Sa wakas, nakuha ko ang aking mga kamay sa isang malawak at pinakahihintay na paksa analytical geometry . Una, kaunti tungkol sa seksyong ito ng mas mataas na matematika…. Tiyak na naalala mo na ngayon ang kursong geometry ng paaralan na may maraming theorems, ang kanilang mga patunay, mga guhit, atbp. Ano ang itatago, isang hindi minamahal at madalas na nakakubli na paksa para sa isang makabuluhang proporsyon ng mga mag-aaral. Analytic geometry, kakaiba, ay maaaring mukhang mas kawili-wili at naa-access. Ano ang ibig sabihin ng pang-uri na "analytical"? Dalawang naselyohang mathematical na parirala ang agad na naiisip: "graphic na paraan ng solusyon" at " pamamaraang analitikal mga solusyon". Paraan ng graphic , siyempre, ay nauugnay sa pagbuo ng mga graph, mga guhit. Analitikal pareho paraan nagsasangkot ng paglutas ng problema nakararami sa pamamagitan ng mga operasyong algebraic. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang algorithm para sa paglutas ng halos lahat ng mga problema ng analytical geometry ay simple at transparent, ito ay madalas na medyo tumpak na mag-aplay mga kinakailangang formula- at ang sagot ay handa na! Hindi, siyempre, hindi ito gagawin nang walang mga guhit, bukod pa, para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa materyal, susubukan kong dalhin ang mga ito nang labis sa pangangailangan.

Ang bukas na kurso ng mga aralin sa geometry ay hindi inaangkin na teoretikal na pagkakumpleto, ito ay nakatuon sa paglutas ng mga praktikal na problema. Isasama ko sa aking mga lektura lamang kung ano, mula sa aking pananaw, ay mahalaga sa sa praktikal na termino. Kung kailangan mo pa buong tulong sa anumang subsection, lubos kong inirerekomenda ang sumusunod magagamit na literatura:

1) Isang bagay na, walang biro, ay pamilyar sa ilang henerasyon: Textbook ng paaralan sa geometry, ang mga may-akda - L.S. Atanasyan at Kumpanya. Ang hanger ng locker room ng paaralan ay nakatiis na ng 20 (!) na muling paglabas, na, siyempre, ay hindi ang limitasyon.

2) Geometry sa 2 volume. Ang mga may-akda L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ito ay panitikan para sa mataas na paaralan, kakailanganin mong unang volume. Ang mga bihirang nagaganap na gawain ay maaaring mawala sa aking larangan ng paningin, at pagtuturo magbibigay ng napakahalagang tulong.

Ang parehong mga libro ay libre upang i-download online. Gayundin, maaari mong gamitin ang aking archive sa mga handa na solusyon, na makikita sa pahina Mag-download ng mas mataas na mga halimbawa ng matematika.

Sa mga tool, muli kong inaalok ang sarili kong pag-unlad - software package sa analytical geometry, na lubos na magpapasimple sa buhay at makatipid ng maraming oras.

Ipinapalagay na ang mambabasa ay pamilyar sa pangunahing mga geometric na konsepto at mga figure: point, line, plane, triangle, parallelogram, parallelepiped, cube, atbp. Maipapayo na tandaan ang ilang theorems, hindi bababa sa Pythagorean theorem, hello repeaters)

At ngayon ay sunud-sunod nating isasaalang-alang: ang konsepto ng isang vector, mga aksyon na may mga vector, mga coordinate ng vector. Karagdagang inirerekumenda ko ang pagbabasa ang pinakamahalagang artikulo Tuldok na produkto ng mga vector, pati na rin ang Vector at halo-halong produkto ng mga vector. Ang lokal na gawain ay hindi magiging labis - Dibisyon ng segment sa bagay na ito. Batay sa impormasyon sa itaas, maaari mong equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano kasama ang pinakasimpleng mga halimbawa ng mga solusyon, na magpapahintulot matutunan kung paano lutasin ang mga problema sa geometry. Ang mga sumusunod na artikulo ay nakakatulong din: Equation ng isang eroplano sa kalawakan, Mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo, Mga pangunahing problema sa linya at eroplano , iba pang mga seksyon ng analytic geometry. Naturally, ang mga karaniwang gawain ay isasaalang-alang sa daan.

Ang konsepto ng isang vector. libreng vector

Una, ulitin natin ang kahulugan ng paaralan ng isang vector. Vector tinawag nakadirekta isang segment kung saan ang simula at pagtatapos nito ay ipinahiwatig:

AT kasong ito ang simula ng segment ay ang punto, ang dulo ng segment ay ang punto. Ang vector mismo ay tinutukoy ng . Direksyon ay mahalaga, kung muling ayusin ang arrow sa kabilang dulo ng segment, makakakuha ka ng vector, at ito ay ganap na naiibang vector. Ito ay maginhawa upang matukoy ang konsepto ng isang vector na may paggalaw pisikal na katawan: sumang-ayon, ang pagpasok sa mga pintuan ng institute o ang paglisan sa mga pintuan ng institute ay ganap na magkakaibang mga bagay.

Maginhawang isaalang-alang ang mga indibidwal na punto ng isang eroplano, espasyo bilang tinatawag zero vector. Ang nasabing vector ay may parehong dulo at simula.

!!! Tandaan: Dito at sa ibaba, maaari mong ipagpalagay na ang mga vector ay namamalagi sa parehong eroplano o maaari mong ipagpalagay na sila ay matatagpuan sa kalawakan - ang kakanyahan ng materyal na ipinakita ay wasto para sa parehong eroplano at espasyo.

Mga pagtatalaga: Marami agad ang nakatawag pansin sa isang patpat na walang palaso sa designasyon at sinabing naglagay din sila ng palaso sa itaas! Tama, maaari kang sumulat gamit ang isang arrow: , ngunit tinatanggap at record na gagamitin ko mamaya. Bakit? Tila, ang gayong ugali ay nabuo mula sa mga praktikal na pagsasaalang-alang, ang aking mga shooters sa paaralan at unibersidad ay naging masyadong magkakaibang at mabuhok. AT panitikang pang-edukasyon minsan hindi sila nag-abala sa cuneiform, ngunit i-highlight ang mga titik naka-bold: , na nagpapahiwatig na ito ay isang vector.

Iyon ang istilo, at ngayon tungkol sa mga paraan ng pagsulat ng mga vector:

1) Ang mga vector ay maaaring isulat sa dalawang malalaking titik na Latin:
atbp. Habang ang unang letra kinakailangan nagsasaad ng panimulang punto ng vector, at ang pangalawang titik ay tumutukoy sa dulong punto ng vector.

2) Ang mga vector ay isinusulat din sa maliliit na letrang Latin:
Sa partikular, ang aming vector ay maaaring muling tukuyin para sa kaiklian ng maliit Latin na titik.

Ang haba o modyul ang non-zero vector ay tinatawag na haba ng segment. Ang haba ng null vector ay zero. Logically.

Ang haba ng isang vector ay tinutukoy ng modulo sign: ,

Paano mahahanap ang haba ng isang vector, matututunan natin (o uulitin, para kanino paano) ilang sandali.

Iyon ay elementarya na impormasyon tungkol sa vector, pamilyar sa lahat ng mga mag-aaral. Sa analytic geometry, ang tinatawag na libreng vector.

Kung ito ay medyo simple - vector ay maaaring iguguhit mula sa anumang punto:

Nakasanayan na nating tawagan ang mga naturang vector na pantay (ang kahulugan ng pantay na mga vector ay ibibigay sa ibaba), ngunit puro mathematical point vision ay ang PAREHONG VECTOR o libreng vector. Bakit libre? Dahil sa kurso ng paglutas ng mga problema, maaari mong "ilakip" ang isa o isa pang vector sa ANUMANG punto ng eroplano o espasyo na kailangan mo. Ito ay isang napaka-cool na ari-arian! Isipin ang isang vector ng di-makatwirang haba at direksyon - maaari itong "i-clone" ng walang katapusang bilang ng beses at sa anumang punto sa kalawakan, sa katunayan, ito ay umiiral sa lahat ng dako. May ganyang kasabihan ng estudyante: Bawat lecturer sa f ** u sa vector. Pagkatapos ng lahat, hindi lamang isang nakakatawang tula, lahat ay tama sa matematika - ang isang vector ay maaaring ilakip din doon. Ngunit huwag magmadali upang magalak, ang mga mag-aaral mismo ay mas madalas na nagdurusa =)

Kaya, libreng vector- Ito isang grupo ng magkaparehong direksyong mga segment. kahulugan ng paaralan vector, na ibinigay sa simula ng talata: "Ang isang nakadirekta na segment ay tinatawag na vector ...", nagpapahiwatig tiyak isang nakadirekta na segment na kinuha mula sa isang ibinigay na hanay, na nakakabit sa isang tiyak na punto sa eroplano o espasyo.

Dapat pansinin na mula sa punto ng view ng pisika, ang konsepto ng isang libreng vector sa pangkalahatang kaso ay hindi tama, at ang punto ng aplikasyon ng vector ay mahalaga. Sa katunayan, ang isang direktang suntok ng parehong puwersa sa ilong o sa noo ay sapat na upang bumuo ng aking hangal na halimbawa. iba't ibang kahihinatnan. gayunpaman, hindi libre Ang mga vector ay matatagpuan din sa kurso ng vyshmat (huwag pumunta doon :)).

