Yksikkövektori- Tämä on vektori, jonka itseisarvo (moduuli). yhtä suuri kuin yksi. Yksikkövektorin merkitsemiseen käytetään alaindeksiä e. Eli jos vektori on annettu a, silloin sen yksikkövektori on vektori a e. Tämä yksikkövektori osoittaa samaan suuntaan kuin itse vektori a, ja sen moduuli on yhtä suuri kuin yksi, eli a e \u003d 1.

Ilmeisesti a= a a e (a - vektorin moduuli a). Tämä seuraa säännöstä, jolla suoritetaan skalaarin kertominen vektorilla.

Yksikkövektorit liittyy usein koordinaattijärjestelmän koordinaattiakseleihin (erityisesti karteesisen koordinaattijärjestelmän akseleihin). Ohjeet näihin vektorit yhtenevät vastaavien akselien suuntien kanssa, ja niiden origot yhdistetään usein koordinaattijärjestelmän origon kanssa.

Haluan muistuttaa sinua siitä Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä avaruudessa kutsutaan perinteisesti kolmiosaa keskenään kohtisuorassa olevista akseleista, jotka leikkaavat pisteessä, jota kutsutaan origoksi. Koordinaattiakselit yleensä merkitään kirjaimilla X, Y, Z ja niitä kutsutaan vastaavasti abskissa-akseliksi, y-akseliksi ja aplikaatioakseliksi. Descartes itse käytti vain yhtä akselia, jolle abskissat piirrettiin. käytön ansiota järjestelmät kirveet kuuluvat hänen opiskelijoilleen. Siksi lause karteesinen järjestelmä koordinaatit historiallisesti väärin. Parempi puhua suorakulmainen koordinaattijärjestelmä tai ortogonaalinen koordinaattijärjestelmä. Emme kuitenkaan muuta perinteitä ja oletamme jatkossa, että karteesinen ja suorakulmainen (ortogonaalinen) koordinaattijärjestelmä ovat yksi ja sama.

Yksikkövektori, joka on suunnattu X-akselia pitkin, on merkitty i, yksikkövektori, joka on suunnattu pitkin Y-akselia, on merkitty j, a yksikkövektori, joka on suunnattu Z-akselia pitkin, on merkitty k. Vektorit i, j, k nimeltään orts(Kuva 12, vasen), niissä on yksittäisiä moduuleja, eli
i = 1, j = 1, k = 1.

akselit ja orts suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä joissakin tapauksissa niillä on muita nimiä ja nimityksiä. Joten abskissa-akselia X voidaan kutsua tangenttiakseliksi ja sen yksikkövektoria merkitään τ (Kreikka pieni kirjain tau), y-akseli on normaaliakseli, sen yksikkövektori on merkitty n, sovellusakseli on binormaalin akseli, sen yksikkövektori on merkitty b. Miksi muuttaa nimiä, jos olemus pysyy samana?

Tosiasia on, että esimerkiksi mekaniikassa kappaleiden liikettä tutkittaessa käytetään hyvin usein suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää. Joten jos koordinaattijärjestelmä itsessään on liikkumaton ja liikkuvan kohteen koordinaattien muutosta seurataan tässä liikkumattomassa järjestelmässä, niin yleensä akselit merkitsevät X, Y, Z ja niiden orts vastaavasti i, j, k.

Mutta usein, kun esine liikkuu jonkin verran kaareva liikerata(esimerkiksi ympyrää pitkin) on kätevämpää tarkastella mekaanisia prosesseja koordinaattijärjestelmässä, joka liikkuu tämän kohteen kanssa. Tällaista liikkuvaa koordinaattijärjestelmää varten käytetään muita akseleiden nimiä ja niiden yksikkövektoreita. Se on vain hyväksytty. Tässä tapauksessa X-akseli on suunnattu tangentiaalisesti lentoradalle kohdassa, jossa Tämä hetki tämä kohde sijaitsee. Ja sitten tätä akselia ei enää kutsuta X-akseliksi, vaan tangenttiakseliksi, eikä sen yksikkövektoria enää merkitä i, a τ . Y-akseli on suunnattu liikeradan kaarevuussädettä pitkin (ympyrässä liikkuessa - ympyrän keskustaan). Ja koska säde on kohtisuorassa tangentin suhteen, akselia kutsutaan normaalin akseliksi (pystysuora ja normaali ovat sama asia). Tämän akselin suuntaa ei enää ole merkitty j, a n. Kolmas akseli (entinen Z) on kohtisuorassa kahteen edelliseen nähden. Tämä on binormaali vektorin kanssa b(Kuva 12, oikea). Muuten, tässä tapauksessa suorakaiteen muotoinen järjestelmä koordinaatit kutsutaan usein "luonnolliseksi" tai luonnolliseksi.

