Maikling sipi mula sa simula ng aklat(pagkilala sa makina)
M.L.KRASNOV
A.I.Kiselev
G.I.MAKARENKO
MGA TUNGKULIN
INTEGRATED
VARIABLE
OPERATING
CALCULUS
TEORYA
PAGPAPANATILI
MGA PILING KABANATA
HIGHER MATHEMATICS
PARA SA MGA ENGINEERS
AT MGA ESTUDYANTE
MGA GAWAIN AT PAGSASANAY
M. L. KRASNOV
A.I.Kiselev
G.I.MAKARENKO
MGA TUNGKULIN
INTEGRATED
VARIABLE
OPERATING
CALCULUS
TEORYA
PAGPAPANATILI
IKALAWANG EDISYON, BINAGO AT DAGDAG
Inaprubahan ng Ministry of Higher and Secondary
espesyal na edukasyon ng USSR
bilang pantulong sa pagtuturo
para sa mga mag-aaral ng mas mataas na teknikal na institusyong pang-edukasyon
MOSCOW "NAUKA"
PANGUNAHING EDISYON
PISIKAL AT MATHEMATICAL L
1981
22.161.5
K 78
UDC 517.531
Kras n o v M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I.
Mga function ng isang kumplikadong variable. operational calculus. Theo-
Teorya ng pagpapanatili: Pagtuturo, 2nd ed., binago. at karagdagang -M.:
Ang agham. Pangunahing edisyon ng pisikal at matematikal na panitikan, 1981.
Tulad ng ibang mga libro sa serye Mga piling kabanata mataas-
mas mataas na matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral ng mga teknikal na unibersidad", ang aklat na ito
pangunahing inilaan para sa mga mag-aaral mga teknikal na unibersidad, ngunit
maaari rin itong maging kapaki-pakinabang sa isang engineer na gustong mag-restore
sa mga seksyon ng memorya ng matematika na ipinahiwatig sa pamagat ng aklat.
Sa edisyong ito, kumpara sa nauna, inilathala sa
Noong 1971, pinalawak ang mga talata na nauugnay sa mga harmonic function
function, residues at kanilang mga aplikasyon para sa pagkalkula ng ilang integral
integral, conformal mappings. Nagdagdag din ng mga ehersisyo.
teoretikal na katangian.
Sa simula ng bawat seksyon, ang kinakailangang teoretikal
teoretikal na impormasyon (mga kahulugan, theorems, formula), pati na rin ang mga sub-
unawain nang detalyado karaniwang mga gawain at mga halimbawa.
Ang aklat ay naglalaman ng higit sa 1000 mga halimbawa at mga gawain para sa sarili.
malayang desisyon. Halos lahat ng mga gawain ay binibigyan ng mga sagot, at sa isang numero
kaso, ang mga tagubilin ay ibinigay para sa solusyon.
kanin. 71. Bibliya. 19 na pamagat
„ 20203-107 ^ o_llll Glat:Tu.^^
K Aeo/loc Ql 23-81. 1702050000 pisikal at mathematical
053 @2)-81 Panitikan, 1981
TALAAN NG NILALAMAN
Paunang Salita 5
Kabanata I. Mga tungkulin ng isang kumplikadong variable 7
§ SA Mga kumplikadong numero at mga aksyon sa kanila 7
§ 2. Mga function ng isang kumplikadong variable. ... # ...", labing-walo
§ 3. Limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng mga kumplikadong numero. limitasyon
at pagpapatuloy ng isang function ng isang kumplikadong variable. . 25
§ 4. Pagkita ng kaibhan ng mga function ng isang kumplikadong variable
variable. Mga kundisyon ng Cauchy-Riemann # . t . , 32
§ 5. Pagsasama-sama ng mga function ng isang kumplikadong variable. .42
§ 6. Ang integral formula ni Cauchy 50
§ 7. Serye sa kumplikadong domain, 56
§ 8. Mga zero ng isang function. Isolated Singular Points 72
| 9. Nalalabi ng mga function 79
§ 10. Cauchy's residue theorem. Paglalapat ng mga bawas sa iyo-
pagkalkula mga tiyak na integral. Pagsusuma ng di-
ilang serye sa tulong ng mga nalalabi 85
§ 11. Logarithmic residue. prinsipyo ng argumento. Teorama
Padalos-dalos # . , # . 106
§ 12. Conformal mappings 115
§ 13. Kumplikadong potensyal. Ang hydrodynamic nito
ibig sabihin 142
Kabanata II. Operational calculus 147
§ 14. Paghahanap ng mga larawan at orihinal 147
§ 15. Solusyon ng problemang Cauchy para sa ordinaryong linear
differential equation na may pare-parehong coefficient
posibilidad 173
§ 16. Ang Duhamel integral 185
§ 17. Solusyon ng mga sistema ng mga linear differential equation
equation sa pamamagitan ng operational method 188
§ 18. Solusyon ng mga integral equation ng Volterra na may mga kernel
espesyal na uri 192
§ 19. Delay differential equation
argumento. . . . isang#198
§ 20. Solusyon ng ilang problema matematikal na pisika. . , 201
Seksyon 21. Discrete Conversion Laplace 204
Kabanata III. Teorya ng katatagan. , . 218
§ 22. Ang konsepto ng katatagan ng isang solusyon sa isang sistema ng kaugalian
differential equation. Ang pinakasimpleng uri ng rest point 218
4 NILALAMAN
§ 23. Pangalawang pamamaraan ni Lyapunov 225
§ 24. Pananaliksik sa katatagan sa unang pagtatantya
lapitan 229
§ 25. Asymptotic na katatagan sa malaki. Pagpapanatili
ayon sa Lagrange 234
§ 26. Pamantayan ng Routh-Hurwitz. 237
§ 27. Geometric na pamantayan ng katatagan (Mi-
Mikhailov), . . , 240
§ 28. D-partition 243
§ 29. Katatagan ng mga solusyon ng mga equation ng pagkakaiba 250
Mga sagot 259
Aplikasyon 300
Panitikan 303
PAUNANG SALITA
Sa edisyong ito, ang buong teksto ay binago
at gumawa ng ilang mga karagdagan. Pinalaki na seksyon na nakatuon sa
nakatuon sa teorya ng mga nalalabi at mga aplikasyon nito (sa partikular,
ipinakilala ang konsepto ng nalalabi na may paggalang sa walang katapusan na malayo
remote point, ang aplikasyon ng mga residues sa kabuuan ng ilan
ilang mga hilera). Ang bilang ng mga gawain para sa paggamit ng pagpapatakbo
operational calculus sa pag-aaral ng ilang espesyal
mga espesyal na function (gamma function, Bessel function, atbp.),
pati na rin ang bilang ng mga gawain para sa imahe ng mga function na ibinigay
graphically. Ang talata na nakatuon sa
nakatuon sa conformal mappings. Nadagdagang dami
mga halimbawang tinalakay sa teksto. Nakatakdang napansin
mga kamalian at typo; ilang mga gawain na mayroon
ang mga masalimuot na solusyon ay napapalitan ng mas simple.
