თემა:"გადაწყვეტის მეთოდები ტრიგონომეტრიული განტოლებები».
გაკვეთილის მიზნები:
საგანმანათლებლო:
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ტიპების გარჩევის უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება;
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების გაღრმავება;
საგანმანათლებლო:
აღზრდა შემეცნებითი ინტერესისასწავლო პროცესისადმი;
ამოცანის ანალიზის უნარის ჩამოყალიბება;
განვითარებადი:
ჩამოყალიბდეს სიტუაციის ანალიზის უნარი მისგან გამოსავლის ყველაზე რაციონალური გამოსავლის შემდგომი არჩევით.
აღჭურვილობა:პლაკატი ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულებით, კომპიუტერი, პროექტორი, ეკრანი.
დავიწყოთ გაკვეთილი ნებისმიერი განტოლების ამოხსნის ძირითადი ტექნიკის გამეორებით: მისი შემცირება სტანდარტული ფორმა. ტრანსფორმაციის გზით წრფივი განტოლებებიშემცირება ფორმამდე ცული \u003d in, კვადრატი - ფორმამდე ax2+bx +c=0.ტრიგონომეტრიული განტოლებების შემთხვევაში აუცილებელია მათი დაყვანა უმარტივესზე, ფორმის: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, რომელთა ამოხსნაც მარტივად არის შესაძლებელი.
უპირველეს ყოვლისა, რა თქმა უნდა, ამისთვის აუცილებელია ძირითადის გამოყენება ტრიგონომეტრიული ფორმულებირომლებიც წარმოდგენილია პოსტერზე: დამატების ფორმულები, ფორმულები ორმაგი კუთხე, განტოლების სიმრავლის შემცირება. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლებები. გავიმეოროთ რამდენიმე მათგანი:
ამავდროულად, არსებობს განტოლებები, რომელთა ამოხსნაც მოითხოვს ზოგიერთი სპეციალური ტექნიკის ცოდნას.
ჩვენი გაკვეთილის თემაა ამ ტექნიკის განხილვა და ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების სისტემატიზაცია.
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.
1. კონვერტაცია კვადრატული განტოლებაზოგიერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მიმართ, რასაც მოჰყვება ცვლადის ცვლილება.
განვიხილოთ თითოეული ჩამოთვლილი მეთოდებიმაგალითებზე, მაგრამ ბოლო ორზე უფრო დეტალურად ვისაუბრებთ, რადგან პირველი ორი უკვე გამოვიყენეთ განტოლებების ამოხსნისას.
1. ტრანსფორმაცია კვადრატულ განტოლებამდე ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მიმართ.
2. განტოლებების ამოხსნა ფაქტორიზაციის მეთოდით.
3. ერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნა.
პირველი და მეორე ხარისხის ერთგვაროვან განტოლებებს უწოდებენ ფორმის განტოლებებს:
შესაბამისად (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
ერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნისას, განტოლების ორივე მხარე იყოფა ტერმინებით cosx-ით განტოლების (1)-სთვის და cos 2 x-ით (2). ასეთი დაყოფა შესაძლებელია, რადგან sinx და cosx ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის - ისინი ნულზე გადადიან. სხვადასხვა წერტილები. განვიხილოთ პირველი და მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითები.
გავიხსენოთ ეს განტოლება: შემდეგი მეთოდის - დამხმარე არგუმენტის შემოღების განხილვისას, მას სხვაგვარად გადავწყვეტთ.
4. დამხმარე არგუმენტის შესავალი.
განვიხილოთ წინა მეთოდით უკვე ამოხსნილი განტოლება:
როგორც ხედავთ, იგივე შედეგი მიიღება.
მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს:
განხილულ მაგალითებში, ზოგადად ცხადი იყო, რა ნაწილად უნდა დაიყოს თავდაპირველი განტოლება დამხმარე არგუმენტის შესატანად. მაგრამ შეიძლება მოხდეს ისე, რომ არ იყოს აშკარა, რომელი გამყოფი აირჩიოს. ამისათვის არსებობს სპეციალური ტექნიკა, რომელსაც ახლა განვიხილავთ ზოგადი ხედი. მიეცით განტოლება:
გაყავით განტოლება Კვადრატული ფესვიგამოთქმიდან (3) ვიღებთ:
asinx + bcosx = c,
შემდეგ a 2 + b 2 = 1 და აქედან გამომდინარე a = sinx და b = cosx. განსხვავების კოსინუსების ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებას:
რომელიც ადვილად წყდება.
მოდი ამოვხსნათ სხვა განტოლება:
ჩვენ ვამცირებთ განტოლებას ერთ არგუმენტამდე - 2 x ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენებით და ხარისხს ვამცირებთ:
წინა განტოლების მსგავსად, ჯამის სინუსური ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ:
რომელიც ასევე ადვილად მოსაგვარებელია.
გადაწყვიტეთ თავად გადაწყვეტის მეთოდის წინასწარ განსაზღვრით:
გაკვეთილის შედეგია ამოხსნის შემოწმება და მოსწავლეების შეფასება.
საშინაო დავალება: გვ 11, რეზიუმე, No164 (ბ, დ), 167 (ბ, დ), 169 (ა, ბ), 174 (ა, გ).
ელემენტარული ტრიგონომეტრიული განტოლებები არის ფორმის განტოლებები, სადაც არის ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია: , .
ელემენტარულ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს უსასრულოდ ბევრი ფესვი აქვს. მაგალითად, განტოლება დაკმაყოფილებულია შემდეგი მნიშვნელობები: და ა.შ. ზოგადი ფორმულარომლითაც გვხვდება განტოლების ყველა ფესვი, სადაც არის:
აქ მას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი, თითოეული მათგანი შეესაბამება განტოლების გარკვეულ ფესვს; ამ ფორმულაში (ისევე როგორც სხვა ფორმულებში, რომლებითაც იხსნება ელემენტარული ტრიგონომეტრიული განტოლებები) ე.წ. პარამეტრი. ისინი ჩვეულებრივ წერენ მას, რითაც ხაზს უსვამენ, რომ პარამეტრს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მთელი რიცხვი.
განტოლების ამონახსნები, სადაც, ნაპოვნია ფორმულით
განტოლება იხსნება ფორმულის გამოყენებით
და განტოლება --- ფორმულის მიხედვით
მოდი განსაკუთრებით აღვნიშნოთ ელემენტარული ტრიგონომეტრიული განტოლებების რამდენიმე განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც ამონახსნის დაწერა შესაძლებელია ზოგადი ფორმულების გამოყენების გარეშე:
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას მნიშვნელოვანი როლითამაშობს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდს. აქედან გამომდინარე, წარმოგიდგენთ ორ სასარგებლო თეორემას:
თეორემა Თუ --- ძირითადიფუნქციის პერიოდი, მაშინ რიცხვი არის ფუნქციის ძირითადი პერიოდი.
