ლოგარითმული კუბური განტოლება. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

მაგალითები:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებები:

ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას თქვენ უნდა შეეცადოთ გადაიყვანოთ ის ფორმაში \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), შემდეგ კი გადახვიდეთ \(f( x)=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

მაგალითი:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

გადაწყვეტილება:
\(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\)
\(x-2=8\)
\(x=10\)
გამოცდა:\(10>2\) - შესაფერისია ODZ-სთვის
პასუხი:\(x=10\)

ODZ:
\(x-2>0\)
\(x>2\)

Ძალიან მნიშვნელოვანი!ეს გადასვლა შეიძლება განხორციელდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ:

თქვენ დაწერეთ ორიგინალური განტოლებისთვის და ბოლოს შეამოწმეთ, შედის თუ არა ნაპოვნი DPV-ში. თუ ეს არ გაკეთებულა, შეიძლება გამოჩნდეს დამატებითი ფესვები, რაც ნიშნავს არასწორ გადაწყვეტილებას.

რიცხვი (ან გამოთქმა) იგივეა მარცხნივ და მარჯვნივ;

ლოგარითმები მარცხნივ და მარჯვნივ არის "სუფთა", ანუ არ უნდა იყოს არცერთი, გამრავლება, გაყოფა და ა.შ. - მხოლოდ მარტოხელა ლოგარითმები ტოლობის ნიშნის ორივე მხარეს.

Მაგალითად:

გაითვალისწინეთ, რომ 3 და 4 განტოლებები ადვილად ამოიხსნება გამოყენებით სასურველი თვისებებილოგარითმები.

მაგალითი . ამოხსენით განტოლება \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

გადაწყვეტილება :

		დავწეროთ ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		მარცხნივ ლოგარითმის წინ არის კოეფიციენტი, მარჯვნივ ლოგარითმების ჯამი. ეს გვაწუხებს. გადავიტანოთ ორი \(x\) მაჩვენებელზე თვისებით: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). ლოგარითმების ჯამს ერთ ლოგარითმად წარმოვადგენთ თვისებით: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		ჩვენ მივიღეთ განტოლება ფორმაში \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) და ჩავწერეთ ODZ, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია გადავიდეთ ფორმაზე \(f (x)=g(x)\ ).
		მოხდა . ვაგვარებთ და ვიღებ ფესვებს.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		ვამოწმებთ, ჯდება თუ არა ფესვები ODZ-ის ქვეშ. ამისთვის, \(x>0\)-ში \(x\)-ის ნაცვლად ვცვლით \(5\) და \(-5\). ეს ოპერაცია შეიძლება ჩატარდეს ზეპირად.
\(5>0\), \(-5>0\)		პირველი უტოლობა მართალია, მეორე არა. ასე რომ, \(5\) არის განტოლების ფესვი, მაგრამ \(-5\) არა. ჩვენ ვწერთ პასუხს.

უპასუხე : \(5\)

მაგალითი : ამოხსენით განტოლება \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

გადაწყვეტილება :

		დავწეროთ ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		ტიპიური განტოლება, მოგვარებულია . ჩაანაცვლეთ \(\log_2⁡x\) \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		მიიღო ჩვეულებრივი. ეძებს მის ფესვებს.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		საპირისპირო ჩანაცვლების გაკეთება
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		ჩვენ გარდაქმნით სწორ ნაწილებს, წარმოვადგენთ მათ ლოგარითმებად: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) და \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		ახლა ჩვენი განტოლებებია \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) და შეგვიძლია გადავიდეთ \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		ჩვენ ვამოწმებთ ODZ-ის ფესვების შესაბამისობას. ამისათვის, \(x\)-ის ნაცვლად, ჩვენ ვცვლით \(4\) და \(2\) უტოლობაში \(x>0\).
\(4>0\) \(2>0\)		ორივე უტოლობა მართალია. ასე რომ, ორივე \(4\) და \(2\) არის განტოლების ფესვები.

უპასუხე : \(4\); \(2\).

დღეს ჩვენ ვისწავლით, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებები, რომლებიც არ საჭიროებს წინასწარ გარდაქმნებს და ფესვების შერჩევას. მაგრამ თუ ისწავლით როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლებები, მაშინ ეს ბევრად უფრო ადვილი იქნება.

უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება არის log a f (x) \u003d b ფორმის განტოლება, სადაც a, b არის რიცხვები (a\u003e 0, a ≠ 1), f (x) არის გარკვეული ფუნქცია.

ყველა ლოგარითმული განტოლების გამორჩეული თვისებაა x ცვლადის არსებობა ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. თუ ასეთი განტოლება თავდაპირველად მოცემულია ამოცანაში, მას უმარტივესს უწოდებენ. ნებისმიერი სხვა ლოგარითმული განტოლება მცირდება უმარტივესამდე სპეციალური გარდაქმნებით (იხ. „ლოგარითმების ძირითადი თვისებები“). ამასთან, გასათვალისწინებელია მრავალი დახვეწილობა: შეიძლება გამოჩნდეს დამატებითი ფესვები, ამიტომ რთული ლოგარითმული განტოლებები ცალკე განიხილება.

როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლებები? საკმარისია ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ რიცხვი შევცვალოთ ლოგარითმით იმავე ბაზაზე, როგორც მარცხნივ. შემდეგ შეგიძლიათ მოიცილოთ ლოგარითმის ნიშანი. ჩვენ ვიღებთ:

log a f (x) \u003d b ⇒ log a f (x) \u003d log a a b ⇒ f (x) \u003d a b

მივიღეთ ჩვეულებრივი განტოლება. მისი ფესვები თავდაპირველი განტოლების ფესვებია.

ხარისხების გამოთქმა

ხშირად ლოგარითმული განტოლებები, რომლებიც გარეგნულად რთულად და საფრთხის შემცველად გამოიყურება, წყდება მხოლოდ რამდენიმე სტრიქონში ჩართვის გარეშე. რთული ფორმულები. დღეს ჩვენ განვიხილავთ სწორედ ასეთ პრობლემებს, სადაც ყველაფერი რაც თქვენგან გჭირდებათ არის ფორმულის ფრთხილად დაყვანა კანონიკურ ფორმამდე და არ დაიბნეთ ლოგარითმების განსაზღვრის დომენის ძიებისას.

დღეს, როგორც თქვენ ალბათ სათაურიდან მიხვდით, ჩვენ მოვაგვარებთ ლოგარითმულ განტოლებებს კანონიკურ ფორმაზე გადასვლის ფორმულების გამოყენებით. ამ ვიდეო გაკვეთილის მთავარი „ხრიკი“ იქნება ხარისხებთან მუშაობა, უფრო სწორად, ხარისხის ბაზიდან და არგუმენტის აღება. მოდით შევხედოთ წესს:

ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ ხარისხი ბაზიდან:

როგორც ხედავთ, თუ ხარისხი ლოგარითმის არგუმენტიდან ამოღებისას უბრალოდ გვაქვს დამატებითი მულტიპლიკატორიწინ, შემდეგ გრადუსის ფუძიდან ამოღებისას - არა მხოლოდ ფაქტორი, არამედ ინვერსიული ფაქტორი. ეს უნდა ახსოვდეს.

და ბოლოს, ყველაზე საინტერესო. ეს ფორმულები შეიძლება გაერთიანდეს, შემდეგ მივიღებთ:

რა თქმა უნდა, ამ გადასვლების შესრულებისას, არსებობს გარკვეული ხარვეზები შესაძლო გაფართოებაგანსაზღვრების დომენი ან, პირიქით, განსაზღვრების დომენის შევიწროებით. თავად განსაჯეთ:

ჟურნალი 3 x 2 = 2 ∙ ჟურნალი 3 x

თუ პირველ შემთხვევაში x შეიძლება იყოს 0-ის გარდა ნებისმიერი რიცხვი, ანუ მოთხოვნა x ≠ 0, მაშინ მეორე შემთხვევაში დავკმაყოფილდებით მხოლოდ x-ით, რომელიც არათუ არ არის ტოლი, არამედ მკაცრად მეტია 0-ზე. რადგან ლოგარითმის დომენი არის ის, რომ არგუმენტი იყოს მკაცრად 0-ზე მეტი. ამიტომ, მე შეგახსენებთ მშვენიერ ფორმულას ალგებრის კურსიდან 8-9 კლასებში:

ანუ, ჩვენ უნდა დავწეროთ ჩვენი ფორმულა შემდეგნაირად:

ჟურნალი 3 x 2 = 2 ∙ ჟურნალი 3 |x |

მაშინ არ მოხდება განმარტების დომენის შევიწროება.

თუმცა, დღევანდელ ვიდეო გაკვეთილში არ იქნება კვადრატები. თუ გადავხედავთ ჩვენს ამოცანებს, ნახავთ მხოლოდ ფესვებს. ამიტომ, მიმართეთ ეს წესიჩვენ არ გავაკეთებთ, მაგრამ ეს მაინც უნდა გვახსოვდეს იმისათვის, რომ შესაფერისი მომენტიროდესაც თქვენ ხედავთ კვადრატული ფუნქციალოგარითმის არგუმენტში ან ბაზაში თქვენ დაიმახსოვრებთ ამ წესს და სწორად შეასრულებთ ყველა ტრანსფორმაციას.

