Jenis paradoks

Ada paradoks yang muncul di area tertentu pengetahuan ilmiah dalam proses perkembangan sejarah ilmu pengetahuan, ketika ditemukan kontradiksi antara sistem pengetahuan tertentu yang mapan dan fakta-fakta baru, antara arah penelitian yang ditetapkan dalam paradigma tertentu dan penemuan-penemuan baru yang tidak sesuai dengan paradigma tersebut. Dengan demikian, penemuan-penemuan ilmiah dalam kosmologi, fisika kuantum, dan biologi yang dibuat pada abad ke-20 bertentangan dengan teori-teori klasik dalam cabang-cabang ilmu ini dan ditafsirkan sebagai paradoks dari sudut pandang teori-teori klasik.

Di setiap industri pengetahuan ilmiah paradoks tertentu muncul - fisik, kimia, biologi, matematika, dll.

Paradoks yang muncul dalam kerangka teori ilmiah tertentu mengungkapkan ketidakkonsistenan pergerakan objek material yang dipelajari sains, "dualitas" sifat objek studi itu sendiri, yang telah menentukan pemikiran ulang prinsip-prinsip dan paradigma dasar ilmu pengetahuan. suatu ilmu tertentu. Misalnya, dalam teori kimia kuantum, ditemukan bahwa elektron di sekitar nukleus setiap saat berada di setiap titik dasar dalam ruang, meskipun elektron adalah partikel dasar.

Jenis paradoks

Paradoks menurut jenis logikanya diklasifikasikan menjadi semantik dan logis.

Paradoks semantik muncul dalam penalaran:

Dalam proses menghubungkan ungkapan bahasa dengan makna objektifnya, yaitu denotasi;

Ketika dua tingkat representasi simbolik dari objek pertimbangan dicampur, yaitu, tingkat bahasa objek dan metamovies;

Saat menggunakan abstrak garis waktu tidak terbatas, di mana Anda dapat membawa objek apa pun;

Ketika ada masalah dalam menentukan kebenaran atau kesalahan pernyataan dalam konteks tertentu.

Paradoks semantik meliputi: paradoks "Pembohong", paradoks heterologis, paradoks teori nama, paradoks (antinomi) hubungan penamaan.

Paradoks logika "Pembohong" diklasifikasikan sebagai antinomi. Ini pertama kali dirumuskan oleh filsuf Yunani kuno Eubulides dari Miletus, dan memiliki dua varian ekspresi: 1. Seseorang berkata "Aku berbohong"; 2. Epimenides Kreta berkata: "Semua orang Kreta adalah pembohong."

Arti dari paradoks "Pembohong" terletak pada kenyataan bahwa tidak mungkin untuk secara tegas menentukan kebenaran atau kepalsuan dari pernyataan "Saya berbohong." Jadi, jika Epimenides tidak berbohong, maka pernyataannya benar dan, oleh karena itu, Epimenides adalah pembohong; jika Epimenides berbohong, maka pernyataannya salah, oleh karena itu, Epimenides bukanlah pembohong. Kami mendapatkan antinomi - "Epimenides berbohong dan tidak berbohong," atau "Pernyataan "Saya berbohong" benar karena salah, dan salah karena benar."

Modifikasi lain dari paradoks "Pembohong" dirumuskan oleh ahli logika Inggris P. Jourdain: "Pernyataan yang tertulis di sisi pertama kartu ini adalah benar; dan di sisi lain dari kartu yang sama tertulis: Pernyataan yang tertulis di sisi lain dari kartu ini salah." Jika pernyataan pertama benar, maka pernyataan kedua juga benar, karena pernyataan pertama menyatakan bahwa pernyataan kedua benar. Tetapi jika pernyataan kedua benar, maka "pernyataan pertama salah" salah. Jadi, dari dua kemungkinan asumsi kebenaran kedua pernyataan ini, muncul kontradiksi.

Para ahli telah mengusulkan banyak cara untuk memecahkan paradoks Pembohong. Misalnya, ahli logika Polandia A. Tarski mengusulkan untuk membedakan dengan jelas antara tingkat bahasa - objek dan metamovie. Ini adalah pernyataan "Aku berbohong" yang dirumuskan bahasa objek, dan fakta bahwa itu adalah paradoks ditentukan pada tingkat analisis metalogisnya melalui metamovies. Untuk melakukan ini, perlu untuk membuat bahasa formal yang berisi pernyataan A, predikat kebenaran G. Rumus P1 (A) g A (pernyataan A benar jika dan hanya jika A). Artinya: pernyataan A benar jika dan hanya jika pernyataan A benar, yaitu memperbaiki (mencerminkan) keberadaan objek yang diacu dalam pernyataan tersebut.

Pernyataan Epimenides Kreta "Semua orang Kreta adalah pembohong" juga diungkapkan dalam bahasa objek. Menurut analisis metalogis, Epimenides juga pembohong, karena ia, sebagai orang Kreta, termasuk dalam kelas penduduk pulau Kreta. Jika Epimenides bukan orang Kreta, maka pernyataan "Semua orang Kreta pembohong" tidak akan menjadi paradoks.

Paradoks heterologis dirumuskan oleh K. Grelling (1886 - 1941). Ini adalah paradoks yang muncul sebagai akibat dari menyoroti ekspresi ucapan seperti kata sifat, yang artinya adalah properti, misalnya, "merah", "baru", "lama", "Ukraina". Sebuah kata yang memiliki properti P, yang namanya, disebut autologis. Sebuah kata yang tidak autologis disebut heterologis. Jika sebuah kata (kata sifat) menunjukkan properti yang melekat pada dirinya sendiri, maka itu disebut autologis. Ini, misalnya, kata "Ukraina", dan kata-kata "putih", "hitam" bukan kata-kata autologis, oleh karena itu, mereka heterologis. Untuk jenis kata apa - autologis atau heterologis kata "heterologis" termasuk? Kami mendapatkan antinomi: "Jika kata "heterologis" adalah heterologis, maka itu tidak heterologis, dan jika tidak heterologis, maka itu heterologis."

Paradoks teori nama adalah paradoks semantik yang muncul dalam kerangka teori semantik logis, yang dikembangkan oleh G. Frege, B. Russell, G. Carnap dan ahli logika lainnya, menggantikan nama pemberian deskripsi dan sebaliknya, deskripsi nama yang tepat (lihat 2.2.4). Nama diri adalah tanda sederhana yang menunjukkan satu objek (individu). Keterangan - tanda kompleks, yang mendefinisikan properti suatu objek atau hubungan antar kelas. Jika dalam konteks tertentu seseorang mengganti namanya sendiri dengan deskripsi, maka muncullah paradoks semantik. Misalnya, untuk Oleh. Russell, nama yang tepat "Walter Scott" dan deskripsi "penulis Waverley" masing-masing menunjuk ke satu subjek, pernyataan. "Raja Henry IV ingin tahu apakah Walter Scott adalah penulis Waverley" tidak mengandung paradoks, tetapi jika nama yang tepat diganti "Walter Scott" deskripsi "penulis Waverley", kita mendapatkan pernyataan: "Raja Henry IV ingin tahu apakah Walter Scott adalah Walter Scott", yang merupakan paradoks.

Paradoks logika adalah paradoks yang muncul dalam teori logika tertentu dalam proses pengembangan ilmu logika. Paradoks logika meliputi paradoks implikasi material, paradoks implikasi ketat, paradoks logika epistemik, paradoks logika eksistensi, dll. (isi dari paradoks ini akan ditentukan dalam konteks analisis teori logika tertentu dimana paradoks tersebut muncul).

Paradoks teori kelas (set). Dalam teori logika-matematis kelas (set), ahli logika dan matematika Inggris B. Russell menemukan inkonsistensi logis, yang disebut paradoks (antinomi) kelas (set). Semua set dapat dibagi menjadi jenis berikut: 1. Himpunan yang bukan merupakan elemen dari dirinya sendiri. Himpunan seperti itu disebut tepat. Misalnya, himpunan semua keadaan, semua bilangan asli, semua buku di perpustakaan ilmiah Universitas kota N., dll. 2. Himpunan yang merupakan elemen dari dirinya sendiri. Himpunan seperti itu disebut tidak tepat. Jenis himpunan pertama dilambangkan dengan simbol M., dan yang kedua - dengan simbol M2. Selanjutnya, kita berasumsi bahwa adalah mungkin untuk membentuk himpunan M dari itu dan hanya himpunan yang layak, yaitu semua himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai elemen. Ini jamak- - kontradiktif, karena, menurut definisi, itu termasuk jumlah elemennya jika dan hanya jika itu bukan milik nomor mereka.

Untuk memecahkan paradoks teori himpunan Oleh. Russell mengembangkan teori tipe, yang intinya adalah ini. Semua set dapat dibagi menjadi beberapa jenis, yang masing-masing memisahkan elemen yang hanya dimiliki oleh satu jenis dan bukan milik yang lain. Beginilah cara hierarki tipe set dibuat: tipe null hanya berisi elemen yang memiliki properti P, tipe pertama berisi elemen yang memiliki properti G.; tipe kedua - memiliki properti P2 dan di bawah. Setiap jenis berarti tingkat tertentu dari abstraksi dan generalisasi himpunan: a) himpunan biasa; b) himpunan tidak biasa (set semua himpunan), yaitu himpunan yang memuat dirinya sendiri sebagai elemen. Ke dalam himpunan manakah himpunan semua himpunan biasa termasuk? Menurut B. Russell, teori tipe juga memungkinkan untuk memilih hierarki himpunan dan dengan demikian mengatasi paradoks teori himpunan.

Versi populer dari paradoks teori himpunan adalah paradoks "Walikota" dan "Penata rambut".

Paradoks "Walikota" dirumuskan oleh ahli logika Amerika S. Kleene (1909-1994) sebagai varian populer dari paradoks teori himpunan. "Setiap kotamadya di Belanda harus memiliki walikota, dan dua kotamadya yang berbeda tidak dapat memiliki walikota yang sama. Kadang-kadang ternyata walikota tidak tinggal di kotamadyanya. Kami berasumsi bahwa undang-undang telah disahkan yang menyatakan bahwa wilayah tertentu dialokasikan hanya untuk walikota seperti itu yang tidak tinggal di kotamadya mereka, dan dia mewajibkan semua walikota untuk menetap di wilayah ini. Mari kita asumsikan juga ada begitu banyak walikota sehingga wilayah ini N. membentuk kotamadya. Di mana seharusnya walikota kotamadya Y. hidup?"

Paradoks Tukang Cukur adalah varian populer kedua dari paradoks teori himpunan. "Pemangkas cukur mencukur mereka dan hanya orang-orang dari satu desa yang tidak mencukur dirinya sendiri. Atau apakah tukang cukur mencukur dirinya sendiri?"

Aristoteles. Karya: Dalam 4 volume - M., 1978. Belnap N., Steele T. Logika pertanyaan dan jawaban. - M., 1981. Voishvillo E. Konsep sebagai bentuk berpikir. - M., 1989. G. von Wright. Paradoks Heterologis // Penelitian logis-filosofis. -M., 1986.

Jolls K. Pengantar logika modern. - K., 1992.

Ivin A. Seni berpikir dengan benar. -M., 1986.

Ivin A. Logika. - K., 1996.

Kayberg G. Probabilitas dan logika induktif. - M., 1978. Kant I. Karya: Dalam 6 volume - M., 1964. Konversky A. Logic (tradisional dan modern). - K., 2004. Kondakov N. Buku referensi kamus logis. - M., 1975. Leibniz G. Karya: Dalam 4 volume - M., 1984. Kamus logis "Defort". - M., 1994. Minto V. Logika deduktif dan induktif. - S.-Pb., 1995.

Frege G. Logika dan semantik logis. - M., 2000. Khomenko I. Logika untuk pengacara. - K., 2001. Shuman A. Logika modern: Teori dan praktik. -M., 2004.

Logiki Kotarbinski T. Kurs. -Warzawa, 1955.

Diketahui bahwa merumuskan masalah seringkali lebih penting dan lebih sulit daripada menyelesaikannya. ”Dalam sains,” tulis ahli kimia Inggris F. Soddy, ”masalah yang diajukan dengan tepat lebih dari setengahnya terpecahkan. Proses persiapan mental yang diperlukan untuk mengetahui bahwa ada tugas tertentu seringkali memakan waktu lebih lama daripada tugas itu sendiri.

Bentuk di mana situasi masalah diwujudkan dan diwujudkan sangat beragam. Jauh dari biasanya, ia mengungkapkan dirinya dalam bentuk pertanyaan langsung yang muncul di awal penelitian. Dunia masalah sama kompleksnya dengan proses kognisi yang menghasilkannya. Mengidentifikasi masalah adalah inti dari berpikir kreatif. Paradoks adalah yang paling kasus yang menarik implisit, cara-cara non-pertanyaan mengajukan masalah. Paradoks umum terjadi pada tahap awal perkembangan teori ilmiah, ketika langkah pertama diambil di area yang belum dijelajahi dan yang paling prinsip-prinsip umum pendekatan padanya.

Paradoks dan logika

Dalam arti luas, paradoks adalah posisi yang sangat menyimpang dari pendapat yang diterima secara umum, mapan, dan ortodoks. “Pendapat yang diterima secara umum dan apa yang dianggap sebagai masalah yang sudah lama diputuskan, paling sering layak untuk diteliti” (G. Lichtenberg). Paradoks adalah awal dari penelitian semacam itu.

Sebuah paradoks dalam pengertian yang lebih sempit dan lebih khusus adalah dua pernyataan yang berlawanan dan tidak sesuai, yang masing-masing memiliki argumen yang tampaknya meyakinkan.

