განმარტება.

ეს არის ექვსკუთხედი, რომლის ფუძეები ორია თანაბარი კვადრატიდა გვერდითი სახეები თანაბარი ოთხკუთხედია

გვერდითი ნეკნი- ეს არის საერთო მხარეორი მიმდებარე გვერდითი სახე

პრიზმის სიმაღლე- ეს გაჭრაა ბაზების პერპენდიკულარულიპრიზმები

პრიზმის დიაგონალი- სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ფუძის ორ წვეროს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს

დიაგონალური სიბრტყეარის სიბრტყე, რომელიც გადის პრიზმის დიაგონალზე და მის გვერდითი ნეკნები

დიაგონალური განყოფილება - პრიზმისა და დიაგონალური სიბრტყის გადაკვეთის საზღვრები. სწორის დიაგონალური მონაკვეთი ოთხკუთხა პრიზმაარის მართკუთხედი

პერპენდიკულარული მონაკვეთი (ორთოგონალური მონაკვეთი)- ეს არის პრიზმისა და მისი გვერდითი კიდეების პერპენდიკულარულად დახატული სიბრტყის კვეთა

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ელემენტები

ნახატზე ნაჩვენებია ორი რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა, რომლებიც აღნიშნულია შესაბამისი ასოებით:

• ABCD და A 1 B 1 C 1 D 1 ფუძეები ტოლია და ერთმანეთის პარალელურია
• გვერდითი სახეები AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C და CC 1 D 1 D, რომელთაგან თითოეული არის მართკუთხედი
• გვერდითი ზედაპირი- პრიზმის ყველა გვერდითი სახის ფართობების ჯამი
• მთლიანი ზედაპირი - ყველა ფუძისა და გვერდითი ზედაპირის ფართობის ჯამი (გვერდითი ზედაპირისა და ფუძის ფართობის ჯამი)
• გვერდითი ნეკნები AA 1 , BB 1 , CC 1 და DD 1 .
• დიაგონალი B 1 D
• ბაზის დიაგონალი BD
• დიაგონალური მონაკვეთი BB 1 D 1 D
• პერპენდიკულარული მონაკვეთი A 2 B 2 C 2 D 2 .

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის თვისებები

• ფუძეები ორი თანაბარი კვადრატია
• ფუძეები ერთმანეთის პარალელურია
• გვერდები მართკუთხედია.
• გვერდითი სახეები ერთმანეთის ტოლია
• გვერდითი სახეები ბაზების პერპენდიკულარულია
• გვერდითი ნეკნები ერთმანეთის პარალელურია და თანაბარია
• პერპენდიკულური მონაკვეთი პერპენდიკულარული ყველა გვერდითი ნეკნებისა და ბაზების პარალელურად
• კუთხეები პერპენდიკულარული მონაკვეთი- სწორი
• რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალური მონაკვეთი არის მართკუთხედი
• პერპენდიკულარული (ორთოგონალური მონაკვეთი) ფუძეების პარალელურად

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფორმულები

ინსტრუქციები პრობლემების გადასაჭრელად

თემის პრობლემების გადაჭრისას " რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა"იგულისხმება, რომ:

სწორი პრიზმა- პრიზმა, რომლის ძირში დევს რეგულარული მრავალკუთხედი, და გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია საბაზისო სიბრტყეებზე. ანუ, რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა შეიცავს მის ძირში კვადრატი. (იხილეთ ზემოთ რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის თვისებები) შენიშვნა. ეს არის გაკვეთილის ნაწილი გეომეტრიის დავალებებით (განყოფილება მყარი გეომეტრია - პრიზმა). აქ არის ამოცანები, რომლებიც სირთულეებს იწვევს ამოხსნაში. თუ თქვენ გჭირდებათ პრობლემის გადაჭრა გეომეტრიაში, რომელიც აქ არ არის - დაწერეთ ამის შესახებ ფორუმზე. ამოღების მოქმედების მითითება კვადრატული ფესვისიმბოლო გამოიყენება პრობლემის გადაჭრაში√ .

Დავალება.

რეგულარულ ოთხკუთხა პრიზმაში ფუძის ფართობია 144 სმ 2 და სიმაღლე 14 სმ. იპოვეთ პრიზმის დიაგონალი და ფართობი. სრული ზედაპირი.

გამოსავალი.
რეგულარული ოთხკუთხედი არის კვადრატი.
შესაბამისად, ბაზის მხარე ტოლი იქნება

√144 = 12 სმ.
საიდან მოდის ფუძის დიაგონალი? მართკუთხა პრიზმატოლი იქნება
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

დიაგონალი მარჯვენა პრიზმაფორმები ფუძის დიაგონალთან და პრიზმის სიმაღლესთან მართკუთხა სამკუთხედი. შესაბამისად, პითაგორას თეორემის მიხედვით, მოცემული რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის დიაგონალი ტოლი იქნება:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 სმ

უპასუხე: 22 სმ

Დავალება

იპოვეთ რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი, თუ მისი დიაგონალი არის 5 სმ, ხოლო გვერდითი სახის დიაგონალი 4 სმ.

გამოსავალი.
ვინაიდან რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძე არის კვადრატი, მაშინ ფუძის მხარე (აღნიშნული როგორც a) გვხვდება პითაგორას თეორემით:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

გვერდითი სახის სიმაღლე (აღნიშნულია როგორც h) მაშინ იქნება ტოლი:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
სთ 2 + 12,5 = 16
სთ 2 \u003d 3.5
სთ = √3.5

მთლიანი ზედაპირის ფართობი ტოლი იქნება გვერდითი ზედაპირის ჯამის და ბაზის ფართობის ორჯერ

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 სმ 2.

პასუხი: 25 + 10√7 ≈ 51.46 სმ 2.

უნდა აღინიშნოს, რომ კომბინატორიკა დამოუკიდებელი დარგია უმაღლესი მათემატიკა(და არა ტერვერის ნაწილი) და ამ დისციპლინაში დაიწერა წონიანი სახელმძღვანელოები, რომელთა შინაარსი, ზოგჯერ, აბსტრაქტულ ალგებრაზე ადვილი არ არის. თუმცა, მცირე ნაწილი ჩვენთვის საკმარისი იქნება. თეორიული ცოდნა, და ამ სტატიაში შევეცდები ხელმისაწვდომი ფორმათემის საფუძვლების გაანალიზება ტიპიური კომბინატორული ამოცანებით. და ბევრი თქვენგანი დამეხმარება ;-)

Რასაც ჩვენ ვაპირებთ, რომ გავაკეთოთ? AT ვიწრო გაგებითკომბინატორიკა არის სხვადასხვა კომბინაციების დათვლა, რომელიც შეიძლება გაკეთდეს ნაკრებიდან დისკრეტულიობიექტები. ობიექტები გაგებულია, როგორც ნებისმიერი იზოლირებული ობიექტი ან ცოცხალი არსება - ადამიანები, ცხოველები, სოკოები, მცენარეები, მწერები და ა.შ. ამავდროულად, კომბინატორიკას საერთოდ არ აინტერესებს, რომ კომპლექტი შედგება სემოლინის ფირფიტისგან, შედუღების რკინისგან და ჭაობის ბაყაყისგან. ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანია, რომ ეს ობიექტები უთვალავი იყოს - სამი მათგანია. (დისკრეტულობა)და მნიშვნელოვანია, რომ არცერთი მათგანი არ იყოს ერთნაირი.

ბევრი დალაგებული, ახლა კომბინაციების შესახებ. კომბინაციების ყველაზე გავრცელებული ტიპებია ობიექტების პერმუტაციები, მათი შერჩევა ნაკრებიდან (კომბინაცია) და განაწილება (განთავსება). ვნახოთ, როგორ ხდება ეს ახლა:

პერმუტაციები, კომბინაციები და განლაგება განმეორების გარეშე

ნუ შეგეშინდებათ ბუნდოვანი ტერმინების, მით უმეტეს, რომ ზოგიერთი მათგანი ნამდვილად არ არის ძალიან წარმატებული. დავიწყოთ სათაურის კუდით - რას ნიშნავს " გამეორების გარეშე"? ეს ნიშნავს, რომ ში ამ პუნქტსგანიხილება კომპლექტები, რომლებიც შედგება სხვადასხვაობიექტები. მაგალითად, ... არა, ფაფას არ შემოგთავაზებთ საყლაპავით და ბაყაყით, უფრო გემრიელი ჯობია =) წარმოიდგინეთ, რომ თქვენს წინ მაგიდაზე მატერიალიზებულია ვაშლი, მსხალი და ბანანი (თუ არის ნებისმიერი, სიტუაცია შეიძლება იყოს სიმულირებული და რეალური). ნაყოფს მარცხნიდან მარჯვნივ ვათავსებთ შემდეგი თანმიმდევრობით:

ვაშლი / მსხალი / ბანანი

კითხვა პირველი: რამდენი გზით შეიძლება მათი გადაწყობა?

ერთი კომბინაცია უკვე დაწერილია ზემოთ და დანარჩენთან არანაირი პრობლემა არ არის:

ვაშლი / ბანანი / მსხალი
მსხალი / ვაშლი / ბანანი
მსხალი / ბანანი / ვაშლი
ბანანი / ვაშლი / მსხალი
ბანანი / მსხალი / ვაშლი

სულ: 6 კომბინაცია ან 6 პერმუტაციები.

კარგი, არ იყო რთული აქ ყველა შესაძლო შემთხვევის ჩამოთვლა, მაგრამ რა მოხდება, თუ მეტი ობიექტი იყო? უკვე ოთხი განსხვავებული ხილით, კომბინაციების რაოდენობა მნიშვნელოვნად გაიზრდება!

გთხოვთ გახსენით საცნობარო მასალა (სახელმძღვანელო ადვილად იბეჭდება)და მე-2 პუნქტში იპოვეთ ფორმულა პერმუტაციების რაოდენობისთვის.

არანაირი ტანჯვა - 3 ობიექტის გადალაგება შესაძლებელია.

კითხვა მეორე: რამდენი გზით შეგიძლიათ აირჩიოთ ა) ერთი ხილი, ბ) ორი ხილი, გ) სამი ხილი, დ) ერთი ხილი მაინც?

რატომ ავირჩიოთ? ასე რომ, მათ წინა აბზაცში მადა გაუქმეს - ჭამა! =)

ა) ერთი ხილის შერჩევა შესაძლებელია, ცხადია, სამი გზით - აიღეთ ან ვაშლი, ან მსხალი, ან ბანანი. ფორმალური დათვლა ეფუძნება კომბინაციების რაოდენობის ფორმულა:

ჩაწერა ში ამ საქმესუნდა გავიგოთ შემდეგნაირად: "რამდენი გზით შეგიძლიათ აირჩიოთ 1 ხილი სამიდან?"

ბ) ჩამოვთვლით ორი ხილის ყველა შესაძლო კომბინაციას:

ვაშლი და მსხალი;
ვაშლი და ბანანი;
მსხალი და ბანანი.

კომბინაციების რაოდენობის შემოწმება მარტივია იმავე ფორმულის გამოყენებით:

ჩანაწერი გაგებულია ანალოგიურად: "რამდენად შეგიძლიათ აირჩიოთ 2 ხილი სამიდან?".

გ) და ბოლოს, სამი ხილის არჩევა შეიძლება ერთადერთი გზა:

სხვათა შორის, კომბინაციების რაოდენობის ფორმულა ასევე აზრი აქვს ცარიელი ნიმუშისთვის:
ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ არც ერთი ხილი - ფაქტობრივად, არაფერი აიღოთ და ეს არის ის.

დ) რამდენი გზით შეგიძლიათ მიიღოთ ერთი მაინცხილი? "მინიმუმ ერთი" პირობა გულისხმობს, რომ ჩვენ კმაყოფილი ვართ 1 ხილით (ნებისმიერი) ან ნებისმიერი 2 ხილით ან სამივე ხილით:
როგორ შეგიძლიათ აირჩიოთ მინიმუმ ერთი ხილი.

მკითხველები, რომლებმაც ყურადღებით შეისწავლეს შესავალი გაკვეთილი on ალბათობის თეორიაუკვე გაარკვია რაღაც. მაგრამ პლიუს ნიშნის მნიშვნელობის შესახებ მოგვიანებით.

პასუხისთვის შემდეგი შეკითხვამე მჭირდება ორი მოხალისე ... ... კარგი, რადგან არავის არ უნდა, მაშინ ფორუმს დავურეკავ =)

კითხვა მესამე: რამდენი გზით შეიძლება დაურიგდეს ერთი ხილი დაშასა და ნატაშას?

ორი ხილის გასანაწილებლად ჯერ უნდა აირჩიოთ ისინი. წინა კითხვის "ბე" პუნქტის მიხედვით, ეს შეიძლება გაკეთდეს გზებით, მათ კიდევ ერთხელ დავწერ:

ვაშლი და მსხალი;
ვაშლი და ბანანი;
მსხალი და ბანანი.

მაგრამ ახლა ორჯერ მეტი კომბინაცია იქნება. განვიხილოთ, მაგალითად, პირველი წყვილი ხილი:
შეგიძლიათ დაშას ვაშლით მიირთვათ, ნატაშა კი მსხლით;
ან პირიქით - დაშა მიიღებს მსხალს, ნატაშა კი ვაშლს.

და ასეთი პერმუტაცია შესაძლებელია ყველა წყვილი ხილისთვის.

განიხილეთ იგივე სტუდენტური ჯგუფირომელიც ცეკვაზე წავიდა. რამდენი გზით შეიძლება ბიჭისა და გოგოს დაწყვილება?

გზები შეგიძლიათ აირჩიოთ 1 ახალგაზრდა;
გზები შეგიძლიათ აირჩიოთ 1 გოგონა.

ასე რომ, ერთი ახალგაზრდა დაშეიძლება აირჩიო ერთი გოგო: გზები.

როდესაც თითოეული ნაკრებიდან არჩეულია 1 ობიექტი, მაშინ მოქმედებს კომბინაციების დათვლის შემდეგი პრინციპი: თითოეულიობიექტს ერთი ნაკრებიდან შეუძლია შექმნას წყვილი ყველასთან ერთადსხვა ნაკრების ობიექტი.

ანუ, ოლეგს შეუძლია 13 გოგონადან რომელიმე მოიწვიოს საცეკვაოდ, ევგენიმ ასევე შეიძლება მოიწვიოს ცამეტიდან რომელიმე და სხვა ახალგაზრდებსაც აქვთ მსგავსი არჩევანი. სულ: შესაძლო წყვილები.

უნდა აღინიშნოს, რომ ქ ეს მაგალითიწყვილის ფორმირების „ისტორიას“ მნიშვნელობა არ აქვს; თუმცა, თუ ინიციატივას გავითვალისწინებთ, მაშინ კომბინაციების რაოდენობა უნდა გაორმაგდეს, რადგან 13 გოგონადან თითოეულს შეუძლია ნებისმიერი ბიჭის მოწვევა საცეკვაოდ. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია კონკრეტული ამოცანის პირობებზე!

მსგავსი პრინციპი მოქმედებს უფრო რთულ კომბინაციებზე, მაგალითად: რამდენი გზით შეიძლება აირჩიონ ორი ახალგაზრდა დაორი გოგონა მონაწილეობს KVN სკეტში?

კავშირი დაცალსახად მიუთითებს, რომ კომბინაციები უნდა გამრავლდეს:

მხატვრების შესაძლო ჯგუფები.

Სხვა სიტყვებით, თითოეულიბიჭების წყვილს (45 უნიკალური წყვილი) შეუძლია შეჯიბრი ნებისმიერირამდენიმე გოგონა (78 უნიკალური წყვილი). და თუ გავითვალისწინებთ მონაწილეებს შორის როლების განაწილებას, მაშინ კიდევ უფრო მეტი კომბინაცია იქნება. ...ძალიან მინდა, მაგრამ მაინც თავს შევიკავებ გაგრძელებისგან, რომ არ ჩავნერგო შენში ზიზღი. სტუდენტური ცხოვრება =).

კომბინაციების გამრავლების წესიც ვრცელდება დიდი რაოდენობითმულტიპლიკატორები:

დავალება 8

რამდენი სამნიშნა რიცხვი იყოფა 5-ზე?

გამოსავალი: სიცხადისთვის აღვნიშნავთ მოცემული ნომერისამი ვარსკვლავი: ***

AT ასობით ადგილიშეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ან 9). ნული არ არის კარგი, რადგან ამ შემთხვევაში რიცხვი წყვეტს სამნიშნაობას.

მაგრამ შიგნით ათეულების ადგილი(„შუაში“) შეგიძლიათ აირჩიოთ 10 ციფრიდან რომელიმე: .

პირობით რიცხვი უნდა გაიყოს 5-ზე. რიცხვი იყოფა 5-ზე, თუ ის მთავრდება 5-ით ან 0-ით. ამრიგად, ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანი ციფრით ვკმაყოფილდებით 2 ციფრით.

სულ, არსებობს: სამნიშნა რიცხვები, რომლებიც იყოფა 5-ზე.

ამავდროულად, ნაწარმოების გაშიფვრა ხდება შემდეგნაირად: „9 გზა, რომლითაც შეგიძლიათ აირჩიოთ რიცხვი ასობით ადგილი დანომრის არჩევის 10 გზა ათეულების ადგილი და 2 გზა ერთეულის ციფრი»

ან კიდევ უფრო მარტივი: თითოეული 9 ციფრიდან ასობით ადგილიკომბინირებული თითოეულთან ერთად 10 ციფრისგან ათეულების ადგილი და თითოეულთანორნიშნა ერთეულის ციფრი».

უპასუხე: 180

Და ახლა…

დიახ, კინაღამ დამავიწყდა No5 პრობლემის დაპირებული კომენტარი, რომელშიც ბორიას, დიმას და ვოლოდიას თითო კარტი შეიძლება დაურიგონ სხვადასხვა გზით. აქ გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს: ისე, რომ თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ 3 კარტი გემბანიდან და თითოეულშინიმუში მათი გზების გადასაწყობად.

ახლა დავალება ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება... ახლა უფრო საინტერესოს მოვიფიქრებ, ... დაე, ეს იყოს ბლექჯეკის იგივე რუსული ვერსია:

დავალება 9

2 კარტის რამდენი მომგებიანი კომბინაციაა "ქულის" თამაშში?

მათთვის, ვინც არ იცის: იგებს კომბინაცია 10 + ACE (11 ქულა) = 21 ქულა და განვიხილოთ ორი ტუზის მომგებიანი კომბინაცია.

(ბარათების თანმიმდევრობას ნებისმიერ წყვილში მნიშვნელობა არ აქვს)

სწრაფი გადაწყვეტადა პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

სხვათა შორის, არ არის აუცილებელი მაგალითის პრიმიტიული განხილვა. Blackjack თითქმის ერთადერთი თამაშია, რომლისთვისაც არსებობს მათემატიკურად გამართული ალგორითმი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დაამარცხოთ კაზინო. მსურველებს შეუძლიათ მარტივად მოიძიონ ბევრი ინფორმაცია ოპტიმალური სტრატეგიისა და ტაქტიკის შესახებ. მართალია, ასეთი ოსტატები სწრაფად მოხვდებიან ყველა დაწესებულების შავ სიაში =)

დროა გავაერთიანოთ მასალა, რომელიც დაფარულია რამდენიმე მყარი ამოცანებით:

დავალება 10

ვასიას სახლში 4 კატა ჰყავს.

ა) რამდენი გზით შეიძლება კატების დაჯდომა ოთახის კუთხეებში?
ბ) რამდენი გზით შეიძლება კატებს აეშვათ სეირნობა?
გ) რამდენი გზით შეუძლია ვასიას აიყვანოს ორი კატა (ერთი მარცხნივ, მეორე მარჯვნივ)?

Ჩვენ ვწყვეტთ: ჯერ კიდევ ერთხელ უნდა აღინიშნოს, რომ პრობლემა ეხება განსხვავებულიობიექტები (მაშინაც კი, თუ კატები იდენტური ტყუპები არიან). ეს ძალიან მნიშვნელოვანი პირობა!

ა) კატების დუმილი. ეს აღსრულება ექვემდებარება ყველა კატა ერთდროულად
+ მათი მდებარეობა მნიშვნელოვანია, ამიტომ აქ არის პერმუტაციები:
გზები, რომლითაც შეგიძლიათ კატების დაჯდომა ოთახის კუთხეებში.

ვიმეორებ, რომ პერმუტაციებში მხოლოდ სხვადასხვა ობიექტების რაოდენობა და მათი ურთიერთშეთანხმება. მისი განწყობიდან გამომდინარე, ვასიას შეუძლია ცხოველების ნახევარწრიულად დაჯდომა დივანზე, რიგზე ფანჯრის რაფაზე და ა.შ. - ყველა შემთხვევაში იქნება 24 პერმუტაცია. მოხერხებულობისთვის მსურველებს შეუძლიათ წარმოიდგინონ, რომ კატები მრავალფერიანია (მაგალითად, თეთრი, შავი, წითელი და ზოლიანი) და ჩამოთვალონ ყველა შესაძლო კომბინაცია.

ბ) რამდენი გზით შეიძლება კატებს აეშვათ სეირნობა?

ვარაუდობენ, რომ კატები სასეირნოდ მხოლოდ კარიდან გადიან, ხოლო კითხვა გულისხმობს გულგრილობას ცხოველების რაოდენობის შესახებ - 1, 2, 3 ან ოთხივე კატას შეუძლია გასეირნება.

ჩვენ განვიხილავთ ყველა შესაძლო კომბინაციას:

გზები, რომლითაც შეგიძლიათ გაუშვათ ერთი კატა (ოთხიდან რომელიმე);
გზები, რომლითაც შეგიძლიათ გაუშვათ ორი კატა სასეირნოდ (თვითონ ჩამოთვალეთ ვარიანტები);
გზები, რომლითაც შეგიძლიათ გაუშვათ სამი კატა სასეირნოდ (ოთხიდან ერთი ზის სახლში);
ისე, რომ თქვენ შეგიძლიათ გაათავისუფლოთ ყველა კატა.

თქვენ ალბათ მიხვდით, რომ მიღებული მნიშვნელობები უნდა იყოს შეჯამებული:
გზები კატების სასეირნოდ გასაშვებად.

ენთუზიასტებს ვთავაზობ პრობლემის რთულ ვერსიას - როდესაც ნებისმიერ კატას ნებისმიერი ნიმუშიდან შეუძლია შემთხვევით გასვლა გარეთ, როგორც კარებიდან, ასევე მე-10 სართულის ფანჯრიდან. იქნება მეტი კომბინაციები!

გ) რამდენი გზით შეუძლია ვასიას აიყვანოს ორი კატა?

სიტუაცია მოიცავს არა მხოლოდ 2 ცხოველის არჩევას, არამედ მათ ხელებზე განთავსებას:
გზები, რომლითაც შეგიძლიათ აირჩიოთ 2 კატა.

მეორე გამოსავალი: გზებით შეგიძლიათ აირჩიოთ ორი კატა დადარგვის გზები ყოველიწყვილი ხელში:

უპასუხე: ა) 24, ბ) 15, გ) 12

ისე, სინდისის გასაწმენდად, რაღაც უფრო კონკრეტული კომბინაციების გამრავლებაზე .... დაე, ვასიას ჰყავდეს 5 დამატებითი კატა =) რამდენი გზით შეგიძლიათ გაუშვათ 2 კატა სასეირნოდ და 1 კატა?

ანუ თან თითოეულირამდენიმე კატა შეიძლება გათავისუფლდეს ყოველიკატა.

კიდევ ერთი ღილაკი აკორდეონი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

დავალება 11

12 სართულიანი კორპუსის ლიფტში 3 მგზავრი შევიდა. ყველას, სხვებისგან დამოუკიდებლად, შეუძლია ნებისმიერ (მე-2) სართულიდან გასვლა იგივე ალბათობით. რამდენი გზით:

1) მგზავრებს შეუძლიათ ჩამოვიდნენ იმავე სართულზე (გასვლის ბრძანებას არ აქვს მნიშვნელობა);
2) ორ ადამიანს შეუძლია ერთ სართულზე ასვლა, ხოლო მესამეს მეორეზე;
3) ადამიანებს შეუძლიათ ჩამოვიდნენ სხვადასხვა სართულზე;
4) შეუძლიათ თუ არა მგზავრებს ლიფტიდან გასვლა?

და აქ ხშირად მეკითხებიან, მე განვმარტავ: თუ 2 ან 3 ადამიანი გამოდის იმავე სართულზე, მაშინ გასვლის ბრძანებას მნიშვნელობა არ აქვს. დაფიქრდით, გამოიყენეთ ფორმულები და წესები შეკრების/გამრავლების კომბინაციებისთვის. სირთულის შემთხვევაში მგზავრებისთვის სასარგებლოა სახელების დასახელება და მსჯელობა, თუ რა კომბინაციით შეუძლიათ ლიფტიდან გამოსვლა. არ არის საჭირო ინერვიულოთ, თუ რამე არ გამოდგება, მაგალითად, პუნქტი ნომერი 2 საკმაოდ მზაკვრულია.

სრული გამოსავალიგაკვეთილის ბოლოს დეტალური კომენტარებით.

ბოლო აბზაცი ეძღვნება კომბინაციებს, რომლებიც ასევე საკმაოდ გავრცელებულია - ჩემი აზრით სუბიექტური შეფასებადაახლოებით 20-30% კომბინატორული პრობლემები:

პერმუტაციები, კომბინაციები და განლაგება გამეორებებით

ჩამოთვლილი სახეობებიკომბინაციები ასახულია მე-5 პუნქტში საცნობარო მასალა კომბინატორიკის ძირითადი ფორმულებითუმცა, ზოგიერთი მათგანი შეიძლება არ იყოს ძალიან ნათელი პირველი წაკითხვისას. ამ შემთხვევაში, მიზანშეწონილია ჯერ გაეცნოთ პრაქტიკული მაგალითებიდა მხოლოდ ამის შემდეგ გაიაზრეთ ზოგადი ფორმულირება. წადი:

პერმუტაციები გამეორებებით

პერმუტაციებში გამეორებებით, ისევე როგორც "ჩვეულებრივ" ცვლილებებში, ობიექტების მთელი ნაკრები ერთდროულად, მაგრამ არის ერთი რამ: ამ ნაკრებში მეორდება ერთი ან მეტი ელემენტი (ობიექტი). დააკმაყოფილეთ შემდეგი სტანდარტი:

დავალება 12

რამდენი ასოს სხვადასხვა კომბინაცია შეიძლება მივიღოთ ბარათების გადალაგებით შემდეგი ასოებით: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?

გამოსავალი: იმ შემთხვევაში, თუ ყველა ასო განსხვავებული იყო, მაშინ უნდა იქნას გამოყენებული ტრივიალური ფორმულა, თუმცა, სავსებით ნათელია, რომ ბარათების შემოთავაზებული ნაკრებისთვის, ზოგიერთი მანიპულაცია იმუშავებს "უსაქმურად", ასე რომ, მაგალითად, თუ შეცვლით რომელიმე ორს. ბარათები ასოებით "K ნებისმიერ სიტყვაში, ეს იქნება იგივე სიტყვა. უფრო მეტიც, ფიზიკურად ბარათები შეიძლება ძალიან განსხვავებული იყოს: ერთი შეიძლება იყოს მრგვალი ასო "K" დაბეჭდილი, მეორე - კვადრატული ასო "K" დახატული. მაგრამ პრობლემის მნიშვნელობის მიხედვით, ასეთი ბარათებიც კი განიხილება იგივე, რადგან პირობა ეკითხება ასოების კომბინაციებს.

ყველაფერი ძალიან მარტივია - ჯამში: 11 ბარათი, მათ შორის ასო:

K - მეორდება 3-ჯერ;
O - მეორდება 3-ჯერ;
L - მეორდება 2-ჯერ;
ბ - გაიმეორეთ 1 ჯერ;
H - მეორდება 1 ჯერ;
და - მეორდება 1 ჯერ.

შეამოწმეთ: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, რისი შემოწმებაც გვინდოდა.

ფორმულის მიხედვით პერმუტაციების რაოდენობა გამეორებებით:
ასოების სხვადასხვა კომბინაციების მიღება შესაძლებელია. ნახევარ მილიონზე მეტი!

დიდი ფაქტორიალური მნიშვნელობის სწრაფად გამოსათვლელად, მოსახერხებელია გამოყენება სტანდარტული ფუნქცია Excel: ჩვენ ვაფასებთ ნებისმიერ უჯრედში =FACT(11)და დააწკაპუნეთ შედი.

პრაქტიკაში სავსებით მისაღებია არ დაწერო ზოგადი ფორმულადა, გარდა ამისა, გამოტოვეთ ერთეული ფაქტორები:

მაგრამ წინასწარი კომენტარები განმეორებით წერილებთან დაკავშირებით საჭიროა!

უპასუხე: 554400

გამეორებით პერმუტაციების კიდევ ერთი ტიპიური მაგალითი ჩნდება განლაგების პრობლემაში ჭადრაკის ფიგურებირომელიც შეგიძლიათ იპოვოთ საწყობში მზა გადაწყვეტილებებიშესაბამის pdf-ში. და დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, მე გამოვიტანე ნაკლებად შაბლონური დავალება:

დავალება 13

ალექსი დადის სპორტში და კვირაში 4 დღე - მძლეოსნობა, 2 დღე - ძალის ვარჯიშებიდა 1 დღე დასვენება. რამდენი გზით შეუძლია მას ყოველკვირეული გაკვეთილების დაგეგმვა?

ფორმულა აქ არ მუშაობს, რადგან ის ითვალისწინებს გადაფარვის პერმუტაციებს (მაგალითად, როდესაც ოთხშაბათს ძალის ვარჯიშები იცვლება ძალის ვარჯიშებით ხუთშაბათს). და კიდევ - ფაქტობრივად, ერთი და იგივე 2 ძალის ვარჯიში შეიძლება ძალიან განსხვავდებოდეს ერთმანეთისგან, მაგრამ დავალების კონტექსტში (განრიგის თვალსაზრისით) ისინი განიხილება იგივე ელემენტებად.

ორსტრიქონიანი ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

კომბინაციები გამეორებით

ფუნქციაამ ტიპის კომბინაცია არის ის, რომ ნიმუში შედგენილია რამდენიმე ჯგუფიდან, რომელთაგან თითოეული შედგება იგივე ობიექტებისგან.

დღეს ყველამ ბევრი იშრომა, ამიტომ დროა განახლდეთ:

დავალება 14

სტუდენტური კაფეტერია ყიდის სოსისებს ცომში, ჩიზქეიქებსა და დონატებში. რამდენი გზით შეიძლება ხუთი ნამცხვრის ყიდვა?

გამოსავალი: დაუყოვნებლივ მიაქციეთ ყურადღება გამეორებებთან კომბინაციების ტიპურ კრიტერიუმს - მდგომარეობის მიხედვით, არა ობიექტების ნაკრები, როგორც ასეთი, არამედ განსხვავებული სახეობები ობიექტები; ვარაუდობენ, რომ მინიმუმ ხუთი ჰოთ-დოგი, 5 ჩიზქეიქი და 5 დონატი იყიდება. ღვეზელები თითოეულ ჯგუფში, რა თქმა უნდა, განსხვავებულია - რადგან აბსოლუტურად იდენტური დონატების მოდელირება შესაძლებელია მხოლოდ კომპიუტერზე =) თუმცა ფიზიკური მახასიათებლებიღვეზელები არ არის არსებითი პრობლემის გაგებით და მათ ჯგუფებში ჰოთ-დოგები/ჩიზქეიქები/დონატები ერთნაირად ითვლება.

რა შეიძლება იყოს ნიმუშში? უპირველეს ყოვლისა, უნდა აღინიშნოს, რომ ნიმუში აუცილებლად შეიცავს იდენტური ღვეზელები(რადგან ჩვენ ვირჩევთ 5 ცალი, და არის 3 ტიპის არჩევანი). ვარიანტები აქ ყველა გემოვნებისთვის: 5 ჰოთ-დოგი, 5 ჩიზქეიქი, 5 დონატი, 3 ჰოთ-დოგი + 2 ჩიზქეიქი, 1 ჰოთ-დოგი + 2 + ჩიზქეიქი + 2 დონატი და ა.შ.

როგორც „რეგულარულ“ კომბინაციებში, ნიმუშში ღვეზელების შერჩევისა და განლაგების თანმიმდევრობასაც არ აქვს მნიშვნელობა - უბრალოდ 5 ცალი აირჩიეს და ესაა.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას კომბინაციების რაოდენობა გამეორებებით:
შეგიძლიათ შეიძინოთ 5 ღვეზელი.

Გემრიელად მიირთვით!

უპასუხე: 21

რა დასკვნის გამოტანა შეიძლება მრავალი კომბინატორიული პრობლემისგან?

ზოგჯერ ყველაზე რთულია მდგომარეობის გაგება.

მსგავსი მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:

დავალება 15

საფულეში საკმარისია დიდი რიცხვი 1-, 2-, 5- და 10 რუბლის მონეტები. რამდენი გზით შეიძლება სამი მონეტის ამოღება საფულედან?

თვითკონტროლისთვის უპასუხეთ წყვილს მარტივი კითხვები:

1) შეიძლება თუ არა ნიმუშის ყველა მონეტა განსხვავებული იყოს?
2) დაასახელეთ მონეტების „ყველაზე იაფი“ და „ყველაზე ძვირი“ კომბინაცია.

ამოხსნა და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს.

ჩემიდან პირადი გამოცდილება, შემიძლია ვთქვა, რომ კომბინაციები გამეორებით არის ყველაზე იშვიათი სტუმარი პრაქტიკაში, რაზეც ვერ ვიტყვი შემდეგი ფორმაკომბინაციები:

განთავსებები გამეორებებით

ელემენტებისაგან შემდგარი ნაკრებიდან შეირჩევა ელემენტები და მნიშვნელოვანია თითოეულ ნიმუშში ელემენტების თანმიმდევრობა. და ყველაფერი კარგად იქნება, მაგრამ საკმაოდ მოულოდნელი ხუმრობა ის არის, რომ ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ ორიგინალური ნაკრების ნებისმიერი ობიექტი რამდენჯერაც მოგვწონს. ფიგურალურად რომ ვთქვათ, "სიმრავლე არ შემცირდება".

როდის ხდება? ტიპიური მაგალითიარის კომბინირებული საკეტი რამდენიმე დისკთან, მაგრამ ტექნოლოგიის განვითარების გამო, უფრო აქტუალურია მისი ციფრული შთამომავლის გათვალისწინება:

დავალება 16

რამდენი 4-ნიშნა პინ კოდი არსებობს?

გამოსავალი: სინამდვილეში, პრობლემის გადასაჭრელად, საკმარისია იცოდეთ კომბინატორიკის წესები: შეგიძლიათ აირჩიოთ პინ კოდის პირველი ციფრი სხვადასხვა გზით. დაგზები - პინის კოდის მეორე ციფრი დაიმდენივე გზით - მესამედი დაიმდენი - მეოთხე. ამრიგად, კომბინაციების გამრავლების წესის მიხედვით, ოთხნიშნა პინ კოდი შეიძლება შედგეს: გზებით.

ახლა კი ფორმულით. პირობით, გვთავაზობენ ნომრების კომპლექტს, საიდანაც ირჩევა და განთავსდება ნომრები გარკვეული თანმიმდევრობით, ხოლო ნიმუშში მოცემული რიცხვები შეიძლება განმეორდეს (ანუ ორიგინალური ნაკრების ნებისმიერი ციფრი შეიძლება გამოყენებულ იქნას თვითნებურად რამდენჯერმე). განმეორებით განლაგების რაოდენობის ფორმულის მიხედვით:

უპასუხე: 10000

რა მახსენდება აქ ... ... თუ ბანკომატმა "ჭამს" ბარათს მესამეს შემდეგ წარუმატებელი მცდელობა PIN კოდის შეყვანა, შემდეგ მისი შემთხვევით არჩევის შანსი ძალიან მოჩვენებითია.

და ვინ თქვა, რომ კომბინატორიკას პრაქტიკული აზრი არ აქვს? შემეცნებითი დავალება საიტის ყველა მკითხველისთვის:

პრობლემა 17

Მიხედვით სახელმწიფო სტანდარტი, მანქანის სანომრე ნიშანი შედგება 3 ნომრისა და 3 ასოსგან. ამ შემთხვევაში სამი ნულის მქონე რიცხვი დაუშვებელია და ასოები შეირჩევა A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X სიმრავლიდან. (გამოიყენება მხოლოდ ის კირიული ასოები, რომელთა მართლწერა ემთხვევა ლათინურ ასოებს).

რამდენი განსხვავებული ნომრის შედგენა შეიძლება რეგიონისთვის?

ასე არ არის, სხვათა შორის, და ბევრი. AT ძირითადი რეგიონებიეს რიცხვი არ არის საკმარისი და, შესაბამისად, მათთვის არის რამდენიმე კოდი წარწერისთვის RUS.

ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. არ დაგავიწყდეთ კომბინატორიკის წესების გამოყენება ;-) ...მინდოდა ვიტრაბახო ექსკლუზიურად, მაგრამ აღმოჩნდა არა ექსკლუზიური =) ვიკიპედიას გადავხედე - არის გამოთვლები, თუმცა უკომენტაროდ. მიუხედავად იმისა, რომ შიგნით საგანმანათლებლო მიზნებიალბათ, ცოტამ თუ მოაგვარა.

ჩვენი საინტერესო აქტივობადასრულდა და ბოლოს მინდა ვთქვა, რომ თქვენ არ დაკარგეთ დრო - იმ მიზეზით, რომ კომბინატორიკის ფორმულები კიდევ ერთ სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია პრაქტიკული გამოყენება: ისინი ხვდებიან სხვადასხვა ამოცანები on ალბათობის თეორია,
და ში ამოცანები ალბათობის კლასიკურ განმარტებაზე- განსაკუთრებით ხშირად

მადლობა ყველას აქტიური მონაწილეობადა მალე გნახავ!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

დავალება 2: გამოსავალი: იპოვნეთ 4 კარტის ყველა შესაძლო პერმუტაციის რაოდენობა:

როდესაც ნულოვანი ბარათი პირველ ადგილზეა, რიცხვი ხდება სამნიშნა, ამიტომ ეს კომბინაციები უნდა გამოირიცხოს. მოდით ნული იყოს პირველ ადგილზე, შემდეგ დარჩენილი 3 ციფრი ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანი ციფრებში შეიძლება გადანაწილდეს გზებით.

შენიშვნა : იმიტომ რამდენიმე ბარათია, მარტივია ყველა ასეთი ვარიანტის ჩამოთვლა აქ:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

ამრიგად, შემოთავაზებული ნაკრებიდან შეგიძლიათ გააკეთოთ:
24 - 6 = 18 ოთხნიშნა რიცხვი
უპასუხე : 18

დავალება 4: გამოსავალი: 3 ბარათის არჩევა შესაძლებელია 36 გზით.
უპასუხე : 7140

დავალება 6: გამოსავალი: გზები.
კიდევ ერთი გამოსავალი : გზები, რომლითაც შეგიძლიათ აირჩიოთ ორი ადამიანი ჯგუფიდან და და
2) "იაფი" ნაკრები შეიცავს 3 რუბლის მონეტას, ხოლო ყველაზე "ძვირადღირებული" ნაკრები შეიცავს 3 ათ რუბლიან მონეტას.

დავალება 17: გამოსავალი: როგორ შეგიძლიათ გააკეთოთ სანომრე ნიშნის ციფრული კომბინაცია, მაშინ როცა ერთი მათგანი (000) უნდა გამოირიცხოს:.
გზები, რომლითაც შეგიძლიათ გააკეთოთ ასოების კომბინაცია მანქანის ნომრიდან.
კომბინაციების გამრავლების წესის მიხედვით, ყველაფერი შეიძლება შედგეს:
მანქანის ნომრები
(თითოეულიციფრული კომბინაცია კომბინირებული თითოეულთან ერთადასოების კომბინაცია).
უპასუხე : 1726272

კომბინაციური პრობლემები

1 . კატია, მაშა და ირა ბურთით თამაშობენ. თითოეულმა მათგანმა ერთხელ უნდა გადააგდოს ბურთი თითოეული მეგობრის მიმართულებით. რამდენჯერ უნდა გადააგდოს ბურთი თითოეულმა გოგონამ? რამდენჯერ მოხდება ბურთის გადაგდება? დაადგინეთ, რამდენჯერ ჩააგდებენ ბურთს, თუ თამაშს ესწრება: ოთხი ბავშვი; ხუთი შვილი.

2 . მოცემულია სამი ფასადი და ორი სახურავი, რომლებსაც აქვთ იგივე ფორმა, მაგრამ შეღებილია სხვადასხვა ფერებში: ფასადები არის ყვითელი, ლურჯი და წითელი, ხოლო სახურავები ლურჯი და წითელი. რა სახლების აშენება შეიძლება? რამდენი კომბინაცია არსებობს?

3 . მოცემულია სახლის სამი იდენტური ფასადი: ლურჯი, ყვითელი და წითელი - და სამი სახურავი: ლურჯი, ყვითელი და წითელი. რა სახლების აშენება შეიძლება? რამდენი კომბინაცია არსებობს?

4 . დროშების დიზაინი შეიძლება იყოს წრე, კვადრატი, სამკუთხედი ან ვარსკვლავი და შეიძლება იყოს შეღებილი მწვანე ან წითელი. რამდენი განსხვავებული დროშა შეიძლება იყოს?

5. სკოლის სასადილოში მეორე კერძად ამზადებდნენ ხორცს, ხორცს და თევზს. დესერტად - ნაყინი, ხილი და ღვეზელი. შეგიძლიათ აირჩიოთ ერთი ძირითადი და ერთი დესერტის კურსი. რამდენი არსებობს სხვადასხვა ვარიანტებისადილი?

6. სკოლის სასადილოში ლანჩზე ამზადებდნენ წვნიანს ხორცით და ვეგეტარიანულ წვნიანს პირველ კერძად, ხორცს, ხორცს და თევზს მეორეზე, ნაყინს, ხილს და ღვეზელს ტკბილეულისთვის. რამდენი განსხვავებული ვარიანტია სამჯერადი კერძისთვის?

7. რამდენი გზით შეიძლება სამი მოსწავლის ზედიზედ დაჯდომა სკამებზე? ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო შემთხვევა.

8 . რამდენი გზით შეიძლება ოთხი (ხუთი) ადამიანი გამოდგეს?

9 . FROM სხვადასხვა მხარესამი ბილიკი აღმართულია ბორცვზე და ერთვება მწვერვალზე. შეადგინეთ მრავალი მარშრუტი, რომლითაც შეგიძლიათ ახვიდეთ და დაეშვით გორაზე. მოაგვარეთ ერთი და იგივე პრობლემა, თუ გიწევთ სხვადასხვა ბილიკით ასვლა.

10 . სამი გზა მიემართება აკულოვოდან რიბნიცამდე, ხოლო ოთხი გზა რიბნიცადან კიტოვოსკენ. რამდენი გზა არსებობს აკულოვოდან კიტოვოში რიბნიცას გავლით?

11 . მარცვას ღია ეწოდება, თუ ის იწყება თანხმოვნით და მთავრდება ხმოვანებით. რამდენი ღია ორასოიანი მარცვალი შეიძლება დაიწეროს ასოების "ა", "ბ", "გ", "დ", "ე", "ი", "ო" ასოების გამოყენებით? ჩამოწერეთ ეს შრიფტები.

12. რამდენი განსხვავებული ბლუზა და ქვედაკაბა შეგიძლიათ გააკეთოთ, თუ გაქვთ 4 ბლუზა და 4 ქვედაკაბა?

13. როდესაც პეტია სკოლაში მიდის, ის ზოგჯერ ხვდება თავის ერთ ან რამდენიმე მეგობარს: ვასიას, ლენიას, ტოლიას. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო შემთხვევა, რაც შეიძლება იყოს.

14 . ჩაწერეთ ყველა შესაძლო ორნიშნა რიცხვი 7 და 4 რიცხვების გამოყენებით.

15 . მიშა აპირებდა ყიდვა: ფანქარი, სახაზავი, რვეული და რვეული. დღეს მან მხოლოდ ორი იყიდა სხვადასხვა საგანი. რისი ყიდვა შეიძლებოდა მიშას, თუ ვივარაუდებთ, რომ მაღაზიას ჰქონდა ყველა საჭირო საგანმანათლებლო მასალა?

16 . ოთხმა ადამიანმა ხელი ჩამოართვა. რამდენი ხელის ჩამორთმევა იყო?

17 . რამდენი ორნიშნა რიცხვია 0 ციფრის გარეშე?

18 . ჩაწერეთ ყველა შესაძლო სამნიშნა რიცხვი, რომელიც შეიძლება ჩამოყალიბდეს 1 და 2 რიცხვებიდან.

19 . ჩაწერეთ ყველა შესაძლო ლუწი სამნიშნა რიცხვი, რომელიც შედგება 1 და 2 რიცხვებისგან.

20 . ჩაწერეთ ყველა შესაძლო ორნიშნა რიცხვი, რომელიც იყენებს 2, 8 და 5 რიცხვებს.

21 . რამდენი განსხვავებული ორნიშნა რიცხვია, რომელთა ყველა ციფრი კენტია?

22 . რა სამნიშნა რიცხვები შეიძლება დაიწეროს 3, 7 და 1 ნომრების გამოყენებით, იმ პირობით, რომ რიცხვი არ უნდა შეიცავდეს იგივე ციფრებს? რამდენი ასეთი რიცხვია?

23 . Როგორ სამნიშნა რიცხვებიშეიძლება შედგებოდეს რიცხვები 1, 2, 4, 6, თუ რიცხვი არ არის გამოყენებული ერთზე მეტჯერ? ამ რიცხვებიდან რამდენი იქნება ლუწი? რამდენი უცნაურია?

24 . მანქანას ხუთი ადგილი აქვს. რამდენი გზით შეიძლება ხუთ ადამიანს ჩაჯდეს ამ მანქანაში, თუ მათგან მხოლოდ ორს შეუძლია მძღოლის ადგილის დაკავება?

25. კლასში არის 5 ერთადგილიანი მერხი. რამდენი გზით შეიძლება მათზე ორი (სამი) ახლად ჩამოსული სკოლის მოსწავლე დაჯდეს?

26 . გაიხსენეთ ი.კრილოვის იგავი „კვარტეტი“:

კვარტეტზე დაკვრა დაიწყო ბოროტმა მაიმუნმა, ვირმა, თხამ და ცერცფეხა მიშკამ. მშვილდებს ურტყამენ, იშლიან, მაგრამ აზრი არ აქვს. „გაჩერდით, ძმებო, გაჩერდით! - იძახის მაიმუნი. - მოიცადე! როგორ მიდის მუსიკა? ასე არ ჯდები“. Რამდენი სხვადასხვა გზებიშეიძლება ამ მუსიკოსებმა სცადონ დაჯდომა? შეუძლია თუ არა ამან გააუმჯობესოს მათი თამაშის ხარისხი?

27 . ბიჭები და გოგოები ზედიზედ სხედან ზედიზედ ადგილებზე, ბიჭები კენტ ადგილებზე სხედან, გოგოები კი ლუწ ადგილებზე. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება, თუ:

ა) 6 ადგილზე ზის 3 ბიჭი და 3 გოგონა;

ბ) 5 ბიჭი და 5 გოგონა ზის 10 ადგილზე?

28 . ცარიელ დაფაზე უნდა დაიდოს ორი ქვა – შავი და თეთრი. რამდენი განსხვავებული პოზიციის დაკავება შეუძლიათ მათ დაფაზე?

29. მოდით, მანქანის ნომერი შედგებოდეს ორი ასოსგან, რასაც მოჰყვება ორი რიცხვი, მაგალითად AB-53. რამდენი განსხვავებული რიცხვის დადგენა შეიძლება 5 ასოსა და 6 რიცხვის გამოყენებით?

30 . მანქანის ნომერი შედგება სამი ასოსა და ოთხი ნომრისგან. რამდენი განსხვავებული სანომრე ნიშნები(სამი ასო აღებულია რუსული ანბანის 29 ასოდან)?

31 . დავუშვათ, ბიბლიოთეკაში, შემნახველ ბანკში, ფოსტაში უნდა წახვიდე და ფეხსაცმელი მისცე სარემონტოდ. უმოკლესი მარშრუტის არჩევისთვის აუცილებელია ყველა შესაძლო ვარიანტის გათვალისწინება. რამდენი გზა არსებობს, თუ ბიბლიოთეკა, შემნახველი ბანკი, ფოსტა და ფეხსაცმლის მაღაზია ერთმანეთისგან შორს არიან?

32. დავუშვათ, ბიბლიოთეკაში, შემნახველ ბანკში, ფოსტაში უნდა წახვიდე და ფეხსაცმელი მისცე სარემონტოდ. უმოკლესი მარშრუტის არჩევისთვის აუცილებელია ყველა შესაძლო ვარიანტის გათვალისწინება. რამდენი გონივრული გზა არსებობს, თუ ბიბლიოთეკა და ფოსტა ახლოს არის, მაგრამ შორს არის შემნახველი ბანკი და ფეხსაცმლის მაღაზია, რომლებიც ერთმანეთისგან შორს არიან?

33. ვაგონში მყოფ მგზავრებს შორის ოთხი ჟურნალის აქტიური განხილვა გაიმართა. აღმოჩნდა, რომ ყველა იწერს ორ ჟურნალს, ხოლო ორი ჟურნალის შესაძლო კომბინაციას ერთი ადამიანი იწერს. რამდენი ადამიანი იყო ამ ჯგუფში?

34 . ხუთი კამათელია, რომლებიც ერთმანეთისგან მხოლოდ ფერით განსხვავდება: 2 წითელი, 1 თეთრი და 2 შავი. არის ორი ყუთი A და B, სადაც A შეიცავს 2 კუბს და B - 3. რამდენი განსხვავებული გზით შეიძლება განთავსდეს ეს კუბურები A და B უჯრებში?

35. იმისთვის, რომ გამაახალგაზრდავებელი ვაშლები ცარ მამასთან მიიტანოს, ივან ცარევიჩმა უნდა იპოვნოს ერთადერთი ჭეშმარიტი გზა ჯადოსნური ბაღისკენ. მე შევხვდი ივან ცარევიჩს ბებერი ყორნის სამ გზაზე მდებარე გასაყარზე და აი რა რჩევა მოვისმინე მისგან:

1) ახლავე წადით სწორი გზით;

2) ჩართული შემდეგი ჩანგალიარ აირჩიო სწორი გზა;

3) მესამე ჩანგალზე არ აიღოთ მარცხენა გზა.

წარსულში მფრინავმა მტრედმა ჩასჩურჩულა ივან ცარევიჩს, რომ ყორანის მხოლოდ ერთი რჩევა იყო სწორი და რომ აუცილებლად უნდა გაიაროს ბილიკები სხვადასხვა მიმართულებით. ჩვენმა გმირმა დაასრულა დავალება და დასრულდა ჯადოსნურ ბაღში. რა გზა გაიარა?

„ჰაბრაჰაბრის“ მკითხველებს ვთავაზობ პუბლიკაციის „100 პატიმარი გაქცევის თავსატეხის“ თარგმანს, რომელიც DataGenetics-ის ვებგვერდზე ვიპოვე. გთხოვთ, გამოაგზავნოთ ყველა შეცდომა ამ სტატიაში პირად შეტყობინებებში.

პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, ციხეში 100 პატიმარია, რომელთაგან თითოეულს აქვს პირადი ნომერი 1-დან 100-მდე. ციხის გამგე გადაწყვეტს პატიმრებს გათავისუფლების შანსი მისცეს და მის მიერ გამოგონილი გამოცდის ჩაბარებას სთავაზობს. თუ ყველა პატიმარი წარმატებას მიაღწევს, მაშინ ისინი თავისუფლდებიან, თუ ერთი მაინც ვერ მოხერხდება, ყველა კვდება.

Დავალება

ციხის მცველი მიდის საიდუმლო ოთახიდა ამზადებს 100 ყუთს ხუფებით. თითოეულ ყუთზე ის აღნიშნავს ციფრებს 1-დან 100-მდე. შემდეგ მოაქვს 100 ქაღალდის ტაბლეტი, პატიმართა რაოდენობის მიხედვით, და ნომრავს ამ ტაბლეტებს 1-დან 100-მდე. სახურავის დახურვა. პატიმრები ვერ ხედავენ, როგორ ახორციელებს ციხის მბრძანებელი ყველა ამ მოქმედებას.

შეჯიბრი იწყება, ციხის მცველი სათითაოდ მიჰყავს ოთახში ყუთებით და ეუბნება პატიმრებს, რომ უნდა იპოვონ ყუთი, რომელშიც განთავსებული იქნება ფირფიტა პატიმრის ნომრით. პატიმრები ყუთების გახსნით ცდილობენ თავიანთი ნომრის მქონე ფირფიტის პოვნას. თითოეულს უფლება აქვს გახსნას 50-მდე ყუთი; თუ თითოეული პატიმარი იპოვის თავის ნომერს, მაშინ პატიმრები გათავისუფლდებიან, თუ ერთი მათგანი მაინც ვერ იპოვის თავის ნომერს 50 მცდელობაში, მაშინ ყველა პატიმარი მოკვდება.

იმისათვის, რომ პატიმარი გათავისუფლდნენ, ყველა პატიმარმა წარმატებით უნდა გაიაროს ტესტი.

მაშ, რა არის შანსი, რომ პატიმრები შეიწყალონ?

• მას შემდეგ, რაც პატიმარი გახსნის ყუთს და შეამოწმებს თეფშს, ის ისევ ყუთში იდება და თავსახური ისევ იხურება;
• ფირფიტების ადგილების შეცვლა შეუძლებელია;
• სასამართლო პროცესის დაწყების შემდეგ პატიმრებს არ შეუძლიათ ერთმანეთისთვის მინიშნებების დატოვება ან რაიმე სახის ურთიერთობა ერთმანეთთან;
• პატიმრებს უფლება აქვთ განიხილონ სტრატეგია სასამართლო პროცესის დაწყებამდე.

რა არის ოპტიმალური სტრატეგია პატიმრებისთვის?

დამატებითი კითხვა:

თუ პატიმრის მეგობარი (არ არის ტესტის მონაწილე) შეძლებს საიდუმლო ოთახში შესვლას ტესტის დაწყებამდე, შეამოწმეთ ყველა ტაბლეტი ყველა ყუთში და (სურვილისამებრ, მაგრამ არ არის საჭირო) შეცვალეთ ორი ტაბლეტი ორი ყუთიდან. (ამ შემთხვევაში ამხანაგს არ ექნება საშუალება ორივეს აცნობოს პატიმრებს თავისი მოქმედების შედეგი), მაშინ რა სტრატეგია უნდა მიმართოს პატიმრების გაქცევის შანსების გაზრდას?

გამოსავალი წარმოუდგენელია?

ერთი შეხედვით, ეს ამოცანა თითქმის უიმედო ჩანს. როგორც ჩანს, თითოეულ პატიმარს თავისი ტაბლეტის პოვნის შანსი მიკროსკოპულად მცირეა. გარდა ამისა, სასამართლო პროცესის დროს პატიმრები ერთმანეთს ვერ უცვლიან ინფორმაციას.

ერთი პატიმრის შანსები 50:50-ია. სულ 100 ყუთია და მას შეუძლია 50-მდე ყუთი გახსნას თავისი ნიშნის მოსაძებნად. თუ ის ხსნის ყუთებს შემთხვევით და გახსნის ყველა ყუთის ნახევარს, ის იპოვის თავის ტაბლეტს ყუთების ღია ნახევარში, ან მისი ტაბლეტი დარჩება დახურულ 50 ყუთში. მისი წარმატების შანსი არის ½.

ავიღოთ ორი პატიმარი. თუ ორივე შემთხვევით აირჩევს ყუთებს, თითოეული მათგანის შანსი იქნება ½, ხოლო ორისთვის ½x½=¼.
(ორი პატიმრისთვის წარმატება ოთხიდან ერთ შემთხვევაში იქნება).

სამი პატიმრისთვის შანსებია ½ × ½ × ½ = ⅛.

100 პატიმრისთვის შანსებია: ½ × ½ × … ½ × ½ (გამრავლება 100-ჯერ).

ეს უდრის

Pr ≈ 0.000000000000000000000000000000008

ასე რომ ძალიან მცირე შანსია. ამ სცენარში, დიდი ალბათობით, ყველა პატიმარი მკვდარი იქნება.

წარმოუდგენელი პასუხი

თუ თითოეული პატიმარი ხსნის ყუთებს შემთხვევით, ისინი ნაკლებად სავარაუდოა, რომ გაიარონ ტესტი. არსებობს სტრატეგია, სადაც პატიმრებს შეუძლიათ წარმატების მოლოდინი 30%-ზე მეტჯერ. ეს არის განსაცვიფრებლად წარმოუდგენელი შედეგი (თუ არ გსმენიათ ამის შესახებ მათემატიკის პრობლემაადრე).

30%-ზე მეტი 100-ვე პატიმარზე! დიახ, ეს კიდევ უფრო მეტია, ვიდრე ორი პატიმრის შანსები, იმ პირობით, რომ ისინი შემთხვევით გახსნიან ყუთებს. მაგრამ როგორ არის ეს შესაძლებელი?

გასაგებია, რომ თითო პატიმარზე თითო შანსები არ შეიძლება იყოს 50%-ზე მეტი (ბოლოს და ბოლოს, პატიმრებს შორის კომუნიკაციის საშუალება არ არსებობს). მაგრამ არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ინფორმაცია ინახება ყუთების შიგნით ფირფიტების ადგილას. არავინ არ არევს ტაბლეტებს ცალკეული პატიმრების ოთახში ვიზიტებს შორის, ამიტომ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ეს ინფორმაცია.

გამოსავალი

ჯერ გეტყვით გამოსავალს, შემდეგ აგიხსნით რატომ მუშაობს.

სტრატეგია ძალიან მარტივია. პატიმარებიდან პირველი ხსნის ყუთს, რომელზეც ტანსაცმელზე აწერია ნომერი. მაგალითად, პატიმარი ნომერი 78 ხსნის ყუთს ნომრით 78. თუ ის აღმოაჩენს თავის ნომერს ყუთში თეფშზე, ეს შესანიშნავია! თუ არა, ის ათვალიერებს თეფშზე დატანილ ნომერს „თავის“ ყუთში და შემდეგ ხსნის შემდეგ უჯრას ამ ნომრით. მეორე ყუთის გახსნის შემდეგ ის ათვალიერებს ტაბლეტის ნომერს ამ ყუთში და ხსნის მესამე ყუთს ამ ნომრით. შემდეგ ჩვენ უბრალოდ გადავიტანთ ამ სტრატეგიას დანარჩენ უჯრებზე. სიცხადისთვის შეხედეთ სურათს:

საბოლოოდ, პატიმარი ან იპოვის თავის ნომერს ან მიაღწევს 50 ყუთის ლიმიტს. ერთი შეხედვით, ეს უაზრო ჩანს ყუთის შემთხვევით არჩევასთან შედარებით (და ერთი ცალკეული პატიმრისთვის ეს ასეა), მაგრამ რადგან 100-ვე პატიმარი გამოიყენებს ყუთების ერთსა და იმავე კომპლექტს, აზრი აქვს.

ამის სილამაზე მათემატიკის პრობლემა- არა მხოლოდ შედეგის ცოდნა, არამედ იმის გაგებაც რატომეს სტრატეგია მუშაობს.

რატომ მუშაობს სტრატეგია?

თითოეული ყუთი შეიცავს ერთ ფირფიტას - და ეს ფირფიტა უნიკალურია. ეს ნიშნავს, რომ ფირფიტა არის იმავე ნომრის ყუთში, ან ის მიუთითებს სხვა ყუთზე. ვინაიდან ყველა ფირფიტა უნიკალურია, თითოეული ყუთისთვის არის მხოლოდ ერთი ფირფიტა, რომელიც მიუთითებს მასზე (და მხოლოდ ერთი გზა ამ ყუთამდე მისასვლელად).

თუ დაფიქრდებით, ყუთები ქმნიან დახურულ წრიულ ჯაჭვს. ერთი ყუთი შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი ჯაჭვის ნაწილი, რადგან ყუთის შიგნით არის მხოლოდ ერთი მაჩვენებელი მომდევნოზე და, შესაბამისად, წინა ყუთში არის მხოლოდ ერთი მაჩვენებელი ამ უჯრაზე (პროგრამებს შეუძლიათ ნახონ ანალოგია დაკავშირებული სიებით).

თუ ყუთი არ მიუთითებს თავისკენ (ყუთის ნომერი უდრის მასში არსებული ფირფიტის ნომერს), მაშინ ის იქნება ჯაჭვში. ზოგიერთი ჯაჭვი შეიძლება შედგებოდეს ორი ყუთისგან, ზოგი უფრო გრძელია.

ვინაიდან ყველა პატიმარი იწყებს ტანსაცმლის ერთნაირი ნომრის ყუთით, ისინი, განსაზღვრებით, მოთავსებულია ჯაჭვზე, რომელიც შეიცავს მათ სახელწოდებას (არსებობს მხოლოდ ერთი სახელწოდება, რომელიც მიუთითებს ამ ყუთზე).

წრეში ამ ჯაჭვის გასწვრივ ყუთების შესწავლისას, ისინი გარანტირებულია, რომ საბოლოოდ იპოვიან თავიანთ ფირფიტას.

ერთადერთი კითხვა რჩება, იპოვიან თუ არა ისინი თავიანთ ტაბლეტს 50 სვლით.

ჯაჭვის სიგრძე

იმისათვის, რომ ყველა პატიმარმა გაიაროს ტესტი, ჯაჭვის მაქსიმალური სიგრძე უნდა იყოს 50 ყუთზე ნაკლები. თუ ჯაჭვი 50 ყუთზე მეტია, ამ ჯაჭვების ნომრის მქონე პატიმრები ვერ ჩააბარებენ გამოცდას - და ყველა პატიმარი მოკვდება.

თუ ყველაზე გრძელი ჯაჭვის მაქსიმალური სიგრძე 50 ყუთზე ნაკლებია, მაშინ ყველა პატიმარი გაივლის გამოცდას!

ერთი წამით დაფიქრდი. გამოდის, რომ ფირფიტების ნებისმიერ განლაგებაში შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი ჯაჭვი, რომელიც 50 ყუთზე გრძელია (ჩვენ გვაქვს მხოლოდ 100 ყუთი, ასე რომ, თუ ერთი ჯაჭვი 50-ზე გრძელია, მაშინ დანარჩენი იქნება 50-ზე მოკლე).

გრძელი ჯაჭვის ხელის შანსები

მას შემდეგ რაც საკუთარ თავს დარწმუნდებით, რომ ჯაჭვის მაქსიმალური სიგრძე უნდა იყოს 50-ზე ნაკლები ან ტოლი წარმატების მისაღწევად და შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი გრძელი ჯაჭვი ნებისმიერ კომპლექტში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ გამოწვევის გავლის ალბათობა:

კიდევ ცოტა მათემატიკა

მაშ, რა გვჭირდება გრძელი ჯაჭვის ალბათობის გასარკვევად?

l სიგრძის ჯაჭვისთვის ალბათობა იმისა, რომ ყუთები ამ ჯაჭვის გარეთ იქნება:

არის (l-1) რიცხვების ამ კრებულში! ნიშნების მოწყობის გზები.

დარჩენილი ნიშნები შეიძლება განთავსდეს (100-ლ)! გზები (არ დაგავიწყდეთ, რომ ჯაჭვის სიგრძე არ აღემატება 50-ს).

ამის გათვალისწინებით, პერმუტაციების რაოდენობა, რომელიც შეიცავს ჯაჭვს ზუსტი სიგრძელ: (>50)

გამოდის, რომ არსებობს ფირფიტების მოწყობის 100(!) გზა, რომ l სიგრძის ჯაჭვის არსებობის ალბათობა უდრის 1/ლ-ს. სხვათა შორის, ეს შედეგი არ არის დამოკიდებული ყუთების რაოდენობაზე.

როგორც უკვე ვიცით, შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი შემთხვევა, როდესაც არსებობდეს ჯაჭვი სიგრძით > 50, ამიტომ წარმატების ალბათობა გამოითვლება ამ ფორმულით:

შედეგი

31,18% - ალბათობა იმისა, რომ ყველაზე გრძელი ჯაჭვის ზომა იქნება 50-ზე ნაკლები და თითოეული პატიმარი შეძლებს თავისი ტაბლეტის პოვნას, 50 მცდელობის ლიმიტის გათვალისწინებით.

ალბათობა იმისა, რომ ყველა პატიმარი იპოვის თეფშს და გაივლის გამოცდას არის 31,18%.

ქვემოთ მოცემულია დიაგრამა, რომელიც აჩვენებს ალბათობას (y ღერძზე) l სიგრძის ყველა ჯაჭვისთვის (x ღერძზე). წითელი ნიშნავს ყველა "ჩავარდნას" (მოცემული მრუდი აქ არის მხოლოდ 1/ლ ნაკვეთი). მწვანე ფერინიშნავს "წარმატებას" (გრაფიკის ამ ნაწილისთვის გამოთვლა ცოტა უფრო რთულია, რადგან დადგენის რამდენიმე გზა არსებობს მაქსიმალური სიგრძე <50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

ჰარმონიული ნომერი (სტატიის ეს ნაწილი გეიკებისთვისაა)

მათემატიკაში n-ე ჰარმონიული რიცხვი არის ბუნებრივი რიგის პირველი n ზედიზედ რიცხვების საპასუხო ჯამი.

გამოვთვალოთ ლიმიტი, თუ 100a უჯრის ნაცვლად გვაქვს ყუთების თვითნებური დიდი რაოდენობა (დავუშვათ, რომ სულ გვაქვს 2n ყუთი).

ეილერ-მასჩერონის მუდმივა არის მუდმივი, რომელიც განისაზღვრება, როგორც სხვაობის ზღვარი ჰარმონიული რიგის ნაწილობრივ ჯამსა და რიცხვის ბუნებრივ ლოგარითმს შორის.

პატიმართა რიცხვის მატებასთან ერთად, თუ ზედამხედველი პატიმრებს საშუალებას აძლევს გახსნან ყუთების ნახევარი, მაშინ გადარჩენის შანსი 30,685%-მდეა.

(თუ თქვენ მიიღეთ გადაწყვეტილება, რომლის დროსაც პატიმრები შემთხვევით გამოიცნობენ ყუთებს, მაშინ როცა პატიმრების რაოდენობა იზრდება, გადარჩენის ალბათობა ნულისკენ მიდის!)

დამატებითი კითხვა

კიდევ ვინმეს გახსოვთ დამატებითი შეკითხვა? რა შეუძლია გააკეთოს ჩვენმა დამხმარე ამხანაგმა გადარჩენის შანსების გასაზრდელად?

ახლა ჩვენ უკვე ვიცით გამოსავალი, ამიტომ სტრატეგია აქ მარტივია: მან უნდა გამოიკვლიოს ყველა ნიშანი და მოძებნოს ყუთების ყველაზე გრძელი ჯაჭვი. თუ ყველაზე გრძელი ჯაჭვი 50-ზე ნაკლებია, მაშინ მას საერთოდ არ სჭირდება ტაბლეტების შეცვლა, ან მათი შეცვლა ისე, რომ ყველაზე გრძელი ჯაჭვი 50-ზე გრძელი არ გახდეს. თუმცა, თუ ის აღმოაჩენს 50 ყუთზე მეტ ჯაჭვს, მას მხოლოდ უნდა შეცვალოს ორი ყუთის შიგთავსი ამ ჯაჭვიდან, რათა ეს ჯაჭვი ორ მოკლე ჯაჭვად დაშალოს.

ამ სტრატეგიის შედეგად არ იქნება გრძელი ჯაჭვები და ყველა პატიმარს გარანტირებული აქვს თავისი ნიშნის პოვნა და ხსნა. ასე რომ, ორი ნიშნის გაცვლით ხსნის ალბათობას 100%-მდე ვამცირებთ!

