សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។
វ៉ិចទ័រទិសដៅគឺត្រង់។ វ៉ិចទ័រធម្មតា។

បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះគឺសាមញ្ញបំផុតមួយ។ រាងធរណីមាត្រស្គាល់អ្នកតាំងពីថ្នាក់បឋមសិក្សា ហើយថ្ងៃនេះយើងនឹងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃធរណីមាត្រវិភាគ។ ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់នៃសម្ភារៈ, វាគឺជាការចាំបាច់ដើម្បីអាចកសាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ; ដឹងថាសមីការណាមួយកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ ជាពិសេស បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម និងបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។ ព័ត៌មាននេះ។អាចរកបាននៅក្នុងសៀវភៅណែនាំ ក្រាហ្វនិងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍បឋម, ខ្ញុំបានបង្កើតវាសម្រាប់ matan, ប៉ុន្តែផ្នែកអំពី មុខងារលីនេអ៊ែរបានប្រែក្លាយថាទទួលបានជោគជ័យយ៉ាងខ្លាំង និងលម្អិត។ ដូច្នេះហើយ ទឹកតែជាទីគោរព សូមកក់ក្ដៅនៅទីនោះជាមុនសិន។ លើសពីនេះទៀតអ្នកត្រូវមាន ចំណេះ​ដឹង​មូលដ្ឋានអូ វ៉ិចទ័របើមិនដូច្នោះទេការយល់ដឹងអំពីសម្ភារៈនឹងមិនពេញលេញ។

បើក មេរៀននេះ។យើងនឹងពិចារណាវិធីដែលអ្នកអាចសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងយន្តហោះ។ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកកុំធ្វេសប្រហែសឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង (ទោះបីជាវាហាក់ដូចជាសាមញ្ញបំផុតក៏ដោយ) ព្រោះខ្ញុំនឹងផ្គត់ផ្គង់ពួកគេនូវបឋម និង អង្គហេតុសំខាន់ៗ, បច្ចេកទេសដែលនឹងត្រូវបានទាមទារនាពេលអនាគត រួមទាំងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់។

• តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយនឹងជម្រាលមួយ?
• យ៉ាងម៉េច?
• តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកវ៉ិចទ័រទិសដៅដោយសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ?
• តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យចំណុចមួយនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា?

ហើយយើងចាប់ផ្តើម៖

សមីការបន្ទាត់ជាមួយជម្រាល

ទម្រង់ "សាលា" ដ៏ល្បីល្បាញនៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយ កត្តាជម្រាល . ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ នោះជម្រាលរបស់វា៖ . ពិចារណាអត្ថន័យធរណីមាត្រ មេគុណដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងរបៀបដែលតម្លៃរបស់វាប៉ះពាល់ដល់ទីតាំងនៃបន្ទាត់៖

នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃធរណីមាត្រវាត្រូវបានបញ្ជាក់ថា ជម្រាលនៃបន្ទាត់ត្រង់គឺ តង់សង់នៃមុំមួយ។រវាងទិសដៅអ័ក្សវិជ្ជមាននិងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ: , និងជ្រុងត្រូវបាន "unscrewed" ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។

ដើម្បីកុំឱ្យពង្រាយគំនូរ ខ្ញុំគូរមុំត្រឹមតែពីរបន្ទាត់ត្រង់ប៉ុណ្ណោះ។ ពិចារណាលើបន្ទាត់ត្រង់ "ក្រហម" និងជម្រាលរបស់វា។ យោងតាមខាងលើ: (មុំ "អាល់ហ្វា" ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយធ្នូពណ៌បៃតង) ។ សម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ "ខៀវ" ជាមួយជម្រាល ភាពស្មើគ្នាគឺពិត (មុំ "បេតា" ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយធ្នូពណ៌ត្នោត) ។ ហើយប្រសិនបើតង់សង់នៃមុំត្រូវបានគេដឹងនោះបើចាំបាច់វាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរក និងជ្រុងដោយប្រើ មុខងារបញ្ច្រាស- អាកតង់សង់។ ដូចដែលពួកគេនិយាយ តារាងត្រីកោណមាត្រ ឬម៉ាស៊ីនគិតលេខនៅក្នុងដៃ។ ដូច្នេះ ជម្រាលកំណត់កម្រិតនៃទំនោរនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅអ័ក្ស x.

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះវាអាចទៅរួច ករណីបន្ទាប់:

1) ប្រសិនបើជម្រាលគឺអវិជ្ជមាន: បន្ទាប់មកបន្ទាត់និយាយប្រហែលពីកំពូលទៅបាត។ ឧទាហរណ៍គឺ "ពណ៌ខៀវ" និង "ពណ៌ក្រហម" បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងគំនូរ។

2) ប្រសិនបើជម្រាលគឺវិជ្ជមាន: បន្ទាប់មកបន្ទាត់ទៅពីក្រោមទៅកំពូល។ ឧទាហរណ៍គឺ "ខ្មៅ" និង "ក្រហម" បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងគំនូរ។

3) ប្រសិនបើជម្រាល សូន្យ: , បន្ទាប់មកសមីការយកទម្រង់ ហើយបន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវគ្នាគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស។ ឧទាហរណ៍មួយគឺបន្ទាត់ "លឿង" ។

4) សម្រាប់គ្រួសារនៃបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស (មិនមានឧទាហរណ៍នៅក្នុងគំនូរទេលើកលែងតែអ័ក្សខ្លួនវា) ជម្រាល មិន​មាន (តង់សង់នៃ 90 ដឺក្រេមិនបានកំណត់).

ម៉ូឌុលជម្រាលកាន់តែច្រើន ក្រាហ្វបន្ទាត់កាន់តែចោត.

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាបន្ទាត់ត្រង់ពីរ។ នៅទីនេះ ដូច្នេះបន្ទាត់ត្រង់មានជម្រាលចោតជាង។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ម៉ូឌុលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកមិនអើពើនឹងសញ្ញានេះ យើងគ្រាន់តែចាប់អារម្មណ៍ប៉ុណ្ណោះ។ តម្លៃដាច់ខាត មេគុណមុំ។

នៅក្នុងវេន បន្ទាត់ត្រង់គឺចោតជាងបន្ទាត់ត្រង់។ .

ច្រាសមកវិញ៖ ម៉ូឌុលជម្រាលកាន់តែតូច បន្ទាត់ត្រង់គឺរាបស្មើ.

សម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ វិសមភាពគឺជាការពិត ដូច្នេះបន្ទាត់ត្រង់គឺច្រើនជាង canopy ។ ស្លាយរបស់កុមារដើម្បីកុំឱ្យដាំស្នាមជាំនិងរលាក់។

ហេតុអ្វីបានជាវាត្រូវការ?

ពន្យារការរងទុក្ខរបស់អ្នក ដោយដឹងពីការពិតខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកឃើញភ្លាមៗនូវកំហុសរបស់អ្នក ជាពិសេសកំហុសនៅពេលគូរក្រាហ្វ - ប្រសិនបើគំនូរបានប្រែក្លាយថា "មានអ្វីមួយខុសប្រក្រតី"។ វាជាការចង់បានដែលអ្នក ភ្លាមៗវាច្បាស់ណាស់ថា ជាឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ត្រង់មួយគឺចោតខ្លាំង ហើយចុះពីបាតទៅកំពូល ហើយបន្ទាត់ត្រង់គឺសំប៉ែតខ្លាំង នៅជិតអ័ក្ស ហើយទៅពីកំពូលទៅបាត។

IN បញ្ហាធរណីមាត្រជាញឹកញាប់បន្ទាត់ត្រង់ជាច្រើនលេចឡើង ដូច្នេះវាងាយស្រួលក្នុងការសម្គាល់ពួកវាតាមរបៀបណាមួយ។

កំណត់ចំណាំ៖ បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយតូច ជាមួយអក្សរឡាតាំង:. ជម្រើសដ៏ពេញនិយមមួយគឺការកំណត់អក្សរដូចគ្នាជាមួយនឹងអក្សររងធម្មជាតិ។ ជាឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ទាំងប្រាំដែលយើងទើបតែបានពិចារណាអាចតំណាងដោយ .

