საბოლოოდ, ვრცელ და ნანატრი თემას მივაღწიე ანალიტიკური გეომეტრია . პირველი, ცოტა უმაღლესი მათემატიკის ამ განყოფილების შესახებ…. რა თქმა უნდა, ახლა გაიხსენეთ სასკოლო გეომეტრიის კურსი მრავალი თეორემით, მათი მტკიცებულებებით, ნახატებით და ა.შ. რა დასამალი, უსაყვარლესი და ხშირად ბუნდოვანი საგანი სტუდენტების მნიშვნელოვანი ნაწილისთვის. ანალიტიკური გეომეტრია, უცნაურად საკმარისი, შეიძლება უფრო საინტერესო და ხელმისაწვდომი ჩანდეს. რას ნიშნავს ზედსართავი სახელი "ანალიტიკური"? მაშინვე მახსენდება ორი შტამპი მათემატიკური ფრაზა: „ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი“ და „ ანალიტიკური მეთოდიგადაწყვეტილებები". გრაფიკული მეთოდი რა თქმა უნდა, ასოცირდება გრაფიკების, ნახატების აგებასთან. ანალიტიკურიიგივე მეთოდიმოიცავს პრობლემის გადაჭრას უპირატესადმეშვეობით ალგებრული ოპერაციები. ამ მხრივ, ანალიტიკური გეომეტრიის თითქმის ყველა ამოცანის გადაჭრის ალგორითმი მარტივი და გამჭვირვალეა, მისი გამოყენება ხშირად საკმაოდ ზუსტია. საჭირო ფორმულები- და პასუხი მზადაა! არა, რა თქმა უნდა, ეს საერთოდ არ გამოვა ნახატების გარეშე, გარდა ამისა, მასალის უკეთ გასაგებად ვეცდები მათ საჭიროებაზე გადაჭარბებული მოყვანა.

გეომეტრიის გაკვეთილების ღია კურსს არ აქვს პრეტენზია თეორიულ სისრულეზე, ის ორიენტირებულია პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრაზე. ჩემს ლექციებში ჩავთვლი მხოლოდ იმას, რაც, ჩემი აზრით, მნიშვნელოვანია პრაქტიკული თვალსაზრისით. თუ მეტი გჭირდება სრული დახმარებანებისმიერ ქვესექციაზე, მე სრულად გირჩევთ შემდეგს ხელმისაწვდომი ლიტერატურა:

1) რამ, რაც ხუმრობის გარეშე, რამდენიმე თაობისთვის ნაცნობია: სასკოლო სახელმძღვანელო გეომეტრიაში, ავტორები - ლ.ს. ათანასიანი და კომპანია. სკოლის გასახდელმა ამ საკიდმა უკვე გაუძლო 20 (!) გადაცემას, რაც, რა თქმა უნდა, არ არის ზღვარი.

2) გეომეტრია 2 ტომად. Ავტორები ლ.ს. ათანასიანი, ბაზილევი ვ.ტ.. ეს არის ლიტერატურა უმაღლესი სკოლა, დაგჭირდებათ პირველი ტომი. იშვიათად შემდგარი ამოცანები შეიძლება ამოვარდეს ჩემი ხედვის არედან და სახელმძღვანელოგაუწევს ფასდაუდებელ დახმარებას.

ორივე წიგნის ჩამოტვირთვა უფასოა ონლაინ. ასევე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩემი არქივი მზა გადაწყვეტილებები, რომელიც შეგიძლიათ იხილოთ გვერდზე ჩამოტვირთეთ უმაღლესი მათემატიკის მაგალითები.

ინსტრუმენტებიდან, მე კვლავ გთავაზობთ ჩემს განვითარებას - პროგრამული პაკეტიანალიტიკურ გეომეტრიაზე, რაც მნიშვნელოვნად გაამარტივებს ცხოვრებას და დაზოგავს დიდ დროს.

ვარაუდობენ, რომ მკითხველი იცნობს ძირითადს გეომეტრიული ცნებებიდა ფიგურები: წერტილი, წრფე, სიბრტყე, სამკუთხედი, პარალელოგრამი, პარალელეპიპედი, კუბი და ა.შ. მიზანშეწონილია დაიმახსოვროთ რამდენიმე თეორემა, ყოველ შემთხვევაში, პითაგორას თეორემა, გამარჯობა განმეორებით)

ახლა კი თანმიმდევრულად განვიხილავთ: ვექტორის ცნებას, ვექტორებთან მოქმედებებს, ვექტორულ კოორდინატებს. შემდგომ წაკითხვას გირჩევთ ყველაზე მნიშვნელოვანი სტატია ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი, ისევე, როგორც ვექტორთა და ვექტორთა შერეული პროდუქტი. ადგილობრივი ამოცანა არ იქნება ზედმეტი - სეგმენტის დაყოფა ამ მხრივ. ზემოაღნიშნული ინფორმაციის საფუძველზე შეგიძლიათ სიბრტყეში სწორი ხაზის განტოლებათან გადაწყვეტილებების უმარტივესი მაგალითები, რაც საშუალებას მისცემს ისწავლეთ როგორ ამოხსნათ პრობლემები გეომეტრიაში. შემდეგი სტატიები ასევე სასარგებლოა: სიბრტყის განტოლება სივრცეში, სწორი ხაზის განტოლებები სივრცეში, წრფისა და სიბრტყის ძირითადი ამოცანები, ანალიტიკური გეომეტრიის სხვა მონაკვეთები. ბუნებრივია, სტანდარტული ამოცანები განიხილება გზაზე.

ვექტორის კონცეფცია. თავისუფალი ვექტორი

ჯერ გავიმეოროთ ვექტორის სკოლის განმარტება. ვექტორიდაურეკა მიმართულისეგმენტი, რომლის დასაწყისი და დასასრული მითითებულია:

AT ამ საქმესსეგმენტის დასაწყისი არის წერტილი, სეგმენტის დასასრული არის წერტილი. თავად ვექტორი აღინიშნება . მიმართულებააუცილებელია, თუ ისარს გადააწყობთ სეგმენტის მეორე ბოლოში, მიიღებთ ვექტორს და ეს უკვე სრულიად განსხვავებული ვექტორი. მოსახერხებელია ვექტორის ცნების ამოცნობა მოძრაობით ფიზიკური სხეული: თანახმა ვარ, ინსტიტუტის კარებში შესვლა თუ ინსტიტუტის კარებიდან გამოსვლა სულ სხვა რამეა.

მოსახერხებელია განიხილოს თვითმფრინავის ცალკეული წერტილები, სივრცე, როგორც ე.წ ნულოვანი ვექტორი. ასეთ ვექტორს აქვს ერთი დასასრული და დასაწყისი.

!!! Შენიშვნა: აქ და ქვემოთ, შეგიძლიათ ვივარაუდოთ, რომ ვექტორები დევს ერთ სიბრტყეში ან შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ისინი განლაგებულია სივრცეში - წარმოდგენილი მასალის არსი მოქმედებს როგორც სიბრტყისთვის, ასევე სივრცისთვის.

აღნიშვნები:ბევრმა მაშინვე მიიპყრო ჯოხი აღნიშვნაში ისრის გარეშე და თქვა, რომ მათ ასევე დააყენეს ისარი ზევით! ასეა, შეგიძლიათ ისრით დაწეროთ: , მაგრამ დასაშვებია და ჩანაწერი, რომელსაც მოგვიანებით გამოვიყენებ. რატომ? როგორც ჩანს, ასეთი ჩვევა ჩამოყალიბდა პრაქტიკული მოსაზრებებიდან, ჩემი მსროლელები სკოლაში და უნივერსიტეტში ძალიან მრავალფეროვანი და შავგვრემანი აღმოჩნდა. AT საგანმანათლებლო ლიტერატურაზოგჯერ ისინი საერთოდ არ იტანჯებიან ლურსმული ასოებით, მაგრამ ხაზს უსვამენ ასოებს თამამად: , რაც გულისხმობს, რომ ეს არის ვექტორი.

ეს იყო სტილი და ახლა ვექტორების დაწერის გზებზე:

1) ვექტორები შეიძლება დაიწეროს ორი დიდი ლათინური ასოებით:
და ა.შ. ხოლო პირველი ასო აუცილებლადაღნიშნავს ვექტორის საწყის წერტილს, ხოლო მეორე ასო აღნიშნავს ვექტორის ბოლო წერტილს.

2) ვექტორები ასევე იწერება მცირე ლათინური ასოებით:
კერძოდ, ჩვენი ვექტორი შეიძლება ხელახლა აღინიშნოს მოკლედ მცირე ლათინური ასო.

სიგრძეან მოდულიარანულოვანი ვექტორი ეწოდება სეგმენტის სიგრძეს. ნულოვანი ვექტორის სიგრძე არის ნული. ლოგიკურად.

ვექტორის სიგრძე აღინიშნება მოდულის ნიშნით:

როგორ ვიპოვოთ ვექტორის სიგრძე, ცოტა მოგვიანებით ვისწავლით (ან გავიმეორებთ, ვისთვის როგორ).

ეს იყო ყველა სკოლის მოსწავლისთვის ნაცნობი ელემენტარული ინფორმაცია ვექტორის შესახებ. ანალიტიკურ გეომეტრიაში ე.წ თავისუფალი ვექტორი.

თუ ეს საკმაოდ მარტივია - ვექტორის დახატვა შესაძლებელია ნებისმიერი წერტილიდან:

ჩვენ მიჩვეული ვართ ასეთ ვექტორებს ვუწოდოთ თანაბარი (თანაბარი ვექტორების განმარტება ქვემოთ იქნება მოცემული), მაგრამ მხოლოდ მათემატიკური წერტილიხედვა არის იგივე ვექტორი ან თავისუფალი ვექტორი. რატომ უფასო? იმის გამო, რომ პრობლემების გადაჭრის პროცესში, თქვენ შეგიძლიათ „მიამაგროთ“ ერთი ან მეორე ვექტორი სიბრტყის ნებისმიერ წერტილზე ან სივრცისთვის, რომელიც გჭირდებათ. ეს არის ძალიან მაგარი ქონება! წარმოიდგინეთ თვითნებური სიგრძისა და მიმართულების ვექტორი – მისი „კლონირება“ შესაძლებელია უსასრულო რაოდენობის ჯერ და სივრცის ნებისმიერ წერტილში, ფაქტობრივად, ის ყველგან არსებობს. არის ასეთი სტუდენტური ანდაზა: ყოველი ლექტორი ფ ** u-ში ვექტორში. ყოველივე ამის შემდეგ, არა მხოლოდ მახვილგონივრული რითმა, ყველაფერი მათემატიკურად სწორია - ვექტორი შეიძლება იქაც დაერთოს. მაგრამ ნუ იჩქარებთ გახარებას, თავად სტუდენტები უფრო ხშირად განიცდიან =)

Ისე, თავისუფალი ვექტორი- ეს რამოდენიმე იდენტური მიმართულების სეგმენტები. სკოლის განმარტებავექტორი, მოცემული აბზაცის დასაწყისში: „მიმართულ სეგმენტს ვექტორი ეწოდება...“ გულისხმობს კონკრეტულიმოცემული ნაკრებიდან აღებული მიმართული სეგმენტი, რომელიც მიმაგრებულია სიბრტყის ან სივრცის გარკვეულ წერტილზე.

