Pengertian garis sejajar dan sifat-sifatnya dalam ruang sama dengan pengertian pada bidang (lihat butir 11).

Pada saat yang sama, satu lagi kasus pengaturan garis dimungkinkan di ruang angkasa - garis miring. Garis yang tidak berpotongan dan tidak terletak pada bidang yang sama disebut garis berpotongan.

Gambar 121 menunjukkan tata letak ruang tamu. Anda melihat bahwa garis-garis yang menjadi milik segmen AB dan BC adalah miring.

Sudut antara garis yang berpotongan adalah sudut antara garis berpotongan yang sejajar dengannya. Sudut ini tidak bergantung pada garis berpotongan mana yang diambil.

Besarnya derajat sudut antara garis sejajar dianggap nol.

Garis tegak lurus yang sama dari dua garis yang berpotongan adalah segmen dengan ujung-ujungnya pada garis-garis ini, yang merupakan tegak lurus terhadap masing-masing garis tersebut. Dapat dibuktikan bahwa dua garis yang berpotongan memiliki tegak lurus yang sama, dan terlebih lagi, hanya satu. Ini adalah tegak lurus umum dari bidang paralel yang melewati garis-garis ini.

Jarak antara garis yang berpotongan adalah panjang garis tegak lurus yang sama. Ini sama dengan jarak antara bidang paralel yang melewati garis-garis ini.

Jadi, untuk mencari jarak antara garis berpotongan a dan b (Gbr. 122), kita perlu menggambar bidang sejajar a dan melalui masing-masing garis ini. Jarak antara bidang-bidang ini akan menjadi jarak antara garis berpotongan a dan b. Pada Gambar 122, jarak ini, misalnya, jarak AB.

Contoh. Garis a dan b sejajar dan garis c dan d berpotongan. Dapatkah masing-masing garis a dan berpotongan dengan kedua garis?

Keputusan. Garis a dan b terletak pada bidang yang sama, dan oleh karena itu setiap garis yang memotong masing-masing garis terletak pada bidang yang sama. Oleh karena itu, jika masing-masing garis a, b memotong kedua garis c dan d, maka garis-garis itu akan terletak pada bidang yang sama dengan garis a dan b, dan ini tidak mungkin, karena garis-garis tersebut berpotongan.

42. Paralelisme garis lurus dan bidang.

Garis dan bidang disebut sejajar jika tidak berpotongan, yaitu tidak memiliki poin umum. Jika garis a sejajar dengan bidang a, maka ditulis:.

Gambar 123 menunjukkan garis lurus yang sejajar dengan bidang a.

Jika lurus, tidak milik pesawat, sejajar dengan beberapa garis di bidang ini, maka itu juga sejajar dengan bidang itu sendiri (tanda paralelisme garis dan bidang).

Teorema ini memungkinkan situasi tertentu Buktikan bahwa garis dan bidang sejajar. Gambar 124 menunjukkan garis lurus b yang sejajar dengan garis lurus a yang terletak pada bidang a, yaitu sepanjang garis lurus b yang sejajar dengan bidang a, yaitu.

Contoh. Melalui bagian atas sudut kanan Dari persegi panjang segitiga ABC Sebuah bidang ditarik sejajar dengan sisi miring pada jarak 10 cm darinya. Proyeksi kaki-kaki pada bidang ini adalah 30 dan 50 cm. Tentukan proyeksi sisi miring pada bidang yang sama.

Keputusan. Dari segitiga siku-siku BBVC dan (Gbr. 125) kami menemukan:

Dari segitiga ABC kita menemukan:

Proyeksi sisi miring AB pada bidang a adalah . Karena AB sejajar dengan bidang a, maka Jadi,.

43. Pesawat paralel.

Dua bidang disebut paralel. jika mereka tidak berpotongan.

Dua bidang sejajar" jika salah satunya sejajar dengan dua garis berpotongan yang terletak di bidang lain (tanda paralelisme dua bidang).

Pada Gambar 126, bidang a sejajar dengan garis berpotongan a dan b yang terletak pada bidang tersebut, kemudian sepanjang bidang-bidang tersebut sejajar.

