nag-aaral karagdagang panitikan sa pamamagitan ng paglutas ng mga sistema ng mga equation, nakilala ko ang isang bagong uri ng mga sistema - simetriko. At itinakda ko ang aking sarili ng isang layunin:

Ibuod ang siyentipikong impormasyon sa paksang "Systems of Equation".

Unawain at alamin kung paano lutasin ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;

3) Isaalang-alang ang mga pangunahing teorya na may kaugnayan sa simetriko sistema ng mga equation

4) Matutong lutasin ang mga simetriko na sistema ng mga equation.

Kasaysayan ng paglutas ng mga sistema ng mga equation.

Ang pagbubukod ng mga hindi alam mula sa linear na equation. Noong 17-18 siglo. sa. Ang mga diskarte sa pagbubukod ay binuo ni Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange.

Sa modernong notasyon, ang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam ay may anyo: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = а1с2 – а2с1 Ang mga solusyon ng sistemang ito ay ipinahayag ng mga formula.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

Salamat sa paraan ng coordinate na nilikha noong ika-17 siglo. Fermat at Descartes, naging posible na malutas ang mga sistema ng mga equation nang grapiko.

Sa sinaunang mga tekstong Babylonian na isinulat noong 3-2 millennia BC. e. , ay naglalaman ng maraming problema na nalutas sa pamamagitan ng pag-compile ng mga sistema ng mga equation, kung saan ang mga equation ng pangalawang degree ay ipinakilala din.

Halimbawa #1:

Idinagdag ko ang mga lugar ng aking dalawang parisukat: 25. Ang gilid ng pangalawang parisukat ay katumbas ng gilid ng una at 5 pa. Ang kaukulang sistema ng mga equation sa kaukulang notasyon ay mukhang: x2 + y2 = 25, y = x = 5

Si Diophantus, na walang notasyon para sa maraming hindi alam, ay nagsumikap na pumili ng hindi alam sa paraang mabawasan ang solusyon ng sistema sa solusyon ng isang solong equation.

Halimbawa #2:

"Maghanap ka ng dalawa natural na mga numero alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay 208.

Ang problema ay nalutas din sa pamamagitan ng pag-compile ng isang sistema ng mga equation, x + y = 20, ngunit nalutas ang x2 + y2 = 208

Diophantus, pagpili bilang hindi kilalang kalahati ng pagkakaiba ng mga nais na numero, i.e.

(x - y) \u003d z, + (x + y) \u003d 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- ay hindi nakakatugon sa kondisyon ng problema, samakatuwid, kung z = 2x = 12, at y = 8

Mga konsepto ng system algebraic equation.

Sa maraming problema, maaaring kailanganin na maghanap ng ilan hindi kilalang dami, alam na ang iba pang mga dami na nabuo sa kanilang tulong (mga function ng mga hindi alam) ay katumbas ng bawat isa o sa ilang ibinigay na dami. Isaalang-alang natin ang isang simpleng halimbawa.

Ang isang hugis-parihaba na kapirasong lupa na may lawak na 2400 m2 ay nabakuran ng 200 m ang haba ng bakod. hanapin ang haba at lapad ng segment. sa totoo lang" algebraic na modelo» ng problemang ito ay isang sistema ng dalawang equation at isang hindi pagkakapantay-pantay.

Posibleng mga limitasyon-hindi pagkakapantay-pantay ay dapat palaging isaisip. Kapag nalutas mo ang mga problema para sa pag-compile ng mga sistema ng mga equation. Ngunit pa rin ang pangunahing bagay ay upang malutas ang mga equation sa kanilang sarili. Sasabihin ko sa iyo ang tungkol sa mga pamamaraan na ginamit.

Magsimula tayo sa mga kahulugan.

Ang sistema ng mga equation ay isang hanay ng ilang (higit sa isang) equation na konektado ng isang kulot na bracket.

Ang kulot na bracket ay nangangahulugan na ang lahat ng mga equation ng system ay dapat na isagawa nang sabay-sabay, at nagpapakita na kailangan mong maghanap ng isang pares ng mga numero (x; y) na magpapabago sa bawat equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Ang solusyon ng system ay tulad ng isang pares ng mga numerong x at y, na, kapag pinalitan sa sistemang ito, gagawin ang bawat isa sa mga equation nito sa isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero.

Upang malutas ang isang sistema ng mga equation ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng mga solusyon nito o itatag na wala.

Pamamaraan ng pagpapalit.

Ang paraan ng pagpapalit ay na sa isa sa mga equation ang isang variable ay ipinahayag sa mga tuntunin ng isa pa. Ang resultang expression ay pinapalitan sa isa pang equation, na pagkatapos ay nagiging isang equation na may isang variable, at pagkatapos ay malulutas. Ang mga resultang halaga ng variable na ito ay pinapalitan sa anumang equation orihinal na sistema at hanapin ang pangalawang variable.

Algorithm.

1. Ipahayag ang y sa mga tuntunin ng x mula sa isang equation ng system.

2. Palitan ang resultang expression sa halip na y sa isa pang equation ng system.

3. Lutasin ang resultang equation para sa x.

4. Palitan naman ang bawat ugat ng equation na matatagpuan sa ikatlong hakbang sa halip na x sa expression na y hanggang x na nakuha sa unang hakbang.

5) Isulat ang sagot sa anyo ng mga pares ng mga halaga (x; y).

Halimbawa No. 1 y \u003d x - 1,

Palitan sa pangalawang equation y \u003d x - 1, nakakakuha kami ng 5x + 2 (x - 1) \u003d 16, kung saan x \u003d 2. pinapalitan namin ang nagresultang expression sa unang equation: y \u003d 2 - 1 \ u003d 1.

Sagot: (2; 1).

Halimbawa #2:

8y - x \u003d 4, 1) 2 (8y - 4) - 21y \u003d 2

2x - 21y \u003d 2 16y - 8 - 21y \u003d 2

5y \u003d 10 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2

2x - 21y \u003d 2

2) x \u003d 8 * (-2) - 4 x \u003d 8y - 4, x \u003d -20

2 (8y - 4) - 21y \u003d 2 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2 x \u003d -20, y \u003d -2

Sagot: (-20; -2).

Halimbawa #3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y - 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 \u003d 0 x2 + y + 8 \u003d xy, x2 - 2x - 8 \u003d 0 - quadratic equation y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y \u003d 2x x1 \u003d -2, x2 \u003d 4 y1 \u003d -4, y2 \u003d 8

Kaya naman (-2; -4); (4; 8) ay mga solusyon ng sistemang ito.

Paraan ng pagdaragdag.

Ang paraan ng pagdaragdag ay binubuo sa katotohanan na kung ang isang naibigay na sistema ay binubuo ng mga equation na, kapag pinagsama-sama, ay bumubuo ng isang equation na may isang variable, pagkatapos ay sa pamamagitan ng paglutas ng equation na ito, makukuha natin ang mga halaga ng isa sa mga variable. Ang halaga ng pangalawang variable ay matatagpuan, tulad ng sa paraan ng pagpapalit.

Algorithm para sa paglutas ng mga sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.