Bentuk paradoks yang paling tajam adalah antinomi, suatu penalaran yang membuktikan kesetaraan dua pernyataan, yang satu merupakan negasi dari yang lain.

Paradoks dalam yang paling ketat dan ilmu pasti- matematika dan logika. Dan ini bukan kebetulan.

Logika adalah ilmu yang abstrak. Tidak ada eksperimen di dalamnya, bahkan tidak ada fakta dalam arti kata yang biasa. Dalam membangun sistemnya, logika pada akhirnya berangkat dari analisis pemikiran nyata. Tetapi hasil analisis ini bersifat sintetik, tidak dapat dibedakan. Mereka bukan pernyataan dari proses atau peristiwa terpisah yang harus dijelaskan oleh teori. Jelas, analisis semacam itu tidak bisa disebut pengamatan: fenomena konkret selalu diamati.

Membangun teori baru, ilmuwan biasanya memulai dari fakta, dari apa yang dapat diamati dalam percobaan. Betapapun bebasnya imajinasi kreatifnya, ia harus memperhitungkan satu keadaan yang sangat diperlukan: sebuah teori hanya masuk akal jika sesuai dengan fakta-fakta yang berkaitan dengannya. Sebuah teori yang tidak setuju dengan fakta dan pengamatan adalah tidak masuk akal dan tidak memiliki nilai.

Tetapi jika tidak ada eksperimen dalam logika, tidak ada fakta, dan tidak ada pengamatan itu sendiri, lalu apa yang menahan fantasi logis? Faktor apa, jika bukan fakta, yang diperhitungkan saat membuat teori logika baru?

Kesenjangan antara teori logis dan praktik pemikiran nyata sering terungkap dalam bentuk paradoks logis yang kurang lebih akut, dan kadang-kadang bahkan dalam bentuk antinomi logis, yang berbicara tentang inkonsistensi internal teori. Ini hanya menjelaskan pentingnya yang melekat pada paradoks dalam logika, dan perhatian besar yang mereka nikmati di dalamnya.

Varian dari paradoks "Pembohong"

Paradoks logis yang paling terkenal dan mungkin paling menarik adalah paradoks pembohong. Dialah yang memuliakan nama Eubulides dari Miletus yang menemukannya.

Ada varian dari paradoks ini, atau antinomi, banyak di antaranya hanya tampak paradoks.

Dalam versi paling sederhana dari "Pembohong" seseorang hanya mengatakan satu kalimat: "Aku berbohong." Atau dia berkata: "Pernyataan yang saya buat sekarang salah." Atau: "Pernyataan ini salah."

Jika pernyataan itu salah, maka pembicara mengatakan yang sebenarnya, dan karena itu apa yang dia katakan tidak bohong. Jika pernyataan itu tidak salah, dan pembicara mengklaim bahwa itu salah, maka pernyataan ini salah. Karena itu, ternyata jika pembicara berbohong, dia mengatakan yang sebenarnya, dan sebaliknya.

Pada Abad Pertengahan, kata-kata berikut ini umum:

"Apa yang dikatakan Plato salah," kata Socrates.

"Apa yang dikatakan Socrates adalah kebenaran," kata Plato.

Timbul pertanyaan, siapa di antara mereka yang mengungkapkan kebenaran, dan mana yang bohong?

Dan inilah paradoks modern dari paradoks ini. Mari kita asumsikan bahwa hanya kata-kata yang tertulis di sisi depan kartu: "Di sisi lain kartu ini tertulis pernyataan yang benar." Jelas bahwa kata-kata ini mewakili pernyataan yang bermakna. Membalik kartu, kita harus menemukan pernyataan yang dijanjikan, atau tidak ada. Jika ditulis di belakang, maka itu benar atau tidak. Namun, di belakang ada kata-kata: “Di sisi lain kartu ini tertulis pernyataan palsu" - dan tidak ada lagi. Asumsikan bahwa pernyataan di sisi depan benar. Maka pernyataan di belakang harus benar, dan oleh karena itu pernyataan di depan harus salah. Tetapi jika pernyataan di bagian depan salah, maka pernyataan di bagian belakang juga harus salah, dan oleh karena itu pernyataan di bagian depan harus benar. Hasilnya adalah paradoks.

Paradoks pembohong membuat kesan besar pada orang-orang Yunani. Dan mudah untuk melihat alasannya. Pertanyaan yang sekilas muncul tampaknya cukup sederhana: apakah dia berbohong yang hanya mengatakan bahwa dia berbohong? Namun jawaban “ya” mengarah pada jawaban “tidak”, dan sebaliknya. Dan refleksi tidak memperjelas situasi sama sekali. Di balik kesederhanaan dan bahkan rutinitas pertanyaan, itu mengungkapkan beberapa kedalaman yang tidak jelas dan tak terukur.

Bahkan ada legenda bahwa Filit Kossky tertentu, putus asa untuk menyelesaikan paradoks ini, bunuh diri. Dikatakan juga bahwa salah satu ahli logika Yunani kuno yang terkenal, Diodorus Kronos, yang sudah di tahun-tahun kemundurannya, bersumpah untuk tidak makan sampai dia menemukan solusi dari "Pembohong", dan segera mati tanpa mencapai apa pun.

Pada Abad Pertengahan, paradoks ini mengacu pada apa yang disebut kalimat yang tidak dapat diputuskan dan menjadi objek analisis sistematis.

Di zaman modern, "Pembohong" tidak menarik perhatian untuk waktu yang lama. Mereka tidak melihat kesulitan apapun, bahkan kecil, terkait penggunaan bahasa tersebut. Dan hanya dalam apa yang disebut zaman modern perkembangan logika akhirnya mencapai tingkat di mana masalah yang tampaknya berada di balik paradoks ini dapat dirumuskan secara ketat.

Sekarang "Pembohong" - mantan sofisme yang khas ini - sering disebut sebagai raja paradoks logis. Literatur ilmiah yang luas dikhususkan untuknya. Namun, seperti dalam kasus banyak paradoks lainnya, masih belum sepenuhnya jelas masalah apa yang ada di baliknya dan bagaimana cara menghilangkannya.

Bahasa dan bahasa meta

Sekarang "Pembohong" biasanya dianggap sebagai contoh khas dari kesulitan yang disebabkan oleh kebingungan dua bahasa: bahasa di mana seseorang berbicara tentang realitas yang ada di luarnya, dan bahasa di mana seseorang berbicara tentang realitas yang sebenarnya. bahasa pertama.

PADA bahasa sehari-hari tidak ada perbedaan antara tingkat-tingkat ini: kita berbicara dalam bahasa yang sama tentang realitas dan tentang bahasa. Misalnya, seseorang yang bahasa ibunya adalah Rusia tidak melihat banyak perbedaan antara pernyataan: "Kaca itu transparan" dan "Memang benar kaca itu transparan", meskipun salah satunya berbicara tentang kaca, dan yang lainnya tentang pernyataan tentang kaca.

Jika seseorang memiliki gagasan tentang perlunya berbicara tentang dunia dalam satu bahasa, dan tentang sifat-sifat bahasa ini dalam bahasa lain, ia dapat menggunakan dua bahasa yang berbeda. bahasa yang ada Katakanlah Rusia dan Inggris. Alih-alih hanya mengatakan "Sapi adalah kata benda", saya akan mengatakan "Sapi adalah kata benda", dan alih-alih "Pernyataan 'Kaca tidak transparan' adalah salah" saya akan mengatakan "Pernyataan 'Kaca tidak transparan' adalah salah ". Dengan penggunaan dua ini bahasa berbeda apa yang dikatakan tentang dunia akan jelas berbeda dari apa yang dikatakan tentang bahasa yang digunakan seseorang untuk berbicara tentang dunia. Memang, pernyataan pertama akan merujuk ke bahasa Rusia, sedangkan yang kedua akan merujuk ke bahasa Inggris.

Jika lebih lanjut ahli bahasa kami ingin berbicara tentang beberapa keadaan yang sudah menyangkut bahasa Inggris, dia bisa menggunakan bahasa lain. Sebut saja bahasa Jerman. Untuk berbicara tentang yang terakhir ini, katakanlah, ke bahasa Spanyol, dan seterusnya.

Ternyata, oleh karena itu, semacam tangga, atau hierarki, bahasa, yang masing-masing digunakan untuk tujuan yang sangat spesifik: yang pertama berbicara tentang dunia objektif, yang kedua - tentang bahasa pertama ini, di ketiga - tentang bahasa kedua, dll. Perbedaan antara bahasa menurut wilayah penerapannya adalah fenomena langka di kehidupan biasa. Tetapi dalam sains, yang, seperti logika, secara khusus berurusan dengan bahasa, terkadang ternyata sangat berguna. Bahasa yang digunakan untuk berbicara tentang dunia biasanya disebut bahasa objek. Bahasa yang digunakan untuk menggambarkan bahasa subjek disebut metabahasa.

Jelas bahwa jika bahasa dan metabahasa dipisahkan dengan cara ini, pernyataan "Saya berbohong" tidak dapat lagi dirumuskan. Ini berbicara tentang kepalsuan dari apa yang dikatakan dalam bahasa Rusia, dan, oleh karena itu, mengacu pada bahasa meta dan harus diungkapkan dalam bahasa Inggris. Secara khusus, seharusnya terdengar seperti ini: "Semua yang saya katakan dalam bahasa Rusia adalah salah" ("Semua yang saya katakan dalam bahasa Rusia adalah salah"); pernyataan bahasa Inggris ini tidak mengatakan apa-apa tentang dirinya sendiri, dan tidak ada paradoks yang muncul.

Perbedaan antara bahasa dan metabahasa memungkinkan untuk menghilangkan paradoks "Pembohong". Dengan demikian, menjadi mungkin untuk secara tepat, tanpa kontradiksi, mendefinisikan konsep klasik tentang kebenaran: sebuah pernyataan adalah benar yang sesuai dengan realitas yang digambarkannya.

Konsep kebenaran, seperti semua konsep semantik lainnya, memiliki karakter relatif: selalu dapat dikaitkan dengan bahasa tertentu.

Seperti yang ditunjukkan oleh ahli logika Polandia A. Tarsky, definisi klasik kebenaran harus dirumuskan dalam bahasa yang lebih luas daripada bahasa yang dimaksudkan. Dengan kata lain, jika kita ingin menunjukkan apa frasa “pernyataan yang benar di” bahasa yang diberikan”, selain ungkapan-ungkapan bahasa ini, perlu juga menggunakan ungkapan-ungkapan yang tidak ada di dalamnya.

Tarski memperkenalkan konsep bahasa yang tertutup secara semantik. Bahasa seperti itu, selain ungkapannya, nama-namanya, juga, yang penting ditekankan, pernyataan-pernyataan tentang kebenaran kalimat-kalimat yang dirumuskan di dalamnya.

Tidak ada batasan antara bahasa dan metabahasa dalam bahasa yang tertutup secara semantik. Sarananya sangat kaya sehingga memungkinkan tidak hanya untuk menegaskan sesuatu tentang realitas ekstralinguistik, tetapi juga untuk mengevaluasi kebenaran pernyataan semacam itu. Cara-cara ini cukup, khususnya, untuk mereproduksi antinomi "Pembohong" dalam bahasa tersebut. Dengan demikian, bahasa yang tertutup secara semantik ternyata kontradiktif dengan dirinya sendiri. Setiap bahasa alami jelas tertutup secara semantik.

Satu-satunya cara yang dapat diterima untuk menghilangkan antinomi, dan karenanya inkonsistensi internal, menurut Tarski, adalah dengan meninggalkan penggunaan bahasa yang tertutup secara semantik. Jalur ini dapat diterima, tentu saja, hanya dalam kasus bahasa buatan dan formal yang memungkinkan pembagian yang jelas ke dalam bahasa dan metabahasa. Dalam bahasa alami, dengan strukturnya yang tidak jelas dan kemampuan untuk membicarakan segala sesuatu dalam bahasa yang sama, pendekatan ini tidak terlalu realistis. Tidak masuk akal untuk mengajukan pertanyaan tentang konsistensi internal bahasa-bahasa ini. Kemungkinan ekspresif mereka yang kaya juga memiliki kelemahan - paradoks.

Solusi lain untuk paradoks

Jadi ada pernyataan yang berbicara tentang kebenaran atau kepalsuan mereka sendiri. Gagasan bahwa pernyataan semacam ini tidak bermakna sudah sangat tua. Itu dipertahankan oleh ahli logika Yunani kuno Chrysippus.

Pada Abad Pertengahan, filsuf dan ahli logika Inggris W. Ockham menyatakan bahwa pernyataan "Setiap pernyataan adalah salah" tidak ada artinya, karena pernyataan itu antara lain berbicara tentang kepalsuannya sendiri. Sebuah kontradiksi langsung mengikuti dari pernyataan ini. Jika setiap proposisi salah, maka proposisi itu sendiri juga salah; tetapi bahwa itu salah berarti bahwa tidak setiap proposisi itu salah. Situasinya mirip dengan pernyataan "Setiap pernyataan adalah benar." Ia juga harus diklasifikasikan sebagai tidak berarti dan juga menimbulkan kontradiksi: jika setiap pernyataan benar, maka negasi dari pernyataan itu sendiri juga benar, yaitu pernyataan bahwa tidak setiap pernyataan benar.

Namun, mengapa suatu pernyataan tidak dapat berbicara secara bermakna tentang kebenaran atau kepalsuannya sendiri?