ដោយសារ​បន្ទាត់​ត្រង់​ណាមួយ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ពីរ​ចំណុច​នោះ វា​អាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ចំណុច​ទាំងនេះ៖ ល។ សញ្ញាណ​បញ្ជាក់​យ៉ាង​ច្បាស់​ថា​ចំណុច​ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់​បន្ទាត់។

ដល់ពេលសម្រាកបន្តិចហើយ៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយនឹងជម្រាលមួយ?

ប្រសិនបើចំណុចមួយត្រូវបានដឹងថាជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ជាក់លាក់មួយ និងជម្រាលនៃបន្ទាត់នេះ នោះសមីការនៃបន្ទាត់នេះត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍ ១

ចងក្រងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយជម្រាល ប្រសិនបើគេដឹងថាចំនុចនោះជារបស់បន្ទាត់ត្រង់នេះ។

ដំណោះស្រាយ៖ យើងនឹងចងក្រងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយតាមរូបមន្ត . IN ករណីនេះ:

ចម្លើយ:

ការប្រឡងបានអនុវត្តជាបឋម។ ដំបូង យើងមើលសមីការលទ្ធផល ហើយត្រូវប្រាកដថាជម្រាលរបស់យើងស្ថិតនៅកន្លែងរបស់វា។ ទីពីរ កូអរដោនេនៃចំណុចត្រូវតែបំពេញសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចូរភ្ជាប់ពួកវាទៅក្នុងសមីការ៖

សមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថាចំណុចបំពេញសមីការលទ្ធផល។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ សមីការបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ដ៏លំបាកសម្រាប់ ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ:

ឧទាហរណ៍ ២

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ ប្រសិនបើគេដឹងថាមុំទំនោរទៅទិសវិជ្ជមាននៃអ័ក្សគឺ ហើយចំនុចនោះជារបស់បន្ទាត់ត្រង់នេះ។

ប្រសិនបើអ្នកមានបញ្ហា សូមអានឡើងវិញ សម្ភារៈទ្រឹស្តី. កាន់តែច្បាស់ ជាក់ស្តែងជាងនេះទៅទៀត ខ្ញុំនឹកភស្តុតាងជាច្រើន។

រោទ៍ ការហៅចុងក្រោយពិធីជប់លៀងបានស្លាប់ហើយនៅខាងក្រៅទ្វារ សាលាផ្ទះតាមពិតយើងកំពុងរង់ចាំធរណីមាត្រវិភាគ។ រឿងកំប្លែងចប់ហើយ... ប្រហែលជាវាទើបតែចាប់ផ្តើម =)

ដោយនឹកស្មានមិនដល់ យើងគ្រវីចំណុចទាញទៅកាន់អ្នកដែលធ្លាប់ស្គាល់ ហើយស្គាល់សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។ ចាប់តាំងពីនៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគវាច្បាស់ណាស់ថានេះកំពុងប្រើ:

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់:, លេខប៉ុន្មាន។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះមេគុណ ក្នុងពេលដំណាលគ្នា។មិនស្មើនឹងសូន្យទេ ព្រោះសមីការបាត់បង់អត្ថន័យរបស់វា។

តោះស្លៀកពាក់ឈុតមួយហើយចងសមីការជាមួយនឹងជម្រាលមួយ។ ដំបូងយើងផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង:

ពាក្យ "x" ត្រូវតែដាក់ជាដំបូង៖

ជាគោលការណ៍ សមីការមានទម្រង់រួចហើយ ប៉ុន្តែយោងទៅតាមច្បាប់នៃក្រមសីលធម៌ មេគុណនៃពាក្យទីមួយ (ក្នុងករណីនេះ) ត្រូវតែវិជ្ជមាន។ ការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា៖

ចងចាំរឿងនេះ លក្ខណៈបច្ចេកទេស! យើងបង្កើតមេគុណដំបូង (ជាញឹកញាប់បំផុត) វិជ្ជមាន!

នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យស្ទើរតែជានិច្ច ទម្រង់ទូទៅ. ជាការប្រសើរណាស់ បើចាំបាច់ វាងាយស្រួលក្នុងការនាំវាទៅជាទម្រង់ "សាលា" ដែលមានជម្រាល (លើកលែងតែបន្ទាត់ត្រង់ស្របនឹងអ័ក្ស y)។

ចូរ​យើង​សួរ​ខ្លួន​យើង​ថា​អ្វី​ គ្រប់គ្រាន់ចេះបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់? ពីរពិន្ទុ។ ប៉ុន្តែអំពីករណីកុមារភាពនេះនៅពេលក្រោយ ឥឡូវនេះនៅជាប់នឹងច្បាប់ព្រួញ។ បន្ទាត់ត្រង់នីមួយៗមានជម្រាលដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អ ដែលវាងាយស្រួលក្នុងការ "សម្របខ្លួន" វ៉ិចទ័រ.

វ៉ិចទ័រដែលស្របនឹងបន្ទាត់មួយត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់នោះ។. ជាក់ស្តែង បន្ទាត់ត្រង់ណាមួយមានវ៉ិចទ័រទិសដៅជាច្រើនគ្មានកំណត់ ហើយពួកវាទាំងអស់នឹងជាគូ (សហដឹកនាំ ឬអត់ - វាមិនមានបញ្ហាទេ)។

ខ្ញុំនឹងបញ្ជាក់វ៉ិចទ័រទិសដៅដូចខាងក្រោម៖ .

ប៉ុន្តែវ៉ិចទ័រមួយមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បង្កើតបន្ទាត់ត្រង់នោះទេ វ៉ិចទ័រគឺឥតគិតថ្លៃ ហើយមិនត្រូវបានភ្ជាប់ទៅនឹងចំណុចណាមួយនៃយន្តហោះនោះទេ។ ដូច្នេះហើយ ចាំបាច់ត្រូវដឹងពីចំណុចមួយចំនួនដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យចំណុចមួយនិងវ៉ិចទ័រទិសដៅមួយ?

ប្រសិនបើចំណុចជាក់លាក់ណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់នេះត្រូវបានគេស្គាល់ នោះសមីការនៃបន្ទាត់នេះអាចត្រូវបានចងក្រងដោយរូបមន្ត៖

ពេលខ្លះវាត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ .

អ្វីដែលត្រូវធ្វើនៅពេល មួយនៃកូអរដោនេគឺសូន្យ យើងនឹងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងខាងក្រោម។ ដោយវិធីនេះចំណាំ - ទាំងពីរក្នុងពេលតែមួយកូអរដោណេមិនអាចជាសូន្យបានទេ ពីព្រោះ វ៉ិចទ័រ nullមិនផ្តល់ទិសដៅជាក់លាក់ទេ។

ឧទាហរណ៍ ៣

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលផ្តល់ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ

ដំណោះស្រាយ៖ យើងនឹងចងក្រងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយតាមរូបមន្ត។ ក្នុងករណី​នេះ:

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមាមាត្រ យើងកម្ចាត់ប្រភាគ៖

ហើយយើងនាំយកសមីការទៅ ទិដ្ឋភាពទូទៅ:

ចម្លើយ:

ការគូរឧទាហរណ៍បែបនេះ ជាក្បួនមិនចាំបាច់ទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់ការយល់ដឹង៖

នៅក្នុងគំនូរយើងឃើញចំណុចចាប់ផ្តើមវ៉ិចទ័រទិសដៅដើម (វាអាចត្រូវបានពន្យារពេលពីចំណុចណាមួយនៅលើយន្តហោះ) និងបន្ទាត់ដែលបានសាងសង់។ ដោយវិធីនេះក្នុងករណីជាច្រើនការសាងសង់បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងងាយស្រួលបំផុតដោយប្រើសមីការជម្រាល។ សមីការរបស់យើងមានភាពងាយស្រួលក្នុងការបំប្លែងទៅជាទម្រង់ ហើយដោយគ្មានបញ្ហាណាមួយ ជ្រើសរើសចំណុចមួយបន្ថែមទៀតដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់។

