Definisi.
Ini adalah segi enam yang alasnya dua persegi yang sama, dan sisi-sisinya adalah persegi panjang yang sama
rusuk samping- Ini sisi umum dua sisi sisi yang berdekatan
Tinggi Prisma- ini adalah potongan tegak lurus terhadap alas prisma
Diagonal Prisma- segmen yang menghubungkan dua simpul dari basis yang tidak memiliki wajah yang sama
Bidang diagonal adalah bidang yang melalui diagonal prisma dan rusuk samping
Bagian diagonal - batas-batas perpotongan prisma dan bidang diagonal. Bagian diagonal yang benar prisma segi empat adalah persegi panjang
Bagian tegak lurus (bagian ortogonal)- ini adalah perpotongan prisma dan bidang yang ditarik tegak lurus terhadap sisi-sisinya
Unsur-unsur prisma segi empat beraturan
Gambar tersebut menunjukkan dua prisma segi empat biasa, yang ditandai dengan huruf yang sesuai:
- Basa ABCD dan A 1 B 1 C 1 D 1 sama besar dan sejajar
- Wajah samping AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C dan CC 1 D 1 D yang masing-masing berbentuk persegi panjang
- Permukaan samping- jumlah luas semua sisi sisi prisma
- Permukaan total - jumlah luas semua alas dan permukaan samping (jumlah luas permukaan samping dan alas)
- Rusuk samping AA 1 , BB 1 , CC 1 dan DD 1 .
- Diagonal B 1 D
- Basis diagonal BD
- Bagian diagonal BB 1 D 1 D
- Bagian tegak lurus A 2 B 2 C 2 D 2 .
Sifat-sifat prisma segi empat beraturan
- Basis adalah dua persegi yang sama
- Basisnya sejajar satu sama lain
- Sisi-sisinya berbentuk persegi panjang.
- Sisi wajah sama satu sama lain
- Wajah samping tegak lurus dengan alas
- Tulang rusuk lateral sejajar satu sama lain dan sama besar
- Penampang tegak lurus terhadap semua rusuk sisi dan sejajar dengan alas
- sudut bagian tegak lurus- lurus
- Bagian diagonal prisma segi empat beraturan adalah persegi panjang
- Tegak lurus (bagian ortogonal) sejajar dengan alas
Rumus prisma segi empat beraturan
Petunjuk untuk memecahkan masalah
Saat memecahkan masalah pada topik " prisma segi empat beraturan" menyiratkan bahwa:Prisma yang benar- sebuah prisma yang alasnya terletak poligon beraturan, dan sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alas. Artinya, prisma segi empat biasa berisi di alasnya kotak. (lihat di atas sifat-sifat prisma segi empat beraturan) Catatan. Ini adalah bagian dari pelajaran dengan tugas-tugas dalam geometri (bagian geometri padat - prisma). Berikut adalah tugas-tugas yang menyebabkan kesulitan dalam menyelesaikannya. Jika Anda perlu menyelesaikan masalah dalam geometri, yang tidak ada di sini - tulis di forum. Untuk menunjukkan tindakan mengekstraksi akar pangkat dua simbol yang digunakan dalam pemecahan masalah√ .
Tugas.
Pada sebuah prisma segi empat beraturan, luas alasnya 144 cm 2 dan tingginya 14 cm. Hitunglah diagonal prisma dan luasnya permukaan penuh.Keputusan.
Segi empat beraturan adalah persegi.
Dengan demikian, sisi alasnya akan sama dengan
Dari mana diagonal alasnya berasal? prisma segiempat akan sama dengan
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
Diagonal prisma kanan bentuk dengan diagonal alas dan tinggi prisma segitiga siku-siku. Dengan demikian, menurut teorema Pythagoras, diagonal prisma segi empat beraturan yang diberikan akan sama dengan:
((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm
Menjawab: 22 cm
Tugas
Hitunglah luas prisma segi empat beraturan jika diagonalnya 5 cm dan diagonal sisi sisinya 4 cm.Keputusan.
Karena alas prisma segi empat beraturan adalah persegi, maka sisi alasnya (dilambangkan dengan a) ditemukan oleh teorema Pythagoras:
A2 + a2 = 5 2
2a 2 = 25
a = 12,5
Ketinggian sisi muka (dilambangkan sebagai h) kemudian akan sama dengan:
H 2 + 12,5 \u003d 4 2
jam 2 + 12,5 = 16
j 2 \u003d 3.5
h = 3,5
Luas permukaan total akan sama dengan jumlah luas permukaan lateral dan dua kali luas alas
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * 3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 51,46 cm 2.
Jawaban: 25 + 10√7 51,46 cm 2.
Perlu dicatat bahwa kombinatorik adalah cabang independen matematika yang lebih tinggi(dan bukan bagian dari terver) dan buku teks berbobot telah ditulis dalam disiplin ini, yang isinya, kadang-kadang, tidak lebih mudah daripada aljabar abstrak. Namun, sebagian kecil akan cukup bagi kita. pengetahuan teoretis, dan pada artikel kali ini saya akan mencoba formulir yang dapat diakses untuk menganalisis dasar-dasar topik dengan masalah kombinatorial yang khas. Dan banyak dari Anda akan membantu saya ;-)
Apa yang akan kita lakukan? PADA pengertian sempit kombinatorik adalah penghitungan kombinasi berbeda yang dapat dibuat dari satu set diskrit objek. Objek dipahami sebagai objek atau makhluk hidup yang terisolasi - manusia, hewan, jamur, tumbuhan, serangga, dll. Pada saat yang sama, kombinatorik sama sekali tidak peduli bahwa set terdiri dari sepiring semolina, besi solder, dan katak rawa. Pada dasarnya penting bahwa objek-objek ini dapat dihitung - ada tiga di antaranya. (kebijaksanaan) dan adalah penting bahwa tidak satupun dari mereka yang sama.
Dengan banyak beres, sekarang tentang kombinasi. Jenis kombinasi yang paling umum adalah permutasi objek, pemilihannya dari himpunan (kombinasi) dan distribusi (penempatan). Mari kita lihat bagaimana ini terjadi sekarang:
Permutasi, kombinasi dan penempatan tanpa pengulangan
Jangan takut dengan istilah yang tidak jelas, terutama karena beberapa di antaranya benar-benar tidak terlalu berhasil. Mari kita mulai dengan ekor judul - apa artinya " tanpa pengulangan"? Ini berarti bahwa dalam paragraf ini set akan dipertimbangkan, yang terdiri dari berbagai objek. Misalnya ... tidak, saya tidak akan menawarkan bubur dengan besi solder dan katak, sesuatu yang lebih enak lebih baik =) Bayangkan sebuah apel, pir, dan pisang muncul di meja di depan Anda (jika ada apapun, situasinya dapat disimulasikan secara nyata). Kami meletakkan buah-buahan dari kiri ke kanan dalam urutan berikut:
apel / pir / pisang
Pertanyaan satu: Dalam berapa cara mereka dapat disusun kembali?
Satu kombinasi telah ditulis di atas dan tidak ada masalah dengan sisanya:
apel / pisang / pir
pir / apel / pisang
pir / pisang / apel
pisang / apel / pir
pisang / pir / apel
Total: 6 kombinasi atau 6 permutasi.