Tällä oppitunnilla tarkastelemme kahta muuta operaatiota vektoreilla: vektorien ristitulo ja vektorien sekatulo (välitön linkki sitä tarvitseville). Ei hätää, joskus niin käy täydellinen onnellisuus, sitä paitsi vektorien pistetulo, tarvitaan enemmän ja enemmän. Tällainen on vektoririippuvuus. Saattaa tuntua, että olemme kiipeämässä erämaahan analyyttinen geometria. Tämä ei ole totta. Tässä korkeamman matematiikan osiossa polttopuuta on yleensä vähän, paitsi ehkä tarpeeksi Pinocchiolle. Itse asiassa materiaali on hyvin yleinen ja yksinkertainen - tuskin vaikeampi kuin sama skalaarituote, jopa tyypillisiä tehtäviä tulee olemaan vähemmän. Pääasia analyyttisessä geometriassa, kuten monet näkevät tai ovat jo nähneet, EI VÄÄRÄ LASKENTIA. Toista kuin loitsu, niin olet onnellinen =)

Jos vektorit kimaltelevat jossain kaukana, kuten salama horisontissa, sillä ei ole väliä, aloita oppitunnilla Vektorit tutille palauttaa tai ostaa takaisin perustieto vektoreista. Valmistautuneemmat lukijat voivat tutustua tietoihin valikoivasti, yritin kerätä mahdollisimman kattavan kokoelman esimerkkejä, joita usein löytyy käytännön työ

Mikä tekee sinut onnelliseksi? Kun olin pieni, pystyin jongleeraamaan kahta ja jopa kolmea palloa. Se onnistui hyvin. Nyt ei tarvitse jongleerata ollenkaan, koska harkitsemme vain avaruusvektorit, ja tasaiset vektorit, joissa on kaksi koordinaattia, jätetään pois. Miksi? Näin nämä teot syntyivät - vektori ja sekoitettu tuote vektorit on määritelty ja toimivat kolmiulotteinen tila. Helpompaa jo!

Tässä operaatiossa, samalla tavalla kuin skalaaritulossa, kaksi vektoria. Olkoon ne katoamattomia kirjaimia.

Itse toiminta merkitty seuraavalla tavalla: . On muitakin vaihtoehtoja, mutta merkitsin vektorien ristituloa tällä tavalla, in hakasulkeet ristin kanssa.

Ja heti kysymys: jos sisään vektorien pistetulo kaksi vektoria on mukana, ja tässä myös kerrotaan kaksi vektoria mikä on ero? Selkeä ero ensinnäkin TULOKSET:

Vektorien skalaaritulon tulos on NUMERO:

Vektorien ristitulon tulos on VEKTORI: , eli kerrotaan vektorit ja saadaan taas vektori. Suljettu klubi. Itse asiassa, tästä toiminnan nimi. Erilaisissa opetuskirjallisuutta merkintä voi myös vaihdella, käytän kirjainta .

Ristituotteen määritelmä

Ensin tulee määritelmä kuvan kanssa, sitten kommentit.

Määritelmä: ristiintuote ei-kollineaarinen vektorit, otettu tässä järjestyksessä, on nimeltään VECTOR, pituus mikä on numeerisesti yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala, rakennettu näille vektoreille; vektori kohtisuorassa vektoreihin nähden, ja se on suunnattu siten, että pohjalla on oikea suunta:

Analysoimme määritelmää luiden mukaan, siellä on paljon mielenkiintoisia asioita!

Joten voimme korostaa seuraavia tärkeitä kohtia:

1) Lähdevektorit, merkitty punaisilla nuolilla, määritelmän mukaan ei kollineaarista. Tapahtuu kollineaariset vektorit sitä kannattaa harkita hieman myöhemmin.

2) Vektorit otettu tiukassa järjestyksessä: – "a" kerrotaan "olla", ei "olla" - "a". Vektorikertoimen tulos on VECTOR , joka on merkitty sinisellä. Jos vektorit kerrotaan käänteinen järjestys, niin saamme vektorin, joka on yhtä pitkä ja vastakkainen (punainen väri). Eli tasa-arvoa .

3) Tutustutaan nyt vektoritulon geometriseen merkitykseen. Tämä on erittäin tärkeä pointti! Sinisen vektorin PITUUS (ja siten purppuraisen vektorin ) on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suunnikkaan ALUE. Kuvassa tämä suunnikas on varjostettu mustalla.

Merkintä : piirustus on kaavamainen, ja tietenkään ristitulon nimellispituus ei ole yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala.

Muistamme yhden geometriset kaavat: suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin tulo viereiset puolueet niiden välisen kulman sinin mukaan. Siksi edellä olevan perusteella kaava vektoritulon PITUUS laskemiseksi on pätevä:

Korostan, että kaavassa puhumme vektorin PITUUDESTA, emme itse vektorista. Mikä on käytännön merkitys? Ja merkitys on sellainen, että analyyttisen geometrian ongelmissa suunnikkaan pinta-ala löytyy usein vektoritulon käsitteen kautta:

Otetaan hetki tärkeä kaava. Suunnikkaan diagonaali (punainen katkoviiva) jakaa sen kahteen osaan tasainen kolmio. Siksi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala (punainen varjostus) löytyy kaavasta:

4) Vähintään tärkeä tosiasia on, että vektori on ortogonaalinen vektoreihin nähden, eli . Tietysti myös vastakkaiseen suuntaan suunnattu vektori (punainen nuoli) on ortogonaalinen alkuperäisiin vektoreihin nähden.