ასე რომ, პირველი განტოლება არის:

ამ პრობლემის გადასაჭრელად, მე გთავაზობთ ყურადღებით დავაკვირდეთ ფორმულაში მოცემულ თითოეულ ტერმინს.

მოდით გადავიწეროთ პირველი წევრი, როგორც ძალა რაციონალური მაჩვენებლით:

ჩვენ ვუყურებთ მეორე წევრს: log 3 (1 − x ). აქ არაფრის გაკეთება არ გჭირდებათ, ყველაფერი უკვე გარდაიქმნება.

და ბოლოს, 0, 5. როგორც წინა გაკვეთილებზე ვთქვი, ლოგარითმული განტოლებებისა და ფორმულების ამოხსნისას უაღრესად გირჩევთ ათობითი წილადებიდან ჩვეულებრივზე გადასვლას. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

0,5 = 5/10 = 1/2

მოდით გადავიწეროთ ჩვენი ორიგინალური ფორმულა მიღებული ტერმინების გათვალისწინებით:

ჟურნალი 3 (1 − x) = 1

ახლა გადავიდეთ კანონიკურ ფორმაზე:

ჟურნალი 3 (1 − x) = ჟურნალი 3 3

მოიშორეთ ლოგარითმის ნიშანი არგუმენტების გათანაბრების გზით:

1 − x = 3

-x = 2

x = −2

ესე იგი, ჩვენ გადავწყვიტეთ განტოლება. თუმცა, მოდით მაინც ვითამაშოთ უსაფრთხოდ და ვიპოვოთ განმარტების დომენი. ამისთვის დავუბრუნდეთ ორიგინალური ფორმულადა ნახეთ:

1 − x > 0

-x > -1

x< 1

ჩვენი ფესვი x = −2 აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნას, ამიტომ x = −2 არის საწყისი განტოლების ამონახსნი. ახლა ჩვენ გვაქვს მკაცრი მკაფიო დასაბუთება. ყველაფერი, ამოცანა მოგვარებულია.

გადავიდეთ მეორე დავალებაზე:

მოდით განვიხილოთ თითოეული ტერმინი ცალკე.

ჩვენ ვწერთ პირველს:

ჩვენ შევცვალეთ პირველი ტერმინი. ჩვენ ვმუშაობთ მეორე ტერმინით:

და ბოლოს, ბოლო ტერმინი, რომელიც არის ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ:

ჩვენ ვცვლით შედეგად გამოსახულებებს ტერმინებით მიღებული ფორმულით:

ჟურნალი 3 x = 1

ჩვენ გადავდივართ კანონიკურ ფორმაზე:

ჟურნალი 3 x = ჟურნალი 3 3

ლოგარითმის ნიშანს არგუმენტების გათანაბრების გზით ვაშორებთ და ვიღებთ:

x=3

ისევ, ყოველი შემთხვევისთვის, მოდით ვითამაშოთ უსაფრთხოდ, დავუბრუნდეთ საწყის განტოლებას და ვნახოთ. თავდაპირველ ფორმულაში ცვლადი x არის მხოლოდ არგუმენტში, ამიტომ,

x > 0

მეორე ლოგარითმში x არის ფესვის ქვეშ, მაგრამ ისევ არგუმენტში, შესაბამისად, ფესვი უნდა იყოს 0-ზე მეტი, ე.ი. რადიკალური გამოხატულებაუნდა იყოს 0-ზე მეტი. ჩვენ ვუყურებთ ჩვენს ფესვს x = 3. ცხადია, ის აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნას. აქედან გამომდინარე, x = 3 არის საწყისი ლოგარითმული განტოლების ამონახსნი. ყველაფერი, ამოცანა მოგვარებულია.

დღევანდელ ვიდეო გაკვეთილში ორი ძირითადი პუნქტია:

1) არ შეგეშინდეთ ლოგარითმების გადაქცევა და, კერძოდ, არ შეგეშინდეთ ლოგარითმის ნიშნიდან ხარისხების ამოღების, ჩვენი დამახსოვრების დროს. ძირითადი ფორმულა: ხარისხის არგუმენტიდან ამოღებისას ის უბრალოდ ფაქტორად უცვლელად ამოღებულია, ხოლო ფუძიდან გრადუსის ამოღებისას ეს ხარისხი უკუგდება.

2) მეორე პუნქტი დაკავშირებულია თვითკანონიკურ ფორმასთან. ჩვენ შევასრულეთ კანონიკურ ფორმაზე გადასვლა ლოგარითმული განტოლების ფორმულის გარდაქმნის ბოლოს. გაიხსენეთ შემდეგი ფორმულა:

a = ჟურნალი b b a

რა თქმა უნდა, გამოთქმაში „ნებისმიერი რიცხვი b“ ვგულისხმობ იმ რიცხვებს, რომლებიც აკმაყოფილებენ ლოგარითმის ბაზაზე დაწესებულ მოთხოვნებს, ე.ი.

1 ≠ b > 0

ასეთი b-ისთვის და რადგან ჩვენ უკვე ვიცით ბაზა, ეს მოთხოვნა ავტომატურად შესრულდება. მაგრამ ასეთი ბ - ნებისმიერი, რომელიც აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნას- ეს გადასვლა შეიძლება შესრულდეს და ჩვენ მივიღებთ კანონიკურ ფორმას, რომელშიც შეგვიძლია თავი დავაღწიოთ ლოგარითმის ნიშანს.

განმარტებისა და დამატებითი ფესვების დომენის გაფართოება

ლოგარითმული განტოლებების გარდაქმნის პროცესში შეიძლება მოხდეს განმარტების დომენის იმპლიციტური გაფართოება. ხშირად მოსწავლეები ამას ვერც კი ამჩნევენ, რაც იწვევს შეცდომებს და არასწორ პასუხებს.

დავიწყოთ უმარტივესი დიზაინით. უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება შემდეგია:

log a f(x) = b

გაითვალისწინეთ, რომ x არის ერთი ლოგარითმის მხოლოდ ერთ არგუმენტში. როგორ ამოვხსნათ ასეთი განტოლებები? ჩვენ ვიყენებთ კანონიკურ ფორმას. ამისათვის ჩვენ წარმოვადგენთ რიცხვს b \u003d log a a b და ჩვენი განტოლება ხელახლა ჩაიწერება შემდეგი ფორმით:

log a f(x) = log a a b

ამ აღნიშვნას კანონიკური ფორმა ეწოდება. სწორედ მას უნდა შემცირდეს ნებისმიერი ლოგარითმული განტოლება, რომელსაც შეხვდებით არა მხოლოდ დღევანდელ გაკვეთილზე, არამედ ნებისმიერ დამოუკიდებელ და საკონტროლო სამუშაოში.

როგორ მივიდეთ კანონიკურ ფორმამდე, რა ტექნიკის გამოყენება - ეს უკვე პრაქტიკის საკითხია. მთავარია გვესმოდეს: როგორც კი მიიღებთ ასეთ ჩანაწერს, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ პრობლემა მოგვარებულია. რადგან შემდეგი ნაბიჯიიქნება ჩანაწერი:

f(x) = a b

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვიშორებთ ლოგარითმის ნიშანს და უბრალოდ ვაიგივებთ არგუმენტებს.

რატომ მთელი ეს საუბარი? ფაქტია, რომ კანონიკური ფორმა გამოიყენება არა მხოლოდ უმარტივეს პრობლემებზე, არამედ ნებისმიერ სხვაზე. კერძოდ, მათ, რომლებსაც დღეს შევეხებით. მოდით შევხედოთ.

პირველი დავალება:

რა პრობლემაა ამ განტოლებაში? ის ფაქტი, რომ ფუნქცია ერთდროულად ორ ლოგარითმშია. პრობლემა შეიძლება შემცირდეს უმარტივესამდე ერთი ლოგარითმის მეორისგან უბრალოდ გამოკლებით. მაგრამ არის პრობლემები განმარტების სფეროსთან დაკავშირებით: შეიძლება გამოჩნდეს დამატებითი ფესვები. მოდით გადავიტანოთ ერთი ლოგარითმი მარჯვნივ:

აქ ასეთი ჩანაწერი უკვე ბევრად უფრო ჰგავს კანონიკურ ფორმას. მაგრამ არის კიდევ ერთი ნიუანსი: კანონიკური ფორმით, არგუმენტები უნდა იყოს იგივე. ჩვენ გვაქვს ლოგარითმი 3 ფუძის მარცხნივ, ხოლო ლოგარითმი ფუძის 1/3 მარჯვნივ. თქვენ იცით, თქვენ უნდა მიიყვანოთ ეს ბაზები იმავე რიცხვზე. მაგალითად, გავიხსენოთ რა არის უარყოფითი მაჩვენებლები:

შემდეგ ჩვენ გამოვიყენებთ მაჩვენებელს "-1" ჟურნალის გარეთ, როგორც მულტიპლიკატორი:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ხარისხი, რომელიც იდგა ფუძესთან, გადაბრუნებულია და იქცევა წილადად. ჩვენ მივიღეთ თითქმის კანონიკური აღნიშვნა სხვადასხვა ფუძის მოშორებით, მაგრამ ამის ნაცვლად მივიღეთ "−1" ფაქტორი მარჯვნივ. მოდი, ეს ფაქტორი არგუმენტად ჩავიტანოთ ძალაში გადაქცევით:

რა თქმა უნდა, კანონიკური ფორმის მიღების შემდეგ, ჩვენ თამამად ვკვეთთ ლოგარითმის ნიშანს და ვაიგივებთ არგუმენტებს. ამავდროულად, ნება მომეცით შეგახსენოთ, რომ როდესაც ამაღლებულია "−1" ხარისხზე, წილადი უბრალოდ ბრუნდება - მიიღება პროპორცია.

