मध्य कड़ी में समीकरणों का अध्ययन हल के परिचय से शुरू होता है रेखीय समीकरणऔर समीकरण रैखिक वाले को कम करते हैं।

परिभाषा के सामान्य क्षेत्र में माने गए दो कार्यों की समानता को समीकरण कहा जाता है। समीकरण में शामिल चरों को निरूपित किया जाता है लैटिन अक्षरों के साथ x, y, z, t ... सामान्य रूप में एक चर x वाला एक समीकरण निम्नानुसार लिखा जाता है f (x) \u003d g (x)।

चर का कोई भी मान, जिसमें व्यंजक f(x) और g(x) समान संख्यात्मक मान लेते हैं, समीकरण का मूल कहलाता है।

किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी मूल ज्ञात करना या यह सिद्ध करना कि कोई भी नहीं है।

उदाहरण के लिए, समीकरण 3+x=7 का एक ही मूल 4 है, क्योंकि इसके साथ और केवल चर 3+x=7 के इस मान के साथ, समानता सत्य है।

समीकरण (x-1)(x-2)=0 के 2 मूल 1 और 2 हैं।

समीकरण x 2 +1=0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है, क्योंकि दो का योग है सकारात्मक संख्या 0 के बराबर नहीं है।

एक चर के साथ किसी भी समीकरण को हल करने के लिए, छात्र को पता होना चाहिए: सबसे पहले, इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए नियम, सूत्र या एल्गोरिदम और दूसरा, समान प्रदर्शन करने के नियम और समकक्ष परिवर्तन, जिसकी सहायता से इस समीकरण को सरलतम तक घटाया जा सकता है।

इस प्रकार, प्रत्येक समीकरण के हल में दो मुख्य भाग होते हैं:

1. परिवर्तनों दिया गया समीकरणसबसे सरल करने के लिए
2. ज्ञात नियमों, सूत्रों या एल्गोरिदम के अनुसार सरलतम समीकरणों को हल करना।

यदि दूसरा भाग एल्गोरिथम है, तो पहला भाग काफी हद तक अनुमानी है, जो छात्रों के लिए सबसे कठिन है। समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में, वे इसे एक सरल से बदलने की कोशिश करते हैं, इसलिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि यह किन परिवर्तनों के साथ संभव है। यहां तुल्यता की अवधारणा को बच्चे के लिए सुलभ रूप में देना आवश्यक है।

जिन समीकरणों के मूल समान होते हैं उन्हें तुल्य कहते हैं। समीकरणों को भी समतुल्य माना जाता है, जिनमें से प्रत्येक की कोई जड़ नहीं होती है।

उदाहरण के लिए, समीकरण x+2=5 और x+5=8 समतुल्य हैं, क्योंकि उनमें से प्रत्येक का एक ही मूल है - संख्या 3. समीकरण x 2 +1=0 और 2x 2 +5=0 भी समतुल्य हैं - उनमें से किसी की भी जड़ें नहीं हैं।

समीकरण x-5=1 और x2=36 समतुल्य नहीं हैं, क्योंकि पहले वाले का केवल एक मूल x=6 है, जबकि बाद वाले के दो मूल 6 और -6 हैं।

समतुल्य परिवर्तनों में शामिल हैं:

1) यदि हम समीकरण के दोनों भागों में एक ही संख्या या एक ही पूर्ण बीजीय व्यंजक जिसमें अज्ञात हो, जोड़ दें, तो नया समीकरण दिए गए समीकरण के तुल्य होगा।

2) यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो दिए गए के बराबर एक समीकरण प्राप्त होगा।

उदाहरण के लिए, समीकरण समीकरण x 2 - 1 = 6x . के बराबर है

3) यदि समीकरण में कोष्ठकों का विस्तार करना है और लाना है समान शब्द, तो हमें दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण मिलता है।

समीकरणों को हल करना सीखना सबसे सरल रैखिक समीकरणों और समीकरणों से शुरू होता है जो उन्हें कम करते हैं। एक रैखिक समीकरण की परिभाषा दी गई है और जिन मामलों में इसका एक समाधान है, उन पर विचार किया जाता है; कोई समाधान नहीं है और है अनंत समुच्चयसमाधान।

एक चर x के साथ एक रैखिक समीकरण कुल्हाड़ी \u003d b के रूप का एक समीकरण है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, a को चर का गुणांक कहा जाता है, b एक मुक्त सदस्य है।

एक रैखिक समीकरण के लिए ax = b को अवसर पर प्रस्तुत किया जा सकता है:

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप कई समीकरण रैखिक में कम हो जाते हैं।

तो ग्रेड 7 में, आप निम्नलिखित समीकरण लागू कर सकते हैं:

1)

यह समीकरण एक रैखिक समीकरण में कम हो जाता है।

दोनों भागों को 12 (सबसे कम आम भाजक 3, 4, 6, 12) से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

8 + 3x + 2 - 2x = 5x -12,

8 + 2 + 12 = 5x - 3x + 2x,

उत्तर: 5.5.

2) आइए दिखाते हैं कि समीकरण 2 (x + 1) - 1 = 3 - (1 - 2x) का कोई मूल नहीं है।

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल कीजिए:

2x + 2 - 1 = 3 - 1 + 2x,

2x + 1 = 2 + 2x,

2x - 2x \u003d 2 - 1,

इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि 0 x की बाईं ओर किसी भी x के लिए 0 है, और इसलिए 1 के बराबर नहीं है।

3) आइए दिखाते हैं कि समीकरण 3(1 - x) + 2 = 5 - 3x के अनंत मूल हैं।

"दो चर वाले रैखिक समीकरण" विषय को पढ़ते समय, आप छात्रों को समीकरण को हल करने के लिए एक ग्राफिकल तरीका प्रदान कर सकते हैं। यह विधि समीकरण में शामिल कार्यों के ग्राफ़ के उपयोग पर आधारित है। विधि का सार: समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों पर कार्यों के रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के एब्सिसास को खोजने के लिए। निम्नलिखित चरणों के आधार पर:

1) मूल समीकरण को f(x) = g(x) के रूप में परिवर्तित करें, जहाँ f(x) और g(x) फलन हैं, ग्राफ़ बनाए जा सकते हैं।
2) फलन f(x) और g(x) के आलेखों की रचना कीजिए
3) निर्मित ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें।
4) पाए गए बिंदुओं के भुज ज्ञात कीजिए। वे मूल समीकरण के समाधान का एक सेट देंगे।
5) उत्तर लिखिए।

फ़ायदा यह विधियह है कि यह समीकरण की जड़ों की संख्या निर्धारित करना आसान बनाता है। नुकसान यह है कि जड़ें आमतौर पर लगभग निर्धारित की जाती हैं।

रैखिक समीकरणों के अध्ययन में अगला चरण मॉड्यूल के साथ समीकरण हैं, और कुछ समाधान कई तरीकों से किए जाते हैं।

मापांक के चिह्न और मापदंडों के साथ समीकरणों को हल करना अनुसंधान के करीब एक गतिविधि कहा जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि समाधान विधि का चुनाव, समाधान प्रक्रिया, उत्तर की रिकॉर्डिंग एक निश्चित स्तर के कौशल के गठन, तुलना, विश्लेषण, आगे रखने और एक परिकल्पना का परीक्षण करने, प्राप्त परिणामों को सामान्य बनाने के लिए निर्धारित करती है। .

मापांक चिह्न वाले समीकरण विशेष रुचि के होते हैं।

संख्या a के मापांक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

संख्या -a ऋणात्मक हो सकती है यदि a>0; -a के लिए सकारात्मक<0. из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Оно же показывает, как избавиться от модуля в алгебраических выражениях.

इसलिए, x=5 या x=-5.

समीकरण पर विचार करें।

समीकरण को हल करने के दो तरीके हैं।

1 रास्ता। किसी संख्या के मापांक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

इसलिए x - 3 = 7 या -x + 3 = 7,

एक्स = 10 या एक्स = -4।

उत्तर: 10; -4.

2 रास्ता - ग्राफिक। समीकरण को दो समीकरणों की प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है:

हम कार्यों के रेखांकन का निर्माण करते हैं और .