1. I-equalize ang mga module ng coefficients para sa isa sa mga hindi alam.

2. Pagdaragdag o pagbabawas ng mga resultang equation, humanap ng hindi alam.

3. Ang pagpapalit ng nahanap na halaga sa isa sa mga equation ng orihinal na sistema, hanapin ang pangalawang hindi alam.

Halimbawa #1. Lutasin ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagdaragdag ng: x + y \u003d 20, x - y \u003d 10

Ang pagbabawas ng pangalawang equation mula sa unang equation, nakukuha natin

Nagpapahayag kami mula sa pangalawang expression x \u003d 20 - y

Palitan ang y = 5 in ibinigay na pagpapahayag: x \u003d 20 - 5 x \u003d 15.

Sagot: (15; 5).

Halimbawa #2:

Katawanin natin ang mga equation ng iminungkahing sistema bilang isang pagkakaiba, nakukuha natin

7y = 21, kung saan y = 3

Ipalit ang halagang ito sa halagang ipinahayag mula sa pangalawang equation ng system x = , nakukuha namin ang x = 4.

Sagot: (4; 3).

Halimbawa #3:

2x + 11y = 15,

10x - 11y = 9

Pagdaragdag ng mga equation na ito, mayroon kaming:

2x + 10x = 15 + 9

12x \u003d 24 x \u003d 2, pinapalitan ang halagang ito sa pangalawang equation, nakukuha namin:

10 * 2 - 11y \u003d 9, mula sa kung saan y \u003d 1.

Ang solusyon ng sistemang ito ay ang pares: (2; 1).

Graphical na paraan upang malutas ang mga sistema ng mga equation.

Algorithm.

1. Bumuo ng mga graph ng bawat isa sa mga equation ng system.

2. Paghahanap ng mga coordinate ng punto ng intersection ng mga itinayong linya.

Nangyayari Kaugnay na posisyon tuwid na linya sa eroplano.

1. Kung ang mga linya ay nagsalubong, ibig sabihin, ay may isang karaniwang punto, kung gayon ang sistema ng mga equation ay may isang solusyon.

2. Kung ang mga linya ay parallel, ibig sabihin, wala sila karaniwang mga punto, kung gayon ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon.

3. Kung ang mga linya ay nag-tutugma, ibig sabihin, ay may maraming puntos, kung gayon ang sistema ng mga equation ay may walang katapusang set mga solusyon.

Halimbawa #1:

Lutasin nang grapiko ang sistema ng mga equation x - y \u003d -1,

Ipinapahayag namin mula sa una at pangalawang equation ang y: y \u003d 1 + x, y \u003d 4 - 2x x

Bumuo tayo ng mga graph ng bawat isa sa mga equation ng system:

1) y \u003d 1 + x - ang graph ng function ay isang tuwid na linya x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y \u003d 4 - 2x - ang graph ng function ay isang tuwid na linya x 0 1 y 4 2

Sagot: (1; 2).

Halimbawa #2: y x ​​​​+ 2y = 6,

4y \u003d 8 - 2x x y \u003d, y \u003d y \u003d - ang graph ng function ay isang tuwid na linya x 0 2 y 3 2 y \u003d - ang graph ng function ay isang tuwid na linya x 0 2 y 2 1

Sagot: Walang solusyon.

Halimbawa No. 3: y x ​​​​- 2y \u003d 2,

3x - 6y \u003d 6 x - 2y \u003d 2, x - 2y \u003d 2 x y \u003d - ang graph ng function ay isang tuwid na linya x 0 2 y -1 0

Sagot: Ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable.

Ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable ay ang isang bagong variable ay ipinakilala lamang sa isang equation o dalawang bagong variable para sa parehong mga equation nang sabay-sabay, pagkatapos ay ang equation o mga equation ay malulutas na may kinalaman sa mga bagong variable, pagkatapos nito ay nananatili upang malutas ang higit pa simpleng sistema mga equation, kung saan makikita natin ang nais na solusyon.

Halimbawa #1:

x + y = 5

Tukuyin ang = z, pagkatapos ay =.

Ang unang equation ay kukuha ng anyo na z + = , ito ay katumbas ng 6z - 13 + 6 = 0. Nang malutas ang resultang equation, mayroon tayong z = ; z=. Pagkatapos = o = , sa madaling salita, ang unang equation ay nahati sa dalawang equation, samakatuwid, mayroon tayong dalawang sistema:

x + y = 5 x + y = 5

Ang mga solusyon ng mga sistemang ito ay ang mga solusyon ng ibinigay na sistema.

Ang solusyon ng unang sistema ay ang pares: (2; 3), at ang pangalawa ay ang pares (3; 2).

Samakatuwid, ang mga solusyon ng system + = , x + y = 5

Ang mga pares ay (2; 3); (3; 2)

Halimbawa #2:

Hayaan = X, a = Y.

X \u003d, 5 * - 2Y \u003d 1

5X - 2Y \u003d 1 2.5 (8 - 3Y) - 2Y \u003d 1

20 - 7.5U - 2U \u003d 1

X \u003d, -9.5Y \u003d -19

5 * - 2Y = 1 Y = 2

Gumawa tayo ng kapalit.

2 x = 1, y = 0.5

Sagot: (1; 0.5).

Symmetric system ng mga equation.

Ang isang sistema na may n hindi alam ay tinatawag na simetriko kung hindi ito nagbabago kapag ang mga hindi alam ay muling inayos.

Ang isang simetriko na sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam na x at y ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpapalit ng u = x + y, v = xy. Tandaan na ang mga expression na nakatagpo sa simetriko sistema Ang palakol ay ipinahayag sa mga tuntunin ng u at v. Magbigay tayo ng ilang mga halimbawa na walang alinlangan na interes para sa paglutas ng maraming simetriko system: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v, atbp.

Ang simetriko na sistema ng tatlong equation para sa mga hindi alam na x y, z ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpapalit ng x + y + z = u, xy + yz + xz = w. Kung ang u, v, w ay matatagpuan, kung gayon a cubic equation t2 – ut2 + vt – w = 0, na ang mga ugat na t1, t2, t3 sa iba't ibang permutasyon ay mga solusyon ng orihinal na sistema. Ang pinakakaraniwang mga expression sa naturang mga sistema ay ipinahayag sa mga tuntunin ng u, v, w tulad ng sumusunod: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Halimbawa #1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

Hayaan ang x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Gumawa tayo ng kapalit.

Sagot: (1; 3); (3; 1).

Halimbawa #2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

Hayaan ang x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 - 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Gumawa tayo ng kapalit.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Sagot: (1; 3); (3; 1).

Halimbawa #3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

Hayaan ang x = y = u, xy = v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

Gumawa tayo ng kapalit.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Sagot: (1; 3); (3; 1).

Halimbawa #4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

Hayaan ang x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Gumawa tayo ng kapalit.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 - y, xy = 4 x = 5 - y, y (5 - y) = 4 x = 5 - y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

Sagot: (4; 1); (labing-apat).

Halimbawa #5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

Gumawa tayo ng pagbabago ng mga hindi alam, ang sistema ay kukuha ng form na u2 + v = 49, u + v = 23

Pagdaragdag ng mga equation na ito, makakakuha tayo ng u2 + u - 72 = 0 na may mga ugat na u1 = 8, u2 = -9. Alinsunod dito, v1 = 15, v2 = 32. Nananatili itong lutasin ang set ng mga sistema x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32

Ang sistema x + y = 8 ay may mga solusyon x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

System x + y = -9, tunay na solusyon ay wala.

