माप और आयाम की कौन सी इकाइयाँ हैं, इससे निपटने के बाद, अब हम वास्तविक मापों की ओर बढ़ सकते हैं। में स्कूल गणितदो उपकरण को मापना- (1) दूरियों को मापने के लिए रूलर और (2) कोणों को मापने के लिए चाँदा।

डॉट

दूरी हमेशा किन्हीं दो बिंदुओं के बीच मापी जाती है। व्यावहारिक दृष्टिकोण से, एक बिंदी एक छोटा सा धब्बा है जो कागज पर रहता है जब आप इसे एक पेंसिल या कलम से दबाते हैं। एक बिंदु निर्दिष्ट करने का एक और अधिक पसंदीदा तरीका दो पतली रेखाओं के साथ एक क्रॉस खींचना है, जो सेट होता है डॉटउनके चौराहे। किताबों में रेखाचित्रों पर, डॉट को अक्सर एक छोटे काले घेरे के रूप में दर्शाया जाता है। लेकिन ये सब सिर्फ अनुमान हैं। दृश्य चित्र, लेकिन सख्त गणितीय अर्थ में, डॉट - यह एक काल्पनिक वस्तु है जिसका आकार सभी दिशाओं में शून्य है। गणितज्ञों के लिए पूरी दुनिया डॉट्स से बनी है। डॉट्स हर जगह हैं। जब हम कागज पर कलम चलाते हैं या क्रॉस बनाते हैं, तो हम सृजन नहीं कर रहे होते हैं नया बिंदु, लेकिन केवल किसी का ध्यान आकर्षित करने के लिए किसी मौजूदा पर एक चिह्न लगाएं। जब तक अन्यथा न कहा जाए, यह समझा जाता है कि अंक निश्चित हैं और उनमें परिवर्तन नहीं होता है तुलनात्मक स्थिति. लेकिन एक गतिमान बिंदु की कल्पना करना मुश्किल नहीं है जो एक स्थान से दूसरे स्थान पर जाता है, जैसे कि एक के साथ विलय हो रहा हो नियत बिन्दु, फिर दूसरे पर।

सीधा

रूलर को दो बिंदुओं से जोड़कर, हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, और, इसके अलावा, एक ही रास्ता. काल्पनिक गणितीय सीधा, एक काल्पनिक आदर्श शासक के साथ खींचा गया है, जिसकी मोटाई शून्य है और दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली हुई है। एक वास्तविक ड्राइंग में, यह काल्पनिक डिजाइन रूप लेता है:

दरअसल, इस तस्वीर में सबकुछ गलत है। यहाँ रेखा की मोटाई स्पष्ट रूप से शून्य से अधिक है, और यह कहने का कोई तरीका नहीं है कि रेखा अनंत तक फैली हुई है। फिर भी, इस तरह के गलत चित्र कल्पना के समर्थन के रूप में बहुत उपयोगी होते हैं, और हम उनका लगातार उपयोग करेंगे। एक बिंदु को दूसरे से अलग करना अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, उन्हें आमतौर पर चिह्नित किया जाता है बड़े अक्षर लैटिन वर्णमाला. इस चित्र में, उदाहरण के लिए, बिंदुओं को अक्षरों से चिह्नित किया गया है एऔर बी. बिन्दुओं से होकर जाने वाली रेखा एऔर बी, स्वचालित रूप से "प्रत्यक्ष" नाम प्राप्त करता है एबी"। संक्षिप्तता के लिए, अंकन ( एबी), जहां शब्द "सीधा" लोप किया जाता है और गोल कोष्ठक. लाइनों को भी लेबल किया जा सकता है निचला मामला. ऊपर की आकृति में, सीधी रेखा एबीएक पत्र के साथ चिह्नित एन.

डॉट्स से परे एऔर बीएक सीधी रेखा पर एनबड़ी संख्या में अन्य बिंदु हैं, जिनमें से प्रत्येक को किसी अन्य रेखा के साथ एक चौराहे के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक ही बिन्दु से होकर अनेक रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

यदि हम जानते हैं कि एक रेखा पर असंपाती बिंदु होते हैं ए, बी, सीऔर डी, तो इसे सही रूप में न केवल निरूपित किया जा सकता है ( अब), लेकिन यह भी कैसे ( एसी), (बी.डी), (सीडी) और इसी तरह।

रेखा खंड। लंबाई में कटौती। बिंदुओं के बीच की दूरी

दो बिन्दुओं से घिरी रेखा का भाग कहलाता है खंड. ये सीमित बिंदु भी खंड से संबंधित हैं और इसे कहा जाता है। समाप्त होता है. एक खंड जिसका समापन बिंदु बिंदुओं पर है एऔर बी, "सेगमेंट" के रूप में दर्शाया गया है एबी' या, कुछ छोटा, [ एबी].

प्रत्येक खंड की विशेषता है लंबा- "चरणों" की संख्या (संभवतः भिन्नात्मक) जिसे एक छोर से दूसरे छोर तक जाने के लिए खंड के साथ ले जाना चाहिए। इस मामले में, "कदम" की लंबाई ही एक निश्चित मूल्य है, जिसे माप की इकाई के रूप में लिया जाता है। कागज की एक शीट पर खींचे गए रेखाखंडों की लंबाई को सबसे आसानी से मापा जाता है सेंटीमीटर. यदि खंड के अंतिम बिंदु बिंदुओं पर पड़ते हैं एऔर बी, तो इसकी लंबाई को | के रूप में निरूपित किया जाता है एबी|.

अंतर्गत दूरीदो बिंदुओं के बीच उन्हें जोड़ने वाले खंड की लंबाई है। वास्तव में, हालांकि, दूरी को मापने के लिए एक खंड को आकर्षित करने की आवश्यकता नहीं है - यह एक शासक को दोनों बिंदुओं पर संलग्न करने के लिए पर्याप्त है (जिस पर "चरणों" के निशान पूर्व-चिह्नित हैं)। चूंकि अंक गणित में एक काल्पनिक वस्तु है, इसलिए कोई भी चीज हमें अपनी कल्पना में एक ऐसे आदर्श रूलर का उपयोग करने से नहीं रोक सकती है जो पूर्ण सटीकता के साथ दूरी को मापता है। हालांकि, किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि पेपर पर स्पॉट या क्रॉस के केंद्रों पर लागू वास्तविक शासक आपको केवल एक मिलीमीटर की सटीकता के साथ दूरी निर्धारित करने की अनुमति देता है। दूरी हमेशा गैर-नकारात्मक होती है।

एक रेखा पर एक बिंदु की स्थिति

हमें कुछ सीधी रेखा दी जाए। हम उस पर एक मनमाना बिंदु चिह्नित करते हैं और इसे पत्र द्वारा निरूपित करते हैं हे. इसके आगे संख्या 0 लगाते हैं। दो में से एक संभव दिशाएँसीधी रेखा के साथ हम "सकारात्मक" कहेंगे, और इसके विपरीत - "नकारात्मक"। आमतौर पर, सकारात्मक दिशा बाएं से दाएं या नीचे से ऊपर की ओर ली जाती है, लेकिन यह जरूरी नहीं है। एक तीर से सकारात्मक दिशा को चिन्हित करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

अब रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए, हम इसे निर्धारित कर सकते हैं पद. बिंदु स्थिति एएक मान द्वारा दिया जाता है जो ऋणात्मक हो सकता है, शून्यया सकारात्मक। उसका निरपेक्ष मूल्यबिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर हेऔर ए(यानी, खंड की लंबाई हेए), और संकेत बिंदु से दिशा द्वारा निर्धारित किया जाता है हेआपको बिंदु पर जाने के लिए आगे बढ़ना होगा ए. यदि आपको सकारात्मक दिशा में आगे बढ़ने की आवश्यकता है, तो संकेत सकारात्मक है। यदि यह नकारात्मक है, तो संकेत नकारात्मक है। "स्थिति" शब्द के स्थान पर शब्द " कोआर्डिनेट».