Sa paghahanda ng ikalawang edisyon ng aklat, isang mahalaga
tulong sa kanilang mga payo at komento ay ibinigay sa amin ni
Pinuno ng Kagawaran ng Matematika, Moscow Institute
bakal at haluang metal Propesor V. A. Trenogiy at associate professor nito
Kagawaran M. I. Orlov. Itinuturing namin itong aming magandang tungkulin
ipahayag ang aming lubos na pasasalamat sa kanila.
Isinasaalang-alang namin ang mga komento at kagustuhan ng Department of Applied
mga mathematician ng Kyiv Civil Engineering Institute
(pinuno ng departamento, associate professor A. E. Zhuravel), pati na rin
komento ng mga kasama B. Tkachev (Krasnodar) at
B. L. Tsavo (Sukhumi). Sa kanilang lahat ay ipinapahayag namin ang aming
pasasalamat.
0 PAUNANG SALITA
Kami ay nagpapasalamat sa mga Propesor M.I. Vishik,
F. I. Karpelevich, A. F. Leontiev at S. I. Pokhozhaev
bawat palagiang atensyon at suporta para sa aming trabaho.
Lahat ng mga komento at mungkahi para sa pagpapabuti ng libro ng problema
tatanggapin nang may pasasalamat.
Ang mga may-akda
KABANATA I
MGA TUNGKULIN NG MGA PINAGSASAMA
VARIABLE
§ 1. Mga kumplikadong numero at aksyon sa kanila
Ang complex number r ay isang expression ng form
(algebraic form ng isang complex number), kung saan ang x at y ay anumang mga aksyon
tunay na mga numero, ang a i ay isang haka-haka na yunit na nakakatugon sa kundisyon
12 \u003d -1, Ang mga numerong x at y ay tinatawag ayon sa pagkakabanggit tunay at
mga haka-haka na bahagi ng isang kumplikadong numero
ang mga numero r at ay denoted
Kumplikadong numero z=zx - iy
tinatawag na conjugate complex
kumplikadong numero r=n: + n/.
Mga kumplikadong numero ch =Xj + iy%
at r2*= #2 + 4/2 ay itinuturing na pantay
kung at kung xr = x21 lamang
Kumplikadong numero 2 =
inilalarawan sa XOY plane
punto M na may mga coordinate (dz, y)
o isang vector, ang simula ng Fig**
ay nasa puntong O @, 0), at sa dulo
sa puntong M (x, y) (Larawan 1). Ang haba p ng vector OM ay tinatawag na modulus
kumplikadong numero at tinutukoy ng |r|, upang ang p = | r\=Vx"2+y2>
anggulo f, nabuo sa pamamagitan ng vector Ang OM na may OX axis ay tinatawag na argument-
argumento ng kumplikadong numero r at ay denoted
hindi natatangi, ngunit hanggang sa isang termino na isang multiple ng 2n:
Arg2 = arg2 + 2bt (t = 0, ±1, ±2, ...),
kung saan ang arg2 ay ang pangunahing halaga ng Arg2 na tinutukoy ng mga kundisyon
at
A)
arctg - kung x *> 0,
jt -f *rctg - kung x - i Jr arctg ■ kung x i / 2, kung x - 0, y > 0,
- i/2, kung x r» 0, y 8 MGA FUNCTIONS NG ISANG COMPLEX VARIABLE [CH. ako
Ang mga sumusunod na relasyon ay nagaganap:
ig (Arg z) - ^~, kasalanan (Arg z)
cos(Arg g) a
Dalawang kumplikadong numero r at r2 ay pantay-pantay kung at kung lamang
kapag ang kanilang moduli ay pantay-pantay at ang kanilang mga argumento ay pantay o magkaiba
naiiba ng maramihang 2n:
(л«0, ±lt ±2t .«.)
Hayaan ang dalawang kumplikadong numero na zlwcl + ylt 22+y2
I. Ang kabuuan ng zt + z2 ng complex number r at r% ay ang complex
kumplikadong numero
2. Ang pagkakaiba ng z^-z% ng mga kumplikadong numero na zx at z2 ay tinatawag na com-
kumplikadong numero
3. Ang produktong ztz2 ng mga kumplikadong numero na z1 at z2 ay tinatawag na com-
kumplikadong numero
Mula sa kahulugan ng produkto ng mga kumplikadong numero, sa partikular,
sinusundan iyon
2
4. Pribado ~ mula sa paghahati ng complex number 2i sa complex
kumplikado
Ang isang kumplikadong numero rm > 0 ay isang kumplikadong numero r tulad na
natutugunan ang equation
Sa kasong ito, ginamit ang formula r^1
Formula B) ay maaaring isulat bilang
V
Ang tunay na bahagi ng Re r at ang haka-haka na bahagi ng complex
ang mga numerong z ay ipinahayag sa mga tuntunin ng conjugate complex na mga numero tulad ng sumusunod:
sa sumusunod na paraan:
Halimbawa 1. Ipakita na zx -\~z2 == -i + 2.2.
Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan, mayroon tayo
ij kumplikadong mga numero at mga operasyon sa kanila
1. Patunayan ang mga sumusunod na ugnayan:
"/ ^1 - ^2 = ^1 - 2:2" Oj Z\Z% == ^i^2" B; [ - - J == - , D)
Halimbawa 2. Hanapin wastong solusyon mga equation
Solusyon. Iisa-isa natin ang tunay na halaga sa kaliwang bahagi ng equation
at ang imaginary part: (Ax+Sy) + iBdg-3#)= 13-+-*. Samakatuwid, ayon sa
kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng dalawang kumplikadong numero, nakuha namin
Ang paglutas ng sistemang ito, nahanap namin
Maghanap ng mga tunay na solusyon sa mga equation:
2. (Zlg-1)B + 0 + (*-*Ж1+20 = 5 + 6*.
3. (x - iy) (a - ib) \u003d Ca, kung saan ang i, b ay binibigyan ng mga aksyon
tunay na mga numero, \a\f\b\.
5. Kinakatawan ang kumplikadong numero (aribp + (a _ .^t
sa algebraic form.
6. Patunayan na -- - ~*~iX = i (x is real).
x-iY 1 -\-x~
7. Ipahayag ang x at y sa mga tuntunin ng "u, kung + q fa \u003d
= 1(n:, y, u, v ay mga tunay na numero).
8. Hanapin ang lahat ng kumplikadong numero na nagbibigay-kasiyahan
kundisyon 2 = z2.
Halimbawa 3: Hanapin ang modulus at argumento ng isang complex number
g * \u003d - kasalanan - -icos-g-.
Solusyon. Meron kami
= -sin-l o o
Ang pangunahing halaga ng argumento ayon sa A) ay
argz-- i + arctg/ctg-^j =. - i+ arctg J^tg \~ - -£jj -
, /. 3 \ ,3 5
\u003d - i + arctg i tg d \u003d - i + - i \u003d - l.
