Wissenschaftliche und praktische Tagung

MOU "Durchschnitt allgemein bildende Schule Nr. 23"

die Stadt Wologda

Abschnitt: natürlich - wissenschaftlich

Entwurfs- und Forschungsarbeit

ARTEN DER SYMMETRIE

Die Arbeit wurde von einem Schüler der 8. A-Klasse ausgeführt

Kreneva Margarita

Leiter: Höherer Mathematiklehrer

Jahr 2014

Projektstruktur:

1. Einleitung.

2. Ziele und Ziele des Projekts.

3. Symmetriearten:

3.1. Zentrale Symmetrie;

3.2. Achsensymmetrie;

3.3. Spiegelsymmetrie (Symmetrie zur Ebene);

3.4. Rotationssymmetrie;

3.5. Tragbare Symmetrie.

4. Schlussfolgerung.

Symmetrie ist die Idee, durch die der Mensch seit Jahrhunderten versucht, Ordnung, Schönheit und Perfektion zu verstehen und zu schaffen.

G.Weil

Einführung.

Das Thema meiner Arbeit wurde nach dem Studium des Abschnitts „Axial- und Zentralsymmetrie“ im Kurs „Geometrie Klasse 8“ gewählt. Dieses Thema hat mich sehr interessiert. Ich wollte wissen: welche Arten von Symmetrie es gibt, wie sie sich voneinander unterscheiden, was die Prinzipien für die Konstruktion symmetrischer Figuren in jedem der Typen sind.

Zielsetzung : Einführung in verschiedene Arten von Symmetrie.

Aufgaben:

Studieren Sie die Literatur zu diesem Thema.

Fassen Sie das untersuchte Material zusammen und systematisieren Sie es.

Bereiten Sie eine Präsentation vor.

In der Antike wurde das Wort "SYMMETRIE" in der Bedeutung von "Harmonie", "Schönheit" verwendet. Übersetzt aus dem Griechischen bedeutet dieses Wort „Verhältnismäßigkeit, Proportionalität, Einheitlichkeit in der Anordnung von Teilen von etwas entlang gegenüberliegende Seiten von einem Punkt, einer Linie oder einer Ebene.

Es gibt zwei Gruppen von Symmetrien.

Die erste Gruppe umfasst die Symmetrie von Positionen, Formen, Strukturen. Das ist die Symmetrie, die man direkt sieht. Es kann als geometrische Symmetrie bezeichnet werden.

Die zweite Gruppe charakterisiert die Symmetrie physikalische Phänomene und die Naturgesetze. Diese Symmetrie liegt dem naturwissenschaftlichen Weltbild zu Grunde: Sie kann als physikalische Symmetrie bezeichnet werden.

Ich höre auf zu lernengeometrische Symmetrie .

Es gibt wiederum mehrere Arten geometrischer Symmetrie: zentral, axial, spiegelverkehrt (Symmetrie relativ zur Ebene), radial (oder rotierend), tragbar und andere. Ich werde heute 5 Arten von Symmetrie betrachten.

Zentrale Symmetrie

Zwei Punkte A und A 1 heißen symmetrisch zum Punkt O, wenn sie auf einer durch m O gehenden Geraden liegen und sich längs befinden verschiedene Seiten von ihr in gleicher Entfernung. Der Punkt O heißt Symmetriezentrum.

Die Figur heißt punktsymmetrischÖ , wenn für jeden Punkt der Figur der Punkt symmetrisch zu ihm in Bezug auf den Punkt istÖ gehört ebenfalls zu dieser Figur. PunktÖ Symmetriezentrum der Figur genannt, soll die Figur zentralsymmetrisch sein.

Beispiele für Figuren mit zentraler Symmetrie sind der Kreis und das Parallelogramm.

Die auf der Folie gezeigten Figuren sind in Bezug auf einen Punkt symmetrisch

2. Achsensymmetrie

Zwei PunkteX und Y heißt symmetrisch in Bezug auf die Liniet , wenn diese Linie durch den Mittelpunkt des Segments XY geht und senkrecht dazu steht. Es sollte auch gesagt werden, dass jeder Punkt der Liniet als symmetrisch zu sich selbst betrachtet.

Geradet ist die Symmetrieachse.

Man sagt, dass die Figur in Bezug auf eine gerade Linie symmetrisch ist.t, wenn für jeden Punkt der Figur ein Punkt symmetrisch zu ihm bezüglich einer geraden Linie istt gehört ebenfalls zu dieser Figur.

GeradetSymmetrieachse der Figur genannt, soll die Figur axialsymmetrisch sein.

Achsensymmetrie besitzen ein unentwickelter Winkel, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke, ein Rechteck und eine Raute,Buchstaben (siehe Präsentation).

Spiegelsymmetrie (Symmetrie um eine Ebene)

Zwei P-Punkte 1 und P heißen symmetrisch zur Ebene, und wenn sie auf einer Geraden liegen, senkrecht zur Ebene a und sind gleich weit davon entfernt

Spiegelsymmetrie allen bekannt. Es verbindet jedes Objekt und seine Reflexion darin flacher Spiegel. Eine Figur soll spiegelsymmetrisch zur anderen sein.

In der Ebene war die Figur mit unendlich vielen Symmetrieachsen ein Kreis. Im Raum hat eine Kugel unendlich viele Symmetrieebenen.