Mga pagkilos na may mga vector. Collinearity ng mga vectors

Sa kursong geometry ng paaralan, ang isang bilang ng mga aksyon at panuntunan na may mga vector ay isinasaalang-alang: karagdagan ayon sa tuntuning tatsulok, karagdagan ayon sa panuntunang paralelogram, panuntunan ng pagkakaiba ng mga vector, pagpaparami ng isang vector sa isang numero, ang produkto ng scalar ng mga vector, atbp. Bilang isang binhi, inuulit namin ang dalawang panuntunan na partikular na nauugnay sa paglutas ng mga problema ng analytical geometry.

Panuntunan ng pagdaragdag ng mga vector ayon sa tuntunin ng mga tatsulok

Isaalang-alang ang dalawang arbitrary na di-zero na vector at :

Kinakailangang hanapin ang kabuuan ng mga vector na ito. Dahil sa katotohanan na ang lahat ng mga vector ay itinuturing na libre, ipinagpaliban namin ang vector mula sa wakas vector :

Ang kabuuan ng mga vector ay ang vector. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa panuntunan, ipinapayong ilagay ang isang pisikal na kahulugan dito: hayaan ang ilang katawan na gumawa ng landas kasama ang vector , at pagkatapos ay kasama ang vector . Kung gayon ang kabuuan ng mga vector ay ang vector ng nagresultang landas na nagsisimula sa punto ng pag-alis at nagtatapos sa punto ng pagdating. Ang isang katulad na panuntunan ay binuo para sa kabuuan ng anumang bilang ng mga vector. Gaya ng sinasabi nila, ang katawan ay maaaring mag-zigzag nang malakas, o marahil sa autopilot - kasama ang resultang sum vector.

Sa pamamagitan ng paraan, kung ang vector ay ipinagpaliban mula sa simulan vector , pagkatapos ay makuha namin ang katumbas tuntunin ng paralelogram pagdaragdag ng mga vector.

Una, tungkol sa collinearity ng mga vectors. Ang dalawang vector ay tinatawag collinear kung sila ay nakahiga sa parehong linya o sa parallel na linya. Sa halos pagsasalita, pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga parallel vectors. Ngunit kaugnay ng mga ito, palaging ginagamit ang pang-uri na "collinear".

Isipin ang dalawang collinear vectors. Kung ang mga arrow ng mga vector na ito ay nakadirekta sa parehong direksyon, kung gayon ang mga naturang vector ay tinatawag co-directional. Kung ang mga arrow ay tumuturo sa magkaibang panig, kung gayon ang mga vector ay magiging salungat na direksyon.

Mga pagtatalaga: collinearity ng mga vectors ay nakasulat gamit ang karaniwang parallelism icon: , habang ang pagdedetalye ay posible: (mga vector ay co-directed) o (vectors ay nakadirekta sa tapat).

trabaho ng isang nonzero vector sa pamamagitan ng isang numero ay isang vector na ang haba ay katumbas ng , at ang mga vectors at ay co-directed sa at oppositely directed sa .

Ang panuntunan para sa pagpaparami ng vector sa isang numero ay mas madaling maunawaan gamit ang isang larawan:

Naiintindihan namin nang mas detalyado:

1 Direksyon. Kung ang multiplier ay negatibo, kung gayon ang vector nagbabago ng direksyon sa kabaligtaran.

2) Haba. Kung ang factor ay nasa loob ng o , ang haba ng vector bumababa. Kaya, ang haba ng vector ay dalawang beses na mas mababa kaysa sa haba ng vector. Kung ang modulo multiplier ay mas malaki sa isa, ang haba ng vector nadadagdagan sa oras.

3) Mangyaring tandaan na lahat ng mga vector ay collinear, habang ang isang vector ay ipinahayag sa pamamagitan ng isa pa, halimbawa, . Totoo rin ang kabaligtaran: kung ang isang vector ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng isa pa, kung gayon ang mga vectors ay kinakailangang collinear. kaya: kung i-multiply natin ang isang vector sa isang numero, makakakuha tayo ng collinear(kamag-anak sa orihinal) vector.

4) Ang mga vector ay codirectional. Ang mga vector at codirectional din. Anumang vector ng unang pangkat ay kabaligtaran ng anumang vector ng pangalawang pangkat.

Anong mga vector ang pantay?

Ang dalawang vector ay magkapareho kung sila ay codirectional at may parehong haba. Tandaan na ang co-direction ay nagpapahiwatig na ang mga vector ay collinear. Ang kahulugan ay magiging hindi tumpak (kalabisan) kung sasabihin mo: "Ang dalawang vector ay pantay-pantay kung sila ay collinear, co-directed at may parehong haba."

Mula sa punto ng view ng konsepto ng isang libreng vector, ang mga pantay na vector ay ang parehong vector, na tinalakay na sa nakaraang talata.

Vector coordinate sa eroplano at sa kalawakan

Ang unang punto ay isaalang-alang ang mga vector sa isang eroplano. Ilarawan natin ang Cartesian hugis-parihaba na sistema mga coordinate at mula sa pinanggalingan ay itinabi namin walang asawa mga vector at:

Mga vector at orthogonal. Orthogonal = Perpendicular. Inirerekomenda kong dahan-dahang masanay sa mga termino: sa halip na parallelism at perpendicularity, ginagamit namin ang mga salita ayon sa pagkakabanggit collinearity at orthogonality.

pagtatalaga: Ang orthogonality ng mga vector ay nakasulat gamit ang karaniwang perpendicular sign, halimbawa: .

Ang mga itinuturing na vector ay tinatawag coordinate vectors o orts. Ang mga vectors na ito ay bumubuo batayan sa ibabaw. Ano ang batayan, sa tingin ko, ay intuitively malinaw sa marami, higit pa Detalyadong impormasyon ay makikita sa artikulo Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayang vector.Sa simpleng salita, ang batayan at pinagmulan ng mga coordinate ay nagtatakda ng buong sistema - ito ay isang uri ng pundasyon kung saan kumukulo ang isang buo at mayamang geometriko na buhay.

Minsan tinatawag ang itinayong batayan orthonormal batayan ng eroplano: "ortho" - dahil coordinate vectors orthogonal, ang pang-uri na "normalized" ay nangangahulugang iisa, i.e. ang haba ng mga batayang vector ay katumbas ng isa.

pagtatalaga: karaniwang nakasulat ang batayan panaklong, sa loob kung saan sa mahigpit na pagkakasunud-sunod nakalista ang mga base vector, halimbawa: . Mga vector ng coordinate ito ay bawal magpalit ng lugar.

Anuman vector ng eroplano ang tanging paraan ipinahayag bilang:
, saan- numero, na tinatawag na mga coordinate ng vector sa batayan na ito. Ngunit ang ekspresyon mismo tinawag pagkabulok ng vectorbatayan .

Hinahain ang hapunan:

Magsimula tayo sa unang titik ng alpabeto: . Ang pagguhit ay malinaw na nagpapakita na kapag nabubulok ang vector sa mga tuntunin ng batayan, ang mga isinasaalang-alang lamang ay ginagamit:
1) ang panuntunan ng pagpaparami ng isang vector sa isang numero: at ;
2) pagdaragdag ng mga vector ayon sa panuntunang tatsulok: .

Ngayon sa isip na itabi ang vector mula sa anumang iba pang punto sa eroplano. Halatang halata na ang kanyang katiwalian ay "walang humpay na susunod sa kanya." Narito ito, ang kalayaan ng vector - ang vector ay "nagdadala ng lahat sa iyo." Ang property na ito, siyempre, ay totoo para sa anumang vector. Nakakatuwa na ang mga batayan (libre) na mga vector mismo ay hindi kailangang isantabi mula sa pinagmulan, ang isa ay maaaring iguguhit, halimbawa, sa kaliwang ibaba, at ang isa sa kanang tuktok, at walang magbabago mula rito! Totoo, hindi mo kailangang gawin ito, dahil ang guro ay magpapakita din ng pagka-orihinal at iguguhit ka ng isang "pass" sa isang hindi inaasahang lugar.

Ang mga Vector, ay eksaktong naglalarawan ng panuntunan para sa pagpaparami ng isang vector sa isang numero, ang vector ay codirectional sa batayan ng vector, ang vector ay nakadirekta sa tapat ng batayan ng vector. Para sa mga vector na ito, ang isa sa mga coordinate ay katumbas ng zero, maaari itong maingat na isulat tulad ng sumusunod:


At ang mga batayang vector, sa pamamagitan ng paraan, ay ganito: (sa katunayan, sila ay ipinahayag sa pamamagitan ng kanilang sarili).

At sa wakas: , . Sa pamamagitan ng paraan, ano ang pagbabawas ng vector, at bakit hindi ko sinabi sa iyo ang tungkol sa panuntunan ng pagbabawas? Sa isang lugar sa linear algebra, hindi ko matandaan kung saan, nabanggit ko na ang pagbabawas ay isang espesyal na kaso ng karagdagan. Kaya, ang mga pagpapalawak ng mga vector na "de" at "e" ay mahinahon na isinulat bilang isang kabuuan: . Muling ayusin ang mga termino sa mga lugar at sundin ang pagguhit kung gaano kalinaw ang mahusay na lumang karagdagan ng mga vector ayon sa tuntunin ng tatsulok na gumagana sa mga sitwasyong ito.

Itinuturing na agnas ng anyo minsan tinatawag na vector decomposition sa system ort(i.e. sa sistema ng mga unit vectors). Ngunit hindi lamang ito ang paraan upang magsulat ng isang vector, karaniwan ang sumusunod na opsyon:

O may katumbas na tanda:

Ang mga batayang vector mismo ay nakasulat bilang mga sumusunod: at

Iyon ay, ang mga coordinate ng vector ay ipinahiwatig sa mga panaklong. AT mga praktikal na gawain Ang lahat ng tatlong mga pagpipilian ay ginagamit.

