वैज्ञानिक और व्यावहारिक सम्मेलन

समझौता ज्ञापन "औसत" समावेशी स्कूलनंबर 23"

वोलोग्दा शहर

खंड: प्राकृतिक - वैज्ञानिक

डिजाइन और अनुसंधान कार्य

समरूपता के प्रकार

काम 8वीं "ए" कक्षा के एक छात्र द्वारा किया गया था

क्रेनेवा मार्गारीटा

प्रमुख: उच्च गणित शिक्षक

वर्ष 2014

परियोजना संरचना:

1। परिचय।

2. परियोजना के लक्ष्य और उद्देश्य।

3. समरूपता के प्रकार:

3.1. केंद्रीय समरूपता;

3.2. अक्षीय समरूपता;

3.3. मिरर समरूपता (विमान के संबंध में समरूपता);

3.4. घूर्णी समरूपता;

3.5. पोर्टेबल समरूपता।

4। निष्कर्ष।

समरूपता वह विचार है जिसके माध्यम से मनुष्य ने सदियों से व्यवस्था, सौंदर्य और पूर्णता को समझने और बनाने की कोशिश की है।

जी. वेइला

परिचय।

मेरे काम का विषय "ज्यामिति ग्रेड 8" पाठ्यक्रम में "अक्षीय और केंद्रीय समरूपता" खंड का अध्ययन करने के बाद चुना गया था। मुझे इस विषय में बहुत दिलचस्पी थी। मैं जानना चाहता था: किस प्रकार की समरूपता मौजूद है, वे एक दूसरे से कैसे भिन्न हैं, प्रत्येक प्रकार में सममित आकृतियों के निर्माण के सिद्धांत क्या हैं।

उद्देश्य : विभिन्न प्रकार की समरूपता का परिचय।

कार्य:

इस विषय पर साहित्य का अध्ययन करें।

अध्ययन की गई सामग्री को सारांशित और व्यवस्थित करें।

एक प्रस्तुति तैयार करें।

प्राचीन काल में, "सिमेट्री" शब्द का प्रयोग "सद्भाव", "सौंदर्य" के अर्थ में किया जाता था। ग्रीक से अनुवादित, इस शब्द का अर्थ है "आनुपातिकता, आनुपातिकता, किसी चीज़ के भागों की व्यवस्था में एकरूपता" विपरीत दिशाएंकिसी बिंदु, रेखा या तल से।

समरूपता के दो समूह हैं।

पहले समूह में पदों, आकृतियों, संरचनाओं की समरूपता शामिल है। यह समरूपता है जिसे सीधे देखा जा सकता है। इसे ज्यामितीय समरूपता कहा जा सकता है।

दूसरा समूह समरूपता की विशेषता है भौतिक घटनाएंऔर प्रकृति के नियम। यह समरूपता दुनिया की प्राकृतिक-विज्ञान तस्वीर के आधार पर है: इसे भौतिक समरूपता कहा जा सकता है।

मैं पढ़ाई के लिए रुकता हूंज्यामितीय समरूपता .

बदले में, कई प्रकार के ज्यामितीय समरूपता भी हैं: केंद्रीय, अक्षीय, दर्पण (विमान के सापेक्ष समरूपता), रेडियल (या रोटरी), पोर्टेबल और अन्य। मैं आज 5 प्रकार की समरूपता पर विचार करूंगा।

केंद्रीय समरूपता

दो बिंदु A और A 1 बिंदु O के संबंध में सममित कहलाते हैं यदि वे m O से गुजरने वाली एक सीधी रेखा पर स्थित हैं और साथ में स्थित हैं विभिन्न पक्षउससे उतनी ही दूरी पर। बिंदु O को सममिति का केंद्र कहा जाता है।

बिंदु के संबंध में आकृति को सममित कहा जाता हैहे , यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए बिंदु के संबंध में इसके सममित बिंदुहे भी इस आंकड़े के अंतर्गत आता है। दूरसंचार विभागहे आकृति की सममिति का केंद्र कहा जाता है, आकृति को केंद्रीय समरूपता कहा जाता है।

केंद्रीय समरूपता वाली आकृतियों के उदाहरण वृत्त और समांतर चतुर्भुज हैं।

स्लाइड पर दिखाए गए आंकड़े किसी बिंदु के संबंध में सममित हैं

2. अक्षीय समरूपता

दो बिंदुएक्स और यू रेखा के संबंध में सममित कहा जाता हैटी , यदि यह रेखा खंड XY के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है और इसके लंबवत है। यह भी कहना चाहिए कि रेखा का प्रत्येक बिंदुटी अपने आप में सममित माना जाता है।

सीधाटी समरूपता की धुरी है।

आकृति को एक सीधी रेखा के संबंध में सममित कहा जाता है।टी, यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए एक सीधी रेखा के संबंध में सममित बिंदु हैटी भी इस आंकड़े के अंतर्गत आता है।

सीधाटीआकृति की सममिति की धुरी कहा जाता है, आकृति को अक्षीय समरूपता कहा जाता है।

अक्षीय समरूपता एक अविकसित कोण, समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज, एक आयत और एक समचतुर्भुज,पत्र (प्रस्तुति देखें)।

मिरर समरूपता (एक विमान के बारे में समरूपता)

दो पी अंक 1 और P को तल के सापेक्ष सममिति कहा जाता है, और यदि वे एक सीधी रेखा पर स्थित हों, विमान के लंबवत a, और इससे समान दूरी पर हैं

मिरर समरूपता सभी के लिए अच्छी तरह से जाना जाता है। यह किसी भी वस्तु और उसके प्रतिबिंब को में जोड़ता है समतल दर्पण. एक आकृति को दूसरे से सममित दर्पण कहा जाता है।

समतल पर, अनंत संख्या में सममिति अक्षों वाली आकृति एक वृत्त थी। अंतरिक्ष में, समरूपता के अनंत विमानों में एक गेंद होती है।

लेकिन अगर वृत्त अपनी तरह का अकेला है, तो त्रि-आयामी दुनिया में है पूरी लाइनसमरूपता के अनंत विमानों वाले पिंड: आधार पर एक वृत्त के साथ एक सीधा सिलेंडर, एक गोलाकार आधार वाला एक शंकु, एक गेंद।