5) Vektori on suunnattu siten, että perusta Sillä on oikein suuntautuminen. Oppitunnilla aiheesta siirtyminen uudelle perustalle Olen puhunut yksityiskohtaisesti tasosuuntaus, ja nyt selvitämme mikä avaruuden suunta on. Selitän sormillasi oikea käsi . Yhdistä henkisesti etusormi vektorilla ja keskisormi vektorin kanssa. Nimetön ja pikkusormi paina kämmenelle. Tuloksena peukalo - vektoritulo näyttää ylöspäin. Tämä on oikealle suuntautunut perusta (se on kuvassa). Vaihda nyt vektorit ( indeksi ja keskisormet ) paikoin tämän seurauksena peukalo kääntyy ympäri ja vektoritulo näyttää jo alas. Tämä on myös oikealle suuntautunut perusta. Ehkä sinulla on kysymys: millä perusteella on vasen suuntaus? "Määritä" samat sormet vasen käsi vektorit ja saat vasemman kanta- ja vasemman avaruuden suunnan (tässä tapauksessa peukalo sijaitsee alemman vektorin suunnassa). Kuvannollisesti puhuen nämä pohjat "kiertyvät" tai suuntaavat tilaa sisään eri puolia. Ja tätä käsitettä ei pidä pitää kaukaa haettuna tai abstraktina - esimerkiksi tavallisin peili muuttaa tilan suuntaa, ja jos "vedät heijastuneen kohteen ulos peilistä", niin se yleinen tapaus ei voi verrata alkuperäiseen. Tuo muuten kolme sormea ​​peilin luo ja analysoi heijastus ;-)

... kuinka hyvä se on, että tiedät siitä nyt oikealle ja vasemmalle suunnattu perusteet, koska joidenkin luennoitsijoiden lausunnot suunnanmuutoksesta ovat kauheita =)

Kollineaaristen vektorien vektoritulo

Määritelmä on laadittu yksityiskohtaisesti, on vielä selvitettävä, mitä tapahtuu, kun vektorit ovat kollineaarisia. Jos vektorit ovat kollineaarisia, ne voidaan sijoittaa yhdelle suoralle ja suunnikkaamme myös "taittuu" yhdeksi suoraksi. Sellaisten alue, kuten matemaatikot sanovat, rappeutunut suunnikas on nolla. Sama seuraa kaavasta - nollan sini tai 180 astetta nolla, ja siksi alue on nolla

Eli jos , niin . Tarkkaan ottaen vektoritulo itse on nolla vektori, mutta käytännössä tämä usein jätetään huomiotta ja kirjoitetaan, että se on yksinkertaisesti nolla.

erikoistapaus on vektorin ja itsensä ristitulo:

Ristituloa käyttämällä voit tarkistaa kolmiulotteisten vektorien kollineaarisuuden ja tämä tehtävä muun muassa analysoimme myös.

Ratkaisuja varten käytännön esimerkkejä voidaan tarvita trigonometrinen taulukko löytääksesi sinien arvot siitä.

No, sytytetään tulipalo:

Esimerkki 1

a) Laske vektorien vektoritulon pituus jos

b) Etsi vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala, jos

Ratkaisu: Ei, tämä ei ole kirjoitusvirhe, tein tarkoituksella ehtokohteiden alkutiedot samanlaisiksi. Koska ratkaisujen suunnittelu on erilainen!

a) Ehdon mukaan se on löydettävä pituus vektori (vektoritulo). Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Koska pituudesta kysyttiin, ilmoitamme vastauksessa mitat - yksiköt.

b) Ehdon mukaan se on löydettävä neliö- vektoreihin rakennettu suunnikas. Tämän suuntaviivan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin ristitulon pituus:

Vastaus:

Huomaa, että vektorituloa koskevassa vastauksessa ei puhuta ollenkaan, meiltä kysyttiin hahmon alue vastaavasti mitat ovat neliöyksiköitä.

Katsomme aina MITÄ ehto edellyttää, ja sen perusteella muotoilemme asia selvä vastaus. Se saattaa tuntua kirjaimellisuudesta, mutta opettajien joukossa on tarpeeksi kirjailijoita, ja tehtävä hyvillä mahdollisuuksilla palautetaan tarkistettavaksi. Vaikka tämä ei olekaan erityisen kireä nippu - jos vastaus on väärä, syntyy vaikutelma, että henkilö ei ymmärrä yksinkertaisia ​​asioita ja/tai ei ymmärtänyt tehtävän ydintä. Tämä hetki on aina pidettävä hallinnassa ja ratkaista kaikki ongelmat korkeampi matematiikka ja myös muissa aineissa.

Mihin iso en-kirjain katosi? Periaatteessa se voisi olla lisäksi kiinni ratkaisussa, mutta ennätyksen lyhentämiseksi en tehnyt. Toivottavasti kaikki ymmärtävät sen ja tarkoittavat samaa asiaa.