გამოვიყენოთ პროპორციის მთავარი თვისება და გავამრავლოთ ის ჯვარედინად:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x2 - 9x + 4 = 3x2 - 19x + 20

x2 − 10x + 16 = 0

ჩვენს წინაშეა კვადრატული განტოლებაასე რომ, ჩვენ ვხსნით მას Vieta ფორმულების გამოყენებით:

(x − 8) (x − 2) = 0

x 1 = 8; x2 = 2

Სულ ეს არის. როგორ ფიქრობთ, განტოლება ამოხსნილია? არა! ასეთი ამოხსნისთვის მივიღებთ 0 ქულას, რადგან თავდაპირველ განტოლებაში ერთდროულად არის ორი ლოგარითმი x ცვლადით. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია გავითვალისწინოთ განმარტების სფერო.

და სწორედ აქ იწყება გართობა. სტუდენტების უმეტესობა დაბნეულია: რა არის ლოგარითმის სფერო? რა თქმა უნდა, ყველა არგუმენტი (ჩვენ გვაქვს ორი) უნდა იყოს ნულზე მეტი:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

თითოეული ეს უტოლობა უნდა გადაიჭრას, მონიშნოს სწორ ხაზზე, გადაკვეთოს - და მხოლოდ ამის შემდეგ ნახოთ, რა ფესვები დევს კვეთაზე.

გულწრფელი ვიქნები: ამ ტექნიკას აქვს არსებობის უფლება, ის საიმედოა და თქვენ მიიღებთ სწორ პასუხს, მაგრამ მასში ძალიან ბევრი დამატებითი ნაბიჯია. მოდით, კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ჩვენს გადაწყვეტას და ვნახოთ: კონკრეტულად სად გსურთ მოქმედების სფერო? სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ ზუსტად უნდა გესმოდეთ, როდის გამოჩნდება დამატებითი ფესვები.

თავდაპირველად ორი ლოგარითმი გვქონდა. შემდეგ ჩვენ გადავიყვანეთ ერთი მათგანი მარჯვნივ, მაგრამ ამან არ იმოქმედა განსაზღვრების არეალზე.
შემდეგ ჩვენ ვაშორებთ ძალას ფუძიდან, მაგრამ ჯერ კიდევ არის ორი ლოგარითმი და თითოეული მათგანი შეიცავს x ცვლადს.
საბოლოოდ, ჩვენ გადავკვეთთ ლოგის ნიშნებს და ვიღებთ კლასიკას წილადი რაციონალური განტოლება.

ბოლო საფეხურზეა გაფართოებული განმარტების დომენი! როგორც კი გადავედით წილადის რაციონალურ განტოლებაზე, ლოგის ნიშნების მოშორებით, x ცვლადის მოთხოვნები მკვეთრად შეიცვალა!

მაშასადამე, განსაზღვრების დომენი შეიძლება ჩაითვალოს არა ამოხსნის დასაწყისში, არამედ მხოლოდ აღნიშნულ საფეხურზე - სანამ პირდაპირ გავაიგივებთ არგუმენტებს.

სწორედ აქ არის ოპტიმიზაციის შესაძლებლობა. ერთის მხრივ, ჩვენ გვჭირდება, რომ ორივე არგუმენტი იყოს ნულზე მეტი. მეორეს მხრივ, ჩვენ კიდევ უფრო ვაიგივებთ ამ არგუმენტებს. მაშასადამე, თუ ერთი მათგანი მაინც დადებითია, მაშინ მეორეც დადებითი იქნება!

ასე რომ, გამოდის, რომ ორი უტოლობის ერთდროულად შესრულების მოთხოვნა ზედმეტია. საკმარისია ამ წილადებიდან მხოლოდ ერთის გათვალისწინება. Რომელი? ის, რაც უფრო ადვილია. მაგალითად, მოდით შევხედოთ სწორ წილადს:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

ეს ტიპიურია წილადი რაციონალური უტოლობა, ჩვენ ვხსნით მას ინტერვალის მეთოდით:

როგორ მოვათავსოთ ნიშნები? ავიღოთ ნომერიაშკარად აღემატება ყველა ჩვენს ფესვს. მაგალითად, 1 მილიარდი და ჩვენ ვცვლით მის წილადს. ვიღებთ დადებით რიცხვს, ე.ი. x = 5 ფესვის მარჯვნივ იქნება პლუს ნიშანი.

შემდეგ ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება, რადგან არსად არ არის თანაბარი სიმრავლის ფესვები. ჩვენ გვაინტერესებს ინტერვალები, სადაც ფუნქცია დადებითია. აქედან გამომდინარე x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

ახლა გავიხსენოთ პასუხები: x = 8 და x = 2. მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს ჯერ არ არის პასუხები, არამედ მხოლოდ პასუხის კანდიდატები. რომელი ეკუთვნის მითითებული ნაკრები? რა თქმა უნდა, x = 8. მაგრამ x = 2 არ გვერგება განმარტების დომენის თვალსაზრისით.

საერთო ჯამში, პასუხი პირველ ლოგარითმულ განტოლებაზე იქნება x = 8. ახლა ჩვენ გვაქვს კომპეტენტური, გონივრული გამოსავალი, განმარტების დომენის გათვალისწინებით.

გადავიდეთ მეორე განტოლებაზე:

log 5 (x - 9) = log 0.5 4 - log 5 (x - 5) + 3

შეგახსენებთ, რომ თუ განტოლებაში არის ათობითი წილადი, მაშინ უნდა მოიცილოთ იგი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ გადავწერთ 0.5 როგორც ჩვეულებრივი ფრაქცია. ჩვენ მაშინვე შევნიშნავთ, რომ ამ ბაზის შემცველი ლოგარითმი ადვილად განიხილება:

ეს ძალიან მნიშვნელოვანი მომენტია! როდესაც ჩვენ გვაქვს გრადუსები როგორც საფუძველში, ასევე არგუმენტში, ჩვენ შეგვიძლია ამ ხარისხების ინდიკატორები ფორმულის გამოყენებით ავიღოთ:

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს თავდაპირველ ლოგარითმულ განტოლებას და ხელახლა ვწერთ მას:

ჟურნალი 5 (x - 9) = 1 - ჟურნალი 5 (x - 5)

ჩვენ მივიღეთ კონსტრუქცია, რომელიც საკმაოდ ახლოსაა კანონიკურ ფორმასთან. თუმცა, ჩვენ დაბნეული ვართ ტერმინებით და მინუს ნიშანი ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ. მოდით წარმოვიდგინოთ ერთიანობა ლოგარითმის სახით 5-ის ბაზაზე:

ჟურნალი 5 (x - 9) = ჟურნალი 5 5 1 - ჟურნალი 5 (x - 5)

გამოვაკლოთ ლოგარითმები მარჯვნივ (როცა მათი არგუმენტები იყოფა):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

მშვენივრად. ასე მივიღეთ კანონიკური ფორმა! ჩვენ ვკვეთთ ჟურნალის ნიშნებს და ვაიგივებთ არგუმენტებს:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

ეს არის პროპორცია, რომელიც ადვილად წყდება ჯვარედინი გამრავლებით:

(x − 9) (x − 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x2 − 14x + 40 = 0

ცხადია, ჩვენ გვაქვს მოცემული კვადრატული განტოლება. ის ადვილად წყდება Vieta ფორმულების გამოყენებით:

(x − 10) (x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

ჩვენ გვაქვს ორი ფესვი. მაგრამ ეს არ არის საბოლოო პასუხები, არამედ მხოლოდ კანდიდატები, რადგან ლოგარითმული განტოლება ასევე მოითხოვს დომენის შემოწმებას.

შეგახსენებთ: არ უყუროთ როდის ყველასარგუმენტებიდან ნულზე მეტი იქნება. საკმარისია მოვითხოვოთ, რომ ერთი არგუმენტი, x − 9 ან 5/(x − 5) იყოს ნულზე მეტი. განვიხილოთ პირველი არგუმენტი:

x − 9 > 0

x > 9

ცხადია, მხოლოდ x = 10 აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნას.ეს არის საბოლოო პასუხი. ყველა პრობლემა მოგვარებულია.