यह स्थापित करना आसान है कि प्रत्येक सममित सपाट आकृतिदर्पण की सहायता से स्वयं के साथ जोड़ा जा सकता है। ताज्जुब है कि इस तरह जटिल आंकड़े, जैसा फाइव पॉइंट स्टारया एक समबाहु पंचभुज भी सममित होते हैं। कुल्हाड़ियों की संख्या से निम्नानुसार, वे अपनी उच्च समरूपता द्वारा ठीक से प्रतिष्ठित हैं। और इसके विपरीत: यह समझना इतना आसान नहीं है कि एक तिरछी समांतर चतुर्भुज की तरह ऐसा प्रतीत होता है कि नियमित आकृति सममित क्यों नहीं है।

4. पी घूर्णी समरूपता (या रेडियल समरूपता)

घूर्णी समरूपता समरूपता है जो किसी वस्तु के आकार को संरक्षित करती हैजब किसी अक्ष के चारों ओर 360 ° / के बराबर कोण के माध्यम से घूमते हैंएन(या इस मान का गुणज), जहाँएन= 2, 3, 4, … संकेतित अक्ष को घूर्णन अक्ष कहा जाता हैएन-वें क्रम।

परn=2 आकृति के सभी बिंदुओं को 180 . के कोण से घुमाया जाता है 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) अक्ष के चारों ओर, जबकि आकृति का आकार संरक्षित है, अर्थात। आकृति का प्रत्येक बिंदु उसी आकृति के एक बिंदु पर जाता है (आकृति स्वयं में रूपांतरित हो जाती है)। अक्ष को द्वितीय कोटि का अक्ष कहा जाता है।

चित्रा 2 तीसरे क्रम की धुरी दिखाता है, चित्रा 3 - चौथा क्रम, चित्रा 4 - 5 वां क्रम।

एक वस्तु में एक से अधिक रोटरी अक्ष हो सकते हैं: अंजीर। 1 - रोटेशन के 3 कुल्हाड़ियों, अंजीर। 2 - 4 कुल्हाड़ियों, अंजीर। 3 - 5 कुल्हाड़ियों, अंजीर। 4 - केवल 1 अक्ष

जाने-माने अक्षर "I" और "F" में घूर्णी समरूपता है। यदि आप अक्षर "I" को 180 ° से एक अक्ष के चारों ओर लंबवत घुमाते हैं और उसके केंद्र से गुजरते हैं, तो पत्र के साथ संरेखित किया जाएगा अपने आप। दूसरे शब्दों में, "I" अक्षर 180°, 180°=360°: 2 के घूर्णन के संबंध में सममित है,एन=2 इसलिए इसमें द्वितीय कोटि की सममिति है।

ध्यान दें कि "एफ" अक्षर में दूसरे क्रम की घूर्णन समरूपता भी है।

इसके अलावा, अक्षर और समरूपता का केंद्र है, और अक्षर में समरूपता का अक्ष है

आइए जीवन से उदाहरणों पर लौटते हैं: एक गिलास, आइसक्रीम का एक शंकु के आकार का पाउंड, तार का एक टुकड़ा, एक पाइप।

यदि हम इन पिंडों पर करीब से नज़र डालें, तो हम देखेंगे कि वे सभी, एक तरह से या किसी अन्य, एक वृत्त से मिलकर बने हैं। अनंत समुच्चयजिसका सममिति अक्ष अनंत संख्या में सममिति तलों से होकर गुजरता है। इनमें से अधिकांश निकायों (उन्हें क्रांति के निकाय कहा जाता है) में, निश्चित रूप से, समरूपता का केंद्र (एक वृत्त का केंद्र) भी होता है, जिसके माध्यम से समरूपता की कम से कम एक रोटरी धुरी गुजरती है।

उदाहरण के लिए, स्पष्ट रूप से दिखाई देने वाला, आइसक्रीम कोन की धुरी है। यह सर्कल के बीच से (आइसक्रीम से बाहर चिपके हुए!) फंकी कोन के तेज सिरे तक चलता है। हम किसी पिंड के सममिति तत्वों के समुच्चय को एक प्रकार की सममिति माप के रूप में देखते हैं। गेंद, बिना किसी संदेह के, समरूपता के संदर्भ में, पूर्णता का एक नायाब अवतार है, एक आदर्श है। प्राचीन यूनानियों ने इसे सबसे संपूर्ण शरीर के रूप में माना, और सर्कल, निश्चित रूप से, सबसे उत्तम सपाट आकृति के रूप में।

किसी विशेष वस्तु की समरूपता का वर्णन करने के लिए, सभी घूर्णन अक्षों और उनके क्रम, साथ ही सभी समरूपता विमानों को निर्दिष्ट करना आवश्यक है।

उदाहरण के लिए विचार करें, ज्यामितीय शरीर, दो समान नियमित चतुर्भुज पिरामिडों से बना है।

इसमें चौथे क्रम (अक्ष एबी) की एक रोटरी धुरी है, दूसरे क्रम के चार रोटरी अक्ष (अक्ष सीई,डी.एफ., एमपी, एनक्यू), समरूपता के पाँच तल (तल)सीडीईएफ, एएफबीडी, एसीबीई, एएमबीपी, एएनबीक्यू).

5 . पोर्टेबल समरूपता

एक अन्य प्रकार की सममिति हैपोर्टेबल साथ समरूपता

वे ऐसी समरूपता की बात करते हैं, जब किसी आकृति को एक सीधी रेखा के अनुदिश कुछ दूरी "a" या ऐसी दूरी तक ले जाया जाता है जो इस मान का गुणज हो, तो वह स्वयं के साथ संयुक्त हो जाती है। जिस सीधी रेखा के साथ स्थानांतरण किया जाता है उसे स्थानांतरण अक्ष कहा जाता है, और दूरी "ए" को प्राथमिक स्थानांतरण, अवधि या समरूपता चरण कहा जाता है।

