Kung dumami numero sa kanyang sarili, ito ay i-out ang konstruksiyon sa parisukat. Kahit na ang isang unang baitang ay alam na "dalawang dalawa ay apat." Tatlong digit, apat na digit, atbp. mas mainam na i-multiply ang mga numero sa isang column o sa isang calculator, ngunit harapin ang mga double-digit na numero nang walang electronic assistant, na dumarami sa iyong isip.
Pagtuturo
1. Palawakin ang anumang may dalawang halaga numero sa mga bahagi, na itinatampok ang bilang ng mga yunit. Sa numerong 96, ang bilang ng mga isa ay 6. Samakatuwid, pinapayagang magsulat: 96 \u003d 90 + 6.
2. Itaas sa parisukat ang una sa mga numero: 90 * 90 = 8100.
3. Gawin ang parehong sa pangalawa. numero m: 6 * 6 = 36
4. I-multiply ang mga numero nang sama-sama at doblehin ang kabuuan: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.
5. Pagsamahin ang mga resulta ng ikalawa, ikatlo at ikaapat na hakbang: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Ito ang resulta ng pagtaas sa parisukat numero 96. Pagkatapos ng ilang pagsasanay, mabilis kang makakagawa ng mga hakbang sa iyong isipan, na tinatamaan ang iyong mga magulang at kaklase. Hanggang sa masanay ka, isulat ang mga resulta ng buong hakbang upang hindi malito.
6. Para sa pagsasanay, itaas sa parisukat numero 74 at tingnan ang iyong sarili sa calculator. Pagkakasunud-sunod ng mga aksyon: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.
7. Itaas sa pangalawang kapangyarihan numero 81. Ang iyong mga aksyon: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.
8. Tandaan hindi pamantayang pamamaraan paninigas sa parisukat dalawang-digit na numero, na nagtatapos sa bilang 5. Piliin ang bilang ng sampu: sa bilang na 75 mayroong 7 sa kanila.
9. I-multiply ang bilang ng sampu sa susunod na digit sa numero unang hilera: 7 * 8 = 56.
10. Katangian sa kanan numero 25:5625 - ang resulta ng pagtayo sa parisukat numero 75.
11. Itaas sa pangalawang kapangyarihan para sa pagsasanay numero 95. Nagtatapos ito sa bilang na 5, kaya ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon: 9 * 10 = 90, 9025 - kabuuan.
12. Matutong magtayo parisukat negatibong numero: -95 in parisukat ay katumbas ng 9025, tulad ng sa ikalabing-isang hakbang. Parang -74 in parisukat e ay 5476, tulad ng sa ikaanim na hakbang. Ito ay dahil sa ang katunayan na kapag nagpaparami ng 2 negatibong numero, ang tama ay palaging nakuha. numero: -95 * -95 = 9025. Dahil dito, kapag itinaas sa parisukat Madali mong balewalain ang minus sign.
Ang pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan ay isa sa pinakasimpleng mga operasyong algebraic. AT araw-araw na buhay Ang pagtayo ay bihirang ginagamit, ngunit sa paggawa, kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon, ito ay halos lahat ng dako, samakatuwid ito ay kapaki-pakinabang na alalahanin kung paano ito ginagawa.
Pagtuturo
1. Isipin na mayroon tayong ilang numero a, ang kapangyarihan nito ay ang numero n. Upang bumuo ng isang numero sa isang kapangyarihan ay nangangahulugan na kailangan mong i-multiply ang numero a sa pamamagitan ng kanyang sarili n beses.
2. Tingnan natin ang ilang mga halimbawa. Upang mabuo ang numero 2 sa pangalawang kapangyarihan, kailangan mong gawin ang aksyon: 2x2 \u003d 4
3. Upang mabuo ang numero 3 hanggang sa ikalimang kapangyarihan, kailangan mong gawin ang aksyon: 3x3x3x3x3 \u003d 243
4. Mayroong pangkalahatang tinatanggap na pagtatalaga ng ika-2 at pangatlong kapangyarihan ng mga numero. Ang pariralang "ikalawang antas" ay kadalasang pinapalitan ng salitang "parisukat", at sa halip na ang pariralang "ikatlong antas" ay tradisyonal nilang sinasabing "kubo".
5. Tulad ng makikita mula sa mga halimbawa sa itaas, ang tagal at pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon ay nakasalalay sa halaga ng exponent ng numero. Ang parisukat o kubo ay sapat na simpleng gawain; Ang pagtaas ng isang numero sa ikalima o isang malaking kapangyarihan ay nangangailangan na ng maraming oras at katumpakan sa mga kalkulasyon. Upang pabilisin itong proseso at mga pagbubukod sa mga pagkakamali ay pinapayagang gumamit ng espesyal mga talahanayan ng matematika o isang calculator ng engineering.
Para sa isang maikling talaan ng produkto ng parehong numero sa kanyang sarili, ang mga mathematician ay nakaisip ng isang representasyon ng degree. Dahil dito, ang expression na 16 * 16 * 16 * 16 * 16 ay maaaring isulat nang higit pa maikling pamamaraan. Magmumukha itong 16^5. Ang expression ay mababasa bilang ang numero 16 hanggang sa ikalimang kapangyarihan.
Kakailanganin mong
- Papel, panulat.
Pagtuturo
1. Sa pangkalahatan degree isinulat bilang a^n. Nangangahulugan ang entry na ito na ang numero a ay pinarami ng sarili nitong n beses. Tinatawag ang expression na a ^ n degree u,a ay isang numero, base ng degree,n ay isang numero, isang exponent. Sabihin ang a = 4, n = 5, pagkatapos ay isulat ang 4^5 = 4*4*4*4*4 = 1024
2. Ang kapangyarihan ng n ay maaaring isang negatibong numero n = -1, -2, -3, atbp. Upang kalkulahin ang negatibo degree mga numero, dapat itong ibaba sa denominator. ^(-3) = (1/2)^3 = 1/2*1/2*1/2 = 1/(2^3) = 1/8 = 0.125
3. Tulad ng makikita mo mula sa halimbawa, -3 degree mula sa numero 2 ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng iba't ibang mga pamamaraan. 1) Una, kalkulahin ang fraction 1/2 \u003d 0.5; at pagkatapos na magtayo sa degree 3, ibig sabihin. 0.5^3 = 0.5*0.5*0.5 = 0.1252) Buuin muna ang denominator sa degree 2^3 = 2*2*2 = 8, at pagkatapos ay kalkulahin ang fraction na 1/8 = 0.125.