Aber wenn der Kreis der einzige seiner Art ist, dann gibt es ihn in der dreidimensionalen Welt ganze Linie Körper mit unendlich vielen Symmetrieebenen: ein gerader Zylinder mit kreisförmiger Grundfläche, ein Kegel mit kreisförmiger Grundfläche, eine Kugel.

Es ist leicht festzustellen, dass beide symmetrisch sind flache Figur kann mit Hilfe eines Spiegels mit sich selbst kombiniert werden. Es ist überraschend, dass solche komplexe Figuren, als fünfzackiger Stern oder ein gleichseitiges Fünfeck sind ebenfalls symmetrisch. Wie aus der Anzahl der Achsen hervorgeht, zeichnen sie sich gerade durch ihre hohe Symmetrie aus. Und umgekehrt: Es ist nicht so einfach zu verstehen, warum eine so scheinbar regelmäßige Figur, wie ein schiefes Parallelogramm, nicht symmetrisch ist.

4. S Rotationssymmetrie (bzw Radialsymmetrie)

Rotationssymmetrie ist Symmetrie, die die Form eines Objekts bewahrtbeim Drehen um eine Achse um einen Winkel von 360 ° /n(oder ein Vielfaches dieses Wertes), wobein= 2, 3, 4, … Die angegebene Achse wird Rundachse genanntn-te Ordnung.

Beimn=2 werden alle Punkte der Figur um einen Winkel von 180 gedreht 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) um die Achse, während die Form der Figur erhalten bleibt, d.h. jeder Punkt der Figur geht zu einem Punkt derselben Figur (die Figur wird in sich selbst umgewandelt). Die Achse heißt Achse zweiter Ordnung.

Bild 2 zeigt die Achse dritter Ordnung, Bild 3 - 4. Ordnung, Bild 4 - 5. Ordnung.

Ein Objekt kann mehr als eine Drehachse haben: Abb.1 - 3 Drehachsen, Abb.2 - 4 Achsen, Abb. 3 - 5 Achsen, Abb. 4 - nur 1 Achse

Die bekannten Buchstaben „I“ und „F“ sind rotationssymmetrisch: Dreht man den Buchstaben „I“ um 180° um eine Achse, die senkrecht zur Buchstabenebene steht und durch seinen Mittelpunkt geht, dann wird der Buchstabe mit ausgerichtet selbst. Mit anderen Worten, der Buchstabe "I" ist symmetrisch bezüglich einer Drehung um 180°, 180°= 360°: 2,n=2 , also Symmetrie zweiter Ordnung.

Beachten Sie, dass der Buchstabe "F" auch eine Rotationssymmetrie zweiter Ordnung hat.

Außerdem hat der Buchstabe und ein Symmetriezentrum und der Buchstabe Ф eine Symmetrieachse

Kehren wir zu Beispielen aus dem Leben zurück: ein Glas, ein kegelförmiges Pfund Eis, ein Stück Draht, eine Pfeife.

Wenn wir uns diese Körper genauer ansehen, werden wir feststellen, dass sie alle auf die eine oder andere Weise aus einem Kreis bestehen unendlicher Satz deren Symmetrieachsen durch unendlich viele Symmetrieebenen gehen. Die meisten dieser Körper (man nennt sie Rotationskörper) haben natürlich auch ein Symmetriezentrum (Kreismittelpunkt), durch das mindestens eine rotierende Symmetrieachse verläuft.

Gut sichtbar ist zum Beispiel die Achse der Eiswaffel. Es verläuft von der Mitte des Kreises (der aus der Eiscreme herausragt!) bis zum scharfen Ende des funky Kegels. Wir nehmen die Menge der Symmetrieelemente eines Körpers als eine Art Symmetriemaß wahr. Der Ball ist zweifellos in Bezug auf Symmetrie eine unübertroffene Verkörperung von Perfektion, ein Ideal. Die alten Griechen empfanden ihn als den vollkommensten Körper und den Kreis natürlich als die vollkommenste flache Figur.

Um die Symmetrie eines bestimmten Objekts zu beschreiben, müssen alle Rotationsachsen und ihre Reihenfolge sowie alle Symmetrieebenen angegeben werden.

Betrachten Sie zum Beispiel geometrischer Körper, bestehend aus zwei identischen regelmäßigen viereckigen Pyramiden.

Es hat eine Rundachse 4. Ordnung (Achse AB), vier Rundachsen 2. Ordnung (Achsen CE,D.F., MP, NQ), fünf Symmetrieebenen (planesCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Tragbare Symmetrie

Eine andere Art von Symmetrie isttragbar mit Symmetrie.

Sie sprechen von einer solchen Symmetrie, wenn eine Figur, wenn sie entlang einer geraden Linie um eine Strecke "a" oder eine Strecke, die ein Vielfaches dieses Wertes ist, bewegt wird, sie mit sich selbst kombiniert wird Die gerade Linie, entlang derer die Übertragung erfolgt, wird als Übertragungsachse bezeichnet, und der Abstand "a" wird als Elementarübertragung, Periode oder Symmetrieschritt bezeichnet.

a

Ein sich periodisch wiederholendes Muster auf einem langen Band wird Bordüre genannt. In der Praxis findet man Bordüren in verschiedenen Formen (Wandmalerei, Gusseisen, Gipsreliefs oder Keramik). Bordüren werden von Malern und Künstlern verwendet, wenn sie einen Raum dekorieren. Um diese Ornamente auszuführen, wird eine Schablone hergestellt. Wir bewegen die Schablone, drehen sie um oder drehen sie nicht um, zeichnen eine Kontur, wiederholen das Muster und erhalten ein Ornament (visuelle Demonstration).

