Kursus video "Dapatkan A" mencakup semua topik yang Anda perlukan pengiriman sukses GUNAKAN dalam matematika untuk 60-65 poin. Sepenuhnya semua tugas 1-13 ujian profil matematika. Juga cocok untuk lulus PENGGUNAAN Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus ujian dengan 90-100 poin, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!
Kursus persiapan untuk ujian untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan bagian 1 ujian matematika (12 soal pertama) dan soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa seratus poin maupun seorang humanis tidak dapat melakukannya tanpa mereka.
Semua teori yang diperlukan. Cara Cepat solusi, jebakan dan GUNAKAN rahasia. Semua tugas yang relevan bagian 1 dari tugas Bank FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya sesuai dengan persyaratan USE-2018.
Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.
Ratusan tugas ujian. Tugas teks dan teori probabilitas. Algoritma pemecahan masalah yang sederhana dan mudah diingat. Geometri. Teori, materi referensi, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal - ke tugas 13. Memahami alih-alih menjejalkan. Penjelasan visual konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunan. Dasar untuk solusi tugas yang menantang 2 bagian ujian.
Dalil
Jika lurus, tidak milik pesawat, sejajar dengan beberapa garis di bidang ini, maka itu juga sejajar dengan bidang itu sendiri.
Bukti
Misalkan suatu bidang, a garis yang tidak terletak di dalamnya, dan a1 garis pada bidang yang sejajar dengan garis a. Mari kita menggambar bidang 1 melalui garis a dan a1. Bidang dan 1 berpotongan sepanjang garis a1. Jika garis a memotong bidang , maka titik potongnya adalah garis a1. Tetapi ini tidak mungkin, karena garis a dan a1 sejajar. Oleh karena itu, garis a tidak memotong bidang , dan karenanya sejajar dengan bidang . Teorema telah terbukti.
18. pesawat
Jika dua bidang sejajar berpotongan dengan bidang ketiga, maka garis-garis perpotongannya sejajar.(Gbr. 333).
Memang, menurut definisi Garis sejajar adalah garis yang terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan. Garis kami terletak pada bidang yang sama - bidang garis potong. Mereka tidak berpotongan, karena bidang paralel yang memuatnya tidak berpotongan.
Jadi garisnya sejajar, itulah yang ingin kami buktikan.
Properti
Jika bidang sejajar dengan masing-masing dua garis berpotongan yang terletak di bidang lainnya, maka bidang-bidang ini sejajar
Jika dua bidang sejajar dipotong oleh sepertiga, maka garis perpotongannya sejajar
Melalui suatu titik di luar bidang tertentu, dimungkinkan untuk menggambar bidang yang sejajar dengan bidang tertentu, dan terlebih lagi, hanya satu
Ruas-ruas garis sejajar yang dibatasi oleh dua bidang sejajar adalah sama besar
Dua sudut dengan masing-masing sisi sejajar dan berarah sama adalah sama besar dan terletak pada bidang sejajar
19.
Jika dua garis terletak pada bidang yang sama, sudut di antara keduanya mudah diukur - misalnya, menggunakan busur derajat. Dan bagaimana mengukur sudut antara garis dan bidang?
Biarkan garis memotong bidang, dan tidak pada sudut kanan, tetapi pada sudut lain. Garis seperti itu disebut miring.
Mari kita jatuhkan tegak lurus dari beberapa titik yang condong ke bidang kita. Hubungkan alas tegak lurus ke titik perpotongan bidang miring dan bidang. Kita punya proyeksi bidang miring.
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang tertentu..
Harap dicatat - kami memilih sudut lancip sebagai sudut antara garis dan bidang.
Jika sebuah garis sejajar dengan bidang, maka besar sudut antara garis dan bidang adalah nol.
Jika sebuah garis tegak lurus terhadap sebuah bidang, proyeksinya pada bidang tersebut adalah sebuah titik. Jelas, dalam hal ini sudut antara garis dan bidang adalah 90°.
Suatu garis tegak lurus terhadap suatu bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap sembarang garis pada bidang tersebut..
Ini adalah definisi. Tapi bagaimana cara bekerja dengannya? Bagaimana cara memeriksa bahwa garis yang diberikan tegak lurus terhadap semua garis yang terletak di pesawat? Lagipula, jumlahnya tak terbatas.
Dalam praktiknya, itu diterapkan tanda tegak lurus garis dan bidang:
Sebuah garis tegak lurus terhadap sebuah bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada bidang tersebut.