Yah, tidak sulit untuk membuat daftar semua kemungkinan kasus di sini, tetapi bagaimana jika ada lebih banyak item? Sudah dengan empat buah yang berbeda, jumlah kombinasi akan meningkat secara signifikan!
Silakan buka bahan referensi (Manual mudah dicetak) dan pada paragraf nomor 2, temukan rumus banyaknya permutasi.
Tidak ada siksaan - 3 objek dapat diatur ulang dengan cara.
Pertanyaan kedua: Dalam berapa cara kamu dapat memilih a) satu buah, b) dua buah, c) tiga buah, d) setidaknya satu buah?
Mengapa memilih? Jadi mereka meningkatkan nafsu makan di paragraf sebelumnya - untuk makan! =)
a) Satu buah dapat dipilih, tentu saja, dengan tiga cara - ambil apel, atau pir, atau pisang. Hitungan formal didasarkan pada rumus banyaknya kombinasi:
Merekam di kasus ini harus dipahami sebagai berikut: "dalam berapa banyak cara Anda dapat memilih 1 buah dari tiga?"
b) Kami membuat daftar semua kemungkinan kombinasi dari dua buah:
apel dan pir;
apel dan pisang;
pir dan pisang.
Jumlah kombinasi mudah diperiksa menggunakan rumus yang sama:
Entrinya dipahami dengan cara yang sama: "dalam berapa banyak cara Anda dapat memilih 2 buah dari tiga?".
c) Dan akhirnya, tiga buah dapat dipilih satu-satunya jalan:
Omong-omong, rumus jumlah kombinasi juga masuk akal untuk sampel kosong:
Dengan cara ini, Anda tidak dapat memilih satu buah pun - pada kenyataannya, tidak mengambil apa pun dan hanya itu.
d) Berapa banyak cara yang dapat kamu ambil? setidaknya satu buah? Kondisi "setidaknya satu" menyiratkan bahwa kita puas dengan 1 buah (apa saja) atau 2 buah apa pun atau ketiga buah:
cara Anda dapat memilih setidaknya satu buah.
Pembaca yang telah mempelajari dengan seksama pelajaran pengantar pada teori probabilitas sudah menemukan sesuatu. Tapi tentang arti tanda plus nanti.
Untuk jawaban pertanyaan selanjutnya Saya butuh dua orang sukarelawan.. . . . . . Karena tidak ada yang mau, maka saya akan memanggil ke dewan =)
Pertanyaan ketiga: Dalam berapa cara satu buah dapat dibagikan kepada Dasha dan Natasha?
Untuk mendistribusikan dua buah, Anda harus memilihnya terlebih dahulu. Menurut paragraf "menjadi" dari pertanyaan sebelumnya, ini dapat dilakukan dengan cara, saya akan menulis ulang mereka lagi:
apel dan pir;
apel dan pisang;
pir dan pisang.
Tapi sekarang akan ada dua kali lebih banyak kombinasi. Pertimbangkan, misalnya, pasangan buah pertama:
Anda dapat memperlakukan Dasha dengan apel, dan Natasha dengan pir;
atau sebaliknya - Dasha akan mendapatkan pir, dan Natasha akan mendapatkan apel.
Dan permutasi seperti itu dimungkinkan untuk setiap pasang buah.
Anggap sama kelompok siswa yang pergi ke pesta dansa. Dalam berapa cara anak laki-laki dan perempuan dapat berpasangan?
Cara Anda dapat memilih 1 pemuda;
cara Anda dapat memilih 1 gadis.
Jadi seorang pemuda dan satu gadis dapat dipilih: 
cara.
Ketika 1 objek dipilih dari setiap set, maka prinsip kombinasi penghitungan berikut ini valid: setiap orang sebuah benda dari satu himpunan dapat membentuk pasangan dengan setiap objek himpunan lain.
Artinya, Oleg dapat mengundang salah satu dari 13 gadis untuk menari, Evgeny juga dapat mengundang salah satu dari tiga belas, dan anak muda lainnya memiliki pilihan yang sama. Total: kemungkinan pasangan.
Perlu dicatat bahwa dalam contoh ini"sejarah" pembentukan pasangan tidak masalah; namun, jika inisiatif diperhitungkan, maka jumlah kombinasi harus digandakan, karena masing-masing dari 13 anak perempuan juga dapat mengundang anak laki-laki mana pun untuk menari. Itu semua tergantung pada kondisi tugas tertentu!
Prinsip yang sama berlaku untuk kombinasi yang lebih kompleks, misalnya: dalam berapa banyak cara dua anak laki-laki dapat dipilih? dan dua gadis untuk berpartisipasi dalam drama komedi KVN?
Persatuan Dan mengisyaratkan dengan jelas bahwa kombinasi harus dikalikan:
Kemungkinan kelompok seniman.
Dengan kata lain, setiap pasangan anak laki-laki (45 pasangan unik) dapat bersaing setiap beberapa gadis (78 pasangan unik). Dan jika kita mempertimbangkan pembagian peran di antara para peserta, maka akan ada lebih banyak kombinasi. ... Saya benar-benar ingin, tetapi saya tetap akan menahan diri untuk tidak melanjutkan agar tidak menanamkan keengganan pada Anda untuk kehidupan pelajar =).
Aturan untuk mengalikan kombinasi juga berlaku untuk jumlah besar pengganda:
Tugas 8
Ada berapa bilangan tiga angka yang habis dibagi 5?
Keputusan: untuk kejelasan, kami menunjukkan nomor yang diberikan Bintang tiga: ***
PADA ratusan tempat Anda dapat menulis salah satu angka (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 atau 9). Nol tidak baik, karena dalam hal ini jumlahnya tidak lagi menjadi tiga digit.
Tapi di tempat puluhan(“di tengah”) Anda dapat memilih salah satu dari 10 digit: .
Dengan syarat, bilangan tersebut harus habis dibagi 5. Bilangan itu habis dibagi 5 jika berakhiran 5 atau 0. Jadi, dalam angka penting terkecil, kita puas dengan 2 angka.
Total, ada: bilangan tiga angka yang habis dibagi 5.
Pada saat yang sama, pekerjaan tersebut diuraikan sebagai berikut: “9 cara Anda dapat memilih nomor di ratusan tempat dan 10 cara untuk memilih nomor di tempat puluhan dan 2 cara masuk angka satuan»
Atau bahkan lebih sederhana: setiap dari 9 digit ke ratusan tempat gabungan dengan masing-masing dari 10 digit tempat puluhan dan dengan masing-masing dari dua digit angka satuan».
Menjawab: 180
Dan sekarang…
Ya, saya hampir lupa tentang komentar yang dijanjikan untuk masalah No. 5, di mana Borya, Dima dan Volodya dapat dibagikan masing-masing satu kartu dengan cara yang berbeda. Perkalian di sini memiliki arti yang sama: dengan cara Anda dapat mengekstrak 3 kartu dari dek Dan di setiap sampel untuk mengatur ulang cara mereka.
Sekarang tugas untuk solusi mandiri... sekarang saya akan menemukan sesuatu yang lebih menarik, ... biarlah tentang blackjack versi Rusia yang sama:
Tugas 9
Berapa banyak kombinasi pemenang dari 2 kartu yang ada dalam permainan "poin"?
Bagi mereka yang tidak tahu: menang kombinasi 10 + ACE (11 poin) = 21 poin dan, mari kita pertimbangkan kombinasi kemenangan dua ace.