უნდა აღინიშნოს, რომ ფიზიკის თვალსაზრისით თავისუფალი ვექტორის ცნება ში ზოგადი შემთხვევაარასწორია და მნიშვნელობა აქვს ვექტორის გამოყენების წერტილს. მართლაც, იგივე ძალის პირდაპირი დარტყმა ცხვირზე ან შუბლზე საკმარისია ჩემი სულელური მაგალითის გასავითარებლად სხვადასხვა შედეგები. თუმცა, ფასიანივექტორები ასევე გვხვდება ვიშმატის კურსში (იქ არ წახვიდე :)).

მოქმედებები ვექტორებთან. ვექტორების კოლინარულობა

სასკოლო გეომეტრიის კურსში განიხილება მთელი რიგი მოქმედებები და წესები ვექტორებით: შეკრება სამკუთხედის წესის მიხედვით, შეკრება პარალელოგრამის წესით, ვექტორთა სხვაობის წესი, ვექტორის რიცხვზე გამრავლება, ვექტორების სკალარული ნამრავლი და ა.შ.როგორც თესლი, ჩვენ ვიმეორებთ ორ წესს, რომლებიც განსაკუთრებით აქტუალურია ანალიტიკური გეომეტრიის ამოცანების გადასაჭრელად.

ვექტორების შეკრების წესი სამკუთხედების წესის მიხედვით

განვიხილოთ ორი თვითნებური არა-ნულოვანი ვექტორი და:

საჭიროა ამ ვექტორების ჯამის პოვნა. იმის გამო, რომ ყველა ვექტორი ითვლება თავისუფლად, ჩვენ გადავდებთ ვექტორს დასასრულივექტორი:

ვექტორთა ჯამი არის ვექტორი. წესის უკეთ გასაგებად მიზანშეწონილია მასში ფიზიკური მნიშვნელობის ჩასმა: ნება მიეცით რომელიმე სხეულმა გააკეთოს გზა ვექტორის გასწვრივ, შემდეგ კი ვექტორის გასწვრივ. მაშინ ვექტორების ჯამი არის მიღებული გზის ვექტორი, რომელიც იწყება გამგზავრების წერტილიდან და მთავრდება ჩასვლის წერტილში. მსგავსი წესი ჩამოყალიბებულია ნებისმიერი რაოდენობის ვექტორების ჯამისთვის. როგორც ამბობენ, სხეულს შეუძლია თავისი გზა ძლიერ ზიგზაგით, ან შესაძლოა ავტოპილოტზე - მიღებული ჯამის ვექტორის გასწვრივ.

სხვათა შორის, თუ ვექტორი გადაიდო დან დაწყებავექტორი, მაშინ მივიღებთ ეკვივალენტს პარალელოგრამის წესივექტორების დამატება.

პირველი, ვექტორების კოლინარობის შესახებ. ორ ვექტორს ე.წ კოლინარულითუ ისინი დგანან ერთსა და პარალელურ ხაზებზე. უხეშად რომ ვთქვათ, საუბარია პარალელურ ვექტორებზე. მაგრამ მათთან მიმართებაში ყოველთვის გამოიყენება ზედსართავი სახელწოდება "collinear".

წარმოიდგინეთ ორი კოლინარული ვექტორი. თუ ამ ვექტორების ისრები მიმართულია იმავე მიმართულებით, მაშინ ასეთ ვექტორებს უწოდებენ თანამიმართული. თუ ისრები მიუთითებს სხვადასხვა მხარე, მაშინ ვექტორები იქნება საპირისპიროდ მიმართული.

აღნიშვნები:ვექტორების კოლინარობა იწერება ჩვეულებრივი პარალელურობის ხატით: , ხოლო დეტალიზაცია შესაძლებელია: (ვექტორები თანამიმართულია) ან (ვექტორები მიმართულია საპირისპიროდ).

მუშაობარიცხვით არანულოვანი ვექტორის არის ვექტორი, რომლის სიგრძე უდრის , და ვექტორები და არიან თანამიმართული და საპირისპიროდ მიმართული .

ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესი უფრო ადვილი გასაგებია სურათით:

ჩვენ უფრო დეტალურად გვესმის:

1) მიმართულება. თუ მულტიპლიკატორი უარყოფითია, მაშინ ვექტორი მიმართულებას იცვლისპირიქით.

2) სიგრძე. თუ ფაქტორი შეიცავს ან , მაშინ ვექტორის სიგრძე მცირდება. ამრიგად, ვექტორის სიგრძე ორჯერ ნაკლებია ვექტორის სიგრძეზე. თუ მოდულის მულტიპლიკატორი ერთზე მეტია, მაშინ ვექტორის სიგრძე იზრდებადროზე.

3) გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ყველა ვექტორი არის კოლინარული, ხოლო ერთი ვექტორი გამოიხატება მეორის მეშვეობით, მაგალითად, . პირიქითაც მართალია: თუ ერთი ვექტორი შეიძლება გამოიხატოს მეორის მნიშვნელობით, მაშინ ასეთი ვექტორები აუცილებლად კოლინარულია. ამრიგად: თუ ვექტორს გავამრავლებთ რიცხვზე, მივიღებთ კოლინარს(ორიგინთან შედარებით) ვექტორი.

4) ვექტორები თანამიმართულებია. ვექტორები და ასევე თანამიმართულები არიან. პირველი ჯგუფის ნებისმიერი ვექტორი ეწინააღმდეგება მეორე ჯგუფის რომელიმე ვექტორს.

რა ვექტორები ტოლია?

ორი ვექტორი ტოლია, თუ ისინი თანამიმართულები არიან და აქვთ იგივე სიგრძე. გაითვალისწინეთ, რომ თანამიმართულება გულისხმობს, რომ ვექტორები კოლინარულია. განმარტება იქნება არაზუსტი (ზედმეტი), თუ იტყვით: "ორი ვექტორი ტოლია, თუ ისინი თანასწორხაზოვანია და აქვთ იგივე სიგრძე."

თავისუფალი ვექტორის ცნების თვალსაზრისით, თანაბარი ვექტორები არის იგივე ვექტორი, რაც უკვე განვიხილეთ წინა აბზაცში.

ვექტორული კოორდინატები სიბრტყეზე და სივრცეში

პირველი წერტილი არის ვექტორების გათვალისწინება სიბრტყეზე. გამოვსახოთ დეკარტი მართკუთხა სისტემაკოორდინატები და საწყისიდან გამოვყავით მარტოხელავექტორები და:

ვექტორები და ორთოგონალური. ორთოგონალური = პერპენდიკულარული. გირჩევთ ნელ-ნელა შევეჩვიოთ ტერმინებს: პარალელურობისა და პერპენდიკულარობის ნაცვლად ვიყენებთ სიტყვებს შესაბამისად. კოლინარულობადა ორთოგონალობა.

Დანიშნულება:ვექტორების ორთოგონალურობა იწერება ჩვეულებრივი პერპენდიკულარული ნიშნით, მაგალითად: .

განხილულ ვექტორებს ე.წ კოორდინატთა ვექტორებიან ორტები. ეს ვექტორები იქმნება საფუძველიზედაპირზე. რა არის საფუძველი, ვფიქრობ, ინტუიციურად ნათელია ბევრისთვის, მეტიც დეტალური ინფორმაციაშეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულება. ვექტორული საფუძველი.მარტივი სიტყვებითკოორდინატების საფუძველი და წარმოშობა აყალიბებს მთელ სისტემას - ეს არის ერთგვარი საფუძველი, რომელზედაც დუღს სრული და მდიდარი გეომეტრიული სიცოცხლე.

ზოგჯერ აშენებულ საფუძველს ე.წ ორთონორალურითვითმფრინავის საფუძველი: „ორთო“ – იმიტომ კოორდინატთა ვექტორებიორთოგონალური, ზედსართავი სახელი „ნორმალიზებული“ ნიშნავს ერთს, ე.ი. საბაზისო ვექტორების სიგრძე უდრის ერთს.

Დანიშნულება:საფუძველი ჩვეულებრივ იწერება ფრჩხილებში, რომლის შიგნითაც მკაცრი წესითჩამოთვლილია საბაზისო ვექტორები, მაგალითად: . კოორდინატების ვექტორები აკრძალულიაადგილების გაცვლა.

ნებისმიერითვითმფრინავის ვექტორი ერთადერთი გზაგამოხატული როგორც:
, სად - ნომრები, რომლებიც ე.წ ვექტორული კოორდინატებიამ საფუძველზე. მაგრამ თვით გამოთქმა დაურეკა ვექტორის დაშლასაფუძველი .

ვახშამი მსახურობდა:

დავიწყოთ ანბანის პირველი ასოთი: . ნახატზე ნათლად ჩანს, რომ ვექტორის საფუძვლის მიხედვით დაშლისას გამოიყენება ახლახან განხილული:
1) ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესი: და ;
2) ვექტორების შეკრება სამკუთხედის წესის მიხედვით: .

ახლა გონებრივად განზე გადადეთ ვექტორი თვითმფრინავის ნებისმიერი სხვა წერტილიდან. სავსებით აშკარაა, რომ მისი კორუფცია „დაუნდობლად გაჰყვება მას“. აი, ვექტორის თავისუფლება – ვექტორი „ყველაფერს თან ატარებს“. ეს თვისება, რა თქმა უნდა, მართალია ნებისმიერი ვექტორისთვის. სასაცილოა, რომ თავად საბაზისო (თავისუფალი) ვექტორები არ არის საჭირო საწყისის განზე გადადება, ერთი შეიძლება დახატოს, მაგალითად, ქვედა მარცხნივ, მეორე კი ზედა მარჯვნივ და ამისგან არაფერი შეიცვლება! მართალია, ამის გაკეთება არ გჭირდებათ, რადგან მასწავლებელიც გამოავლენს ორიგინალობას და მოულოდნელ ადგილას დაგიწერთ "გადასასვლელს".

ვექტორები, ზუსტად ასახავს ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესს, ვექტორი მიმართულია საბაზისო ვექტორთან ერთად, ვექტორი მიმართულია საბაზისო ვექტორის საპირისპიროდ. ამ ვექტორებისთვის ერთ-ერთი კოორდინატი ნულის ტოლია, ის ზედმიწევნით შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:


და საბაზისო ვექტორები, სხვათა შორის, ასეთია: (ფაქტობრივად, ისინი გამოხატულია საკუთარი თავის მეშვეობით).