अपरिमेय और वास्तविक (वास्तविक) संख्याएँ

जब हम एक वास्तविक ड्राइंग के साथ काम कर रहे होते हैं और एक स्कूल शासक का उपयोग करके एक वास्तविक छेद पर एक वास्तविक बिंदु की स्थिति निर्धारित करते हैं, तो हमें निकटतम मिलीमीटर तक एक मान प्राप्त होता है। दूसरे शब्दों में, परिणाम निम्न श्रृंखला से लिया गया मान है:

0 मिमी, 1 मिमी, −1 मिमी, 2 मिमी, −2 मिमी, 3 मिमी, −3 मिमीवगैरह।

परिणाम के बराबर नहीं हो सकता, उदाहरण के लिए, 1/3 सेमी, क्योंकि, जैसा कि हम जानते हैं, एक सेंटीमीटर के एक तिहाई को अनंत आवधिक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है

0,333333333... सेमी,

जो राउंडिंग के बाद 0.3 के बराबर होना चाहिए सेमी.

यह अलग बात है कि जब हम अपनी कल्पना में आदर्श गणितीय वस्तुओं में हेरफेर करते हैं।

सबसे पहले, इस मामले में, कोई माप की इकाइयों को आसानी से त्याग सकता है और विशेष रूप से आयाम रहित मात्राओं के साथ काम कर सकता है। फिर हम उस ज्यामितीय संरचना पर आते हैं जो हमें तब मिली थी जब हम वहां से गुजरे थे भिन्नात्मक संख्याएं, और जिसे हमने नाम दिया है संख्या रेखा:

चूंकि ज्यामिति में "रेखा" शब्द पहले से ही "भारित" है, उसी निर्माण को अक्सर कहा जाता है संख्यात्मक अक्ष या केवल एक्सिस.

दूसरे, हम अच्छी तरह से कल्पना कर सकते हैं कि किसी बिंदु का निर्देशांक कुछ आवधिक द्वारा दिया जाता है दशमलव, पसंद

इसके अलावा, हम अनंत की कल्पना कर सकते हैं गैर आवधिकअंश, जैसे

1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...

1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...

ऐसी काल्पनिक संख्याएँ, जिन्हें अनंत गैर-दोहराए जाने वाले दशमलव अंशों के रूप में दर्शाया जाता है, कहलाती हैं तर्कहीन. अपरिमेय संख्याएँ, पहले से ही परिचित परिमेय संख्याओं के साथ, तथाकथित बनाती हैं वैधनंबर। "वैध" शब्द के स्थान पर हम "वैध" शब्द का भी प्रयोग करते हैं। असली"। एक रेखा पर किसी बिंदु की किसी भी बोधगम्य स्थिति को वास्तविक संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। और इसके विपरीत, अगर हमें कुछ वास्तविक संख्याएँ दी गई हैं एक्स, हम हमेशा एक बिंदु की कल्पना कर सकते हैं एक्स, जिसकी स्थिति संख्या द्वारा दी गई है एक्स.

पक्षपात

होने देना ए- बिंदु समन्वय ए, ए बी- बिंदु समन्वय बी. फिर मान

वि = बी − ए

है विस्थापन, जो बिंदु का अनुवाद करता है एबिल्कुल बी. यह विशेष रूप से स्पष्ट हो जाता है यदि पिछली समानता को फिर से लिखा जाता है

बी = ए + वि.

कभी-कभी "विस्थापन" शब्द के स्थान पर वे "शब्द" का प्रयोग करते हैं। वेक्टर"। यह देखना आसान है कि स्थिति एक्समनमाना बिंदु एक्सडॉट का अनुवाद करने वाले ऑफ़सेट से ज्यादा कुछ नहीं है हे(शून्य के बराबर समन्वय के साथ) एक बिंदु पर एक्स:

एक्स= 0 + एक्स.

विस्थापन को एक दूसरे में जोड़ा जा सकता है, साथ ही एक दूसरे से घटाया जा सकता है। तो, अगर ऑफ़सेट ( बी − ए) बिंदु का अनुवाद करता है एबिल्कुल बी, और ऑफ़सेट ( सी − बी) बिंदु बीबिल्कुल सी, फिर ऑफ़सेट

(बी − ए) + (सी − बी) = सी − ए

बिंदु का अनुवाद करता है एबिल्कुल सी.

टिप्पणी।चीजों के तर्क के अनुसार, यहां स्पष्ट किया जाना चाहिए कि कैसे जोड़ना और घटाना है तर्कहीन संख्या, चूंकि पूर्वाग्रह तर्कहीन हो सकते हैं। बेशक, गणितज्ञों ने उपयुक्त औपचारिक प्रक्रियाओं को विकसित करने का ध्यान रखा, लेकिन व्यवहार में हम इससे नहीं निपटेंगे, क्योंकि समाधान के लिए व्यावहारिक कार्यगोल मूल्यों के साथ अनुमानित गणना हमेशा पर्याप्त होती है। अब हम इसे केवल इस विश्वास पर लेंगे कि "जोड़" और "घटाव" - साथ ही साथ "गुणा" और "भाग" की अवधारणाएँ - किसी भी दो के लिए सही ढंग से परिभाषित हैं वास्तविक संख्या(इसके साथ, हालांकि, अनंतिम कि शून्य से विभाजित करना असंभव है)।

यहाँ, शायद, "विस्थापन" और "दूरी" की अवधारणाओं के बीच के सूक्ष्म अंतर पर ध्यान देना उचित होगा। दूरी हमेशा गैर-नकारात्मक होती है। यह वास्तव में निरपेक्ष रूप से लिया गया एक ऑफसेट है। तो अगर ऑफसेट

वि = बी − ए

बिंदु का अनुवाद करता है एबिल्कुल बी, फिर दूरी एसबिंदुओं के बीच एऔर बीके बराबर होती है

एस = |वी| = |बी − ए|.

यह समानता सही रहती है चाहे दोनों में से कौन सी संख्या बड़ी हो - एया बी.

विमान

व्यावहारिक अर्थ में, एक विमान कागज की एक शीट है जिस पर हम अपने ज्यामितीय चित्र बनाते हैं। काल्पनिक गणितीय विमानकागज की एक शीट से भिन्न होता है जिसमें शून्य मोटाई होती है और एक असीमित सतह होती है जो अंदर तक फैली होती है विभिन्न पक्षअनंत की ओर। इसके अलावा, कागज की एक शीट के विपरीत, गणितीय तल बिल्कुल कठोर होता है: यह कभी भी झुकता या झुर्रियां नहीं डालता - भले ही इसे डेस्क से फाड़ा गया हो और किसी भी तरह से अंतरिक्ष में रखा गया हो।

अंतरिक्ष में विमान का स्थान विशिष्ट रूप से तीन बिंदुओं द्वारा दिया जाता है (जब तक कि वे किसी एक सीधी रेखा पर स्थित न हों)। इसे बेहतर ढंग से देखने के लिए, आइए तीन बनाएं मनमाना बिंदु, हे, एऔर बी, और उनके माध्यम से दो सीधी रेखाएँ खींचें ओएऔर ओबी, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

तीन बिंदुओं पर "झुकने" की तुलना में दो अन्तर्विभाजक रेखाओं पर कल्पना में एक विमान को "खिंचाव" करना पहले से ही कुछ आसान है। लेकिन इससे भी अधिक स्पष्टता के लिए, हम कुछ और अतिरिक्त निर्माण करेंगे। यादृच्छिक रूप से कुछ बिंदु लेते हैं: एक रेखा पर कहीं भी ओए, और दूसरा - लाइन पर कहीं भी ओबी. बिंदुओं की इस जोड़ी के माध्यम से एक नई रेखा खींचें। अगला, इसी तरह, हम बिंदुओं की एक और जोड़ी का चयन करते हैं और उनके माध्यम से एक और रेखा खींचते हैं। इस प्रक्रिया को कई बार दोहराने से हमें एक जाल जैसा कुछ मिलता है:

इस तरह की संरचना पर एक विमान रखना पहले से ही काफी सरल है - खासकर जब से इस काल्पनिक वेब को इतना मोटा बनाया जा सकता है कि यह बिना अंतराल के पूरे विमान को ढँक देगा।

ध्यान दें कि यदि हम एक समतल पर दो असंपाती बिंदुओं को लेते हैं और उनके माध्यम से एक रेखा खींचते हैं, तो यह रेखा आवश्यक रूप से उसी तल में स्थित होगी।

अमूर्त

डॉट (ए, बी, आदि): एक काल्पनिक वस्तु जिसका आकार सभी दिशाओं में शून्य है।

सीधा (एन, एमया ( अब)): असीम रूप से पतली रेखा; दो बिंदुओं से गुजरा ( एऔर बी) शासक के साथ एक अस्पष्ट तरीके से; दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली हुई है।

रेखा खंड ([अब]): दो बिन्दुओं से घिरी रेखा का भाग ( एऔर बी) - खंड के सिरे, जिन्हें खंड से संबंधित भी माना जाता है।

लंबाई में कटौती(|अब|): (आंशिक) सेंटीमीटर की संख्या (या माप की अन्य इकाई) जो सिरों के बीच फिट होती है ( एऔर बी).