(urutan kartu dalam pasangan apa pun tidak masalah)
Solusi Cepat dan jawabannya di akhir pelajaran.
Omong-omong, tidak perlu mempertimbangkan contoh primitif. Blackjack hampir satu-satunya permainan yang ada algoritma yang dibenarkan secara matematis yang memungkinkan Anda untuk mengalahkan kasino. Mereka yang ingin dapat dengan mudah menemukan banyak informasi tentang strategi dan taktik yang optimal. Benar, master seperti itu dengan cepat jatuh ke dalam daftar hitam semua perusahaan =)
Saatnya untuk mengkonsolidasikan materi yang dibahas dengan beberapa tugas yang solid:
Tugas 10
Vasya memiliki 4 kucing di rumah.
a) Dalam berapa cara kucing-kucing itu dapat duduk di sudut-sudut ruangan?
b) Dalam berapa cara kucing diperbolehkan berkeliaran?
c) dalam berapa cara Vasya dapat mengambil dua kucing (satu di kiri, yang lain di kanan)?
Kami memutuskan: pertama, perlu dicatat lagi bahwa masalahnya adalah tentang berbeda objek (bahkan jika kucing adalah kembar identik). Ini sangat syarat penting!
a) Keheningan kucing. Eksekusi ini tunduk pada semua kucing sekaligus
+ lokasinya penting, jadi ada permutasi di sini:
cara Anda bisa mendudukkan kucing di sudut ruangan.
Saya ulangi bahwa dalam permutasi, hanya jumlah objek yang berbeda dan mereka pengaturan bersama. Tergantung pada suasana hatinya, Vasya dapat mendudukkan hewan dalam setengah lingkaran di sofa, berjajar di ambang jendela, dll. - akan ada 24 permutasi dalam semua kasus. Untuk kenyamanan, mereka yang ingin dapat membayangkan bahwa kucing berwarna-warni (misalnya, putih, hitam, merah dan bergaris) dan daftar semua kemungkinan kombinasi.
b) Dalam berapa cara kucing diperbolehkan berkeliaran?
Diasumsikan bahwa kucing berjalan-jalan hanya melalui pintu, sedangkan pertanyaannya menyiratkan ketidakpedulian tentang jumlah hewan - 1, 2, 3 atau semua 4 kucing dapat berjalan-jalan.
Kami mempertimbangkan semua kemungkinan kombinasi:
Cara Anda bisa melepaskan satu kucing (salah satu dari empat); 
cara membiarkan dua kucing berjalan-jalan (sebutkan sendiri pilihannya);
cara membiarkan tiga kucing berjalan-jalan (salah satu dari empat kucing duduk di rumah);
cara Anda dapat melepaskan semua kucing.
Anda mungkin menebak bahwa nilai yang diperoleh harus diringkas:
cara membiarkan kucing berjalan-jalan.
Untuk penggemar, saya menawarkan versi masalah yang rumit - ketika kucing mana pun dalam sampel apa pun dapat keluar secara acak, baik melalui pintu maupun melalui jendela di lantai 10. Akan ada lebih banyak kombinasi!
c) Dalam berapa cara Vasya dapat mengambil dua kucing?
Situasinya tidak hanya melibatkan pilihan 2 hewan, tetapi juga penempatannya di tangan:
cara Anda dapat mengambil 2 kucing.
Solusi kedua: dengan cara Anda dapat memilih dua kucing dan cara menanam setiap pasangan di tangan: 
Menjawab: a) 24, b) 15, c) 12
Nah, untuk menjernihkan hati nurani saya, sesuatu yang lebih spesifik tentang perkalian kombinasi .... Biarkan Vasya punya 5 kucing ekstra =) Berapa banyak cara Anda bisa membiarkan 2 kucing berjalan-jalan? dan 1 kucing?
Yaitu dengan setiap beberapa kucing dapat dilepaskan setiap kucing.
Akordeon tombol lain untuk solusi independen:
Tugas 11
3 penumpang masuk ke lift gedung 12 lantai. Setiap orang, terlepas dari yang lain, dapat keluar dari lantai mana pun (mulai dari lantai 2) dengan probabilitas yang sama. Dalam berapa cara:
1) Penumpang bisa turun di lantai yang sama (urutan keluar tidak masalah);
2) dua orang bisa turun di satu lantai dan yang ketiga di lantai lain;
3) orang bisa turun di lantai yang berbeda;
4) Bisakah penumpang keluar dari lift?
Dan disini mereka sering bertanya lagi, saya klarifikasi: kalau 2 atau 3 orang keluar di lantai yang sama, maka urutan keluarnya tidak masalah. BERPIKIR, gunakan rumus dan aturan untuk kombinasi penjumlahan/perkalian. Jika mengalami kesulitan, sangat berguna bagi penumpang untuk menyebutkan nama dan alasan kombinasi apa yang bisa mereka keluarkan dari lift. Tidak perlu kesal jika sesuatu tidak berhasil, misalnya, poin nomor 2 cukup berbahaya.
Solusi Lengkap dengan komentar rinci di akhir pelajaran.
Paragraf terakhir dikhususkan untuk kombinasi yang juga cukup umum - menurut saya penilaian subjektif, sekitar 20-30% masalah kombinatorial:
Permutasi, kombinasi dan penempatan dengan pengulangan
Spesies yang terdaftar kombinasi diuraikan dalam paragraf nomor 5 materi referensi Rumus dasar kombinatorika, namun, beberapa di antaranya mungkin tidak begitu jelas saat dibaca pertama kali. Dalam hal ini, disarankan untuk membiasakan diri terlebih dahulu dengan contoh praktis, dan baru kemudian memahami formulasi umum. Pergi:
Permutasi dengan pengulangan
Dalam permutasi dengan pengulangan, seperti dalam permutasi "biasa", seluruh set objek sekaligus, tetapi ada satu hal: dalam himpunan ini, satu atau lebih elemen (objek) diulang. Memenuhi standar berikutnya:
Tugas 12
Berapa banyak kombinasi huruf yang berbeda dapat diperoleh dengan menyusun kembali kartu dengan huruf-huruf berikut: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?
Keputusan: jika semua huruf berbeda, maka formula sepele harus diterapkan, namun, cukup jelas bahwa untuk set kartu yang diusulkan, beberapa manipulasi akan berfungsi "menganggur", jadi, misalnya, jika Anda menukar dua kartu dengan huruf "K dalam kata apa pun, itu akan menjadi kata yang sama. Selain itu, secara fisik kartunya bisa sangat berbeda: yang satu bisa bulat dengan huruf "K" yang dicetak, yang lain persegi dengan huruf "K" yang digambar. Tetapi menurut arti masalahnya, bahkan kartu seperti itu dianggap sama, karena kondisi menanyakan tentang kombinasi huruf.
Semuanya sangat sederhana - total: 11 kartu, termasuk surat:
K - diulang 3 kali;
O - diulang 3 kali;
L - diulang 2 kali;
b - diulang 1 kali;
H - diulang 1 kali;
Dan - berulang 1 kali.
Periksa: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, yang ingin kita periksa.
Menurut rumus jumlah permutasi dengan pengulangan:
berbagai kombinasi huruf dapat diperoleh. Lebih dari setengah juta!
Untuk menghitung nilai faktorial besar dengan cepat, akan lebih mudah untuk digunakan fungsi standar Excel: kami mencetak skor di sel mana pun =FAKTA(11) dan klik Memasuki.