ფუნქციების პერიოდები და ამბობენ, რომ თანაზომიერია, თუ არსებობს მთელი რიცხვებიდა რა.
თეორემა Თუ პერიოდული ფუნქციებიდა, აქვთ შესაბამისი და, მაშინ აქვთ ზოგადი პერიოდი, რომელიც არის ფუნქციების პერიოდი, .
თეორემა ამბობს, რა არის ფუნქციის პერიოდი და არა აუცილებლად ძირითადი პერიოდი. მაგალითად, ფუნქციების ძირითადი პერიოდი და არის --- , ხოლო მათი პროდუქტის ძირითადი პერიოდია --- .
დამხმარე არგუმენტის გაცნობა
ფორმის გამონათქვამების გარდაქმნის სტანდარტული ხერხია შემდეგი ხრიკი: let --- ინექცია, მოცემული ტოლობებით, . ნებისმიერი და ასეთი კუთხე არსებობს. ამგვარად. თუ, ან სხვა შემთხვევაში.
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის სქემა
მთავარი სქემა, რომლითაც ვიხელმძღვანელებთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას, შემდეგია:
გადაწყვეტილება მოცემული განტოლებამოდის გადაწყვეტილებამდე ელემენტარული განტოლებები. გადაწყვეტის ინსტრუმენტები --- გარდაქმნები, ფაქტორიზაციები, უცნობის შეცვლა. სახელმძღვანელო პრინციპია ფესვების არ დაკარგვა. ეს ნიშნავს, რომ შემდეგ განტოლებაზე (განტოლებაზე) გადასვლისას ჩვენ არ გვეშინია ზედმეტი (გარეგანი) ფესვების გაჩენის, არამედ მხოლოდ ვიზრუნოთ, რომ თითოეული შემდეგი განტოლებაჩვენი „ჯაჭვი“ (ან განტოლებათა სიმრავლე განშტოების შემთხვევაში) წინას შედეგი იყო. Ერთ - ერთი შესაძლო მეთოდებიფესვების შერჩევა შემოწმებაა. დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ტრიგონომეტრიული განტოლებების შემთხვევაში, ფესვების შერჩევასთან დაკავშირებული სირთულეები, გადამოწმებასთან, როგორც წესი, მკვეთრად იზრდება ალგებრულ განტოლებებთან შედარებით. ყოველივე ამის შემდეგ, აუცილებელია შეამოწმოთ სერია, რომელიც შედგება უსასრულო რიცხვიწევრები.
განსაკუთრებული აღნიშვნის ღირსია უცნობების ცვლილება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას. უმეტეს შემთხვევაში, აუცილებელი ჩანაცვლების შემდეგ, გამოდის ალგებრული განტოლება. უფრო მეტიც, არ არის იშვიათი განტოლებები, რომლებიც, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი ტრიგონომეტრიულია გარეგნობაფაქტობრივად, ისინი არ არიან, რადგან უკვე პირველი ნაბიჯის შემდეგ --- ჩანაცვლებაცვლადები --- გადაიქცევა ალგებრულად და ტრიგონომეტრიაში დაბრუნება ხდება მხოლოდ ელემენტარული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ეტაპზე.
კიდევ ერთხელ გავიხსენოთ: უცნობის ჩანაცვლება უნდა მოხდეს რაც შეიძლება მალე, ჩანაცვლების შემდეგ მიღებული განტოლება ბოლომდე უნდა გადაწყდეს ფესვების შერჩევის ეტაპის ჩათვლით და მხოლოდ ამის შემდეგ დაბრუნდება საწყის უცნობში.
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ერთ-ერთი მახასიათებელია ის, რომ პასუხი ხშირ შემთხვევაში შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა გზები. განტოლების ამოხსნისთვისაც კი, პასუხი შეიძლება დაიწეროს ასე:
1) ორი სერიის სახით: , ;
2) სტანდარტული ფორმით, რომელიც წარმოადგენს ზემოაღნიშნული სერიის გაერთიანებას: , ;
3) ვინაიდან, მაშინ პასუხი შეიძლება დაიწეროს ფორმით, . (შემდეგ, პარამეტრის არსებობა ან პასუხის ჩანაწერში ავტომატურად ნიშნავს, რომ ეს პარამეტრი იღებს ყველა შესაძლო რიცხვს. გამონაკლისი იქნება მითითებული.)
ცხადია, სამი ჩამოთვლილი შემთხვევა არ ამოწურავს განსახილველ განტოლებაზე პასუხის დაწერის ყველა შესაძლებლობას (ასეთი უსასრულოდ ბევრია).
მაგალითად, როცა თანასწორობა მართალია. ამიტომ, პირველ ორ შემთხვევაში, თუ, შეგვიძლია შევცვალოთ.
როგორც წესი, პასუხი იწერება მე-2 პუნქტის საფუძველზე. სასარგებლოა გვახსოვდეს შემდეგი რეკომენდაცია: თუ სამუშაო არ მთავრდება განტოლების ამოხსნით, ჯერ კიდევ საჭიროა კვლევის ჩატარება, ფესვების შერჩევა, შემდეგ ჩაწერის ყველაზე მოსახერხებელი ფორმა მითითებულია პუნქტში 1. (მსგავსი რეკომენდაცია უნდა იყოს მოცემული განტოლებისთვის.)
მოდი განვიხილოთ მაგალითი, რომელიც ასახავს ნათქვამის.
მაგალითი ამოხსენით განტოლება.
გადაწყვეტილება.ყველაზე აშკარა არის შემდეგი გზა. ეს განტოლებაიყოფა ორად: ი. თითოეული მათგანის ამოხსნით და მიღებული პასუხების გაერთიანებით ვპოულობთ.
სხვა გზა.მას შემდეგ, ჩანაცვლება და ხარისხის დაწევის ფორმულებით. მცირე გარდაქმნების შემდეგ მივდივართ სად.
ერთი შეხედვით, არცერთი სპეციალური შეღავათებიმეორე ფორმულას არ აქვს პირველთან შედარებით. თუმცა, თუ ავიღებთ, მაგალითად, გამოდის, რომ ე.ი. განტოლებას აქვს ამონახსნი, ხოლო პირველი გზა მიგვიყვანს პასუხამდე. თანასწორობის „ნახვა“ და მტკიცება არც ისე ადვილია.