Sudah sezaman dengan Ockham, Filsuf Prancis abad ke-14 J. Buridan tidak setuju dengan keputusannya. Dari sudut pandang ide-ide biasa tentang ketidakberartian, ekspresi seperti "Saya berbohong", "Setiap pernyataan adalah benar (salah)", dll. cukup berarti. Apa yang dapat Anda pikirkan, apa yang dapat Anda katakan - ini adalah prinsip umum Buridan. Seseorang dapat memikirkan kebenaran dari pernyataan yang diucapkannya, yang berarti bahwa ia dapat membicarakannya. Tidak semua pernyataan tentang diri mereka tidak ada artinya. Misalnya, pernyataan "Kalimat ini ditulis dalam bahasa Rusia" benar, tetapi pernyataan "Ada sepuluh kata dalam kalimat ini" salah. Dan keduanya sangat masuk akal. Jika diakui bahwa suatu pernyataan dapat berbicara tentang dirinya sendiri, lalu mengapa ia tidak mampu berbicara secara bermakna tentang sifat dirinya sendiri sebagai kebenaran?

Buridan sendiri menganggap pernyataan "Saya berbohong" bukan tanpa arti, tetapi salah. Dia membenarkannya seperti ini. Ketika seseorang menegaskan suatu proposisi, dia dengan demikian menyatakan bahwa itu benar. Jika kalimat itu mengatakan dirinya sendiri salah, maka itu hanyalah formulasi singkat dari more ekspresi kompleks menegaskan kebenaran dan kepalsuannya. Ungkapan ini kontradiktif dan karena itu salah. Tapi itu sama sekali tidak berarti.

Argumen Buridan terkadang masih dianggap meyakinkan.

Ada jalur kritik lain terhadap solusi paradoks "Pembohong", yang dikembangkan secara rinci oleh Tarski. Apakah benar-benar tidak ada penangkal paradoks jenis ini dalam bahasa yang tertutup secara semantik—dan semua bahasa alami memang demikian?

Jika ini masalahnya, maka konsep kebenaran hanya dapat didefinisikan secara ketat dalam bahasa formal. Hanya di dalamnya dimungkinkan untuk membedakan bahasa subjek, di mana mereka berbicara tentang dunia di sekitar mereka, dan bahasa meta di mana mereka berbicara tentang bahasa ini. Hirarki bahasa ini dimodelkan pada perolehan bahasa asing dengan bantuan bahasa ibu. Studi tentang hierarki semacam itu menghasilkan banyak kesimpulan menarik, dan dalam kasus-kasus tertentu itu penting. Tapi itu tidak ada dalam bahasa alami. Apakah itu mendiskreditkannya? Dan jika demikian, sejauh mana? Bagaimanapun, konsep kebenaran masih digunakan di dalamnya, dan biasanya tanpa komplikasi. Apakah memperkenalkan hierarki satu-satunya cara untuk menghilangkan paradoks seperti Pembohong?

Pada tahun 1930-an, jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini tampaknya tidak diragukan lagi bersifat afirmatif. Namun, sekarang tidak ada kebulatan suara sebelumnya, meskipun tradisi menghilangkan paradoks jenis ini dengan "stratifikasi" bahasa tetap dominan.

Baru-baru ini, ekspresi egosentris telah menarik lebih banyak perhatian. Mereka mengandung kata-kata seperti "aku", "ini", "di sini", "sekarang", dan kebenarannya tergantung pada kapan, oleh siapa, di mana kata-kata itu digunakan.

Dalam pernyataan "Pernyataan ini salah", kata "ini" muncul. Objek apa yang dimaksud? "Pembohong" mungkin menunjukkan bahwa kata "itu" tidak mengacu pada arti dari pernyataan yang diberikan. Tapi kemudian apa yang dimaksud, apa artinya? Dan mengapa arti ini masih belum bisa dilambangkan dengan kata "ini"?

Tanpa merinci di sini, hanya perlu dicatat bahwa dalam konteks analisis ekspresi egosentris, "Pembohong" diisi dengan konten yang sama sekali berbeda dari sebelumnya. Ternyata dia tidak lagi memperingatkan terhadap kebingungan bahasa dan metabahasa, tetapi menunjukkan bahaya yang terkait dengan penyalahgunaan kata "ini" dan kata-kata egosentris serupa.

Isu-isu yang selama berabad-abad dikaitkan dengan "The Liar" telah berubah secara radikal tergantung pada apakah itu dilihat sebagai contoh ambiguitas, atau sebagai ekspresi yang secara lahiriah muncul sebagai contoh campuran bahasa dan metabahasa, atau, akhirnya, sebagai contoh tipikal penyalahgunaan ekspresi egosentris. Dan tidak ada kepastian bahwa masalah lain tidak akan dikaitkan dengan paradoks ini di masa depan.

Ahli logika dan filsuf Finlandia modern yang terkenal H. von Wright menulis dalam karyanya tentang Pembohong bahwa paradoks ini tidak boleh dipahami sebagai hambatan lokal dan terisolasi yang dapat dihilangkan dengan satu gerakan pemikiran yang inventif. Pembohong menyentuh banyak topik terpenting dalam logika dan semantik. Ini adalah definisi kebenaran, dan interpretasi kontradiksi dan bukti, dan serangkaian perbedaan penting: antara kalimat dan pemikiran yang diungkapkan olehnya, antara penggunaan ungkapan dan penyebutannya, antara arti nama dan makna. objek yang ditunjuknya.

Situasinya mirip dengan paradoks logis lainnya. “Antinomi logika,” tulis von Wright, “telah membingungkan kita sejak penemuan mereka dan mungkin akan selalu membingungkan kita. Kita harus, saya pikir, menganggapnya bukan sebagai masalah yang menunggu untuk dipecahkan, tetapi sebagai bahan mentah yang tak habis-habisnya untuk dipikirkan. Mereka penting karena memikirkannya menyentuh pertanyaan paling mendasar dari semua logika, dan karena itu semua pemikiran.”

Sebagai kesimpulan dari percakapan tentang "Pembohong" ini, kita dapat mengingat episode yang aneh dari saat logika formal masih diajarkan di sekolah. Dalam buku teks logika yang diterbitkan pada akhir 1940-an, siswa kelas delapan diminta sebagai pekerjaan rumah—sebagai pemanasan, boleh dikatakan—untuk menemukan kesalahan yang dibuat dalam pernyataan yang tampak sederhana ini: "Aku berbohong." Dan, biar tidak aneh, diyakini bahwa sebagian besar anak sekolah berhasil mengatasi tugas seperti itu.

2. paradoks Russell

Paradoks paling terkenal yang ditemukan di abad kita ini adalah antinomi yang ditemukan oleh B. Russell dan dikomunikasikan olehnya dalam sebuah surat kepada G. Ferge. Antinomi yang sama dibahas secara bersamaan di Göttingen oleh matematikawan Jerman Z. Zermelo dan D. Hilbert.

Idenya ada di udara, dan publikasinya menghasilkan kesan bom yang meledak. Paradoks ini menyebabkan dalam matematika, menurut Hilbert, efek dari bencana total. Terancam karena yang paling sederhana dan penting metode logis, konsep yang paling umum dan berguna.

Segera menjadi jelas bahwa baik dalam logika maupun matematika secara keseluruhan sejarah panjang keberadaan mereka, sama sekali tidak ada yang bisa dijadikan dasar untuk menghilangkan antinomi. Jelas diperlukan penyimpangan dari cara berpikir yang biasa. Tapi dari mana dan ke arah mana? Seberapa radikal penolakan terhadap cara berteori yang sudah mapan?

Dengan penelitian lebih lanjut antinomy, keyakinan akan perlunya pendekatan baru yang fundamental tumbuh dengan mantap. Setengah abad setelah penemuannya, para ahli dasar logika dan matematika L. Frenkel dan I. Bar-Hillel telah menyatakan tanpa keraguan: , sejauh ini selalu gagal, jelas tidak cukup untuk tujuan ini.

Ahli logika Amerika modern H. Curry menulis sedikit kemudian tentang paradoks ini: “Dalam hal logika yang dikenal pada abad ke-19, situasinya tidak dapat dijelaskan, meskipun, tentu saja, di zaman kita yang berpendidikan mungkin ada orang yang melihat (atau pikir mereka melihat ), apa kesalahannya?

Paradoks Russell dalam bentuk aslinya dihubungkan dengan konsep himpunan, atau kelas.

Kita dapat berbicara tentang himpunan objek yang berbeda, misalnya, tentang himpunan semua orang atau tentang himpunan bilangan asli. Setiap elemen dari himpunan pertama akan menjadi orang perseorangan, elemen dari kedua adalah setiap bilangan asli. Dimungkinkan juga untuk mempertimbangkan himpunan sendiri sebagai beberapa objek dan berbicara tentang himpunan himpunan. Seseorang bahkan dapat memperkenalkan konsep-konsep seperti himpunan semua himpunan atau himpunan semua konsep.

Set dari set biasa

Sehubungan dengan setiap himpunan yang diambil secara sewenang-wenang, tampaknya masuk akal untuk menanyakan apakah itu adalah unsurnya sendiri atau bukan. Himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai suatu elemen akan disebut biasa. Misalnya, himpunan semua orang bukan orang, sama seperti himpunan atom bukan atom. Set yang merupakan elemen yang tepat akan menjadi tidak biasa. Misalnya, himpunan yang menyatukan semua himpunan adalah himpunan dan karena itu berisi dirinya sendiri sebagai elemen.

Pertimbangkan sekarang himpunan semua himpunan biasa. Karena ini adalah himpunan, orang juga dapat menanyakannya apakah itu biasa atau tidak biasa. Jawabannya, bagaimanapun, adalah mengecilkan hati. Jika itu biasa, maka menurut definisi itu harus mengandung dirinya sendiri sebagai elemen, karena mengandung semua himpunan biasa. Tetapi ini berarti bahwa itu adalah himpunan yang tidak biasa. Asumsi bahwa himpunan kita adalah himpunan biasa menyebabkan kontradiksi. Jadi tidak bisa biasa saja. Di sisi lain, itu juga tidak bisa tidak biasa: himpunan yang tidak biasa berisi dirinya sendiri sebagai elemen, dan elemen dari himpunan kita hanya himpunan biasa. Akibatnya, kita sampai pada kesimpulan bahwa himpunan semua himpunan biasa tidak bisa menjadi biasa atau luar biasa.

Dengan demikian, himpunan semua himpunan yang bukan unsur-unsur wajar adalah elemen yang tepat jika dan hanya jika bukan elemen tersebut. Ini adalah kontradiksi yang jelas. Dan itu diperoleh berdasarkan asumsi yang paling masuk akal dan dengan bantuan langkah-langkah yang tampaknya tak terbantahkan.

Kontradiksi mengatakan bahwa himpunan seperti itu sama sekali tidak ada. Tapi kenapa itu tidak bisa ada? Bagaimanapun, itu terdiri dari objek-objek yang memenuhi kondisi yang terdefinisi dengan baik, dan kondisi itu sendiri tampaknya tidak menjadi luar biasa atau tidak jelas. Jika suatu himpunan yang begitu sederhana dan terdefinisi dengan jelas tidak dapat ada, lalu apa sebenarnya perbedaan antara himpunan yang mungkin dan yang tidak mungkin? Kesimpulan tentang tidak adanya himpunan yang dipertimbangkan terdengar tidak terduga dan menimbulkan kecemasan. Dia membuat kita konsep umum set amorf dan kacau, dan tidak ada jaminan bahwa itu tidak mampu menghasilkan beberapa paradoks baru.

Paradoks Russell luar biasa karena sifatnya yang sangat umum. Untuk konstruksinya, tidak diperlukan konsep teknis yang rumit, seperti dalam kasus beberapa paradoks lain, konsep "kumpulan" dan "elemen himpunan" sudah cukup. Tetapi kesederhanaan ini hanya berbicara tentang sifat dasarnya: ia menyentuh dasar terdalam dari penalaran kita tentang himpunan, karena ia tidak berbicara tentang beberapa kasus khusus, tetapi tentang himpunan secara umum.

Varian lain dari paradoks

Paradoks Russell tidak secara khusus bersifat matematis. Ini menggunakan konsep himpunan, tetapi tidak menyentuh sifat khusus apa pun yang terkait secara khusus dengan matematika.

Ini menjadi jelas ketika paradoks itu dirumuskan kembali dalam istilah-istilah yang murni logis.

Dari setiap properti, seseorang dapat, kemungkinan besar, bertanya apakah itu berlaku untuk dirinya sendiri atau tidak.

Sifat menjadi panas, misalnya, tidak berlaku untuk dirinya sendiri, karena ia sendiri tidak panas; sifat yang konkret juga tidak mengacu pada dirinya sendiri, karena itu adalah sifat abstrak. Tetapi sifat menjadi abstrak, menjadi abstrak, berlaku untuk diri sendiri. Mari kita sebut properti ini tidak dapat diterapkan untuk diri mereka sendiri tidak dapat diterapkan. Apakah sifat tidak dapat diterapkan pada diri sendiri berlaku? Ternyata ketidakterapan tidak dapat diterapkan hanya jika tidak. Ini, tentu saja, paradoks.

Ragam antinomi Russell yang logis dan berkaitan dengan properti sama paradoksnya dengan ragam matematis yang berkaitan dengan himpunan.

Russell juga mengusulkan versi populer berikut dari paradoks yang dia temukan.

Bayangkan bahwa dewan satu desa mendefinisikan tugas seorang tukang cukur sebagai berikut: mencukur semua pria desa yang tidak mencukur diri mereka sendiri, dan hanya pria-pria ini. Haruskah dia mencukur dirinya sendiri? Jika demikian, itu akan mengacu pada mereka yang mencukur sendiri, dan mereka yang mencukur sendiri, dia tidak boleh mencukur. Jika tidak, dia akan menjadi milik mereka yang tidak mencukur dirinya sendiri, dan karena itu dia harus mencukur dirinya sendiri. Dengan demikian kami sampai pada kesimpulan bahwa tukang cukur ini mencukur dirinya sendiri jika dan hanya jika dia tidak mencukur dirinya sendiri. Ini, tentu saja, tidak mungkin.