Suosittu esimerkki varten itsenäinen päätös:

Esimerkki 2

Etsi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Kaava kolmion alueen löytämiseksi vektoritulon kautta on annettu määritelmän kommenteissa. Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Käytännössä tehtävä on todella yleinen, kolmiot voidaan yleensä kiduttaa.

Muiden ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme:

Vektorien ristitulon ominaisuudet

Olemme jo tarkastelleet joitain vektorituotteen ominaisuuksia, mutta sisällytän ne tähän luetteloon.

Mielivaltaisille vektoreille ja mielivaltaiselle luvulle seuraavat ominaisuudet ovat tosia:

1) Muissa tietolähteissä tätä kohtaa ei yleensä korosteta ominaisuuksissa, mutta se on erittäin tärkeä käytännössä. Joten anna sen olla.

2) - kiinteistöstä on myös keskusteltu yllä, joskus sitä kutsutaan antikommutatiivisuus. Toisin sanoen vektorien järjestyksellä on väliä.

3) - yhdistelmä tai assosiatiivista vektoritulolakeja. Vakiot saadaan helposti pois vektoritulon rajoista. Oikeasti, mitä he tekevät siellä?

4) - jakelu tai jakelu vektoritulolakeja. Myöskään kiinnikkeiden avaamisessa ei ole ongelmia.

Harkitse esittelynä lyhyt esimerkki:

Esimerkki 3

Etsi jos

Ratkaisu: Ehdon mukaan on jälleen löydettävä vektoritulon pituus. Maalataan pienoismallimme:

(1) Assosiatiivisten lakien mukaan otamme pois vakiot vektoritulon rajojen yli.

(2) Otamme vakion pois moduulista, kun taas moduuli "syö" miinusmerkin. Pituus ei voi olla negatiivinen.

(3) Seuraava on selvää.

Vastaus:

On aika heittää puita tuleen:

Esimerkki 4

Laske vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Ratkaisu: Etsi kolmion pinta-ala kaavan avulla . Ongelmana on, että vektorit "ce" ja "te" esitetään itse vektoreiden summana. Tässä oleva algoritmi on vakio ja muistuttaa jonkin verran oppitunnin esimerkkejä 3 ja 4. Vektorien pistetulo. Jaa se kolmeen vaiheeseen selvyyden vuoksi:

1) Ensimmäisessä vaiheessa ilmaisemme vektorituotteen vektorituotteen kautta, itse asiassa, ilmaista vektori vektorin suhteen. Pituudesta ei vielä sanaakaan!

(1) Korvaamme vektoreiden lausekkeet.

(2) Distributiivisia lakeja käyttäen avataan sulut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti.

(3) Assosiatiivisia lakeja käyttämällä otamme pois kaikki vakiot vektoritulojen ulkopuolella. Vähäisellä kokemuksella toiminnot 2 ja 3 voidaan suorittaa samanaikaisesti.

(4) Ensimmäinen ja viimeinen termi ovat yhtä kuin nolla (nollavektori) miellyttävästä ominaisuudesta johtuen. Toisessa termissä käytämme vektorituotteen:

(5) Esittelemme samanlaisia ​​termejä.

Tämän seurauksena vektori osoittautui ilmennetyksi vektorin kautta, mikä oli se, mitä vaadittiin saavuttamiseksi:

2) Toisessa vaiheessa löydämme tarvitsemamme vektoritulon pituuden. Tämä toiminta muistuttaa esimerkkiä 3:

3) Etsi haluamasi kolmion pinta-ala:

Ratkaisun vaiheet 2-3 voitaisiin järjestää yhdelle riville.

Vastaus:

Käsitelty ongelma on melko yleinen valvoa työtä, tässä on esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 5

Etsi jos

Nopea Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Katsotaan kuinka tarkkaavainen olit tutkiessasi aiempia esimerkkejä ;-)

Koordinaattien vektorien ristitulo

, annettu ortonormaalilla perusteella , ilmaistaan ​​kaavalla:

Kaava on todella yksinkertainen: kirjoitamme koordinaattivektorit determinantin yläriville, "pakkaamme" vektorien koordinaatit toiselle ja kolmannelle riville ja laitamme tiukassa järjestyksessä- ensin vektorin "ve" koordinaatit, sitten vektorin "double-ve" koordinaatit. Jos vektorit on kerrottava eri järjestyksessä, tulee myös rivit vaihtaa:

Esimerkki 10

Tarkista, ovatko seuraavat avaruusvektorit kollineaarisia:
a)
b)

Ratkaisu: Validointi perustuu johonkin väitteestä tämä oppitunti: jos vektorit ovat kollineaarisia, niin niiden vektoritulo on nolla (nollavektori): .

a) Etsi vektoritulo:

Joten vektorit eivät ole kollineaarisia.

b) Etsi vektoritulo:

Vastaus: a) ei kollineaarinen, b)

Tässä on ehkä kaikki perustiedot vektorien vektoritulosta.

Tämä lohko ei ole kovin suuri, koska vektoreiden sekatuloa käytettäessä on vähän ongelmia. Itse asiassa kaikki lepää määritelmän, geometrisen merkityksen ja muutaman työkaavan varassa.

