ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាផ្នែកមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីគំរូនៃបាតុភូតចៃដន្យ៖ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ អថេរចៃដន្យ លក្ខណៈសម្បត្តិ និងប្រតិបត្តិការលើពួកវា។

សម្រាប់រយៈពេលដ៏យូរមួយ។ទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ មិនមាននិយមន័យច្បាស់លាស់ទេ។ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងតែនៅក្នុងឆ្នាំ 1929 ប៉ុណ្ណោះ។ ការលេចឡើងនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេជាវិទ្យាសាស្ត្រត្រូវបានសន្មតថាជាយុគសម័យកណ្តាលនិងការប៉ុនប៉ងដំបូង ការវិភាគគណិតវិទ្យាល្បែង (បោះ គ្រាប់ឡុកឡាក់ រ៉ូឡែត) ។ គណិតវិទូបារាំងសតវត្សទី XVII Blaise Pascal និង Pierre Fermat ស្វែងយល់ពីការទស្សន៍ទាយនៃការឈ្នះនៅក្នុង ល្បែងស៊ីសងបានរកឃើញគំរូប្រូបាបដំបូងដែលកើតឡើងនៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់។

ទ្រឹស្ដីនៃប្រូបាប៊ីលីតេបានកើតឡើងជាវិទ្យាសាស្ត្រមួយពីជំនឿដែលថាភាពទៀងទាត់មួយចំនួនស្ថិតនៅក្រោមព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដ៏ធំ។ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេសិក្សាពីគំរូទាំងនេះ។

ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ ទាក់ទងនឹងការសិក្សាអំពីព្រឹត្តិការណ៍ ដែលការកើតឡើងដែលមិនស្គាល់ជាក់លាក់។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកវិនិច្ឆ័យកម្រិតនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួនបើប្រៀបធៀបទៅនឹងអ្នកដទៃ។

ឧទាហរណ៍៖ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកំណត់ដោយមិនច្បាស់លាស់នូវលទ្ធផលនៃការបាត់បង់ "ក្បាល" ឬ "កន្ទុយ" ដែលជាលទ្ធផលនៃការបោះកាក់មួយ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងការបោះច្រើន ប្រហែល លេខដូចគ្នា។ក្បាល និងកន្ទុយ ដែលមានន័យថា មានឱកាស 50% ក្នុងការទទួលបានក្បាល ឬកន្ទុយ។

សាកល្បងក្នុងករណីនេះ ការអនុវត្តលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់មួយត្រូវបានគេហៅថា ពោលគឺនៅក្នុង ករណីនេះបោះកាក់។ ការប្រកួតប្រជែងអាចលេងបានចំនួនដងមិនកំណត់។ ក្នុងករណីនេះភាពស្មុគស្មាញនៃលក្ខខណ្ឌរួមមានកត្តាចៃដន្យ។

លទ្ធផលតេស្តគឺ ព្រឹត្តិការណ៍. ព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង៖

1. អាចទុកចិត្តបាន (តែងតែកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត)។
2. មិនអាចទៅរួច (មិនដែលកើតឡើង)។
3. ចៃដន្យ (អាចឬមិនកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត) ។

ឧទាហរណ៍នៅពេលបោះកាក់ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច- កាក់នឹងស្ថិតនៅលើគែមដែលជាព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ - ការបាត់បង់ "ក្បាល" ឬ "កន្ទុយ" ។ លទ្ធផលតេស្តជាក់លាក់ត្រូវបានគេហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍បឋម. ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តមានតែព្រឹត្តិការណ៍បឋមប៉ុណ្ណោះដែលកើតឡើង។ ចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលតេស្តដែលអាចធ្វើបាន ផ្សេងគ្នា ជាក់លាក់ត្រូវបានគេហៅថា កន្លែងព្រឹត្តិការណ៍បឋម.

គំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តី

ប្រូបាប៊ីលីតេ- កម្រិតនៃលទ្ធភាពនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍។ នៅពេលដែលហេតុផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានពិតប្រាកដលើសពីហេតុផលផ្ទុយ នោះព្រឹត្តិការណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថាប្រហែលជា បើមិនដូច្នោះទេ - មិនទំនង ឬមិនទំនង។

តម្លៃចៃដន្យ- នេះគឺជាតម្លៃដែលលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តអាចយកតម្លៃមួយ ឬតម្លៃផ្សេងទៀត ហើយគេមិនដឹងជាមុនថាមួយណា។ ឧទាហរណ៍៖ ចំនួនស្ថានីយ៍ពន្លត់អគ្គីភ័យក្នុងមួយថ្ងៃ ចំនួននៃការបាញ់ប្រហារចំនួន ១០ ដង។ល។

អថេរចៃដន្យអាចបែងចែកជាពីរប្រភេទ។

1. អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកហៅថាតម្លៃបែបនេះ ដែលជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តអាចទទួលយកបាន។ តម្លៃជាក់លាក់ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេជាក់លាក់ បង្កើតសំណុំដែលអាចរាប់បាន (សំណុំដែលធាតុអាចរាប់បាន)។ ឈុតនេះអាចមានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ ជាឧទាហរណ៍ ចំនួននៃការបាញ់មុនពេលវាយដំបូងលើគោលដៅគឺជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក ពីព្រោះ តម្លៃនេះអាចទទួលយកបានដោយគ្មានកំណត់ ទោះបីជាអាចរាប់បានក៏ដោយ ចំនួននៃតម្លៃ។
2. អថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់គឺជាបរិមាណដែលអាចយកតម្លៃណាមួយពីចន្លោះពេលកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ ជាក់ស្តែង ចំនួននៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យបន្តគឺគ្មានកំណត់។

ចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ- គំនិតណែនាំដោយ A.N. Kolmogorov ក្នុងទសវត្សរ៍ទី 30 នៃសតវត្សទី XX ដើម្បីបង្កើតជាផ្លូវការនូវគោលគំនិតនៃប្រូបាប៊ីលីតេដែលបណ្តាលឱ្យមាន ការអភិវឌ្ឍន៍លឿនទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ជាវិន័យគណិតវិទ្យាដ៏តឹងរ៉ឹង។

ចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេគឺបីដង (ពេលខ្លះត្រូវបានស៊ុមក្នុងតង្កៀបមុំ៖ , កន្លែងណា

នេះ​ជា​សំណុំ​តាម​អំពើ​ចិត្ត, ធាតុ​ដែល​គេ​ហៅ​ថា ព្រឹត្តិការណ៍​បឋម, លទ្ធផល ឬ​ចំណុច;
- sigma-ពិជគណិតនៃសំណុំរងហៅថា (ចៃដន្យ) ព្រឹត្តិការណ៍;
- វិធានការ probabilistic ឬ probability, i.e. វិធានការកំណត់កម្រិត sigma-additive ដូចនោះ។

ទ្រឹស្តីបទ De Moivre-Laplace- មួយនៃទ្រឹស្តីបទកំណត់នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលបង្កើតឡើងដោយ Laplace ក្នុងឆ្នាំ 1812 ។ នាងបញ្ជាក់ថាចំនួនជោគជ័យក្នុងការធ្វើពិសោធន៍ចៃដន្យដដែលៗជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលអាចកើតមានពីរគឺត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតា។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។

ប្រសិនបើសម្រាប់ការសាកល្បងឯករាជ្យនីមួយៗ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយចំនួនគឺស្មើនឹង () ហើយជាចំនួននៃការសាកល្បងដែលវាកើតឡើងពិតប្រាកដ នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃសុពលភាពនៃវិសមភាពគឺនៅជិត (សម្រាប់ធំ) ទៅតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល Laplace ។

មុខងារចែកចាយនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ- មុខងារកំណត់លក្ខណៈនៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ ឬវ៉ិចទ័រចៃដន្យ។ លទ្ធភាពនោះ។ តម្លៃចៃដន្យ X នឹងយកតម្លៃតិចជាង ឬស្មើនឹង x ដែល x គឺបំពាន ចំនួនពិត. នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ វាកំណត់ទាំងស្រុងនូវអថេរចៃដន្យមួយ។

តម្លៃរំពឹងទុក- តម្លៃមធ្យមនៃអថេរចៃដន្យ (នេះគឺជាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យ ពិចារណាក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ)។ នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អង់គ្លេសវាត្រូវបានតំណាងដោយ, នៅក្នុងភាសារុស្សី - ។ នៅក្នុងស្ថិតិ សញ្ញាណត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។

អនុញ្ញាតឱ្យចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ និងអថេរចៃដន្យដែលបានកំណត់នៅលើវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ នោះគឺតាមនិយមន័យ មុខងារដែលអាចវាស់វែងបាន។ បន្ទាប់មកប្រសិនបើមានអាំងតេក្រាល Lebesgue លើសពីលំហ នោះវាត្រូវបានគេហៅថាការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា ឬតម្លៃមធ្យម ហើយត្រូវបានតំណាងដោយ .

ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ- រង្វាស់នៃការរីករាលដាលនៃអថេរចៃដន្យដែលបានផ្តល់ឱ្យ ពោលគឺគម្លាតរបស់វាពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ កំណត់ក្នុងអក្សរសិល្ប៍រុស្ស៊ីនិងបរទេស។ នៅក្នុងស្ថិតិ ការកំណត់ ឬត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។ ឫស​ការេភាពខុសគ្នាត្រូវបានគេហៅថា គម្លាតស្តង់ដារ គម្លាតស្តង់ដារ ឬការរីករាលដាលស្តង់ដារ។

ទុកជាអថេរចៃដន្យដែលកំណត់លើមួយចំនួន ចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ. បន្ទាប់មក

កន្លែងដែលនិមិត្តសញ្ញាតំណាងឱ្យ តម្លៃរំពឹងទុក.

នៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ, ពីរ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យបានហៅ ឯករាជ្យប្រសិនបើការកើតឡើងនៃមួយក្នុងចំណោមពួកវាមិនផ្លាស់ប្តូរប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃផ្សេងទៀត។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អថេរចៃដន្យពីរត្រូវបានហៅ ពឹងផ្អែកប្រសិនបើតម្លៃនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេប៉ះពាល់ដល់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃផ្សេងទៀត។

ទម្រង់ច្បាប់សាមញ្ញបំផុត។ លេខធំ- នេះគឺជាទ្រឹស្តីបទរបស់ Bernoulli ដោយបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺដូចគ្នានៅក្នុងការសាកល្បងទាំងអស់ នោះជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចំនួននៃការសាកល្បង ភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍មានទំនោរទៅរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ហើយឈប់ចៃដន្យ។

ច្បាប់នៃចំនួនច្រើននៅក្នុងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ ចែងថា មធ្យមនព្វន្ធនៃគំរូកំណត់ពីការចែកចាយថេរគឺជិតទៅនឹងមធ្យមភាគទ្រឹស្តីនៃការចែកចាយនោះ។ អាស្រ័យលើប្រភេទនៃការបង្រួបបង្រួម ច្បាប់ខ្សោយនៃចំនួនច្រើនត្រូវបានសម្គាល់ នៅពេលដែលការបញ្ចូលគ្នានៅក្នុងប្រូបាប៊ីលីតេកើតឡើង និងច្បាប់ដ៏រឹងមាំនៃចំនួនធំ នៅពេលដែលការបញ្ចូលគ្នាស្ទើរតែប្រាកដជាកើតឡើង។

អត្ថន័យទូទៅនៃច្បាប់នៃចំនួនធំ - សកម្មភាពរួមគ្នា មួយចំនួនធំកត្តាចៃដន្យដូចគ្នា និងឯករាជ្យនាំទៅរកលទ្ធផលដែលមិនអាស្រ័យលើករណីនៅក្នុងដែនកំណត់។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណប្រូបាប៊ីលីតេដោយផ្អែកលើការវិភាគនៃគំរូកំណត់គឺផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនេះ។ ឧទាហរណ៍ដ៏ល្អគឺជាការទស្សន៍ទាយលទ្ធផលបោះឆ្នោតដោយផ្អែកលើការស្ទង់មតិនៃគំរូអ្នកបោះឆ្នោត។

ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល- ថ្នាក់នៃទ្រឹស្តីបទនៅក្នុងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេដែលបញ្ជាក់ថា ផលបូកនៃចំនួនដ៏ច្រើនគ្រប់គ្រាន់នៃអថេរចៃដន្យអាស្រ័យខ្សោយដែលមានមាត្រដ្ឋានប្រហាក់ប្រហែលគ្នា (គ្មានពាក្យណាមួយត្រួតត្រា មិនធ្វើឱ្យមានការរួមចំណែកយ៉ាងសំខាន់ចំពោះផលបូក) មានការចែកចាយជិតដល់ ធម្មតា។

ដោយសារអថេរចៃដន្យជាច្រើននៅក្នុងកម្មវិធីត្រូវបានបង្កើតឡើងក្រោមឥទិ្ធពលនៃកត្តាចៃដន្យដែលពឹងផ្អែកខ្សោយមួយចំនួន ការចែកចាយរបស់ពួកគេត្រូវបានចាត់ទុកថាជារឿងធម្មតា។ ក្នុងករណីនេះលក្ខខណ្ឌត្រូវតែត្រូវបានសង្កេតឃើញថាមិនមានកត្តាណាមួយលេចធ្លោនោះទេ។ ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាលនៅក្នុងករណីទាំងនេះបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃការអនុវត្តនៃការចែកចាយធម្មតា។

ផ្នែកទី 6. ច្បាប់ចែកចាយធម្មតា និងលក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យ

ទម្រង់នៃអនុគមន៍ F(x), p(x) ឬការរាប់លេខ p(x i) ត្រូវបានគេហៅថាច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ។ ខណៈ​ពេល​ដែល​អ្នក​អាច​ស្រមៃ​មើល​ភាព​ខុស​គ្នា​ដ៏​គ្មាន​កំណត់​នៃ​អថេរ​ចៃដន្យ មាន​ច្បាប់​ចែកចាយ​តិច​ជាង​ឆ្ងាយ។ ទីមួយ អថេរចៃដន្យផ្សេងគ្នាអាចមានច្បាប់ចែកចាយដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍៖ អនុញ្ញាតឱ្យ y យកតែ 2 តម្លៃ 1 និង -1 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ 0.5; តម្លៃ z = -y មានច្បាប់ចែកចាយដូចគ្នា។
ទីពីរ ជាញឹកញាប់អថេរចៃដន្យមានច្បាប់ចែកចាយស្រដៀងគ្នា ឧទាហរណ៍ p(x) សម្រាប់ពួកវាត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្តនៃទម្រង់ដូចគ្នា ខុសគ្នាតែក្នុងចំនួនថេរមួយ ឬច្រើនប៉ុណ្ណោះ។ ថេរទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយ។

ទោះបីជា, ជាគោលការណ៍, ច្រើនបំផុត ច្បាប់ផ្សេងគ្នាការចែកចាយ ច្បាប់ធម្មតាមួយចំនួននឹងត្រូវបានពិចារណានៅទីនេះ។ វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការយកចិត្តទុកដាក់លើលក្ខខណ្ឌដែលវាកើតឡើង ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការចែកចាយទាំងនេះ។

មួយ។ ការចែកចាយឯកសណ្ឋាន
នេះគឺជាឈ្មោះនៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យដែលអាចយកតម្លៃណាមួយក្នុងចន្លោះពេល (a,b) ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការធ្លាក់ចូលទៅក្នុងផ្នែកណាមួយនៅខាងក្នុង (a,b) គឺសមាមាត្រទៅនឹងប្រវែងនៃផ្នែក និង មិនអាស្រ័យលើទីតាំងរបស់វាទេ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃខាងក្រៅ (a,b) គឺស្មើនឹង 0។

រូបភាព 6.1 មុខងារ និងដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយឯកសណ្ឋាន

ប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយ៖ a , b

២. ការចែកចាយធម្មតា។
ការចែកចាយជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេពិពណ៌នាដោយរូបមន្ត

(6.1)

ហៅថាធម្មតា។
ប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយ៖ a , σ

រូបភាព 6.2 ទិដ្ឋភាពធម្មតានៃដង់ស៊ីតេ និងមុខងារចែកចាយធម្មតា។

៣. ការចែកចាយ Bernoulli
ប្រសិនបើស៊េរីនៃការសាកល្បងឯករាជ្យត្រូវបានធ្វើឡើង ក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ A អាចលេចឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នា p នោះចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺជាអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់ Bernoulli ឬយោងទៅតាមច្បាប់ binomial (ឈ្មោះចែកចាយផ្សេងទៀត).

នេះគឺជាចំនួននៃការសាកល្បងនៅក្នុងស៊េរី m គឺជាអថេរចៃដន្យ (ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A), P n (m) គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេដែល A នឹងកើតឡើងពិតប្រាកដ m ដង, q \u003d 1 - p (the ប្រូបាប៊ីលីតេដែល A មិនបង្ហាញក្នុងការធ្វើតេស្ត) ។

ឧទាហរណ៍ទី 1: ការស្លាប់ត្រូវបានរមៀល 5 ដង តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលថា 6 នឹងត្រូវបានរមៀលពីរដង?
n=5, m=2, p=1/6, q=5/6

ប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយ: n, ទំ

បួន . ការចែកចាយ Poisson
ការចែកចាយ Poisson ត្រូវបានទទួលជាករណីកំណត់នៃការចែកចាយ Bernoulli ប្រសិនបើ p មានទំនោរទៅសូន្យ និង n ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ប៉ុន្តែតាមរបៀបដែលផលិតផលរបស់ពួកគេនៅថេរ៖ nр = a ។ ជាផ្លូវការ, បែបនេះ ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់នាំទៅរករូបមន្ត

ប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយ៖ ក

ការចែកចាយ Poisson គឺជាកម្មវត្ថុនៃអថេរចៃដន្យជាច្រើនដែលបានជួបប្រទះនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ និងជីវិតជាក់ស្តែង។

ឧទាហរណ៍ទី 2: ចំនួននៃការហៅទូរស័ព្ទដែលបានទទួលនៅស្ថានីយ៍រថយន្តសង្គ្រោះក្នុងរយៈពេលមួយម៉ោង។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែកចន្លោះពេល T (1 ម៉ោង) ទៅជាចន្លោះតូចៗ dt ដូចជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលការហៅទូរស័ព្ទពីរឬច្រើនក្នុងអំឡុងពេល dt គឺមានភាពធ្វេសប្រហែស ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការហៅមួយ p គឺសមាមាត្រទៅនឹង dt: p = μdt ;
យើងនឹងពិចារណាការសង្កេតក្នុងអំឡុងពេល dt ជាការសាកល្បងឯករាជ្យ ចំនួននៃការសាកល្បងបែបនេះក្នុងអំឡុងពេល T: n = T / dt;
ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលការហៅទូរសព្ទមិនផ្លាស់ប្តូរក្នុងអំឡុងពេលម៉ោងនោះ ចំនួនសរុបអំពាវនាវឱ្យគោរពច្បាប់ Bernoulli ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ: n = T / dt, p = μdt ។ អនុញ្ញាតឱ្យ dt ទំនោរទៅសូន្យ យើងទទួលបានថា n ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយផលិតផល n × p នៅតែថេរ៖ a = n × p = μT ។

ឧទាហរណ៍ទី ៣៖ ចំនួនម៉ូលេគុល ឧស្ម័នឧត្តមគតិនៅក្នុងបរិមាណថេរមួយចំនួន V.
ចូរយើងបែងចែកបរិមាណ V ទៅជាភាគតូច dV ដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃការស្វែងរកម៉ូលេគុលពីរឬច្រើននៅក្នុង dV គឺមានភាពធ្វេសប្រហែស ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការស្វែងរកម៉ូលេគុលមួយគឺសមាមាត្រទៅនឹង dV: р = μdV; យើងនឹងពិចារណាការសង្កេតនៃបរិមាណនីមួយៗ dV ជា ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យចំនួននៃការធ្វើតេស្តបែបនេះ n=V/dV; ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការស្វែងរកម៉ូលេគុលនៅកន្លែងណាមួយនៅខាងក្នុង V គឺដូចគ្នានោះ ចំនួនសរុបនៃម៉ូលេគុលក្នុងបរិមាណ V គោរពច្បាប់ Bernoulli ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ: n = V / dV, p = μdV ។ អនុញ្ញាតឱ្យ dV ទំនោរទៅសូន្យ យើងទទួលបានថា n ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយផលិតផល n × p នៅតែថេរ: a = n × p = μV ។

លក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យ

មួយ។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា (តម្លៃមធ្យម)

និយមន័យ៖
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺ
  (6.4)

ផលបូកត្រូវបានយកលើតម្លៃទាំងអស់ដែលអថេរចៃដន្យយក។ ស៊េរីត្រូវតែបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ (បើមិនដូច្នេះទេ អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេនិយាយថាមិនមានការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា)

;   (6.5)

អាំងតេក្រាលត្រូវតែបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ (បើមិនដូច្នេះទេ អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេនិយាយថាមិនមានតម្លៃរំពឹងទុក)

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា៖

ក. ប្រសិនបើជាមួយ - ថេរបន្ទាប់មក MS = C
ខ. Mx = Smx
គ. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យគឺតែងតែស្មើនឹងផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ៖ М(х+y) = Мх + Мy d ។ គំនិតនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាតាមលក្ខខណ្ឌត្រូវបានណែនាំ។ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យយកតម្លៃរបស់វា x i ជាមួយនឹងប្រូបាបផ្សេងគ្នា p(x i / H j) នៅ លក្ខខណ្ឌផ្សេងគ្នា H j បន្ទាប់មកការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌត្រូវបានកំណត់

របៀប ឬ ;   (6.6)

ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ H j ត្រូវបានដឹង នោះពេញលេញ

តម្លៃរំពឹងទុក៖ ;   (6.7)

ឧទាហរណ៍ទី ៤៖ ជាមធ្យម តើអ្នកត្រូវបោះកាក់ប៉ុន្មានដង មុនពេលអាវធំដំបូងលេចឡើង? បញ្ហានេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយ "នៅលើថ្ងាស" ។

x ខ្ញុំ	1 2 3 ... ក..
p(x i):		,

ប៉ុន្តែចំនួននេះនៅតែត្រូវគណនា។ អ្នកអាចធ្វើវាបានកាន់តែងាយស្រួល ដោយប្រើគោលគំនិតនៃការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌ និងគណិតវិទ្យាពេញលេញ។ ពិចារណាសម្មតិកម្ម H 1 - អាវធំបានធ្លាក់ចុះជាលើកដំបូង H 2 - វាមិនធ្លាក់ចេញជាលើកដំបូង។ ជាក់ស្តែង p (H 1) \u003d p (H 2) \u003d ½; Mx / H 1 \u003d 1;
Mx / H 2 គឺ 1 ច្រើនជាងការរំពឹងទុកពេញលេញដែលចង់បាន, ដោយសារតែ បន្ទាប់​ពី​បោះ​កាក់​លើក​ដំបូង ស្ថានភាព​មិន​បាន​ផ្លាស់​ប្តូរ​ទេ ប៉ុន្តែ​ពេល​បោះ​រួច​ហើយ ។ ដោយប្រើរូបមន្តនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាពេញលេញ យើងមាន Mx \u003d Mx / H 1 × p (H 1) + Mx / H 2 × p (H 2) \u003d 1 × 0.5 + (Mx + 1) × 0.5, ដោះស្រាយ សមីការសម្រាប់ Mx យើងទទួលបាន Mx = 2 ភ្លាមៗ។

អ៊ី ប្រសិនបើ f(x) គឺជាអនុគមន៍នៃអថេរចៃដន្យ x នោះគោលគំនិតនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអនុគមន៍នៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានកំណត់៖

សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក៖ ;   (6.8)

ផលបូកត្រូវបានយកលើតម្លៃទាំងអស់ដែលអថេរចៃដន្យយក។ ស៊េរីត្រូវតែបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ។

សម្រាប់អថេរចៃដន្យបន្ត៖ ;   (6.9)

អាំងតេក្រាលត្រូវតែបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ។

២. ភាពខុសគ្នានៃអថេរចៃដន្យ
និយមន័យ៖
ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃអថេរចៃដន្យ x គឺជាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃគម្លាតការេនៃតម្លៃនៃបរិមាណពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យារបស់វា៖ Dx = M(x-Mx) 2

សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក៖ ;   (6.10)

ផលបូកត្រូវបានយកលើតម្លៃទាំងអស់ដែលអថេរចៃដន្យយក។ ស៊េរីត្រូវតែបញ្ចូលគ្នា (បើមិនដូច្នេះទេ អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេនិយាយថាមិនមានបំរែបំរួល)

សម្រាប់អថេរចៃដន្យបន្ត៖ ;   (6.11)

អាំងតេក្រាលត្រូវតែបញ្ចូលគ្នា (បើមិនដូច្នេះទេ អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេនិយាយថាមិនមានបំរែបំរួល)

លក្ខណៈសម្បត្តិបែកខ្ញែក៖
ក. ប្រសិនបើ C ជាតម្លៃថេរ នោះ DC = 0
ខ. DСх = С 2 Dх
គ. បំរែបំរួលនៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យគឺតែងតែស្មើនឹងផលបូកនៃការប្រែប្រួលរបស់វា លុះត្រាតែអថេរទាំងនេះឯករាជ្យ (និយមន័យនៃអថេរឯករាជ្យ)
ឃ. ដើម្បីគណនាបំរែបំរួល វាងាយស្រួលប្រើរូបមន្ត៖

Dx = Mx 2 - (Mx) 2 (6.12)

ទំនាក់ទំនងនៃលក្ខណៈលេខ
និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការចែកចាយធម្មតា។

ការចែកចាយ	ជម្រើស	រូបមន្ត	Mx	Dx
ឯកសណ្ឋាន	a , ខ		(b+a) / ២	(b-a) ២/១២
ធម្មតា។	a , σ		ក	σ២
ប៊ែរណូលី	n, ទំ		np	npq
ពុលសុន	ក		ក	ក

នៅក្នុងការអនុវត្ត អថេរចៃដន្យភាគច្រើនរងផលប៉ះពាល់ដោយ មួយ​ចំនួន​ធំ​នៃកត្តាចៃដន្យ, គោរពតាម ច្បាប់ធម្មតា។ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ។ ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងកម្មវិធីផ្សេងៗនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ច្បាប់នេះមានសារៈសំខាន់ជាពិសេស។

អថេរចៃដន្យ $X$ គោរពច្បាប់ចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេធម្មតា ប្រសិនបើដង់ស៊ីតេចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi)))e^(-((((\left(x-a\right)))^2)\over ( 2(\sigma)^2)))$$

តាមគ្រោងការណ៍ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $f\left(x\right)$ ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូប ហើយមានឈ្មោះ "ខ្សែកោង Gaussian"។ នៅខាងស្ដាំនៃក្រាហ្វិកនេះគឺជាក្រដាសប្រាក់ 10 Mark របស់អាល្លឺម៉ង់ ដែលត្រូវបានប្រើមុនពេលដាក់ឱ្យប្រើប្រាស់ប្រាក់អឺរ៉ូ។ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលឱ្យជិត អ្នកអាចមើលឃើញខ្សែកោង Gaussian និងអ្នករកឃើញរបស់វានៅលើក្រដាសប្រាក់នេះ។ គណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុត។លោក Carl Friedrich Gauss ។

តោះត្រឡប់ទៅមុខងារដង់ស៊ីតេរបស់យើង $f\left(x\right)$ ហើយផ្តល់ការពន្យល់ខ្លះៗអំពីប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយ $a,\(\sigma )^2$។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ កំណត់លក្ខណៈកណ្តាលនៃការបែកខ្ញែកនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ ពោលគឺវាមានអត្ថន័យនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ នៅពេលដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ ផ្លាស់ប្តូរ ហើយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $(\sigma )^2$ នៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ យើងអាចសង្កេតមើលការផ្លាស់ប្តូរក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $f\left(x\right)$ តាមអ័ក្ស abscissa ខណៈពេលដែលដង់ស៊ីតេ ក្រាហ្វខ្លួនឯងមិនផ្លាស់ប្តូររូបរាងរបស់វាទេ។

ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $(\sigma )^2$ គឺ​ជា​បំរែបំរួល និង​កំណត់​រូបរាង​នៃ​ខ្សែកោង​ដង់ស៊ីតេ $f\left(x\right)$។ នៅពេលផ្លាស់ប្តូរប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $(\sigma )^2$ ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ មិនផ្លាស់ប្តូរ យើងអាចសង្កេតមើលពីរបៀបដែលក្រាហ្វដង់ស៊ីតេផ្លាស់ប្តូររូបរាង រួញ ឬលាតសន្ធឹង ខណៈពេលដែលមិនផ្លាស់ប្តូរតាម abscissa ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ

ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ $X$ ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេល $\left(\alpha ;\\beta \right)$ អាចត្រូវបានគណនា $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

នៅទីនេះមុខងារ $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi)))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ គឺជា មុខងារ Laplace ។ តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍​នេះ​ត្រូវ​បាន​យក​ពី . មុខងារខាងក្រោមនៃមុខងារ $\Phi \left(x\right)$ អាចត្រូវបានគេកត់សម្គាល់។

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, i.e. មុខងារ $\Phi \left(x\right)$ គឺសេស។

2 . $\Phi \left(x\right)$ គឺជាមុខងារបង្កើនឯកតា។

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty) \Phi \left(x\right)\)=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ ឆ្វេង(x\right)\)=-0.5$។

ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $\Phi \left(x\right)$ អ្នកក៏អាចប្រើមុខងារ $f_x$ អ្នកជំនួយការនៃកញ្ចប់ Excel៖ $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\right)-0.5$ ។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $\Phi \left(x\right)$ សម្រាប់ $x=2$ ។

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យចែកចាយជាធម្មតា $X\in N\left(a;\(\sigma)^2\right)$ ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងស៊ីមេទ្រីចន្លោះពេលទាក់ទងទៅនឹងការរំពឹងទុក $a$ អាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

ច្បាប់បី. វាប្រាកដណាស់ថាអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតា $X$ ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេល $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ ។

ឧទាហរណ៍ ១ . អថេរចៃដន្យ $X$ គឺស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់ចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេធម្មតាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a=2,\sigma =3$ ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែល $X$ ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេល $\left(0,5;1\right)$ និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលវិសមភាព $\left|X-a\right|< 0,2$.

ដោយប្រើរូបមន្ត

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

ស្វែងរក $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ លើ (3))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi\left(0.5\right)-\Phi\left(0.33\right) =0.191-0.129=0.062 ដុល្លារ។

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

ឧទាហរណ៍ ២ . ឧបមាថាក្នុងកំឡុងឆ្នាំតម្លៃភាគហ៊ុនរបស់ក្រុមហ៊ុនជាក់លាក់មួយគឺជាអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាស្មើនឹង 50 ឯកតារូបិយវត្ថុធម្មតា និងគម្លាតស្តង់ដារស្មើនឹង 10 ។ តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលតាមចៃដន្យ ថ្ងៃដែលបានជ្រើសរើសនៃអំឡុងពេលដែលកំពុងពិភាក្សា តម្លៃសម្រាប់ភាគហ៊ុននឹងមានៈ

ក) ច្រើនជាង 70 ឯកតារូបិយវត្ថុសាមញ្ញ?

ខ) ក្រោម 50 ក្នុងមួយហ៊ុន?

គ) រវាង 45 និង 58 តាមលក្ខខណ្ឌ ឯកតារូបិយវត្ថុក្នុងមួយហ៊ុន?

សូមឲ្យអថេរចៃដន្យ $X$ ជាតម្លៃភាគហ៊ុនរបស់ក្រុមហ៊ុនមួយចំនួន។ តាមលក្ខខណ្ឌ $X$ ជាកម្មវត្ថុនៃការចែកចាយធម្មតាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a=50$ - ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា $\sigma =10$ - គម្លាតស្តង់ដារ. ប្រូបាប៊ីលីតេ $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ លើស (10))\right)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\ P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$c)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

ទោះបីជាឈ្មោះកម្រនិងអសកម្មក៏ដោយ ការចែកចាយទូទៅគឺទាក់ទងគ្នាទៅវិញទៅមកនៅក្នុងវិចារណញាណនិង វិធីគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ដែលធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលក្នុងការចងចាំពួកគេ ហើយនិយាយអំពីពួកគេដោយទំនុកចិត្ត។ ឧទាហរណ៍ខ្លះធ្វើតាមធម្មជាតិពីការចែកចាយ Bernoulli ។ ដល់ពេលបង្ហាញផែនទីនៃការតភ្ជាប់ទាំងនេះ។

ការចែកចាយនីមួយៗត្រូវបានបង្ហាញដោយឧទាហរណ៍នៃមុខងារដង់ស៊ីតេចែកចាយរបស់វា (DDF)។ អត្ថបទនេះគឺគ្រាន់តែអំពីការចែកចាយទាំងនោះដែលលទ្ធផលគឺ − លេខតែមួយ. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល, អ័ក្សផ្ដេកក្រាហ្វនីមួយៗគឺជាសំណុំនៃលទ្ធផលដែលអាចធ្វើបាន។ បញ្ឈរ - ប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលនីមួយៗ។ ការចែកចាយមួយចំនួនគឺមិនដាច់ដោយឡែកពីគ្នា - លទ្ធផលរបស់ពួកគេត្រូវតែជាចំនួនគត់ ដូចជា 0 ឬ 5។ ទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយបន្ទាត់តូច មួយសម្រាប់លទ្ធផលនីមួយៗ ជាមួយនឹងកម្ពស់ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលនេះ។ ខ្លះបន្ត លទ្ធផលរបស់ពួកគេអាចទទួលយកបាន។ តម្លៃលេខដូចជា -1.32 ឬ 0.005 ។ ទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញជាខ្សែកោងក្រាស់ជាមួយនឹងតំបន់នៅក្រោមផ្នែកនៃខ្សែកោងដែលផ្តល់ប្រូបាប៊ីលីតេ។ ផលបូកនៃកំពស់នៃបន្ទាត់ និងតំបន់នៅក្រោមខ្សែកោងគឺតែងតែ 1 ។

បោះពុម្ពវាចេញ កាត់តាមបន្ទាត់ចំនុច ហើយយកវាទៅជាមួយក្នុងកាបូបរបស់អ្នក។ នេះគឺជាការណែនាំរបស់អ្នកទៅកាន់ប្រទេសនៃការចែកចាយ និងសាច់ញាតិរបស់ពួកគេ។

Bernoulli និងឯកសណ្ឋាន

អ្នកបានជួបការចែកចាយ Bernoulli ខាងលើរួចហើយ ជាមួយនឹងលទ្ធផលពីរ - ក្បាល ឬកន្ទុយ។ ស្រមៃថាឥឡូវនេះជាការចែកចាយលើសពី 0 និង 1, 0 ជាក្បាល និង 1 ជាកន្ទុយ។ ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ លទ្ធផលទាំងពីរទំនងជាស្មើគ្នា ហើយនេះត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងនៅក្នុងដ្យាក្រាម។ Bernoulli PDF មានពីរជួរ កម្ពស់ដូចគ្នា។តំណាងឱ្យ 2 លទ្ធផលទំនងស្មើគ្នា: 0 និង 1 រៀងគ្នា។

ការចែកចាយ Bernoulli ក៏អាចតំណាងឱ្យលទ្ធផលមិនស្មើគ្នាផងដែរ ដូចជាការបង្វិលកាក់ខុស។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃក្បាលនឹងមិនមែន 0.5 ទេ ប៉ុន្តែតម្លៃមួយចំនួនផ្សេងទៀត p ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃកន្ទុយនឹងមាន 1-p ។ ដូចគ្នានឹងការចែកចាយផ្សេងទៀតដែរ វាគឺពិតជាគ្រួសារទាំងមូលនៃការចែកចាយដែលបានផ្តល់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រជាក់លាក់ ដូចជាទំខាងលើ។ នៅពេលអ្នកគិតថា "Bernoulli" - គិតអំពី "ការបោះកាក់ (ប្រហែលជាខុស)" ។

ហេតុនេះ ខ្លាំងណាស់ ជំហានតូចមុន​ពេល​បង្ហាញ​ការ​ចែក​ចាយ​លើ​លទ្ធផល​ដែល​អាច​ប្រើ​បាន​ជា​ច្រើន៖ ការ​ចែក​ចាយ​ឯកសណ្ឋាន​ដែល​កំណត់​លក្ខណៈ​ដោយ​ទម្រង់​ជា PDF ។ តំណាងឱ្យត្រឹមត្រូវ។ គ្រាប់ឡុកឡាក់. លទ្ធផលរបស់គាត់ 1-6 ទំនងជាដូចគ្នា។ វាអាចត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ចំនួនលទ្ធផល n និងសូម្បីតែជាការចែកចាយបន្ត។

គិត​ពី ការចែកចាយឯកសណ្ឋានជា "គ្រាប់ឡុកឡាក់ត្រឹមត្រូវ" ។

ធរណីមាត្រ និងអ៊ីពែរធរណីមាត្រ

ការចែកចាយ binomial អាចត្រូវបានគិតថាជាផលបូកនៃលទ្ធផលនៃវត្ថុទាំងនោះដែលធ្វើតាមការចែកចាយ Bernoulli ។

ត្រឡប់កាក់ស្មោះត្រង់ពីរដង - តើវានឹងត្រូវក្បាលប៉ុន្មានដង? នេះគឺជាលេខដែលគោរពតាមការចែកចាយ binomial ។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វាគឺ n ចំនួននៃការសាកល្បងហើយ p គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃ "ជោគជ័យ" (ក្នុងករណីរបស់យើងក្បាលឬ 1) ។ រមៀលនីមួយៗគឺជាលទ្ធផលនៃការចែកចាយ Bernoulli ឬសាកល្បង។ ប្រើការចែកចាយលេខពីរនៅពេលរាប់ចំនួនជោគជ័យក្នុងរឿងដូចជាការបង្វិលកាក់ ដែលការត្រឡប់នីមួយៗមិនអាស្រ័យលើអ្នកផ្សេងទៀត ហើយមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃការជោគជ័យដូចគ្នា។

ឬស្រមៃមើលកោដ្ឋមួយដែលមានចំនួនដូចគ្នានៃគ្រាប់បាល់ពណ៌សនិងខ្មៅ។ បិទភ្នែករបស់អ្នក ទាញបាល់ចេញ សរសេរពណ៌របស់វា ហើយត្រឡប់វាមកវិញ។ ធ្វើម្តងទៀត។ តើបាល់ខ្មៅត្រូវបានគូរប៉ុន្មានដង? ចំនួននេះក៏ធ្វើតាមការចែកចាយ binomial ផងដែរ។

នេះ។ ស្ថានភាពចម្លែកយើងបានណែនាំដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការយល់អត្ថន័យនៃការចែកចាយធរណីមាត្រ នេះគឺជាការចែកចាយនៃចំនួនដូចគ្នាប៉ុន្តែនៅក្នុងស្ថានភាពមួយប្រសិនបើយើង ទេ។ត្រឡប់បាល់។ វាប្រាកដណាស់។ បងប្អូនជីដូនមួយការចែកចាយ binomial ប៉ុន្តែមិនដូចគ្នាទេ ដោយសារប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យបានផ្លាស់ប្តូរជាមួយនឹងបាល់នីមួយៗដែលបានគូរ។ ប្រសិនបើចំនួនបាល់មានទំហំធំល្មមបើប្រៀបធៀបទៅនឹងចំនួននៃការចាប់ឆ្នោត នោះការចែកចាយទាំងនេះគឺស្ទើរតែដូចគ្នា ដោយសារឱកាសនៃភាពជោគជ័យមានការផ្លាស់ប្តូរតិចតួចបំផុតជាមួយនឹងការចាប់ឆ្នោតនីមួយៗ។

នៅពេលដែលនរណាម្នាក់និយាយអំពីការគូរបាល់ពីកោដ្ឋដោយមិនត្រលប់មកវិញ វាស្ទើរតែតែងតែមានសុវត្ថិភាពក្នុងការនិយាយថា "បាទ ការចែកចាយធរណីមាត្រ" ពីព្រោះនៅក្នុងជីវិតរបស់ខ្ញុំ ខ្ញុំមិនទាន់បានជួបនរណាម្នាក់ដែលនឹងបំពេញកោដ្ឋដោយបាល់ ហើយបន្ទាប់មកយកវាចេញ ហើយត្រលប់មកវិញ។ ឬផ្ទុយមកវិញ។ ខ្ញុំ​ក៏​គ្មាន​មិត្ត​ភក្តិ​ជាមួយ​កោដ្ឋ​ដែរ។ កាន់តែញឹកញាប់ ការចែកចាយនេះគួរតែកើតឡើងនៅពេលជ្រើសរើសក្រុមរងសំខាន់ៗនៃចំនួនប្រជាជនទូទៅមួយចំនួនជាគំរូ។

ចំណាំ។ បកប្រែ

វាប្រហែលជាមិនច្បាស់នៅទីនេះទេ ប៉ុន្តែចាប់តាំងពីការបង្រៀន និងវគ្គសិក្សារហ័សសម្រាប់អ្នកចាប់ផ្តើមដំបូង វានឹងចាំបាច់ក្នុងការពន្យល់។ ចំនួនប្រជាជនគឺជាអ្វីដែលយើងចង់វាយតម្លៃតាមស្ថិតិ។ ដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណ យើងជ្រើសរើសផ្នែកជាក់លាក់មួយ (សំណុំរង) ហើយធ្វើការប៉ាន់ស្មានដែលត្រូវការនៅលើវា (បន្ទាប់មកសំណុំរងនេះត្រូវបានគេហៅថាគំរូ) ដោយសន្មតថាការប៉ាន់ប្រមាណនឹងស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ប្រជាជនទាំងមូល។ ប៉ុន្តែដើម្បីឱ្យការពិតនេះ ការដាក់កម្រិតបន្ថែមជាញឹកញាប់ត្រូវបានទាមទារលើនិយមន័យនៃសំណុំរងនៃគំរូ (ឬផ្ទុយទៅវិញ ពីគំរូដែលគេស្គាល់ យើងត្រូវវាយតម្លៃថាតើវាពិពណ៌នាចំនួនប្រជាជនបានត្រឹមត្រូវគ្រប់គ្រាន់ឬអត់)។

ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង - យើងត្រូវជ្រើសរើសតំណាងពីក្រុមហ៊ុនដែលមានមនុស្សចំនួន 100 នាក់ដើម្បីធ្វើដំណើរទៅកាន់ E3 ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាមនុស្ស 10 នាក់បានធ្វើដំណើររួចហើយនៅក្នុងវាកាលពីឆ្នាំមុន (ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់ត្រូវបានទទួលស្គាល់) ។ តើត្រូវយកអប្បបរមាប៉ុន្មាន ទើបសមមិត្តដែលមានបទពិសោធន៍យ៉ាងតិចម្នាក់ទំនងជានៅក្នុងក្រុម? ក្នុងករណី​នេះ ចំនួនប្រជាជន- 100, ការជ្រើសរើស - 10, តម្រូវការជ្រើសរើស - យ៉ាងហោចណាស់មនុស្សម្នាក់ដែលបានធ្វើដំណើរទៅ E3 រួចហើយ។

វិគីភីឌាមានឧទាហរណ៍ដែលគួរឱ្យអស់សំណើចតិច ប៉ុន្តែជាក់ស្តែងជាងនេះអំពីផ្នែកដែលមានបញ្ហានៅក្នុងបាច់មួយ។