ისევ ძირითადი აზრებიდღევანდელი გაკვეთილი:

როგორც კი ცვლადი x გამოჩნდება რამდენიმე ლოგარითმში, განტოლება წყვეტს ელემენტარულობას და ამისთვის აუცილებელია განსაზღვრის დომენის გამოთვლა. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად დაწეროთ დამატებითი ფესვები პასუხად.
თავად განსაზღვრების დომენთან მუშაობა შეიძლება მნიშვნელოვნად გამარტივდეს, თუ უტოლობა არ დაიწერება დაუყოვნებლივ, არამედ ზუსტად იმ მომენტში, როდესაც ჩვენ გავთავისუფლდებით ჟურნალის ნიშნებს. ბოლოს და ბოლოს, როდესაც არგუმენტები ერთმანეთს უტოლდება, საკმარისია მოვითხოვოთ, რომ მხოლოდ ერთი მათგანი იყოს ნულზე მეტი.

რა თქმა უნდა, ჩვენ თვითონ ვირჩევთ რომელი არგუმენტიდან გავაკეთოთ უთანასწორობა, ამიტომ ლოგიკურია ავირჩიოთ უმარტივესი. მაგალითად, მეორე განტოლებაში ავირჩიეთ არგუმენტი (x − 9) − ხაზოვანი ფუნქციაფრაქციულად რაციონალური მეორე არგუმენტისგან განსხვავებით. დამეთანხმებით, x − 9 > 0 უტოლობის ამოხსნა ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე 5/(x − 5) > 0. თუმცა შედეგი იგივეა.

ეს შენიშვნა მნიშვნელოვნად ამარტივებს ODZ-ის ძიებას, მაგრამ ფრთხილად იყავით: თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ერთი უტოლობა ორის ნაცვლად მხოლოდ მაშინ, როდესაც არგუმენტები ზუსტად არის უტოლდება ერთმანეთს!

რა თქმა უნდა, ვიღაც ახლა იკითხავს: რა ხდება სხვაგვარად? Დიახ ზოგჯერ. მაგალითად, თავად ნაბიჯში, როდესაც ვამრავლებთ ცვლადის შემცველ ორ არგუმენტს, არსებობს დამატებითი ფესვების საშიშროება.

თავად განსაჯეთ: თავდაპირველად საჭიროა, რომ თითოეული არგუმენტი იყოს ნულზე მეტი, მაგრამ გამრავლების შემდეგ საკმარისია მათი ნამრავლი იყოს ნულზე მეტი. შედეგად, გამოტოვებულია შემთხვევა, როდესაც თითოეული ეს წილადი უარყოფითია.

ამიტომ, თუ ახლახან იწყებთ რთულ ლოგარითმულ განტოლებებს, არავითარ შემთხვევაში არ გაამრავლოთ ლოგარითმები x ცვლადის შემცველობით - ძალიან ხშირად ეს გამოიწვევს დამატებით ფესვებს. სჯობს გადადგათ ერთი დამატებითი ნაბიჯი, გადაიტანოთ ერთი ტერმინი მეორე მხარეს, შეადგინოთ კანონიკური ფორმა.

აბა, რა უნდა გააკეთოთ, თუ არ შეგიძლიათ გააკეთოთ ასეთი ლოგარითმების გამრავლების გარეშე, განვიხილავთ შემდეგ ვიდეო გაკვეთილში. :)

კიდევ ერთხელ განტოლებაში არსებული ძალების შესახებ

დღეს ჩვენ გავაანალიზებთ საკმაოდ მოლიპულ თემას ლოგარითმულ განტოლებებთან დაკავშირებით, უფრო სწორად, ძალაუფლების ამოღებას არგუმენტებიდან და ლოგარითმების საფუძვლებიდან.

მე კი ვიტყოდი, რომ ჩვენ ვისაუბრებთ ლუწი ძალების ამოღებაზე, რადგან სწორედ ლუწი ძალებით წარმოიქმნება სირთულეების უმეტესობა რეალური ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას.

დავიწყოთ კანონიკური ფორმით. ვთქვათ, გვაქვს განტოლება, როგორიცაა log a f (x) = b. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვწერთ რიცხვს b ფორმულის მიხედვით b = log a a b . გამოდის შემდეგი:

log a f(x) = log a a b

შემდეგ ვაიგივებთ არგუმენტებს:

f(x) = a b

ბოლო ფორმულას კანონიკური ფორმა ეწოდება. ეს არის მისთვის, რომ ისინი ცდილობენ შეამცირონ ნებისმიერი ლოგარითმული განტოლება, რაც არ უნდა რთული და საშინელი ჩანდეს ეს ერთი შეხედვით.

აი, ვცადოთ. დავიწყოთ პირველი დავალებით:

წინასწარი შენიშვნა: როგორც ვთქვი, ყველა ათწილადებილოგარითმულ განტოლებაში უმჯობესია გადათარგმნოთ იგი ჩვეულებრივად:

0,5 = 5/10 = 1/2

მოდით გადავიწეროთ ჩვენი განტოლება ამ ფაქტის გათვალისწინებით. გაითვალისწინეთ, რომ 1/1000 და 100 არის 10-ის სიმძლავრეები, და შემდეგ ჩვენ ვიღებთ ხარისხებს იქიდან, სადაც ისინი არიან: არგუმენტებიდან და თუნდაც ლოგარითმების ფუძიდან:

და აქ ბევრ სტუდენტს უჩნდება კითხვა: "საიდან გაჩნდა მოდული მარჯვნივ?" მართლაც, რატომ არ დაწეროთ (x − 1)? რა თქმა უნდა, ახლა ჩვენ დავწერთ (x − 1), მაგრამ ასეთი ჩანაწერის უფლება გვაძლევს განმარტების დომენის ანგარიშს. ბოლოს და ბოლოს, სხვა ლოგარითმი უკვე შეიცავს (x − 1) და ეს გამოხატულება უნდა იყოს ნულზე მეტი.

მაგრამ როცა კვადრატს ამოვიღებთ ლოგარითმის ფუძიდან, მოდული უნდა დავტოვოთ ძირში. აგიხსნით რატომ.

ფაქტია, რომ მათემატიკის თვალსაზრისით, ხარისხის აღება ფესვის აღების ტოლფასია. კერძოდ, როდესაც გამოსახულება (x − 1) 2 არის კვადრატში, ჩვენ არსებითად გამოვყოფთ მეორე ხარისხის ფესვს. მაგრამ კვადრატული ფესვი სხვა არაფერია, თუ არა მოდული. ზუსტად მოდული, რადგან თუნდაც გამოხატულება x - 1 უარყოფითი იყოს, კვადრატში "მინუს" მაინც დაიწვება. ფესვის შემდგომი ამოღება მოგვცემს დადებით რიცხვს - უკვე ყოველგვარი მინუსების გარეშე.

ზოგადად, შეურაცხმყოფელი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, ერთხელ და სამუდამოდ გახსოვდეთ:

ლუწი ხარისხის ფესვი ნებისმიერი ფუნქციიდან, რომელიც ამაღლებულია იმავე ძალამდე, უდრის არა თავად ფუნქციას, არამედ მის მოდულს:

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს ლოგარითმულ განტოლებას. მოდულზე საუბრისას მე ვამტკიცებდი, რომ მისი ამოღება უმტკივნეულოდ შეგვიძლია. Მართალია. ახლა აგიხსნით რატომ. მკაცრად რომ ვთქვათ, ორი ვარიანტი უნდა გავითვალისწინოთ:

x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

თითოეული ეს ვარიანტი უნდა განიხილებოდეს. მაგრამ არის ერთი დაჭერა: ორიგინალური ფორმულა უკვე შეიცავს ფუნქციას (x − 1) ყოველგვარი მოდულის გარეშე. და ლოგარითმების განსაზღვრის დომენის შემდეგ, ჩვენ გვაქვს უფლება დაუყოვნებლივ ჩავწეროთ, რომ x − 1 > 0.

ეს მოთხოვნა უნდა დაკმაყოფილდეს, მიუხედავად ნებისმიერი მოდულისა და სხვა ტრანსფორმაციისა, რომელსაც ჩვენ ვასრულებთ გადაწყვეტის პროცესში. აქედან გამომდინარე, უაზროა მეორე ვარიანტის განხილვა - ის არასოდეს გაჩნდება. იმ შემთხვევაშიც კი, თუ უტოლობის ამ შტოს ამოხსნისას მივიღებთ რამდენიმე რიცხვს, ისინი მაინც არ ჩაირთვება საბოლოო პასუხში.