Sagot: (3; 5), (5; 3).

Halimbawa numero 6. Lutasin ang sistema ng mga equation.

2x2 - 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

Gamit ang mga pangunahing simetriko polynomial u = y + x at v = xy, nakukuha namin susunod na sistema mga equation

2u2 - 7v = 16, u + v = -3

Ang pagpapalit ng expression na v = -3 - u mula sa pangalawang equation ng system sa unang equation, nakukuha namin ang sumusunod na equation 2u2 + 7u + 5 = 0 na ang mga ugat ay u1 = -1 at u2 = -2.5; at, nang naaayon, ang mga halaga v1 = -2 at v2 = -0.5 ay nakuha mula sa v = -3 - u.

Ngayon ay nananatili itong lutasin ang sumusunod na hanay ng mga system x + y \u003d -1, at x + y \u003d -2.5, xy \u003d -2 xy \u003d -0.5

Ang mga solusyon ng hanay ng mga sistemang ito, at samakatuwid ng orihinal na sistema (dahil sa kanilang pagkakapareho), ay ang mga sumusunod: (1; -2), (-2; 1), (;).

Halimbawa #7:

3x2y - 2xy + 3x2 \u003d 78,

2x - 3xy + 2y + 8 = 0

Gamit ang mga pangunahing simetriko polynomial, maaaring isulat ang system sumusunod na anyo

3uv - 2v = 78,

Ang pagpapahayag ng u = mula sa pangalawang equation at pagpapalit nito sa unang equation, makakakuha tayo ng 9v2 – 28v – 156 = 0. Ang mga ugat ng equation na ito v1 = 6 at v2 = - ay nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang kaukulang mga halaga u1 = 5, u2 = - mula sa expression na u =.

Nalutas na namin ngayon ang sumusunod na hanay ng mga system x + y \u003d 5, at x + y \u003d - , xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5 - y, at y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5 - y, at y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -.

x = 5 – y, at y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3, at x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

Sagot: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Konklusyon.

Habang isinusulat ko ang artikulong ito, nakilala ko iba't ibang uri mga sistema ng algebraic equation. Summarized ng siyentipikong impormasyon sa paksang "Systems of Equation".

Naunawaan at natutunan kung paano lutasin sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;

Sinuri ang mga pangunahing teorya na may kaugnayan sa simetriko sistema ng mga equation

Natutunan kung paano lutasin ang mga simetriko na sistema ng mga equation.

Panimula Ang problema sa aking proyekto ay para sa isang matagumpay pagpasa sa pagsusulit kailangang marunong magdesisyon iba't ibang sistema equation, ngunit sa alam mataas na paaralan hindi sila nabigyan ng sapat na panahon para mas malaliman pa ang usapin. Layunin ng trabaho: upang maghanda para sa matagumpay na paghahatid GAMITIN. Mga Gawain sa gawain: Palawakin ang iyong kaalaman sa larangan ng matematika na may kaugnayan sa konsepto ng "symmetry". Pagbutihin ang iyong kultura sa matematika, gamit ang konsepto ng "symmetry" kapag nilulutas ang mga sistema ng mga equation, na tinatawag na simetriko, pati na rin ang iba pang mga problema ng matematika.

Ang konsepto ng simetrya. Symmetry - (ibang Greek συμμετρία), sa malawak na kahulugan- kawalan ng pagbabago sa ilalim ng anumang pagbabago. Halimbawa, spherical symmetry katawan ay nangangahulugan na ang anyo ng katawan ay hindi magbabago kung ito ay paikutin sa kalawakan ng di-makatwirang mga anggulo. Ang bilateral symmetry ay nangangahulugan na ang kanan at kaliwa ay magkapareho sa hitsura sa ilang eroplano.

Paglutas ng problema gamit ang symmetry. Problema #1 Dalawang tao ang maghahalinhinan sa paglalagay ng parehong barya sa bilog na mesa, at ang mga barya ay hindi dapat magtakip sa isa't isa. Talo ang hindi makagalaw. Sino ang nanalo sa ang tamang laro? (Sa madaling salita, sinong manlalaro ang may diskarte sa panalong?)

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga simetriko na sistema. Ang mga sistema ng simetriko ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable, na siyang pangunahing mga simetriko polynomial. Ang isang simetriko na sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam na x at y ay nalulutas sa pamamagitan ng pagpapalit ng u = x + y, v = xy.

Halimbawa No. 2 3 x 2y - 2xy + 3xy 2 \u003d 78, 2x - 3xy + 2y + 8 \u003d 0 Gamit ang mga pangunahing simetriko polynomial, ang system ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo 3uv - 2v \u003d 78, 2u - 3v \u003d -8. Ang pagpapahayag ng u = mula sa pangalawang equation at pagpapalit nito sa unang equation, nakukuha natin ang 9v2– 28v – 156 = 0. Ang mga ugat ng equation na ito v 1 = 6 at v 2 = - ay nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang mga katumbas na halaga u1 = 5, u2= - mula sa expression na u = .

Lutasin natin ngayon ang sumusunod na hanay ng mga sistema. x \u003d 5 - y, at y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -. x \u003d 5 - y, at y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -. x \u003d 5 - y, at y \u003d -x -, y 1 \u003d 3, y 2 \u003d 2 x 1 \u003d, x 2 \u003d - x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3, at x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = -, y 2= Sagot: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

Theorems na ginagamit sa paglutas ng simetriko system. Theorem 1. (sa simetriko polynomial) Anumang simetriko polynomial sa dalawang variable ay maaaring katawanin bilang isang function ng dalawang pangunahing simetriko polynomial Sa madaling salita, para sa anumang simetriko polynomial f (x, y) mayroong isang function ng dalawang variable φ (u, v) ganyan

Theorem 2. (sa simetriko polynomial) Theorem 2. (sa simetriko polynomial) Anumang simetriko polynomial sa tatlong variable ay maaaring katawanin bilang isang function ng tatlong pangunahing simetriko polynomial: Sa madaling salita, para sa anumang simetriko polynomial f (x, y) mayroong tulad ng isang function ng tatlong mga variable θ (u, v, w) tulad na

Mas kumplikadong simetriko system - mga system na naglalaman ng module: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y-1 | = 2. Isaalang-alang ang sistemang ito hiwalay para sa x< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

b) para sa x ≤ y< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) kinukuha ng system ang form - x + y + y 2 \u003d 3, - x + 1 + y - 1 \u003d 2, o - x + y + y 2 \u003d 3, x - y \u003d - 2, mula sa kung saan matatagpuan namin ang x 1 \u003d - 3, y 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 1, y 2 \u003d 1. Ang pangalawang pares ng mga numero ay kabilang sa lugar na isinasaalang-alang, iyon ay, ito ay isang solusyon sa sistemang ito.