Melalui sebuah titik di luar bidang tertentu, seseorang dapat menggambar bidang yang sejajar dengan bidang tersebut, dan terlebih lagi, hanya satu.

Jika dua bidang sejajar berpotongan dengan bidang ketiga, maka garis-garis perpotongannya sejajar.

Gambar 127 menunjukkan dua bidang sejajar, dan bidang y memotongnya sepanjang garis lurus a dan b. Kemudian, dengan Teorema 2.7, kita dapat menyatakan bahwa garis a dan b sejajar.

Ruas-ruas garis sejajar yang terletak di antara dua bidang sejajar adalah sama besar.

Menurut T.2.8, segmen AB dan ditunjukkan pada Gambar 128 adalah sama, karena

Biarkan pesawat ini berpotongan. Gambarlah sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis perpotongannya. Ini memotong bidang-bidang ini sepanjang dua garis lurus. Sudut antara garis-garis ini disebut sudut antara bidang-bidang ini (Gbr. 129). Sudut antara bidang yang didefinisikan dengan cara ini tidak bergantung pada pilihan bidang garis potong.

Kursus video "Dapatkan A" mencakup semua topik yang Anda perlukan pengiriman sukses GUNAKAN dalam matematika untuk 60-65 poin. Sepenuhnya semua tugas 1-13 ujian profil matematika. Juga cocok untuk lulus PENGGUNAAN Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus ujian dengan 90-100 poin, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan untuk ujian untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan bagian 1 ujian matematika (12 soal pertama) dan soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa seratus poin maupun seorang humanis tidak dapat melakukannya tanpa mereka.

Semua teori yang diperlukan. Cara Cepat solusi, jebakan dan GUNAKAN rahasia. Semua tugas yang relevan bagian 1 dari tugas Bank FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya sesuai dengan persyaratan USE-2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas ujian. Tugas teks dan teori probabilitas. Algoritma pemecahan masalah yang sederhana dan mudah diingat. Geometri. Teori, materi referensi, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal - ke tugas 13. Memahami alih-alih menjejalkan. Penjelasan visual konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunan. Dasar untuk solusi tugas yang menantang 2 bagian ujian.

Semua kemungkinan kasus posisi relatif garis dan bidang dalam ruang :

Sebuah garis terletak pada bidang jika semua titik garis milik pesawat.

Komentar . Agar sebuah garis terletak pada sebuah bidang, perlu dan cukup bahwa setiap dua titik dari garis ini termasuk dalam bidang ini.

Sebuah garis memotong sebuah bidang jika garis dan bidang memiliki satu-satunya titik umum

Suatu garis sejajar dengan bidang jika garis dan bidang tidak memiliki kesamaan poin. (mereka tidak berpotongan

Pernyataan 1 . Mari kita asumsikan bahwa garis sebuah dan bidang sejajar, dan bidang melalui garis sebuah. Maka dua kasus yang mungkin:

Tapi kemudian intinya P adalah titik potong garis sebuah dan bidang , dan kita mendapatkan kontradiksi dengan fakta bahwa garis sebuah dan bidang sejajar. Kontradiksi yang dihasilkan melengkapi bukti Pernyataan 1.

Pernyataan 2 (tanda paralelisme garis lurus dan bidang) . Jika lurus sebuah , tidak terletak pada bidang , sejajar dengan beberapa garis b berbaring di pesawat , lalu garis sebuah dan bidang sejajar.

Bukti. Mari kita buktikan tanda paralelisme garis lurus dan bidang "dengan kontradiksi". Mari kita asumsikan bahwa garis sebuah memotong bidang di suatu titik P. Gambarlah bidang melalui garis sejajar sebuah dan b.

Dot P terletak pada garis lurus sebuah dan milik pesawat . Tapi dengan asumsi intinya P milik pesawat , maka titik P terletak pada garis lurus b, di mana bidang dan berpotongan. Namun, langsung sebuah dan b paralel dengan kondisi dan tidak dapat memiliki titik yang sama.

Kontradiksi yang dihasilkan melengkapi bukti kriteria paralelisme garis dan bidang.