Nag-alinlangan ako kung magsasalita, ngunit sasabihin ko pa rin: hindi maaaring muling ayusin ang mga coordinate ng vector. Mahigpit sa unang lugar isulat ang coordinate na tumutugma sa unit vector , mahigpit sa pangalawang lugar isulat ang coordinate na tumutugma sa unit vector . Sa katunayan, at dalawang magkaibang vectors.

Inisip namin ang mga coordinate sa eroplano. Ngayon isaalang-alang ang mga vector sa tatlong-dimensional na espasyo, ang lahat ay halos pareho dito! Isa pang coordinate lang ang idaragdag. Mahirap magsagawa ng mga three-dimensional na mga guhit, kaya lilimitahan ko ang aking sarili sa isang vector, na para sa pagiging simple ay ipagpaliban ko mula sa pinagmulan:

Anuman 3d space vector ang tanging paraan palawakin sa isang orthonormal na batayan:
, nasaan ang mga coordinate ng vector (numero) sa ibinigay na batayan.

Halimbawa mula sa larawan: . Tingnan natin kung paano gumagana ang mga panuntunan sa pagkilos ng vector dito. Una, pagpaparami ng vector sa isang numero: (pulang arrow), (berdeng arrow) at (magenta arrow). Pangalawa, narito ang isang halimbawa ng pagdaragdag ng ilan, sa kasong ito ng tatlo, mga vectors: . Ang kabuuan ng vector ay nagsisimula sa panimulang punto pag-alis (ang simula ng vector ) at mga pokes sa huling punto ng pagdating (ang dulo ng vector ).

Ang lahat ng mga vector ng tatlong-dimensional na espasyo, siyempre, ay libre din, subukang ipagpaliban ang vector mula sa anumang iba pang punto, at mauunawaan mo na ang pagpapalawak nito ay "nananatili dito."

Katulad din sa kaso ng eroplano, bukod pa sa pagsusulat ang mga bersyon na may mga bracket ay malawakang ginagamit: alinman .

Kung ang isa (o dalawang) coordinate vector ay nawawala sa pagpapalawak, ang mga zero ang ilalagay sa halip. Mga halimbawa:
vector (maingat ) - isulat ;
vector (maingat ) - isulat ;
vector (maingat ) - isulat .

Ang mga base vector ay nakasulat bilang mga sumusunod:

Narito, marahil, ang lahat ng pinakamababa teoretikal na kaalaman kinakailangan para sa paglutas ng mga problema ng analytical geometry. Marahil ay napakaraming termino at kahulugan, kaya inirerekomenda ko ang mga dummies na muling basahin at unawain ang impormasyong ito muli. At ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa sinumang mambabasa paminsan-minsan na sumangguni pangunahing aralin para sa mas mahusay na pag-unawa sa materyal. Collinearity, orthogonality, orthonormal na batayan, vector decomposition - ito at iba pang mga konsepto ay madalas na gagamitin sa mga sumusunod. Napansin ko na ang mga materyales ng site ay hindi sapat upang makapasa sa isang teoretikal na pagsubok, isang colloquium sa geometry, dahil maingat kong i-encrypt ang lahat ng mga theorems (at walang mga patunay) - sa kapinsalaan ng pang-agham na istilo presentasyon, ngunit isang plus sa iyong pag-unawa sa paksa. Para sa detalyadong teoretikal na impormasyon, hinihiling ko sa iyo na yumuko kay Propesor Atanasyan.

Ngayon ay lumipat tayo sa praktikal na bahagi:

Ang pinakasimpleng mga problema ng analytic geometry.
Mga pagkilos na may mga vector sa mga coordinate

Ang mga gawain na isasaalang-alang, ito ay lubos na kanais-nais na matutunan kung paano awtomatikong lutasin ang mga ito, at ang mga formula kabisaduhin, hindi man lang ito maalala, sila mismo ang maaalala =) Napakahalaga nito, dahil ang iba pang mga problema ng analytical geometry ay batay sa pinakasimpleng mga halimbawa ng elementarya, at nakakainis na gumastos karagdagang oras kumain ng pawns. Hindi mo kailangang i-fasten ang mga nangungunang butones sa iyong kamiseta, maraming bagay ang pamilyar sa iyo mula sa paaralan.

Ang pagtatanghal ng materyal ay susunod sa isang parallel na kurso - kapwa para sa eroplano at para sa espasyo. Para sa kadahilanang ang lahat ng mga formula ... makikita mo para sa iyong sarili.

Paano makahanap ng isang vector na binigyan ng dalawang puntos?

Kung ang dalawang punto ng eroplano ay ibinigay, kung gayon ang vector ay may mga sumusunod na coordinate:

Kung ang dalawang puntos sa espasyo at ibinigay, ang vector ay may mga sumusunod na coordinate:

I.e, mula sa mga coordinate ng dulo ng vector kailangan mong ibawas ang kaukulang mga coordinate pagsisimula ng vector.

Pagsasanay: Para sa parehong mga punto, isulat ang mga formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng vector. Mga pormula sa pagtatapos ng aralin.

Halimbawa 1

Ibinigay ang dalawang puntos sa eroplano at . Maghanap ng mga coordinate ng vector

Desisyon: ayon sa kaukulang formula:

Bilang kahalili, maaaring gamitin ang sumusunod na notasyon:

Ang mga Aesthetes ay magpapasya tulad nito:

Sa personal, sanay na ako sa unang bersyon ng record.

Sagot:

Ayon sa kondisyon, hindi kinakailangan na bumuo ng isang pagguhit (na karaniwan para sa mga problema ng analytical geometry), ngunit upang maipaliwanag ang ilang mga punto sa mga dummies, hindi ako magiging masyadong tamad:

Dapat intindihin pagkakaiba sa pagitan ng mga coordinate ng punto at mga coordinate ng vector:

Point coordinates ay ang karaniwang mga coordinate sa isang rectangular coordinate system. Magtabi ng mga puntos para sa coordinate na eroplano Sa tingin ko lahat ay kayang gawin ito mula 5-6 grade. Ang bawat punto ay may mahigpit na lugar sa eroplano, at hindi mo sila magagalaw kahit saan.

Ang mga coordinate ng parehong vector ay ang pagpapalawak nito na may paggalang sa batayan, sa kasong ito. Ang anumang vector ay libre, samakatuwid, kung kinakailangan, madali nating ipagpaliban ito mula sa ibang punto sa eroplano. Kapansin-pansin, para sa mga vectors, hindi ka makakagawa ng mga axes, isang rectangular coordinate system, kailangan mo lamang ng isang batayan, sa kasong ito, isang orthonormal na batayan ng eroplano.

Ang mga talaan ng mga point coordinates at vector coordinates ay mukhang magkapareho: , at kahulugan ng mga coordinate ganap magkaiba, at dapat ay alam mong mabuti ang pagkakaibang ito. Ang pagkakaibang ito, siyempre, ay totoo rin para sa espasyo.

Mga kababaihan at mga ginoo, pinupuno namin ang aming mga kamay:

Halimbawa 2

a) Ibinigay na mga puntos at . Maghanap ng mga vector at .
b) Ibinigay ang mga puntos at . Maghanap ng mga vector at .
c) Ibinigay na puntos at . Maghanap ng mga vector at .
d) Ang mga puntos ay ibinibigay. Maghanap ng mga Vector .

Marahil sapat na. Ito ay mga halimbawa para sa malayang desisyon, subukang huwag pabayaan ang mga ito, ito ay magbabayad ;-). Ang mga guhit ay hindi kinakailangan. Mga solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ano ang mahalaga sa paglutas ng mga problema ng analytical geometry? Mahalagang maging LUBOS NA MAG-INGAT para maiwasan ang mahusay na error na "two plus two equals zero". Humihingi ako ng paumanhin nang maaga kung nagkamali ako =)

Paano mahahanap ang haba ng isang segment?

Ang haba, tulad ng nabanggit na, ay ipinahiwatig ng modulus sign.

Kung ang dalawang punto ng eroplano ay ibinigay, kung gayon ang haba ng segment ay maaaring kalkulahin ng formula

Kung ang dalawang puntos sa espasyo at ibinigay, ang haba ng segment ay maaaring kalkulahin ng formula

Tandaan: Ang mga formula ay mananatiling tama kung ang mga katumbas na coordinate ay pinalitan: at , ngunit ang unang opsyon ay mas karaniwan

Halimbawa 3

Desisyon: ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Para sa kalinawan, gagawa ako ng drawing

Segment ng linya - hindi ito vector, at hindi mo ito maililipat kahit saan, siyempre. Bilang karagdagan, kung kukumpletuhin mo ang pagguhit ayon sa sukat: 1 yunit. \u003d 1 cm (dalawang tetrad cell), pagkatapos ay masusuri ang sagot sa isang regular na ruler sa pamamagitan ng direktang pagsukat sa haba ng segment.

Oo, ang solusyon ay maikli, ngunit mayroon itong ilang higit pa mahahalagang puntos Gusto kong linawin:

Una, sa sagot ay itinakda namin ang dimensyon: "mga yunit". Hindi sinasabi ng kundisyon kung ANO ito, milimetro, sentimetro, metro o kilometro. Samakatuwid, ang pangkalahatang pagbabalangkas ay magiging isang mathematically competent na solusyon: "mga yunit" - dinaglat bilang "mga yunit".

