Introducere

1. Partea teoretică

1.1 Concepte și definiții de bază

1.3 Formula Cardano

2. Rezolvarea problemelor

Concluzie

Introducere

Ecuații. Se poate spune cu siguranță că nu există o singură persoană care să nu fie familiarizată cu ele. De la o vârstă fragedă, copiii încep să rezolve „problemele cu X”. Mai departe mai mult. Adevărat, pentru mulți, cunoașterea ecuațiilor se termină cu treburile școlare. Celebrul matematician german Courant scria: „De mai bine de două mii de ani, deținerea unor cunoștințe, nu prea superficiale, în domeniul matematicii a fost o necesitate. parte integrantăîn inventarul intelectual al fiecăruia persoană educată". Și printre aceste cunoștințe a fost și capacitatea de a rezolva ecuații.

Deja în antichitate, oamenii și-au dat seama cât de important este să înveți cum să rezolvi ecuații algebrice de forma

a0xn + a1xn ​​​​- 1 + ... + an = 0

la urma urmei, foarte multe și foarte diverse întrebări de practică și științe naturale se reduc la ele (desigur, aici putem presupune imediat că a0 ¹ 0, deoarece altfel gradul ecuației nu este de fapt n, ci mai mic). Mulți, desigur, au venit cu ideea tentantă de a găsi formule pentru orice putere a lui n care ar exprima rădăcinile ecuației în termeni de coeficienți, adică ar rezolva ecuația în radicali. Cu toate acestea, „evul mediu sumbru” s-a dovedit a fi cât se poate de sumbru în raport cu problema în discuție - timp de șapte secole întregi nimeni nu a găsit formulele necesare! Abia în secolul al XVI-lea, matematicienii italieni au reușit să meargă mai departe - să găsească formule pentru n \u003d 3 și 4. Istoria descoperirilor lor și chiar autoritatea formulelor găsite sunt destul de obscure până în prezent și nu vom afla. Aici relatie complicataîntre Ferro, Cardano, Tartaglia și Ferrari, dar să spunem mai bine esență matematică treburile.

Scopul lucrării este de a explora diverse metode de rezolvare a ecuațiilor de gradul trei.

Pentru a atinge acest obiectiv, este necesar să efectuați o serie de sarcini:

-Analiză literatura stiintifica;

-Analiză manualele școlare;

-Selectarea exemplelor pentru rezolvare;

-Rezolvarea ecuațiilor prin diverse metode.

Lucrarea constă din două părți. Prima tratează diverse metode de rezolvare a ecuațiilor. A doua parte este dedicată rezolvării ecuațiilor căi diferite.

1. Partea teoretică

1 Concepte și definiții de bază

O ecuație cubică este o ecuație de gradul trei a formei:

Numărul x care transformă ecuația într-o identitate se numește rădăcina sau soluția ecuației. Este, de asemenea, rădăcina unui polinom de gradul al treilea, care se află în partea stângă a notației canonice.

Peste câmpul numerelor complexe, conform teoremei fundamentale a algebrei, o ecuație cubică are întotdeauna 3 rădăcini (ținând cont de multiplicitate).

Deoarece fiecare polinom real nu este chiar gradul are cel puțin o rădăcină reală, toate cazurile posibile ale compoziției rădăcinilor ecuația cubică epuizat de cele trei descrise mai jos. Aceste cazuri sunt ușor de distins folosind discriminant

Deci sunt doar trei cazuri posibile:

În cazul în care un? > 0, atunci ecuația are trei rădăcini reale diferite.

În cazul în care un?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

În cazul în care un? = 0, atunci cel puțin două rădăcini coincid. Aceasta poate fi atunci când ecuația are o rădăcină reală dublă și o altă rădăcină reală diferită de acestea; sau, toate cele trei rădăcini coincid, formând o rădăcină a multiplicității 3. Rezultanta ecuației cubice și derivata a doua a acesteia ajută la separarea acestor două cazuri: polinomul are o rădăcină de multiplicitate 3 dacă și numai dacă rezultanta indicată este de asemenea zero.

Rădăcinile unei ecuații cubice sunt legate de coeficienți după cum urmează:

1.2 Metode de rezolvare a ecuațiilor cubice

Cea mai comună metodă de rezolvare a ecuațiilor cubice este metoda de enumerare.

Mai întâi, prin enumerare, găsim una dintre rădăcinile ecuației. Faptul este că ecuațiile cubice au întotdeauna macar o rădăcină reală, iar întreaga rădăcină a ecuației cubice cu coeficienți întregi este un divizor al termenului liber d. Coeficienții acestor ecuații sunt de obicei aleși astfel încât rădăcina dorită să se afle între numere întregi mici, cum ar fi: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Prin urmare, vom căuta rădăcina printre aceste numere și o vom verifica prin substituirea acesteia în ecuația. Rata de succes cu această abordare este foarte mare. Să presupunem această rădăcină.

A doua etapă a soluției este împărțirea polinomului cu binomul x - x1. Conform teoremei lui Bezout, această împărțire fără rest este posibilă și, ca urmare, obținem un polinom de gradul doi, care trebuie egalat cu zero. Rezolvarea primită ecuație pătratică, vom găsi (sau nu) celelalte două rădăcini.

Rezolvarea unei ecuații cubice cu doi termeni

Ecuația cubică cu doi termeni are forma (2)

Această ecuație este redusă la forma prin împărțirea la un coeficient A diferit de zero. În continuare, se aplică formula pentru înmulțirea prescurtată a sumei cuburilor:

Din prima paranteză găsim, iar trinomul pătrat are doar rădăcini complexe.

Ecuații cubice recurente

Ecuația cubică reciprocă are forma și coeficienții B.

Să grupăm:

Evident, x=-1 este rădăcina unei astfel de ecuații și rădăcinile rezultatului trinom pătrat sunt ușor de găsit prin discriminant.

1.3 Formula Cardano

LA caz general, rădăcinile ecuației cubice se găsesc prin formula Cardano.

Pentru ecuația cubică (1), valorile se găsesc folosind substituția: x= (2), iar ecuația se reduce la forma:

o ecuație cubică incompletă în care nu va exista niciun termen care să conțină gradul doi.

Presupunem că ecuația are coeficienți numere complexe. Această ecuație va avea întotdeauna rădăcini complexe.

Să notăm una dintre aceste rădăcini: . Introducem o necunoscută auxiliară u și considerăm polinomul f(u)=.

Să notăm rădăcinile acestui polinom prin? și?, conform teoremei Viette (vezi p. 8):

Înlocuind în ecuația (3), expresia (4), obținem:

De cealaltă parte a (5): (7)

Rezultă de aici, adică din formulele (6), (7), că numerele sunt rădăcinile ecuației:

Din ultima ecuație:

Celelalte două rădăcini se găsesc după formula:

1.4 formula trigonometrică Vieta

Această formulă găsește soluții la ecuația cubică redusă, adică o ecuație de formă

Evident, orice ecuație cubică poate fi redusă la o ecuație de forma (4) prin simpla împărțire a acesteia la coeficientul a. Deci, algoritmul pentru aplicarea acestei formule:

calculati

2. Calculați

3. a) Dacă, atunci calculează

Și ecuația noastră are 3 rădăcini (reale):

b) Dacă, atunci înlocuiți funcții trigonometrice hiperbolic.

calculati

Apoi singura rădăcină (reala):

Rădăcini imaginare:

C) Dacă, atunci ecuația are mai puțin de trei diverse solutii:

2. Rezolvarea problemelor

Exemplul 1. Aflați rădăcinile reale ale unei ecuații cubice

Aplicăm formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de cuburi:

Din prima paranteză aflăm că trinomul pătrat din a doua paranteză nu are rădăcini adevărate deoarece discriminantul este negativ.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația

Această ecuație este reciprocă. Să grupăm:

este rădăcina ecuației. Găsirea rădăcinilor unui trinom pătrat

Exemplul 3. Aflați rădăcinile unei ecuații cubice

Să transformăm ecuația în cea redusă: înmulțim cu ambele părți și facem o schimbare de variabilă.