Vektorien sekatulo on kolmen tuote vektorit:

Näin he asettuivat jonoon kuin juna ja odottavat, he eivät voi odottaa, kunnes heidät lasketaan.

Ensin taas määritelmä ja kuva:

Määritelmä: Sekoitettu tuote ei-tasossa vektorit, otettu tässä järjestyksessä, kutsutaan suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu näille vektoreille, varustettu "+"-merkillä, jos kanta on oikea, ja "-"-merkillä, jos kanta on vasen.

Tehdään piirustus. Meille näkymätön viivat piirretään katkoviivalla:

Sukellaanpa määritelmään:

2) Vektorit otettu tietyssä järjestyksessä, eli vektorien permutaatio tuotteessa, kuten saatat arvata, ei jää ilman seurauksia.

3) Ennen kuin kommentoin geometrista merkitystä, huomautan ilmeinen tosiasia: vektorien sekatulo on NUMERO: . Oppikirjallisuudessa muotoilu voi olla hieman erilainen, minulla oli tapana nimetä sekatuotteen läpi, ja laskelmien tulos kirjaimella "pe".

Määritelmän mukaan sekoitettu tuote on suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu vektoreille (kuvio on piirretty punaisilla vektoreilla ja mustilla viivoilla). Eli luku on yhtä suuri kuin annetun suuntaissärmiön tilavuus.

Merkintä : Piirustus on kaavamainen.

4) Älkäämme enää vaivautuko kantajan ja tilan orientaation käsitteeseen. Loppuosan tarkoitus on, että äänenvoimakkuuteen voidaan lisätä miinusmerkki. Yksinkertaisin sanoin, sekoitettu tuote voi olla negatiivinen: .

Kaava vektoreihin rakennetun suuntaissärmiön tilavuuden laskemiseksi seuraa suoraan määritelmästä.

Määritelmä Järjestetty joukko (x 1 , x 2 , ... , x n) n todellisia lukuja nimeltään n-ulotteinen vektori, ja luvut x i (i = ) - komponentit tai koordinaatit,

Esimerkki. Jos esimerkiksi tietyn autotehtaan on tuotettava 50 autoja, 100 kuorma-autoa, 10 linja-autoa, 50 sarjaa varaosia autoihin ja 150 sarjaa kuorma-autot ja linja-autot, niin tämän laitoksen tuotantoohjelma voidaan kirjoittaa vektoriksi (50, 100, 10, 50, 150), jossa on viisi komponenttia.

Merkintä. Vektorit on merkitty lihavoidulla pienet kirjaimet tai kirjaimet, joiden yläosassa on palkki tai nuoli, esim. a tai. Näitä kahta vektoria kutsutaan yhtä suuri jos heillä on sama numero komponentti ja niitä vastaavat komponentit ovat yhtä suuret.

Vektorikomponentteja ei voi vaihtaa keskenään, esim. (3, 2, 5, 0, 1) ja (2, 3, 5, 0, 1) eri vektoreita.
Operaatiot vektoreille. työ x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) reaaliluvuksiλ kutsutaan vektoriksiλ x= (λx1, λx2, ..., λxn).

summax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ja y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) kutsutaan vektoriksi x+y= (x1 + y1, x 2 + y2, ..., x n + + y n).

Vektorien avaruus. N -dimensiaalinen vektoriavaruus R n määritellään joukoksi kaikkia n-ulotteisia vektoreita, joille kertolaskuoperaatiot todellisia lukuja ja lisäys.

Taloudellinen kuva. Taloudellinen esimerkki n-ulotteisesta vektoriavaruudesta: tavaroiden tilaa (tavaroita). Alla hyödyke ymmärrämme jotakin tuotetta tai palvelua, joka tuli myyntiin tiettynä aikana tietty paikka. Oletetaan, että käytettävissä on äärellinen määrä tavaroita n; kunkin kuluttajan ostamille määrille on ominaista tavaroiden joukko

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

missä x i tarkoittaa kuluttajan ostaman i:nnen tavaran määrää. Oletetaan, että kaikilla tavaroilla on mielivaltainen jaettavissa oleva ominaisuus, joten jokainen niistä voidaan ostaa mikä tahansa ei-negatiivinen määrä. Tällöin kaikki mahdolliset tavarajoukot ovat hyödykeavaruuden vektoreita C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Lineaarinen riippumattomuus. Järjestelmä e 1 , e 2 , ... , e m n-ulotteista vektoria kutsutaan lineaarisesti riippuvainen jos sellaisia ​​lukuja onλ 1 , λ 2 , ... , λ m , josta vähintään yksi on nollasta poikkeava, mikä täyttää yhtälönλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; muuten tämä järjestelmä vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippumaton, eli tämä tasa-arvo on mahdollista vain siinä tapauksessa, että kaikki . geometrinen tunne lineaarinen riippuvuus vektorit sisään R 3, tulkittu suunnatuiksi segmenteiksi, selittää seuraavat lauseet.

Lause 1. Yhdestä vektorista koostuva järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen silloin ja vain jos tämä vektori on nolla.