Და ბოლოს: , . სხვათა შორის, რა არის ვექტორული გამოკლება და რატომ არ გითხარი გამოკლების წესი? სადღაც შიგნით წრფივი ალგებრა, არ მახსოვს სად, აღვნიშნე, რომ გამოკლება შეკრების განსაკუთრებული შემთხვევაა. ასე რომ, "დე" და "ე" ვექტორების გაფართოებები მშვიდად იწერება ჯამის სახით: . გადაანაწილეთ ტერმინები ადგილებზე და მიჰყევით ნახატს, რამდენად ნათლად მუშაობს ვექტორების ძველი კარგი დამატება სამკუთხედის წესის მიხედვით ამ სიტუაციებში.

განიხილება ფორმის დაშლა ზოგჯერ უწოდებენ ვექტორულ დაშლას სისტემაში ან(ანუ ერთეულ ვექტორთა სისტემაში). მაგრამ ეს არ არის ვექტორის დაწერის ერთადერთი გზა, გავრცელებულია შემდეგი ვარიანტი:

ან ტოლობის ნიშნით:

თავად საბაზისო ვექტორები იწერება შემდეგნაირად: და

ანუ ფრჩხილებში მითითებულია ვექტორის კოორდინატები. AT პრაქტიკული ამოცანებისამივე ვარიანტი გამოიყენება.

მეეჭვებოდა მეთქვა თუ არა, მაგრამ მაინც ვიტყვი: ვექტორული კოორდინატების გადაწყობა შეუძლებელია. მკაცრად პირველ ადგილზეჩაწერეთ კოორდინატი, რომელიც შეესაბამება ერთეულ ვექტორს, მკაცრად მეორე ადგილზეჩაწერეთ კოორდინატი, რომელიც შეესაბამება ერთეულ ვექტორს. მართლაც, და არის ორი განსხვავებული ვექტორი.

ჩვენ გავარკვიეთ კოორდინატები თვითმფრინავში. ახლა განიხილეთ ვექტორები სამგანზომილებიან სივრცეში, აქ ყველაფერი თითქმის იგივეა! დაემატება კიდევ ერთი კოორდინატი. რთულია სამგანზომილებიანი ნახატების შესრულება, ამიტომ შემოვიფარგლები ერთი ვექტორით, რომელსაც სიმარტივისთვის გადავდებ საწყისიდან:

ნებისმიერი 3D სივრცის ვექტორი ერთადერთი გზა გაფართოვდეს ორთონორმალურ საფუძველზე:
, სადაც მოცემულია ვექტორის (რიცხვის) კოორდინატები მოცემულ საფუძველში.

მაგალითი სურათიდან: . ვნახოთ, როგორ მუშაობს ვექტორული მოქმედების წესები აქ. პირველი, ვექტორის გამრავლება რიცხვზე: (წითელი ისარი), (მწვანე ისარი) და (ფუქსინისფერი ისარი). მეორეც, აქ მოცემულია რამდენიმე, ამ შემთხვევაში სამი, ვექტორის დამატების მაგალითი: . ჯამის ვექტორი იწყება ამოსავალი წერტილიგამგზავრება (ვექტორის დასაწყისი) და ჩასვლის ბოლო წერტილში (ვექტორის დასასრული).

სამგანზომილებიანი სივრცის ყველა ვექტორი, რა თქმა უნდა, ასევე თავისუფალია, შეეცადეთ გონებრივად გადადოთ ვექტორი ნებისმიერი სხვა წერტილიდან და მიხვდებით, რომ მისი გაფართოება „მას რჩება“.

თვითმფრინავის საქმის მსგავსად, წერის გარდა ფართოდ გამოიყენება ვერსიები ფრჩხილებით: ან .

თუ ერთი (ან ორი) კოორდინატთა ვექტორი აკლია გაფართოებას, მაშინ ნულები იდება. მაგალითები:
ვექტორი (ზედმიწევნით ) - ჩაწერა ;
ვექტორი (ზედმიწევნით ) - ჩაწერა ;
ვექტორი (ზედმიწევნით ) - ჩაწერა .

ძირითადი ვექტორები იწერება შემდეგნაირად:

აქ, ალბათ, ყველა მინიმალურია თეორიული ცოდნააუცილებელია ანალიტიკური გეომეტრიის ამოცანების გადასაჭრელად. შესაძლოა, ძალიან ბევრი ტერმინი და განმარტება არსებობს, ამიტომ მე ვურჩევ ხელახლა წაკითხვას და გაგებას ეს ინფორმაციაისევ. და ნებისმიერ მკითხველს გამოადგება დროდადრო მინიშნება ძირითადი გაკვეთილიმასალის უკეთ გასაგებად. კოლინარულობა, ორთოგონალურობა, ორთონორმალური საფუძველი, ვექტორული დაშლა - ეს და სხვა ცნებები ხშირად იქნება გამოყენებული შემდეგში. მე აღვნიშნავ, რომ საიტის მასალები არ არის საკმარისი თეორიული ტესტის ჩასატარებლად, კოლოკვიუმი გეომეტრიაში, რადგან მე ფრთხილად ვშიფრავ ყველა თეორემას (და მტკიცებულებების გარეშე) - საზიანოდ. სამეცნიერო სტილიპრეზენტაცია, მაგრამ პლიუსი თქვენი საგნის გაგებისთვის. დაწვრილებითი თეორიული ინფორმაციისთვის გთხოვთ, ქედს უხდეთ პროფესორ ატანასიანს.

ახლა გადავიდეთ პრაქტიკულ ნაწილზე:

ანალიტიკური გეომეტრიის უმარტივესი ამოცანები.
მოქმედებები ვექტორებთან კოორდინატებში

ამოცანები, რომლებიც განიხილება, ძალიან სასურველია ვისწავლოთ მათი ამოხსნა სრულად ავტომატურად და ფორმულები დაიმახსოვრე, განზრახ არც კი დაიმახსოვროთ, თვითონ დაიმახსოვრებენ =) ეს ძალიან მნიშვნელოვანია, ვინაიდან ანალიტიკური გეომეტრიის სხვა ამოცანები ემყარება უმარტივეს ელემენტარულ მაგალითებს და მოსაწყენი იქნება დახარჯვა დამატებითი დროლომბარდების ჭამა. თქვენ არ გჭირდებათ მაისურზე ზედა ღილების დამაგრება, ბევრი რამ თქვენთვის ნაცნობი სკოლიდან არის.

მასალის პრეზენტაცია გაგრძელდება პარალელურად - როგორც თვითმფრინავისთვის, ასევე კოსმოსისთვის. იმ მიზეზით, რომ ყველა ფორმულა ... თქვენ თავად ნახავთ.

როგორ მოვძებნოთ ვექტორი მოცემული ორი წერტილით?

თუ სიბრტყის ორი წერტილია მოცემული, მაშინ ვექტორს აქვს შემდეგი კოორდინატები:

თუ სივრცეში ორი წერტილია მოცემული, მაშინ ვექტორს აქვს შემდეგი კოორდინატები:

ე.ი. ვექტორის ბოლო კოორდინატებიდანთქვენ უნდა გამოაკლოთ შესაბამისი კოორდინატები ვექტორული დაწყება.

ვარჯიში:იმავე წერტილებისთვის ჩაწერეთ ვექტორის კოორდინატების პოვნის ფორმულები. ფორმულები გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 1

მოცემულია ორი წერტილი სიბრტყეში და . იპოვნეთ ვექტორული კოორდინატები

გადაწყვეტილება:შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

ალტერნატიულად, შეიძლება გამოყენებულ იქნას შემდეგი აღნიშვნა:

ესთეტები გადაწყვეტენ ასე:

პირადად მე მიჩვეული ვარ ჩანაწერის პირველ ვერსიას.

პასუხი:

პირობის მიხედვით, არ იყო საჭირო ნახატის აგება (რაც დამახასიათებელია ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებისთვის), მაგრამ იმისთვის, რომ რაღაც პუნქტები ავხსნა, ძალიან არ დავიზარებ:

უნდა გაიგოს განსხვავება წერტილის კოორდინატებსა და ვექტორულ კოორდინატებს შორის:

წერტილის კოორდინატებიარის ჩვეულებრივი კოორდინატები მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში. გამოყავით ქულები საკოორდინაციო თვითმფრინავივფიქრობ, ეს ყველას შეუძლია 5-6 კლასიდან. თითოეულ პუნქტს აქვს მკაცრი ადგილითვითმფრინავში და მათ ვერსად გადაიტანთ.

იგივე ვექტორის კოორდინატებიარის მისი გაფართოება საფუძველთან მიმართებაში, ამ შემთხვევაში. ნებისმიერი ვექტორი თავისუფალია, ამიტომ, საჭიროების შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გადავდოთ იგი სიბრტყის სხვა წერტილიდან. საინტერესოა, რომ ვექტორებისთვის საერთოდ არ შეიძლება ღერძების აგება, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, საჭიროა მხოლოდ საფუძველი, ამ შემთხვევაში სიბრტყის ორთონორმალური საფუძველი.

წერტილის კოორდინატების და ვექტორული კოორდინატების ჩანაწერები, როგორც ჩანს, მსგავსია: , და კოორდინატების გრძნობააბსოლუტურად განსხვავებულიდა თქვენ კარგად უნდა იცოდეთ ეს განსხვავება. ეს განსხვავება, რა თქმა უნდა, ასევე ეხება სივრცეს.

ქალბატონებო და ბატონებო, ჩვენ ხელებს ვავსებთ:

მაგალითი 2

ა) მოცემული ქულები და . იპოვნეთ ვექტორები და.
ბ) ქულები მოცემულია და . იპოვნეთ ვექტორები და.
გ) მოცემული ქულები და . იპოვნეთ ვექტორები და.
დ) ქულები მოცემულია. იპოვნეთ ვექტორები .

ალბათ საკმარისია. ეს არის მაგალითები ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტა, შეეცადეთ უყურადღებოდ არ დატოვოთ ისინი, გამოგივათ ;-). ნახატები არ არის საჭირო. გადაწყვეტილებები და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს.

რა არის მნიშვნელოვანი ანალიტიკური გეომეტრიის ამოცანების ამოხსნისას?მნიშვნელოვანია იყოთ უკიდურესად ფრთხილად, რათა თავიდან აიცილოთ ოსტატური შეცდომა „ორს პლუს ორი უდრის ნულს“. წინასწარ ბოდიშს ვიხდი თუ შეცდომა დავუშვი =)

როგორ მოვძებნოთ სეგმენტის სიგრძე?

სიგრძე, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, მითითებულია მოდულის ნიშნით.