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់នៅដើមនៃផ្នែក បន្ទាត់មួយមានវ៉ិចទ័រទិសដៅជាច្រើនគ្មានកំណត់ ហើយពួកវាទាំងអស់សុទ្ធតែជាប់គ្នា។ ជាឧទាហរណ៍ ខ្ញុំបានគូរវ៉ិចទ័របីយ៉ាង៖ . វ៉ិចទ័រទិសដៅណាមួយដែលយើងជ្រើសរើស លទ្ធផលនឹងតែងតែជាសមីការបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។

ចូរសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំ៖

ការបំបែកសមាមាត្រ៖

ចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ -2 ហើយទទួលបានសមីការដែលធ្លាប់ស្គាល់៖

អ្នកដែលប្រាថ្នាអាចសាកល្បងវ៉ិចទ័រស្រដៀងគ្នា ឬវ៉ិចទ័រ collinear ផ្សេងទៀត។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងសម្រេចចិត្ត បញ្ហាបញ្ច្រាស:

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកវ៉ិចទ័រទិសដៅដោយសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ?

សាមញ្ញ​ណាស់:

ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការទូទៅនៅក្នុង ប្រព័ន្ធចតុកោណកូអរដោនេ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រគឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់៖

សេចក្តីថ្លែងការណ៍អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅតែមួយពីសំណុំគ្មានកំណត់ ប៉ុន្តែយើងមិនត្រូវការបន្ថែមទៀតទេ។ ទោះបីជាក្នុងករណីខ្លះ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យកាត់បន្ថយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ៖

ដូច្នេះ សមីការ​បញ្ជាក់​បន្ទាត់​ត្រង់​ដែល​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស ហើយ​កូអរដោនេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ចង្កូត​លទ្ធផល​ត្រូវ​បាន​បែងចែក​យ៉ាង​ងាយ​ស្រួល​ដោយ -2 ដោយ​ទទួល​បាន​វ៉ិចទ័រ​មូលដ្ឋាន​ពិតប្រាកដ​ជា​វ៉ិចទ័រ​ចង្កូត។ ឡូជីខល។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ សមីការកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស ហើយបែងចែកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដោយ 5 យើងទទួលបានអ័រតជាវ៉ិចទ័រទិសដៅ។

ឥឡូវនេះសូមប្រតិបត្តិ ពិនិត្យឧទាហរណ៍ 3. ឧទាហរណ៍បានឡើង ដូច្នេះខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា នៅក្នុងនោះយើងបង្កើតសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយប្រើចំណុច និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ

ទីមួយយោងតាមសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ យើងស្ដារវ៉ិចទ័រដឹកនាំរបស់វាឡើងវិញ៖ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺល្អ យើងទទួលបានវ៉ិចទ័រដើម (ក្នុងករណីខ្លះ វាអាចប្រែជា collinear ទៅវ៉ិចទ័រដើម ហើយជាធម្មតាវាងាយស្រួលមើលដោយសមាមាត្រនៃកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នា)។

ទីពីរ, កូអរដោនេនៃចំណុចត្រូវតែបំពេញសមីការ។ យើងជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការ៖

សមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល ដែលយើងពេញចិត្តជាខ្លាំង។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ការងារបានបញ្ចប់យ៉ាងត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ 4

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលផ្តល់ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ

នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនអ្នក។ ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ វាជាការចង់ធ្វើការត្រួតពិនិត្យដោយយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយដែលទើបតែបានពិចារណា។ ព្យាយាមជានិច្ច (ប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន) ពិនិត្យលើសេចក្តីព្រាង។ វាជារឿងល្ងង់ខ្លៅក្នុងការធ្វើខុស ដែលពួកគេអាចជៀសវាងបាន 100% ។

ក្នុងករណីដែលកូអរដោនេមួយនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅគឺសូន្យ វាគឺសាមញ្ញណាស់ក្នុងការធ្វើ៖

ឧទាហរណ៍ 5

ដំណោះស្រាយ៖ រូបមន្តមិនត្រឹមត្រូវទេ ព្រោះភាគបែងនៅខាងស្តាំគឺសូន្យ។ មានច្រកចេញ! ដោយ​ប្រើ​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នៃ​សមាមាត្រ យើង​សរសេរ​រូបមន្ត​ឡើង​វិញ​ក្នុង​សំណុំ​បែបបទ ហើយ​អ្វី​ដែល​នៅ​សល់​ត្រូវ​បាន​រំកិល​តាម​បណ្តោយ​ផ្លូវ​ជ្រៅ៖

ចម្លើយ:

ការប្រឡង:

1) ស្ដារវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់:
- វ៉ិចទ័រលទ្ធផលគឺជាប់នឹងវ៉ិចទ័រទិសដៅដើម។

2) ជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុចក្នុងសមីការ៖

សមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ការងារត្រូវបានបញ្ចប់យ៉ាងត្រឹមត្រូវ។

សំណួរកើតឡើង, ហេតុអ្វីបានជារំខានជាមួយរូបមន្តប្រសិនបើមានកំណែជាសកលដែលនឹងដំណើរការយ៉ាងណាក៏ដោយ? មានហេតុផលពីរ។ ទីមួយ រូបមន្តប្រភាគ កាន់តែល្អក្នុងការចងចាំ. ទីពីរគុណវិបត្តិ រូបមន្តសកលគឺនោះ។ ការកើនឡើងហានិភ័យនៃការភ័ន្តច្រឡំនៅពេលជំនួសកូអរដោនេ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ចងក្រងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលផ្តល់ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ។

នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនអ្នក។

ចូរយើងត្រឡប់ទៅរកចំណុចសំខាន់ពីរ៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលបានផ្តល់ពីរចំណុច?

ប្រសិនបើចំណុចពីរត្រូវបានគេដឹង នោះសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះអាចត្រូវបានចងក្រងដោយប្រើរូបមន្ត៖

តាមពិតនេះគឺជារូបមន្តមួយប្រភេទ ហើយនេះជាមូលហេតុ៖ ប្រសិនបើចំណុចពីរត្រូវបានគេស្គាល់ នោះវ៉ិចទ័រនឹងជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់នេះ។ នៅមេរៀន វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះយើងបានពិចារណា កិច្ចការសាមញ្ញបំផុត។- របៀបស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រពីពីរចំណុច។ យោងទៅតាមបញ្ហានេះកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ:

ចំណាំ ៖ ពិន្ទុអាចត្រូវបាន "ប្តូរ" ហើយប្រើរូបមន្ត . ការសម្រេចចិត្តបែបនេះនឹងស្មើគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ៧

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ពីពីរចំណុច .

ដំណោះស្រាយ៖ ប្រើរូបមន្ត៖

យើងផ្សំភាគបែង៖

ហើយសាប់បន្ទះ៖

ឥឡូវនេះជាពេលវេលាដើម្បីកម្ចាត់ លេខប្រភាគ. ក្នុងករណីនេះអ្នកត្រូវគុណផ្នែកទាំងពីរដោយ 6:

បើកតង្កៀប ហើយយកសមីការមកគិត៖

ចម្លើយ:

ការប្រឡងជាក់ស្តែង - កូអរដោនេ ចំណុចចាប់ផ្តើមត្រូវតែបំពេញសមីការលទ្ធផល៖

1) ជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុច:

សមភាពពិត។

2) ជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុច:

សមភាពពិត។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់គឺត្រឹមត្រូវ។

ប្រសិនបើ យ៉ាងហោចណាស់​មួយពិន្ទុមិនបំពេញសមីការ រកមើលកំហុស។

វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថាការផ្ទៀងផ្ទាត់ក្រាហ្វិកក្នុងករណីនេះគឺពិបាកណាស់ព្រោះដើម្បីសាងសង់បន្ទាត់ហើយមើលថាតើចំណុចទាំងនោះជាកម្មសិទ្ធិរបស់វាឬអត់។ មិនមែនងាយស្រួលទេ។