ახლა ჩვენ ფაქტიურად ერთი ნაბიჯით ვართ დაშორებული ლოგარითმული განტოლების კანონიკურ ფორმას. მოდით წარმოვადგინოთ ერთეული შემდეგნაირად:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

გარდა ამისა, ჩვენ არგუმენტში შემოგვაქვს ფაქტორი −4, რომელიც მარჯვნივ არის:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

ჩვენს წინაშეა ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმა. მოიშორეთ ლოგარითმის ნიშანი:

10 −4 = x − 1

მაგრამ რადგან ბაზა იყო ფუნქცია (და არა მარტივი რიცხვი), ჩვენ დამატებით მოვითხოვთ, რომ ეს ფუნქცია იყოს ნულზე მეტი და არა ერთის ტოლი. მიიღეთ სისტემა:

ვინაიდან მოთხოვნა x − 1 > 0 ავტომატურად დაკმაყოფილებულია (რადგან x − 1 = 10 −4), ერთ-ერთი უტოლობა შეიძლება წაიშალოს ჩვენი სისტემიდან. მეორე პირობა ასევე შეიძლება გადაიკვეთოს, რადგან x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

ეს არის ერთადერთი ფესვი, რომელიც ავტომატურად აკმაყოფილებს ლოგარითმის განსაზღვრის დომენის ყველა მოთხოვნას (თუმცა, ყველა მოთხოვნა აღმოიფხვრა, როგორც შეგნებულად შესრულებული ჩვენი პრობლემის პირობებში).

ასე რომ, მეორე განტოლება არის:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

რით განსხვავდება ეს განტოლება წინაგან? უკვე ის ფაქტი მაინც, რომ ლოგარითმების საფუძვლები - 3x და 9x - არ არის ბუნებრივი გრადუსებიერთმანეთი. აქედან გამომდინარე, გარდამავალი, რომელიც ჩვენ ვიყენებდით წინა გადაწყვეტაში, შეუძლებელია.

ხარისხებს მაინც დავაღწიოთ თავი. ჩვენს შემთხვევაში, ერთადერთი ძალა მეორე არგუმენტშია:

3 ჟურნალი 3 x x = 2 ∙ 2 ჟურნალი 9 x |x |

თუმცა მოდულის ნიშანი შეიძლება მოიხსნას, რადგან ცვლადი x ასევე არის ბაზაში, ე.ი. x > 0 ⇒ |x| = x. მოდით გადავწეროთ ჩვენი ლოგარითმული განტოლება:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

მივიღეთ ლოგარითმები, რომლებშიც არგუმენტები იგივეა, მაგრამ სხვადასხვა საფუძველი. Როგორ უნდა გააგრძელონ? აქ ბევრი ვარიანტია, მაგრამ ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ორ მათგანს, რომლებიც ყველაზე ლოგიკურია და რაც მთავარია, ეს არის სწრაფი და გასაგები ხრიკები სტუდენტების უმეტესობისთვის.

ჩვენ უკვე განვიხილეთ პირველი ვარიანტი: ნებისმიერში გაუგებარი სიტუაციათარგმნეთ ლოგარითმები ცვლადი ბაზარაღაც მუდმივ საფუძველს. მაგალითად, დუისამდე. კონვერტაციის ფორმულა მარტივია:

რა თქმა უნდა, ნორმალური რიცხვი უნდა იმოქმედოს როგორც c ცვლადი: 1 ≠ c > 0. მოდით, ჩვენს შემთხვევაში c = 2. ახლა გვაქვს ჩვეულებრივი წილადი რაციონალური განტოლება. ჩვენ ვაგროვებთ ყველა ელემენტს მარცხნივ:

ცხადია, ფაქტორების ჟურნალი 2 x უკეთესია ამოღებული, რადგან ის არის როგორც პირველ, ასევე მეორე წილადებში.

ჟურნალი 2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

ჩვენ ვყოფთ თითოეულ ჟურნალს ორ ტერმინად:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

მოდით გადავიწეროთ თანასწორობის ორივე მხარე ამ ფაქტების გათვალისწინებით:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

ახლა რჩება დუსის დამატება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ (ის გადაიქცევა ძალად: 3 2 \u003d 9):

ჟურნალი 2 9 = ჟურნალი 2 x

ჩვენს წინაშე არის კლასიკური კანონიკური ფორმა, ჩვენ ვიშორებთ ლოგარითმის ნიშანს და ვიღებთ:

როგორც მოსალოდნელი იყო, ეს ფესვი ნულზე მეტი აღმოჩნდა. რჩება განსაზღვრის დომენის შემოწმება. მოდით გადავხედოთ საფუძვლებს:

მაგრამ ფესვი x = 9 აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნებს. ამიტომ, ეს არის საბოლოო გადაწყვეტილება.

დასკვნა ეხლა ამ გადაწყვეტილებასმარტივია: ნუ შეგეშინდებათ გრძელი გამოთვლების! უბრალოდ, თავიდანვე შემთხვევით ავირჩიეთ ახალი ბაზა - და ამან მნიშვნელოვნად გაართულა პროცესი.

მაგრამ შემდეგ ჩნდება კითხვა: რა არის საფუძველი ოპტიმალური? ამაზე მეორენაირად ვისაუბრებ.

დავუბრუნდეთ ჩვენს თავდაპირველ განტოლებას:

3 ჟურნალი 3x x = 2 ჟურნალი 9x x 2

3 ჟურნალი 3x x = 2 ∙ 2 ჟურნალი 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

ახლა ცოტა დავფიქრდეთ: რომელი რიცხვი ან ფუნქცია იქნება ოპტიმალური ბაზა? აშკარაა რომ საუკეთესო ვარიანტიიქნება c = x - რაც უკვე არის არგუმენტებში. Ამ შემთხვევაში ჟურნალის ფორმულა a b = log c b / log c a ხდება:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გამოთქმა უბრალოდ შებრუნებულია. ამ შემთხვევაში არგუმენტი და საფუძველი საპირისპიროა.

ეს ფორმულა ძალიან სასარგებლოა და ძალიან ხშირად გამოიყენება რთული ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას. თუმცა, ამ ფორმულის გამოყენებისას არის ერთი ძალიან სერიოზული პრობლემა. თუ ბაზის ნაცვლად ჩავანაცვლებთ x ცვლადს, მაშინ მასზე დაწესებულია შეზღუდვები, რომლებიც ადრე არ იყო დაცული:

თავდაპირველ განტოლებაში ასეთი შეზღუდვა არ იყო. ამიტომ, ჩვენ ცალკე უნდა შევამოწმოთ შემთხვევა, როდესაც x = 1. ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა ჩვენს განტოლებაში:

3 ჟურნალი 3 1 = 4 ჟურნალი 9 1

ჩვენ მივიღებთ უფლებას რიცხვითი თანასწორობა. ამიტომ, x = 1 არის ფესვი. ჩვენ აღმოვაჩინეთ ზუსტად იგივე ფესვი წინა მეთოდში გადაწყვეტის დასაწყისშივე.

მაგრამ ახლა, როდესაც ჩვენ ცალკე განვიხილეთ ეს განსაკუთრებული შემთხვევა, ჩვენ უსაფრთხოდ ვივარაუდებთ, რომ x ≠ 1. მაშინ ჩვენი ლოგარითმული განტოლება გადაიწერება შემდეგი სახით:

3 log x 9x = 4 log x 3x

ორივე ლოგარითმს ვაფართოვებთ იმავე ფორმულის მიხედვით, როგორც ადრე. გაითვალისწინეთ, რომ ჟურნალი x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x)

3 ჟურნალი x 9 + 3 = 4 ჟურნალი x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 ჟურნალი x 3 = 1

აქ მივედით კანონიკურ ფორმამდე:

ჟურნალი x 9 = ჟურნალი x x 1

x=9

ჩვენ მივიღეთ მეორე ფესვი. ის აკმაყოფილებს x ≠ 1 მოთხოვნას. ამიტომ, x = 9 x = 1-თან ერთად არის საბოლოო პასუხი.

როგორც ხედავთ, გამოთვლების მოცულობა ოდნავ შემცირდა. მაგრამ რეალური ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას, ნაბიჯების რაოდენობა გაცილებით ნაკლები იქნება, რადგან თქვენ არ გჭირდებათ თითოეული ნაბიჯის ასე დეტალურად აღწერა.

დღევანდელი გაკვეთილის ძირითადი წესი ასეთია: თუ დავალება შეიცავს ხარისხიც კი, საიდანაც ამოღებულია იმავე ხარისხის ფესვი, შემდეგ გამოსავალზე ვიღებთ მოდულს. თუმცა, ამ მოდულის ამოღება შესაძლებელია, თუ ყურადღებას მიაქცევთ ლოგარითმების განმარტების სფეროს.

მაგრამ ფრთხილად იყავით: ამ გაკვეთილის შემდეგ სტუდენტების უმეტესობა ფიქრობს, რომ მათ ყველაფერი ესმით. მაგრამ როცა გადაწყვეტს რეალური ამოცანებიმათ არ შეუძლიათ მთელი ლოგიკური ჯაჭვის რეპროდუცირება. შედეგად, განტოლება იძენს დამატებით ფესვებს და პასუხი არასწორია.

ძირითადი თვისებები.

ლოგაქსი + ლოგაი = log(x y);
ლოგაქსი − ლოგაი = log(x: y).

იგივე საფუძველი

log6 4 + log6 9.

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება.

ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები

რა მოხდება, თუ არის ხარისხი ლოგარითმის ფუძეში ან არგუმენტში? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ODZ ლოგარითმია დაცული: a > 0, a ≠ 1, x >

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ახალ საძირკველზე გადასვლა

მოდით იყოს მოცემული ლოგარითმის ლოგაქსი. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

Იხილეთ ასევე:

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

მაჩვენებელი არის 2.718281828…. მაჩვენებლის დასამახსოვრებლად შეგიძლიათ შეისწავლოთ წესი: მაჩვენებელი არის 2,7 და ორჯერ აღემატება ლეო ტოლსტოის დაბადების წელს.

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ამ წესის ცოდნა გეცოდინებათ და ზუსტი ღირებულებაგამოფენები და ლეო ტოლსტოის დაბადების თარიღი.

ლოგარითმების მაგალითები

აიღეთ გამონათქვამების ლოგარითმი

მაგალითი 1
ა). x=10ac^2 (a>0, c>0).

თვისებებით 3,5 ვიანგარიშებთ

4. სადაც .

მაგალითი 2 იპოვეთ x თუ

მაგალითი 3. მოყვანილი იყოს ლოგარითმების მნიშვნელობა

გამოთვალეთ log(x) თუ

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაქმნას ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ რადგან ლოგარითმები ნამდვილად არ არის რეგულარული ნომრები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.

ეს წესები უნდა იყოს ცნობილი - მათ გარეშე, არც ერთი სერიოზული ლოგარითმული პრობლემა. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეიძლება. მოდით დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმი: ლოგაქსი და ლოგაი. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

ლოგაქსი + ლოგაი = log(x y);
ლოგაქსი − ლოგაი = log(x: y).

ამრიგად, ლოგარითმების ჯამი უდრის ნამრავლის ლოგარითმს, ხოლო სხვაობა არის კოეფიციენტის ლოგარითმი. Შენიშვნა: საკვანძო მომენტიაქ - იგივე საფუძველი. თუ საფუძვლები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულებამაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხ. გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ვინაიდან ლოგარითმების საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log2 48 − log2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log3 135 − log3 5.

ისევ და ისევ, საფუძვლები იგივეა, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ განიხილება. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ საკმაოდ ნორმალური რიცხვები გამოდის. ამ ფაქტიდან გამომდინარე, ბევრი ტესტის ფურცლები. დიახ, რა არის კონტროლი - მსგავსი გამონათქვამებიმთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად უცვლელი) შემოთავაზებულია გამოცდაზე.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ამის დანახვა ადვილია ბოლო წესიმიჰყვება პირველ ორს. მაგრამ მაინც სჯობს დაიმახსოვროთ – ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ODZ ლოგარითმია დაცული: a > 0, a ≠ 1, x > 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მხოლოდ მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანამდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log7 496.

მოდით, თავი დავაღწიოთ ხარისხს არგუმენტში პირველი ფორმულის მიხედვით:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი არის ლოგარითმი, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 24; 49 = 72. გვაქვს:

ვფიქრობ, რომ ბოლო მაგალითიდაზუსტებაა საჭირო. სად წავიდა ლოგარითმები? მთელი გზა ბოლო მომენტიჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით.

ლოგარითმების ფორმულები. ლოგარითმები ამონახსნების მაგალითებია.

მათ იქ მდგარი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი გრადუსების სახით წარმოადგინეს და ინდიკატორები ამოიღეს - მიიღეს „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველსა და მნიშვნელს ერთი და იგივე რიცხვი აქვთ: log2 7. ვინაიდან log2 7 ≠ 0 შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი არის პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ ბაზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. ჩვენ ვაყალიბებთ მათ თეორემის სახით:

კერძოდ, თუ დავსვამთ c = x, მივიღებთ:

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ მთელი გამოთქმა არის „გადაბრუნებული“, ე.ი. ლოგარითმი არის მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივში რიცხვითი გამონათქვამები. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

თუმცა არის ამოცანები, რომელთა გადაჭრაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. განვიხილოთ რამდენიმე მათგანი:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log5 16 log2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები ზუსტი მაჩვენებლებია. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ახლა გადავატრიალოთ მეორე ლოგარითმი:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი და შემდეგ გავარკვიეთ ლოგარითმები.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით ჩამოვწეროთ და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა მოვიშოროთ ათობითი ლოგარითმიახალ ბაზაზე გადასვლა:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში საჭიროა რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ფუძეზე. ამ შემთხვევაში ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, რიცხვი n ხდება არგუმენტის მაჩვენებელი. რიცხვი n შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია:

მართლაც, რა მოხდება, თუ რიცხვი b ამაღლდება ისეთ ხარისხით, რომ რიცხვი b ამ ხარისხით იძლევა რიცხვს a? მართალია: ეს არის იგივე რიცხვი a. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - მასზე ბევრი ადამიანი "ჰკიდია".

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, მთავარი ლოგარითმული იდენტურობაზოგჯერ ეს ერთადერთი გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ log25 64 = log5 8 - უბრალოდ ამოიღო კვადრატი ფუძიდან და ლოგარითმის არგუმენტი. ძალების გამრავლების წესების გათვალისწინებით იგივე ბაზა, ვიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან 🙂

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელია უწოდო თვისებები - უფრო მეტიც, ეს არის შედეგები ლოგარითმის განმარტებიდან. ისინი გამუდმებით პრობლემებში ხვდებიან და რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

ლოგა = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ნებისმიერი a ფუძის მიმართ ამ ფუძიდან ერთს უდრის.
ლოგა 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი ერთია - ლოგარითმი ნული! რადგან a0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.

Იხილეთ ასევე:

b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე აღნიშნავს გამოსახულებას. ლოგარითმის გამოთვლა ნიშნავს ისეთი სიმძლავრის x () პოვნას, რომელზედაც ტოლობა ჭეშმარიტია

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

ზემოაღნიშნული თვისებების ცოდნაა საჭირო, რადგან მათ საფუძველზე თითქმის ყველა პრობლემა და მაგალითი წყდება ლოგარითმების საფუძველზე. დარჩენილი ეგზოტიკური თვისებების მიღება შესაძლებელია ამ ფორმულებით მათემატიკური მანიპულაციებით

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ლოგარითმების ჯამისა და სხვაობის ფორმულების გაანგარიშებისას (3.4) საკმაოდ ხშირად გვხვდება. დანარჩენი გარკვეულწილად რთულია, მაგრამ რიგ ამოცანებში ისინი შეუცვლელია რთული გამონათქვამების გასამარტივებლად და მათი მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

ლოგარითმების გავრცელებული შემთხვევები

ზოგიერთი ჩვეულებრივი ლოგარითმებია ისეთები, რომლებშიც ფუძე ათია, ექსპონენციალური ან დეუზური.
ათი ფუძის ლოგარითმს ჩვეულებრივ უწოდებენ ათი ფუძის ლოგარითმს და უბრალოდ აღინიშნება lg(x).

ჩანაწერიდან ჩანს, რომ ჩანაწერში საფუძვლები არ წერია. Მაგალითად

ბუნებრივი ლოგარითმი არის ლოგარითმი, რომლის საფუძველია ექსპონენტი (აღნიშნულია ln(x)).

მაჩვენებელი არის 2.718281828…. მაჩვენებლის დასამახსოვრებლად შეგიძლიათ შეისწავლოთ წესი: მაჩვენებელი არის 2,7 და ორჯერ აღემატება ლეო ტოლსტოის დაბადების წელს. იცოდეთ ეს წესი, თქვენ გეცოდინებათ როგორც მაჩვენებლის ზუსტი მნიშვნელობა, ასევე ლეო ტოლსტოის დაბადების თარიღი.

და კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი საფუძველი ორი ლოგარითმია

ფუნქციის ლოგარითმის წარმოებული ტოლია ერთი გაყოფილი ცვლადზე

ინტეგრალური ან ანტიდერივატიული ლოგარითმი განისაზღვრება დამოკიდებულებით

ზემოთ მოყვანილი მასალა საკმარისია იმისთვის, რომ გადაჭრათ ლოგარითმებთან და ლოგარითმებთან დაკავშირებული ამოცანების ფართო კლასი. მასალის გასაგებად, მხოლოდ რამდენიმე გავრცელებულ მაგალითს მოვიყვან სკოლის სასწავლო გეგმადა უნივერსიტეტები.

ლოგარითმების მაგალითები

აიღეთ გამონათქვამების ლოგარითმი

მაგალითი 1
ა). x=10ac^2 (a>0, c>0).

თვისებებით 3,5 ვიანგარიშებთ

2.
ლოგარითმების განსხვავების თვისებით გვაქვს

3.
3.5 თვისებების გამოყენებით ვპოულობთ

4. სადაც .