Kung x ≥ 1, kung gayon: Kung x ≥ 1, kung gayon: a) x > y at y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y at y ≥ 1 ang sistema ay nasa anyong x - y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, o x - y + y 2 = 3, x + y = 4, kung saan makikita natin ang x = 1, y = 3. Ang pares ng mga numerong ito ay hindi kabilang sa lugar na isinasaalang-alang;

c) para sa x ≤ y (pagkatapos ay y ≥ 1), ang sistema ay kumukuha ng anyo c) para sa x ≤ y (pagkatapos ay y ≥ 1), ang sistema ay kumukuha ng anyo - x + y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, o - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, mula sa kung saan makikita natin ang x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. Ang mga pares ng numerong ito ay hindi kabilang sa lugar na isinasaalang-alang. Kaya, x 1 \u003d - 1, y 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1. Sagot: (- 1; 1); (labing-isa).

Konklusyon Ang matematika ay nagpapaunlad ng pag-iisip ng tao, nagtuturo sa pamamagitan ng lohika upang makahanap ng iba't ibang mga solusyon. Kaya, natutunan kong lutasin ang mga simetriko na sistema, napagtanto ko na magagamit ang mga ito hindi lamang upang gumanap kongkretong mga halimbawa ngunit ako ay para sa isang solusyon iba't ibang uri mga gawain. Sa tingin ko, hindi lang ako ang makikinabang sa proyekto. Para sa mga nais ding maging pamilyar sa paksang ito, ang aking trabaho ay magiging isang mabuting katulong.

Listahan ng ginamit na panitikan: Bashmakov M. I., "Algebra at ang simula ng pagsusuri", 2nd edition, Moscow, "Prosveshchenie", 1992, 350 na pahina. Rudchenko P. A., Yaremchuk F. P., "Algebra at mga pag-andar ng elementarya", direktoryo; ikatlong edisyon, binago at pinalaki; Kyiv, Naukova, Dumka, 1987, 648 na mga pahina. Sharygin I. F., "Mathematics for high school students", Moscow, Publishing House"Drofa", 1995, 490 na mga pahina. Mga mapagkukunan ng Internet: http://www.college.ru/

Maaaring gamitin ang gawain para sa mga aralin at ulat sa paksang "Matematika"

Ang mga handa na presentasyon sa matematika ay ginagamit bilang visual aid, na nagpapahintulot sa guro o magulang na ipakita ang paksang pinag-aaralan mula sa textbook gamit ang mga slide at talahanayan, magpakita ng mga halimbawa para sa paglutas ng mga problema at equation, at pagsubok ng kaalaman. AT ang seksyon na ito mahahanap at mada-download ang site ng marami handa na mga presentasyon sa matematika para sa mga mag-aaral sa baitang 1,2,3,4,5,6, pati na rin ang mga presentasyon sa mas mataas na matematika para sa mga estudyante sa unibersidad.

Panimula

Symmetry ... ay ang ideya kung saan sinubukan ng tao sa loob ng maraming siglo upang maunawaan at lumikha ng kaayusan, kagandahan at pagiging perpekto.

Ang konsepto ng simetrya ay tumatakbo sa buong kasaysayan ng sangkatauhan. Ito ay matatagpuan na sa pinagmulan ng kaalaman ng tao. Ito ay lumitaw kaugnay ng pag-aaral ng isang buhay na organismo, katulad ng tao, at ginamit ng mga iskultor noong ika-5 siglo BC. e.
Ang salitang "symmetry" ay Griyego. Nangangahulugan ito ng "proportionality", "proportionality", ang pagkakapareho sa pagkakaayos ng mga bahagi. Ito ay malawakang ginagamit ng lahat ng direksyon nang walang pagbubukod. modernong agham.
Maraming mahuhusay na tao ang nag-isip tungkol sa pattern na ito. Halimbawa, sinabi ni L.N. Tolstoy: "Tumayo sa harap ng isang black board at gumuhit dito gamit ang chalk. iba't ibang pigura, bigla akong naisip: bakit malinaw sa mata ang simetrya? Ano ang symmetry? ito likas na pakiramdam. Ano ang batayan nito?
Sa katunayan, ang simetrya ay nakalulugod sa mata. Sino ang hindi humanga sa simetrya ng mga nilikha ng kalikasan: mga dahon, bulaklak, ibon, hayop; o mga likha ng tao: mga gusali, teknolohiya, - lahat ng nakapaligid sa atin mula pagkabata, na nagsusumikap para sa kagandahan at pagkakaisa.
Symmetry (ibang Greek συμμετρία - "proportionality"), sa isang malawak na kahulugan - invariance sa ilalim ng anumang pagbabago. Kaya, halimbawa, ang spherical symmetry ng isang katawan ay nangangahulugan na ang hitsura ng katawan ay hindi magbabago kung ito ay paikutin sa espasyo sa pamamagitan ng mga arbitrary na anggulo (pinapanatili ang isang punto sa lugar). Ang bilateral symmetry ay nangangahulugan na ang kanan at kaliwang panig ay magkamukhang may kaugnayan sa ilang eroplano.
Nakakatugon tayo nang may mahusay na proporsyon sa lahat ng dako - sa kalikasan, teknolohiya, sining, agham. Napansin namin, halimbawa, ang simetrya na likas sa isang butterfly at isang dahon ng maple, ang simetrya ng isang kotse at isang eroplano, ang simetrya sa maindayog na pagbuo ng isang tula at isang musikal na parirala, ang simetrya ng mga burloloy at mga hangganan, ang simetrya ng ang atomic na istraktura ng mga molekula at kristal. Ang konsepto ng simetrya ay tumatakbo sa kabuuan mga siglo ng kasaysayan pagkamalikhain ng tao. Ito ay matatagpuan na sa pinagmulan ng kaalaman ng tao; malawak itong ginagamit ng lahat ng larangan ng modernong agham nang walang pagbubukod. Naglalaro ang mga prinsipyo ng simetrya mahalagang papel sa pisika at matematika, kimika at biology, inhinyero at arkitektura, pagpipinta at iskultura, tula at musika. Ang mga batas ng kalikasan na namamahala sa larawan ng mga phenomena, na hindi mauubos sa pagkakaiba-iba nito, ay sumusunod sa mga prinsipyo ng simetrya.

Mga layunin:

Isaalang-alang ang mga uri at uri ng mga simetriko;

Suriin kung paano at saan ginagamit ang simetrya;

Isaalang-alang kung paano ginagamit ang symmetry kurso sa paaralan algebra

Simetrya.
Ang salitang "symmetry" ay may dalawahang kahulugan. Sa isang kahulugan, ang simetriko ay nangangahulugang isang bagay na napakaproporsyonal, balanse; ang symmetry ay nagpapakita ng paraan ng pag-coordinate ng maraming bahagi, sa tulong ng kung saan sila ay pinagsama sa isang kabuuan. Ang pangalawang kahulugan ng salitang ito ay balanse. Kahit na si Aristotle ay nagsalita ng simetrya bilang isang estado na nailalarawan sa pamamagitan ng isang ratio ng mga sukdulan. Mula sa pahayag na ito ay sumusunod na si Aristotle, marahil, ay pinakamalapit sa pagtuklas ng isa sa mga pinakapangunahing batas ng Kalikasan - ang mga batas ng duality nito.
Kinakailangang i-highlight ang mga aspeto kung wala ang simetrya ay imposible:
1) ang isang bagay ay isang carrier ng simetrya; ang papel na ginagampanan ng mga simetriko na bagay ay maaaring mga bagay, proseso, mga geometric na numero, mga pagpapahayag ng matematika, mga buhay na organismo, atbp.

