Statika- Ini adalah cabang mekanika teoretis, yang mempelajari kondisi keseimbangan benda material di bawah aksi gaya.

Di bawah keadaan keseimbangan, dalam statika, dipahami keadaan di mana semua bagian sistem mekanik diam (relatif terhadap sistem koordinat tetap). Meskipun metode statika juga berlaku untuk benda yang bergerak, dan dengan bantuannya dimungkinkan untuk mempelajari masalah dinamika, objek dasar studi statika adalah benda dan sistem mekanis yang tidak bergerak.

Memaksa adalah ukuran pengaruh suatu benda terhadap benda lainnya. Gaya adalah vektor yang memiliki titik aplikasi pada permukaan benda. Di bawah kekuatan tubuh bebas menerima percepatan yang sebanding dengan vektor gaya dan berbanding terbalik dengan massa benda.

Hukum persamaan aksi dan reaksi

Gaya yang bekerja pada benda pertama pada benda kedua adalah nilai mutlak dan berlawanan arah dengan gaya yang dengannya benda kedua bekerja pada benda pertama.

Prinsip penyembuhan

Jika benda yang dapat dideformasi berada dalam keseimbangan, maka keseimbangannya tidak akan terganggu jika benda tersebut dianggap benar-benar kaku.

Statika titik material

Pertimbangkan titik material yang berada dalam kesetimbangan. Dan biarkan n gaya bekerja padanya, k = 1, 2, ..., n.

Jika titik material berada dalam kesetimbangan, maka jumlah vektor gaya yang bekerja padanya sama dengan nol:
(1) .

Dalam keseimbangan jumlah geometris gaya yang bekerja pada suatu titik adalah nol.

Interpretasi geometris . Jika awal vektor kedua ditempatkan pada akhir vektor pertama, dan awal vektor ketiga ditempatkan pada akhir vektor kedua, dan kemudian proses ini dilanjutkan, maka akhir vektor ke-n terakhir akan digabungkan dengan awal vektor pertama. Artinya, kita mendapatkan sosok geometris tertutup, yang panjang sisinya sama dengan modul vektor. Jika semua vektor terletak pada bidang yang sama, maka kita mendapatkan poligon tertutup.

Seringkali nyaman untuk memilih sistem persegi panjang koordinat oxyz. Maka jumlah proyeksi semua vektor gaya pada sumbu koordinat sama dengan nol:

Jika Anda memilih arah yang ditentukan oleh beberapa vektor , maka jumlah proyeksi vektor gaya pada arah ini sama dengan nol:
.
Kami mengalikan persamaan (1) secara skalar dengan vektor:
.
Di Sini - produk skalar vektor dan .
Perhatikan bahwa proyeksi vektor ke arah vektor ditentukan oleh rumus:
.

Statika tubuh kaku

Momen gaya terhadap suatu titik

Menentukan momen gaya

Momen kekuatan, diterapkan pada benda di titik A, relatif terhadap pusat tetap O, disebut vektor yang sama dengan produk vektor dari vektor dan:
(2) .

Interpretasi geometris

Momen kekuatan sama dengan produk gaya F pada lengan OH.

Biarkan vektor dan terletak di bidang gambar. Menurut properti produk vektor, vektor tegak lurus terhadap vektor dan , yaitu tegak lurus terhadap bidang gambar. Arahnya ditentukan oleh aturan sekrup kanan. Pada gambar, vektor momen diarahkan ke arah kita. Nilai mutlak momen:
.
Dari dulu
(3) .

Dengan menggunakan geometri, seseorang dapat memberikan interpretasi lain tentang momen gaya. Untuk melakukannya, tarik garis lurus AH melalui vektor gaya . Dari pusat O kita jatuhkan tegak lurus OH ke garis ini. Panjang garis tegak lurus ini disebut bahu kekuatan. Kemudian
(4) .
Karena , rumus (3) dan (4) setara.

Dengan demikian, nilai mutlak momen gaya relatif terhadap pusat O adalah produk kekuatan di bahu gaya ini relatif terhadap pusat yang dipilih O .

Saat menghitung momen, seringkali lebih mudah untuk menguraikan gaya menjadi dua komponen:
,
di mana . Gaya melewati titik O. Jadi momennya nol. Kemudian
.
Nilai mutlak momen:
.

Komponen momen dalam koordinat persegi panjang

Jika kita memilih sistem koordinat persegi panjang Oxyz yang berpusat di titik O, maka momen gaya akan memiliki komponen sebagai berikut:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Berikut adalah koordinat titik A pada sistem koordinat yang dipilih:
.
Komponennya masing-masing adalah nilai momen gaya terhadap sumbu.

Sifat-sifat momen gaya terhadap pusat

Momen terhadap pusat O, dari gaya yang melalui pusat ini, sama dengan nol.

Jika titik penerapan gaya digerakkan sepanjang garis yang melalui vektor gaya, maka momen selama gerakan tersebut tidak akan berubah.

Momen dari jumlah vektor gaya yang diterapkan ke satu titik tubuh sama dengan jumlah vektor momen dari masing-masing gaya yang diterapkan ke titik yang sama:
.

Hal yang sama berlaku untuk gaya-gaya yang garis perpanjangannya berpotongan di satu titik. Dalam hal ini, titik perpotongannya harus diambil sebagai titik penerapan gaya.

Jika jumlah vektor gaya adalah nol:
,
maka jumlah momen dari gaya-gaya ini tidak bergantung pada posisi pusat, relatif terhadap momen yang dihitung:
.

pasangan yang kuat

pasangan yang kuat adalah dua gaya yang sama nilai absolutnya dan memiliki arah berlawanan diaplikasikan ke titik yang berbeda tubuh.

Sepasang kekuatan dicirikan oleh momen yang mereka ciptakan. Karena jumlah vektor gaya-gaya yang termasuk dalam pasangan adalah nol, momen yang dibuat oleh pasangan tidak bergantung pada titik yang relatif terhadap momen yang dihitung. Dari sudut pandang keseimbangan statis, sifat gaya pada pasangan tidak relevan. Sepasang gaya digunakan untuk menunjukkan bahwa momen gaya bekerja pada benda, memiliki: nilai tertentu.