გარეგნობით რთული გამოხატულებაწესების სერიის გამოყენება გამარტივებულია ფორმაში

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნა

მაგალითი 2 იპოვეთ x თუ

გადაწყვეტილება. გაანგარიშებისთვის ჩვენ ვიყენებთ თვისებებს 5 და 13 ბოლო ტერმინამდე

ჩანაწერში ჩანაცვლება და გლოვა

ვინაიდან ფუძეები ტოლია, ჩვენ ვაიგივებთ გამონათქვამებს

ლოგარითმები. პირველი დონე.

მოდით მივცეთ ლოგარითმების მნიშვნელობა

გამოთვალეთ log(x) თუ

ამოხსნა: აიღეთ ცვლადის ლოგარითმი, რომ ჩაწეროთ ლოგარითმი ტერმინების ჯამის მეშვეობით

ეს მხოლოდ დასაწყისია ლოგარითმებისა და მათი თვისებების გაცნობისა. ივარჯიშეთ გამოთვლებით, გაამდიდრეთ თქვენი პრაქტიკული უნარ-ჩვევები - მალე დაგჭირდებათ მიღებული ცოდნა ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად. ასეთი განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდების შესწავლის შემდეგ, ჩვენ გავაფართოვებთ თქვენს ცოდნას სხვაზე მნიშვნელოვანი თემა- ლოგარითმული უტოლობები ...

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაქმნას ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის საკმაოდ ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.

ეს წესები უნდა იყოს ცნობილი - მათ გარეშე სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეიძლება. მოდით დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

ლოგაქსი + ლოგაი = log(x y);
ლოგაქსი − ლოგაი = log(x: y).

ასე რომ, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმს, ხოლო სხვაობა არის კოეფიციენტის ლოგარითმი. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: აქ მთავარია - იგივე საფუძველი. თუ საფუძვლები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log6 4 + log6 9.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log2 48 − log2 3.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log3 135 − log3 5.

ისევ და ისევ, საფუძვლები იგივეა, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება „ცუდი“ ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ განიხილება. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ საკმაოდ ნორმალური რიცხვები გამოდის. ამ ფაქტს ეფუძნება მრავალი ტესტი. დიახ, კონტროლი - გამოცდაზე შემოთავაზებულია მსგავსი გამონათქვამები მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ - პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე).

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ არის ხარისხი ლოგარითმის ფუძეში ან არგუმენტში? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი მათ პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ მაინც სჯობს დაიმახსოვროთ – ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები

ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log7 496.

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი საჭიროებს გარკვევას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. მათ იქ მდგარი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი გრადუსების სახით წარმოადგინეს და ინდიკატორები ამოიღეს - მიიღეს „სამსართულიანი“ წილადი.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

კერძოდ, თუ დავსვამთ c = x, მივიღებთ:

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log5 16 log2 25.

ახლა გადავატრიალოთ მეორე ლოგარითმი:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log9 100 lg 3.

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია:

ახალი ბაზის კონვერტაციის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ log25 64 = log5 8 - უბრალოდ ამოიღო კვადრატი ფუძიდან და ლოგარითმის არგუმენტი. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან 🙂

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

ლოგა = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ნებისმიერი a ფუძის მიმართ ამ ფუძიდან ერთს უდრის.
ლოგა 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი ერთია, ლოგარითმი არის ნული! რადგან a0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

მოდით განვიხილოთ ლოგარითმული განტოლების რამდენიმე სახეობა, რომლებიც არც თუ ისე ხშირად განიხილება მათემატიკის გაკვეთილებზე სკოლაში, მაგრამ ფართოდ გამოიყენება კონკურენტული ამოცანების მომზადებაში, მათ შორის USE-სთვის.

1. ლოგარითმის მეთოდით ამოხსნილი განტოლებები

ცვლადის შემცველი განტოლებების ამოხსნისას, როგორც ფუძეში, ასევე მაჩვენებელში, გამოიყენება ლოგარითმის მეთოდი. თუ გარდა ამისა, მაჩვენებელი შეიცავს ლოგარითმს, მაშინ განტოლების ორივე მხარე უნდა იყოს ლოგარითმირებული ამ ლოგარითმის ფუძემდე.

მაგალითი 1

ამოხსენით განტოლება: x log 2 x + 2 = 8.

გადაწყვეტილება.

ვიღებთ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარის ლოგარითმს მე-2 ფუძეში. ვიღებთ

ჟურნალი 2 (x log 2 x + 2) = ჟურნალი 2 8,

(ლოგი 2 x + 2) ჟურნალი 2 x = 3.

მოდით log 2 x = t.

შემდეგ (t + 2) t = 3.

t 2 + 2t - 3 = 0.

D \u003d 16. t 1 \u003d 1; t 2 \u003d -3.

ასე რომ log 2 x \u003d 1 და x 1 \u003d 2 ან log 2 x \u003d -3 და x 2 \u003d 1/8

პასუხი: 1/8; 2.

2. ჰომოგენური ლოგარითმული განტოლებები.

მაგალითი 2

ამოხსენით განტოლება log 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0

გადაწყვეტილება.

განტოლების დომენი

(x 2 - 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

ჟურნალი 3 (x + 5) = 0 x = -4-ისთვის. შემოწმებით ჩვენ ამას ვადგენთ მოცემული ღირებულება x არა არის საწყისი განტოლების ფესვი. მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია განტოლების ორივე მხარე გავყოთ log 2 3-ზე (x + 5).

ვიღებთ log 2 3 (x 2 - 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

მოდით log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. შემდეგ t 2 - 3 t + 2 = 0. ამ განტოლების ფესვებია 1; 2. თავდაპირველ ცვლადს რომ დავუბრუნდეთ, მივიღებთ ორი განტოლების სიმრავლეს

მაგრამ ლოგარითმის არსებობის გათვალისწინებით, გასათვალისწინებელია მხოლოდ (0; 9) მნიშვნელობები. ეს ნიშნავს, რომ მარცხენა მხარეს გამოსახულებას იღებს. უმაღლესი ღირებულება 2 x = 1-ისთვის. ახლა განვიხილოთ ფუნქცია y = 2 x-1 + 2 1-x. თუ ავიღებთ t \u003d 2 x -1, მაშინ ის მიიღებს ფორმას y \u003d t + 1 / t, სადაც t\u003e 0. ასეთ პირობებში მას აქვს უნიკალური კრიტიკული წერტილი t = 1. ეს არის მინიმალური წერტილი. Y vin \u003d 2. და ეს მიიღწევა x \u003d 1-ზე.

ახლა აშკარაა, რომ განხილული ფუნქციების გრაფიკები შეიძლება გადაიკვეთოს მხოლოდ ერთხელ წერტილში (1; 2). გამოდის, რომ x \u003d 1 არის ამოხსნილი განტოლების ერთადერთი ფესვი.

პასუხი: x = 1.

მაგალითი 5. ამოხსენით განტოლება log 2 2 x + (x - 1) log 2 x \u003d 6 - 2x

გადაწყვეტილება.

ჩვენ გადავწყვეტთ მოცემული განტოლებალოგინ 2 x-თან შედარებით. მოდით log 2 x = t. შემდეგ t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x \u003d 0.

D \u003d (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) \u003d (x - 5) 2. t 1 \u003d -2; t 2 \u003d 3 - x.

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას log 2 x \u003d -2 ან log 2 x \u003d 3 - x.

პირველი განტოლების ფესვი არის x 1 = 1/4.

განტოლების ჟურნალის ფესვი 2 x \u003d 3 - x მოიძებნება შერჩევით. ეს რიცხვი არის 2. ეს ფესვი უნიკალურია, რადგან ფუნქცია y \u003d log 2 x იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენზე, ხოლო ფუნქცია y \u003d 3 - x მცირდება.

შემოწმებით ადვილია დარწმუნდეთ, რომ ორივე რიცხვი არის განტოლების ფესვები

პასუხი: 1/4; 2.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ალგებრა მე-11 კლასი

თემა: "ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები"

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო: ცოდნის ფორმირება სხვადასხვა გზებილოგარითმული განტოლებების ამოხსნა, თითოეულში მათი გამოყენების უნარი კონკრეტული სიტუაციადა აირჩიე გადაჭრის ნებისმიერი მეთოდი;

განვითარება: დაკვირვების, შედარების, ახალ სიტუაციაში ცოდნის გამოყენების, ნიმუშების ამოცნობის, განზოგადების უნარების განვითარება; ურთიერთკონტროლისა და თვითკონტროლის უნარების ჩამოყალიბება;

საგანმანათლებლო: პასუხისმგებელი დამოკიდებულების განათლება სასწავლო სამუშაო, გაკვეთილზე მასალის ფრთხილად აღქმა, აღრიცხვის სიზუსტე.

გაკვეთილის ტიპი: ახალი მასალის გაცნობის გაკვეთილი.

