არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები
თეორიული ინფორმაცია
თეორიული ინფორმაცია
არითმეტიკული პროგრესია |
გეომეტრიული პროგრესია |
|
განმარტება |
არითმეტიკული პროგრესია a nეწოდება თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა წევრს, დამატებული იგივე რიცხვით. დ (დ- პროგრესის განსხვავება) |
გეომეტრიული პროგრესია ბ ნეწოდება არანულოვანი რიცხვების თანმიმდევრობას, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა წევრს გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ქ (ქ- პროგრესირების მნიშვნელი) |
განმეორებითი ფორმულა |
ნებისმიერი ბუნებრივი ნ |
ნებისმიერი ბუნებრივი ნ |
n-ე ტერმინის ფორმულა |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| დამახასიათებელი თვისება |  |
|
| პირველი n წევრთა ჯამი |  |
 |
დავალებების მაგალითები კომენტარებით
სავარჯიშო 1
არითმეტიკული პროგრესიით ( a n) a 1 = -6, a 2
n-ე ტერმინის ფორმულის მიხედვით:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 დღე
პირობით:
a 1= -6, ასე რომ a 22= -6 + 21d.
აუცილებელია პროგრესირებათა განსხვავების პოვნა:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
პასუხი: a 22 = -48.
დავალება 2
იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეხუთე წევრი: -3; 6;....
1 გზა (n-ტერმინის ფორმულის გამოყენებით)
გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულის მიხედვით:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
იმიტომ რომ ბ 1 = -3,
მე-2 გზა (რეკურსიული ფორმულის გამოყენებით)
ვინაიდან პროგრესიის მნიშვნელი არის -2 (q = -2), მაშინ:
ბ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
ბ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
ბ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
პასუხი: ბ 5 = -48.
დავალება 3
არითმეტიკული პროგრესიით ( ა ნ) 74 = 34; 76= 156. იპოვეთ ამ პროგრესიის სამოცდამეხუთე წევრი.
არითმეტიკული პროგრესიისთვის დამახასიათებელ თვისებას აქვს ფორმა 
.
ამიტომ:
.
ჩაანაცვლეთ მონაცემები ფორმულაში:
პასუხი: 95.
დავალება 4
არითმეტიკული პროგრესიით ( ა ნ ) ა ნ= 3n - 4. იპოვეთ პირველი ჩვიდმეტი წევრის ჯამი.
არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის საპოვნელად გამოიყენება ორი ფორმულა:
.
რომელში ამ საქმესუფრო მოსახერხებელია გამოსაყენებლად?
პირობით, ცნობილია საწყისი პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა ( a n) a n= 3n - 4. შეიძლება მოიძებნოს დაუყოვნებლივ და a 1, და a 16პოვნის გარეშე დ. ამიტომ, ჩვენ ვიყენებთ პირველ ფორმულას.
პასუხი: 368.
დავალება 5
არითმეტიკული პროგრესიით a n) a 1 = -6; a 2= -8. იპოვეთ პროგრესიის ოცდამეორე წევრი.
n-ე ტერმინის ფორმულის მიხედვით:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 დღე.
პირობით, თუ a 1= -6, მაშინ a 22= -6 + 21d. აუცილებელია პროგრესირებათა განსხვავების პოვნა:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
პასუხი: a 22 = -48.
დავალება 6
გეომეტრიული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრია ჩაწერილი:
იპოვეთ პროგრესიის ტერმინი, რომელიც აღინიშნება ასო x-ით.
ამოხსნისას ვიყენებთ n-ე ტერმინის ფორმულას b n \u003d b 1 ∙ q n - 1გეომეტრიული პროგრესიებისთვის. პროგრესის პირველი წევრი. პროგრესიის q მნიშვნელის საპოვნელად, თქვენ უნდა აიღოთ პროგრესიის რომელიმე ტერმინი და გაყოთ წინაზე. ჩვენს მაგალითში შეგიძლიათ აიღოთ და გაყოთ. ვიღებთ, რომ q \u003d 3. n-ის ნაცვლად, ფორმულაში ვცვლით 3-ს, რადგან აუცილებელია მოცემული გეომეტრიული პროგრესიის მესამე წევრის პოვნა.
ნაპოვნი მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
.
პასუხი:.
დავალება 7
არითმეტიკული პროგრესიებიდან, მოცემული ფორმულითმე-n ტერმინი, აირჩიეთ ის, რისთვისაც პირობა დაკმაყოფილებულია a 27 > 9:
ვინაიდან მითითებული პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს პროგრესიის 27-ე ტერმინისთვის, ჩვენ ვცვლით 27-ს n-ის ნაცვლად ოთხივე პროგრესიაში. მე-4 პროგრესში ვიღებთ:
.
პასუხი: 4.
დავალება 8
არითმეტიკული პროგრესიით a 1= 3, d = -1.5. დააკონკრეტეთ უმაღლესი ღირებულება n , რომლისთვისაც უტოლობა a n > -6.
ბევრს სმენია არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ, მაგრამ ყველამ კარგად არ იცის რა არის ეს. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ შესაბამის განმარტებას და ასევე განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და მოვიყვანთ რამდენიმე მაგალითს.
მათემატიკური განმარტება
ასე რომ, თუ ჩვენ ვსაუბრობთარითმეტიკული ან ალგებრული პროგრესიის შესახებ (ეს ცნებები განსაზღვრავს იგივეს), ეს ნიშნავს, რომ არსებობს გარკვეული რიცხვების სერიადამაკმაყოფილებელი შემდეგი კანონი: სერიების ყოველი ორი მიმდებარე რიცხვი ერთნაირი რაოდენობით განსხვავდება. მათემატიკურად ეს ასე წერია:
აქ n ნიშნავს a n ელემენტის რაოდენობას მიმდევრობაში, ხოლო რიცხვი d არის პროგრესიის სხვაობა (მისი სახელი გამომდინარეობს წარმოდგენილი ფორმულიდან).
რას ნიშნავს d განსხვავების ცოდნა? იმის შესახებ, თუ რამდენად დაშორებულია მიმდებარე ნომრები ერთმანეთისგან. თუმცა დ-ის ცოდნა აუცილებელია, მაგრამ არა საკმარისი მდგომარეობამთელი პროგრესის დადგენა (აღდგენა). თქვენ უნდა იცოდეთ კიდევ ერთი რიცხვი, რომელიც შეიძლება იყოს განხილული სერიის აბსოლუტურად ნებისმიერი ელემენტი, მაგალითად, 4, a10, მაგრამ, როგორც წესი, გამოიყენება პირველი რიცხვი, ანუ 1.
პროგრესირების ელემენტების განსაზღვრის ფორმულები
ზოგადად, ზემოთ მოყვანილი ინფორმაცია უკვე საკმარისია გადაწყვეტის გასაგრძელებლად კონკრეტული ამოცანები. მიუხედავად ამისა, სანამ არითმეტიკული პროგრესია იქნება მოცემული და საჭირო იქნება მისი განსხვავების პოვნა, წარმოგიდგენთ წყვილს სასარგებლო ფორმულები, რითაც ხელს უწყობს პრობლემების გადაჭრის შემდგომ პროცესს.
ადვილია იმის ჩვენება, რომ მიმდევრობის ნებისმიერი ელემენტი n ნომრით შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d
მართლაც, ყველას შეუძლია შეამოწმოს ეს ფორმულა მარტივი ჩამოთვლით: თუ ჩაანაცვლებთ n = 1-ს, მაშინ მიიღებთ პირველ ელემენტს, თუ ჩაანაცვლებთ n = 2-ს, მაშინ გამოხატულება იძლევა პირველი რიცხვისა და სხვაობის ჯამს და ა.შ. .
მრავალი ამოცანის პირობები ისეა შედგენილი, რომ რიცხვების ცნობილი წყვილისთვის, რომელთა რიცხვებიც თანმიმდევრობითაა მოცემული, საჭიროა მთელი რიცხვების სერიის აღდგენა (იპოვეთ განსხვავება და პირველი ელემენტი). ახლა ჩვენ ამ პრობლემას ზოგადი გზით მოვაგვარებთ.
ასე რომ, დავუშვათ, რომ გვაქვს ორი ელემენტი n და m რიცხვებით. ზემოთ მიღებული ფორმულის გამოყენებით შეგვიძლია შევადგინოთ ორი განტოლების სისტემა:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
საპოვნელად უცნობი რაოდენობითგამოვიყენოთ კარგად ცნობილი მარტივი ხრიკიასეთი სისტემის ამონახსნები: წყვილად ვაკლებთ მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, თანასწორობა კი ძალაში რჩება. Ჩვენ გვაქვს:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
ამრიგად, ჩვენ აღმოვფხვრათ ერთი უცნობი (a 1). ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ საბოლოო გამოხატულება d-ის დასადგენად:
d = (a n - a m) / (n - m), სადაც n > m
მივიღეთ ძალიან მარტივი ფორმულა: d სხვაობის გამოსათვლელად პრობლემის პირობების შესაბამისად, საჭიროა მხოლოდ თავად ელემენტების განსხვავებების თანაფარდობა და მათი სერიული ნომრების შეფარდება. ერთზე უნდა იყოს ფოკუსირებული მნიშვნელოვანი წერტილიყურადღება: განსხვავებები აღებულია "უფროს" და "უმცროს" წევრებს შორის, ანუ n > m ("უფროსი" - ნიშნავს მიმდევრობის დასაწყისიდან უფრო შორს დგომას, მის აბსოლუტური მნიშვნელობაშეიძლება იყოს უფრო დიდი ან ნაკლები ვიდრე "უმცროსი" ელემენტი).