Dalam praktiknya, sangat dapat diterima untuk tidak menulis rumus umum dan, sebagai tambahan, hilangkan faktorial satuan: 
Tapi komentar awal tentang surat berulang diperlukan!
Menjawab: 554400
Contoh tipikal lain dari permutasi dengan pengulangan terjadi pada masalah penempatan bidak catur yang dapat ditemukan di saham solusi siap pakai dalam pdf yang sesuai. Dan untuk solusi independen, saya membuat tugas templat yang lebih sedikit:
Tugas 13
Alexey masuk untuk olahraga, dan 4 hari seminggu - atletik, 2 hari - latihan kekuatan dan istirahat 1 hari. Dalam berapa cara dia dapat menjadwalkan kelas mingguannya?
Rumus tidak bekerja di sini karena memperhitungkan permutasi yang tumpang tindih (misalnya, ketika latihan kekuatan pada hari Rabu ditukar dengan latihan kekuatan pada hari Kamis). Dan lagi - pada kenyataannya, 2 sesi latihan kekuatan yang sama bisa sangat berbeda satu sama lain, tetapi dalam konteks tugas (dalam hal jadwal), mereka dianggap sebagai elemen yang sama.
Solusi dua baris dan jawaban di akhir pelajaran.
Kombinasi dengan pengulangan
Fitur Jenis kombinasi ini adalah sampel yang diambil dari beberapa kelompok yang masing-masing terdiri dari objek yang sama.
Semua orang bekerja keras hari ini, jadi inilah saatnya untuk menyegarkan diri:
Tugas 14
Kantin mahasiswa menjual sosis dalam adonan, kue keju, dan donat. Dalam berapa cara lima kue dapat dibeli?
Keputusan: segera perhatikan kriteria khas untuk kombinasi dengan pengulangan - sesuai dengan kondisinya, bukan sekumpulan objek seperti itu, tetapi jenis yang berbeda objek; diasumsikan bahwa setidaknya ada lima hot dog, 5 kue keju, dan 5 donat yang dijual. Pai di setiap kelompok, tentu saja, berbeda - karena donat yang benar-benar identik hanya dapat dimodelkan di komputer =) Namun karakter fisik pai tidak penting dalam arti masalahnya, dan hot dog / cheesecake / donat dalam kelompoknya dianggap sama.
Apa yang bisa ada dalam sampel? Pertama-tama, perlu dicatat bahwa sampel harus mengandung kue identik(karena kami memilih 5 buah, dan ada 3 jenis untuk dipilih). Pilihan di sini untuk setiap selera: 5 hot dog, 5 kue keju, 5 donat, 3 hot dog + 2 kue keju, 1 hot dog + 2 + kue keju + 2 donat, dll.
Seperti kombinasi "biasa", urutan pemilihan dan penempatan pai dalam sampel tidak masalah - mereka hanya memilih 5 buah dan hanya itu.
Kami menggunakan rumus 
jumlah kombinasi dengan pengulangan: 
cara Anda dapat membeli 5 pai.
Menjawab: 21
Kesimpulan apa yang dapat ditarik dari banyak masalah kombinatorial?
Terkadang, hal yang paling sulit adalah memahami kondisi.
Contoh serupa untuk solusi do-it-yourself:
Tugas 15
Ada cukup di dompet sejumlah besar Koin 1-, 2-, 5- dan 10-rubel. Dalam berapa cara tiga uang logam dapat dikeluarkan dari dompet?
Untuk pengendalian diri, jawablah pasangan pertanyaan sederhana:
1) Bisakah semua koin dalam sampel berbeda?
2) Sebutkan kombinasi koin yang "termurah" dan paling "mahal".
Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.
Dari saya pengalaman pribadi, Saya dapat mengatakan bahwa kombinasi dengan pengulangan adalah tamu paling langka dalam praktik, yang tidak dapat dikatakan tentang bentuk berikut kombinasi:
Penempatan dengan pengulangan
Dari himpunan yang terdiri dari elemen, elemen dipilih, dan urutan elemen dalam setiap sampel adalah penting. Dan semuanya akan baik-baik saja, tetapi lelucon yang agak tidak terduga adalah bahwa kita dapat memilih objek apa pun dari set asli sebanyak yang kita suka. Secara kiasan, dari "orang banyak tidak akan berkurang."
Kapan itu terjadi? Contoh tipikal adalah kunci kombinasi dengan beberapa disk, tetapi karena perkembangan teknologi, lebih relevan untuk mempertimbangkan keturunan digitalnya:
Tugas 16
Ada berapa kode pin 4 digit?
Keputusan: sebenarnya, untuk menyelesaikan masalah, cukup mengetahui aturan kombinatorik: Anda dapat memilih digit pertama kode pin dengan cara dan cara - digit kedua dari kode pin dan dalam banyak cara - sepertiga dan sebanyak - keempat. Jadi, menurut aturan perkalian kombinasi, kode pin empat digit dapat disusun: dengan cara.
Dan sekarang dengan rumus. Dengan syarat, kami ditawari satu set angka, dari mana angka dipilih dan ditempatkan dalam urutan tertentu, sedangkan angka dalam sampel dapat diulang (yaitu setiap digit dari himpunan asli dapat digunakan beberapa kali sewenang-wenang). Menurut rumus jumlah penempatan dengan pengulangan: 
Menjawab: 10000
Apa yang terlintas dalam pikiran di sini ... ... jika ATM "memakan" kartu setelah yang ketiga usaha yang gagal memasukkan kode PIN, maka kemungkinan mengambilnya secara acak sangat ilusif.
Dan siapa bilang tidak ada arti praktis dalam kombinatorik? Tugas kognitif untuk semua pembaca situs:
Soal 17
Berdasarkan standar negara, plat nomor mobil terdiri dari 3 angka dan 3 huruf. Dalam hal ini, angka dengan tiga nol tidak diperbolehkan, dan huruf dipilih dari himpunan A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X (hanya huruf Sirilik yang digunakan, ejaannya cocok dengan huruf Latin).
Berapa banyak plat nomor yang berbeda dapat disusun untuk suatu wilayah?
Tidak begitu, omong-omong, dan banyak. PADA wilayah utama jumlah ini tidak cukup, dan oleh karena itu bagi mereka ada beberapa kode untuk prasasti RUS.
Solusi dan jawaban di akhir pelajaran. Jangan lupa gunakan aturan kombinatorik ;-) ...Saya ingin membual tentang eksklusif, tetapi ternyata tidak eksklusif =) Saya melihat Wikipedia - ada perhitungan, tetapi tanpa komentar. Meskipun dalam tujuan pendidikan, mungkin, hanya sedikit orang yang memecahkannya.
Apakah kita? kegiatan yang mengasyikkan berakhir, dan pada akhirnya saya ingin mengatakan bahwa Anda tidak membuang waktu Anda - karena formula kombinatorik menemukan satu lagi yang penting penggunaan praktis: mereka bertemu di berbagai tugas pada teori probabilitas,
dan masuk tugas pada definisi klasik probabilitas- terutama sering
Terima kasih semua untuk Partisipasi aktif dan sampai jumpa!