Pangalawa, ulitin natin materyal sa paaralan, na kapaki-pakinabang hindi lamang para sa isinasaalang-alang na problema:

pansinin mo mahalaga pamamaraan – pagkuha ng multiplier mula sa ilalim ng ugat. Bilang resulta ng mga kalkulasyon, nakuha namin ang resulta at ang mahusay na istilo ng matematika ay kinabibilangan ng pagkuha ng salik mula sa ilalim ng ugat (kung maaari). Ang proseso ay mukhang ganito nang mas detalyado: . Siyempre, ang pag-iwan ng sagot sa form ay hindi isang pagkakamali - ngunit ito ay tiyak na isang depekto at isang mabigat na argumento para sa nitpicking sa bahagi ng guro.

Narito ang iba pang karaniwang mga kaso:

Kadalasan sa ilalim ng ugat ito ay lumalabas na sapat malaking numero, Halimbawa . Paano maging sa mga ganitong kaso? Sa calculator, tinitingnan namin kung ang numero ay nahahati sa 4:. Oo, hatiin nang buo, kaya: . O baka mahati ulit ng 4 ang numero? . kaya: . Ang huling digit ng numero ay kakaiba, kaya ang paghahati sa 4 sa ikatlong pagkakataon ay malinaw na hindi posible. Sinusubukang hatiin sa siyam: . Ang resulta:
handa na.

Konklusyon: kung sa ilalim ng ugat ay nakakakuha tayo ng isang buong numero na hindi maaaring makuha, pagkatapos ay susubukan nating alisin ang kadahilanan mula sa ilalim ng ugat - sa calculator ay sinusuri natin kung ang numero ay nahahati sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , atbp.

Sa panahon ng desisyon iba't ibang gawain Ang mga ugat ay karaniwan, palaging subukang kunin ang mga salik mula sa ilalim ng ugat upang maiwasan ang mas mababang marka at hindi kinakailangang mga problema sa pagwawakas ng iyong mga solusyon ayon sa sinabi ng guro.

Ulitin natin ang pag-squaring ng mga ugat at iba pang kapangyarihan nang sabay-sabay:

Mga panuntunan para sa mga pagkilos na may degree in pangkalahatang pananaw ay matatagpuan sa aklat-aralin sa paaralan sa algebra, ngunit, sa palagay ko, mula sa mga halimbawang ibinigay, lahat o halos lahat ay malinaw na.

Gawain para sa isang independiyenteng solusyon na may isang segment sa espasyo:

Halimbawa 4

Binigyan ng mga puntos at . Hanapin ang haba ng segment.

Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Paano mahahanap ang haba ng isang vector?

Kung ang isang plane vector ay ibinigay, ang haba nito ay kinakalkula ng formula.

Kung ang isang space vector ay ibinigay, pagkatapos ay ang haba nito ay kinakalkula ng formula .

Sa araling ito, titingnan natin ang dalawa pang operasyon na may mga vector: cross product ng mga vectors at pinaghalong produkto ng mga vector (Immediate link para sa mga nangangailangan nito). Okay lang, minsan nangyayari yun para ganap na kaligayahan, Bukod sa tuldok na produkto ng mga vector, parami nang parami ang kailangan. Ganyan ang pagkagumon sa vector. Maaaring makuha ng isa ang impresyon na papasok tayo sa gubat ng analytic geometry. Hindi ito totoo. Sa seksyong ito ng mas mataas na matematika, sa pangkalahatan ay may maliit na kahoy na panggatong, maliban marahil ay sapat para sa Pinocchio. Sa katunayan, ang materyal ay napaka-pangkaraniwan at simple - halos hindi mas mahirap kaysa sa pareho produktong scalar, kahit na karaniwang mga gawain magiging mas kaunti. Ang pangunahing bagay sa analytic geometry, tulad ng makikita o nakita na ng marami, ay HINDI MAGKAKAMALI NG PAGKUKULANG. Ulitin tulad ng isang spell, at ikaw ay magiging masaya =)

Kung ang mga vector ay kumikinang sa isang lugar na malayo, tulad ng kidlat sa abot-tanaw, hindi mahalaga, magsimula sa aralin Mga vector para sa mga dummies upang ibalik o muling bilhin pangunahing kaalaman tungkol sa mga vector. Ang mas handa na mga mambabasa ay maaaring maging pamilyar sa impormasyon nang pili, sinubukan kong kolektahin ang pinaka kumpletong koleksyon ng mga halimbawa na madalas na matatagpuan sa Praktikal na trabaho

Ano ang magpapasaya sa iyo? Noong maliit pa ako, nakaka-juggle ako ng dalawa at kahit tatlong bola. Ito ay gumana nang maayos. Ngayon hindi na kailangang mag-juggle, dahil isasaalang-alang natin mga space vector lang, at ang mga flat vector na may dalawang coordinate ay maiiwan. Bakit? Ito ay kung paano ipinanganak ang mga pagkilos na ito - vector at pinaghalong produkto ang mga vector ay tinukoy at gumagana sa tatlong-dimensional na espasyo. Mas madali na!

Sa operasyong ito, sa parehong paraan tulad ng sa scalar product, dalawang vector. Hayaan itong mga hindi nasisira na mga titik.

Ang aksyon mismo ipinapahiwatig sa sumusunod na paraan: . Mayroong iba pang mga pagpipilian, ngunit ginamit ko upang tukuyin ang cross product ng mga vectors sa ganitong paraan, sa square bracket may krus.

At kaagad tanong: kung nasa tuldok na produkto ng mga vector dalawang vector ang kasangkot, at dito dalawang vectors ay pinarami din, pagkatapos ano ang pinagkaiba? Isang malinaw na pagkakaiba, una sa lahat, sa RESULTA:

Ang resulta ng scalar product ng mga vector ay NUMBER:

Ang resulta ng cross product ng mga vector ay isang VECTOR: , ibig sabihin, pinaparami namin ang mga vector at muling nakakuha ng vector. Saradong club. Sa totoo lang, kaya ang pangalan ng operasyon. Sa iba't ibang literatura na pang-edukasyon, ang mga pagtatalaga ay maaari ding mag-iba, gagamitin ko ang titik .

Kahulugan ng cross product

Una ay magkakaroon ng isang kahulugan na may isang larawan, pagkatapos ay magkomento.

Kahulugan: cross product hindi collinear mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, ay tinatawag na VECTOR, haba na ayon sa bilang katumbas ng lugar ng paralelogram, na binuo sa mga vector na ito; vector orthogonal sa mga vector, at itinuro upang ang batayan ay may tamang oryentasyon:

Sinusuri namin ang kahulugan ng mga buto, mayroong maraming mga kagiliw-giliw na bagay!

Kaya, maaari nating i-highlight ang mga sumusunod na mahahalagang punto:

1) Source vectors , na ipinahiwatig ng mga pulang arrow, ayon sa kahulugan hindi collinear. Nangyayari collinear vectors ito ay angkop na isaalang-alang sa ibang pagkakataon.

2) Kinuha ang mga vector sa mahigpit na pagkakasunud-sunod: – Ang "a" ay pinarami ng "maging", hindi "maging" sa "a". Ang resulta ng pagpaparami ng vector ay VECTOR , na nakasaad sa asul. Kung ang mga vector ay pinarami ng baligtarin ang pagkakasunod-sunod, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang vector na katumbas ng haba at kabaligtaran sa direksyon (kulay ng pulang-pula). Ibig sabihin, ang pagkakapantay-pantay .

3) Ngayon, kilalanin natin ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector. Ito ay lubhang mahalagang punto! Ang LENGTH ng asul na vector (at, samakatuwid, ang crimson vector) ay numerong katumbas ng AREA ng parallelogram na binuo sa mga vector. Sa figure, ang paralelogram na ito ay may kulay na itim.

Tandaan : ang pagguhit ay eskematiko, at, siyempre, ang nominal na haba ng cross product ay hindi katumbas ng lugar ng parallelogram.

Naaalala namin ang isa sa mga geometric na formula: ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto mga katabing partido sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila. Samakatuwid, batay sa nabanggit, ang formula para sa pagkalkula ng LENGTH ng isang produkto ng vector ay wasto:

Binibigyang-diin ko na sa formula ay pinag-uusapan natin ang LENGTH ng vector, at hindi ang mismong vector. Ano ang praktikal na kahulugan? At ang kahulugan ay tulad na sa mga problema ng analytic geometry, ang lugar ng isang paralelogram ay madalas na matatagpuan sa pamamagitan ng konsepto ng isang produkto ng vector:

Sandali tayo mahalagang pormula. Ang dayagonal ng paralelogram (pulang may tuldok na linya) ay hinahati ito sa dalawa pantay na tatsulok. Samakatuwid, ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors (red shading) ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

4) Hindi bababa sa mahalagang katotohanan ay ang vector ay orthogonal sa mga vectors, iyon ay, . Siyempre, ang kabaligtaran na nakadirekta na vector (crimson arrow) ay orthogonal din sa orihinal na mga vector .