\ OOO
10 TUNGKOL NG ISANG KOMPLEX NA VARIABLE [CH. ako
Dahil dito,
Argz "-~ i + 2&1 (t = 0, ±1, ±2, ...),
9. Sa mga sumusunod na gawain, hanapin ang modyul at ang pangunahing halaga
ang halaga ng argumento ng mga kumplikadong numero:
a) r-4 + 3/; b) z^~2 + 2V3i",
c) r = - 7 - i\ d) r = - cos | + nagkasala ako?-;
e) d == 4 - 3/; e) g \u003d cos a - t sin a
Anumang kumplikadong numero z - x + iy (r^FO) ay maaaring isulat sa tatlo
trigonometrikong anyo
Halimbawa 4. Isulat sa trigonometric form ang complex
numero
Solusyon. Meron kami
Dahil dito,
Halimbawa 5. Hanapin tunay na ugat mga equation
cos; t ~ f / sin x r "- + x *
Solusyon. Ang equation na ito walang ugat. talaga,
ang equation na ito ay katumbas ng sumusunod: cos*= 1/2, sin* = 3/4. Sa pamamagitan ng-
Ang mga huling equation ay hindi pare-pareho, dahil cos2 x + sin2 x» 13/16, na
imposible para sa anumang halaga ng x.
Ang anumang kumplikadong numero g Ф 0 ay maaaring isulat sa exponential
anyo
*Ф where р = |г|, cp=*Argz.
Halimbawa 6. Hanapin ang lahat ng kumplikadong numero z^O na kasiya-siya
natutugunan ang kondisyon 2n"" 1,
Solusyon. Hayaan ang r =* re*F. Pagkatapos z "= re~(h>.
Ayon sa kondisyon
o
KOMPLEXONG MGA BILANG AT MGA PAGKILOS SA MGA ITO II
£2l
kung saan pl-2=1, ibig sabihin, p=1, at tf = 2&i, ibig sabihin, 2, ..., l-1). Dahil dito,
.2nk
n
(jfe "0, ako, 2, ..., f-!).
10. Ang mga sumusunod na kumplikadong numero ay kumakatawan sa r tatlong-
trigonometrikong anyo:
a) -2; b) 21; sa) -
d) 1-sina + icosa
D> l + cosa-i mula noong \ at e) -2; g) ako; h) -f; i) -1 -/
j) sin a - tcosa E Hayaang ang mga kumplikadong numero na rx at r2 ay ibigay sa trigonometriko
form r2 = px (cos f! + e sin fx), r2 = p2 (cos f2 + * sin f2).
Ang kanilang produkto ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
*i*2 ^ P1P2 Ic°s (Ф1 + Ф2) + i sin (Ф! + Ф2)],
ibig sabihin, kapag ang mga kumplikadong numero ay pinarami, ang kanilang mga moduli ay pinarami,
at ang mga argumento ay nagdaragdag:
Arg (Z&) sa Arg 2j + Arg r2.
Ang quotient ng dalawang kumplikadong numero rx u2 ^ 0 ay matatagpuan ngunit ang formula
pormula
m-^mm lcos (v" *~ ^*) + f*sin (f1 "~ f2I"
r3 ra
i.e.
Pagtaas ng isang kumplikadong numero
r \u003d p (cos f + i sin f)
sa natural na antas n ay ginawa ng formula
Zn - p "(cos u Jf. i sjn / xf) ^
i.e.
Dito nagmula ang formula ni De Moivre.
(cos f + i sin f)l \u003d\u003d cos Lf + i sin /gf.
12 MGA FUNCTION NG ISANG KOMPLEX NA VARIABLE [CH. isa
Complex number modulus properties
1. |*|H*|; 2- "-|z|";
3. |*Al-|*il!*ir." 4. \r*\^\r\"\
5.
H
6.
7.
8. H*il4*ilKI*i*f|.
Halimbawa 7. Kalkulahin (-■ 1 +1 Kz) §v.
Solusyon. Katawan natin ang numero r \u003d -1 -f - * Yb sa trigonometriko
trigonometrikong anyo
-I _) - / Kz \u003d 2 (coe -§- n + | kasalanan ~~ "V
Mga function ng isang kumplikadong variable. Mga gawain at halimbawa na may mga detalyadong desisyon. Krasnov M.I., Kiselev A.I., Makarenko G.I.
3rd ed., rev. - M.: 2003. - 208 p.
Sa tutorial na ito, ang mga may-akda ay nagmumungkahi ng mga gawain sa mga pangunahing seksyon ng teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable. Sa simula ng bawat seksyon, ang kinakailangang teoretikal na impormasyon (mga kahulugan, theorems, formula) ay ibinibigay, at humigit-kumulang 150 karaniwang mga problema at mga halimbawa ang sinusuri nang detalyado.
Ang aklat ay naglalaman ng higit sa 500 mga gawain at mga halimbawa para sa paglutas sa sarili. Halos lahat ng mga gawain ay binibigyan ng mga sagot, at sa ilang mga kaso, ibinibigay ang mga tagubilin para sa paglutas.
Ang aklat ay pangunahing inilaan para sa mga mag-aaral ng mga teknikal na unibersidad na may background ng matematika, ngunit maaari rin itong maging kapaki-pakinabang sa isang inhinyero na gustong maalala ang mga seksyon ng matematika na nauugnay sa teorya ng mga function ng isang kumplikadong variable.