2) ilang mga tampok - dami, katangian, relasyon, proseso, phenomena - ng bagay, na nananatiling hindi nagbabago sa panahon ng pagbabago ng simetrya; sila ay tinatawag na invariants o invariants.

3) mga pagbabago (ng bagay) na nag-iiwan sa bagay na magkapareho sa sarili nito sa mga tuntunin ng mga invariant na tampok; ang ganitong mga pagbabago ay tinatawag na mga pagbabagong simetrya;

4) ang pag-aari ng isang bagay upang i-on, ayon sa mga napiling tampok, sa sarili nito pagkatapos ng mga kaukulang pagbabago nito.

Kaya, ang symmetry ay nagpapahayag ng pag-iingat ng isang bagay na may ilang mga pagbabago o ang pag-iingat ng isang bagay sa kabila ng pagbabago. Ang symmetry ay nagpapahiwatig ng immutability ng hindi lamang ng object mismo, kundi ng alinman sa mga katangian nito na may kaugnayan sa mga pagbabagong ginawa sa object. Ang immutability ng ilang mga bagay ay maaaring maobserbahan na may kaugnayan sa iba't ibang mga operasyon - sa mga pag-ikot, pagsasalin, kapwa pagpapalit ng mga bahagi, pagmuni-muni, atbp. Sa bagay na ito, maglaan iba't ibang uri simetriya.

Kawalaan ng simetrya

Ang kawalaan ng simetrya ay ang kawalan o paglabag sa simetrya.
Sa arkitektura, ang simetrya at kawalaan ng simetrya ay dalawang magkasalungat na pamamaraan ng regular na organisasyon ng spatial na anyo. Ang mga asymmetric na komposisyon sa pagbuo ng arkitektura ay lumitaw bilang ang sagisag ng mga kumplikadong kumbinasyon ng mga proseso ng buhay at mga kondisyon sa kapaligiran.

Dissymmetry

Sirang, bahagyang detuned symmetry ang tawag namin kawalan ng simetrya .
Ang disymmetry ay isang phenomenon na laganap sa wildlife. Ito rin ay katangian ng mga tao. Ang isang tao ay dissymmetrical, sa kabila ng katotohanan na ang mga balangkas ng kanyang katawan ay may isang eroplano ng mahusay na proporsyon. Nakakaapekto ang dissymmetry
mas mahusay na pag-aari ng isa sa mga kamay, sa asymmetrical na pag-aayos ng puso at maraming iba pang mga organo, sa istraktura ng mga organo na ito.
Mga disymmetry katawan ng tao katulad ang mga paglihis mula sa eksaktong simetrya sa arkitektura. Kadalasan ang mga ito ay sanhi ng praktikal na pangangailangan, sa pamamagitan ng katotohanan na ang iba't ibang mga pag-andar ay hindi magkasya sa loob ng mga limitasyon ng mahigpit na mga batas ng simetrya. Minsan ang gayong mga paglihis ay nagdudulot ng matinding emosyonal na epekto.

^ Mga uri ng simetriko na matatagpuan sa matematika at mga natural na agham:

Bilateral symmetry- simetrya ng salamin na pagmuni-muni, kung saan ang bagay ay may isang eroplano ng simetrya, kung saan ang dalawang halves nito ay simetriko ng salamin. Sa mga hayop, ang bilateral symmetry ay ipinapakita sa pagkakapareho o halos kumpletong pagkakakilanlan ng kaliwa at kanang bahagi ng katawan. Gayunpaman, palaging may random deviations mula sa simetriya (hal., mga pagkakaiba sa mga linya ng papillary, pagsasanga ng mga sisidlan Kadalasan ay may maliit ngunit regular na pagkakaiba sa panlabas na istraktura at mas makabuluhang pagkakaiba sa pagitan ng kanan at kaliwang kalahati ng katawan sa lokasyon lamang loob. Halimbawa, ang puso sa mga mammal ay karaniwang inilalagay nang walang simetriko, na may paglipat sa kaliwa.

Sa mga hayop, ang hitsura ng bilateral symmetry sa ebolusyon ay nauugnay sa pag-crawl kasama ang substrate (sa ilalim ng reservoir), na may kaugnayan kung saan ang dorsal at ventral, pati na rin ang kanan at kaliwa kalahati katawan. Sa pangkalahatan, sa mga hayop, ang bilateral symmetry ay mas malinaw sa mga aktibong mobile form kaysa sa mga sessile na halaman. bilateral symmetry kadalasan ay hindi ang buong organismo, ngunit ang mga indibidwal na bahagi nito - mga dahon o bulaklak. Sa botanikal, ang mga bilateral na simetriko na bulaklak ay tinatawag na zygomorphic.

^ nth order symmetry- symmetry na may paggalang sa mga pag-ikot sa isang anggulo na 360 ° / n sa paligid ng anumang axis. Inilarawan ng pangkat na Zn.

Axial symmetry(radial symmetry, ray symmetry) - isang anyo ng simetriya kung saan ang katawan (o pigura) ay sumasabay sa sarili nito kapag umiikot ang bagay sa isang tiyak na punto o linya. Kadalasan ang puntong ito ay tumutugma sa sentro ng simetrya ng bagay, iyon ay, ang punto kung saan
mag-intersect ng walang katapusang bilang ng mga axes ng bilateral symmetry. Ang radial symmetry ay nagtataglay ng mga geometric na bagay tulad ng isang bilog, isang bola, isang silindro, o isang kono. Inilarawan ng SO(2) na grupo.

^ Spherical symmetry- symmetry na may kinalaman sa mga pag-ikot sa tatlong-dimensional na espasyo sa mga random na anggulo. Inilalarawan ng SO(3) na grupo. Ang lokal na spherical symmetry ng espasyo o medium ay tinatawag ding isotropy.

^ Paikot na simetrya- isang termino na nangangahulugang ang simetrya ng isang bagay na may paggalang sa lahat o ilan sariling pag-ikot m-dimensional na Euclidean space.

^ Symmetry sa mga hayop at tao.