Argumen tentang tukang cukur didasarkan pada asumsi bahwa tukang cukur seperti itu ada. Kontradiksi yang dihasilkan berarti bahwa asumsi ini salah, dan tidak ada penduduk desa yang akan mencukur semua itu dan hanya penduduk desa yang tidak mencukur dirinya sendiri.

Tugas seorang penata rambut pada pandangan pertama tidak tampak kontradiktif, jadi kesimpulan bahwa tidak mungkin ada yang terdengar agak tidak terduga. Namun, kesimpulan ini tidak paradoks. Kondisi yang harus dipenuhi oleh tukang cukur desa, pada kenyataannya, bertentangan dengan diri sendiri dan karena itu tidak mungkin. Tidak mungkin ada penata rambut seperti itu di desa karena alasan yang sama bahwa tidak ada orang di desa itu yang lebih tua dari dirinya atau yang akan lahir sebelum kelahirannya.

Argumen tentang penata rambut bisa disebut paradoks semu. Dalam perjalanannya, ini sangat mirip dengan paradoks Russell, dan inilah yang membuatnya menarik. Tapi itu masih bukan paradoks yang sebenarnya.

Contoh lain dari pseudo-paradoks yang sama adalah penalaran terkenal tentang direktori.

Sebuah perpustakaan tertentu memutuskan untuk menyusun katalog bibliografi yang akan mencakup semua itu dan hanya katalog bibliografi yang tidak berisi referensi untuk diri mereka sendiri. Haruskah direktori seperti itu menyertakan tautan ke dirinya sendiri?

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ide membuat katalog seperti itu tidak mungkin; itu tidak bisa ada, karena itu harus secara bersamaan menyertakan referensi untuk dirinya sendiri dan tidak termasuk.

Sangat menarik untuk dicatat bahwa membuat katalog semua direktori yang tidak mengandung referensi untuk diri mereka sendiri dapat dianggap sebagai proses tanpa akhir dan tidak pernah berakhir. Katakanlah pada titik tertentu sebuah direktori, katakanlah K1, telah dikompilasi, termasuk semua direktori lain yang tidak berisi referensi untuk dirinya sendiri. Dengan pembuatan K1, direktori lain muncul yang tidak berisi tautan ke dirinya sendiri. Karena tujuannya adalah untuk membuat katalog lengkap dari semua direktori yang tidak menyebutkan dirinya sendiri, jelaslah bahwa K1 bukanlah solusi. Dia tidak menyebutkan salah satu direktori ini - dirinya sendiri. Termasuk penyebutan dirinya di K1, kami mendapatkan katalog K2. Itu menyebutkan K1, tetapi bukan K2 itu sendiri. Menambahkan penyebutan seperti itu ke K2, kami mendapatkan KZ, yang sekali lagi tidak lengkap karena fakta bahwa ia tidak menyebutkan dirinya sendiri. Dan terus tanpa akhir.

3. Paradoks Grelling dan Berry

Paradoks logis yang menarik ditemukan oleh ahli logika Jerman K. Grelling dan L. Nelson (paradoks Grelling). Paradoks ini dapat dirumuskan dengan sangat sederhana.

Kata-kata autologis dan heterologis

Beberapa kata yang menunjukkan properti memiliki properti yang mereka beri nama. Misalnya, kata sifat "Rusia" itu sendiri adalah bahasa Rusia, "bersuku kata banyak" itu sendiri adalah bersuku kata, dan "lima suku kata" itu sendiri memiliki lima suku kata. Kata-kata seperti itu yang mengacu pada diri mereka sendiri disebut self-meaning atau autological.

Tidak banyak kata seperti itu, sebagian besar kata sifat tidak memiliki sifat yang mereka sebutkan. "Baru" bukanlah, tentu saja, baru, "panas" adalah panas, "satu suku kata" adalah satu suku kata, dan "Bahasa Inggris" adalah bahasa Inggris. Kata-kata yang tidak memiliki sifat yang dilambangkannya disebut alias, atau heterologis. Jelas, semua kata sifat yang menunjukkan sifat yang tidak berlaku untuk kata-kata akan menjadi heterologis.

Pembagian kata sifat menjadi dua kelompok ini tampak jelas dan tidak dapat disangkal. Ini dapat diperluas ke kata benda: "kata" adalah kata, "kata benda" adalah kata benda, tetapi "jam" bukan jam, dan "kata kerja" bukan kata kerja.

Sebuah paradoks muncul segera setelah pertanyaan diajukan: yang mana dari dua kelompok itu kata sifat "heterologis" itu sendiri termasuk? Jika bersifat autologis, ia memiliki sifat yang ditunjuknya dan harus heterologis. Jika heterologis, ia tidak memiliki properti yang disebutnya, dan karena itu harus autologis. Ada paradoks.

Dengan analogi dengan paradoks ini, mudah untuk merumuskan paradoks lain dari struktur yang sama. Misalnya, apakah orang yang bunuh diri membunuh setiap orang yang tidak bunuh diri dan tidak membunuh orang yang ingin bunuh diri?

Ternyata paradoks Grellig dikenal pada Abad Pertengahan sebagai antinomi dari sebuah ungkapan yang tidak menyebutkan namanya sendiri. Bisa dibayangkan sikap terhadap sofisme dan paradoks di zaman modern ini, jika masalah yang membutuhkan jawaban dan menimbulkan perdebatan yang hidup tiba-tiba dilupakan dan ditemukan kembali hanya lima ratus tahun kemudian!

Antinomi lain yang tampak sederhana ditunjukkan pada awal abad kita oleh D. Berry.

Himpunan bilangan asli tidak terbatas. Himpunan nama-nama angka-angka ini yang tersedia, misalnya, dalam bahasa Rusia dan berisi kurang dari, katakanlah, seratus kata, adalah terbatas. Ini berarti bahwa ada bilangan asli yang tidak ada nama dalam bahasa Rusia yang terdiri dari kurang dari seratus kata. Di antara angka-angka ini jelas ada angka terkecil. Itu tidak bisa disebut dengan ungkapan Rusia yang mengandung kurang dari seratus kata. Tetapi ungkapan: "Bilangan asli terkecil yang tidak ada dalam bahasa Rusia nama majemuk, terdiri dari kurang dari seratus kata" hanyalah nama nomor ini! Nama ini baru saja dirumuskan dalam bahasa Rusia dan hanya berisi sembilan belas kata. Paradoks yang jelas: nomor yang disebutkan ternyata adalah nomor yang tidak ada namanya!

4. Perselisihan yang tidak dapat diselesaikan

Inti dari satu paradoks terkenal terletak pada apa yang tampaknya merupakan insiden kecil yang terjadi lebih dari dua ribu tahun yang lalu dan belum dilupakan hingga hari ini.

Protagoras sofis terkenal, yang hidup pada abad ke-5. Sebelum Masehi, ada seorang mahasiswa bernama Euathlus yang belajar hukum. Menurut kesepakatan yang dibuat di antara mereka, Euathlus harus membayar pelatihan hanya jika dia memenangkan gugatan pertamanya. Jika dia kalah dalam proses ini, dia tidak berkewajiban membayar sama sekali. Namun, setelah menyelesaikan studinya, Evatl tidak ikut serta dalam proses tersebut. Itu berlangsung cukup lama, kesabaran guru itu habis, dan dia mengajukan gugatan terhadap muridnya. Jadi, bagi Euathlus, ini adalah percobaan pertama. Protagoras mendukung permintaannya sebagai berikut:

“Apa pun keputusan pengadilan, Euathlus harus membayar saya. Dia akan memenangkan percobaan pertamanya atau kalah. Jika dia menang, dia akan membayar berdasarkan kontrak kami. Jika dia kalah, dia akan membayar sesuai dengan keputusan ini.

Rupanya Euathlus adalah siswa yang cakap, saat dia menjawab Protagoras:

- Memang, saya memenangkan proses atau kalah. Jika saya menang, keputusan pengadilan akan membebaskan saya dari kewajiban membayar. Jika keputusan pengadilan tidak menguntungkan saya, maka saya kehilangan kasus pertama saya dan tidak akan membayar berdasarkan kontrak kami.

Solusi untuk Protagoras dan Euathlus Paradox

Bingung dengan pergantian masalah ini, Protagoras mencurahkan esai khusus untuk perselisihan ini dengan Euathlus, "Litigasi untuk Pembayaran." Sayangnya, seperti kebanyakan dari apa yang ditulis oleh Protagoras, tidak sampai kepada kita. Namun demikian, seseorang harus membayar upeti kepada Protagoras, yang segera merasakan masalah di balik insiden peradilan sederhana yang patut dipelajari secara khusus.

G. Leibniz, seorang pengacara pendidikan, juga menanggapi perselisihan ini dengan serius. Dalam disertasi doktornya, "A Study of Intricate Cases in Law," ia mencoba membuktikan bahwa semua kasus, bahkan yang paling rumit, seperti litigasi Protagoras dan Euathlus, harus menemukan resolusi yang benar berdasarkan akal sehat. Menurut Leibniz, pengadilan harus menolak Protagoras untuk pengajuan klaim yang tidak tepat waktu, tetapi meninggalkan, bagaimanapun, baginya hak untuk menuntut pembayaran uang oleh Evatl nanti, yaitu setelah proses pertama yang dia menangkan.

Banyak solusi lain untuk paradoks ini telah diusulkan.

Mereka merujuk, khususnya, pada fakta bahwa keputusan pengadilan harus memiliki kekuatan besar daripada perjanjian pribadi antara dua orang. Dapat dijawab bahwa tanpa kesepakatan ini, betapapun kecilnya kelihatannya, tidak akan ada pengadilan maupun keputusannya. Bagaimanapun, pengadilan harus membuat keputusannya tepat pada kesempatannya dan atas dasar itu.

Mereka juga mengimbau prinsip umum bahwa setiap pekerjaan, dan karena itu pekerjaan Protagoras, harus dibayar. Tetapi diketahui bahwa prinsip ini selalu memiliki pengecualian, terutama dalam masyarakat pemilik budak. Selain itu, itu sama sekali tidak berlaku untuk situasi khusus perselisihan: setelah semua, Protagoras, menjamin level tinggi pelatihan, ia sendiri menolak untuk menerima pembayaran jika siswanya gagal dalam proses pertama.

Terkadang mereka berbicara seperti ini. Baik Protagoras dan Euathlus keduanya benar sebagian, dan tidak satu pun dari mereka secara umum. Masing-masing dari mereka hanya memperhitungkan setengah dari kemungkinan yang bermanfaat bagi dirinya sendiri. Pertimbangan penuh atau komprehensif membuka empat kemungkinan, yang hanya setengahnya bermanfaat bagi salah satu pihak yang berselisih. Manakah dari kemungkinan-kemungkinan ini yang diwujudkan, itu akan ditentukan bukan oleh logika, tetapi oleh kehidupan. Jika putusan hakim akan memiliki kekuatan lebih dari kontrak, Euathl harus membayar hanya jika dia kalah dalam proses, yaitu. berdasarkan keputusan pengadilan. Namun, jika kesepakatan pribadi ditempatkan lebih tinggi dari keputusan juri, maka Protagoras akan menerima pembayaran hanya jika prosesnya kalah dari Evatlus, yaitu. berdasarkan kesepakatan dengan Protagoras.

Daya tarik hidup ini akhirnya membingungkan segalanya. Apa, jika bukan logika, yang dapat dipandu oleh hakim dalam kondisi ketika semua keadaan yang relevan benar-benar jelas? Dan kepemimpinan seperti apa jika Protagoras, yang mengklaim pembayaran melalui pengadilan, mencapainya hanya dengan kehilangan proses?

Namun, solusi Leibniz, yang pada awalnya tampak meyakinkan, sedikit lebih baik daripada oposisi samar-samar antara logika dan kehidupan. Intinya, Leibniz mengusulkan secara surut untuk mengubah kata-kata kontrak dan menetapkan bahwa gugatan pertama yang melibatkan Euathlus, yang hasilnya akan memutuskan masalah pembayaran, tidak boleh menjadi persidangan Protagoras. Pemikiran ini dalam, tetapi tidak terkait dengan pengadilan tertentu. Seandainya ada klausul seperti itu dalam perjanjian asli, tidak akan ada kebutuhan untuk litigasi sama sekali.

Jika dengan solusi kesulitan ini seseorang memahami jawaban atas pertanyaan apakah Euathlus harus membayar Protagoras atau tidak, maka semua ini, seperti semua solusi lain yang mungkin, tentu saja tidak dapat dipertahankan. Mereka tidak lebih dari sebuah penyimpangan dari esensi perselisihan, sehingga dapat dikatakan, trik-trik canggih dan licik dalam situasi putus asa dan tak terpecahkan. Karena akal sehat maupun prinsip-prinsip umum apa pun tentang hubungan sosial tidak dapat menyelesaikan perselisihan.

Tidak mungkin untuk melaksanakan bersama-sama kontrak dalam bentuk aslinya dan keputusan pengadilan, apa pun yang terakhir. Untuk membuktikan ini, sarana logika sederhana sudah cukup. Dengan cara yang sama, juga dapat ditunjukkan bahwa perjanjian itu, meskipun penampilannya sama sekali tidak bersalah, adalah kontradiktif. Ini membutuhkan realisasi proposisi yang tidak mungkin secara logis: Euathlus harus membayar untuk pendidikan dan pada saat yang sama tidak membayar.