Teorema

• Jika suatu garis yang memotong suatu bidang tegak lurus terhadap dua garis yang terletak pada bidang tersebut dan melalui titik perpotongan garis tersebut dan bidang tersebut, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut.
• Jika sebuah bidang tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka bidang tersebut juga tegak lurus terhadap yang lain.
• Jika dua garis tegak lurus pada bidang yang sama, maka keduanya sejajar.
• Jika suatu garis lurus yang terletak pada suatu bidang tegak lurus terhadap proyeksi suatu garis miring, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis miring tersebut.
• Jika suatu garis lurus yang tidak terletak pada suatu bidang tertentu sejajar dengan suatu garis lurus yang terletak pada bidang tersebut, maka garis tersebut sejajar dengan bidang tersebut.
• Jika sebuah garis sejajar dengan sebuah bidang, maka garis tersebut sejajar dengan beberapa garis pada bidang tersebut.
• Jika sebuah garis dan sebuah bidang tegak lurus terhadap garis yang sama, maka keduanya sejajar.
• Semua titik pada garis lurus yang sejajar dengan bidang memiliki jarak yang sama dari bidang tersebut.

Dalil

Jika suatu garis yang bukan milik suatu bidang sejajar dengan suatu garis pada bidang itu, maka garis itu juga sejajar dengan bidang itu sendiri.

Bukti

Misalkan suatu bidang, a garis yang tidak terletak di dalamnya, dan a1 garis pada bidang yang sejajar dengan garis a. Mari kita menggambar bidang 1 melalui garis a dan a1. Bidang dan 1 berpotongan sepanjang garis a1. Jika garis a memotong bidang , maka titik potongnya adalah garis a1. Tetapi ini tidak mungkin, karena garis a dan a1 sejajar. Oleh karena itu, garis a tidak memotong bidang , dan karenanya sejajar dengan bidang . Teorema telah terbukti.

18. pesawat

Jika dua bidang sejajar berpotongan dengan bidang ketiga, maka garis-garis perpotongannya sejajar.(Gbr. 333).

Memang, menurut definisi Garis sejajar adalah garis yang terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan. Garis kami terletak pada bidang yang sama - bidang garis potong. Mereka tidak berpotongan, karena bidang paralel yang memuatnya tidak berpotongan.

Jadi garisnya sejajar, itulah yang ingin kami buktikan.

Properti

Jika bidang sejajar dengan masing-masing dua garis berpotongan yang terletak di bidang lainnya, maka bidang-bidang ini sejajar

Jika dua bidang sejajar dipotong oleh sepertiga, maka garis perpotongannya sejajar

Melalui suatu titik di luar bidang tertentu, dimungkinkan untuk menggambar bidang yang sejajar dengan bidang tertentu, dan terlebih lagi, hanya satu

Ruas-ruas garis sejajar yang dibatasi oleh dua bidang sejajar adalah sama besar

Dua sudut yang masing-masing sejajar dan sisi-sisinya berarah sama besar dan terletak di bidang paralel

19.

Jika dua garis terletak pada bidang yang sama, sudut di antara keduanya mudah diukur - misalnya, menggunakan busur derajat. Dan bagaimana mengukur sudut antara garis dan bidang?

Biarkan garis memotong bidang, dan tidak pada sudut kanan, tetapi pada sudut lain. Garis seperti itu disebut miring.

Mari kita jatuhkan tegak lurus dari beberapa titik yang condong ke bidang kita. Hubungkan alas tegak lurus ke titik perpotongan bidang miring dan bidang. Kita punya proyeksi bidang miring.

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang tertentu..

Harap dicatat - kami memilih sudut lancip sebagai sudut antara garis dan bidang.

Jika garis sejajar dengan bidang, maka sudut antara garis dan bidang adalah nol.

Jika sebuah garis tegak lurus terhadap sebuah bidang, proyeksinya pada bidang tersebut adalah sebuah titik. Jelas, dalam hal ini sudut antara garis dan bidang adalah 90°.

Suatu garis tegak lurus terhadap suatu bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap sembarang garis pada bidang tersebut..

