თუ გავამრავლებთ ნომერითავისთავად აღმოჩნდება მშენებლობა კვადრატი. პირველკლასელმაც კი იცის, რომ „ორჯერ ორი არის ოთხი“. სამნიშნა, ოთხნიშნა და ა.შ. სჯობს რიცხვები გავამრავლოთ სვეტში ან კალკულატორზე, მაგრამ გაუმკლავდეთ ორნიშნა რიცხვებს ელექტრონული ასისტენტის გარეშე, გონებაში გამრავლებით.

ინსტრუქცია

1. გააფართოვეთ ნებისმიერი ორმნიშვნელოვანი ნომერიკომპონენტებად, ხაზს უსვამს ერთეულების რაოდენობას. 96 რიცხვში ერთეულთა რიცხვია 6. ამიტომ ნებადართულია ჩაწერა: 96 \u003d 90 + 6.

2. ამაღლება კვადრატირიცხვებიდან პირველი: 90 * 90 = 8100.

3. იგივე გააკეთე მეორესთან ერთად. ნომერიმ: 6 * 6 = 36

4. გაამრავლეთ რიცხვები ერთად და გააორმაგეთ ჯამი: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

5. დაამატეთ მეორე, მესამე და მეოთხე საფეხურის შედეგები: 8100 + 36 + 1080 = 9216. ეს არის აწევის შედეგი კვადრატინომერი 96. გარკვეული ვარჯიშის შემდეგ, თქვენ შეძლებთ სწრაფად გადადგათ ნაბიჯები თქვენს გონებაში, დაარტყით თქვენს მშობლებსა და კლასელებს. სანამ არ შეეჩვევით, ჩაწერეთ მთელი ნაბიჯის შედეგები, რათა არ დაიბნეთ.

6. ტრენინგისთვის, აწიეთ კვადრატი ნომერი 74 და შეამოწმეთ თავი კალკულატორზე. მოქმედებების თანმიმდევრობა: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

7. აწიეთ მეორე ძალამდე ნომერი 81. თქვენი ქმედებები: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

8. გახსოვდეთ არასტანდარტული მეთოდიერექციაში კვადრატი ორნიშნა რიცხვები, რომლებიც ბოლოვდებიან რიცხვით 5. აირჩიეთ ათეულების რაოდენობა: 75 რიცხვში არის 7 მათგანი.

9. გაამრავლეთ ათეულების რაოდენობა მომდევნო ციფრზე ნომერიპირველი რიგი: 7 * 8 = 56.

10. ატრიბუტი მარჯვნივ ნომერი 25:5625 - ერექციის შედეგი ქ კვადრატინომერი 75.

11. ვარჯიშისთვის აწიეთ მეორე ძალაზე ნომერი 95. ის მთავრდება 5 რიცხვით, აქედან გამომდინარე მოქმედებების თანმიმდევრობა: 9 * 10 = 90, 9025 - სულ.

12. ისწავლეთ აშენება კვადრატიუარყოფითი რიცხვები: -95 დიუმი კვადრატიუდრის 9025-ს, როგორც მეთერთმეტე საფეხურზე. მოსწონს -74 ინჩი კვადრატი e არის 5476, როგორც მეექვსე საფეხურზე. ეს იმის გამო ხდება, რომ 2 უარყოფითი რიცხვის გამრავლებისას უცვლელად მიიღება სწორი. ნომერი: -95 * -95 = 9025. შესაბამისად, როდესაც ამაღლებულია კვადრატითქვენ შეგიძლიათ მარტივად უგულებელყოთ მინუს ნიშანი.

რიცხვის ხარისხამდე აწევა ერთ-ერთი ყველაზე მარტივია ალგებრული ოპერაციები. AT ყოველდღიური ცხოვრებისერექცია იშვიათად გამოიყენება, მაგრამ წარმოებაში, გამოთვლების შესრულებისას, ის პრაქტიკულად ყველგანაა, ამიტომ სასარგებლოა გავიხსენოთ როგორ კეთდება ეს.

ინსტრუქცია

1. წარმოიდგინეთ, რომ გვაქვს გარკვეული რიცხვი a, რომლის სიძლიერე არის რიცხვი n. რიცხვის სიმძლავრის ასაგებად ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ რიცხვი a თავისთავად n-ჯერ.

2. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს. იმისათვის, რომ ავაშენოთ ნომერი 2 მეორე ხარისხზე, თქვენ უნდა შეასრულოთ მოქმედება: 2x2 \u003d 4

3. იმისათვის, რომ ავაშენოთ ნომერი 3 მეხუთე ხარისხზე, თქვენ უნდა შეასრულოთ მოქმედება: 3x3x3x3x3 \u003d 243

4. ზოგადად მიღებულია რიცხვების მე-2 და მესამე ხარისხების აღნიშვნა. ფრაზა "მეორე ხარისხის" ჩვეულებრივ იცვლება სიტყვით "კვადრატი", ხოლო ფრაზის "მესამე ხარისხის" ნაცვლად ტრადიციულად ამბობენ "კუბი".

5. როგორც ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან ჩანს, გამოთვლების ხანგრძლივობა და სირთულე დამოკიდებულია რიცხვის მაჩვენებლის მნიშვნელობაზე. კვადრატი ან კუბი საკმარისია მარტივი დავალება; რიცხვის მეხუთე ან უზარმაზარ სიმძლავრემდე აყვანა უკვე დიდ დროს და სიზუსტეს მოითხოვს გამოთვლებში. რომ დააჩქაროს ეს პროცესიდა შეცდომების გამონაკლისი ნებადართულია სპეციალური მათემატიკური ცხრილებიან საინჟინრო კალკულატორი.

ამავე რიცხვის პროდუქტის მოკლე ჩანაწერისთვის, მათემატიკოსებმა გამოავლინეს ხარისხი. შესაბამისად, გამოთქმა 16 * 16 * 16 * 16 * 16 შეიძლება მეტი დაიწეროს მოკლე მეთოდი. 16^5 გამოიყურება. გამოთქმა წაიკითხება როგორც რიცხვი 16 მეხუთე ხარისხამდე.

დაგჭირდებათ

• ქაღალდი, კალამი.

ინსტრუქცია

1. Ზოგადად ხარისხიდაწერილი როგორც a^n. ეს ჩანაწერი ნიშნავს, რომ რიცხვი a მრავლდება თავისთავად n-ჯერ. გამოთქმა a ^ n ეწოდება ხარისხი u,a არის რიცხვი, ხარისხის საფუძველი, nარის რიცხვი, მაჩვენებელი. თქვით a = 4, n = 5, შემდეგ დაწერეთ 4^5 = 4*4*4*4*4 = 1024

2. n-ის სიმძლავრე შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი n = -1, -2, -3 და ა.შ. უარყოფითის გამოთვლა ხარისხირიცხვები, ის უნდა დაიწიოს მნიშვნელში. ^(-3) = (1/2)^3 = 1/2*1/2*1/2 = 1/(2^3) = 1/8 = 0,125

3. როგორც მაგალითიდან ხედავთ, -3 ხარისხირიცხვიდან 2 შეიძლება გამოითვალოს სხვადასხვა მეთოდით 1) ჯერ გამოთვალეთ წილადი 1/2 \u003d 0.5; და ამის შემდეგ ჩაშენება ხარისხი 3, ე.ი. 0.5^3 = 0.5*0.5*0.5 = 0.1252) ჯერ ააგეთ მნიშვნელი ხარისხი 2^3 = 2*2*2 = 8 და ამის შემდეგ გამოთვალეთ წილადი 1/8 = 0,125.