ალგებრას გაკვეთილებზე მასწავლებლები ამბობენ, რომ არის ტრიგონომეტრიული განტოლებების მცირე (სინამდვილეში, ძალიან დიდი) კლასი, რომელთა ამოხსნა შეუძლებელია. სტანდარტული გზებით- არც ფაქტორიზაციით, არც ცვლადის ცვლილებით და არც ერთგვაროვანი ტერმინებით. ამ შემთხვევაში ფუნდამენტურად განსხვავებული მიდგომა მოქმედებს - მეთოდი დამხმარე კუთხე.
რა არის ეს მეთოდი და როგორ გამოვიყენოთ იგი? პირველ რიგში, გავიხსენოთ ჯამი/განსხვავების სინუსის და ჯამი/განსხვავების კოსინუსის ფორმულები:
\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end (გასწორება)\]
ვფიქრობ, ეს ფორმულები თქვენთვის კარგად არის ცნობილი - ფორმულები მათგან არის მიღებული ორმაგი არგუმენტი, რომლის გარეშეც ტრიგონომეტრია არსად არის. მაგრამ ახლა განვიხილოთ მარტივი განტოლება:
გაყავით ორივე ნაწილი 5-ზე:
გაითვალისწინეთ, რომ $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \მარჯვნივ))^(2))= 1 $, რაც ნიშნავს, რომ აუცილებლად არის კუთხე $\alpha $, რომლისთვისაც ეს რიცხვები არის კოსინუსი და სინუსი, შესაბამისად. ამიტომ, ჩვენი განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:
\[\ დასაწყისი (გასწორება)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \მარჯვნივ)=1 \\\ბოლო (გასწორება)\]
და ეს უკვე ადვილად მოგვარებულია, რის შემდეგაც რჩება მხოლოდ იმის გარკვევა, თუ რატომ უდრის კუთხეს$\alpha $. როგორ გავარკვიოთ, ასევე როგორ ავირჩიოთ სწორი რიცხვი განტოლების ორივე მხარის გასაყოფად (ამაში მარტივი მაგალითიჩვენ გავყავით 5-ზე) - ამის შესახებ დღევანდელ ვიდეო გაკვეთილში:
დღეს ჩვენ გავაანალიზებთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნას, უფრო სწორად, ერთ ტექნიკას, რომელსაც ეწოდება "დამხმარე კუთხის მეთოდი". რატომ ეს კონკრეტული მეთოდი? უბრალოდ იმიტომ, რომ ბოლო ორი-სამი დღის განმავლობაში, როცა ვმუშაობდი სტუდენტებთან, რომლებზეც ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაზე ვსაუბრობდი და სხვა საკითხებთან ერთად გავაანალიზეთ დამხმარე კუთხის მეთოდი და ყველა სტუდენტი ერთი და იგივე შეცდომას უშვებს. მაგრამ მეთოდი ზოგადად მარტივია და, უფრო მეტიც, ეს არის ერთ-ერთი მთავარი ტექნიკა ტრიგონომეტრიაში. ამიტომ, ბევრი ტრიგონომეტრიული პრობლემებისხვაგვარად, გარდა დამხმარე კუთხის მეთოდით, ისინი საერთოდ არ იხსნება.
ამიტომ, ახლა, დასაწყისისთვის, განვიხილავთ რამდენიმე მარტივ ამოცანას, შემდეგ კი გადავალთ უფრო სერიოზულ ამოცანებზე. თუმცა ყოველივე ეს ასეა თუ ისე მოგვითხოვს დამხმარე კუთხის მეთოდის გამოყენებას, რომლის არსს უკვე პირველ კონსტრუქციაში აღვწერ.
მარტივი ტრიგონომეტრიული ამოცანების ამოხსნა
მაგალითი #1
\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]
ცოტა შევცვალოთ გამოთქმა:
\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \left(-1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ.\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]
როგორ ვაპირებთ მის მოგვარებას? სტანდარტული მიღებაარის $\sin 2x$ და $\cos 2x$-ის გაფართოება ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენებით და შემდეგ გადაწერე ერთეული $((\sin )^(2))x((\cos )^(2))x $ , მიიღეთ ერთგვაროვანი განტოლება, მიიყვანეთ ტანგენტებთან და ამოხსენით. თუმცა, ეს გრძელი და დამღლელი გზაა, რომელიც ბევრ გათვლებს მოითხოვს.
გირჩევთ დაფიქრდეთ ამაზე. გვაქვს $\sin$ და $\cos$. გაიხსენეთ ჯამისა და სხვაობის კოსინუსის და სინუსების ფორმულა:
\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]
დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. მოდით, ყველაფერი განსხვავებულობამდე დავიყვანოთ. მაგრამ პირველ რიგში, განტოლება ოდნავ გარდაიქმნება. ვიპოვოთ კოეფიციენტი:
$\sqrt(l)$ არის იგივე ფაქტორი, რომლითაც განტოლების ორივე ნაწილი უნდა გაიყოს ისე, რომ რიცხვები გამოჩნდეს სინუსისა და კოსინუსის წინ, რომლებიც თავად არიან სინუსები და კოსინუსები. მოდით გავყოთ:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
ვნახოთ, რა მივიღეთ მარცხნივ: არის ისეთი $\sin $ და $\cos $ ისეთი, რომ $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ და $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? ცხადია, არსებობს: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია გადავიწეროთ ჩვენი გამოთქმა შემდეგნაირად:
\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]
ახლა ჩვენ გვაქვს განსხვავების სინუსის ფორმულა. შეგვიძლია დავწეროთ ასე:
\[\sin \left(2x-\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]
ჩვენს წინაშეა უმარტივესი კლასიკური ტრიგონომეტრიული კონსტრუქცია. ნება მომეცით შეგახსენოთ:
ეს არის ის, რასაც ჩვენ ვწერთ ჩვენი კონკრეტული გამონათქვამისთვის:
\[\მარცხნივ[ \begin(გასწორება)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\ ]
\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& 2x=\frac(\ტექსტი( )\!\!\pi\!\!\ტექსტი( ))(3)+2\ტექსტი( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]
\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\ტექსტი( )n \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]
ხსნარის ნიუანსი
მაშ, რა უნდა გააკეთოთ, თუ მსგავს მაგალითს წააწყდებით:
- საჭიროების შემთხვევაში შეცვალეთ დიზაინი.
- იპოვნეთ კორექტირების კოეფიციენტი, აიღეთ მისგან ფესვი და გაყავით მაგალითის ორივე ნაწილი.