Die Umrandung lässt sich einfach mit einer Schablone (Originalelement) erstellen, verschieben oder spiegeln und das Muster wiederholen. Die Abbildung zeigt fünf Arten von Schablonen:a ) asymmetrisch;b, c ) mit einer Symmetrieachse: horizontal oder vertikal;G ) zentralsymmetrisch;d ) mit zwei Symmetrieachsen: vertikal und horizontal.

Die folgenden Transformationen werden zum Erstellen von Grenzen verwendet:

a ) parallele Übertragung;b ) Symmetrie um die vertikale Achse;in ) zentrale Symmetrie;G ) Symmetrie um die horizontale Achse.

Ebenso können Sie Sockets bauen. Dazu wird der Kreis geteiltn Gleiche Sektoren, in einem von ihnen wird ein Mustermuster ausgeführt, und dieses wird dann in den verbleibenden Teilen des Kreises konsequent wiederholt, wobei das Muster jedes Mal um einen Winkel von 360 ° gedreht wird /n .

gutes Beispiel Die Anwendung von axialer und figurativer Symmetrie kann als Zaun dienen, der auf dem Foto gezeigt wird.

Fazit: Gibt es Verschiedene Arten Symmetrie, symmetrische Punkte in jeder dieser Arten von Symmetrien werden nach bestimmten Gesetzen aufgebaut. Im Leben treffen wir überall auf die eine oder andere Art von Symmetrie, und oft können in den Objekten, die uns umgeben, mehrere Arten von Symmetrie gleichzeitig festgestellt werden. Dies schafft Ordnung, Schönheit und Perfektion in der Welt um uns herum.

LITERATUR:

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Visuelle Geometrie 5 - 6 Klassen. WENN. Sharygin, L.N. Erganzhiev. - Verlag "Drofa", Moskau, 2005. - 189p.

Enzyklopädie für Kinder. Biologie. S. Ismailova. – Verlag „Avanta+“. – Moskau 1997 – 704 S.

Urmantsev Yu.A. Symmetrie der Natur und das Wesen der Symmetrie - M.: Gedanke die Architektur / arhkomp2. htm, , en.wikipedia.org/wiki/

In Bezug auf die Geometrie: Es gibt drei Haupttypen von Symmetrie.

Erstens, zentrale Symmetrie (oder Symmetrie um einen Punkt) - Dies ist eine Transformation der Ebene (oder des Raums), bei der der einzige Punkt (Punkt O - das Symmetriezentrum) an Ort und Stelle bleibt, während die übrigen Punkte ihre Position ändern: Anstelle von Punkt A erhalten wir Punkt A1 so dass Punkt O die Mitte des Segments AA1 ist. Um eine F1-Figur zu bauen, symmetrische FigurÄ relativ zum Punkt O, ist es notwendig, einen Strahl zu zeichnen, der durch den Punkt O (Symmetriezentrum) durch jeden Punkt der Figur Ä geht, und auf diesem Strahl einen Punkt beiseite zu legen, der symmetrisch zu dem in Bezug auf den gewählten ist Punkt O. Die so konstruierte Punktmenge ergibt die Figur Ф1.

Von großem Interesse sind Figuren, die ein Symmetriezentrum haben: Bei Symmetrie um den Punkt O verwandelt sich jeder Punkt der Figur F wieder in einen Punkt der Figur F. Solche Figuren gibt es in der Geometrie viele. Zum Beispiel: ein Segment (die Mitte des Segments ist das Symmetriezentrum), eine gerade Linie (jeder ihrer Punkte ist das Symmetriezentrum), ein Kreis (das Zentrum des Kreises ist das Symmetriezentrum), a Rechteck (der Schnittpunkt seiner Diagonalen ist das Symmetriezentrum). Es gibt viele zentralsymmetrische Objekte in Wohn- und unbelebte Natur(Studentenbeitrag). Oft erschaffen Menschen selbst Objekte, die ein Symmetriezentrum habenrii (Beispiele aus der Handarbeit, Beispiele aus dem Maschinenbau, Beispiele aus der Architektur und viele andere Beispiele).

Zweitens, axiale Symmetrie(oder Symmetrie um eine Linie) - Dies ist eine Transformation der Ebene (oder des Raums), bei der nur die Punkte der Linie p an Ort und Stelle bleiben (diese Linie ist die Symmetrieachse), während die restlichen Punkte ihre Position ändern: anstelle des Punktes B erhalten wir einen solchen Punkt B1, dass die Gerade p die Mittelsenkrechte zur Strecke BB1 ​​ist. Um eine zur Figur Φ bezüglich der Linie p symmetrische Figur Φ1 zu konstruieren, ist es notwendig, für jeden Punkt der Figur Φ einen zu ihr bezüglich der Linie p symmetrischen Punkt zu konstruieren. Die Menge aller dieser konstruierten Punkte ergibt die erforderliche Figur Ф1. Es gibt viele geometrische Formen, die eine Symmetrieachse haben.