Ini adalah definisi. Tapi bagaimana cara bekerja dengannya? Bagaimana cara memeriksa bahwa garis yang diberikan tegak lurus terhadap semua garis yang terletak di pesawat? Lagipula, jumlahnya tak terbatas.

Dalam praktiknya, itu diterapkan tanda tegak lurus garis dan bidang:

Sebuah garis tegak lurus terhadap sebuah bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada bidang tersebut.

21. Sudut dihedral- spasial sosok geometris, dibentuk oleh dua setengah bidang yang berasal dari satu garis lurus, serta bagian dari ruang yang dibatasi oleh setengah bidang ini.

Dua bidang dikatakan tegak lurus jika sudut dihedral antara keduanya adalah 90 derajat.

Jika sebuah bidang melewati garis yang tegak lurus terhadap bidang lain, maka bidang-bidang tersebut tegak lurus.

Jika dari titik milik salah satu dari keduanya bidang tegak lurus, menggambar tegak lurus terhadap bidang lain, maka tegak lurus ini terletak sepenuhnya di bidang pertama.

Jika di salah satu dari dua bidang tegak lurus kita menggambar tegak lurus terhadap garis perpotongannya, maka tegak lurus ini akan tegak lurus terhadap bidang kedua.

Dua bidang berpotongan membentuk empat sudut dihedral dengan tepi yang sama: pasangan sudut vertikal sama besar, dan jumlah dua sudut yang berdekatan sama dengan 180°. Jika salah satu dari empat sudut siku-siku, maka tiga lainnya juga sama besar dan siku-siku. Dua bidang disebut tegak lurus jika sudut di antara keduanya siku-siku.

Dalil. Jika sebuah bidang melewati garis yang tegak lurus terhadap bidang lain, maka bidang-bidang tersebut tegak lurus.

Membiarkan dan menjadi dua bidang sedemikian rupa sehingga melewati garis AB, tegak lurus dan berpotongan dengan itu di titik A (Gbr. 49). Mari kita buktikan bahwa _|_ . Bidang-bidang tersebut berpotongan di sepanjang beberapa garis AC, dan AB _|_ AC, karena AB _|_ . Mari kita menggambar garis AD pada bidang yang tegak lurus dengan garis AC.

Maka sudut BAD adalah sudut linier sudut dihedral, berpendidikan dan . Tetapi< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. Sebuah polihedron adalah tubuh yang permukaannya terdiri dari sejumlah terbatas poligon datar.

1. salah satu poligon yang membentuk polihedron, Anda dapat mencapai salah satu dari mereka dengan pergi ke salah satu yang berdekatan, dan dari ini, pada gilirannya, ke yang berdekatan, dll.

Poligon ini disebut wajah, sisi mereka - Tulang iga, dan simpulnya adalah puncak polihedron. Contoh polihedra yang paling sederhana adalah polihedral cembung, yaitu, batas subset terbatas dari ruang Euclidean, yang merupakan perpotongan dari sejumlah setengah ruang yang terbatas.

Definisi polihedron di atas memiliki arti yang berbeda tergantung pada bagaimana poligon didefinisikan, di mana dua opsi berikut dimungkinkan:

Garis putus-putus tertutup yang datar (bahkan jika mereka berpotongan sendiri);

Bagian bidang yang dibatasi oleh garis putus-putus.

Dalam kasus pertama, kita mendapatkan konsep polihedron bintang. Yang kedua, polihedron adalah permukaan yang terdiri dari potongan poligonal. Jika permukaan ini tidak berpotongan dengan dirinya sendiri, maka itu adalah permukaan penuh dari beberapa benda geometris, yang juga disebut polihedron. Oleh karena itu definisi ketiga dari polihedron muncul, sebagai benda geometris itu sendiri.

prisma lurus

Prisma disebut lurus jika rusuk samping tegak lurus dengan basis.
Prisma disebut miring jika sisi-sisinya tidak tegak lurus dengan alasnya.
Sebuah prisma lurus memiliki wajah yang berbentuk persegi panjang.