Momen gaya terhadap sumbu tertentu

Seringkali ada kasus di mana kita tidak perlu mengetahui semua komponen momen gaya terhadap suatu titik yang dipilih, tetapi hanya perlu mengetahui momen gaya terhadap sumbu yang dipilih.

Momen gaya terhadap sumbu yang melalui titik O adalah proyeksi vektor momen gaya terhadap titik O pada arah sumbu.

Sifat-sifat momen gaya terhadap suatu sumbu

Momen terhadap sumbu dari gaya yang melalui sumbu ini sama dengan nol.

Momen terhadap sumbu dari gaya yang sejajar dengan sumbu ini adalah nol.

Perhitungan momen gaya terhadap suatu sumbu

Biarkan sebuah gaya bekerja pada tubuh di titik A. Mari kita cari momen gaya ini relatif terhadap sumbu O′O′′.

Mari kita membangun sistem koordinat persegi panjang. Biarkan sumbu Oz berimpit dengan O′O′′ . Dari titik A kita jatuhkan tegak lurus OH ke O′O′′ . Melalui titik O dan A kita menggambar sumbu Ox. Kami menggambar sumbu Oy tegak lurus terhadap Ox dan Oz. Kami menguraikan gaya menjadi komponen di sepanjang sumbu sistem koordinat:
.
Gaya melintasi sumbu O′O′′. Oleh karena itu, momentumnya adalah nol. Gaya sejajar dengan sumbu O′O′′. Oleh karena itu, momennya juga nol. Dengan rumus (5.3) kami menemukan:
.

Perhatikan bahwa komponen diarahkan secara tangensial ke lingkaran yang pusatnya adalah titik O . Arah vektor ditentukan oleh aturan ulir kanan.

Kondisi kesetimbangan untuk benda tegar

Dalam kesetimbangan, jumlah vektor semua gaya yang bekerja pada benda sama dengan nol dan jumlah vektor momen gaya-gaya ini relatif terhadap pusat tetap yang sewenang-wenang sama dengan nol:
(6.1) ;
(6.2) .

Kami menekankan bahwa pusat O , relatif terhadap momen gaya yang dihitung, dapat dipilih secara sewenang-wenang. Titik O bisa menjadi milik tubuh atau berada di luarnya. Biasanya pusat O dipilih untuk mempermudah perhitungan.

Kondisi kesetimbangan dapat dirumuskan dengan cara lain.

Dalam kesetimbangan, jumlah proyeksi gaya pada sembarang arah yang diberikan oleh vektor arbitrer sama dengan nol:
.
Jumlah momen gaya terhadap sumbu sembarang O′O′′ juga sama dengan nol:
.

Terkadang kondisi ini lebih nyaman. Ada kalanya, dengan memilih sumbu, perhitungan bisa dibuat lebih sederhana.

Pusat gravitasi tubuh

Pertimbangkan salah satu kekuatan terpenting - gravitasi. Di sini, gaya tidak diterapkan pada titik-titik tertentu dari tubuh, tetapi didistribusikan secara terus menerus pada volumenya. Untuk setiap bagian tubuh dengan volume yang sangat kecil V, gaya gravitasi bekerja. Di sini adalah kepadatan materi tubuh, adalah percepatan jatuh bebas.

Membiarkan menjadi massa bagian tubuh yang sangat kecil. Dan biarkan titik A k mendefinisikan posisi bagian ini. Mari kita cari besaran yang berhubungan dengan gaya gravitasi, yang termasuk dalam persamaan kesetimbangan (6).

Mari kita cari jumlah gaya gravitasi yang dibentuk oleh semua bagian tubuh:
,
di mana adalah massa tubuh. Dengan demikian, jumlah gaya gravitasi dari bagian-bagian tubuh yang sangat kecil dapat digantikan oleh satu vektor gravitasi seluruh tubuh:
.

Mari kita cari jumlah momen gaya gravitasi, relatif terhadap pusat yang dipilih O dengan cara yang sewenang-wenang:

.
Di sini kami telah memperkenalkan titik C yang disebut Pusat gravitasi tubuh. Posisi pusat gravitasi, dalam sistem koordinat yang berpusat di titik O, ditentukan oleh rumus:
(7) .

Jadi, ketika menentukan keseimbangan statis, jumlah gravitasi bagian individu tubuh dapat digantikan oleh resultan
,
diterapkan pada pusat massa benda C , yang posisinya ditentukan oleh rumus (7).

Posisi pusat gravitasi untuk berbagai bentuk geometris dapat ditemukan di panduan yang relevan. Jika benda memiliki sumbu atau bidang simetri, maka pusat gravitasi terletak pada sumbu atau bidang ini. Jadi, pusat gravitasi bola, lingkaran atau lingkaran terletak di pusat-pusat lingkaran angka-angka ini. Pusat gravitasi berbentuk kubus, persegi panjang atau bujur sangkar juga terletak di pusatnya - di titik persimpangan diagonal.

Beban terdistribusi seragam (A) dan linier (B).

Ada juga kasus yang mirip dengan gaya gravitasi, ketika gaya tidak diterapkan pada titik-titik tertentu dari tubuh, tetapi didistribusikan secara terus menerus di atas permukaan atau volumenya. Kekuatan seperti itu disebut kekuatan terdistribusi atau .

(Gambar A). Juga, seperti dalam kasus gravitasi, itu dapat digantikan oleh gaya resultan besarnya , diterapkan pada pusat gravitasi diagram. Karena diagram pada gambar A adalah persegi panjang, pusat gravitasi diagram berada di pusatnya - titik C: | AC| = | CB |.

(gambar B). Itu juga bisa diganti dengan resultan. Nilai resultan sama dengan luas diagram:
.
Titik penerapannya ada di pusat gravitasi diagram. Pusat gravitasi sebuah segitiga, tinggi h, berada pada jarak dari alas. Jadi .