Ein Rechteck hat zwei, ein Quadrat hat vier, ein Kreis hat eine gerade Linie, die durch seinen Mittelpunkt geht. Wenn Sie sich die Buchstaben des Alphabets genau ansehen, finden Sie darunter solche, die eine horizontale oder vertikale und manchmal beide Symmetrieachsen haben. Objekte mit Symmetrieachsen sind in der belebten und unbelebten Natur weit verbreitet (Schülerberichte). In seiner Tätigkeit erstellt eine Person viele Objekte (z. B. Ornamente), die mehrere Symmetrieachsen haben.

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Drittens, planare (Spiegel-)Symmetrie (oder Symmetrie um eine Ebene) - Dies ist eine Transformation des Raums, bei der nur Punkte einer Ebene ihre Position beibehalten (α-Symmetrieebene), die übrigen Raumpunkte ihre Position ändern: Anstelle von Punkt C wird ein solcher Punkt C1 erhalten, dass die Ebene α verläuft durch die Mitte des Segments CC1 senkrecht dazu.

Um eine Figur Ä1 zu konstruieren, die symmetrisch zur Figur Ä in Bezug auf die Ebene α ist, ist es notwendig, dass jeder Punkt der Figur Ä Punkte symmetrisch in Bezug auf α bildet, sie bilden die Figur Ä1 in ihrer Menge.

Meistens begegnen wir in der Welt der Dinge und Objekte um uns herum dreidimensionale Körper. Und einige dieser Körper haben Symmetrieebenen, manchmal sogar mehrere. Und der Mensch selbst erschafft bei seinen Tätigkeiten (Bauen, Handarbeiten, Modellieren, ...) Objekte mit Symmetrieebenen.

Es ist erwähnenswert, dass es neben den drei aufgeführten Arten von Symmetrie (in der Architektur)tragbar und schwenkbar, die in der Geometrie Kompositionen aus mehreren Bewegungen sind.

Der Symmetriebegriff findet sich in vielen Bereichen wieder Menschenleben, Kultur und Kunst sowie im Feld wissenschaftliches Wissen. Aber was ist Symmetrie? Übersetzt von Altgriechisch es ist Verhältnismäßigkeit, Unveränderlichkeit, Konformität. Wenn wir von Symmetrie sprechen, meinen wir oft Proportionalität, Ordnung, harmonische Schönheit in der Anordnung von Elementen einer bestimmten Gruppe oder Komponenten eines Objekts.

In der Physik helfen Symmetrien in Gleichungen, die das Verhalten eines Systems beschreiben, die Lösung zu vereinfachen, indem Erhaltungsgrößen gefunden werden.

In der Chemie erklärt die Symmetrie in der Anordnung von Molekülen eine Reihe von Eigenschaften der Kristallographie, Spektroskopie oder Quantenchemie.

In der Biologie bezieht sich Symmetrie auf regelmäßig relativ zum Zentrum oder zur Symmetrieachse der Form eines lebenden Organismus oder identischer Körperteile. Symmetrie in der Natur ist nicht absolut, sie enthält notwendigerweise eine gewisse Asymmetrie, d.h. solche Teile stimmen möglicherweise nicht mit 100 % Genauigkeit überein.

Symmetrie findet sich oft in den Symbolen der Weltreligionen und in sich wiederholenden Mustern sozialer Interaktionen.

Was ist symmetrie in der mathematik

In der Mathematik werden Symmetrie und ihre Eigenschaften durch die Gruppentheorie beschrieben. Symmetrie in der Geometrie ist die Fähigkeit von Figuren, sich darzustellen, während Eigenschaften und Form beibehalten werden.

BEIM weiten Sinne Figur F hat Symmetrie, falls es eine gibt lineare Transformation, der diese Zahl in sich selbst übersetzt.

In mehr engeren Sinne Symmetrie in der Mathematik heißt Spiegelbild relativ zur Linie c in der Ebene oder relativ zur Ebene c im Raum.

Was ist eine symmetrieachse

Eine Raumtransformation relativ zu einer Ebene c oder einer Geraden c wird als symmetrisch angesehen, wenn zusätzlich jeder Punkt B zu einem Punkt B geht, "so dass die Strecke B B" senkrecht auf dieser Ebene oder Geraden steht und diese halbiert . Dabei heißt die Ebene c Symmetrieebene, die Gerade c Symmetrieachse. Geometrische Figuren, wie regelmäßige Polygone, können mehrere Symmetrieachsen haben, und der Kreis und die Kugel haben eine unendliche Zahl solche Achsen.

Zu den einfachsten Arten räumlicher Symmetrie gehören:

• Spiegel (erzeugt durch Reflexionen);
• axial;
• zentral;
• Übertragungssymmetrie.

Was ist axialsymmetrie

Symmetrie um eine Achse oder Schnittlinie von Ebenen wird axial genannt. Es wird davon ausgegangen, dass, wenn durch jeden Punkt der Symmetrieachse eine Senkrechte gezogen wird, Sie darauf immer 2 symmetrische Punkte finden können, die sich im gleichen Abstand von der Achse befinden. BEIM regelmäßige Polygone die Symmetrieachsen können ihre Diagonalen oder Mittellinien sein. In einem Kreis einer Symmetrieachse - seine Diagonalen.