4. Ngayon kalkulahin natin -1 degree para sa isang numero, i.e. n = -1. Ang mga tuntuning tinalakay sa itaas ay angkop para sa kasong ito. a^(-1) = (1/a)^1 = 1/(a^1) = 1/a degree 5^(-1) = (1/5)^1 = 1/(5^1) = 1/5 = 0,2.
5. Ang halimbawa ay malinaw na nagpapakita na ang isang numero sa -1 na kapangyarihan ay kapalit mula sa isang numero. Ipagpalagay natin ang numero 5 sa anyo ng isang fraction na 5/1, pagkatapos ay 5 ^ (-1) ay hindi mabibilang sa aritmetika, ngunit agad na isulat ang kapalit ng 5/1, ito ay 1/5. Kaya, 15 ^ (-1) \u003d 1 /15.6^(-1) = 1/6.25^(-1) = 1/25
Tandaan!
Kapag itinaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, tandaan na ang numero ay hindi maaaring katumbas ng zero. Ayon sa panuntunan, obligado tayong ibaba ang numero sa denominator. At ang zero ay hindi maaaring nasa denominator, dahil imposibleng hatiin sa zero.
Nakatutulong na payo
Paminsan-minsan kapag nagtatrabaho sa mga exponents upang mapadali ang pagkalkula praksyonal na numero sadyang pinalitan ng isang integer sa kapangyarihan ng -11/6 = 6^(-1)1/52 = 52^(-1).
Kapag nilulutas ang arithmetic at mga problema sa algebraic paminsan-minsan ay kinakailangan upang bumuo maliit na bahagi sa parisukat. Mas madali para sa lahat na gawin ito kapag maliit na bahagi decimal - isang medyo ordinaryong calculator. Gayunpaman, kung maliit na bahagi ordinaryo o halo-halong, pagkatapos ay kapag itinaas ang naturang numero sa parisukat maaaring lumitaw ang ilang mga paghihirap.
Kakailanganin mong
- calculator, computer, excel application.
Pagtuturo
1. Upang bumuo ng isang decimal maliit na bahagi sa parisukat, kunin calculator ng engineering, i-type ito na itinayo sa parisukat maliit na bahagi at pindutin ang exponentiation key. Sa karamihan ng mga calculator, ang button na ito ay may label na "x?". Sa isang karaniwang Windows calculator, ang pagtaas sa parisukat parang "x^2". Sabihin nating parisukat decimal fraction 3.14 ay magiging katumbas ng: 3.14? = 9.8596.
2. Upang bumuo sa parisukat desimal maliit na bahagi sa isang ordinaryong (accounting) calculator, i-multiply ang numerong ito sa sarili nitong. Sa pamamagitan ng paraan, sa ilang mga modelo ng mga calculator, ang posibilidad ng pagtaas ng isang numero sa parisukat kahit na walang espesyal na pindutan. Samakatuwid, basahin ang mga tagubilin para sa tiyak na calculator. Paminsan-minsan, ang mga halimbawa ng "tuso" na exponentiation ay ibinibigay sa likod na pabalat o sa kahon ng calculator. Sabihin, sa maraming calculator para sa pagtaas ng numero sa parisukat pindutin lamang ang "x" at "=" buttons.
3. Para sa pagtayo sa parisukat ordinaryong fraction(binubuo ng numerator at denominator), itaas sa parisukat hiwalay ang numerator at denominator ng fraction na ito. Ibig sabihin, gamitin ang sumusunod na panuntunan: (h / s)? = h? / s?, kung saan h ang numerator ng fraction, s ang denominator ng fraction. Halimbawa: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.
4. Kung itinayo sa parisukat maliit na bahagi- halo-halong (binubuo ng isang integer na bahagi at isang ordinaryong fraction), pagkatapos ay dalhin ito sa karaniwan nitong anyo nang maaga. Iyon ay, ilapat ang sumusunod na formula: (c h / s)? \u003d ((c * s + h) / s)? = (c*s+h)? / s?, saan ts - buong bahagi mixed fraction.Halimbawa: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.
5. Kung itinayo sa parisukat Ang mga ordinaryong (hindi decimal) na mga praksyon ay patuloy na dinadala, pagkatapos ay gamitin ang MS Excel. Upang gawin ito, ipasok ang sumusunod na formula sa isa sa mga cell ng talahanayan: \u003d DEGREE (A2; 2) kung saan ang A2 ay ang address ng cell kung saan ilalagay ang value na itinataas. parisukat maliit na bahagi.Upang ipaalam sa programa na ang input number ay dapat ituring bilang isang normal maliit na bahagi yu (i.e. huwag i-convert ito sa decimal), i-type bago maliit na bahagi th digit na "0" at ang sign na "space". Iyon ay, upang ipasok, sabihin, ang fraction 2/3, dapat mong ipasok ang: "0 2/3" (at pindutin ang Enter). Sa kasong ito, ipapakita ng input line ang decimal na representasyon ng ipinasok na fraction. Ang halaga at representasyon ng fraction sa isang cell ay iimbak sa paunang anyo. Bilang karagdagan, kapag nag-aaplay mga function ng matematika, ang mga argumento kung saan ay mga ordinaryong fraction, ang resulta ay ipapakita din bilang isang ordinaryong fraction. Dahil dito parisukat Ang fraction na 2/3 ay kakatawanin bilang 4/9.
Ang paraan ng pag-highlight ng parisukat ng isang binomial ay ginagamit upang mapadali ang napakalaking expression, gayundin upang malutas ang mga quadratic equation. Sa pagsasagawa, ito ay tradisyonal na pinagsama sa iba pang mga diskarte, kabilang ang factorization, pagpapangkat, atbp.
Pagtuturo
1. Ang paraan upang piliin ang buong parisukat ng isang binomial ay batay sa paggamit ng 2 formula para sa pinaikling multiplikasyon ng mga polynomial. Ang mga formula na ito ay mga espesyal na kaso ng Binomial Newton para sa 2nd degree at nagbibigay-daan sa iyong pasimplehin ang nais na expression upang posible na magsagawa ng karagdagang pagbabawas o factorization: (m + n)² = m² + 2 m n + n²; (m - n)² \u003d m² - 2 m n + n².
2. Ayon sa pamamaraang ito, kinakailangang kunin ang mga parisukat ng 2 monomial at ang kabuuan/pagkakaiba ng kanilang dobleng produkto mula sa paunang polynomial. Ang paggamit ng paraang ito ay makatuwiran kung ang pinakamataas na kapangyarihan ng mga termino ay hindi bababa sa 2. Isipin, binigyan ng gawain na i-factor ang sumusunod na expression na may bumababang antas: 4 y ^ 4 + z ^ 4
3. Upang malutas ang problema, kinakailangang gamitin ang paraan ng pagpili ng isang buong parisukat. Lumalabas na ang expression ay binubuo ng 2 monomials na may mga variable kahit degree. Dahil dito, pinapayagang tukuyin ang alinman sa mga ito ng m at n:m = 2 y²; n = z2.
4. Ngayon kailangan nating dalhin ang paunang expression sa form (m + n)². Ito ay mas malapit na naglalaman ng mga parisukat ng mga terminong ito, ngunit kulang ang dobleng produkto. Kailangan mong idagdag ito nang hindi natural, at pagkatapos ay ibawas ang: (2 y²)² + 2 2 y² z² + (z²)² - 2 2 y² z² = (2 y² + z²)² - 4 y² z².
5. Sa resultang expression, makikita mo ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat: (2 y² + z²)² - (2 y z)² = (2 y² + z² - 2 y z) (2 y² + z² + 2 ) y z).
6. Ito ay lumiliko na ang pamamaraan ay binubuo ng 2 yugto: ang pagpili ng mga monomial ng buong square m at n, ang pagdaragdag at pagbabawas ng kanilang dobleng produkto. Ang paraan ng pagkuha ng buong parisukat ng isang binomial ay maaaring gamitin hindi lamang sa sarili nitong, kundi pati na rin sa kumbinasyon ng iba pang mga pamamaraan: bracketing ang unibersal na kadahilanan, pagpapalit ng isang variable, pagpapangkat ng mga termino, atbp.
7. Halimbawa 2: I-highlight buong parisukat sa expression: 4 y² + 2 y z + z². Solusyon. 4 y² + 2 y z + z² = = (2 y)² + 2 2 y z + (z) ² - 2 y z = (2 y + z)² - 2 y z.
8. Ang pamamaraan ay ginagamit upang mahanap ang mga ugat quadratic equation. Ang kaliwang bahagi ng equation ay isang trinomial ng anyo a y? + b y + c, kung saan ang a, b at c ay ilang mga numero, at a ? 0.a y? + b y + c = a (y? + (b/a) y) + c = a (y? + 2 (b/(2 a)) y) + c = a ( y? + 2 (b/(2) a)) y + b?/(4 a?)) + c – b?/(4 a) = a (y + b/(2 a )) ? – (b? – 4 a c)/(4 a).
9. Ang mga kalkulasyong ito ay humahantong sa representasyon ng discriminant, ang isa na katumbas ng (b? - 4 a c)/(4 a), at ang mga ugat ng equation ay: y_1,2 = ±(b/(2 a)) ± ? ((b? - 4 a c)/(4 a)).
Ang operasyon ng pagtayo degree ay "binary", ibig sabihin, mayroon itong dalawang kailangang-kailangan na parameter ng input at isang output. Ang isa sa mga paunang parameter ay tinatawag na exponent at tinutukoy ang dami ng beses na dapat ilapat ang pagpaparami ng operasyon sa pangalawang parameter - ang base. Ang dahilan ay maaaring tama o negatibo. numero .
Pagtuturo
1. Kapag nagtataas ng negatibong numero sa isang kapangyarihan, gamitin ang karaniwang mga panuntunan para sa operasyong ito. Tulad ng sa mga positibong numero, ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay nangangahulugan ng pagpaparami ng paunang halaga sa sarili nitong ilang beses, mas mababa ng isa kaysa sa exponent. Sabihin, upang mabuo ang numero -2 sa ikaapat na kapangyarihan, dapat itong i-multiply sa sarili nitong tatlong beses: -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.
2. Ang pagpaparami ng 2 negatibong numero ay palaging nagbibigay positibong halaga, at ang resulta ng operasyong ito para sa mga dami na may iba't ibang palatandaan magiging negatibong numero. Mula dito posible na tapusin na sa panahon ng pagtatayo mga negatibong halaga sa isang kapangyarihan na may pantay na exponent, isang positibong numero ang dapat palaging makuha, at sa mga kakaibang exponent, ang resulta ay palaging magiging mas mababa sa zero. Gamitin ang kalidad na ito upang suriin ang iyong mga kalkulasyon. Sabihin nating -2 sa ikalimang kapangyarihan ay dapat na negatibong numero -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32, at -2 sa ikaanim na kapangyarihan dapat positive -2 ?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.
3. Kapag ang pagtaas ng negatibong numero sa isang kapangyarihan, ang exponent ay maaaring ibigay sa anyo ng isang regular na fraction - sabihin, -64 sa kapangyarihan?. Ang nasabing tagapagpahiwatig ay nangangahulugan na ang paunang halaga ay dapat itayo sa isang kapangyarihan na katumbas ng numerator ng fraction, at ang ugat ng antas ay dapat makuha mula dito, katumbas ng denominator. Ang isang bahagi ng operasyong ito ay sakop sa mga nakaraang hakbang, ngunit dito dapat mong bigyang-pansin ang isa pa.
4. Pagbunot ng ugat kakaibang function, ibig sabihin, para sa negatibo tunay na mga numero magagamit lang ito kapag kakaiba ang exponent. Kung gayunpaman, ang pagpapaandar na ito ay hindi nauugnay. Dahil dito, kung sa mga kondisyon ng problema ay kinakailangan na bumuo ng isang negatibong numero sa fractional degree na may pantay na denominator, kung gayon ang problema ay walang solusyon. Sa ibang mga kaso, gawin muna ang mga operasyon mula sa unang 2 hakbang, gamit ang numerator ng fraction bilang exponent, at pagkatapos ay i-extract ang ugat na may antas ng denominator.
Ang power notation para sa isang numero ay isang pinaikling anyo ng pagpapatakbo ng pagpaparami ng base sa sarili nitong. Sa pamamagitan ng isang numero na ipinakita sa form na ito, pinapayagang isagawa ang parehong mga operasyon tulad ng sa anumang iba pang mga numero, kabilang ang pagtaas ng mga ito sa degree. Sabihin nating pinapayagan itong bumuo sa isang arbitrary degree parisukat mga numero at ang pagkuha ng kabuuang sa modernong yugto ng pagbuo ng teknolohiya ay hindi magiging anumang kahirapan.
Kakailanganin mong
- Internet access o Windows calculator.
Pagtuturo
1. Para sa paninigas parisukat at sa degree gamitin ang pangkalahatang tuntunin ng pagpapalaki sa degree bilang na mas malapit kaysa sa pagkakaroon exponent ng kapangyarihan. Sa ganitong operasyon, ang mga tagapagpahiwatig ay pinarami, at ang base ay nananatiling una. Kung ang base ay ipinapahiwatig bilang x, at ang inisyal at karagdagang mga exponents bilang a at b, ang panuntunang ito ay maaaring isulat sa isang pangkalahatang anyo tulad ng sumusunod: (x?)?=x??.
2. Para sa utilitarian na mga kalkulasyon, mas madali para sa lahat na gamitin ang search engine Google system- Mayroon itong napakadaling gamitin na calculator na nakapaloob dito. Sabihin natin kung gusto mong magtayo sa ikalima degree parisukat numero 6, pumunta sa pangunahing pahina ng search engine at ilagay ang naaangkop na query. Pinahihintulutan itong bumalangkas ng ganito: (6 ^ 2) ^ 5 - dito ang ibig sabihin ng ^ simbolo degree. At pinapayagan na independiyenteng kalkulahin ang nagresultang exponent alinsunod sa formula mula sa nakaraang hakbang at bumalangkas ng query tulad ng sumusunod: 6 ^ 10. O pagkatiwalaan ang Google na gawin ito sa pamamagitan ng paglalagay ng sumusunod na kahilingan: 6^(2*5). Para sa alinman sa mga opsyong ito, ang calculator ng search engine ay magbabalik ng magkaparehong resulta: 60,466,176.
3. Sa kawalan ng pag-access sa Internet, ang Google calculator ay maaaring palitan, sabihin, gamit ang built-in na Windows calculator. Kung gagamitin mo ang Seven o Vista na bersyon ng OS na ito, buksan ang pangunahing menu ng system at mag-type ng dalawang letra para sa bawat isa: “ka”. Ipapakita ng system sa pangunahing menu ang lahat ng mga programa at mga file na iniuugnay nito sa kumbinasyong ito. Sa unang linya magkakaroon ng isang link na "Calculator" - i-click ito gamit ang mouse, at ang application ay ilulunsad.
4. Pindutin ang kumbinasyon ng key na Alt + 2, upang lumitaw ang isang pindutan sa interface ng application na may function ng pagtaas sa arbitrary degree. Pagkatapos nito, ipasok ang base - sa halimbawa mula sa pangalawang hakbang ito ay ang numero 6 - at i-click muna ang x? na buton, at pagkatapos ay sa x? na buton. Ilagay ang exponent kung saan mo gustong buuin parisukat- sa halimbawang ginamit, ang numerong ito ay 5. Pindutin ang Enter button, at ipapakita ng calculator ang huling resulta ng operasyon.
Mga kaugnay na video
Nakatutulong na payo
Upang ang pagsasanay ay hindi nakakapagod, tumawag sa isang kaibigan para sa tulong. Hayaan siyang magsulat ng dalawang-digit na numero, at ikaw - ang output ng pag-squaring ng numerong ito. Pagkatapos nito, magpalit ng lugar.
* mga parisukat hanggang daan-daan
Upang hindi walang isip na parisukat ang lahat ng mga numero ayon sa formula, kailangan mong gawing simple ang iyong gawain hangga't maaari sa mga sumusunod na patakaran.
Panuntunan 1 (puputol ng 10 numero)
Para sa mga numerong nagtatapos sa 0.Kung ang isang numero ay nagtatapos sa 0, ang pagpaparami nito ay hindi mas mahirap kaysa isang digit. Ang kailangan mo lang gawin ay magdagdag ng ilang mga zero.
70 * 70 = 4900.
Ang talahanayan ay minarkahan ng pula.
Panuntunan 2 (puputol ng 10 numero)
Para sa mga numerong nagtatapos sa 5.Upang parisukat ang dalawang-digit na numero na nagtatapos sa 5, i-multiply ang unang digit (x) sa (x+1) at idagdag ang “25” sa resulta.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
Ang talahanayan ay minarkahan ng berde.
Panuntunan 3 (puputol ng 8 numero)
Para sa mga numero mula 40 hanggang 50.XX * XX = 1500 + 100 * pangalawang digit + (10 - pangalawang digit)^2
Sapat na mahirap, tama ba? Kumuha tayo ng isang halimbawa:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
Ang talahanayan ay minarkahan ng light orange.
Panuntunan 4 (puputol ng 8 numero)
Para sa mga numero mula 50 hanggang 60.XX * XX = 2500 + 100 * pangalawang digit + (pangalawang digit)^2
Medyo mahirap din intindihin. Kumuha tayo ng isang halimbawa:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
Ang talahanayan ay minarkahan ng dark orange.
Panuntunan 5 (pumutol ng 8 numero)
Para sa mga numero mula 90 hanggang 100.XX * XX = 8000+ 200 * pangalawang digit + (10 - pangalawang digit)^2
Katulad ng panuntunan 3, ngunit may iba't ibang coefficient. Kumuha tayo ng isang halimbawa:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
Ang mesa ay minarkahan ng dark dark orange.
Panuntunan #6 (puputol ng 32 numero)
Ito ay kinakailangan upang kabisaduhin ang mga parisukat ng mga numero hanggang sa 40. Ito ay parang baliw at mahirap, ngunit sa katunayan, hanggang sa 20, karamihan sa mga tao ay nakakaalam ng mga parisukat. Ang 25, 30, 35 at 40 ay nagpapahiram sa kanilang mga sarili sa mga formula. At 16 na pares na lamang ng mga numero ang natitira. Maaari na silang matandaan gamit ang mnemonics (na gusto ko ring pag-usapan mamaya) o sa anumang iba pang paraan. Parang multiplication table :)Ang talahanayan ay minarkahan ng asul.
Maaari mong tandaan ang lahat ng mga patakaran, o maaari mong matandaan nang pili, sa anumang kaso, lahat ng mga numero mula 1 hanggang 100 ay sumusunod sa dalawang formula. Makakatulong ang mga patakaran, nang hindi ginagamit ang mga formula na ito, upang mabilis na makalkula ang higit sa 70% ng mga opsyon. Narito ang dalawang formula:
Mga Formula (24 na numero ang natitira)
Para sa mga numero mula 25 hanggang 50XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Halimbawa:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369
Para sa mga numero mula 50 hanggang 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
Halimbawa:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489
Siyempre, huwag kalimutan ang tungkol sa karaniwang formula para sa pagpapalawak ng parisukat ng kabuuan ( espesyal na kaso binomial Newton):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.
I-UPDATE
Ang mga produkto ng mga numero na malapit sa 100, at, lalo na, ang kanilang mga parisukat, ay maaari ding kalkulahin ayon sa prinsipyo ng "mga pagkukulang hanggang 100":
Sa mga salita: mula sa unang numero ay ibawas natin ang "kapintasan" ng pangalawa hanggang sa isang daan at ipatungkol ang dalawang-digit na produkto ng "mga kapintasan".
Para sa mga parisukat, ayon sa pagkakabanggit, mas madali.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(sa pamamagitan ng sielover)
Ang pag-squaring ay maaaring hindi ang pinakakapaki-pakinabang na bagay sa sambahayan. Hindi mo agad maaalala ang kaso kapag maaaring kailanganin mo ang parisukat ng isang numero. Ngunit ang kakayahang mabilis na gumana sa mga numero, ilapat ang naaangkop na mga patakaran para sa bawat isa sa mga numero, perpektong bubuo ng memorya at "mga kakayahan sa pag-compute" ng iyong utak.
Oo nga pala, sa palagay ko alam ng lahat ng mambabasa ng Habra na 64^2 = 4096, at 32^2 = 1024.
Maraming mga parisukat ng mga numero ang naaalala sa antas ng pag-uugnay. Halimbawa, madali kong naisaulo ang 88^2 = 7744, dahil sa parehong mga numero. Ang bawat isa ay tiyak na magkakaroon ng kani-kaniyang katangian.
Dalawang natatanging pormula ang una kong nakita sa aklat na "13 hakbang sa mentalismo", na walang gaanong kinalaman sa matematika. Ang katotohanan ay ang naunang (marahil kahit ngayon) natatanging kakayahan sa pag-compute ay isa sa mga numero sa magic ng entablado: isang salamangkero ang nagsabi sa isang bisikleta tungkol sa kung paano siya nakakuha ng mga superpower at, bilang patunay nito, agad na i-kuwadrado ang mga numero hanggang sa isang daan. Ipinapakita rin ng libro kung paano mag-cube, kung paano ibawas ang mga ugat at mga ugat ng cube.
Kung ang paksa ng mabilisang pagbilang ay kawili-wili, magsusulat pa ako.
Mangyaring sumulat ng mga komento tungkol sa mga error at pagwawasto sa PM, salamat nang maaga.
Ngayon ay matututunan natin kung paano mabilis na i-square ang malalaking expression nang walang calculator. Ang ibig kong sabihin ay mga numero sa pagitan ng sampu at isang daan. Ang mga malalaking expression ay napakabihirang sa mga tunay na problema, at alam mo na kung paano magbilang ng mga halaga na pinagpapala kaysa sa sampu, dahil ito ay isang regular na talahanayan ng pagpaparami. Ang materyal ng aralin ngayon ay magiging kapaki-pakinabang para sa medyo may karanasan na mga mag-aaral, dahil ang mga baguhan na mag-aaral ay hindi lamang pahalagahan ang bilis at pagiging epektibo ng pamamaraang ito.
Una sa lahat, tingnan natin kung ano sa tanong. Halimbawa, ipinapanukala kong gawin ang pagtatayo ng isang arbitrary numeric na expression gaya ng karaniwan naming ginagawa. Sabihin nating 34. Itinataas natin ito sa pamamagitan ng pagpaparami sa sarili nito gamit ang isang hanay:
\[((34)^(2))=\beses \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
Ang 1156 ay ang parisukat na 34.
problema ang pamamaraang ito maaaring ilarawan sa dalawang paraan:
1) nangangailangan ito ng nakasulat na pagpaparehistro;
2) napakadaling magkamali sa proseso ng pagkalkula.
Ngayon ay matututunan natin kung paano mabilis na dumami nang walang calculator, sa salita at praktikal na walang mga error.
Kaya simulan na natin. Upang gumana, kailangan namin ang formula para sa parisukat ng kabuuan at pagkakaiba. Isulat natin ang mga ito:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Ano ang ibinibigay nito sa atin? Ang punto ay ang anumang halaga sa pagitan ng 10 at 100 ay maaaring katawanin bilang $a$, na nahahati sa 10, at $b$, na natitira sa dibisyon ng 10.
Halimbawa, ang 28 ay maaaring katawanin tulad ng sumusunod:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]
Katulad nito, ipinakita namin ang natitirang mga halimbawa:
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]
Ano ang nagbibigay sa atin ng gayong ideya? Ang katotohanan ay sa kabuuan o pagkakaiba, maaari nating ilapat ang mga kalkulasyon sa itaas. Siyempre, upang paikliin ang mga kalkulasyon, para sa bawat isa sa mga elemento ay dapat pumili ng isang expression na may ang pinakamaliit na segundo termino. Halimbawa, mula sa $20+8$ at $30-2$ na opsyon, dapat mong piliin ang $30-2$ na opsyon.