პროგრესიის d სხვაობის გამოხატულება უნდა შეიცვალოს რომელიმე განტოლებაში პრობლემის ამოხსნის დასაწყისში, რათა მივიღოთ პირველი წევრის მნიშვნელობა.
ჩვენი განვითარების ეპოქაში კომპიუტერული ტექნოლოგიაბევრი სკოლის მოსწავლე ცდილობს თავისი ამოცანების გადაწყვეტილებების მოძიებას ინტერნეტში, ამიტომ ხშირად ჩნდება ამ ტიპის კითხვები: იპოვნეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა ინტერნეტში. ასეთი მოთხოვნის შემთხვევაში საძიებო სისტემა გამოაჩენს უამრავ ვებ გვერდს, რომლებზედაც გადასვლით მოგიწევთ მდგომარეობიდან ცნობილი მონაცემების შეყვანა (ეს შეიძლება იყოს პროგრესირების ორი წევრი ან ზოგიერთი მათგანის ჯამი). და მყისიერად მიიღეთ პასუხი. მიუხედავად ამისა, პრობლემის გადაჭრისადმი ასეთი მიდგომა არაპროდუქტიულია მოსწავლის განვითარებისა და მისთვის დაკისრებული ამოცანის არსის გააზრების თვალსაზრისით.
გამოსავალი ფორმულების გამოყენების გარეშე
მოდით გადავწყვიტოთ პირველი პრობლემა, მაშინ როცა ზემოთ ჩამოთვლილ ფორმულებს არ გამოვიყენებთ. მიეცით სერიის ელემენტები: a6 = 3, a9 = 18. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
ცნობილი ელემენტები ზედიზედ ახლოს არის ერთმანეთთან. რამდენჯერ უნდა დაემატოს განსხვავება d უმცირესს, რომ მივიღოთ უდიდესი? სამჯერ (პირველ ჯერზე d-ს მიმატებით ვიღებთ მე-7 ელემენტს, მეორედ - მერვეს, ბოლოს, მესამედ - მეცხრეს). რა რიცხვი უნდა დაემატოს სამს სამჯერ, რომ მივიღოთ 18? ეს არის ნომერი ხუთი. ნამდვილად:
ამრიგად, უცნობი განსხვავებაა d = 5.
რა თქმა უნდა, გამოსავალი შეიძლება გაკეთდეს შესაბამისი ფორმულის გამოყენებით, მაგრამ ეს არ გაკეთებულა განზრახ. დეტალური განმარტებაპრობლემის გადაჭრა უნდა იყოს ნათელი და მთავარი მაგალითი, რა არითმეტიკული პროგრესია.
წინა მსგავსი დავალება
ახლა გადავწყვიტოთ მსგავსი დავალება, მაგრამ შეცვალეთ შეყვანის მონაცემები. ასე რომ, თქვენ უნდა იპოვოთ, თუ a3 = 2, a9 = 19.
რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ კვლავ მიმართოთ „შუბლზე“ ამოხსნის მეთოდს. მაგრამ მას შემდეგ, რაც მოცემულია სერიის ელემენტები, რომლებიც შედარებით შორს არიან ერთმანეთისგან, ასეთი მეთოდი არც თუ ისე მოსახერხებელი ხდება. მაგრამ მიღებული ფორმულის გამოყენება სწრაფად მიგვიყვანს პასუხამდე:
d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83
აქ დავამრგვალეთ საბოლოო რიცხვი. რამდენად გამოიწვია ამ დამრგვალებამ შეცდომა, შეიძლება ვიმსჯელოთ შედეგის შემოწმებით:
a 9 \u003d a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98
ეს შედეგი მხოლოდ 0.1%-ით განსხვავდება პირობით მოცემული მნიშვნელობიდან. აქედან გამომდინარე, შეიძლება ჩაითვალოს გამოყენებული დამრგვალება მეასედამდე წარმატებული არჩევანი.
წევრის ფორმულის გამოყენების ამოცანები
განიხილეთ კლასიკური მაგალითიამოცანები უცნობი d-ის დასადგენად: იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, თუ a1 = 12, a5 = 40.
როდესაც მოცემულია ორი უცნობი რიცხვი ალგებრული თანმიმდევრობადა ერთ-ერთი მათგანია ელემენტი a 1, მაშინ არ გჭირდებათ დიდხანს ფიქრი, მაგრამ დაუყოვნებლივ უნდა გამოიყენოთ a n წევრის ფორმულა. ამ შემთხვევაში გვაქვს:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Მივიღეთ ზუსტი რიცხვიგაყოფისას, ამიტომ აზრი არ აქვს გამოთვლილი შედეგის სიზუსტის შემოწმებას, როგორც ეს გაკეთდა წინა აბზაცში.
გადავჭრათ კიდევ ერთი მსგავსი პრობლემა: უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, თუ a1 = 16, a8 = 37.
ჩვენ ვიყენებთ წინა მიდგომის მსგავს მიდგომას და ვიღებთ:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
კიდევ რა უნდა იცოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ
პოვნის ამოცანის გარდა უცნობი განსხვავებაან ცალკეულ ელემენტებს, ხშირად საჭიროა მიმდევრობის პირველი წევრთა ჯამის ამოცანების ამოხსნა. ამ პრობლემების განხილვა სცილდება სტატიის თემის ფარგლებს, თუმცა ინფორმაციის სისრულისთვის წარმოგიდგენთ ზოგადი ფორმულასერიის n რიცხვების ჯამისთვის:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
თუ ყოველი ნატურალური რიცხვი ნ რიგში დასვა ნამდვილი რიცხვი a n , მაშინ ამბობენ, რომ მოცემული რიცხვების თანმიმდევრობა :
ა 1 , ა 2 , ა 3 , . . . , a n , . . . .
Ისე, რიცხვითი თანმიმდევრობაბუნებრივი არგუმენტის ფუნქციაა.
ნომერი ა 1 დაურეკა მიმდევრობის პირველი წევრი , ნომერი ა 2 — მიმდევრობის მეორე წევრი , ნომერი ა 3 — მესამე და ასე შემდეგ. ნომერი a n დაურეკა მე-n წევრითანმიმდევრობები და ნატურალური რიცხვი ნ — მისი ნომერი .
ორი მეზობელი წევრისგან a n და a n +1 წევრის თანმიმდევრობა a n +1 დაურეკა შემდგომი ( მიმართ a n ), ა a n — წინა ( მიმართ a n +1 ).
მიმდევრობის დასაზუსტებლად, თქვენ უნდა მიუთითოთ მეთოდი, რომელიც საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ მიმდევრობის წევრი ნებისმიერი რიცხვით.
ხშირად თანმიმდევრობა მოცემულია n-ე ტერმინის ფორმულები , ანუ ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ მიმდევრობის წევრი მისი რიცხვით.
Მაგალითად,
დადებითი თანმიმდევრობა დაამატე ციფრებიშეიძლება იყოს მოცემული ფორმულით
a n= 2n- 1,
და მონაცვლეობის თანმიმდევრობა 1 და -1 - ფორმულა
ბნ = (-1)ნ +1 . ◄
თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს განმეორებითი ფორმულა, ანუ ფორმულა, რომელიც გამოხატავს მიმდევრობის რომელიმე წევრს, დაწყებული ზოგიერთით, წინა (ერთი ან მეტი) წევრის გავლით.
Მაგალითად,
თუ ა 1 = 1 , ა a n +1 = a n + 5
ა 1 = 1,
ა 2 = ა 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
ა 3 = ა 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
ა 4 = ა 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
ა 5 = ა 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Თუ a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , მაშინ რიცხვითი მიმდევრობის პირველი შვიდი წევრი დაყენებულია შემდეგნაირად:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
ა 6 = ა 4 + ა 5 = 3 + 5 = 8,
ა 7 = ა 5 + ა 6 = 5 + 8 = 13. ◄
თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს საბოლოო და გაუთავებელი .
თანმიმდევრობა ე.წ საბოლოო თუ მას ჰყავს წევრების სასრული რაოდენობა. თანმიმდევრობა ე.წ გაუთავებელი თუ მას უსასრულოდ ბევრი წევრი ჰყავს.
Მაგალითად,
ორნიშნა ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობა:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
საბოლოო.
ძირითადი რიცხვების თანმიმდევრობა:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
გაუთავებელი. ◄
თანმიმდევრობა ე.წ იზრდება , თუ მისი ყოველი წევრი მეორიდან დაწყებული წინაზე მეტია.
თანმიმდევრობა ე.წ მცირდება , თუ მისი ყოველი წევრი მეორიდან დაწყებული წინაზე ნაკლებია.
Მაგალითად,
2, 4, 6, 8, . . . , 2ნ, . . . არის აღმავალი მიმდევრობა;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ნ, . . . არის დაღმავალი მიმდევრობა. ◄
თანმიმდევრობას, რომლის ელემენტები არ მცირდება რიცხვის ზრდასთან ერთად, ან, პირიქით, არ იზრდება, ეწოდება ერთფეროვანი თანმიმდევრობა .
მონოტონური მიმდევრობები, კერძოდ, არის მზარდი და კლებადი მიმდევრობები.
არითმეტიკული პროგრესია
არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, რომელსაც ემატება იგივე რიცხვი.
ა 1 , ა 2 , ა 3 , . . . , a n, . . .
არის არითმეტიკული პროგრესია თუ ასეა ბუნებრივი რიცხვი ნ პირობა დაკმაყოფილებულია:
a n +1 = a n + დ,
სადაც დ - რაღაც ნომერი.