Lause 2. Jotta kaksi vektoria olisivat lineaarisesti riippuvaisia, on välttämätöntä ja riittävää, että ne ovat kollineaarisia (rinnakkaisia).

Lause 3 . Jotta kolme vektoria olisivat lineaarisesti riippuvaisia, on välttämätöntä ja riittävää, että ne ovat samassa tasossa (samassa tasossa).

Vasen ja oikea vektorin kolmiot. Kolmiosa ei-samantasoisia vektoreita a, b, c nimeltään oikein, jos tarkkailija niistä yhteinen alku ohittamalla vektorien päät a, b, c tässä järjestyksessä näyttää etenevän myötäpäivään. Muuten a, b, c -vasen kolmikko. Kaikkia oikeanpuoleisia (tai vasenta) vektoreita kutsutaan yhtä suuntautunut.

Pohja ja koordinaatit. Troikka e 1, e 2 , e 3 ei-koplanaarista vektoria sisään R 3 soitti perusta, ja itse vektorit e 1, e 2 , e 3 - perus. Mikä tahansa vektori a voidaan laajentaa ainutlaatuisella tavalla kantavektoreiden suhteen, eli se voidaan esittää muodossa

a= x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

luvut x 1 , x 2 , x 3 laajennuksessa (1.1) kutsutaan koordinaatita pohjalta e 1, e 2 , e 3 ja on merkitty a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormaali perusta. Jos vektorit e 1, e 2 , e 3 ovat pareittain kohtisuorat ja kunkin pituus on yksi, niin kantaa kutsutaan ortonormaali, ja koordinaatit x 1 , x 2 , x 3 - suorakulmainen. Ortonormaalin kannan kantavektorit merkitään i, j, k.

Oletamme sen avaruudessa R 3 oikea suorakulmaisten suorakulmaisten koordinaattien järjestelmä (0, i, j, k}.

vektorituote. vektori taidetta a vektoria kohti b kutsutaan vektoriksi c, joka määritetään seuraavilla kolmella ehdolla:

1. Vektorin pituus c numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreihin rakennetun suunnikkaan pinta-ala a ja b, eli
c= |a||b| synti( a^b).

2. Vektori c kohtisuorassa jokaiseen vektoriin nähden a ja b.

3. Vektorit a, b ja c, tässä järjestyksessä, muodostavat oikean kolmoiskappaleen.

Vektorituotteelle c nimitys otetaan käyttöön c=[ab] tai
c = a × b.

Jos vektorit a ja b ovat kollineaarisia, sitten syn( a^b) = 0 ja [ ab] = 0, erityisesti [ aa] = 0. Orttien vektoritulot: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Jos vektorit a ja b perusteessa annettu i, j, k koordinaatit a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3 ), sitten

Sekatyötä. Jos kahden vektorin ristitulo a ja b skalaari kerrottuna kolmannella vektorilla c, silloin tällaista kolmen vektorin tuloa kutsutaan sekoitettu tuote ja se on merkitty symbolilla a eaa.

Jos vektorit a, b ja c pohjalta i, j, k asettaa niiden koordinaatit
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c1, c2, c3), sitten

.

Sekatuotteella on yksinkertainen geometrinen tulkinta - se on sen mukaan skalaari absoluuttinen arvo sama kuin kolmelle tietylle vektorille rakennetun suuntaissärmiön tilavuus.

Jos vektorit muodostavat oikean kolmion, niin niiden sekoitettu tulo on positiivinen luku, joka on yhtä suuri kuin ilmoitettu tilavuus; jos kolme a, b, c - vasemmalle siis a b c<0 и V = - a b c, joten V =|a b c|.

Ensimmäisen luvun ongelmissa havaittujen vektorien koordinaatit oletetaan annetuiksi suhteessa oikeaan ortonormaalikantaan. Yksikkövektori samansuuntainen vektorin kanssa a, merkitty symbolilla a noin. Symboli r=OM merkitty pisteen M sädevektorilla, symboleilla a, AB tai|a|, | AB |vektoreiden moduulit on merkitty a ja AB.

Esimerkki 1.2. Etsi vektoreiden välinen kulma a= 2m+4n ja b= m-n, missä m ja n- yksikkövektorit ja niiden välinen kulma m ja n yhtä suuri kuin 120 o.

Ratkaisu. Meillä on: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = -2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, joten a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, joten b = . Lopulta meillä on: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Esimerkki 1.3.Vektorien tunteminen AB(-3,-2,6) ja eKr(-2,4,4), laske kolmion ABC korkeus AD.

Ratkaisu. Merkitsemällä kolmion ABC pinta-alaa S:llä, saamme:
S = 1/2 eKr. jKr. Sitten AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, joten vektori AC on koordinaatit
. .

Esimerkki 1.4 . Annettu kaksi vektoria a(11,10,2) ja b(4,0,3). Etsi yksikkövektori c, kohtisuorassa vektoreihin nähden a ja b ja suunnattu siten, että vektoreiden tilattu kolmikko a, b, c oli oikeassa.