Katulad nito, pipili kami ng mga opsyon para sa iba pang mga halimbawa:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]
Bakit dapat magsikap na bawasan ang ikalawang termino sa mabilis na pagpaparami? Ang lahat ay tungkol sa mga unang kalkulasyon ng parisukat ng kabuuan at pagkakaiba. Ang katotohanan ay ang plus o minus na termino na $2ab$ ang pinakamahirap kalkulahin kapag nilulutas ang mga tunay na problema. At kung ang salik na $a$, isang multiple ng 10, ay palaging madaling ma-multiply, kung gayon sa salik na $b$, na isang numero sa hanay mula sa isa hanggang sampu, maraming estudyante ang regular na nahihirapan.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Kaya sa loob ng tatlong minuto ginawa namin ang pagpaparami ng walong mga halimbawa. Ito ay mas mababa sa 25 segundo bawat expression. Sa katotohanan, pagkatapos ng kaunting pagsasanay, mas mabilis kang magbibilang. Aabutin ka ng hindi hihigit sa lima o anim na segundo upang kalkulahin ang anumang dalawang-digit na expression.
Ngunit hindi lang iyon. Para sa mga kung saan ang ipinakita na pamamaraan ay tila hindi sapat na mabilis at hindi sapat na cool, iminumungkahi ko ang higit pa mabilis na paraan multiplikasyon, na, gayunpaman, ay hindi gumagana para sa lahat ng mga gawain, ngunit para lamang sa mga naiiba ng isa mula sa multiple ng 10. Sa ating aralin, mayroong apat na ganoong halaga: 51, 21, 81 at 39.
Mukhang mas mabilis ito, literal na binibilang namin ang mga ito sa ilang linya. Ngunit, sa katunayan, posible na mapabilis, at ito ay ginagawa bilang mga sumusunod. Isinulat namin ang halaga, isang maramihang ng sampu, na pinakamalapit sa nais. Halimbawa, kunin natin ang 51. Samakatuwid, sa simula, magtataas tayo ng limampu:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Ang mga value na multiple ng sampu ay mas madaling i-square. At ngayon ay nagdaragdag lang kami ng limampu at 51 sa orihinal na expression. Magiging pareho ang sagot:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
At gayon din sa lahat ng mga numero na naiiba ng isa.
Kung ang halaga na hinahanap namin ay mas malaki kaysa sa iniisip namin, pagkatapos ay nagdaragdag kami ng mga numero sa resultang parisukat. Kung ang nais na numero ay mas mababa, tulad ng sa kaso ng 39, pagkatapos ay kapag nagsasagawa ng aksyon, ang halaga ay dapat ibawas mula sa parisukat. Magsanay tayo nang hindi gumagamit ng calculator:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Tulad ng nakikita mo, sa lahat ng kaso ang mga sagot ay pareho. At saka, diskarteng ito naaangkop sa anumang katabing halaga. Halimbawa:
\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]
Kasabay nito, hindi natin kailangang tandaan ang mga kalkulasyon ng mga parisukat ng kabuuan at pagkakaiba at gumamit ng calculator. Ang bilis ng trabaho ay higit sa papuri. Samakatuwid, tandaan, pagsasanay at gamitin sa pagsasanay.
Pangunahing puntos
Sa pamamaraang ito, madali mong magagawa ang pagpaparami ng anuman natural na mga numero mula 10 hanggang 100. Bukod dito, ang lahat ng mga kalkulasyon ay isinasagawa nang pasalita, nang walang calculator at kahit na walang papel!
Una, tandaan ang mga parisukat ng mga halaga na mga multiple ng 10:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ at ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(align)\]
Paano mas mabilis magbilang
Ngunit hindi lang iyon! Gamit ang mga expression na ito, maaari mong agad na gawin ang pag-squaring ng mga numero na "katabi" sa mga reference. Halimbawa, alam natin ang 152 (ang halaga ng sanggunian), ngunit kailangan nating hanapin ang 142 (isang katabing numero na mas mababa ng isa kaysa sa sanggunian). Sumulat tayo:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(align)\]
Mangyaring tandaan: walang mistisismo! Ang mga parisukat ng mga numero na nag-iiba sa pamamagitan ng 1 ay talagang nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga reference number sa kanilang mga sarili sa pamamagitan ng pagbabawas o pagdaragdag ng dalawang halaga:
\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(align)\]
Bakit ito nangyayari? Isulat natin ang formula para sa parisukat ng kabuuan (at pagkakaiba). Hayaan ang $n$ ang aming reference na halaga. Pagkatapos ay binibilang nila ang ganito:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]
- ito ang formula.
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]
- isang katulad na formula para sa mga numerong higit sa 1.
Umaasa ako na ang pamamaraan na ito ay makatipid sa iyo ng oras sa lahat ng mahahalagang pagsusulit at pagsusulit sa matematika. At iyon lang para sa akin. See you!
Pag-squaring tatlong-digit na mga numero- isang kahanga-hangang pagpapakita ng kasanayan sa mental magic. Tulad ng pag-square ng dalawang-digit na numero, ito ay bini-round up o ang mas maliit na bahagi para makakuha ng multiple ng 10, para kuwadrado ang tatlong-digit na numero, kailangan mo itong bilugan pataas o pababa para makakuha ng multiple ng 100. I-square natin ang numerong 193.
Sa pamamagitan ng pag-round 193 hanggang 200 (ang pangalawang salik ay naging 186), ang 3-by-3 na problema ay naging mas simpleng uri"3 by 1" dahil ang 200 x 186 ay 2 x 186 = 372 lang na may dalawang zero sa dulo. Halos tapos na! Ngayon ang kailangan mo lang gawin ay magdagdag ng 7 2 = 49 at makuha ang sagot - 37249.
Subukan nating i-square ang 706.
Kapag ni-round ang numerong 706 hanggang 700, kailangan mo ring palitan ng 6 hanggang 712 ang parehong numero.
Dahil 712 x 7 = 4984 (isang simpleng 3-on-1 na problema), 712 x 700 = 498,400. Ang pagdaragdag ng 62 = 36 ay nagbibigay ng 498,436.
Mga pinakabagong halimbawa ay hindi nakakatakot, dahil hindi nila kasama ang karagdagan bilang tulad. Bilang karagdagan, alam mo kung ano ang katumbas ng 6 2 at 7 2. Ang pag-square ng isang numero na higit sa 10 unit ang layo mula sa isang multiple ng 100 ay mas mahirap. Subukan ang iyong kamay gamit ang 314 2 .
Sa halimbawang ito, ang bilang na 314 ay binabawasan ng 14 hanggang iikot sa 300 at nadagdagan ng 14 hanggang 328. I-multiply ang 328 x 3 = 984 at magdagdag ng dalawang zero sa dulo upang makakuha ng 98,400. Pagkatapos ay idagdag ang parisukat ng 14. Kung agad kang darating sa isip (salamat memory o mabilis na kalkulasyon) na 14 2 = 196, kung gayon ikaw ay nasa mabuting kalagayan. Pagkatapos ay idagdag lamang ang 98,400 + 196 upang makuha ang huling sagot na 98,596.
Kung kailangan mo ng oras para magbilang ng 142, ulitin ang "98400" ng ilang beses bago magpatuloy. Kung hindi, maaari mong kalkulahin ang 14 2 \u003d 196 at kalimutan kung aling numero ang kailangan mong idagdag ang produkto.
Kung mayroon kang audience na gusto mong mapabilib, maaari mong sabihin ang "279,000" nang malakas bago mo mahanap ang 292. Ngunit hindi iyon gagana para sa bawat problemang malulutas mo.
Halimbawa, subukang i-square ang 636.
Ngayon gumagana na talaga ang utak mo, di ba?
Tandaang ulitin ang "403200" sa iyong sarili nang ilang beses habang i-square mo ang 36 sa karaniwang paraan upang makakuha ng 1296. Ang pinakamahirap na bahagi ay ang pagdaragdag ng 1296 + 403200. Gawin itong isang digit nang paisa-isa, mula kaliwa hanggang kanan, at makukuha mo ang sagot 404496 Ibinibigay ko sa iyo ang aking salita na kapag naging mas pamilyar ka sa pag-squaring ng dalawang-digit na numero, magiging mas madali ang tatlong-digit na mga problema.
Narito pa kumplikadong halimbawa: 863 2 .
Ang unang problema ay ang magpasya kung aling mga numero ang i-multiply. Walang alinlangan, ang isa sa kanila ay magiging 900, at ang isa ay higit sa 800. Ngunit alin? Ito ay maaaring kalkulahin sa dalawang paraan.
1. Ang mahirap na paraan: ang pagkakaiba sa pagitan ng 863 at 900 ay 37 (complement para sa 63), ibawas ang 37 sa 863 at makakuha ng 826.
2. Madaling paraan: doblehin ang numerong 63, makakakuha tayo ng 126, ngayon ay idinaragdag natin ang huling dalawang digit ng numerong ito sa numerong 800, na sa kalaunan ay magbibigay ng 826.
Narito kung paano ito gumagana madaling paraan. Dahil ang parehong mga numero ay may parehong pagkakaiba sa numerong 863, ang kanilang kabuuan ay dapat na katumbas ng dalawang beses sa bilang na 863, iyon ay, 1726. Ang isa sa mga numero ay 900, kaya ang isa ay magiging katumbas ng 826.
Pagkatapos ay isinasagawa namin ang mga sumusunod na kalkulasyon.
Kung nahihirapan kang alalahanin ang 743,400 pagkatapos i-square ang 37, huwag mawalan ng pag-asa. Sa mga susunod na kabanata, matututunan mo ang sistema ng mnemonics at matutunan kung paano kabisaduhin ang mga naturang numero.
Subukan ang iyong kamay sa pinakamahirap na gawain sa ngayon - pag-squaring ng numero 359.
Upang makakuha ng 318, ibawas ang 41 (59's complement) mula sa 359, o i-multiply ang 2 x 59 = 118 at gamitin ang huling dalawang digit. Susunod, i-multiply ang 400 x 318 = 127,200. Ang pagdaragdag ng 412 = 1681 sa numerong ito ay magbibigay ng kabuuang 128,881. Iyon lang! Kung ginawa mo ang lahat ng tama sa unang pagkakataon, magaling!
Tapusin na natin itong malaking section, pero madaling gawain: kalkulahin ang 987 2 .
ISANG PAGSASANAY: SQUARE THREE-DIGITAL NUMBERS
1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2
5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2
9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2
Ano ang nasa likod ng pinto numero 1?
Ang mathematical banality ng 1991, na naguguluhan sa lahat, ay isang artikulo ni Marilyn Savant - ang babaeng may pinakamataas na IQ sa mundo (na nakarehistro sa Guinness Book of Records) - sa Parade magazine. Ang kabalintunaan na ito ay nakilala bilang "problema sa Monty Hall" at ang mga sumusunod.
Isa kang kalahok sa palabas ni Monty Hall na Let's Make a Deal. Binibigyan ka ng host ng pagkakataong pumili ng isa sa tatlong pinto, sa likod ng isa ay isang malaking premyo, sa likod ng dalawa pang - kambing. Sabihin nating pipiliin mo ang door number 2. Ngunit bago ipakita kung ano ang nasa likod ng pintong iyon, binuksan ni Monty ang pinto number 3. May isang kambing. Ngayon, sa kanyang panunukso, tinanong ka ni Monty: gusto mo bang buksan ang pinto number 2 o maglakas-loob na makita kung ano ang nasa likod ng pinto number 1? Ano ang dapat mong gawin? Sa pag-aakalang sasabihin sa iyo ni Monty kung saan wala ang grand prize, palagi niyang bubuksan ang isa sa mga "consolation" na pintuan. Nag-iiwan ito sa iyo ng isang pagpipilian: isang pinto na may malaking premyo, at ang pangalawa ay may isang consolation. Ngayon ang iyong mga pagkakataon ay 50/50, tama?
Pero hindi! Ang pagkakataon na nakuha mo ito nang tama sa unang pagkakataon ay 1 sa 3 pa rin. Ang pagkakataon na ang malaking premyo ay nasa likod ng isa pang pinto ay tataas sa 2/3 dahil ang mga probabilidad ay dapat magdagdag ng hanggang 1.