ខ្ញុំនឹងកត់សម្គាល់ចំណុចបច្ចេកទេសមួយចំនួននៃដំណោះស្រាយ។ ប្រហែលជាក្នុងបញ្ហានេះវាមានអត្ថប្រយោជន៍ជាងក្នុងការប្រើរូបមន្តកញ្ចក់ និងសម្រាប់ចំណុចដូចគ្នា។ បង្កើតសមីការ៖

មានប្រភាគតិច។ ប្រសិនបើអ្នកចង់អ្នកអាចបញ្ចប់ដំណោះស្រាយដល់ទីបញ្ចប់លទ្ធផលគួរតែជាសមីការដូចគ្នា។

ចំណុច​ទី​ពីរ​គឺ​មើល​ចម្លើយ​ចុង​ក្រោយ​ហើយ​មើល​ថា​តើ​វា​អាច​ធ្វើ​ឲ្យ​សាមញ្ញ​ទៀត​ឬ​អត់? ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើសមីការមួយត្រូវបានទទួល នោះគួរតែកាត់បន្ថយវាដោយពីរ៖ - សមីការនឹងកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនេះគឺជាប្រធានបទនៃការសន្ទនារួចទៅហើយ ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃបន្ទាត់ត្រង់.

ដោយបានទទួលចម្លើយ ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 7 គ្រាន់តែជាករណី ខ្ញុំបានពិនិត្យថាតើមេគុណទាំងអស់នៃសមីការត្រូវបានបែងចែកដោយ 2, 3 ឬ 7។ ទោះបីជា ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ការកាត់បន្ថយបែបនេះត្រូវបានធ្វើឡើងក្នុងអំឡុងពេលដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ ៨

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច .

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ ដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកយល់កាន់តែច្បាស់ និងអនុវត្តបច្ចេកទេសគណនា។

ស្រដៀងនឹងកថាខណ្ឌមុន៖ ប្រសិនបើក្នុងរូបមន្ត មួយក្នុងចំនោមភាគបែង (កូអរដោនេវ៉ិចទ័រទិសដៅ) បាត់ បន្ទាប់មកយើងសរសេរវាឡើងវិញជា . ហើយម្តងទៀត សូមកត់សម្គាល់ពីភាពឆ្គង និងច្របូកច្របល់ដែលនាងចាប់ផ្តើមមើលទៅ។ ខ្ញុំមិនឃើញចំណុចច្រើនទេក្នុងការនាំយក ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងដោយសារយើងពិតជាបានដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះរួចហើយ (សូមមើលលេខ 5, 6)។

បន្ទាត់ត្រង់ វ៉ិចទ័រធម្មតា (វ៉ិចទ័រធម្មតា)

តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​ធម្មតា? នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញ, ធម្មតាគឺកាត់កែង។ នោះគឺវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់គឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ វាច្បាស់ណាស់ថាបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយមានចំនួនមិនកំណត់នៃពួកវា (ក៏ដូចជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំ) ហើយវ៉ិចទ័រធម្មតាទាំងអស់នៃបន្ទាត់ត្រង់នឹងជាប់គ្នា (codirectional ឬអត់ - វាមិនមានបញ្ហាទេ)។

ដោះស្រាយជាមួយពួកគេនឹងកាន់តែងាយស្រួលជាងជាមួយវ៉ិចទ័រទិសដៅ៖

ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការទូទៅនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ នោះវ៉ិចទ័រគឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ។

ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅត្រូវតែត្រូវបាន "ដកចេញ" ដោយប្រុងប្រយ័ត្នពីសមីការនោះកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាអាចត្រូវបាន "ដកចេញ" ។

វ៉ិចទ័រ​ធម្មតា​តែងតែ​តម្រង់​ទិស​ទៅ​នឹង​វ៉ិចទ័រ​ទិស​នៃ​បន្ទាត់។ យើងនឹងផ្ទៀងផ្ទាត់ orthagonality នៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះដោយប្រើ ផលិតផលចំនុច:

ខ្ញុំនឹងផ្តល់ឧទាហរណ៍ជាមួយសមីការដូចគ្នានឹងវ៉ិចទ័រទិសដៅ៖

តើអាចសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយដឹងចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតាបានទេ? វាមានអារម្មណ៍ថាវាអាចទៅរួច។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រធម្មតាត្រូវបានគេដឹងនោះទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់បំផុតក៏ត្រូវបានកំណត់ផងដែរ - នេះគឺជា "រចនាសម្ព័ន្ធរឹង" ដែលមានមុំ 90 ដឺក្រេ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យចំណុចមួយនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា?

ប្រសិនបើចំណុចមួយចំនួនដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នេះត្រូវបានគេស្គាល់ នោះសមីការនៃបន្ទាត់នេះត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត៖

នៅទីនេះអ្វីគ្រប់យ៉ាងបានទៅដោយគ្មានប្រភាគ និងការភ្ញាក់ផ្អើលផ្សេងទៀត។ នេះគឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់យើង។ ស្រឡាញ់​វា។ និងគោរព =)

ឧទាហរណ៍ ៩

ចងក្រងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលផ្តល់ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

ដំណោះស្រាយ៖ ប្រើរូបមន្ត៖

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានទទួល សូមពិនិត្យមើល៖

1) "យក" កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាចេញពីសមីការ: - បាទ ពិតណាស់ វ៉ិចទ័រដើមត្រូវបានទទួលពីលក្ខខណ្ឌ (ឬវ៉ិចទ័រគួរតែជាប់នឹងវ៉ិចទ័រដើម)។

2) ពិនិត្យមើលថាតើចំនុចនោះបំពេញសមីការដែរឬទេ៖

សមភាពពិត។

បន្ទាប់​ពី​យើង​បាន​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រាកដ​ថា​សមីការ​ត្រូវ​ហើយ យើង​នឹង​អនុវត្ត​ទីពីរ​បន្ថែម​ទៀត។ ផ្នែកងាយស្រួលភារកិច្ច។ យើងទាញវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់៖

ចម្លើយ:

នៅក្នុងគំនូរស្ថានភាពមានដូចខាងក្រោម:

សម្រាប់គោលបំណងនៃការបណ្តុះបណ្តាល ភារកិច្ចស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

ឧទាហរណ៍ 10

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលបានផ្តល់ចំនុចមួយ និង វ៉ិចទ័រធម្មតា។. ស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

ផ្នែកចុងក្រោយមេរៀននឹងត្រូវបានឧទ្ទិសដល់មិនសូវសាមញ្ញ ប៉ុន្តែក៏មាន ប្រភេទសំខាន់ៗសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក។
សមីការ​បន្ទាត់​ត្រង់​ក្នុង​ទម្រង់​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​ក្នុង​ផ្នែក​មាន​ទម្រង់ ដែល​ជា​ចំនួន​ថេរ​មិន​សូន្យ។ ប្រភេទសមីការមួយចំនួនមិនអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់នេះទេ ឧទាហរណ៍ សមាមាត្រដោយផ្ទាល់ (ចាប់តាំងពីពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺសូន្យ ហើយមិនមានវិធីដើម្បីទទួលបានមួយនៅខាងស្តាំទេ)។

នេះ​គឺ​ជា​ការ​និយាយ​ជា​ន័យ​ធៀប ជា​ប្រភេទ​សមីការ "បច្ចេកទេស"។ ភារកិច្ចធម្មតាគឺដើម្បី សមីការទូទៅតំណាងឱ្យបន្ទាត់ត្រង់ជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក។ ហេតុអ្វីបានជាវាងាយស្រួល? សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែកអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយយ៉ាងរហ័សជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ ដែលមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួននៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់។

រកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយអ័ក្ស។ យើងកំណត់ "y" ឡើងវិញ ហើយសមីការមានទម្រង់ . ចំណុចដែលចង់បានទទួលបានដោយស្វ័យប្រវត្តិ: .