दो बिंदुओं के बीच की दूरी: इन बिंदुओं पर समाप्त होने वाले रेखाखंड की लंबाई।

एक रेखा पर एक बिंदु की स्थिति (कोआर्डिनेट): एक बिंदु से कुछ पूर्व-चयनित केंद्र (सीधी रेखा पर भी स्थित) की दूरी पर प्लस या माइनस साइन असाइन किया गया है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि बिंदु किस तरफ स्थित है।

एक सीधी रेखा पर एक बिंदु की स्थिति दी गई है वैध(असली)संख्या, अर्थात्, एक दशमलव अंश, जो या तो (1) परिमित या अनंत आवधिक हो सकता है ( भिन्नात्मक संख्याएं), या (2) अनंत गैर-आवधिक ( तर्कहीन संख्या).

पक्षपात, जो बिंदु का अनुवाद करता है ए(समन्वय के साथ ए) बिल्कुल बी(समन्वय के साथ बी): वि = बी − ए.

दूरी, पूर्ण मान में लिए गए विस्थापन के बराबर है: | अब| = |बी − ए|.

विमान: कागज की एक असीम पतली शीट जो अलग-अलग दिशाओं में अनंत तक फैली हुई है; विशिष्ट रूप से तीन बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जाता है जो एक ही सीधी रेखा पर स्थित नहीं होते हैं।

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, बिंदु देखें। एक विमान पर बिंदुओं का एक सेट

डॉट - सार वस्तुअंतरिक्ष में जिसका कोई मापने योग्य गुण नहीं है (एक शून्य-आयामी वस्तु)। डॉट इनमें से एक है बुनियादी सिद्धांतगणित में।

यूक्लिडियन ज्यामिति में बिंदु

यूक्लिड ने एक बिंदु को "भागों के बिना एक वस्तु" के रूप में परिभाषित किया। यूक्लिडियन ज्यामिति के आधुनिक स्वयंसिद्धों में, एक बिंदु एक प्राथमिक अवधारणा है, जो केवल इसके गुणों की एक सूची द्वारा दी गई है - स्वयंसिद्ध।

चुने हुए समन्वय प्रणाली में, द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के किसी भी बिंदु को एक आदेशित जोड़ी के रूप में दर्शाया जा सकता है ( एक्स; वाई) वास्तविक संख्या। इसी तरह बिंदु एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस (साथ ही वेक्टर या एफाइन स्पेस) को एक टपल के रूप में दर्शाया जा सकता है ( ए 1 , ए 2 , … , ए एन) से एननंबर।

लिंक

• बिंदु(अंग्रेजी) प्लैनेटमैथ वेबसाइट पर।
• वीस्टीन, एरिक डब्ल्यू।वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड वेबसाइट पर इंगित करें।

मुद्दा यह है:

डॉट डॉट संज्ञा, और।, उपयोग अक्सर आकृति विज्ञान: (नहीं) क्या? डॉट्स, क्या? डॉट, (देखो क्या? डॉट, कैसे? डॉट, किस बारे मेँ? बिंदु के बारे में; कृपया। क्या? डॉट्स, (नहीं क्या? अंक, क्या? अंक, (देखो क्या? डॉट्स, कैसे? डॉट्स, किस बारे मेँ? अंक के बारे में 1. डॉट- यह एक छोटा गोल धब्बा है, किसी नुकीली चीज या लेखन के स्पर्श से एक निशान।

डॉट पैटर्न। | पंचर बिंदु। | मानचित्र पर शहर को एक छोटे बिंदु और उपलब्धता द्वारा दर्शाया गया है बायपास रोडकोई केवल अनुमान लगा सकता है।

2. डॉट- यह बहुत छोटी चीज है, दूर होने या अन्य कारणों से खराब दिखाई देती है।

क्षितिज पर इंगित करें। | जैसे ही गेंद आकाश के पश्चिमी भाग में क्षितिज के पास पहुंची, यह धीरे-धीरे आकार में घटने लगी जब तक कि यह एक बिंदु में बदल नहीं गई।

3. डॉट- एक विराम चिह्न जो वाक्य के अंत में या शब्दों को संक्षिप्त करते समय लगाया जाता है।

एक बिंदु रखो। | वाक्य के अंत में डॉट लगाना न भूलें

4. गणित, ज्यामिति और भौतिकी में डॉटएक इकाई है जिसकी स्थिति अंतरिक्ष में है, एक रेखा खंड की सीमा है।

गणित बिंदु।

5. डॉटअंतरिक्ष में, जमीन पर या किसी चीज की सतह पर एक निश्चित स्थान का नाम दें।

प्लेसमेंट बिंदु। | दर्द का स्थान।

6. डॉटउस स्थान का नाम बताएं जहां कुछ स्थित है या किया जाता है, सिस्टम या किसी बिंदु के नेटवर्क में एक निश्चित नोड।

प्रत्येक आउटलेट का अपना चिन्ह होना चाहिए।

7. डॉटवे किसी चीज के विकास की सीमा, विकास में एक निश्चित स्तर या क्षण कहते हैं।

नई सबसे ऊंचा स्थान. | विकास में बिंदु। | स्थिति नाजुक मोड़ पर पहुंच गई है। | यह मनुष्य की आध्यात्मिक शक्ति की अभिव्यक्ति का उच्चतम बिंदु है।

8. डॉटउस तापमान सीमा को कहा जाता है जिस पर किसी पदार्थ का एक से रूपांतरण होता है एकत्रीकरण की स्थितिदूसरे में।

क्वथनांक। | हिमांक बिन्दू। | गलनांक। | कैसे अधिक ऊंचाईपानी का क्वथनांक जितना कम होगा।

9. अर्धविराम (;)एक विराम चिह्न कहा जाता है जिसका उपयोग सामान्य, अधिक को अलग करने के लिए किया जाता है स्वतंत्र भागसंयुक्त वाक्य।

में अंग्रेजी भाषाव्यावहारिक रूप से रूसी में समान विराम चिह्नों का उपयोग किया जाता है: डॉट, अल्पविराम, अर्धविराम, डैश, एपोस्ट्रोफ, कोष्ठक, दीर्घवृत्त, पूछताछ और विस्मयादिबोधक चिह्न, हाइफ़न।

10. जब वे बात करते हैं दृष्टिकोण, मतलब एक निश्चित समस्या के बारे में किसी की राय, चीजों पर एक नज़र।

कम लोकप्रिय अब एक और दृष्टिकोण है, जिसे पहले लगभग सार्वभौमिक रूप से मान्यता प्राप्त थी। | आज कोई भी इस दृष्टिकोण को साझा नहीं करता है।

11. यदि लोगों को कहा जाए संपर्क के बिंदुइसलिए उनके सामान्य हित हैं।

हम आम जमीन खोजने में सक्षम हो सकते हैं।

12. अगर कुछ कहा जाए बिंदु से बिंदु, मतलब बिल्कुल सटीक मेल।

जिस जगह इशारा किया गया था, वहां एक कॉफी रंग की कार थी।

13. यदि किसी व्यक्ति को कहा जाए बिंदु पर पहुंच गया, जिसका अर्थ है कि वह कुछ नकारात्मक गुणों के प्रकटीकरण की चरम सीमा तक पहुँच गया है।