- ჩვენ ვუყურებთ, თუ რა მნიშვნელობებია მიღებული სინუსისა და კოსინუსის რიცხვებიდან.
- განტოლებას ვხსნით სხვაობის ან ჯამის სინუსის ან კოსინუსის ფორმულების მიხედვით.
- ჩვენ ვხსნით უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებას.
ამასთან დაკავშირებით, ყურადღებიან სტუდენტებს, სავარაუდოდ, ექნებათ ორი შეკითხვა.
რა გვიშლის ხელს, რომ დავწეროთ $\sin $ და $\cos $ კორექტირების ფაქტორის პოვნის ეტაპზე? — ჩვენ ხელს გვიშლის ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობა. ფაქტია, რომ მიღებული $\sin $ და $\cos $, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა იგივე არგუმენტი, უნდა დაემატოს ზუსტად "ერთს" კვადრატში. ამოხსნის პროცესში ძალიან ფრთხილად უნდა იყოთ, რომ "X"-ის წინ "დიუსი" არ დაკარგოთ.
დამხმარე კუთხის მეთოდი არის ინსტრუმენტი, რომელიც ეხმარება შეამციროს "მახინჯი" განტოლება სრულიად ადეკვატურ და "ლამაზად".
მაგალითი #2
\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]
ჩვენ ვხედავთ, რომ გვაქვს $((\sin )^(2))x$, ამიტომ გამოვიყენოთ შემცირების გამოთვლები. თუმცა, სანამ მათ გამოიყენებთ, მოდით ამოვიღოთ ისინი. ამისათვის გახსოვდეთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ორმაგი კუთხის კოსინუსი:
\[\cos 2x=((\cos)^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos)^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]
თუ მესამე ვარიანტში დავწერთ $\cos 2x$, მივიღებთ:
\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos)^(2))x)(x)\]
ცალკე დავწერ:
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]
იგივე შეიძლება გაკეთდეს $((\cos )^(2))x$-ისთვის:
\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]
ჩვენ გვჭირდება მხოლოდ პირველი გამოთვლები. მოდით, დავალებაზე ვიმუშაოთ:
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]
ახლა ჩვენ ვიყენებთ სხვაობის კოსინუსის გამოთვლებს. მაგრამ პირველ რიგში, მოდით გამოვთვალოთ შესწორება $l$:
ამ ფაქტის გათვალისწინებით გადავწეროთ:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]
ამ შემთხვევაში შეგვიძლია დავწეროთ, რომ $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$ და $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. გადავიწეროთ:
\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]
\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]
ფრჩხილში ჩავსვათ „მინუსი“. სახიფათო გზით. ამისათვის გაითვალისწინეთ შემდეგი:
\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\ტექსტი( ))(\ტექსტი(3))+2x \მარჯვნივ)=\]
\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]
ვუბრუნდებით ჩვენს გამონათქვამს და გვახსოვს, რომ $\varphi $-ის როლში გვაქვს გამონათქვამი $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x. $. ამიტომ, ჩვენ ვწერთ:
\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos x\]
\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]
მსგავსი პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გახსოვდეთ შემდეგი:
\[\cos \alpha =\cos \beta \]
\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& \ალფა =\ბეტა +2\ტექსტი( )\!\!\pi\!\!\ტექსტი( )n \\& \ალფა =-\ბეტა +2\ტექსტი ( )\!\!\pi\!\!\ტექსტი( )n \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]
მოდით შევხედოთ ჩვენს მაგალითს:
\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& 2x-\frac(2\ტექსტი( )\!\!\pi\!\!\ტექსტი( ))(3)=x+2\ტექსტი( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\ტექსტი( )n \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]
მოდით გამოვთვალოთ თითოეული ეს განტოლება:
და მეორე:
დავწეროთ საბოლოო პასუხი:
\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& x=\frac(2\ტექსტი( )\!\!\pi\!\!\ტექსტი( ))(3)+2\ტექსტი( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\ტექსტი( )n)(3) \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]
ხსნარის ნიუანსი
სინამდვილეში, ეს გამოთქმა წყდება მრავალი განსხვავებული გზით, თუმცა, ეს არის დამხმარე კუთხის მეთოდი ამ საქმესოპტიმალური. გარდა ამისა, ამ დიზაინის მაგალითის გამოყენებით, მსურს თქვენი ყურადღება გავამახვილო კიდევ რამდენიმე საინტერესო ხრიკსა და ფაქტზე:
- ხარისხის შემცირების ფორმულები. ამ ფორმულებს დამახსოვრება არ სჭირდება, მაგრამ მათი გამოყვანა უნდა იცოდე, რაზეც დღეს გითხარი.
- $\cos \alpha =\cos \beta $ ფორმის განტოლებების ამოხსნა.
- "ნულის" დამატება.
მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის. აქამდე $\sin$ და $\cos$, რომლებიც დამატებით არგუმენტად გამოვიყვანეთ, ვფიქრობდით, რომ დადებითი უნდა ყოფილიყო. ამიტომ, ახლა ჩვენ მოვაგვარებთ უფრო რთულ პრობლემებს.