Ang simetrya ay isang mahalagang palatandaan na sumasalamin sa mga tampok ng istraktura, pamumuhay at pag-uugali ng hayop. Ang simetrya ng anyo ay kinakailangan para sa isda na lumangoy; ibong lumipad. Kaya ang simetrya sa kalikasan ay umiiral para sa isang dahilan: ito ay kapaki-pakinabang din, o, sa madaling salita, kapaki-pakinabang. Sa biology, ang sentro ng simetrya ay: mga bulaklak, dikya, mga bituin sa dagat atbp Ang pagkakaroon ng mga anyo ng symmetry ay maaaring masubaybayan na sa pinakasimpleng - unicellular (ciliates, amoeba) Ang katawan ng tao ay binuo sa prinsipyo ng bilateral symmetry. Ang utak ay nahahati sa dalawang halves. Sa buong alinsunod sa pangkalahatang simetrya ng katawan ng tao, ang bawat hemisphere ay halos eksaktong mirror image ng isa pa. Pamamahala sa mga pangunahing paggalaw ng katawan ng tao at nito mga function ng pagpindot pantay na ipinamamahagi sa pagitan ng dalawang hemispheres ng utak. Kaliwang hemisphere mga kontrol kanang bahagi utak, at ang kanan - ang kaliwang bahagi. Ipinakita ng mga pag-aaral na ang isang simetriko na mukha ay mas kaakit-akit. Nagtatalo din ang mga mananaliksik na ang isang mukha na may perpektong sukat ay isang senyales na ang katawan ng may-ari nito ay handa nang husto upang labanan ang mga impeksiyon. Ang karaniwang sipon, hika, at trangkaso ay malamang na urong sa harap ng mga tao na ang kaliwang bahagi ay eksaktong kapareho ng kanan. At sa mga damit, ang isang tao din, bilang panuntunan, ay sumusubok na mapanatili ang impresyon ng simetrya: ang kanang manggas ay tumutugma sa kaliwa, ang kanang binti ay tumutugma sa kaliwa. Ang mga pindutan sa dyaket at sa shirt ay nakaupo nang eksakto sa gitna, at kung sila ay umatras mula dito, pagkatapos ay sa simetriko na mga distansya. At sa parehong oras, kung minsan ang isang tao ay sumusubok na bigyang-diin, upang palakasin ang pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at kanan. Sa Middle Ages, ang mga lalaki sa isang pagkakataon ay nagparangalan sa mga pantalon na may mga binti ng pantalon iba't ibang Kulay(halimbawa, ang isa ay pula at ang isa ay itim o puti). Pero
laging panandalian ang ganyang fashion. Tanging ang mataktika, katamtamang mga paglihis mula sa mahusay na proporsyon ay nananatili sa mahabang panahon.

Symmetry sa sining

Ang simetrya sa sining sa pangkalahatan at sa visual na sining sa partikular ay nagmula sa realidad, na puno ng simetriko na nakaayos na mga anyo.
Ang simetriko na organisasyon ng isang komposisyon ay nailalarawan sa pamamagitan ng balanse ng mga bahagi nito sa mga tuntunin ng masa, tono, kulay, at kahit na hugis. Sa ganitong mga kaso, ang isang bahagi ay halos isang mirror na imahe ng pangalawa. Sa mga simetriko na komposisyon, kadalasan ay may binibigkas na sentro. Karaniwan itong tumutugma sa geometric na sentro larawang eroplano. Kung ang nawawalang punto ay inilipat mula sa gitna, ang isa sa mga bahagi ay mas na-load sa mga tuntunin ng masa, o ang imahe ay itinayo nang pahilis, ang lahat ng ito ay nagpapaalam sa dynamism ng komposisyon at sa ilang mga lawak ay lumalabag sa perpektong balanse.
Ginamit ng mga iskultor ang panuntunan ng simetrya Sinaunang Greece. Ang isang halimbawa ay ang komposisyon ng western pediment ng templo ng Zeus at Olympia. Ito ay batay sa pakikibaka ng mga Lapith (Griyego) sa mga centaur sa presensya ng diyos na si Apollo. Ang paggalaw ay unti-unting tumataas mula sa mga gilid hanggang sa gitna. Naabot nito ang limitasyon ng pagpapahayag sa imahe ng dalawang kabataang lalaki na umindayog sa centaur. Ang lumalagong paggalaw, kumbaga, ay agad na humiwalay sa paglapit sa pigura ni Apollo, mahinahon at marilag na nakatayo sa gitna ng pediment.
Ang ideya ng mga nawawalang gawa ng mga sikat na pintor noong ika-5 siglo BC. e. maaaring i-compile mula sa sinaunang pagpipinta ng plorera at mga fresco ng Pompeian, na inspirasyon, tulad ng pinaniniwalaan ng mga mananaliksik, ng mga gawa ng mga Griyego na masters ng klasikal na panahon ...
Ang mga simetriko na komposisyon ay naobserbahan din sa mga Greek masters noong ika-4-3 siglo BC. e. Maaari itong hatulan ng mga kopya ng mga fresco. Sa Pompeian frescoes, ang mga pangunahing figure ay nasa gitna ng pyramidal composition, na nakikilala sa pamamagitan ng simetrya.
Ang mga artista ay madalas na gumagamit ng mga patakaran ng simetrya kapag naglalarawan ng mga solemne masikip na pagpupulong, parada, pagpupulong sa malalaking bulwagan, atbp.
malaking atensyon ang panuntunan ng simetrya ay ibinigay sa mga artista ng unang bahagi ng Renaissance, bilang ebedensya sa pamamagitan ng monumental na pagpipinta (halimbawa, mga fresco ni Giotto). Sa kapanahunan Mataas na Renaissance Ang komposisyon ng Italyano ay umabot na sa kapanahunan. Halimbawa, sa pagpipinta na "Saint Anna with Mary and the Christ Child", inayos ni Leonardo da Vinci ang tatlong figure sa isang tatsulok na nakaturo paitaas. Sa kanang sulok sa ibaba, nagbibigay siya ng pigurin ng isang tupa na hawak ng isang maliit na Kristo. Ang lahat ay nakaayos sa isang paraan na ang tatsulok na ito ay hinuhulaan lamang sa ilalim ng dami-spatial na grupo ng mga numero.
Ang isang simetriko na komposisyon ay maaari ding tawaging " huling Hapunan» Leonardo da Vinci. Ang fresco na ito ay nagpapakita ng isang dramatikong sandali kung kailan
Sinabi ni Kristo sa kanyang mga alagad: "Ipagkakanulo ako ng isa sa inyo." Sikolohikal na reaksyon Iniuugnay ng mga apostol sa mga makahulang salitang ito ang mga karakter sa sentro ng komposisyon kung saan matatagpuan ang pigura ni Kristo. Ang impresyon ng integridad mula sa sentripetal na komposisyon na ito ay pinahusay ng katotohanan na ipinakita ng artista ang silid ng refectory sa pananaw na may nawawalang punto parallel lines sa gitna ng bintana, kung saan malinaw na iginuhit ang ulo ni Kristo. Kaya, ang tingin ng manonood ay hindi sinasadyang nakadirekta sa gitnang pigura mga kuwadro na gawa.
Kabilang sa mga gawa na nagpapakita ng mga posibilidad ng simetrya, maaari ding pangalanan ang Raphael's Betrothal of Mary, kung saan natagpuan ng mga compositional technique na katangian ng Renaissance ang pinaka kumpletong pagpapahayag.
Ang pagpipinta ni V. M. Vasnetsov "Bogatyrs" ay itinayo din batay sa tuntunin ng simetrya. Ang sentro ng komposisyon ay ang pigura ni Ilya Muromets. Kaliwa't kanan, parang nasa imahe ng salamin, na nai-post nina Alyosha Popovich at Dobrynya Nikitich. Ang mga figure ay matatagpuan sa kahabaan ng eroplano ng larawan na mahinahong nakaupo sa mga kabayo. Symmetric construction ang komposisyon ay naghahatid ng isang estado ng kamag-anak na pahinga. Ang kaliwa at kanang mga numero ay hindi pareho sa mga tuntunin ng masa, na dahil sa ideolohikal na konsepto may-akda. Ngunit pareho silang hindi gaanong makapangyarihan kumpara sa pigura ng Muromets at, sa kabuuan, nagbibigay ng kumpletong balanse sa komposisyon.
Ang katatagan ng komposisyon ay nagpapadama ng tiwala sa manonood sa kawalan ng kakayahan ng mga bayani, ang mga tagapagtanggol ng lupain ng Russia. Bukod dito, sa "Bogatyrs" ang isang estado ng panahunan na pahinga ay ipinarating sa bingit ng paglipat sa aksyon. At nangangahulugan ito na ang simetrya ay nagdadala din ng mikrobyo ng dinamikong paggalaw sa oras at espasyo.

