომდინარეობს არა მხოლოდ ლოგარითმის ODZ-დან, არამედ სხვა მიზეზის გამო. ვფიქრობ, რომ არ გაგიჭირდებათ გამოცნობა რომელი.

ავიღოთ ჩვენი განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი ფუძემდე:

როგორც ხედავთ, ჩვენი თავდაპირველი განტოლების ლოგარითმის აღებამ სწრაფად მიგვიყვანა სწორ (და მშვენიერ!) პასუხამდე. ვივარჯიშოთ სხვა მაგალითით:

აქაც სანერვიულო არაფერია: განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმს ვიღებთ ფუძის მიხედვით, შემდეგ მივიღებთ:

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება:

თუმცა რაღაც გამოგვრჩა! შეამჩნიე სად დავუშვი შეცდომა? ყოველივე ამის შემდეგ, მაშინ:

რომელიც არ აკმაყოფილებს მოთხოვნას (იფიქრეთ საიდან მოვიდა!)

პასუხი:

შეეცადეთ დაწეროთ ქვემოთ მოცემული ექსპონენციალური განტოლების ამონახსნი:

ახლა შეამოწმეთ თქვენი გამოსავალი ამით:

1. ჩვენ ორივე ნაწილს ლოგარითმი ვაძლევთ ფუძეს, იმის გათვალისწინებით, რომ:

(მეორე ფესვი არ გვიწყობს ჩანაცვლების გამო)

2. ლოგარითმი ფუძემდე:

მოდით გადავიტანოთ მიღებული გამოხატულება შემდეგ ფორმაში:

ექსპოზიციური განტოლებები. მოკლე აღწერა და ძირითადი ფორმულა

ექსპონენციალური განტოლება

ტიპის განტოლება:

დაურეკა უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლება.

ხარისხის თვისებები

გადაწყვეტის მიდგომები

• შემცირება იმავე ბაზაზე
• კასტინგი იგივე მაჩვენებელიგრადუსი
• ცვლადი ჩანაცვლება
• გაამარტივე გამოთქმა და გამოიყენე რომელიმე ზემოთ ჩამოთვლილი.

განტოლებებს ეწოდება ექსპონენციალური, თუ უცნობი შეიცავს მაჩვენებელს. უმარტივეს ექსპონენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა: a x \u003d a b, სადაც a> 0 და 1, x უცნობია.

გრადუსების ძირითადი თვისებები, რომელთა დახმარებით გარდაიქმნება ექსპონენციალური განტოლებები: a>0, b>0.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას ასევე გამოიყენება ექსპონენციალური ფუნქციის შემდეგი თვისებები: y = a x , a > 0, a1:

რიცხვის სიმძლავრის სახით გამოსაყენებლად გამოიყენეთ ბაზა ლოგარითმული იდენტურობა: b = , a > 0, a1, b > 0.

ამოცანები და ტესტები თემაზე "ექსპონენციალური განტოლებები"

• ექსპონენციალური განტოლებები

  გაკვეთილი: 4 დავალება: 21 ტესტი: 1

• ექსპონენციალური განტოლებები - მნიშვნელოვანი თემებიგაიმეორონ გამოცდა მათემატიკაში

  დავალებები: 14

• ექსპონენციალური და ლოგარითმული განტოლებების სისტემები - დემონსტრაციული და ლოგარითმული ფუნქციამე-11 კლასი

  გაკვეთილები: 1 დავალება: 15 ტესტი: 1

• §2.1. ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა

  გაკვეთილები: 1 დავალება: 27

• §7 ექსპონენციალური და ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობა - განყოფილება 5. ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები მე-10 კლასი

  გაკვეთილები: 1 დავალება: 17

ამისთვის წარმატებული გადაწყვეტაექსპონენციალური განტოლებები თქვენ უნდა იცოდეთ ძალაუფლების ძირითადი თვისებები, ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები, ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას გამოიყენება ორი ძირითადი მეთოდი:

1. a f(x) = a g(x) განტოლებიდან გადასვლა f(x) = g(x) განტოლებაზე;
2. ახალი ხაზების დანერგვა.

მაგალითები.

1. განტოლებები, რომლებიც მცირდება უმარტივესამდე. ისინი წყდება განტოლების ორივე მხარის ერთნაირი ფუძის სიმძლავრის მიყვანით.

3x \u003d 9x - 2.

გადაწყვეტილება:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

პასუხი: 4.

2. საერთო ფაქტორის ფრჩხილებით ამოხსნილი განტოლებები.

გადაწყვეტილება:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

პასუხი: 3.

3. ცვლადის ცვლილებით ამოხსნილი განტოლებები.

გადაწყვეტილება:

2 2x + 2 x - 12 = 0
ჩვენ აღვნიშნავთ 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
ა) 2 x = - 4. განტოლებას ამონახსნები არ აქვს, რადგან 2 x > 0.
ბ) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = ჟურნალი 2 3.

პასუხი:ჟურნალი 2 3.

4. ორი განსხვავებული (ერთმანეთზე შეუქცევადი) ფუძის მქონე ტოლობები.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
× 23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

პასუხი: 2.

5. განტოლებები, რომლებიც ერთგვაროვანია x და b x-ის მიმართ.

ზოგადი ფორმა: .

9 x + 4 x = 2.5 x 6 x.

გადაწყვეტილება:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
აღნიშნეთ (3/2) x = y.
y 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

პასუხი:ჟურნალი 3/2 2; - ჟურნალი 3/2 2.

ჩვენი საიტის youtube არხზე, რათა იცოდეთ ყველა ახალი ვიდეო გაკვეთილი.

დასაწყისისთვის, გავიხსენოთ ძირითადი ფორმულებიგრადუსი და მათი თვისებები.