უფრო რთული ამოცანების ანალიზი
მაგალითი #1
\[\ sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]
გადავცვალოთ პირველი ტერმინი:
\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]
\[=2\მარცხნივ(1-\cos 2x \მარჯვნივ)\cdot \sin x\]
ახლა კი ამ ყველაფერს ჩვენს თავდაპირველ კონსტრუქციაში ჩავანაცვლებთ:
\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin 2x\cos x-\ოპერატორის სახელი(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin \left(2x-x \მარჯვნივ)+2\sin x+4\cos x=5\]
წარმოგიდგენთ ჩვენს შესწორებას:
ჩვენ ვწერთ:
\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]
$\alpha $ ისეთი, რომ $\sin $ ან $\cos $ ტოლი იქნება $\frac(3)(5)$ და $\frac(4)(5)$ ტრიგონომეტრიული ცხრილიარა. მაშასადამე, მოდით უბრალოდ დავწეროთ და შევამციროთ გამოხატულება ჯამის სინუსამდე:
\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]
\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]
Ეს არის განსაკუთრებული შემთხვევა, უმარტივესი ტრიგონომეტრიული კონსტრუქცია:
რჩება იმის პოვნა, თუ რას უდრის $\varphi $. ეს არის ის, სადაც ბევრი სტუდენტი ცდება. ფაქტია, რომ $\varphi $-ზე დაწესებულია ორი მოთხოვნა:
\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ .\]
მოდით დავხატოთ რადარი და ვნახოთ სად ჩნდება ეს მნიშვნელობები:
ჩვენს გამონათქვამს რომ დავუბრუნდეთ, ჩვენ ვწერთ შემდეგს:
მაგრამ ეს ჩანაწერი შეიძლება ოდნავ გაუმჯობესდეს. რადგან ჩვენ ვიცით შემდეგი:
\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]
მაშინ ჩვენს შემთხვევაში შეგვიძლია დავწეროთ ასე:
მაგალითი #2
ამას დასჭირდება გადაჭრის მეთოდების კიდევ უფრო ღრმა გაგება სტანდარტული ამოცანებიარანაირი ტრიგონომეტრია. მაგრამ ამ მაგალითის გადასაჭრელად ჩვენ ასევე ვიყენებთ დამხმარე კუთხის მეთოდს.\[\]
პირველი, რაც იპყრობს თქვენს თვალს, არის ის, რომ არ არსებობს გრადუსები პირველზე მაღალი და, შესაბამისად, ვერაფერი დაიშლება გრადუსების გაფართოების ფორმულების მიხედვით. იყენებს ინვერსიებს:
რატომ გავავრცელე $5$. ნახე აქ:
ერთეული ძირითადის მიხედვით ტრიგონომეტრიული იდენტურობაშეგვიძლია დავწეროთ $((\sin )^(2))x+((\cos)^(2))x$:
რა გვაძლევს ასეთ ჩანაწერს? ფაქტია, რომ პირველ ფრჩხილში არის ზუსტი კვადრატი. მოდით გავაბრტყელოთ და მივიღოთ:
მე გთავაზობთ ახალი ცვლადის შემოღებას:
\[\sin x+\cos x=t\]
ამ შემთხვევაში ვიღებთ გამოთქმას:
\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]
\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]
ჯამში ვიღებთ:
\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]
რა თქმა უნდა, მცოდნე სტუდენტები ახლა იტყვიან, რომ ასეთი კონსტრუქციები ადვილად წყდება ერთგვაროვანზე გადაყვანით. თუმცა, თითოეულ განტოლებას მოვაგვარებთ დამხმარე კუთხის მეთოდის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ ჯერ გამოვთვალოთ შესწორება $l$:
\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]
გაყავით ყველაფერი $\sqrt(2)$-ზე:
\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]
მოდით შევამციროთ ყველაფერი $\cos$-მდე:
\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\ტექსტი( ))(\ტექსტი(4))\]
\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \მარჯვნივ) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ მარჯვნივ)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]
მოდით შევხედოთ თითოეულ ამ გამონათქვამს.
პირველ განტოლებას ფესვები არ აქვს და მნიშვნელში ირაციონალურობა დაგვეხმარება ამ ფაქტის დამტკიცებაში. გაითვალისწინეთ შემდეგი:
\[\sqrt(2)<1,5\]
\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1,5)=\frac(3)(3)=1\]
საერთო ჯამში, ჩვენ ნათლად დავამტკიცეთ, რომ საჭიროა $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ იყოს რიცხვის ტოლია, რომელიც მეტია "ერთზე" და, შესაბამისად, ამ კონსტრუქციას ფესვები არ აქვს.
მოდით საქმე მეორესთან:
მოდით გადავჭრათ ეს დიზაინი:
პრინციპში, თქვენ შეგიძლიათ დატოვოთ პასუხი ასე, ან შეგიძლიათ დახატოთ:
მნიშვნელოვანი პუნქტები
დასასრულს, კიდევ ერთხელ მინდა გავამახვილო თქვენი ყურადღება ნაწარმოებზე „მახინჯი“ არგუმენტებით, ე.ი. როდესაც $\sin$ და $\cos$ არ არის ცხრილის მნიშვნელობები. პრობლემა ისაა, რომ თუ ჩვენ ვიტყვით, რომ ჩვენს განტოლებაში $\frac(3)(5)$ არის $\cos $ და $\frac(4)(5)$ არის $\sin $, ბოლოს და ბოლოს, მას შემდეგ, რაც ჩვენ გადაწყვიტეთ დიზაინი, ჩვენ უნდა გავითვალისწინოთ ორივე ეს მოთხოვნა. ვიღებთ ორი განტოლების სისტემას. თუ ამას არ გავითვალისწინებთ, მივიღებთ შემდეგ სიტუაციას. ამ შემთხვევაში მივიღებთ ორ ქულას და $\varphi $-ის ნაცვლად გვექნება ორი რიცხვი: $\arcsin \frac(4)(5)$ და $-\arcsin \frac(4)(5)$, თუმცა, ბოლო ჩვენ არანაირად არ კმაყოფილი ვართ. იგივე მოხდება $\frac(3)(5)$ წერტილთან დაკავშირებით.
ეს პრობლემა ჩნდება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ჩვენ ვსაუბრობთ"მახინჯი" არგუმენტების შესახებ. როცა გვაქვს ცხრილის მნიშვნელობები, მაშინ არაფერია.
ვიმედოვნებ, დღევანდელი გაკვეთილი დაგეხმარა იმის გაგებაში, თუ რა არის დამხმარე კუთხის მეთოდი და როგორ გამოიყენო ის მაგალითებით. სხვადასხვა დონეზესირთულეები. მაგრამ ეს არ არის ერთადერთი გაკვეთილი, რომელიც ეძღვნება პრობლემების გადაჭრას დამხმარე კუთხის მეთოდის გამოყენებით. ასე რომ დარჩი ჩვენთან!
გაკვეთილის შეჯამება 10-11 კლასებისთვის
თემა 1 : დამხმარე არგუმენტის შეყვანის მეთოდი. ფორმულების წარმოშობა.
მიზნები:
ტრიგონომეტრიაში ამოცანების ამოხსნის ახალი მეთოდის ცოდნის ჩამოყალიბება, რომელშიც მისი გამოყენება შესაძლებელია ან აუცილებელია;
პრობლემის მდგომარეობის ანალიზის, შედარებისა და განსხვავებების პოვნის უნარების ჩამოყალიბება;
აზროვნების, განცხადებების ლოგიკისა და მართებულობის განვითარება, დასკვნების გამოტანისა და განზოგადების უნარი;
მეტყველების განვითარება, გამდიდრება და გართულება ლექსიკა, მოსწავლეთა მიერ ენის გამომსახველობითი თვისებების დაუფლება;
საგნისადმი დამოკიდებულების ჩამოყალიბება, ცოდნისადმი ენთუზიაზმი, პირობების შექმნა ცოდნის დაუფლების შემოქმედებითი არასტანდარტული მიდგომისთვის.
საჭირო ცოდნა, უნარები და შესაძლებლობები:
შეძლოს ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყვანა და მათი გამოყენება შემდგომი მუშაობა;
შეძლოს ამოხსნა ან გქონდეს წარმოდგენა, თუ როგორ უნდა გადაჭრას ტრიგონომეტრიული ამოცანები;
იცოდე ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულები.
სტუდენტების მზადყოფნის დონე ცნობიერი აღქმისთვის:
აღჭურვილობა: AWP, პრეზენტაცია დავალების პირობებით, გადაწყვეტილებები და საჭირო ფორმულები, ბარათები ამოცანებით და პასუხებით.
გაკვეთილის სტრუქტურა:
1. გაკვეთილის მიზნის დასახვა (2
ახალი მასალის შესასწავლად მომზადება (12 წთ).
ახალი მასალის გაცნობა (15 წთ).
ნასწავლის პირველადი გააზრება და გამოყენება (10 წთ).
საშინაო დავალების დადგენა (3 წთ).
გაკვეთილის შეჯამება (3 წთ).
გაკვეთილების დროს.
1. გაკვეთილის მიზნის დასახვა.
შეამოწმეთ მოსწავლეების მზადყოფნა და აღჭურვილობა გაკვეთილისთვის. სასურველია წინასწარ მომზადება საშინაო დავალებადაფაზე გამოსავლის განსახილველად. გაითვალისწინეთ, რომ გაკვეთილის მიზანია გააფართოვოთ ცოდნა ტრიგონომეტრიაში ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნის მეთოდების შესახებ და სცადოთ მათი ათვისება.
2. ახალი მასალის შესასწავლად მომზადება.
განიხილეთ საშინაო დავალება: გახსოვდეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულები, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები უმარტივესი არგუმენტებისთვის. გადახედეთ საშინაო დავალებას.
ფორმულები:
; 
;
; 
;
ამოცანა:გამოხატეთ გამოთქმა პროდუქტის სახით.
სტუდენტები სავარაუდოდ შესთავაზებენ შემდეგი გამოსავალი:
იმიტომ რომ მათ იციან ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის ნამრავლად გადაქცევის ფორმულები.
ჩვენ გთავაზობთ პრობლემის სხვა გადაწყვეტას: . აქ, ამოხსნისას, გამოყენებული იქნა ორი არგუმენტის სხვაობის კოსინუსის ფორმულა, სადაც არის დამხმარე. გაითვალისწინეთ, რომ თითოეულ ამ მეთოდში შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვა მსგავსი ფორმულები.
3. ახალი მასალის გაცნობა.
ჩნდება კითხვა, საიდან გაჩნდა დამხმარე არგუმენტი?
პასუხის მისაღებად განიხილეთ საერთო გადაწყვეტილებაპრობლემა, ჩვენ გამოვხატავთ გამონათქვამს ნამრავლად, სადაც და არიან თვითნებური არანულოვანი რიცხვები.
შემოგვაქვს დამატებითი კუთხე (დამხმარე არგუმენტი), სადაც , , მაშინ ჩვენი გამოთქმა მიიღებს ფორმას:
ამრიგად, მივიღეთ ფორმულა: .
თუ კუთხე შეყვანილია ფორმულების მიხედვით, მაშინ გამონათქვამი მიიღებს ფორმას და მივიღებთ ფორმულის განსხვავებულ ფორმას: .
ჩვენ მივიღეთ ფორმულები დამატებითი კუთხისთვის, რომელსაც ეწოდება დამხმარე არგუმენტის ფორმულები:
ფორმულებს ასევე შეიძლება ჰქონდეთ განსხვავებული ფორმა (აუცილებელია ყურადღება მიაქციოთ ამას Განსაკუთრებული ყურადღებადა აჩვენე მაგალითებით).
გაითვალისწინეთ, რომ უმარტივეს შემთხვევებში დამხმარე არგუმენტის შემოტანის მეთოდი მცირდება რიცხვების ჩანაცვლებამდე; ; ; ; ერთი; ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიშესაბამისი კუთხეები.
4. ნასწავლის პირველადი გააზრება და გამოყენება .
მასალის კონსოლიდაციის მიზნით, შემოთავაზებულია განიხილოს დავალების კიდევ რამდენიმე მაგალითი:
გამოხატვა, როგორც გამოხატვის პროდუქტი:
მიზანშეწონილია კლასში 3 და 4 ამოცანების ანალიზი (დავალებების ანალიზი წარმოდგენილია კლასების მასალებში). 1, 2 და 5 დავალებების შესრულება შესაძლებელია დამოუკიდებელი გადაწყვეტა(გაცემული პასუხები).
ტიპიური ამოცანების პირობების მახასიათებლების გასაანალიზებლად, რომლებშიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას გადაწყვეტის განხილული მეთოდი, შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვადასხვა მეთოდები. გაითვალისწინეთ, რომ დავალება 1 შეიძლება შესრულდეს სხვადასხვა გზით, ხოლო 2-5 დავალებების შესასრულებლად უფრო მოსახერხებელია დამხმარე კუთხის შემოღების მეთოდის გამოყენება.
ფრონტალური საუბრის დროს უნდა განიხილებოდეს, თუ რამდენად ჰგავს ეს ამოცანები გაკვეთილის დასაწყისში განხილულ მაგალითს, რა განსხვავებებია, შეიძლება თუ არა შემოთავაზებული მეთოდის გამოყენება მათ გადასაჭრელად და რატომ არის მისი გამოყენება უფრო მოსახერხებელი. .
მსგავსება: ყველა შემოთავაზებულ მაგალითში შესაძლებელია დამხმარე არგუმენტის დანერგვის მეთოდის გამოყენება და ეს უფრო მოსახერხებელი მეთოდია, რომელიც დაუყოვნებლივ მივყავართ შედეგამდე.
განსხვავება: პირველ მაგალითში შესაძლებელია განსხვავებული მიდგომა, ხოლო ყველა დანარჩენში შესაძლებელია დამხმარე არგუმენტის გამოყენების მეთოდი არა ერთი, არამედ რამდენიმე ფორმულის გამოყენებით.
ამოცანების განხილვის შემდეგ შეგიძლიათ მოიწვიოთ ბიჭები, რომ დანარჩენი თავად მოაგვარონ სახლში.
5. განცხადება საშინაო დავალების შესახებ.
სახლში გიწვევთ, ყურადღებით შეისწავლოთ გაკვეთილის რეზიუმე და ეცადოთ ამოხსნათ შემდეგი სავარჯიშოები.
გაკვეთილის თემა:ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას დამხმარე კუთხის შემოღების მეთოდი.
აქტუალიზაცია.
მასწავლებელი.