Ratkaisu.Merkitään vektorin koordinaatit c suhteessa annettuun oikeaan ortonormaaliseen kantaan x:n, y:n, z:n suhteen.

Koska c ⊥ a, c ⊥b, sitten noin= 0, cb= 0. Tehtävän ehdon mukaan c = 1 ja a b c >0.

Meillä on yhtälöjärjestelmä löytää x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Järjestelmän ensimmäisestä ja toisesta yhtälöstä saadaan z = -4/3 x, y = -5/6 x. Korvaamalla y:n ja z:n kolmanteen yhtälöön, saamme: x 2 = 36/125, mistä
x=± . Käyttöehto a b c > 0, saamme epätasa-arvon

Ottaen huomioon z:n ja y:n lausekkeet, kirjoitetaan saatu epäyhtälö muotoon: 625/6 x > 0, josta seuraa, että x>0. Joten x = , y = - , z = - .

7.1. Ristituotteen määritelmä

Kolme ei-koplanaarista vektoria a , b ja c, jotka on otettu esitetyssä järjestyksessä, muodostavat oikeanpuoleisen kolmion, jos kolmannen vektorin c lopusta lyhin käännös ensimmäisestä vektorista a toiseen vektoriin b nähdään vastapäivään, ja vasen, jos myötäpäivään (katso kuva 16).

Vektorien a ja b vektorituloa kutsutaan vektoriksi c, joka:

1. Kohtisuorassa vektoreihin a ja b, eli c ^ a ja c ^ b;

2. Sen pituus on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreihin a ja rakennetun suunnikkaan pinta-alab kuten sivuilla (katso kuva 17), ts.

3. Vektorit a , b ja c muodostavat oikeanpuoleisen kolmion.

Vektorituloa merkitään a x b tai [a,b]. Vektoritulon määritelmästä seuraavat suoraan seuraamani orttien väliset suhteet, j ja k(katso kuva 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Todistakaamme se esimerkiksi i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, mutta | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vektorit i , j ja k muodostavat oikeanpuoleisen kolmion (katso kuva 16).

7.2. Ristikkäisten tuotteiden ominaisuudet

1. Kun tekijät järjestetään uudelleen, vektoritulo vaihtaa etumerkkiä, ts. ja xb \u003d (b xa) (katso kuva 19).

Vektorit a xb ja b xa ovat kollineaarisia, niillä on samat moduulit (suunnikaspinta-ala pysyy ennallaan), mutta ovat vastakkaisiin suuntautuneita (vastakkaisen suuntaiset kolmiot a, b ja xb sekä a, b, b x a). Tuo on axb = -(bxa).

2. Vektoritulolla on assosiatiivista omaisuutta skalaaritekijän suhteen, eli l (a xb) \u003d (la) x b \u003d a x (l b).

Olkoon l >0. Vektori l (a xb) on kohtisuorassa vektoreihin a ja b nähden. Vektori ( l kirves b on myös kohtisuorassa vektoreihin a ja b(vektorit a, l mutta makaa samassa tasossa). Siis vektorit l(a xb) ja ( l kirves b kollineaarinen. On selvää, että heidän suunnansa ovat samat. Niillä on sama pituus:

Siksi l(a xb)= l a xb. Se on todistettu samalla tavalla l<0.

3. Kaksi nollasta poikkeavaa vektoria a ja b ovat kollineaarisia silloin ja vain, jos niiden vektoritulo on yhtä suuri kuin nollavektori, eli ja ||b<=>ja xb \u003d 0.

Erityisesti i*i =j*j =k*k =0.

4. Vektoritulolla on jakautumisominaisuus:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Hyväksy ilman todisteita.

7.3. Ristituotteen ilmaisu koordinaatteina

Käytämme vektoriristitulotaulukkoa i , j ja k:

jos lyhimmän polun suunta ensimmäisestä vektorista toiseen on sama kuin nuolen suunta, niin tulo on yhtä suuri kuin kolmas vektori, jos se ei täsmää, otetaan kolmas vektori miinusmerkillä.

Olkoon kaksi vektoria a =a x i +a y j+az k ja b = bx i+tekijä j+bz k. Etsitään näiden vektorien vektoritulo kertomalla ne polynomeina (vektoritulon ominaisuuksien mukaan):

Tuloksena oleva kaava voidaan kirjoittaa vielä lyhyemmäksi:

koska yhtälön (7.1) oikea puoli vastaa kolmannen kertaluvun determinantin laajennusta ensimmäisen rivin elementtien suhteen.Yhtälö (7.2) on helppo muistaa.

7.4 Jotkut ristiintuotteen sovellukset

Vektorien kollineaarisuuden määrittäminen

Suunnikkaan ja kolmion alueen löytäminen

Vektorien ristitulon määritelmän mukaan a ja b |a xb | =| a | * |b |sin g , eli S par = |a x b |. Ja siksi D S \u003d 1/2 | a x b |.

Voiman momentin määrittäminen pisteen ympärillä

Kohdistetaan voima pisteeseen A F = AB Anna olla O- jokin piste avaruudessa (katso kuva 20).