ដូចគ្នាជាមួយអ័ក្ស ជា​ចំណុច​ដែល​បន្ទាត់​កាត់​អ័ក្ស y ។

និយមន័យ។បន្ទាត់ណាមួយនៅក្នុងយន្តហោះអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការលំដាប់ទីមួយ

Ah + Wu + C = 0,

ហើយថេរ A, B មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ សមីការលំដាប់ទីមួយនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។អាស្រ័យលើតម្លៃ ថេរ A, Bនិង C ករណីពិសេសខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (ដោយ + C \u003d 0) - បន្ទាត់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - បន្ទាត់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - បន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - បន្ទាត់ស្របគ្នាជាមួយ អ័ក្សគោ

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុង ទម្រង់ផ្សេងៗអាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

និយមន័យ។នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian វ៉ិចទ័រដែលមានសមាសធាតុ (A, B) កាត់កែងទៅបន្ទាត់មួយ ផ្តល់ដោយសមីការ Ah + Wu + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍. រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A(1, 2) កាត់កែងទៅ (3, -1) ។

ដំណោះស្រាយ. នៅ A = 3 និង B = -1 យើងបង្កើតសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ: 3x − y + C = 0 ។ ដើម្បីរកមេគុណ C យើងជំនួសកូអរដោណេនៃចំនុច A ទៅជាកន្សោមលទ្ធផល។ យើងទទួលបាន៖ 3 - 2 + C = 0 ដូច្នេះ C = -1 ។ សរុប៖ សមីការដែលចង់បាន៖ 3x - y - 1 \u003d 0 ។

សមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច

សូម​ឲ្យ​ពិន្ទុ​ពីរ M 1 (x 1, y 1, z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) ក្នុង​លំហ បន្ទាប់មក​សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​ឆ្លងកាត់​ចំណុច​ទាំងនេះ៖

ប្រសិន​បើ​ភាគបែង​ណា​មួយ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ នោះ​ចំនួន​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ឱ្យ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ។​ នៅ​លើ​យន្តហោះ​ សមីការ​បន្ទាត់​ត្រង់​ដែល​បាន​សរសេរ​ខាងលើ​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ឱ្យ​សាមញ្ញ៖

ប្រសិនបើ x 1 ≠ x 2 និង x = x 1 ប្រសិនបើ x 1 = x 2 ។

ប្រភាគ = k ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាជម្រាលត្រង់។

ឧទាហរណ៍. រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច A(1,2) និង B(3,4)។

ដំណោះស្រាយ។អនុវត្តរូបមន្តខាងលើយើងទទួលបាន៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ពីចំណុចមួយ និងជម្រាលមួយ។

ប្រសិនបើ Ax + Wu + C = 0 សរុបនាំទៅដល់ទម្រង់៖

និងកំណត់ បន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយជម្រាលមួយ។k.

សមីការ​បន្ទាត់​ត្រង់​ជាមួយ​វ៉ិចទ័រ​ចំណុច​និង​ទិស

ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងចំណុចដែលពិចារណាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈវ៉ិចទ័រធម្មតា អ្នកអាចបញ្ចូលការចាត់តាំងនៃបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

និយមន័យ។វ៉ិចទ័រមិនសូន្យនីមួយៗ (α 1, α 2) សមាសធាតុដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ A α 1 + B α 2 = 0 ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់

Ah + Wu + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍។ រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយវ៉ិចទ័រទិសដៅ (1, -1) ហើយឆ្លងកាត់ចំណុច A (1, 2) ។

ដំណោះស្រាយ។យើងនឹងរកមើលសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានក្នុងទម្រង់៖ Ax + By + C = 0. ស្របតាមនិយមន័យ មេគុណត្រូវបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. ក = ខ។

បន្ទាប់មកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់: Ax + Ay + C = 0, ឬ x + y + C / A = 0. សម្រាប់ x = 1, y = 2 យើងទទួលបាន C / A = -3, i.e. សមីការដែលចង់បាន៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ah + Wu + C = 0 C≠0 បន្ទាប់មកបែងចែកដោយ –C យើងទទួលបាន៖ ឬ

អារម្មណ៍ធរណីមាត្រមេគុណនៅក្នុងនោះ មេគុណ កគឺជាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលមានអ័ក្ស x និង ខ- កូអរដោណេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយអ័ក្ស Oy ។

ឧទាហរណ៍។ផ្តល់សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ x − y + 1 = 0. រកសមីការនៃបន្ទាត់នេះក្នុងផ្នែក។

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d ១.

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់

ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃសមីការ Ax + Vy + C = 0 ត្រូវបានគុណនឹងចំនួន ដែលត្រូវបានគេហៅថា កត្តាធ្វើឱ្យធម្មតា។បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

xcosφ + ysinφ - p = 0 −

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់។ សញ្ញា±នៃកត្តាធម្មតាត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើសដូច្នេះ μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

ឧទាហរណ៍. ដែលបានផ្តល់ឱ្យសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ 12x - 5y - 65 \u003d 0. វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីសរសេរ ប្រភេទផ្សេងៗសមីការនៃបន្ទាត់នេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះនៅក្នុងផ្នែក៖

សមីការនៃបន្ទាត់នេះជាមួយជម្រាល៖ (ចែកនឹង ៥)

; cos φ = 12/13; sin φ= −5/13; p=5 ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមិនមែនគ្រប់បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានតំណាងដោយសមីការនៅក្នុងផ្នែកទេ ឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស ឬឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

ឧទាហរណ៍. ការកាត់ផ្តាច់ដោយផ្ទាល់ សំរបសំរួលអ័ក្សផ្នែកវិជ្ជមានស្មើគ្នា។ សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ប្រសិនបើផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលបង្កើតឡើងដោយផ្នែកទាំងនេះគឺ 8 សង់ទីម៉ែត្រ 2 ។

ដំណោះស្រាយ។សមីការបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖ , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4 ។ a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

ឧទាហរណ៍. សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A (-2, -3) និងប្រភពដើម។

ដំណោះស្រាយ. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖ ដែលជាកន្លែងដែល x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3 ។

មុំរវាងបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ

និយមន័យ។ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 នោះ ជ្រុងមុតស្រួចរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះនឹងត្រូវបានកំណត់ជា

.

បន្ទាត់ពីរគឺស្របគ្នាប្រសិនបើ k 1 = k 2 ។ ពីរ បន្ទាត់ត្រង់គឺកាត់កែងប្រសិនបើ k 1 = -1/ k 2 ។

ទ្រឹស្តីបទ។បន្ទាត់ត្រង់ Ax + Vy + C \u003d 0 និង A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 គឺស្របគ្នានៅពេលដែលមេគុណ A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB គឺសមាមាត្រ។ ប្រសិនបើផងដែរ С 1 = λС នោះបន្ទាត់ស្របគ្នា។ កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។

សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​កាត់​តាម​ចំណុច​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្ដល់

និយមន័យ។បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1, y 1) និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ y \u003d kx + b ត្រូវបានតំណាងដោយសមីការ៖

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើចំណុច M (x 0, y 0) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះចម្ងាយទៅបន្ទាត់ Ax + Vy + C \u003d 0 ត្រូវបានកំណត់ជា

.