Aturan yang mengarah ke jalan buntu

Pikiran manusia, yang terbiasa tidak hanya dengan kekuatannya, tetapi juga dengan fleksibilitas dan bahkan akalnya, tentu saja merasa sulit untuk mendamaikan dirinya dengan keputusasaan mutlak ini dan mengakui bahwa ia telah didorong ke jalan buntu. Ini sangat sulit ketika kebuntuan diciptakan oleh pikiran itu sendiri: bisa dikatakan, tiba-tiba tersandung dan jatuh ke dalam jaringnya sendiri. Namun demikian, kita harus mengakui bahwa kadang-kadang, dan omong-omong, tidak jarang, kesepakatan dan sistem aturan, yang dibentuk secara spontan atau diperkenalkan secara sadar, mengarah pada situasi yang tidak dapat dipecahkan dan tanpa harapan.

Contoh dari kehidupan catur baru-baru ini akan sekali lagi mengkonfirmasi ide ini.

Aturan internasional untuk kompetisi catur mewajibkan pemain catur untuk mencatat gerakan permainan dengan gerakan dengan jelas dan terbaca. Sampai baru-baru ini, aturan juga menyatakan bahwa seorang pemain catur yang melewatkan rekaman beberapa gerakan karena kekurangan waktu harus, "Begitu masalah waktunya berakhir, segera isi formulirnya, tuliskan gerakan yang terlewatkan." Berdasarkan instruksi ini, seorang juri di Olimpiade Catur (Malta) 1980 menyela permainan, yang sedang berlangsung dalam kesulitan waktu yang sulit, dan menghentikan jam, menyatakan bahwa gerakan kontrol telah dilakukan dan, oleh karena itu, sudah waktunya untuk menempatkan catatan permainan secara berurutan.

“Tapi permisi,” teriak peserta, yang berada di ambang kekalahan dan hanya mengandalkan intensitas gairah di akhir permainan, “bagaimanapun, tidak ada satu bendera pun yang jatuh dan tidak ada yang bisa (sebagai itu juga tertulis dalam aturan) dapat mengetahui berapa banyak gerakan yang telah dilakukan.

Namun, wasit didukung oleh kepala arbiter, yang mengatakan bahwa, memang, karena masalah telah berakhir, perlu, mengikuti surat peraturan, untuk mulai merekam gerakan yang tidak terjawab.

Tidak ada gunanya berdebat dalam situasi ini: aturan itu sendiri menyebabkan jalan buntu. Hanya tinggal mengubah kata-kata mereka sedemikian rupa sehingga kasus serupa tidak bisa muncul di masa depan.

Ini dilakukan di kongres Federasi Catur Internasional, yang berlangsung pada saat yang sama: alih-alih kata-kata "segera setelah masalah selesai", aturan sekarang mengatakan: "segera setelah bendera menunjukkan akhir waktu”.

Contoh ini dengan jelas menunjukkan bagaimana caranya kebuntuan. Tidak ada gunanya berdebat tentang pihak mana yang benar: perselisihan tidak dapat diselesaikan, dan tidak akan ada pemenang di dalamnya. Tetap hanya untuk berdamai dengan masa kini dan mengurus masa depan. Untuk melakukan ini, Anda perlu merumuskan kembali perjanjian atau aturan asli sedemikian rupa sehingga mereka tidak membawa orang lain ke dalam situasi tanpa harapan yang sama.

Tentu saja, tindakan seperti itu bukanlah solusi untuk perselisihan yang tak terpecahkan atau jalan keluar dari situasi tanpa harapan. Ini lebih merupakan perhentian di depan rintangan yang tidak dapat diatasi dan jalan di sekitarnya.

Paradoks "buaya dan ibu"

PADA Yunani kuno kisah buaya dan ibu sangat populer, bertepatan dalam konten logisnya dengan paradoks Protagoras dan Euathlus.

Buaya itu merenggut anaknya dari seorang wanita Mesir yang berdiri di tepi sungai. Atas permohonannya untuk mengembalikan anak itu, buaya, seperti biasa, mengeluarkan air mata buaya, menjawab:

“Kemalanganmu menyentuhku, dan aku akan memberimu kesempatan untuk mendapatkan kembali anakmu. Tebak apakah saya akan memberikannya kepada Anda atau tidak. Jika Anda menjawab dengan benar, saya akan mengembalikan anak itu. Jika Anda tidak menebak, saya tidak akan mengembalikannya.

Sambil berpikir, ibu itu menjawab:

Anda tidak akan memberi saya bayi.

"Kamu tidak akan mendapatkannya," simpul buaya. Anda mengatakan yang sebenarnya atau tidak. Jika benar bahwa saya tidak akan menyerahkan anak itu, maka saya tidak akan menyerahkannya, karena jika tidak demikian maka tidak akan benar. Jika apa yang dikatakan tidak benar, maka Anda tidak menebak, dan saya tidak akan memberikan anak itu dengan persetujuan.

Namun, alasan ini tampaknya tidak meyakinkan sang ibu.

- Tetapi jika saya mengatakan yang sebenarnya, maka Anda akan memberi saya anak itu, seperti yang kita sepakati. Jika saya tidak menebak bahwa Anda tidak akan memberikan anak itu, maka Anda harus memberikannya kepada saya, jika tidak, apa yang saya katakan tidak akan salah.

Siapa yang benar: ibu atau buaya? Untuk apa janji yang diberikan kepada buaya itu? Untuk memberikan anak itu, atau, sebaliknya, tidak memberikannya? Dan untuk keduanya sekaligus. Janji ini bertentangan dengan diri sendiri, dan karenanya tidak dapat dipenuhi berdasarkan hukum logika.

Misionaris itu mendapati dirinya bersama para kanibal dan tiba tepat pada waktunya untuk makan malam. Mereka membiarkan dia memilih bagaimana dia akan dimakan. Untuk melakukan ini, dia harus mengucapkan beberapa pernyataan dengan syarat jika pernyataan ini benar, mereka akan memasaknya, dan jika ternyata salah, mereka akan memanggangnya.

Apa yang harus dikatakan misionaris itu?

Tentu saja, dia harus berkata: "Kamu akan menggorengku."

Jika dia benar-benar digoreng, ternyata dia mengatakan yang sebenarnya, dan karena itu dia harus direbus. Jika dia direbus, pernyataannya akan salah, dan dia harus digoreng saja. Kanibal tidak akan memiliki jalan keluar: dari "menggoreng" mengikuti "memasak", dan sebaliknya.

Episode misionaris yang licik ini, tentu saja, merupakan kutipan lain dari perselisihan antara Protagoras dan Euathlus.

Paradoks Sancho Panza

Satu paradoks lama yang dikenal di Yunani Kuno dimainkan di Don Quixote oleh M. Cervantes. Sancho Panza telah menjadi gubernur pulau Barataria dan mengelola pengadilan.

Yang pertama datang kepadanya adalah beberapa pengunjung dan berkata: “Senior, sebuah perkebunan dibagi menjadi dua bagian oleh sungai yang dalam ... Jadi, sebuah jembatan dilemparkan ke seberang sungai ini, dan di sana di tepinya berdiri sebuah tiang gantungan dan ada sesuatu seperti pengadilan, di mana empat orang biasanya duduk, hakim, dan mereka mengadili berdasarkan undang-undang yang dikeluarkan oleh pemilik sungai, jembatan dan seluruh perkebunan, yang undang-undangnya dibuat dengan cara ini: dan siapa pun yang berbohong, tanpa keringanan hukuman, kirim mereka ke tiang gantungan yang terletak di sana dan eksekusi mereka. Sejak undang-undang ini diumumkan dengan segala kekerasannya, banyak yang berhasil menyeberangi jembatan, dan segera setelah para hakim yakin bahwa orang yang lewat mengatakan yang sebenarnya, mereka membiarkan mereka lewat. Tetapi kemudian suatu hari seorang pria yang disumpah bersumpah dan berkata: dia bersumpah bahwa dia datang untuk digantung di tiang gantungan ini, dan tidak untuk yang lain. Sumpah ini membingungkan para hakim, dan mereka berkata, ”Jika orang ini diizinkan untuk melanjutkan tanpa halangan, maka ini berarti bahwa dia telah melanggar sumpah dan, menurut hukum, dapat dihukum mati; jika kita menggantungnya, maka dia bersumpah bahwa dia datang hanya untuk digantung di tiang gantungan ini, oleh karena itu, sumpahnya, ternyata, tidak salah, dan berdasarkan hukum yang sama perlu untuk membiarkannya lewat. Jadi saya bertanya kepada Anda, Pak Gubernur, apa yang harus dilakukan para hakim dengan orang ini, karena mereka masih bingung dan ragu-ragu ...

Sancho menyarankan, mungkin bukan tanpa kelicikan, bahwa separuh dari orang yang mengatakan kebenaran harus dibiarkan, dan yang berbohong harus digantung, dan dengan cara ini aturan untuk menyeberangi jembatan akan dipatuhi dalam segala bentuk. Bagian ini menarik dalam beberapa hal.

Pertama-tama, ini adalah ilustrasi yang jelas tentang fakta bahwa jalan buntu yang digambarkan dalam paradoks mungkin akan dihadapi - dan bukan di teori murni, tetapi dalam praktiknya - jika bukan orang sungguhan, maka setidaknya pahlawan sastra.

Jalan keluar yang diajukan Sancho Panza tentu saja bukan solusi dari paradoks tersebut. Tapi ini hanya solusi yang tersisa untuk digunakan di posisinya.

Sekali waktu, Alexander Agung, alih-alih melepaskan simpul Gordian yang licik, yang belum ada yang berhasil melakukannya, cukup potong saja. Sancho melakukan hal yang sama. Mencoba memecahkan teka-teki padanya kondisi sendiri tidak berguna - itu tidak dapat dipecahkan. Tetap membuang kondisi ini dan memperkenalkan kondisi Anda sendiri.

Dan satu saat. Dengan episode ini, Cervantes dengan jelas mengutuk skala formal keadilan abad pertengahan yang sangat tinggi, yang diresapi dengan semangat logika skolastik. Tetapi betapa luasnya pada masanya - dan ini sekitar empat ratus tahun yang lalu - informasi dari bidang logika! Tidak hanya Cervantes sendiri yang mengetahui paradoks ini. Penulis merasa mungkin untuk mengaitkan pahlawannya, seorang petani yang buta huruf, kemampuan untuk memahami bahwa ia menghadapi tugas yang tidak dapat diselesaikan!

5. Paradoks lainnya

Paradoks di atas adalah argumen, yang hasilnya adalah kontradiksi. Tetapi ada jenis paradoks lain dalam logika. Mereka juga menunjukkan beberapa kesulitan dan masalah, tetapi mereka melakukannya dengan cara yang tidak terlalu keras dan tanpa kompromi. Seperti, khususnya, paradoks yang dibahas di bawah ini.

Paradoks konsep yang tidak tepat

Sebagian besar konsep tidak hanya bahasa alami, tetapi juga bahasa sains tidak akurat, atau, sebagaimana disebut juga, kabur. Seringkali ini ternyata menjadi penyebab kesalahpahaman, perselisihan, atau bahkan hanya menyebabkan kebuntuan.

Jika konsepnya tidak akurat, batas area objek yang diterapkan tidak memiliki ketajaman, kabur. Ambil contoh, konsep "tumpukan". Satu butir (butir pasir, batu, dll.) belum menjadi tumpukan. Seribu butir sudah, jelas, banyak. Dan tiga butir? Dan sepuluh? Berapa jumlah butir yang ditambahkan untuk membentuk tumpukan? Tidak terlalu jelas. Dengan cara yang sama, tidak jelas dengan penghapusan butir mana tumpukan menghilang.

Tidak akurat adalah karakteristik empiris dari "besar", "berat", "sempit", dll. Konsep biasa seperti "orang bijak", "kuda", "rumah", dll. tidak tepat.

Tidak ada sebutir pasir pun yang, ketika disingkirkan, kita dapat mengatakan bahwa dengan disingkirkannya, apa yang tersisa tidak bisa lagi disebut rumah. Tetapi bagaimanapun juga, ini tampaknya berarti bahwa tidak ada titik dalam pembongkaran rumah secara bertahap - hingga hilangnya sepenuhnya - apakah ada alasan untuk menyatakan bahwa tidak ada rumah! Kesimpulannya jelas paradoks dan mengecewakan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa argumen tentang ketidakmungkinan membentuk tumpukan dilakukan dengan menggunakan metode yang terkenal. induksi matematika. Satu butir tidak membentuk tumpukan. Jika n butir tidak membentuk timbunan, maka n+1 butir tidak membentuk timbunan. Oleh karena itu, tidak ada jumlah butir yang dapat membentuk tumpukan.

Kemungkinan ini dan bukti serupa yang mengarah pada kesimpulan konyol berarti bahwa prinsip induksi matematika memiliki cakupan yang terbatas. Itu tidak boleh digunakan dalam penalaran dengan konsep yang tidak akurat dan tidak jelas.

Contoh yang baik tentang bagaimana konsep-konsep ini dapat menyebabkan perselisihan yang tidak dapat diselesaikan adalah pengadilan yang aneh yang terjadi pada tahun 1927 di Amerika Serikat. Pematung C. Brancusi pergi ke pengadilan menuntut agar karyanya diakui sebagai karya seni. Di antara karya yang dikirim ke New York untuk pameran adalah patung "Burung", yang sekarang dianggap klasik dari gaya abstrak. Ini adalah kolom termodulasi dari perunggu yang dipoles setinggi sekitar satu setengah meter, yang tidak memiliki kemiripan eksternal dengan burung. Petugas bea cukai dengan tegas menolak mengakui kreasi abstrak Brancusi sebagai karya seni. Mereka menempatkan mereka di bawah judul "Rumah Sakit Logam dan Peralatan Rumah Tangga" dan mengenakan bea cukai yang berat pada mereka. Marah, Brancusi menggugat.