Fysiikasta tiedetään, että vääntömomentti F suhteessa pisteeseen O kutsutaan vektoriksi M , joka kulkee pisteen läpi O ja:

1) kohtisuorassa pisteiden läpi kulkevaan tasoon nähden O, A, B;

2) numeerisesti yhtä suuri kuin voiman ja käden tulo

3) muodostaa oikean kolmion vektoreilla OA ja A B .

Siksi M \u003d OA x F.

Lineaarisen pyörimisnopeuden löytäminen

Nopeus v kulmanopeudella pyörivän jäykän kappaleen piste M w kiinteän akselin ympärillä määritetään Eulerin kaavalla v \u003d w x r, missä r \u003d OM, missä O on jokin akselin kiinteä piste (katso kuva 21).

Määritelmä. Vektorin a (kertoimen) vektoritulo vektorilla (kertojalla), joka ei ole kollineaarinen sen kanssa, on kolmas vektori c (tulo), joka konstruoidaan seuraavasti:

1) sen moduuli on numeerisesti yhtä suuri kuin kuvion 1 suuntaviivan pinta-ala. 155), rakennettu vektoreille, eli se on yhtä suuri kuin suunta, joka on kohtisuorassa mainitun suunnikkaan tasoon nähden;

3) tässä tapauksessa vektorin c suunta valitaan (kahdesta mahdollisesta) siten, että vektorit c muodostavat oikeakätisen järjestelmän (110 §).

Nimitys: tai

Lisäys määritelmään. Jos vektorit ovat kollineaarisia, on kuviota (ehdollisesti) suunnikkaana ajatellen luonnollista määrittää nolla-alue. Siksi kollineaaristen vektorien vektorituloa pidetään yhtä suurena kuin nollavektori.

Koska nollavektorille voidaan osoittaa mikä tahansa suunta, tämä sopimus ei ole ristiriidassa määritelmän kohtien 2 ja 3 kanssa.

Huomautus 1. Termissä "vektoritulo" ensimmäinen sana osoittaa, että toiminnan tulos on vektori (toisin kuin skalaaritulo; vrt. § 104, huomautus 1).

Esimerkki 1. Etsi vektoritulo, jossa oikean koordinaattijärjestelmän päävektorit (kuva 156).

1. Koska päävektorien pituudet ovat yhtä suuria kuin asteikkoyksikkö, suunnikkaan (neliön) pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin yksi. Siten vektoritulon moduuli on yhtä suuri kuin yksi.

2. Koska kohtisuora tasoon nähden on akseli, haluttu vektoritulo on vektorin k kanssa kollineaarinen vektori; ja koska molemmilla on moduuli 1, vaadittu ristitulo on joko k tai -k.

3. Näistä kahdesta mahdollisesta vektorista on valittava ensimmäinen, koska vektorit k muodostavat oikeanpuoleisen järjestelmän (ja vektorit vasemmanpuoleisen).

Esimerkki 2. Etsi ristitulo

Ratkaisu. Kuten esimerkissä 1, päättelemme, että vektori on joko k tai -k. Mutta nyt meidän on valittava -k, koska vektorit muodostavat oikean järjestelmän (ja vektorit muodostavat vasemman). Niin,

Esimerkki 3 Vektorien pituus on 80 cm ja 50 cm, ja ne muodostavat 30° kulman. Kun otetaan metri pituusyksiköksi, lasketaan vektoritulon a pituus

Ratkaisu. Vektoreihin rakennetun suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin Vaaditun vektoritulon pituus on yhtä suuri kuin

Esimerkki 4. Etsi samojen vektorien ristitulon pituus ottamalla pituusyksiköksi senttimetri.

Ratkaisu. Koska vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin vektoritulon pituus, on 2000 cm, ts.

Esimerkkien 3 ja 4 vertailu osoittaa, että vektorin pituus ei riipu pelkästään tekijöiden pituuksista, vaan myös pituusyksikön valinnasta.

Vektoritulon fyysinen merkitys. Monista vektoritulon edustamista fysikaalisista suureista otamme huomioon vain voimamomentin.

Olkoon A voiman kohdistamispiste. Voiman momenttia suhteessa pisteeseen O kutsutaan vektorituloksi. Koska tämän vektoritulon moduuli on numeerisesti yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala (kuva 157), momentin moduuli on yhtä suuri kuin kannan tulo korkeudella, eli voima kerrottuna etäisyydellä pisteestä O siihen suoraan, jota pitkin voima vaikuttaa.

Mekaniikassa on todistettu, että jäykän kappaleen tasapainoa varten on välttämätöntä, että kehoon kohdistuvia voimia edustavien vektorien summan lisäksi myös voimien momenttien summa on nolla. Siinä tapauksessa, että kaikki voimat ovat samansuuntaisia ​​saman tason kanssa, momentteja edustavien vektorien yhteenlasku voidaan korvata niiden moduulien yhteen- ja vähennyksellä. Mutta mielivaltaisilla voimien suunnalla tällainen korvaaminen on mahdotonta. Tämän mukaisesti ristitulo määritellään täsmälleen vektoriksi, ei numeroksi.