ए

एक लंबे रिबन पर समय-समय पर दोहराए जाने वाले पैटर्न को बॉर्डर कहा जाता है। व्यवहार में, सीमाएं विभिन्न रूपों (दीवार पेंटिंग, कच्चा लोहा, प्लास्टर बेस-रिलीफ या सिरेमिक) में पाई जाती हैं। एक कमरे को सजाते समय चित्रकारों और कलाकारों द्वारा सीमाओं का उपयोग किया जाता है। इन गहनों को करने के लिए एक स्टैंसिल बनाई जाती है। हम स्टैंसिल को घुमाते हैं, इसे पलटते हैं या इसे पलटते नहीं हैं, एक समोच्च खींचते हैं, पैटर्न को दोहराते हैं, और हमें एक आभूषण (दृश्य प्रदर्शन) मिलता है।

एक स्टैंसिल (मूल तत्व) का उपयोग करके सीमा का निर्माण करना आसान है, इसे स्थानांतरित करना या फ़्लिप करना और पैटर्न को दोहराना। आंकड़ा पांच प्रकार के स्टैंसिल दिखाता है:ए ) विषम;बी, सी ) समरूपता का एक अक्ष होना: क्षैतिज या लंबवत;जी ) केंद्रीय सममित;डी ) समरूपता के दो अक्ष हैं: लंबवत और क्षैतिज।

सीमाओं के निर्माण के लिए निम्नलिखित परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है:

ए ) समानांतर स्थानांतरण;बी ) ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में समरूपता;में ) केंद्रीय समरूपता;जी ) क्षैतिज अक्ष के बारे में समरूपता।

इसी तरह, आप सॉकेट बना सकते हैं। इसके लिए वृत्त को में बांटा गया हैएन समान क्षेत्रों में, उनमें से एक में एक नमूना पैटर्न किया जाता है और फिर बाद वाले को सर्कल के शेष हिस्सों में लगातार दोहराया जाता है, हर बार पैटर्न को 360 ° / के कोण से बदल दिया जाता है।एन .

अच्छा उदाहरणअक्षीय और आलंकारिक समरूपता का अनुप्रयोग तस्वीर में दिखाए गए बाड़ के रूप में काम कर सकता है।

निष्कर्ष: तो वहाँ हैं विभिन्न प्रकारसमरूपता, सममित बिंदुइनमें से प्रत्येक प्रकार की समरूपता कुछ कानूनों के अनुसार निर्मित होती है। जीवन में, हम हर जगह एक या दूसरे प्रकार की समरूपता से मिलते हैं, और अक्सर हमारे आस-पास की वस्तुओं में, कई प्रकार की समरूपता एक साथ नोट की जा सकती है। यह हमारे आसपास की दुनिया में व्यवस्था, सुंदरता और पूर्णता पैदा करता है।

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तो, ज्यामिति के संबंध में: समरूपता के तीन मुख्य प्रकार हैं।

सबसे पहले, केंद्रीय समरूपता (या एक बिंदु के बारे में समरूपता) - यह समतल (या स्थान) का परिवर्तन है, जिसमें एकमात्र बिंदु (बिंदु O - समरूपता का केंद्र) बना रहता है, जबकि शेष बिंदु अपनी स्थिति बदलते हैं: बिंदु A के बजाय, हमें बिंदु A1 मिलता है ऐसा है कि बिंदु O खंड AA1 का मध्य है। F1 फिगर बनाने के लिए, सममित आकृतिबिंदु O के सापेक्ष, आकृति के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से बिंदु O (समरूपता का केंद्र) से गुजरने वाली एक किरण खींचना आवश्यक है, और इस किरण पर एक बिंदु को सममित रूप से चयनित बिंदु के संबंध में एक तरफ सेट करना आवश्यक है। बिंदु O. इस तरह से बनाए गए बिंदुओं का सेट आंकड़ा Ф1 देगा।

बड़ी रुचि के आंकड़े हैं जिनमें समरूपता का केंद्र है: बिंदु O के बारे में समरूपता के साथ, आकृति F का कोई भी बिंदु फिर से आकृति F के किसी बिंदु में बदल जाता है। ज्यामिति में ऐसे कई आंकड़े हैं। उदाहरण के लिए: एक खंड (खंड का मध्य समरूपता का केंद्र है), एक सीधी रेखा (इसका कोई भी बिंदु इसकी समरूपता का केंद्र है), एक वृत्त (वृत्त का केंद्र समरूपता का केंद्र है), a आयत (इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु सममिति का केंद्र है)। जीवित रहने में कई केंद्रीय सममित वस्तुएं होती हैं और निर्जीव प्रकृति(छात्र पद)। अक्सर लोग स्वयं ऐसी वस्तुएं बनाते हैं जिनमें समरूपता का केंद्र होता हैआरआई (सुई से उदाहरण, मैकेनिकल इंजीनियरिंग से उदाहरण, वास्तुकला से उदाहरण और कई अन्य उदाहरण)।

दूसरी बात, अक्षीय समरूपता(या एक पंक्ति के बारे में समरूपता) - यह समतल (या स्थान) का परिवर्तन है, जिसमें केवल रेखा p के बिंदु यथावत रहते हैं (यह रेखा समरूपता की धुरी है), जबकि शेष बिंदु अपनी स्थिति बदलते हैं: बिंदु B के बजाय , हमें ऐसा बिंदु B1 मिलता है कि रेखा p खंड BB1 का लंबवत समद्विभाजक है। रेखा p के सन्दर्भ में आकृति के सममित 1 का निर्माण करने के लिए, आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए रेखा p के संबंध में एक सममित बिंदु का निर्माण करना आवश्यक है। इन सभी निर्मित बिन्दुओं का समुच्चय वांछित आकृति Ф1 देता है। कई ज्यामितीय आकार हैं जिनमें समरूपता की धुरी होती है।

एक आयत में दो होते हैं, एक वर्ग में चार होते हैं, एक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरने वाली कोई भी सीधी रेखा होती है। यदि आप वर्णमाला के अक्षरों को करीब से देखते हैं, तो उनमें से आप उन लोगों को पा सकते हैं जिनमें क्षैतिज या लंबवत होते हैं, और कभी-कभी समरूपता के दोनों अक्ष होते हैं। समरूपता की कुल्हाड़ियों वाली वस्तुएं चेतन और निर्जीव प्रकृति (छात्र रिपोर्ट) में काफी सामान्य हैं। अपनी गतिविधि में, एक व्यक्ति कई वस्तुओं (उदाहरण के लिए, आभूषण) बनाता है जिसमें समरूपता के कई अक्ष होते हैं।

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तीसरा, तलीय (दर्पण) समरूपता (या समतल के बारे में समरूपता) - यह अंतरिक्ष का एक परिवर्तन है, जिसमें केवल एक विमान के बिंदु अपना स्थान बनाए रखते हैं (α-समरूपता का विमान), अंतरिक्ष के शेष बिंदु अपनी स्थिति बदलते हैं: बिंदु C के बजाय, ऐसा बिंदु C1 प्राप्त होता है कि विमान α खंड CC1 के मध्य से होकर गुजरता है, जो इसके लंबवत है।

एक आकृति Ф1 का निर्माण करने के लिए, विमान α के संबंध में आकृति के सममित, आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए α के संबंध में सममित बिंदुओं का निर्माण करना आवश्यक है, वे अपने सेट में आकृति Ф1 बनाते हैं।

अक्सर, हमारे आस-पास की चीजों और वस्तुओं की दुनिया में, हम त्रि-आयामी निकायों का सामना करते हैं। और इनमें से कुछ निकायों में समरूपता के विमान हैं, कभी-कभी कई भी। और मनुष्य स्वयं अपनी गतिविधियों (निर्माण, सुईवर्क, मॉडलिंग, ...) में समरूपता के विमानों के साथ वस्तुओं का निर्माण करता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि तीन सूचीबद्ध प्रकार की समरूपता के साथ, (वास्तुकला में) हैंपोर्टेबल और कुंडा, जो ज्यामिति में कई आंदोलनों की रचनाएं हैं।

समरूपता की अवधारणा कई क्षेत्रों में पाई जाती है मानव जीवन, संस्कृति और कला, साथ ही क्षेत्र में वैज्ञानिक ज्ञान. लेकिन समरूपता क्या है? से अनुवादित प्राचीन यूनानयह आनुपातिकता, अपरिवर्तनीयता, अनुरूपता है। समरूपता की बात करें तो, हमारा मतलब अक्सर किसी निश्चित समूह या किसी वस्तु के घटकों के तत्वों की व्यवस्था में आनुपातिकता, क्रम, सामंजस्यपूर्ण सौंदर्य से होता है।

भौतिकी में, एक प्रणाली के व्यवहार का वर्णन करने वाले समीकरणों में समरूपता संरक्षित मात्रा का पता लगाकर समाधान को सरल बनाने में मदद करती है।

रसायन विज्ञान में, अणुओं की व्यवस्था में समरूपता क्रिस्टलोग्राफी, स्पेक्ट्रोस्कोपी या क्वांटम रसायन विज्ञान के कई गुणों की व्याख्या करती है।

जीव विज्ञान में, समरूपता एक जीवित जीव या शरीर के समान भागों के रूप के केंद्र या समरूपता के अक्ष के सापेक्ष नियमित रूप से स्थित है। प्रकृति में समरूपता पूर्ण नहीं है, इसमें आवश्यक रूप से कुछ विषमताएं हैं, अर्थात। ऐसे हिस्से 100% सटीकता के साथ मेल नहीं खा सकते हैं।

समरूपता अक्सर विश्व धर्मों के प्रतीकों और सामाजिक अंतःक्रियाओं के दोहराव वाले पैटर्न में पाई जा सकती है।

गणित में समरूपता क्या है

गणित में समरूपता और उसके गुणों का वर्णन समूह सिद्धांत द्वारा किया जाता है। ज्यामिति में समरूपता गुणों और आकार को बनाए रखते हुए आंकड़ों को प्रदर्शित करने की क्षमता है।

पर वृहद मायने मेंयदि मौजूद है तो आकृति F में समरूपता है रैखिक परिवर्तन, जो इस आंकड़े का अपने आप में अनुवाद करता है।

अधिक में संकीर्ण मानसिकतागणित में समरूपता कहलाती है दर्पण प्रतिबिंबसमतल पर रेखा c के सापेक्ष या अंतरिक्ष में समतल c के सापेक्ष।

समरूपता की धुरी क्या है

एक समतल c या एक सीधी रेखा c के सापेक्ष अंतरिक्ष का परिवर्तन सममित माना जाता है, यदि, इसके अलावा, प्रत्येक बिंदु B एक बिंदु B पर जाता है "ताकि खंड B B" इस विमान या सीधी रेखा के लंबवत हो और इसे आधा में विभाजित कर दे . इस मामले में, समतल c को सममिति का तल कहा जाता है, सीधी रेखा c को सममिति का अक्ष कहा जाता है। ज्यामितीय आंकड़े, जैसे कि नियमित बहुभुज, में समरूपता के कई अक्ष हो सकते हैं, और वृत्त और गेंद में एक अनंत संख्याऐसी कुल्हाड़ियों।

स्थानिक समरूपता के सबसे सरल प्रकारों में शामिल हैं:

• दर्पण (प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न);
• अक्षीय;
• केंद्रीय;
• स्थानांतरण समरूपता।

अक्षीय समरूपता क्या है

एक अक्ष या समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा के बारे में समरूपता को अक्षीय कहा जाता है। यह मानता है कि यदि समरूपता के अक्ष के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से एक लंबवत खींचा जाता है, तो उस पर आप हमेशा अक्ष से समान दूरी पर स्थित 2 सममित बिंदु पा सकते हैं। पर नियमित बहुभुजसममिति की कुल्हाड़ियाँ उनके विकर्ण या मध्य रेखाएँ हो सकती हैं। समरूपता की धुरी के एक चक्र में - इसके विकर्ण।

केंद्रीय समरूपता क्या है

एक बिंदु के बारे में समरूपता को केंद्रीय कहा जाता है। इस मामले में, पर समान दूरीइसके दोनों ओर एक बिंदु से अन्य बिंदु हैं, ज्यामितीय आंकड़े, सीधी या घुमावदार रेखाएँ। सममित बिंदुओं को समरूपता के एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा से जोड़ने पर, वे इस रेखा के सिरों पर स्थित होंगे, और केवल सममिति का बिंदु इसका मध्य बिंदु होगा। और यदि आप इस सीधी रेखा को समरूपता के बिंदु को ठीक करते हुए घुमाते हैं, तो सममित बिंदु वक्रों का वर्णन करेंगे ताकि एक घुमावदार रेखा का प्रत्येक बिंदु दूसरी घुमावदार रेखा के समान बिंदु के सममित हो।

ग्रीक से समरूपता - आनुपातिकता) - किसी कृत्रिम वस्तु के रूप के तत्वों की एक समान, समान व्यवस्था; शब्द के व्यापक अर्थों में - संरचना की अपरिवर्तनीयता (अपरिवर्तनीयता), इसके परिवर्तन के संबंध में एक भौतिक वस्तु (वस्तुओं की प्रणाली) का रूप, जिसके कारण समरूपता कुछ मात्राओं के संरक्षण से जुड़ी होती है जो विशेषता है दी गई वस्तु(सिस्टम), उदाहरण के लिए, ऊर्जा, संवेग, आदि सैद्धांतिक भौतिकी) (समानार्थी, क्रिस्टल, क्रिस्टलोग्राफी भी देखें)।

महान परिभाषा

अधूरी परिभाषा

समरूपता

प्लेटो के अनुसार, संपूर्ण का क्रम, संपूर्ण का सामंजस्य में परिवर्तन है, और सामंजस्य की एक निश्चित संरचना समरूपता, अनुपात, लय है।

a) प्लेटो ने पर्याप्त रूप से स्पष्ट नहीं दिया और विकसित परिभाषासमरूपता, हालांकि यह अवधारणा सौंदर्यशास्त्र के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। समरूपता के बारे में उनके बयान (फिलेब, 23सी-27डी), दुर्भाग्य से, बहुत सामान्य हैं। वे कुछ इस तरह नीचे आते हैं: किसी खाली पृष्ठभूमि की कल्पना करें जिस पर कुछ भी नहीं खींचा गया है। आइए इस पृष्ठभूमि पर एक आकृति बनाएं - एक वृत्त, एक वर्ग, एक त्रिभुज, एक आयत, आदि। ऐसी आकृति एक सीधी या घुमावदार रेखा द्वारा इंगित की जाती है। आगे मान लीजिए कि हमने जो पृष्ठभूमि ली है और खींची गई आकृति को एक-दूसरे से अलग-अलग नहीं मानते हैं, बल्कि कुछ संपूर्ण मानते हैं। यह प्रतिनिधित्व सही है, क्योंकि आंकड़ा किसी तरह कब्जा कर लिया और अधीन हो गया निश्चित भागपार्श्वभूमि। यह आंकड़ा क्या है, इसमें क्या है विशिष्ट दृश्य? उसकी उपस्थिति सुंदर या बदसूरत, आनुपातिक या अनुपातहीन, सममित या विषम हो सकती है। क्या हमने फिगर को ठीक वैसा ही लुक दिया जैसा हम चाहते थे, या हम सफल नहीं हुए? हमारी है सौंदर्य बोधयह आपको बताएगा कि यह आंकड़ा अच्छा है या नहीं, पतला है या नहीं, सुंदर या बदसूरत, आदि। यह सबसे सरल और सार्वभौमिक तर्क है जिसे कठिन प्लेटोनिक की सामग्री को समझने के लिए ध्यान में रखा जाना चाहिए। संवाद फिलेबस।

प्लेटो ने पृष्ठभूमि के बारे में बात करने के बजाय अनंत की अवधारणा का परिचय दिया। बेशक, वे तुरंत नहीं करेंगे समझने योग्य शब्दप्लेटो कि अनंत "कैन" मनमाने ढंग से बड़ा और मनमाने ढंग से छोटा हो सकता है, कि यह खाली है और इसमें अपने आप में कुछ भी नहीं है। तो हमारी पृष्ठभूमि प्लेटोनिक अनंत है। अगला, हमारी पृष्ठभूमि पर, हम एक निश्चित आकृति बनाते हैं, अर्थात हम पृष्ठभूमि के कुछ हिस्से को सीमित करते हैं। प्लेटो ने इस आंकड़े को बहुत स्पष्ट शब्द नहीं कहा - "सीमा"। सीमा में है इस मामले मेंपृष्ठभूमि के किसी ज्ञात भाग की केवल सीमा। लेकिन हमारी ड्राइंग, जो बाकी पृष्ठभूमि से पृष्ठभूमि का सीमित हिस्सा है, ठीक-ठीक बनाई गई है निश्चित आंकड़ा. प्लेटो इस आंकड़े को पूरी तरह से स्पष्ट शब्द नहीं कहते हैं - अनंत और सीमा का "मिश्रण"। यह किसी का मिश्रण नहीं है विभिन्न वस्तुएं. इस शब्द की तुलना इस बात से की जा सकती है कि किसी आकृति के चित्रण को कैसे माना जाता है, जब यह आंकड़ा, किसी पृष्ठभूमि के खिलाफ खड़ा होता है, वास्तव में इस पृष्ठभूमि के साथ "मिश्रण" करता है, लेकिन यह स्पष्ट है कि "मिश्रण" की यह अवधारणा विशिष्ट है। प्लेटो का शब्द और भी कठिन और समझ से बाहर है, जिसका उपयोग वह यह इंगित करने के लिए करता है कि हमें किस प्रकार की आकृति मिली है, अर्थात हम किस प्रकार के विचार को चित्र में शामिल करना चाहते हैं, चाहे विचार, उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज का या विचार का एक वृत्त, या सामान्य रूप से कोई विशिष्ट विचार। प्लेटो ने इसे "भ्रम का कारण" कहा। शब्द "कारण" यहाँ या तो दुर्भाग्यपूर्ण है, या हम बस इसी का अनुवाद करने में विफल रहे हैं ग्रीक शब्द. हालांकि, यह स्पष्ट है कि यह आंकड़ा काफी निश्चित है। यह बिल्कुल कोई आकृति नहीं है, बल्कि एक त्रिभुज, एक आयत, एक वृत्त, आदि है। क्या यही वह आकृति है जिसे हम खींचना चाहते थे? यहां ड्राइंग की समझ में एक नया कदम दिखाई देता है, जिसे प्लेटो एक साथ तीन शब्दों को कहता है: "समरूपता", "सत्य" और "सौंदर्य"। बेशक, हमने जो आंकड़ा प्राप्त किया है वह या तो सममित या विषम है, या यह हमारे विचार से मेल खाता है और इसलिए सत्य है, या हमने कुछ चित्रित करने में गलती की है, इस मामले में यह सच नहीं है, और यह या तो सुंदर या बदसूरत है। यह भी स्पष्ट है। लेकिन भी सामान्य चरित्रइन शर्तों और उनकी अन्योन्याश्रयता के बारे में किसी भी तर्क की अनुपस्थिति ने उन्हें पूरी तरह से स्पष्ट नहीं किया कि प्लेटो के फिलेबस पर प्राचीन लेखकों की टिप्पणियों में इस विषय पर कई विवाद क्यों थे। इसलिए, प्लेटो के "फिलेबस" के अनुसार समरूपता का सुझाव है, के अनुसार कम से कम, चार अलग-अलग अवधारणाएँ - अनंत, सीमा, दोनों का मिश्रण और इस मिश्रण के कारण। और इसके अलावा, इस मामले में भी, समरूपता की अवधारणा अभी तक सत्य और सौंदर्य की अवधारणा से बहुत स्पष्ट रूप से अलग नहीं हुई है। यदि हम प्लेटो की अवधारणाओं के स्थापत्यवाद और उनकी योजनावाद के प्रति प्रेम को ध्यान में रखते हैं, तो सौंदर्य, सत्य और समरूपता का पृथक्करण अनंत, सीमा और भ्रम की मूल द्वंद्वात्मकता की पुनरावृत्ति के अलावा और कुछ नहीं है। उच्च स्तर पर. सौंदर्यशास्त्र की हमारी समझ के लिए सबसे दिलचस्प और निकटतम दृष्टिकोण आनंद, या आनंद, और तर्कसंगतता की चर्चा है। आनंद, या आनंद, कुछ असीम है, क्योंकि यह, अपने आप से लिया गया है, अतृप्त है, हमेशा के लिए आँख बंद करके प्रयास करता है और इसकी कोई सीमा नहीं है। तर्क, मन या बुद्धि, इसके विपरीत, हमेशा एक निश्चित प्रणाली पर, कुछ सटीक भेदों पर, सुखों से परहेज पर आधारित होती है, और इसलिए एक दृढ़ और निश्चित सिद्धांत, एक "सीमा" है। यदि सुंदरता से प्लेटो आनंद और तर्कसंगतता के संश्लेषण को समझता है, अर्थात मानो अंदरसमरूपता की आनुपातिकता, तो वह स्पष्ट रूप से बाद की यूरोपीय शिक्षाओं को सुंदरता में आनंद और बुद्धि के संयोजन के बारे में बताता है, जो बाद में बहुत व्यापक थे। सच्ची अवधारणासुंदरता में हमेशा न केवल आनंद शामिल होता है, बल्कि एक उचित विचारधारा भी शामिल होती है। प्लेटो का समरूपता का सिद्धांत इतना भोला और सामान्य नहीं निकला; कुछ हद तक, यह वास्तविक सौंदर्य वास्तविकता और इसकी वास्तविक धारणा दोनों को दर्शाता है।

बी) हम इस तथ्य से आगे बढ़े कि प्लेटो द्वारा सौंदर्य और किसी भी अन्य शब्दावली को धीरे-धीरे विकसित किया गया था, कभी-कभी बहुत प्रयास के साथ, और अक्सर अस्पष्ट और जटिल रूप लेते थे। हालांकि, फिलबस की कुछ सामग्रियों के आधार पर प्लेटो के सौंदर्यशास्त्र का अध्ययन करना असंभव है। अन्य संवादों में "समरूपता" शब्द के प्रयोग पर ध्यान देना आवश्यक है।

उदाहरण के लिए, कानूनों में निम्नलिखित (लेग।, II 668 ए) दिलचस्प है: सत्य और कुछ नहीं।" इस मामले में, "समरूपता" का अर्थ पहले से ही "सत्य" है, ताकि कम से कम इस बिंदु पर हम फिलेबस में "समरूपता" के स्थान के बारे में अपने अनुमान में सही थे। "फिलबस" "कानून" (लेग।, VI 773 ए) में निर्णय को जोड़ता है: "सद्गुण के संबंध में समान और आनुपातिक अत्यधिक (एक्रेटॉय) से असीम रूप से अधिक है"। इन उदाहरणों से यह भी पता चलता है कि प्लेटो ने अपनी "समरूपता" को बिना कारण नहीं रखा था सामान्य क्षेत्र, सीमा और अनंत के रचनात्मक मिश्रण के क्षेत्र के रूप में। ये दो ग्रंथ बहुत कमजोर रूप से जोर देते हैं संरचनात्मक पक्षसमरूपता, ताकि यहाँ "आनुपातिकता" को व्यापक अर्थों में समझा जा सके। जैसे "सत्य" और "सौंदर्य" में किसी प्रकार का पत्राचार होता है (अर्थात, सीमा और अनंत का पारस्परिक पत्राचार), समरूपता वही पत्राचार है।

हम संरचनात्मक समरूपता के बारे में पढ़ते हैं: "पोसीडॉन का मंदिर स्वयं एक चरण लंबा था, चौड़ाई में तीन बहुतायत और अनुपात में (समरूपता) दिखने में ऊंचाई में" (क्रिटियास, 116 डी)। यहाँ समरूपता का क्या अर्थ है यह हमारे लिए स्पष्ट नहीं है। लेकिन यह स्पष्ट है कि किसी प्रकार का संरचनात्मक पत्राचार होता है। द सोफिस्ट में संरचना के उसी तरह के सिद्धांत का सामना किया जा सकता है, जो परिप्रेक्ष्य के कारण बनने वाली वस्तुओं के विरूपण की बात करता है:

"यदि वे [कलाकार] सुंदर वस्तुओं की एक सच्ची समरूपता बनाते हैं, तो आप जानते हैं कि उच्चतर नीचे वाले की तुलना में छोटा लगता है, और निचला वाला - अधिक, इस तथ्य के कारण कि पूर्व हमें दूर से दिखाई देते हैं, और उत्तरार्द्ध बंद ... ऐसी परिस्थितियों में, सच्चाई वाले कलाकार, जब वे चित्र देते हैं तो वे वास्तव में सुंदर "आयाम" (टास ओयस सिमेट्रियास) नहीं सजाते हैं, लेकिन ऐसा प्रतीत होता है ”(सोफ।, 235 ई - 236 ए)। यहां "समरूपता" केवल संरचनात्मकता पर संकेत देती है, लेकिन वास्तव में इसका अर्थ है (जैसा कि इसका अनुवाद किया गया है) ठीक "आयाम" या (यदि हम इस शब्द के उपसर्ग का अनुवाद भी करते हैं) "आयामों का एक सेट।"

यहां एक पाठ है जो लंबाई की इकाइयों की संरचना को संदर्भित करता है, लेकिन इन लंबाई के किसी भी संरचनात्मक संबंध के बिना: "बराबर होने के नाते, यह समान उपायों का होगा [अर्थात। ई। "माप की इकाइयों की एक ही संख्या से"], यह किसके बराबर होगा ... यदि यह आनुपातिक (xymmetron) से अधिक या कम है, तो छोटे के संबंध में इसका अधिक होगा पैमाने [ बड़ा आकार], और बड़े के संबंध में इसके उपाय कम होंगे [ छोटे आकार का]... यह जो अतुलनीय है (me symmetron) के साथ, उसके संबंध में एक बार छोटे उपाय होंगे, दूसरी बार बड़े होंगे ”(Parm।, 140 b)। "समरूपता" से, स्पष्ट रूप से, यहाँ हमारा तात्पर्य केवल गणितीय अनुरूपता से है, अर्थात, खोजने की संभावना एकल उपायमाप।

ग) शब्द "समरूपता" को चिह्नित करने के लिए है महत्त्वप्लेटो के संवाद "थियेटेटस" (147d-148a) से पाठ। यह ग्रंथ विशुद्ध रूप से भाषाविज्ञान की दृष्टि से काफी कठिनाइयां प्रस्तुत करता है। इसका विचार इस तथ्य पर उबलता है कि प्लेटो समरूपता आयतों का अध्ययन करते समय सामने लाता है, जहां पक्षों को एक निश्चित द्वारा मापा जाता है परिमेय संख्या, जबकि विकर्ण अपरिमेय हैं। इस तरह के प्रत्येक आयत के पक्ष और विकर्ण का संबंध एक विशेष प्रकार की समरूपता बनाता है, जिसके आधार पर, जैसा कि वास्तुकला के आधुनिक सिद्धांतकारों द्वारा अध्ययन किया गया, प्राचीन आचार्यों ने शास्त्रीय काल के मंदिर भवनों का निर्माण किया।

थियेटेटस से समरूपता के बारे में तर्क आधुनिक कला इतिहास साहित्य में भी अनुत्तरित नहीं था। अर्थात्, डी. हैम्बिज ने वास्तुकला में गतिशील समरूपता के अपने सिद्धांत में प्लेटो के थियेटेटस में इसी स्थान को संदर्भित किया है, हालांकि वह इसे एक विशेष विश्लेषण के अधीन नहीं करता है। यह बड़ी मात्रा में कला इतिहास और प्राकृतिक विज्ञान सामग्री पर आधारित है और, वैसे, पार्थेनन (साथ ही अन्य ग्रीक मंदिरों) के सभी मुख्य वास्तुशिल्प तत्वों के विश्लेषण पर आधारित है। यदि हम "थियेटेटस" की शब्दावली को ध्यान में रखते हैं, तो इस लेखक द्वारा "गतिशील" के रूप में माना जाने वाला समरूपता का नाम बहुत सफल माना जाना चाहिए।

थियेटेटस में समरूपता के बारे में तर्क अपने सार में फिलेबस से आगे नहीं जाता है, लेकिन केवल इसे ठोस बनाता है। में "सीमा" और "असीमित" का मिलन कलात्मक छविके माध्यम से थियेटेटस में हासिल किया ज्यामितीय निर्माण. संवाद "थियेटेटस" में ज्यामिति यहाँ उन लोगों के लिए कार्य करती है जो शारीरिक और व्यावहारिक शुरुआतजिसकी सहायता से प्लेटो अपनी अमूर्त रचनाएँ करता है। ज्यामिति की सहायता से प्लेटो अनुवाद करने का प्रयास करता है वैज्ञानिक भाषाप्राचीन का अभ्यास दृश्य कला(इस मामले में वास्तुकला)।

समरूपता की अवधारणा में, प्लेटो का पश्चिमी यूरोपीय सौंदर्यशास्त्र में सामान्य समझ से काफी महत्वपूर्ण विचलन है। प्लेटो में इस अवधारणा की बहुत बड़ी मात्रा के कारण यह विसंगति सबसे अधिक ध्यान देने योग्य है। अब वे समरूपता का प्रतिनिधित्व करते हैं, मुख्य रूप से एक निश्चित केंद्र या अक्ष के आसपास स्थित परस्पर समकक्ष भागों की उपस्थिति के रूप में। प्लेटो की समरूपता की अवधारणा को "केंद्र" या "अक्ष" की बहुत व्यापक समझ के साथ परस्पर समकक्ष भागों की उपस्थिति में कम कर दिया गया था। यहां न केवल संख्यात्मक और ज्यामितीय संबंधों पर विचार किया जाता है, बल्कि सामान्य रूप से जीवन और जीवन के किसी भी क्षेत्र के संबंध भी होते हैं।

सबसे अधिक, निश्चित रूप से, आत्मा और ब्रह्मांड के संबंध में प्लेटो में "समरूपता" की कल्पना की जाती है (अन्य सभी सौंदर्य रूपों की तरह)। जैसा कि हम देखेंगे, यह पहले से ही सभी की विशेषता है। प्राथमिक आंकड़े, जिनमें से प्लेटो ब्रह्मांड का निर्माण करता है (टिम।, 69 बी), लेकिन विशेष रूप से यह जीवित शरीर और आत्मा पर और आत्मा और शरीर के संबंध में तय होता है (टिम।, 87 एस)। यह कहा जा सकता है कि समरूपता का यहाँ वही व्यापक अर्थ है जो पूर्व-सुकराती सौंदर्यशास्त्र में है, लेकिन केवल इसमें रचनात्मक क्षण, पूर्व-सुकराती द्वारा दुनिया के ब्रह्माण्ड संबंधी और भौतिक प्रतिनिधित्व में पूरी तरह से भंग कर दिया गया।

महान परिभाषा

अधूरी परिभाषा

संकल्पना समरूपतामानव इतिहास के माध्यम से चलता है। यह पहले से ही मानव ज्ञान के मूल में पाया जाता है। यह एक जीवित जीव, अर्थात् मनुष्य के अध्ययन के संबंध में उत्पन्न हुआ। और इसका उपयोग मूर्तिकारों द्वारा 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में किया गया था। शब्द " समरूपता "ग्रीक, इसका मतलब है" आनुपातिकता, आनुपातिकता, भागों की व्यवस्था में समानता”.