Adat didukung oleh seniman - anggota Akademi Nasional, yang membela metode tradisional dalam seni. Mereka bertindak sebagai saksi untuk pembelaan di persidangan dan dengan tegas bersikeras bahwa upaya untuk menganggap "Burung" sebagai sebuah karya seni hanyalah sebuah penipuan.

Konflik ini secara gamblang menekankan sulitnya beroperasi dengan konsep "karya seni". Patung secara tradisional dianggap sebagai bentuk seni rupa. Tetapi tingkat kesamaan gambar pahatan dengan aslinya dapat bervariasi dalam batas yang sangat luas. Dan pada titik apa gambar pahatan, yang semakin menjauh dari aslinya, berhenti menjadi karya seni dan menjadi "perkakas logam"? Pertanyaan ini sama sulitnya untuk dijawab seperti pertanyaan tentang di mana batas antara rumah dan reruntuhannya, antara kuda yang berekor dan kuda yang tidak berekor, dan seterusnya. Omong-omong, kaum modernis umumnya yakin bahwa patung adalah objek bentuk ekspresif dan tidak harus berupa gambar sama sekali.

Oleh karena itu, penanganan konsep yang tidak tepat memerlukan sejumlah kehati-hatian. Bukankah lebih baik menghindarinya sama sekali?

Filsuf Jerman E. Husserl cenderung menuntut ketelitian dan ketepatan ekstrim dari pengetahuan yang tidak ditemukan bahkan dalam matematika. Sehubungan dengan ini, penulis biografi Husserl mengingat dengan ironis sebuah insiden yang terjadi padanya di masa kecil. Dia disajikan dengan pisau lipat, dan, memutuskan untuk membuat pisau setajam mungkin, dia mengasahnya sampai tidak ada yang tersisa dari pisau.

Konsep yang lebih tepat lebih disukai daripada yang tidak tepat dalam banyak situasi. Keinginan yang biasa untuk memperjelas konsep yang digunakan cukup beralasan. Tapi itu harus, tentu saja, ada batasnya. Bahkan dalam bahasa sains, sebagian besar konsep tidak akurat. Dan ini tidak terkait dengan kesalahan subjektif dan acak dari masing-masing ilmuwan, tetapi dengan hakikat pengetahuan ilmiah. Dalam bahasa alami, konsep yang tidak tepat sangat banyak; ini berbicara, antara lain, tentang fleksibilitas dan kekuatan latennya. Siapa pun yang menuntut ketelitian tertinggi dari semua konsep menghadapi risiko ditinggalkan tanpa bahasa sama sekali. "Hilangkan kata-kata dari ambiguitas apa pun, ketidakpastian apa pun," tulis ahli kecantikan Prancis J. Joubert, "ubahlah ... menjadi satu digit - permainan akan meninggalkan ucapan, dan dengan itu kefasihan dan puisi: segala sesuatu yang bergerak dan dapat diubah dalam kasih sayang jiwa, tidak dapat menemukan ekspresinya. Tapi apa yang saya katakan: hilangkan ... Saya akan mengatakan lebih banyak. Hilangkan kata dari ketidakakuratan apa pun - dan Anda akan kehilangan bahkan aksioma.

Untuk waktu yang lama, baik ahli logika dan matematikawan tidak memperhatikan kesulitan yang terkait dengan konsep fuzzy dan himpunan yang sesuai. Pertanyaan itu diajukan sebagai berikut: konsep harus tepat, dan segala sesuatu yang kabur tidak layak untuk menjadi perhatian serius. Namun, dalam beberapa dekade terakhir, sikap yang terlalu ketat ini telah kehilangan daya tariknya. Teori logika dibangun yang secara khusus memperhitungkan keunikan penalaran dengan konsep yang tidak tepat.

Berkembang secara aktif teori matematika yang disebut himpunan fuzzy, kumpulan objek yang didefinisikan secara tidak jelas.

Analisis masalah ketidaktepatan adalah langkah untuk membawa logika lebih dekat dengan praktik berpikir biasa. Dan kita dapat berasumsi bahwa itu akan membawa banyak hasil yang lebih menarik.

Paradoks logika induktif

Mungkin, tidak ada bagian logika yang tidak memiliki paradoksnya sendiri.

Logika induktif memiliki paradoksnya sendiri, yang telah secara aktif, tetapi sejauh ini tidak berhasil, diperjuangkan selama hampir setengah abad. Yang menarik adalah paradoks konfirmasi yang ditemukan oleh filsuf Amerika K. Hempel. Itu wajar untuk berasumsi bahwa ketentuan umum, khususnya hukum ilmiah, dikonfirmasi oleh contoh positifnya. Jika, katakanlah, proposisi "Semua A adalah B" dipertimbangkan, maka contoh positifnya adalah objek yang memiliki sifat A dan B. Secara khusus, contoh pendukung untuk proposisi "Semua gagak berwarna hitam" adalah objek yang keduanya gagak dan hitam. Namun, pernyataan ini sama dengan pernyataan "Segala sesuatu yang tidak hitam bukanlah gagak," dan penegasan yang terakhir juga harus merupakan penegasan dari yang pertama. Tetapi "Segala sesuatu yang tidak hitam bukanlah burung gagak" ditegaskan oleh setiap kasus benda non-hitam yang bukan burung gagak. Karena itu, ternyata pengamatan "Sapi itu putih", "Sepatunya cokelat", dll. mengkonfirmasi pernyataan "Semua gagak hitam."

Hasil paradoks yang tak terduga mengikuti dari premis yang tampaknya tidak bersalah.

Dalam logika norma, sejumlah undang-undangnya menimbulkan kekhawatiran. Ketika mereka dirumuskan dalam istilah yang bermakna, ketidakkonsistenan mereka dengan gagasan biasa tentang benar dan salah menjadi jelas. Misalnya, salah satu undang-undang mengatakan bahwa dari perintah "Kirim surat!" perintah "Kirim surat atau bakar!" berikut.

Hukum lain menyatakan bahwa jika seseorang telah melanggar salah satu tugasnya, ia mendapat hak untuk melakukan apa pun yang diinginkannya. Intuisi logis kita tidak mau menerima "hukum kewajiban" semacam ini.

Dalam logika pengetahuan, paradoks kemahatahuan logis banyak dibahas. Dia mengklaim bahwa seseorang mengetahui semua konsekuensi logis yang mengikuti dari posisi yang dia ambil. Misalnya, jika seseorang mengetahui lima postulat geometri Euclid, maka, oleh karena itu, dia mengetahui semua geometri ini, karena mengikuti dari mereka. Tapi tidak. Seseorang dapat setuju dengan postulat dan pada saat yang sama tidak dapat membuktikan teorema Pythagoras dan karena itu meragukan bahwa itu umumnya benar.

6. Apa yang dimaksud dengan paradoks logis?

Tidak ada daftar lengkap paradoks logis, dan itu tidak mungkin.

Paradoks yang dipertimbangkan hanyalah bagian dari semua yang ditemukan sejauh ini. Kemungkinan banyak paradoks lain akan ditemukan di masa depan, dan bahkan jenis yang sama sekali baru. Konsep paradoks itu sendiri tidak begitu pasti sehingga memungkinkan untuk menyusun daftar paradoks yang setidaknya sudah diketahui.

“Paradoks teori himpunan adalah masalah yang sangat serius, bukan untuk matematika, tetapi untuk logika dan epistemologi,” tulis matematikawan dan ahli logika Austria K. Gödel. “Logikanya tidak konsisten. Tidak ada paradoks logis,” kata matematikawan D. Bochvar. Perbedaan seperti itu terkadang signifikan, terkadang verbal. Intinya sebagian besar pada apa sebenarnya yang dimaksud dengan paradoks logis.

Keunikan paradoks logis

Fitur penting dari paradoks logis adalah kamus logis.

Paradoks yang logis harus dirumuskan dalam istilah yang logis. Namun, dalam logika tidak ada kriteria yang jelas untuk membagi istilah menjadi logis dan non-logis. Logika, yang berhubungan dengan kebenaran penalaran, berusaha untuk mereduksi konsep-konsep di mana kebenaran kesimpulan yang diterapkan secara praktis bergantung seminimal mungkin. Tetapi minimum ini tidak ditentukan sebelumnya dengan jelas. Selain itu, pernyataan non-logis juga dapat dirumuskan dalam istilah logis. Apakah suatu paradoks tertentu hanya menggunakan premis-premis logis murni, jauh dari selalu mungkin untuk ditentukan dengan jelas.

Paradoks logis tidak dipisahkan secara kaku dari semua paradoks lainnya, seperti halnya paradoks yang terakhir tidak secara jelas dibedakan dari segala sesuatu yang non-paradoks dan konsisten dengan ide-ide yang berlaku.

Pada awal studi tentang paradoks logis, tampaknya mereka dapat dibedakan dengan melanggar beberapa posisi atau aturan logika yang belum dijelajahi. Prinsip lingkaran setan yang diperkenalkan oleh B. Russell sangat aktif dalam mengklaim peran aturan semacam itu. Prinsip ini menyatakan bahwa kumpulan objek tidak dapat berisi anggota yang ditentukan hanya oleh koleksi yang sama.

Semua paradoks memiliki satu kesamaan - penerapan diri, atau sirkularitas. Di masing-masing dari mereka, objek yang dimaksud dicirikan oleh beberapa set objek yang menjadi miliknya. Jika kami memilih, misalnya, orang yang paling licik, kami melakukan ini dengan bantuan populasi orang yang dimiliki orang ini. Dan jika kita mengatakan: "Pernyataan ini salah," kita mengkarakterisasi pernyataan yang menarik bagi kita dengan mengacu pada totalitas semua pernyataan palsu yang menyertakannya.

Dalam semua paradoks, ada penerapan konsep sendiri, yang berarti bahwa ada, seolah-olah, gerakan dalam lingkaran, yang mengarah pada akhirnya ke titik awal. Dalam upaya untuk mengkarakterisasi objek yang menarik bagi kita, kita beralih ke himpunan objek yang menyertakannya. Namun, ternyata, untuk kepastiannya, ia sendiri membutuhkan objek yang dipertimbangkan dan tidak dapat dipahami dengan jelas tanpanya. Dalam lingkaran ini, mungkin, terletak sumber paradoks.

Situasinya rumit, bagaimanapun, oleh fakta bahwa lingkaran seperti itu ada dalam banyak argumen yang sepenuhnya non-paradoks. Edaran adalah banyak sekali yang paling umum, tidak berbahaya dan pada saat yang sama cara yang nyaman ekspresi. Contoh-contoh seperti "yang terbesar dari semua kota", "yang terkecil dari semua bilangan asli", "salah satu elektron dari atom besi", dll., menunjukkan bahwa tidak setiap kasus penerapan-diri mengarah pada kontradiksi dan itu penting tidak hanya dalam bahasa biasa tetapi juga dalam bahasa sains.

Dengan demikian, referensi belaka untuk penggunaan konsep yang dapat diterapkan sendiri tidak cukup untuk mendiskreditkan paradoks. Beberapa kriteria tambahan diperlukan untuk memisahkan penerapan diri, yang mengarah ke paradoks, dari semua kasus lainnya.

Ada banyak usulan untuk efek ini, tetapi tidak ada klarifikasi yang berhasil tentang sirkularitas yang ditemukan. Ternyata tidak mungkin untuk mengkarakterisasi sirkularitas sedemikian rupa sehingga setiap penalaran melingkar mengarah ke paradoks, dan setiap paradoks adalah hasil dari beberapa penalaran melingkar.

Upaya untuk menemukan beberapa prinsip logika tertentu, yang pelanggarannya akan ciri khas semua paradoks logis, tidak mengarah pada sesuatu yang pasti.

Beberapa jenis klasifikasi paradoks tidak diragukan lagi akan berguna, membaginya ke dalam jenis dan tipe, mengelompokkan beberapa paradoks dan menentangnya dengan yang lain. Namun, tidak ada yang berkelanjutan telah dicapai dalam kasus ini juga.

Ahli logika Inggris F. Ramsey, yang meninggal pada tahun 1930, ketika dia belum berusia dua puluh tujuh tahun, mengusulkan untuk membagi semua paradoks menjadi sintaksis dan semantik. Yang pertama mencakup, misalnya, paradoks Russell, yang kedua - paradoks "Pembohong", Grelling, dll.

Menurut Ramsey, paradoks kelompok pertama hanya berisi konsep-konsep yang termasuk logika atau matematika. Yang terakhir mencakup konsep-konsep seperti "kebenaran", "dapat didefinisikan", "penamaan", "bahasa", yang tidak sepenuhnya matematika, melainkan terkait dengan linguistik atau bahkan teori pengetahuan. Paradoks semantik tampaknya muncul bukan karena kesalahan logika, tetapi karena ketidakjelasan atau ambiguitas beberapa konsep non-logis, oleh karena itu masalah yang mereka ajukan menyangkut bahasa dan harus dipecahkan oleh linguistik.

Tampaknya bagi Ramsey bahwa matematikawan dan ahli logika tidak perlu tertarik pada paradoks semantik. Belakangan ternyata, bagaimanapun, bahwa beberapa hasil paling signifikan dari logika modern diperoleh secara tepat sehubungan dengan studi yang lebih dalam tentang paradoks non-logis ini.