Format: pdf
Ang sukat: 15.2 MB
I-download: drive.google
TALAAN NG NILALAMAN
Kabanata 1 Complex Variable Function 3
§ 1. Mga kumplikadong numero at aksyon sa mga ito 3
§ 2. Mga function ng isang kumplikadong variable 14
§ 3. Limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng mga kumplikadong numero. Limitasyon at pagpapatuloy ng isang function ng isang kumplikadong variable 22
§ 4, Differentiation ng mga function ng isang complex variable. Mga kondisyon ng Cauchy-Riemann 29
Kabanata 2. Integrasyon. Mga hilera. Walang katapusang mga gawa. 40
§ 5. Pagsasama-sama ng mga function ng isang kumplikadong variable .... 40
§ 6. Cauchy integral formula 48
§ 7. Serye sa kumplikadong domain 53
§ 8. Walang katapusang mga produkto at ang kanilang aplikasyon sa analytic functions 70
1°. Walang katapusang mga gawa 70
2°. Pagkabulok ng ilang mga function sa walang katapusang mga produkto 75
Kabanata 3. Mga nalalabi sa mga pag-andar. . 78
§ 9. Mga zero ng isang function. Isolated Singular Points 78
1°. Mga zero sa function 78
2°. Isolated na isahan na puntos 80
§ 10. Mga nalalabi ng mga function 85
§ 11. Cauchy's residue theorem. Paglalapat ng mga nalalabi sa pagkalkula ng mga tiyak na integral. Pagsusuma ng ilang rad gamit ang mga nalalabi .... 92
1°. Cauchy residue theorem 92
2°. Paglalapat ng mga nalalabi sa pagkalkula ng mga tiyak na integral 98
3°. Pagbubuod ng ilang serye sa tulong ng mga nalalabi. . 109
§ 12. Logarithmic residue. prinsipyo ng argumento. Ang teorem ni Rouche 113
Kabanata 4, Conformal mappings. 123
§ 13. Conformal mappings 123
1°. Ang konsepto ng conformal mapping 123
1 2°. Pangkalahatang theorems teorya ng conformal mappings...125
3°. Isinagawa ang mga conformal mapping linear function w - az + b, function w - \, at linear-fractional function w = ffjj . . 127
4°. Conformal mappings na isinagawa ng pangunahing elementarya na pag-andar 138
§labing apat. Pagbabagong polygon. Christoffel-Schwartz integral. 150
Kalakip 1. . . . 159
§labinlima. Komprehensibong potensyal. Ang hydrodynamic na kahulugan nito. . 159
Annex 2 164
Mga sagot.......... 186
| 1 | Operational calculus | ||
| § isa. | Paghahanap ng mga larawan at orihinal | ||
| § 2. | Solusyon ng problemang Cauchy para sa ordinaryong linear differential equation na may pare-pareho ang mga koepisyent | ||
| § 3. | Duhamel integral | ||
| § apat. | Paglutas ng mga sistema ng linear differential equation sa pamamagitan ng operational method | ||
| § 5. | Solusyon ng mga integral equation ng Volterra na may mga kernel ng isang espesyal na anyo | ||
| §6. | Delay differential equation | ||
| § 7. | Solusyon ng ilang mga problema ng matematikal na pisika | ||
| § walo. | Discrete na pagbabago ng Laplace | ||
| § 9. | Fourier na pagbabago | ||
| 1. Solusyon ng problemang Cauchy para sa equation ng init | |||
| 2. Ang Cauchy na problema para sa one-dimensional wave equation | |||
| § sampu. | Ang cosine at sine Fourier ay nagbabago | ||
| § labing-isa. | Mga pangkalahatang pag-andar. Fourier na pagbabago ng mga pangkalahatang function | ||
| 2 | Teorya ng pagpapanatili | ||
| § 12. | Ang konsepto ng katatagan ng solusyon ng isang sistema ng mga differential equation. Ang pinakasimpleng uri ng mga rest point | ||
| § 13. | Pangalawang pamamaraan ni Lyapunov | ||
| § labing-apat. | First Approximation Stability Study | ||
| § labinlima. | Asymptotic na katatagan sa pangkalahatan. Lagrange na katatagan | ||
| § 16. | Routh--Hurwitz criterion | ||
| § 17. | Geometric na pamantayan ng katatagan (Mikhailov criterion) | ||
| § labing-walo. | D-mga partisyon | ||
| Ang konsepto ng D- paghahati | |||
| § 19. | |||
| 1o. | Solusyon ng mga homogenous na linear difference equation na may pare-parehong coefficient | ||
| 2o. | Solusyon ng inhomogeneous linear difference equation na may pare-parehong coefficient | ||
| 3o. | Katatagan ng mga Solusyon sa Difference Equation | ||
| Mga sagot | |||
| Aplikasyon | |||
Lugar ng interes: mga equation ng kaugalian. Kiselev Alexander Ivanovich
Lugar ng interes: teorya ng mga pag-andar. Makarenko Grigory Ivanovich
Lugar ng interes: mga equation ng kaugalian. Shikin Evgeny Viktorovich
Rehiyon pang-agham na interes: geometric na pamamaraan para sa pag-aaral ng mga differential equation, computational geometry, computer graphics.
Magbasa ng mga kurso sa panayam Linear algebra at analytic geometry", "Teorya ng mga function ng isang kumplikadong variable", "Ang problema ng isometric immersion at ang Monge-Ampere equation", " Mga geometric na spline", "Mga Geometric na Paraan sa mga gawain sa paghahanap", "Computer graphics".
Krasnov Michail Leontievich
Kiselyov Alexander Ivanovich
Mga larangan ng interes: Teorya ng Mga Pag-andar.
Makarenko Grigorij Ivanovich
Mga larangan ng interes: Mga Differential Equation.
Shikin Evgenij Viktorovich
Mga larangan ng interes: Differential Geometry.
Mga function ng isang kumplikadong variable. Mga kumplikadong numero at aksyon Seksyon: Mga problema at solusyon para sa TViMS. Gabay sa pag-aaral para sa. Seksyon M ng theory of functions complex-variably. ng vector OM ay tinatawag na modulus ng complex number at tinutukoy ng . mga variable na w at y. Library > Books on mathematics > Functions of a complex variable M.: IL, 1963 (djvu); Krasnov M.L. Kiselev A.I. Makarenko G.I. Mga pag-andar. Pamagat: Mga function ng isang kumplikadong variable: Mga problema at mga halimbawa na may mga detalyadong solusyon.
Krasnov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Mga function ng isang kumplikadong variable. Limitasyon at pagpapatuloy ng isang function ng isang kumplikadong variable. Mga sagot. Upang i-download ang file na ito, magparehistro at / o. Krasnov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Mga function ng isang kumplikadong variable. operational calculus. Teorya ng katatagan.
Mga function ng isang kumplikadong variable. Pagkita ng kaibhan ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable. Mga kondisyon ng Cauchy-Riemann. Ang artikulong ito ay nagbubukas ng isang serye ng mga aralin kung saan isasaalang-alang ko ang mga tipikal na problema na nauugnay sa teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable. Upang matagumpay na makabisado ang mga halimbawa, dapat mayroon ka pangunahing kaalaman tungkol sa mga kumplikadong numero. Upang pagsamahin at ulitin ang materyal, ito ay sapat na upang bisitahin ang pahina Mga kumplikadong numero para sa mga dummies.
Solusyon ng Function ng isang Complex Variable Krasnov Kiselev Makarenko
Kakailanganin mo rin ang mga kasanayan sa paghahanap ng mga second-order na partial derivatives. Narito sila, ang mga bahagyang derivatives na ito ... kahit ngayon ay medyo nagulat ako kung gaano kadalas ang mga ito ay nangyayari .... Ang paksa na sinisimulan nating pag-aralan ay hindi partikular na mahirap, at sa mga pag-andar ng isang kumplikadong variable, sa prinsipyo, ang lahat ay malinaw at naa-access. Ang pangunahing bagay ay upang sumunod sa pangunahing tuntunin, na kung saan ay nagmula sa pamamagitan ng sa akin empirically. Magbasa pa.