თუ სიბრტყის ორი წერტილია მოცემული, მაშინ სეგმენტის სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით

თუ სივრცეში ორი წერტილია მოცემული, მაშინ სეგმენტის სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით

Შენიშვნა: ფორმულები სწორი დარჩება, თუ შეიცვლება შესაბამისი კოორდინატები: და, მაგრამ პირველი ვარიანტი უფრო სტანდარტულია

მაგალითი 3

გადაწყვეტილება:შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

სიცხადისთვის გავაკეთებ ნახატს

ხაზის სეგმენტი - ეს არ არის ვექტორი, და ვერსად გადაიტან, რა თქმა უნდა. გარდა ამისა, თუ დაასრულებთ ნახატს მასშტაბით: 1 ერთეული. \u003d 1 სმ (ორი ტეტრადის უჯრედი), შემდეგ პასუხის შემოწმება შესაძლებელია ჩვეულებრივი მმართველით, სეგმენტის სიგრძის პირდაპირ გაზომვით.

დიახ, გამოსავალი მოკლეა, მაგრამ მას კიდევ რამდენიმე აქვს მნიშვნელოვანი პუნქტებიმინდა განვმარტო:

პირველ რიგში, პასუხში ჩვენ დავაყენეთ განზომილება: "ერთეულები". მდგომარეობა არ ამბობს რა არის, მილიმეტრები, სანტიმეტრი, მეტრი ან კილომეტრი. ამრიგად, ზოგადი ფორმულირება იქნება მათემატიკურად კომპეტენტური გამოსავალი: "ერთეულები" - შემოკლებით "ერთეულები".

მეორე, გავიმეოროთ სასკოლო მასალა, რომელიც სასარგებლოა არა მხოლოდ განხილული პრობლემისთვის:

მიაქციე ყურადღება მნიშვნელოვანი ტექნიკა – მულტიპლიკატორის ამოღება ფესვის ქვეშიდან. გამოთვლების შედეგად მივიღეთ შედეგი და კარგი მათემატიკური სტილი გულისხმობს ფაქტორის ამოღებას ფესვიდან (თუ შესაძლებელია). პროცესი უფრო დეტალურად ასე გამოიყურება: . პასუხის ფორმაში დატოვება, რა თქმა უნდა, შეცდომა არ იქნება – მაგრამ, რა თქმა უნდა, ნაკლი და წონიანი არგუმენტია მასწავლებლის მხრიდან.

აქ არის სხვა გავრცელებული შემთხვევები:

ხშირად ფესვის ქვეშ საკმარისად გამოდის დიდი რიცხვი, Მაგალითად . როგორ ვიყოთ ასეთ შემთხვევებში? კალკულატორზე ვამოწმებთ, იყო თუ არა რიცხვი 4-ზე. დიახ, გაყოფილი მთლიანად, ასე რომ: . ან იქნებ რიცხვი ისევ 4-ზე გაიყოს? . ამრიგად: . რიცხვის ბოლო ციფრი კენტია, ამიტომ მესამედ 4-ზე გაყოფა აშკარად შეუძლებელია. ცხრაზე გაყოფას ცდილობს: . Როგორც შედეგი:
მზადაა.

დასკვნა:თუ ფესვის ქვეშ მივიღებთ სრულიად გამოუცდელ რიცხვს, მაშინ ვცდილობთ ამოვიღოთ ფაქტორი ფესვის ქვეშ - კალკულატორზე ვამოწმებთ იყო თუ არა რიცხვი: 4, 9, 16, 25, 36, 49, და ა.შ.

გადაწყვეტილების დროს სხვადასხვა ამოცანებიფესვები საერთოა, ყოველთვის ეცადეთ ამოიღოთ ფაქტორები ფესვის ქვეშ, რათა თავიდან აიცილოთ დაბალი ქულა და ზედმეტი პრობლემები მასწავლებლის შენიშვნის მიხედვით თქვენი გადაწყვეტილებების დასრულებისას.

ერთდროულად გავიმეოროთ ფესვებისა და სხვა ძალების კვადრატი:

მოქმედებების წესები ხარისხით ზოგადი ხედიშეიძლება მოიძებნოს სკოლის სახელმძღვანელოალგებრაში, მაგრამ, ვფიქრობ, მოყვანილი მაგალითებიდან ყველაფერი ან თითქმის ყველაფერი უკვე გასაგებია.

ამოცანა სივრცეში სეგმენტის დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 4

მოცემული ქულები და. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე.

ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

როგორ მოვძებნოთ ვექტორის სიგრძე?

თუ სიბრტყის ვექტორი მოცემულია, მაშინ მისი სიგრძე გამოითვლება ფორმულით.

თუ მოცემულია სივრცის ვექტორი, მაშინ მისი სიგრძე გამოითვლება ფორმულით .

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ოპერაციას ვექტორებით: ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი (დაუყოვნებელი ბმული მათთვის, ვისაც ეს სჭირდება). არა უშავს, ხანდახან ასეც ხდება სრული ბედნიერებაგარდა ამისა ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი, უფრო და უფრო მეტია საჭირო. ასეთია ვექტორული დამოკიდებულება. შეიძლება შეგექმნათ შთაბეჭდილება, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის ჯუნგლებში შევდივართ. Ეს არ არის სიმართლე. უმაღლესი მათემატიკის ამ განყოფილებაში ზოგადად ცოტა შეშაა, გარდა შესაძლოა საკმარისი პინოქიოს. სინამდვილეში, მასალა ძალიან გავრცელებული და მარტივია - ძნელად უფრო რთული, ვიდრე იგივე სკალარული პროდუქტი, თუნდაც ტიპიური ამოცანებინაკლები იქნება. ანალიტიკურ გეომეტრიაში მთავარი, როგორც ბევრი დაინახავს ან უკვე უნახავს, ​​არის გამოთვლების არ შეცდომა. გაიმეორეთ შელოცვის მსგავსად და ბედნიერი იქნებით =)

თუ ვექტორები სადღაც შორს ანათებენ, როგორც ელვა ჰორიზონტზე, არ აქვს მნიშვნელობა, დაიწყე გაკვეთილი ვექტორები დუმებისთვისაღსადგენად ან გასაყიდად საბაზისო ცოდნავექტორების შესახებ. უფრო მომზადებულ მკითხველს შეუძლია ინფორმაციის შერჩევით გაცნობა, შევეცადე შემეგროვებინა მაგალითების ყველაზე სრულყოფილი კოლექცია, რომლებიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკული სამუშაო

რა გაგახარებს? პატარა რომ ვიყავი, ორი და თუნდაც სამი ბურთის ჟონგლირება შემეძლო. კარგად გამოუვიდა. ახლა საერთოდ არ არის საჭირო ჟონგლირება, რადგან განვიხილავთ მხოლოდ სივრცის ვექტორები, და ბრტყელი ვექტორები ორი კოორდინატით დარჩება გარეთ. რატომ? ასე დაიბადა ეს მოქმედებები – ვექტორული და შერეული პროდუქტივექტორები განსაზღვრულია და მუშაობს სამგანზომილებიანი სივრცე. უკვე უფრო ადვილია!

ამ ოპერაციაში, ისევე როგორც სკალარული პროდუქტის დროს, ორი ვექტორი. ეს იყოს უხრწნელი ასოები.

თავად მოქმედება აღინიშნაშემდეგი გზით: . არის სხვა ვარიანტებიც, მაგრამ მე ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლს აღვნიშნავდი ამ გზით, in კვადრატული ფრჩხილებიჯვრით.

და მაშინვე კითხვა: თუ შევიდა ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლიჩართულია ორი ვექტორი და აქ ორი ვექტორიც მრავლდება, მაშინ რა არის განსხვავება? აშკარა განსხვავება, პირველ რიგში, შედეგში:

ვექტორების სკალარული ნამრავლის შედეგი არის რიცხვი:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის შედეგი არის ვექტორი: , ანუ ვამრავლებთ ვექტორებს და ისევ ვიღებთ ვექტორს. დახურული კლუბი. სინამდვილეში, აქედან მოდის ოპერაციის სახელი. სხვადასხვა საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, აღნიშვნები ასევე შეიძლება განსხვავდებოდეს, მე გამოვიყენებ ასოს.

ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

ჯერ იქნება განმარტება სურათით, მერე კომენტარები.

განმარტება: ჯვარედინი პროდუქტი არაკოლინარულივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, ეწოდება ვექტორი, სიგრძერომელიც რიცხობრივად პარალელოგრამის ფართობის ტოლიაამ ვექტორებზე აგებული; ვექტორი ორთოგონალური ვექტორების მიმართდა მიმართულია ისე, რომ საფუძველს ჰქონდეს სწორი ორიენტაცია:

ჩვენ ვაანალიზებთ განმარტებას ძვლების მიხედვით, ბევრი საინტერესო რამ არის!

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი პუნქტები:

1) წყაროს ვექტორები, მითითებული წითელი ისრებით, განმარტებით არა კოლინარული. ხდება კოლინარული ვექტორებიმიზანშეწონილი იქნება ცოტა მოგვიანებით განვიხილოთ.

2) აღებული ვექტორები მკაცრი თანმიმდევრობით: – "a" მრავლდება "იყოს", არა "იყოს" "ა". ვექტორული გამრავლების შედეგიარის ვექტორი, რომელიც აღინიშნება ლურჯად. თუ ვექტორები გამრავლებულია საპირისპირო მიზნით, მაშინ ვიღებთ ვექტორს სიგრძით ტოლი და მიმართულებით საპირისპირო (ჟოლოსფერი ფერი). ანუ თანასწორობა .

3) ახლა გავეცნოთ ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილი! ლურჯი ვექტორის სიგრძე (და, მაშასადამე, ჟოლოსფერი ვექტორის ) რიცხობრივად უდრის ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობს. ფიგურაში ეს პარალელოგრამი შავ ფერშია დაჩრდილული.

შენიშვნა : ნახაზი სქემატურია და, რა თქმა უნდა, ჯვარედინი პროდუქტის ნომინალური სიგრძე არ არის პარალელოგრამის ფართობის ტოლი.

ჩვენ გვახსოვს ერთი გეომეტრიული ფორმულები: პარალელოგრამის ფართობი ტოლია ნამრავლის მიმდებარე პარტიებიმათ შორის კუთხის სინუსით. ამიტომ, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მოქმედებს ვექტორული ნამრავლის სიგრძის გამოთვლის ფორმულა:

ხაზს ვუსვამ, რომ ფორმულაში ვსაუბრობთ ვექტორის სიგრძეზე და არა თავად ვექტორზე. რა არის პრაქტიკული მნიშვნელობა? და მნიშვნელობა ისეთია, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში, პარალელოგრამის ფართობი ხშირად გვხვდება ვექტორული პროდუქტის კონცეფციის საშუალებით:

მოდი ერთი წამი მივიღოთ მნიშვნელოვანი ფორმულა. პარალელოგრამის დიაგონალი (წითელი წერტილოვანი ხაზი) ​​მას ორად ყოფს თანაბარი სამკუთხედი. ამრიგად, ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი (წითელი დაჩრდილვა) შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

4) არანაკლებ მნიშვნელოვანი ფაქტიარის ის, რომ ვექტორი ორთოგონალურია ვექტორებთან, ანუ, . რა თქმა უნდა, საპირისპიროდ მიმართული ვექტორი (ჟოლოსფერი ისარი) ასევე ორთოგონალურია თავდაპირველი ვექტორების მიმართ.