5) Ang vector ay nakadirekta sa gayon batayan Mayroon itong tama oryentasyon. Sa isang aralin tungkol sa paglipat sa isang bagong batayan Nagsalita ako nang detalyado tungkol sa oryentasyon ng eroplano, at ngayon ay malalaman natin kung ano ang oryentasyon ng espasyo. Ipapaliwanag ko sa iyong mga daliri kanang kamay . Mentally combine hintuturo may vector at hinlalato may vector. Ring finger at kalingkingan pindutin sa iyong palad. Ang resulta hinlalaki - titingnan ang produkto ng vector. Ito ang right-oriented na batayan (ito ay nasa figure). Ngayon palitan ang mga vectors ( index at gitnang daliri ) sa ilang mga lugar, bilang isang resulta, ang hinlalaki ay iikot, at ang produkto ng vector ay titingin na sa ibaba. Ito rin ay isang batayan na nakatuon sa tama. Marahil mayroon kang tanong: anong batayan ang may kaliwang oryentasyon? "Italaga" ang parehong mga daliri kaliwang kamay vectors , at kunin ang kaliwang batayan at kaliwang space orientation (sa kasong ito, ang hinlalaki ay matatagpuan sa direksyon ng mas mababang vector). Sa matalinghagang pagsasalita, ang mga base na ito ay "twist" o i-orient ang espasyo sa iba't ibang direksyon. At ang konseptong ito ay hindi dapat ituring na isang bagay na malayo o abstract - halimbawa, ang pinaka-ordinaryong salamin ay nagbabago sa oryentasyon ng espasyo, at kung "hilahin mo ang sinasalamin na bagay mula sa salamin", kung gayon sa pangkalahatan ay hindi posible na pagsamahin ito sa "orihinal". Sa pamamagitan ng paraan, dalhin ang tatlong daliri sa salamin at suriin ang pagmuni-muni ;-)

... kung gaano kahusay na alam mo na ngayon ang tungkol sa kanan at kaliwa oriented base, kasi grabe ang mga pahayag ng ilang lecturer tungkol sa pagbabago ng oryentasyon =)

Vector na produkto ng collinear vectors

Ang kahulugan ay ginawa nang detalyado, nananatili itong malaman kung ano ang mangyayari kapag ang mga vector ay collinear. Kung ang mga vector ay collinear, maaari silang ilagay sa isang tuwid na linya at ang aming parallelogram ay "tupi" din sa isang tuwid na linya. Ang lugar ng ganoon, gaya ng sinasabi ng mga mathematician, mabulok paralelogram ay zero. Ang parehong sumusunod mula sa formula - ang sine ng zero o 180 degrees sero, at samakatuwid ang lugar ay zero

Kaya, kung , pagkatapos . Sa mahigpit na pagsasalita, ang produkto ng vector mismo ay zero vector, ngunit sa pagsasanay ito ay madalas na napapabayaan at nakasulat na ito ay katumbas lamang ng zero.

espesyal na kaso ay ang cross product ng isang vector at mismo:

Gamit ang cross product, maaari mong suriin ang collinearity ng three-dimensional vectors, at ang gawaing ito bukod sa iba, susuriin din natin.

Para sa mga solusyon praktikal na mga halimbawa maaaring kailanganin trigonometriko talahanayan upang mahanap ang mga halaga ng mga sine mula dito.

Buweno, magsimula tayo ng apoy:

Halimbawa 1

a) Hanapin ang haba ng vector product ng mga vectors kung

b) Hanapin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors kung

Desisyon: Hindi, hindi ito isang typo, sadyang ginawa kong pareho ang paunang data sa mga item ng kondisyon. Dahil mag-iiba ang disenyo ng mga solusyon!

a) Ayon sa kondisyon, kinakailangang hanapin haba vector (produktong vector). Ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Dahil tinanong ito tungkol sa haba, pagkatapos ay sa sagot ay ipinapahiwatig namin ang sukat - mga yunit.

b) Ayon sa kondisyon, ito ay kinakailangan upang mahanap parisukat paralelogram na binuo sa mga vectors. Ang lugar ng parallelogram na ito ay ayon sa bilang na katumbas ng haba ng cross product:

Sagot:

Mangyaring tandaan na sa sagot tungkol sa produkto ng vector ay walang pag-uusap, tinanong kami tungkol sa lugar ng pigura, ayon sa pagkakabanggit, ang sukat ay square units.

Palagi naming tinitingnan kung ANO ang kinakailangan upang matagpuan ng kundisyon, at, batay dito, bumalangkas kami malinaw sagot. Maaaring ito ay tila literalismo, ngunit may sapat na mga literalista sa mga guro, at ang gawain na may magandang pagkakataon ay ibabalik para sa rebisyon. Bagaman hindi ito isang partikular na pilit na nitpick - kung ang sagot ay hindi tama, kung gayon ang isa ay makakakuha ng impresyon na ang tao ay hindi naiintindihan mga simpleng bagay at / o hindi naunawaan ang kakanyahan ng gawain. Ang sandaling ito ay dapat palaging panatilihing nasa ilalim ng kontrol, paglutas ng anumang problema mas mataas na matematika at sa iba pang asignatura.

Saan napunta ang malaking letrang "en"? Sa prinsipyo, maaari itong maging karagdagan sa solusyon, ngunit upang paikliin ang rekord, hindi ko ginawa. Umaasa ako na ang lahat ay naiintindihan iyon at ang pagtatalaga ng parehong bagay.

Popular na Halimbawa para sa independiyenteng solusyon:

Halimbawa 2

Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Ang formula para sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok sa pamamagitan ng produkto ng vector ay ibinibigay sa mga komento sa kahulugan. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa pagsasagawa, ang gawain ay talagang napakakaraniwan, ang mga tatsulok sa pangkalahatan ay maaaring pahirapan.

Upang malutas ang iba pang mga problema, kailangan namin:

Mga katangian ng cross product ng mga vectors

Isinaalang-alang na namin ang ilang mga katangian ng produkto ng vector, gayunpaman, isasama ko ang mga ito sa listahang ito.

Para sa mga arbitrary na vector at isang arbitrary na numero, ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

1) Sa iba pang mga mapagkukunan ng impormasyon, ang item na ito ay karaniwang hindi nakikilala sa mga katangian, ngunit ito ay napakahalaga sa mga praktikal na termino. Kaya hayaan mo na.

2) - ang ari-arian ay tinalakay din sa itaas, kung minsan ito ay tinatawag anticommutativity. Sa madaling salita, mahalaga ang pagkakasunud-sunod ng mga vector.

3) - kumbinasyon o nag-uugnay mga batas ng produkto ng vector. Ang mga constant ay madaling alisin sa mga limitasyon ng produkto ng vector. Talaga, ano ang ginagawa nila doon?

4) - pamamahagi o pamamahagi mga batas ng produkto ng vector. Wala ring problema sa pagbubukas ng mga bracket.

Bilang isang pagpapakita, isaalang-alang ang isang maikling halimbawa:

Halimbawa 3

Hanapin kung

Desisyon: Sa pamamagitan ng kundisyon, muling kinakailangan upang mahanap ang haba ng produkto ng vector. Ipinta natin ang ating miniature:

(1) Ayon sa mga nauugnay na batas, kinukuha namin ang mga constant na lampas sa mga limitasyon ng produkto ng vector.

(2) Inalis namin ang pare-pareho sa module, habang ang module ay "kumakain" ng minus sign. Ang haba ay hindi maaaring negatibo.

(3) Ang mga sumusunod ay malinaw.

Sagot:

Oras na para maghagis ng kahoy sa apoy:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Desisyon: Hanapin ang lugar ng isang tatsulok gamit ang formula . Ang hadlang ay ang mga vector na "ce" at "te" ay kinakatawan mismo bilang mga kabuuan ng mga vector. Ang algorithm dito ay pamantayan at medyo nakapagpapaalaala sa mga halimbawa No. 3 at 4 ng aralin. Tuldok na produkto ng mga vector. Hatiin natin ito sa tatlong hakbang para sa kalinawan:

1) Sa unang hakbang, ipinapahayag namin ang produkto ng vector sa pamamagitan ng produkto ng vector, sa katunayan, ipahayag ang vector sa mga tuntunin ng vector. Wala pang salita sa haba!

(1) Pinapalitan namin ang mga expression ng mga vector .

(2) Gamit ang mga batas sa pamamahagi, buksan ang mga bracket ayon sa tuntunin ng pagpaparami ng mga polynomial.

(3) Gamit ang mga nag-uugnay na batas, inaalis namin ang lahat ng mga constant na lampas sa mga produkto ng vector. Sa kaunting karanasan, ang mga aksyon 2 at 3 ay maaaring isagawa nang sabay-sabay.

(4) Ang una at huling termino ay katumbas ng zero (zero vector) dahil sa kaaya-ayang katangian . Sa pangalawang termino, ginagamit namin ang anticommutativity property ng vector product:

(5) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.

Bilang isang resulta, ang vector ay lumabas na ipinahayag sa pamamagitan ng isang vector, na kung ano ang kinakailangan upang makamit:

2) Sa pangalawang hakbang, nakita namin ang haba ng produkto ng vector na kailangan namin. Ang aksyon na ito nakapagpapaalaala sa Halimbawa 3:

3) Hanapin ang lugar ng kinakailangang tatsulok:

Ang mga hakbang 2-3 ng solusyon ay maaaring ayusin sa isang linya.

Sagot:

Ang itinuturing na problema ay medyo karaniwan sa kontrol sa trabaho, narito ang isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 5

Hanapin kung

Mabilis na Solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin. Tingnan natin kung gaano ka naging matulungin sa pag-aaral ng mga nakaraang halimbawa ;-)

Cross product ng mga vector sa mga coordinate

, na ibinigay sa orthonormal na batayan, ay ipinahayag ng pormula:

Ang pormula ay talagang simple: isinusulat namin ang mga coordinate vector sa tuktok na linya ng determinant, "nag-pack" kami ng mga coordinate ng mga vector sa pangalawa at pangatlong linya, at inilalagay namin sa mahigpit na pagkakasunud-sunod- una, ang mga coordinate ng vector "ve", pagkatapos ay ang mga coordinate ng vector na "double-ve". Kung ang mga vector ay kailangang i-multiply sa ibang pagkakasunud-sunod, ang mga linya ay dapat ding palitan:

Halimbawa 10

Suriin kung ang mga sumusunod na space vector ay collinear:
a)
b)

Desisyon: Pagpapatunay batay sa isa sa mga pahayag ang araling ito: kung ang mga vector ay collinear, kung gayon ang kanilang produkto ng vector ay zero (zero vector): .

a) Hanapin ang produkto ng vector:

Kaya ang mga vector ay hindi collinear.

b) Hanapin ang produkto ng vector:

Sagot: a) hindi collinear, b)

Narito, marahil, ang lahat ng pangunahing impormasyon tungkol sa produkto ng vector ng mga vector.

Ang seksyon na ito hindi magiging napakalaki, dahil kakaunti ang mga problema kung saan ginagamit ang pinaghalong produkto ng mga vector. Sa katunayan, ang lahat ay nakasalalay sa kahulugan, geometric na kahulugan at ilang gumaganang formula.

Ang pinaghalong produkto ng mga vector ay produkto ng tatlo mga vector:

Ganito sila pumila na parang tren at maghintay, hindi sila makapaghintay hanggang sa sila ay makalkula.

Una muli ang kahulugan at larawan:

Kahulugan: Pinaghalong produkto hindi coplanar mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, ay tinatawag na dami ng parallelepiped, na binuo sa mga vector na ito, na nilagyan ng "+" sign kung tama ang batayan, at isang "-" sign kung naiwan ang batayan.

Gawin natin ang pagguhit. Ang mga linyang hindi natin nakikita ay iginuhit ng isang tuldok na linya:

Sumisid tayo sa kahulugan:

2) Kinuha ang mga vector sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, iyon ay, ang permutasyon ng mga vector sa produkto, tulad ng maaari mong hulaan, ay hindi napupunta nang walang mga kahihinatnan.

3) Bago magkomento sa geometric na kahulugan, tandaan ko malinaw na katotohanan: ang pinaghalong produkto ng mga vector ay isang NUMBER: . Sa pang-edukasyon na panitikan, ang disenyo ay maaaring medyo naiiba, ginamit ko upang italaga ang isang halo-halong produkto sa pamamagitan ng, at ang resulta ng mga kalkulasyon na may titik na "pe".

A-prioryo ang pinaghalong produkto ay ang dami ng parallelepiped, na binuo sa mga vector (ang figure ay iginuhit na may mga pulang vector at itim na linya). Iyon ay, ang numero ay katumbas ng dami ng ibinigay na parallelepiped.

Tandaan : Ang pagguhit ay eskematiko.

4) Huwag na nating pakialaman muli ang konsepto ng oryentasyon ng batayan at espasyo. Ang kahulugan ng huling bahagi ay ang isang minus sign ay maaaring idagdag sa volume. Sa madaling salita, maaaring negatibo ang pinaghalong produkto: .

Ang formula para sa pagkalkula ng dami ng isang parallelepiped na binuo sa mga vector ay direktang sumusunod mula sa kahulugan.

7.1. Kahulugan ng cross product

Tatlong non-coplanar vectors a , b at c , na kinuha sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod, ay bumubuo ng right triple kung mula sa dulo ng ikatlong vector c ang pinakamaikling pagliko mula sa unang vector a hanggang sa pangalawang vector b ay makikita na counterclockwise, at isang kaliwa kung clockwise (tingnan ang Fig. . labing-anim).

Ang vector product ng isang vector a at vector b ay tinatawag na vector c, na:

1. Patayo sa mga vectors a at b, ibig sabihin, c ^ a at c ^ b;

2. Ito ay may haba ayon sa bilang na katumbas ng lugar ng paralelogram na binuo sa mga vectors a atb tulad ng sa mga gilid (tingnan ang fig. 17), i.e.

3. Ang mga vectors a , b at c ay bumubuo ng right triple.

produkto ng vector denoted a x b o [a,b]. Mula sa kahulugan ng isang produkto ng vector, ang mga sumusunod na ugnayan sa pagitan ng mga orts ay direktang sinusunod ko, j at k(tingnan ang fig. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Patunayan natin, halimbawa, iyon i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, ngunit | ako x j| = |i | |J| kasalanan(90°)=1;

3) mga vector i , j at k bumuo ng tamang triple (tingnan ang Fig. 16).

7.2. Mga katangian ng cross product

1. Kapag ang mga kadahilanan ay muling inayos, ang produkto ng vector ay nagbabago ng tanda, i.e. at xb \u003d (b xa) (tingnan ang Fig. 19).

Ang mga vector a xb at b xa ay collinear, may parehong mga module (ang lugar ng parallelogram ay nananatiling hindi nagbabago), ngunit magkasalungat na direksyon (triples a, b, a xb at a, b, b x a ng kabaligtaran na oryentasyon). Yan ay axb = -(bxa).

2. Ang produkto ng vector ay may nag-uugnay na ari-arian na may paggalang sa isang scalar factor, i.e. l ​​​​(a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Hayaan ang l >0. Ang vector l (a xb) ay patayo sa mga vectors a at b. Vector ( l a) x b ay patayo din sa mga vectors a at b(mga vector a, l ngunit nakahiga sa parehong eroplano). Kaya ang mga vectors l(a xb) at ( l a) x b collinear. Halata naman na magkasabay ang kanilang mga direksyon. Sila ay may parehong haba:

Kaya l(a xb)= l isang xb. Ito ay napatunayang katulad para sa l<0.

3. Dalawang di-zero na vector a at b ay collinear kung at kung ang kanilang produkto ng vector ay katumbas ng zero vector, ibig sabihin, at ||b<=>at xb \u003d 0.

Sa partikular, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Ang produkto ng vector ay may katangian ng pamamahagi:

(a+b) xs = isang xs + b xs .

Tanggapin nang walang patunay.

7.3. Cross product expression sa mga tuntunin ng mga coordinate

Gagamitin namin ang vector cross product table i , j at k:

kung ang direksyon ng pinakamaikling landas mula sa unang vector hanggang sa pangalawa ay tumutugma sa direksyon ng arrow, kung gayon ang produkto ay katumbas ng ikatlong vector, kung hindi ito tumugma, ang ikatlong vector ay kinuha na may minus sign.

Hayaan ang dalawang vectors a =a x i +a y j+az k at b=bx i+ni j+bz k. Hanapin natin ang produkto ng vector ng mga vector na ito sa pamamagitan ng pagpaparami sa kanila bilang mga polynomial (ayon sa mga katangian ng produkto ng vector):

Ang resultang pormula ay maaaring maisulat nang mas maikli:

dahil ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (7.1) ay tumutugma sa pagpapalawak ng third-order na determinant sa mga tuntunin ng mga elemento ng unang hilera. Ang pagkakapantay-pantay (7.2) ay madaling matandaan.

7.4. Ang ilang mga aplikasyon ng cross product

Pagtatatag ng collinearity ng mga vectors

Paghahanap ng lugar ng isang paralelogram at isang tatsulok

Ayon sa kahulugan ng cross product ng mga vectors a at b |a xb | =| isang | * |b |sin g , ibig sabihin, S par = |a x b |. At, samakatuwid, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Pagtukoy sa sandali ng puwersa tungkol sa isang punto

Hayaang maglapat ng puwersa sa punto A F =AB bumitaw O- ilang punto sa espasyo (tingnan ang Fig. 20).

Ito ay kilala mula sa pisika na metalikang kuwintas F kaugnay sa punto O tinatawag na vector M , na dumadaan sa punto O at:

1) patayo sa eroplano na dumadaan sa mga punto O, A, B;

2) ayon sa bilang na katumbas ng produkto ng puwersa at balikat

3) bumubuo ng tamang triple na may mga vectors na OA at A B .

Samakatuwid, M \u003d OA x F.

Paghahanap ng linear na bilis ng pag-ikot

Bilis v point M ng isang matibay na katawan na umiikot sa isang angular na bilis w sa paligid ng isang nakapirming axis, ay tinutukoy ng Euler formula v \u003d w x r, kung saan r \u003d OM, kung saan ang O ay ilang nakapirming punto ng axis (tingnan ang Fig. 21).

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bago ibigay ang konsepto ng isang produkto ng vector, buksan natin ang tanong ng oryentasyon ng inayos na triple ng mga vector a → , b → , c → sa tatlong-dimensional na espasyo.

Upang magsimula, isantabi natin ang mga vectors a → , b → , c → mula sa isang punto. Ang oryentasyon ng triple a → , b → , c → ay kanan o kaliwa, depende sa direksyon ng vector c → . Mula sa direksyon kung saan ang pinakamaikling pagliko ay ginawa mula sa vector a → hanggang b → mula sa dulo ng vector c → , ang anyo ng triple a → , b → , c → ay matutukoy.

Kung ang pinakamaikling pag-ikot ay counterclockwise, kung gayon ang triple ng mga vectors a → , b → , c → ay tinatawag tama kung clockwise - umalis.

Susunod, kumuha ng dalawang non-collinear vectors a → at b → . Ipagpaliban natin ang mga vector na A B → = a → at A C → = b → mula sa puntong A. Bumuo tayo ng isang vector A D → = c → , na sabay na patayo sa parehong A B → at A C → . Kaya, kapag gumagawa ng vector A D → = c →, magagawa natin ang dalawang bagay, na nagbibigay ito ng alinman sa isang direksyon o ang kabaligtaran (tingnan ang ilustrasyon).

Ang inayos na trio ng mga vectors a → , b → , c → ay maaaring, tulad ng nalaman namin, pakanan o kaliwa depende sa direksyon ng vector.

Mula sa itaas, maaari nating ipakilala ang kahulugan ng isang produkto ng vector. Ang kahulugan na ito ay ibinigay para sa dalawang vector na tinukoy sa isang hugis-parihaba na coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo.

Kahulugan 1

Ang produkto ng vector ng dalawang vectors a → at b → tatawagin natin ang naturang vector na ibinigay sa isang rectangular coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo tulad na:

• kung ang mga vectors a → at b → ay collinear, ito ay magiging zero;
• ito ay magiging patayo sa parehong vector a →​​ at vector b → i.e. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• ang haba nito ay tinutukoy ng formula: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• ang triplet ng mga vectors a → , b → , c → ay may parehong oryentasyon gaya ng ibinigay na coordinate system.

Ang cross product ng mga vectors a → at b → ay may sumusunod na notasyon: a → × b → .

Mga cross product coordinate

Dahil ang anumang vector ay may ilang partikular na coordinate sa coordinate system, posibleng magpakilala ng pangalawang kahulugan ng cross product, na magbibigay-daan sa iyong mahanap ang mga coordinate nito mula sa ibinigay na mga coordinate ng mga vector.

Kahulugan 2

Sa isang rectangular coordinate system ng three-dimensional na espasyo produkto ng vector ng dalawang vector a → = (a x ; a y ; a z) at b → = (b x ; b y ; b z) tawagan ang vector c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kung saan ang i → , j → , k → ay mga coordinate vector.

Ang produkto ng vector ay maaaring katawanin bilang isang determinant ng isang parisukat na matrix ng ikatlong pagkakasunud-sunod, kung saan ang unang hilera ay ang orta vectors i → , j → , k → , ang pangalawang hilera ay naglalaman ng mga coordinate ng vector a → , at ang pangatlo. ay ang mga coordinate ng vector b → sa isang ibinigay na rectangular coordinate system, ang matrix determinant na ito ay ganito ang hitsura: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Ang pagpapalawak ng determinant na ito sa mga elemento ng unang hilera, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x = → → a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Mga katangian ng cross product

Ito ay kilala na ang produkto ng vector sa mga coordinate ay kinakatawan bilang ang determinant ng matrix c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , pagkatapos ay sa base mga katangian ng matrix determinant ang mga sumusunod mga katangian ng produkto ng vector:

1. anticommutativity a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivity a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → o a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associativity λ a → × b → = λ a → × b → o a → × (λ b →) = λ a → × b → , kung saan ang λ ay isang arbitrary real number.

Ang mga katangiang ito ay walang kumplikadong mga patunay.

Halimbawa, maaari nating patunayan ang katangian ng anticommutativity ng isang produkto ng vector.

Patunay ng anticommutativity

Sa kahulugan, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z at b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . At kung ang dalawang hilera ng matrix ay ipinagpalit, ang halaga ng determinant ng matrix ay dapat magbago sa kabaligtaran, samakatuwid, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , na at nagpapatunay ng anticommutativity ng vector product.

Vector Product - Mga Halimbawa at Solusyon

Sa karamihan ng mga kaso, mayroong tatlong uri ng mga gawain.

Sa mga problema ng unang uri, ang mga haba ng dalawang vector at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay karaniwang ibinibigay, ngunit kailangan mong hanapin ang haba ng cross product. Sa kasong ito, gamitin ang sumusunod na formula c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Halimbawa 1

Hanapin ang haba ng cross product ng mga vectors a → at b → kung a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 ay kilala.

Desisyon

Gamit ang kahulugan ng haba ng produkto ng vector ng mga vectors a → at b →, lutasin natin ang problemang ito: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Sagot: 15 2 2 .

Ang mga gawain ng pangalawang uri ay may koneksyon sa mga coordinate ng mga vector, naglalaman sila ng isang produkto ng vector, haba nito, atbp. Hinahanap sa pamamagitan ng mga kilalang coordinate ng mga ibinigay na vectors a → = (a x ; a y ; a z) at b → = (b x ; b y ; b z) .

Para sa ganitong uri ng gawain, maaari mong lutasin ang maraming mga opsyon para sa mga gawain. Halimbawa, hindi ang mga coordinate ng mga vectors a → at b → , ngunit ang kanilang mga pagpapalawak sa mga coordinate vectors ng form b → = b x i → + b y j → + b z k → at c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , o ang mga vectors a → at b → ay maaaring ibigay ng mga coordinate ng kanilang mga punto ng pagsisimula at pagtatapos.

Isaalang-alang ang sumusunod na mga halimbawa.

Halimbawa 2

Dalawang vector ang nakatakda sa isang rectangular coordinate system a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Hanapin ang kanilang produkto ng vector.

Desisyon

Ayon sa pangalawang kahulugan, nakita natin ang cross product ng dalawang vectors sa ibinigay na mga coordinate: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Kung isusulat natin ang produkto ng vector sa pamamagitan ng matrix determinant, ang solusyon ng halimbawang ito ay ang mga sumusunod: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Sagot: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Halimbawa 3

Hanapin ang haba ng cross product ng mga vectors i → - j → at i → + j → + k → , kung saan i → , j → , k → - orts ng isang rectangular Cartesian coordinate system.

Desisyon

Una, hanapin natin ang mga coordinate ng ibinigay na produkto ng vector i → - j → × i → + j → + k → sa ibinigay na rectangular coordinate system.

Ito ay kilala na ang mga vectors i → - j → at i → + j → + k → ay may mga coordinate (1 ; - 1 ; 0) at (1 ; 1 ; 1) ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang haba ng produkto ng vector gamit ang matrix determinant, pagkatapos ay mayroon tayong i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Samakatuwid, ang produkto ng vector i → - j → × i → + j → + k → ay may mga coordinate (- 1 ; - 1 ; 2) sa ibinigay na coordinate system.

Nahanap namin ang haba ng produkto ng vector sa pamamagitan ng formula (tingnan ang seksyon sa paghahanap ng haba ng vector): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Sagot: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Halimbawa 4

Ang mga coordinate ng tatlong puntos A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2, 3) ​​, C (1 , 4, 2) ay ibinibigay sa isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system. Maghanap ng ilang vector na patayo sa A B → at A C → sa parehong oras.

Desisyon

Ang mga Vector A B → at A C → ay may mga sumusunod na coordinate (- 1 ; 2 ; 2) at (0 ; 4 ; 1) ayon sa pagkakabanggit. Ang pagkakaroon ng natagpuan ang produkto ng vector ng mga vectors A B → at A C → , malinaw na ito ay isang patayong vector sa pamamagitan ng kahulugan sa parehong A B → at A C → , iyon ay, ito ang solusyon sa ating problema. Hanapin ito A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Sagot: - 6 i → + j → - 4 k → . ay isa sa mga perpendicular vectors.

Ang mga problema ng ikatlong uri ay nakatuon sa paggamit ng mga katangian ng produkto ng vector ng mga vector. Pagkatapos mag-apply kung alin, makakakuha tayo ng solusyon sa ibinigay na problema.

Halimbawa 5

Ang mga vectors a → at b → ay patayo at ang kanilang mga haba ay 3 at 4 ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang haba ng cross product 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Desisyon

Sa pamamagitan ng distributivity property ng vector product, maaari nating isulat ang 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Sa pamamagitan ng pag-aari ng associativity, kinukuha namin ang mga numerical coefficient na lampas sa tanda ng mga produkto ng vector sa huling expression: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Ang mga produktong vector a → × a → at b → × b → ay katumbas ng 0, dahil a → × a → = a → a → sin 0 = 0 at b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , pagkatapos ay 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Mula sa anticommutativity ng vector product ito ay sumusunod - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Gamit ang mga katangian ng produkto ng vector, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Sa pamamagitan ng kondisyon, ang mga vectors a → at b → ay patayo, iyon ay, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay katumbas ng π 2 . Ngayon ay nananatili lamang na palitan ang mga nahanap na halaga sa kaukulang mga formula: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Sagot: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Ang haba ng cross product ng mga vectors ayon sa kahulugan ay a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Dahil alam na (mula sa kurso ng paaralan) na ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga haba ng dalawang panig nito na pinarami ng sine ng anggulo sa pagitan ng mga panig na ito. Samakatuwid, ang haba ng produkto ng vector ay katumbas ng lugar ng isang parallelogram - isang dobleng tatsulok, ibig sabihin, ang produkto ng mga gilid sa anyo ng mga vectors a → at b → , na tinanggal mula sa isang punto, ng sine. ng anggulo sa pagitan nila sin ∠ a → , b → .

Ito ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector.

Ang pisikal na kahulugan ng produkto ng vector

Sa mekanika, isa sa mga sangay ng pisika, salamat sa produkto ng vector, maaari mong matukoy ang sandali ng puwersa na nauugnay sa isang punto sa espasyo.

Kahulugan 3

Sa ilalim ng sandali ng puwersa F → , inilapat sa punto B , kaugnay sa punto A mauunawaan natin ang sumusunod na produkto ng vector A B → × F → .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Kahulugan Tinatawag ang nakaayos na koleksyon (x 1 , x 2 , ... , x n) n ng mga tunay na numero n-dimensional na vector, at ang mga numero x i (i = ) - mga bahagi o mga coordinate,

Halimbawa. Kung, halimbawa, ang isang partikular na planta ng sasakyan ay kailangang gumawa ng 50 kotse, 100 trak, 10 bus, 50 set ng ekstrang bahagi para sa mga kotse at 150 set para sa mga trak at bus bawat shift, kung gayon ang programa ng produksyon ng planta na ito ay maaaring isulat bilang isang vector (50, 100, 10, 50, 150), na mayroong limang bahagi.

Notasyon. Ang mga vector ay tinutukoy ng mga naka-bold na maliliit na titik o mga titik na may bar o arrow sa itaas, halimbawa, a o. Ang dalawang vector ay tinatawag pantay kung sila ay may parehong bilang ng mga bahagi at ang kanilang mga katumbas na bahagi ay pantay.

Hindi maaaring palitan ang mga bahagi ng vector, hal. (3, 2, 5, 0, 1) at (2, 3, 5, 0, 1) iba't ibang mga vector.
Mga operasyon sa mga vector. trabaho x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) sa isang tunay na numeroλ tinatawag na vectorλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

sumx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) at y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) ay tinatawag na vector x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Ang espasyo ng mga vector. N -dimensional na espasyo ng vector R Ang n ay tinukoy bilang ang set ng lahat ng n-dimensional na vectors kung saan ang mga pagpapatakbo ng multiplikasyon sa pamamagitan ng tunay na mga numero at karagdagan ay tinukoy.

Ilustrasyon sa ekonomiya. Isang pang-ekonomiyang paglalarawan ng isang n-dimensional na vector space: espasyo ng mga kalakal (kalakal). Sa ilalim kalakal mauunawaan namin ang ilang mga produkto o serbisyo na ibinebenta sa isang tiyak na oras sa isang tiyak na lugar. Ipagpalagay na mayroong isang tiyak na bilang ng mga kalakal na magagamit n; ang dami ng bawat isa sa kanila na binili ng mamimili ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang hanay ng mga kalakal

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

kung saan ang x i ay nagsasaad ng halaga ng i-th good na binili ng mamimili. Ipagpalagay namin na ang lahat ng mga kalakal ay may pag-aari ng di-makatwirang divisibility, upang ang anumang hindi negatibong dami ng bawat isa sa kanila ay mabibili. Kung gayon ang lahat ng posibleng hanay ng mga kalakal ay mga vector ng espasyo ng mga kalakal C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Linear na kalayaan. Sistema e 1 , e 2 , ... , e m n-dimensional vectors ay tinatawag nakadepende sa linear kung may mga ganyang numeroλ 1 , λ 2 , ... , λ m , kung saan kahit isa ay nonzero, na nakakatugon sa pagkakapantay-pantayλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; kung hindi, ang sistemang ito ng mga vector ay tinatawag linearly independent, ibig sabihin, ang pagkakapantay-pantay na ito ay posible lamang sa kaso kapag lahat . Ang geometric na kahulugan ng linear dependence ng mga vectors sa R 3 , na binibigyang kahulugan bilang nakadirekta na mga segment, ipaliwanag ang mga sumusunod na theorems.

Teorama 1. Ang isang sistemang binubuo ng isang vector ay linearly dependent kung at kung ang vector na ito ay zero.

Teorama 2. Para maging linearly dependent ang dalawang vector, kinakailangan at sapat na ang mga ito ay collinear (parallel).

Teorama 3 . Para sa tatlong vector na maging linearly dependent, kinakailangan at sapat na sila ay coplanar (nakahiga sa parehong eroplano).

Kaliwa at kanang triple ng mga vector. Isang triple ng mga non-coplanar vector a, b, c tinawag tama, kung ang tagamasid mula sa kanilang karaniwang pinagmulan ay lumalampas sa mga dulo ng mga vector a, b, c sa ayos na iyon ay tila nagpapatuloy sa clockwise. Kung hindi a, b, c -kaliwa triple. Ang lahat ng kanan (o kaliwa) triple ng mga vector ay tinatawag pare-pareho nakatuon.

Batayan at mga coordinate. Troika e 1, e 2 , e 3 non-coplanar vectors sa R 3 ang tumawag batayan, at ang mga vector mismo e 1, e 2 , e 3 - basic. Anumang vector a ay maaaring mapalawak sa isang natatanging paraan sa mga tuntunin ng mga batayan ng mga vector, iyon ay, maaari itong katawanin sa anyo

a= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

ang mga numerong x 1 , x 2 , x 3 sa pagpapalawak (1.1) ay tinatawag mga coordinatea sa batayan e 1, e 2 , e 3 at ipinapahiwatig a(x 1 , x 2 , x 3).

Orthonormal na batayan. Kung ang mga vectors e 1, e 2 , e 3 ay pairwise perpendicular at ang haba ng bawat isa sa kanila ay katumbas ng isa, kung gayon ang batayan ay tinatawag orthonormal, at ang mga coordinate x 1 , x 2 , x 3 - hugis-parihaba. Ang mga batayang vector ng isang orthonormal na batayan ay ipapatala ako, j, k.

Ipagpalagay natin na sa kalawakan R 3 ang tamang sistema ng Cartesian rectangular coordinate (0, ako, j, k}.

Produktong vector. sining ng vector a bawat vector b tinatawag na vector c, na tinutukoy ng sumusunod na tatlong kundisyon:

1. Haba ng vector c katumbas ng numero sa lugar ng parallelogram na binuo sa mga vectors a at b, i.e.
c= |a||b| kasalanan( a^b).

2. Vector c patayo sa bawat isa sa mga vectors a at b.

3. Mga Vector a, b at c, na kinuha sa ganoong ayos, bumuo ng tamang triple.

Para sa produkto ng vector c ipinakilala ang pagtatalaga c=[ab] o
c = a × b.

Kung ang mga vectors a at b ay collinear, pagkatapos ay kasalanan( a^b) = 0 at [ ab] = 0, sa partikular, [ aa] = 0. Vector na mga produkto ng orts: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Kung ang mga vectors a at b ibinigay sa batayan ako, j, k mga coordinate a(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), pagkatapos

Pinaghalong trabaho. Kung ang cross product ng dalawang vectors a at b scalar na pinarami ng ikatlong vector c, pagkatapos ay ang naturang produkto ng tatlong vectors ay tinatawag pinaghalong produkto at ipinapahiwatig ng simbolo a bc.

Kung ang mga vectors a, b at c sa batayan ako, j, k itinakda ng kanilang mga coordinate
a(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), pagkatapos

.

Ang halo-halong produkto ay may isang simpleng geometric na interpretasyon - ito ay isang scalar, sa ganap na halaga na katumbas ng dami ng isang parallelepiped na binuo sa tatlong ibinigay na mga vectors.

Kung ang mga vector ay bumubuo ng isang tamang triple, kung gayon ang kanilang pinaghalong produkto ay isang positibong numero na katumbas ng ipinahiwatig na dami; kung ang tatlo a, b, c - umalis, pagkatapos a b c<0 и V = - a b c, samakatuwid V =|a b c|.

Ang mga coordinate ng mga vector na nakatagpo sa mga problema ng unang kabanata ay ipinapalagay na ibinibigay na may kaugnayan sa tamang orthonormal na batayan. Unit vector codirectional sa vector a, ipinapahiwatig ng simbolo a tungkol sa. Simbolo r=OM tinutukoy ng radius vector ng point M, ang mga simbolo a, AB o|a|, | AB |ang mga module ng mga vector ay tinutukoy a at AB.

Halimbawa 1.2. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector a= 2m+4n at b= m-n, saan m at n- unit vectors at anggulo sa pagitan m at n katumbas ng 120 o.

Desisyon. Mayroon kaming: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, kaya a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, kaya b = . Sa wakas mayroon kaming: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Halimbawa 1.3.Pag-alam ng mga vector AB(-3,-2.6) at BC(-2,4,4), kalkulahin ang taas AD ng tatsulok na ABC.

Desisyon. Ang pagtukoy sa lugar ng tatsulok na ABC ng S, nakukuha natin:
S = 1/2 B.C. AD. Pagkatapos AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC |. AC=AB+BC, kaya ang vector AC may mga coordinate
. .

Halimbawa 1.4 . Ibinigay ang dalawang vectors a(11,10,2) at b(4,0,3). Hanapin ang unit vector c, orthogonal sa mga vector a at b at itinuro upang ang iniutos na triple ng mga vectors a, b, c ay tama.

Desisyon.Tukuyin natin ang mga coordinate ng vector c na may paggalang sa ibinigay na tamang orthonormal na batayan sa mga tuntunin ng x, y, z.

Sa abot ng c ⊥ a, c ⊥b, pagkatapos ca= 0, cb= 0. Sa kondisyon ng problema, kinakailangan na c = 1 at a b c >0.

Mayroon kaming sistema ng mga equation para sa paghahanap ng x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Mula sa una at pangalawang equation ng system ay nakukuha natin ang z = -4/3 x, y = -5/6 x. Ang pagpapalit ng y at z sa ikatlong equation, magkakaroon tayo ng: x 2 = 36/125, kung saan
x=± . Gamit ang kundisyon a b c > 0, nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

Isinasaalang-alang ang mga expression para sa z at y, muling isinulat namin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo: 625/6 x > 0, kung saan sinusundan nito ang x>0. Kaya x = , y = - , z = - .