Solusyon ng Function ng isang Complex Variable Krasnov Kiselev Makarenko 1981
Ang konsepto ng isang function ng isang kumplikadong variable. Una, i-refresh natin ang ating kaalaman tungkol sa tungkulin ng paaralan isang variable: Ang function ng isang variable ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat value ng independent variable (mula sa domain ng definition) ay tumutugma sa isa at isang value lang ng function. Natural, ang "x" at "y" ay mga tunay na numero. Sa kumplikadong kaso, ang functional dependence ay ibinibigay sa parehong paraan: Ang isang hindi malabo na function ng isang kumplikadong variable ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat kumplikadong halaga ng independiyenteng variable (mula sa domain ng kahulugan) ay tumutugma sa isa at isang kumplikadong halaga lamang ng function.
Sa teorya, ang multivalued at ilang iba pang mga uri ng mga function ay isinasaalang-alang din, ngunit para sa pagiging simple, ako ay tumutuon sa isang kahulugan. Ano ang function ng isang complex variable.
Ang pangunahing pagkakaiba ay ang mga numero ay kumplikado. Hindi ako ironic. Mula sa gayong mga katanungan ay madalas silang nahuhulog sa isang pagkahilo, sa dulo ng artikulo ay magsasabi ako ng isang cool na kuwento. Sa aralin Mga kumplikadong numero para sa mga dummies, isinasaalang-alang namin ang isang kumplikadong numero sa form. Dahil ngayon ang titik "Z" ay naging isang variable. pagkatapos ay tukuyin natin ito bilang mga sumusunod: , habang ang "x" at "y" ay maaaring tumagal sa iba't ibang tunay na halaga.
Sa halos pagsasalita, ang pag-andar ng isang kumplikadong variable ay nakasalalay sa mga variable at, na kumukuha ng "karaniwan" na mga halaga. Mula sa itong katotohanan sumusunod na lohikal susunod na item:. Tunay at haka-haka na bahagi ng isang function ng isang kumplikadong variable. Ang pag-andar ng isang kumplikadong variable ay maaaring isulat bilang:
Kung saan at ang dalawang function ng dalawang tunay na variable. Ang function ay tinatawag na tunay na bahagi ng function. Ang function ay tinatawag na imaginary na bahagi ng function. Iyon ay, ang pag-andar ng isang kumplikadong variable ay nakasalalay sa dalawa tunay na mga function at.
Upang sa wakas ay linawin ang lahat, tingnan natin ang mga praktikal na halimbawa: Hanapin ang tunay at haka-haka na bahagi ng function. Solusyon: Ang independiyenteng variable na "z", tulad ng naaalala mo, ay nakasulat sa form, samakatuwid:. (1) B orihinal na function naka-frame. (2) Para sa unang termino, ginamit ang pinaikling pormula ng pagpaparami.
Sa termino, ang mga bracket ay binuksan. (3) Maingat na parisukat, hindi nakakalimutan iyon. (4) Muling pag-aayos ng mga termino: una, muling isinusulat namin ang mga termino kung saan walang haka-haka na yunit (unang pangkat), pagkatapos ay mga termino kung saan mayroong (pangalawang pangkat). Dapat tandaan na hindi kinakailangang i-shuffle ang mga tuntunin, at yugtong ito maaaring laktawan (talagang ginagawa ito sa salita). (5) Ang pangalawang grupo ay inalis sa mga bracket.
Bilang resulta, ipinakita ang aming function sa form. ay ang tunay na bahagi ng function. ay ang haka-haka na bahagi ng function.
Ano ang mga function na ito? Ang pinaka-ordinaryong pag-andar ng dalawang variable kung saan makikita ang mga tanyag na partial derivatives. Nang walang awa - mahahanap natin. Pero ilang sandali pa.
Sa madaling sabi, ang algorithm ng nalutas na problema ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: pinapalitan namin ang orihinal na pag-andar, nagsasagawa ng mga pagpapasimple at hatiin ang lahat ng mga termino sa dalawang grupo - nang walang isang haka-haka na yunit (tunay na bahagi) at may isang haka-haka na yunit (haka-haka na bahagi). Hanapin ang tunay at haka-haka na bahagi ng function. Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself.
Bago mo itapon ang iyong sarili sa labanan sa kumplikadong eroplano na may mga draft, hayaan mo akong bigyan ka ng higit mahalagang payo sa paksang ito:. MAG-INGAT KA! Kailangan mong mag-ingat, siyempre, sa lahat ng dako, ngunit sa mga kumplikadong numero dapat kang mag-ingat nang higit pa kaysa dati! Tandaan na, maingat na palawakin ang mga bracket, huwag mawalan ng anuman. Ayon sa aking mga obserbasyon, ang pinakakaraniwang pagkakamali ay ang pagkawala ng tanda. Huwag magmadali.
Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Para gumaan ang buhay, pansinin natin ang mag-asawa kapaki-pakinabang na mga formula. Sa Halimbawa 1, natagpuan na. Ngayon cube. Gamit ang pinaikling pormula ng multiplikasyon, nakukuha natin ang:
Mga kondisyon ng Cauchy-Riemann. Mayroon akong dalawang balita: mabuti at masama. Magsisimula ako sa isang mahusay. Para sa isang function ng isang kumplikadong variable, ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ang talahanayan ng mga derivatives ng mga elementarya ay may bisa.
Kaya, ang derivative ay kinuha sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa kaso ng isang function ng isang tunay na variable. Ang masamang balita ay na para sa maraming mga pag-andar ng isang kumplikadong variable, walang derivative sa lahat, at ang isa ay kailangang malaman kung ang isa o isa pang function ay differentiable.
At ang "pag-uunawa" kung ano ang nararamdaman ng iyong puso ay nauugnay sa mga karagdagang problema. Isaalang-alang ang isang function ng isang kumplikadong variable. Para maging differentiable ang function na ito, kinakailangan at sapat na: 1) Na mayroong mga partial derivatives ng unang order.
Kalimutan kaagad ang tungkol sa mga notasyong ito, dahil sa teorya ng pag-andar ng isang kumplikadong variable, isa pang bersyon ng notasyon ang tradisyonal na ginagamit:. 2) Upang matupad ang tinatawag na mga kondisyon ng Cauchy-Riemann:. Sa kasong ito lamang magkakaroon ng derivative. Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann.
Kung matugunan ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann, hanapin ang derivative ng function. Ang solusyon ay nabulok sa tatlo sunud-sunod na yugto:. 1) Hanapin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Ang gawaing ito ay nasuri sa mga nakaraang halimbawa, kaya isusulat ko ito nang walang komento:
Sa ganitong paraan:. ay ang tunay na bahagi ng function; ay ang haka-haka na bahagi ng function. Tatalakayin ko ang isa pang teknikal na punto: sa anong pagkakasunud-sunod dapat isulat ang mga termino sa tunay at haka-haka na mga bahagi? Oo, karaniwang hindi mahalaga. Halimbawa, ang tunay na bahagi ay maaaring isulat na ganito: , at ang haka-haka na bahagi ay ganito:. 3) Suriin natin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Dalawa sila.
Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagsuri sa kondisyon. Nakahanap kami ng mga partial derivatives:. Kaya, ang kondisyon ay natupad. Walang alinlangan, ang magandang balita ay ang mga partial derivatives ay halos palaging napakasimple. Sinusuri namin ang katuparan ng pangalawang kondisyon: Ito ay naging pareho, ngunit kasama magkasalungat na mga palatandaan, ibig sabihin, nasiyahan din ang kondisyon.
Ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan, samakatuwid, ang pag-andar ay naiba-iba. 3) Hanapin ang derivative ng function. Ang derivative ay napaka-simple at makikita mula sa karaniwang mga tuntunin:. Ang haka-haka na yunit sa pagkita ng kaibhan ay itinuturing na pare-pareho. Sagot: - tunay na bahagi, - haka-haka na bahagi. Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan. Mayroong dalawang higit pang mga paraan upang mahanap ang hinalaw, ang mga ito, siyempre, ay ginagamit nang mas madalas, ngunit ang impormasyon ay magiging kapaki-pakinabang para sa pag-unawa sa pangalawang aralin - Paano hanapin ang pag-andar ng isang kumplikadong variable.
Ang derivative ay matatagpuan gamit ang formula: AT kasong ito:. Upang mapagpasyahan baligtad na problema- sa resultang expression, kailangan mong ihiwalay.
Upang magawa ito, kinakailangan sa mga tuntunin at alisin sa mga bracket:. baliktad na aksyon, tulad ng napansin ng marami, ito ay medyo mas mahirap gawin, para sa pag-verify ay palaging mas mahusay na kumuha ng isang expression at sa isang draft o pasalitang buksan ang mga bracket pabalik, siguraduhin na ito ay lumiliko nang eksakto. Mirror formula para sa paghahanap ng derivative:. Sa kasong ito: , kaya:. Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function.
Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Kung matugunan ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann, hanapin ang derivative ng function. Mabilis na Solusyon at isang tinatayang sample ng pagtatapos sa pagtatapos ng aralin. Ang mga kondisyon ba ng Cauchy-Riemann ay palaging nasiyahan? Sa teoryang, mas madalas na hindi natutupad ang mga ito kaysa sa kanila. Ngunit sa praktikal na mga halimbawa Hindi ko naaalala ang isang kaso kung saan hindi sila natupad =) Kaya, kung ang iyong mga partial derivatives ay "hindi nag-converge", kung gayon na may napakataas na posibilidad ay masasabi nating nagkamali ka sa isang lugar. Gawin nating kumplikado ang ating mga pag-andar: Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function.
Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Kalkulahin. Solusyon: Ang algorithm ng solusyon ay ganap na napanatili, ngunit may idinagdag na bagong fad sa dulo: paghahanap ng derivative sa isang punto. para sa kubo gustong pormula nailabas na: Tukuyin natin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function na ito: Pansin at atensyon muli. Sa ganitong paraan:.
ay ang tunay na bahagi ng function; ay ang haka-haka na bahagi ng function. Suriin natin ang katuparan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann:. Sinusuri ang pangalawang kondisyon:. Ito ay naging pareho, ngunit may kabaligtaran na mga palatandaan, iyon ay, ang kondisyon ay natupad din. Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan, samakatuwid, ang function ay naiba-iba:.
Kalkulahin ang halaga ng derivative sa kinakailangang punto:. Sagot: , ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan. Ang mga function na may mga cube ay karaniwan, kaya isang halimbawa para sa pag-aayos:. Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function.
Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Kalkulahin.
Desisyon at sample na pagtatapos sa pagtatapos ng aralin. Sa teorya ng kumplikadong pagsusuri, ang iba pang mga function ng isang kumplikadong argumento ay tinukoy din: exponential, sine, cosine, atbp. Ang mga function na ito ay may hindi pangkaraniwang at kahit na kakaibang mga katangian - at ito ay talagang kawili-wili! Gusto ko talagang sabihin sa iyo, ngunit narito, nangyari ito, hindi isang reference na libro o isang aklat-aralin, ngunit isang solusyon, kaya't isasaalang-alang ko ang parehong gawain na may ilang mga karaniwang pag-andar. Una, tungkol sa tinatawag na mga formula ng Euler:
Mga formula ng Euler. Para kahit kanino totoong numero ang mga sumusunod na formula ay wasto: Maaari mo ring kopyahin ito sa iyong kuwaderno bilang sanggunian.
Strictly speaking, iisa lang ang formula, pero kadalasan, for convenience, nagsusulat din sila espesyal na kaso na may minus indicator. Ang parameter ay hindi kailangang maging isang solong titik, maaari itong maging isang kumplikadong pagpapahayag, isang function, mahalaga lamang na kumuha lamang sila ng mga tunay na halaga. Sa totoo lang, makikita natin ito ngayon: Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Maghanap ng derivative.
Solusyon: Ang pangkalahatang linya ng partido ay nananatiling hindi natitinag - kinakailangang paghiwalayin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Magbibigay ako ng detalyadong solusyon, at magkomento sa bawat hakbang sa ibaba: Simula noon: (1) Palitan ang "z". (2) Pagkatapos ng pagpapalit, kailangang paghiwalayin muna ang tunay at haka-haka na bahagi sa exponent. Upang gawin ito, buksan ang mga bracket. (3) Ipangkat namin ang haka-haka na bahagi ng indicator, inilalagay ang haka-haka na yunit sa labas ng mga bracket.
(4) Gumamit ng aksyon ng paaralan nang may kapangyarihan. (5) Para sa multiplier, ginagamit namin ang Euler formula, habang. (6) Palawakin ang mga bracket, bilang resulta:. ay ang tunay na bahagi ng function; ay ang haka-haka na bahagi ng function. Mga karagdagang aksyon ay pamantayan, sinusuri namin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann:. Ang mga partial derivative ay muli na hindi masyadong kumplikado, ngunit para sa bawat bumbero ay pininturahan niya ang mga ito sa mas maraming detalye hangga't maaari.
Suriin natin ang pangalawang kondisyon: Ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan, nakita namin ang hinalaw:. Sagot: , ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan. Para sa pangalawang formula ng Euler, ang gawain para sa isang independiyenteng solusyon: Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Suriin ang katuparan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann, hanapin ang derivative.
Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. ! Pansin! Ang minus sign sa formula ni Euler ay tumutukoy sa haka-haka na bahagi, iyon ay. Hindi ka mawawalan ng minus. Direkta mula sa mga formula ni Euler, maaaring makuha ng isa ang formula para sa pagpapalawak ng sine at cosine sa tunay at haka-haka na mga bahagi. Ang konklusyon mismo ay medyo boring, narito, sa pamamagitan ng paraan, sa aking aklat-aralin sa harap ng aking mga mata (Bohan, Pagsusuri sa matematika, tomo 2). Samakatuwid, gagawin ko kaagad tapos na resulta, na muli ay kapaki-pakinabang upang muling isulat sa iyong reference na libro:.