5) ვექტორი მიმართულია ისე, რომ საფუძველიᲛას აქვს უფლებაორიენტაცია. გაკვეთილზე იმის შესახებ ახალ ბაზაზე გადასვლამე დეტალურად ვისაუბრე თვითმფრინავის ორიენტაციადა ახლა ჩვენ გავარკვევთ რა არის სივრცის ორიენტაცია. თითებზე აგიხსნი მარჯვენა ხელი . გონებრივად შეაერთეთ საჩვენებელი თითი ვექტორით და შუა თითივექტორით. ბეჭედი და პატარა თითიხელისგულში დაჭერით. Როგორც შედეგი ცერა თითი - ვექტორული პროდუქტი გამოჩნდება. ეს არის უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველი (ეს არის ფიგურაში). ახლა შეცვალეთ ვექტორები ( ინდექსი და შუა თითები ) ზოგან, შედეგად, ცერა თითი შემობრუნდება და ვექტორული პროდუქტი უკვე ქვემოთ იყურება. ესეც უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველია. ალბათ გაგიჩნდებათ შეკითხვა: რა საფუძვლად უდევს მარცხენა ორიენტაცია? იგივე თითები "დაანიშნეთ". მარცხენა ხელივექტორები და მიიღეთ მარცხენა საფუძველი და მარცხენა სივრცეში ორიენტაცია (ამ შემთხვევაში, ცერა თითი განთავსდება ქვედა ვექტორის მიმართულებით). ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ეს ფუძეები „უხვევენ“ ან ორიენტირებენ სივრცეს სხვადასხვა მიმართულებით. და ეს კონცეფცია არ უნდა ჩაითვალოს რაღაც შორს ან აბსტრაქტულად - მაგალითად, ყველაზე ჩვეულებრივი სარკე ცვლის სივრცის ორიენტაციას და თუ "ასახული ობიექტი სარკიდან ამოიყვანთ", მაშინ ზოგადად შეუძლებელი იქნება დააკავშირეთ იგი "ორიგინალთან". სხვათა შორის, მიიტანეთ სამი თითი სარკესთან და გააანალიზეთ ანარეკლი ;-)

... რა კარგია, რომ ახლა იცი მარჯვნივ და მარცხნივ ორიენტირებულისაფუძვლები, რადგან ზოგიერთი ლექტორის განცხადება ორიენტაციის ცვლილების შესახებ საშინელია =)

კოლინარული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი

განმარტება დეტალურად არის შემუშავებული, რჩება იმის გარკვევა, თუ რა ხდება, როდესაც ვექტორები კოლინარულია. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ისინი შეიძლება განთავსდეს ერთ სწორ ხაზზე და ჩვენი პარალელოგრამი ასევე "იკეცოს" ერთ სწორ ხაზზე. ისეთი არეალი, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, დეგენერატიპარალელოგრამი არის ნული. იგივე გამომდინარეობს ფორმულიდან - ნულის სინუსი ან 180 გრადუსი ნული, და, შესაბამისად, ფართობი ნულის ტოლია

ამრიგად, თუ, მაშინ . მკაცრად რომ ვთქვათ, ვექტორული პროდუქტი თავად არის ნულოვანი ვექტორი, მაგრამ პრაქტიკაში ამას ხშირად უგულებელყოფენ და წერენ, რომ უბრალოდ ნულის ტოლია.

განსაკუთრებული შემთხვევაარის ვექტორისა და საკუთარი თავის ჯვარედინი ნამრავლი:

ჯვარედინი პროდუქტის გამოყენებით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ სამგანზომილებიანი ვექტორების კოლინარულობა და ამ ამოცანასსხვათა შორის, ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ.

გადაწყვეტილებისთვის პრაქტიკული მაგალითებიშეიძლება საჭირო გახდეს ტრიგონომეტრიული ცხრილიმისგან სინუსების მნიშვნელობების პოვნა.

აბა, ხანძარი გავაჩაღოთ:

მაგალითი 1

ა) იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე თუ

ბ) იპოვეთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი თუ

გადაწყვეტილება: არა, ეს არ არის ბეჭდვითი შეცდომა, მე განზრახ დავწერე საწყისი მონაცემები იგივე მდგომარეობაში. რადგან გადაწყვეტილებების დიზაინი განსხვავებული იქნება!

ა) პირობის მიხედვით საჭიროა მოძებნა სიგრძევექტორი (ვექტორული პროდუქტი). შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

უპასუხე:

რაკი სიგრძის შესახებ იკითხეს, პასუხში მივუთითებთ განზომილებას - ერთეულებს.

ბ) პირობის მიხედვით საჭიროა მოძებნა კვადრატივექტორებზე აგებული პარალელოგრამი. ამ პარალელოგრამის ფართობი რიცხობრივად უდრის ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძეს:

უპასუხე:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ვექტორული პროდუქტის შესახებ პასუხში საერთოდ არ არის საუბარი, ჩვენ გვკითხეს ფიგურის ფართობიშესაბამისად, განზომილება არის კვადრატული ერთეული.

ჩვენ ყოველთვის ვუყურებთ იმას, თუ რა არის საჭირო მდგომარეობის მიხედვით და, ამის საფუძველზე, ვაყალიბებთ ნათელიპასუხი. შეიძლება ლიტერალიზმად მოგეჩვენოთ, მაგრამ მასწავლებლებს შორის არის საკმარისი ლიტერალისტი და კარგი შანსების მქონე დავალება დაბრუნდება გადასინჯვისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ არის განსაკუთრებით დაძაბული ყურადღების მიქცევა - თუ პასუხი არასწორია, მაშინ იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ადამიანს არ ესმის მარტივი რამდა/ან არ ესმოდა ამოცანის არსი. ეს მომენტი ყოველთვის უნდა იყოს კონტროლირებადი, ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრა უმაღლესი მათემატიკადა სხვა საგნებშიც.

სად წავიდა დიდი ასო "ენ"? პრინციპში შეიძლებოდა დამატებით მიეწებო გამოსავალზე, მაგრამ ჩანაწერის შემცირების მიზნით, მე არ გავაკეთე. ვიმედოვნებ, რომ ყველას ესმის და ეს იგივეს დანიშნულებაა.

პოპულარული მაგალითიდამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

იპოვეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

ვექტორული პროდუქტის მეშვეობით სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა მოცემულია განმარტების კომენტარებში. ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

პრაქტიკაში, ამოცანა მართლაც ძალიან გავრცელებულია, სამკუთხედები ზოგადად შეიძლება აწამონ.

სხვა პრობლემების გადასაჭრელად ჩვენ გვჭირდება:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის თვისებები

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ვექტორული პროდუქტის ზოგიერთი თვისება, თუმცა მათ ამ ჩამონათვალში შევიტან.

თვითნებური ვექტორებისთვის და თვითნებური რიცხვებისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) ინფორმაციის სხვა წყაროებში ეს ნივთი, როგორც წესი, არ გამოირჩევა თვისებებით, მაგრამ პრაქტიკული თვალსაზრისით ძალიან მნიშვნელოვანია. ასე რომ იყოს.

2) - საკუთრებაზეც ზევითაა საუბარი, ხანდახან ე.წ ანტიკომუტატიურობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების თანმიმდევრობას აქვს მნიშვნელობა.

3) - კომბინაცია ან ასოციაციურივექტორული პროდუქტის კანონები. მუდმივები ადვილად ამოღებულია ვექტორული პროდუქტის საზღვრებიდან. მართლა, რას აკეთებენ იქ?

4) - განაწილება ან განაწილებავექტორული პროდუქტის კანონები. არც ფრჩხილების გახსნის პრობლემაა.

როგორც დემონსტრირება, განიხილეთ მოკლე მაგალითი:

მაგალითი 3

იპოვე თუ

გადაწყვეტილება:პირობით, კვლავ საჭიროა ვექტორული პროდუქტის სიგრძის პოვნა. მოდით დავხატოთ ჩვენი მინიატურა:

(1) ასოციაციური კანონების მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ მუდმივებს ვექტორული ნამრავლის საზღვრებს მიღმა.

(2) ჩვენ ვიღებთ მუდმივას მოდულიდან, ხოლო მოდული "ჭამს" მინუს ნიშანს. სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

(3) რაც შემდეგშია, ნათელია.

უპასუხე:

ცეცხლზე შეშის სროლის დროა:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

გადაწყვეტილება: იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ფორმულის გამოყენებით . პრობლემა ის არის, რომ ვექტორები "ce" და "te" თავად წარმოდგენილია ვექტორების ჯამებად. აქ ალგორითმი სტანდარტულია და გარკვეულწილად მოგვაგონებს გაკვეთილის მე-3 და მე-4 მაგალითებს. ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. მოდით დავყოთ იგი სამ ეტაპად სიცხადისთვის:

1) პირველ საფეხურზე ჩვენ ვექტორულ ნამრავლს გამოვხატავთ ვექტორული ნამრავლის მეშვეობით, ფაქტობრივად, ვექტორის გამოხატვა ვექტორის მიხედვით. სიგრძეზე ჯერ არაფერია ნათქვამი!

(1) ჩვენ ვცვლით ვექტორების გამოსახულებებს.

(2) გამანაწილებელი კანონების გამოყენებით გახსენით ფრჩხილები მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით.

(3) ასოციაციური კანონების გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ ყველა მუდმივას ვექტორული პროდუქტების მიღმა. მცირე გამოცდილებით, 2 და 3 მოქმედებები შეიძლება ერთდროულად შესრულდეს.

(4) პირველი და ბოლო წევრი უდრის ნულს (ნულოვანი ვექტორი) სასიამოვნო თვისების გამო. მეორე ტერმინში ვიყენებთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურ თვისებას:

(5) ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.

შედეგად, ვექტორი გამოიხატებოდა ვექტორის მეშვეობით, რაც იყო საჭირო:

2) მეორე საფეხურზე ვპოულობთ ჩვენთვის საჭირო ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს. ეს ქმედებაგახსენებს მაგალითს 3:

3) იპოვეთ სასურველი სამკუთხედის ფართობი:

ხსნარის 2-3 საფეხურები შეიძლება განთავსდეს ერთ ხაზზე.