Symmetry sa algebra.

Ang pinakasimpleng simetriko na expression para sa mga ugat ng isang quadratic equation ay matatagpuan sa Vieta's theorem. Ito ay nagpapahintulot sa kanila na magamit sa paglutas ng ilang mga problema na may kaugnayan sa mga quadratic equation. Isaalang-alang natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 1:

Quadratic equation may mga ugat at . Nang hindi nilulutas ang equation na ito, ipinapahayag namin sa mga tuntunin ng at ang mga kabuuan , . Ang expression ay simetriko na may paggalang sa at . Ipinapahayag namin ang mga ito sa mga tuntunin ng + at , at pagkatapos ay inilalapat namin ang Vieta theorem.

Tahanan > Solusyon

Rational equation at hindi pagkakapantay-pantay

I. Rational equation.

Linear na equation.

Mga sistema ng linear equation.

Ibalik ang mga equation.

Ang formula ng Vieta para sa mga polynomial na mas mataas ang antas.

Mga sistema ng mga equation ng ikalawang antas.

Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong hindi alam sa paglutas ng mga equation at sistema ng mga equation.

Mga homogenous na equation.

Solusyon ng mga simetriko na sistema ng mga equation.

Mga equation at sistema ng mga equation na may mga parameter.

Grapikong pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga nonlinear na equation.

Mga equation na naglalaman ng modulus sign.

Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga rational equation

II. Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay.

Mga katangian ng katumbas na hindi pagkakapantay-pantay.

Algebraic inequalities.

paraan ng pagitan.

Fractional-rational inequalities.

Mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda ng absolute value.

Mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter.

Mga sistema ng makatwirang hindi pagkakapantay-pantay.

Graphical na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay.

III. Pagsubok sa pagpapatunay.

Rational Equation

tingnan ang function

P(x) \u003d a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + ... + a n - 1 x + a n,

kung saan ang n ay natural, a 0 , a 1 ,…, a n ay ilan tunay na mga numero, ay tinatawag na isang buong rational function.

Ang isang equation ng form na P(x) = 0, kung saan ang P(x) ay isang buong rational function, ay tinatawag na isang buong rational equation.

Uri ng equation

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + ... + P m (x) / Q m (x) = 0,

kung saan ang P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) ay mga integer makatwirang pag-andar, ay tinatawag na rational equation.

Solusyon rational equation P (x) / Q (x) = 0, kung saan ang P (x) at Q (x) ay mga polynomial (Q (x)  0), bumababa upang malutas ang equation na P (x) = 0 at suriin kung ang mga ugat ay nasiyahan kundisyon Q (x)  0.

Linear na equation.

Ang isang equation ng anyong ax+b=0, kung saan ang a at b ay ilang mga constant, ay tinatawag na linear equation.

Kung a0, kung gayon ang linear equation ay may iisang ugat: x = -b /a.

Kung a=0; b0, kung gayon ang linear equation ay walang mga solusyon.

Kung a=0; b=0, pagkatapos, muling isulat ang orihinal na equation sa anyong ax = -b, madaling makita na ang anumang x ay isang solusyon sa isang linear na equation.

Ang straight line equation ay may anyo: y = ax + b.

Kung ang linya ay dumaan sa isang punto na may mga coordinate X 0 at Y 0, kung gayon ang mga coordinate na ito ay nakakatugon sa equation ng linya, ibig sabihin, Y 0 = aX 0 + b.

Halimbawa 1.1. lutasin ang equation

2x - 3 + 4(x - 1) = 5.

Solusyon. Palawakin natin ang mga bracket nang paisa-isa, magbigay ng mga katulad na termino at hanapin ang x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Halimbawa 1.2. lutasin ang equation

2x - 3 + 2(x - 1) = 4(x - 1) - 7.

Solusyon. 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.

Sagot: .

Halimbawa 1.3. Lutasin ang equation.

2x + 3 - 6(x - 1) = 4(x - 1) + 5.

Solusyon. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 - 9,

Sagot: Kahit anong numero.

Mga sistema ng linear equation.

Uri ng equation

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

kung saan ang a 1 , b 1 , … ,a n , b ay ilang constants, ay tinatawag na linear equation na may n unknowns x 1 , x 2 , …, x n .

Ang isang sistema ng mga equation ay tinatawag na linear kung ang lahat ng mga equation sa sistema ay linear. Kung ang sistema ay binubuo ng n hindi alam, posible ang sumusunod na tatlong kaso:

ang sistema ay walang mga solusyon;

ang sistema ay may eksaktong isang solusyon;

Ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon.

Halimbawa 2.4. lutasin ang sistema ng mga equation

Solusyon. Posibleng lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit, na binubuo sa katotohanan na ang anumang equation ng system ay nagpapahayag ng isang hindi alam sa mga tuntunin ng iba pang mga hindi alam, at pagkatapos ay pinapalitan ang halaga ng hindi alam na ito sa natitirang mga equation.

Mula sa unang equation ay ipinapahayag natin ang: x = (8 - 3y) / 2. Pinapalitan natin ang expression na ito sa pangalawang equation at kumuha ng sistema ng mga equation

X \u003d (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y \u003d 7. Mula sa pangalawang equation nakukuha namin ang y \u003d 2. Isinasaalang-alang ito, mula sa unang equation x \u003d 1. Sagot: (1; 2).Halimbawa 2.5. Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Solusyon. Ang sistema ay walang mga solusyon, dahil ang dalawang equation ng system ay hindi maaaring masiyahan nang sabay-sabay (mula sa unang equation x + y = 3, at mula sa pangalawang x + y = 3.5).

Sagot: Walang solusyon.

Halimbawa 2.6. lutasin ang sistema ng mga equation

Solusyon. Ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon, dahil ang pangalawang equation ay nakuha mula sa una sa pamamagitan ng pagpaparami ng 2 (i.e., sa katunayan, mayroon lamang isang equation na may dalawang hindi alam).

Sagot: Walang katapusang maraming solusyon.

Halimbawa 2.7. lutasin ang sistema ng mga equation

x + y - z = 2,

2x – y + 4z = 1,

Solusyon. Kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation, maginhawang gamitin ang Gauss method, na binubuo sa pagbabago ng system sa isang triangular na anyo.

Pinarami namin ang unang equation ng system sa pamamagitan ng - 2 at, pagdaragdag ng resulta na nakuha sa pangalawang equation, nakukuha namin - 3y + 6z \u003d - 3. Ang equation na ito ay maaaring muling isulat bilang y - 2z \u003d 1. Pagdaragdag ng unang equation sa pangatlo, nakakakuha tayo ng 7y \u003d 7, o y = 1.