4. ახლა გამოვთვალოთ -1 ხარისხირიცხვისთვის, ე.ი. n = -1. ზემოთ განხილული წესები შესაბამისია ამ შემთხვევისთვის. a^(-1) = (1/a)^1 = 1/(a^1) = 1/a ხარისხი 5^(-1) = (1/5)^1 = 1/(5^1) = 1/5 = 0,2.

5. მაგალითი ნათლად აჩვენებს, რომ რიცხვი -1 ხარისხში არის ორმხრივირიცხვიდან დავუშვათ რიცხვი 5 წილადის სახით 5/1, მაშინ 5 ^ (-1) არ შეიძლება დაითვალოს არითმეტიკურად, მაგრამ მაშინვე ჩაწერეთ 5/1-ის საპასუხო, ეს არის 1/5. ასე რომ, 15 ^ (-1) \u003d 1 /15.6 ^ (-1) = 1/6.25 ^ (-1) = 1/25

Შენიშვნა!
რიცხვის უარყოფით ხარისხზე აყვანისას გახსოვდეთ, რომ რიცხვი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. წესის მიხედვით, ჩვენ ვალდებულნი ვართ, რიცხვი მნიშვნელში შევიყვანოთ. და ნული არ შეიძლება იყოს მნიშვნელში, რადგან შეუძლებელია ნულზე გაყოფა.

სასარგებლო რჩევა
ხანდახან ექსპონენტებთან მუშაობისას გაანგარიშების გასაადვილებლად წილადი რიცხვიგანზრახ ჩანაცვლდა მთელი რიცხვით -11/6 = 6^(-1)1/52 = 52^(-1).

არითმეტიკის ამოხსნისას და ალგებრული პრობლემებიზოგჯერ საჭიროა აშენება წილადი in კვადრატი. ყველასთვის ადვილია ამის გაკეთება, როცა წილადიათობითი - საკმაოდ ჩვეულებრივი კალკულატორი. თუმცა, თუ წილადიჩვეულებრივი ან შერეული, მაშინ ასეთი რიცხვის ამაღლებისას კვადრატიშეიძლება წარმოიშვას გარკვეული სირთულეები.

დაგჭირდებათ

• კალკულატორი, კომპიუტერი, ექსელის აპლიკაცია.

ინსტრუქცია

1. ათწილადის ასაგებად წილადი in კვადრატი, აიღე საინჟინრო კალკულატორი, ჩაწერეთ მასზე აღმართული კვადრატი წილადიდა დააჭირეთ გაძლიერების ღილაკს. უმეტეს კალკულატორებზე, ამ ღილაკს აქვს წარწერა "x?". Windows-ის სტანდარტულ კალკულატორზე ამაღლება კვადრატიჰგავს "x^2". Მოდით ვთქვათ კვადრატიათობითი წილადი 3.14 ტოლი იქნება: 3.14? = 9.8596.

2. ჩასაშენებლად კვადრატიათობითი წილადიჩვეულებრივ (საბუღალტრო) კალკულატორზე გაამრავლეთ ეს რიცხვი თავისთავად. სხვათა შორის, კალკულატორების ზოგიერთ მოდელში, რიცხვის ამაღლების ალბათობაა კვადრატიმაშინაც კი, თუ არ არის სპეციალური ღილაკი. ამიტომ, წაიკითხეთ ინსტრუქციები კონკრეტული კალკულატორი. ზოგჯერ კალკულატორის უკანა ყდაზე ან ყუთზე მოყვანილია „ცბიერი“ გაძლიერების მაგალითები. ვთქვათ, ბევრ კალკულატორზე რიცხვის ასამაღლებლად კვადრატიუბრალოდ დააჭირეთ "x" და "=" ღილაკებს.

3. ერექციისთვის კვადრატი ჩვეულებრივი ფრაქცია(შედგება მრიცხველისა და მნიშვნელისაგან), აწევა კვადრატიცალკე ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. ანუ გამოიყენეთ შემდეგი წესი: (თ/ს)? = თ? / s?, სადაც h არის წილადის მრიცხველი, s არის წილადის მნიშვნელი მაგალითი: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. თუ აღმართულია კვადრატი წილადი- შერეული (შედგება მთელი რიცხვი ნაწილისა და ჩვეულებრივი წილადისაგან), შემდეგ წინასწარ მიიყვანეთ ჩვეულ ფორმამდე. ანუ გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა: (c h/z)? \u003d ((c * s + h) / s)? = (c*s+h)? / ს?, სად ც - მთელი ნაწილიშერეული წილადი მაგალითი: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. თუ აღმართულია კვადრატიჩვეულებრივი (არა ათწილადი) წილადები შემოტანილია განუწყვეტლივ, შემდეგ გამოიყენეთ MS Excel. ამისათვის შეიყვანეთ შემდეგი ფორმულა ცხრილის ერთ-ერთ უჯრედში: \u003d DEGREE (A2; 2) სადაც A2 არის იმ უჯრედის მისამართი, რომელშიც შეიტანება ამაღლებული მნიშვნელობა. კვადრატი წილადი.პროგრამის ინფორმირების მიზნით, რომ შეყვანის ნომერი უნდა ჩაითვალოს ჩვეულებრივად წილადი yu (ანუ არ გადაიყვანოთ ათწილადში), ჩაწერეთ ადრე წილადირიცხვი "0" და ნიშანი "ფართი". ანუ, რომ შეიყვანოთ, ვთქვათ, წილადი 2/3, უნდა შეიყვანოთ: "0 2/3" (და დააჭირეთ Enter). ამ შემთხვევაში, შეყვანის ხაზი აჩვენებს შეყვანილი წილადის ათობითი წარმოდგენას. უჯრედში წილადის მნიშვნელობა და გამოსახულება შეინახება საწყისი ფორმა. გარდა ამისა, განაცხადის დროს მათემატიკური ფუნქციები, რომლის არგუმენტები არის ჩვეულებრივი წილადები, შედეგი ასევე წარმოდგენილი იქნება როგორც ჩვეულებრივი წილადი. შესაბამისად კვადრატიწილადი 2/3 წარმოდგენილი იქნება როგორც 4/9.

ბინომის კვადრატის ხაზგასმის მეთოდი გამოიყენება მასიური გამონათქვამების გასაადვილებლად, ასევე კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად. პრაქტიკაში იგი ტრადიციულად შერწყმულია სხვა ტექნიკასთან, მათ შორის ფაქტორიზაციასთან, დაჯგუფებასთან და ა.შ.