უპასუხე:

განხილული პრობლემა საკმაოდ გავრცელებულია საკონტროლო სამუშაო, აქ არის მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 5

იპოვე თუ

სწრაფი გადაწყვეტადა პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ვნახოთ, რამდენად ყურადღებიანი იყავით წინა მაგალითების შესწავლისას ;-)

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი კოორდინატებში

მოცემული ორთონორმალური საფუძველზე, გამოიხატება ფორმულით:

ფორმულა მართლაც მარტივია: კოორდინატთა ვექტორებს დეტერმინანტის ზედა ხაზში ვწერთ, ვექტორების კოორდინატებს მეორე და მესამე სტრიქონებში „ვაფუთავთ“ და ვდებთ. მკაცრი წესით- ჯერ ვექტორის კოორდინატები "ve", შემდეგ ვექტორის კოორდინატები "double-ve". თუ ვექტორები უნდა გამრავლდეს სხვა თანმიმდევრობით, მაშინ ხაზებიც უნდა შეიცვალოს:

მაგალითი 10

შეამოწმეთ არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები თანამიმართულია:
ა)
ბ)

გადაწყვეტილება: დადასტურება ერთ-ერთი მტკიცების საფუძველზე ეს გაკვეთილი: თუ ვექტორები კოლინარულია, მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლი არის ნული (ნულოვანი ვექტორი): .

ა) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

ასე რომ, ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

უპასუხე: ა) არა კოლინარული, ბ)

აქ, ალბათ, არის ყველა ძირითადი ინფორმაცია ვექტორების ვექტორული ნამრავლის შესახებ.

ეს განყოფილებაარ იქნება ძალიან დიდი, რადგან ვექტორების შერეული პროდუქტის გამოყენებისას რამდენიმე პრობლემაა. ფაქტობრივად, ყველაფერი განსაზღვრებაზე იქნება დამოკიდებული, გეომეტრიული გრძნობადა რამდენიმე სამუშაო ფორმულა.

ვექტორების შერეული პროდუქტია პროდუქტი სამივექტორები:

ასე დგანან მატარებელივით და მელოდებიან, ვერ ითმენენ, სანამ არ გამოითვლებიან.

ჯერ ისევ განმარტება და სურათი:

განმარტება: შერეული პროდუქტი არათანაბარივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, ეწოდება პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ამ ვექტორებზე, აღჭურვილია "+" ნიშნით, თუ საფუძველი სწორია და "-" ნიშნით, თუ საფუძველი დარჩა.

მოდით გავაკეთოთ ნახატი. ჩვენთვის უხილავი ხაზები დახატულია წერტილოვანი ხაზით:

მოდით ჩავუღრმავდეთ განმარტებას:

2) აღებული ვექტორები გარკვეული თანმიმდევრობით, ანუ პროდუქტში ვექტორების პერმუტაცია, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, უშედეგოდ არ მიმდინარეობს.

3) სანამ კომენტარს გავაკეთებ გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე, აღვნიშნავ აშკარა ფაქტი: ვექტორების შერეული ნამრავლი არის რიცხვი: . საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, დიზაინი შეიძლება გარკვეულწილად განსხვავებული იყოს, მე ვანიშნებდი შერეულ პროდუქტს და გამოთვლების შედეგს ასო "პე"-ით.

ა-პრიორიტეტი შერეული პროდუქტი არის პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ვექტორებზე (ფიგურა დახატულია წითელი ვექტორებით და შავი ხაზებით). ანუ რიცხვი უდრის მოცემული პარალელეპიპედის მოცულობას.

შენიშვნა : ნახატი სქემატურია.

4) ისევ არ შევიწუხოთ საფუძვლისა და სივრცის ორიენტაციის კონცეფცია. ბოლო ნაწილის მნიშვნელობა არის ის, რომ მინუს ნიშანი შეიძლება დაემატოს მოცულობას. მარტივი სიტყვებით, შერეული პროდუქტი შეიძლება იყოს უარყოფითი: .

ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს.

7.1. ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

სამი არაერთობლივი ვექტორი a, b და c, აღებული მითითებული თანმიმდევრობით, ქმნიან მარჯვენა სამეულს, თუ მესამე ვექტორის ბოლოდან c-ის ბოლოდან უმოკლეს ბრუნი პირველი ვექტორიდან მეორე ვექტორამდე b საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ჩანს, და მარცხენა თუ საათის ისრის მიმართულებით (იხ. ნახ. თექვსმეტი).

ვექტორის a და b ვექტორის ნამრავლს ეწოდება ვექტორი c, რომელიც:

1. a და b ვექტორების პერპენდიკულარული, ანუ c ^ a და c ^ ბ;

2. მას აქვს სიგრძე რიცხობრივად ტოლი a და ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობისბროგორც გვერდებზე (იხ. სურ. 17), ე.ი.

3. a , b და c ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სამეულს.

ვექტორული პროდუქტიაღინიშნება x b ან [a,b]. ვექტორული ნამრავლის განმარტებიდან, ორთას შორის შემდეგი მიმართებები მე პირდაპირ მივყვები, ჯდა კ(იხ. სურ. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
მოდით დავამტკიცოთ, რომ მაგალითადმე xj \u003d k.

1) კ ^ ი , კ ^ j;

2) |k |=1, მაგრამ | მე x ჯ| = |i | |ჯ| sin(90°)=1;

3) ვექტორები i , j და კშექმენით მარჯვენა სამეული (იხ. სურ. 16).

7.2. ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები

1. ფაქტორების გადალაგებისას ვექტორული ნამრავლი იცვლის ნიშანს, ე.ი. და xb \u003d (b xa) (იხ. სურ. 19).

ვექტორები a xb და b xa არის კოლინარული, აქვთ იგივე მოდულები (პარალელოგრამის ფართობი უცვლელი რჩება), მაგრამ საპირისპიროა მიმართული (სამმაგი a, b და xb და a, b, b x a საპირისპირო ორიენტაციის). ანუ axb = -(bxa).

2. ვექტორულ ნამრავლს აქვს ასოციაციური საკუთრებასკალარული ფაქტორის მიმართ, ანუ l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

მოდით l >0. ვექტორი l (a xb) არის a და b ვექტორების პერპენდიკულარული. ვექტორი ( ლნაჯახი ბასევე არის a და ვექტორების პერპენდიკულარული ბ(ვექტორები a, ლმაგრამ დაწექი იმავე სიბრტყეში). ასე რომ, ვექტორები ლ(a xb) და ( ლნაჯახი ბკოლინარული. აშკარაა, რომ მათი მიმართულებები ერთმანეთს ემთხვევა. მათ აქვთ იგივე სიგრძე:

Ისე ლ(a xb)= ლ xb. ანალოგიურად დადასტურებულია ლ<0.

3. ორი არანულოვანი ვექტორი a და ბკოლინარულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი ვექტორული ნამრავლი ტოლია ნულოვანი ვექტორის, ე.ი. და ||b<=>და xb \u003d 0.

კერძოდ, i *i =j *j =k *k =0 .

4. ვექტორულ პროდუქტს აქვს განაწილების თვისება:

(ა+ბ) xs = a xs + ბ xs .

მიიღეთ მტკიცებულების გარეშე.

7.3. ჯვარედინი პროდუქტის გამოხატულება კოორდინატების თვალსაზრისით

ჩვენ გამოვიყენებთ ვექტორული ჯვარედინი პროდუქტის ცხრილს i, ჯდა კ:

თუ პირველი ვექტორიდან მეორემდე უმოკლესი ბილიკის მიმართულება ემთხვევა ისრის მიმართულებას, მაშინ ნამრავლი უდრის მესამე ვექტორს, თუ არ ემთხვევა, მესამე ვექტორი აღებულია მინუს ნიშნით.

მოდით ორი ვექტორი a =a x i +a y ჯ+აზ კდა b=bx მე+ მიერ ჯ+bz კ. ვიპოვოთ ამ ვექტორების ვექტორული ნამრავლი მათი მრავალწევრების გამრავლებით (ვექტორული ნამრავლის თვისებების მიხედვით):

შედეგად მიღებული ფორმულა შეიძლება დაიწეროს კიდევ უფრო მოკლედ:

ვინაიდან ტოლობის მარჯვენა მხარე (7.1) შეესაბამება მესამე რიგის დეტერმინანტის გაფართოებას პირველი რიგის ელემენტების მიხედვით.ტოლობა (7.2) ადვილი დასამახსოვრებელია.

7.4. ჯვარედინი პროდუქტის ზოგიერთი გამოყენება

ვექტორების კოლინარობის დადგენა

პარალელოგრამისა და სამკუთხედის ფართობის პოვნა

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის განმარტების მიხედვით ადა ბ |a xb | =|ა | * |b |sin g, ანუ S par = |a x b |. და, შესაბამისად, D S \u003d 1/2 | a x b |.

ძალის მომენტის განსაზღვრა წერტილის შესახებ

მიეცით ძალა A წერტილში F =ABგაუშვი ო- რაღაც წერტილი სივრცეში (იხ. სურ. 20).

ფიზიკიდან ცნობილია, რომ ბრუნვის მომენტი ფ პუნქტთან შედარებით ოვექტორი ეწოდება მ ,რომელიც გადის წერტილში ოდა:

1) წერტილებში გამავალი სიბრტყის პერპენდიკულარული O, A, B;

2) რიცხობრივად უდრის ძალისა და მხრის ნამრავლს

3) ქმნის მარჯვენა სამეულს OA და A B ვექტორებით.

ამიტომ, M \u003d OA x F.

ბრუნვის წრფივი სიჩქარის პოვნა

სიჩქარე ვკუთხური სიჩქარით მბრუნავი ხისტი სხეულის წერტილი M ვფიქსირებული ღერძის გარშემო, განისაზღვრება ეილერის ფორმულით v \u003d w x r, სადაც r \u003d OM, სადაც O არის ღერძის ზოგიერთი ფიქსირებული წერტილი (იხ. ნახ. 21).

Yandex.RTB R-A-339285-1

სანამ ვექტორული ნამრავლის ცნებას მოვიყვანთ, მივმართოთ a → , b → , c → ვექტორების მოწესრიგებული სამეულის ორიენტაციის საკითხს სამგანზომილებიან სივრცეში.

დასაწყისისთვის, ერთი წერტილიდან გამოვყოთ a → , b → , c → ვექტორები. a → , b → , c → სამმაგი ორიენტაცია არის მარჯვნივ ან მარცხნივ, რაც დამოკიდებულია c → ვექტორის მიმართულებაზე. იმ მიმართულებიდან, რომლითაც კეთდება უმოკლეს ბრუნი ვექტორიდან a → b → ვექტორის ბოლოდან c → , განისაზღვრება სამმაგი a → , b → , c →.

თუ უმოკლეს ბრუნვა არის საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაშინ ვექტორების სამმაგი a → , b → , c → ე.წ. უფლებათუ საათის ისრის მიმართულებით - დატოვა.