Termenul liber este 36. Să notăm toți divizorii săi:

Le substituim pe rând în egalitate până când obținem identitatea:

Astfel, este rădăcina. Se potriveste

Împărțiți folosind schema lui Horner.

Coeficienți polinomi2-11129-0,52-11+2*(-0,5)=-1212-12*(-0,5)=189+18*(-0,5)=0

Primim

Să găsim rădăcinile trinomului pătrat:

Evident, adică rădăcina sa multiplă este.

Exemplul 4. Aflați rădăcinile reale ale ecuației

este rădăcina ecuației. Aflați rădăcinile unui trinom pătrat.

Din moment ce discriminantul mai putin de zero, atunci trinomul nu are rădăcini reale.

Exemplul 5. Aflați rădăcinile ecuației cubice 2.

Prin urmare,

Inlocuim in formula Cardano:

ia trei valori. Să le scriem.

Când avem

Când avem

Când avem

Să împărțim aceste valori în perechi, care în produs dau

Prima pereche de valori și

A doua pereche de valori și

A treia pereche de valori și

Înapoi la formula Cardano

Prin urmare,

Concluzie

ecuația trinomială cubică

Ca urmare a executării termen de hârtie au fost investigate diverse metode de rezolvare a ecuatiilor de gradul III, precum metoda enumerarii, formula lui Carano, formula lui Vieta, metode de rezolvare a ecuatiilor reciproce, cu doi termeni.

Lista surselor utilizate

1)Bronstein I.N., Semendyaev K.A. „Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai universităților tehnice”, M., 1986.

2)Kolmogorov A.N. Algebra și începuturile analizei. Ghid de studiu pentru clasa a IX-a liceu, 1977.

)Omelchenko V.P. Matematică: tutorial/ V.P. Omelcenko, E.V. Kurbatova. - Rostov n/a.: Phoenix, 2005.- 380s.

Îndrumare

Ai nevoie de ajutor pentru a învăța un subiect?

Experții noștri vă vor sfătui sau vă vor oferi servicii de îndrumare pe subiecte care vă interesează.
Trimiteți o cerere indicând subiectul chiar acum pentru a afla despre posibilitatea de a obține o consultație.

Obiectivele lecției.

1. Să aprofundeze cunoștințele studenților pe tema „Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare” și să sintetizeze materialul educațional.
2. Introducerea studenților în metodele de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare.
3. Să-i învețe pe elevi să aplice teoria divizibilității la rezolvarea ecuațiilor de grade superioare.
4. Pentru a-i învăța pe elevi cum să împartă un polinom într-un polinom după „colț”.
5. Dezvoltați abilitățile și abilitățile de a lucra cu ecuații de grade superioare.

În curs de dezvoltare:

1. Dezvoltarea atenției elevilor.
2. Dezvoltarea capacității de a obține rezultate ale muncii.
3. Dezvoltarea interesului pentru învățarea algebrei și a abilităților de muncă independentă.

Hrănirea:

1. Creșterea unui sentiment de colectivism.
2. Formarea simțului responsabilității pentru rezultatul muncii.
3. Formarea la elevi stima de sine adecvată atunci când alegeți o notă pentru lucrul la lecție.

Echipament: calculator, proiector.

În timpul orelor

1 etapa de lucru. Organizarea timpului.

2 etapă de lucru. Motivația și rezolvarea problemelor

Ecuația unu a cele mai importante concepte matematică. Dezvoltarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor, pornind de la nașterea matematicii ca știință, perioadă lungă de timp a fost subiectul principal de studiu al algebrei.

În cursul școlar de studiere a matematicii, se acordă multă atenție rezolvării diferitelor tipuri de ecuații. Până în clasa a IX-a, am putut rezolva doar ecuații liniare și pătratice. Ecuațiile celei de-a treia, a patra etc. grade se numesc ecuații de grade superioare. În clasa a IX-a, ne-am familiarizat cu două metode de bază pentru rezolvarea unor ecuații de gradul III și IV: factorizarea unui polinom în factori și utilizarea unei schimbări de variabilă.

Este posibil să se rezolve ecuații de grade superioare? Vom încerca să găsim un răspuns la această întrebare astăzi.

3 etapă de lucru. Revizuiți materialul învățat anterior. Introduceți conceptul de ecuație de grade superioare.

1) Rezolvarea unei ecuații liniare.

Linear este o ecuație de forma , unde prin definiție. Această ecuație are o singură rădăcină.

2) Rezolvarea unei ecuații pătratice.

O ecuație a formei , Unde . Numărul de rădăcini și rădăcinile în sine sunt determinate de discriminantul ecuației. Căci ecuația nu are rădăcini, căci are o rădăcină (două rădăcini identice)

, pentru are două rădăcini diferite .

Din ecuațiile liniare și pătratice considerate, vedem că numărul de rădăcini ale ecuației nu este mai mare decât gradul său. În cursul algebrei superioare, se demonstrează că ecuația de gradul --lea nu are mai mult de n rădăcini. În ceea ce privește rădăcinile în sine, situația este mult mai complicată. Pentru ecuațiile de gradul al treilea și al patrulea, sunt cunoscute formule pentru găsirea rădăcinilor. Cu toate acestea, aceste formule sunt foarte complexe și greoaie și aplicație practică Nu Aveți. Pentru ecuațiile de gradul al cincilea și cel superior, nu există formule generale și nu pot exista (așa cum a fost dovedit în secolul al XIX-lea de N. Abel și E. Galois).

Vom numi ecuațiile a treia, a patra etc. grade prin ecuații de grade superioare. Câteva ecuații grade înalte poate fi rezolvată folosind două tehnici principale: factorizarea unui polinom în factori sau utilizarea unei schimbări de variabilă.

3) Rezolvarea ecuației cubice.

Să rezolvăm ecuația cubică

Grupăm termenii polinomului din partea stângă a ecuației și îl factorizăm. Primim:

Produsul factorilor este egal cu zero dacă unul dintre factori este egal cu zero. Obținem trei ecuații liniare:

Deci, această ecuație cubică are trei rădăcini: ; ;.

4) Rezolvarea ecuației biquadratice.

Ecuațiile biquadratice sunt foarte frecvente, care au forma (adică, ecuații care sunt pătratice în raport cu ). Pentru a le rezolva, se introduce o nouă variabilă.

Vom decide ecuație biquadratică.

Să introducem o nouă variabilă și să obținem o ecuație pătratică, ale cărei rădăcini sunt numerele și 4.

Să revenim la vechea variabilă și să obținem două ecuații pătratice simple:

(rădăcini și ) (rădăcini și )

Deci, această ecuație biquadratică are patru rădăcini:

; ;.