Prisma disebut benar jika alasnya adalah poligon beraturan.
Luas permukaan lateral prisma disebut jumlah luas sisi-sisinya.
Permukaan penuh prisma sama dengan jumlah permukaan lateral dan luas alasnya

Elemen prisma:
Poin - disebut simpul
Segmen disebut tepi lateral
Poligon dan - disebut basa. Pesawat itu sendiri juga disebut pangkalan.

24. Paralepiped(dari bahasa Yunani - paralel dan Yunani - bidang) - prisma, yang dasarnya adalah jajaran genjang, atau (setara) polihedron, yang memiliki enam wajah dan masing-masing adalah jajaran genjang.

Paralelepiped simetris terhadap titik tengah diagonalnya.

Setiap segmen dengan ujung, milik permukaan paralelepiped dan melewati tengah diagonalnya, membaginya menjadi dua; khususnya, semua diagonal dari parallelepiped berpotongan pada satu titik dan membagi dua itu.

Wajah yang berlawanan dari parallelepiped sejajar dan sama.

Persegi panjang diagonal berbentuk kubus sama dengan jumlah kuadrat tiga dimensinya.

Luas permukaan balok sama dengan dua kali jumlah luas dari tiga wajah paralelepiped ini:

1.	S= 2(S a+sb+S c)= 2(ab+SM+ac)

25 .Piramida dan elemennya

Pertimbangkan sebuah pesawat , poligon terletak di dalamnya dan titik S tidak terletak di dalamnya. Hubungkan S ke semua simpul poligon. Polihedron yang dihasilkan disebut piramida. Segmen disebut tepi lateral. Poligon disebut alas, dan titik S disebut puncak piramida. Tergantung pada jumlah n, piramida disebut segitiga (n=3), segi empat (n=4), pentagonal (n=5) dan seterusnya. Judul alternatif piramida segitiga – segi empat. Tinggi piramida adalah tegak lurus yang ditarik dari puncaknya ke bidang dasar.

Piramida disebut benar jika poligon beraturan, dan alas tinggi piramida (alas tegak lurus) adalah pusatnya.

Program ini dirancang untuk menghitung luas permukaan lateral piramida yang benar.
Piramida adalah polihedron dengan alas dalam bentuk poligon, dan wajah yang tersisa adalah segitiga dengan simpul yang sama.

Rumus untuk menghitung luas permukaan lateral piramida beraturan adalah:

di mana p adalah keliling alas (poligon ABCDE),
a - apotema (OS);

Apotema adalah ketinggian sisi sisi piramida biasa, yang ditarik dari puncaknya.

Untuk mencari luas permukaan lateral piramida biasa, masukkan nilai keliling dan apotema piramida, lalu klik tombol "HITUNG". Program akan menentukan luas permukaan lateral piramida biasa, yang nilainya dapat berupa ditempatkan pada papan klip.

Piramida terpotong

Piramida terpotong adalah bagian piramida lengkap tertutup antara alas dan bagian yang sejajar dengannya.
Penampang melintang disebut dasar atas piramida terpotong, dan dasar piramida penuh adalah dasar bawah piramida terpotong. (Dasarnya mirip.) Wajah samping piramida terpotong - trapesium. Dalam piramida terpotong 3 n tulang rusuk, 2 n puncak, n+ 2 wajah, n(n- 3) diagonal. Jarak antara pangkalan atas dan bawah adalah ketinggian piramida terpotong (segmen terputus dari ketinggian piramida penuh).
Kotak permukaan penuh piramida terpotong sama dengan jumlah luas permukaannya.
Volume piramida terpotong ( S dan s- daerah dasar, H- tinggi)

Tubuh rotasi disebut benda yang terbentuk sebagai akibat dari perputaran suatu garis mengelilingi suatu garis lurus.

Sebuah silinder melingkar siku-siku dimasukkan ke dalam sebuah bola jika lingkaran alasnya terletak pada bola. Basis silinder adalah lingkaran kecil bola, pusat bola bertepatan dengan tengah sumbu silinder. [ 2 ]

Sebuah silinder melingkar siku-siku dimasukkan ke dalam sebuah bola jika lingkaran alasnya terletak pada bola. Jelas, pusat bola tidak terletak di tengah sumbu silinder. [ 3 ]

Volume silinder apa pun sama dengan produk dari luas alas dan tinggi:

1.