Ბიჭები! გავეცანით სხვადასხვა ტიპის ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს და ვისწავლეთ მათი ამოხსნა. დღეს განვაზოგადებთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების ცოდნას სხვადასხვა სახის. ამისათვის მე გთხოვთ, იმუშაოთ თქვენთვის შემოთავაზებული განტოლებების კლასიფიკაციაზე (იხ. განტოლებები No1-10 დანართში - რეფერატის ბოლოს PDF სახით)
შეავსეთ ცხრილი: მიუთითეთ განტოლების ტიპი, მისი ამოხსნის მეთოდი და შეადარეთ განტოლებების რიცხვები იმ ტიპს, რომელსაც ისინი მიეკუთვნებიან.
სტუდენტები.შეავსეთ ცხრილი.
| განტოლების ტიპი | გადაწყვეტის მეთოდი | განტოლებები |
| პროტოზოა | ძირეული ფორმულები | №1 |
| კვადრატამდე შემცირება | ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი | №2,3 |
| რთული ტრიგონომეტრიული ხედი | გამარტივება ცნობილ ფორმამდე ტრიგონომეტრიის ფორმულების გამოყენებით | №4,5 |
| ჰომოგენური პირველი ხარისხი | განტოლების ტერმინი გაყავით ცვლადის კოსინუსზე | №6 |
| მეორე ხარისხის ჰომოგენური | განტოლების ტერმინი გაყავით ცვლადის კოსინუსის კვადრატზე | №7 |
პრობლემატიზაცია.
ცხრილის შევსებისას მოსწავლეები პრობლემის წინაშე დგანან. ვერ ადგენენ სამი განტოლების ამოხსნის ტიპსა და მეთოდს: No8,9,10.
მასწავლებელი.მოახერხეთ ყველა განტოლების კლასიფიკაცია ამოხსნის ფორმისა და მეთოდის მიხედვით?
სტუდენტების პასუხი.არა, სამი განტოლება ვერ მოთავსდა ცხრილში.
მასწავლებელი.რატომ?
სტუდენტების პასუხი.ისინი არ ჰგვანან ცნობილი სახეობები. გადაწყვეტის მეთოდი არ არის ნათელი.
მიზნის დასახვა.
მასწავლებელი.მაშ, როგორ ჩამოვაყალიბოთ ჩვენი გაკვეთილის მიზანი?
უპასუხეთ სტუდენტებს. აღმოაჩინეთ აღმოჩენილი ახალი ტიპისგანტოლებები და იპოვნეთ მათი ამოხსნის მეთოდი.
მასწავლებელი. შესაძლებელია თუ არა გაკვეთილის თემის ჩამოყალიბება, თუ არ ვიცით აღმოჩენილი განტოლებების ტიპი და მათი ამოხსნის მეთოდი?
სტუდენტის პასუხი. არა, მაგრამ ამის გაკეთება მოგვიანებით შეგვიძლია, როცა გავიგებთ, რასთან გვაქვს საქმე.
აქტივობის დაგეგმვა.
მასწავლებელი.დავგეგმოთ ჩვენი საქმიანობა. ჩვეულებრივ, ჩვენ განვსაზღვრავთ ტიპს და შემდეგ ვეძებთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდს. ჩვენს ამჟამინდელ ვითარებაში შესაძლებელია თუ არა აღმოჩენილი განტოლების ტიპს კონკრეტული სახელი მივცეთ? და საერთოდ ერთ სახეობას ეკუთვნიან?
სტუდენტების პასუხი.ძნელი გასაკეთებელია.
მასწავლებელი.მერე დაფიქრდი, იქნებ რაღაც აერთიანებს მათ, თუ რაღაც ტიპს ჰგვანან?
სტუდენტების პასუხი.ამ განტოლებების მარცხენა მხარე იგივეა, რაც ერთგვაროვანი, მაგრამ მათი მარჯვენა არ არის ნულის ტოლი. ასე რომ, კოსინუსზე გაყოფა მხოლოდ გაართულებს ამოხსნას.
მასწავლებელი.იქნებ დავიწყოთ ამოხსნის მეთოდის მოძიებით და შემდეგ განტოლების ტიპი განვსაზღვროთ? თქვენი აზრით, 3 განტოლებიდან რომელია ყველაზე მარტივი?
პასუხობენ სტუდენტებიმაგრამ არ არსებობს კონსენსუსი. იქნებ ვინმე გამოიცნობს, რომ მე-8 განტოლებაში კოეფიციენტები უნდა იყოს გამოხატული ცხრილის კუთხის სინუსად და კოსინუსად. და შემდეგ კლასი განსაზღვრავს განტოლებას, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია. თუ არა, მასწავლებელი გვთავაზობს განიხილოს დამატებითი განტოლება (იხ. განტოლება No11 დანართში - რეფერატის ბოლოს PDF სახით). მასში კოეფიციენტები უდრის ცნობილი კუთხის სინუსსა და კოსინუსს და ეს მოსწავლეებმა უნდა შეამჩნიონ.
მასწავლებელი აძლევს აქტივობების თანმიმდევრობას. ( იხ განტოლებები დანართში - რეფერატის ბოლოს PDF ფორმაში).
- ამოხსენით პირველი განტოლება (№11), კოეფიციენტების ჩანაცვლებით ცნობილი კუთხის სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობებით და ჯამის სინუსის ფორმულის გამოყენებით.
- შეეცადეთ გადაიყვანოთ სხვა განტოლებები პირველის ფორმაში და გამოიყენოთ იგივე მეთოდი. ( იხილეთ განტოლება #8,9,12)
- მეთოდის განზოგადება და გაფართოება ნებისმიერ კოეფიციენტზე და მოქმედებების ზოგადი ალგორითმის აგება (იხ. განტოლება #10).
- გამოიყენეთ მეთოდი იმავე ტიპის სხვა განტოლებების ამოსახსნელად. (იხ. განტოლებები No12,13,14).
გეგმის განხორციელება.
მასწავლებელი. კარგი, ჩვენ შევქმენით გეგმა. დავიწყოთ მისი განხორციელება.
დაფაზე მოსწავლე ხსნის მე-11 განტოლებას.
მეორე მოსწავლე ხსნის შემდეგ მე-8 განტოლებას გაყოფის შემდეგ მუდმივი რიცხვიდა, ამით, სიტუაციის დაყვანა უკვე ნაპოვნი გამოსავალამდე.
მასწავლებელი სთავაზობს 9.12 განტოლებების დამოუკიდებლად ამოხსნას. ამოწმებს გარდაქმნების სისწორეს და ამონახსნებს.