ინსტრუქცია

1. ბინომის სრული კვადრატის არჩევის გზა ეფუძნება 2 ფორმულის გამოყენებას მრავალწევრების შემოკლებული გამრავლებისთვის. ეს ფორმულები არის ბინომიური ნიუტონის განსაკუთრებული შემთხვევები მე-2 ხარისხისთვის და საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ სასურველი გამოხატულება ისე, რომ შესაძლებელი იყოს შემდგომი შემცირება ან ფაქტორიზაცია: (m + n)² = m² + 2 m n + n²; (m - n)² \u003d m² - 2 m n + n².

2. ამ მეთოდის მიხედვით საჭიროა 2 მონომის კვადრატების და მათი ორმაგი ნამრავლის ჯამი/განსხვავების ამოღება საწყისი მრავალწევრიდან. ამ მეთოდის გამოყენებას აზრი აქვს, თუ ტერმინების უმაღლესი სიმძლავრე არ არის 2-ზე ნაკლები. წარმოიდგინეთ, დავალებას მივცეთ შემდეგი გამოსახულებების ფაქტორიზირება კლებადი ხარისხით: 4 y ^ 4 + z ^ 4

3. პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებელია სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდის გამოყენება. გამოდის, რომ გამოხატულება შედგება 2 მონომისაგან ცვლადებით ხარისხიც კი. შესაბამისად, დასაშვებია რომელიმე მათგანის აღნიშვნა m-ით და n:m = 2 y²; n = z2.

4. ახლა ჩვენ უნდა მივიყვანოთ საწყისი გამოხატულება ფორმაში (m + n)². ის უფრო მჭიდროდ შეიცავს ამ ტერმინების კვადრატებს, მაგრამ აკლია ორმაგი პროდუქტი. თქვენ უნდა დაამატოთ ის არაბუნებრივად და შემდეგ გამოაკლოთ: (2 y²)² + 2 2 y² z² + (z²)² - 2 2 y² z² = (2 y² + z²)² - 4 y² z².

5. შედეგად გამოსახულებაში შეგიძლიათ იხილოთ კვადრატების სხვაობის ფორმულა: (2 y² + z²)² - (2 y z)² = (2 y² + z² - 2 y z) (2 y² + z² + 2 ) y z).

6. გამოდის, რომ მეთოდი შედგება 2 ეტაპისგან: m და n სრული კვადრატის მონომების შერჩევა, მათი ორმაგი ნამრავლის შეკრება და გამოკლება. ბინომის სრული კვადრატის ამოღების მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მარტო თავისთავად, არამედ სხვა მეთოდებთან ერთად: უნივერსალური ფაქტორის ბრეკეტირება, ცვლადის ჩანაცვლება, ტერმინების დაჯგუფება და ა.შ.

7. მაგალითი 2: მონიშნეთ სრული მოედანიგამოთქმაში: 4 y² + 2 y z + z² ამოხსნა 4 y² + 2 y z + z² = = (2 y)² + 2 2 y z + (z) ² - 2 y z = (2 y + z)² - 2 y z.

8. მეთოდი გამოიყენება ფესვების მოსაძებნად კვადრატული განტოლება. განტოლების მარცხენა მხარე არის a y ფორმის ტრინომიალი? + b y + c, სადაც a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და a ? 0.წ? + b y + c = a (y? + (b/a) y) + c = a (y? + 2 (b/(2 a)) y) + c = a ( y? + 2 (b/(2 ა)) y + b?/(4 a?)) + c – b?/(4 a) = a (y + b/(2 a )) ? – (ბ? – 4 ა გ)/(4 ა).

9. ეს გამოთვლები მივყავართ დისკრიმინანტის წარმოდგენას, რომელიც უდრის (b? - 4 a c)/(4 a) და განტოლების ფესვებია: y_1,2 = ±(b/(2 a)) ± ? ((ბ? - 4 ა გ)/(4 ა)).

ერექციის ოპერაცია ხარისხიარის "ორობითი", ანუ მას აქვს ორი შეუცვლელი შეყვანის პარამეტრი და ერთი გამომავალი. ერთ-ერთ საწყის პარამეტრს ეწოდება ექსპონენტი და განსაზღვრავს რამდენჯერ უნდა იქნას გამოყენებული გამრავლების ოპერაცია მეორე პარამეტრზე - ფუძეზე. მიზეზი შეიძლება იყოს სწორი ან უარყოფითი. ნომერი .

ინსტრუქცია

1. უარყოფითი რიცხვის ხარისხზე აყვანისას გამოიყენეთ ამ ოპერაციის ჩვეულებრივი წესები. როგორც დადებითი რიცხვების შემთხვევაში, სიმძლავრემდე აწევა ნიშნავს საწყისი მნიშვნელობის თავისთავად რამდენჯერმე გამრავლებას, მაჩვენებელზე ერთით ნაკლები. ვთქვათ, რიცხვი -2 რომ ავაშენოთ მეოთხე ხარისხზე, ის თავის თავზე სამჯერ უნდა გავამრავლოთ: -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.

2. 2 უარყოფითი რიცხვის გამრავლება უცვლელად იძლევა დადებითი ღირებულებადა ამ ოპერაციის შედეგი რაოდენობებისთვის სხვადასხვა ნიშნებიიქნება უარყოფითი რიცხვი. აქედან შეიძლება დავასკვნათ, რომ მშენებლობის დროს უარყოფითი მნიშვნელობებილუწი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრეზე უცვლელად უნდა მივიღოთ დადებითი რიცხვი, ხოლო კენტი მაჩვენებლებით შედეგი უცვლელად იქნება ნულზე ნაკლები. გამოიყენეთ ეს ხარისხი თქვენი გამოთვლების შესამოწმებლად. ვთქვათ -2 მეხუთე ხარისხამდე უნდა იყოს უარყოფითი რიცხვი -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32 და -2 მეექვსე ხარისხში. უნდა იყოს დადებითი -2 ?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.

3. უარყოფითი რიცხვის ხარისხზე აყვანისას, მაჩვენებლის მიცემა შესაძლებელია რეგულარული წილადის სახით - ვთქვათ, -64 ხარისხზე?. ასეთი ინდიკატორი ნიშნავს, რომ საწყისი მნიშვნელობა უნდა აშენდეს წილადის მრიცხველის ტოლი სიმძლავრით და მისგან უნდა იყოს ამოღებული ხარისხის ფესვი. მნიშვნელის ტოლი. ამ ოპერაციის ერთი ნაწილი გაშუქდა წინა ნაბიჯებში, მაგრამ აქ ყურადღება უნდა მიაქციოთ მეორეს.

4. ფესვის ამოღება უცნაური ფუნქციაანუ ნეგატივისთვის რეალური რიცხვებიმისი გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც მაჩვენებელი კენტია. თუ კი, ეს ფუნქცია შეუსაბამოა. შესაბამისად, თუ პრობლემის პირობებში საჭიროა უარყოფითი რიცხვის აგება წილადი ხარისხილუწი მნიშვნელით, მაშინ პრობლემას გამოსავალი არ აქვს. სხვა შემთხვევაში ჯერ გააკეთეთ მოქმედებები პირველი 2 საფეხურიდან, წილადის მრიცხველის მრიცხველის სახით და შემდეგ ამოიღეთ ფესვი მნიშვნელის ხარისხით.