Solusi dan jawaban:
Tugas 2: Keputusan: tentukan banyaknya semua kemungkinan permutasi dari 4 kartu:
Ketika kartu dengan angka nol berada di posisi pertama, angkanya menjadi tiga digit, jadi kombinasi ini harus dikecualikan. Biarkan nol berada di tempat pertama, maka 3 angka yang tersisa dalam angka paling penting dapat disusun kembali dengan cara.
Catatan
: karena ada beberapa kartu, mudah untuk membuat daftar semua opsi tersebut di sini:
0579
0597
0759
0795
0957
0975
Jadi, dari set yang diusulkan, Anda dapat membuat:
24 - 6 = 18 angka empat digit
Menjawab
: 18
Tugas 4: Keputusan: 3 kartu dapat dipilih dari 36 cara.
Menjawab
: 7140
Tugas 6: Keputusan: 
cara.
Solusi lain
: cara Anda dapat memilih dua orang dari grup dan dan
2) Set "termurah" berisi 3 koin rubel, dan set paling "mahal" berisi 3 koin sepuluh rubel.
Tugas 17: Keputusan: 
cara Anda dapat membuat kombinasi digital plat nomor, sementara salah satunya (000) harus dikecualikan:.
cara membuat kombinasi huruf nomor mobil.
Menurut aturan perkalian kombinasi, semuanya dapat dikomposisikan:
nomor mobil
(setiap kombinasi digital gabungan dengan masing-masing kombinasi huruf).
Menjawab
: 1726272
Masalah kombinatorial
1 . Katya, Masha dan Ira sedang bermain bola. Masing-masing harus melempar bola satu kali ke arah masing-masing temannya. Berapa kali masing-masing gadis harus melempar bola? Berapa kali bola akan dilempar? Tentukan berapa kali bola akan dilempar jika permainan tersebut dihadiri oleh: empat anak; lima anak.
2 . Diberikan tiga fasad dan dua atap yang memiliki bentuk yang sama tetapi dicat dengan warna yang berbeda: fasad berwarna kuning, biru dan merah, dan atap berwarna biru dan merah. Rumah apa yang bisa dibangun? Ada berapa kombinasi?
3 . Diberikan tiga fasad rumah yang identik: biru, kuning dan merah - dan tiga atap: biru, kuning dan merah. Rumah apa yang bisa dibangun? Ada berapa kombinasi?
4 . Desain pada bendera dapat berbentuk lingkaran, persegi, segitiga atau bintang dan dapat berwarna hijau atau merah. Ada berapa banyak bendera yang berbeda?
5. Di kantin sekolah untuk makan siang, daging, bakso, dan ikan disiapkan sebagai hidangan kedua. Untuk hidangan penutup - es krim, buah, dan pai. Anda dapat memilih satu hidangan utama dan satu hidangan penutup. Berapa banyak yang ada? berbagai pilihan makan siang?
6. Di kantin sekolah untuk makan siang, sup dengan daging dan sup vegetarian disiapkan sebagai hidangan pertama, daging, bakso dan ikan untuk hidangan kedua, es krim, buah, dan kue untuk manisan. Ada berapa banyak pilihan yang berbeda untuk tiga hidangan?
7. Dalam berapa cara tiga siswa dapat duduk berjajar di kursi? Daftar semua kemungkinan kasus.
8 . Dalam berapa cara empat (lima) orang dapat berbaris?
9 . Dengan pihak yang berbeda Tiga jalur naik ke atas bukit dan bertemu di puncak. Buat banyak rute yang bisa Anda ambil naik dan turun bukit. Memecahkan masalah yang sama jika Anda harus naik dan turun jalan yang berbeda.
10 . Tiga jalan mengarah dari Akulovo ke Rybnitsa, dan empat jalan mengarah dari Rybnitsa ke Kitovo. Ada berapa cara untuk melakukan perjalanan dari Akulovo ke Kitovo melalui Rybnitsa?
11 . Sebuah suku kata disebut terbuka jika dimulai dengan konsonan dan diakhiri dengan vokal. Berapa banyak suku kata terbuka dua huruf yang dapat ditulis menggunakan huruf "a", "b", "c", "d", "e", "i", "o"? Tuliskan suku kata ini.
12. Berapa banyak setelan blus dan rok yang berbeda yang dapat Anda buat jika Anda memiliki 4 blus dan 4 rok?
13. Ketika Petya pergi ke sekolah, dia terkadang bertemu dengan satu atau lebih temannya: Vasya, Lenya, Tolya. Daftar semua kemungkinan kasus yang mungkin terjadi.
14 . Tuliskan semua kemungkinan angka dua digit menggunakan angka 7 dan 4.
15 . Misha berencana membeli: pensil, penggaris, buku catatan, dan buku catatan. Hari ini dia hanya membeli dua subjek yang berbeda. Apa yang bisa dibeli Misha, dengan asumsi bahwa toko itu memiliki semua perlengkapan pendidikan yang dia butuhkan?
16 . Keempat orang itu berjabat tangan. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
17 . Ada berapa bilangan dua angka tanpa angka 0?
18 . Tuliskan semua kemungkinan bilangan tiga angka yang dapat dibentuk dari bilangan 1 dan 2.
19 . Tuliskan semua kemungkinan bilangan genap tiga angka yang terdiri dari angka 1 dan 2.
20 . Tuliskan semua kemungkinan angka dua digit yang menggunakan angka 2, 8 dan 5.
21 . Berapa banyak bilangan dua angka yang berbeda, semua angkanya ganjil?
22 . Angka tiga angka apa yang dapat ditulis menggunakan angka 3, 7 dan 1, asalkan angka tersebut tidak boleh mengandung angka yang sama? Berapa banyak angka seperti itu?
23 . Berapa banyak angka tiga digit dapat terdiri dari angka 1, 2, 4, 6, jika tidak ada angka yang digunakan lebih dari satu kali? Berapa banyak dari angka-angka ini yang akan genap? Berapa banyak yang ganjil?
24 . Mobil itu memiliki lima kursi. Berapa banyak cara lima orang dapat masuk ke dalam mobil ini jika hanya dua dari mereka yang dapat mengambil kursi pengemudi?
25. Ada 5 meja tunggal di kelas. Dalam berapa cara dua (tiga) anak sekolah yang baru tiba dapat duduk di atasnya?
26 . Ingat dongeng "Kuartet" I. Krylov:
Monyet nakal, Keledai, Kambing, dan kaki pengkor Mishka mulai memainkan Kuartet. Mereka memukul busur, mereka merobek, tetapi tidak masuk akal. “Berhenti, saudara-saudara, berhenti! - teriak Monyet. - Tunggu! Bagaimana musiknya? Kamu tidak duduk seperti itu." Berapa banyak cara yang berbeda dapatkah para musisi ini mencoba untuk duduk? Bisakah itu meningkatkan kualitas permainan mereka?
27 . Anak laki-laki dan perempuan duduk berjajar di tempat yang berurutan, anak laki-laki duduk di tempat bernomor ganjil, dan anak perempuan di tempat bernomor genap. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan jika:
a) 3 anak laki-laki dan 3 anak perempuan duduk di 6 tempat;
b) 5 anak laki-laki dan 5 anak perempuan duduk di 10 kursi?
28 . Dua catur harus ditempatkan di papan catur kosong - hitam dan putih. Berapa banyak posisi berbeda yang dapat mereka tempati di papan tulis?
29. Biarkan nomor mobil terdiri dari dua huruf diikuti dengan dua angka, misalnya AB-53. Berapa banyak bilangan berbeda yang dapat dibuat dengan menggunakan 5 huruf dan 6 angka?