Gaya gesekan

Geser gesekan. Biarkan tubuh berada di permukaan yang rata. Dan biarkan menjadi gaya tegak lurus terhadap permukaan dengan mana permukaan bekerja pada tubuh (gaya tekanan). Kemudian gaya gesekan geser sejajar dengan permukaan dan diarahkan ke samping, mencegah tubuh bergerak. Dia yang terhebat nilainya adalah:
,
dimana f adalah koefisien gesekan. Koefisien gesekan adalah besaran tak berdimensi.

gesekan bergulir. Biarkan tubuh yang bulat menggelinding atau mungkin menggelinding di permukaan. Dan biarkan menjadi gaya tekanan tegak lurus terhadap permukaan dengan mana permukaan bekerja pada tubuh. Kemudian pada tubuh, pada titik kontak dengan permukaan, momen gaya gesekan bekerja, yang mencegah pergerakan tubuh. Nilai momen gesekan terbesar adalah:
,
di mana adalah koefisien gesekan guling. Memiliki dimensi panjang.

Referensi:
S.M.Targ, Kursus pendek mekanika teoretis, lulusan sekolah", 2010.

1. Konsep dasar mekanika teoritis.

2. Struktur mata kuliah mekanika teoretis.

1. Mekanika (dalam pengertian luas) adalah ilmu tentang pergerakan benda-benda material dalam ruang dan waktu. Ini menyatukan sejumlah disiplin ilmu, objek studi yang padat, cair dan benda gas. Mekanika teoretis , Teori Elastisitas , Kekuatan Bahan , Mekanika Fluida , Dinamika Gas dan Aerodinamika- ini bukan daftar lengkap dari berbagai bagian mekanika.

Seperti dapat dilihat dari namanya, mereka berbeda satu sama lain terutama dalam objek studi. Studi tentang gerakan yang paling sederhana dari mereka - padatan - terlibat dalam mekanika teoretis. Kesederhanaan dipelajari di mekanika teoretis objek memungkinkan Anda untuk mengidentifikasi paling banyak hukum umum gerakan yang berlaku untuk semua benda material, terlepas dari spesifiknya properti fisik. Oleh karena itu, mekanika teoretis dapat dianggap sebagai dasar mekanika umum.

2. Kursus mekanika teoretis terdiri dari tiga bagian:: statika, kinematikadanpembicara .

PADA statika dianggap doktrin umum tentang gaya dan kondisi kesetimbangan untuk padatan diturunkan.

Dalam kinematika berangkat cara matematika tugas gerakan benda dan rumus diturunkan yang menentukan karakteristik utama gerakan ini (kecepatan, akselerasi, dll.).

Dalam dinamika menurut gerakan tertentu, kekuatan yang menyebabkan gerakan ini ditentukan dan, sebaliknya, menurut kekuatan yang diberikan, mereka menentukan bagaimana tubuh bergerak.

poin materi disebut titik geometris yang memiliki massa.

Sistem poin material himpunan seperti itu disebut di mana posisi dan pergerakan setiap titik bergantung pada posisi dan pergerakan semua titik lain dari sistem yang diberikan. Seringkali sistem poin material disebut sistem mekanik . Kasus khusus dari sistem mekanis adalah benda yang benar-benar kaku.

Benar-benar solid benda disebut, di mana jarak antara dua titik selalu tetap tidak berubah (yaitu, itu adalah benda yang benar-benar kuat dan tidak dapat diubah bentuk).

Gratis disebut benda tegar, yang gerakannya tidak dibatasi oleh benda lain.

tidak gratis disebut tubuh, yang gerakannya, dengan satu atau lain cara, dibatasi oleh tubuh lain. Yang terakhir dalam mekanika disebut koneksi .

Dengan paksa sebut ukuran aksi mekanis satu tubuh ke tubuh lainnya. Karena interaksi benda ditentukan tidak hanya oleh intensitasnya, tetapi juga oleh arahnya, gaya adalah besaran vektor dan digambarkan dalam gambar sebagai segmen berarah (vektor). Per satuan gaya dalam sistem SI diterima newton (N) . Menunjukkan kekuatan huruf kapital alfabet latin(A, S, Z, Y ...). Nilai numerik(atau modul besaran vektor) akan dilambangkan dengan huruf yang sama, tetapi tanpa panah atas (F, S, P, T...).

garis kekuatan adalah garis lurus di mana vektor gaya diarahkan.

Sistem paksa setiap gaya berhingga yang bekerja pada sistem mekanik disebut. Merupakan kebiasaan untuk membagi sistem kekuatan menjadi datar (semua gaya bekerja pada bidang yang sama) dan spasial . Masing-masing dari mereka, pada gilirannya, bisa menjadi sewenang-wenang atau paralel (garis aksi semua gaya sejajar) atau sistem gaya konvergen (garis aksi semua gaya berpotongan di satu titik).

Kedua sistem gaya disebut setara , jika tindakan mereka pada sistem mekanis adalah sama (yaitu, penggantian satu sistem gaya dengan yang lain tidak mengubah sifat gerakan sistem mekanis).

Jika beberapa sistem gaya setara dengan satu gaya, maka gaya ini disebut yg dihasilkan sistem kekuatan ini. Perhatikan bahwa tidak setiap sistem gaya memiliki resultan. Gaya yang besarnya sama dengan resultan, berlawanan arah dan bekerja sepanjang garis lurus yang sama disebut keseimbangan dengan paksa.

Sistem gaya di bawah pengaruh benda tegar bebas yang diam atau bergerak beraturan dan lurus disebut seimbang atau setara dengan nol.

kekuatan internal disebut gaya interaksi antara titik-titik material dari satu sistem mekanis.

Kekuatan luar- ini adalah kekuatan interaksi titik dari sistem mekanis yang diberikan dengan titik material dari sistem lain.

Gaya yang bekerja pada suatu benda pada suatu titik disebut terfokus .

Gaya-gaya yang bekerja pada semua titik pada volume tertentu atau bagian tertentu dari permukaan benda disebut didistribusikan (berdasarkan volume dan permukaan, masing-masing).

Daftar konsep kunci di atas tidak lengkap. Sisanya, tidak kurang konsep penting akan diperkenalkan dan disempurnakan dalam proses penyajian materi kuliah.

Kinematika titik.

1. Pokok bahasan mekanika teoretis. Abstraksi dasar.

Mekanika teoretisadalah ilmu yang mempelajari hukum-hukum umum gerakan mekanis dan interaksi mekanis benda-benda material

Gerakan mekanisdisebut gerakan tubuh dalam kaitannya dengan tubuh lain, terjadi dalam ruang dan waktu.