हम बिंदु पर पहुँच गए हैं! आप अब इस तरह नहीं रह सकते! | आप उन्हें यह नहीं बता सकते कि उनके कुशल नेतृत्व में खुफिया एजेंसियां ​​इस मुकाम तक पहुंच गई हैं।

14. यदि कोई समाप्त कर देता हैकिसी व्यवसाय में, इसका मतलब है कि वह इसे रोक देता है।

फिर वह उत्प्रवास से अपनी मातृभूमि, रूस, के लिए लौट आया सोवियत संघ, और इससे उसकी सभी खोजों और विचारों का अंत हो गया।

15. यदि कोई डॉट "और"(या मैं पर), जिसका अर्थ है कि वह मामले को उसके तार्किक निष्कर्ष पर लाता है, कुछ भी अनकहा नहीं छोड़ता है।

आई को डॉट करते हैं। मुझे आपकी पहल के बारे में कुछ नहीं पता था।

16. यदि कोई एक बिंदु हिट करता है, जिसका अर्थ है कि उसने एक लक्ष्य प्राप्त करने के लिए अपनी सारी शक्ति केंद्रित कर दी।

यही कारण है कि उनकी छवियां इतनी विशिष्ट हैं; वह हमेशा एक बिंदु पर निशाना साधता है, कभी भी छोटी-छोटी बातों से दूर नहीं होता। | वह अच्छी तरह समझता है कि उसके व्यवसाय का कार्य क्या है, और उद्देश्यपूर्ण ढंग से एक बिंदु पर पहुँचता है।

17. यदि कोई एकदम सही, जिसका अर्थ है कि उसने वही कहा या किया जो वास्तव में आवश्यक था, उसने अनुमान लगाया।

प्रतियोगिता के अगले दौर में आए पहले पत्र ने संपादकों को सुखद आश्चर्यचकित कर दिया - सूचीबद्ध विकल्पों में से एक में, हमारे पाठक ने तुरंत छाप छोड़ी!

बिंदु adj।

एक्यूप्रेशर।

रूसी भाषा दिमित्रिक का व्याख्यात्मक शब्दकोश। डी. वी. दिमित्रिक। 2003.

डॉट

डॉटमतलब हो सकता है:

विक्षनरी में एक लेख है "डॉट"

• एक बिंदु अंतरिक्ष में एक अमूर्त वस्तु है जिसमें निर्देशांक के अलावा कोई मापनीय विशेषता नहीं होती है।
• बिंदु - स्वरों का विशिष्ट चिह्न, जिसे अक्षर के ऊपर, नीचे या बीच में रखा जा सकता है।
• बिंदु - रूसी में दूरी माप की एक इकाई और अंग्रेजी सिस्टमपैमाने।
• डॉट दशमलव विभाजक के अभ्यावेदन में से एक है।
• डॉट (नेटवर्क प्रौद्योगिकियां) - वैश्विक नेटवर्क डोमेन के पदानुक्रम में रूट डोमेन का पदनाम।
• Tochka - इलेक्ट्रॉनिक्स और मनोरंजन स्टोर की श्रृंखला
• Tochka - समूह "लेनिनग्राद" का एल्बम
• प्वाइंट - 2006 की रूसी फिल्म ग्रिगोरी रियाज़्स्की द्वारा इसी नाम की कहानी पर आधारित है
• डॉट रैपर स्टेन का दूसरा स्टूडियो एल्बम है।
• Tochka एक डिवीजनल मिसाइल सिस्टम है।
• Tochka - क्रास्नोयार्स्क यूथ एंड सबकल्चरल जर्नल।
• Tochka मास्को में एक क्लब और कॉन्सर्ट स्थल है।
• बिंदु मोर्स कोड के वर्णों में से एक है।
• बिंदु मुकाबला कर्तव्य का स्थान है।
• बिंदु (प्रसंस्करण) - मशीनिंग, मोड़, तेज करने की प्रक्रिया।
• बिंदु - एनटीवी पर सूचना और विश्लेषणात्मक कार्यक्रम।
• Tochka नॉरिल्स्क शहर का एक रॉक बैंड है, जिसकी स्थापना 2012 में हुई थी।

उपनाम

कजाखस्तान

• डॉट- 1992 तक, पूर्वी कजाकिस्तान क्षेत्र के उलान जिले में गांव बयाश उत्पोव का नाम।

रूस

• तोचका वोलोग्दा क्षेत्र के शेक्सिन्स्की जिले का एक गाँव है।
• टोचका नोवगोरोड क्षेत्र के वोलोतोव्स्की जिले का एक गाँव है।
• तोचका पेन्ज़ा क्षेत्र के लोपाटिन्स्की जिले का एक गाँव है।

क्या आप बिंदु और रेखा जैसी अवधारणाओं की परिभाषा दे सकते हैं?

हमारे स्कूलों और विश्वविद्यालयों में ये परिभाषाएँ नहीं थीं, हालाँकि वे मेरी राय में महत्वपूर्ण हैं (मुझे नहीं पता कि यह अन्य देशों में कैसा है)। हम इन अवधारणाओं को "सफल और असफल" के रूप में परिभाषित कर सकते हैं और विचार कर सकते हैं कि क्या यह सोच के विकास के लिए उपयोगी है।

पहलवान

अजीब है, लेकिन हमें एक बिंदु की परिभाषा दी गई। यह अंतरिक्ष में स्थित एक अमूर्त वस्तु (सम्मेलन) है, जिसका कोई आयाम नहीं है। यह पहली चीज है जो स्कूल में हमारे सिर में अंकित की गई थी - एक बिंदु का कोई आयाम नहीं है, यह एक "शून्य-आयामी" वस्तु है। एक सशर्त अवधारणा, जैसे ज्यामिति में सब कुछ।

सीधी रेखाएँ और भी कठिन हैं। सबसे पहले, यह एक रेखा है। दूसरे, यह एक निश्चित तरीके से अंतरिक्ष में स्थित बिंदुओं का एक समूह है। बहुत में सरल परिभाषायह दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित एक रेखा है जिसके माध्यम से यह गुजरता है।

मेदिव

एक बिंदु किसी प्रकार की अमूर्त वस्तु है। एक बिंदु में निर्देशांक होते हैं लेकिन द्रव्यमान या आयाम नहीं होते हैं। ज्यामिति में, सब कुछ ठीक एक बिंदु से शुरू होता है, यह अन्य सभी आंकड़ों की शुरुआत है। एक सीधी रेखा दो बिंदुओं के बीच की दूरी है।

लियोनिद कुटनी

आप कुछ भी और कुछ भी परिभाषित कर सकते हैं। लेकिन एक सवाल है: क्या यह परिभाषा किसी विशेष विज्ञान में "काम" करेगी? हमारे पास जो कुछ है, उसके आधार पर एक बिंदु, एक रेखा और एक समतल को परिभाषित करने का कोई मतलब नहीं है। मुझे आर्थर की टिप्पणी वास्तव में पसंद आई। मैं यह जोड़ना चाहता हूं कि एक बिंदु में कई गुण हैं: इसकी कोई लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई, द्रव्यमान और वजन आदि नहीं है। वस्तु, विमान पर एक वस्तु, अंतरिक्ष में। इसलिए हमें एक बिंदु की आवश्यकता है, लेकिन एक स्मार्ट पाठक कहेगा कि एक किताब, एक कुर्सी, एक घड़ी और अन्य चीजों को एक बिंदु के रूप में लिया जा सकता है। एकदम सही! इसलिए, किसी बिंदु को परिभाषित करने का कोई मतलब नहीं है। साभार, एलए कुटनी

एक सीधी रेखा ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है।

अवधि कई भाषाओं में लेखन में विराम चिह्न है।

साथ ही, डॉट मोर्स कोड के प्रतीकों में से एक है

इतनी सारी परिभाषाएँ: डी

एक बिंदु, एक रेखा, एक विमान की परिभाषाएं मेरे द्वारा 80 के दशक के अंत और 20वीं शताब्दी के 90 के दशक के प्रारंभ में दी गई थीं। मैं एक लिंक देता हूं:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

