Contoh:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Bagaimana menyelesaikan persamaan eksponensial

Saat memecahkan persamaan eksponensial apa pun, kami berusaha membuatnya ke bentuk \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), dan kemudian membuat transisi ke persamaan indikator, yaitu:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Sebagai contoh:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Penting! Dari logika yang sama, dua persyaratan mengikuti transisi seperti itu:
- nomor masuk kiri dan kanan harus sama;
- derajat kiri dan kanan harus "murni", yaitu, tidak boleh ada, perkalian, pembagian, dll.

Sebagai contoh:

Untuk membawa persamaan ke bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\) dan digunakan.

Contoh . Selesaikan persamaan eksponensial \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Keputusan:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Kita tahu bahwa \(27 = 3^3\). Dengan mengingat hal ini, kami mengubah persamaan.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Dengan sifat akar \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) kita mendapatkan \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Selanjutnya, dengan menggunakan sifat derajat \((a^b)^c=a^(bc)\), kita memperoleh \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Kita juga mengetahui bahwa \(a^b a^c=a^(b+c)\). Menerapkan ini ke sisi kiri, kita mendapatkan: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Sekarang ingat bahwa: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Rumus ini juga dapat digunakan dalam sisi sebaliknya: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Kemudian \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Menerapkan properti \((a^b)^c=a^(bc)\) ke sisi kanan, kita mendapatkan: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Dan sekarang kita memiliki basis yang sama dan tidak ada koefisien yang mengganggu, dll. Jadi kita bisa melakukan transisi.
		Contoh . Selesaikan persamaan eksponensial \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Keputusan: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Kami kembali menggunakan properti derajat \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) di arah sebaliknya. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Sekarang ingat bahwa \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Dengan menggunakan sifat-sifat derajat, kami mengubah: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Kami melihat dengan cermat persamaan, dan kami melihat bahwa penggantian \(t=2^x\) menyarankan dirinya sendiri di sini. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Namun, kami menemukan nilai \(t\), dan kami membutuhkan \(x\). Kami kembali ke X, membuat substitusi terbalik. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Kami mengubah persamaan kedua menggunakan properti derajat negatif… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...dan selesaikan sampai jawabannya. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Menjawab : \(-1; 1\). Pertanyaannya tetap - bagaimana memahami kapan harus menerapkan metode mana? Itu datang dengan pengalaman. Sementara itu, Anda belum mendapatkannya, gunakan rekomendasi umum untuk solusi tugas yang menantang"Jika Anda tidak tahu apa yang harus dilakukan, lakukan apa yang Anda bisa." Yaitu, cari bagaimana Anda dapat mengubah persamaan pada prinsipnya, dan coba lakukan - bagaimana jika itu keluar? Hal utama adalah melakukan hanya transformasi yang dibenarkan secara matematis. persamaan eksponensial tanpa solusi Mari kita lihat dua situasi lagi yang sering membingungkan siswa: - nomor positif sama dengan nol pangkat, misalnya, \(2^x=0\); - bilangan positif pangkat sama dengan angka negatif, misalnya, \(2^x=-4\). Mari kita coba menyelesaikannya dengan kekerasan. Jika x adalah bilangan positif, maka saat x bertambah, seluruh pangkat \(2^x\) hanya akan bertambah: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Juga masa lalu. Ada x negatif. Mengingat properti \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), kita periksa: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Terlepas dari kenyataan bahwa jumlahnya menjadi lebih kecil dengan setiap langkah, itu tidak akan pernah mencapai nol. Jadi derajat negatif juga tidak menyelamatkan kita. Kami sampai pada kesimpulan logis: Angka positif untuk kekuatan apa pun akan tetap menjadi angka positif. Dengan demikian, kedua persamaan di atas tidak memiliki solusi. persamaan eksponensial dengan basis yang berbeda Dalam praktiknya, terkadang ada persamaan eksponensial dengan basis berbeda yang tidak dapat direduksi satu sama lain, dan pada saat yang sama dengan eksponen yang sama. Mereka terlihat seperti ini: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), di mana \(a\) dan \(b\) adalah bilangan positif. Sebagai contoh: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Persamaan tersebut dapat dengan mudah diselesaikan dengan membagi dengan salah satu bagian dari persamaan (biasanya membagi dengan sisi kanan, yaitu dengan \ (b ^ (f (x)) \). Anda dapat membagi dengan cara ini, karena positif angka positif ke tingkat apa pun (yaitu, kami tidak membagi dengan nol.) Kami mendapatkan: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Contoh . Selesaikan persamaan eksponensial \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Keputusan: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Di sini kita tidak bisa mengubah lima menjadi tiga, atau sebaliknya (menurut paling sedikit, tanpa menggunakan ). Jadi kita tidak bisa mendapatkan bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Pada saat yang sama, indikatornya sama. Mari kita bagi persamaan dengan ruas kanan, yaitu dengan \(3^(x+7)\) (kita dapat melakukan ini, karena kita tahu bahwa rangkap tiga tidak akan nol dalam derajat apa pun). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Sekarang ingat properti \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) dan gunakan dari kiri ke arah yang berlawanan. Di sebelah kanan, kita cukup mengurangi pecahannya. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Tampaknya tidak menjadi lebih baik. Tapi ingat properti lain dari derajat: \(a^0=1\), dengan kata lain: "bilangan apa pun di nol derajat sama dengan \(1\)". Kebalikannya juga benar: "satuan dapat direpresentasikan sebagai bilangan apa pun yang dipangkatkan nol." Kami menggunakan ini dengan membuat alas di kanan sama dengan alas di kiri. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Kami menyingkirkan fondasi. Kami menulis jawabannya. Menjawab : \(-7\). Kadang-kadang "kesamaan" dari eksponen tidak jelas, tetapi penggunaan yang terampil dari sifat-sifat derajat memecahkan masalah ini. Contoh . Selesaikan persamaan eksponensial \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Keputusan: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Persamaannya terlihat sangat menyedihkan ... Tidak hanya itu, basa tidak dapat direduksi menjadi nomor yang sama(tujuh tidak akan sama dengan \(\frac(1)(3)\)), begitu juga indikatornya berbeda ... Namun, mari kita deuce pada indikator derajat kiri. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Dengan mengingat properti \((a^b)^c=a^(b c)\) , ubah di sebelah kiri: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sekarang, dengan mengingat sifat pangkat negatif \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), kita ubah ke kanan: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Haleluya! Skornya sama! Bertindak sesuai dengan skema yang sudah akrab bagi kami, kami memutuskan sebelum jawabannya. Menjawab : \(2\).

Kuliah: "Metode untuk memecahkan persamaan eksponensial."

1 . persamaan eksponensial.

Persamaan yang mengandung faktor yang tidak diketahui dalam eksponen disebut persamaan eksponensial. Yang paling sederhana adalah persamaan ax = b, di mana a > 0 dan a 1.

1) Untuk b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 Fungsi eksponensial, tidak memiliki solusi.