V=π r 2 h

Area penuh permukaan silinder sama dengan jumlah permukaan lateral silinder dan persegi ganda dasar silinder.

Rumus untuk menghitung luas permukaan total silinder adalah:

27. Kerucut bulat dapat diperoleh dengan memutar segitiga siku-siku di sekitar salah satu kakinya, itulah sebabnya kerucut bundar juga disebut kerucut revolusi. Lihat juga Volume kerucut bulat

Luas permukaan total kerucut lingkaran sama dengan jumlah luas permukaan lateral kerucut dan alasnya. Alas kerucut adalah lingkaran dan luasnya dihitung menggunakan rumus luas lingkaran:

2.	S=π r l+π r 2= r(r+aku)

28. frustrasi diperoleh dengan menggambar bagian yang sejajar dengan alas kerucut. Badan yang dibatasi oleh bagian ini, alas dan permukaan samping kerucut disebut kerucut terpotong. Lihat juga Volume kerucut yang terpotong

Total luas permukaan kerucut terpotong sama dengan jumlah luas permukaan lateral kerucut terpotong dan alasnya. Basis kerucut terpotong adalah lingkaran dan luasnya dihitung menggunakan rumus luas lingkaran: S= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)aku+ r 2 2)

29. Bola adalah benda geometris yang dibatasi oleh permukaan, semua titiknya berada di jarak yang sama dari pusat. Jarak ini disebut jari-jari bola.

Bola(Yunani - bola) - permukaan tertutup, tempat geometris titik-titik dalam ruang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat bola. Bola adalah kasus khusus dari ellipsoid, di mana ketiga sumbu (setengah sumbu, jari-jari) adalah sama. Bola adalah permukaan bola.

Luas permukaan bola segmen bola (sektor bola) dan lapisan bola hanya bergantung pada tinggi dan jari-jari bola dan sama dengan keliling lingkaran besar bola, dikalikan dengan tinggi

Volume bola sama dengan volume piramida, yang alasnya memiliki luas yang sama dengan permukaan bola, dan tingginya adalah jari-jari bola

Volume bola adalah satu setengah kali lebih kecil dari volume silinder yang mengelilinginya.

elemen bola

Segmen Bola Bidang pemotongan membagi bola menjadi dua segmen bola. H- tinggi segmen, 0< H < 2 R, r- radius basis segmen, Volume segmen bola Luas permukaan bola dari segmen bola
Lapisan Bola Lapisan bola adalah bagian dari bola yang tertutup di antara dua bagian yang sejajar. Jarak ( H) antar bagian disebut tinggi lapisan, dan bagian itu sendiri - dasar lapisan. luas permukaan bola ( volume) dari lapisan bola dapat ditemukan sebagai perbedaan di daerah permukaan bola(volume) segmen bola.

 1. Mengalikan vektor dengan angka(Gbr. 56).

produk vektor TETAPI per nomor λ disebut vektor PADA, yang modulusnya sama dengan produk dari modulus vektor TETAPI per nomor modulo λ :

Arahnya tidak berubah jika λ > 0 ; berubah menjadi sebaliknya jika λ < 0 . Jika sebuah = 1, maka vektor

disebut vektor, vektor berlawanan TETAPI, dan dilambangkan

 2. Penambahan vektor. Untuk mencari jumlah dua vektor TETAPI dan PADA vektor

Kemudian jumlahnya akan menjadi vektor, yang awalnya bertepatan dengan awal yang pertama, dan akhir - dengan akhir yang kedua. Aturan penjumlahan vektor ini disebut "aturan segitiga" (Gbr. 57). perlu untuk menggambarkan vektor summand sehingga awal vektor kedua bertepatan dengan akhir yang pertama.