Interaksi mekanis disebut interaksi benda-benda material seperti itu, yang mengubah sifat gerakan mekanisnya.

Statika adalah cabang mekanika teoretis yang mempelajari metode untuk mengubah sistem gaya menjadi sistem yang setara dan kondisi untuk keseimbangan gaya yang diterapkan pada benda tegar ditetapkan.

Kinematika - adalah cabang mekanika teoretis yang berhubungan dengan pergerakan benda-benda material di ruang angkasa dengan titik geometris visi, terlepas dari kekuatan yang bekerja pada mereka.

Dinamika - Ini adalah cabang mekanika yang mempelajari pergerakan benda material di ruang angkasa, tergantung pada gaya yang bekerja padanya.

Objek studi dalam mekanika teoretis:

titik materi,

sistem poin material,

Tubuh yang benar-benar kaku.

Ruang mutlak dan waktu mutlak tidak bergantung satu sama lain. Ruang mutlak - ruang Euclidean tiga dimensi, homogen, tidak bergerak. waktu mutlak - mengalir dari masa lalu ke masa depan terus menerus, homogen, sama di semua titik dalam ruang dan tidak bergantung pada pergerakan materi.

2. Pokok bahasan kinematika.

Kinematika - adalah cabang mekanika yang berhubungan dengan sifat geometris gerak benda tanpa memperhitungkan kelembamannya (yaitu massa) dan gaya yang bekerja padanya

Untuk menentukan posisi benda yang bergerak (atau titik) dengan benda dalam kaitannya dengan gerakan yang sedang dipelajari tubuh yang diberikan, secara kaku, hubungkan beberapa sistem koordinat, yang bersama-sama dengan bentuk tubuh sistem referensi.

Tugas utama kinematika adalah, mengetahui hukum gerak suatu benda (titik), untuk menentukan semua besaran kinematik yang mencirikan geraknya (kecepatan dan percepatan).

3. Metode untuk menentukan pergerakan suatu titik

· cara alami

Harus diketahui:

lintasan pergerakan titik;

Mulai dan arah penghitungan;

Hukum gerak suatu titik sepanjang lintasan tertentu dalam bentuk (1.1)

· Metode koordinat

Persamaan (1.2) adalah persamaan gerak titik M.

Persamaan lintasan titik M dapat diperoleh dengan menghilangkan parameter waktu « t » dari persamaan (1.2)

· cara vektor

(1.3) Hubungan antara metode koordinat dan vektor untuk menentukan pergerakan suatu titik (1.4)

Hubungan antara koordinat dan cara alami untuk menentukan pergerakan suatu titik

Tentukan lintasan titik, tidak termasuk waktu dari persamaan (1.2);

-- menemukan hukum gerak suatu titik di sepanjang lintasan (gunakan ekspresi untuk diferensial busur)

Setelah integrasi, kami memperoleh hukum gerak suatu titik sepanjang lintasan yang diberikan:

Hubungan antara metode koordinat dan vektor untuk menentukan pergerakan suatu titik ditentukan oleh persamaan (1.4)

4. Menentukan kecepatan suatu titik dengan metode vektor menentukan gerakan.

Biarkan saat initposisi titik ditentukan oleh vektor radius , dan pada saatt 1 – radius-vektor , maka untuk periode waktu titik akan bergerak.

(1.5) kecepatan rata-rata titik, arah vektor sama dengan vektor

Kecepatan titik dalam saat ini waktu

Untuk mendapatkan kecepatan suatu titik pada waktu tertentu, Anda perlu melakukan melewati batas

(1.6)

(1.7)

Vektor kecepatan suatu titik pada waktu tertentu sama dengan turunan pertama dari vektor jari-jari terhadap waktu dan diarahkan secara tangensial ke lintasan pada titik tertentu.

(satuan m/s, km/jam)

Rata-rata vektor percepatan memiliki arah yang sama dengan vektorΔ v , yaitu, diarahkan ke cekungan lintasan.

Vektor percepatan suatu titik pada waktu tertentu sama dengan turunan pertama dari vektor kecepatan atau turunan kedua dari vektor jari-jari titik terhadap waktu.

(satuan - )

Bagaimana letak vektor terhadap lintasan titik?

Pada gerak lurus vektor diarahkan sepanjang garis lurus di mana titik bergerak. Jika lintasan suatu titik adalah kurva datar, maka vektor percepatan , serta vektor cp, terletak pada bidang kurva ini dan diarahkan ke cekungannya. Jika lintasannya bukan kurva bidang, maka vektor cp akan diarahkan ke arah kecekungan lintasan dan akan terletak pada bidang yang melalui garis singgung lintasan di titikM dan garis yang sejajar dengan garis singgung di titik yang berdekatanM 1 . PADA batasi kapan titiknyaM 1 cenderung M bidang ini menempati posisi yang disebut bidang bersebelahan. Oleh karena itu, dalam kasus umum vektor percepatan terletak pada bidang yang berdekatan dan diarahkan ke arah cekungan kurva.

pengantar

Mekanika teoretis adalah salah satu disiplin ilmu umum fundamental yang paling penting. Ia bermain peran penting dalam pelatihan insinyur dari spesialisasi apa pun. Disiplin teknik umum didasarkan pada hasil mekanika teoritis: kekuatan bahan, bagian-bagian mesin, teori mekanisme dan mesin, dan lain-lain.

Tugas utama mekanika teoretis adalah mempelajari gerak benda-benda material di bawah aksi gaya. Masalah khusus yang penting adalah studi tentang keseimbangan benda di bawah aksi gaya.

kuliah saja. Mekanika teoretis

Struktur mekanika teoretis. Dasar-dasar statika

Kondisi keseimbangan sistem sewenang-wenang pasukan.

Persamaan Kesetimbangan Tubuh Kaku.

Sistem kekuatan datar.

Kasus-kasus tertentu dari keseimbangan benda tegar.

Masalah keseimbangan balok.

Penentuan gaya dalam pada struktur batang.

Dasar-dasar kinematika titik.

koordinat alam.

rumus Euler.

Distribusi percepatan titik-titik benda tegar.

Gerakan translasi dan rotasi.

Gerak bidang-paralel.