30 . Nomor kendaraan terdiri dari tiga huruf dan empat angka. Berapa banyak yang berbeda? plat nomor(tiga huruf diambil dari 29 huruf alfabet Rusia)?
31 . Misalkan Anda harus pergi ke perpustakaan, bank tabungan, kantor pos dan memberikan sepatu untuk diperbaiki. Untuk memilih rute terpendek, perlu mempertimbangkan semua opsi yang memungkinkan. Berapa banyak cara jika perpustakaan, bank tabungan, kantor pos, dan toko sepatu berjauhan?
32. Misalkan Anda harus pergi ke perpustakaan, bank tabungan, kantor pos dan memberikan sepatu untuk diperbaiki. Untuk memilih rute terpendek, perlu mempertimbangkan semua opsi yang memungkinkan. Berapa banyak jalan masuk akal jika perpustakaan dan kantor pos berdekatan, tetapi jauh dari bank tabungan dan toko sepatu, yang berjauhan?
33. Ada diskusi yang hidup tentang empat majalah di antara para penumpang di kereta. Ternyata setiap orang berlangganan dua majalah, dan setiap kemungkinan kombinasi dua majalah berlangganan oleh satu orang. Berapa banyak orang yang ada di grup ini?
34 . Ada lima dadu yang berbeda satu sama lain hanya dalam warna: 2 merah, 1 putih dan 2 hitam. Ada dua kotak A dan B, di mana A menampung 2 kubus dan B berisi 3. Dalam berapa cara berbeda kubus ini dapat ditempatkan dalam kotak A dan B?
35. Untuk membawa apel yang meremajakan ke Ayah Tsar, Ivan Tsarevich harus menemukan satu-satunya jalan yang benar ke taman ajaib. Saya bertemu Ivan Tsarevich di pertigaan di tiga jalan gagak tua dan inilah nasihat yang saya dengar darinya:
1) pergi sekarang di sepanjang jalan yang benar;
2) pada garpu berikutnya jangan memilih jalan yang benar;
3) di pertigaan ketiga, jangan ambil jalur kiri.
Seekor merpati terbang melewatinya membisikkan kepada Ivan Tsarevich bahwa hanya satu nasihat dari burung gagak yang benar dan bahwa seseorang pasti harus menyusuri jalan setapak ke arah yang berbeda. Pahlawan kita menyelesaikan tugas dan berakhir di taman ajaib. Rute apa yang dia ambil?
Saya menawarkan kepada pembaca "Habrahabr" terjemahan dari publikasi "100 Prisoners Escape Puzzle", yang saya temukan di situs DataGenetics. Silakan kirim semua kesalahan dalam artikel ini melalui pesan pribadi.
Menurut kondisi masalahnya, ada 100 tahanan di penjara, yang masing-masing memiliki nomor pribadi dari 1 hingga 100. Sipir memutuskan untuk memberi para tahanan kesempatan untuk dibebaskan dan menawarkan untuk lulus tes yang dia ciptakan. Jika semua tahanan berhasil, maka mereka bebas, jika setidaknya satu gagal, mereka semua mati.
Tugas
Sipir pergi ke ruang rahasia dan menyiapkan 100 kotak dengan tutup. Di setiap kotak, dia menandai angka dari 1 hingga 100. Kemudian dia membawa 100 tablet kertas, sesuai dengan jumlah tahanan, dan memberi nomor tablet ini dari 1 hingga 100. Setelah itu, dia mengocok 100 tablet dan menempatkan satu tablet di setiap kotak, menutup tutupnya. Para tahanan tidak melihat bagaimana sipir melakukan semua tindakan ini.Kompetisi dimulai, sipir membawa setiap tahanan satu per satu ke ruangan dengan kotak-kotak dan memberi tahu para tahanan bahwa mereka harus menemukan sebuah kotak yang akan berisi piring dengan nomor tahanan. Para tahanan berusaha menemukan piring dengan nomor mereka dengan membuka kotak. Masing-masing diperbolehkan membuka hingga 50 kotak; jika masing-masing tahanan menemukan nomornya, maka tahanan akan dibebaskan, jika setidaknya salah satu dari mereka tidak menemukan nomornya dalam 50 upaya, maka semua tahanan akan mati.
Agar tahanan dibebaskan, SEMUA tahanan harus lulus ujian dengan sukses.
Jadi berapa peluang para tahanan akan diampuni?
- Setelah tahanan membuka kotak dan memeriksa piringnya, kotak itu dimasukkan kembali ke dalam kotak dan tutupnya ditutup kembali;
- Tempat piring tidak dapat diubah;
- Tahanan tidak dapat meninggalkan petunjuk satu sama lain atau berinteraksi satu sama lain dengan cara apa pun setelah persidangan dimulai;
- Narapidana diperbolehkan untuk mendiskusikan strategi sebelum persidangan dimulai.
Apa strategi optimal untuk narapidana?
Pertanyaan tambahan:
Jika teman narapidana (bukan peserta tes) dapat memasuki ruang rahasia sebelum tes dimulai, periksa semua tablet di semua kotak dan (opsional, tetapi tidak wajib) tukar dua tablet dari dua kotak (dalam hal ini, kawan tidak akan memiliki kesempatan untuk memberi tahu tahanan tentang akibat dari tindakannya), lalu strategi apa yang harus dia ambil untuk meningkatkan peluang para tahanan untuk melarikan diri?
Solusi tidak mungkin?
Sepintas, tugas ini tampaknya hampir tidak ada harapan. Tampaknya peluang masing-masing tahanan untuk menemukan tablet mereka sangat kecil. Selain itu, narapidana tidak dapat saling bertukar informasi selama persidangan.Peluang satu tahanan adalah 50:50. Ada total 100 kotak dan dia bisa membuka hingga 50 kotak mencari tandanya. Jika dia membuka kotak secara acak dan membuka setengah dari semua kotak, dia akan menemukan tabletnya di setengah kotak yang terbuka, atau tabletnya akan tetap berada di 50 kotak yang tertutup. Peluang keberhasilannya adalah .
Mari kita ambil dua tahanan. Jika keduanya memilih kotak secara acak, peluang untuk masing-masing kotak adalah , dan untuk dua x½=¼.
(untuk dua tahanan, keberhasilan akan terjadi dalam satu dari empat kasus).
Untuk tiga tahanan, peluangnya adalah × × = .
Untuk 100 tahanan, peluangnya adalah: × × … × (kalikan 100 kali).
Ini sama dengan Pr 0,000000000000000000000000000000008
Jadi kemungkinannya sangat kecil. Dalam skenario ini, kemungkinan besar, semua tahanan akan mati.
Jawaban yang luar biasa
Jika setiap tahanan membuka kotak secara acak, mereka tidak mungkin lulus ujian. Ada strategi di mana narapidana dapat berharap untuk berhasil lebih dari 30% dari waktu. Ini adalah hasil yang luar biasa luar biasa (jika Anda belum pernah mendengar tentang ini soal matematika sebelumnya).Lebih dari 30% untuk semua 100 tahanan! Ya, ini bahkan lebih dari peluang dua tahanan, asalkan mereka membuka kotak secara acak. Tapi bagaimana ini mungkin?