Pembagian paradoks yang diusulkan oleh Ramsey digunakan secara luas pada awalnya dan tetap penting bahkan sampai sekarang. Pada saat yang sama, menjadi semakin jelas bahwa pembagian ini agak kabur dan terutama bergantung pada contoh, dan bukan pada analisis komparatif mendalam dari dua kelompok paradoks. Konsep semantik sekarang didefinisikan dengan baik, dan sulit untuk tidak mengenali bahwa konsep ini memang logis. Dengan perkembangan semantik, yang mendefinisikan konsep dasarnya dalam kerangka teori himpunan, perbedaan yang dibuat oleh Ramsey semakin kabur.

Paradoks dan Logika Modern

Kesimpulan apa untuk logika mengikuti dari adanya paradoks?

Pertama-tama, kehadiran sejumlah besar paradoks berbicara tentang kekuatan logika sebagai ilmu, dan bukan kelemahannya, seperti yang terlihat.

Bukan kebetulan bahwa penemuan paradoks bertepatan dengan periode perkembangan logika modern yang paling intensif dan kesuksesan terbesarnya.

Paradoks pertama ditemukan bahkan sebelum munculnya logika sebagai ilmu khusus. Banyak paradoks ditemukan pada Abad Pertengahan. Namun, kemudian, mereka ternyata dilupakan dan ditemukan kembali di abad kita.

Ahli logika abad pertengahan tidak menyadari konsep "set" dan "elemen dari himpunan", yang diperkenalkan ke sains hanya pada paruh kedua abad ke-19. Tetapi bakat untuk paradoks diasah di Abad Pertengahan sedemikian rupa sehingga pada masa awal itu kekhawatiran tertentu diungkapkan tentang konsep yang dapat diterapkan sendiri. Contoh paling sederhana dari ini adalah gagasan "menjadi elemen sendiri" yang muncul di banyak paradoks hari ini.

Namun, ketakutan seperti itu, seperti semua peringatan tentang paradoks pada umumnya, tidak sistematis dan pasti sampai abad kita. Mereka tidak mengarah pada proposal yang jelas untuk meninjau kembali cara berpikir dan mengekspresikan kebiasaan.

Hanya logika modern yang telah menghilangkan masalah paradoks, menemukan atau menemukan kembali sebagian besar paradoks logis tertentu. Dia lebih lanjut menunjukkan bahwa cara berpikir yang secara tradisional dieksplorasi oleh logika sama sekali tidak cukup untuk menghilangkan paradoks, dan secara fundamental menunjukkan metode baru untuk menghadapinya.

Pose paradoks pertanyaan penting: pada kenyataannya, apa yang membuat kita gagal dalam beberapa metode pembentukan konsep dan penalaran yang biasa? Bagaimanapun, mereka tampak benar-benar alami dan meyakinkan, sampai ternyata mereka paradoks.

Paradoks melemahkan keyakinan bahwa metode kebiasaan pemikiran teoretis sendiri dan tanpa kontrol khusus atas mereka memberikan kemajuan yang dapat diandalkan menuju kebenaran.

Membutuhkan perubahan radikal dalam pendekatan yang terlalu mudah tertipu untuk berteori, paradoks adalah kritik keras terhadap logika dalam bentuknya yang naif dan intuitif. Mereka memainkan peran sebagai faktor yang mengontrol dan membatasi cara membangun sistem logika deduktif. Dan peran mereka ini dapat dibandingkan dengan peran eksperimen yang menguji kebenaran hipotesis dalam ilmu seperti fisika dan kimia, dan memaksa mereka untuk membuat perubahan pada hipotesis ini.

Sebuah paradoks dalam sebuah teori berbicara tentang ketidakcocokan asumsi yang mendasarinya. Ini bertindak sebagai gejala penyakit yang terdeteksi tepat waktu, yang tanpanya bisa diabaikan.

Tentu saja, penyakit ini memanifestasikan dirinya dalam banyak cara, dan pada akhirnya adalah mungkin untuk mengungkapkannya tanpa gejala akut seperti paradoks. Misalnya, dasar-dasar teori himpunan akan dianalisis dan disempurnakan bahkan jika tidak ada paradoks di bidang ini yang ditemukan. Tetapi tidak akan ada ketajaman dan urgensi yang dengannya paradoks yang ditemukan di dalamnya mengangkat masalah merevisi teori himpunan.

Literatur yang luas dikhususkan untuk paradoks, diusulkan jumlah besar penjelasan mereka. Tapi tak satu pun dari penjelasan ini diterima secara universal, dan entah bagaimana persetujuan penuh dalam pertanyaan tentang asal usul paradoks dan cara menghilangkannya, tidak.

“Selama enam puluh tahun terakhir, ratusan buku dan artikel telah dikhususkan untuk tujuan menyelesaikan paradoks, tetapi hasilnya sangat buruk dibandingkan dengan upaya yang dikeluarkan,” tulis A. Frenkel. “Sepertinya,” H. Curry menyimpulkan analisisnya tentang paradoks, “bahwa diperlukan reformasi logika yang lengkap, dan logika matematika dapat menjadi alat utama untuk melakukan reformasi ini.”

Penghapusan dan penjelasan paradoks

Satu perbedaan penting harus diperhatikan.

Menghilangkan paradoks dan menyelesaikannya bukanlah hal yang sama. Menghapus paradoks dari teori tertentu berarti merestrukturisasinya sedemikian rupa sehingga pernyataan paradoks itu ternyata tidak dapat dibuktikan di dalamnya. Setiap paradoks bergantung pada sejumlah besar definisi, asumsi, dan argumen. Kesimpulannya dalam teori adalah rantai penalaran tertentu. Berbicara secara formal, seseorang dapat mempertanyakan salah satu tautannya, membuangnya, dan dengan demikian memutuskan rantai dan menghilangkan paradoks. Dalam banyak karya, ini dilakukan dan terbatas pada ini.

Tapi ini belum menyelesaikan paradoks. Tidaklah cukup untuk menemukan cara untuk mengecualikannya; seseorang harus secara meyakinkan membenarkan solusi yang diusulkan. Keraguan akan beberapa langkah yang mengarah pada paradoks harus beralasan.

Pertama-tama, keputusan untuk mengabaikan tertentu cara logis, yang digunakan dalam derivasi pernyataan paradoks, harus dikaitkan dengan pertimbangan umum kita mengenai sifat bukti logis dan intuisi logis lainnya. Jika hal ini tidak terjadi, penghapusan paradoks ternyata tidak memiliki dasar yang kokoh dan stabil dan merosot menjadi tugas teknis yang dominan.

Selain itu, penolakan terhadap beberapa asumsi, bahkan jika itu memberikan penghapusan beberapa paradoks tertentu, tidak secara otomatis menjamin penghapusan semua paradoks. Hal ini menunjukkan bahwa paradoks tidak boleh "diburu" satu per satu. Pengecualian salah satunya harus selalu dibenarkan sehingga ada jaminan tertentu bahwa paradoks lain akan dihilangkan dengan langkah yang sama.

Setiap kali paradoks ditemukan, A. Tarsky menulis, “kita harus merevisi cara berpikir kita secara menyeluruh, menolak beberapa asumsi yang kita yakini, dan memperbaiki metode argumentasi yang kita gunakan. Kami melakukan ini dalam upaya tidak hanya untuk menghilangkan antinomi, tetapi juga untuk mencegah munculnya yang baru.

Dan akhirnya, penolakan yang keliru dan ceroboh terhadap terlalu banyak atau terlalu kuat asumsi dapat dengan mudah mengarah pada apa yang ternyata, meskipun tidak mengandung paradoks, tetapi lebih banyak lagi. teori lemah hanya dengan kepentingan pribadi.

Apa yang bisa menjadi tindakan minimum dan paling tidak radikal untuk menghindari paradoks yang diketahui?

Tata bahasa logis

Salah satu caranya adalah dengan memilih, bersama dengan kalimat benar dan salah, juga kalimat yang tidak berarti. Jalan ini diadopsi oleh B. Russell. Penalaran paradoks dinyatakan olehnya tidak berarti dengan alasan bahwa mereka melanggar persyaratan tata bahasa logis. Tidak setiap kalimat yang tidak melanggar aturan tata bahasa biasa bermakna - kalimat itu juga harus memenuhi aturan tata bahasa yang khusus dan logis.

Russell membangun teori tipe logis, semacam tata bahasa logis, yang tugasnya adalah menghilangkan semua antinomi yang diketahui. Selanjutnya, teori ini secara substansial disederhanakan dan disebut teori tipe sederhana.

Gagasan utama teori tipe adalah alokasi tipe objek yang berbeda secara logis, pengenalan semacam hierarki, atau tangga, dari objek yang dipertimbangkan. Jenis terendah, atau nol, mencakup objek individual yang bukan kumpulan. Tipe pertama mencakup kumpulan objek bertipe nol, mis. individu; ke yang kedua - set set individu, dll. Dengan kata lain, perbedaan dibuat antara objek, properti objek, properti properti objek, dll. Pada saat yang sama, pembatasan tertentu diperkenalkan pada konstruksi proposal. Properti dapat dikaitkan dengan objek, properti dari properti ke properti, dan seterusnya. Tetapi tidak mungkin untuk menyatakan secara bermakna bahwa objek memiliki properti properti.

Mari kita ambil serangkaian saran:

Rumah ini berwarna merah.

Merah adalah warna.

Warna adalah fenomena optik.

Dalam kalimat ini, ungkapan "rumah ini" mengacu pada objek tertentu, kata "merah" menunjukkan properti yang melekat pada Subjek ini, "menjadi warna" - pada properti properti ini ("menjadi merah") dan "menjadi fenomena optik” - menunjuk ke properti dari properti "menjadi warna", yang termasuk dalam properti "berwarna merah". Di sini kita tidak hanya berurusan dengan objek dan propertinya, tetapi juga dengan properti properti (“properti merah memiliki properti warna”), dan bahkan dengan properti properti properti.

Ketiga kalimat dari rangkaian di atas tentu saja bermakna. Mereka dibangun sesuai dengan persyaratan teori tipe. Dan katakanlah kalimat "Rumah ini berwarna" melanggar persyaratan ini. Ini menganggap objek itu karakteristik yang hanya dapat dimiliki oleh properti, tetapi tidak pada objek. Pelanggaran serupa terdapat dalam kalimat "Rumah ini adalah fenomena optik". Kedua proposal ini harus diklasifikasikan sebagai tidak berarti.

Sebuah teori sederhana tentang tipe menghilangkan paradoks Russell. Namun, untuk menghilangkan paradoks Pembohong dan Berry, membagi objek yang sedang dipertimbangkan menjadi tipe saja tidak lagi cukup. Hal ini diperlukan untuk memperkenalkan beberapa pemesanan tambahan dalam jenis itu sendiri.

Penghapusan paradoks juga dapat dicapai dengan menghindari penggunaan himpunan yang terlalu besar, mirip dengan himpunan semua himpunan. Jalur ini diusulkan oleh matematikawan Jerman E. Zermelo, yang menghubungkan penampilan paradoks dengan konstruksi himpunan yang tidak terbatas. Himpunan yang dapat diterima didefinisikan olehnya oleh beberapa daftar aksioma yang dirumuskan sedemikian rupa sehingga paradoks yang diketahui tidak dapat disimpulkan darinya. Pada saat yang sama, aksioma-aksioma ini cukup kuat untuk menyimpulkan dari mereka argumen-argumen matematika klasik yang biasa, tetapi tanpa paradoks.

Baik kedua cara ini maupun cara lain yang diusulkan untuk menghilangkan paradoks tidak diterima secara umum. Tidak ada konsensus bahwa salah satu teori yang diusulkan memungkinkan paradoks logis daripada membuangnya begitu saja tanpa penjelasan yang mendalam. Masalah menjelaskan paradoks masih terbuka dan masih penting.

Masa depan paradoks

G.Frege, ahli logika terhebat abad lalu, sayangnya, sangat karakter buruk. Selain itu, ia tanpa pamrih dan bahkan kejam terhadap kritiknya terhadap orang-orang sezamannya.

Mungkin itu sebabnya kontribusinya pada logika dan dasar matematika tidak mendapat pengakuan untuk waktu yang lama. Dan ketika ketenaran mulai datang kepadanya, ahli logika muda Inggris B. Russell menulis kepadanya bahwa kontradiksi muncul dalam sistem yang diterbitkan dalam volume pertama bukunya The Fundamental Laws of Arithmetic. Volume kedua dari buku ini sudah dicetak, dan Frege hanya bisa menambahkannya aplikasi khusus, di mana ia menguraikan kontradiksi ini (kemudian disebut "paradoks Russell") dan mengakui bahwa ia tidak dapat menghilangkannya.

Namun, konsekuensi dari pengakuan ini sangat tragis bagi Frege. Dia mengalami kejutan terbesar. Dan meskipun dia baru berusia 55 tahun, dia tidak menerbitkan karya lain yang signifikan tentang logika, meskipun dia hidup selama lebih dari dua puluh tahun. Dia bahkan tidak menanggapi diskusi hidup yang disebabkan oleh paradoks Russell, dan tidak bereaksi dengan cara apa pun terhadap banyak solusi yang diusulkan untuk paradoks ini.

Kesan yang dibuat pada ahli matematika dan ahli logika oleh paradoks yang baru ditemukan diungkapkan dengan baik oleh D. Hilbert: lama tak tertahankan. Pikirkan tentang ini: dalam matematika - model kepastian dan kebenaran itu - pembentukan konsep dan arah kesimpulan, ketika semua orang mempelajari, mengajar, dan menerapkannya, mengarah pada absurditas. Di mana mencari keandalan dan kebenaran, bahkan jika berpikir matematis macet?"