Să încercăm să rezolvăm ecuația folosind metodele de mai sus.

ESCĂ!!!

4 etapă de lucru. Dați câteva afirmații despre rădăcinile unui polinom de forma , unde polinom nth grade

Iată câteva afirmații despre rădăcinile unui polinom de forma:

1) Un polinom de gradul al III-lea are cel mult rădăcini (ținând cont de multiplicitățile acestora). De exemplu, un polinom de gradul trei nu poate avea patru rădăcini.

2) Un polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină. De exemplu, polinoamele primului, al treilea, al cincilea etc. grade au cel puțin o rădăcină. Polinoamele de grad par pot avea sau nu rădăcini.

3) Dacă la capetele segmentului valorile polinomului au semne diferite (adică, ), atunci intervalul conține cel puțin o rădăcină. Această afirmație este utilizată pe scară largă pentru calculul aproximativ al rădăcinilor unui polinom.

4) Dacă numărul este rădăcina unui polinom de forma , atunci acest polinom poate fi reprezentat ca un produs , unde polinomul (gradul --lea. Cu alte cuvinte, polinomul formei poate fi împărțit fără rest la binom.Acest lucru permite ca ecuația gradului al-lea să fie redusă la ecuație (gradul --lea (reduceți gradul ecuației).

5) Dacă ecuația cu toți coeficienții întregi (în plus, termenul liber) are o rădăcină întreagă, atunci această rădăcină este un divizor al termenului liber. O astfel de afirmație vă permite să alegeți întreaga rădăcină a polinomului (dacă acesta există).

5 etapă de lucru. Arată cum se aplică teoria divizibilității pentru a rezolva ecuații de grade superioare. Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare, în care partea stângă este factorizată folosind metoda împărțirii unui polinom la un polinom cu un „colț”.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația .

Dacă această ecuație are o rădăcină întreagă, atunci este un divizor al termenului liber (-1), adică. este egal cu unul dintre numerele: . Verificarea arată că rădăcina ecuației este numărul -1. Prin urmare, polinomul poate fi reprezentat ca un produs, i.e. un polinom poate fi împărțit într-un binom fără rest. Să efectuăm următoarea împărțire după „colț”:

Astfel, am descompus de fapt partea stângă a ecuației în factori:

Produsul factorilor este egal cu zero dacă unul dintre factori este egal cu zero. Obținem două ecuații.

Simonyan Albina

Lucrarea are în vedere tehnici și metode de rezolvare a ecuațiilor cubice. Aplicarea formulei Cardano pentru rezolvarea problemelor în pregătirea examenului de matematică.

Descarca:

Previzualizare:

MOU DOD Palatul Creativității pentru Copii și Tineret

Academia de Științe Don pentru Tineri Cercetători

Sectiunea: matematica - algebra si teoria numerelor

Cercetare

„Să ne uităm în lumea formulelor”

pe această temă „Rezolvarea ecuațiilor de gradul 3”

Conducător: profesor de matematică Babina Natalya Alekseevna

G.Salsk 2010

1. Introducere ………………………………………………………………………………….3
2. Partea principală………………………………………………………………….4
3. Partea practică…………………………………………………………………10-13
4. Concluzie…………………………………………………………………………………….14
5. Literatură………………………………………………………………………..15
6. Aplicații

1. Introducere

Educația matematică primită în scoli de invatamant general, este un componenta esentiala educatie generala si cultura generala omul modern. Aproape tot ceea ce înconjoară o persoană este legat într-un fel sau altul de matematică. DAR realizările recenteîn fizică, tehnologie, tehnologia de informație nu lasă nicio îndoială că lucrurile vor rămâne aceleași în viitor. Prin urmare, decizia multora sarcini practice se rezumă la o decizie diferite feluri ecuații pentru a învăța cum să rezolve. Ecuatii lineare gradul I, am fost învățați să rezolvăm în clasa I și nu ne-am manifestat prea mult interes față de ele. mai interesant ecuații neliniare- ecuații grade mai mari. Matematica dezvăluie ordinea, simetria și certitudinea, și asta este specii superioare frumoasa.

Scopul proiectului meu „Să ne uităm în lumea formulelor” pe tema „Rezolvarea ecuațiilor cubice de gradul trei” este de a sistematiza cunoștințele despre cum să rezolvăm ecuațiile cubice, de a stabili existența unei formule de găsire. rădăcinile unei ecuații de gradul al treilea, precum și relația dintre rădăcini și coeficienți dintr-o ecuație cubică. În clasă, am rezolvat ecuații, atât cubice, cât și grade mai mari decât 3. Rezolvarea ecuațiilor metode diferite, am adăugat, am scăzut, înmulțit, împărțit coeficienți, i-am ridicat la o putere și am extras rădăcini din ei, pe scurt, am efectuat actiuni algebrice. Există o formulă pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice. Există o formulă pentru rezolvarea ecuației de gradul al treilea, adică? indicaţii în ce ordine şi ce operaţii algebrice trebuie efectuate cu coeficienţii pentru a obţine rădăcinile. A devenit interesant pentru mine să știu dacă matematicieni celebri au încercat să găsească formula generala potrivit pentru rezolvarea ecuațiilor cubice? Și dacă au încercat, au reușit să obțină expresia rădăcinilor în termeni de coeficienți ai ecuației?

2. Corpul principal:

În acele vremuri îndepărtate, când înțelepții au început să se gândească la egalități care conțineau cantități necunoscute, probabil că nu existau încă monede sau portofele. In antichitate probleme matematice Mesopotamia, India, China, Grecia, cantități necunoscute exprimau numărul de păuni din grădină, numărul de tauri din turmă, totalitatea lucrurilor luate în considerare la împărțirea proprietății. Surse care au ajuns la noi indică faptul că oamenii de știință antici dețineau unele trucuri comune rezolvarea problemelor cu cantități necunoscute. Cu toate acestea, nici un singur papirus, nici unul tableta de argila nu este oferită nicio descriere a acestor tehnici. Excepție este „Aritmetica” a matematicianului grec Diophantus din Alexandria (secolul al III-lea) - o colecție de probleme pentru compilarea ecuațiilor cu o prezentare sistematică a soluțiilor acestora. Cu toate acestea, primul ghid de rezolvare a problemelor de primit popularitate largă, a fost opera savantului de la Bagdad din secolul al IX-lea. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

Așa că mi-a venit ideea de a crea un proiect „Hai să ne uităm în lumea formulelor...”, întrebări fundamentale acest proiect deveni:

1. stabilirea dacă există o formulă pentru rezolvarea ecuațiilor cubice;
2. în cazul unui răspuns pozitiv, căutarea unei formule care exprimă rădăcinile unei ecuații cubice în termenii unui număr finit de operații algebrice asupra coeficienților ei.