Sangat mudah untuk membuktikan bahwa untuk vektor "jumlahnya tidak berubah dari perubahan tempat istilah."
Mari kita tunjukkan satu aturan lagi untuk menambahkan vektor - "aturan jajaran genjang". Jika kita menggabungkan awal vektor summand dan membangun jajaran genjang di atasnya, maka jumlah tersebut akan menjadi vektor yang bertepatan dengan diagonal jajaran genjang ini (Gbr. 58).

Jelas bahwa penambahan menurut "aturan jajaran genjang" mengarah ke hasil yang sama seperti menurut "aturan segitiga".
"Aturan segitiga" mudah untuk digeneralisasi (untuk kasus beberapa istilah). Untuk menemukan jumlah vektor

Penting untuk menggabungkan awal vektor kedua dengan akhir yang pertama, awal yang ketiga - dengan akhir yang kedua, dll. Kemudian awal vektor Dengan bertepatan dengan awal yang pertama, dan akhir Dengan- dengan ujung yang terakhir (Gbr. 59).

 3. Pengurangan vektor. Operasi pengurangan direduksi menjadi dua operasi sebelumnya: selisih dua vektor adalah jumlah dari yang pertama dengan vektor yang berlawanan dengan yang kedua:

Anda juga dapat merumuskan "aturan segitiga" untuk mengurangkan vektor: perlu untuk menggabungkan awal vektor TETAPI dan PADA, maka selisihnya adalah vektornya

Digambar dari ujung vektor PADA menuju akhir vektor TETAPI(Gbr. 60).

Berikut ini, kita akan berbicara tentang vektor perpindahan poin materi, yaitu vektor yang menghubungkan posisi awal dan akhir titik tersebut. Setuju bahwa aturan aksi yang diperkenalkan pada vektor cukup jelas untuk vektor perpindahan.

 4. Hasilkali titik dari vektor. Hasil perkalian skalar dua buah vektor TETAPI dan PADA adalah nomor c, sama dengan produk modul vektor per kosinus sudut α di antara

Produk skalar vektor sangat banyak digunakan dalam fisika. Di masa depan, kita akan sering harus berurusan dengan operasi seperti itu.

Dalam artikel ini, topik " paralelisme garis dan bidang". Pertama, definisi garis dan bidang sejajar diberikan, ilustrasi grafis dan sebuah contoh. Selanjutnya, tanda paralelisme garis lurus dan bidang dirumuskan, dan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelisme garis lurus dan bidang disuarakan. Sebagai kesimpulan, solusi terperinci dari masalah diberikan di mana paralelisme garis lurus dan bidang terbukti.

Navigasi halaman.

Garis paralel dan bidang - informasi dasar.

Mari kita mulai dengan mendefinisikan garis dan bidang paralel.

Definisi.

Garis dan bidang disebut paralel jika mereka tidak memiliki poin yang sama.

Simbol "" digunakan untuk menunjukkan paralelisme. Artinya, jika garis a dan bidang sejajar, maka secara singkat Anda dapat menulis a.

Perhatikan bahwa ungkapan "garis a dan bidang sejajar", "garis a sejajar bidang", dan "bidang sejajar garis a" sama-sama dapat digunakan.

Sebagai contoh garis sejajar dan bidang, mari kita ambil senar gitar yang diregangkan dan bidang fretboard gitar ini.

Paralelisme garis lurus dan bidang - tanda dan kondisi paralelisme.

Paralelisme garis lurus dan bidang tidak selalu fakta yang jelas. Dengan kata lain, kesejajaran garis lurus dan bidang harus dibuktikan. Ada kondisi yang cukup, yang pemenuhannya menjamin paralelisme garis dan bidang. Kondisi ini disebut tanda kesejajaran garis lurus dan bidang. Sebelum Anda membiasakan diri dengan perumusan fitur ini, sebaiknya ulangi definisi garis paralel.

Dalil.

Jika suatu garis a, yang tidak terletak pada suatu bidang, sejajar dengan suatu garis b yang terletak pada suatu bidang, maka garis a sejajar dengan bidang tersebut.

Mari kita suarakan teorema lain yang dapat digunakan untuk menetapkan paralelisme garis lurus dan bidang.

Dalil.