21. Sudut dihedral- spasial sosok geometris, dibentuk oleh dua setengah bidang yang berasal dari satu garis lurus, serta bagian dari ruang yang dibatasi oleh setengah bidang ini.
Dua bidang dikatakan tegak lurus jika sudut dihedral antara keduanya adalah 90 derajat.
Jika sebuah bidang melewati garis yang tegak lurus terhadap bidang lain, maka bidang-bidang tersebut tegak lurus.
Jika dari titik milik salah satu dari keduanya bidang tegak lurus, menggambar tegak lurus terhadap bidang lain, maka tegak lurus ini terletak sepenuhnya di bidang pertama.
Jika di salah satu dari dua bidang tegak lurus kita menggambar tegak lurus terhadap garis perpotongannya, maka tegak lurus ini akan tegak lurus terhadap bidang kedua.
Dua bidang yang berpotongan membentuk empat sudut dihedral dengan sisi yang sama: berpasangan sudut vertikal sama besar dan jumlah dua sudut yang berdekatan adalah 180°. Jika salah satu dari empat sudut siku-siku, maka tiga lainnya juga sama besar dan siku-siku. Dua bidang disebut tegak lurus jika sudut di antara keduanya siku-siku.
Dalil. Jika sebuah bidang melewati garis yang tegak lurus terhadap bidang lain, maka bidang-bidang tersebut tegak lurus.
Membiarkan dan menjadi dua bidang sedemikian rupa sehingga melewati garis AB, tegak lurus dan berpotongan dengan itu di titik A (Gbr. 49). Mari kita buktikan bahwa _|_ . Bidang-bidang tersebut berpotongan di sepanjang beberapa garis AC, dan AB _|_ AC, karena AB _|_ . Mari kita menggambar garis AD pada bidang yang tegak lurus dengan garis AC.
Maka sudut BAD adalah sudut linier sudut dihedral, berpendidikan dan . Tetapi< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.
22. Sebuah polihedron adalah tubuh yang permukaannya terdiri dari sejumlah terbatas poligon datar.
1. salah satu poligon yang membentuk polihedron, Anda dapat mencapai salah satu dari mereka dengan pergi ke salah satu yang berdekatan, dan dari ini, pada gilirannya, ke yang berdekatan, dll.
Poligon ini disebut wajah, sisi mereka - Tulang iga, dan simpulnya adalah puncak polihedron. Contoh polihedra yang paling sederhana adalah polihedral cembung, yaitu, batas dari subset terbatas dari ruang Euclidean, yang merupakan perpotongan dari sejumlah setengah ruang yang terbatas.
Definisi polihedron di atas memiliki arti yang berbeda tergantung pada bagaimana poligon didefinisikan, di mana dua opsi berikut dimungkinkan:
Garis putus-putus tertutup yang datar (bahkan jika mereka berpotongan sendiri);
Bagian bidang yang dibatasi oleh garis putus-putus.
Dalam kasus pertama, kita mendapatkan konsep polihedron bintang. Yang kedua, polihedron adalah permukaan yang terdiri dari potongan poligonal. Jika permukaan ini tidak berpotongan dengan dirinya sendiri, maka itu adalah permukaan penuh dari beberapa benda geometris, yang juga disebut polihedron. Oleh karena itu definisi ketiga dari polihedron muncul, sebagai benda geometris itu sendiri.
prisma lurus
Prisma disebut lurus jika rusuk samping tegak lurus dengan basis.
Prisma disebut miring jika sisi-sisinya tidak tegak lurus dengan alasnya.
Sebuah prisma lurus memiliki permukaan yang berbentuk persegi panjang.
Prisma disebut benar jika alasnya adalah poligon beraturan.
Luas permukaan lateral prisma disebut jumlah luas sisi-sisinya.
Permukaan penuh prisma sama dengan jumlah permukaan lateral dan luas alasnya
Elemen prisma:
Poin - disebut simpul
Segmen disebut tepi lateral
Poligon dan - disebut basa. Pesawat itu sendiri juga disebut pangkalan.
24. Paralepiped(dari bahasa Yunani - paralel dan Yunani - bidang) - prisma, yang dasarnya adalah jajaran genjang, atau (setara) polihedron, yang memiliki enam wajah dan masing-masing adalah jajaran genjang.
Paralelepiped simetris terhadap titik tengah diagonalnya.
Setiap segmen dengan ujung yang termasuk dalam permukaan paralelepiped dan melewati tengah diagonalnya dibagi menjadi dua; khususnya, semua diagonal dari parallelepiped berpotongan pada satu titik dan membagi dua itu.