რიცხვის სიმძლავრის აღნიშვნა არის ფუძის თავისთავად გამრავლების მოქმედების შემოკლებული ფორმა. ამ ფორმით წარმოდგენილი ნომრით, ნებადართულია იგივე ოპერაციების განხორციელება, როგორც ნებისმიერი სხვა ნომრით, მათ შორის ამაღლება ხარისხი. ვთქვათ, დაშვებულია თვითნებურად აშენება ხარისხი კვადრატინომრები და ტექნოლოგიის ფორმირების თანამედროვე ეტაპზე ჯამის შეძენა არ იქნება რაიმე სირთულე.

დაგჭირდებათ

• ინტერნეტი ან Windows კალკულატორი.

ინსტრუქცია

1. ერექციისთვის კვადრატიდა ში ხარისხიგამოიყენეთ ამაღლების ზოგადი წესი ხარისხირიცხვი უფრო ახლოსაა ვიდრე ქონა სიმძლავრის მაჩვენებელი. ასეთი ოპერაციით, ინდიკატორები მრავლდება და ბაზა რჩება ყოფილი. თუ ფუძე აღინიშნა x-ით, ხოლო საწყისი და დამატებითი მაჩვენებლები - a და b, ეს წესი შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმით შემდეგნაირად: (x?)?=x??.

2. უტილიტარული გამოთვლებისთვის, ყველასთვის ადვილია საძიებო სისტემის გამოყენება Google სისტემა- მასში ჩაშენებული აქვს ძალიან ადვილად გამოსაყენებელი კალკულატორი. ვთქვათ, თუ გინდა მეხუთეში აშენება ხარისხი კვადრატინომერი 6, გადადით საძიებო სისტემის მთავარ გვერდზე და შეიყვანეთ შესაბამისი მოთხოვნა. დასაშვებია მისი ჩამოყალიბება ასე: (6 ^ 2) ^ 5 - აქ ^ სიმბოლო ნიშნავს ხარისხი. და ნებადართულია მიღებული მაჩვენებლის დამოუკიდებლად გამოთვლა წინა ნაბიჯის ფორმულის შესაბამისად და შეკითხვის ჩამოყალიბება შემდეგნაირად: 6 ^ 10. ან ენდეთ Google-ს ამის გაკეთება შემდეგი მოთხოვნის შეყვანით: 6^(2*5). ნებისმიერი ამ ვარიანტისთვის საძიებო სისტემის კალკულატორი იდენტურ შედეგს დააბრუნებს: 60,466,176.

3. ინტერნეტთან წვდომის არარსებობის შემთხვევაში, Google კალკულატორი შეიძლება შეიცვალოს, ვთქვათ, ჩაშენებული Windows კალკულატორით. თუ იყენებთ ამ OS-ის Seven ან Vista ვერსიებს, გახსენით სისტემის მთავარი მენიუ და აკრიფეთ ორი ასო თითოეულისთვის: "ka". სისტემა მთავარ მენიუში აჩვენებს ყველა იმ პროგრამას და ფაილს, რომლებიც ასოცირდება ამ კომბინაციასთან. პირველ სტრიქონში იქნება ბმული "კალკულატორი" - დააწკაპუნეთ მასზე მაუსის საშუალებით და აპლიკაცია ამოქმედდება.

4. დააჭირეთ კლავიშთა კომბინაციას Alt + 2, რათა აპლიკაციის ინტერფეისში გამოჩნდეს ღილაკი თვითნებურად აწევის ფუნქციით. ხარისხი. ამის შემდეგ შეიყვანეთ ბაზა - მეორე საფეხურის მაგალითში ეს არის ნომერი 6 - და დააწკაპუნეთ ჯერ x? ღილაკზე, შემდეგ კი x? ღილაკზე. შეიყვანეთ მაჩვენებელი, რომელზეც გსურთ შექმნათ კვადრატი- გამოყენებული მაგალითში ეს რიცხვია 5. დააჭირეთ Enter ღილაკს და კალკულატორი აჩვენებს ოპერაციის საბოლოო შედეგს.

Მსგავსი ვიდეოები

სასარგებლო რჩევა
იმისათვის, რომ ტრენინგი არ იყოს მოსაწყენი, დაურეკეთ მეგობარს დახმარებისთვის. მიეცით მას დაწეროს ორნიშნა რიცხვი, თქვენ კი - ამ რიცხვის კვადრატის გამოსავალი. ამის შემდეგ შეცვალეთ ადგილები.

* კვადრატები ასამდე

იმისათვის, რომ ფორმულის მიხედვით ყველა რიცხვი უაზროდ არ მოაწყოთ კვადრატი, თქვენ უნდა გაამარტივოთ თქვენი დავალება მაქსიმალურად შემდეგი წესებით.

წესი 1 (აწყვეტს 10 რიცხვს)

0-ით დამთავრებული რიცხვებისთვის.
თუ რიცხვი 0-ით მთავრდება, მისი გამრავლება არ არის იმაზე რთული ერთნიშნა. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის რამდენიმე ნულის დამატება.
70 * 70 = 4900.
ცხრილი მონიშნულია წითლად.

წესი 2 (აწყვეტს 10 რიცხვს)

5-ით დამთავრებული რიცხვებისთვის.
ორნიშნა რიცხვის კვადრატში, რომელიც მთავრდება 5-ით, გაამრავლეთ პირველი ციფრი (x) (x+1) და შედეგს დაამატეთ "25".
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
ცხრილი მონიშნულია მწვანეში.

წესი 3 (აჭრის 8 რიცხვს)

40-დან 50-მდე რიცხვებისთვის.
XX * XX = 1500 + 100 * მეორე ციფრი + (10 - მეორე ციფრი)^2
საკმარისად რთულია, არა? ავიღოთ მაგალითი:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
ცხრილი მონიშნულია ღია ნარინჯისფერით.

წესი 4 (აწყვეტს 8 რიცხვს)

50-დან 60-მდე რიცხვებისთვის.
XX * XX = 2500 + 100 * მეორე ციფრი + (მეორე ციფრი)^2
ასევე საკმაოდ რთული გასაგებია. ავიღოთ მაგალითი:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
მაგიდა მონიშნულია მუქი ნარინჯისფრით.

წესი 5 (აჭრის 8 რიცხვს)

90-დან 100-მდე რიცხვებისთვის.
XX * XX = 8000+ 200 * მეორე ციფრი + (10 - მეორე ციფრი)^2
მე-3 წესის მსგავსი, მაგრამ განსხვავებული კოეფიციენტებით. ავიღოთ მაგალითი:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
მაგიდა მონიშნულია მუქი მუქი ნარინჯისფერით.

წესი #6 (წყვეტს 32 რიცხვს)

აუცილებელია 40-მდე რიცხვების კვადრატების დამახსოვრება. ეს გიჟურად და რთულად ჟღერს, მაგრამ სინამდვილეში, 20-მდე, უმეტესობამ იცის კვადრატები. 25, 30, 35 და 40 ემსახურება ფორმულებს. და დარჩა მხოლოდ 16 წყვილი რიცხვი. მათი დამახსოვრება უკვე შესაძლებელია მნემონიკის გამოყენებით (რაზეც მოგვიანებით მინდა ვისაუბრო) ან ნებისმიერი სხვა საშუალებით. გამრავლების ცხრილის მსგავსად :)
ცხრილი მონიშნულია ლურჯად.

თქვენ შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ყველა წესი, ან შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ შერჩევით, ნებისმიერ შემთხვევაში, ყველა რიცხვი 1-დან 100-მდე ემორჩილება ორ ფორმულას. წესები დაგეხმარებათ, ამ ფორმულების გამოყენების გარეშე, სწრაფად გამოვთვალოთ ვარიანტების 70%-ზე მეტი. აქ არის ორი ფორმულა:

ფორმულები (დარჩენილია 24 ნომერი)

25-დან 50-მდე რიცხვებისთვის
XX * XX = 100 (XX - 25) + (50 - XX)^2
Მაგალითად:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

50-დან 100-მდე რიცხვებისთვის
XX * XX = 200 (XX - 50) + (100 - XX)^2
Მაგალითად:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

რა თქმა უნდა, არ დაივიწყოთ ჯამის კვადრატის გაფართოების ჩვეულებრივი ფორმულა ( განსაკუთრებული შემთხვევაბინომიური ნიუტონი):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

განახლება
100-თან მიახლოებული რიცხვების ნაწარმოებები და, კერძოდ, მათი კვადრატები, ასევე შეიძლება გამოითვალოს "ნაკლოვანებები 100-მდე" პრინციპით:

სიტყვებით: პირველ რიცხვს გამოვაკლებთ მეორის „ნაკლს“ ასს და მივაწერთ „ნაკლოვანების“ ორნიშნა ნამრავლს.

კვადრატებისთვის, შესაბამისად, კიდევ უფრო ადვილია.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(სიელოვერით)

კვადრატი შეიძლება არ იყოს ყველაზე სასარგებლო რამ ოჯახში. მაშინვე არ გაგახსენდებათ შემთხვევა, როცა შეიძლება დაგჭირდეთ რიცხვის კვადრატი. მაგრამ რიცხვებთან სწრაფი მუშაობის უნარი, თითოეული რიცხვისთვის შესაბამისი წესების გამოყენება, სრულყოფილად ავითარებს თქვენი ტვინის მეხსიერებას და „გამოთვლის უნარებს“.

სხვათა შორის, ვფიქრობ, ჰაბრას ყველა მკითხველმა იცის, რომ 64^2 = 4096 და 32^2 = 1024.
ასოციაციურ დონეზე ახსოვს რიცხვების მრავალი კვადრატი. მაგალითად, მე ადვილად დავიმახსოვრე 88^2 = 7744, იმის გამო იგივე ნომრები. ყველას ექნება საკუთარი მახასიათებლები.

ორი უნიკალური ფორმულა პირველად აღმოვაჩინე წიგნში „13 ნაბიჯი მენტალიზმამდე“, რომელსაც მცირე კავშირი აქვს მათემატიკასთან. ფაქტია, რომ ადრე (შესაძლოა ახლაც) უნიკალური გამოთვლითი შესაძლებლობები იყო ერთ-ერთი რიცხვი სასცენო მაგიაში: ჯადოქარმა უთხრა ველოსიპედს, თუ როგორ მიიღო ზესახელმწიფოები და ამის დასტურად მყისიერად აყალიბებს რიცხვებს ასამდე. წიგნში ასევე ნაჩვენებია, თუ როგორ უნდა კუბური, როგორ გამოვაკლოთ ფესვები და კუბური ფესვები.

თუ სწრაფი დათვლის თემა საინტერესოა, დავწერ კიდევ.
გთხოვთ დაწეროთ კომენტარები შეცდომებზე და შესწორებებზე PM-ში, მადლობა წინასწარ.

დღეს ჩვენ ვისწავლით, თუ როგორ სწრაფად მოაწყოთ დიდი გამონათქვამები კალკულატორის გარეშე. დიდში ვგულისხმობ რიცხვებს ათიდან ასამდე. დიდი გამონათქვამები უკიდურესად იშვიათია რეალურ პრობლემებში და თქვენ უკვე იცით, თუ როგორ უნდა დაითვალოთ ათზე ნაკლები მნიშვნელობები, რადგან ეს არის რეგულარული გამრავლების ცხრილი. დღევანდელი გაკვეთილის მასალა სასარგებლო იქნება საკმაოდ გამოცდილი სტუდენტებისთვის, რადგან ახალბედა სტუდენტები უბრალოდ არ დააფასებენ ამ ტექნიკის სიჩქარეს და ეფექტურობას.

პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ რა კითხვაზე. მაგალითად, მე ვთავაზობ თვითნებური კონსტრუქციის გაკეთებას რიცხვითი გამოხატულებაროგორც ჩვეულებრივ ვაკეთებთ. ვთქვათ 34. ვზრდით მას სვეტით თავის თავზე გამრავლებით:

\[((34)^(2))=\ჯერ \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 არის კვადრატი 34.

პრობლემა ამ მეთოდითშეიძლება აღწერილი იყოს ორი გზით:

1) საჭიროებს წერილობით რეგისტრაციას;

2) ძალიან ადვილია შეცდომის დაშვება გაანგარიშების პროცესში.

დღეს ჩვენ ვისწავლით როგორ გავამრავლოთ სწრაფად კალკულატორის გარეშე, სიტყვიერად და პრაქტიკულად შეცდომების გარეშე.

მოდით დავიწყოთ. სამუშაოდ, ჩვენ გვჭირდება ჯამისა და სხვაობის კვადრატის ფორმულა. მოდით ჩამოვწეროთ ისინი:

\[(((ა+ბ))^(2))=((ა)^(2))+2აბ+((ბ)^(2))\]

\[(((ა-ბ))^(2))=((ა)^(2))-2აბ+((ბ)^(2))\]

რას გვაძლევს ეს? ფაქტია, რომ ნებისმიერი მნიშვნელობა 10-დან 100-მდე შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც $a$ რიცხვი, რომელიც იყოფა 10-ზე და რიცხვი $b$, რომელიც არის 10-ზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი.

მაგალითად, 28 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ანალოგიურად, ჩვენ წარმოგიდგენთ დარჩენილ მაგალითებს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\ბოლო (გასწორება)\]

რა გვაძლევს ასეთ წარმოდგენას? ფაქტია, რომ ჯამით ან სხვაობით შეგვიძლია გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული გამოთვლები. რა თქმა უნდა, გამოთვლების შესამცირებლად, თითოეული ელემენტისთვის უნდა აირჩიოთ გამოხატულება ყველაზე პატარა წამივადა. მაგალითად, $20+8$ და $30-2$ ვარიანტებიდან უნდა აირჩიოთ $30-2$ ვარიანტი.