Pergerakan titik yang rumit.

Dasar-dasar dinamika titik.

persamaan diferensial gerak suatu titik.

Jenis medan gaya tertentu.

Dasar-dasar dinamika sistem poin.

Teorema umum dinamika sistem poin.

Dinamika gerakan berputar tubuh.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Mata kuliah mekanika teori. M., Sekolah Tinggi, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Kursus Mekanika Teoritis, Bagian 1 dan 2. M., Sekolah Tinggi, 1971.

Petkevich V.V. Mekanika teoretis. M., Nauka, 1981.

Kumpulan tugas untuk makalah dalam mekanika teoretis. Ed. A.A. Yablonsky. M., Sekolah Tinggi, 1985.

Kuliah 1 Struktur mekanika teoretis. Dasar-dasar statika

Dalam mekanika teoretis, pergerakan benda relatif terhadap benda lain, yang merupakan sistem referensi fisik, dipelajari.

Mekanika memungkinkan tidak hanya untuk menggambarkan, tetapi juga untuk memprediksi pergerakan benda, membangun hubungan sebab akibat dalam rentang fenomena tertentu yang sangat luas.

Model abstrak dasar dari benda nyata:

poin materi - memiliki massa, tetapi tidak memiliki dimensi;

sangat padat - volume berdimensi berhingga, terisi penuh dengan materi, dan jarak antara dua titik mana pun dari media yang mengisi volume tidak berubah selama gerakan;

media yang dapat dideformasi terus menerus - mengisi volume terbatas atau ruang tidak terbatas; jarak antara titik-titik media tersebut dapat bervariasi.

Dari jumlah tersebut, sistem:

Sistem poin materi gratis;

Sistem dengan koneksi;

Tubuh yang benar-benar padat dengan rongga berisi cairan, dll.

"Merosot" model:

Batang yang sangat tipis;

Pelat yang sangat tipis;

Batang dan benang tanpa bobot yang mengikat bersama poin materi, dll.

Dari pengalaman: fenomena mekanik berlangsung secara berbeda di tempat yang berbeda dari sistem referensi fisik. Properti ini adalah ketidakhomogenan ruang, ditentukan oleh sistem referensi fisik. Heterogenitas di sini dipahami sebagai ketergantungan sifat terjadinya suatu fenomena pada tempat kita mengamati fenomena tersebut.

Sifat lain adalah anisotropi (non-isotropi), gerakan tubuh relatif terhadap kerangka acuan fisik dapat berbeda tergantung pada arahnya. Contoh: aliran sungai di sepanjang meridian (dari utara ke selatan - Volga); penerbangan proyektil, pendulum Foucault.

Sifat-sifat sistem referensi (heterogenitas dan anisotropi) mempersulit pengamatan gerak suatu benda.

Praktis bebas dari ini geosentris sistem: pusat sistem berada di pusat Bumi dan sistem tidak berotasi relatif terhadap bintang "tetap"). Sistem geosentris berguna untuk menghitung pergerakan di Bumi.

Untuk mekanika langit(untuk badan tata surya): kerangka acuan heliosentris yang bergerak dengan pusat massa tata surya dan tidak berputar relatif terhadap bintang "tetap". Untuk sistem ini belum ditemukan heterogenitas dan anisotropi ruang

dalam kaitannya dengan fenomena mekanika.

Jadi, kami memperkenalkan abstrak inersia kerangka acuan yang ruangnya homogen dan isotropik dalam kaitannya dengan fenomena mekanika.

kerangka acuan inersia- seperti gerakan sendiri yang tidak dapat ditemukan oleh eksperimen mekanis apa pun. eksperimen pikiran: "titik yang sendirian di seluruh dunia" (terisolasi) baik diam atau bergerak dalam garis lurus dan seragam.

Semua kerangka acuan yang bergerak relatif terhadap garis lurus asli akan menjadi inersia seragam. Ini memungkinkan Anda untuk memasukkan satu sistem kartesius koordinat. Ruang seperti itu disebut Euclidean.

Kesepakatan bersyarat - ambil sistem koordinat yang benar (Gbr. 1).

PADA waktu– dalam mekanika klasik (non-relativistik) sangat, yang sama untuk semua sistem referensi, yaitu momen awal adalah arbitrer. Berbeda dengan mekanika relativistik, di mana prinsip relativitas diterapkan.

Keadaan gerak sistem pada waktu t ditentukan oleh koordinat dan kecepatan titik-titik pada saat itu.

Benda nyata berinteraksi, dan gaya muncul yang mengubah keadaan gerak sistem. Ini adalah inti dari mekanika teoretis.

Bagaimana mekanika teoretis dipelajari?

Doktrin keseimbangan sekumpulan benda dari kerangka acuan tertentu - bagian statika.

Bab kinematika: bagian dari mekanika yang mempelajari hubungan antara besaran-besaran yang mencirikan keadaan gerak sistem, tetapi tidak mempertimbangkan penyebab yang menyebabkan perubahan keadaan gerak.

Setelah itu, perhatikan pengaruh gaya [BAGIAN UTAMA].

Bab dinamika: bagian dari mekanika, yang mempertimbangkan pengaruh gaya pada keadaan gerak sistem benda material.

Prinsip membangun hidangan utama - dinamika:

1) berdasarkan sistem aksioma (berdasarkan pengalaman, pengamatan);

Terus-menerus - kontrol praktik yang kejam. Tanda ilmu pasti - kehadiran logika internal (tanpa itu - set resep yang tidak terkait)!

statis bagian dari mekanika itu disebut, di mana kondisi yang harus dipenuhi oleh gaya yang bekerja pada sistem titik material dipelajari agar sistem berada dalam kesetimbangan, dan kondisi untuk ekivalensi sistem gaya.

Masalah keseimbangan dalam statika dasar akan dipertimbangkan dengan menggunakan metode geometris eksklusif berdasarkan sifat-sifat vektor. Pendekatan ini diterapkan dalam statika geometris(berlawanan dengan statika analitik, yang tidak dipertimbangkan di sini).

Posisi berbagai benda material akan dirujuk ke sistem koordinat, yang akan kita ambil sebagai tetap.

Model tubuh material yang ideal:

1) titik material - titik geometris dengan massa.