ពុល

ចុះ​ចំនួន​អតិថិជន​ដែល​ហៅ​មក​វិញ? ខ្សែទូរស័ព្ទទាន់ហេតុការណ៍ដើម្បីគាំទ្របច្ចេកទេសរាល់នាទី? នេះគឺជាលទ្ធផលដែលការចែកចាយគឺនៅ glance binomial ដំបូង ប្រសិនបើយើងពិចារណារាល់វិនាទីជាការសាកល្បង Bernoulli ក្នុងអំឡុងពេលដែលអតិថិជនមិនហៅ (0) ឬហៅ (1)។ ប៉ុន្តែអង្គការផ្គត់ផ្គង់ថាមពលដឹងយ៉ាងច្បាស់ថា: នៅពេលដែលអគ្គិសនីត្រូវបានបិទមនុស្សពីរនាក់អាចហៅបានក្នុងមួយវិនាទី។ ឬសូម្បីតែច្រើនជាងមួយរយនៃ​ប្រជាជន។ ការបង្ហាញវាជាការសាកល្បង 60,000 មីលីវិនាទីក៏មិនអាចជួយបានដែរ - មានការសាកល្បងកាន់តែច្រើន ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការហៅទូរសព្ទក្នុងមួយមីលីវិនាទីគឺតិចជាង ទោះបីជាអ្នកមិនរាប់ពីរ ឬច្រើនក្នុងពេលតែមួយក៏ដោយ ប៉ុន្តែតាមបច្ចេកទេស វានៅតែមិនមែនជា ការធ្វើតេស្ត Bernoulli ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ហេតុផលឡូជីខលដំណើរការជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ អនុញ្ញាតឱ្យ n ទៅ infinity ហើយ p ទៅ 0 ដូច្នេះ np គឺថេរ។ វាដូចជាការបែងចែកទៅជាប្រភាគតូចជាង និងតូចជាងនៃពេលវេលា ជាមួយនឹងឱកាសនៃការហៅទូរស័ព្ទតិចទៅៗ។ នៅក្នុងដែនកំណត់ យើងទទួលបានការចែកចាយ Poisson ។

ដូចគ្នានឹងការចែកចាយ binomial ការចែកចាយ Poisson គឺជាការចែកចាយបរិមាណ៖ ចំនួនដងដែលកើតឡើង។ វាត្រូវបានវាស់វែងមិនមែនដោយប្រូបាប៊ីលីតេ p និងចំនួននៃការសាកល្បង n ទេ ប៉ុន្តែដោយអាំងតង់ស៊ីតេមធ្យម λ ដែលក្នុងភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយ binomial គឺសាមញ្ញ។ តម្លៃថេរ n.p. ការចែកចាយ Poisson គឺជាអ្វី ចាំបាច់ចងចាំនៅពេលដែលវាមកដល់ការរាប់ព្រឹត្តិការណ៍សម្រាប់ ពេលវេលាជាក់លាក់នៅអាំងតង់ស៊ីតេដែលបានផ្តល់ឱ្យថេរ។

នៅពេលដែលមានអ្វីមួយដូចជាកញ្ចប់មកដល់រ៉ោតទ័រ ឬអតិថិជនបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងហាង ឬអ្វីមួយដែលកំពុងរង់ចាំនៅក្នុងជួរ សូមគិតដល់ Poisson ។

ធរណីមាត្រ និង​ទ្វេ​នាម​អវិជ្ជមាន

ពី ការធ្វើតេស្តសាមញ្ញ Bernoulli លេចឡើងការចែកចាយមួយផ្សេងទៀត។ តើ​កាក់​ឡើង​កន្ទុយ​ប៉ុន្មាន​ដង មុន​នឹង​ឡើង​ក្បាល? ចំនួនកន្ទុយតាមការបែងចែកធរណីមាត្រ។ ដូចជាការចែកចាយ Bernoulli វាត្រូវបានកំណត់ដោយប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលជោគជ័យ ទំ។ វាមិនត្រូវបានកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រដោយលេខ n ចំនួននៃការសាកល្បងទេ ពីព្រោះចំនួននៃការសាកល្បងដែលបរាជ័យគឺជាលទ្ធផលយ៉ាងជាក់លាក់។

ប្រសិនបើការចែកចាយ binomial គឺ "ប៉ុន្មានជោគជ័យ" នោះការចែកចាយធរណីមាត្រគឺ "តើមានការបរាជ័យប៉ុន្មានដងមុនពេលជោគជ័យ?"។

ការចែកចាយ binomial អវិជ្ជមានគឺជាការធ្វើឱ្យទូទៅសាមញ្ញនៃការមុនមួយ។ នេះគឺជាចំនួននៃការបរាជ័យមុនពេលមាន r មិនមែន 1 ជោគជ័យ។ ដូច្នេះវាត្រូវបានបន្ថែមប៉ារ៉ាម៉ែត្រដោយ r នេះ។ ពេលខ្លះវាត្រូវបានពិពណ៌នាថាជាចំនួននៃភាពជោគជ័យមុនពេល r បរាជ័យ។ ប៉ុន្តែ​ដូច​ដែល​គ្រូ​បង្វឹក​ជីវិត​របស់​ខ្ញុំ​និយាយ​ថា “អ្នក​សម្រេច​ថា​អ្វី​ជា​ជោគជ័យ និង​អ្វី​ជា​បរាជ័យ” ដូច្នេះ​នេះ​ក៏​ដូច​គ្នា​ដែរ បើ​អ្នក​មិន​ភ្លេច​ថា ប្រូបាប៊ីលីតេ​ក៏​ត្រូវ​ ប្រូបាប៊ីលីតេត្រឹមត្រូវ។ជោគជ័យ ឬបរាជ័យរៀងៗខ្លួន។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការរឿងកំប្លែងដើម្បីបន្ធូរបន្ថយភាពតានតឹង អ្នកអាចនិយាយបានថាការចែកចាយ binomial និង hypergeometric គឺជាគូជាក់ស្តែង ប៉ុន្តែការចែកចាយធរណីមាត្រ និងអវិជ្ជមានក៏ស្រដៀងគ្នាដែរ ហើយបន្ទាប់មកនិយាយថា "មែនហើយ អ្នកណាហៅវាទាំងអស់ដូចនោះ ហា៎? ”

និទស្សន្ត និង Weibull

ជាថ្មីម្តងទៀតអំពីការហៅទៅកាន់ផ្នែកជំនួយបច្ចេកទេស៖ តើវាត្រូវចំណាយពេលប៉ុន្មានមុនពេលការហៅបន្ទាប់? ការចែកចាយពេលវេលារង់ចាំនេះ ហាក់បីដូចជាធរណីមាត្រ ព្រោះរាល់វិនាទី ទាល់តែគ្មានអ្នកណាហៅមក ប្រៀបបាននឹងការបរាជ័យ រហូតដល់ទីពីរ រហូតដល់ចុងក្រោយ ការហៅក៏កើតឡើង។ ចំនួននៃការបរាជ័យគឺដូចជាចំនួនវិនាទីរហូតដល់គ្មាននរណាម្នាក់ហៅហើយនេះគឺ អនុវត្តពេលវេលារហូតដល់ការហៅបន្ទាប់ ប៉ុន្តែ "អនុវត្ត" មិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងទេ។ ចំនុចសំខាន់គឺថាពេលនេះនឹងជាផលបូកនៃវិនាទីទាំងមូល ហើយដូច្នេះវានឹងមិនអាចគណនាការរង់ចាំក្នុងវិនាទីនេះមុនពេលការហៅពិតប្រាកដនោះទេ។

ដូចពីមុនយើងទៅ ការចែកចាយធរណីមាត្រដល់ដែនកំណត់ទាក់ទងនឹងការចែករំលែកពេលវេលា - និង voila ។ យើងទទួលបានការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ដែលពិពណ៌នាយ៉ាងត្រឹមត្រូវអំពីពេលវេលាមុនពេលការហៅទូរសព្ទ។ វា។ ការចែកចាយបន្តយើងមានទីមួយ ពីព្រោះលទ្ធផលមិនចាំបាច់ក្នុងរយៈពេលមួយវិនាទី។ ដូចជាការចែកចាយ Poisson វាត្រូវបានកំណត់ដោយអាំងតង់ស៊ីតេ λ ។

ដោយបានបន្ទរការភ្ជាប់រវាងធរណីមាត្រ និងធរណីមាត្រ លោក Poisson "តើមានព្រឹត្តិការណ៍ប៉ុន្មានដងក្នុងមួយពេល?" គឺទាក់ទងទៅនឹងនិទស្សន្ត "រយៈពេលប៉ុន្មានមុនព្រឹត្តិការណ៍?"។ ប្រសិនបើមានព្រឹត្តិការណ៍ដែលចំនួនក្នុងមួយឯកតាពេលវេលាគោរពតាមការបែងចែក Poisson នោះពេលវេលារវាងពួកវាគោរពតាមការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រដូចគ្នា λ ។ ការឆ្លើយឆ្លងនេះរវាងការចែកចាយទាំងពីរត្រូវតែត្រូវបានកត់សម្គាល់នៅពេលដែលទាំងពីរត្រូវបានពិភាក្សា។

ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគួរតែគិតនៅពេលគិតអំពី "ពេលវេលាទៅព្រឹត្តិការណ៍" ប្រហែលជា "ពេលវេលាដើម្បីបរាជ័យ" ។ តាមពិតនេះគឺជាស្ថានភាពដ៏សំខាន់មួយ ដែលមានការចែកចាយទូទៅបន្ថែមទៀតដើម្បីពិពណ៌នាអំពី MTBF ដូចជាការចែកចាយ Weibull ជាដើម។ ខណៈពេលដែលការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគឺសមរម្យនៅពេលដែលអត្រាពាក់ ឬបរាជ័យ ជាឧទាហរណ៍ ថេរ ការចែកចាយ Weibull អាចយកគំរូតាមអត្រាការបរាជ័យកើនឡើង (ឬថយចុះ) តាមពេលវេលា។ និទស្សន្ត ជាទូទៅ ករណីពិសេស។

គិតអំពី Weibull នៅពេលនិយាយអំពី MTBF ។

ធម្មតា, ធម្មតា, សិស្ស និង ជីការ៉េ

ការចែកចាយធម្មតា ឬ Gaussian គឺប្រហែលជាសំខាន់បំផុតមួយ។ រូបរាងរាងកណ្តឹងរបស់វាអាចសម្គាល់បានភ្លាមៗ។ ដូចជា នេះ​ជា​អង្គភាព​ដែល​ចង់​ដឹង​យ៉ាង​ខ្លាំង​ដែល​បង្ហាញ​ខ្លួន​វា​នៅ​គ្រប់​ទីកន្លែង សូម្បី​តែ​ពី​ខាងក្រៅ​បំផុត ប្រភពសាមញ្ញ. យកសំណុំនៃតម្លៃដែលគោរពតាមការបែងចែកដូចគ្នា - ណាមួយ! - ហើយបត់វាឡើង។ ការចែកចាយផលបូករបស់ពួកគេគឺត្រូវនឹង (ប្រហែល) ការចែកចាយធម្មតា។. អ្វីៗកាន់តែច្រើនត្រូវបានសង្ខេប ផលបូករបស់វាកាន់តែខិតទៅជិតការចែកចាយធម្មតា (ល្បិច៖ ការចែកចាយពាក្យត្រូវតែអាចព្យាករណ៍បាន ឯករាជ្យ វាមានទំនោរទៅធម្មតាប៉ុណ្ណោះ)។ ថានេះគឺដូច្នេះ, បើទោះបីជាការចែកចាយដើម, គឺអស្ចារ្យណាស់។

ចំណាំ។ បកប្រែ

ខ្ញុំមានការភ្ញាក់ផ្អើលដែលអ្នកនិពន្ធមិនសរសេរអំពីតម្រូវការសម្រាប់មាត្រដ្ឋាននៃការចែកចាយសរុបដែលអាចប្រៀបធៀបបាន៖ ប្រសិនបើនរណាម្នាក់គ្របដណ្ដប់លើអ្នកដ៏ទៃទៀតនោះ វានឹងបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរ។ ហើយជាទូទៅ ឯករាជ្យភាពទៅវិញទៅមកដាច់ខាតគឺមិនចាំបាច់ទេ ការពឹងផ្អែកខ្សោយគឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ។

មែនហើយ វាប្រហែលជាសម្រាប់ពិធីជប់លៀង ដូចដែលគាត់បានសរសេរ។

នេះត្រូវបានគេហៅថា "ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល" ហើយអ្នកត្រូវដឹងថាវាជាអ្វី ហេតុអ្វីបានជាវាត្រូវបានគេហៅថានោះ និងអត្ថន័យរបស់វា បើមិនដូច្នេះទេពួកគេនឹងសើចចំអកភ្លាមៗ។

នៅក្នុងបរិបទរបស់វា ធម្មតាគឺទាក់ទងទៅនឹងការចែកចាយទាំងអស់។ ទោះបីជា, ជាមូលដ្ឋាន, វាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការចែកចាយនៃបរិមាណទាំងអស់។ ផលបូកនៃការសាកល្បង Bernoulli ធ្វើតាមការចែកចាយ binomial ហើយនៅពេលដែលចំនួននៃការសាកល្បងកើនឡើង ការចែកចាយ binomial នេះកាន់តែខិតទៅជិតការចែកចាយធម្មតា។ ដូចគ្នានេះដែរបងប្អូនជីដូនមួយរបស់វាគឺការចែកចាយ hypergeometric ។ ការចែកចាយ Poisson - ទម្រង់កំណត់ binomial - ក៏ខិតជិតធម្មតាជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រអាំងតង់ស៊ីតេ។

លទ្ធផល​ដែល​ធ្វើ​តាម​ការ​ចែកចាយ​ឡូជីខល​ផ្ដល់​តម្លៃ​ដែល​លោការីត​ត្រូវ​បាន​ចែកចាយ​ជា​ធម្មតា។ ឬតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត៖ និទស្សន្តនៃតម្លៃដែលបានចែកចាយជាធម្មតាត្រូវបានចែកចាយតាមប្រព័ន្ធ។ ប្រសិនបើផលបូកត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតា នោះត្រូវចាំថាផលិតផលត្រូវបានចែកចាយតាមប្រព័ន្ធ។

ការចែកចាយ t របស់សិស្សគឺជាមូលដ្ឋាននៃការធ្វើតេស្ត t ដែលអ្នកមិនមានស្ថិតិជាច្រើនសិក្សាក្នុងវិស័យផ្សេងទៀត។ វា​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ដើម្បី​ធ្វើ​ការ​សន្មត់​អំពី​មធ្យម​នៃ​ការ​ចែកចាយ​ធម្មតា ហើយ​ក៏​មាន​ទំនោរ​ទៅ​រក​ការ​ចែកចាយ​ធម្មតា​ដែរ ដោយសារ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​របស់​វា​កើនឡើង។ លក្ខណៈពិសេសប្លែកការចែកចាយ t គឺជាកន្ទុយរបស់វាដែលក្រាស់ជាងការចែកចាយធម្មតា។

ប្រសិនបើរឿងអាស្រូវកន្ទុយខ្លាញ់មិនបានធ្វើឱ្យអ្នកជិតខាងរបស់អ្នករង្គោះរង្គើគ្រប់គ្រាន់ទេ សូមបន្តទៅរឿងនិទានស្រាបៀរគួរឱ្យអស់សំណើច។ ជាង 100 ឆ្នាំមុន Guinness បានប្រើស្ថិតិដើម្បីកែលម្អភាពរឹងមាំរបស់វា។ បន្ទាប់មក William Seely Gosset បានបង្កើតថ្មីទាំងស្រុង ទ្រឹស្តីស្ថិតិសម្រាប់ការដាំដុះ barley ប្រសើរឡើង។ Gosset បានបញ្ចុះបញ្ចូលចៅហ្វាយថាអ្នកផលិតស្រាផ្សេងទៀតនឹងមិនយល់ពីរបៀបប្រើគំនិតរបស់គាត់ហើយទទួលបានការអនុញ្ញាតឱ្យបោះពុម្ពវាប៉ុន្តែក្រោមឈ្មោះក្លែងក្លាយ "សិស្ស" ។ ភាគច្រើន សមិទ្ធិផលដ៏ល្បីល្បាញ Gosset គឺគ្រាន់តែជាការចែកចាយ t នេះ ដែលមនុស្សម្នាក់អាចនិយាយបានថាត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមគាត់។

ចុងក្រោយ ការចែកចាយ chi-square គឺជាការបែងចែកផលបូកនៃការ៉េនៃបរិមាណចែកចាយធម្មតា។ ការធ្វើតេស្ត chi-square ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើការចែកចាយនេះ ដោយខ្លួនវាផ្អែកលើផលបូកនៃភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ដែលគួរត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតា។

ហ្គាម៉ា និងបេតា

នៅចំណុចនេះ ប្រសិនបើអ្នកកំពុងនិយាយអំពីអ្វីមួយ chi-square ការសន្ទនាចាប់ផ្តើមដោយស្មោះ។ អ្នកប្រហែលជាកំពុងនិយាយជាមួយអ្នកស្ថិតិពិតប្រាកដរួចហើយ ហើយវាប្រហែលជាមានតម្លៃក្នុងការអោនចេញរួចហើយ ព្រោះអ្វីៗដូចជាការចែកចាយហ្គាម៉ាអាចនឹងកើតឡើង។ នេះ​ជា​លក្ខណៈ​ទូទៅ និងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងការចែកចាយ chi-squared ។ ដូចជាការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល វាត្រូវបានប្រើសម្រាប់គំរូ latency ស្មុគស្មាញ។ ឧទាហរណ៍ ការចែកចាយហ្គាម៉ាលេចឡើងនៅពេលដែលពេលវេលាទៅព្រឹត្តិការណ៍ n បន្ទាប់ត្រូវបានក្លែងធ្វើ។ វាលេចឡើងនៅក្នុង ការរៀនម៉ាស៊ីនជា "បន្សំមុន" ទៅនឹងការចែកចាយមួយចំនួនផ្សេងទៀត។