328-पृष्ठ की मात्रा इन अवधारणाओं के संज्ञानात्मक सार को एक पूरी तरह से नए पहलू में वर्णित करती है, जिसे एक वास्तविक भौतिक विश्वदृष्टि और मेरे अस्तित्व की भावना के आधार पर समझाया गया है, जिसका अर्थ है "मैं" अस्तित्व में है, ठीक वैसे ही जैसे स्वयं ब्रह्मांड जिसके लिए मेरा अस्तित्व है।

में सब कुछ लिखा हुआ है यह कामप्रकृति और इसके गुणों के बारे में मानव जाति के ज्ञान की पुष्टि बहुत पहले की गई थी और अभी भी इसका अध्ययन किया जा रहा है इस पलसमय। तकनीकी सफलताओं के अभ्यास के लिए अपनी अमूर्त छवियों को लागू करने के लिए गणित को समझना और समझना इतना जटिल हो गया है। मूल सिद्धांतों को प्रकट करने के बाद, जो मूलभूत सिद्धांत हैं, एक छात्र को भी समझाना संभव है प्राथमिक स्कूलब्रह्मांड के अस्तित्व के अंतर्निहित कारण। पढ़ें और सच्चाई के करीब आएं। हिम्मत करो, जिस दुनिया में हम मौजूद हैं वह आपके सामने एक नई रोशनी में खुलती है।

क्या गणित, ज्यामिति में "बिंदु" की अवधारणा की परिभाषा है।

मिखाइल लेविन

"अनिश्चित अवधारणा" एक परिभाषा है?

वास्तव में, यह अवधारणाओं की अनिश्चितता है जो गणित को विभिन्न वस्तुओं पर लागू करना संभव बनाती है।

एक गणितज्ञ यहां तक ​​​​कह सकता है "एक बिंदु से मेरा मतलब एक यूक्लिडियन विमान होगा, एक विमान द्वारा - एक यूक्लिडियन बिंदु" - सभी सिद्धांतों की जांच करें और प्राप्त करें नई ज्यामितिया नए प्रमेय।

मुद्दा यह है कि शब्द A को परिभाषित करने के लिए, आपको शब्द B का उपयोग करने की आवश्यकता है। B को परिभाषित करने के लिए, आपको शब्द C की आवश्यकता है। और इसी तरह अनंत तक। और इस अनंतता से बचने के लिए कुछ शर्तों को बिना परिभाषा के स्वीकार करना पड़ता है और उन पर दूसरों की परिभाषा गढ़नी पड़ती है। ©

ग्रिगोरी पिवेन

गणित में पिवेन ग्रिगोरी, एक बिंदु अंतरिक्ष का एक हिस्सा है जो अमूर्त रूप से (प्रतिबिंबित) 1 के बराबर न्यूनतम लंबाई खंड के रूप में लिया जाता है, जिसका उपयोग अंतरिक्ष के अन्य भागों को मापने के लिए किया जाता है। इसलिए, एक व्यक्ति उत्पादक माप प्रक्रिया के लिए सुविधा के लिए एक बिंदु का पैमाना चुनता है: 1 मिमी, 1 सेमी, 1 मी, 1 किमी, 1 ए। ई।, 1 सेंट। वर्ष। वगैरह।

अलग-अलग मैपिंग के मामले में एक महत्वपूर्ण बिंदु की अवधारणा को सामान्यीकृत किया जा सकता है, और मनमाना मैनिफोल्ड के अलग-अलग मैपिंग के मामले में f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). इस मामले में, एक महत्वपूर्ण बिंदु की परिभाषा यह है कि मैपिंग के जैकोबियन मैट्रिक्स की रैंक च (\displaystyle f)यह अधिकतम से कम है संभावित मूल्य, के बराबर ।

महत्वपूर्ण बिंदुकार्य और मानचित्रण खेलते हैं महत्वपूर्ण भूमिकागणित के क्षेत्रों में जैसे अंतर समीकरण, विविधताओं की गणना, स्थिरता सिद्धांत और यांत्रिकी और भौतिकी में। सहज मैपिंग के महत्वपूर्ण बिंदुओं का अध्ययन आपदा सिद्धांत में मुख्य प्रश्नों में से एक है। अनंत-आयामी फ़ंक्शन रिक्त स्थान पर परिभाषित कार्यात्मकताओं के मामले में एक महत्वपूर्ण बिंदु की धारणा भी सामान्यीकृत है। ऐसे कार्यों के महत्वपूर्ण बिंदुओं की खोज है महत्वपूर्ण भागविविधताओं की गणना। कार्यों के महत्वपूर्ण बिंदु (जो बदले में, कार्य हैं) कहलाते हैं अतिवादी.

औपचारिक परिभाषा

गंभीर(या विशेषया अचल) निरंतर अवकलनीय मानचित्रण का एक बिंदु f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))एक बिंदु कहा जाता है जिस पर इस मानचित्रण का अंतर होता है f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x)))है पतित रैखिक परिवर्तनसंगत स्पर्शरेखा रिक्त स्थान टी एक्स 0 आर एन (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (आर) ^(n))और टी एफ (एक्स 0) आर एम (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (आर) ^(एम)), यानी परिवर्तन छवि का आयाम f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0)))कम min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). के लिए समन्वय संकेतन में एन = एम (\displaystyle n=m)इसका मतलब है कि जैकोबियन मैपिंग के जैकोबी मैट्रिक्स का निर्धारक है च (\displaystyle f), सभी आंशिक डेरिवेटिव से बना है ∂ fj ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- एक बिंदु पर गायब हो जाता है। रिक्त स्थान और आर एम (\displaystyle \mathbb (आर) ^(एम))इस परिभाषा में किस्मों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है एन एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन^(एन))और एम एम (\डिस्प्लेस्टाइल एम^(एम))समान आयाम।

सार्ड की प्रमेय

महत्वपूर्ण बिंदु पर प्रदर्शित मूल्य को इसका कहा जाता है गंभीर. सार्ड के प्रमेय के अनुसार, पर्याप्त रूप से चिकनी मानचित्रण के महत्वपूर्ण मूल्यों का सेट f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))शून्य Lebesgue माप है (हालांकि महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या हो सकती है, उदाहरण के लिए, समान मानचित्रण के लिए, कोई भी बिंदु महत्वपूर्ण है)।

लगातार रैंक मैपिंग

यदि बिंदु के आसपास के क्षेत्र में x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n))एक निरंतर भिन्न मानचित्रण की रैंक f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))समान संख्या के बराबर है आर (\displaystyle r), फिर इस बिंदु के आसपास के क्षेत्र में x 0 (\displaystyle x_(0))पर केंद्रित स्थानीय निर्देशांक हैं x 0 (\displaystyle x_(0)), और इसकी छवि के पड़ोस में - अंक y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- स्थानीय निर्देशांक हैं (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m)))पर केन्द्रित च (\displaystyle f)संबंधों द्वारा दिया गया है:

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)

विशेष रूप से, अगर आर = एन = एम (\displaystyle r=n=m), तो स्थानीय निर्देशांक हैं (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n)))पर केन्द्रित x 0 (\displaystyle x_(0))और स्थानीय निर्देशांक (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n)))पर केन्द्रित y 0 (\displaystyle y_(0)), जैसे कि वे प्रदर्शित करते हैं च (\displaystyle f)समान है।

हो रहा एम = 1

कब यह परिभाषाइसका मतलब है कि ढाल ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n))))इस बिंदु पर गायब हो जाता है।

आइए मान लें कि फ़ंक्शन f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) )कम से कम एक चिकनाई वर्ग है सी 3 (\डिस्प्लेस्टाइल सी^(3)). किसी फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु एफबुलाया गैर पतित, अगर इसमें हेसियन शामिल है | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\आंशिक ^(2)f)(\आंशिक x^(2)))(\Bigr |))शून्य से भिन्न। एक गैर-अपसंस्कृत महत्वपूर्ण बिंदु के पड़ोस में, ऐसे निर्देशांक होते हैं जिनमें कार्य होता है एफएक द्विघात सामान्य रूप (मोर्स लेम्मा) है।