2) benda yang benar-benar kaku - satu set titik material, jarak di antaranya tidak dapat diubah dengan tindakan apa pun.

Oleh pasukan kami akan menelepon alasan objektif, yang merupakan hasil interaksi benda-benda material, yang mampu menyebabkan gerakan benda dari keadaan diam atau mengubah gerakan yang ada dari keadaan diam.

Karena gaya ditentukan oleh gerakan yang ditimbulkannya, ia juga memiliki karakter relatif, tergantung pada pilihan kerangka acuan.

Pertanyaan tentang sifat kekuatan dipertimbangkan dalam fisika.

Suatu sistem titik material berada dalam kesetimbangan jika, dalam keadaan diam, tidak menerima gerakan apa pun dari gaya yang bekerja padanya.

Dari pengalaman sehari-hari: gaya adalah vektor di alam, yaitu besaran, arah, garis aksi, titik aplikasi. Kondisi keseimbangan gaya yang bekerja pada benda tegar direduksi menjadi sifat-sifat sistem vektor.

Meringkas pengalaman mempelajari hukum fisika alam, Galileo dan Newton merumuskan hukum dasar mekanika, yang dapat dianggap sebagai aksioma mekanika, karena mereka memiliki berdasarkan fakta eksperimental.

Aksioma 1. Aksi beberapa gaya pada suatu titik pada benda tegar setara dengan aksi satu kekuatan yang dihasilkan, dibangun menurut aturan penambahan vektor (Gbr. 2).

Konsekuensi. Gaya yang diterapkan pada titik benda tegar ditambahkan sesuai dengan aturan jajaran genjang.

Aksioma 2. Dua gaya diterapkan pada benda tegar saling seimbang jika dan hanya jika besarnya sama, arahnya berlawanan dan terletak pada garis lurus yang sama.

Aksioma 3. Aksi suatu sistem gaya pada benda tegar tidak akan berubah jika tambahkan ke sistem ini atau turun darinya dua gaya yang besarnya sama diarahkan ke sisi yang berlawanan dan berbaring di baris yang sama.

Konsekuensi. Gaya yang bekerja pada titik benda tegar dapat ditransfer sepanjang garis kerja gaya tanpa mengubah keseimbangan (yaitu, gaya adalah vektor geser, Gambar 3)

1) Aktif - membuat atau mampu menciptakan gerakan benda tegar. Misalnya, kekuatan berat.

2) Pasif - tidak menciptakan gerakan, tetapi membatasi gerakan tubuh yang kaku, mencegah gerakan. Misalnya, gaya tegangan dari benang yang tidak dapat diperpanjang (Gbr. 4).

Aksioma 4. Tindakan satu tubuh pada yang kedua adalah sama dan berlawanan dengan tindakan tubuh kedua ini pada yang pertama ( aksi sama dengan reaksi).

Kondisi geometris yang membatasi pergerakan titik disebut koneksi.

Kondisi komunikasi: misalnya,

- batang dengan panjang tidak langsung l.

- ulir fleksibel yang tidak dapat diperpanjang dengan panjang l.

Gaya karena ikatan dan mencegah gerakan disebut kekuatan reaksi.

Aksioma 5. Ikatan yang dikenakan pada sistem titik material dapat digantikan oleh gaya reaksi, yang aksinya setara dengan aksi ikatan.

Ketika kekuatan pasif tidak dapat menyeimbangkan aksi kekuatan aktif, gerakan dimulai.

Dua masalah khusus statika

1. Sistem gaya konvergen yang bekerja pada benda tegar

Sistem kekuatan konvergen sistem gaya seperti itu disebut, garis aksi yang berpotongan pada satu titik, yang selalu dapat dianggap sebagai titik asal (Gbr. 5).

Proyeksi yang dihasilkan:

;

;

.

Jika , maka gaya menyebabkan gerak benda tegar.

Kondisi kesetimbangan untuk sistem gaya konvergen:

2. Saldo tiga kekuatan

Jika tiga gaya bekerja pada sebuah benda tegar, dan garis kerja dua gaya berpotongan di suatu titik A, kesetimbangan mungkin terjadi jika dan hanya jika garis kerja gaya ketiga juga melalui titik A, dan gaya itu sendiri sama besarnya dan berlawanan arah dengan jumlah (Gbr. 6).

Contoh:

Momen gaya relatif terhadap titik O didefinisikan sebagai vektor , dalam ukuran sama dengan dua kali luas segitiga, yang alasnya adalah vektor gaya dengan titik di titik O yang diberikan; arah- ortogonal terhadap bidang segitiga yang dipertimbangkan dalam arah dari mana rotasi yang dihasilkan oleh gaya di sekitar titik O terlihat berlawanan arah jarum jam. adalah momen dari vektor geser dan adalah vektor gratis(Gbr. 9).

Jadi: atau

,

di mana ;;.

Dimana F adalah modulus gaya, h adalah bahu (jarak dari titik ke arah gaya).

Momen gaya terhadap sumbu disebut nilai aljabar proyeksi ke sumbu ini dari vektor momen gaya relatif terhadap titik sembarang O, diambil pada sumbu (Gbr. 10).

Ini adalah skalar independen dari pilihan titik. Memang, kami memperluas :|| dan di dalam pesawat.

Tentang momen: biarkan 1 menjadi titik potong dengan bidang. Kemudian:

a) dari - saat => proyeksi = 0.

b) dari - saat bersama => adalah proyeksi.

Jadi, momen terhadap sumbu adalah momen komponen gaya dalam tegak lurus bidang terhadap sumbu relatif terhadap titik potong bidang dan sumbu.

Teorema Varignon untuk sistem gaya konvergen:

Momen gaya resultan untuk sistem gaya konvergen relatif terhadap titik sembarang A sama dengan jumlah momen semua komponen gaya relatif terhadap titik A yang sama (Gbr. 11).

Bukti dalam teori vektor konvergen.