Deoarece în manuale și în alte cărți de matematică, majoritatea raționamentelor și dovezilor nu sunt efectuate pe exemple concrete, si in vedere generala, apoi am decis să caut exemple particulare care să confirme sau să infirme ideea mea. În căutarea unei formule pentru rezolvarea ecuațiilor cubice, am decis să urmez algoritmii familiari pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice. De exemplu, rezolvarea ecuației x 3 + 2x 2 - 5x -6=0 izolat cub plin, aplicând formula (x + a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Pentru a selecta un cub plin din partea stângă a ecuației pe care am luat-o, l-am transformat de 2 ori în el 2 în 3x 2 si acelea. Am căutat așa ceva, astfel încât egalitatea să fie adevărată 2x 2 \u003d 3x 2 a . A fost ușor de calculat că a = . S-a transformat partea stângă a acestei ecuațiidupă cum urmează: x 3 + 2x 2 -5x-6=0

(x 3 + 3x 2 a + 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3 - 6x - 6 Am făcut o înlocuire y \u003d x +, adică. x = y - y 3 - 6(y -) - 6=0; la 3 - 6y + 4- 6=0; Ecuația inițială a luat forma: 3 - 6y - 2=0; S-a dovedit o ecuație nu foarte frumoasă, pentru că în loc de coeficienți întregi am acum unii fracționari, deși termenul ecuației care conține pătratul necunoscutului a dispărut! Sunt mai aproape de obiectivul meu? Până la urmă, termenul care conținea prima putere a necunoscutului a rămas. Poate a fost necesar să selectați un cub plin, astfel încât termenul - 5x să dispară? (x+a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . Am găsit așa ceva 3a 2 x \u003d -5x; acestea. la un 2 = - Dar apoi sa dovedit destul de prost - în această egalitate, în stânga este număr pozitiv iar în dreapta este negativ. Nu poate exista o asemenea egalitate. Până acum nu am reușit să rezolv ecuația, am putut doar să o aduc la formă 3 - 6y - 2=0.

Deci, rezultatul muncii mele pe stadiul inițial: a putut elimina termenul care conține al doilea grad din ecuația cubică, i.e. dacă este dat ecuație canonică Oh 3 + în 2 + cx + d, atunci poate fi redusă la o ecuație cubică incompletă x 3 +px+q=0. Apoi, lucrează cu diferit literatura de referinta, am putut afla că ecuația formei x 3 + px \u003d q a reușit să rezolve matematicianul italian Dal Ferro (1465-1526). De ce pentru genul acesta și nu pentru genul acesta x 3 + px + q \u003d 0? Aceasta este deoarece la acea vreme nu fuseseră încă introduse numerele negative iar ecuaţiile erau considerate doar cu coeficienţi pozitivi. Și numerele negative au fost recunoscute puțin mai târziu.Referință istorică:Dal Ferro a selectat numeroase opțiuni prin analogie cu formula rădăcinilor ecuației pătratice date. El a raționat astfel: rădăcina ecuației pătratice este - ± i.e. are forma: x=t ± . Aceasta înseamnă că rădăcina ecuației cubice ar trebui să fie și suma sau diferența unor numere și, probabil, printre ele ar trebui să existe rădăcini de gradul trei. Care anume? Dintre numeroasele opțiuni, una s-a dovedit a fi de succes: a găsit răspunsul sub forma unei diferențe - Era și mai dificil de ghicit că t și u ar trebui alese astfel încât =. Înlocuind în loc de x diferența - și în loc de p produsul primit: (-) 3 +3 (-)=q. Paranteze deschise: t - 3 +3- u+3- 3=q. După ce am adus termeni similari, am obținut: t-u=q.

Sistemul de ecuații rezultat este:

t u = () 3 t-u=q. Să ridicăm dreapta și stângapătrați părțile primei ecuații și înmulțiți a doua ecuație cu 4 și adăugați prima și a doua ecuație. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Din sistem nou t+u=2; t -u=q avem: t= + ; u= - . Înlocuind expresia în loc de x, am obținutÎn timpul lucrului la proiect, am învățat cele mai interesante materiale. Se dovedește că Dal Ferro nu a publicat metoda pe care a găsit-o, dar unii dintre studenții săi știau despre această descoperire, iar în curând unul dintre ei, Antonio Fior, a decis să o folosească.În acei ani, disputele publice erau larg răspândite probleme științifice. Câștigătorii unor astfel de dispute primeau de obicei o recompensă bună, erau adesea invitați în poziții înalte.

În același timp în oras italian Verona a trăit un sărac profesor de matematică Nicolo (1499-1557), supranumit Tartaglia (adică bâlbâitul). Era foarte talentat și a reușit să redescopere tehnica lui Dal Ferro (Anexa 1).A avut loc un duel între Fiore și Tartaglia. Conform condiției, rivalii au făcut schimb de treizeci de probleme, a căror soluție i s-a dat 50 de zile. Dar de atunci Fior cunoștea în esență o singură problemă și era sigură că vreun profesor nu o poate rezolva, apoi toate cele 30 de probleme s-au dovedit a fi de același tip. Tartaglia s-a ocupat de ei în 2 ore. Fiore, în schimb, nu a putut rezolva nicio sarcină propusă de inamic. Victoria a glorificat Tartaglia în toată Italia, dar problema nu a fost pe deplin rezolvată. .

Toate acestea au fost făcute de Gerolamo Cardano. Însuși formula care a fost descoperită de Dal Ferro și redescoperită de Tartaglia se numește formula Cardano (Anexa 2).

Cardano Girolamo (24 septembrie 1501 – 21 septembrie 1576) a fost un matematician, mecanic și medic italian. Născut în Pavia. A studiat la universitățile din Pavia și Padova. În tinerețe, a practicat medicina. În 1534 a devenit profesor de matematică la Milano și Bologna. În matematică, numele Cardano este asociat de obicei cu o formulă de rezolvare a unei ecuații cubice, pe care a împrumutat-o ​​de la N. Tartaglia. Această formulă a fost publicată în Cardano's Great Art, or On the Rules of Algebra (1545). De atunci, Tartaglia și Cardano au devenit dușmani de moarte. Această carte conturează sistematic metodele moderne ale lui Cardano pentru rezolvarea ecuațiilor, în principal a celor cubice. Cardano finalizat transformare liniară, care face posibilă reducerea ecuației cubice la o formă liberă de un termen de gradul 2 și a subliniat dependența dintre rădăcinile și coeficienții ecuației, divizibilitatea polinomului prin diferența x – a, dacă a este rădăcina sa. Cardano a fost unul dintre primii din Europa care a recunoscut existența rădăcini negative ecuații. În opera sa, cantitățile imaginare apar pentru prima dată. În mecanică, Cardano a studiat teoria pârghiilor și greutăților. Una dintre mișcările segmentului de-a lungul laturilor unghi drept mecanicii o numesc pe Karda o nouă mișcare. Deci, conform formulei Cardano, se pot rezolva ecuații de formă x 3 + px + q \u003d 0 (Anexa 3)

Se pare că problema a fost rezolvată. Există o formulă pentru rezolvarea ecuațiilor cubice.

Iat-o!

Expresia de sub rădăcină - discriminant. D = () 2 + () 3 Am decis să mă întorc la ecuația mea și să încerc să o rezolv folosind formula lui Cardano: Ecuația mea este: 3 - 6y - 2=0, unde p= - 6=-; q = - 2 = - . Este ușor de calculat că () 3 ==- și () 2 ==, () 2 + () 3 = = - = - . Ce urmează? De la numărătorul acestei fracții, am extras ușor rădăcina, a rezultat 15. Și ce să faci cu numitorul? Nu numai că rădăcina nu este complet extrasă, dar este și necesar să o extragi din ea număr negativ! Ce s-a întâmplat? Se poate presupune că această ecuație nu are rădăcini, deoarece pentru D Așa că, în timpul lucrului la proiect, m-am confruntat cu o altă problemă.Ce s-a întâmplat? Am început să scriu ecuații care au rădăcini, dar care nu conțin un termen al pătratului necunoscutului:

1. a făcut o ecuație care are o rădăcină x \u003d - 4.

x 3 + 15x + 124 = 0 Și într-adevăr, verificând m-am convins că -4 este rădăcina ecuației. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Am verificat dacă această rădăcină poate fi obținută folosind formula Cardano x=+=+= =1- 5 =- 4

Primit, x = -4.