შემდეგი, აიღეთ ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი a → და b → . შემდეგ გადავდოთ ვექტორები A B → = a → და A C → = b → A წერტილიდან. ავაშენოთ ვექტორი A D → = c →, რომელიც ერთდროულად არის პერპენდიკულარული A B → და A C →. ამრიგად, A D → = c → ვექტორის აგებისას, ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ორი რამ, მივცეთ მას ერთი მიმართულება ან საპირისპირო (იხ. ილუსტრაცია).

a → , b → , c → ვექტორების მოწესრიგებული სამეული შეიძლება იყოს, როგორც გავარკვიეთ, მარჯვნივ ან მარცხნივ, ვექტორის მიმართულებიდან გამომდინარე.

ზემოაღნიშნულიდან შეგვიძლია შემოვიტანოთ ვექტორული პროდუქტის განმარტება. ეს განმარტება მოცემულია ორ ვექტორზე, რომლებიც განსაზღვრულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

განმარტება 1

ორი ვექტორის a → და b → ვექტორული ნამრავლი ჩვენ დავარქმევთ ისეთ ვექტორს, რომელიც მოცემულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, რომ:

• თუ a → და b → ვექტორები წრფივია, ის იქნება ნული;
• ის იქნება პერპენდიკულარული როგორც a →​​ ვექტორის, ასევე b ვექტორის მიმართ, ე.ი. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• მისი სიგრძე განისაზღვრება ფორმულით: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → ვექტორების სამეულს იგივე ორიენტაცია აქვს, რაც მოცემულ კოორდინატულ სისტემას.

a → და b → ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლს აქვს შემდეგი აღნიშვნა: a → × b → .

ჯვარედინი პროდუქტის კოორდინატები

ვინაიდან ნებისმიერ ვექტორს აქვს გარკვეული კოორდინატები კოორდინატთა სისტემაში, შესაძლებელია შემოვიტანოთ ჯვარედინი ნამრავლის მეორე განმარტება, რომელიც საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ მისი კოორდინატები ვექტორების მოცემული კოორდინატებიდან.

განმარტება 2

სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი a → = (a x ; a y ; a z) და b → = (b x ; b y ; b z) მოვუწოდებთ ვექტორს c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , სადაც i → , j → , k → არის კოორდინატული ვექტორები.

ვექტორული ნამრავლი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც მესამე რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი, სადაც პირველი რიგი არის ორტა ვექტორები i → , j → , k → , მეორე რიგი შეიცავს a → ვექტორის კოორდინატებს, ხოლო მესამე. არის b → ვექტორის კოორდინატები მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, მატრიცის ეს განმსაზღვრელი ასე გამოიყურება: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z.

ამ განმსაზღვრელი პირველი რიგის ელემენტებზე გავაფართოვოთ, მივიღებთ ტოლობას: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b = → a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები

ცნობილია, რომ ვექტორული ნამრავლი კოორდინატებში წარმოდგენილია c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z მატრიცის განმსაზღვრელი, შემდეგ ფუძეზე. მატრიცის განმსაზღვრელი თვისებებიშემდეგი ვექტორული პროდუქტის თვისებები:

1. ანტიკომუტატიურობა a → × b → = - b → × a →;
2. განაწილება a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ან a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ასოციაციურობა λ a → × b → = λ a → × b → ან a → × (λ b →) = λ a → × b → , სადაც λ არის თვითნებური რეალური რიცხვი.

ამ თვისებებს არ გააჩნია რთული მტკიცებულება.

მაგალითად, ჩვენ შეგვიძლია დავამტკიცოთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურობის თვისება.

ანტიკომუტატიურობის დადასტურება

განმარტებით, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z და b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. და თუ მატრიცის ორი მწკრივი ერთმანეთს ენაცვლება, მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს საპირისპიროდ, შესაბამისად, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y. - b → × a → , რაც და ადასტურებს ვექტორული ნამრავლის ანტიკომუტატიურობას.

ვექტორული პროდუქტი - მაგალითები და გადაწყვეტილებები

უმეტეს შემთხვევაში, არსებობს სამი სახის დავალება.

პირველი ტიპის ამოცანებში, როგორც წესი, მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე, მაგრამ თქვენ უნდა იპოვოთ ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე. ამ შემთხვევაში გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

მაგალითი 1

იპოვეთ a → და b → ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე, თუ ცნობილია a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4.

გადაწყვეტილება

a → და b → ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძის განსაზღვრის გამოყენებით ვხსნით ამ ამოცანას: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

პასუხი: 15 2 2 .

მეორე ტიპის ამოცანებს აქვს კავშირი ვექტორების კოორდინატებთან, შეიცავს ვექტორულ ნამრავლს, მის სიგრძეს და ა.შ. იძებნება მოცემული ვექტორების ცნობილი კოორდინატების მეშვეობით a → = (a x ; a y ; a z) და b → = (b x ; b y ; b z) .

ამ ტიპის ამოცანებისთვის შეგიძლიათ ამოცანების მრავალი ვარიანტის გადაჭრა. მაგალითად, არა a → და b → ვექტორების კოორდინატები, არამედ მათი გაფართოებები ფორმის კოორდინატულ ვექტორებში. b → = b x i → + b y j → + b z k → და c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ან a → და b → ვექტორები შეიძლება მიცემული იყოს მათი კოორდინატებით. საწყისი და დასასრული წერტილები.

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითები.

მაგალითი 2

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში დაყენებულია ორი ვექტორი a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . იპოვეთ მათი ვექტორული პროდუქტი.

გადაწყვეტილება

მეორე განმარტების მიხედვით, მოცემულ კოორდინატებში ვპოულობთ ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლს: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 ჯ → - 2 კ → .

თუ ვექტორულ ნამრავლს დავწერთ მატრიცის დეტერმინანტის მიხედვით, მაშინ ამ მაგალითის ამოხსნა ასეთია: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

პასუხი: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

მაგალითი 3

იპოვეთ i → - j → და i → + j → + k → ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე, სადაც i → , j → , k → - მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ორტები.

გადაწყვეტილება

ჯერ ვიპოვოთ მოცემული ვექტორული ნამრავლის i → - j → × i → + j → + k → მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

ცნობილია, რომ i → - j → და i → + j → + k → ვექტორებს აქვთ კოორდინატები (1 ; - 1 ; 0) და (1 ; 1 ; 1) შესაბამისად. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე მატრიცის განმსაზღვრელი გამოყენებით, შემდეგ გვაქვს i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 კ → .

ამიტომ ვექტორულ ნამრავლს i → - j → × i → + j → + k → აქვს კოორდინატები (- 1 ; - 1 ; 2) მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში.

ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს ვპოულობთ ფორმულით (იხ. განყოფილება ვექტორის სიგრძის პოვნის შესახებ): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

პასუხი: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

მაგალითი 4

სამი წერტილის A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) კოორდინატები მოცემულია მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში. იპოვნეთ A B → და A C → პერპენდიკულარული ვექტორი ერთდროულად.

გადაწყვეტილება

A B → და A C → ვექტორებს აქვთ შემდეგი კოორდინატები (- 1 ; 2 ; 2) და (0 ; 4 ; 1) შესაბამისად. ვიპოვეთ A B → და A C → ვექტორების ვექტორული ნამრავლი, აშკარაა, რომ ის არის პერპენდიკულარული ვექტორი A B → და A C →, ანუ ის არის ჩვენი პრობლემის გადაწყვეტა. იპოვეთ ის A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

პასუხი: - 6 i → + j → - 4 k → . არის ერთ-ერთი პერპენდიკულარული ვექტორი.

მესამე ტიპის ამოცანები ორიენტირებულია ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებაზე. რომლის გამოყენების შემდეგ ჩვენ მივიღებთ მოცემული პრობლემის გადაწყვეტას.

მაგალითი 5

ვექტორები a → და b → პერპენდიკულარულია და მათი სიგრძეები შესაბამისად 3 და 4. იპოვეთ ჯვრის ნამრავლის სიგრძე 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

გადაწყვეტილება

ვექტორული ნამრავლის განაწილების თვისებით შეგვიძლია დავწეროთ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

ასოციაციურობის თვისებით ვიღებთ რიცხვით კოეფიციენტებს ვექტორული ნამრავლების ნიშნის მიღმა ბოლო გამოსახულებაში: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

ვექტორული ნამრავლები a → × a → და b → × b → ტოლია 0-ის, ვინაიდან a → × a → = a → a → sin 0 = 0 და b → × b → = b → b → sin 0 = 0, შემდეგ 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. .

ვექტორული ნამრავლის ანტიკომუტატიურობიდან გამომდინარეობს - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებით ვიღებთ ტოლობას 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

პირობით, a → და b → ვექტორები პერპენდიკულარულია, ანუ მათ შორის კუთხე π 2-ის ტოლია. ახლა რჩება მხოლოდ ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება შესაბამის ფორმულებში: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

პასუხი: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე განსაზღვრებით არის a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b →. ვინაიდან უკვე ცნობილია (სასკოლო კურსიდან), რომ სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ორი გვერდის სიგრძის ნამრავლის ნახევარს, გამრავლებული ამ გვერდებს შორის კუთხის სინუსზე. მაშასადამე, ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის პარალელოგრამის ფართობს - გაორმაგებული სამკუთხედის, კერძოდ, გვერდების ნამრავლი ვექტორების სახით a → და b → , რომლებიც ჩამოშორებულია ერთი წერტილიდან, სინუსზე. მათ შორის კუთხის sin ∠ a → , b → .

ეს არის ვექტორული პროდუქტის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ვექტორული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა

მექანიკაში, ფიზიკის ერთ-ერთ ფილიალში, ვექტორული პროდუქტის წყალობით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ძალის მომენტი სივრცის წერტილთან შედარებით.

განმარტება 3

F → ძალის მომენტში, რომელიც გამოიყენება B წერტილზე, A წერტილის მიმართ ჩვენ გავიგებთ შემდეგ ვექტორულ ნამრავლს A B → × F →.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

განმარტება მოწესრიგებული კრებული (x 1 , x 2 , ... , x n) n რეალური რიცხვები ეწოდება n-განზომილებიანი ვექტორიდა რიცხვები x i (i = ) - კომპონენტებიან კოორდინატები,

მაგალითი. თუ, მაგალითად, საავტომობილო ქარხანამ უნდა აწარმოოს 50 მანქანა, 100 სატვირთო მანქანა, 10 ავტობუსი, მანქანების სათადარიგო ნაწილების 50 კომპლექტი და სატვირთო მანქანებისა და ავტობუსების 150 კომპლექტი ცვლაში, მაშინ ამ ქარხნის საწარმოო პროგრამა შეიძლება დაიწეროს როგორც ვექტორი (50, 100, 10, 50, 150), რომელსაც აქვს ხუთი კომპონენტი.