2) Untuk b > 0, menggunakan kemonotonan fungsi dan teorema akar, persamaan memiliki akar tunggal. Untuk menemukannya, b harus direpresentasikan sebagai b = aс, ax = bс ó x = c atau x = logab.

persamaan eksponensial dengan transformasi aljabar menuju ke persamaan standar, yang diselesaikan dengan menggunakan metode berikut:

1) metode pengurangan menjadi satu basis;

2) metode penilaian;

3) metode grafik;

4) metode pengenalan variabel baru;

5) metode faktorisasi;

6) indikasi - persamaan daya;

7) eksponensial dengan parameter.

2 . Metode pengurangan menjadi satu basis.

Metode ini didasarkan pada properti derajat berikut: jika dua derajat sama dan alasnya sama, maka eksponennya sama, yaitu, persamaan harus dicoba untuk direduksi menjadi bentuk

Contoh. Selesaikan persamaan:

1 . 3x=81;

Mari kita nyatakan ruas kanan persamaan dalam bentuk 81 = 34 dan tulis persamaan yang ekuivalen dengan 3 x = 34; x = 4. Jawaban: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> dan pergi ke persamaan untuk eksponen 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Jawaban: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Perhatikan bahwa angka 0,2, 0,04, 5, dan 25 adalah pangkat dari 5. Mari kita manfaatkan ini dan ubah persamaan aslinya sebagai berikut:

, dari mana 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, dari mana kita menemukan solusi x = -1. Jawaban 1.

5. 3x = 5. Menurut definisi logaritma, x = log35. Jawaban: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Mari kita tulis ulang persamaannya menjadi 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> Jadi x - 4 =0, x = 4. Jawaban: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Dengan menggunakan sifat-sifat pangkat, kita tulis persamaannya dalam bentuk e.x+1 = 2, x =1. Jawaban 1.

Bank tugas No. 1.

Selesaikan persamaan:

Tes nomor 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = 3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) tanpa akar
	1) 7;1 2) tidak ada akar 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Tes #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) tidak ada akar 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metode penilaian.

Teorema akar: jika fungsi f (x) bertambah (menurun) pada interval I, bilangan a adalah sembarang nilai yang diambil oleh f pada interval ini, maka persamaan f (x) = a memiliki akar tunggal pada interval I.

Saat memecahkan persamaan dengan metode estimasi, teorema ini dan sifat monoton dari fungsi digunakan.

Contoh. Selesaikan Persamaan: 1. 4x = 5 - x.

Keputusan. Mari kita tulis ulang persamaannya menjadi 4x + x = 5.

1. jika x \u003d 1, maka 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 benar, maka 1 adalah akar persamaan.

Fungsi f(x) = 4x meningkat pada R dan g(x) = x meningkat pada R => h(x)= f(x)+g(x) meningkat pada R sebagai jumlah dari fungsi yang meningkat, jadi x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan 4x = 5 – x. Jawaban 1.

2.

Keputusan. Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk .

1. jika x = -1, maka , 3 = 3-benar, jadi x = -1 adalah akar persamaan.

2. buktikan bahwa itu unik.

3. Fungsi f(x) = - berkurang pada R, dan g(x) = - x - berkurang pada R => h(x) = f(x) + g(x) - berkurang pada R, sebagai jumlah dari fungsi menurun. Jadi dengan teorema akar, x = -1 adalah satu-satunya akar persamaan. Jawaban 1.

Bank tugas No. 2. selesaikan persamaannya

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metode untuk memperkenalkan variabel baru.

Metode ini dijelaskan di bagian 2.1. Pengenalan variabel baru (substitusi) biasanya dilakukan setelah transformasi (penyederhanaan) dari suku-suku persamaan. Pertimbangkan contoh.

Contoh. R persamaan makan: 1. .

Mari kita tulis ulang persamaan secara berbeda: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Keputusan. Mari kita tulis ulang persamaan secara berbeda:

Tunjukkan https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - tidak cocok.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - persamaan irasional. Kami mencatat bahwa

Solusi persamaan tersebut adalah x = 2,5 4, jadi 2,5 adalah akar persamaan. Jawaban: 2.5.

Keputusan. Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk dan bagi kedua sisi dengan 56x+6 0. Kita mendapatkan persamaan

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, jadi..png" width="118" height="56">

Akar persamaan kuadrat - t1 = 1 dan t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Keputusan . Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk

dan perhatikan bahwa itu adalah persamaan homogen tingkat kedua.

Bagi persamaan dengan 42x, kita dapatkan

Ganti https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Jawaban: 0; 0,5.

Bank Tugas #3. selesaikan persamaannya

b)

G)

Tes # 3 dengan pilihan jawaban. Tingkat minimal.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) tidak ada akar 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) tidak ada akar 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Tes #4 dengan pilihan jawaban. tingkat umum.

A1	1) 2;1 2) ;0 3)2;0 4) 0
2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) tidak ada akar

5. Metode faktorisasi.

1. Selesaikan persamaan: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solusi..png" width="169" height="69"> , dari mana

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Keputusan. Mari kita ambil 6x di ruas kiri persamaan, dan 2x di ruas kanan. Kita dapatkan persamaan 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Karena 2x >0 untuk semua x, kita dapat membagi kedua ruas persamaan ini dengan 2x tanpa takut kehilangan solusi. Kita dapatkan 3x = 1ó x = 0.

3.

Keputusan. Kami memecahkan persamaan dengan memfaktorkan.

Kami memilih kuadrat binomial

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 adalah akar persamaan.

Persamaan x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Tes #6 tingkat umum.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3.4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponensial - persamaan pangkat.

Persamaan eksponensial digabungkan dengan apa yang disebut persamaan pangkat eksponensial, yaitu persamaan bentuk (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Jika diketahui bahwa f(x)>0 dan f(x) 1, maka persamaan tersebut, seperti persamaan eksponensial, diselesaikan dengan menyamakan eksponen g(x) = f(x).

Jika kondisi tidak mengecualikan kemungkinan f(x)=0 dan f(x)=1, maka kita harus mempertimbangkan kasus-kasus ini ketika menyelesaikan persamaan pangkat eksponensial.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Keputusan. x2 +2x-8 - masuk akal untuk setiap x, karena polinomial, jadi persamaannya setara dengan himpunan

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Persamaan eksponensial dengan parameter.

1. Untuk berapa nilai parameter p persamaan 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) memiliki hanya keputusan?

Keputusan. Mari kita perkenalkan perubahannya 2x = t, t > 0, maka persamaan (1) akan berbentuk t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminan dari persamaan (2) adalah D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Persamaan (1) memiliki solusi unik jika persamaan (2) memiliki satu akar positif. Ini dimungkinkan dalam kasus berikut.

1. Jika D = 0, yaitu p = 1, maka persamaan (2) akan berbentuk t2 – 2t + 1 = 0, maka t = 1, oleh karena itu, persamaan (1) memiliki solusi unik x = 0.

2. Jika p1, maka 9(p – 1)2 > 0, maka persamaan (2) memiliki dua akar yang berbeda t1 = p, t2 = 4p – 3. Himpunan sistem memenuhi kondisi masalah

Substitusikan t1 dan t2 ke dalam sistem, kita dapatkan

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Keputusan. Biarlah maka persamaan (3) akan berbentuk t2 – 6t – a = 0. (4)

Mari kita temukan nilainya parameter a yang paling sedikit satu akar persamaan (4) memenuhi kondisi t > 0.