Jelas bahwa satu untuk setiap tahanan, peluangnya tidak boleh lebih tinggi dari 50% (bagaimanapun, tidak ada cara untuk komunikasi antar tahanan). Tapi jangan lupa bahwa informasi tersebut disimpan di lokasi piring di dalam kotak. Tidak ada yang mengocok tablet di antara kunjungan ke ruangan oleh masing-masing tahanan, jadi kita bisa menggunakan informasi itu.
Keputusan
Pertama, saya akan memberi tahu Anda solusinya, lalu saya akan menjelaskan mengapa itu berhasil.Strateginya sangat mudah. Tahanan pertama membuka kotak dengan nomor yang tertulis di bajunya. Misalnya, tahanan nomor 78 membuka kotak dengan nomor 78. Jika dia menemukan nomornya di piring di dalam kotak, itu bagus! Jika tidak, dia melihat nomor di piring di kotak "nya" dan kemudian membuka kotak berikutnya dengan nomor itu. Setelah membuka kotak kedua, dia melihat nomor tablet di dalam kotak ini dan membuka kotak ketiga dengan nomor ini. Kemudian kita cukup mentransfer strategi ini ke kotak yang tersisa. Agar lebih jelas, perhatikan gambar:
Akhirnya, tahanan akan menemukan nomornya atau mencapai batas 50 kotak. Pada pandangan pertama, ini tampaknya tidak ada gunanya dibandingkan dengan hanya memilih kotak secara acak (dan untuk satu tahanan individu memang demikian), tetapi karena semua 100 tahanan akan menggunakan set kotak yang sama, itu masuk akal.
Keindahan ini soal matematika- tidak hanya untuk mengetahui hasilnya, tetapi juga untuk memahami mengapa strategi ini berhasil.
Jadi mengapa strategi itu berhasil?
Setiap kotak berisi satu piring - dan piring ini unik. Artinya pelat tersebut berada di dalam kotak dengan nomor yang sama, atau menunjuk ke kotak yang berbeda. Karena semua piring itu unik, hanya ada satu piring untuk setiap kotak yang menunjuk ke sana (dan hanya satu cara untuk sampai ke kotak itu).
Jika dipikir-pikir, kotak-kotak itu membentuk rantai melingkar tertutup. Satu kotak dapat menjadi bagian dari hanya satu rantai, karena di dalam kotak hanya ada satu penunjuk ke yang berikutnya dan, oleh karena itu, di kotak sebelumnya hanya ada satu penunjuk ke kotak ini (programmer dapat melihat analogi dengan daftar tertaut).
Jika kotak tidak menunjuk ke dirinya sendiri (nomor kotak sama dengan nomor pelat di dalamnya), maka kotak itu akan berada di rantai. Beberapa rantai mungkin terdiri dari dua kotak, beberapa lebih panjang.
Karena semua tahanan memulai dengan sebuah kotak dengan nomor yang sama pada pakaian mereka, mereka, menurut definisi, ditempatkan pada rantai yang berisi papan nama mereka (hanya ada satu papan nama yang menunjuk ke kotak ini).
Menjelajahi kotak-kotak di sepanjang rantai ini dalam lingkaran, mereka dijamin akhirnya menemukan piring mereka.
Satu-satunya pertanyaan tetap apakah mereka akan menemukan tablet mereka dalam 50 langkah.
Panjang rantai
Agar semua tahanan lulus tes, panjang rantai maksimum harus kurang dari 50 kotak. Jika rantai lebih panjang dari 50 kotak, tahanan dengan nomor dari rantai tersebut akan gagal dalam ujian - dan semua tahanan akan mati.Jika panjang maksimum rantai terpanjang kurang dari 50 kotak, maka semua tahanan akan lulus ujian!
Pikirkan sejenak. Ternyata hanya ada satu rantai yang lebih panjang dari 50 kotak di setiap tata letak pelat (kami hanya memiliki 100 kotak, jadi jika satu rantai lebih panjang dari 50, maka sisanya akan lebih pendek dari 50 total).
Peluang tangan rantai panjang
Setelah Anda meyakinkan diri sendiri bahwa panjang rantai maksimum harus kurang dari atau sama dengan 50 untuk berhasil, dan hanya ada satu rantai panjang di setiap rangkaian, kita dapat menghitung probabilitas untuk melewati tantangan:Beberapa matematika lagi
Jadi apa yang kita butuhkan untuk mengetahui probabilitas rantai panjang?Untuk rantai dengan panjang l, peluang munculnya kotak-kotak di luar rantai ini adalah:
Ada (l-1) dalam kumpulan angka ini! cara untuk mengatur tanda-tanda.
Tanda-tanda yang tersisa dapat ditemukan (100-l)! cara (jangan lupa bahwa panjang rantai tidak melebihi 50).
Mengingat ini, jumlah permutasi yang mengandung rantai panjang yang tepat aku: (>50)
Ternyata ada 100(!) cara menyusun pelat, sehingga peluang adanya rantai dengan panjang l sama dengan 1/l. Omong-omong, hasil ini tidak tergantung pada jumlah kotak.
Seperti yang sudah kita ketahui, hanya ada satu kasus di mana ada rantai dengan panjang > 50, sehingga peluang sukses dihitung dengan rumus ini:
Hasil
31,18% - probabilitas bahwa ukuran rantai terpanjang akan kurang dari 50 dan masing-masing tahanan akan dapat menemukan tablet mereka, dengan batas 50 upaya.Peluang semua tahanan akan menemukan piring mereka dan lulus ujian adalah 31,18%
Di bawah ini adalah grafik yang menunjukkan probabilitas (pada sumbu y) untuk semua rantai dengan panjang l (pada sumbu x). Merah berarti semua "kegagalan" (kurva yang diberikan di sini hanyalah plot 1/l). Warna hijau berarti "berhasil" (perhitungannya sedikit lebih rumit untuk bagian grafik ini, karena ada beberapa cara untuk menentukan panjang maksimum <50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.
Nomor harmonik (bagian artikel ini untuk geeks)
Dalam matematika, bilangan harmonik ke-n adalah jumlah kebalikan dari n bilangan berurutan pertama dari deret alami.
Mari kita hitung limitnya jika alih-alih 100a kotak, kita memiliki sejumlah besar kotak yang berubah-ubah (mari kita asumsikan bahwa kita memiliki total 2n kotak).
Konstanta Euler-Mascheroni adalah konstanta yang didefinisikan sebagai batas selisih antara jumlah parsial deret harmonik dan logaritma natural suatu bilangan.
Dengan bertambahnya jumlah narapidana, jika pengawas mengizinkan narapidana untuk membuka setengah dari semua kotak, maka peluang keselamatan cenderung 30,685%
(Jika Anda membuat keputusan di mana para tahanan menebak kotak secara acak, maka dengan bertambahnya jumlah tahanan, kemungkinan untuk diselamatkan cenderung nol!)
pertanyaan tambahan
Ada yang masih ingat pertanyaan tambahannya? Apa yang bisa dilakukan rekan kita yang membantu untuk meningkatkan peluang kita untuk bertahan hidup?Sekarang kita sudah tahu solusinya, jadi strateginya sederhana: dia harus memeriksa semua tanda dan menemukan rantai kotak terpanjang. Jika rantai terpanjang kurang dari 50, maka dia tidak perlu mengganti tablet sama sekali, atau mengubahnya sehingga rantai terpanjang tidak menjadi lebih dari 50. Namun, jika dia menemukan rantai yang lebih panjang dari 50 kotak, yang harus dia lakukan hanyalah menukar isi dua kotak dari rantai itu untuk memecah rantai itu menjadi dua rantai yang lebih pendek.