Kaya, sa pamamagitan ng pagbabago ng iyong pinili, dodoblehin mo ang iyong mga pagkakataong manalo! (Ang problema ay ipinapalagay na palaging bibigyan ni Monty ng pagkakataon ang manlalaro na gawin bagong pagpipilian, na nagpapakita ng isang "hindi nanalong" pinto, at kapag ang iyong unang pagpipilian ay tama, magbubukas ng isang "hindi nanalong" pinto nang random.) Isipin ang larong may sampung pinto. Hayaang buksan ng facilitator ang walong "hindi nanalong" pinto pagkatapos ng iyong unang pinili. Dito, malamang na kailanganin ng iyong instincts na baguhin mo ang pinto. Karaniwang nagkakamali ang mga tao sa pag-iisip na kung hindi alam ni Monty Hall kung nasaan ang pinakamataas na premyo at bubuksan ang pinto #3, na magtatapos sa isang kambing (bagaman maaaring may premyo), ang pinto #1 ay may 50 porsiyentong pagkakataon ng pagiging tama. Sumasalungat ang gayong pangangatwiran bait Gayunpaman, nakatanggap si Marilyn Savant ng mga tambak na liham (marami mula sa mga siyentipiko, at maging sa mga mathematician) na nagsasabing hindi siya dapat sumulat tungkol sa matematika. Siyempre, ang lahat ng mga taong ito ay mali.
Isaalang-alang ngayon ang pag-squaring ng binomial at, paglalapat ng arithmetical point of view, magsasalita tayo ng parisukat ng kabuuan, i.e. (a + b)² at ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang numero, i.e. (a - b)² .
Dahil (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),
pagkatapos ay makikita natin ang: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², i.e.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Kapaki-pakinabang na tandaan ang resultang ito kapwa sa anyo ng pagkakapantay-pantay sa itaas at sa mga salita: ang parisukat ng kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng parisukat ang unang numero kasama ang produkto ng dalawang beses sa unang numero na beses sa pangalawang numero, kasama ang parisukat ng pangalawang numero.
Alam ang resultang ito, maaari tayong sumulat kaagad, halimbawa:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1
(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2
Tingnan natin ang pangalawa sa mga halimbawang ito. Kailangan nating i-square ang kabuuan ng dalawang numero: ang unang numero ay 3ab, ang pangalawa ay 1. Dapat itong lumabas: 1) ang parisukat ng unang numero, i.e. (3ab)², na katumbas ng 9a²b²; 2) ang produkto ng dalawa sa unang numero at sa pangalawa, i.e. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) ang parisukat ng ika-2 numero, i.e. 1² \u003d 1 - lahat ng tatlong terminong ito ay dapat idagdag nang magkasama.
Sa eksaktong parehong paraan, nakakakuha tayo ng formula para sa pag-squaring ng pagkakaiba ng dalawang numero, ibig sabihin, para sa (a - b)²:
(a - b)² = (a - b) (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².
(a - b)² = a² - 2ab + b²,
ibig sabihin, ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng parisukat ng unang numero, binawasan ang produkto ng dalawa sa unang numero at ang pangalawa, kasama ang parisukat ng pangalawang numero.
Alam ang resultang ito, maaari nating agad na maisagawa ang pag-squaring ng mga binomial na kumakatawan, mula sa punto ng view ng arithmetic, ang pagkakaiba ng dalawang numero.
(m - n)² = m² - 2mn + n²
(5ab 3 - 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 
(a n-1 - a) 2 \u003d a 2n-2 - 2a n + a 2, atbp.
Ipaliwanag natin ang ika-2 halimbawa. Narito mayroon kaming mga bracket ang pagkakaiba ng dalawang numero: ang unang numero 5ab 3 at ang pangalawang numero 3a 2 b. Ang resulta ay dapat na: 1) ang parisukat ng unang numero, ibig sabihin. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) ang produkto ng dalawa sa 1st at 2nd number, i.e. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 at 3) ang parisukat ng pangalawang numero, i.e. (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; ang una at ikatlong termino ay dapat kunin na may plus, at ang ika-2 na may minus, makakakuha tayo ng 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Upang linawin ang ika-4 na halimbawa, tandaan lamang natin na 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... kinakailangang i-multiply ang exponent sa 2 at 2) ang produkto ng dalawa sa unang numero at ng 2nd = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .
Kung titingnan natin ang punto ng view ng algebra, kung gayon ang parehong pagkakapantay-pantay: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² at 2) (a - b)² = a² - 2ab + b² ay nagpapahayag ng parehong bagay, lalo na: ang parisukat ng binomial ay katumbas ng parisukat ng unang termino, kasama ang produkto ng numero (+2) na beses sa unang termino at ang pangalawa, kasama ang parisukat ng pangalawang termino. Ito ay malinaw, dahil ang aming mga pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang:
1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a - b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (-b) + (-b)²
Sa ilang mga kaso, ito ay maginhawa upang bigyang-kahulugan ang mga nakuhang pagkakapantay-pantay sa ganitong paraan:
(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²
Dito ang binomial ay parisukat, ang unang termino kung saan = -4a at ang pangalawa = -3b. Pagkatapos ay makukuha natin ang (-4a)² = 16a², (+2) (-4a) (-3b) = +24ab, (-3b)² = 9b² at sa wakas:
(-4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²
Posible ring makuha at isaulo ang formula para sa pag-squaring ng trinomial, quadrinomial, at sa pangkalahatan ng anumang polynomial. Gayunpaman, hindi namin ito gagawin, dahil bihira kaming gumamit ng mga formula na ito, at kung kailangan naming i-square ang anumang polynomial (maliban sa isang binomial), pagkatapos ay bawasan namin ang bagay sa multiplikasyon. Halimbawa:
31. Ilapat ang nakuhang 3 pagkakapantay-pantay, katulad:
(a + b) (a - b) = a² - b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
sa aritmetika.
Hayaan itong maging 41 ∙ 39. Pagkatapos ay maaari nating katawanin ito sa anyo (40 + 1) (40 - 1) at bawasan ang bagay sa unang pagkakapantay-pantay - makakakuha tayo ng 40² - 1 o 1600 - 1 \u003d 1599. Salamat dito , madaling magsagawa ng mga multiplikasyon tulad ng 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 atbp.
Hayaan itong maging 41 ∙ 41; ito ay kapareho ng 41² o (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Gayundin 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Kung kailangan mo ng 37,∙ 37 pagkatapos ito ay katumbas ng (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369. Ang ganitong mga multiplikasyon (o pag-square ng dalawang-digit na numero) ay madaling gawin, na may ilang kasanayan, sa isip.