Mari kita perkenalkan fungsi f(t) = t2 – 6t – a. Kasus-kasus berikut mungkin terjadi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} trinomial persegi f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Kasus 2. Persamaan (4) memiliki keunikan keputusan positif, jika

D = 0, jika a = – 9, maka persamaan (4) akan berbentuk (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Kasus 3. Persamaan (4) memiliki dua akar, tetapi salah satunya tidak memenuhi pertidaksamaan t > 0. Hal ini dimungkinkan jika

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Jadi, pada a 0 persamaan (4) memiliki akar positif tunggal . Maka persamaan (3) memiliki solusi unik

Untuk sebuah< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

jika sebuah< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jika a = – 9, maka x = – 1;

jika 0, maka

Mari kita bandingkan metode untuk menyelesaikan persamaan (1) dan (3). Perhatikan bahwa ketika menyelesaikan persamaan (1) direduksi menjadi persamaan kuadrat, diskriminannya adalah persegi penuh; dengan demikian, akar-akar persamaan (2) segera dihitung dengan rumus akar-akar persamaan kuadrat, dan kemudian ditarik kesimpulan mengenai akar-akar tersebut. Persamaan (3) direduksi menjadi persamaan kuadrat (4), yang diskriminannya bukan kuadrat sempurna, oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan (3), disarankan untuk menggunakan teorema pada lokasi akar trinomial kuadrat dan sebuah model grafis. Perhatikan bahwa persamaan (4) dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta.

Mari kita selesaikan persamaan yang lebih kompleks.

Tugas 3. Memecahkan persamaan

Keputusan. ODZ: x1, x2.

Mari kita perkenalkan penggantinya. Misalkan 2x = t, t > 0, maka, sebagai hasil transformasi, persamaan akan berbentuk t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Temukan nilai a yang paling sedikit satu akarnya persamaan (*) memenuhi kondisi t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Jawaban: jika a > - 13, a 11, a 5, maka jika a - 13,

a = 11, a = 5, maka tidak ada akar.

Bibliografi.

1. Dasar-dasar teknologi pendidikan Guzeev.

2. Teknologi Guzeev: dari penerimaan hingga filosofi.

M. "Kepala Sekolah" No. 4, 1996

3. Guzeev dan bentuk organisasi sedang belajar.

4. Guzeev dan praktik teknologi pendidikan integral.

M. " edukasi publik", 2001

5. Guzeev dari bentuk pelajaran - seminar.

Matematika di sekolah No. 2, 1987, hlm. 9 - 11.

6. Teknologi pendidikan Selevko.

M. "Pendidikan Rakyat", 1998

7. Anak sekolah Episheva belajar matematika.

M. "Pencerahan", 1990

8. Ivanov untuk mempersiapkan pelajaran - lokakarya.

Matematika di Sekolah No. 6 Tahun 1990, hlm. 37-40.

9. Model pengajaran matematika Smirnov.

Matematika di Sekolah No. 1 Tahun 1997, hlm. 32-36.

10. Tarasenko cara mengatur kerja praktek.

Matematika di Sekolah No. 1, 1993, hlm. 27 - 28.

11. Tentang salah satu jenis pekerjaan individu.

Matematika di Sekolah No. 2 1994, hlm. 63 - 64.

12. Khazankin keterampilan kreatif anak sekolah.

Matematika di Sekolah No. 2, 1989, hlm. sepuluh.

13. Scanavi. Penerbit, 1997

14. dkk Aljabar dan awal mula analisis. Materi didaktik untuk

15. Tugas Krivonogov dalam matematika.

M. "Pertama September", 2002

16. Cherkasov. Buku pegangan untuk siswa sekolah menengah dan

memasuki universitas. "A S T - sekolah pers", 2002

17. Zhevnyak untuk pelamar ke universitas.

Minsk dan RF "Ulasan", 1996

18. Tertulis D. Mempersiapkan ujian matematika. M.Rolf, 1999

19. dan lain-lain Belajar menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan.

M. "Akal - Pusat", 2003

20. dan lain-lain.Pendidikan - materi pelatihan untuk mempersiapkan E G E.

M. "Intellect - Center", 2003 dan 2004

21 dan lainnya Varian CMM. Pusat Pengujian Kementerian Pertahanan Federasi Rusia, 2002, 2003

22. Persamaan Goldberg. "Kuantum" No. 3, 1971

23. Volovich M. Bagaimana berhasil mengajar matematika.

Matematika, 1997 No. 3.

24 Okunev untuk pelajarannya, anak-anak! M. Pencerahan, 1988

25. Yakimanskaya - pembelajaran yang berorientasi di sekolah.

26. Batasan bekerja di pelajaran. M. Pengetahuan, 1975

Tingkat pertama

persamaan eksponensial. Panduan lengkap (2019)

Hai! Hari ini kami akan membahas dengan Anda bagaimana menyelesaikan persamaan yang dapat menjadi dasar (dan saya harap setelah membaca artikel ini, hampir semuanya cocok untuk Anda), dan yang biasanya diberikan "isi ulang". Rupanya, tertidur sepenuhnya. Tapi saya akan berusaha melakukan yang terbaik agar sekarang Anda tidak mendapat masalah saat menghadapi persamaan jenis ini. Saya tidak akan lagi bertele-tele, tetapi saya akan segera membuka rahasia kecil: hari ini kita akan bekerja persamaan eksponensial.

Sebelum melanjutkan ke analisis cara untuk menyelesaikannya, saya akan segera menguraikan untuk Anda lingkaran pertanyaan (cukup kecil) yang harus Anda ulangi sebelum Anda terburu-buru menyerbu topik ini. Jadi, untuk mendapatkan hasil terbaik, silakan, ulang:

1. properti dan
2. Solusi dan Persamaan

Ulang? Luar biasa! Maka tidak akan sulit bagi Anda untuk memperhatikan bahwa akar persamaan adalah angka. Apakah Anda yakin Anda mengerti bagaimana saya melakukannya? Kebenaran? Kemudian kita lanjutkan. Sekarang jawab pertanyaan saya, apa yang sama dengan kekuatan ketiga? Anda benar sekali: . Delapan adalah apa kekuatan dua? Itu benar - yang ketiga! Karena. Nah, sekarang mari kita coba selesaikan soal berikut ini: Mari saya kalikan bilangan itu dengan dirinya sendiri sekali dan dapatkan hasilnya. Pertanyaannya, sudah berapa kali saya mengalikan dengan sendirinya? Anda tentu saja dapat memeriksa ini secara langsung:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( meluruskan)

Kemudian Anda dapat menyimpulkan bahwa saya mengalikan kali dengan dirinya sendiri. Bagaimana lagi ini bisa diverifikasi? Dan begini caranya: langsung dengan definisi derajat: . Tetapi, Anda harus mengakui, jika saya bertanya berapa kali dua harus dikalikan dengan dirinya sendiri untuk mendapatkan, katakanlah, Anda akan memberi tahu saya: Saya tidak akan membodohi diri sendiri dan mengalikannya sendiri sampai muka saya biru. Dan dia akan benar sekali. Karena bagaimana bisa? tuliskan semua tindakan secara singkat(dan singkatnya adalah saudara perempuan dari bakat)

di mana - ini sangat "waktu" ketika Anda mengalikan dengan sendirinya.