पतित महत्वपूर्ण बिंदुओं के लिए मोर्स लेम्मा का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है Toujron की प्रमेय:समारोह के एक पतित महत्वपूर्ण बिंदु के पड़ोस में एफ, अलग करने योग्य असीमित संख्याबार () परिमित बहुलता μ (\displaystyle \mu )जिसमें एक समन्वय प्रणाली है चिकना समारोहडिग्री के बहुपद का रूप है μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(जैसा पी μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x))कोई फ़ंक्शन का टेलर बहुपद ले सकता है f (x) (\displaystyle f(x))मूल निर्देशांक में एक बिंदु पर)।

पर एम = 1 (\displaystyle m=1)अधिकतम और न्यूनतम फ़ंक्शन के बारे में पूछना समझ में आता है। प्रसिद्ध कथन के अनुसार गणितीय विश्लेषण, एक निरंतर भिन्न कार्य च (\displaystyle f), पूरे अंतरिक्ष में परिभाषित आर एन (\displaystyle \mathbb (आर) ^(एन))या इसके खुले उपसमुच्चय में पहुँच सकते हैं स्थानीय अधिकतम(न्यूनतम) केवल महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, और यदि बिंदु अविकृत है, तो मैट्रिक्स (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\आंशिक ^(2)f)(\आंशिक x_(i)\आंशिक x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,)इसमें नकारात्मक (सकारात्मक) निश्चित होना चाहिए। बाद वाला भी है पर्याप्त स्थितिस्थानीय अधिकतम (क्रमशः, न्यूनतम)।

हो रहा एन = एम = 2

कब एन = एम = 2हमारे पास एक मैपिंग है एफएक विमान पर विमान (या दो आयामी कई गुना एक और दो आयामी कई गुना)। मान लीजिए कि डिस्प्ले एफअलग-अलग अनंत बार ( सी ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). इस मामले में, मानचित्रण के विशिष्ट महत्वपूर्ण बिंदु एफवे हैं जिनमें जैकबियन मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है, लेकिन इसकी रैंक 1 के बराबर है, और इसलिए मैपिंग का अंतर एफऐसे बिंदुओं पर एक आयामी गुठली होती है। विशिष्टता की दूसरी शर्त यह है कि प्रतिलोम-छवि तल पर विचार किए गए बिंदु के पड़ोस में, महत्वपूर्ण बिंदुओं का समूह एक नियमित वक्र बनाता है एस, और वक्र के लगभग सभी बिंदुओं पर एसमुख्य केर एफ ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*))चिंता नहीं करता एस, जबकि जिन बिंदुओं पर ऐसा नहीं है वे अलग-थलग हैं और उन पर स्पर्शरेखा पहले क्रम की है। पहले प्रकार के क्रांतिक बिंदु कहलाते हैं क्रीज अंक, और दूसरा प्रकार संयोजन बिंदु. फोल्ड और फोल्ड प्लेन-टू-प्लेन मैपिंग की एकमात्र प्रकार की विलक्षणताएं हैं जो छोटे क्षोभ के संबंध में स्थिर हैं: एक छोटे से गड़बड़ी के तहत, फोल्ड और फोल्ड पॉइंट वक्र के विरूपण के साथ ही थोड़ा आगे बढ़ते हैं। एस, लेकिन गायब न हों, पतित न हों, और अन्य विलक्षणताओं में अलग न हों।

यह भी देखें: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

गणित में ढाई सहस्राब्दी के लिए अमूर्तता का उपयोग किया गया है। आयाम रहित बिंदु, जो न केवल विरोधाभासी है व्यावहारिक बुद्धि, बल्कि भौतिक विज्ञान, रसायन विज्ञान जैसे विज्ञानों द्वारा प्राप्त आसपास की दुनिया के बारे में भी ज्ञान क्वांटम यांत्रिकीऔर सूचना विज्ञान।

अन्य अमूर्तताओं के विपरीत, एक आयाम रहित गणितीय बिंदु का सार वास्तविकता को आदर्श नहीं बनाता है, इसकी अनुभूति को सरल करता है, लेकिन जानबूझकर इसे विकृत करता है, इसे विपरीत अर्थ देता है, जो विशेष रूप से उच्च आयाम के स्थानों को समझना और अध्ययन करना मौलिक रूप से असंभव बना देता है!

गणित में एक आयाम रहित बिंदु के अमूर्त उपयोग की तुलना मूल के उपयोग से की जा सकती है मौद्रिक इकाईशून्य लागत के साथ। सौभाग्य से, अर्थव्यवस्था ने इसके बारे में नहीं सोचा।

आइए हम एक आयामहीन बिंदु के अमूर्तन की बेरुखी को साबित करें।

प्रमेय। गणितीय बिंदु बड़ा है।

सबूत।

चूंकि गणित में

प्वाइंट_साइज = 0,

परिमित (अशून्य) लंबाई के खंड के लिए, हमारे पास है

सेगमेंट_साइज = 0 + 0 + ... + 0 = 0।

खंड का प्राप्त शून्य आकार, इसके घटक बिंदुओं के अनुक्रम के रूप में, खंड की परिमित लंबाई की स्थिति के विपरीत है। इसके अलावा, शून्य बिंदु का आकार इस मायने में बेतुका है कि शून्य का योग शब्दों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात खंड में "शून्य" बिंदुओं की संख्या खंड के आकार को प्रभावित नहीं करती है।

इसलिए, गणितीय बिंदु के शून्य आकार के बारे में मूल धारणा गलत है।

इस प्रकार, यह तर्क दिया जा सकता है कि एक गणितीय बिंदु का एक गैर-शून्य (परिमित) आकार होता है। चूँकि बिंदु न केवल खंड का है, बल्कि उस स्थान का भी है जिसमें खंड स्थित है, इसमें स्थान का आयाम है, अर्थात गणितीय बिंदु बड़ा है। Q.E.D.

परिणाम।

उपरोक्त प्रमाण, गणितीय उपकरण का उपयोग करके किया गया कनिष्ठ समूह KINDERGARTENपुजारियों और "सभी विज्ञानों की रानी" के अनुयायियों के असीम ज्ञान पर गर्व करता है, जो सहस्राब्दी के माध्यम से ले जाने में कामयाब रहे और अपने मूल रूप में मानव जाति के प्राचीन भ्रम को बनाए रखने में कामयाब रहे।

समीक्षा

प्रिय सिकंदर! मैं गणित में मजबूत नहीं हूँ, लेकिन शायद आप मुझे बता सकते हैं कि यह कहाँ और किसके द्वारा कहा गया है कि बिंदु शून्य के बराबर है? दूसरी बात, उसके पास अनंत है छोटी राशि, सम्मेलन तक, लेकिन शून्य बिल्कुल नहीं। इस प्रकार, किसी भी खंड को शून्य माना जा सकता है, क्योंकि इसमें एक और खंड शामिल है अनंत सेटप्रारंभिक खंड, मोटे तौर पर बोलना। शायद हमें गणित और भौतिकी को भ्रमित नहीं करना चाहिए। गणित अस्तित्व का विज्ञान है, भौतिकी मौजूदा के बारे में है। ईमानदारी से।

मैंने अकिलिस का दो बार विस्तार से और कई बार गुजरने का उल्लेख किया:
"अकिलिस कछुए को क्यों नहीं पकड़ पाएगा"
"Achilles और कछुआ - एक घन में एक विरोधाभास"

शायद ज़ेनो के विरोधाभास का एक समाधान यह है कि अंतरिक्ष असतत है और समय निरंतर है। उन्होंने माना, जैसा कि आपके लिए संभव है, कि दोनों असतत हैं। पिंड अंतरिक्ष में किसी बिंदु पर कुछ समय के लिए रह सकता है। लेकिन यह एक ही समय में एक ही समय में अलग-अलग जगहों पर नहीं हो सकता। यह सब, हमारे पूरे संवाद की तरह, शौकिया तौर पर है। ईमानदारी से।
वैसे, यदि कोई बिंदु 3D है, तो उसके आयाम क्या हैं?