ანალოგიურად, ჩვენ ვირჩევთ ვარიანტებს სხვა მაგალითებისთვის:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\ბოლო(გასწორება)\]

რატომ უნდა ცდილობდეს მეორე ვადის შემცირებას სწრაფი გამრავლება? ეს ყველაფერი ჯამისა და სხვაობის კვადრატის საწყის გამოთვლებზეა. ფაქტია, რომ პლუს-მინუს ტერმინი $2ab$ ყველაზე რთული გამოსათვლელია რეალური პრობლემების გადაჭრისას. და თუ $a$ კოეფიციენტი, 10-ის ჯერადი, ყოველთვის ადვილად მრავლდება, მაშინ $b$ ფაქტორით, რომელიც არის რიცხვი ერთიდან ათამდე დიაპაზონში, ბევრ სტუდენტს რეგულარულად უჭირს.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

ასე რომ, სამ წუთში გავაკეთეთ რვა მაგალითის გამრავლება. ეს არის 25 წამზე ნაკლები თითო გამოსახულებაში. სინამდვილეში, მცირე ვარჯიშის შემდეგ, კიდევ უფრო სწრაფად ითვლით. ნებისმიერი ორნიშნა გამოხატვის გამოსათვლელად დაგჭირდებათ არაუმეტეს ხუთი ან ექვსი წამი.

მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის. მათთვის, ვისთვისაც ნაჩვენები ტექნიკა არასაკმარისად სწრაფი და არც ისე მაგარი ჩანს, მე კიდევ მეტს ვთავაზობ სწრაფი გზაგამრავლება, რომელიც, თუმცა, არ მუშაობს ყველა ამოცანისთვის, მაგრამ მხოლოდ მათთვის, ვინც განსხვავდება ერთით 10-ის ჯერადებიდან. ჩვენს გაკვეთილზე არის ოთხი ასეთი მნიშვნელობა: 51, 21, 81 და 39.

ეს ბევრად უფრო სწრაფი ჩანდა, ჩვენ უკვე ვითვლით მათ სიტყვასიტყვით რამდენიმე სტრიქონში. მაგრამ, ფაქტობრივად, შესაძლებელია აჩქარება და ეს კეთდება შემდეგნაირად. ჩვენ ვწერთ მნიშვნელობას, ათის ჯერადად, რომელიც ყველაზე ახლოს არის სასურველთან. მაგალითად, ავიღოთ 51. მაშასადამე, დასაწყისისთვის ჩვენ ორმოცდაათს გავზრდით:

\[{{50}^{2}}=2500\]

მნიშვნელობები, რომლებიც ათი მრავლობითია, ბევრად უფრო ადვილია კვადრატში. და ახლა ჩვენ უბრალოდ დავუმატებთ ორმოცდაათი და 51-ს თავდაპირველ გამოსახულებას. პასუხი იგივე იქნება:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

ასე რომ, ყველა რიცხვი, რომელიც განსხვავდება ერთით.

თუ მნიშვნელობა, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ, უფრო დიდია ვიდრე ჩვენ ვფიქრობთ, მაშინ მივამატებთ რიცხვებს მიღებულ კვადრატს. თუ სასურველი რიცხვი ნაკლებია, როგორც 39-ის შემთხვევაში, მაშინ მოქმედების შესრულებისას მნიშვნელობა უნდა გამოკლდეს კვადრატს. ვივარჯიშოთ კალკულატორის გამოყენების გარეშე:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

როგორც ხედავთ, ყველა შემთხვევაში პასუხები ერთნაირია. გარდა ამისა, ამ ტექნიკასგამოიყენება ნებისმიერ მიმდებარე მნიშვნელობებზე. Მაგალითად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ამასთან, საერთოდ არ გვჭირდება ჯამისა და სხვაობის კვადრატების გამოთვლების დამახსოვრება და კალკულატორის გამოყენება. სამუშაოს სიჩქარე დიდებას არ აღემატება. ამიტომ დაიმახსოვრეთ, ივარჯიშეთ და გამოიყენეთ პრაქტიკაში.

საკვანძო პუნქტები

ამ ტექნიკით შეგიძლიათ მარტივად გააკეთოთ ნებისმიერის გამრავლება ნატურალური რიცხვები 10-დან 100-მდე. უფრო მეტიც, ყველა გამოთვლა ხდება ზეპირად, კალკულატორის და თუნდაც ქაღალდის გარეშე!

პირველ რიგში, დაიმახსოვრეთ მნიშვნელობების კვადრატები, რომლებიც ამრავლებენ 10-ს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\ბოლო (გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\ბოლო (გასწორება)\]

როგორ დავთვალოთ კიდევ უფრო სწრაფად

მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის! ამ გამონათქვამების გამოყენებით, შეგიძლიათ მყისიერად გააკეთოთ რიცხვების კვადრატი, რომლებიც "მიმდებარედ" არიან საცნობარო რიცხვებთან. მაგალითად, ჩვენ ვიცით 152 (საცნობარო მნიშვნელობა), მაგრამ უნდა ვიპოვოთ 142 (მიმდებარე რიცხვი, რომელიც ერთით ნაკლებია მითითებაზე). Მოდი დავწეროთ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\ბოლო (გასწორება)\]

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: არა მისტიკა! რიცხვების კვადრატები, რომლებიც განსხვავდებიან 1-ით, ნამდვილად მიიღება საცნობარო ნომრების საკუთარ თავზე გამრავლებით ორი მნიშვნელობის გამოკლებით ან მიმატებით:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Რატომ ხდება ეს? მოდით ჩამოვწეროთ ჯამის (და სხვაობის) კვადრატის ფორმულა. მოდით $n$ იყოს ჩვენი საცნობარო მნიშვნელობა. შემდეგ ისინი ითვლიან ასე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\ბოლო(გასწორება)\]

- ეს არის ფორმულა.

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\ბოლო(გასწორება)\]

- მსგავსი ფორმულა 1-ზე მეტი რიცხვებისთვის.

ვიმედოვნებ, რომ ეს ტექნიკა დაზოგავს თქვენს დროს მათემატიკაში ყველა მნიშვნელოვან ტესტსა და გამოცდაზე. და ეს ყველაფერი ჩემთვის. Გნახავ!

კვადრატი სამნიშნა რიცხვები- გონებრივი მაგიის უნარის შთამბეჭდავი გამოვლინება. ისევე, როგორც ორნიშნა რიცხვის კვადრატში მოყვანისას, ის მრგვალდება ან პატარა მხარე 10-ის ჯერადი რომ მიიღოთ, სამნიშნა რიცხვის კვადრატში უნდა დაამრგვალოთ იგი ზევით ან ქვევით, რომ მიიღოთ 100-ის ჯერადი. მოდით კვადრატში გავამრავლოთ რიცხვი 193.

193-დან 200-მდე დამრგვალებით (მეორე ფაქტორი გახდა 186), პრობლემა 3-ზე 3-ზე მეტი გახდა. მარტივი ტიპი"3 1-ზე", რადგან 200 x 186 არის მხოლოდ 2 x 186 = 372 ორი ნულით ბოლოს. Თითქმის მზადაა! ახლა თქვენ მხოლოდ უნდა დაამატოთ 7 2 = 49 და მიიღოთ პასუხი - 37249.

ვცადოთ 706-ის კვადრატი.

706 რიცხვის 700-მდე დამრგვალებისას, თქვენ ასევე უნდა შეცვალოთ იგივე რიცხვი 6-ით, რომ მიიღოთ 712.

ვინაიდან 712 x 7 = 4984 (მარტივი პრობლემა 3-ზე), 712 x 700 = 498,400. 62 = 36-ის დამატება იძლევა 498,436-ს.