កុំចូលរួមក្នុងការសន្ទនាអំពីការចែកចាយរួមទាំងនេះ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកធ្វើដូច្នេះ កុំភ្លេចនិយាយអំពីការចែកចាយបេតា ព្រោះវាជាការរួមផ្សំមុនការចែកចាយភាគច្រើនដែលបានរៀបរាប់នៅទីនេះ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រទិន្នន័យប្រាកដថានេះពិតជាអ្វីដែលវាត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់។ Mention នេះដោយអចេតនា ហើយទៅមាត់ទ្វារ។

ការចាប់ផ្តើមនៃប្រាជ្ញា

ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេគឺជាអ្វីដែលអ្នកមិនអាចដឹងច្រើនពេក។ អ្នក​ចាប់​អារម្មណ៍​ពិត​ប្រាកដ​អាច​យោង​ទៅ​លើ​ផែនទី​លម្អិត​ដ៏​ទំនើប​នេះ​នៃ​ការ​ចែកចាយ​ប្រូបាប៊ីលីតេ​ទាំងអស់​បន្ថែម​ស្លាក

ដូចដែលបានដឹងហើយថា អថេរចៃដន្យ បានហៅ អថេរដែលអាចទទួលយកតម្លៃជាក់លាក់អាស្រ័យលើករណី។ អថេរចៃដន្យបញ្ជាក់ អក្សរ​ធំ អក្ខរក្រមឡាតាំង(X, Y, Z) និងតម្លៃរបស់ពួកគេនៅក្នុងអក្សរតូចរៀងៗខ្លួន (x, y, z) ។ អថេរចៃដន្យត្រូវបានបែងចែកទៅជាមិនបន្ត (ដាច់) និងបន្ត។

អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក គឺជាអថេរចៃដន្យដែលយកតែសំណុំតម្លៃកំណត់ ឬគ្មានកំណត់ (រាប់បាន) ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេមិនសូន្យជាក់លាក់។

ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក គឺជាអនុគមន៍ដែលភ្ជាប់តម្លៃនៃអថេរចៃដន្យជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ។ ច្បាប់នៃការចែកចាយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីមួយក្នុងចំណោមវិធីខាងក្រោម។

1 . ច្បាប់នៃការចែកចាយអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយតារាង:

ដែល λ>0, k = 0, 1, 2, … ។

ក្នុង)ដោយប្រើ មុខងារចែកចាយ F(x) ដែលកំណត់សម្រាប់តម្លៃនីមួយៗ x ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ X យកតម្លៃតិចជាង x, i.e. F(x) = P(X< x).

មុខងារ F(x)

3 . ច្បាប់ចែកចាយអាចត្រូវបានកំណត់ជាក្រាហ្វិក - ពហុកោណចែកចាយ (ពហុកោណ) (មើលបញ្ហាទី 3) ។

ចំណាំថាដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួនវាមិនចាំបាច់ក្នុងការដឹងពីច្បាប់នៃការចែកចាយនោះទេ។ ក្នុងករណីខ្លះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីលេខមួយឬច្រើនដែលឆ្លុះបញ្ចាំងច្រើនបំផុត លក្ខណៈសំខាន់ៗច្បាប់ចែកចាយ។ វាអាចជាលេខដែលមានអត្ថន័យនៃ "តម្លៃមធ្យម" នៃអថេរចៃដន្យ ឬលេខដែលបង្ហាញ ទំហំមធ្យមគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យពីតម្លៃមធ្យមរបស់វា។ លេខប្រភេទនេះត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យ។

មេ លក្ខណៈលេខអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក :

• ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា (តម្លៃមធ្យម) នៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក M(X) = Σ x i p i.
  សម្រាប់ការចែកចាយទ្វេរនាម M(X)=np, សម្រាប់ការចែកចាយ Poisson M(X)=λ
• ការបែកខ្ញែក អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក D(X)=M2ឬ D(X) = M(X 2) − 2. ភាពខុសគ្នា X–M(X) ត្រូវបានគេហៅថាគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា។
  សម្រាប់ការចែកចាយទ្វេគុណ D(X)=npq សម្រាប់ការចែកចាយ Poisson D(X)=λ
• គម្លាតស្តង់ដារ (គម្លាតស្តង់ដារ) σ(X)=√D(X).

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទ "ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក"

កិច្ចការទី 1 ។

ចេញ 1000 សំបុត្រឆ្នោត: 5 នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេទទួលបានការឈ្នះក្នុងចំនួនទឹកប្រាក់ 500 រូប្លិ, 10 - ឈ្នះ 100 រូប្លិ, 20 - ឈ្នះ 50 រូប្លិ, 50 - ឈ្នះ 10 រូប្លិ៍។ កំណត់ច្បាប់នៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរ X ចៃដន្យ - ការឈ្នះក្នុងមួយសំបុត្រ។

ដំណោះស្រាយ។ យោងតាមស្ថានភាពនៃបញ្ហាវាអាចទៅរួច តម្លៃខាងក្រោមអថេរចៃដន្យ X: 0, 10, 50, 100 និង 500 ។

ចំនួនសំបុត្រដែលមិនឈ្នះគឺ 1000 - (5+10+20+50) = 915 បន្ទាប់មក P(X=0) = 915/1000 = 0.915។

ដូចគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេផ្សេងទៀតទាំងអស់៖ P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005 ។ យើងបង្ហាញច្បាប់លទ្ធផលក្នុងទម្រង់ជាតារាង៖

រកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃ X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

កិច្ចការទី 3 ។

ឧបករណ៍នេះមានធាតុប្រតិបត្តិការដោយឯករាជ្យចំនួនបី។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យនៃធាតុនីមួយៗនៅក្នុងការពិសោធន៍មួយគឺ 0.1 ។ បង្កើតច្បាប់ចែកចាយសម្រាប់ចំនួនធាតុដែលបរាជ័យក្នុងការពិសោធន៍មួយ បង្កើតពហុកោណចែកចាយ។ ស្វែងរកមុខងារចែកចាយ F(x) ហើយគូរវា។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា វ៉ារ្យង់ និងគម្លាតស្តង់ដារនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក។

ដំណោះស្រាយ។ 1. អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X=(ចំនួនធាតុដែលបរាជ័យក្នុងការពិសោធន៍មួយ) មានដូចខាងក្រោម តម្លៃដែលអាចធ្វើបាន: x 1 \u003d 0 (គ្មានធាតុណាមួយរបស់ឧបករណ៍បានបរាជ័យ) x 2 \u003d 1 (ធាតុមួយបានបរាជ័យ) x 3 \u003d 2 (ធាតុពីរបានបរាជ័យ) និង x 4 \u003d 3 (ធាតុទាំងបីបានបរាជ័យ)។

ការបរាជ័យនៃធាតុគឺឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យនៃធាតុនីមួយៗគឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក ដូច្នេះវាអាចអនុវត្តបាន។ រូបមន្តរបស់ Bernoulli . ដោយបានផ្តល់ឱ្យថាតាមលក្ខខណ្ឌ n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 យើងកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃ៖
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
ពិនិត្យ៖ ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1។

ដូច្នេះ ច្បាប់ចែកចាយ binomial X ដែលចង់បានមានទម្រង់៖

នៅ​លើ​អ័ក្ស abscissa យើង​កំណត់​តម្លៃ​ដែល​អាច​ធ្វើ​បាន x i ហើយ​នៅ​លើ​អ័ក្ស​តម្រៀប ប្រូបាប​ដែល​ត្រូវ​គ្នា p i ។ ចូរយើងសាងសង់ចំណុច M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) ។ ការភ្ជាប់ចំណុចទាំងនេះជាមួយផ្នែកបន្ទាត់ យើងទទួលបានពហុកោណចែកចាយដែលចង់បាន។

3. ស្វែងរកមុខងារចែកចាយ F(x) = P(X

សម្រាប់ x ≤ 0 យើងមាន F(x) = P(X<0) = 0;
សម្រាប់ 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
សម្រាប់ 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
សម្រាប់ 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
សម្រាប់ x> 3 វានឹងក្លាយជា F(x) = 1 ពីព្រោះ ព្រឹត្តិការណ៍គឺជាក់លាក់។

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ F(x)

4. សម្រាប់ការចែកចាយ binomial X:
- ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- ការបែកខ្ញែក D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- មធ្យម គម្លាតស្តង់ដារσ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52 ។