ភស្តុតាង។សូមឲ្យចំនុច M 1 (x 1, y 1) ជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីចំនុច M ទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកចម្ងាយរវាងចំណុច M និង M 1:

(1)

កូអរដោណេ x 1 និង y 1 អាចត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ៖

សមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធគឺសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 0 គឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើយើងបំប្លែងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់៖

A(x − x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + ដោយ 0 + C = 0,

បន្ទាប់មកដោះស្រាយយើងទទួលបាន៖

ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (១) យើងរកឃើញ៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍. កំណត់មុំរវាងបន្ទាត់៖ y = −3 x + 7; y = 2 x + 1 ។

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = π / 4 ។

ឧទាហរណ៍. បង្ហាញថាបន្ទាត់ 3x − 5y + 7 = 0 និង 10x + 6y − 3 = 0 កាត់កែង។

ដំណោះស្រាយ. យើងរកឃើញ៖ k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1 ដូច្នេះបន្ទាត់គឺកាត់កែង។

ឧទាហរណ៍. ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ រកសមីការសម្រាប់កម្ពស់ដែលដកចេញពីចំនុចកំពូល C ។

ដំណោះស្រាយ. យើងរកឃើញសមីការខាង AB៖ ; 4 x = 6 y − 6;

2x − 3y + 3 = 0;

សមីការកម្ពស់ដែលចង់បានគឺ៖ អ័ក្ស + ដោយ + C = 0 ឬ y = kx + b ។ k = . បន្ទាប់មក y = ។ ដោយសារតែ កម្ពស់ឆ្លងកាត់ចំណុច C បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការនេះ៖ wherece b = 17. សរុប៖ .

ចម្លើយ៖ 3x + 2y − 34 = 0 ។

បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច K(x 0; y 0) និងស្របទៅនឹងបន្ទាត់ y = kx + a ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

ដែល k ជាចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់។

រូបមន្ត​ជំនួស៖
បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1 ; y 1) និងស្របទៅនឹងបន្ទាត់ Ax+By+C=0 ត្រូវបានតំណាងដោយសមីការ

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 ។ (2)

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច K( ;) ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ y = x + .

ឧទាហរណ៍ #1 ។ បង្កើតសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច M 0 (-2.1) ហើយក្នុងពេលតែមួយ៖
ក) ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ 2x + 3y -7 = 0;
ខ) កាត់កែងទៅបន្ទាត់ 2x + 3y −7 = 0 ។
ដំណោះស្រាយ . ចូរតំណាងឱ្យសមីការជម្រាលជា y = kx + a ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងផ្ទេរតម្លៃទាំងអស់លើកលែងតែ y ទៅ ផ្នែក​ខាងស្តាំ៖ 3y = −2x + 7 ។ បន្ទាប់មកយើងបែងចែកផ្នែកខាងស្តាំដោយមេគុណ 3 ។ យើងទទួលបាន៖ y = −2/3x + 7/3
រកសមីការ NK ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច K(-2;1) ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ y = -2/3 x + 7/3
ការជំនួស x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 យើងទទួលបាន៖
y-1 = −2/3 (x-(-2))
ឬ
y = −2/3 x − 1/3 ឬ 3y + 2x +1 = 0

ឧទាហរណ៍ #2 ។ សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយស្របនឹងបន្ទាត់ត្រង់ 2x + 5y = 0 ហើយបង្កើត រួមជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ ត្រីកោណដែលមានផ្ទៃ 5 ។
ដំណោះស្រាយ . ដោយសារបន្ទាត់ស្របគ្នា សមីការនៃបន្ទាត់ដែលត្រូវការគឺ 2x + 5y + C = 0 ។ ត្រីកោណកែងដែលជាកន្លែងដែល a និង b គឺជាជើងរបស់វា។ ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលចង់បានជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ៖
;
.
ដូច្នេះ A(-C/2,0), B(0,-C/5)។ ជំនួសក្នុងរូបមន្តសម្រាប់តំបន់៖ . យើងទទួលបានដំណោះស្រាយពីរ៖ 2x + 5y + 10 = 0 និង 2x + 5y − 10 = 0 ។

ឧទាហរណ៍ #3 ។ សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច (-2; 5) និងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល 5x-7y-4=0 ។
ដំណោះស្រាយ។ បន្ទាត់ត្រង់នេះអាចត្រូវបានតំណាងដោយសមីការ y = 5/7 x – 4/7 (នៅទីនេះ a = 5/7) ។ សមីការនៃបន្ទាត់ដែលចង់បានគឺ y − 5 = 5 / 7 (x − (−2)) i.e. 7(y-5)=5(x+2) ឬ 5x-7y+45=0 ។

ឧទាហរណ៍ #4 ។ ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ 3 (A=5, B=-7) ដោយប្រើរូបមន្ត (2) យើងរកឃើញ 5(x+2)-7(y-5)=0 ។

ឧទាហរណ៍លេខ 5 ។ សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច (-2;5) និងបន្ទាត់ត្រង់ប៉ារ៉ាឡែល 7x+10=0។
ដំណោះស្រាយ។ នៅទីនេះ A=7, B=0។ រូបមន្ត (2) ផ្តល់ 7(x+2)=0, i.e. x+2=0។ រូបមន្ត (1) មិនអាចអនុវត្តបានទេ ដោយសារសមីការនេះមិនអាចដោះស្រាយបានទាក់ទងនឹង y (បន្ទាត់ត្រង់នេះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស y)។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean ។

មាន​បន្ទាត់​ជា​ច្រើន​ដែល​មិន​ចេះ​ចប់​ដែល​អាច​គូស​តាម​ចំណុច​ណា​មួយ​បាន។

តាម​រយៈ​ចំណុច​មិន​ស្រប​គ្នា​ពីរ​ណា​មួយ មាន​តែ​បន្ទាត់​ត្រង់​មួយ។

បន្ទាត់មិនស្របគ្នាពីរនៅក្នុងយន្តហោះ ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចតែមួយ ឬជា

ប៉ារ៉ាឡែល (ធ្វើតាមពីមួយមុន) ។

មានជម្រើសបីក្នុងចន្លោះ 3D ។ ទីតាំងដែលទាក់ទងបន្ទាត់ត្រង់ពីរ៖

• បន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា;

• បន្ទាត់ត្រង់គឺស្របគ្នា;

• បន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វ។

ត្រង់ បន្ទាត់គឺជាខ្សែកោងពិជគណិតនៃលំដាប់ទីមួយ៖ ក្នុង ប្រព័ន្ធ Cartesianសំរបសំរួលបន្ទាត់ត្រង់

ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះដោយសមីការនៃដឺក្រេទីមួយ (សមីការលីនេអ៊ែរ) ។

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

និយមន័យ. បន្ទាត់ណាមួយនៅក្នុងយន្តហោះអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការលំដាប់ទីមួយ

Ah + Wu + C = 0,

និងថេរ ក, ខមិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ សមីការលំដាប់ទីមួយនេះត្រូវបានគេហៅថា ទូទៅ

សមីការបន្ទាត់ត្រង់។អាស្រ័យលើតម្លៃនៃថេរ ក, ខនិង ជាមួយករណីពិសេសខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (ដោយ + C = 0)- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូ

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូ

. B = C = 0, A ≠ 0- បន្ទាត់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស អូ

. A = C = 0, B ≠ 0- បន្ទាត់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស អូ

សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​អាច​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ក្នុង​ទម្រង់​ផ្សេង​គ្នា​អាស្រ័យ​លើ​ការ​ផ្តល់​ឱ្យ​ណា​មួយ​

លក្ខខណ្ឌដំបូង។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

និយមន័យ. នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian វ៉ិចទ័រដែលមានសមាសធាតុ (A, B)

កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ

Ah + Wu + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍. ស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ A(1, 2)កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ (3, -1).

ដំណោះស្រាយ. ចូរសរសេរនៅ A \u003d 3 និង B \u003d -1 សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់៖ 3x - y + C \u003d 0 ។ ដើម្បីរកមេគុណ C

យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច A ទៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល។ យើងទទួលបាន៖ 3 - 2 + C = 0 ដូច្នេះ

គ = -១. សរុប៖ សមីការដែលចង់បាន៖ 3x - y - 1 \u003d 0 ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច។

សូម​ឱ្យ​ពិន្ទុ​ពីរ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​លំហ M 1 (x 1 , y 1 , z 1)និង M2 (x 2, y 2, z 2),បន្ទាប់មក សមីការបន្ទាត់ត្រង់,

ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ៖

ប្រសិនបើភាគបែងណាមួយស្មើនឹងសូន្យនោះ ភាគបែងដែលត្រូវគ្នាគួរតែត្រូវបានកំណត់ឱ្យស្មើសូន្យ។ បើក

យន្តហោះ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលសរសេរខាងលើត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

ប្រសិនបើ x 1 ≠ x 2និង x = x ១, ប្រសិនបើ x 1 = x 2 .