უახლესი მაგალითებიარც ისე საშინელია, რადგან ისინი არ შეიცავს დამატებას, როგორც ასეთს. გარდა ამისა, თქვენ ზეპირად იცით, რას უდრის 6 2 და 7 2. 100-ის ჯერადიდან 10 ერთეულზე მეტის დაშორებით რიცხვის კვადრატში გამოყვანა გაცილებით რთულია. სცადეთ თქვენი ხელი 314 2-ით.

ამ მაგალითში რიცხვი 314 მცირდება 14-ით დამრგვალებამდე 300-მდე და გაიზარდა 14-ით 328-მდე. გაამრავლეთ 328 x 3 = 984 და ბოლოს დაამატეთ ორი ნული, რომ მიიღოთ 98400. შემდეგ დაამატეთ 14-ის კვადრატი. თუ მყისიერად მოხვალთ გახსოვდეთ (მეხსიერების ან სწრაფი გამოთვლების წყალობით) რომ 14 2 = 196, მაშინ კარგ ფორმაში ხართ. შემდეგ უბრალოდ დაამატეთ 98,400 + 196, რომ მიიღოთ საბოლოო პასუხი 98,596.

თუ დრო გჭირდებათ 142-ის დასათვლელად, გაიმეორეთ "98400" რამდენჯერმე, სანამ გააგრძელებთ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოთვალოთ 14 2 \u003d 196 და დაივიწყოთ რომელ რიცხვზე გჭირდებათ პროდუქტის დამატება.

თუ თქვენ გყავთ აუდიტორია, რომელზეც გსურთ შთაბეჭდილების მოხდენა, შეგიძლიათ თქვათ "279,000" ხმამაღლა, სანამ იპოვით 292-ს. მაგრამ ეს არ გამოდგება ყველა პრობლემისთვის, რომელსაც თქვენ გადაწყვეტთ.

მაგალითად, სცადეთ 636-ის კვადრატი.

ახლა თქვენი ტვინი ნამდვილად მუშაობს, არა?

დაიმახსოვრე, რამდენჯერმე გაიმეორე საკუთარ თავს "403200" 36-ის კვადრატში ჩვეული გზით 1296-ის მისაღებად. ყველაზე რთულია 1296 + 403200-ის დამატება. გააკეთეთ ეს ერთი ციფრი ერთდროულად, მარცხნიდან მარჯვნივ და მიიღებთ პასუხს. 404496 მე გეტყვით, რომ როგორც კი უფრო მეტად გაეცნობით ორნიშნა რიცხვების კვადრატს, სამნიშნა ამოცანები ბევრად გამარტივდება.

აი მეტი რთული მაგალითი: 863 2 .

პირველი პრობლემა არის გადაწყვიტოთ რომელი რიცხვები გავამრავლოთ. უდავოა, რომ ერთი იქნება 900, მეორე კი 800-ზე მეტი, მაგრამ რომელი? ეს შეიძლება გამოითვალოს ორი გზით.

1. Რთული გზა: სხვაობა 863-სა და 900-ს შორის არის 37 (ავსებს 63-ს), გამოაკელით 37 863-ს და მიიღეთ 826.

2. მარტივი გზა: გააორმაგეთ რიცხვი 63, მივიღებთ 126-ს, ახლა ამ რიცხვის ბოლო ორ ციფრს ვამატებთ 800 რიცხვს, რომელიც საბოლოოდ მისცემს 826-ს.

აი, როგორ მუშაობს ადვილი გზა. ვინაიდან ორივე რიცხვს ერთი და იგივე განსხვავება აქვს 863 რიცხვთან, მათი ჯამი ორჯერ უნდა იყოს 863 რიცხვის ტოლი, ანუ 1726. რიცხვებიდან ერთი არის 900, ამიტომ მეორე იქნება 826-ის ტოლი.

შემდეგ ჩვენ ვასრულებთ შემდეგ გამოთვლებს.

თუ 743,400-ის დამახსოვრება გიჭირთ 37-ის კვადრატის შემდეგ, ნუ იმედგაცრუებთ. შემდეგ თავებში შეისწავლით მნემონიკის სისტემას და ისწავლით როგორ დაიმახსოვროთ ასეთი რიცხვები.

სცადეთ თქვენი ხელი აქამდე ყველაზე რთულ ამოცანაზე - 359 რიცხვის კვადრატში.

318-ის მისაღებად ან გამოაკლეთ 41 (59-ის დანამატი) 359-ს, ან გაამრავლეთ 2 x 59 = 118 და გამოიყენეთ ბოლო ორი ციფრი. შემდეგ გაამრავლეთ 400 x 318 = 127 200. ამ რიცხვს თუ დავუმატებთ 412 = 1681-ს, ჯამში მივიღებთ 128 881-ს, ესე იგი! თუ ყველაფერი სწორად გააკეთე პირველად, კარგად გააკეთე!

დავასრულოთ ეს დიდი მონაკვეთი, მაგრამ მარტივი ამოცანა: გამოთვალეთ 987 2 .

ᲕᲐᲠᲯᲘᲨᲘ: კვადრატული სამციფრიანი რიცხვები

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

რა არის კარის ნომრ 1 უკან?

1991 წლის მათემატიკური ბანალურობა, რომელმაც ყველა გააოცა, იყო მერილინ სავანტის - მსოფლიოში ყველაზე მაღალი IQ-ის მქონე ქალის სტატია (რომელიც დარეგისტრირებულია გინესის რეკორდების წიგნში) - ჟურნალ Parade-ში. ეს პარადოქსი ცნობილი გახდა, როგორც "მონტი ჰოლის პრობლემა" და ასეთია.

თქვენ ხართ მონტი ჰოლის შოუს Let's Make Deal-ის მონაწილე. მასპინძელი გაძლევთ საშუალებას აირჩიოთ სამი კარიდან ერთ-ერთი, რომელთაგან ერთის უკან დიდი პრიზი დგას, დანარჩენი ორის უკან - თხა. დავუშვათ, რომ აირჩევთ კარის ნომერ 2-ს. მაგრამ სანამ აჩვენებს რა არის ამ კარს მიღმა, მონტი ხსნის მე-3 კარს. იქ არის თხა. ახლა, თავისი ცელქი სახით, მონტი გეკითხება: გინდა გააღო ნომერი 2 კარი ან გაბედო დაინახო რა დგას 1-ლი კარის მიღმა? Რა უნდა გააკეთო? თუ ვივარაუდებთ, რომ მონტი აპირებს გითხრათ, სად არ არის მთავარი პრიზი, ის ყოველთვის გააღებს ერთ-ერთ „ნუგეშის“ კარს. ეს გიტოვებს არჩევანს: ერთი კარი დიდი პრიზით, მეორე კი - ნუგეში. ახლა თქვენი შანსები 50/50-ია, არა?

Მაგრამ არა! შანსი იმისა, რომ თქვენ სწორად გაიგეთ პირველად ჯერ კიდევ არის 1 3-დან. შანსი იმისა, რომ დიდი პრიზი სხვა კარს მიღმა აღმოჩნდეს, იზრდება 2/3-მდე, რადგან ალბათობა უნდა დაემატოს 1-ს.