აღნიშვნა. ვექტორები აღინიშნება თამამი პატარა ასოებით ან ასოებით ზოლით ან ისრით ზედა, მაგალითად, აან. ორ ვექტორს ე.წ თანაბარითუ მათ აქვთ კომპონენტების ერთნაირი რაოდენობა და მათი შესაბამისი კომპონენტები ტოლია.

ვექტორული კომპონენტები არ შეიძლება შეიცვალოს, მაგ. (3, 2, 5, 0, 1)და (2, 3, 5, 0, 1) სხვადასხვა ვექტორები.
ოპერაციები ვექტორებზე.მუშაობა x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) რეალურ რიცხვამდეλ ვექტორი ეწოდებაλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

ჯამიx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) და წ= (y 1 , y 2 , ... ,y n) ეწოდება ვექტორს x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

ვექტორთა სივრცე.ნ -განზომილებიანი ვექტორული სივრცე რ n განისაზღვრება, როგორც ყველა n-განზომილებიანი ვექტორის ერთობლიობა, რომლისთვისაც განსაზღვრულია რეალურ რიცხვებზე გამრავლებისა და შეკრების მოქმედებები.

ეკონომიკური ილუსტრაცია. n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის ეკონომიკური ილუსტრაცია: საქონლის სივრცე (საქონელი). ქვეშ საქონელიჩვენ გავიგებთ რაიმე საქონელს ან სერვისს, რომელიც გაიყიდა გარკვეულ დროს გარკვეულ ადგილას. დავუშვათ, რომ არსებობს საქონლის სასრული რაოდენობა n; მომხმარებლის მიერ შეძენილი თითოეული მათგანის რაოდენობა ხასიათდება საქონლის ნაკრებით

x= (x 1, x 2, ..., x n),

სადაც x i აღნიშნავს მომხმარებლის მიერ შეძენილი i-ე საქონლის რაოდენობას. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ყველა საქონელს აქვს თვითნებური გაყოფის თვისება, ასე რომ, თითოეული მათგანის ნებისმიერი არაუარყოფითი რაოდენობის შეძენა შესაძლებელია. მაშინ საქონლის ყველა შესაძლო კომპლექტი არის საქონლის სივრცის ვექტორები C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =).

ხაზოვანი დამოუკიდებლობა. სისტემა ე 1 , ე 2 , ... , ე m n-განზომილებიანი ვექტორები ეწოდება წრფივად დამოკიდებულითუ არის ასეთი რიცხვებიλ 1 , λ 2 , ... , λ m , რომელთაგან ერთი მაინც არ არის ნულოვანი, რაც აკმაყოფილებს ტოლობასλ1 ე 1 + λ2 ე 2+...+λm ემ = 0; წინააღმდეგ შემთხვევაში, ვექტორთა ამ სისტემას ეწოდება წრფივი დამოუკიდებელი, ანუ ეს თანასწორობა შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა ყველა . ვექტორების წრფივი დამოკიდებულების გეომეტრიული მნიშვნელობა რ 3, ინტერპრეტირებული, როგორც მიმართული სეგმენტები, ახსენით შემდეგი თეორემები.

თეორემა 1. სისტემა, რომელიც შედგება ერთი ვექტორისგან, წრფივად არის დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ეს ვექტორი ნულის ტოლია.

თეორემა 2. იმისათვის, რომ ორი ვექტორი იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ისინი იყოს კოლინარული (პარალელური).

თეორემა 3 . იმისათვის, რომ სამი ვექტორი იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ისინი იყოს თანაპლანტარული (იგივე სიბრტყეში დევს).

ვექტორების მარცხენა და მარჯვენა სამეული. არაერთობლივი ვექტორების სამმაგი ა, ბ, გდაურეკა უფლება, თუ მათი საერთო წარმოშობის დამკვირვებელი გვერდს აუვლის ვექტორების ბოლოებს ა, ბ, გამ თანმიმდევრობით, როგორც ჩანს, მიმდინარეობს საათის ისრის მიმართულებით. წინააღმდეგ შემთხვევაში ა, ბ, გ -დარჩა სამმაგი. ვექტორების ყველა მარჯვენა (ან მარცხნივ) სამეულს უწოდებენ თანაბრად ორიენტირებული.

საფუძველი და კოორდინატები. ტროიკა ე 1, ე 2 , ე 3 არათანაბარი ვექტორი in რ 3-მა დარეკა საფუძველიდა თავად ვექტორები ე 1, ე 2 , ე 3 - ძირითადი. ნებისმიერი ვექტორი აშეიძლება გაფართოვდეს უნიკალური გზით საბაზისო ვექტორების თვალსაზრისით, ანუ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სახით

ა= x 1 ე 1 + x2 ე 2 + x 3 ე 3, (1.1)

რიცხვები x 1 , x 2 , x 3 გაფართოებაში (1.1) ეწოდება კოორდინატებიასაფუძველზე ე 1, ე 2 , ე 3 და აღინიშნება ა(x 1, x 2, x 3).

ორთონორალური საფუძველი. თუ ვექტორები ე 1, ე 2 , ე 3 არის წყვილი პერპენდიკულარული და თითოეული მათგანის სიგრძე ერთის ტოლია, მაშინ საფუძველი ე.წ. ორთონორალურიდა კოორდინატები x 1 , x 2 , x 3 - მართკუთხა.აღინიშნა ორთონორმალური საფუძვლის საბაზისო ვექტორები მე, ჯ, კ.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ სივრცეში რ 3 დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების სწორი სისტემა (0, მე, ჯ, კ}.

ვექტორული პროდუქტი. ვექტორული ხელოვნება ავექტორზე ბვექტორი ეწოდება გ, რომელიც განისაზღვრება შემდეგი სამი პირობით:

1. ვექტორის სიგრძე გრიცხობრივად ტოლია ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობის ადა ბ,ე.ი.
გ= |ა||ბ|ცოდვა ( ა^ბ).

2. ვექტორი გთითოეული ვექტორის პერპენდიკულარული ადა ბ.

3. ვექტორები ა, ბდა გამ თანმიმდევრობით აღებული, ქმნიან მარჯვენა სამეულს.

ვექტორული პროდუქტისთვის გშემოღებულია აღნიშვნა c=[აბ] ან
c = a × ბ.

თუ ვექტორები ადა ბკოლინარულია, მერე ცოდო( a^b) = 0 და [ აბ] = 0, კერძოდ, [ აა] = 0. ორტების ვექტორული პროდუქტები: [ იჯ]=კ, [ჯკ] = მე, [კი]=ჯ.

თუ ვექტორები ადა ბსაფუძველში მოცემული მე, ჯ, კკოორდინატები ა(a 1, a 2, a 3), ბ(b 1 , b 2 , b 3), შემდეგ

შერეული სამუშაო. თუ ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი ადა ბსკალარი გამრავლებული მესამე ვექტორზე გ,მაშინ სამი ვექტორის ასეთი ნამრავლი ეწოდება შერეული პროდუქტიდა აღინიშნება სიმბოლოთი ა ძვ.წ.

თუ ვექტორები ა, ბდა გსაფუძველზე მე, ჯ, კდაყენებულია მათი კოორდინატებით
ა(a 1, a 2, a 3), ბ(b 1 , b 2 , b 3), გ(c 1 , c 2 , c 3), შემდეგ

.

შერეულ პროდუქტს აქვს მარტივი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია - ეს არის სკალარი, აბსოლუტური მნიშვნელობით, რომელიც უდრის სამ მოცემულ ვექტორზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობას.

თუ ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სამეულს, მაშინ მათი შერეული ნამრავლი არის დადებითი რიცხვი, რომელიც უდრის მითითებულ მოცულობას; თუ სამი a, b, c -დატოვა, მაშინ ა ბ გ<0 и V = - ა ბ გ, შესაბამისად V =|ა ბ გ|.

პირველი თავის ამოცანებში შეხვედრილი ვექტორების კოორდინატები მიჩნეულია სწორ ორთონორმალურ საფუძველთან შედარებით. ერთეული ვექტორი ვექტორის თანამიმართულებით ა,აღინიშნება სიმბოლოთი აშესახებ. სიმბოლო რ=OMაღინიშნება M წერტილის რადიუსის ვექტორით, სიმბოლოებით a, AB ან|ა|, | AB |აღინიშნება ვექტორების მოდულები ადა AB.

მაგალითი 1.2. იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის ა= 2მ+4ნდა ბ= მ-ნ, სად მდა n-ერთეული ვექტორები და შორის კუთხე მდა ნუდრის 120 o.

გადაწყვეტილება. გვაქვს: cos φ = აბ/ab, ab=(2მ+4ნ) (მ-ნ) = 2მ 2 - 4ნ 2 +2წთ=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; ა 2 = (2მ+4ნ) (2მ+4ნ) =
= 4მ 2 +16წთ+16ნ 2 = 4+16(-0.5)+16=12, ასე რომ a = . b= ; ბ 2 =
= (მ-ნ)(მ-ნ) = მ 2 -2წთ+ნ 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, ამიტომ b = . ბოლოს გვაქვს: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

მაგალითი 1.3.ვექტორების ცოდნა AB(-3,-2.6) და ძვ.წ(-2,4,4), გამოთვალეთ ABC სამკუთხედის AD სიმაღლე.

გადაწყვეტილება. სამკუთხედის ABC ფართობის აღნიშვნა S-ით, მივიღებთ:
S = 1/2 B.C. AD. მერე AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, ასე რომ ვექტორი ACაქვს კოორდინატები
. .

მაგალითი 1.4 . მოცემულია ორი ვექტორი ა(11,10,2) და ბ(4,0,3). იპოვნეთ ერთეული ვექტორი გ,ორთოგონალური ვექტორების მიმართ ადა ბდა მიმართულია ისე, რომ ვექტორების მოწესრიგებული სამმაგი ა, ბ, გმართალი იყო.

გადაწყვეტილება.ავღნიშნოთ ვექტორის კოორდინატები გმოცემული უფლების ორთონორმალურ საფუძველთან დაკავშირებით x, y, z-ის მიხედვით.

Იმდენად, რამდენადაც გ ⊥ ა, გ ⊥ბ, მაშინ დაახლ= 0, cb= 0. ამოცანის პირობით, საჭიროა, რომ c = 1 და ა ბ გ >0.

გვაქვს x,y,z-ის საპოვნელ განტოლებათა სისტემა: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

სისტემის პირველი და მეორე განტოლებიდან ვიღებთ z = -4/3 x, y = -5/6 x. y და z მესამე განტოლებაში ჩანაცვლებით გვექნება: x 2 = 36/125, საიდანაც
x=± . გამოყენების მდგომარეობა a b c > 0, ვიღებთ უტოლობას

z და y გამონათქვამების გათვალისწინებით, მიღებულ უტოლობას გადავწერთ სახით: 625/6 x > 0, საიდანაც გამოდის, რომ x>0. ასე რომ x =, y = -, z = -.