Jika salah satu dari dua garis sejajar sejajar dengan suatu bidang, maka garis kedua juga sejajar dengan bidang ini atau terletak di atasnya.

Bukti tanda paralelisme garis lurus dan bidang dan bukti teorema bersuara diberikan dalam buku teks geometri untuk kelas 10-11, yang tercantum di akhir artikel dalam daftar literatur yang direkomendasikan.

Karena itu, syarat perlu dan cukup untuk paralelisme garis a dan bidang(a tidak terletak pada bidang ) mengambil bentuk , di mana - vektor pengarah garis lurus a , adalah vektor normal pesawat.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh.

Apakah langsung? dan bidang sejajar?

Keputusan.

Garis lurus yang diberikan tidak terletak pada bidang, karena koordinat titik garis lurus tidak memenuhi persamaan bidang: . Kami memeriksa pemenuhan yang diperlukan dan kondisi cukup garis sejajar dan bidang. Jelas sekali, - vektor arah lurus , adalah vektor normal bidang . Menghitung produk skalar vektor dan : . Jadi, vektor dan tegak lurus. Oleh karena itu, garis dan bidang yang diberikan sejajar.

Menjawab:

Ya, garis dan bidang sejajar.

Contoh.

Apakah garis AB sejajar dengan bidang koordinat Oyz jika .

Keputusan.

Titik tersebut tidak terletak pada bidang koordinat Oyz, karena absis titik ini bukan nol.

vektor normal pesawat Oyz adalah vektor . Mari kita ambil vektor sebagai vektor pengarah garis lurus AB. memungkinkan kita untuk menghitung koordinat vektor ini, maka . Mari kita periksa pemenuhan kondisi perlu dan cukup agar vektor tegak lurus dan : . Oleh karena itu, garis AB dan bidang koordinat Oyz tidak paralel.

Menjawab:

Tidak, mereka tidak paralel.

Kondisi yang dianalisis sangat tidak sesuai untuk membuktikan paralelisme garis a dan bidang, karena perlu untuk memeriksa secara terpisah bahwa garis a tidak terletak pada bidang. Oleh karena itu, lebih mudah untuk membuktikan paralelisme garis a dan bidang menggunakan kondisi perlu dan cukup berikut.

Biarkan garis a diberikan oleh persamaan dua bidang yang berpotongan ,
dan pesawat persamaan umum pesawat.

Dalil.

Agar garis a sejajar dengan bidang, perlu dan cukup bahwa sistem persamaan linear jenis tidak memiliki solusi.

Bukti.

Memang, jika garis a sejajar dengan bidang , maka menurut definisi mereka tidak memiliki titik yang sama. Oleh karena itu, tidak ada gunanya sistem persegi panjang koordinat Oxyz , yang koordinatnya secara bersamaan akan memenuhi persamaan garis dan persamaan bidang. Jadi, sistem persamaan bentuk tidak cocok.

Dan sebaliknya: jika sistem persamaan berbentuk tidak memiliki solusi, maka tidak ada satu titik pun dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz yang koordinatnya secara bersamaan memenuhi semua persamaan sistem. Maka, tidak ada titik yang koordinatnya memenuhi persamaan garis secara bersamaan dan persamaan bidang. Oleh karena itu, garis a dan bidang tidak memiliki titik yang sama, yaitu sejajar.

Pada gilirannya, sistem persamaan tidak memiliki solusi ketika matriks utama sistem kurang dari pangkat matriks yang diperluas (ini mengikuti dari teorema Kronecker-Capelli, jika perlu, lihat artikel menyelesaikan sistem persamaan linier

Memang, sistem persamaan tidak konsisten, oleh karena itu, garis dan bidang yang diberikan tidak memiliki titik yang sama. Ini membuktikan paralelisme garis dan pesawat .

Bibliografi.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. Kelas 7 - 9: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah.
• Pogorelov A.V., Geometri. Buku teks untuk kelas 7-11 lembaga pendidikan.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. matematika yang lebih tinggi. Volume Satu: Elemen aljabar linier dan geometri analitik.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik.

Hak Cipta oleh siswa pintar

Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.site, termasuk materi internal dan desain eksternal, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.