Penjelasan: penambahan gaya menurut aturan jajaran genjang => gaya yang dihasilkan memberikan momen total.

pertanyaan tes:

1. Sebutkan model utama benda nyata dalam mekanika teoretis.

2. Merumuskan aksioma statika.

3. Apa yang disebut momen gaya terhadap suatu titik?

Kuliah 2 Kondisi keseimbangan untuk sistem gaya arbitrer

Dari aksioma dasar statika, operasi dasar pada gaya mengikuti:

1) kekuatan dapat ditransfer sepanjang garis aksi;

2) gaya-gaya yang garis kerjanya berpotongan dapat ditambahkan menurut aturan genjang (menurut aturan penjumlahan vektor);

3) pada sistem gaya yang bekerja pada benda tegar, seseorang selalu dapat menambahkan dua gaya, yang besarnya sama, terletak pada garis lurus yang sama dan arahnya berlawanan.

Operasi dasar tidak mengubah keadaan mekanis sistem.

Sebutkan dua sistem gaya setara jika satu dari yang lain dapat diperoleh dengan menggunakan operasi dasar (seperti dalam teori vektor geser).

Sistem dua gaya sejajar yang besarnya sama dan arahnya berlawanan disebut beberapa kekuatan(Gbr. 12).

Momen sepasang gaya- sebuah vektor yang ukurannya sama dengan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor-vektor pasangan tersebut, dan diarahkan secara ortogonal ke bidang pasangan tersebut ke arah dari mana rotasi yang dilaporkan oleh vektor-vektor pasangan tersebut dapat dilihat terjadi berlawanan arah jarum jam.

, yaitu momen gaya terhadap titik B.

Sepasang gaya sepenuhnya dicirikan oleh momennya.

Sepasang gaya dapat ditransfer dengan operasi dasar ke sembarang bidang yang sejajar dengan bidang pasangan; mengubah besar gaya dari pasangan berbanding terbalik dengan bahu pasangan.

Pasangan gaya dapat ditambahkan, sedangkan momen pasangan gaya dapat ditambahkan sesuai dengan aturan penjumlahan vektor (bebas).

Membawa sistem gaya yang bekerja pada benda tegar ke titik sewenang-wenang(pusat referensi)- berarti mengganti sistem saat ini dengan yang lebih sederhana: sistem tiga kekuatan, salah satunya melewati terlebih dahulu poin yang diberikan, dan dua lainnya mewakili pasangan.

Ini dibuktikan dengan bantuan operasi dasar (gbr.13).

Sistem gaya konvergen dan sistem pasangan gaya.

- kekuatan yang dihasilkan.

Pasangan yang dihasilkan

Itu yang perlu ditunjukkan.

Dua sistem kekuatan akan setara jika dan hanya jika kedua sistem direduksi menjadi satu gaya resultan dan satu pasangan resultan, yaitu dalam kondisi berikut:

Kasus umum keseimbangan sistem gaya yang bekerja pada benda tegar

Kami membawa sistem kekuatan ke (Gbr. 14):

Kekuatan yang dihasilkan melalui asal;

Pasangan yang dihasilkan, apalagi, melalui titik O.

Artinya, mereka mengarah ke dan - dua gaya, salah satunya melewati titik O tertentu.

Kesetimbangan, jika salah satu garis lurus lainnya sama, arahnya berlawanan (aksioma 2).

Kemudian melewati titik O, yaitu.

Jadi, syarat dan ketentuan Umum kesetimbangan benda tegar:

Kondisi ini berlaku untuk titik sembarang di ruang angkasa.

pertanyaan tes:

1. Sebutkan operasi dasar pada gaya.

2. Sistem gaya apa yang disebut ekivalen?

3. Tuliskan kondisi umum untuk keseimbangan benda tegar.

Kuliah 3 Persamaan Kesetimbangan Tubuh Kaku

Biarkan O menjadi asal koordinat; adalah gaya yang dihasilkan; adalah momen dari pasangan yang dihasilkan. Biarkan titik O1 menjadi pusat baru cor (Gbr. 15).

Sistem kekuatan baru:

Ketika titik pemeran berubah, => hanya berubah (dalam satu arah dengan satu tanda, di yang lain dengan yang lain). Itulah intinya: cocok dengan garis

Secara analitis: (kolinearitas vektor)

; titik koordinat O1.

Ini adalah persamaan garis lurus, untuk semua titik di mana arah vektor yang dihasilkan bertepatan dengan arah momen pasangan yang dihasilkan - garis lurus disebut dinamo.

Jika pada sumbu dynamas => , maka sistem tersebut ekivalen dengan satu resultan gaya, yang disebut gaya resultan dari sistem. Dalam hal ini, selalu, yaitu.

Empat kasus membawa kekuatan:

1.) ;- dinamo.

2.) ; - resultan.

3.) ;- pasangan.

4.) ;- keseimbangan.

Dua persamaan kesetimbangan vektor: vektor utama dan Titik utama sama dengan nol.

Atau enam persamaan skalar dalam proyeksi ke sumbu koordinat Cartesian:

Di Sini:

Kompleksitas jenis persamaan tergantung pada pilihan titik reduksi => seni kalkulator.

Menemukan kondisi kesetimbangan untuk sistem benda tegar dalam interaksi<=>masalah keseimbangan masing-masing tubuh secara terpisah, dan tubuh dipengaruhi oleh kekuatan eksternal dan kekuatan internal (interaksi tubuh pada titik kontak dengan kekuatan yang sama dan berlawanan arah - aksioma IV, Gambar 17).

Kami memilih untuk semua badan sistem satu pusat rujukan. Maka untuk setiap benda dengan kondisi keseimbangan nomor:

, , (= 1, 2, …, k)

di mana , - gaya yang dihasilkan dan momen dari pasangan yang dihasilkan dari semua gaya, kecuali untuk reaksi internal.

Gaya dan momen yang dihasilkan dari pasangan gaya yang dihasilkan dari reaksi internal.

Secara formal menyimpulkan dan mempertimbangkan aksioma IV

kita mendapatkan kondisi yang diperlukan untuk keseimbangan benda tegar:

,

Contoh.

keseimbangan: = ?

pertanyaan tes:

1. Sebutkan semua kasus yang membawa sistem gaya ke satu titik.

2. Apa itu dinamo?

3. Merumuskan kondisi yang diperlukan untuk keseimbangan sistem benda tegar.

Kuliah 4 Sistem gaya datar

Sebuah kasus khusus dari pengiriman tugas umum.