2017-2018 სასწავლო სამუშაო მათემატიკაში მე-11 კლასი

ვარიანტი 2 (ძირითადი)

თითოეული დავალების პასუხი არის საბოლოო ათობითი წილადი, მთელი რიცხვი ან ციფრების თანმიმდევრობა. ამოცანების პასუხები პასუხის ველში ჩაწერეთ ნაწარმოების ტექსტში, შემდეგ კი გადაიტანეთ პასუხის ფორმა No1-ში შესაბამისი დავალების ნომრის მარჯვნივ. თუ პასუხი არის რიცხვების თანმიმდევრობა, მაშინ ჩაწერეთ ეს თანმიმდევრობა პასუხების ფურცელ No1-ში.ინტერვალის, მძიმეებისა და სხვა დამატებითი სიმბოლოების გარეშე. ცალკე უჯრაში ჩაწერეთ თითოეული რიცხვი, მინუს ნიშანი და მძიმე. საზომი ერთეულები არ არის საჭირო.

1

პასუხი: _________________.

2 . იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

პასუხი: _________________.

3 . სკოლაში გოგონები ყველა მოსწავლის 51%-ს შეადგენენ. რამდენი გოგოა ამ სკოლაში, თუ ბიჭებზე 8 გოგო მეტია?

პასუხი: _________________.

4 . სამი რიცხვის ჰარმონიული საშუალოა , ბ დათან, გამოითვლება ფორმულით იპოვეთ რიცხვების ჰარმონიული საშუალო

პასუხი: _________________.

5. გამოთვალეთ:

პასუხი: _________________.

6 . ინსტიტუტის მამაკაცთა საერთო საცხოვრებელში თითო ოთახში არაუმეტეს სამი ადამიანის განთავსებაა შესაძლებელი. რა არის ოთახების ყველაზე მცირე რაოდენობა, რომელიც საჭიროა 79 ქალაქგარე სტუდენტისთვის?

პასუხი: _________________.

7 .იპოვეთ განტოლების ფესვი

პასუხი: _________________.

8 . ბინა შედგება ორი ოთახისგან, სამზარეულოსგან, დერეფნისა და სველი წერტილისგან (იხ. ნახაზი). პირველ ოთახს აქვს 4 მ 4 მ, მეორეს - 4 მ 3,5 მ, სამზარეულოს აქვს ზომები 4 მ 3,5 მ, აბაზანა - 1,5 მ 2 მ. იპოვეთ დერეფნის ფართობი. მიეცით პასუხი კვადრატულ მეტრში.

პასუხი: _________________.

9 . დაადგინეთ შესაბამისობა რაოდენობებსა და მათ შესაძლო მნიშვნელობებს შორის: პირველი სვეტის თითოეული ელემენტისთვის აირჩიეთ შესაბამისი ელემენტი მეორე სვეტიდან.

VALUE VALUES

ა) კომოდის მოცულობა 1) 0,75 ლ

ბ) წყლის მოცულობა კასპიის ზღვაში 2) 78200 კმ 3

გ) რიაჟენკას შეფუთვის მოცულობა 3) 96 ლ

დ) რკინიგზის ვაგონის მოცულობა 4) 90 მ 3

ცხრილში, თითოეული ასოს ქვეშ, რომელიც შეესაბამება მნიშვნელობას, მიუთითეთ მისი შესაძლო მნიშვნელობის რაოდენობა.

პასუხი:

პასუხი: _________________.

10 . რუსული ენის ოლიმპიადაზე მონაწილეები სხედან სამ კლასში. პირველ ორში, თითოეულში 130 ადამიანი, დანარჩენები სხვა კორპუსის სარეზერვო აუდიტორიაში გადაიყვანეს. დათვლისას აღმოჩნდა, რომ სულ 400 მონაწილე იყო. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეულმა მონაწილემ დაწერა ოლიმპიადა სათადარიგო ოთახში.

პასუხი: _________________.

11 . ფიგურაში მოცემულია ატმოსფერული წნევის მნიშვნელობების გრაფიკი კონკრეტულ ქალაქში სამი დღის განმავლობაში. კვირის დღეები და დრო მითითებულია ჰორიზონტალურად, ატმოსფერული წნევის მნიშვნელობები ვერცხლისწყლის მილიმეტრებში მითითებულია ვერტიკალურად. იპოვეთ ატმოსფერული წნევის მნიშვნელობა ოთხშაბათს 12 საათზე. მიეცით პასუხი ვერცხლისწყლის მილიმეტრებში.

პასუხი: ____________.

12. აბზაციდანმაგრამ აბზაცამდედ სამი გზა მიდის. ნივთის საშუალებითAT სატვირთო მანქანა წერტილის გავლით საშუალოდ 44 კმ/სთ სიჩქარით მოძრაობსFROM ავტობუსი საშუალოდ 36 კმ/სთ სიჩქარით მოძრაობს. მესამე გზა შუალედური წერტილების გარეშეა და მის გასწვრივ საშუალო სიჩქარით 48 კმ/სთ მოძრაობს მსუბუქი ავტომობილი. დიაგრამა აჩვენებს წერტილებს შორის მანძილს კილომეტრებში. ავტობუსი, სატვირთო და მსუბუქი ავტომობილი წერტილიდან ერთდროულად დატოვამაგრამ . რომელ მანქანამდე მივიდად სხვებზე გვიან? თქვენს პასუხში მიუთითეთ რამდენი საათი იყო ის გზაზე.

პასუხი: _________________.

13. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდა 1 კიდით იყო მიმაგრებული 1-ლი კიდით რეგულარულ ექვსკუთხა პრიზმაზე ისე, რომ ფუძეების სახეები დაემთხვა. რამდენი სახე აქვს მიღებულ პოლიედრონს (სურათზე უხილავი კიდეები არ არის ნაჩვენები)?

პასუხი: _________________.

14. ფიგურაში ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი ქულებია, ბ, C, დდაეღერძზე დაყენებულიX ოთხი ინტერვალით. გრაფიკის გამოყენებით შეადარეთ თითოეული ინტერვალი ფუნქციის ან მისი წარმოებულის მახასიათებლებს.

ფუნქციის ან წარმოებულის მახასიათებლების ინტერვალები

A) (A; B) 1) ფუნქცია ცვლის ნიშანს "-"-დან "+"-ზე

ბ) (C; C) 2) წარმოებული ცვლის ნიშანს "-"-დან "+"-მდე

ბ) (C;დ) 3) წარმოებული ცვლის ნიშანს "+"-დან "-"-ზე

გ) (დ; ე) 4) ფუნქცია დადებითი და მზარდია

თითოეული ასოს ქვემოთ მოცემულ ცხრილში მიუთითეთ შესაბამისი ნომერი.

15 . წრეზე ცენტრითო ქულები აღინიშნებამაგრამ დაAT ისე რომ პატარა რკალის სიგრძეAB არის 3. იპოვეთ უფრო დიდი რკალის სიგრძე.

პასუხი: _________________.

16 . მოცემულია ორი ყუთი, რომლებსაც აქვთ რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფორმა. პირველი ყუთი ოთხნახევარჯერ დაბალია მეორეზე, ხოლო მეორე სამჯერ ვიწროა პირველზე. რამდენჯერ მეტია პირველი ყუთის მოცულობა მეორის მოცულობაზე?

პასუხი: _________________.

17. მარცხენა სვეტის ოთხი უტოლობიდან თითოეული შეესაბამება მარჯვენა სვეტის ერთ-ერთ ამონახს. დაამყარეთ შესაბამისობა უტოლობასა და მათ ამონახსნებს შორის.

გადაწყვეტილებების უთანასწორობა

მაგრამ)

ბ)

AT)

გ)

პასუხში მოცემულ ცხრილში თითოეული ასოს ქვეშ ჩაწერეთ გადაწყვეტილების შესაბამისი ნომერი.

პასუხი:

18 . ზამთრის ოლიმპიურ თამაშებზე რუსეთის ნაკრებმა კანადის ნაკრებზე მეტი მედალი მოიპოვა, კანადის გუნდმა - გერმანიის ნაკრებზე მეტი, ხოლო ნორვეგიის ნაკრებმა - კანადის ნაკრებზე ნაკლები.

აირჩიეთ დებულებები, რომლებიც შეესაბამება მოცემულ პირობებში.

1) დასახელებული გუნდებიდან კანადის ნაკრები მეორე ადგილზე გავიდა მედლების რაოდენობით.

2) დასახელებულ გუნდებს შორის სამია, რომლებმაც თანაბარი მედლები მოიპოვეს.

3) გერმანიის ნაკრებმა მეტი მედალი მოიპოვა, ვიდრე რუსეთის ნაკრებმა.

4) რუსეთის ნაკრებმა უფრო მეტი მედალი მოიპოვა, ვიდრე თითოეულმა დანარჩენმა სამმა გუნდმა.

თქვენს პასუხში მიუთითეთ სწორი განცხადებების რიცხვი ზრდადი თანმიმდევრობით.

პასუხი: _________________.

19 . ჩეტისამნიშნა რიცხვიმაგრამ შედგება 3 რიცხვებისგან; ოთხი; რვა; 9, აოთხისამნიშნა რიცხვიAT - 6 ნომრებიდან; 7; რვა; 9. ცნობილია, რომAT = 2 მაგრამ. იპოვნეთ ნომერიმაგრამ. თქვენს პასუხში მიუთითეთ რომელიმე ასეთი ნომერი, გარდა ნომრისა 3489.

პასუხი: _________________.

20 . მართკუთხედი დაყოფილია ოთხ პატარა ოთხკუთხედად ორი სწორი ჭრილით. სამი მათგანის პერიმეტრი, დაწყებული ზემოდან მარცხნიდან და საათის ისრის მიმართულებით, არის 17, 15 და 18. იპოვეთ მეოთხე მართკუთხედის პერიმეტრი.

17

15

?

18