ამრიგად, სხვაობა მოცემული არითმეტიკული პროგრესიის შემდეგ და წინა წევრებს შორის ყოველთვის მუდმივია:
a 2 - ა 1 = a 3 - ა 2 = . . . = a n +1 - a n = დ.
ნომერი დ დაურეკა არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის დასაყენებლად საკმარისია მიუთითოთ მისი პირველი წევრი და განსხვავება.
Მაგალითად,
თუ ა 1 = 3, დ = 4 , მაშინ მიმდევრობის პირველი ხუთი წევრი გვხვდება შემდეგნაირად:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + დ = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + დ= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + დ= 11 + 4 = 15,
ა 5 = ა 4 + დ= 15 + 4 = 19. ◄
პირველი წევრის არითმეტიკული პროგრესიისთვის ა 1 და განსხვავება დ მისი ნ
a n = a 1 + (ნ- 1)დ.
Მაგალითად,
იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის ოცდამეათე წევრი
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, დ = 3,
30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = a 1 + (ნ- 2)დ,
a n= a 1 + (ნ- 1)დ,
a n +1 = ა 1 + და,
მაშინ აშკარად
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის წინა და მომდევნო წევრების საშუალო არითმეტიკულს.
რიცხვები a, b და c არიან ზოგიერთი არითმეტიკული პროგრესიის თანმიმდევრული წევრები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანი უდრის დანარჩენი ორის საშუალო არითმეტიკულს.
Მაგალითად,
a n = 2ნ- 7 , არის არითმეტიკული პროგრესია.
მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული განცხადება. Ჩვენ გვაქვს:
a n = 2ნ- 7,
n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2ნ- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2ნ- 5.
შესაბამისად,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2ნ- 5 + 2ნ- 9
| = 2ნ- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Ჩაინიშნე ნ - არითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი შეიძლება მოიძებნოს არა მხოლოდ მეშვეობით ა 1 , არამედ ნებისმიერი წინა კ
a n = კ + (ნ- კ)დ.
Მაგალითად,
ამისთვის ა 5 შეიძლება დაიწეროს
a 5 = a 1 + 4დ,
a 5 = a 2 + 3დ,
a 5 = a 3 + 2დ,
a 5 = a 4 + დ. ◄
a n = ნ-კ + კდ,
a n = a n+k - კდ,
მაშინ აშკარად
| a n=
| ა ნ-კ
+ ა n+k
|
| 2
|
არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის ამ არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამის ნახევარს მისგან თანაბრად დაშორებული.
გარდა ამისა, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიისთვის, თანასწორობა მართალია:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Მაგალითად,
არითმეტიკული პროგრესიით
1) ა 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ა 9 + ა 11 )/2;
2) 28 = ა 10 = a 3 + 7დ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) ა 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, რადგან
2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,
პირველი ნ არითმეტიკული პროგრესიის წევრები უდრის უკიდურესი წევრთა ჯამის ნახევრის ნამრავლს წევრთა რაოდენობის მიხედვით:
აქედან, კერძოდ, გამომდინარეობს, რომ თუ საჭიროა ვადების შეჯამება
კ, კ +1 , . . . , a n,
მაშინ წინა ფორმულა ინარჩუნებს თავის სტრუქტურას:
Მაგალითად,
არითმეტიკული პროგრესიით 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
ს 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ს 10 - ს 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
თუ მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია, მაშინ რაოდენობები ა 1 , a n, დ, ნდას ნ დაკავშირებულია ორი ფორმულით:
ამიტომ, თუ სამიმოცემულია ამ სიდიდეებიდან, შემდეგ დანარჩენი ორი სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობები განისაზღვრება ამ ფორმულებიდან, რომლებიც გაერთიანებულია ორი განტოლების სისტემაში ორი უცნობით.
არითმეტიკული პროგრესია არის მონოტონური თანმიმდევრობა. სადაც:
- თუ დ > 0 , მაშინ ის იზრდება;
- თუ დ < 0 , მაშინ ის მცირდება;
- თუ დ = 0 , მაშინ თანმიმდევრობა სტაციონარული იქნება.
გეომეტრიული პროგრესია
გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, გამრავლებული იმავე რიცხვზე.
ბ 1 , ბ 2 , ბ 3 , . . . , ბ ნ, . . .
არის გეომეტრიული პროგრესია, თუ რომელიმე ნატურალური რიცხვისთვის ნ პირობა დაკმაყოფილებულია:
ბ ნ +1 = ბ ნ · ქ,
სადაც ქ ≠ 0 - რაღაც ნომერი.
ამრიგად, ამ გეომეტრიული პროგრესიის შემდეგი წევრის თანაფარდობა წინასთან არის მუდმივი რიცხვი:
ბ 2 / ბ 1 = ბ 3 / ბ 2 = . . . = ბ ნ +1 / ბ ნ = ქ.
ნომერი ქ დაურეკა გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.
გეომეტრიული პროგრესიის დასაყენებლად საკმარისია მიუთითოთ მისი პირველი წევრი და მნიშვნელი.
Მაგალითად,
თუ ბ 1 = 1, ქ = -3 , მაშინ მიმდევრობის პირველი ხუთი წევრი გვხვდება შემდეგნაირად:
ბ 1 = 1,
ბ 2 = ბ 1 · ქ = 1 · (-3) = -3,
ბ 3 = ბ 2 · ქ= -3 · (-3) = 9,
ბ 4 = ბ 3 · ქ= 9 · (-3) = -27,
ბ 5 = ბ 4 · ქ= -27 · (-3) = 81. ◄
ბ 1 და მნიშვნელი ქ მისი ნ - ტერმინი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:
ბ ნ = ბ 1 · q n -1 .
Მაგალითად,
იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეშვიდე წევრი 1, 2, 4, . . .
ბ 1 = 1, ქ = 2,
ბ 7 = ბ 1 · ქ 6 = 1 2 6 = 64. ◄
ბნ-1 = ბ 1 · q n -2 ,
ბ ნ = ბ 1 · q n -1 ,
ბ ნ +1 = ბ 1 · q n,
მაშინ აშკარად
ბ ნ 2 = ბ ნ -1 · ბ ნ +1 ,
გეომეტრიული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინა და მომდევნო წევრების გეომეტრიულ საშუალოს (პროპორციულს).
ვინაიდან საპირისპირო ასევე მართალია, შემდეგი მტკიცება მოქმედებს:
რიცხვები a, b და c არის გარკვეული გეომეტრიული პროგრესიის თანმიმდევრული წევრები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანის კვადრატი უდრის პროდუქტსდანარჩენი ორი, ანუ რიცხვებიდან ერთი არის დანარჩენი ორის გეომეტრიული საშუალო.
Მაგალითად,
დავამტკიცოთ, რომ ფორმულით მოცემული თანმიმდევრობა ბ ნ= -3 2 ნ , არის გეომეტრიული პროგრესია. მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული განცხადება. Ჩვენ გვაქვს:
ბ ნ= -3 2 ნ,
ბ ნ -1 = -3 2 ნ -1 ,
ბ ნ +1 = -3 2 ნ +1 .
შესაბამისად,
ბ ნ 2 = (-3 2 ნ) 2 = (-3 2 ნ -1 ) (-3 2 ნ +1 ) = ბ ნ -1 · ბ ნ +1 ,
რომელიც ამტკიცებს საჭირო მტკიცებას. ◄
Ჩაინიშნე ნ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინი შეიძლება მოიძებნოს არა მხოლოდ მეშვეობით ბ 1 , არამედ ნებისმიერი წინა ტერმინი ბ კ , რისთვისაც საკმარისია ფორმულის გამოყენება
ბ ნ = ბ კ · q n - კ.
Მაგალითად,
ამისთვის ბ 5 შეიძლება დაიწეროს
ბ 5 = ბ 1 · ქ 4 ,
ბ 5 = ბ 2 · q 3,
ბ 5 = ბ 3 · q2,
ბ 5 = ბ 4 · ქ. ◄
ბ ნ = ბ კ · q n - კ,
ბ ნ = ბ ნ - კ · q k,
მაშინ აშკარად
ბ ნ 2 = ბ ნ - კ· ბ ნ + კ
გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი წევრის კვადრატი, მეორიდან დაწყებული, უდრის მისგან თანაბარ მანძილზე დაშორებული ამ პროგრესიის წევრების ნამრავლს.
გარდა ამისა, ნებისმიერი გეომეტრიული პროგრესიისთვის, თანასწორობა მართალია:
ბ მ· ბ ნ= ბ კ· ბ ლ,
მ+ ნ= კ+ ლ.
Მაგალითად,
ექსპონენტურად
1) ბ 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ბ 5 · ბ 7 ;
2) 1024 = ბ 11 = ბ 6 · ქ 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) ბ 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ბ 4 · ბ 8 ;
4) ბ 2 · ბ 7 = ბ 4 · ბ 5 , რადგან
ბ 2 · ბ 7 = 2 · 64 = 128,
ბ 4 · ბ 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + . . . + ბ ნ
პირველი ნ გეომეტრიული პროგრესიის წევრები მნიშვნელით ქ ≠ 0 გამოითვლება ფორმულით:
Და როცა ქ = 1 - ფორმულის მიხედვით
S n= ნ.ბ. 1
გაითვალისწინეთ, რომ თუ დაგვჭირდება ტერმინების შეჯამება
ბ კ, ბ კ +1 , . . . , ბ ნ,
შემდეგ გამოიყენება ფორმულა:
| S n- ს კ -1 = ბ კ + ბ კ +1 + . . . + ბ ნ = ბ კ · | 1 - q n -
კ +1
| . |
| 1 - ქ
|
Მაგალითად,
ექსპონენტურად 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
ს 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = ს 10 - ს 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
თუ მიცემულია გეომეტრიული პროგრესია, შემდეგ რაოდენობები ბ 1 , ბ ნ, ქ, ნდა S n დაკავშირებულია ორი ფორმულით:
მაშასადამე, თუ მოცემული სიდიდეებიდან რომელიმე სამის მნიშვნელობებია მოცემული, მაშინ დანარჩენი ორი სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობები განისაზღვრება ამ ფორმულებიდან, რომლებიც გაერთიანებულია ორი განტოლების სისტემაში ორი უცნობით.