उदाहरण के लिए, एपोरिया "एरो" से समय की विसंगति इस प्रकार है। "एक साथ अलग-अलग जगहों पर रहना" केवल भौतिकविदों के लिए एक इलेक्ट्रॉन हो सकता है, जो सिद्धांत रूप में, ईथर की संरचना या 4-आयामी अंतरिक्ष की संरचना को नहीं समझते और स्वीकार नहीं करते हैं। मैं इस घटना के किसी अन्य उदाहरण के बारे में नहीं जानता। मुझे हमारी बातचीत में कोई "शौकियापन" नहीं दिखता। इसके विपरीत, सब कुछ अत्यंत सरल है: एक बिंदु या तो आयाम रहित है या इसका आकार है; निरंतरता और अनंतता या तो मौजूद हैं या नहीं हैं। तीसरा नहीं दिया गया है - या तो TRUE या FALSE! बुनियादी बातोंगणितज्ञ, दुर्भाग्य से, 2500 साल पहले अज्ञानता से स्वीकार किए गए झूठे हठधर्मिता पर बने हैं।

बिंदु का आकार समस्या के हल होने की स्थिति और आवश्यक सटीकता पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक गियर के लिए डिज़ाइन किया गया है कलाई घड़ी, तो सटीकता को परमाणु के आकार, यानी आठ दशमलव स्थानों तक सीमित किया जा सकता है। यहाँ परमाणु ही गणितीय बिंदु का भौतिक अनुरूप होगा। आपको कहीं-कहीं 16-वर्णों की सूक्ष्मता की आवश्यकता हो सकती है; तब बिंदु की भूमिका ईथर के कण द्वारा निभाई जाएगी। ध्यान दें कि कथित तौर पर "अनंत" सटीकता के बारे में बात व्यवहार में जंगली बकवास में बदल जाती है, या, इसे हल्के ढंग से, बेतुकापन डालने के लिए।

मुझे अभी भी समझ नहीं आया: क्या बिंदु मौजूद है? यदि यह वस्तुगत रूप से अस्तित्व में है, तो इसका एक निश्चित भौतिक मूल्य है, यदि यह व्यक्तिपरक रूप से मौजूद है, हमारे मन के अमूर्त रूप में है, तो इसका एक गणितीय मूल्य है। शून्य के पास कुछ भी नहीं है, यह अस्तित्व में नहीं है, यह गणित में गैर-अस्तित्व या भौतिकी में शून्यता की अमूर्त परिभाषा है। रिश्ते के बाहर बिंदु अपने आप में मौजूद नहीं है। जैसे ही दूसरा बिंदु प्रकट होता है, एक खंड प्रकट होता है - कुछ, आदि। इस विषय को अंतहीन रूप से विकसित किया जा सकता है। यूवी के साथ।

मुझे ऐसा लग रहा था कि मैं लाया हूं अच्छा उदाहरण, लेकिन शायद पर्याप्त विस्तृत नहीं है। वस्तुनिष्ठ रूप से, एक ऐसी दुनिया है जिसे विज्ञान पहचानता है, और वर्तमान में यह मुख्य रूप से गणितीय तरीकों से पहचानता है। गणित निर्माण करके दुनिया को पहचानता है गणितीय मॉडल. इन मॉडलों को बनाने के लिए, बुनियादी गणितीय सार, विशेष रूप से, जैसे: बिंदु, रेखा, निरंतरता, अनंत। ये अमूर्त बुनियादी हैं क्योंकि अब इन्हें और उप-विभाजित और सरल बनाना संभव नहीं है। प्रत्येक मूल सार या तो पर्याप्त हो सकता है वस्तुगत सच्चाई(सच) या नहीं (झूठा)। उपरोक्त सभी सार प्रारंभ में झूठे हैं, क्योंकि वे वास्तविक दुनिया के बारे में नवीनतम ज्ञान का खंडन करते हैं। तो ये सार रोकते हैं सही समझ असली दुनिया. जब विज्ञान 3-आयामी दुनिया का अध्ययन कर रहा था तब कोई इसे किसी तरह से रख सकता था। हालाँकि, एक आयाम रहित बिंदु और निरंतरता के सार उच्च आयाम के सभी संसारों को सिद्धांत रूप में अनजान बनाते हैं!

ब्रह्मांड की ईंट - एक बिंदु - शून्य नहीं हो सकती। सभी जानते हैं कि शून्यता से कुछ नहीं आता। भौतिकविदों ने ईथर को अस्तित्वहीन घोषित करते हुए दुनिया को शून्यता से भर दिया। मेरा मानना ​​है कि गणित ने अपने खाली बिंदु के साथ उन्हें इस मूर्खता की ओर धकेला। मैं 4डी से उच्च आयाम की दुनिया के परमाणुओं-बिंदुओं के बारे में बात नहीं कर रहा हूं। तो, प्रत्येक आयाम के लिए एक अविभाज्य (सशर्त) गणितीय बिंदु की भूमिका इस दुनिया (अंतरिक्ष, पदार्थ) के (सशर्त) अविभाज्य परमाणु द्वारा निभाई जाती है। 3D के लिए - एक भौतिक परमाणु, 4D के लिए - एक ईथर कण, 5D के लिए - एक सूक्ष्म परमाणु, 6D के लिए - एक मानसिक परमाणु, और इसी तरह। ईमानदारी से,

तो, फिर भी, ब्रह्मांड की ईंट में कुछ है निरपेक्ष मूल्य? और यह आपकी राय में, ईथर या मानसिक दुनिया में क्या दर्शाता है। मुझे खुद दुनिया के बारे में पूछने में डर लगता है। रुचि से...

ईथर कण (ये परमाणु नहीं हैं!) इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन जोड़े हैं, जिसमें कण स्वयं प्रकाश की गति से एक दूसरे के सापेक्ष घूमते हैं। यह पूरी तरह से सभी न्यूक्लियंस, प्रसार की संरचना की व्याख्या करता है विद्युत चुम्बकीय कंपनऔर तथाकथित के सभी प्रभाव भौतिक निर्वात. विचार के परमाणु की संरचना किसी के लिए अज्ञात है। केवल सबूत है कि सभी सबसे उच्च दुनियापदार्थ, अर्थात् उनके अपने परमाणु होते हैं। निरपेक्ष की बात तक। हालांकि आप विडंबनापूर्ण हैं। वास्तव में wormholesऔर बड़े धमाकेक्या आपको यह अधिक विश्वसनीय लगता है?

यहाँ विडंबना क्या है, जानकारी के इस तरह के हिमस्खलन के बाद बस थोड़ा अचंभित हो गया। मैं, आपके विपरीत, एक पेशेवर नहीं हूं और मुझे रिक्त स्थान की पांच या छह-आयामीता के बारे में कुछ भी कहना मुश्किल लगता है। मैं अपने लंबे समय से पीड़ित बिंदु के बारे में हूं ... जहां तक ​​​​मैं समझता हूं, आप भौतिक निरंतरता के खिलाफ हैं, और मुद्दा यह है कि आपके पास वास्तव में "लोकतांत्रिक" परमाणु है। "ब्रह्मांड की ईंट"। शायद मैं असावधान था, लेकिन फिर भी, इसकी संरचना, भौतिक मापदंडों, आयामों आदि को दोहराने में संकोच न करें।
और यह भी उत्तर दें, क्या इकाई अपने आप में मौजूद है, जैसे कि किसी भी संबंध के बाहर? धन्यवाद।

MKOOST SANATORIUM SCHOOL - बोर्डिंग स्कूल

बिंदु और ज्यामितीय आकार।

गणित में शोध कार्य।

द्वारा पूरा किया गया: अनातोली वासिलिव, तीसरी कक्षा का छात्र

कार्य प्रबंधक:

दुबोवया नताल्या लियोनिदोव्ना,

प्राथमिक स्कूल शिक्षक।

टॉमट, 2013

1. संक्षिप्त एनोटेशन। ................................................ . ................... 2
2. व्याख्या। ................................................ . ................................3
3. शोध आलेख। ................................................ . .....................6
4. निष्कर्ष................................................. ........................................................7