Ang mga parameter na "alpha" at "beta" ay kumukuha lamang ng mga tunay na halaga, kasama na ang mga ito kumplikadong mga ekspresyon, mga function ng isang tunay na variable. Bilang karagdagan, ang formula ay iginuhit hyperbolic function, kapag naiba, nagiging isa't isa, hindi nagkataon na isinama ko sila sa talahanayan ng mga derivatives. Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. So be it, hindi natin mahahanap ang derivative.
Solusyon: Ang algorithm ng solusyon ay halos kapareho sa nakaraang dalawang halimbawa, ngunit napakarami mahahalagang puntos, kaya naman Unang yugto Magkokomento ako muli hakbang-hakbang: Simula noon: 1) Pinapalitan namin sa halip na "z". (2) Una, piliin ang tunay at haka-haka na mga bahagi sa loob ng sine. Para sa layuning ito, buksan ang mga bracket. (3) Ginagamit namin ang formula, sa kasong ito.
(4) Ginagamit namin ang parity ng hyperbolic cosine. at ang kakaiba ng hyperbolic sine.
Ang mga hyperbolics, bagaman hindi sa mundong ito, ngunit sa maraming paraan ay magkatulad trigonometriko function. ay ang tunay na bahagi ng function; ay ang haka-haka na bahagi ng function.
Pansin! Ang minus sign ay tumutukoy sa haka-haka na bahagi, at sa anumang kaso ay hindi natin ito dapat mawala! Para sa isang visual na ilustrasyon, ang resulta na nakuha sa itaas ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: Suriin natin ang katuparan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann:. Ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay natupad. Sagot: , ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan.
Sa cosine, mga kababaihan at mga ginoo, haharapin namin ito mismo: Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function. Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Sinadya kong kumuha ng mas kumplikadong mga halimbawa, dahil lahat ay maaaring hawakan ang isang bagay tulad ng binalatan na mani. Sa parehong oras, sanayin ang iyong pansin! Nutcracker sa pagtatapos ng aralin.
Well, sa konklusyon, isasaalang-alang ko ang isa pa kawili-wiling halimbawa, kailan kumplikadong argumento ay nasa denominator. Nagkita kami ng ilang beses sa pagsasanay, pag-aralan natin ang isang bagay na simple. Ay, tumatanda na ako... Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function.
Suriin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Solusyon: Muli, kinakailangang paghiwalayin ang tunay at haka-haka na bahagi ng function. Ang tanong ay lumitaw, kung ano ang gagawin kapag ang "Z" ay nasa denominator. Ang lahat ay simple - makakatulong ito karaniwang pagtanggap pagpaparami ng numerator at denominator sa conjugate expression. nagamit na ito sa mga halimbawa ng aralin na Complex Numbers for Dummies. Naaalala namin formula ng paaralan. Mayroon na tayo sa denominator, kaya ito ay magiging isang conjugate expression.
Kaya, kailangan mong i-multiply ang numerator at denominator sa pamamagitan ng:. Iyon lang, at natakot ka: ay ang tunay na bahagi ng function; ay ang haka-haka na bahagi ng function. Ulitin ko sa pangatlong beses - huwag mawala ang minus ng haka-haka na bahagi. Suriin natin ang katuparan ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann.
Dapat kong sabihin, ang mga partial derivatives dito ay hindi ganoon oh-hoo, ngunit hindi mula sa pinakasimpleng:. Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan. Sagot: , ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan. Bilang isang epilogue maikling kwento tungkol sa stupor, o tungkol sa kung anong mga tanong ng mga guro ang pinakamahirap. Karamihan mahirap na mga tanong Kakatwa, ito ay mga tanong na may malinaw na mga sagot.
At ang kwento ay ito: ang isang tao ay kumukuha ng pagsusulit sa algebra, ang paksa ng tiket ay "Corollary to the fundamental theorem of algebra." Ang tagasuri ay nakikinig, nakikinig, at pagkatapos ay biglang nagtanong: "Saan ito nanggaling?". Narito ito ay isang stupor, kaya isang stupor. Nataranta na ang buong madla, ngunit hindi sinabi ng estudyante ang tamang sagot: "mula sa pangunahing teorama ng algebra."
Naaalala ko ang kasaysayan at Personal na karanasan, pumasa ako sa physics, isang bagay tungkol sa presyon ng isang likido, na hindi ko na matandaan, ngunit ang pagguhit ay nanatili sa aking memorya magpakailanman - isang hubog na tubo kung saan dumaloy ang likido. Sinagot ko ang tiket na "mahusay", at kahit ako mismo ay naintindihan kung ano ang aking sinagot. At sa wakas, ang guro ay nagtanong: "Nasaan ang kasalukuyang tubo dito?".
Pinihit ko at pinihit ang pagguhit na ito gamit ang isang hubog na tubo sa loob ng halos limang minuto, ipinahayag ang mga wildest na bersyon, nilagari ang tubo, gumuhit ng ilang mga projection. At ang sagot ay simple, ang kasalukuyang tubo ay ang buong tubo. Nag-unload kami nang maayos, makita ka sa aralin Paano hanapin ang pag-andar ng isang kumplikadong variable? May kabaligtaran na problema.
Minsan ang obvious ang pinakamahirap, sana wag mag slow down ang lahat. Mga solusyon at sagot:.
Halimbawa 2: Solusyon: dahil, kung gayon:. Sagot: - tunay na bahagi, - haka-haka na bahagi. Halimbawa 4: Solusyon: Simula noon:. Sa ganitong paraan:. ay ang tunay na bahagi ng function;
ay ang haka-haka na bahagi ng function. Suriin natin ang katuparan ng mga kondisyon ni Cauchy-Riemann:. Ang kundisyon ay natutugunan. Natutugunan din ang kundisyon. Ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan, nakita namin ang hinalaw:. Sagot: - tunay na bahagi, - haka-haka na bahagi. Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan.
Halimbawa 6: Solusyon: Tukuyin ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng function na ito. Sa ganitong paraan:. ay ang tunay na bahagi ng function; ay ang haka-haka na bahagi ng function. Suriin natin ang katuparan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann:. Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan. Sagot: , ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan.
Halimbawa 8: Solusyon: Simula noon:. Sa ganitong paraan:. ay ang tunay na bahagi ng function;
ay ang haka-haka na bahagi ng function. Suriin natin ang katuparan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann:. Ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan, nakita namin ang hinalaw:. Sagot: , ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan. Halimbawa 10: Solusyon: Simula noon:. Sa ganitong paraan:. ay ang tunay na bahagi ng function;
ay ang haka-haka na bahagi ng function. Suriin natin ang katuparan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann:. Ang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann ay natutugunan. Sagot: , ang mga kondisyon ng Cauchy-Riemann ay nasiyahan.