ប្រភាគ = គហៅ កត្តាជម្រាល ត្រង់.

ឧទាហរណ៍. រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច A(1,2) និង B(3,4)។

ដំណោះស្រាយ. អនុវត្តរូបមន្តខាងលើយើងទទួលបាន៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងជម្រាលមួយ។

ប្រសិនបើសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ah + Wu + C = 0នាំយកទៅទម្រង់:

និងកំណត់ បន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយជម្រាល k ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់លើចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំ។

ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងចំណុចដែលពិចារណាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈវ៉ិចទ័រធម្មតា អ្នកអាចបញ្ចូលកិច្ចការ

បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

និយមន័យ. រាល់វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យ (α 1 , α 2)សមាសធាតុដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ

Aα 1 + Bα 2 = 0ហៅ វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

Ah + Wu + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍. រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយវ៉ិចទ័រទិសដៅ (1, -1) ហើយឆ្លងកាត់ចំណុច A (1, 2) ។

ដំណោះស្រាយ. យើងនឹងរកមើលសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានក្នុងទម្រង់៖ អ័ក្ស + ដោយ + C = 0 ។យោងតាមនិយមន័យ

មេគុណត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. ក = ខ។

បន្ទាប់មកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖ អ័ក្ស + Ay + C = 0,ឬ x + y + C / A = 0 ។

នៅ x=1, y=2យើង​ទទួល​បាន គ/ក = -៣, i.e. សមីការដែលចង់បាន៖

x + y − 3 = 0

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ah + Wu + C = 0 C≠0 បន្ទាប់មកបែងចែកដោយ -C យើងទទួលបាន៖

ឬ កន្លែងណា

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃមេគុណគឺ មេគុណ a គឺជាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វ

ត្រង់ជាមួយអ័ក្ស អូក ខ- កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយអ័ក្ស អូ.

ឧទាហរណ៍. សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ x − y + 1 = 0 ។ស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះនៅក្នុងផ្នែក។

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d ១.

សមីការធម្មតា។ត្រង់។

ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃសមីការ Ah + Wu + C = 0ចែកដោយលេខ ដែលត្រូវបានគេហៅថា

កត្តាធ្វើឱ្យធម្មតា។បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

xcosφ + ysinφ - p = 0 -សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់.

សញ្ញា ± នៃកត្តាធម្មតាត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើសដូច្នេះ μ * គ< 0.

រ- ប្រវែងកាត់កាត់ពីដើមទៅបន្ទាត់

ក φ - មុំបង្កើតដោយកាត់កែងនេះជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស អូ។

ឧទាហរណ៍. ផ្តល់សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ 12x − 5y − 65 = 0. តម្រូវឱ្យសរសេរសមីការប្រភេទផ្សេងៗ

បន្ទាត់ត្រង់នេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះនៅក្នុងផ្នែក:

សមីការនៃបន្ទាត់នេះជាមួយនឹងជម្រាល: (ចែកនឹង 5)

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់:

cos φ = 12/13; sin φ= −5/13; p=5 ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមិនមែនគ្រប់បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានតំណាងដោយសមីការនៅក្នុងផ្នែកទេឧទាហរណ៍បន្ទាត់ត្រង់។

ស្របទៅនឹងអ័ក្ស ឬឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

មុំរវាងបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

និយមន័យ. ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2បន្ទាប់មកមុំស្រួចរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះ

នឹងត្រូវបានកំណត់ថាជា

បន្ទាត់ពីរគឺស្របគ្នាប្រសិនបើ k 1 = k 2. បន្ទាត់ពីរគឺកាត់កែង

ប្រសិនបើ k 1 \u003d -1 / k 2 .

ទ្រឹស្តីបទ.

ផ្ទាល់ Ah + Wu + C = 0និង A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0គឺស្របគ្នានៅពេលដែលមេគុណមានសមាមាត្រ

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. ប្រសិនបើផងដែរ។ С 1 \u003d λСបន្ទាប់មកបន្ទាត់ស្របគ្នា។ សំរបសំរួលនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ

ត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យ. បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ M 1 (x 1, y 1)និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ y = kx + b

តំណាងដោយសមីការ៖

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ។

ទ្រឹស្តីបទ. ប្រសិនបើចំណុចមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ M(x 0, y 0),បន្ទាប់មកចម្ងាយទៅបន្ទាត់ Ah + Wu + C = 0បានកំណត់ថា:

ភស្តុតាង. សូមឱ្យចំណុច M 1 (x 1, y 1)- មូលដ្ឋាននៃកាត់កែងបានធ្លាក់ចុះពីចំណុច មសម្រាប់ការផ្តល់ឱ្យ

ផ្ទាល់។ បន្ទាប់មកចម្ងាយរវាងចំណុច មនិង ម ១:

(1)

កូអរដោនេ x ១និង ១អាចរកបានជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ៖

សមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 0 កាត់កែង

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើយើងបំប្លែងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់៖

A(x − x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + ដោយ 0 + C = 0,

បន្ទាប់មកដោះស្រាយយើងទទួលបាន៖

ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (១) យើងរកឃើញ៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

អត្ថបទនេះបង្ហាញពីប្រភពនៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ពីរ ពិន្ទុដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណដែលមានទីតាំងនៅលើយន្តហោះ។ យើងទាញយកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ។ យើងនឹងបង្ហាញដោយមើលឃើញ និងដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលទាក់ទងនឹងសម្ភារៈដែលគ្របដណ្តប់។

Yandex.RTB R-A-339285-1

មុនពេលទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ វាចាំបាច់ត្រូវយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតមួយចំនួន។ មាន axiom មួយដែលនិយាយថាតាមរយៈចំនុចមិនស្របគ្នាពីរនៅលើយន្តហោះ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគូរបន្ទាត់ត្រង់និងតែមួយគត់។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរនៃយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ។

ប្រសិនបើយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ Oxy នោះបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយដែលបង្ហាញនៅក្នុងវានឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។ វាក៏មានការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់ផងដែរ។ ទិន្នន័យទាំងនេះគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគូរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាស្រដៀងគ្នា។ វាចាំបាច់ក្នុងការចងក្រងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលឆ្លងកាត់ចំនុចមិនស៊ីគ្នាពីរ M 1 (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ។

នៅក្នុងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះដែលមានទម្រង់ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ O x y ត្រូវបានបញ្ជាក់ជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វជាមួយវានៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេ M 1 (x 1, y 1) ជាមួយវ៉ិចទ័រណែនាំ a → = (a x , a y) ។

វាចាំបាច់ក្នុងការគូរ សមីការ Canonicalបន្ទាត់ត្រង់ a ដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលមានកូអរដោនេ M 1 (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ។

បន្ទាត់ត្រង់ a មានវ៉ិចទ័រដឹកនាំ M 1 M 2 → ជាមួយកូអរដោណេ (x 2 - x 1, y 2 - y 1) ព្រោះវាប្រសព្វចំនុច M 1 និង M 2 ។ យើងបានទទួលទិន្នន័យចាំបាច់ដើម្បីបំប្លែងសមីការ Canonical ជាមួយនឹងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) និងកូអរដោនេនៃចំនុច M 1 ដែលស្ថិតនៅលើពួកវា។ (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ។ យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 − y 1 ឬ x − x 2 x 2 − x 1 = y − y 2 y 2 − y 1 ។

ពិចារណារូបភាពខាងក្រោម។

បន្ទាប់ពីការគណនាយើងសរសេរ សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្របន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលមានកូអរដោនេ M 1 (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ។ យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ឬ x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនឱ្យបានដិតដល់។

ឧទាហរណ៍ ១

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ 2 ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយកូអរដោនេ M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 ។

ដំណោះស្រាយ

សមីការ Canonical សម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វគ្នានៅចំនុចពីរដែលមានកូអរដោណេ x 1 , y 1 និង x 2 , y 2 យកទម្រង់ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា យើងមានថា x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 ។ ត្រូវការជំនួស តម្លៃជាលេខទៅក្នុងសមីការ x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 – y 1 ។ ពីនេះយើងទទួលបានថាសមីការ Canonical នឹងយកទម្រង់ x − (- 5) 1 − (- 5) = y − 2 3 – 1 6 – 2 3 ⇔ x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 ។

ចម្លើយ៖ x + 5 6 = y − 2 3 − 5 6 .