इन रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज समीकरण का समाधान हैं।

उत्तर - 4; दस।

एक से अधिक मॉड्यूल वाले समीकरण को हल करें

आइए निम्नलिखित एल्गोरिथम का उपयोग करें।

1. सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन के सभी शून्य को अंतराल में विभाजित संख्या रेखा पर चिह्नित करें, जिस पर सभी सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन का एक निरंतर चिन्ह होता है।
2. प्रत्येक अंतराल से, एक मनमाना संख्या लें और सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति के संकेत को गिनकर निर्धारित करें, मॉड्यूल खोलें।
3. समीकरण को हल करें और एक समाधान चुनें जो दिए गए अंतराल से संबंधित हो।

इसलिए, सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन x = -1 और x = -3 पर गायब हो जाते हैं।

मैं अंतराल। चलो x < - 3, फिर इस अंतराल पर , और समीकरण रूप ले लेगा

- एक्स - 1 - एक्स - 3 \u003d 4,

और इसलिए समीकरण की जड़ है।

द्वितीय अंतराल। चलो -3< х < -1, тогда , हमें समीकरण -x - 1 + x + 3 = 4 मिलता है,

अत: अंतराल (-3; -1) पर समीकरण का कोई मूल नहीं है।

तृतीय अंतराल। चलो x > -1 तब

एक्स + 1 + एक्स + 3 = 4,

हम देखते हैं कि संख्या 0 अंतराल से संबंधित है। तो जड़ है। तो समीकरण इसकी दो जड़ें हैं: 0 और -4।

पर सरल उदाहरणमापदंडों के साथ समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म पर विचार करें: क्षेत्र अनुमत मान, परिभाषा का क्षेत्र, सामान्य समाधान, मापदंडों के नियंत्रण मूल्य, विशेष समीकरणों के प्रकार। उन्हें खोजने के तरीके प्रत्येक प्रकार के समीकरणों में अलग-अलग स्थापित किए जाएंगे।

शुरू की गई अवधारणाओं के आधार पर, हम किसी भी समीकरण F(a;x)=0 को पैरामीटर a के साथ हल करने के लिए सामान्य योजना को परिभाषित करते हैं (दो मापदंडों के मामले में, योजना समान है):

• पैरामीटर के स्वीकार्य मूल्यों का क्षेत्र और परिभाषा का क्षेत्र निर्धारित है;
• नियंत्रण पैरामीटर मान, विशेष समीकरणों की एकरूपता के क्षेत्रों में पैरामीटर के स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र को विभाजित करना;
• पैरामीटर के नियंत्रण मूल्यों के लिए, संबंधित आंशिक समीकरणों का अलग से अध्ययन किया जाता है;
• समीकरण F(a;x)=0 के सामान्य समाधान x=f 1 (a),…, f k (a) पैरामीटर मानों के संगत सेट А f1,…, fk पर पाए जाते हैं;
• सामान्य समाधान का एक मॉडल, पैरामीटर के नियंत्रण मूल्यों को संकलित किया जाता है;
• उसी के साथ पैरामीटर मानों का अंतराल सामान्य समाधान(एकरूपता के क्षेत्र);
• पैरामीटर के नियंत्रण मूल्यों और एकरूपता के चयनित क्षेत्रों के लिए, सभी प्रकार के आंशिक समीकरणों की विशेषताएं लिखी जाती हैं
• विशेष स्थानबीजगणित में मापदंडों के साथ रैखिक समीकरणों को सौंपा गया है।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

1.	2x - 3 \u003d एम + 1, 2x - 3 \u003d + 4 मीटर + 1,	जहाँ m एक अज्ञात पैरामीटर है। समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं
	6x - 9 \u003d m x + 12m +3, 6x - एम एक्स + 12 एम + 12,	चलो निकालते हैं सामान्य अवयवकोष्ठक, हमें मिलता है
	एक्स (6-एम) = 12(एम+1), , 6 - मी? 0, मी? 6.	क्योंकि यह एक भिन्न के हर में है।
उत्तर: , एम 6 के लिए।

समीकरण 2x - 3 + m (x / 3 + 4) + 1 के कई हल हैं, सूत्र द्वारा दिया गया 6 को छोड़कर m के सभी मानों के लिए

2. , एम 2, एक्स 1, एन 0 के लिए।

एमएक्स - एन = 2x - 2 + 2n + 3xn,

एमएक्स - 2x - 3xn = - 2 + 2n + n,

एमएक्स - 2x - 3xn = 3n - 2,

x (m - 2 - 3n) = 3n - 2, m 2, x 1, n 0 के साथ।

उस स्थिति पर विचार करें जहां a = 0, तब

एम - 2 - 3एन = 0,

एम = 3एन +2, एन 0 . के लिए

0 एक्स \u003d 3n - 2,

क) 3एन - 2 = 0,

एक्स(4 - 2 - 3) = 3 - 2,

x = 1 को छोड़कर कोई भी संख्या है।

0 एक्स = बी। इस मामले में, समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

एम - 2 - 3एन 0

एक्स =, जब एक्स? एक,

3एन - 2मी - 2 - 3एन,

3एन + 3एन 2 - 2 + मी,

इस मामले में, समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

इसलिए, n = और m = 4 के लिए, x 1 को छोड़कर कोई भी संख्या है; n = 0, m = 6n . के लिए

(एन), एम \u003d 3n + 2 (एन), एम \u003d 2, समीकरण का कोई समाधान नहीं है। अन्य सभी पैरामीटर मानों के लिए x = .

उत्तर: 1. एन =, एम = 4 - एक्स? आर\।

2. n \u003d 0, m \u003d 6n (n), m \u003d 3n + 2 (n), m \u003d 2 - कोई समाधान नहीं हैं।

3. एन 0, एम 6एन, एम 3एन + 2, एम 2 - एक्स =।

भविष्य में, रैखिक समीकरणों को संकलित करने की विधि द्वारा समस्याओं के समाधान पर विचार करने का प्रस्ताव है। ये है कठिन प्रक्रियाजहां आपको वास्तविक सामग्री को अच्छी तरह से सोचने, अनुमान लगाने, जानने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

प्रत्येक समस्या को हल करने की प्रक्रिया में, चार चरणों को स्पष्ट रूप से चिह्नित किया जाना चाहिए:

1. समस्या की स्थिति का अध्ययन करना;
2. एक समाधान योजना और उसकी तैयारी की खोज;
3. पाए गए समाधान का निष्पादन;
4. जटिल अन्वेषणनिर्णय परिणाम।

अब उन समस्याओं पर विचार करें जिनके समाधान में रैखिक समीकरणों का उपयोग किया जाता है।

1. तांबे और जस्ता के मिश्र धातु में जस्ता की तुलना में 640 ग्राम अधिक तांबा होता है। इसमें निहित तांबे के 6/7 और मिश्र धातु से 60% जस्ता अलग होने के बाद, मिश्र धातु का द्रव्यमान 200 ग्राम हो गया। मिश्र धातु का द्रव्यमान शुरू में क्या था?

मान लीजिए मिश्र धातु में x g जस्ता है, तो तांबा (640 + x) g है। 0.4 भाग। यह जानते हुए कि मिश्र धातु का द्रव्यमान 200 ग्राम के बराबर निकला, हम एक समीकरण बनाते हैं।

1/7 (x + 640) + 0.4 x \u003d 200,

एक्स + 640 + 2.8 एक्स \u003d 1400,

3.8x \u003d 1400 - 640,

तो, जस्ता 200 ग्राम और तांबा 840 ग्राम था।

(200 + 640 = 840)। 1) 200 + 840 = 1040 (छ) - मिश्रधातु का भार। उत्तर मिश्र धातु का प्रारंभिक द्रव्यमान 1040 ग्राम है।

2. 40% घोल प्राप्त करने के लिए 10 लीटर 30% एसिड में कितने लीटर 60% सल्फ्यूरिक एसिड मिलाया जाना चाहिए?

मान लीजिए 60% अम्ल के लीटर की संख्या, जिसे हम x l मिलाते हैं, तो विलयन शुद्ध अम्लएल होगा। और शुद्ध एसिड के 30% घोल के 10 लीटर में एल होगा। यह जानते हुए कि परिणामी (10 + x) मिश्रण में एक शुद्ध अम्ल l होगा, हम एक समीकरण बनाते हैं।

60x + 300 = 40x + 400,

60x - 40x \u003d 400 - 300,

तो, आपको 5 लीटर 60% एसिड जोड़ने की जरूरत है।

उत्तर: 5 लीटर।

"रैखिक समीकरणों का समाधान" विषय का अध्ययन करते समय, कुछ ऐतिहासिक पृष्ठभूमि की सिफारिश की जाती है।

पहली डिग्री के समीकरणों को हल करने की समस्याएं बेबीलोन के क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में पाई जाती हैं। उनके पास कुछ समस्याएं भी हैं जो द्विघात और यहां तक ​​​​कि घन समीकरणों की ओर ले जाती हैं (बाद वाले, जाहिरा तौर पर, जड़ों के चयन का उपयोग करके हल किए गए थे)। प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाए गए ज्यामितीय आकारद्विघात समीकरण का हल। ज्यामितीय रूप में, अरब गणितज्ञ उमर खय्याम (11वीं के अंत - 12वीं शताब्दी ईस्वी की शुरुआत) ने घन समीकरण का अध्ययन किया, हालांकि उन्होंने नहीं पाया सामान्य सूत्रइसे हल करने के लिए। फेसला घन समीकरण 16वीं शताब्दी की शुरुआत में इटली में पाया गया था। सिपियन डेल फेरो के निर्णय के बाद एक निजी दृश्य 1535 में इस तरह के समीकरण, इतालवी टार्टाग्लिया ने एक सामान्य सूत्र पाया। उन्होंने सिद्ध किया कि समीकरण x 3 + px + q = 0 के मूलों का रूप x = . है .

इस अभिव्यक्ति को आमतौर पर कार्डानो का सूत्र कहा जाता है, वैज्ञानिक ने इसे टार्टाग्लिया से सीखा और इसे 1545 में अपनी पुस्तक द ग्रेट आर्ट ऑफ अलजेब्रिक रूल्स में प्रकाशित किया। कार्डानो के एक छात्र, एक युवा गणितज्ञ फेरारी, ने चौथी डिग्री के सामान्य समीकरण को हल किया। उसके बाद ढाई शताब्दियों तक पाँचवीं डिग्री के समीकरणों को हल करने के सूत्र की खोज जारी रही। 1823 में, उल्लेखनीय नॉर्वेजियन गणितज्ञ नील्स हेंड्रिक एबेल (1802-1829) ने साबित किया कि ऐसा कोई सूत्र नहीं था। अधिक सटीक रूप से, उन्होंने साबित कर दिया कि जड़ें सामान्य समीकरणपांचवीं डिग्री को अंकगणित और जड़ निष्कर्षण संचालन का उपयोग करके इसके गुणांक के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। कट्टरपंथियों में समीकरणों की सॉल्वेबिलिटी के लिए शर्तों के प्रश्न का गहन अध्ययन फ्रांसीसी गणितज्ञ एवरिस्टे गैलोइस (1811-1832) द्वारा किया गया था, जिनकी 21 वर्ष की आयु में एक द्वंद्वयुद्ध में मृत्यु हो गई थी। गैलोइस सिद्धांत की कुछ समस्याओं को सोवियत बीजगणित आई.टी. शफारेविच द्वारा हल किया गया था।

पांचवीं डिग्री के समीकरण को हल करने के लिए एक सूत्र की खोज के साथ-साथ बीजीय समीकरणों के सिद्धांत के क्षेत्र में अन्य अध्ययन भी किए गए। विएटा ने समीकरणों के गुणांकों और इसकी जड़ों के बीच एक संबंध स्थापित किया। उन्होंने साबित किया कि यदि x 1,…,x n समीकरण x n + a 1 x n-1 +…+a n =0 के मूल हैं, तो सूत्र होते हैं:

एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन \u003d -ए,
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n-1 x n =a 2
……………………………
एक्स 1 एक्स 2 … एक्स एन = (-1) एन डी एन।

साहित्य:

1. जर्नल "स्कूल में गणित" 6, 1999
2. "सितंबर का पहला" समाचार पत्र का पूरक - गणित 20, 1999।
3. एस.आई. तुमानोव "बीजगणित", ग्रेड 6-8 में छात्रों के लिए एक मैनुअल।
4. एन.आई. अलेक्जेंड्रोव; I. P. Yarandai "गणित पर शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक"।
5. के विषय में। एपिशेव; में और। क्रुपिच "स्कूली बच्चों को गणित सीखना सिखाना"।
6. E.I.Yamshchenko "कार्यों का अध्ययन"।
7. ए.आई. खुदोबिन; एम.एफ. Shurshalov "बीजगणित और प्राथमिक कार्यों में समस्याओं का संग्रह"।
8. श्री ए अलीमोव, वी.ए. इलिन "बीजगणित ग्रेड 6-8"।

1. सामान्य प्रावधान

1.1. बनाए रखने के लिए व्यावसायिक प्रतिष्ठाऔर संघीय कानून FGAU GNII ITT "Informika" (इसके बाद कंपनी के रूप में संदर्भित) के मानदंडों का अनुपालन सुनिश्चित करने पर विचार करता है सबसे महत्वपूर्ण कार्यकंपनी की व्यावसायिक प्रक्रियाओं में विषयों के व्यक्तिगत डेटा के प्रसंस्करण और सुरक्षा की वैधता सुनिश्चित करना।

1.2. इस समस्या को हल करने के लिए, कंपनी ने व्यक्तिगत डेटा सुरक्षा प्रणाली की शुरुआत, संचालन और आवधिक समीक्षा (नियंत्रण) की है।

1.3. कंपनी में व्यक्तिगत डेटा का प्रसंस्करण निम्नलिखित सिद्धांतों पर आधारित है:

व्यक्तिगत डेटा और सद्भावना को संसाधित करने के उद्देश्यों और विधियों की वैधता;

व्यक्तिगत डेटा के संग्रह के दौरान पूर्व निर्धारित और घोषित उद्देश्यों के साथ-साथ कंपनी की शक्तियों के साथ व्यक्तिगत डेटा को संसाधित करने के उद्देश्यों का अनुपालन;

संसाधित व्यक्तिगत डेटा की मात्रा और प्रकृति का अनुपालन, व्यक्तिगत डेटा को संसाधित करने के उद्देश्य से व्यक्तिगत डेटा को संसाधित करने के तरीके;

व्यक्तिगत डेटा की विश्वसनीयता, प्रसंस्करण के उद्देश्यों के लिए उनकी प्रासंगिकता और पर्याप्तता, व्यक्तिगत डेटा एकत्र करने के उद्देश्यों के संबंध में अत्यधिक प्रसंस्करण की अक्षमता;

व्यक्तिगत डेटा की सुरक्षा सुनिश्चित करने के लिए संगठनात्मक और तकनीकी उपायों की वैधता;

प्रसंस्करण के दौरान व्यक्तिगत डेटा की सुरक्षा सुनिश्चित करने के क्षेत्र में कंपनी के कर्मचारियों के ज्ञान के स्तर में निरंतर सुधार;

व्यक्तिगत डेटा सुरक्षा प्रणाली के निरंतर सुधार के लिए प्रयास करना।

2. व्यक्तिगत डेटा प्रोसेसिंग के उद्देश्य

2.1. व्यक्तिगत डेटा प्रोसेसिंग के सिद्धांतों के अनुसार, कंपनी प्रसंस्करण की संरचना और उद्देश्यों को परिभाषित करती है।

व्यक्तिगत डेटा प्रोसेसिंग के उद्देश्य:

निष्कर्ष, रखरखाव, परिवर्तन, समाप्ति रोजगार संपर्क, जो कंपनी और उसके कर्मचारियों के बीच श्रम संबंधों के उद्भव या समाप्ति का आधार हैं;

एक पोर्टल, सेवाओं का प्रावधान व्यक्तिगत खाताछात्रों, अभिभावकों और शिक्षकों के लिए;

सीखने के परिणामों का भंडारण;

संघीय कानून और अन्य नियामक कानूनी कृत्यों द्वारा निर्धारित दायित्वों की पूर्ति;

3. व्यक्तिगत डेटा के प्रसंस्करण के नियम

3.1. कंपनी केवल उन व्यक्तिगत डेटा को संसाधित करती है जो FSAI GNII ITT "Informika" में संसाधित व्यक्तिगत डेटा की अनुमोदित सूची में प्रस्तुत किए जाते हैं।

3.2. कंपनी व्यक्तिगत डेटा की निम्नलिखित श्रेणियों के प्रसंस्करण की अनुमति नहीं देती है:

जाति;

राजनीतिक दृष्टिकोण;

दार्शनिक विश्वास;

स्वास्थ्य की स्थिति के बारे में;

राज्य अंतरंग जीवन;

राष्ट्रीयता;

धार्मिक विश्वास।

3.3. कंपनी बायोमेट्रिक व्यक्तिगत डेटा (ऐसी जानकारी जो किसी व्यक्ति की शारीरिक और जैविक विशेषताओं की विशेषता है, जिसके आधार पर उसकी पहचान स्थापित करना संभव है) को संसाधित नहीं करती है।

3.4. कंपनी नहीं सीमा पार संचरणव्यक्तिगत डेटा (क्षेत्र में व्यक्तिगत डेटा का स्थानांतरण विदेशी राज्यएक विदेशी राज्य का अधिकार, विदेशी एक व्यक्ति कोया विदेशी कानूनी इकाई)।

3.5. कंपनी पूरी तरह से अपने व्यक्तिगत डेटा के स्वचालित प्रसंस्करण के आधार पर व्यक्तिगत डेटा विषयों के संबंध में निर्णय लेने पर रोक लगाती है।

3.6. कंपनी विषयों के आपराधिक रिकॉर्ड पर डेटा संसाधित नहीं करती है।

3.7. कंपनी विषय के व्यक्तिगत डेटा को उसकी पूर्व सहमति के बिना सार्वजनिक स्रोतों में नहीं रखती है।

4. व्यक्तिगत डेटा की सुरक्षा सुनिश्चित करने के लिए लागू आवश्यकताएं

4.1. उनके प्रसंस्करण के दौरान व्यक्तिगत डेटा की सुरक्षा सुनिश्चित करने के लिए, कंपनी निम्नलिखित की आवश्यकताओं को लागू करती है: नियामक दस्तावेजव्यक्तिगत डेटा की सुरक्षा और प्रसंस्करण के क्षेत्र में रूसी संघ:

संघीय कानूनदिनांक 27 जुलाई, 2006 संख्या 152-FZ "व्यक्तिगत डेटा पर";

सरकारी फरमान रूसी संघदिनांक 1 नवंबर, 2012 एन 1119 "में उनके प्रसंस्करण के दौरान व्यक्तिगत डेटा की सुरक्षा के लिए आवश्यकताओं के अनुमोदन पर सूचना प्रणालियोंव्यक्तिगत डेटा";

15 सितंबर, 2008 संख्या 687 के रूसी संघ की सरकार का फरमान "स्वचालन उपकरणों के उपयोग के बिना किए गए व्यक्तिगत डेटा के प्रसंस्करण की बारीकियों पर विनियमों के अनुमोदन पर";

रूस के FSTEC का आदेश दिनांक 18 फरवरी, 2013 N 21 "व्यक्तिगत डेटा सूचना प्रणालियों में उनके प्रसंस्करण के दौरान व्यक्तिगत डेटा की सुरक्षा सुनिश्चित करने के लिए संगठनात्मक और तकनीकी उपायों की संरचना और सामग्री के अनुमोदन पर";

व्यक्तिगत डेटा सूचना प्रणालियों में उनके प्रसंस्करण के दौरान व्यक्तिगत डेटा सुरक्षा खतरों का मूल मॉडल (15 फरवरी, 2008 को रूस के FSTEC के उप निदेशक द्वारा अनुमोदित);

व्यक्तिगत डेटा सूचना प्रणालियों में उनके प्रसंस्करण के दौरान व्यक्तिगत डेटा की सुरक्षा के लिए वास्तविक खतरों का निर्धारण करने के लिए कार्यप्रणाली (14 फरवरी, 2008 को रूस के FSTEC के उप निदेशक द्वारा अनुमोदित)।

4.2. कंपनी व्यक्तिगत डेटा विषयों को होने वाले नुकसान का आकलन करती है और व्यक्तिगत डेटा की सुरक्षा के लिए खतरों का निर्धारण करती है। पहचाने गए वास्तविक खतरों के अनुसार, कंपनी आवश्यक और पर्याप्त संगठनात्मक और तकनीकी उपाय करती है, जिसमें सूचना सुरक्षा उपकरणों का उपयोग, अनधिकृत पहुंच का पता लगाना, व्यक्तिगत डेटा की वसूली, व्यक्तिगत डेटा तक पहुंच के नियमों की स्थापना, साथ ही साथ किए गए उपायों की प्रभावशीलता की निगरानी और मूल्यांकन।

4.3. कंपनी ने प्रसंस्करण के आयोजन और व्यक्तिगत डेटा की सुरक्षा सुनिश्चित करने के लिए जिम्मेदार व्यक्तियों को नियुक्त किया है।

4.4. कंपनी का प्रबंधन आवश्यकता के बारे में जानता है और यह सुनिश्चित करने में रुचि रखता है कि दोनों रूसी संघ के नियामक दस्तावेजों की आवश्यकताओं के संदर्भ में, और व्यापार के लिए जोखिम मूल्यांकन के संदर्भ में उचित है, व्यक्तिगत डेटा की सुरक्षा के स्तर को भाग के रूप में संसाधित किया जाता है कंपनी के मुख्य व्यवसाय के बारे में।

समीकरणों को हल करते समय, इसे सरल बनाने के लिए, हम प्रदर्शन करते हैं समान परिवर्तनभाव। एक चर वाले समीकरणों में, कभी-कभी किसी समीकरण के हल को एक चर वाले तुल्य रैखिक समीकरण के हल में घटाया जा सकता है।

आइए उदाहरण देखें। समीकरण हल करें (2x+1)(3x-2)-6x(x+4)=67-2x। समीकरण के बाईं ओर, बहुपद 2x+1 को बहुपद 3x-2 से और एकपदी 6x को बहुपद x+4 से गुणा करें। बहुपद 2x + 1 को बहुपद 3x-2 से गुणा करने पर हमें बहुपद 6x ​​2 + 3x-4x-2 प्राप्त होता है, और बहुपद 6x ​​को बहुपद x + 4 से गुणा करने पर हमें बहुपद 6x ​​2 + 24x प्राप्त होता है। हमारा समीकरण रूप लेगा (6x 2 + 3x-4x-2) - (6x 2 + 24x) \u003d 67-2x। उसके बाद, हम कोष्ठक खोलते हैं और 6x 2 + 3x-4x-2-6x 2 -24x \u003d 67-2x प्राप्त करते हैं। हम अज्ञात के साथ शर्तों को बाईं ओर ले जाते हैं, और अज्ञात के बिना - दाईं ओर। नया समतुल्य समीकरण इस तरह दिखता है: 6x 2 -6x 2 +3x-4x+2x-24x=67+2। हम ऐसे ही पेश करते हैं। हमें -23x=69 मिलता है। समीकरण के दोनों पक्षों को -23 से विभाजित करें। हमें x=-3 प्राप्त होता है। हमने क्रमिक रूप से समीकरणों को समतुल्य वाले समीकरणों से बदल दिया। तो मूल समीकरण समीकरण -23x=69 के बराबर है और इसका एक ही मूल है - संख्या -3।

दूसरा उदाहरण। आइए समीकरण (x+2)/3-(3x-1)/4=-2 हल करें। इस समीकरण के बाईं ओर भिन्न (x+2)/3 और (3x-1)/4 हैं। समीकरण के दोनों पक्षों को सबसे छोटे से गुणा करें आम विभाजकइन भिन्नों में से - संख्या 12. [(x+2)/3-(3x-1)4].12=-2.12. आइए कोष्ठकों को खोलें और प्रत्येक भिन्न को 12 से गुणा करें। हमें (x+2)12/3-(3x-1)12/4+-24 प्राप्त होता है। पहले भिन्न में 12 और 3 घटाया जाएगा, और दूसरे में, 12 और 4। कमी के बाद, हमारा समीकरण 4 (x + 2) -3 (3x-1) \u003d -24 हो जाएगा। इस प्रकार, हमें भाजक से छुटकारा मिल गया। कोष्ठक खोलने के बाद, हमें 4x + 8-9x + 3 \u003d -24 मिलता है। वह सब कुछ जिसमें एक चर होता है, बाईं ओर ले जाया जाता है, और वह सब कुछ जिसमें एक चर नहीं होता है, दाईं ओर ले जाया जाता है। समीकरण 4x-9x=-24-8-3 हो जाता है। हम समान देते हैं और -5x \u003d -35 प्राप्त करते हैं। समीकरण के दोनों पक्षों को -5 से विभाजित करें और यह पता चलता है कि x=7. समीकरण को चरण दर चरण समतुल्य पैरामीटर से बदलने पर, हमने एक रैखिक समीकरण -5x=-35 प्राप्त किया है, जो दिए गए के बराबर है। इस रैखिक समीकरण का एक ही मूल है - संख्या 7।

विचार किए गए उदाहरणों में, मूल समीकरण के समाधान को ax=b रूप के एक रैखिक समीकरण के समाधान में घटा दिया गया था, जिसमें गुणांक a 0 के बराबर नहीं है।

हालाँकि, यह भी हो सकता है कि एक समीकरण को उसके समकक्ष दूसरे समीकरण से बदलकर, हम 0x=b के रूप का एक रैखिक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं, जहाँ b 0 या 0x=0 के बराबर नहीं है। पहले मामले में, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मूल समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि समीकरण के बाईं ओर 0 है, और संख्या दाईं ओर 0 के बराबर नहीं है। दूसरे मामले में, समीकरण है असीमित संख्याजड़ें, क्योंकि समीकरण का बायां पक्ष हमेशा 0 होगा, और दायां पक्ष भी 0 होगा। चर के मूल्य की परवाह किए बिना समानता हमेशा सत्य होगी।

उदाहरण तीन। आइए समीकरण (2x-7)/2-(4x-1)/4=0 हल करें। फिर से, हमारे समीकरण में भिन्न होते हैं, इसलिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को कम से कम सामान्य भाजक से गुणा करते हैं। यह संख्या 4 है। हमें [(2x-7)/2-(4x-1)/4].4=0.4 मिलता है। आइए कोष्ठक खोलें: 4(2x-7)/2-4(4x-1)/4=0. हम कारकों को कम करते हैं और समीकरण 2(2x-7)-(4x-1)=0 प्राप्त करते हैं। कोष्ठक फिर से खोलें: 4x-14-4x+1=0. आइए अज्ञात के साथ शब्दों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएं, और अज्ञात के बिना - दाईं ओर। समीकरण 4x-4x=14-1 का रूप लेगा। हम समान देते हैं और 0x \u003d 13 प्राप्त करते हैं। इस समीकरण का कोई मूल नहीं है क्योंकि x के किसी भी मान के लिए 0x, 0 के बराबर है। यह पता चला है कि एक्स के किसी भी मूल्य के लिए समानता कभी हासिल नहीं की जाएगी। इसका मतलब है कि इसके बराबर मूल समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

उदाहरण चार। समीकरण (5x-1)-2(3x-6)=11-x को हल करें। आइए कोष्ठक खोलें: 5x-1-6x+12=11-x। आइए x वाले पदों को बाईं ओर ले जाएं, और जिनमें x - to . नहीं है दाईं ओरसमीकरण हमें 5x-6x+x=111+1-12 प्राप्त होता है। आइए समान देते हैं: 0x = 0। यह समीकरण 0x=0, और इसलिए तुल्य मूल समीकरण के मूलों की संख्या अनंत है। चूँकि 0 को किसी भी संख्या से गुणा करने पर 0 के बराबर होता है, इसलिए x के किसी भी मान के लिए समानता होती है।

और इसी तरह, अन्य प्रकार के समीकरणों से परिचित होना तर्कसंगत है। अगली पंक्ति में हैं रेखीय समीकरण, जिसका उद्देश्यपूर्ण अध्ययन कक्षा 7 में बीजगणित के पाठों में शुरू होता है।

यह स्पष्ट है कि पहले आपको यह समझाने की आवश्यकता है कि एक रैखिक समीकरण क्या है, एक रैखिक समीकरण की परिभाषा दें, इसके गुणांक, इसे दिखाएं सामान्य फ़ॉर्म. फिर आप यह पता लगा सकते हैं कि गुणांक के मूल्यों के आधार पर एक रैखिक समीकरण के कितने समाधान हैं, और जड़ें कैसे पाई जाती हैं। यह आपको उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ने की अनुमति देगा, और इस तरह अध्ययन किए गए सिद्धांत को मजबूत करेगा। इस लेख में हम यह करेंगे: हम रैखिक समीकरणों और उनके समाधान के संबंध में सभी सैद्धांतिक और व्यावहारिक बिंदुओं पर विस्तार से ध्यान देंगे।

आइए तुरंत कहें कि यहां हम केवल एक चर के साथ रैखिक समीकरणों पर विचार करेंगे, और एक अलग लेख में हम हल करने के सिद्धांतों का अध्ययन करेंगे दो चरों में रैखिक समीकरण.

पृष्ठ नेविगेशन।

एक रैखिक समीकरण क्या है?

एक रैखिक समीकरण की परिभाषा इसके संकेतन के रूप में दी गई है। इसके अलावा, गणित और बीजगणित की विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में, रैखिक समीकरणों की परिभाषाओं के निर्माण में कुछ अंतर होते हैं जो मुद्दे के सार को प्रभावित नहीं करते हैं।

उदाहरण के लिए, यू.एन. मकारिचेवा और अन्य द्वारा ग्रेड 7 के लिए बीजगणित पाठ्यपुस्तक में, एक रैखिक समीकरण को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

परिभाषा।

समीकरण टाइप करें कुल्हाड़ी = बीजहाँ x एक चर है, a और b कुछ संख्याएँ हैं, कहलाती हैं एक चर के साथ रैखिक समीकरण.

आइए हम स्वरित परिभाषा के अनुरूप रैखिक समीकरणों के उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, 5 x=10 एक चर x वाला एक रैखिक समीकरण है, यहां गुणांक a 5 है, और संख्या b 10 है। एक अन्य उदाहरण: −2.3 y=0 भी एक रैखिक समीकरण है, लेकिन चर y के साथ, जहां a=−2.3 और b=0 । और रैखिक समीकरणों में x=−2 और −x=3.33 a स्पष्ट रूप से मौजूद नहीं हैं और क्रमशः 1 और −1 के बराबर हैं, जबकि पहले समीकरण b=−2 , और दूसरे में - b=3.33 ।

और एक साल पहले, एन। या। विलेनकिन द्वारा गणित की पाठ्यपुस्तक में, एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, एक एक्स = बी के रूप के समीकरणों के अलावा, ऐसे समीकरण भी माने जाते थे जिन्हें एक से शब्दों को स्थानांतरित करके इस रूप में कम किया जा सकता है। दूसरे के साथ समीकरण का हिस्सा विपरीत चिन्ह, साथ ही समान शर्तों को कम करके। इस परिभाषा के अनुसार, 5 x=2 x+6, आदि के रूप के समीकरण। रैखिक भी हैं।

बदले में, एजी मोर्दकोविच द्वारा 7 कक्षाओं के लिए बीजगणित पाठ्यपुस्तक में निम्नलिखित परिभाषा दी गई है:

परिभाषा।

एक चर x . के साथ रैखिक समीकरण a x+b=0 रूप का एक समीकरण है, जहां a और b कुछ संख्याएं हैं, जिन्हें रैखिक समीकरण के गुणांक कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, इस प्रकार के रैखिक समीकरण 2 x−12=0 हैं, यहां गुणांक a 2 के बराबर है, और b −12 के बराबर है, और 0.2 y+4.6=0 गुणांक a=0.2 और b =4.6 के साथ है। लेकिन साथ ही, ऐसे रैखिक समीकरणों के उदाहरण हैं जिनका रूप a x+b=0 नहीं है, लेकिन a x=b है, उदाहरण के लिए, 3 x=12 ।

आइए, ताकि भविष्य में हमारे पास कोई विसंगति न हो, एक चर x और गुणांक a और b के साथ एक रैखिक समीकरण के तहत हम फॉर्म के एक समीकरण को समझेंगे a x+b=0 । इस प्रकार का रैखिक समीकरण सबसे अधिक न्यायसंगत प्रतीत होता है, क्योंकि रैखिक समीकरण हैं बीजीय समीकरण प्रथम श्रेणी। और ऊपर बताए गए अन्य सभी समीकरण, साथ ही समीकरण जो कि x+b=0 के रूप में समतुल्य परिवर्तनों की सहायता से कम हो जाते हैं, कहलाएंगे रैखिक समीकरणों को कम करने वाले समीकरण. इस दृष्टिकोण के साथ, समीकरण 2 x+6=0 एक रैखिक समीकरण है, और 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, आदि। रैखिक समीकरण हैं।

रैखिक समीकरणों को कैसे हल करें?

अब यह पता लगाने का समय आ गया है कि रैखिक समीकरण a x+b=0 कैसे हल किए जाते हैं। दूसरे शब्दों में, यह पता लगाने का समय है कि क्या रैखिक समीकरण की जड़ें हैं, और यदि हां, तो कितनी और उन्हें कैसे खोजना है।

एक रैखिक समीकरण की जड़ों की उपस्थिति गुणांक a और b के मानों पर निर्भर करती है। इस मामले में, रैखिक समीकरण a x+b=0 है

• a≠0 पर एकमात्र जड़,
• a=0 और b≠0 के लिए कोई मूल नहीं है,
• a=0 और b=0 के लिए अपरिमित रूप से कई मूल हैं, इस स्थिति में कोई भी संख्या एक रैखिक समीकरण का मूल है।

आइए हम बताते हैं कि ये परिणाम कैसे प्राप्त हुए।

हम जानते हैं कि समीकरणों को हल करने के लिए, मूल समीकरण से समतुल्य समीकरणों में जाना संभव है, यानी समान जड़ों वाले समीकरणों में या मूल की तरह, बिना जड़ों के। ऐसा करने के लिए, आप निम्नलिखित समकक्ष परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं:

• समीकरण के एक भाग से दूसरे में विपरीत चिन्ह के साथ एक पद का स्थानांतरण,
• और समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित करना।

तो, एक के साथ एक रैखिक समीकरण में चर टाइप करें a x+b=0 हम विपरीत चिह्न के साथ शब्द b को बाईं ओर से दाईं ओर ले जा सकते हैं। इस मामले में, समीकरण एक x=−b रूप लेगा।

और फिर समीकरण के दोनों भागों को संख्या a से विभाजित करने से स्वयं पता चलता है। लेकिन एक बात है: संख्या ए शून्य के बराबर हो सकती है, ऐसी स्थिति में ऐसा विभाजन असंभव है। इस समस्या से निपटने के लिए, हम पहले यह मानेंगे कि संख्या a शून्य से भिन्न है, और स्थिति शून्य के बराबरक पर बाद में अलग से विचार किया जाएगा।

इसलिए, जब a शून्य के बराबर नहीं है, तो हम समीकरण के दोनों भागों a x=−b को a से विभाजित कर सकते हैं, उसके बाद इसे x=(−b) के रूप में परिवर्तित किया जाता है: a, यह परिणाम a का उपयोग करके लिखा जा सकता है ठोस रेखा के रूप में।

इस प्रकार, a≠0 के लिए, रैखिक समीकरण a·x+b=0 उस समीकरण के समतुल्य है, जिससे इसका मूल दिखाई देता है।

यह दिखाना आसान है कि यह मूल अद्वितीय है, यानी रैखिक समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं हैं। यह आपको विपरीत विधि करने की अनुमति देता है।

आइए मूल को x 1 के रूप में निरूपित करें। मान लीजिए कि रैखिक समीकरण का एक और मूल है, जिसे हम x 2 और x 2 x 1 निरूपित करते हैं, जिसके कारण परिभाषाएं समान संख्याअंतर के माध्यम सेस्थिति x 1 - x 2 ≠0 के समतुल्य है। चूँकि x 1 और x 2 रैखिक समीकरण a x+b=0 के मूल हैं, तो संख्यात्मक समानताएँ a x 1 +b=0 और a x 2 +b=0 होती हैं। हम इन समानताओं के संगत भागों को घटा सकते हैं, जो संख्यात्मक समानता के गुण हमें करने की अनुमति देते हैं, हमारे पास a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 है, जहां से a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 और फिर a (x 1 - x 2)=0 । और यह समानता असंभव है, क्योंकि a≠0 और x 1 - x 2 ≠0 दोनों। तो हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं, जो रैखिक समीकरण a·x+b=0 के लिए a≠0 के मूल की विशिष्टता को साबित करता है।

इसलिए हमने रैखिक समीकरण a x+b=0 को a≠0 के साथ हल किया है। इस उपधारा की शुरुआत में दिया गया पहला परिणाम उचित है। दो और हैं जो a=0 शर्त को पूरा करते हैं।

a=0 के लिए रैखिक समीकरण a·x+b=0 0·x+b=0 बन जाता है। इस समीकरण और संख्याओं को शून्य से गुणा करने के गुण से, यह इस प्रकार है कि चाहे हम किसी भी संख्या को x के रूप में लें, जब हम इसे समीकरण 0 x+b=0 में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें संख्यात्मक समानता b=0 प्राप्त होती है। यह समानता सत्य है जब b=0 , और अन्य मामलों में जब b≠0 यह समानता झूठी है।

इसलिए, a=0 और b=0 के साथ, कोई भी संख्या रैखिक समीकरण a x+b=0 का मूल है, क्योंकि इन शर्तों के तहत, x के बजाय किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करने से सही संख्यात्मक समानता 0=0 प्राप्त होती है। और a=0 और b≠0 के लिए, रैखिक समीकरण a x+b=0 की कोई जड़ नहीं है, क्योंकि इन शर्तों के तहत, x के बजाय किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करने से गलत होता है संख्यात्मक समानताबी = 0।

उपरोक्त औचित्य क्रियाओं का एक क्रम बनाना संभव बनाता है जो किसी भी रैखिक समीकरण को हल करने की अनुमति देता है। इसलिए, एक रैखिक समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्महै:

• सबसे पहले, एक रैखिक समीकरण लिखकर, हम गुणांक a और b के मान ज्ञात करते हैं।
• यदि a=0 और b=0 , तो इस समीकरण के अपरिमित रूप से कई मूल हैं, अर्थात् कोई भी संख्या इस रैखिक समीकरण का मूल है।
• यदि a शून्य से भिन्न है, तो
• गुणांक b को विपरीत चिह्न के साथ दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, जबकि रैखिक समीकरण a x=−b के रूप में परिवर्तित हो जाता है,
• जिसके बाद परिणामी समीकरण के दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित किया जाता है, जो मूल रैखिक समीकरण का वांछित मूल देता है।

लिखित एल्गोरिथम रैखिक समीकरणों को कैसे हल किया जाए, इस प्रश्न का एक विस्तृत उत्तर है।

इस अनुच्छेद के अंत में, यह कहने योग्य है कि एक समान एल्गोरिथ्म का उपयोग x = b के रूप के समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। इसका अंतर इस तथ्य में निहित है कि जब a≠0, समीकरण के दोनों भागों को तुरंत इस संख्या से विभाजित किया जाता है, यहाँ b पहले से ही समीकरण के वांछित भाग में है और इसे स्थानांतरित करने की आवश्यकता नहीं है।

फॉर्म के समीकरणों को हल करने के लिए एक्स = बी, निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है:

• यदि a=0 और b=0 , तो समीकरण के अपरिमित रूप से कई मूल हैं, जो कि कोई भी संख्या है।
• यदि a=0 और b≠0 , तो मूल समीकरण का कोई मूल नहीं है।
• यदि a गैर-शून्य है, तो समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित किया जाता है, जिससे b / a के बराबर समीकरण का एकमात्र मूल मिलता है।

रैखिक समीकरणों को हल करने के उदाहरण

आइए अभ्यास के लिए आगे बढ़ें। आइए विश्लेषण करें कि रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम कैसे लागू किया जाता है। ये रहे समाधान विशिष्ट उदाहरणतदनुसार विभिन्न अर्थरैखिक समीकरणों के गुणांक।

उदाहरण।

रैखिक समीकरण 0 x−0=0 को हल करें।

फेसला।

इस रैखिक समीकरण में, a=0 और b=−0 , जो कि b=0 के समान है। अतः इस समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक मूल हैं, कोई भी संख्या इस समीकरण का मूल है।

जवाब:

x कोई संख्या है।

उदाहरण।

क्या रैखिक समीकरण 0 x+2.7=0 के हल हैं?

फेसला।

पर इस मामले मेंगुणांक a शून्य के बराबर है, और इस रैखिक समीकरण का गुणांक b 2.7 के बराबर है, अर्थात यह शून्य से भिन्न है। इसलिए, रैखिक समीकरण की कोई जड़ें नहीं होती हैं।

इस वीडियो में, हम एक ही एल्गोरिथम का उपयोग करके हल किए गए रैखिक समीकरणों के एक पूरे सेट का विश्लेषण करेंगे - इसलिए उन्हें सबसे सरल कहा जाता है।

आरंभ करने के लिए, आइए परिभाषित करें: एक रैखिक समीकरण क्या है और उनमें से किसे सबसे सरल कहा जाना चाहिए?

एक रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें केवल एक चर होता है, और केवल पहली डिग्री में होता है।

सबसे सरल समीकरण का अर्थ है निर्माण:

एल्गोरिथम का उपयोग करके अन्य सभी रैखिक समीकरणों को सरलतम में घटा दिया जाता है:

1. खुले कोष्ठक, यदि कोई हों;
2. एक चर वाले पदों को समान चिह्न के एक तरफ और बिना चर के पदों को दूसरी तरफ ले जाएं;
3. समान चिह्न के बाएँ और दाएँ समान पदों को लाएँ;
4. परिणामी समीकरण को चर $x$ के गुणांक से विभाजित करें।

बेशक, यह एल्गोरिथ्म हमेशा मदद नहीं करता है। तथ्य यह है कि कभी-कभी, इन सभी साजिशों के बाद, चर $x$ का गुणांक शून्य के बराबर हो जाता है। इस मामले में, दो विकल्प संभव हैं:

1. समीकरण का कोई हल नहीं है। उदाहरण के लिए, जब आपको $0\cdot x=8$ जैसा कुछ मिलता है, यानी। बाईं ओर शून्य है, और दाईं ओर एक गैर-शून्य संख्या है। नीचे दिए गए वीडियो में, हम कई कारणों को देखेंगे कि यह स्थिति क्यों संभव है।
2. समाधान सभी संख्याएं हैं। यह केवल तभी संभव है जब समीकरण को निर्माण $0\cdot x=0$ तक घटा दिया गया हो। यह काफी तार्किक है कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम $x$ को प्रतिस्थापित करते हैं, फिर भी यह "शून्य बराबर शून्य" होगा, अर्थात। सही संख्यात्मक समानता।

और अब देखते हैं कि वास्तविक समस्याओं के उदाहरण पर यह सब कैसे काम करता है।

समीकरण हल करने के उदाहरण

आज हम रैखिक समीकरणों से निपटते हैं, और केवल सबसे सरल। सामान्य तौर पर, एक रैखिक समीकरण का अर्थ है कोई भी समानता जिसमें बिल्कुल एक चर होता है, और यह केवल पहली डिग्री तक जाता है।

इस तरह के निर्माण लगभग उसी तरह हल किए जाते हैं:

1. सबसे पहले, आपको कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है, यदि कोई हो (जैसा कि हमारे . में है) अंतिम उदाहरण);
2. फिर समान लाओ
3. अंत में, चर को अलग करें, अर्थात। सब कुछ जो चर के साथ जुड़ा हुआ है - जिन शर्तों में यह निहित है - एक तरफ स्थानांतरित कर दिया जाता है, और इसके बिना जो कुछ भी रहता है वह दूसरी तरफ स्थानांतरित हो जाता है।

फिर, एक नियम के रूप में, आपको परिणामी समानता के प्रत्येक पक्ष पर समान लाने की आवश्यकता है, और उसके बाद यह केवल "x" के गुणांक से विभाजित करने के लिए रहता है, और हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

सिद्धांत रूप में, यह अच्छा और सरल दिखता है, लेकिन व्यवहार में, अनुभवी हाई स्कूल के छात्र भी काफी सरल रैखिक समीकरणों में आपत्तिजनक गलतियाँ कर सकते हैं। आमतौर पर, गलतियाँ या तो कोष्ठक खोलते समय, या "प्लस" और "माइनस" की गिनती करते समय की जाती हैं।

इसके अलावा, ऐसा होता है कि एक रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता है, या इसलिए कि समाधान पूरी संख्या रेखा है, अर्थात। कोई संख्या। हम आज के पाठ में इन सूक्ष्मताओं का विश्लेषण करेंगे। लेकिन हम शुरू करेंगे, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, सबसे अधिक सरल कार्य.

सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना

आरंभ करने के लिए, मैं एक बार फिर सबसे सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की पूरी योजना लिखता हूं:

1. कोष्ठक का विस्तार करें, यदि कोई हो।
2. एकांत चर, यानी। सब कुछ जिसमें "x" होता है, एक तरफ स्थानांतरित हो जाता है, और "x" के बिना - दूसरी तरफ।
3. हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।
4. हम गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करते हैं।

बेशक, यह योजना हमेशा काम नहीं करती है, इसमें कुछ सूक्ष्मताएं और तरकीबें हैं, और अब हम उन्हें जानेंगे।

सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना

कार्य 1

पहले चरण में, हमें कोष्ठकों को खोलना होगा। लेकिन वे इस उदाहरण में नहीं हैं, इसलिए हम छोड़ देते हैं यह अवस्था. दूसरे चरण में, हमें चरों को अलग करने की आवश्यकता है। टिप्पणी: हम बात कर रहे हेकेवल व्यक्तिगत शर्तों के बारे में। चलो लिखते है:

हम बाईं ओर और दाईं ओर समान शब्द देते हैं, लेकिन यह पहले ही यहां किया जा चुका है। इसलिए, हम चौथे चरण पर आगे बढ़ते हैं: एक कारक से विभाजित करें:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

यहां हमें जवाब मिला।

कार्य #2

इस कार्य में, हम कोष्ठकों का अवलोकन कर सकते हैं, तो आइए उनका विस्तार करें:

बाईं ओर और दाईं ओर, हम लगभग समान निर्माण देखते हैं, लेकिन आइए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करें, अर्थात। अनुक्रमक चर:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

यह किन जड़ों पर काम करता है? उत्तर: किसी के लिए। इसलिए, हम लिख सकते हैं कि $x$ कोई भी संख्या है।

कार्य #3

तीसरा रैखिक समीकरण पहले से ही अधिक दिलचस्प है:

\[\बाएं(6-x \दाएं)+\बाएं(12+x \दाएं)-\बाएं(3-2x \दाएं)=15\]

यहाँ कुछ कोष्ठक हैं, लेकिन उन्हें किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया जाता है, वे बस उनके सामने खड़े होते हैं विभिन्न संकेत. आइए उन्हें तोड़ दें:

हम पहले से ज्ञात दूसरा चरण करते हैं:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

आइए गणना करें:

हम अंतिम चरण करते हैं - हम गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करते हैं:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें

यदि हम बहुत सरल कार्यों को अनदेखा करते हैं, तो मैं निम्नलिखित कहना चाहूंगा:

• जैसा कि मैंने ऊपर कहा, हर रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता - कभी-कभी कोई मूल नहीं होता है;
• जड़ें हों तो भी उनमें शून्य प्रवेश कर सकता है - इसमें कोई बुराई नहीं है।

जीरो बाकी के समान ही संख्या है, आप इसमें किसी तरह का भेदभाव न करें या यह मान लें कि यदि आपको शून्य मिलता है, तो आपने कुछ गलत किया है।

एक अन्य विशेषता कोष्ठक के विस्तार से संबंधित है। कृपया ध्यान दें: जब उनके सामने "माइनस" होता है, तो हम उसे हटा देते हैं, लेकिन कोष्ठक में हम संकेतों को बदल देते हैं विलोम. और फिर हम इसे मानक एल्गोरिदम के अनुसार खोल सकते हैं: हमें वही मिलेगा जो हमने ऊपर की गणना में देखा था।

इसे समझना साधारण तथ्यहाई स्कूल में आपको बेवकूफी भरी और हानिकारक गलतियाँ करने से रोकेगा, जब ऐसी चीजें करना हल्के में लिया जाता है।

जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

आइए आगे बढ़ते हैं जटिल समीकरण. अब निर्माण अधिक जटिल हो जाएंगे और विभिन्न परिवर्तन करते समय एक द्विघात कार्य दिखाई देगा। हालाँकि, आपको इससे डरना नहीं चाहिए, क्योंकि यदि, लेखक की मंशा के अनुसार, हम एक रैखिक समीकरण को हल करते हैं, तो परिवर्तन की प्रक्रिया में एक द्विघात फ़ंक्शन वाले सभी मोनोमियल अनिवार्य रूप से कम हो जाएंगे।

उदाहरण 1

जाहिर है, पहला कदम कोष्ठक खोलना है। आइए इसे बहुत सावधानी से करें:

आइए अब गोपनीयता लेते हैं:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

जाहिर है, इस समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए उत्तर में हम इस प्रकार लिखते हैं:

\[\विविधता \]

या कोई जड़ नहीं।

उदाहरण #2

हम एक ही कदम उठाते हैं। पहला कदम:

आइए एक चर के साथ सब कुछ बाईं ओर ले जाएं, और इसके बिना - दाईं ओर:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

जाहिर है, इस रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए हम इसे इस तरह लिखते हैं:

\[\varnothing\],

या कोई जड़ नहीं।

समाधान की बारीकियां

दोनों समीकरण पूरी तरह से हल हो गए हैं। इन दो अभिव्यक्तियों के उदाहरण पर, हमने एक बार फिर सुनिश्चित किया कि सरलतम रैखिक समीकरणों में भी, सब कुछ इतना सरल नहीं हो सकता है: या तो एक हो सकता है, या कोई नहीं, या असीम रूप से कई हो सकते हैं। हमारे मामले में, हमने दो समीकरणों पर विचार किया, दोनों में बस कोई जड़ नहीं है।

लेकिन मैं आपका ध्यान एक और तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: कोष्ठक के साथ कैसे काम किया जाए और उनके सामने ऋण चिह्न होने पर उनका विस्तार कैसे किया जाए। इस अभिव्यक्ति पर विचार करें:

खोलने से पहले, आपको सब कुछ "x" से गुणा करना होगा। कृपया ध्यान दें: गुणा करें प्रत्येक व्यक्तिगत शब्द. अंदर दो पद हैं - क्रमशः, दो पद और गुणा किया जाता है।

और इन प्राथमिक प्रतीत होने वाले, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण और खतरनाक परिवर्तनों के पूरा होने के बाद ही, ब्रैकेट को इस दृष्टिकोण से खोला जा सकता है कि इसके बाद एक ऋण चिह्न है। हाँ, हाँ: केवल अब, जब परिवर्तन किया जाता है, तो हमें याद आता है कि कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, जिसका अर्थ है कि सब कुछ नीचे बस संकेत बदलता है। उसी समय, कोष्ठक स्वयं गायब हो जाते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, सामने वाला "माइनस" भी गायब हो जाता है।

हम दूसरे समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं:

यह कोई संयोग नहीं है कि मैं इन छोटे, प्रतीत होने वाले महत्वहीन तथ्यों पर ध्यान देता हूं। क्योंकि समीकरणों को हल करना हमेशा एक क्रम होता है प्राथमिक परिवर्तनजहां स्पष्ट और सक्षम रूप से प्रदर्शन करने में असमर्थता सरल कदमइस तथ्य की ओर जाता है कि हाई स्कूल के छात्र मेरे पास आते हैं और ऐसे सरल समीकरणों को फिर से हल करना सीखते हैं।

बेशक, वह दिन आएगा जब आप इन कौशलों को स्वचालितता में बदल देंगे। अब आपको हर बार इतने ट्रांसफॉर्मेशन नहीं करने हैं, आप सब कुछ एक लाइन में लिख देंगे। लेकिन जब आप अभी सीख रहे हैं, तो आपको प्रत्येक क्रिया को अलग से लिखना होगा।

और भी जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना

अब हम जो हल करने जा रहे हैं, उसे शायद ही सबसे सरल कार्य कहा जा सकता है, लेकिन अर्थ वही रहता है।

कार्य 1

\[\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(3x-1 \दाएं)-21((x)^(2))=3\]

आइए पहले भाग में सभी तत्वों को गुणा करें:

आइए एक रिट्रीट करें:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

आइए अंतिम चरण करें:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

यहाँ हमारा अंतिम उत्तर है। और, इस तथ्य के बावजूद कि हल करने की प्रक्रिया में हमारे पास द्विघात फ़ंक्शन के साथ गुणांक थे, हालांकि, उन्होंने पारस्परिक रूप से सत्यानाश कर दिया, जो समीकरण को बिल्कुल रैखिक बनाता है, वर्ग नहीं।

कार्य #2

\[\बाएं(1-4x \दाएं)\बाएं(1-3x \दाएं)=6x\बाएं(2x-1 \दाएं)\]

आइए पहले चरण को ध्यान से करें: पहले ब्रैकेट में प्रत्येक तत्व को दूसरे में प्रत्येक तत्व से गुणा करें। परिवर्तनों के बाद कुल मिलाकर चार नई शर्तें प्राप्त की जानी चाहिए:

और अब ध्यान से प्रत्येक पद में गुणा करें:

आइए शब्दों को "x" के साथ बाईं ओर ले जाएं, और बिना - दाईं ओर:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

यहाँ समान शब्द हैं:

हमें एक निश्चित उत्तर मिला है।

समाधान की बारीकियां

इन दो समीकरणों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण टिप्पणी इस प्रकार है: जैसे ही हम उन कोष्ठकों को गुणा करना शुरू करते हैं जिनमें इससे बड़ा एक पद होता है, तो यह इस प्रकार किया जाता है अगला नियम: हम पहले पद से पहला पद लेते हैं और दूसरे से प्रत्येक तत्व से गुणा करते हैं; फिर हम पहले से दूसरा तत्व लेते हैं और इसी तरह दूसरे से प्रत्येक तत्व के साथ गुणा करते हैं। नतीजतन, हमें चार शब्द मिलते हैं।

बीजगणितीय योग पर

अंतिम उदाहरण के साथ, मैं छात्रों को याद दिलाना चाहूंगा कि बीजगणितीय योग क्या है। शास्त्रीय गणित में, $1-7$ से हमारा मतलब एक साधारण निर्माण से है: हम एक से सात घटाते हैं। बीजगणित में, हमारा मतलब निम्न से है: संख्या "एक" में हम एक और संख्या जोड़ते हैं, जिसका नाम "माइनस सात" है। यह बीजीय योग सामान्य अंकगणितीय योग से भिन्न होता है।

जैसे ही सभी परिवर्तन, प्रत्येक जोड़ और गुणा करते समय, आप ऊपर वर्णित लोगों के समान निर्माण देखना शुरू करते हैं, बहुपद और समीकरणों के साथ काम करते समय आपको बीजगणित में कोई समस्या नहीं होगी।

अंत में, आइए कुछ और उदाहरण देखें जो हमारे द्वारा देखे गए उदाहरणों की तुलना में और भी अधिक जटिल होंगे, और उन्हें हल करने के लिए, हमें अपने मानक एल्गोरिथम का थोड़ा विस्तार करना होगा।

भिन्न के साथ समीकरण हल करना

ऐसे कार्यों को हल करने के लिए, हमारे एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ना होगा। लेकिन पहले, मैं अपने एल्गोरिथ्म को याद दिलाऊंगा:

1. कोष्ठक खोलें।
2. अलग चर।
3. समान लाओ।
4. एक कारक से विभाजित करें।

काश, यह अद्भुत एल्गोरिथ्म, इसकी सभी दक्षता के लिए, पूरी तरह से उपयुक्त नहीं होता जब हमारे सामने भिन्न होते हैं। और जो हम नीचे देखेंगे, दोनों समीकरणों में हमारे पास बाईं ओर और दाईं ओर एक भिन्न है।

इस मामले में कैसे काम करें? हाँ, यह बहुत आसान है! ऐसा करने के लिए, आपको एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ने की जरूरत है, जिसे पहली क्रिया से पहले और उसके बाद, अर्थात् भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार, एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

1. अंशों से छुटकारा पाएं।
2. कोष्ठक खोलें।
3. अलग चर।
4. समान लाओ।
5. एक कारक से विभाजित करें।

"अंशों से छुटकारा पाने" का क्या अर्थ है? और पहले मानक चरण के बाद और पहले दोनों में ऐसा करना क्यों संभव है? वास्तव में, हमारे मामले में, सभी भिन्न हर के संदर्भ में संख्यात्मक होते हैं, अर्थात। हर जगह भाजक सिर्फ एक संख्या है। इसलिए, यदि हम समीकरण के दोनों भागों को इस संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें भिन्नों से छुटकारा मिलेगा।

उदाहरण 1

\[\frac(\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं))(4)=((x)^(2))-1\]

आइए इस समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाएं:

\[\frac(\बाएं(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

कृपया ध्यान दें: सब कुछ एक बार "चार" से गुणा किया जाता है, अर्थात। सिर्फ इसलिए कि आपके पास दो ब्रैकेट हैं इसका मतलब यह नहीं है कि आपको उनमें से प्रत्येक को "चार" से गुणा करना होगा। चलो लिखते है:

\[\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं)=\बाएं(((x)^(2))-1 \दाएं)\cdot 4\]

अब इसे खोलते हैं:

हम एक चर का एकांतीकरण करते हैं:

हम समान शर्तों को कम करते हैं:

\[-4x=-1\बाएं| :\बाएं(-4 \दाएं) \दाएं।\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

हमें मिला अंतिम निर्णय, हम दूसरे समीकरण को पास करते हैं।

उदाहरण #2

\[\frac(\बाएं(1-x \दाएं)\बाएं(1+5x \दाएं))(5)+((x)^(2))=1\]

यहां हम सभी समान क्रियाएं करते हैं:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

समस्या सुलझ गयी।

वास्तव में, मैं आज यही बताना चाहता था।

प्रमुख बिंदु

प्रमुख निष्कर्ष इस प्रकार हैं:

• रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम को जानें।
• कोष्ठक खोलने की क्षमता।
• अगर आपके पास कहीं है तो चिंता न करें द्विघात कार्य, सबसे अधिक संभावना है, आगे के परिवर्तनों की प्रक्रिया में, वे कम हो जाएंगे।
• रैखिक समीकरणों में जड़ें, यहां तक ​​​​कि सबसे सरल, तीन प्रकार की होती हैं: एक एकल जड़, पूरी संख्या रेखा एक जड़ होती है, कोई जड़ें नहीं होती हैं।

मुझे आशा है कि यह पाठ आपको सभी गणित को और अधिक समझने के लिए एक सरल, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण विषय में महारत हासिल करने में मदद करेगा। अगर कुछ स्पष्ट नहीं है, तो साइट पर जाएं, वहां प्रस्तुत उदाहरणों को हल करें। देखते रहिए, और भी कई दिलचस्प चीज़ें आपका इंतज़ार कर रही हैं!