Banig sa Aklatan. mga forumLibrary > Books on Mathematics > Complex Variable Functions
Mga Complex Variable Function
- Aizenberg L.A., Yuzhakov A.P. Mga integral na representasyon at nalalabi sa multivariate kumplikadong pagsusuri. Nsb.: Nauka, 1979 (djvu)
- Alfopc L. Mga lektura sa quasiconformal mappings. M.: Mir, 1969 (djvu)
- Alfors L., Bers L. Riemannian surface space at quasiconformal mappings. M.: IL, 1961 (djvu)
- Angileyko I.M., Kozlova R.V. Mga problema sa teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable. Mn.: Vysh. paaralan, 1976 (djvu)
- Aramanovich I.G., Lunts G.L., Elsgolts L.E. Mga function ng isang kumplikadong variable. operational calculus. Teorya ng Katatagan (2nd ed.). Moscow: Nauka, 1968 (djvu)
- Avdeev N.Ya. Taskbook-workshop sa kurso ng teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable. M.: Uchpedgiz, 1959 (djvu)
- Belinsky P.P. Pangkaraniwang katangian quasiconformal mappings. Nsb.: Nauka, 1974 (djvu)
- Biberbach L. Analytical na pagpapatuloy. Moscow: Nauka, 1967 (djvu)
- Bitsadze A.V. Mga pangunahing kaalaman sa teorya analytic function kumplikadong variable. Moscow: Nauka, 1969 (djvu)
- Bochner S., Martin W.T. Mga pag-andar ng ilang kumplikadong mga variable. M.: IL, 1951 (djvu)
- Bremerman G. Distributions, complex variables at Fourier transforms M.: Mir, 1968 (djvu)
- Valiron J. Analytic function. M.: GITTL, 1957 (djvu)
- Wiener N., Paley R. Fourier transform sa kumplikadong domain. Moscow: Nauka, 1964 (djvu)
- Wittich G. Pinakabagong Pananaliksik may kinalaman sa mga function ng analytic na may iisang halaga. Moscow: Fizmatlit, 1960 (djvu)
- Vladimirov V.S. Mga pamamaraan ng teorya ng mga pag-andar ng ilang mga kumplikadong variable. Moscow: Nauka, 1964 (djvu)
- Volkovysky L.I. Quasiconformal na mga pagmamapa. Lvov: Lvov. unibersidad, 1954 (djvu)
- Wu H. Teorya ng equipartition para sa holomorphic curves. M.: Mir, 1973 (djvu)
- Jenkins J. Univalent function at conformal mappings. M.: IL, 1962 (djvu)
- Gunning R., Rossi H. Analytic function ng maraming kumplikadong variable. M.: Mir, 1969 (djvu)
- Gakhov F.D. Mga gawain sa hangganan. M.: GIFML, 1958 (djvu)
- Gakhov F.D. Mga Problema sa Hangganan (2nd ed.). M.: GIFML, 1963 (djvu)
- Gakhov F.D. Mga Problema sa Hangganan (3rd ed.). Moscow: Nauka, 1977 (djvu)
- Golubev V.V. Ang mga single-valued analytic function ay mga automorphic function. Moscow: Fizmatlit, 1961 (djvu)
- Goluzin G.M. teoryang geometriko mga function ng isang complex variable (2nd ed.). Moscow: Nauka, 1966 (djvu)
- Goncharov V.L. Teorya ng pag-andar ng isang kumplikadong variable. M.: Uchpedgiz, 1955 (djvu)
- Gurvits A., Courant R. Teorya ng mga tungkulin. Moscow: Nauka, 1968 (djvu)
- Demidov A.S. Paraan ng Helmholtz-Kirchhoff (GK-method). EqWorld, 19.09.2007 (pdf)
- Evgrafov M.A. (ed.) Koleksyon ng mga Problema sa Analytic Function Theory (2nd ed.). M.: Nauka, 1972 (djvu)
- Siegel K. Automorphic function ng ilang kumplikadong variable. M.: IL, 1954 (djvu)
- Carathéodory K. Conformal mapping. M.-L.: ONTI, 1934 (djvu)
- Cartan A. teoryang elementarya mga pag-andar ng mga kumplikadong variable. M.: IL, 1963 (djvu)
- Koppepfels V., Shtalman F. Practice ng conformal mappings. M.: IL, 1963 (djvu)
- Krasnov M.L. Kiselev A.I. Makarenko G.I. Mga function ng isang kumplikadong variable. operational calculus. Teorya ng katatagan. M.: Nauka, 1971 (djvu)
- Krushkal S.L., Apanasov B.N., Gusevsky N.A. Uniformization at Kleinian group. Koleksyon: NGU, 1979 (djvu)
- Courant R. Geometric theory ng mga function ng isang complex variable. L.-M.: ONTI, 1934 (djvu)
- Prinsipyo ng Courant R. Dirichlet, conformal mappings at minimal surfaces. M.: IL, 1953 (djvu)
- Lavrentiev M.A. Mga conformal mapping na may mga application sa ilang tanong sa mechanics. M.-L.: OGIZ, 1946 (djvu)
- Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Mga pamamaraan ng teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable. Moscow: Nauka, 1965 (djvu)
- Levin B.Ya. Pamamahagi ng mga ugat ng buong pag-andar. M.: GITTL, 1956 (djvu)
- Leontiev A.F. Mga hilera ng exhibitors. M.: Nauka, 1976 (djvu)
- Malgrange B. Mga lektura sa teorya ng mga tungkulin ng ilang kumplikadong mga variable. Moscow: Nauka, 1969 (djvu)
- Mandelbroit S. Quasianalytic na mga klase ng mga function. L.-M.: ONTI, 1937 (djvu)
- Markushevich A.I. Mga sanaysay sa kasaysayan ng teorya ng analytic function. M.-L.: GITTL, 1951 (djvu)
- Milin I.M. Univalent function at orthonormal system. M.: Nauka, 1971 (djvu)
- Milnor J. Mga isahan na puntos kumplikadong hypersurfaces. M.: Mir, 1971 (djvu)
- Monakhov V.N., Semenko E.V. Mga problema sa boundary value at pseudodifferential operator sa Riemann surface. Moscow: Fizmatlit, 2003 (djvu)
- Montel P. Normal na pamilya ng analytic functions. M.-L.: ONTI, 1936 (djvu)
- Mors M. Topological na pamamaraan ng teorya ng mga function ng isang kumplikadong variable. M.: IL, 1951 (djvu)
- Narasimhan R. Pagsusuri sa tunay at kumplikadong manifold. M.: Mir, 1971 (djvu)
- Nevanlinna R. Single-valued analytical function. M.-L.: GITTL, 1941 (djvu)
- Petrenko V.P. Paglago ng meromorphic function. Kharkiv: KhSU, Vishcha school, 1978 (djvu)
- Privalov I.I. Boundary Properties ng Analytic Functions (2nd ed.). M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
- Privalov I.I. mga pag-andar ng subharmonic. M.-L.: GRTTL, 1937 (djvu)
- Rudin W. Teorya ng mga function sa isang polycircle. M.: Mir, 1974 (djvu)
- Sveshnikov A.G., Tikhonov A.N. Teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable. Moscow: Nauka, 1967 (djvu)
- Springer J. Panimula sa teorya ng mga ibabaw ng Riemann. M.: IL, 1960