Wajah yang berlawanan dari parallelepiped sejajar dan sama.
Persegi panjang diagonal berbentuk kubus sama dengan jumlah kuadrat tiga dimensinya.
Luas permukaan balok sama dengan dua kali jumlah luas dari tiga wajah paralelepiped ini:
| 1. | S= 2(S a+sb+S c)= 2(ab+SM+ac) |
25 .Piramida dan elemennya
Pertimbangkan sebuah pesawat , poligon terletak di dalamnya dan titik S tidak terletak di dalamnya. Hubungkan S ke semua simpul poligon. Polihedron yang dihasilkan disebut piramida. Segmen disebut tepi lateral. 
Poligon disebut alas, dan titik S disebut puncak piramida. Tergantung pada jumlah n, piramida disebut segitiga (n=3), segi empat (n=4), pentagonal (n=5) dan seterusnya. Judul alternatif piramida segitiga – segi empat. Tinggi piramida adalah tegak lurus yang ditarik dari puncaknya ke bidang dasar. 
Piramida disebut benar jika poligon beraturan, dan alas tinggi piramida (alas tegak lurus) adalah pusatnya.
Program ini dirancang untuk menghitung luas permukaan lateral piramida yang benar.
Piramida adalah polihedron dengan alas dalam bentuk poligon, dan wajah yang tersisa adalah segitiga dengan simpul yang sama. 
Rumus untuk menghitung luas permukaan lateral piramida beraturan adalah:
di mana p adalah keliling alas (poligon ABCDE),
a - apotema (OS);
Apotema adalah ketinggian sisi sisi piramida biasa, yang ditarik dari puncaknya.
Untuk mencari luas permukaan lateral piramida biasa, masukkan nilai keliling dan apotema piramida, lalu klik tombol "HITUNG". Program akan menentukan luas permukaan lateral piramida biasa, yang nilainya dapat berupa ditempatkan pada papan klip.
Piramida terpotong
| Piramida terpotong adalah bagian piramida lengkap tertutup antara alas dan bagian yang sejajar dengannya. | |
| Penampang melintang disebut dasar atas piramida terpotong, dan dasar piramida penuh adalah dasar bawah piramida terpotong. (Dasarnya mirip.) Wajah samping piramida terpotong - trapesium. Dalam piramida terpotong 3 n tulang rusuk, 2 n puncak, n+ 2 wajah, n(n- 3) diagonal. Jarak antara pangkalan atas dan bawah adalah ketinggian piramida terpotong (segmen terputus dari ketinggian piramida penuh). |  |
| Kotak permukaan penuh piramida terpotong sama dengan jumlah luas permukaannya. | |
| Volume piramida terpotong ( S dan s- daerah dasar, H- tinggi) |  |
Tubuh rotasi disebut benda yang terbentuk sebagai akibat dari perputaran suatu garis mengelilingi suatu garis lurus.
Sebuah silinder melingkar siku-siku dimasukkan ke dalam sebuah bola jika lingkaran alasnya terletak pada bola. Basis silinder adalah lingkaran kecil bola, pusat bola bertepatan dengan tengah sumbu silinder. [ 2 ]
Sebuah silinder melingkar siku-siku dimasukkan ke dalam sebuah bola jika lingkaran alasnya terletak pada bola. Jelas, pusat bola tidak terletak di tengah sumbu silinder. [ 3 ]
Volume silinder apa pun sama dengan produk luas dasar ke tinggi:
| 1. | V=π r 2 h |
Area penuh permukaan silinder sama dengan jumlah permukaan lateral silinder dan persegi ganda dasar silinder.
Rumus untuk menghitung luas permukaan total silinder adalah:
27. Sebuah kerucut bulat dapat diperoleh dengan rotasi segitiga siku-siku mengelilingi salah satu kakinya, sehingga kerucut bulat disebut juga kerucut revolusi. Lihat juga Volume kerucut bulat
Luas permukaan total kerucut lingkaran sama dengan jumlah luas permukaan lateral kerucut dan alasnya. Alas kerucut adalah lingkaran dan luasnya dihitung menggunakan rumus luas lingkaran:
| 2. | S=π rl+π r 2= r(r+aku) |
28. frustrasi diperoleh dengan menggambar bagian yang sejajar dengan alas kerucut. Badan yang dibatasi oleh bagian ini, alas dan permukaan samping kerucut disebut kerucut terpotong. Lihat juga Volume kerucut yang terpotong
Total luas permukaan kerucut terpotong sama dengan jumlah luas permukaan lateral kerucut terpotong dan alasnya. Basis kerucut terpotong adalah lingkaran dan luasnya dihitung menggunakan rumus luas lingkaran: S= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)aku+ r 2 2)
29. Bola - tubuh geometris dibatasi oleh permukaan yang semua titiknya berada di jarak yang sama dari pusat. Jarak ini disebut jari-jari bola.