მასწავლებელი.ბიჭებო, როგორ შეიძლება დავარქვათ კუთხე, რომელიც ჩნდება განტოლების კოეფიციენტების ნაცვლად და გვეხმარება ამონახსნისას?
სტუდენტების პასუხი.დამატებითი. (ვარიანტი: დამხმარე).
მასწავლებელი.ასეთი დამხმარე კუთხის პოვნა ყოველთვის ადვილი არ არის. შესაძლებელია თუ არა მისი პოვნა, თუ კოეფიციენტები არ არის სინუსი და კოსინუსი ცნობილი კუთხეები? რა იდენტობას უნდა აკმაყოფილებდეს ასეთი კოეფიციენტები, თუ გვინდა წარმოვიდგინოთ ისინი დამხმარე კუთხის სინუსად და კოსინუსად?
უპასუხე.ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობა.
მასწავლებელი.კარგად გააკეთე! სწორად! ასე რომ, ჩვენი ამოცანაა მივიღოთ ისეთი კოეფიციენტები, რომ მათი კვადრატების ჯამი უდრის ერთს! სცადეთ გამოთვალოთ რიცხვი, რომლითაც უნდა გაყოთ განტოლება ისე, რომ დაკმაყოფილდეს ჩვენს მიერ მითითებული პირობა.
მოსწავლეები ფიქრობენ და, შესაძლოა, შესთავაზონ ყველაფრის გაყოფა განტოლების კოეფიციენტების კვადრატების ჯამის კვადრატულ ფესვზე. თუ არა, მასწავლებელი მათ ამ აზრამდე მიჰყავს.
მასწავლებელი.ჩვენთვის რჩება ავირჩიოთ ახალი კოეფიციენტებიდან რომელი დავასახელოთ დამხმარე კუთხის სინუსად და რომელი კოსინუსად. არის ორი ვარიანტი. უმარტივეს განტოლებაზე გადასვლა სინუსით ან კოსინუსით დამოკიდებულია არჩევანზე.
სტუდენტებისთავაზობენ გამოსავალს, მასწავლებელი კი ავსებს, ყურადღებას აქცევს მსჯელობის ჩაწერის ფორმას და პასუხს. ამოხსენით განტოლება 10.
მასწავლებელი. აღმოვაჩინეთ ახალი ტიპის განტოლების ამოხსნის მეთოდი? რას ვეძახით ამ ტიპს?
უპასუხე.ვიმუშავეთ დამხმარე კუთხის პოვნის მეთოდით. იქნებ განტოლებებს უნდა ვუწოდოთ განტოლებები, რომლებიც ამოხსნილია დამხმარე კუთხით?
მასწავლებელი.Რა თქმა უნდა შეგიძლიათ. შეგიძლიათ მოიფიქრეთ ფორმულა მათთვის? უფრო მოკლე იქნება.
უპასუხე.დიახ. განტოლებები A, B და C კოეფიციენტებით.
მასწავლებელი.მოდით განვაზოგადოთ მეთოდი თვითნებური კოეფიციენტებისთვის.
მასწავლებელი განიხილავს და დაფაზე წერს დამხმარე კუთხის სინუსის და კოსინუსის ფორმულებს განზოგადებული კოეფიციენტებისთვის. შემდეგ მათი დახმარებით ხსნის მე-13 და მე-14 განტოლებებს.
მასწავლებელი.საკმარისად ავითვისეთ მეთოდი?
უპასუხე.არა. აუცილებელია ასეთი განტოლებების ამოხსნა და დამხმარე კუთხის მეთოდის გამოყენების უნარის კონსოლიდაცია.
მასწავლებელი.როგორ გავიგოთ, რომ მეთოდი აითვისა?
უპასუხე.თუ რამდენიმე განტოლებას თავად გადავწყვეტთ.
მასწავლებელი.დავადგინოთ მეთოდის ათვისების თვისებრივი სკალა.
გაეცანით დონეების მახასიათებლებს და განათავსეთ ისინი სასწორზე, რომელიც ასახავს ამ უნარის დაუფლების დონეს. დონისა და ქულის მახასიათებლების კორელაცია (0-დან 3-მდე)
- შემიძლია განტოლებების ამოხსნა სხვადასხვა კოეფიციენტებით
- ვერ ხსნის განტოლებებს
- შემიძლია რთული განტოლებების ამოხსნა
- შემიძლია განტოლებების ამოხსნა ტაბულური კოეფიციენტებით
მასწავლებელი.(სტუდენტების პასუხის შემდეგ) ასე რომ, ჩვენი შეფასების სკალა ასეთია:
იგივე პრინციპით ვაფასებთ დამოუკიდებელი მუშაობათემა შემდეგ გაკვეთილზე.
ახლა კი გთხოვთ ამოხსნათ განტოლებები No1148 g, 1149 g, 1150 g და დაადგინოთ თემის ათვისების დონე.
არ დაგავიწყდეთ ცხრილში ჩანაწერების შევსება და თემის დასახელება: „დამხმარე კუთხის შეყვანა ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას“.
მიზნის მიღწევის გზის ასახვა.
მასწავლებელი.ბიჭებო, მივაღწიეთ გაკვეთილის მიზანს?
მოსწავლეთა პასუხები. დიახ, ჩვენ ვისწავლეთ ახალი ტიპის განტოლების ამოცნობა.
ვიპოვეთ მათი ამოხსნის მეთოდი დამხმარე კუთხის გამოყენებით.
ისწავლა მეთოდის პრაქტიკაში გამოყენება.
მასწავლებელი.როგორ მოვიქეცით? როგორ მივიღეთ იმის გაგება, თუ რა უნდა გავაკეთოთ?
უპასუხე.ჩვენ განვიხილეთ განტოლებების რამდენიმე განსაკუთრებული შემთხვევა "ცნობადი" კოეფიციენტებით და გავაფართოვეთ ეს ლოგიკა A, B და C ნებისმიერ მნიშვნელობებზე.
მასწავლებელი.ეს არის ინდუქციური აზროვნება: ჩვენ რამდენიმე შემთხვევიდან ავიღეთ მეთოდი და გამოვიყენეთ მსგავს შემთხვევებში.
პერსპექტივა.სად შეიძლება გამოვიყენოთ ეს აზროვნება? (სტუდენტის პასუხები)
დღეს კარგი საქმე გააკეთე კლასში. სახლში წაიკითხეთ სახელმძღვანელოში დამხმარე კუთხის მეთოდის აღწერა და ამოხსენით No1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c). იმედი მაქვს, რომ შემდეგ გაკვეთილზე ყველანი კარგად გამოიყენებთ ამ მეთოდს ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას.
მადლობა გაკვეთილისთვის!