ამრიგად, არჩევანის შეცვლით, გაორმაგებთ მოგების შანსებს! (პრობლემა ვარაუდობს, რომ მონტი ყოველთვის აძლევს მოთამაშეს ამის შესაძლებლობას ახალი არჩევანი, აჩვენებს "არამოგებიან" კარს და როდესაც თქვენი პირველი არჩევანი სწორი იქნება, შემთხვევით გაიხსნება "არამომგებიანი" კარი.) იფიქრეთ თამაშზე ათი კარით. სთხოვეთ ფასილიტატორს გააღოს რვა "არამომგებიანი" კარი თქვენი პირველი არჩევანის შემდეგ. აქ, სავარაუდოდ, თქვენი ინსტინქტები მოგთხოვენ კარის შეცვლას. ადამიანები, როგორც წესი, უშვებენ შეცდომას და ფიქრობენ, რომ თუ მონტი ჰოლმა არ იცის, სად არის მთავარი პრიზი და გახსნის კარი #3, რომელიც მთავრდება თხასთან (თუმცა შეიძლება იყოს პრიზი), მაშინ #1 კარს აქვს 50 პროცენტიანი შანსი. რომ იყო სწორი. ასეთი მსჯელობა ეწინააღმდეგება საღი აზრითუმცა, მერილინ სავანტმა მიიღო წერილების გროვა (ბევრი მეცნიერებისგან და მათემატიკოსებისგანაც კი), სადაც ნათქვამია, რომ მას არ უნდა დაეწერა მათემატიკაზე. რა თქმა უნდა, ყველა ეს ადამიანი ცდებოდა.

ახლა განვიხილოთ ბინომის კვადრატი და, არითმეტიკული თვალსაზრისით, ვისაუბრებთ ჯამის კვადრატზე, ანუ (a + b)² და ორი რიცხვის სხვაობის კვადრატზე, ანუ (a - b)². .

ვინაიდან (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

შემდეგ ვპოულობთ: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², ე.ი.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

სასარგებლოა ამ შედეგის დამახსოვრება როგორც ზემოთ მოყვანილი ტოლობის სახით, ასევე სიტყვებით: ორი რიცხვის ჯამის კვადრატი. უდრის კვადრატსპირველ რიცხვს პლუს პირველი რიცხვის ორჯერ ნამრავლი მეორე რიცხვზე, პლუს მეორე რიცხვის კვადრატი.

ამ შედეგის ცოდნა, ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ დავწეროთ, მაგალითად:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

მოდით გადავხედოთ ამ მაგალითებიდან მეორეს. ორი რიცხვის ჯამი უნდა გამოვყოთ კვადრატში: პირველი რიცხვი არის 3ab, მეორე არის 1. უნდა გამოვიდეს: 1) პირველი რიცხვის კვადრატი, ანუ (3ab)², რომელიც უდრის 9a²b²; 2) ორის ნამრავლი პირველი რიცხვით და მეორე, ანუ 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) მე-2 ნომრის კვადრატი, ანუ 1² \u003d 1 - ეს სამივე ტერმინი უნდა დაემატოს ერთად.

ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ ფორმულას ორი რიცხვის სხვაობის კვადრატისთვის, ანუ (a - b)²-სთვის:

(a - b)² = (a - b) (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².

(a - b)² = a² - 2ab + b²,

ანუ, ორი რიცხვის სხვაობის კვადრატი უდრის პირველი რიცხვის კვადრატს, გამოკლებული ორის ნამრავლი პირველი რიცხვისა და მეორეზე, პლუს მეორე რიცხვის კვადრატი.

ამ შედეგის ცოდნით, ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ შევასრულოთ ორ რიცხვთა სხვაობას არითმეტიკული თვალსაზრისით გამოსახული ბინომების კვადრატი.

(m - n)² = m² - 2mn + n²
(5ab 3 - 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 - a) 2 \u003d a 2n-2 - 2a n + a 2 და ა.შ.

ავხსნათ მე-2 მაგალითი. აქ ფრჩხილებში გვაქვს ორი რიცხვის განსხვავება: პირველი რიცხვი 5ab 3 და მეორე რიცხვი 3a 2 b. შედეგი უნდა იყოს: 1) პირველი რიცხვის კვადრატი, ანუ (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) ორის ნამრავლი 1-ლი და მე-2 რიცხვით, ანუ 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a. 3 b 4 და 3) მეორე რიცხვის კვადრატი, ანუ (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; პირველი და მესამე წევრი უნდა ავიღოთ პლუსით, ხოლო მე-2 მინუსით, მივიღებთ 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. მე-4 მაგალითის გასარკვევად, ჩვენ მხოლოდ აღვნიშნავთ, რომ 1) (a n-1) 2 = a 2n-2 ... აუცილებელია მაჩვენებლის გამრავლება 2-ზე და 2-ზე) ორის ნამრავლი 1 რიცხვზე და მე-2 = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n.

თუ ავიღებთ ალგებრას, მაშინ ორივე თანასწორობა: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² და 2) (a - b)² = a² - 2ab + b² გამოხატავს ერთსა და იმავეს, კერძოდ: ბინომის კვადრატი უდრის პირველი წევრის კვადრატს, პლუს (+2) რიცხვის ნამრავლი პირველ წევრზე და მეორეზე, პლუს მეორე წევრის კვადრატი. ეს გასაგებია, რადგან ჩვენი თანასწორობები შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a - b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (-b) + (-b)²

ზოგიერთ შემთხვევაში, მოსახერხებელია მიღებული თანასწორობების ინტერპრეტაცია ამ გზით:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

აქ ბინომი კვადრატულია, რომლის პირველი წევრი = -4a და მეორე = -3b. შემდეგ მივიღებთ (-4a)² = 16a², (+2) (-4a) (-3b) = +24ab, (-3b)² = 9b² და ბოლოს:

(-4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

ასევე შესაძლებელი იქნებოდა ტრინომის, ოთხწევრის და ზოგადად ნებისმიერი მრავალწევრის კვადრატის ფორმულის მიღება და დამახსოვრება. თუმცა ჩვენ ამას არ გავაკეთებთ, რადგან იშვიათად გვიწევს ამ ფორმულების გამოყენება და თუ რომელიმე მრავალწევრის კვადრატი დაგვჭირდება (გარდა ბინომისა), მაშინ მატერიას გავამრავლებთ. Მაგალითად:

31. გამოიყენე მიღებული 3 ტოლობა, კერძოდ:

(a + b) (a - b) = a² - b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

არითმეტიკამდე.

მოდით იყოს 41 ∙ 39. შემდეგ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ იგი სახით (40 + 1) (40 - 1) და დავამციროთ მატერია პირველ ტოლობამდე - მივიღებთ 40² - 1 ან 1600 - 1 \u003d 1599. ამის წყალობით , ადვილია 21 ∙ 19-ის მსგავსი გამრავლების შესრულება; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 და ა.შ.

დაე იყოს 41 ∙ 41; ეს იგივეა, რაც 41² ან (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. ასევე 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. თუ გჭირდებათ 37, ∙ 3 მაშინ ის უდრის (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369. ასეთი გამრავლება (ან ორნიშნა რიცხვების კვადრატი) ადვილი შესასრულებელია, გარკვეული უნარით, გონებაში.