პირველი ტერმინით გეომეტრიული პროგრესიისთვის ბ 1 და მნიშვნელი ქ ხდება შემდეგი ერთფეროვნების თვისებები :
- პროგრესი იზრდება, თუ დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:
ბ 1 > 0 და ქ> 1;
ბ 1 < 0 და 0 < ქ< 1;
- პროგრესირება მცირდება, თუ დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა:
ბ 1 > 0 და 0 < ქ< 1;
ბ 1 < 0 და ქ> 1.
Თუ ქ< 0 , მაშინ გეომეტრიული პროგრესია არის ნიშნის ალტერნატიული: მის კენტ რიცხვიან წევრებს აქვთ იგივე ნიშანი, რაც მის პირველ წევრს, ხოლო ლუწი რიცხვებს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. ნათელია, რომ ალტერნატიული გეომეტრიული პროგრესია არ არის მონოტონური.
პირველი პროდუქტი ნ გეომეტრიული პროგრესიის პირობები შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით:
P n= ბ 1 · ბ 2 · ბ 3 · . . . · ბ ნ = (ბ 1 · ბ ნ) ნ / 2 .
Მაგალითად,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია
უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება უსასრულო გეომეტრიულ პროგრესიას, რომლის მნიშვნელის მოდული ნაკლებია 1 , ანუ
|ქ| < 1 .
გაითვალისწინეთ, რომ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია შეიძლება არ იყოს კლებადი მიმდევრობა. ეს უხდება საქმეს
1 < ქ< 0 .
ასეთი მნიშვნელით, თანმიმდევრობა ნიშან-ალტერნატიულია. Მაგალითად,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი დაასახელეთ რიცხვი, რომელსაც პირველის ჯამი ნ პროგრესირების პირობები რიცხვის შეუზღუდავი ზრდით ნ . ეს რიცხვი ყოველთვის სასრულია და გამოიხატება ფორმულით
| ს= ბ 1 + ბ 2 + ბ 3 + . . . = | ბ 1
| . |
| 1 - ქ
|
Მაგალითად,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიების კავშირი
არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები მჭიდრო კავშირშია. განვიხილოთ მხოლოდ ორი მაგალითი.
ა 1 , ა 2 , ა 3 , . . . დ , მაშინ
ბ ა 1 , ბ ა 2 , ბ ა 3 , . . . ბ დ .
Მაგალითად,
1, 3, 5, . . . - არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით 2 და
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . არის გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელით 7 2 . ◄
ბ 1 , ბ 2 , ბ 3 , . . . არის გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელით ქ , მაშინ
შესვლა a b 1, შესვლა a b 2, log a b 3, . . . - არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით ჟურნალი აქ .
Მაგალითად,
2, 12, 72, . . . არის გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელით 6 და
ლგ 2, ლგ 12, ლგ 72, . . . - არითმეტიკული პროგრესია სხვაობით ლგ 6 . ◄
დიახ, დიახ: არითმეტიკული პროგრესია თქვენთვის სათამაშო არ არის :) კარგი, მეგობრებო, თუ თქვენ კითხულობთ ამ ტექსტს, მაშინ შიდა ქუდის მტკიცებულება მეუბნება, რომ თქვენ ჯერ კიდევ არ იცით რა არის არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ ნამდვილად (არა, ასე: SOOOOO!) გსურთ იცოდეთ. ამიტომ, მე არ დაგტანჯავთ ხანგრძლივი შესავლებით და მაშინვე საქმეს გადავალ.
დასაწყისისთვის, რამდენიმე მაგალითი. განვიხილოთ რიცხვების რამდენიმე ნაკრები:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
რა საერთო აქვს ყველა ამ კომპლექტს? ერთი შეხედვით არაფერი. მაგრამ რეალურად არის რაღაც. კერძოდ: ყოველი შემდეგი ელემენტი წინადან ერთი და იგივე რაოდენობით განსხვავდება.
თავად განსაჯეთ. პირველი ნაკრები არის მხოლოდ თანმიმდევრული რიცხვები, თითოეული წინაზე მეტი. მეორე შემთხვევაში, განსხვავება მუდმივი ნომრებიუკვე უდრის ხუთს, მაგრამ ეს სხვაობა მაინც მუდმივია. მესამე შემთხვევაში ზოგადად ფესვებია. თუმცა, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ხოლო $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ე.ი. ამ შემთხვევაში ყოველი შემდეგი ელემენტი უბრალოდ იზრდება $\sqrt(2)$-ით (და არ შეგეშინდეთ, რომ ეს რიცხვი ირაციონალურია).
ასე რომ: ყველა ასეთ მიმდევრობას უბრალოდ არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. მოდით მივცეთ მკაცრი განმარტება:
განმარტება. რიცხვების თანმიმდევრობას, რომლებშიც ყოველი შემდეგი განსხვავდება წინადან ზუსტად იმავე რაოდენობით, არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. იმ რაოდენობას, რომლითაც რიცხვები განსხვავდება, ეწოდება პროგრესირების განსხვავება და ყველაზე ხშირად აღინიშნება ასო $d$-ით.
აღნიშვნა: $\left(((a)_(n)) \right)$ არის თავად პროგრესია, $d$ არის მისი განსხვავება.
და მხოლოდ წყვილი მნიშვნელოვანი შენიშვნები. პირველ რიგში, მხოლოდ პროგრესირება განიხილება მოწესრიგებულირიცხვების თანმიმდევრობა: ნებადართულია მათი წაკითხვა მკაცრად იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი იწერება - და სხვა არაფერი. თქვენ არ შეგიძლიათ ნომრების გადაწყობა ან გაცვლა.
მეორეც, თანმიმდევრობა თავისთავად შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. მაგალითად, სიმრავლე (1; 2; 3) აშკარად სასრულ არითმეტიკული პროგრესიაა. მაგრამ თუ რამეს წერთ სულით (1; 2; 3; 4; ...) - ეს უკვე არის უსასრულო პროგრესი. ელიფსისი ოთხის შემდეგ, თითქოსდა, მიანიშნებს, რომ საკმაოდ ბევრი რიცხვი უფრო შორს მიდის. უსაზღვროდ ბევრი, მაგალითად. :)
ასევე მინდა აღვნიშნო, რომ პროგრესი იზრდება და კლებულობს. ჩვენ უკვე ვნახეთ მზარდი - იგივე ნაკრები (1; 2; 3; 4; ...). აქ მოცემულია პროგრესირების შემცირების მაგალითები:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
ᲙᲐᲠᲒᲘ ᲙᲐᲠᲒᲘ: ბოლო მაგალითიშეიძლება ზედმეტად რთული ჩანდეს. მაგრამ დანარჩენი, ვფიქრობ, გესმით. ამიტომ, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ განმარტებებს:
განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება:
- იზრდება, თუ ყოველი შემდეგი ელემენტი მეტია წინაზე;
- მცირდება, თუ პირიქით, ყოველი მომდევნო ელემენტი წინაზე ნაკლებია.
გარდა ამისა, არსებობს ეგრეთ წოდებული "სტაციონარული" მიმდევრობები - ისინი შედგება ერთი და იგივე განმეორებადი რიცხვისგან. მაგალითად, (3; 3; 3; ...).
რჩება მხოლოდ ერთი კითხვა: როგორ განვასხვავოთ მზარდი პროგრესი კლებისგან? საბედნიეროდ, აქ ყველაფერი დამოკიდებულია მხოლოდ $d$ რიცხვის ნიშანზე, ე.ი. პროგრესირების განსხვავებები:
- თუ $d \gt 0$, მაშინ პროგრესი იზრდება;
- თუ $d \lt 0$, მაშინ პროგრესი აშკარად მცირდება;
- და ბოლოს, არის შემთხვევა $d=0$, ამ შემთხვევაში მთელი პროგრესია მცირდება სტაციონარულ მიმდევრობამდე იგივე ნომრები: (1; 1; 1; 1; ...) და ა.შ.
შევეცადოთ გამოვთვალოთ სხვაობა $d$ ზემოთ სამი კლებადი პროგრესიისთვის. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი ორი მომიჯნავე ელემენტი (მაგალითად, პირველი და მეორე) და გამოვაკლოთ რიცხვს მარჯვნივ, რიცხვს მარცხნივ. ეს ასე გამოიყურება:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
როგორც ხედავთ, სამივე შემთხვევაში განსხვავება მართლაც უარყოფითი აღმოჩნდა. ახლა კი, როცა მეტ-ნაკლებად გავარკვიეთ განმარტებები, დროა გავიგოთ, როგორ არის აღწერილი პროგრესიები და რა თვისებები აქვთ მათ.
პროგრესიისა და განმეორებითი ფორმულის წევრები
ვინაიდან ჩვენი თანმიმდევრობის ელემენტების შეცვლა შეუძლებელია, მათი დანომრვა შესაძლებელია:
\[\left(((a)_(n)) \მარჯვნივ)=\მარცხნივ\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \მარჯვნივ\)\]
ამ ნაკრების ცალკეულ ელემენტებს პროგრესიის წევრებს უწოდებენ. ისინი ამ გზით მითითებულია რიცხვის დახმარებით: პირველი წევრი, მეორე წევრი და ა.შ.
გარდა ამისა, როგორც უკვე ვიცით, პროგრესიის მეზობელი წევრები დაკავშირებულია ფორმულით:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\მარჯვენა ისარი ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
მოკლედ, პროგრესიის $n$th ტერმინის საპოვნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ $n-1$th წევრი და სხვაობა $d$. ასეთ ფორმულას ეწოდება განმეორებადი, რადგან მისი დახმარებით შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვი, მხოლოდ წინას (და სინამდვილეში, ყველა წინას) ცოდნა. ეს ძალიან მოუხერხებელია, ამიტომ არსებობს უფრო რთული ფორმულა, რომელიც ამცირებს ნებისმიერ გამოთვლას პირველ ტერმინამდე და განსხვავებას:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)d\]
თქვენ ალბათ ადრე შეგხვედრიათ ეს ფორმულა. მათ მოსწონთ მისი მიცემა ყველა სახის საცნობარო წიგნში და რეებნიკებში. და მათემატიკის ნებისმიერ გონივრული სახელმძღვანელოში ის ერთ-ერთი პირველია.
თუმცა, გირჩევთ, ცოტა ივარჯიშოთ.
დავალება ნომერი 1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი $\left(((a)_(n)) \right)$ თუ $((a)_(1))=8,d=-5$.
გამოსავალი. ასე რომ, ჩვენ ვიცით პირველი წევრი $((a)_(1))=8$ და პროგრესიის სხვაობა $d=-5$. მოდით გამოვიყენოთ მოცემული ფორმულა და ჩავანაცვლოთ $n=1$, $n=2$ და $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \მარჯვნივ)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\მარცხნივ(2-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
პასუხი: (8; 3; -2)
Სულ ეს არის! გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენი პროგრესი მცირდება.
რა თქმა უნდა, $n=1$-ის ჩანაცვლება არ შეიძლებოდა - ჩვენ უკვე ვიცით პირველი ტერმინი. თუმცა, ერთეულის ჩანაცვლებით, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ პირველი ტერმინისთვისაც კი ჩვენი ფორმულა მუშაობს. სხვა შემთხვევებში ყველაფერი ბანალურ არითმეტიკამდე მიდიოდა.
დავალება ნომერი 2. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი, თუ მისი მეშვიდე წევრია −40 და მეჩვიდმეტე წევრი არის −50.
გამოსავალი. ჩვენ ვწერთ პრობლემის მდგომარეობას ჩვეულებრივი პირობებით:
\[((a)_(7))=-40;\ quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]
\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]
სისტემის ნიშანი იმიტომ დავდე, რომ ეს მოთხოვნები ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს. ახლა კი აღვნიშნავთ, რომ თუ პირველ განტოლებას გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას (ჩვენ გვაქვს ამის უფლება, რადგან გვაქვს სისტემა), მივიღებთ ამას:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \მარჯვნივ); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
სწორედ ასე, ჩვენ აღმოვაჩინეთ პროგრესის განსხვავება! რჩება აღმოჩენილი რიცხვის ჩანაცვლება სისტემის რომელიმე განტოლებაში. მაგალითად, პირველში:
\[\ დასაწყისი(მატრიცა) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ქვემოთ \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ა)_(1))=-40+6=-34. \\ \დასრულება (მატრიცა)\]
ახლა, პირველი ტერმინისა და განსხვავების ცოდნით, რჩება მეორე და მესამე ტერმინების პოვნა:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
მზადაა! პრობლემა მოგვარებულია.
პასუხი: (-34; -35; -36)
ყურადღება მიაქციე ცნობისმოყვარე ქონებაპროგრესია, რომელიც აღმოვაჩინეთ: თუ ავიღებთ $n$th და $m$th წევრებს და გამოვაკლებთ მათ, მაშინ მივიღებთ პროგრესიის სხვაობას გამრავლებული $n-m$ რიცხვზე:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \მარცხნივ(n-m \მარჯვნივ)\]
მარტივი, მაგრამ ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც აუცილებლად უნდა იცოდეთ - მისი დახმარებით შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად დააჩქაროთ მრავალი პრობლემის გადაჭრა პროგრესებში. Აქ ნათელი რომმაგალითი:
დავალება ნომერი 3. არითმეტიკული პროგრესიის მეხუთე წევრია 8,4, ხოლო მისი მეათე წევრი არის 14,4. იპოვეთ ამ პროგრესიის მეთხუთმეტე წევრი.
გამოსავალი. ვინაიდან $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ და ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(15))$, აღვნიშნავთ შემდეგს:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5დ. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
მაგრამ პირობით $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, ანუ $5d=6$, საიდანაც გვაქვს:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
პასუხი: 20.4
Სულ ეს არის! ჩვენ არ დაგვჭირდა განტოლებათა სისტემის შედგენა და პირველი წევრისა და სხვაობის გამოთვლა - ყველაფერი რამდენიმე სტრიქონში გადაწყდა.
ახლა განვიხილოთ სხვა ტიპის პრობლემა - პროგრესის უარყოფითი და პოზიტიური წევრების ძიება. საიდუმლო არ არის, რომ თუ პროგრესი იზრდება, ხოლო მისი პირველი ტერმინი უარყოფითია, ადრე თუ გვიან მასში დადებითი ტერმინები გამოჩნდება. და პირიქით: კლებადი პროგრესირების პირობები ადრე თუ გვიან გახდება უარყოფითი.
ამავდროულად, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ამ მომენტის პოვნა "შუბლზე", ელემენტების თანმიმდევრულად დახარისხება. ხშირად, პრობლემები ისეა შექმნილი, რომ ფორმულების ცოდნის გარეშე, გამოთვლებს რამდენიმე ფურცელი დასჭირდება - ჩვენ უბრალოდ ვიძინებდით, სანამ პასუხს არ ვიპოვით. ამიტომ ვეცდებით ამ პრობლემების უფრო სწრაფად გადაჭრას.
დავალება ნომერი 4. რამდენი უარყოფითი წევრია არითმეტიკული პროგრესიაში -38,5; -35,8; …?
გამოსავალი. ასე რომ, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, საიდანაც დაუყოვნებლივ ვპოულობთ განსხვავებას:
გაითვალისწინეთ, რომ განსხვავება დადებითია, ამიტომ პროგრესი იზრდება. პირველი წევრი უარყოფითია, ასე რომ, რაღაც მომენტში ჩვენ წავაწყდებით დადებით რიცხვებს. ერთადერთი საკითხია, როდის მოხდება ეს.
შევეცადოთ გავარკვიოთ: რამდენ ხანს (ე.ი. რომელ ბუნებრივ რიცხვამდე $n$) არის დაცული ტერმინების ნეგატიურობა:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \მარჯვნივ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
ბოლო სტრიქონი დაზუსტებას საჭიროებს. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ $n \lt 15\frac(7)(27)$. მეორეს მხრივ, რიცხვის მხოლოდ მთელი მნიშვნელობები მოგვწონს (უფრო მეტიც: $n\in \mathbb(N)$), ამიტომ ყველაზე დიდი დასაშვები რიცხვია ზუსტად $n=15$ და არავითარ შემთხვევაში 16.
დავალება ნომერი 5. არითმეტიკული პროგრესიით $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი დადებითი წევრის რიცხვი.
ეს იქნება ზუსტად იგივე პრობლემა, როგორც წინა, მაგრამ ჩვენ არ ვიცით $((a)_(1))$. მაგრამ მეზობელი ტერმინები ცნობილია: $((a)_(5))$ და $((a)_(6))$, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ვიპოვოთ პროგრესიის განსხვავება:
გარდა ამისა, შევეცადოთ გამოვხატოთ მეხუთე ტერმინი პირველის და სხვაობის თვალსაზრისით სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
ახლა ჩვენ გავაგრძელებთ წინა პრობლემის ანალოგიით. ჩვენ გავარკვიეთ, რომელ მომენტში გამოჩნდება ჩვენი მიმდევრობის დადებითი რიცხვები:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
Მინიმალური მთელი რიცხვის ამოხსნამოცემული უტოლობა არის რიცხვი 56.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: in ბოლო დავალებაყველაფერი ჩამოვიდა მკაცრი უთანასწორობაასე რომ, ვარიანტი $n=55$ არ მოგვწონს.
ახლა, როდესაც ვისწავლეთ მარტივი პრობლემების გადაჭრა, მოდით გადავიდეთ უფრო რთულზე. მაგრამ ჯერ გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიების კიდევ ერთი ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც დაგვიზოგავს უამრავ დროს და არათანაბარ უჯრედებს მომავალში. :)
საშუალო არითმეტიკული და ტოლი შეწევა
განვიხილოთ მზარდი არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი $\left(((a)_(n)) \right)$. შევეცადოთ აღვნიშნოთ ისინი რიცხვით ხაზზე:
არითმეტიკული პროგრესიის წევრები რიცხვთა წრფეზემე კონკრეტულად აღვნიშნე თვითნებური წევრები $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, და არა $((a)_(1)) , \ ((ა)_(2)),\ ((ა)_(3))$ და ა.შ. რადგან წესი, რომელსაც ახლა გეტყვით, ნებისმიერ „სეგმენტზე“ ერთნაირად მუშაობს.
და წესი ძალიან მარტივია. გავიხსენოთ რეკურსიული ფორმულა და ჩავწეროთ ყველა მონიშნული წევრისთვის:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]
თუმცა, ეს თანასწორობები შეიძლება სხვაგვარად გადაიწეროს:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]
აბა, მერე რა? მაგრამ ის ფაქტი, რომ ტერმინები $((a)_(n-1))$ და $((a)_(n+1))$ $((a)_(n)) $-დან ერთსა და იმავე მანძილზე მდებარეობს. . და ეს მანძილი $d$-ის ტოლია. იგივე შეიძლება ითქვას ტერმინებზე $((a)_(n-2))$ და $((a)_(n+2))$ - ისინი ასევე ამოღებულია $((a)_(n)-დან. )$ იგივე მანძილით უდრის $2d$-ს. შეგიძლიათ გააგრძელოთ განუსაზღვრელი ვადით, მაგრამ სურათი კარგად ასახავს მნიშვნელობას
პროგრესიის წევრები ცრუობენ ცენტრიდან იმავე მანძილზე რას ნიშნავს ეს ჩვენთვის? ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ $((a)_(n))$, თუ ცნობილია მეზობელი ნომრები:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
ჩვენ გამოვიტანეთ შესანიშნავი განცხადება: არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი უდრის მეზობელი წევრების საშუალო არითმეტიკულს! უფრო მეტიც, ჩვენ შეგვიძლია გადავუხვიოთ $((a)_(n))$-დან მარცხნივ და მარჯვნივ არა ერთი ნაბიჯით, არამედ $k$ ნაბიჯებით - და მაინც ფორმულა სწორი იქნება:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
იმათ. ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ $((a)_(150))$ თუ ვიცით $((a)_(100))$ და $((a)_(200))$, რადგან $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. ერთი შეხედვით შეიძლება მოგვეჩვენოს, რომ ეს ფაქტი არაფერს არ გვაძლევს სასარგებლო. თუმცა, პრაქტიკაში, არითმეტიკული საშუალო გამოსაყენებლად სპეციალურად „გამახვილებულია“ მრავალი დავალება. Შეხედე:
დავალება ნომერი 6. იპოვეთ $x$-ის ყველა მნიშვნელობები ისე, რომ რიცხვები $-6((x)^(2))$, $x+1$ და $14+4((x)^(2))$ იყოს თანმიმდევრული წევრები არითმეტიკული პროგრესია (მითითებული თანმიმდევრობით).
გამოსავალი. Იმიტომ რომ მითითებული ნომრებიპროგრესიის წევრები არიან, ისინი აკმაყოფილებენ საშუალო არითმეტიკულ პირობას: ცენტრალური ელემენტი $x+1$ შეიძლება გამოისახოს მეზობელი ელემენტებით:
\[\begin(გასწორება) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
კლასიკური აღმოჩნდა კვადრატული განტოლება. მისი ფესვები: $x=2$ და $x=-3$ არის პასუხები.
პასუხი: -3; 2.
დავალება ნომერი 7. იპოვეთ $$-ის მნიშვნელობები ისე, რომ რიცხვებმა $-1;4-3;(()^(2))+1$ შექმნან არითმეტიკული პროგრესია (ამ თანმიმდევრობით).
გამოსავალი. კიდევ ერთხელ გამოვხატოთ შუა წევრიმეზობელი წევრების საშუალო არითმეტიკული საშუალებით:
\[\begin(გასწორება) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \მარცხნივ| \cdot 2\მარჯვნივ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
კიდევ ერთი კვადრატული განტოლება. და ისევ ორი ფესვი: $x=6$ და $x=1$.
პასუხი: 1; 6.
თუ პრობლემის გადაჭრის პროცესში მიიღებთ რამდენიმე ბრუტალურ რიცხვს, ან ბოლომდე დარწმუნებული არ ხართ ნაპოვნი პასუხების სისწორეში, მაშინ არსებობს შესანიშნავი ხრიკი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ: სწორად გადავჭრით პრობლემა?
ვთქვათ, მე-6 ამოცანაში მივიღეთ პასუხები -3 და 2. როგორ შევამოწმოთ, რომ ეს პასუხები სწორია? მოდით შევაერთოთ ისინი თავდაპირველ მდგომარეობაში და ვნახოთ რა მოხდება. შეგახსენებთ, რომ გვაქვს სამი რიცხვი ($-6(()^(2))$, $+1$ და $14+4(()^(2))$), რომლებიც არითმეტიკულ პროგრესიას უნდა ქმნიდნენ. ჩანაცვლება $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \ბოლო (გასწორება)\]
მივიღეთ ნომრები -54; −2; 50, რომელიც განსხვავდება 52-ით, უდავოდ არის არითმეტიკული პროგრესია. იგივე ხდება $x=2$-ზე:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & x=2\მარჯვენა ისარი \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \ბოლო (გასწორება)\]
ისევ პროგრესია, მაგრამ 27-ის სხვაობით. ამგვარად, პრობლემა სწორად მოგვარებულია. მსურველებს შეუძლიათ დამოუკიდებლად შეამოწმონ მეორე დავალება, მაგრამ მე მაშინვე ვიტყვი: იქაც ყველაფერი სწორია.
ზოგადად, ბოლო ამოცანების ამოხსნისას სხვას წავაწყდით საინტერესო ფაქტი, რომელიც ასევე უნდა გვახსოვდეს:
თუ სამი რიცხვი ისეთია, რომ მეორე არის პირველი და ბოლო საშუალო, მაშინ ეს რიცხვები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას.
მომავალში, ამ განცხადების გაგება საშუალებას მოგვცემს ფაქტიურად „ავაშენოთ“ საჭირო პროგრესი პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე. მაგრამ სანამ ასეთ „მშენებლობას“ მივაქცევთ, ყურადღება უნდა მივაქციოთ კიდევ ერთ ფაქტს, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს უკვე განხილულიდან.
ელემენტების დაჯგუფება და ჯამი
დავუბრუნდეთ რიცხვითი ღერძი. ჩვენ აღვნიშნავთ პროგრესის რამდენიმე წევრს, რომელთა შორის, შესაძლოა. ღირს ბევრი სხვა წევრი:
რიცხვთა ხაზზე მონიშნულია 6 ელემენტიშევეცადოთ გამოვხატოთ "მარცხენა კუდი" $((a)_(n))$-ით და $d$-ით, ხოლო "მარჯვენა კუდი" $((a)_(k))$-ით და $-ით. d$. ძალიან მარტივია:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((ა)_(კ-1))=((ა)_(კ))-დ; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
ახლა გაითვალისწინეთ, რომ შემდეგი ჯამები ტოლია:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((ა)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ს. \ბოლო (გასწორება)\]
მარტივად რომ ვთქვათ, თუ საწყისად განვიხილავთ პროგრესიის ორ ელემენტს, რომლებიც საერთო ჯამში უდრის რაღაც რიცხვს $S$ და შემდეგ დავიწყებთ ამ ელემენტებიდან ნაბიჯს. მოპირდაპირე მხარეები(ერთმანეთის მიმართ ან პირიქით ამოღება), შემდეგ ტოლი იქნება ელემენტების ჯამებიც, რომლებსაც წავაწყდებით$S$. ეს შეიძლება იყოს საუკეთესოდ წარმოდგენილი გრაფიკულად:
იგივე აბზაცები იძლევა თანაბარ ჯამებს გაგება ეს ფაქტისაშუალებას მოგვცემს პრობლემების ფუნდამენტურად მეტი გადაჭრა მაღალი დონესირთულის ვიდრე ზემოთ განხილული. მაგალითად, ესენი:
დავალება ნომერი 8. დაადგინეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, რომელშიც პირველი წევრი არის 66, ხოლო მეორე და მეთორმეტე წევრის ნამრავლი არის უმცირესი.
გამოსავალი. მოდით დავწეროთ ყველაფერი, რაც ვიცით:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\წთ. \ბოლო (გასწორება)\]
ასე რომ, ჩვენ არ ვიცით $d$ პროგრესიის განსხვავება. სინამდვილეში, მთელი გამოსავალი აგებული იქნება სხვაობის გარშემო, რადგან პროდუქტი $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\მარცხნივ(66+d \მარჯვნივ)\cdot \left(66+11d \მარჯვნივ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \მარჯვნივ). \ბოლო (გასწორება)\]
ტანკში მყოფთათვის: ამოვიღე საერთო ფაქტორი 11 მეორე ფრჩხილიდან. ამრიგად, სასურველი პროდუქტი არის კვადრატული ფუნქცია $d$ ცვლადის მიმართ. ამიტომ, განიხილეთ ფუნქცია $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - მისი გრაფიკი იქნება პარაბოლა ტოტებით ზემოთ, რადგან თუ ფრჩხილებს გავხსნით, მივიღებთ:
\[\ დასაწყისი (გასწორება) & f\ მარცხნივ(d \მარჯვნივ)=11\მარცხნივ(((დ)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \მარჯვნივ)= \\ & =11(( დ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (გასწორება)\]
როგორც ხედავთ, კოეფიციენტი უმაღლეს ტერმინზე არის 11 - ეს არის დადებითი რიცხვიასე რომ, ჩვენ ნამდვილად გვაქვს საქმე პარაბოლასთან ტოტებით ზემოთ:
განრიგი კვადრატული ფუნქცია- პარაბოლა
Შენიშვნა: მინიმალური ღირებულებაეს პარაბოლა იღებს $((d)_(0))$ თავის წვეროზე აბსცისით. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ეს აბსციზა სტანდარტული სქემის მიხედვით (არსებობს ფორმულა $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), მაგრამ ბევრად უფრო გონივრული იქნება გაითვალისწინეთ, რომ სასურველი წვერო დევს პარაბოლას ღერძის სიმეტრიაზე, ამიტომ წერტილი $((d)_(0))$ თანაბარი მანძილითაა დაშორებული $f\left(d \right)=0$ განტოლების ფესვებისგან:
\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((დ)_(1))=-66;\ოთხი ((დ)_(2))=-6. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
ამიტომაც არ ვჩქარობდი ფრჩხილების გახსნას: თავდაპირველი სახით ფესვების პოვნა ძალიან, ძალიან ადვილი იყო. მაშასადამე, აბსციზა უდრის საშუალოს არითმეტიკული რიცხვები-66 და -6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
რა გვაძლევს აღმოჩენილ რიცხვს? მასთან ერთად, საჭირო პროდუქტი იღებს უმცირესი ღირებულება(სხვათა შორის, ჩვენ არ გამოვთვალეთ $((y)_(\min ))$ - ჩვენ არ ვართ საჭირო ამის გაკეთება). ამავდროულად, ეს რიცხვი არის საწყისი პროგრესიის სხვაობა, ე.ი. ვიპოვეთ პასუხი. :)
პასუხი: -36
დავალება ნომერი 9. ჩასვით სამი რიცხვი $-\frac(1)(2)$ და $-\frac(1)(6)$ რიცხვებს შორის ისე, რომ მოცემულ რიცხვებთან ერთად შექმნან არითმეტიკული პროგრესია.
გამოსავალი. ფაქტობრივად, ჩვენ უნდა გავაკეთოთ ხუთი რიცხვის მიმდევრობა, პირველი და ბოლო ნომერიუკვე ცნობილია. გამოტოვებული რიცხვების აღნიშვნა $x$, $y$ და $z$ ცვლადებით:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \მარჯვნივ\ )\]
გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი $y$ არის ჩვენი მიმდევრობის „შუა“ - ის თანაბარი მანძილით არის დაშორებული $x$ და $z$ რიცხვებისგან და $-\frac(1)(2)$ და $-\frac რიცხვებისგან. (1)(6)$. და თუ ჩვენ ვართ $x$ და $z$ რიცხვებიდან ამ მომენტშიჩვენ ვერ მივიღებთ $y$-ს, მაშინ სიტუაცია განსხვავებულია პროგრესიის ბოლოებით. გახსოვდეთ საშუალო არითმეტიკული:
ახლა, ვიცით $y$, ჩვენ ვიპოვით დარჩენილ ნომრებს. გაითვალისწინეთ, რომ $x$ დევს $-\frac(1)(2)$-სა და $y=-\frac(1)(3)$-ს შორის. Ამიტომაც
ანალოგიურად კამათით, ჩვენ ვპოულობთ დარჩენილ რიცხვს:
მზადაა! სამივე ნომერი ვიპოვეთ. დავწეროთ ისინი პასუხში იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი უნდა იყოს ჩასმული თავდაპირველ რიცხვებს შორის.
პასუხი: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
დავალება ნომერი 10. 2 და 42 რიცხვებს შორის ჩასვით რამდენიმე რიცხვი, რომლებიც მოცემულ რიცხვებთან ერთად ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ ცნობილია, რომ ჩასმული რიცხვების პირველი, მეორე და ბოლო ჯამი არის 56.
გამოსავალი. უფრო მეტიც რთული ამოცანა, რომელიც, თუმცა, იხსნება ისევე, როგორც წინაები - საშუალო არითმეტიკული საშუალებით. პრობლემა ის არის, რომ ზუსტად არ ვიცით რამდენი რიცხვის ჩასმა. მაშასადამე, განსაზღვრულობისთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ჩასმის შემდეგ იქნება ზუსტად $n$ რიცხვები და მათგან პირველი არის 2, ხოლო ბოლო არის 42. ამ შემთხვევაში, სასურველი არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ა)_(n-1));42 \მარჯვნივ\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
თუმცა გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები $((a)_(2))$ და $((a)_(n-1))$ მიღებულია 2 და 42 რიცხვებიდან, რომლებიც დგას კიდეებზე ერთი ნაბიჯით ერთმანეთისკენ. , ე.ი. მიმდევრობის ცენტრამდე. და ეს იმას ნიშნავს
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
მაგრამ შემდეგ ზემოაღნიშნული გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს ასე:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \მარჯვნივ)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
თუ ვიცით $((a)_(3))$ და $((a)_(1))$, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ პროგრესირების განსხვავება:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\მარჯვენა ისარი d=5. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
რჩება მხოლოდ დარჩენილი წევრების პოვნა:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \ბოლო (გასწორება)\]
ამრიგად, უკვე მე-9 საფეხურზე მივალთ მიმდევრობის მარცხენა ბოლოში - რიცხვი 42. ჯამში მხოლოდ 7 რიცხვის ჩასმა იყო საჭირო: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
პასუხი: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
ტექსტური ამოცანები პროგრესიით
დასასრულს, მინდა განვიხილო რამდენიმე მარტივი დავალებები. ისე, როგორც მარტივი: სტუდენტების უმრავლესობისთვის, რომლებიც სკოლაში მათემატიკას სწავლობენ და არ წაკითხული აქვთ ზემოთ დაწერილი, ეს ამოცანები შეიძლება ჟესტივით ჩანდეს. მიუხედავად ამისა, სწორედ ასეთი ამოცანები გვხვდება OGE-ში და მათემატიკაში USE-ში, ამიტომ გირჩევთ გაეცნოთ მათ.
დავალება ნომერი 11. გუნდმა გამოუშვა 62 ნაწილი იანვარში და თითოეულში შემდეგი თვეწარმოებული 14 ნაწილით მეტი ვიდრე წინა. რამდენი ნაწილი გამოუშვა ბრიგადამ ნოემბერში?
გამოსავალი. ცხადია, თვეების მიხედვით დახატული ნაწილების რაოდენობა მზარდი არითმეტიკული პროგრესია იქნება. და:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 14. \\ \end (გასწორება)\]
ნოემბერი არის წლის მე-11 თვე, ამიტომ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
შესაბამისად, ნოემბერში 202 ნაწილის დამზადება მოხდება.
დავალება ნომერი 12. იანვარში წიგნების აკინძვის სახელოსნომ 216 წიგნი შეკრა და ყოველთვიურად წინა თვესთან შედარებით 4 წიგნით მეტი აკრა. რამდენი წიგნი შეიკრა სახელოსნომ დეკემბერში?
გამოსავალი. Ერთი და იგივე:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 4. \\ \end (გასწორება)$
დეკემბერი არის წლის ბოლო, მე-12 თვე, ამიტომ ჩვენ ვეძებთ $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
ეს არის პასუხი - დეკემბერში 260 წიგნი იკვრება.
აბა, თუ აქამდე წაიკითხეთ, მეჩქარება მოგილოცოთ: „რა თქმა უნდა ახალგაზრდა მებრძოლი» არითმეტიკული პროგრესიებით თქვენ წარმატებით გაიარეთ. შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გადახვიდეთ შემდეგ გაკვეთილზე, სადაც შევისწავლით პროგრესირების ჯამის ფორმულას, ასევე მნიშვნელოვან და ძალიან სასარგებლო შედეგებიმისგან.
ვიღაც სიტყვას „პროგრესიას“ სიფრთხილით ეპყრობა, როგორც ძალიან რთული ტერმინისექციებიდან უმაღლესი მათემატიკა. იმავდროულად, უმარტივესი არითმეტიკული პროგრესია არის ტაქსის მრიცხველის მუშაობა (სადაც ისინი ჯერ კიდევ რჩებიან). და გაიგე არსი (და მათემატიკაში არაფერია უფრო მნიშვნელოვანი, ვიდრე "არსის გაგება") არითმეტიკული თანმიმდევრობაეს არც ისე რთულია, როცა გაიგებ რამდენიმე ძირითად ცნებას.
მათემატიკური რიცხვების თანმიმდევრობა
ციფრულ თანმიმდევრობას ჩვეულებრივ უწოდებენ რიცხვთა სერიას, რომელთაგან თითოეულს აქვს საკუთარი ნომერი.
და 1 არის მიმდევრობის პირველი წევრი;
და 2 არის მიმდევრობის მეორე წევრი;
და 7 არის რიგითობის მეშვიდე წევრი;
და n არის მიმდევრობის n-ე წევრი;
თუმცა, ჩვენ არ გვაინტერესებს რაიმე თვითნებური ფიგურა და რიცხვი. ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ რიცხვით მიმდევრობაზე, რომელშიც n-ე წევრის მნიშვნელობა დაკავშირებულია მის რიგით რიცხვთან დამოკიდებულებით, რომელიც შეიძლება მკაფიოდ ჩამოყალიბდეს მათემატიკურად. Სხვა სიტყვებით: რიცხვითი მნიშვნელობა n-ე რიცხვი არის n-ის გარკვეული ფუნქცია.
a - რიცხვითი მიმდევრობის წევრის მნიშვნელობა;
n - მისი სერიული ნომერი;
f(n) არის ფუნქცია, სადაც n რიცხვითი მიმდევრობის რიგითი არგუმენტია.