"ლოგარითმების გამოგონებამ, ასტრონომის მუშაობის შემცირებით, გაახანგრძლივა მისი სიცოცხლე."
ფრანგი მათემატიკოსიდა ასტრონომი პ.ს. ლაპლასი

გაკვეთილების დროს

I. გაკვეთილის მიზნის დასახვა

ლოგარითმის შესწავლილი განმარტება, ლოგარითმების თვისებები და ლოგარითმული ფუნქცია მოგვცემს ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის საშუალებას. ყველა ლოგარითმული განტოლება, რაც არ უნდა რთული იყოს ისინი, ამოხსნილია გამოყენებით ერთიანი ალგორითმები. ამ ალგორითმებს დღეს გაკვეთილზე განვიხილავთ. რამდენიმე მათგანია. თუ მათ დაეუფლებით, მაშინ ლოგარითმებთან ნებისმიერი განტოლება შესაძლებელი იქნება თითოეული თქვენგანისთვის.

რვეულში ჩაწერეთ გაკვეთილის თემა: „ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის ხერხები“. ყველას ვიწვევ თანამშრომლობისთვის.

II. განახლება საბაზისო ცოდნა

მოვემზადოთ გაკვეთილის თემის შესასწავლად. თითოეულ დავალებას ხსნი და პასუხს წერ, პირობას ვერ დაწერ. მუშაობა წყვილებში.

1) x-ის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს ფუნქციას აზრი:

(პასუხები მოწმდება თითოეულ სლაიდზე და დალაგებულია შეცდომები)

2) ემთხვევა თუ არა ფუნქციის გრაფიკები?

3) გადაწერეთ ტოლობები, როგორც ლოგარითმული ტოლობები:

4) დაწერეთ რიცხვები ლოგარითმების სახით 2 ფუძით:

5) გამოთვალეთ:

6) შეეცადეთ აღადგინოთ ან დაასრულოთ დაკარგული ელემენტები ამ თანასწორობებში.

III. გაცნობა ახალ მასალაში

განცხადება ნაჩვენებია ეკრანზე:

"განტოლება არის ოქროს გასაღები, რომელიც ხსნის ყველა მათემატიკურ სეზამს."
თანამედროვე პოლონელი მათემატიკოსი ს.კოვალი

შეეცადეთ ჩამოაყალიბოთ ლოგარითმული განტოლების განმარტება. (განტოლება, რომელიც შეიცავს უცნობს ლოგარითმის ნიშნით).

განიხილეთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება:ჟურნალიაx = b(სადაც a>0, a ≠ 1). როგორც ლოგარითმული ფუნქციაიზრდება (ან მცირდება) გადასაღებ მოედანზე დადებითი რიცხვებიდა იღებს ყველა რეალურ მნიშვნელობას, შემდეგ ფესვის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი b-სთვის ამ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი და მეტიც, დადებითი.

დაიმახსოვრე ლოგარითმის განმარტება. ( x რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე არის ის მაჩვენებელი, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს a ფუძე, რომ მივიღოთ x რიცხვი). ლოგარითმის განმარტებიდან დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს, რომ აinარის ასეთი გამოსავალი.

დაწერე სათაური: ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

1. ლოგარითმის განმარტებით.

ასე იხსნება ფორმის მარტივი განტოლებები.

განიხილეთ No514 (ა): ამოხსენი განტოლება

როგორ სთავაზობთ მის მოგვარებას? (ლოგარითმის განმარტებით)

გადაწყვეტილება. , აქედან გამომდინარე 2x - 4 = 4; x = 4.

ამ ამოცანაში, 2x - 4 > 0, რადგან > 0, შესაბამისად უცხო ფესვებივერ გამოჩნდება და არ არის საჭირო შემოწმება. პირობა 2x - 4 > 0 არ არის საჭირო ამ ამოცანის ამოსაწერად.

2. გაძლიერება(გადასვლა ლოგარითმიდან მოცემული გამოხატულებაამ გამოთქმას).

განიხილეთ No. 519 (გ): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

რა თვისება შენიშნე? (ფუძეები ერთნაირია და ორი გამონათქვამის ლოგარითმები ტოლია). Რა შეიძლება გაკეთდეს? (გაძლიერება).

ამ შემთხვევაში, გასათვალისწინებელია, რომ ნებისმიერი ამონახსნი შეიცავს ყველა x-ს, რომლის ლოგარითმის გამონათქვამები დადებითია.

გამოსავალი: ODZ:

X2+8>0 დამატებითი უტოლობა

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

ორიგინალური განტოლების გაძლიერება

ვიღებთ განტოლებას x2+8= 8x+8

ვხსნით: x2-8x=0

პასუხი: 0; რვა

AT ზოგადი ხედი ეკვივალენტურ სისტემაზე გადასვლა:

განტოლება

(სისტემა შეიცავს ზედმეტ პირობას - ერთ-ერთი უტოლობა შეიძლება იგნორირებული იყოს).

კითხვა კლასს: ამ სამი გამოსავალიდან რომელი მოგეწონათ ყველაზე მეტად? (მეთოდების განხილვა).

თქვენ გაქვთ უფლება გადაწყვიტოთ ნებისმიერი გზით.

3. ახალი ცვლადის დანერგვა.

განიხილეთ No. 520 (გ). .

რა შეამჩნიე? (ეს არის კვადრატული განტოლება log3x-ისთვის) რაიმე შემოთავაზება გაქვთ? (დანერგვა ახალი ცვლადი)

გადაწყვეტილება. ODZ: x > 0.

მოდით, მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას:. დისკრიმინანტი D > 0. ფესვები ვიეტას თეორემით:.

დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას: ან .

უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნით, მივიღებთ:

პასუხი: 27;

4. განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი.

ამოხსენით განტოლება:.

ამოხსნა: ODZ: x>0, აიღეთ განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი 10 საფუძველში:

გამოიყენეთ ხარისხის ლოგარითმის თვისება:

(lgx + 3) lgx = 4

მოდით lgx = y, შემდეგ (y + 3)y = 4

, (D > 0) ფესვები ვიეტას თეორემის მიხედვით: y1 = -4 და y2 = 1.

დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას, მივიღებთ: lgx = -4,; logx = 1, .

პასუხი: 0.0001; ათი.

5. შემცირება ერთ ბაზაზე.

No523(c). ამოხსენით განტოლება:

ამოხსნა: ODZ: x>0. გადავიდეთ მე-3 ბაზაზე.

6. ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი.

№ 509 (დ).გრაფიკულად ამოხსენით განტოლება: = 3 - x.

როგორ გვთავაზობ გადაჭრას? (ააგეთ ორი ფუნქციის გრაფიკები y \u003d log2x და y \u003d 3 - x წერტილებით და მოძებნეთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციზა).

იხილეთ თქვენი გამოსავალი სლაიდზე.

არის თუ არა შეთქმულების თავიდან აცილების საშუალება . ეს არის შემდეგი : თუ ერთ-ერთი ფუნქცია y = f(x) იზრდება და სხვა y = g(x) მცირდება X ინტერვალზე, შემდეგ განტოლებაზე f(x)=g(x) აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი X ინტერვალზე.

თუ ფესვი არსებობს, მაშინ მისი გამოცნობა შეიძლება.

ჩვენს შემთხვევაში, ფუნქცია იზრდება x>0-სთვის, ხოლო ფუნქცია y \u003d 3 - x მცირდება x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, მათ შორის x>0, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას არ აქვს ერთზე მეტი ფესვი. გაითვალისწინეთ, რომ x = 2-ისთვის, განტოლება გადაიქცევა ნამდვილ ტოლობაში, ვინაიდან .

« სწორი აპლიკაციამეთოდების სწავლა შესაძლებელია
უბრალოდ მათი გამოყენება სხვადასხვა მაგალითები».
დანიელი მათემატიკის ისტორიკოსი G.G. Zeiten

მევ. Საშინაო დავალება

გვ. 39 განიხილეთ მაგალითი 3, ამოხსენით No. 514 (b), No. 529 (b), No. 520 (b), No. 523 (b)

V. გაკვეთილის შეჯამება

ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის რა მეთოდები გავითვალისწინეთ გაკვეთილზე?

შემდეგ გაკვეთილზე უფრო მეტს განვიხილავთ რთული განტოლებები. მათ გადასაჭრელად გამოსადეგია შესწავლილი მეთოდები.

ბოლო სლაიდის ჩვენება:

„რა არის მსოფლიოში ყველაფერზე მეტი?
ფართი.
რა არის ყველაზე ბრძენი?
დრო.
რა არის ყველაზე სასიამოვნო?
მიაღწიე იმას, რაც გინდა."
თალესი

მინდა, ყველამ მიაღწიოს იმას, რაც სურს. გმადლობთ თანამშრომლობისა და გაგებისთვის.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებები:

ხარისხების გამოთქმა

განმარტებისა და დამატებითი ფესვების დომენის გაფართოება

კიდევ ერთხელ განტოლებაში არსებული ძალების შესახებ

ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმების მაგალითები

აიღეთ გამონათქვამების ლოგარითმი

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ლოგარითმების ფორმულები. ლოგარითმები ამონახსნების მაგალითებია.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

ლოგარითმების გავრცელებული შემთხვევები

ლოგარითმების მაგალითები

აიღეთ გამონათქვამების ლოგარითმი

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნა

ლოგარითმები. პირველი დონე.

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