Sebagai hasil dari strategi ini, tidak akan ada rantai panjang dan semua tahanan dijamin menemukan tanda dan keselamatan mereka. Jadi, dengan menukar dua tanda, kami mengurangi kemungkinan keselamatan hingga 100%!
2017-2018 Pelatihan kerja matematika kelas 11
Opsi 2 (dasar)
Jawaban untuk setiap tugas adalah pecahan desimal akhir, bilangan bulat atau urutan angka. Tuliskan jawaban tugas di bidang jawaban dalam teks pekerjaan, dan kemudian pindahkan ke formulir jawaban No. 1 di sebelah kanan nomor tugas yang sesuai. Jika jawabannya adalah urutan angka, maka tuliskan urutan ini di lembar jawaban No. 1tanpa spasi, koma, dan karakter tambahan lainnya. Tulis setiap angka, tanda minus dan koma di kotak terpisah. Satuan pengukuran tidak diperlukan.
1
Menjawab: _________________.
2 . Temukan nilai ekspresi:
Menjawab: _________________.
3 . Di sekolah, anak perempuan merupakan 51% dari semua siswa. Berapa banyak anak perempuan di sekolah ini jika ada 8 anak perempuan lebih banyak daripada anak laki-laki?
Menjawab: _________________.
4 . Rata-rata harmonik dari tiga angkasebuah , b dandengan, dihitung dengan rumus Temukan rata-rata harmonik angka
Menjawab: _________________.
5. Menghitung:
Menjawab: _________________.
6 . Di asrama pria institut, tidak lebih dari tiga orang dapat ditampung di setiap kamar. Berapa jumlah kamar terkecil yang dibutuhkan untuk menampung 79 siswa luar kota?
Menjawab: _________________.
7 .Temukan akar persamaan
Menjawab: _________________.
8 . Apartemen ini terdiri dari dua kamar, dapur, koridor, dan kamar mandi (lihat gambar). Kamar pertama berukuran 4 m kali 4 m, yang kedua berukuran 4 m kali 3,5 m, dapur berukuran 4 m kali 3,5 m, kamar mandi - 1,5 m kali 2 m. Temukan luas koridor. Berikan jawaban Anda dalam meter persegi.
Menjawab: _________________.
9 . Tetapkan korespondensi antara kuantitas dan kemungkinan nilainya: untuk setiap elemen kolom pertama, pilih elemen yang sesuai dari kolom kedua.
NILAI NILAI
A) volume lemari laci 1) 0,75 l
B) volume air di Laut Kaspia 2) 78200 km 3
C) volume paket ryazhenka 3) 96 l
D) volume gerbong 4) 90 m 3
Di tabel, di bawah setiap huruf yang sesuai dengan nilainya, tunjukkan jumlah kemungkinan nilainya.
Menjawab:
Menjawab: _________________.10 . Di Olimpiade Bahasa Rusia, peserta duduk di tiga ruang kelas. Dalam dua yang pertama, masing-masing 130 orang, sisanya dibawa ke auditorium cadangan di gedung lain. Saat dihitung, ternyata total ada 400 peserta. Temukan probabilitas bahwa seorang peserta yang dipilih secara acak menulis Olimpiade di ruang kosong.
Menjawab: _________________.
11 . Angka tersebut menunjukkan grafik nilai tekanan atmosfer di kota tertentu selama tiga hari. Hari dalam seminggu dan waktu ditunjukkan secara horizontal, nilai tekanan atmosfer dalam milimeter air raksa ditunjukkan secara vertikal. Temukan nilai tekanan atmosfer pada hari Rabu pukul 12. Berikan jawaban Anda dalam milimeter air raksa.
Menjawab: ____________.
Menjawab: _________________.
13. Piramida heksagonal biasa dengan tepi 1 direkatkan ke prisma heksagonal biasa dengan tepi 1 sehingga permukaan alasnya bertepatan. Berapa banyak wajah yang dimiliki polihedron yang dihasilkan (tepi yang tidak terlihat tidak ditunjukkan pada gambar)?
Menjawab: _________________.
14. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi poinA, B, C, DdanEdiatur pada sumbuX empat interval. Dengan menggunakan grafik, cocokkan setiap interval dengan karakteristik suatu fungsi atau turunannya.
INTERVAS KARAKTERISTIK FUNGSI ATAU TURUNAN
A) (A; B) 1) fungsi berubah tanda dari “-” menjadi “+”
B) (C; C) 2) turunannya berubah tanda dari "-" menjadi "+"
B) (C;D) 3) turunannya berubah tanda dari "+" menjadi "-"
G) (D; E) 4) fungsinya positif dan meningkat
Dalam tabel di bawah setiap huruf, tunjukkan nomor yang sesuai.
15 . Pada lingkaran dengan pusatHAI poin ditandaiTETAPI danPADA sehingga panjang busur lebih kecilAB adalah 3. Tentukan panjang busur yang lebih besar.
Menjawab: _________________.
16 . Diberikan dua buah kotak yang mempunyai bentuk prisma segi empat beraturan. Kotak pertama empat setengah kali lebih rendah dari yang kedua, dan yang kedua tiga kali lebih sempit dari yang pertama. Berapa kali volume kotak pertama lebih besar dari volume kotak kedua?
Menjawab: _________________.
17. Masing-masing dari empat pertidaksamaan di kolom kiri sesuai dengan salah satu solusi di kolom kanan. Membangun korespondensi antara ketidaksetaraan dan solusi mereka.
KETIMPANGAN SOLUSI
TETAPI)
B)
PADA)
G)
Tulis dalam tabel yang diberikan dalam jawaban di bawah setiap huruf nomor yang sesuai dari solusi.
Menjawab:
18 . Di Olimpiade Musim Dingin, tim Rusia memenangkan lebih banyak medali daripada tim Kanada, tim Kanada - lebih banyak dari tim Jerman, dan tim Norwegia - kurang dari tim Kanada.Pilih pernyataan yang benar di bawah kondisi yang diberikan.
1) Dari tim yang disebutkan, tim Kanada berada di urutan kedua dalam jumlah medali.
2) Di antara tim yang disebutkan ada tiga yang memenangkan jumlah medali yang sama.
3) Tim Jerman memenangkan lebih banyak medali daripada tim Rusia.
4) Tim Rusia memenangkan lebih banyak medali daripada masing-masing dari tiga tim lainnya.
Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah pernyataan yang benar dalam urutan menaik.
Menjawab: _________________.
19 . chetyangka tiga digitTETAPI terdiri dari angka 3; 4; delapan; 9, aempatangka tiga digitPADA - dari angka 6; 7; delapan; 9. Diketahui bahwaPADA = 2 TETAPI. Temukan nomorTETAPI. Dalam jawaban Anda, tunjukkan salah satu nomor tersebut, kecuali nomor 3489.
Menjawab: _________________.
20 . Persegi panjang dibagi menjadi empat persegi panjang kecil dengan dua potongan lurus. Keliling ketiganya, mulai dari kiri atas dan searah jarum jam, adalah 17, 15, dan 18. Tentukan keliling persegi panjang keempat.
1715
?
18