1. a făcut o a doua ecuație care are o rădăcină reală x \u003d 1: x 3 + 3x - 4 = 0 și a verificat formula.

Și în acest caz, formula a funcționat impecabil.

1. a preluat ecuația x 3 +6x+2=0, având un ir rădăcină rațională.

După ce am rezolvat această ecuație, am obținut această rădăcină x = - Și apoi am avut o presupunere: formula a funcționat dacă ecuația avea o singură rădăcină. Și ecuația mea, a cărei soluție m-a condus într-o fundătură, avea trei rădăcini! Acolo trebuie să cauți cauza!Acum am luat o ecuație care are trei rădăcini: 1; 2; -3. x 3 – 7x +6=0 p= -7; q = 6. S-a verificat discriminantul: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

După cum am sugerat, sub semn rădăcină pătrată din nou s-a dovedit a fi un număr negativ. am ajuns la concluzia:calea către cele trei rădăcini ale ecuației x 3 +px+q=0 conduce prin operația imposibilă de luare a rădăcinii pătrate a unui număr negativ.

1. Acum rămâne să aflu cu ce mă voi confrunta în cazul în care ecuația are două rădăcini. Am ales o ecuație care are două rădăcini: x 3 - 12 x + 16 \u003d 0. p \u003d -12, q \u003d 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 \u003d 64-64 \u003d 0 D \u003d 64 - 64 \u003d 0. Acum s-ar putea concluziona că numărul de rădăcini ale unei ecuații cubice de forma x 3 + px + q \u003d 0 depinde de semnul discriminantului D=() 2 +() 3 in felul urmator:

Dacă D>0, atunci ecuația are 1 soluție.

Daca D

Dacă D=0, atunci ecuația are 2 soluții.

Am găsit confirmarea concluziei mele într-o carte de referință despre matematică, autorul N.I. Bronshtein. Deci concluzia mea: Formula lui Cardano poate fi folosită atunci când suntem siguri că rădăcina este unică. mie a reușit să stabilească că există o formulă pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații cubice, dar pentru forma x 3 + px + q \u003d 0.

3. Partea practică.

Lucrul la proiect „... m-a ajutat foarte mult la rezolvarea unor probleme cu parametrii. De exemplu:1. Pentru care este cea mai mică valoare naturală a ecuației x 3 -3x+4=a are 1 soluție? Ecuația a fost rescrisă sub formă x 3 -3x+4-a=0; p= -3; q=4-a. După condiție, trebuie să aibă 1 soluție, adică D>0 Aflați D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

A (-∞;2) (6;∞)

Cea mai mică valoare naturală a lui a în acest interval este 1.

Răspuns. unu

2. La ce cea mai mare valoare naturală a parametrului a ecuației x 3 + x 2 -8x+2-a=0 are trei rădăcini?

Ecuația x 3 +3x 2 -24x + 6-3a = 0 aducem la forma y 3 + ru + q=0, unde a=1; at=3; c=-24; d=6-3а unde q= - + și 3 p = q=32-3a; p=-27. Pentru acest tip de ecuație D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 și 1 = ==28 și 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

A (-7; 28)

Cea mai mare valoare naturală a lui a din acest interval: 28.

Raspunde.28

3. În funcție de valorile parametrului a, găsiți numărul de rădăcini ale ecuației x 3 - 3x - a \u003d 0

Decizie. În ecuație, p = -3; q = -a. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

Pentru a (-∞;-2) (2;∞) ecuația are 1 soluție;

Când a (-2; 2) ecuația are 3 rădăcini;

Când un \u003d -2; Ecuația 2 are 2 soluții.

Teste:

1. Câte rădăcini au ecuațiile:

1) x 3 -12x+8=0?

a) 1; b) 2; în 3; d)4

2) x 3 -9x+14=0

a) 1; b) 2; în 3; d)4

2. La ce valori ale p ecuației x 3 +px+8=0 are două rădăcini?

a) 3; b) 5; în 3; d)5

Răspuns: 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

Matematicianul francez Francois Viet (1540-1603) cu 400 de ani înaintea noastră (Anexa 4) a reușit să stabilească o legătură între rădăcinile unei ecuații de gradul doi și coeficienții acestora.

X 1 + x 2 \u003d -p;

X 1 ∙x 2 \u003d q.

A devenit interesant pentru mine să aflu: este posibil să se stabilească o legătură între rădăcinile unei ecuații de gradul trei și coeficienții acestora? Dacă da, care este această legătură? Așa a apărut mini-proiectul meu. Am decis să-mi folosesc abilitățile patratice existente pentru a-mi rezolva problema. acţionat prin analogie. Am luat ecuația x 3 +px 2 +qх+r =0. Dacă notăm rădăcinile ecuației x 1, x 2, x 3 , atunci ecuația poate fi scrisă sub forma (x-x 1) (x-x 2) (x-x 3 )=0 Extindend parantezele, obținem: x 3 - (x 1 + x 2 + x 3) x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x - x 1 x 2 x 3 \u003d 0. Am urmatorul sistem:

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Astfel, se pot lega rădăcinile ecuațiilor de grad arbitrar la coeficienții lor.Ce se poate extrage, în întrebarea care mă interesează, din teorema lui Vieta?

1. Produsul tuturor rădăcinilor ecuației este egal cu modulul termenului liber. Dacă rădăcinile ecuației sunt numere întregi, atunci ele trebuie să fie divizori ai termenului liber.

Să revenim la ecuația x. 3 + 2x 2 -5x-6=0. Numerele întregi trebuie să aparțină mulțimii: ±1; ±2; ±3; ±6. Substituind succesiv numerele în ecuație, obținem rădăcinile: -3; -unu; 2.

2. Dacă rezolvați această ecuație prin factorizare, teorema lui Vieta oferă un „indiciu”:este necesar ca la alcătuirea grupurilor pentru extindere să apară numere - divizori ai termenului liber. Este clar că s-ar putea să nu înveți imediat, deoarece nu toți divizorii sunt rădăcinile ecuației. Și, din păcate, s-ar putea să nu funcționeze deloc - la urma urmei, rădăcinile ecuației pot să nu fie numere întregi.

Rezolvați ecuația x 3 +2x 2 -5x-6=0 factorizarea. X 3 + 2x 2 -5x-6 \u003d x 3 + (3x 2 - x 2) -3x-2x-6 \u003d x 2 (x + 3) - x (x + 3) - 2 (x + 3) \u003d (x + 3) (x 2 -x-2) \u003d \u003d (x + 3) (x 2 + x -2x -2) \u003d (x + 3) (x (x + 1) -2 (x + 1)) \u003d (x + 2) (x + 1) (x-2) Ecuația inițială este echivalent cu aceasta: ( x+2)(x+1)(x-2)=0. Și această ecuație are trei rădăcini: -3; -1; 2. Folosind „hint” al teoremei lui Vieta, am rezolvat următoarea ecuație: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. Divizori ai termenului liber: ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. X 3 -12x + 16 \u003d x 3 -4x-8x + 16 \u003d (x 3 -4x) - (8x-16) \u003d x (x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

\u003d (x-2) (x (x + 2) -8) \u003d (x-2) (x 2 + 2x-8) (x-2) (x 2 + 2x-8) \u003d 0 x- 2 \u003d 0 sau x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 \u003d 2. Răspuns. -4; 2.

3. Cunoscând sistemul de egalități rezultat, puteți găsi coeficienții necunoscuți ai ecuației din rădăcinile ecuației.

Teste:

1. Ecuația x 3 + px 2 + 19x - 12=0 are rădăcinile 1, 3, 4. Aflați coeficientul p; Răspuns. a) 12; b) 19; la 12; d) -8 2. Ecuația x 3 - 10 x 2 + 41x + r=0 are rădăcinile 2, 3, 5. Aflați coeficientul r; Răspuns. a) 19; b) -10; c) 30; d) -30.

Sarcinile de aplicare a rezultatelor acestui proiect în cantități suficiente pot fi găsite în manualul pentru solicitanții universitari editat de M.I.Skanavi. Cunoașterea teoremei lui Vieta poate fi de un ajutor neprețuit în rezolvarea unor astfel de probleme.

№6.354

4. Concluzie

1. Există o formulă care exprimă rădăcinile ecuație algebrică prin coeficienții ecuației: unde D==() 2 + () 3 D>0, 1 soluție. Formula Cardano.

2. Proprietatea rădăcinilor unei ecuații cubice

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 . x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Ca urmare, am ajuns la concluzia că există o formulă care exprimă rădăcinile ecuațiilor cubice în termeni de coeficienți ai acesteia și există și o legătură între rădăcinile și coeficienții ecuației.

5. Literatură:

1. Dicționar enciclopedic tânăr matematician. A.P. Savin. –M.: Pedagogie, 1989.

2. Examen unificat de stat la matematică - 2004. Sarcini și soluții. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova și alții.Ceboksary. Editura Chuvash. un-ta, 2004.

3. Ecuații și inegalități cu parametri. V.V.Mochalov, Silvestrov V.V. Ecuații și inegalități cu parametri: Proc. indemnizatie. -Cheboksary: ​​Editura Chuvash. Universitatea, 2004.

4. Probleme de matematică. Algebră. Ghid de ajutor. Vavilov V.V., Olehnik S.N.-M.: Nauka, 1987.

5.Reshebnik a tuturor problemelor competitive de matematică a colecției editate de M.I.Skanavi. Editura „Enciclopedia ucraineană” numită după M.P. Bazhov, 1993.

6. În spatele paginilor unui manual de algebră. L.F. Pichurin.-M.: Iluminismul, 1990.

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Să ne uităm în lumea formulelor

Educația matematică primită în școlile de învățământ general este cea mai importantă componentă a educației generale și a culturii generale a omului modern. Aproape tot ceea ce înconjoară o persoană este legat într-un fel sau altul de matematică. Iar ultimele realizări în fizică, tehnologie, tehnologia informației nu lasă nicio îndoială că în viitor starea de lucruri rămâne aceeași. Prin urmare, rezolvarea multor probleme practice se reduce la rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații care trebuie învățate să le rezolve. Ecuații liniare de gradul I, am fost învățați să rezolvăm în clasa I și nu ne-am arătat foarte interesați de ele. Mai interesante sunt ecuațiile neliniare - ecuații de grade mari. Matematica dezvăluie ordinea, simetria și certitudinea, iar acestea sunt cele mai înalte forme de frumusețe. Introducere:

ecuația are forma (1) transformăm ecuația în așa fel încât să selectăm cubul exact: înmulțim (1) ecuațiile cu 3 (2) transformăm (2) ecuațiile pe care le obținem următoarea ecuație ridicați laturile drepte și stângi (3) ale ecuației la a treia putere găsiți rădăcinile ecuației Exemple de rezolvare a unei ecuații cubice

Ecuații cuadratice ecuații de forma în care discriminantul Nu există rădăcini între numerele reale

Ecuația de gradul trei

Notă istorică: În acele vremuri îndepărtate, când înțelepții au început să se gândească la egalități care conțineau cantități necunoscute, probabil că nu existau încă monede sau portofele. În vechile probleme de matematică din Mesopotamia, India, China, Grecia, cantitățile necunoscute exprimau numărul de păuni din grădină, numărul de tauri din turmă, totalitatea lucrurilor luate în considerare la împărțirea proprietății. Surse care au ajuns la noi indică faptul că oamenii de știință antici posedau câteva metode generale de rezolvare a problemelor cu cantități necunoscute. Cu toate acestea, nici un papirus, nici o tabletă de argilă nu oferă o descriere a acestor tehnici. Excepție este „Aritmetica” a matematicianului grec Diophantus din Alexandria (secolul al III-lea) - o colecție de probleme pentru compilarea ecuațiilor cu o prezentare sistematică a soluțiilor acestora. Cu toate acestea, lucrarea savantului de la Bagdad din secolul al IX-lea a devenit primul manual de rezolvare a problemelor care a devenit cunoscut pe scară largă. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

ecuația are forma (1) aplicăm formula 1) selectând pentru a găsi și pentru ca următoarea egalitate să fie îndeplinită, transformăm partea stângă a (1) ecuația astfel: selectați cubul întreg ca y, obținem ecuația pentru y (2) simplificați (2) ecuația (3) În (3), termenul care conține pătratul necunoscutului a dispărut, dar termenul care conține prima putere a necunoscutului a rămas 2) prin selecție, găsiți o astfel de ca urmatoarea egalitate este indeplinita.Aceasta egalitate este imposibila deoarece exista un numar pozitiv in stanga si un numar negativ in stanga.Daca urmam aceasta cale, atunci ne blocam.... Pe calea aleasa vom esua. Încă nu am reușit să rezolvăm ecuația.

Ecuații cubice ale ecuației de forma în care (1) 1. Să simplificăm ecuațiile împărțite la a, apoi coeficientul de la „x” va deveni egal cu 1, prin urmare soluția oricărei ecuații cubice se bazează pe formula cubului sumei: (2) dacă luăm atunci ecuația (1) diferă de ecuația (2) doar coeficientul de la x și termenul liber. Adăugăm ecuațiile (1) și (2) și dăm altele asemănătoare: dacă facem o modificare aici, obținem o ecuație cubică față de y fără termen:

Cardano Girolamo

Cardano Girolamo (24 septembrie 1501 – 21 septembrie 1576) a fost un matematician, mecanic și medic italian. Născut în Pavia. A studiat la universitățile din Pavia și Padova. În tinerețe, a practicat medicina. În 1534 a devenit profesor de matematică la Milano și Bologna. În matematică, numele Cardano este asociat de obicei cu o formulă de rezolvare a unei ecuații cubice, pe care a împrumutat-o ​​de la N. Tartaglia. Această formulă a fost publicată în Cardano's Great Art, or On the Rules of Algebra (1545). De atunci, Tartaglia și Cardano au devenit dușmani de moarte. Această carte conturează sistematic metodele moderne ale lui Cardano pentru rezolvarea ecuațiilor, în principal a celor cubice. Cardano a efectuat o transformare liniară, care a făcut posibilă aducerea ecuației cubice într-o formă liberă de un termen de gradul 2; el a subliniat relația dintre rădăcinile și coeficienții ecuației, divizibilitatea polinomului prin diferența x – a, dacă a este rădăcina sa. Cardano a fost unul dintre primii din Europa care a admis existența rădăcinilor negative ale ecuațiilor. În opera sa, cantitățile imaginare apar pentru prima dată. În mecanică, Cardano a studiat teoria pârghiilor și greutăților. Una dintre mișcările unui segment de-a lungul laturilor unui unghi drept se numește mișcare cardan în mecanică. Biografia lui Cardano Girolamo

În același timp, în orașul italian Verona locuia un sărac profesor de matematică Nicolo (1499-1557), poreclit Tartaglia (adică bâlbâitul). Era foarte talentat și a reușit să redescopere tehnica lui Dal Ferro. A avut loc un duel între Fiore și Tartaglia. Conform condiției, rivalii au schimbat 30 de probleme, a căror soluție i s-a dat 50 de zile. Dar din moment ce Fior cunoștea în esență o singură problemă și era sigur că vreun profesor nu o poate rezolva, atunci toate cele 30 de probleme s-au dovedit a fi de același tip. Tartaglia s-a ocupat de ei în două ore. Fiore, în schimb, nu a putut rezolva niciuna dintre sarcinile propuse de inamic. Victoria a glorificat Tartaglia în toată Italia, dar problema nu s-a rezolvat în totalitate.Acel truc simplu cu care am reușit să facem față termenului ecuației care conține un pătrat. valoare necunoscută(selectarea unui cub complet), apoi soluția ecuațiilor tipuri diferite nu a fost introdus în sistem. Fiora se duelează cu Tartaglia

o ecuație de forma din această ecuație a se calculează discriminantul ecuației Nu numai că rădăcina acestei ecuații nu este complet extrasă, dar ea trebuie totuși extrasă dintr-un număr negativ. Ce s-a întâmplat? Se poate presupune că această ecuație nu are rădăcini, deoarece D

Rădăcinile unei ecuații cubice depind de discriminant ecuația are 1 soluție ecuația are 3 soluții ecuația are 2 soluții Concluzie

ecuația are forma găsiți rădăcinile ecuației folosind formula Cardano Exemple de rezolvare a ecuațiilor cubice folosind formula Cardano

o ecuație de forma (1) din această ecuație și întrucât, conform condiției, această ecuație ar trebui să aibă 1 soluție, atunci calculăm discriminantul (1) al ecuației + - + 2 6 Răspuns: cea mai mică valoare naturală a din acest interval este 1 La care este cea mai mică valoare naturală o ecuație are 1 soluție?

Rezolvarea ecuaţiilor cubice prin metoda Vieta Ecuaţiile au forma

Rezolvați ecuația dacă se știe că produsul celor două rădăcini ale sale este egal cu 1 conform teoremei Vieta și avem condiția, sau substituim valoarea în prima ecuație sau substituim valoarea din a treia ecuație în prima , vom găsi rădăcinile ecuației sau Răspuns:

Literatura folosită: „Matematică. Ajutor didactic» Yu.A. Gusman, A.O. Smirnov. Enciclopedie „Cunosc lumea. Matematică" - Moscova, AST, 1996. „Matematica. Suport didactic » V.T. Lisichkin. Un ghid pentru solicitanții la universități, editat de M.I.Skanavi. Singur Examen de stat la matematică - 2004

Vă mulțumim pentru atenție

Ecuațiile cubice au forma topor 3 + bx 2 + cx + d= 0). O metodă de rezolvare a unor astfel de ecuații este cunoscută de câteva secole (a fost descoperită în secolul al XVI-lea de către matematicienii italieni). Rezolvarea unor ecuații cubice este destul de dificilă, dar cu abordarea corectă (și nivel bun cunoștințe teoretice) veți putea rezolva chiar și cele mai complexe ecuații cubice.

Pași

Rezolvare folosind o formulă pentru rezolvarea unei ecuații pătratice

După cum sa menționat mai sus, ecuațiile cubice au forma a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), unde coeficienții c (\displaystyle c)și d (\displaystyle d) poate fi egal 0 (\displaystyle 0), adică o ecuație cubică poate consta dintr-un singur termen (cu o variabilă în gradul trei). În primul rând, verifică dacă ecuația cubică care ți-a fost dată are o interceptare, adică d (\displaystyle d). Dacă nu există un termen liber, puteți rezolva această ecuație cubică folosind formula pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.

• Dacă există o interceptare, utilizați o metodă de soluție diferită (consultați secțiunile următoare).

1. Din moment ce în ecuația dată nu există un termen liber, atunci toți termenii acestei ecuații conțin o variabilă x (\displaystyle x), care poate fi între paranteze: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

   • Exemplu. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). Dacă înduri x (\displaystyle x) paranteze, primești x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).

2. Rețineți că ecuația dintre paranteze este o ecuație pătratică de forma ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), care poate fi rezolvată folosind formula ((- b +/-√ (). Rezolvați o ecuație pătratică și veți rezolva o ecuație cubică.

   • În exemplul nostru, înlocuiți valorile coeficienților a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) în formula: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2)) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
   • Soluția 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
   • Soluția 2: 2 − 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))

3. Amintiți-vă că ecuațiile pătratice au două soluții, în timp ce ecuațiile cubice au trei soluții. Ați găsit două soluții la o ecuație pătratică și, prin urmare, o ecuație cubică. În cazurile în care puneți „x” între paranteze, a treia soluție este întotdeauna 0 (\displaystyle 0).

   • Acest lucru este adevărat deoarece orice număr sau expresie înmulțită cu 0 (\displaystyle 0), egal 0 (\displaystyle 0). De când ai îndurat x (\displaystyle x) din paranteze, atunci ați descompus ecuația cubică în doi factori ( x (\displaystyle x)și o ecuație pătratică), dintre care una trebuie să fie egală cu 0 (\displaystyle 0) astfel încât întreaga ecuație să fie egală cu 0 (\displaystyle 0).

   Găsirea de soluții întregi folosind factorizarea

   1. Verificați dacă ecuația cubică care ți-a fost dată are o interceptare. Metoda descrisă în secțiunea anterioară nu este potrivită pentru rezolvarea ecuațiilor cubice în care există un termen liber. În acest caz, va trebui să utilizați metoda descrisă în această secțiune sau în următoarea secțiune.

      • Exemplu. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). Aici, mișcă o pula liberă d = - 6 (\displaystyle d=-6)în partea stângă a ecuaţiei astfel încât partea dreapta obține 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).

   2. Găsiți multiplicatori de coeficienți a (\displaystyle a)(coeficientul la x 3 (\displaystyle x^(3))) și membru gratuit d (\displaystyle d). Factorii unui număr sunt numere care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul original. De exemplu, factorii numărului 6 (\displaystyle 6) sunt numerele 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6) (6×1 (\displaystyle 6\times 1)și 2 × 3 (\displaystyle 2\times 3)).

      • În exemplul nostru a = 2 (\displaystyle a=2)și d = 6 (\displaystyle d=6). Multiplicatori 2 (\displaystyle 2) sunt numere 1 (\displaystyle 1)și 2 (\displaystyle 2). Multiplicatori 6 (\displaystyle 6) sunt numere 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), și 6 (\displaystyle 6).

   3. Împărțiți multiplicatorii coeficienților a (\displaystyle a) prin factori ai termenului liber d (\displaystyle d). Veți obține fracții și numere întregi. Soluția întreagă a ecuației cubice care ți-a fost dată va fi fie unul dintre aceste numere întregi, fie valoarea negativă a unuia dintre aceste numere întregi.

      • În exemplul nostru, împărțiți factorii a (\displaystyle a) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2)) prin factori d (\displaystyle d) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6)) si ia: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2)și . Acum adăugați la acest rând de numere lor valori negative: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))și − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Soluțiile întregi ale ecuației cubice care ți se oferă sunt în această serie de numere.

   4. Acum puteți găsi soluții întregi pentru ecuația dvs. cubică prin înlocuirea numerelor întregi din seria de numere găsite în ea. Dar dacă nu vrei să pierzi timpul cu asta, folosește. Această schemă implică împărțirea numerelor întregi în valori a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d) ecuația cubică dată. Dacă restul este 0 (\displaystyle 0), numărul întreg este una dintre soluțiile ecuației cubice.

      • Diviziunea lui Horner nu este un subiect ușor; a primi Informații suplimentare urmați linkul de mai sus. Iată un exemplu despre cum să găsești una dintre soluțiile unei ecuații cubice care ți se oferă folosind diviziunea lui Horner: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Din moment ce restul 0 (\displaystyle 0), atunci una dintre soluțiile ecuației este un număr întreg − 1 (\displaystyle -1).

   Folosind discriminantul

   1. În această metodă, veți lucra cu valori ale coeficienților a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d). Prin urmare, este mai bine să scrieți în avans valorile acestor coeficienți.

      • Exemplu. matematică>x^3-3x^2+3x-1. Aici a = 1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\displaystyle b=-3), c = 3 (\displaystyle c=3), d = − 1 (\displaystyle d=-1). Nu uita că atunci când x (\displaystyle x) nu există coeficient, asta înseamnă că coeficientul este egal cu 1 (\displaystyle 1).

   2. calculati △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \triangle _(0)=b^(2)-3ac). Această metodă va necesita niște calcule complicate, dar dacă o înțelegeți, veți putea rezolva cele mai complexe ecuații cubice. Pentru a începe, calculează △ 0 (\displaystyle \triunghi _(0)), una dintre câteva cantități importante de care vom avea nevoie prin înlocuirea valorilor corespunzătoare în formulă.

      • În exemplul nostru: b 2 - 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\triunghi _(0)) 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\triunghi _(1))

   3. Calculați Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 A 2 . Acum calculați discriminantul ecuației folosind valorile găsite ale Δ0 și Δ1. Discriminantul este un număr care vă oferă informații despre rădăcinile unui polinom (s-ar putea să știți deja că discriminantul unei ecuații pătratice este b 2 - 4ac). În cazul unei ecuații cubice, dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația are trei soluții; dacă discriminantul este zero, atunci ecuația are una sau două soluții; dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația are o singură soluție. O ecuație cubică are întotdeauna cel puțin o soluție deoarece graficul unei astfel de ecuații intersectează axa x în cel puțin un punct.

      • Dacă înlocuiți valorile adecvate ale cantităților în această formulă, obțineți solutii posibile ecuația cubică dată ție. Înlocuiți-le în ecuația originală și dacă egalitatea este îndeplinită, atunci soluțiile sunt corecte. De exemplu, dacă introduceți valorile în formulă și obțineți 1, conectați 1 X 3 - 3X 2 + 3X- 1 și obțineți 0. Adică se respectă egalitatea și 1 este una dintre soluțiile ecuației cubice care ți se oferă.

Aflați cum să rezolvați ecuații cubice. Se ia în considerare cazul când o rădăcină este cunoscută. Metode de găsire a numerelor întregi și rădăcini raționale. Aplicarea formulelor Cardano și Vieta pentru a rezolva orice ecuație cubică.

Aici luăm în considerare soluția ecuațiilor cubice de forma
(1) .
Mai mult, presupunem că aceasta este numere reale.

(2) ,
apoi împărțind-o la , obținem o ecuație de forma (1) cu coeficienți
.

Ecuația (1) are trei rădăcini: , și . Una dintre rădăcini este întotdeauna reală. Notăm rădăcina reală ca . Rădăcinile și pot fi conjugate reale sau complexe. Rădăcinile reale pot fi multiple. De exemplu, dacă , atunci și sunt rădăcini duble (sau rădăcini de multiplicitate 2), și este o rădăcină simplă.

Dacă se cunoaşte o singură rădăcină

Să cunoaștem o rădăcină a ecuației cubice (1). Denota rădăcină cunoscută la fel de . Apoi împărțind ecuația (1) la , obținem o ecuație pătratică. Rezolvând ecuația pătratică, găsim încă două rădăcini și .

Pentru demonstrație, folosim faptul că polinomul cubic poate fi reprezentat ca:
.
Apoi, împărțind (1) la , obținem o ecuație pătratică.

Pe pagină sunt prezentate exemple de împărțire a polinoamelor
„Împărțirea și înmulțirea unui polinom cu un polinom cu un colț și o coloană”.
Soluția ecuațiilor pătratice este considerată pe pagină
„Rădăcinile unei ecuații pătratice”.

Dacă una dintre rădăcini este

Dacă ecuația inițială este:
(2) ,
iar coeficienții săi , , , sunt numere întregi, atunci puteți încerca să găsiți o rădăcină întreagă. Dacă această ecuație are o rădăcină întreagă, atunci este un divizor al coeficientului. Metoda de căutare a rădăcinilor întregi este că găsim toți divizorii unui număr și verificăm dacă ecuația (2) este valabilă pentru ei. Dacă ecuația (2) este satisfăcută, atunci i-am găsit rădăcina. Să-l notăm ca . În continuare, împărțim ecuația (2) la . Obținem o ecuație pătratică. Rezolvând-o, găsim încă două rădăcini.

Pe pagină sunt date exemple de definire a rădăcinilor întregi
Exemple de factorizare a polinoamelor > > > .

Găsirea rădăcinilor raționale

Dacă în ecuația (2), , , , sunt numere întregi și , și nu există rădăcini întregi, atunci puteți încerca să găsiți rădăcini raționale, adică rădăcini de forma , unde și sunt numere întregi.

Pentru a face acest lucru, înmulțim ecuația (2) cu și facem înlocuirea:
;
(3) .
În continuare, căutăm rădăcini întregi ale ecuației (3) printre divizorii termenului liber.

Dacă am găsit o rădăcină întreagă a ecuației (3), atunci, revenind la variabila , obținem o rădăcină rațională a ecuației (2):
.

Formule Cardano și Vieta pentru rezolvarea unei ecuații cubice

Dacă nu cunoaștem nicio rădăcină și nu există rădăcini întregi, atunci putem găsi rădăcinile unei ecuații cubice folosind formulele lui Cardano.

Luați în considerare ecuația cubică:
(1) .
Să facem o înlocuire:
.
După aceea, ecuația este redusă la o formă incompletă sau redusă:
(4) ,
Unde
(5) ; .

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru oameni de științăși ingineri, 2012.