Was ist zentrale symmetrie

Symmetrie um einen Punkt nennt man zentral. In diesem Fall an gleichen Abstand von einem Punkt auf beiden Seiten davon gibt es andere Punkte, geometrische Figuren, gerade oder gebogene Linien. Wenn Sie symmetrische Punkte mit einer geraden Linie verbinden, die durch einen Symmetriepunkt verläuft, befinden sie sich an den Enden dieser Linie, und nur der Symmetriepunkt ist ihr Mittelpunkt. Und wenn Sie diese gerade Linie drehen und den Symmetriepunkt festlegen, dann beschreiben die symmetrischen Punkte die Kurven, sodass jeder Punkt einer gekrümmten Linie symmetrisch zum selben Punkt der anderen gekrümmten Linie ist.

aus dem Griechischen Symmetria - Proportionalität) - eine einheitliche, ähnliche Anordnung der Elemente der Form eines künstlichen Objekts; im weitesten Sinne des Wortes - die Invarianz (Unveränderlichkeit) der Struktur, Form eines materiellen Objekts (System von Objekten) in Bezug auf seine Transformation, aufgrund derer Symmetrie mit der Erhaltung bestimmter charakterisierender Größen verbunden ist gegebenes Objekt(System), zum Beispiel Energie, Impuls usw. (Satz von Noether in theoretische Physik). (Siehe auch Syngonien, Kristalle, Kristallographie).

Großartige Definition

Unvollständige Definition ↓

Symmetrie

Die Ordnung des Ganzen ist nach Platon die Umwandlung des Ganzen in Harmonie, und eine bestimmte Struktur der Harmonie ist Symmetrie, Proportion, Rhythmus.

a) Plato hat kein ausreichend klares und gegeben entwickelte Definition Symmetrie, obwohl dieses Konzept für die Ästhetik sehr wichtig ist. Seine Aussagen zur Symmetrie (Phileb, 23c-27d) sind leider zu allgemein. Sie laufen auf so etwas hinaus: Stellen Sie sich einen leeren Hintergrund vor, auf dem nichts gezeichnet ist. Lassen Sie uns auf diesem Hintergrund eine Figur zeichnen - einen Kreis, ein Quadrat, ein Dreieck, ein Rechteck usw. Eine solche Figur wird durch eine gerade oder gekrümmte Linie angezeigt. Nehmen wir weiter an, wir betrachten den aufgenommenen Hintergrund und die gezeichnete Figur nicht getrennt voneinander, sondern als Ganzes. Diese Darstellung ist richtig, weil die Figur irgendwie besetzt und unterworfen ist bestimmter Teil Hintergrund. Was ist diese Figur, was hat sie spezifische Ansicht? Ihr Aussehen kann schön oder hässlich, verhältnismäßig oder unverhältnismäßig, symmetrisch oder asymmetrisch sein. Haben wir der Figur genau das Aussehen gegeben, das wir wollten, oder ist uns das nicht gelungen? Ist unser Sinn für Ästhetik es wird Ihnen sagen, ob diese Figur gut oder nicht gut ist, ob sie schlank oder nicht schlank, schön oder hässlich ist usw. Dies ist die einfachste und universellste Argumentation, die man sich merken muss, um den Inhalt des schwierigen Platonischen zu verstehen Dialog Philebus.