განმარტება
არითმეტიკულ პროგრესიას ჩვეულებრივ უწოდებენ რიცხვითი თანმიმდევრობას, რომელშიც ყოველი მომდევნო წევრი ერთი და იგივე რიცხვით მეტია (ნაკლები) ვიდრე წინა. არითმეტიკული მიმდევრობის n-ე წევრის ფორმულა შემდეგია:
a n - არითმეტიკული პროგრესიის მიმდინარე წევრის მნიშვნელობა;
a n+1 - შემდეგი რიცხვის ფორმულა;
d - განსხვავება (გარკვეული რიცხვი).
ადვილია იმის დადგენა, რომ თუ სხვაობა დადებითია (d>0), მაშინ განხილული სერიის ყოველი მომდევნო წევრი წინაზე დიდი იქნება და ასეთი არითმეტიკული პროგრესია გაიზრდება.
ქვემოთ მოცემულ დიაგრამაზე ადვილი მისახვედრია, რატომ ჰქვია რიცხვთა თანმიმდევრობას „მზარდი“.
იმ შემთხვევებში, როდესაც განსხვავება უარყოფითია (დ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
მითითებული წევრის ღირებულება
ზოგჯერ საჭიროა არითმეტიკული პროგრესიის ზოგიერთი თვითნებური ტერმინის მნიშვნელობის განსაზღვრა. ამის გაკეთება შეგიძლიათ არითმეტიკული პროგრესიის ყველა წევრის მნიშვნელობების თანმიმდევრული გამოთვლით, პირველიდან სასურველამდე. თუმცა, ეს გზა ყოველთვის არ არის მისაღები, თუ, მაგალითად, საჭიროა ხუთიათასიანი ან რვა მილიონიანი მნიშვნელობის პოვნა. ტრადიციულ გაანგარიშებას დიდი დრო დასჭირდება. თუმცა, კონკრეტული არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება გამოკვლეული იყოს გარკვეული ფორმულების გამოყენებით. ასევე არსებობს n-ე წევრის ფორმულა: არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრის მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც პროგრესიის პირველი წევრის ჯამი პროგრესიის სხვაობით, გამრავლებული სასურველი წევრის რაოდენობაზე, მინუს ერთი. .
ფორმულა უნივერსალურია პროგრესირების გაზრდისა და შემცირებისთვის.
მოცემული წევრის ღირებულების გამოთვლის მაგალითი
გადავწყვიტოთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის მნიშვნელობის პოვნის შემდეგი ამოცანა.
მდგომარეობა: არსებობს არითმეტიკული პროგრესია პარამეტრებით:
მიმდევრობის პირველი წევრი არის 3;
რიცხვების სერიებში განსხვავება არის 1.2.
დავალება: აუცილებელია 214 ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა
ამოხსნა: მოცემული წევრის მნიშვნელობის დასადგენად ვიყენებთ ფორმულას:
a(n) = a1 + d(n-1)
პრობლემის განცხადების მონაცემების გამონათქვამში ჩანაცვლებით, ჩვენ გვაქვს:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
პასუხი: მიმდევრობის 214 წევრი უდრის 258,6-ს.
ამ გაანგარიშების მეთოდის უპირატესობები აშკარაა - მთელი გამოსავალი იღებს არაუმეტეს 2 ხაზს.
მოცემული რაოდენობის ტერმინების ჯამი
ძალიან ხშირად, მოცემულ არითმეტიკულ სერიაში საჭიროა მისი ზოგიერთი სეგმენტის მნიშვნელობების ჯამის დადგენა. მას ასევე არ სჭირდება თითოეული ტერმინის მნიშვნელობების გამოთვლა და შემდეგ მათი შეჯამება. ეს მეთოდი გამოიყენება, თუ ტერმინების რაოდენობა, რომელთა ჯამი უნდა მოიძებნოს, მცირეა. სხვა შემთხვევებში უფრო მოსახერხებელია შემდეგი ფორმულის გამოყენება.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამი 1-დან n-მდე უდრის პირველი და n-ე წევრების ჯამს, გამრავლებული n წევრის რიცხვზე და გაყოფილი ორზე. თუ ფორმულაში n-ე წევრის მნიშვნელობა შეიცვლება სტატიის წინა აბზაცის გამოსახულებით, მივიღებთ:
გაანგარიშების მაგალითი
მაგალითად, მოვაგვაროთ პრობლემა შემდეგი პირობებით:
მიმდევრობის პირველი წევრი არის ნული;
განსხვავება არის 0.5.
პრობლემაში საჭიროა სერიის ტერმინების ჯამის დადგენა 56-დან 101-მდე.
გამოსავალი. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა პროგრესიის ჯამის დასადგენად:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ პროგრესიის 101 წევრის მნიშვნელობების ჯამს ჩვენი პრობლემის მოცემული პირობების ფორმულაში ჩანაცვლებით:
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
ცხადია, 56-დან 101-მდე პროგრესირების ტერმინების ჯამის გასარკვევად საჭიროა S 101-ს გამოვაკლოთ S 55.
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი ამ მაგალითისთვის არის:
s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782.5
არითმეტიკული პროგრესიის პრაქტიკული გამოყენების მაგალითი
სტატიის ბოლოს დავუბრუნდეთ პირველ აბზაცში მოცემულ არითმეტიკული თანმიმდევრობის მაგალითს - ტაქსიმეტრი (ტაქსი მანქანის მრიცხველი). განვიხილოთ ასეთი მაგალითი.
ტაქსიში ჩაჯდომა (რომელიც მოიცავს 3 კმ-ს) 50 მანეთი ღირს. ყოველი მომდევნო კილომეტრის გადახდა ხდება 22 რუბლი / კმ. მგზავრობის მანძილი 30 კმ. გამოთვალეთ მოგზაურობის ღირებულება.
1. გადავაგდოთ პირველი 3 კმ, რომლის ფასიც შედის სადესანტო ღირებულებაში.
30 - 3 = 27 კმ.
2. შემდგომი გამოთვლა სხვა არაფერია, თუ არა არითმეტიკული რიცხვების სერიის გარჩევა.
წევრის ნომერი არის გავლილი კილომეტრების რაოდენობა (გამოკლებული პირველი სამი).
წევრის ღირებულება არის ჯამი.
ამ პრობლემის პირველი ვადა იქნება 1 = 50 რუბლის ტოლი.
პროგრესირების სხვაობა d = 22 p.
ჩვენთვის საინტერესო რაოდენობა - არითმეტიკული პროგრესიის (27 + 1)-ე წევრის მნიშვნელობა - მეტრის ჩვენება 27-ე კილომეტრის ბოლოს - 27,999 ... = 28 კმ.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
კალენდარული მონაცემების გამოთვლები თვითნებურად ხანგრძლივი პერიოდისთვის ეფუძნება ფორმულებს, რომლებიც აღწერს გარკვეულ რიცხვობრივ თანმიმდევრობას. ასტრონომიაში, ორბიტის სიგრძე გეომეტრიულად არის დამოკიდებული ციური სხეულის მანძილს მნათობამდე. გარდა ამისა, სხვადასხვა რიცხვითი სერიები წარმატებით გამოიყენება სტატისტიკაში და მათემატიკის სხვა გამოყენებითი დარგებში.
რიცხვების მიმდევრობის კიდევ ერთი სახეობაა გეომეტრიული
გეომეტრიულ პროგრესიას ახასიათებს ცვლილების დიდი, არითმეტიკასთან შედარებით. შემთხვევითი არ არის, რომ პოლიტიკაში, სოციოლოგიაში, მედიცინაში ხშირად, კონკრეტული ფენომენის გავრცელების მაღალი სიჩქარის საჩვენებლად, მაგალითად, დაავადების ეპიდემიის დროს, ამბობენ, რომ პროცესი ექსპონენტურად ვითარდება.
გეომეტრიული რიცხვების სერიის N-ე წევრი განსხვავდება წინასგან იმით, რომ ის მრავლდება რაიმე მუდმივ რიცხვზე - მნიშვნელი, მაგალითად, პირველი წევრი არის 1, მნიშვნელი არის 2, შესაბამისად, შემდეგ:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - გეომეტრიული პროგრესიის მიმდინარე წევრის მნიშვნელობა;
b n+1 - გეომეტრიული პროგრესიის შემდეგი წევრის ფორმულა;
q არის გეომეტრიული პროგრესიის (მუდმივი რიცხვის) მნიშვნელი.
თუ არითმეტიკული პროგრესიის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, მაშინ გეომეტრიული ხაზს ოდნავ განსხვავებულ სურათს:
როგორც არითმეტიკის შემთხვევაში, გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს თვითნებური წევრის მნიშვნელობის ფორმულა. გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი n-ე წევრი უდრის პირველი წევრის ნამრავლს და პროგრესიის მნიშვნელს n-ის ხარისხზე შემცირებული ერთით:
მაგალითი. გვაქვს გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრი უდრის 3-ს და პროგრესიის მნიშვნელი უდრის 1,5-ს. იპოვეთ პროგრესიის მე-5 წევრი
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875
წევრების მოცემული რაოდენობის ჯამი ასევე გამოითვლება სპეციალური ფორმულით. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი უდრის სხვაობას პროგრესიის n-ე წევრისა და მისი მნიშვნელის ნამრავლსა და პროგრესიის პირველ წევრს შორის, გაყოფილი მნიშვნელზე შემცირებული ერთით:
თუ b n ჩანაცვლებულია ზემოთ განხილული ფორმულით, განხილული რიცხვების სერიის პირველი n წევრის ჯამის მნიშვნელობა მიიღებს ფორმას:
მაგალითი. გეომეტრიული პროგრესია იწყება პირველი წევრით 1-ის ტოლი. მნიშვნელი დაყენებულია 3-ის ტოლი. ვიპოვოთ პირველი რვა წევრის ჯამი.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