यह बिना किसी अपवाद के सभी दिशाओं द्वारा व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। आधुनिक विज्ञान. जर्मन गणितज्ञ हरमन वेइलाकहा: " समरूपता वह विचार है जिसके माध्यम से मनुष्य ने सदियों से व्यवस्था, सौंदर्य और पूर्णता को समझने और बनाने की कोशिश की है।". इसकी गतिविधि बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्ध में आती है। यह वह था जिसने समरूपता की परिभाषा तैयार की, जो किसी विशेष मामले में उपस्थिति या इसके विपरीत, समरूपता की अनुपस्थिति को देखने के लिए किन संकेतों द्वारा स्थापित की गई थी। इस प्रकार, गणितीय रूप से कठोर प्रतिनिधित्व अपेक्षाकृत हाल ही में - 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में बनाया गया था।

1.1. अक्षीय समरूपता

दो बिंदु A और A1 रेखा a के संबंध में सममित कहलाते हैं यदि यह रेखा खंड AA1 के मध्य से होकर गुजरती है और इसके लंबवत है (चित्र 2.1)। रेखा के प्रत्येक बिंदु को अपने आप में सममित माना जाता है।

एक आकृति को रेखा a के सन्दर्भ में सममित कहा जाता है, यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए रेखा के संबंध में सममित बिंदु भी इसी आकृति से संबंधित है (चित्र 2.2)।

रेखा a को आकृति की सममिति की धुरी कहा जाता है।


यह भी कहा जाता है कि आकृति में अक्षीय समरूपता है।

अक्षीय समरूपता कोण के रूप में इस तरह के ज्यामितीय आंकड़ों के पास होती है, समद्विबाहु त्रिकोण, आयत, समचतुर्भुज (चित्र 2.3)।

एक आकृति में सममिति के एक से अधिक अक्ष हो सकते हैं। एक आयत में दो, एक वर्ग में चार, और समान भुजाओं वाला त्रिकोण- तीन, वृत्त पर - इसके केंद्र से गुजरने वाली कोई भी सीधी रेखा।

यदि आप वर्णमाला के अक्षरों (चित्र 2.4) को करीब से देखते हैं, तो उनमें से आप उन लोगों को पा सकते हैं जिनमें क्षैतिज या लंबवत होते हैं, और कभी-कभी समरूपता के दोनों अक्ष होते हैं। समरूपता की कुल्हाड़ियों वाली वस्तुएं चेतन और निर्जीव प्रकृति में काफी सामान्य हैं।

ऐसे आंकड़े हैं जिनमें समरूपता की कोई धुरी नहीं है। इस तरह के आंकड़ों में एक आयत के अलावा एक समांतर चतुर्भुज, एक स्केलीन त्रिभुज शामिल होता है।

अपनी गतिविधि में, एक व्यक्ति कई वस्तुओं (गहने सहित) बनाता है जिसमें समरूपता के कई अक्ष होते हैं।

1.2 केंद्रीय समरूपता

दो बिंदु A और A1 बिंदु O के संबंध में सममित कहलाते हैं यदि O खंड AA1 का मध्य बिंदु है। बिंदु O को अपने आप में सममित माना जाता है (चित्र 2.5)।

एक आकृति बिंदु O के सापेक्ष सममिति कहलाती है यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए बिंदु O के संबंध में सममित बिंदु भी इसी आकृति से संबंधित है।

केंद्रीय सममिति वाली सरलतम आकृतियाँ वृत्त और समांतर चतुर्भुज हैं (चित्र 2.6)।

बिंदु O को आकृति की सममिति का केंद्र कहा जाता है। पर इसी तरह के मामलेआकृति में केंद्रीय समरूपता है। एक वृत्त की सममिति का केंद्र वृत्त का केंद्र होता है, और समांतर चतुर्भुज की सममिति का केंद्र उसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

एक सीधी रेखा में केंद्रीय समरूपता भी होती है, लेकिन एक वृत्त और एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत, जिसमें सममिति का केवल एक केंद्र होता है, एक सीधी रेखा की अनंत संख्या होती है - एक सीधी रेखा पर कोई भी बिंदु इसकी सममिति का केंद्र होता है। एक ऐसी आकृति का उदाहरण जिसमें सममिति का केंद्र नहीं है, एक त्रिभुज है।

1.3. घूर्णी समरूपता

मान लीजिए कि 360 ° / n (या इस मान का एक गुणक) के बराबर कोण से किसी अक्ष के चारों ओर घूमने पर वस्तु स्वयं के साथ संरेखित होती है, जहाँ n \u003d 2, 3, 4, ... इस मामले में, घूर्णी के बारे में समरूपता, और संकेतित अक्ष को nवें क्रम का घूर्णी अक्ष कहा जाता है।

सभी के साथ उदाहरणों पर विचार करें प्रसिद्ध पत्र « और" और " एफ". पत्र के लिए " और”, तो इसमें तथाकथित घूर्णी समरूपता है। यदि आप पत्र को चालू करते हैं " और» 180 ° अक्षर के तल के लंबवत अक्ष के चारों ओर और उसके केंद्र से गुजरते हुए, फिर अक्षर अपने आप में संरेखित हो जाएगा।

दूसरे शब्दों में, पत्र और» 180° रोटेशन के संबंध में सममित है। ध्यान दें कि पत्र " एफ».

चित्र 2.7. अलग-अलग क्रम की रोटरी कुल्हाड़ियों वाली साधारण वस्तुओं के उदाहरण दिए गए हैं - 2 से 5 तक।