რიცხვის პროდუქტი ახდება თავისთავად n-ჯერ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს გამოთქმა a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

სიმძლავრე ან ექსპონენციალური განტოლებები- ეს არის განტოლებები, რომლებშიც ცვლადები არიან ხარისხებში (ან ექსპონენტებში), ხოლო ფუძე არის რიცხვი.

ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითები:

AT ეს მაგალითირიცხვი 6 არის საფუძველი, ის ყოველთვის ბოლოშია და ცვლადი xხარისხი ან ზომა.

მოდით მოვიყვანოთ ექსპონენციალური განტოლებების მეტი მაგალითი.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

ახლა ვნახოთ, როგორ იხსნება ექსპონენციალური განტოლებები?

ავიღოთ მარტივი განტოლება:

2 x = 2 3

ასეთი მაგალითი გონებითაც კი ამოიხსნება. ჩანს, რომ x=3. ყოველივე ამის შემდეგ, ისე, რომ მარცხენა და მარჯვენა ნაწილითანაბარი იყო, x-ის ნაცვლად უნდა დააყენოთ რიცხვი 3.
ახლა ვნახოთ, როგორ უნდა მივიღოთ ეს გადაწყვეტილება:

2 x = 2 3
x = 3

ამ განტოლების ამოსახსნელად ჩვენ ამოვიღეთ იგივე საფუძველი(ანუ დეუზები) და დაწერე რაც დარჩა, ეს არის გრადუსები. ჩვენ მივიღეთ პასუხი, რომელსაც ვეძებდით.

ახლა შევაჯამოთ ჩვენი გამოსავალი.

ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი:
1. საჭიროა შემოწმება იგივეთუ არა განტოლების საფუძვლები მარჯვნივ და მარცხნივ. თუ საფუძველი არ არის იგივე, ჩვენ ვეძებთ ვარიანტებს ამ მაგალითის გადასაჭრელად.
2. მას შემდეგ, რაც ბაზები იგივეა, გათანაბრებახარისხი და ამოხსენით მიღებული ახალი განტოლება.

ახლა მოვაგვაროთ რამდენიმე მაგალითი:

დავიწყოთ მარტივი.

მარცხენა და მარჯვენა გვერდების ფუძეები უდრის რიცხვს 2-ს, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გადავაგდოთ ფუძე და გავაიგივოთ მათი გრადუსები.

x+2=4 აღმოჩნდა უმარტივესი განტოლება.
x=4 - 2
x=2
პასუხი: x=2

AT შემდეგი მაგალითიჩანს, რომ ბაზები განსხვავებულია - 3 და 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

დასაწყისისთვის, ცხრას გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ:

ახლა თქვენ უნდა გააკეთოთ იგივე ბაზები. ვიცით, რომ 9=3 2 . გამოვიყენოთ სიმძლავრის ფორმულა (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

ჩვენ ვიღებთ 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ახლა თქვენ ხედავთ ამას მარცხნივ და მარჯვენა მხარეფუძეები ერთი და იგივეა და სამის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გადავაგდოთ ისინი და გავაიგივოთ გრადუსები.

3x=2x+16 მიიღო უმარტივესი განტოლება
3x-2x=16
x=16
პასუხი: x=16.

მოდით შევხედოთ შემდეგ მაგალითს:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვუყურებთ ბაზებს, ბაზები განსხვავებულია ორი და ოთხი. და ჩვენც იგივე უნდა ვიყოთ. ჩვენ ვაქცევთ ოთხმაგს ფორმულის მიხედვით (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

ჩვენ ასევე ვიყენებთ ერთ ფორმულას a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

დაამატეთ განტოლებას:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

იგივე მიზეზების გამო მოვიყვანეთ მაგალითი. მაგრამ სხვა რიცხვები 10 და 24 გვეშლება, რა ვუყოთ მათ? თუ კარგად დააკვირდებით, ხედავთ, რომ მარცხენა მხარეს ვიმეორებთ 2 2x, აი პასუხი - შეგვიძლია 2 2x ჩავდოთ ფრჩხილებიდან:

2 2x (2 4 - 10) = 24

გამოვთვალოთ გამოხატულება ფრჩხილებში:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

მთელ განტოლებას ვყოფთ 6-ზე:

წარმოიდგინეთ 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 ფუძე იგივეა, გადააგდეთ ისინი და გააიგივეთ გრადუსები.
2x \u003d 2 აღმოჩნდა უმარტივესი განტოლება. ვყოფთ 2-ზე, მივიღებთ
x = 1
პასუხი: x = 1.

მოდი ამოვხსნათ განტოლება:

9 x - 12*3 x +27= 0

მოდით გარდავქმნათ:
9 x = (3 2) x = 3 2x

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

ფუძეები ჩვენთვის იგივეა, უდრის სამს.ამ მაგალითში ჩანს, რომ პირველ სამეულს აქვს ხარისხი ორჯერ (2x), ვიდრე მეორეს (მხოლოდ x). ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ ჩანაცვლების მეთოდი. ნომერი ერთად მინიმუმ ხარისხიჩანაცვლება:

შემდეგ 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

ჩვენ ყველა გრადუსს ვცვლით x-ებით განტოლებაში t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას. ჩვენ ვხსნით დისკრიმინანტის საშუალებით, ვიღებთ:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

ცვლადში დაბრუნება x.

ჩვენ ვიღებთ t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

ანუ

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

ნაპოვნია ერთი ფესვი. ჩვენ ვეძებთ მეორეს, t 2-დან:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
პასუხი: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

საიტზე შეგიძლიათ განყოფილებაში HELP DECIDE დასვათ საინტერესო კითხვები, ჩვენ აუცილებლად გიპასუხებთ.

შეუერთდი ჯგუფს