Anstatt über die Hintergründe zu sprechen, führt Platon den Begriff des Unendlichen ein. Natürlich nicht sofort verständliche Worte Platon, dass das Unendliche beliebig groß und beliebig klein sein "kann", dass es leer ist und nichts in sich enthält. Unser Hintergrund ist also die platonische Unendlichkeit. Als nächstes zeichnen wir auf unserem Hintergrund eine bestimmte Figur, das heißt, wir begrenzen einen Teil des Hintergrunds. Plato nennt diese Zahl einen nicht ganz klaren Begriff - "Grenze". Die Grenze ist drin dieser Fall nur die Begrenzung auf einen bekannten Teil des Hintergrunds. Aber unsere Zeichnung, die einen Teil des Hintergrunds vom Rest des Hintergrunds abgrenzt, ist genau erstellt bestimmte Zahl. Platon nennt diese Figur einen nicht ganz eindeutigen Begriff – eine „Mischung“ aus dem Unendlichen und der Grenze. Es ist keine Mischung aus allem verschiedene Artikel. Dieser Begriff kann damit verglichen werden, wie das Zeichnen einer Figur wahrgenommen wird, wenn sich diese Figur, die sich vor einem Hintergrund abhebt, wirklich mit diesem Hintergrund "mischt", aber es ist klar, dass dieses Konzept des "Mischens" spezifisch ist. Noch schwieriger und unverständlicher ist Platons Begriff, mit dem er angibt, was für eine Figur wir bekommen haben, also was für eine Idee wir in der Zeichnung verkörpern wollten, sei es die Idee zum Beispiel eines Dreiecks oder die Idee von ​​ein Kreis oder allgemein eine bestimmte Idee. Platon nannte dies „die Ursache der Verwirrung“. Das Wort "Grund" ist hier entweder unglücklich, oder wir haben es einfach versäumt, das entsprechende zu übersetzen Griechischer Begriff. Es ist jedoch klar, dass diese Zahl ziemlich eindeutig ist. Das ist überhaupt keine Figur, sondern ein Dreieck, ein Rechteck, ein Kreis usw. Ist das die Figur, die wir zeichnen wollten? Hier erscheint ein neuer Schritt im Verständnis der Zeichnung, die Platon gleich drei Begriffe nennt: „Symmetrie“, „Wahrheit“ und „Schönheit“. Natürlich ist die Figur, die wir erhalten haben, entweder symmetrisch oder asymmetrisch, oder sie entspricht unserer Vorstellung und ist daher wahr, oder wir haben einen Fehler beim Zeichnen gemacht, dann ist sie nicht wahr, und sie ist entweder schön oder hässlich. Auch das ist klar. Aber auch allgemeinen Charakter dieser Begriffe und das Fehlen jeglicher Argumentation über ihre gegenseitige Abhängigkeit machen sie nicht ganz klar, warum es in den Kommentaren antiker Autoren zu Platons Philebus viele Meinungsverschiedenheiten zu diesem Thema gab. Daher suggeriert Symmetrie nach Platons „Philebus“ gem wenigstens, vier verschiedene Konzepte - das Unendliche, die Grenze, die Vermischung von beidem und die Ursachen dieser Vermischung. Und außerdem ist auch hier der Symmetriebegriff noch nicht ganz klar vom Wahrheits- und Schönheitsbegriff getrennt. Wenn wir uns Platons Liebe zur Architektonik der Begriffe und deren Schematismus vor Augen halten, ist die Trennung von Schönheit, Wahrheit und Symmetrie nichts anderes als eine Wiederholung der ursprünglichen Dialektik von Unendlichkeit, Begrenzung und Verwirrung höheres Level. Die interessanteste und engste Annäherung an unser Verständnis von Ästhetik ist die Diskussion von Vergnügen oder Genuss und Rationalität. Lust oder Genuß ist etwas Grenzenloses, da es für sich genommen unersättlich ist, ewig wie blind strebt und keine Grenze hat. Die Vernunft, der Verstand oder der Intellekt hingegen beruht immer auf einem bestimmten System, auf bestimmten genauen Unterscheidungen, auf der Abstinenz von Vergnügen und ist daher ein festes und bestimmtes Prinzip, eine „Grenze“. Wenn Platon unter Schönheit die Synthese von Vergnügen und Rationalität versteht, dann ist das so, als ob Innerhalb Proportionalität der Symmetrie, dann sieht er offensichtlich die späteren europäischen Lehren über die Verbindung von Lust und Intelligenz in der Schönheit voraus, die später sehr verbreitet waren. Wahres Konzept Schönheit beinhaltet immer nicht nur Genuss, sondern auch eine vernünftige Ideologie. Platons Symmetrielehre erweist sich als nicht so naiv und allgemein; bis zu einem gewissen Grad spiegelt es sowohl die reale ästhetische Realität als auch ihre reale Wahrnehmung wider.

b) Wir sind davon ausgegangen, dass die ästhetische und jede andere Terminologie von Platon nach und nach, manchmal mit großem Aufwand, entwickelt wurde und oft obskure und komplizierte Formen annahm. Es ist jedoch unmöglich, die Ästhetik Platons nur anhand einiger Materialien des Philebus zu studieren. Auf die Verwendung des Begriffs "Symmetrie" in anderen Dialogen ist zu achten.

Interessant ist zum Beispiel in den Gesetzen (Legg. II 668 a): Wahrheit und sonst nichts.“ „Symmetrie“ impliziert in diesem Fall bereits „Wahrheit“, so dass wir zumindest in diesem Punkt mit unserer Vermutung über den Platz der „Symmetrie“ im Philebus richtig lagen. An das Urteil in den „Gesetzen“ (Legg., VI 773 a) schließt sich der „Philebus“ an: „Gleich und verhältnismäßig in Ansehung der Tugend ist unendlich höher als übertrieben (acratoy)“. Diese Beispiele zeigen auch, dass Platon seine „Symmetrie“ nicht umsonst in solche gelegt hat allgemeinen Bereich, als Bereich der kreativen Vermischung von Limit und Unendlichkeit. Diese beiden Texte betonen sehr schwach strukturelle Seite Symmetrie, so dass „Proportionalität“ hier im weitesten Sinne verstanden werden kann. So wie „Wahrheit“ und „Schönheit“ eine Art Entsprechung haben (d. h. die gegenseitige Entsprechung der Grenze und des Unendlichen), ist Symmetrie dieselbe Entsprechung.

Über die strukturelle Symmetrie lesen wir: „Der Tempel des Poseidon selbst war eine Stufe lang, drei Plethra in der Breite und im Verhältnis (Symmetron) zu dieser in der Erscheinungshöhe“ (Kritias, 116 d). Was Symmetrie hier bedeutet, ist uns nicht klar. Aber es ist klar, dass eine Art strukturelle Entsprechung gemeint ist. Auf die gleiche Art von Strukturprinzip kann man in The Sophist stoßen, das von der Verzerrung von Objekten spricht, die aufgrund der Perspektive gebildet werden:

„Wenn sie [Künstler] eine wahre Symmetrie schöner Objekte schaffen, dann wissen Sie, dass das Höhere kleiner erscheint als das Niedrigere und das Niedrigere - mehr aufgrund der Tatsache, dass erstere für uns von weitem sichtbar sind und letztere nah ... unter solchen Umständen Künstler mit Wahrheit, wenn sie den Bildern, die sie schmücken, nicht wirklich schöne „Dimensionen“ (tas oysas simmetrias) geben, sondern solche erscheinen“ (Soph., 235 e - 236 a). Hier deutet „Symmetrie“ nur Strukturalität an, bedeutet aber tatsächlich (wie es übersetzt wird) genau „Dimensionen“ oder (wenn wir auch das Präfix dieses Wortes übersetzen) „eine Reihe von Dimensionen“.