Bola(Yunani - bola) - permukaan tertutup, tempat geometris titik-titik dalam ruang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat bola. Bola adalah kasus khusus dari ellipsoid, di mana ketiga sumbu (setengah sumbu, jari-jari) adalah sama. Bola adalah permukaan bola.
Luas permukaan bola segmen bola (sektor bola) dan lapisan bola hanya bergantung pada tinggi dan jari-jari bola dan sama dengan keliling lingkaran besar bola, dikalikan dengan tinggi
Volume bola sama dengan volume piramida, yang alasnya memiliki luas yang sama dengan permukaan bola, dan tingginya adalah jari-jari bola
Volume bola adalah satu setengah kali lebih kecil dari volume silinder yang mengelilinginya.
elemen bola
Segmen Bola Bidang pemotongan membagi bola menjadi dua segmen bola. H- tinggi segmen, 0< H < 2 R,
r- radius basis segmen,  Volume segmen bola  Luas permukaan bola dari segmen bola |  |
| Lapisan Bola Lapisan bola adalah bagian dari bola yang tertutup di antara dua bagian yang sejajar. Jarak ( H) antar bagian disebut tinggi lapisan, dan bagian itu sendiri - dasar lapisan. luas permukaan bola ( volume) dari lapisan bola dapat ditemukan sebagai perbedaan di daerah permukaan bola(volume) segmen bola. |  |
1. Mengalikan vektor dengan angka(Gbr. 56).
produk vektor TETAPI per nomor λ disebut vektor PADA, yang modulusnya sama dengan produk dari modulus vektor TETAPI per nomor modulo λ :
Arahnya tidak berubah jika λ > 0 ; berubah menjadi sebaliknya jika λ < 0 . Jika sebuah = 1, maka vektor
disebut vektor, vektor berlawanan TETAPI, dan dilambangkan
2. Penambahan vektor. Untuk mencari jumlah dua vektor TETAPI dan PADA vektor
Kemudian jumlahnya akan menjadi vektor, yang awalnya bertepatan dengan awal yang pertama, dan akhir - dengan akhir yang kedua. Aturan penjumlahan vektor ini disebut "aturan segitiga" (Gbr. 57). perlu untuk menggambarkan vektor summand sehingga awal vektor kedua bertepatan dengan akhir yang pertama.
Sangat mudah untuk membuktikan bahwa untuk vektor "jumlahnya tidak berubah dari perubahan tempat istilah."
Mari kita tunjukkan satu aturan lagi untuk menambahkan vektor - "aturan jajaran genjang". Jika kita menggabungkan awal vektor summand dan membangun jajaran genjang di atasnya, maka jumlah tersebut akan menjadi vektor yang bertepatan dengan diagonal jajaran genjang ini (Gbr. 58).
Jelas bahwa penambahan menurut "aturan jajar genjang" mengarah ke hasil yang sama seperti menurut "aturan segitiga".
"Aturan segitiga" mudah untuk digeneralisasi (untuk kasus beberapa istilah). Untuk menemukan jumlah vektor
Penting untuk menggabungkan awal vektor kedua dengan akhir yang pertama, awal dari yang ketiga - dengan akhir yang kedua, dll. Kemudian awal dari vektor DARI bertepatan dengan awal yang pertama, dan akhir DARI- dengan ujung yang terakhir (Gbr. 59).
3. Pengurangan vektor. Operasi pengurangan direduksi menjadi dua operasi sebelumnya: selisih dua vektor adalah jumlah dari yang pertama dengan vektor yang berlawanan dengan yang kedua:
Anda juga dapat merumuskan "aturan segitiga" untuk mengurangkan vektor: perlu untuk menggabungkan awal vektor TETAPI dan PADA, maka selisihnya adalah vektornya
Digambar dari ujung vektor PADA menuju akhir vektor TETAPI(Gbr. 60).
Berikut ini, kita akan berbicara tentang vektor perpindahan poin materi, yaitu vektor yang menghubungkan posisi awal dan akhir titik tersebut. Setuju bahwa aturan aksi yang diperkenalkan pada vektor cukup jelas untuk vektor perpindahan.
4. Hasilkali titik dari vektor. hasil produk titik dua vektor TETAPI dan PADA adalah angka c sama dengan produk modul vektor dan kosinus sudut α di antara
Produk skalar vektor sangat banyak digunakan dalam fisika. Di masa depan, kita akan sering harus berurusan dengan operasi seperti itu.
Artikel ini membahas konsep paralelisme garis lurus dan bidang. Definisi utama akan dipertimbangkan dan contoh akan diberikan. Pertimbangkan tanda paralelisme garis lurus ke bidang dengan kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme, kami akan menyelesaikan contoh tugas secara rinci.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisi 1
Garis dan bidang disebut paralel jika mereka tidak memiliki poin umum, yaitu, mereka tidak berpotongan.
Paralelisme ditunjukkan oleh "∥". Jika pada tugas dengan kondisi garis a dan bidang sejajar, maka notasinya adalah . Perhatikan gambar di bawah ini.
Dipercaya bahwa garis a, sejajar dengan bidang dan bidang , sejajar dengan garis a, adalah setara, yaitu, garis dan bidang sejajar satu sama lain dalam hal apa pun.
Paralelisme garis lurus dan bidang - tanda dan kondisi paralelisme
Tidak selalu jelas bahwa garis dan bidang sejajar. Seringkali ini perlu dibuktikan. Diperlukan untuk digunakan kondisi cukup, yang akan menjamin paralelisme. Tanda seperti ini disebut sebagai tanda keparalelan garis dan bidang, disarankan untuk mempelajari definisi garis sejajar terlebih dahulu.
Teorema 1
Jika suatu garis a, yang tidak terletak pada bidang , sejajar dengan garis b yang termasuk bidang , maka garis a sejajar dengan bidang .
Pertimbangkan teorema yang digunakan untuk menetapkan paralelisme garis lurus dengan bidang.
Teorema 2
Jika salah satu dari dua garis sejajar sejajar dengan bidang, maka garis lainnya terletak pada atau sejajar dengan bidang itu.
Bukti terperinci dipertimbangkan dalam buku teks kelas 10 - 11 tentang geometri. Kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis lurus dengan bidang dimungkinkan jika ada definisi vektor pengarah garis lurus dan vektor normal bidang.
Teorema 3
Untuk paralelisme garis a, yang bukan milik bidang , dan bidang yang diberikan, kondisi yang diperlukan dan cukup adalah tegak lurus dari vektor pengarah ke garis dengan vektor normal diberikan pesawat.
Kondisi ini berlaku ketika perlu untuk membuktikan paralelisme dalam sistem persegi panjang koordinat ruang tiga dimensi. Mari kita lihat bukti detailnya.
Bukti
Misalkan garis a dalam sistem koordinat O x y diberikan oleh persamaan kanonik garis dalam ruang, yang berbentuk x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z atau persamaan parametrik garis dalam ruang x = x 1 + a x y = y 1 + a y z = z 1 + a z , bidang dengan persamaan umum bidang A x + B y + C z + D = 0 .
Oleh karena itu a → = (a x, a y, a z) adalah vektor pengarah dengan koordinat garis lurus a, n → = (A, B, C) adalah vektor normal dari bidang alfa yang diberikan.
Untuk membuktikan tegak lurus dari n → = (A , B , C) dan a → = (a x , a y , a z) , Anda perlu menggunakan konsep perkalian titik. Artinya, dengan produk a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C, hasilnya harus sama dengan nol dari kondisi tegak lurus vektor.
Ini berarti bahwa kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis dan bidang ditulis sebagai berikut: a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C . Oleh karena itu a → = (a x , a y , a z) adalah vektor arah garis a dengan koordinat, dan n → = (A , B , C) adalah vektor normal bidang .
Contoh 1
Tentukan apakah garis x = 1 + 2 y = - 2 + 3 z = 2 - 4 sejajar dengan bidang x + 6 y + 5 z + 4 = 0 .
Larutan
Kami mendapatkan bahwa garis yang disediakan bukan milik pesawat, karena koordinat garis M (1 , - 2 , 2) tidak cocok. Saat mensubstitusi, kita mendapatkan bahwa 1 + 6 (- 2) + 5 2 + 4 = 0 3 = 0 .
Hal ini diperlukan untuk memeriksa kelayakan kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis lurus dan bidang. Didapatkan bahwa koordinat vektor pengarah garis x = 1 + 2 y = - 2 + 3 z = 2 - 4 memiliki nilai a → = (2 , 3 , - 4) .
Vektor normal untuk bidang x + 6 y + 5 z + 4 = 0 adalah n → = (1 , 6 , 5) . Mari kita lanjutkan ke perhitungan produk skalar dari vektor a → dan n → . Kami mendapatkan bahwa a → , n → = 2 1 + 3 6 + (- 4) 5 = 0 .
Oleh karena itu, tegak lurus dari vektor a → dan n → jelas. Sehingga garis dan bidang sejajar.
Menjawab: garis dan bidang sejajar.
Contoh 2
Tentukan paralelisme garis A B pada bidang koordinat O y z ketika koordinat diberikan A (2, 3, 0 ), B (4, - 1, - 7 ).
Larutan
Dengan syarat tersebut dapat diketahui bahwa titik A (2, 3, 0) tidak terletak pada sumbu O x, karena nilai x tidak sama dengan 0.
Untuk bidang O x z, vektor dengan koordinat i → = (1 , 0 , 0) dianggap sebagai vektor normal dari bidang ini. Nyatakan vektor arah garis lurus A B sebagai A B → . Sekarang, dengan menggunakan koordinat awal dan akhir, kita menghitung koordinat vektor A B . Kami mendapatkan bahwa A B → = (2 , - 4 , - 7 ). Hal ini diperlukan untuk memeriksa kelayakan kondisi perlu dan cukup untuk vektor A B → = (2 , - 4 , - 7) dan i → = (1 , 0 , 0) untuk menentukan tegak lurusnya.
Mari kita tulis A B → , i → = 2 1 + (- 4) 0 + (- 7) 0 = 2 0 .
Dari sini dapat disimpulkan bahwa garis A B c bidang koordinat O y z tidak sejajar.
Menjawab: tidak paralel.
Tidak selalu kondisi yang ditentukan berkontribusi definisi mudah bukti kesejajaran garis dan bidang. Perlu dicek apakah garis a termasuk bidang . Ada satu syarat lagi yang cukup untuk membuktikan paralelisme.
Untuk garis lurus yang diberikan a menggunakan persamaan dua bidang berpotongan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0, dengan pesawat - persamaan umum bidang A x + B y + C z + D = 0 .
Teorema 4
Kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis a dan bidang adalah tidak adanya solusi untuk sistem persamaan linear, memiliki bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 .
Bukti
Ini mengikuti dari definisi bahwa garis a dengan bidang seharusnya tidak memiliki titik yang sama, yaitu, mereka tidak boleh berpotongan, hanya dalam hal ini mereka akan dianggap paralel. Ini berarti bahwa sistem koordinat O x y z seharusnya tidak memiliki titik-titiknya dan memenuhi semua persamaan:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , serta persamaan bidang A x + B y + C z + D = 0 .
Oleh karena itu, sistem persamaan yang berbentuk A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 , disebut tidak konsisten.
Kebalikannya benar: jika tidak ada solusi untuk sistem A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 tidak ada titik di O x y z yang memenuhi semua persamaan yang diberikan serentak. Kami mendapatkan bahwa tidak ada titik dengan koordinat yang dapat segera menjadi solusi dari semua persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 dan persamaan A x + B y + C z + D = 0 . Ini berarti bahwa kita memiliki garis sejajar dan bidang, karena titik perpotongannya tidak ada.
Sistem persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 tidak memiliki solusi, ketika peringkat matriks utama kurang dari peringkat matriks yang diperluas. Ini diverifikasi oleh teorema Kronecker-Capelli untuk menyelesaikan persamaan linier. Anda dapat menerapkan metode Gauss untuk menentukan ketidakcocokannya.
Contoh 3
Buktikan bahwa garis x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 sejajar dengan bidang 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Larutan
Untuk solusi contoh ini harus pindah dari persamaan kanonik langsung ke bentuk persamaan dua bidang yang berpotongan. Mari kita tulis seperti ini:
x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 - 1 x = - 1 (y + 2) 3 x = - 1 z 3 (y + 2) = - 1 z x - y - 2 = 0 3 x + z = 0
Untuk membuktikan kesejajaran garis yang diberikan x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 dengan bidang 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 , maka persamaan tersebut perlu diubah menjadi sistem persamaan x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Kami melihat bahwa itu tidak dapat dipecahkan, jadi kami akan menggunakan metode Gauss.
Setelah menulis persamaan, kita mendapatkan bahwa 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3 .
Dari sini kita menyimpulkan bahwa sistem persamaan tidak konsisten, karena garis dan bidang tidak berpotongan, yaitu, mereka tidak memiliki titik yang sama.
Kami menyimpulkan bahwa garis x - 1 \u003d y + 2 - 1 \u003d z 3 dan bidang 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \u003d 0 sejajar, karena kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelisme dari bidang dengan garis tertentu terpenuhi.
Menjawab: garis dan bidang sejajar.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Beberapa konsekuensi dari aksioma
Teorema 1:
Melalui sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak di atasnya melewati sebuah bidang, dan terlebih lagi, hanya satu.
Diketahui: M a
Buktikan: 1) Ada : a, b
2)
adalah satu-satunya
Bukti:
1) Pada garis lurus dan pilih poin P dan Q. Maka kami memiliki 3 poin - R, Q, M yang tidak terletak pada garis yang sama.
2) Menurut aksioma A1, sebuah pesawat melewati tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, dan terlebih lagi, hanya satu, yaitu. bidang , yang memuat garis a dan titik M, ada.
3) Sekarang mari kita buktikan ituα satu satunya. Misalkan ada sebuah bidang yang melalui titik M dan melalui garis a, tetapi kemudian bidang ini melalui titik-titikP, Q, M Dan setelah tiga poin P, Q, M, tidak terletak pada satu garis lurus, berdasarkan aksioma 1, hanya satu bidang yang lewat.
4) Oleh karena itu, bidang ini bertepatan dengan bidang .Oleh karena itu 1) Pada garis lurus, tetapi pilih titik P dan Q. Maka kami memiliki 3 poin - P, Q, M, yang tidak terletak pada garis yang sama.Oleh karena itu adalah unik.
Teorema telah terbukti.
1) Pada garis b, ambil titik N yang tidak bertepatan dengan titik M, yaitu N b, N≠M
2) Maka kita memiliki titik N, yang bukan milik garis a. Menurut teorema sebelumnya, sebuah pesawat melewati sebuah garis dan sebuah titik tidak terletak di atasnya. Sebut saja pesawatnya . Ini berarti bahwa ada bidang yang melalui garis a dan titik N.
3) Mari kita buktikan keunikan pesawat ini. Mari kita asumsikan sebaliknya. Misalkan ada sebuah bidang sehingga melewati garis a dan garis b. Tetapi kemudian juga melalui garis a dan titik N. Namun menurut teorema sebelumnya, bidang ini bersifat unik, yaitu bidang berimpit dengan bidang .
4) Jadi, kami telah membuktikan keberadaan bidang unik yang melewati dua garis berpotongan.
Teorema telah terbukti.
Teorema garis sejajar
Dalil:
Melalui suatu titik di ruang angkasa yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, akan melalui suatu garis yang sejajar dengan garis tersebut.
Diketahui: lurus saya a
Membuktikan:Hanya ada satu langsungb a, M b
Bukti:
1) Melalui garis a dan titik M, yang tidak terletak di atasnya, seseorang dapat menggambar sebuah bidang tunggal (akibat wajar pertama). Pada bidang dapat ditarik garis b, sejajar dengan a, melalui M.
2) Mari kita buktikan bahwa itu adalah satu-satunya. Misalkan ada garis lain c yang melalui titik M dan sejajar dengan garis a. Biarkan garis sejajar a dan c terletak pada bidang . Kemudian melewati M dan garis a. Tetapi melalui garis a dan titik M melewati bidang .
3) Oleh karena itu, dan bertepatan. Dari aksioma garis sejajar dapat disimpulkan bahwa garis b dan c bertepatan, karena ada garis unik pada bidang yang melaluinya poin yang diberikan dan sejajar dengan garis tertentu.
Teorema telah terbukti.
Pengertian garis sejajar dan sifat-sifatnya dalam ruang sama dengan pengertian pada bidang (lihat butir 11).
Pada saat yang sama, satu lagi kasus pengaturan garis dimungkinkan di ruang angkasa - garis miring. Garis yang tidak berpotongan dan tidak terletak pada bidang yang sama disebut garis berpotongan.
Gambar 121 menunjukkan tata letak ruang tamu. Anda melihat bahwa garis-garis yang menjadi milik segmen AB dan BC adalah miring.
Sudut antara garis yang berpotongan adalah sudut antara garis berpotongan yang sejajar dengannya. Sudut ini tidak bergantung pada garis berpotongan mana yang diambil.
Besarnya derajat sudut antara garis sejajar dianggap nol.
Garis tegak lurus yang sama dari dua garis berpotongan adalah segmen dengan ujung-ujungnya pada garis-garis ini, yang merupakan tegak lurus terhadap masing-masing garis tersebut. Dapat dibuktikan bahwa dua garis yang berpotongan memiliki tegak lurus yang sama, dan terlebih lagi, hanya satu. Ini adalah tegak lurus umum dari bidang paralel yang melewati garis-garis ini.
Jarak antara garis yang berpotongan adalah panjang garis tegak lurus yang sama. Ini sama dengan jarak antara bidang paralel yang melewati garis-garis ini.
Jadi, untuk mencari jarak antara garis berpotongan a dan b (Gbr. 122), kita perlu menggambar bidang sejajar a dan melalui masing-masing garis ini. Jarak antara bidang-bidang ini akan menjadi jarak antara garis berpotongan a dan b. Pada Gambar 122, jarak ini, misalnya, jarak AB.
Contoh. Garis a dan b sejajar dan garis c dan d berpotongan. Dapatkah masing-masing garis a dan berpotongan dengan kedua garis?
Larutan. Garis a dan b terletak pada bidang yang sama, dan oleh karena itu setiap garis yang memotong masing-masing garis terletak pada bidang yang sama. Oleh karena itu, jika masing-masing garis a, b memotong kedua garis c dan d, maka garis-garis itu akan terletak pada bidang yang sama dengan garis a dan b, dan ini tidak mungkin, karena garis-garis tersebut berpotongan.
42. Paralelisme garis lurus dan bidang.
Garis dan bidang disebut sejajar jika tidak berpotongan, yaitu tidak memiliki titik persekutuan. Jika garis a sejajar dengan bidang a, maka ditulis:.
Gambar 123 menunjukkan garis lurus yang sejajar dengan bidang a.
Jika suatu garis yang bukan milik suatu bidang sejajar dengan suatu garis pada bidang ini, maka garis itu juga sejajar dengan bidang itu sendiri (tanda paralelisme garis dan bidang).
Teorema ini memungkinkan situasi tertentu Buktikan bahwa garis dan bidang sejajar. Gambar 124 menunjukkan garis lurus b yang sejajar dengan garis lurus a yang terletak pada bidang a, yaitu sepanjang garis lurus b yang sejajar dengan bidang a, yaitu.
Contoh. Melalui bagian atas sudut kanan Dari persegi panjang segitiga ABC Sebuah bidang ditarik sejajar dengan sisi miring pada jarak 10 cm darinya. Proyeksi kaki-kaki pada bidang ini adalah 30 dan 50 cm. Tentukan proyeksi sisi miring pada bidang yang sama.
Larutan. Dari segitiga siku-siku BBVC dan (Gbr. 125) kita menemukan:
Dari segitiga ABC kita menemukan:
Proyeksi sisi miring AB pada bidang a adalah . Karena AB sejajar dengan bidang a, maka Jadi,.
43. Pesawat paralel.
Dua bidang disebut paralel. jika mereka tidak berpotongan.
Dua bidang sejajar" jika salah satunya sejajar dengan dua garis berpotongan yang terletak di bidang lain (tanda paralelisme dua bidang).
Pada Gambar 126, bidang a sejajar dengan garis berpotongan a dan b yang terletak pada bidang tersebut, kemudian sepanjang bidang-bidang tersebut sejajar.
Melalui sebuah titik di luar bidang tertentu, seseorang dapat menggambar bidang yang sejajar dengan bidang tersebut, dan terlebih lagi, hanya satu.
Jika dua bidang sejajar berpotongan dengan bidang ketiga, maka garis-garis perpotongannya sejajar.
Gambar 127 menunjukkan dua bidang sejajar, dan bidang y memotongnya sepanjang garis lurus a dan b. Kemudian, dengan Teorema 2.7, kita dapat menyatakan bahwa garis a dan b sejajar.
Ruas-ruas garis sejajar yang terletak di antara dua bidang sejajar adalah sama besar.
Menurut T.2.8, segmen AB dan ditunjukkan pada Gambar 128 adalah sama, karena
Biarkan pesawat ini berpotongan. Gambarlah sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis perpotongannya. Ini memotong bidang-bidang ini sepanjang dua garis lurus. Sudut antara garis-garis ini disebut sudut antara bidang-bidang ini (Gbr. 129). Sudut antara bidang yang didefinisikan dengan cara ini tidak bergantung pada pilihan bidang garis potong.