ប្រសិនបើវាចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងប្រភេទសមីការផ្សេង នោះសម្រាប់ការចាប់ផ្តើម អ្នកអាចចូលទៅកាន់ Canonical ព្រោះវាងាយស្រួលជាងក្នុងការមករកផ្សេងទៀតពីវា។

ឧទាហរណ៍ ២

ចងក្រងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមានកូអរដោណេ M 1 (1, 1) និង M 2 (4, 2) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ O x y ។

ដំណោះស្រាយ

ដំបូងអ្នកត្រូវសរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ x − 1 4 − 1 = y − 1 2 − 1 ⇔ x − 1 3 = y − 1 1 ។

យើងនាំយកសមីការ Canonical ទៅជាទម្រង់ដែលចង់បាន បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

x − 1 3 = y − 1 1 ⇔ 1 x − 1 = 3 y − 1 ⇔ x − 3 y + 2 = 0

ចម្លើយ៖ x − 3 y + 2 = 0 ។

ឧទាហរណ៍នៃភារកិច្ចបែបនេះត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុង សៀវភៅសិក្សារបស់សាលានៅក្នុងថ្នាក់ពិជគណិត។ កិច្ចការសាលាខុសគ្នាត្រង់ថាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានមេគុណជម្រាលត្រូវបានគេដឹងថាមានទម្រង់ y \u003d k x + b ។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការស្វែងរកតម្លៃនៃជម្រាល k និងលេខ b ដែលសមីការ y \u003d k x + b កំណត់បន្ទាត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធ O x y ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ដែល x 1 ≠ x 2 ។ នៅពេល x 1 = x 2 បន្ទាប់មកជម្រាលត្រូវចំណាយពេលលើតម្លៃនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយបន្ទាត់ M 1 M 2 ត្រូវបានកំណត់ដោយទូទៅ សមីការមិនពេញលេញនៃទម្រង់ x − x 1 = 0 .

ដោយសារតែចំណុច ម ១និង ម ២ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់ពួកគេបំពេញសមីការ y 1 = k x 1 + b និង y 2 = k x 2 + b ។ វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b ដោយគោរពតាម k និង b ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញ k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ឬ k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 ។

ជាមួយនឹងតម្លៃ k និង b សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវចំណាយពេល ទិដ្ឋភាពបន្ទាប់ y = y 2 − y 1 x 2 − x 1 x + y 2 − y 2 − y 1 x 2 − x 1 x 1 ឬ y = y 2 − y 1 x 2 − x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 − x 1 x 2 ។

ចងចាំរឿងនេះឥឡូវនេះ ចំនួនទឹកប្រាក់ដ៏អស្ចារ្យរូបមន្តនឹងមិនដំណើរការទេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើនចំនួនពាក្យដដែលៗក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

ឧទាហរណ៍ ៣

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជម្រាលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមានកូអរដោនេ M 2 (2, 1) និង y = k x + b ។

ដំណោះស្រាយ

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា យើងប្រើរូបមន្តដែលមានជម្រាលដែលមានទម្រង់ y \u003d k x + b ។ មេគុណ k និង b ត្រូវតែយកតម្លៃបែបនេះ ដែលសមីការនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលមានកូអរដោនេ M 1 (- 7 , - 5) និង M 2 (2 , 1) ។

ពិន្ទុ ម ១និង ម ២ដែលមានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់ពួកគេគួរតែបញ្ច្រាសសមីការ y = k x + b សមភាពត្រឹមត្រូវ។ ពីទីនេះយើងទទួលបានថា - 5 = k · (- 7) + b និង 1 = k · 2 + b ។ ចូរផ្សំសមីការទៅក្នុងប្រព័ន្ធ - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ហើយដោះស្រាយ។

នៅពេលជំនួសយើងទទួលបានវា។

5 = k − 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = − 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = − 5 + 7 k 2 k − 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = − 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = − 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = − 1 3 k = 2 3

ឥឡូវតម្លៃ k = 2 3 និង b = − 1 3 ត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការ y = k x + b ។ យើង​ទទួល​បាន​ថា​សមីការ​ដែល​ចង់​បាន​ឆ្លង​កាត់​ចំណុច​ដែល​បាន​ផ្ដល់​នឹង​ជា​សមីការ​ដែល​មាន​ទម្រង់ y = 2 3 x − 1 3 ។

វិធីនៃការដោះស្រាយនេះកំណត់ការចំណាយជាមុន មួយចំនួនធំពេលវេលា។ មានវិធីមួយដែលកិច្ចការត្រូវបានដោះស្រាយតាមព្យញ្ជនៈជាពីរជំហាន។

យើងសរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ M 2 (2, 1) និង M 1 (- 7, - 5) ដែលមានទម្រង់ x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 − (− 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅសមីការជម្រាល។ យើងទទួលបាននោះ៖ x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x − 1 3 ។

ចម្លើយ៖ y = 2 3 x − 1 3 ។

ប្រសិនបើនៅក្នុង លំហបីវិមាត្រមានប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ O x y z ដែលមានចំនុចមិនស៊ីគ្នាពីរដែលបានផ្តល់អោយជាមួយកូអរដោនេ M 1 (x 1, y 1, z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) បន្ទាត់ត្រង់ M 1 M 2 ឆ្លងកាត់ពួកវា អ្នកត្រូវទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់នេះ។

យើងមានសមីការ Canonical នៃទម្រង់ x − x 1 a x = y − y 1 a y = z − z 1 a z និងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃទម្រង់ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ អាចកំណត់បន្ទាត់ក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល O x y z ឆ្លងកាត់ចំនុចដែលមានកូអរដោណេ (x 1, y 1, z 1) ជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រដឹកនាំ a → = (a x, a y, a z) ។

ត្រង់ M 1 M 2 មានវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃទម្រង់ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) ដែលបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1 , y 1 , z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) ដូច្នេះ សមីការ Canonical អាចមានទម្រង់ x − x 1 x 2 – x 1 = y − y 1 y 2 – y 1 = z − z 1 z 2 - z 1 ឬ x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, នៅក្នុងវេន, ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x \u003d x 1 + (x 2 − x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 − y 1) λ z = z 1 + (z 2 − z 1) λ ឬ x = x 2 + (x 2 − x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ ។

ពិចារណាលើតួលេខដែលបង្ហាញ 2 ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ និងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ឧទាហរណ៍ 4

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានកំណត់ក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ O x y z នៃលំហបីវិមាត្រ ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងកូអរដោនេ M 1 (2, - 3, 0) និង M 2 (1, - 3, - 5 )

ដំណោះស្រាយ

យើងត្រូវស្វែងរកសមីការ Canonical ។ ដោយសារតែ យើងកំពុងនិយាយអំពីលំហបីវិមាត្រ ដែលមានន័យថានៅពេលដែលបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ សមីការ Canonical ដែលចង់បាននឹងយកទម្រង់ x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - z 1 z 2 − z 1 .

តាមលក្ខខណ្ឌ យើងមានថា x 1 = 2, y 1 = − 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = − 3, z 2 = − 5 ។ ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។ សមីការចាំបាច់នឹងត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

x − 2 1 − 2 = y − ( − 3 ) − 3 − ( − 3 ) = z − 0 − 5 − 0 ⇔ x − 2 − 1 = y + 3 0 = z − 5

ចម្លើយ៖ x − 2 − 1 = y + 3 0 = z − 5 ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter