अब हम लघुगणक से युक्त व्यंजकों को परिवर्तित करने पर एक नज़र डालेंगे सामान्य पद. यहां हम लॉगरिदम के गुणों का उपयोग करके न केवल अभिव्यक्तियों के परिवर्तन का विश्लेषण करेंगे, बल्कि हम लॉगरिदम के साथ अभिव्यक्तियों के परिवर्तन पर भी विचार करेंगे। सामान्य दृष्टि से, जिसमें न केवल लघुगणक होते हैं, बल्कि शक्तियाँ, अंश, मूल आदि भी होते हैं। हमेशा की तरह, हम सभी सामग्री की आपूर्ति करेंगे विशिष्ट उदाहरणसाथ विस्तृत विवरणसमाधान।

पृष्ठ नेविगेशन।

लघुगणक और लघुगणक व्यंजकों के साथ व्यंजक

भिन्नों के साथ क्रिया करना

पिछले पैराग्राफ में, हमने उन मुख्य परिवर्तनों का विश्लेषण किया है जो लॉगरिदम वाले अलग-अलग अंशों के साथ किए जाते हैं। ये परिवर्तन, निश्चित रूप से, प्रत्येक व्यक्तिगत अंश के साथ किए जा सकते हैं, जो कि एक बड़े का हिस्सा है जटिल अभिव्यक्ति, उदाहरण के लिए, योग, अंतर, उत्पाद और भागफल का प्रतिनिधित्व करना समान भिन्न. लेकिन अलग-अलग अंशों के साथ काम करने के अलावा, भावों का परिवर्तन निर्दिष्ट प्रकारअक्सर भिन्नों पर उचित संचालन करना शामिल होता है। अगला, हम उन नियमों पर विचार करेंगे जिनके द्वारा ये क्रियाएं की जाती हैं।

ग्रेड 5-6 से हम उन नियमों को जानते हैं जिनके द्वारा . लेख में सामान्य दृष्टि सेभिन्नों के साथ संचालन के लिएहमने इन नियमों को परिचालित किया है साधारण अंशसामान्य रूप A/B के भिन्नों में, जहाँ A और B कुछ संख्यात्मक हैं, शाब्दिक भावया चर के साथ व्यंजक, और B समान रूप से गैर-शून्य है। यह स्पष्ट है कि लघुगणक वाले भिन्न सामान्य भिन्नों के विशेष मामले हैं। और इस संबंध में, यह स्पष्ट है कि उनके रिकॉर्ड में लॉगरिदम वाले अंशों के साथ क्रियाएं समान नियमों के अनुसार की जाती हैं। अर्थात्:

• के साथ दो भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए एक ही भाजक, क्रमशः अंशों को जोड़ना या घटाना आवश्यक है, और हर को वही छोड़ दें।
• के साथ दो भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए विभिन्न भाजक, हमें उन्हें लाना चाहिए आम विभाजकऔर पिछले नियम के अनुसार संबंधित क्रियाएं करें।
• दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको एक ऐसी भिन्न लिखनी होगी जिसका अंश मूल भिन्नों के अंशों का गुणनफल हो और हर हर का गुणनफल हो।
• भिन्न को भिन्न से भाग देने के लिए, विभाज्य अंशभाजक के व्युत्क्रम से गुणा करें, अर्थात अंश से अंश और हर को पुनर्व्यवस्थित करें।

लॉगरिदम वाले भिन्नों के साथ संचालन करने के लिए यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

उदाहरण।

लघुगणक वाले भिन्नों के साथ क्रिया करें: a), b) , में) , जी) .

फेसला।

a) जोड़े गए भिन्नों के हर स्पष्ट रूप से समान हैं। इसलिए, समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के नियम के अनुसार, हम अंश जोड़ते हैं, और हर को वही छोड़ देते हैं: .

b) यहाँ हर अलग हैं। इसलिए, पहले आपको चाहिए भिन्नों को एक ही हर में लाएँ. हमारे मामले में, हर को पहले से ही उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, और यह हमारे लिए रहता है कि हम पहले अंश के हर को लें और दूसरे अंश के हर से लापता कारकों को जोड़ें। तो हमें फॉर्म का एक आम भाजक मिलता है . इस मामले में, घटाए गए अंशों का उपयोग करके एक सामान्य हर में घटाया जाता है अतिरिक्त गुणकएक लघुगणक और व्यंजक के रूप में क्रमशः x 2 ·(x+1)। उसके बाद, एक ही हर के साथ अंशों को घटाना रहता है, जो मुश्किल नहीं है।

तो समाधान है:

ग) यह ज्ञात है कि भिन्नों को गुणा करने का परिणाम एक भिन्न होता है, जिसका अंश अंशों का गुणनफल होता है, और हर हर का गुणनफल होता है, इसलिए

यह देखना आसान है कि यह संभव है अंश में कमीदो और के लिए दशमलव लघुगणक, परिणामस्वरूप हमारे पास है .

d) हम भिन्नों के विभाजन से गुणा की ओर जाते हैं, भिन्न-भाजक को उसके व्युत्क्रम से बदल देते हैं। इसलिए

परिणामी भिन्न के अंश को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है , जिससे कोई भी स्पष्ट रूप से देख सकता है सामान्य अवयवअंश और हर - कारक x, आप इसके द्वारा भिन्न को कम कर सकते हैं:

जवाब:

ए), बी) , में) , जी) .

यह याद रखना चाहिए कि अंशों के साथ क्रियाओं को उस क्रम को ध्यान में रखते हुए किया जाता है जिसमें क्रियाएं की जाती हैं: पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव, और यदि कोष्ठक हैं, तो कोष्ठक में क्रियाएं पहले की जाती हैं।

उदाहरण।

भिन्नों के साथ क्रिया करें .

फेसला।

सबसे पहले, हम कोष्ठक में भिन्नों का योग करते हैं, जिसके बाद हम गुणा करेंगे:

जवाब:

इस बिंदु पर, यह जोर से तीन स्पष्ट रूप से कहना बाकी है, लेकिन एक ही समय में महत्वपूर्ण बिंदु:

लघुगणक के गुणों का उपयोग करके व्यंजकों को परिवर्तित करना

अक्सर, लघुगणक के साथ अभिव्यक्तियों के परिवर्तन में लघुगणक की परिभाषा को व्यक्त करने वाली पहचान का उपयोग शामिल होता है और

लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सही नहीं हैं नियमित संख्या, यहाँ नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

ये नियम जरूर जान लें- इनके बिना एक भी गंभीर नहीं लघुगणक समस्या. इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

के साथ दो लघुगणक पर विचार करें एक ही आधार:लॉग ए एक्सऔर लॉग ए आप. फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉग ए एक्स+लोग ए आप= लॉग ए (एक्स · आप);
2. लॉग ए एक्स-log ए आप= लॉग ए (एक्स : आप).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। टिप्पणी: महत्वपूर्ण क्षणयहाँ - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र आपको गणना करने में मदद करेंगे लघुगणकीय व्यंजकतब भी जब इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार नहीं किया जाता है (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5 = लघुगणक 3 (135: 5) = लघुगणक 3 27 = 3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। इस तथ्य के आधार पर अनेक टेस्ट पेपर. हाँ, नियंत्रण क्या हैं - समान भावपूरी गंभीरता से (कभी-कभी व्यावहारिक रूप से अपरिवर्तित) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियमपहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ODZ लघुगणक मनाया जाता है: ए > 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत, सभी सूत्रों को लागू करना सीखें। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 7 49 6 ।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लघुगणक 7 49 6 = 6 लघुगणक 7 49 = 6 2 = 12

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 2 4; 49 = 72। हमारे पास है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मुझे लगता है अंतिम उदाहरणस्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? सब तरह से अंतिम क्षणहम केवल भाजक के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

दिया जाए लघुगणक लॉग ए एक्स. फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी 1, समानता सत्य है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

विशेष रूप से, अगर हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि लघुगणक के आधार और तर्क को आपस में बदला जा सकता है, लेकिन पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र सामान्य में विरले ही मिलते हैं संख्यात्मक भाव. यह मूल्यांकन करना संभव है कि निर्णय लेने पर ही वे कितने सुविधाजनक हैं लघुगणक समीकरणऔर असमानताएं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लघुगणक 2 25 = लघुगणक 2 5 2 = 2 लघुगणक 2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या एनतर्क का प्रतिपादक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: बेसिक लघुगणकीय पहचान.

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या बीसत्ता में वृद्धि ताकि बीइस हद तक एक संख्या देता है ए? यह सही है: यह वही संख्या है ए. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस वर्ग को आधार और लॉगरिदम के तर्क से निकाल दिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

अगर किसी को पता नहीं है, तो परीक्षा से यह एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लॉग ए ए= 1 लघुगणक इकाई है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक एइस आधार से ही एक के बराबर है।
2. लॉग ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार एकुछ भी हो सकता है, लेकिन अगर तर्क एक है - लघुगणक शून्य! क्योंकि ए 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

इसकी परिभाषा से व्युत्पन्न। और इसलिए संख्या का लघुगणक बीवजह से एघातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए एक संख्या को उठाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना एक्स = एक बी लॉग इन करें, समीकरण को हल करने के बराबर है कुल्हाड़ी = ख।उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3क्योंकि 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण यह उचित ठहराना संभव बनाता है कि यदि बी = एक सी, तो संख्या का लघुगणक बीवजह से एबराबरी साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय किसी संख्या की घात के विषय से निकटता से संबंधित है।

लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या के साथ, आप प्रदर्शन कर सकते हैं जोड़, घटाव के संचालनऔर हर संभव तरीके से रूपांतरित करें। लेकिन इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहां लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

लघुगणक का जोड़ और घटाव।

समान आधार वाले दो लघुगणक लें: लॉग एक्सऔर आप लॉग इन करें. फिर इसे हटा दें जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:

लॉग a x+ लॉग a y= लॉग a (x y);

लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स: वाई)।

लॉग ए(एक्स 1 . एक्स 2 . एक्स 3 ... एक्स के) = लॉग एक्स 1 + लॉग एक्स 2 + लॉग एक्स 3 + ... + लॉग ए x k.

से भागफल लघुगणक प्रमेयलघुगणक का एक और गुण प्राप्त किया जा सकता है। यह सर्वविदित है कि लॉग ए 1= 0, इसलिए,

लॉग ए 1 /बी= लॉग ए 1 - लॉग एक बी= -लॉग एक बी.

तो एक समानता है:

लॉग ए 1 / बी = - लॉग ए बी।

दो परस्पर पारस्परिक संख्याओं के लघुगणकएक ही आधार पर केवल चिन्ह में एक दूसरे से भिन्न होंगे। इसलिए:

लघुगणक 3 9= - लघुगणक 3 1/9 ; लॉग 5 1 / 125 = -लॉग 5 125।

प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण, ग्राफ, परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का सेट, मूल सूत्र, व्युत्पन्न, अभिन्न, विस्तार बिजली की श्रृंखलाऔर फलन ln x को सम्मिश्र संख्याओं के रूप में निरूपित करते हैं।

परिभाषा

प्राकृतिकफलन है y= एलएन एक्स, घातांक के व्युत्क्रम, x \u003d e y , और जो संख्या e के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स = लॉग ई एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से गणित में उपयोग किया जाता है क्योंकि इसके व्युत्पन्न का सबसे सरल रूप है: (एलएन एक्स)′ = 1/ एक्स.

आधारित परिभाषाएं, प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या है इ:
ई 2.718281828459045...;
.

फलन का ग्राफ y = एलएन एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का ग्राफ (फ़ंक्शन y = एलएन एक्स) घातांक प्लॉट से प्राप्त किया जाता है दर्पण प्रतिबिंबसीधी रेखा y = x के सापेक्ष।

प्राकृतिक लघुगणक को परिभाषित किया गया है: सकारात्मक मूल्यपरिवर्तनीय एक्स। यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में एकरसता से बढ़ता है।

एक्स → . के रूप में 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा ऋणात्मक अनंत (- ∞) है।

x → + के रूप में, प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत ( + ) है। बड़े x के लिए, लघुगणक धीरे-धीरे बढ़ता है। कोई भी ऊर्जा समीकरण x a धनात्मक घातांक के साथ लघुगणक की तुलना में तेज़ी से बढ़ता है।

प्राकृतिक लघुगणक के गुण

परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का सेट, एक्स्ट्रेमा, वृद्धि, कमी

प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है। प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

एलएन एक्स मान

लॉग 1 = 0

प्राकृतिक लघुगणक के लिए मूल सूत्र

प्रतिलोम फलन की परिभाषा से उत्पन्न होने वाले सूत्र:

लघुगणक की मुख्य संपत्ति और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके किसी भी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

इन सूत्रों के प्रमाण "लघुगणक" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा काम करना

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम प्रतिपादक है।

तो अगर

तो अगर ।

व्युत्पन्न ln x

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
मॉड्यूलो x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

अभिन्न

अभिन्न की गणना भागों द्वारा एकीकरण द्वारा की जाती है:
.
इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक

एक जटिल चर z के एक फलन पर विचार करें:
.
आइए जटिल चर को व्यक्त करें जेडमॉड्यूल के माध्यम से आरऔर तर्क φ :
.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या
.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। अगर हम डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
तो यह भिन्न n के लिए समान संख्या होगी।

इसलिए प्राकृतिक, एक जटिल चर के एक समारोह के रूप में, एक एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति श्रृंखला विस्तार

के लिए, विस्तार होता है:

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, लैन, 2009।

अनुदेश

दिए गए लघुगणकीय व्यंजक को लिखिए। यदि व्यंजक 10 के लघुगणक का उपयोग करता है, तो उसका अंकन छोटा हो जाता है और ऐसा दिखता है: lg b दशमलव लघुगणक है। यदि लघुगणक का आधार संख्या e है, तो व्यंजक लिखा जाता है: ln b प्राकृतिक लघुगणक है। यह समझा जाता है कि किसी का परिणाम वह शक्ति है जिसके लिए संख्या b प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को ऊपर उठाना होगा।

दो कार्यों का योग खोजने पर, आपको बस उन्हें एक-एक करके अलग करना होगा, और परिणाम जोड़ना होगा: (u+v)" = u"+v";

दो कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न का पता लगाते समय, पहले फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दूसरे से गुणा करना और दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को पहले फ़ंक्शन से गुणा करना आवश्यक है: (u*v)" = u"* वी+वी"*यू;

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, यह आवश्यक है, भाजक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए गए लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद से, भाजक के व्युत्पन्न के उत्पाद को भाजक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किया जाए, और विभाजित किया जाए यह सब भाजक फलन द्वारा चुकता किया जाता है। (यू/वी)" = (यू"*वी-वी"*यू)/वी^2;

अगर दिया गया है जटिल कार्य, तो के व्युत्पन्न को गुणा करना आवश्यक है आंतरिक कार्यऔर बाहरी का व्युत्पन्न। चलो y=u(v(x)), फिर y"(x)=y"(u)*v"(x)।

ऊपर प्राप्त का उपयोग करके, आप लगभग किसी भी फ़ंक्शन को अलग कर सकते हैं। तो आइए कुछ उदाहरण देखें:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *एक्स));
एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना के लिए कार्य भी हैं। फ़ंक्शन y=e^(x^2+6x+5) दिए जाने दें, आपको बिंदु x=1 पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना होगा।
1) फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)।

2) फ़ंक्शन के मान की गणना करें दिया गया बिंदु y"(1)=8*e^0=8

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मददगार सलाह

प्राथमिक व्युत्पत्तियों की तालिका जानें। इससे समय की काफी बचत होगी।

स्रोत:

• निरंतर व्युत्पन्न

तो, इसमें क्या अंतर है तर्कसंगत समीकरणतर्कसंगत से? यदि अज्ञात चर चिह्न के नीचे है वर्गमूल, तो समीकरण को अपरिमेय माना जाता है।

अनुदेश

ऐसे समीकरणों को हल करने की मुख्य विधि दोनों पक्षों को ऊपर उठाने की विधि है समीकरणएक वर्ग में। हालांकि। यह स्वाभाविक है, पहला कदम संकेत से छुटकारा पाना है। तकनीकी रूप से, यह तरीका मुश्किल नहीं है, लेकिन कभी-कभी यह परेशानी का कारण बन सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण v(2x-5)=v(4x-7)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, आपको 2x-5=4x-7 प्राप्त होता है। इस तरह के समीकरण को हल करना मुश्किल नहीं है; एक्स = 1। लेकिन नंबर 1 नहीं दिया जाएगा समीकरण. क्यों? समीकरण में इकाई को x मान के स्थान पर रखें। और दाएँ और बाएँ पक्षों में ऐसे भाव होंगे जिनका कोई मतलब नहीं है, अर्थात्। ऐसा मान वर्गमूल के लिए मान्य नहीं है। इसलिए 1 एक बाहरी मूल है, और इसलिए दिया गया समीकरणकोई जड़ नहीं है।

इसलिए, अपरिमेय समीकरणइसके दोनों भागों को वर्ग करने की विधि का उपयोग करके हल किया जाता है। और समीकरण को हल करने के बाद, काट देना जरूरी है बाहरी जड़ें. ऐसा करने के लिए, मूल समीकरण में पाए गए जड़ों को प्रतिस्थापित करें।

एक और पर विचार करें।
2x+vx-3=0
बेशक, इस समीकरण को पिछले समीकरण के समान समीकरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। स्थानांतरण यौगिक समीकरण, जिसका वर्गमूल नहीं है, दाईं ओरऔर फिर स्क्वायरिंग विधि का उपयोग करें। परिणामी परिमेय समीकरण और जड़ों को हल करें। लेकिन एक और, अधिक सुरुचिपूर्ण। एक नया चर दर्ज करें; वीएक्स = वाई। तदनुसार, आपको 2y2+y-3=0 जैसा समीकरण मिलेगा। यानी सामान्य द्विघात समीकरण. इसकी जड़ें खोजें; y1=1 और y2=-3/2. अगला, दो हल करें समीकरणवीएक्स = 1; वीएक्स \u003d -3/2। दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है, पहले से हम पाते हैं कि x=1. जड़ों की जांच करने की आवश्यकता के बारे में मत भूलना।

सर्वसमिका को सुलझाना बहुत आसान है। यह करने की आवश्यकता है समान परिवर्तनलक्ष्य तक पहुंचने तक। इस प्रकार, सरल . की सहायता से अंकगणितीय आपरेशनसकार्य हल हो जाएगा।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - कलम।

अनुदेश

इस तरह के सबसे सरल परिवर्तन बीजीय संक्षिप्त गुणन (जैसे योग का वर्ग (अंतर), वर्गों का अंतर, योग (अंतर), योग का घन (अंतर)) हैं। इसके अलावा, कई हैं त्रिकोणमितीय सूत्र, जो अनिवार्य रूप से एक ही पहचान हैं।

दरअसल, दो पदों के योग का वर्ग वर्ग के बराबर हैपहले जोड़ का पहले और दूसरे के गुणनफल से दुगुना जोड़ दूसरे का वर्ग, यानी (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^ 2=a^2+2ab +b^2.

दोनों को सरल बनाएं

समाधान के सामान्य सिद्धांत

पाठ्यपुस्तक दोहराएं गणितीय विश्लेषणया उच्च गणित, जो एक निश्चित अभिन्न है। जैसा कि आप जानते हैं, समाधान समाकलन परिभाषित करेंएक फ़ंक्शन है जिसका व्युत्पन्न एक इंटीग्रैंड देगा। यह समारोहआदिम कहा जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, बुनियादी इंटीग्रल का निर्माण किया जाता है।
प्रकार द्वारा परिभाषित करें एकीकृत, में से कौन सा टेबल इंटीग्रलमें फिट बैठता है इस मामले में. इसे तुरंत निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है। अक्सर, एकीकृत को सरल बनाने के लिए कई परिवर्तनों के बाद ही सारणीबद्ध रूप ध्यान देने योग्य हो जाता है।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि

अगर इंटीग्रैंड है त्रिकोणमितीय फलन, जिसका तर्क कुछ बहुपद है, तो चर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, समाकलन के तर्क में बहुपद को कुछ नए चर से बदलें। नए और पुराने चर के अनुपात के आधार पर, एकीकरण की नई सीमा निर्धारित करें। भेदभाव दी गई अभिव्यक्तिमें नया अंतर खोजें। इस प्रकार आप प्राप्त करेंगे नया प्रकारपूर्व अभिन्न, करीब या किसी भी सारणी के अनुरूप।

दूसरी तरह के इंटीग्रल का समाधान

यदि इंटीग्रल दूसरी तरह का इंटीग्रल है, इंटीग्रैंड का सदिश रूप है, तो आपको इन इंटीग्रल से स्केलर वाले में जाने के लिए नियमों का उपयोग करना होगा। ऐसा ही एक नियम है ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस अनुपात। यह कानूनकुछ वेक्टर फ़ंक्शन के रोटर प्रवाह से किसी दिए गए वेक्टर फ़ील्ड के विचलन पर ट्रिपल इंटीग्रल से गुजरने की अनुमति देता है।

एकीकरण की सीमाओं का प्रतिस्थापन

प्रतिअवकलन खोजने के बाद, एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। सबसे पहले, ऊपरी सीमा के मूल्य को प्रतिपदार्थ के लिए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। आपको कुछ नंबर मिलेगा। इसके बाद, परिणामी संख्या से दूसरी संख्या घटाएं, परिणामी निचली सीमा प्रतिअवकलन के लिए। यदि एकीकरण सीमाओं में से एक अनंत है, तो इसे में प्रतिस्थापित करना विरोधी व्युत्पन्न कार्ययह आवश्यक है कि सीमा तक जाकर यह पता लगाया जाए कि अभिव्यक्ति किस ओर जाती है।
यदि समाकल द्वि-आयामी या त्रि-आयामी है, तो आपको समाकलन की ज्यामितीय सीमाओं का प्रतिनिधित्व करना होगा ताकि यह समझ सके कि समाकलन की गणना कैसे की जाती है। दरअसल, एक त्रि-आयामी अभिन्न के मामले में, एकीकरण की सीमाएं पूरे विमान हो सकती हैं जो मात्रा को एकीकृत करने के लिए सीमित करती हैं।