Kaya, ang sistema ay nakuha tatsulok na view

x + y - z = 2,

Ang pagpapalit ng y = 1 sa pangalawang equation, makikita natin ang z = 0. Ang pagpapalit ng y =1 at z = 0 sa unang equation, makikita natin ang x = 1. Sagot: (1; 1; 0). Halimbawa 2.8. para sa kung anong mga halaga ng parameter ang sistema ng mga equation

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

may walang katapusang maraming solusyon? Solusyon. Mula sa unang equation ipinapahayag namin ang x:

x = - (a / 2)y + a / 2 +1.

Ang pagpapalit ng expression na ito sa pangalawang equation, nakukuha natin

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Pagsusuri sa huling equation, tandaan namin na para sa a = 3 mayroon itong anyo na 0y = 0, i.e. ito ay nasiyahan para sa anumang mga halaga ng y. Sagot: 3.

Quadratic equation at equation na nagpapababa sa kanila.

Isang equation ng anyong ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang a, b at c ay ilang mga numero (a0);

Ang x ay isang variable, na tinatawag na isang quadratic equation.

Ang formula para sa paglutas ng isang quadratic equation.

Una, hinahati natin ang magkabilang panig ng equation ax 2 + bx + c = 0 sa a - hindi nito babaguhin ang mga ugat nito. Upang malutas ang nagresultang equation

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

highlight sa kaliwang bahagi buong parisukat

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2 )).

Para sa kaiklian, tinutukoy namin ang expression (b 2 - 4ac) ng D. Pagkatapos ang nagresultang pagkakakilanlan ay nasa anyo

Tatlong kaso ang posible:

kung ang numero D ay positibo (D > 0), kung gayon sa kasong ito maaari nating kunin mula sa D Kuwadrado na ugat at isulat ang D bilang D = (D) 2 . Pagkatapos

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 , samakatuwid ang pagkakakilanlan ay nasa anyo

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / 2a) 2 .

Ayon sa formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, nakukuha namin mula dito:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x - ((-b + D) / 2a)) (x - ((- b - D) / 2a)).

Teorama: Kung hawak ang pagkakakilanlan

ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2),

pagkatapos ay ang quadratic equation ax 2 + bx + c \u003d 0 para sa X 1  X 2 ay may dalawang ugat X 1 at X 2, at para sa X 1 \u003d X 2 - isang ugat lamang X 1.

Sa bisa ng teorama na ito, sumusunod ito mula sa pagkakakilanlan na nakuha sa itaas na ang equation

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

at sa gayon ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay may dalawang ugat:

X 1 \u003d (-b +  D) / 2a; X 2 \u003d (-b -  D) / 2a.

Kaya x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1)(x - x2).

Karaniwan ang mga ugat na ito ay nakasulat sa isang pormula:

kung saan b 2 - 4ac \u003d D.

kung ang numero D ay katumbas ng zero (D = 0), kung gayon ang pagkakakilanlan

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

kumukuha ng anyong x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .

Kasunod nito na para sa D = 0, ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay may isang ugat ng multiplicity 2: X 1 = - b / 2a

3) Kung ang numero D ay negatibo (D< 0), то – D >0, at samakatuwid ang expression

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

ay ang kabuuan ng dalawang termino, ang isa ay hindi negatibo at ang isa ay positibo. Ang nasabing kabuuan ay hindi maaaring katumbas ng zero, kaya ang equation

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

ay wala tunay na ugat. Ni ang equation na ax 2 + bx + c = 0.

Kaya, upang malutas ang quadratic equation, dapat kalkulahin ng isa ang discriminant

D \u003d b 2 - 4ac.

Kung D = 0, kung gayon ang quadratic equation ay mayroon tanging desisyon:

Kung D > 0, ang quadratic equation ay may dalawang ugat:

X 1 \u003d (-b + D) / (2a); X 2 \u003d (-b - D) / (2a).

Kung si D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Kung ang isa sa mga coefficient b o c sero, pagkatapos ay malulutas ang quadratic equation nang hindi kinakalkula ang discriminant:

b = 0; c  0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

Ang mga ugat ng isang pangkalahatang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0 ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient sa x 2 ay katumbas ng 1 ay tinatawag na reduced. Karaniwan ang ibinigay na quadratic equation ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

x 2 + px + q = 0.

Ang teorama ni Vieta.

Nakuha namin ang pagkakakilanlan

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d (x - x1) (x - x2),

kung saan ang X 1 at X 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation ax 2 + bx + c =0. Palawakin natin ang mga bracket sa kanang bahagi ng pagkakakilanlan na ito.

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 .

Kasunod nito na X 1 + X 2 = - b / a at X 1 X 2 = c / a. Napatunayan namin ang sumusunod na teorama, na unang itinatag ng Pranses na matematiko na si F. Viet (1540 - 1603):

Teorama 1 (Vieta). Ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation ay katumbas ng coefficient sa X, kinuha gamit ang tapat na sign at hinati sa coefficient sa X 2; ang produkto ng mga ugat ng equation na ito ay katumbas ng libreng termino na hinati ng koepisyent sa X 2 .

Theorem 2 (baligtad). Kung ang mga pagkakapantay-pantay

X 1 + X 2 \u003d - b / a at X 1 X 2 \u003d c / a,

pagkatapos ang mga numerong X 1 at X 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation ax 2 + bx + c = 0.

Magkomento. Ang mga formula X 1 + X 2 \u003d - b / a at X 1 X 2 \u003d c / a ay nananatiling totoo kahit na sa kaso kapag ang equation na ax 2 + bx + c \u003d 0 ay may isang ugat X 1 ng multiplicity 2, kung inilalagay namin ang ipinahiwatig na mga formula X 2 = X 1 . Samakatuwid, karaniwang tinatanggap na para sa D = 0, ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay may dalawang ugat na nag-tutugma sa bawat isa.

Kapag nilulutas ang mga problema na may kaugnayan sa Vieta theorem, kapaki-pakinabang na gamitin ang mga relasyon

(1 / X 1) + (1 / X 2) \u003d (X 1 + X 2) / X 1 X 2;

X 1 2 + X 2 2 \u003d (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 \u003d (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 \u003d ((X 1 + X 2) 2 - 2X 1 X 2) / X 1 X 2;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 - X 1 X 2 + X 2 2) =

\u003d (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 - 3X 1 X 2).

Halimbawa 3.9. Lutasin ang equation na 2x 2 + 5x - 1 = 0.

Solusyon. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

Sagot: X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

Halimbawa 3.10. Lutasin ang equation x 3 - 5x 2 + 6x = 0

Solusyon. I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation x(x 2 - 5x + 6) = 0,

kaya x \u003d 0 o x 2 - 5x + 6 \u003d 0.

Ang paglutas ng quadratic equation, nakukuha namin ang X 1 \u003d 2, X 2 \u003d 3.

Sagot: 0; 2; 3.

Halimbawa 3.11.

x 3 - 3x + 2 = 0. Solusyon. Muli nating isulat ang equation, pagsulat -3x \u003d - x - 2x, x 3 - x - 2x + 2 \u003d 0, at ngayon ay pangkat namin ang x (x 2 - 1) - 2 (x - 1) \u003d 0, ( x - 1) (x( x + 1) - 2) = 0,x - 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x - 2 = 0, x 2 = - 2, x 3 = 1. Sagot: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = - 2. Halimbawa 3.12. Lutasin ang Equation7