ग्रंथ सूची।

संक्षिप्त एनोटेशन।

कागज बिंदु और ज्यामितीय आकृतियों पर चर्चा करता है: रेखा, किरण, खंड, कोण, त्रिकोण, चतुर्भुज, वृत्त और वृत्त, साथ ही इन आकृतियों की रचना और निर्माण में बिंदु की भूमिका।

व्याख्या।

इस अध्ययन का उद्देश्य:पता करें कि एक बिंदु की अवधारणाओं का क्या अर्थ है और ज्यामितीय आकृतियों में क्या शामिल है: एक सीधी रेखा, एक किरण, एक कोण, एक चतुर्भुज, एक त्रिभुज, एक वृत्त।

अध्ययन का उद्देश्य:बिंदु और ज्यामितीय आकृतियों की परिभाषाएँ: रेखा, किरण, कोण, चतुर्भुज, त्रिभुज, वृत्त।

अध्ययन का विषय:बिंदु और ज्यामितीय आकृतियाँ: सीधी रेखा, किरण, कोण, चतुर्भुज, त्रिभुज, वृत्त।

शोध परिकल्पना:डॉट ही है ज्यामितीय आकृति, और बाकी सभी बिंदुओं के एक सेट से मिलकर बनता है।

अनुसंधान के उद्देश्य:

1. विषय पर अध्ययन सामग्री: "बिंदु और ज्यामितीय आकृतियाँ: सीधी रेखा, किरण, कोण, चतुर्भुज, त्रिभुज, वृत्त।";
2. एक बिंदु, एक सीधी रेखा, एक चतुर्भुज, एक त्रिकोण, एक कोण, एक किरण, एक वृत्त की परिभाषाएँ खोजें;
3. विषय पर उनके विश्लेषण और प्रतिबिंब प्रस्तुत करें;
4. इस शोध पत्र के आधार पर एक प्रस्तुति प्रस्तुत करें।

तलाश पद्दतियाँ:साहित्य का अध्ययन, शब्दकोशों के साथ काम, अध्ययन का विश्लेषण, निष्कर्ष।

शोध आलेख।

गणित की उत्पत्ति हुई प्राचीन समयलोगों की व्यावहारिक जरूरतों से। कोई भी गणित की प्राचीनता के बारे में बहस नहीं करेगा, लेकिन लोगों को ऐसा करने के लिए प्रेरित करने के बारे में एक और राय है। उनके अनुसार, गणित के साथ-साथ कविता, चित्रकला, संगीत, रंगमंच और सामान्य रूप से कला, मनुष्य की आध्यात्मिक आवश्यकताओं द्वारा जीवन में लाई गई थी, शायद अभी तक पूरी तरह से महसूस नहीं की गई, ज्ञान और सौंदर्य की इच्छा।

क्या आपने कभी सोचा है कि एक बिंदु क्या है और ज्यामितीय आकृतियों में क्या शामिल है?

पहली नज़र में, यहाँ सब कुछ स्पष्ट है: एक बिंदु एक बिंदु है, एक सीधी रेखा एक सीधी रेखा है, यहाँ क्या समझ से बाहर हो सकता है? ठीक है, फिर भी, इसे किसी ऐसे व्यक्ति को कैसे समझाया जाए जो यह बिल्कुल नहीं जानता है और इसके अलावा, सब कुछ बहुत शाब्दिक रूप से समझता है? क्या यह इतना आसान है? यह बिल्कुल नहीं निकला!

श्रम पाठों में, जब हमने आइसोथ्रेड तकनीक का अध्ययन किया, तो मेरी यह धारणा थी कि सभी ज्यामितीय आकृतियों में बिंदु होते हैं। यह इस विषय पर है कि मैंने अपना शोध कार्य समर्पित करने का निर्णय लिया है।

"मैं जानता हूँ कि मैं कुछ भी नहीं जानता," सुकरात ने कहा, और बातचीत के माध्यम से यह पता लगाने की कोशिश की कि वह वास्तव में क्या जानता है। इसलिए, मैंने पहले यह पता लगाने का फैसला किया कि मैं ज्यामितीय आकृतियों के बारे में क्या जानता हूं।

तो, आइए मेरे शोध कार्य के विषय द्वारा इंगित ज्यामितीय आकृतियों की परिभाषाओं को देखें।

1. डॉट - यह एक निशान है, एक स्पर्श से एक निशान, कुछ तेज के साथ एक इंजेक्शन; छोटा गोल धब्बा, धब्बा; कुछ बहुत छोटा, बमुश्किल दिखाई देता है। एक बिंदु एक बुनियादी ज्यामितीय आकृति है

1. पंक्ति- यह बहुत सारे बिंदु हैं। यदि ज्यामिति के निर्माण का आधार अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी की अवधारणा है, तो एक सीधी रेखा को उस रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके साथ दो बिंदुओं के बीच की दूरी सबसे कम हो।प्रत्यक्ष - एक रेखा है जो अपने सभी बिंदुओं के संबंध में समान रूप से स्थित है। "लाइन" शब्द की उत्पत्ति लैटिन लिनम से हुई है - "लिनन, लिनन थ्रेड"।

_________________________________________________

1. रे एक रेखा का एक हिस्सा है जिसमें इस रेखा के सभी बिंदु होते हैं जो इसके दिए गए बिंदु के एक तरफ स्थित होते हैं।

1. रेखा खंड एक रेखा का वह भाग है जिसमें इस रेखा के सभी बिंदु होते हैं जो उस पर दो दिए गए बिंदुओं के बीच स्थित होते हैं।

1. कोना- यह एक आकृति है जिसमें एक कोण का एक शीर्ष बिंदु और दो अलग-अलग अर्ध-रेखाएँ इस बिंदु से नीचे उतरती हैं, कोण की भुजाएँ।

1. चतुष्कोषएक आंकड़ा है जिसमें शामिल है चार बिंदुऔर उन्हें जोड़ने वाले लगातार चार खंड।

1. त्रिकोण - तीन बिंदुओं से बनी एक आकृति जो एक सीधी रेखा पर नहीं होती है, जो खंडों से जुड़ी होती है।

1. घेरा -

घेरा एक आकृति है जिसमें एक दिए गए बिंदु से समदूरस्थ समतल के सभी बिंदु होते हैं। एक वृत्त के चारों ओर एक बंद रेखा।

निष्कर्ष।

एक बिंदु और एक सीधी रेखा की अवधारणा हमारे जीवन में हर जगह और हर जगह पाई जाती है। उदाहरण के लिए, यदि आप रूसी भाषा में देखें, तो एक पूर्ण विराम चिह्न (.) है जो एक पूर्ण वाक्य को अलग करता है। रूसी में भी अर्धविराम, बृहदान्त्र, दीर्घवृत्त जैसे विराम चिह्न हैं।

भौतिकी में बिंदु - निश्चित मूल्यमात्रा।

भूगोल में बिंदु को माना जाता है निश्चित स्थानअंतरिक्ष में।

जीव विज्ञान में, यह पौधों का विकास बिंदु है।

रसायन विज्ञान में - हिमांक, क्वथनांक, गलनांक।

संगीत में, एक बिंदु एक संकेत है जो संगीत संकेतन के मूल तत्वों में से एक है।

गणित में, बिंदु एक बुनियादी ज्यामितीय आकृति है; दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन, एक रेखा खंड की सीमा, एक किरण की शुरुआत आदि।

किसी भी आकृति को बनाने के लिए हमें एक बिंदु की आवश्यकता होती है। सीधी रेखा की परिभाषा के आधार पर,एक रेखा बहुत सारे बिंदु हैं, और परिभाषाओं से, हम जानते हैं कि कोई भी आकृति एक बिंदु और एक रेखा का उपयोग करके बनाई गई है, इसलिए सभी आकृतियों में बिंदु होते हैं।

हमारे जीवन में, एक बिंदी एक इंजेक्शन बैज है, एक छोटा धब्बा है।

मेरा शोध करनाहमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि बिंदु ही एकमात्र ज्यामितीय आकृति है। सब कुछ एक बिंदु से शुरू होता है और इसके साथ समाप्त होता है, और यह अभी तक ज्ञात नहीं है कि यह किस उद्घाटन के रूप में काम करेगा।

साहित्य:

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