Saya pikir Anda tahu (dan jika Anda tidak tahu, segera, segera ulangi derajatnya!) maka masalah saya akan ditulis dalam bentuk:

Bagaimana Anda dapat menyimpulkan bahwa:

Jadi, diam-diam, saya menuliskan yang paling sederhana persamaan eksponensial:

Dan bahkan menemukannya akar. Tidakkah Anda berpikir bahwa semuanya cukup sepele? Itu juga yang saya pikirkan. Berikut ini contoh lain untuk Anda:

Tapi apa yang harus dilakukan? Lagi pula, itu tidak dapat ditulis sebagai derajat dari angka (masuk akal). Jangan putus asa dan perhatikan bahwa kedua angka ini dinyatakan dengan sempurna dalam bentuk pangkat dari angka yang sama. Apa? Benar: . Kemudian persamaan awal diubah menjadi bentuk:

Dari mana, seperti yang sudah Anda pahami, . Mari kita tidak menarik lagi dan menulis definisi:

Dalam kasus kami dengan Anda: .

Persamaan ini diselesaikan dengan mereduksinya menjadi bentuk:

dengan solusi persamaan selanjutnya

Kami, pada kenyataannya, melakukan ini dalam contoh sebelumnya: kami mendapatkan itu. Dan kami memecahkan persamaan paling sederhana dengan Anda.

Sepertinya tidak ada yang rumit, kan? Mari kita berlatih pada yang paling sederhana dulu. contoh:

Kita kembali melihat bahwa ruas kanan dan kiri persamaan harus direpresentasikan sebagai pangkat satu bilangan. Benar, ini sudah dilakukan di sebelah kiri, tetapi di sebelah kanan ada nomor. Tapi, tidak apa-apa, bagaimanapun juga, dan persamaan saya secara ajaib akan diubah menjadi ini:

Apa yang harus saya lakukan di sini? Aturan apa? Aturan Kekuatan ke Kekuatan yang berbunyi:

Bagaimana jika:

Sebelum menjawab pertanyaan ini, mari isi tabel berikut ini bersama Anda:

Tidak sulit bagi kita untuk memperhatikan bahwa semakin sedikit, semakin nilai kurang, tapi tetap saja, semua nilai ini lebih besar dari nol. DAN AKAN SELALU BEGITU !!! Properti yang sama berlaku UNTUK DASAR APAPUN DENGAN INDEKS APAPUN!! (untuk setiap dan). Lalu apa yang bisa kita simpulkan tentang persamaan tersebut? Dan ini satu: itu tidak memiliki akar! Sama seperti persamaan apa pun yang tidak memiliki akar. Sekarang mari kita berlatih dan Mari kita selesaikan beberapa contoh sederhana:

Mari kita periksa:

1. Tidak ada yang dituntut dari Anda di sini, kecuali untuk mengetahui sifat-sifat kekuatan (yang, omong-omong, saya minta Anda ulangi!) Sebagai aturan, semuanya mengarah ke basis terkecil: , . Maka persamaan aslinya akan setara dengan yang berikut: Yang saya butuhkan hanyalah menggunakan sifat-sifat pangkat: ketika mengalikan angka dengan basis yang sama, eksponen ditambahkan, dan ketika membagi, mereka dikurangkan. Maka saya akan mendapatkan: Nah, sekarang dengan hati nurani yang bersih saya akan pindah dari persamaan eksponensial ke persamaan linier: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(sejajarkan)

2. Pada contoh kedua, Anda harus lebih berhati-hati: masalahnya adalah bahwa di sisi kiri, kami tidak akan dapat mewakili angka yang sama sebagai kekuatan. Dalam hal ini terkadang berguna mewakili angka sebagai produk kekuatan dengan basis yang berbeda, tetapi eksponen yang sama:

Sisi kiri persamaan akan berbentuk: Apa yang diberikan ini kepada kita? Dan inilah yang: Bilangan dengan basis yang berbeda tetapi eksponen yang sama dapat dikalikan.Dalam hal ini, basis dikalikan, tetapi eksponen tidak berubah:

Diterapkan pada situasi saya, ini akan memberikan:

\mulai(sejajarkan)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(sejajarkan)

Tidak buruk, kan?

3. Saya tidak suka ketika saya memiliki dua istilah di satu sisi persamaan, dan tidak ada di sisi lain (kadang-kadang, tentu saja, ini dibenarkan, tetapi sekarang tidak demikian). Pindahkan suku minus ke kanan:

Sekarang, seperti sebelumnya, saya akan menulis semuanya melalui kekuatan rangkap tiga:

Saya menambahkan kekuatan di sebelah kiri dan mendapatkan persamaan yang setara

Anda dapat dengan mudah menemukan akarnya:

4. Seperti pada contoh tiga, istilah dengan minus - tempat di sisi kanan!

Di sebelah kiri, hampir semuanya baik-baik saja dengan saya, kecuali untuk apa? Ya, "derajat yang salah" dari deuce mengganggu saya. Tetapi saya dapat dengan mudah memperbaikinya dengan menulis: . Eureka - di sebelah kiri, semua basis berbeda, tetapi semua derajat sama! Kami berkembang biak dengan cepat!

Di sini sekali lagi, semuanya jelas: (jika Anda tidak mengerti betapa ajaibnya saya mendapatkan kesetaraan terakhir, istirahatlah sebentar, istirahatlah dan baca properti derajat lagi dengan sangat hati-hati. Siapa bilang Anda bisa melewatkan gelar dengan indikator negatif? Nah, di sini saya tentang hal yang sama bahwa tidak ada). Sekarang saya akan mendapatkan:

\mulai(sejajarkan)
& ((2)^(4\kiri((x) -9 \kanan)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(sejajarkan)

Berikut adalah tugas-tugas untuk Anda praktikkan, yang hanya akan saya berikan jawabannya (tetapi dalam bentuk "campuran"). Selesaikan, periksa, dan kami akan melanjutkan penelitian kami!

Siap? jawaban seperti ini:

1. nomor berapa saja

Oke, oke, aku bercanda! Berikut adalah garis besar solusi (beberapa cukup singkat!)

Tidakkah menurut Anda bukan kebetulan bahwa satu pecahan di sebelah kiri adalah pecahan lain yang "terbalik"? Akan menjadi dosa untuk tidak menggunakan ini:

Aturan ini sangat sering digunakan saat menyelesaikan persamaan eksponensial, ingatlah baik-baik!

Maka persamaan awalnya menjadi:

Memecahkannya persamaan kuadrat, Anda akan mendapatkan akar berikut:

2. Solusi lain: membagi kedua bagian persamaan dengan ekspresi di kiri (atau kanan). Saya akan membagi dengan apa yang ada di sebelah kanan, maka saya akan mendapatkan:

Dimana (mengapa?!)

3. Saya bahkan tidak ingin mengulanginya sendiri, semuanya sudah "dikunyah" begitu banyak.

4. setara dengan persamaan kuadrat, akar-akarnya

5. Anda perlu menggunakan rumus yang diberikan pada tugas pertama, maka Anda akan mendapatkan bahwa:

Persamaan telah berubah menjadi identitas trivial, yang berlaku untuk sembarang. Maka jawabannya adalah bilangan real apa pun.

Nah, di sinilah Anda dan berlatih untuk memutuskan persamaan eksponensial paling sederhana. Sekarang saya ingin memberi Anda beberapa contoh kehidupan, yang akan membantu Anda memahami mengapa pada prinsipnya mereka dibutuhkan. Di sini saya akan memberikan dua contoh. Salah satunya cukup sehari-hari, tetapi yang lain lebih ilmiah daripada kepentingan praktis.

Contoh 1 (perdagangan) Biarkan Anda memiliki rubel, tetapi Anda ingin mengubahnya menjadi rubel. Bank menawarkan Anda untuk mengambil uang ini dari Anda dengan tingkat bunga tahunan dengan kapitalisasi bunga bulanan (akrual bulanan). Pertanyaannya, berapa bulan Anda perlu membuka deposit untuk mengumpulkan jumlah akhir yang diinginkan? Tugas yang cukup biasa, bukan? Namun demikian, solusinya terhubung dengan konstruksi persamaan eksponensial yang sesuai: Biarkan - jumlah awal, - jumlah akhir, - suku bunga per periode, - jumlah periode. Kemudian:

Dalam kasus kami (jika tarifnya per tahun, maka dihitung per bulan). Mengapa dibagi menjadi? Jika Anda tidak tahu jawaban untuk pertanyaan ini, ingat topik ""! Kemudian kita dapatkan persamaan berikut:

Persamaan eksponensial ini sudah dapat diselesaikan hanya dengan kalkulator ( penampilan mengisyaratkan ini, dan ini membutuhkan pengetahuan tentang logaritma, yang akan kita kenal nanti), yang akan saya lakukan: ... Jadi, untuk menerima satu juta, kita perlu melakukan setoran selama sebulan (tidak sangat cepat, kan?).

Contoh 2 (agak ilmiah). Terlepas dari dia, beberapa "isolasi", saya sarankan Anda memperhatikannya: dia secara teratur "masuk ujian!! (tugas diambil dari versi "asli") Selama keruntuhan isotop radioaktif massanya berkurang sesuai dengan hukum, di mana (mg) adalah massa awal isotop, (min.) adalah waktu yang berlalu dari momen awal, (min.) adalah waktu paruh. PADA momen awal waktu isotop massa mg. Waktu paruhnya adalah min. Dalam berapa menit massa isotop akan sama dengan mg? Tidak apa-apa: kita hanya mengambil dan mengganti semua data dalam rumus yang diajukan kepada kita:

Mari kita bagi kedua bagian dengan, "dengan harapan" bahwa di sebelah kiri kita mendapatkan sesuatu yang dapat dicerna:

Yah, kami sangat beruntung! Itu berdiri di sebelah kiri, lalu mari kita beralih ke persamaan yang setara:

Dimana min.

Seperti yang Anda lihat, persamaan eksponensial memiliki aplikasi yang sangat nyata dalam praktik. Sekarang saya ingin membahas dengan Anda cara lain (sederhana) untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, yang didasarkan pada mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung dan kemudian mengelompokkan suku-sukunya. Jangan takut dengan kata-kata saya, Anda telah menemukan metode ini di kelas 7 ketika Anda mempelajari polinomial. Misalnya, jika Anda perlu memfaktorkan ekspresi:

Mari kelompokkan: suku pertama dan ketiga, serta suku kedua dan keempat. Jelas bahwa yang pertama dan ketiga adalah perbedaan kuadrat:

dan yang kedua dan keempat memiliki faktor umum tiga teratas:

Maka ekspresi aslinya setara dengan ini:

Di mana mengambil faktor umum tidak lagi sulit:

Karena itu,

Ini kira-kira bagaimana kita akan bertindak ketika memecahkan persamaan eksponensial: cari "kesamaan" di antara istilah dan keluarkan dari tanda kurung, dan kemudian - apa pun yang terjadi, saya yakin kita akan beruntung =)) Misalnya:

Di sebelah kanan jauh dari pangkat tujuh (saya memeriksa!) Dan di sebelah kiri - sedikit lebih baik, Anda tentu saja dapat "memotong" faktor a dari suku pertama dan dari suku kedua, dan kemudian berurusan dengan apa yang Anda punya, tapi mari kita lakukan lebih bijaksana dengan Anda. Saya tidak ingin berurusan dengan pecahan yang pasti dihasilkan oleh "seleksi", jadi bukankah lebih baik saya bertahan? Maka saya tidak akan memiliki pecahan: seperti yang mereka katakan, baik serigala penuh dan domba aman:

Hitung ekspresi dalam tanda kurung. Ajaib, ajaib, ternyata (mengejutkan, meskipun apa lagi yang bisa kita harapkan?).

Kemudian kami mengurangi kedua sisi persamaan dengan faktor ini. Kami mendapatkan: di mana.

Berikut adalah contoh yang lebih rumit (sedikit, sungguh):

Inilah masalahnya! Kami tidak memilikinya di sini kesamaan! Tidak sepenuhnya jelas apa yang harus dilakukan sekarang. Dan mari kita lakukan apa yang kita bisa: pertama, kita akan memindahkan "berempat" ke satu arah, dan "lima" ke arah lain:

Sekarang mari kita singkirkan "umum" di kiri dan kanan:

Jadi bagaimana sekarang? Apa manfaat dari pengelompokan bodoh seperti itu? Sekilas memang tidak terlihat sama sekali, tapi mari kita lihat lebih dalam:

Nah, sekarang mari kita buat sehingga di sebelah kiri kita hanya memiliki ekspresi c, dan di sebelah kanan - yang lainnya. Bagaimana kita bisa melakukannya? Dan begini caranya: Bagi kedua ruas persamaan terlebih dahulu dengan (jadi kita singkirkan eksponen di sebelah kanan), lalu bagi kedua ruas dengan (jadi kita singkirkan faktor numerik di sebelah kiri). Akhirnya kita mendapatkan:

Menakjubkan! Di sebelah kiri kami memiliki ekspresi, dan di sebelah kanan - adil. Kemudian kami segera menyimpulkan bahwa

Berikut contoh lain untuk memperkuat:

aku akan membawanya solusi singkat(tidak terlalu repot untuk menjelaskan), cobalah untuk mencari tahu sendiri semua "seluk-beluk" dari solusi tersebut.

Sekarang konsolidasi akhir dari materi tertutup. Coba selesaikan sendiri soal-soal berikut. Saya hanya akan membawa rekomendasi singkat dan tips untuk mengatasinya:

1. Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:
2. Kami mewakili ekspresi pertama dalam bentuk: , bagi kedua bagian dengan dan dapatkan itu
3. , maka persamaan aslinya diubah menjadi bentuk: Nah, sekarang petunjuk - cari di mana Anda dan saya telah menyelesaikan persamaan ini!
4. Bayangkan bagaimana, bagaimana, ah, lalu membagi kedua bagian dengan, sehingga Anda mendapatkan persamaan eksponensial paling sederhana.
5. Keluarkan dari kurung.
6. Keluarkan dari kurung.

PERSAMAAN EKPOSISI. TINGKAT TENGAH

Saya berasumsi bahwa setelah membaca artikel pertama, yang mengatakan apa persamaan eksponensial dan bagaimana menyelesaikannya kamu telah menguasai minimum yang diperlukan pengetahuan yang dibutuhkan untuk memecahkan contoh sederhana.

Sekarang saya akan menganalisis metode lain untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, ini adalah

"metode memperkenalkan variabel baru" (atau substitusi). Dia memecahkan sebagian besar masalah "sulit", pada topik persamaan eksponensial (dan bukan hanya persamaan). Metode ini adalah salah satu yang paling umum digunakan dalam praktik. Pertama, saya sarankan Anda membiasakan diri dengan topik tersebut.

Seperti yang sudah Anda pahami dari namanya, inti dari metode ini adalah untuk memperkenalkan perubahan variabel sedemikian rupa sehingga persamaan eksponensial Anda akan secara ajaib berubah menjadi persamaan yang sudah dapat Anda selesaikan dengan mudah. Yang tersisa untuk Anda setelah menyelesaikan "persamaan yang disederhanakan" ini adalah membuat "penggantian terbalik": yaitu, kembali dari yang diganti ke yang diganti. Mari kita ilustrasikan apa yang baru saja kita katakan dengan contoh yang sangat sederhana:

Contoh 1:

Persamaan ini diselesaikan dengan "substitusi sederhana", seperti yang sering disebut oleh para matematikawan. Memang, substitusi di sini adalah yang paling jelas. Hanya perlu dilihat bahwa

Maka persamaan awalnya menjadi:

Jika kita juga membayangkan bagaimana, maka cukup jelas apa yang perlu diganti: tentu saja, . Apa yang kemudian menjadi persamaan asli? Dan inilah yang:

Anda dapat dengan mudah menemukan akarnya sendiri:. Apa yang harus kita lakukan sekarang? Saatnya kembali ke variabel awal. Apa yang saya lupa sertakan? Yaitu: saat mengganti derajat tertentu dengan variabel baru (yaitu, saat mengganti tipe), saya akan tertarik hanya akar positif! Anda sendiri dapat dengan mudah menjawab alasannya. Jadi, kami tidak tertarik pada Anda, tetapi root kedua cukup cocok untuk kami:

Lalu dimana.

Menjawab:

Seperti yang Anda lihat, pada contoh sebelumnya, pengganti meminta tangan kita. Sayangnya, hal ini tidak selalu terjadi. Namun, jangan langsung sedih, tetapi praktikkan satu contoh lagi dengan penggantian yang cukup sederhana

Contoh 2

Jelas bahwa kemungkinan besar akan diperlukan untuk mengganti (ini adalah pangkat terkecil yang termasuk dalam persamaan kami), namun, sebelum memperkenalkan penggantian, persamaan kami perlu "disiapkan" untuk itu, yaitu: , . Kemudian Anda dapat mengganti, akibatnya saya akan mendapatkan ekspresi berikut:

Ya Tuhan: persamaan kubik dengan formula yang benar-benar mengerikan untuk menyelesaikannya (yah, berbicara secara umum). Tapi jangan langsung putus asa, tapi pikirkan apa yang harus kita lakukan. Saya akan menyarankan menyontek: kita tahu bahwa untuk mendapatkan jawaban yang "indah", kita perlu menggunakan pangkat tiga (mengapa begitu, ya?). Dan mari kita coba menebak setidaknya satu akar persamaan kita (saya akan mulai menebak dari pangkat tiga).

tebakan pertama. Bukan akar. Aduh dan ah...

.
Sisi kiri adalah sama.
Bagian kanan: !
Ada! Tebak akar pertama. Sekarang segalanya akan menjadi lebih mudah!

Apakah Anda tahu tentang skema pembagian "sudut"? Tentu saja Anda tahu, Anda menggunakannya ketika Anda membagi satu angka dengan angka lainnya. Tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahwa hal yang sama dapat dilakukan dengan polinomial. Ada satu teorema yang luar biasa:

Berlaku untuk situasi saya, ini memberi tahu saya apa yang habis dibagi tanpa sisa. Bagaimana pembagian dilakukan? Begitulah:

Saya melihat monomial mana yang harus saya kalikan untuk mendapatkan Clear, lalu:

Saya mengurangi ekspresi yang dihasilkan dari, saya mendapatkan:

Sekarang, apa yang harus saya perbanyak untuk mendapatkan? Jelas bahwa pada, maka saya akan mendapatkan:

dan sekali lagi kurangi ekspresi yang dihasilkan dari yang tersisa:

Nah, langkah terakhir, saya kalikan dengan, dan kurangi dari ekspresi yang tersisa:

Hore, pembagian selesai! Apa yang telah kita kumpulkan secara pribadi? Dengan sendirinya: .

Kemudian kami mendapatkan ekspansi berikut dari polinomial asli:

Mari selesaikan persamaan kedua:

Ini memiliki akar:

Maka persamaan aslinya:

memiliki tiga akar:

Kami, tentu saja, membuang akar terakhir, karena itu kurang dari nol. Dan dua yang pertama setelah penggantian terbalik akan memberi kita dua akar:

Menjawab: ..

Dengan contoh ini, saya sama sekali tidak ingin menakut-nakuti Anda; sebaliknya, saya mulai menunjukkan bahwa setidaknya kita sudah cukup penggantian sederhana, namun itu menyebabkan cukup persamaan kompleks, yang solusinya membutuhkan keahlian khusus dari kami. Nah, tidak ada yang kebal dari ini. Tapi penggantinya di kasus ini cukup jelas.

Berikut ini contoh dengan substitusi yang sedikit kurang jelas:

Sama sekali tidak jelas apa yang harus kita lakukan: masalahnya adalah bahwa dalam persamaan kita ada dua basis yang berbeda dan satu fondasi tidak diperoleh dari fondasi lain dengan menaikkannya ke tingkat (wajar, wajar) apa pun. Namun, apa yang kita lihat? Kedua basa hanya berbeda dalam tanda, dan produknya adalah selisih kuadrat sama dengan satu:

Definisi:

Jadi, bilangan yang merupakan basis dalam contoh kita adalah bilangan konjugasi.

Kalau begitu, langkah cerdasnya adalah kalikan kedua ruas persamaan dengan bilangan konjugasinya.

Misalnya, pada, maka ruas kiri persamaan akan menjadi sama, dan ruas kanan. Jika kami melakukan penggantian, maka persamaan awal kami dengan Anda akan menjadi seperti ini:

akarnya, kemudian, tetapi mengingat itu, kita mengerti.

Menjawab: , .

Sebagai aturan, metode penggantian sudah cukup untuk menyelesaikan sebagian besar persamaan eksponensial "sekolah". Tugas berikut diambil dari USE C1 ( tingkat tinggi kesulitan). Anda sudah cukup melek untuk memecahkan contoh-contoh ini sendiri. Saya hanya akan memberikan penggantian yang diperlukan.

1. Selesaikan persamaan:
2. Cari akar persamaan:
3. Selesaikan persamaan: . Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen:

Sekarang untuk beberapa penjelasan dan jawaban singkat:

1. Di sini cukup untuk dicatat bahwa dan. Maka persamaan asli akan setara dengan ini: persamaan ini diselesaikan dengan penggantian Lakukan sendiri perhitungan lebih lanjut. Pada akhirnya, tugas Anda akan dikurangi menjadi menyelesaikan trigonometri paling sederhana (tergantung pada sinus atau kosinus). Keputusan contoh serupa kita akan menjelajahi di bagian lain.
2. Di sini Anda bahkan dapat melakukannya tanpa pengembalian: cukup dengan mentransfer pengurangan ke kanan dan mewakili kedua basis melalui kekuatan dua: dan kemudian segera pergi ke persamaan kuadrat.
3. Persamaan ketiga juga diselesaikan dengan cara yang agak standar: bayangkan caranya. Kemudian, menggantikan kita mendapatkan persamaan kuadrat: maka,

   Apakah Anda sudah tahu apa itu logaritma? Bukan? Kemudian segera baca topiknya!

   Akar pertama, jelas, bukan milik segmen, dan yang kedua tidak bisa dipahami! Tapi kita akan segera mengetahuinya! Karena, maka (ini adalah sifat dari logaritma!) Mari kita bandingkan:

   Kurangi dari kedua bagian, maka kita mendapatkan:

   Sisi kiri dapat direpresentasikan sebagai:

   kalikan kedua ruas dengan:

   dapat dikalikan dengan

   Kemudian mari kita bandingkan:

   Dari dulu:

   Kemudian akar kedua milik interval yang diinginkan

   Menjawab:

Seperti yang kamu lihat, pemilihan akar persamaan eksponensial membutuhkan cukup pengetahuan yang mendalam sifat-sifat logaritma, jadi saya menyarankan Anda untuk berhati-hati saat menyelesaikan persamaan eksponensial. Seperti yang Anda ketahui, dalam matematika semuanya saling berhubungan! Seperti yang sering dikatakan guru matematika saya: "Kamu tidak bisa membaca matematika seperti sejarah dalam semalam."

Sebagai aturan, semua kesulitan dalam memecahkan masalah C1 justru pemilihan akar persamaan. Mari kita berlatih dengan contoh lain:

Jelas bahwa persamaan itu sendiri diselesaikan dengan cukup sederhana. Setelah melakukan substitusi, kami mengurangi persamaan asli kami menjadi berikut:

Mari kita lihat akar pertama terlebih dahulu. Bandingkan dan: sejak, lalu. (properti fungsi logaritmik, di). Maka jelaslah bahwa akar pertama juga bukan milik interval kita. Sekarang akar kedua: . Jelas bahwa (karena fungsinya meningkat). Tinggal membandingkan dan

sejak, kemudian, pada saat yang sama. Jadi, saya bisa "mengendarai pasak" antara dan. Pasak ini adalah angka. Ekspresi pertama lebih kecil dari dan yang kedua lebih besar dari. Kemudian ekspresi kedua lebih besar dari yang pertama dan root termasuk dalam interval.

Menjawab: .

Sebagai kesimpulan, mari kita lihat contoh lain dari persamaan di mana penggantiannya agak tidak standar:

Mari kita mulai segera dengan apa yang dapat Anda lakukan, dan apa - pada prinsipnya, Anda dapat melakukannya, tetapi lebih baik tidak melakukannya. Itu mungkin - untuk mewakili segalanya melalui kekuatan tiga, dua dan enam. Ke mana arahnya? Ya, dan tidak akan mengarah pada apa pun: derajat gado-gado, beberapa di antaranya akan sangat sulit untuk dihilangkan. Lalu apa yang dibutuhkan? Perhatikan bahwa a Dan apa yang akan diberikannya kepada kita? Dan fakta bahwa kita dapat mereduksi solusi dari contoh ini menjadi solusi persamaan eksponensial yang cukup sederhana! Pertama, mari kita tulis ulang persamaan kita sebagai:

Sekarang kita bagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan menjadi:

Eureka! Sekarang kita dapat mengganti, kita mendapatkan:

Nah, sekarang giliran Anda untuk memecahkan masalah untuk demonstrasi, dan saya hanya akan memberikan komentar singkat kepada mereka agar Anda tidak tersesat! Semoga berhasil!

1. Yang paling sulit! Melihat penggantinya di sini adalah oh, betapa jeleknya! Namun demikian, contoh ini dapat diselesaikan sepenuhnya menggunakan alokasi persegi penuh . Untuk mengatasinya, cukup diperhatikan bahwa:

Jadi, inilah pengganti Anda:

(Perhatikan bahwa di sini, dalam penggantian kami, kami tidak dapat membuang akar negatif!!! Mengapa kamu berpikir?)

Sekarang, untuk menyelesaikan contoh, Anda harus menyelesaikan dua persamaan:

Keduanya diselesaikan dengan "penggantian standar" (tetapi yang kedua dalam satu contoh!)

2. Perhatikan itu dan buat substitusi.

3. Perluas bilangan tersebut menjadi faktor koprima dan sederhanakan ekspresi yang dihasilkan.

4. Bagilah pembilang dan penyebut pecahan dengan (atau jika Anda mau) dan substitusikan atau.

5. Perhatikan bahwa angka dan konjugat.

PERSAMAAN EKPOSISI. TINGKAT LANJUT

Selain itu, mari kita lihat cara lain - solusi persamaan eksponensial dengan metode logaritma. Saya tidak bisa mengatakan bahwa solusi persamaan eksponensial dengan metode ini sangat populer, tetapi dalam beberapa kasus hanya itu yang dapat membawa kita ke keputusan tepat persamaan kita. Terutama sering digunakan untuk memecahkan apa yang disebut " persamaan campuran ': yaitu, yang memiliki fungsi dari jenis yang berbeda.

Misalnya persamaan seperti:

di kasus umum hanya dapat diselesaikan dengan mengambil logaritma dari kedua bagian (misalnya, dengan basis), di mana persamaan aslinya berubah menjadi berikut:

Mari kita perhatikan contoh berikut:

Jelas bahwa kita hanya tertarik pada ODZ dari fungsi logaritma. Namun, ini mengikuti tidak hanya dari ODZ logaritma, tetapi karena alasan lain. Saya pikir tidak akan sulit bagi Anda untuk menebak yang mana.

Mari kita ambil logaritma dari kedua sisi persamaan kita ke basis:

Seperti yang Anda lihat, mengambil logaritma dari persamaan asli kami dengan cepat membawa kami ke jawaban yang benar (dan indah!). Mari kita berlatih dengan contoh lain:

Di sini juga, tidak ada yang perlu dikhawatirkan: kita ambil logaritma dari kedua sisi persamaan dalam bentuk basis, lalu kita dapatkan:

Mari kita lakukan penggantian:

Namun, kami melewatkan sesuatu! Apakah Anda memperhatikan di mana saya membuat kesalahan? Setelah semua, maka:

yang tidak memenuhi persyaratan (pikirkan dari mana asalnya!)

Menjawab:

Coba tuliskan solusi persamaan eksponensial di bawah ini:

Sekarang periksa solusi Anda dengan ini:

1. Kami logaritma kedua bagian ke basis, mengingat bahwa:

(akar kedua tidak sesuai dengan kami karena penggantian)

2. Logaritma ke basis:

Mari kita ubah ekspresi yang dihasilkan menjadi bentuk berikut:

PERSAMAAN EKPOSISI. DESKRIPSI SINGKAT DAN FORMULA DASAR

persamaan eksponensial

Ketik persamaan:

ditelepon persamaan eksponensial paling sederhana.

Properti gelar

Pendekatan Solusi

• Pengurangan ke basis yang sama
• Transmisi ke indikator yang sama derajat
• Substitusi variabel
• Sederhanakan ekspresi dan terapkan salah satu di atas.

Persamaan disebut eksponensial jika yang tidak diketahui terkandung dalam eksponen. Persamaan eksponensial paling sederhana memiliki bentuk: a x \u003d a b, di mana a> 0, dan 1, x tidak diketahui.

Sifat-sifat utama derajat, yang dengannya persamaan eksponensial ditransformasikan: a>0, b>0.

Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, sifat-sifat fungsi eksponensial berikut juga digunakan: y = a x , a > 0, a1:

Untuk mewakili angka sebagai kekuatan, gunakan basis identitas logaritma: b = , a > 0, a1, b > 0.

Tugas dan tes dengan topik "Persamaan Eksponensial"

• persamaan eksponensial

  Pelajaran: 4 Tugas: 21 Tes: 1

• persamaan eksponensial - Topik Penting untuk mengulang ujian dalam matematika

  Tugas: 14

• Sistem persamaan eksponensial dan logaritma - Demonstratif dan fungsi logaritma Kelas 11

  Pelajaran: 1 Tugas: 15 Tes: 1

• 2.1. Solusi persamaan eksponensial

  Pelajaran: 1 Tugas: 27

• 7 Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma - Bagian 5. Fungsi eksponensial dan logaritma Grade 10

  Pelajaran: 1 Tugas: 17

Untuk solusi sukses persamaan eksponensial Anda harus mengetahui sifat dasar pangkat, sifat fungsi eksponensial, identitas logaritma dasar.

Saat memecahkan persamaan eksponensial, dua metode utama digunakan:

1. transisi dari persamaan a f(x) = a g(x) ke persamaan f(x) = g(x);
2. pengenalan baris baru.

Contoh.

1. Persamaan Reduksi ke yang Paling Sederhana. Mereka diselesaikan dengan membawa kedua sisi persamaan ke pangkat dengan basis yang sama.

3x \u003d 9x - 2.

Keputusan:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Menjawab: 4.

2. Persamaan diselesaikan dengan mengurung faktor persekutuan.

Keputusan:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Menjawab: 3.

3. Persamaan Dipecahkan dengan Perubahan Variabel.

Keputusan:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Kami menunjukkan 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Persamaan tidak memiliki solusi, karena 2x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Menjawab: log 2 3.

4. Persamaan yang mengandung pangkat dengan dua basis yang berbeda (tidak dapat direduksi satu sama lain).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Menjawab: 2.

5. Persamaan yang homogen terhadap a x dan b x .

Bentuk umum: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Keputusan:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Dilambangkan (3/2) x = y.
y 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = .

Menjawab: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Ke saluran youtube situs situs kami untuk mengetahui semua pelajaran video baru.

Untuk memulainya, mari kita ingat rumus dasar derajat dan sifat-sifatnya.

Produk dari angka sebuah terjadi pada dirinya sendiri n kali, kita dapat menulis ekspresi ini sebagai a … a=a n

1. a 0 = 1 (a 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Persamaan pangkat atau eksponensial- ini adalah persamaan di mana variabel dalam pangkat (atau eksponen), dan basisnya adalah angka.

Contoh persamaan eksponensial:

PADA contoh ini angka 6 adalah basis, selalu di bawah, dan variabel x derajat atau ukuran.

Mari kita berikan lebih banyak contoh persamaan eksponensial.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponensial diselesaikan?

Mari kita ambil persamaan sederhana:

2x = 2 3

Contoh seperti itu dapat diselesaikan bahkan dalam pikiran. Terlihat bahwa x=3. Lagi pula, sehingga kiri dan bagian kanan sama, Anda harus menempatkan angka 3 bukan x.
Sekarang mari kita lihat bagaimana keputusan ini harus dibuat:

2x = 2 3
x = 3

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kami menghapus alasan yang sama(yaitu, deuces) dan menuliskan apa yang tersisa, ini adalah derajat. Kami mendapat jawaban yang kami cari.

Sekarang mari kita rangkum solusi kita.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Perlu diperiksa sama apakah basis persamaan di kanan dan di kiri. Jika alasannya tidak sama, kami mencari opsi untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Setelah basanya sama, menyamakan derajat dan selesaikan persamaan baru yang dihasilkan.

Sekarang mari kita selesaikan beberapa contoh:

Mari kita mulai dengan sederhana.

Basis di sisi kiri dan kanan sama dengan angka 2, yang berarti kita dapat membuang alas dan menyamakan derajatnya.

x+2=4 Persamaan paling sederhana telah muncul.
x=4 - 2
x=2
Jawab: x=2

PADA contoh berikut Dapat dilihat bahwa pangkalannya berbeda - 3 dan 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Untuk mulai dengan, kami mentransfer sembilan ke sisi kanan, kami mendapatkan:

Sekarang Anda perlu membuat pangkalan yang sama. Kita tahu bahwa 9=3 2 . Mari kita gunakan rumus kekuatan (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Kami mendapatkan 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 sekarang Anda dapat melihatnya di sebelah kiri dan sisi kanan alasnya sama dan sama dengan tiga, artinya kita bisa membuangnya dan menyamakan derajatnya.

3x=2x+16 dapatkan persamaan paling sederhana
3x-2x=16
x=16
Jawabannya: x=16.

Mari kita lihat contoh berikut:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Pertama-tama, kita melihat pangkalan, pangkalan berbeda dua dan empat. Dan kita harus sama. Kami mengubah empat kali lipat sesuai dengan rumus (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dan kami juga menggunakan satu rumus a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tambahkan ke persamaan:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Kami memberikan contoh untuk alasan yang sama. Tapi nomor lain 10 dan 24 mengganggu kita. Apa yang harus dilakukan dengan mereka? Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri kita ulangi 2 2x, inilah jawabannya - kita dapat mengeluarkan 2 2x dari tanda kurung:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mari kita hitung ekspresi dalam tanda kurung:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Kami membagi seluruh persamaan dengan 6:

Bayangkan 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 alasnya sama, buang dan samakan derajatnya.
2x \u003d 2 ternyata merupakan persamaan paling sederhana. Kami membaginya dengan 2, kami mendapatkan
x = 1
Jawab: x = 1.

Mari kita selesaikan persamaannya:

9 x - 12*3 x +27= 0

Mari kita ubah:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kami mendapatkan persamaan:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Basisnya sama untuk kita, sama dengan 3. Dalam contoh ini, dapat dilihat bahwa rangkap tiga pertama memiliki derajat dua kali (2x) daripada yang kedua (hanya x). Dalam hal ini, Anda dapat memutuskan metode substitusi. Nomor dengan derajat terkecil mengganti:

Kemudian 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Kami mengganti semua derajat dengan x dalam persamaan dengan t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Kami mendapatkan persamaan kuadrat. Kami memecahkan melalui diskriminan, kami mendapatkan:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Kembali ke Variabel x.

Kami mengambil t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Itu adalah,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua, dari t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawaban: x 1 \u003d 2; x2 = 1.

Di situs Anda dapat di bagian BANTUAN MEMUTUSKAN untuk mengajukan pertanyaan yang menarik, kami pasti akan menjawab Anda.

Bergabunglah dengan grup