Hier ist ein Text, der sich auf die Zusammensetzung von Längeneinheiten bezieht, aber ohne strukturelle Beziehung dieser Längen: „Da sie gleich sind, werden sie von gleichen Maßen sein [d.h. B. „aus der gleichen Anzahl von Maßeinheiten“], mit dem es gleich sein wird ... Wenn es mehr oder weniger ist als das, zu dem es proportional ist (Xymmetron), dann hat es im Verhältnis zum kleineren mehr Maße [ größere Größe], und im Verhältnis zum Größeren wird es weniger Takte haben [ kleinere Größe]... Mit dem, was es inkommensurabel ist (me symmetron), wird es im Verhältnis dazu einmal kleinere Maße haben, ein anderes Mal größere “(Parm., 140 b). Unter „Symmetrie“ verstehen wir hier offensichtlich nur mathematische Kommensurabilität, also die Möglichkeit des Findens einzelne Maßnahme Messungen.

c) Zur Charakterisierung hat der Begriff "Symmetrie". Bedeutung Text aus Platons Dialog "Theaetetos" (147d-148a). Dieser Text bereitet aus rein philologischer Sicht erhebliche Schwierigkeiten. Seine Idee läuft darauf hinaus, dass Platon beim Studium der Symmetrie Rechtecke in den Vordergrund rückt, bei denen die Seiten mit einem bestimmten gemessen werden Rationale Zahl, während die Diagonalen irrational sind. Das Verhältnis von Seite und Diagonale jedes dieser Rechtecke schafft eine besondere Art von Symmetrie, auf deren Grundlage alte Meister, wie von modernen Architekturtheoretikern untersucht, Tempelgebäude der klassischen Zeit errichteten.

Auch in der neueren kunsthistorischen Literatur blieb das Symmetrie-Argument von Theaetetos nicht unbeantwortet. D. Hambidge bezieht sich nämlich in seiner Theorie der dynamischen Symmetrie in der Architektur3 genau auf diese Stelle in Platons Theaetetos, ohne sie einer besonderen Analyse zu unterziehen. Es basiert auf einer großen Menge an kunsthistorischem und naturwissenschaftlichem Material und übrigens auf der Analyse aller wesentlichen architektonischen Elemente des Parthenon (wie auch anderer griechischer Tempel)4. Wenn wir die Terminologie von "Theaetetus" im Auge behalten, sollte der Name der von diesem Autor als "dynamisch" angesehenen Symmetrie als sehr erfolgreich angesehen werden.

Das Symmetrieargument bei Theaetetus geht im Kern nicht über den Philebus hinaus, sondern konkretisiert ihn nur. Die Vereinigung von „limit“ und „grenzenlos“ in künstlerisches Bild im Theaetetos erreicht durch geometrische Konstruktion. Die Geometrie im Dialog „Theaetetus“ dient hier dem Körperlichen und praktischer Einstieg, mit deren Hilfe Plato seine abstrakten Konstruktionen macht. Mit Hilfe der Geometrie versucht Plato zu übersetzen Wissenschaftliche Sprache Praxis der Antike bildende Kunst(in diesem Fall Architektur).

Im Begriff der Symmetrie weicht Platon ziemlich stark vom üblichen Verständnis in der westeuropäischen Ästhetik ab. Diese Diskrepanz ist am auffälligsten aufgrund des zu großen Volumens dieses Konzepts bei Plato. Jetzt stellen sie Symmetrie dar, hauptsächlich als das Vorhandensein gegenseitig gleichwertiger Teile, die sich um ein bestimmtes Zentrum oder eine bestimmte Achse befinden. Platons Konzept der Symmetrie wurde auf das Vorhandensein von einander gleichwertigen Teilen mit einem sehr breiten Verständnis des "Zentrums" oder der "Achse" reduziert. Hier werden nicht nur numerische und geometrische Beziehungen gedacht, sondern auch die Beziehungen beliebiger Sphären des Seins und des Lebens im Allgemeinen.

Am meisten wird natürlich bei Platon „Symmetrie“ (wie alle anderen ästhetischen Formen) in Bezug auf die Seele und den Kosmos gedacht. Wie wir sehen werden, ist es bereits für jeden charakteristisch. elementare Figuren, von denen Platon den Kosmos baut (Tim. 69 b), vor allem aber auf den lebendigen Leib und die Seele und auf das Verhältnis von Seele und Leib fixiert (Tim. 87 s). Man kann sagen, dass Symmetrie hier die gleiche breite Bedeutung hat wie in der vorsokratischen Ästhetik, aber nur in ihr kreativer Augenblick, vollständig aufgelöst in der kosmologischen und physikalischen Weltdarstellung der Vorsokratiker.

Großartige Definition

Unvollständige Definition ↓

Konzept Symmetrie zieht sich durch die Geschichte der Menschheit. Sie findet sich bereits an den Ursprüngen des menschlichen Wissens. Es entstand im Zusammenhang mit dem Studium eines lebenden Organismus, nämlich des Menschen. Und es wurde bereits im 5. Jahrhundert v. Chr. Von Bildhauern verwendet. Wort " Symmetrie "Griechisch, es bedeutet" Verhältnismäßigkeit, Verhältnismäßigkeit, Ähnlichkeit in der Anordnung von Teilen”.

Es wird ausnahmslos von allen Richtungen verwendet. moderne Wissenschaft. Deutscher Mathematiker Hermann Weil genannt: " Symmetrie ist die Idee, durch die der Mensch seit Jahrhunderten versucht, Ordnung, Schönheit und Perfektion zu verstehen und zu schaffen.". Seine Tätigkeit fällt auf die erste Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts. Er war es, der die Definition der Symmetrie formulierte, die festlegte, an welchen Zeichen das Vorhandensein oder umgekehrt das Fehlen von Symmetrie in einem bestimmten Fall zu erkennen ist. So wurde erst vor relativ kurzer Zeit - zu Beginn des 20. Jahrhunderts - eine mathematisch strenge Darstellung gebildet.

1.1. Achsensymmetrie

Zwei Punkte A und A1 heißen symmetrisch zur Geraden a, wenn diese Gerade durch die Mitte der Strecke AA1 geht und senkrecht dazu steht (Bild 2.1). Jeder Punkt der Linie a wird als zu sich selbst symmetrisch angesehen.

Eine Figur heißt symmetrisch zur Geraden a, wenn zu jedem Punkt der Figur auch der dazu symmetrische Punkt zur Geraden a gehört (Bild 2.2).

Die Linie a heißt Symmetrieachse der Figur.


Die Figur soll auch Achsensymmetrie haben.

Achsensymmetrie besitzen geometrische Figuren wie Winkel, gleichschenkligen Dreiecks, Rechteck, Raute (Abbildung 2.3).

Eine Figur kann mehr als eine Symmetrieachse haben. Ein Rechteck hat zwei, ein Quadrat hat vier und gleichseitiges Dreieck- drei, am Kreis - jede gerade Linie, die durch seinen Mittelpunkt verläuft.

Wenn Sie sich die Buchstaben des Alphabets genau ansehen (Abbildung 2.4), finden Sie darunter solche, die eine horizontale oder vertikale und manchmal beide Symmetrieachsen haben. Objekte mit Symmetrieachsen sind in der belebten und unbelebten Natur weit verbreitet.

Es gibt Figuren, die keine Symmetrieachse haben. Solche Figuren umfassen ein anderes Parallelogramm als ein Rechteck, ein ungleichmäßiges Dreieck.

In seiner Tätigkeit schafft eine Person viele Objekte (einschließlich Ornamente), die mehrere Symmetrieachsen haben.

1.2 Zentrale Symmetrie

Zwei Punkte A und A1 heißen symmetrisch zum Punkt O, wenn O der Mittelpunkt der Strecke AA1 ist. Punkt O wird als symmetrisch zu sich selbst angesehen (Abbildung 2.5).

Eine Figur heißt symmetrisch zum Punkt O, wenn zu jedem Punkt der Figur auch der dazu symmetrische Punkt zum Punkt O zu dieser Figur gehört.

Die einfachsten Figuren mit zentraler Symmetrie sind der Kreis und das Parallelogramm (Abbildung 2.6).

Punkt O heißt Symmetriezentrum der Figur. BEIM ähnliche Fälle Die Figur ist zentralsymmetrisch. Das Symmetriezentrum eines Kreises ist der Mittelpunkt des Kreises, und das Symmetriezentrum eines Parallelogramms ist der Schnittpunkt seiner Diagonalen.

Eine gerade Linie hat auch zentrale Symmetrie, aber im Gegensatz zu einem Kreis und einem Parallelogramm, die nur ein Symmetriezentrum haben, hat eine gerade Linie unendlich viele davon - jeder Punkt auf einer geraden Linie ist ihr Symmetriezentrum. Ein Beispiel für eine Figur ohne Symmetriezentrum ist ein Dreieck.

1.3. Rotationssymmetrie

Angenommen, das Objekt wird mit sich selbst ausgerichtet, wenn es um eine Achse um einen Winkel von 360 ° / n (oder ein Vielfaches dieses Werts) gedreht wird, wobei n \u003d 2, 3, 4, ... In diesem Fall ungefähr rotiert Symmetrie, und die angegebene Achse heißt Rotationsachse n-ter Ordnung.

Betrachten Sie Beispiele mit allen berühmte Briefe « Und" und " F". Was den Brief betrifft " Und“, dann hat es die sogenannte Rotationssymmetrie. Wenn Sie den Brief drehen " Und» 180° um eine Achse senkrecht zur Buchstabenebene und durch dessen Mittelpunkt verlaufend, dann wird der Buchstabe auf sich selbst ausgerichtet.

Mit anderen Worten, der Brief Und» ist bezüglich einer 180°-Drehung symmetrisch. Beachten Sie, dass der Buchstabe " F».

Abbildung 2.7. Es werden Beispiele für einfache Objekte mit Drehachsen unterschiedlicher Ordnung gegeben - vom 2. bis zum 5.