Biarkan semua kekuatan aktif berbaring di bidang yang sama - misalnya, selembar. Mari kita pilih titik O sebagai pusat reduksi - pada bidang yang sama. Kami mendapatkan gaya yang dihasilkan dan pasangan yang dihasilkan pada bidang yang sama, yaitu (Gbr. 19)

Komentar.

Sistem dapat direduksi menjadi satu gaya resultan.

Kondisi keseimbangan:

atau skalar:

Sangat umum dalam aplikasi seperti kekuatan material.

Contoh.

Dengan gesekan bola di papan dan di pesawat. Kondisi kesetimbangan: = ?

Masalah keseimbangan benda tegar tak bebas.

Benda tegar disebut tidak bebas, yang gerakannya dibatasi oleh kendala. Misalnya, badan lain, pengencang berengsel.

Saat menentukan kondisi kesetimbangan: benda tidak bebas dapat dianggap bebas, menggantikan ikatan dengan gaya reaksi yang tidak diketahui.

Contoh.

pertanyaan tes:

1. Apa yang disebut sistem gaya datar?

2. Tuliskan kondisi kesetimbangan untuk sistem gaya datar.

3. Benda padat seperti apa yang disebut tidak bebas?

Kuliah 5 Kasus khusus keseimbangan benda tegar

Dalil. Tiga gaya menyeimbangkan benda tegar hanya jika semuanya terletak pada bidang yang sama.

Bukti.

Kami memilih titik pada garis aksi gaya ketiga sebagai titik reduksi. Kemudian (gbr.22)

Yaitu, bidang S1 dan S2 bertepatan, dan untuk setiap titik pada sumbu gaya, dll. (Lebih mudah: di pesawat hanya untuk keseimbangan).

Dalam segala kemuliaan dan keanggunannya. Dengan bantuannya, Newton pernah menyimpulkan berdasarkan tiga hukum empiris Hukum gravitasi universal Kepler. Subjeknya, secara umum, tidak begitu rumit, relatif mudah dipahami. Tetapi sulit untuk lulus, karena guru sering sangat pilih-pilih (seperti Pavlova, misalnya). Saat memecahkan masalah, Anda harus bisa menyelesaikan difusi dan menghitung integral.

Ide Kunci

Sebenarnya, teori mekanika dalam mata kuliah ini adalah penerapan prinsip variasi untuk menghitung "gerakan" berbagai sistem fisik. Kalkulus variasi dibahas secara singkat dalam kursus Persamaan Integral dan Kalkulus Variasi. Persamaan Lagrange adalah persamaan Euler yang merupakan solusi dari masalah dengan ujung tetap.

Satu tugas biasanya dapat diselesaikan dengan 3 metode berbeda sekaligus:

• Metode Lagrange (Fungsi Lagrange, Persamaan Lagrange)
• Metode Hamilton (Fungsi Hamilton, persamaan Hamilton)
• Metode Hamilton-Jacobi (Persamaan Hamilton-Jacobi)

Penting untuk memilih yang paling sederhana untuk tugas tertentu.

bahan

Semester pertama (tes)

Rumus Dasar

Tonton dalam ukuran besar!

Teori

Rekaman video

Kuliah V.R. Khalilova - Perhatian! tidak semua kuliah direkam

Semester kedua (ujian)

Anda harus mulai dengan apa kelompok yang berbeda Ujiannya berbeda. Biasanya Tiket ujian terdiri dari 2 pertanyaan teori dan 1 tugas. Pertanyaan wajib untuk semua orang, tetapi Anda berdua dapat menyingkirkan tugas (untuk pekerjaan yang sangat baik di semester + yang kontrol tertulis), atau ambil satu tambahan (dan lebih dari satu). Di sini Anda akan diberitahu tentang aturan main di seminar. Dalam kelompok Pavlova dan Pimenov, theormin dipraktikkan, yang merupakan semacam penerimaan ujian. Oleh karena itu teori ini harus diketahui dengan sempurna.

Ujian di grup Pavlova berjalan seperti ini: Untuk memulai tiket dengan 2 pertanyaan istilah. Ada sedikit waktu untuk menulis, dan kuncinya di sini adalah menulisnya dengan benar-benar sempurna. Kemudian Olga Serafimovna akan baik kepada Anda dan sisa ujian akan sangat menyenangkan. Berikutnya adalah tiket dengan 2 pertanyaan teori + n tugas (tergantung pekerjaan Anda di semester). Teori dalam teori dapat dihapuskan. Tugas untuk dipecahkan. Ada banyak masalah dalam ujian - ini bukanlah akhir jika Anda tahu cara menyelesaikannya dengan sempurna. Ini dapat diubah menjadi keuntungan - untuk setiap poin ujian Anda mendapatkan +, + -, -+ atau -. Peringkat diberikan "berdasarkan kesan keseluruhan" => jika secara teori semuanya tidak sempurna untuk Anda, tetapi kemudian menjadi 3 + untuk tugas, maka kesan umum bagus. Tetapi jika Anda tanpa masalah dalam ujian dan teorinya tidak ideal, maka tidak ada yang bisa memuluskannya.

Teori

• Julia. Catatan kuliah (2014, pdf) - kedua semester, aliran ke-2
• Tiket aliran kedua bagian 1 (catatan kuliah dan bagian untuk tiket) (pdf)
• Tiket aliran kedua dan daftar isi untuk semua bagian ini (pdf)
• Jawaban untuk tiket aliran pertama (2016, pdf) - dalam bentuk cetak, sangat nyaman
• Diakui Theormin untuk Ujian Grup Pimenov (2016, pdf) - kedua semester
• Jawaban untuk theormin untuk grup Pimenov (2016, pdf) - akurat dan tampaknya tanpa kesalahan

tugas

• Seminar Pavlova semester 2 (2015, pdf) - ditulis dengan rapi, indah dan jelas
• Tugas yang mungkin ada dalam ujian (jpg) - sekali dalam beberapa tahun yang buruk mereka berada di aliran ke-2, juga dapat relevan untuk grup V.R. Khalilova ( tugas serupa dia memberi pada cr)
• Tugas untuk tiket (pdf)- untuk kedua aliran (pada aliran ke-2, tugas-tugas ini ada di grup A.B. Pimenov)