Frege adalah perwakilan logika yang khas terlambat XIX abad, bebas dari paradoks, logika, percaya diri pada kemampuannya dan mengklaim sebagai kriteria ketelitian bahkan untuk matematika. Paradoks-paradoks tersebut menunjukkan bahwa ketegasan mutlak yang dicapai oleh logika yang dianggap tidak lebih dari ilusi. Mereka tidak dapat disangkal menunjukkan bahwa logika - dalam bentuk intuitif yang dimilikinya pada pergantian abad - membutuhkan revisi mendalam.

Sekitar satu abad telah berlalu sejak diskusi yang hidup tentang paradoks dimulai. Namun, revisi logika yang dilakukan tidak mengarah pada resolusi yang jelas.

Dan pada saat yang sama, keadaan seperti itu hampir tidak menjadi perhatian siapa pun hari ini. Seiring waktu, sikap terhadap paradoks menjadi lebih tenang dan bahkan lebih toleran daripada saat ditemukan. Bukan hanya paradoks yang menjadi sesuatu yang akrab. Dan, tentu saja, bukan karena mereka tahan dengan mereka. Mereka masih menjadi pusat perhatian para ahli logika, pencarian solusi mereka terus berlanjut. Situasi berubah terutama karena paradoks itu ternyata, bisa dikatakan, terlokalisasi. Mereka menemukan tempat mereka yang pasti, meskipun bermasalah, di jarak yang lebar penelitian logis. Menjadi jelas bahwa penghematan mutlak, seperti yang digambarkan pada akhir abad terakhir dan bahkan kadang-kadang pada awal abad ini, pada prinsipnya adalah cita-cita yang tidak dapat dicapai.

Disadari pula bahwa tidak ada satu pun masalah paradoks yang berdiri sendiri. Masalah yang terkait dengannya memiliki jenis dan pengaruh yang berbeda, pada kenyataannya, semua bagian utama logika. Penemuan sebuah paradoks memaksa kita untuk menganalisis intuisi logis kita lebih dalam dan terlibat dalam pengerjaan ulang yang sistematis dari dasar-dasar ilmu logika. Pada saat yang sama, keinginan untuk menghindari paradoks bukanlah satu-satunya, atau bahkan, mungkin, tugas utama. Meskipun penting, itu hanya kesempatan untuk refleksi tema sentral logika. Melanjutkan perbandingan paradoks dengan gejala penyakit yang sangat menonjol, dapat dikatakan bahwa keinginan untuk segera menghilangkan paradoks akan seperti keinginan untuk menghilangkan gejala tersebut tanpa banyak memperhatikan penyakit itu sendiri. Yang dibutuhkan bukan hanya penyelesaian paradoks, tetapi penjelasannya, yang memperdalam pemahaman kita tentang pola berpikir logis.

7. Beberapa paradoks, atau apa yang tampak seperti itu

Dan untuk menyimpulkan diskusi singkat tentang paradoks logis ini, berikut adalah beberapa masalah yang berguna untuk direnungkan oleh pembaca. Penting untuk memutuskan apakah pernyataan dan alasan yang diberikan benar-benar paradoks logis atau hanya tampak seperti itu. Untuk melakukan ini, jelas, seseorang harus entah bagaimana merestrukturisasi bahan sumber dan mencoba untuk mendapatkan kontradiksi darinya: baik penegasan dan penolakan hal yang sama tentang hal yang sama. Jika paradoks ditemukan, Anda dapat memikirkan apa yang menyebabkan terjadinya dan bagaimana menghilangkannya. Anda bahkan dapat mencoba membuat paradoks Anda sendiri dengan tipe yang sama, mis. dibangun menurut skema yang sama, tetapi atas dasar konsep lain.

1. Orang yang mengatakan: "Saya tidak tahu apa-apa" membuat pernyataan yang tampaknya paradoks dan kontradiktif. Dia menyatakan, pada dasarnya, "Saya tahu bahwa saya tidak tahu apa-apa." Tetapi pengetahuan yang tidak ada pengetahuan tetaplah pengetahuan. Ini berarti bahwa pembicara, di satu sisi, memastikan bahwa dia tidak memiliki pengetahuan apa pun, dan di sisi lain, dengan pernyataan ini dia mengatakan bahwa dia memiliki beberapa pengetahuan. Ada apa di sini?

Merefleksikan kesulitan ini, dapat diingat bahwa Socrates mengungkapkan ide serupa dengan lebih hati-hati. Dia berkata: "Saya hanya tahu bahwa saya tidak tahu apa-apa." Tapi yang lain Yunani kuno, Metrodorus, menegaskan dengan keyakinan penuh: "Saya tidak tahu apa-apa dan saya bahkan tidak tahu bahwa saya tidak tahu apa-apa." Apakah ada paradoks dalam pernyataan ini?

2. Peristiwa sejarah itu unik. Sejarah, jika berulang, adalah, menurut ungkapan yang terkenal, pertama kali seperti tragedi, dan yang kedua seperti lelucon. Di luar orisinalitas kejadian bersejarah terkadang muncul ide bahwa sejarah tidak mengajarkan apa-apa. "Mungkin, pelajaran terbesar Sejarah, - tulis O. Huxley, - benar-benar terdiri dari fakta bahwa tak seorang pun pernah belajar sesuatu dari sejarah.

Tidak mungkin ide ini benar. Masa lalu adalah apa yang dipelajari terutama untuk lebih memahami masa kini dan masa depan. Hal lain adalah bahwa "pelajaran" dari masa lalu, sebagai suatu peraturan, bersifat ambigu.

Bukankah keyakinan bahwa sejarah tidak mengajarkan sesuatu pun bertentangan dengan diri sendiri? Bagaimanapun, itu sendiri mengikuti dari sejarah sebagai salah satu pelajarannya. Bukankah lebih baik bagi para pendukung ide ini untuk merumuskannya sedemikian rupa sehingga tidak berlaku untuk diri mereka sendiri: "Sejarah mengajarkan satu-satunya hal - tidak ada yang bisa dipelajari darinya," atau "Sejarah tidak mengajarkan apa-apa selain pelajaran ini. dari dia"?

3. "Membuktikan bahwa tidak ada bukti." Ini tampaknya merupakan pernyataan yang saling bertentangan: itu adalah bukti, atau mengandaikan bukti yang sudah dilakukan ("telah terbukti bahwa ..."), dan pada saat yang sama menegaskan bahwa tidak ada bukti.

Sextus Empiricus skeptis kuno yang terkenal mengusulkan solusi berikut: alih-alih pernyataan di atas, terimalah pernyataan "Telah terbukti bahwa tidak ada bukti selain ini" (atau: "Telah terbukti bahwa tidak ada yang terbukti selain dari ini"). Tapi bukankah jalan keluar ini ilusi? Lagi pula, ditegaskan, pada dasarnya, bahwa hanya ada satu dan satu-satunya bukti - bukti tidak adanya bukti apa pun ("Ada satu dan satu-satunya bukti: bukti bahwa tidak ada bukti lain"). Lalu bagaimana cara kerja pembuktian itu sendiri, jika, dilihat dari pernyataan ini, mungkin untuk melakukannya hanya sekali? Bagaimanapun, pendapat Sextus sendiri tentang nilai bukti tidak terlalu tinggi. Dia menulis, khususnya, ”Sama seperti mereka yang melakukan tanpa bukti adalah benar, demikian pula mereka yang, karena cenderung ragu, mengajukan pendapat yang berlawanan secara tidak berdasar.”

4. "Tidak ada pernyataan negatif", atau lebih sederhana: "Tidak ada pernyataan negatif." Namun, ungkapan ini sendiri adalah pernyataan dan justru negatif. Sepertinya paradoks. Rumusan ulang apa dari pernyataan ini yang dapat menghindari paradoks?

Filsuf abad pertengahan dan ahli logika Zh. Keledai, seperti hewan lainnya, berusaha untuk memilih yang terbaik dari dua hal. Kedua lengan itu sama sekali tidak dapat dibedakan satu sama lain, dan karena itu dia tidak dapat memilih salah satu dari keduanya. Namun, "keledai buridan" ini tidak ada dalam tulisan Buridan sendiri. Dalam logika, Buridan terkenal, dan khususnya untuk bukunya tentang sofisme. Ini berisi kesimpulan berikut, relevan dengan topik kita: tidak ada pernyataan yang negatif; oleh karena itu, ada proposisi negatif. Apakah kesimpulan ini dibenarkan?

5. Deskripsi N.V. Gogol tentang permainan catur Chichikov dengan Nozdrev sudah terkenal. Permainan mereka tidak pernah berakhir, Chichikov memperhatikan bahwa Nozdryov curang dan menolak bermain karena takut kalah. Baru-baru ini, seorang ahli draf merekonstruksi dari komentar mereka yang memainkan jalannya permainan ini dan menunjukkan bahwa posisi Chichikov belum putus asa.

Mari kita asumsikan bahwa Chichikov tetap melanjutkan permainan dan akhirnya memenangkan permainan, terlepas dari tipu daya rekannya. Menurut perjanjian itu, Nozdryov yang kalah harus memberi Chichikov lima puluh rubel dan "anak anjing kelas menengah atau stempel emas untuk arloji." Tetapi Nozdryov kemungkinan besar akan menolak untuk membayar, menunjukkan bahwa dia sendiri yang menipu seluruh permainan, dan bermain tidak sesuai aturan, seolah-olah, bukan permainan. Chichikov mungkin keberatan bahwa berbicara tentang penipuan tidak pada tempatnya di sini: yang kalah sendiri curang, yang berarti dia harus membayar lebih.

Memang, apakah Nozdryov harus membayar dalam situasi seperti itu atau tidak? Di satu sisi, ya, karena dia kalah. Tetapi di sisi lain, tidak, karena permainan yang tidak sesuai dengan aturan bukanlah permainan sama sekali; Tidak ada pemenang atau pecundang dalam "permainan" seperti itu. Jika Chichikov sendiri yang curang, Nozdryov, tentu saja, tidak wajib membayar. Tapi, bagaimanapun, Nozdryov yang kalahlah yang menipu ...

Sesuatu yang paradoks terasa di sini: "di satu sisi ...", "di sisi lain ...", dan, terlebih lagi, di kedua sisi itu sama-sama meyakinkan, meskipun sisi-sisi ini tidak kompatibel.

Haruskah Nozdryov tetap membayar atau tidak?

6. "Setiap aturan memiliki pengecualian." Tapi pernyataan ini sendiri merupakan aturan. Seperti semua aturan lainnya, itu harus memiliki pengecualian. Pengecualian seperti itu jelas akan menjadi aturan "Ada aturan yang tidak memiliki pengecualian." Bukankah ada paradoks dalam segala hal? Manakah dari contoh sebelumnya yang mirip dengan dua aturan ini? Bolehkah bernalar seperti ini: setiap aturan memiliki pengecualian; Apakah itu berarti ada aturan tanpa pengecualian?

7. "Setiap generalisasi itu salah." Jelaslah bahwa pernyataan ini merangkum pengalaman operasi mental generalisasi dan itu sendiri merupakan generalisasi. Seperti semua generalisasi lainnya, itu pasti salah. Jadi, harus ada generalisasi yang benar. Namun, benarkah berargumen seperti ini: setiap generalisasi salah, jadi ada generalisasi yang benar?

8. Seorang penulis tertentu telah menyusun sebuah "Epitaph untuk Semua Genre" yang dirancang untuk membuktikan bahwa genre sastra, perbedaan antara yang menyebabkan begitu banyak kontroversi, sudah mati dan tidak dapat diingat.

Tetapi batu nisan, sementara itu, juga merupakan genre dengan cara tertentu, genre prasasti batu nisan, yang berkembang pada zaman kuno dan memasuki sastra sebagai semacam epigram:

Di sini saya beristirahat: Jimmy Hogg.
Semoga Allah mengampuni dosa-dosaku,
Apa yang akan saya lakukan jika saya adalah Tuhan
Dan dia adalah mendiang Jimmy Hogg.

Jadi batu nisan untuk semua genre, tanpa kecuali, berdosa seolah-olah tidak konsisten. Apa cara terbaik untuk merumuskannya kembali?

9. "Jangan pernah katakan tidak pernah." Melarang penggunaan kata "tidak pernah", Anda harus menggunakan kata ini dua kali!

Hal yang sama tampaknya terjadi pada nasihat: "Sudah waktunya bagi mereka yang mengatakan 'sudah waktunya' untuk mengatakan sesuatu selain 'sudah waktunya'."

Apakah ada inkonsistensi yang aneh dalam nasihat seperti itu, dan dapatkah itu dihindari?

10. Dalam puisi "Jangan percaya", yang diterbitkan, tentu saja, di bagian "Puisi Ironis", penulisnya merekomendasikan untuk tidak percaya pada apa pun:

... Jangan percaya pada kekuatan magis api:
Itu terbakar saat kayu bakar ditempatkan di dalamnya.
Jangan percaya pada kuda bersurai emas
Bukan untuk roti jahe manis!
Jangan percaya kawanan bintang itu
Bergegas dalam angin puyuh tak berujung.
Tapi apa yang tersisa untukmu?
Jangan percaya apa yang saya katakan.
Jangan percaya.

(V. Prudovsky)

Tetapi apakah ketidakpercayaan umum ini nyata? Rupanya, itu kontradiktif dan, oleh karena itu, secara logis tidak mungkin.

11. Misalkan, bertentangan dengan kepercayaan umum, masih ada orang yang tidak menarik. Mari kita kumpulkan mereka secara mental dan pilih di antara mereka yang paling kecil tingginya, atau paling berat, atau "paling banyak ..." lainnya. Orang ini akan menarik untuk dilihat, jadi kita tidak perlu memasukkannya ke dalam daftar orang yang tidak menarik. Setelah mengecualikannya, kita akan kembali menemukan di antara yang tersisa "yang sangat ..." dalam arti yang sama, dan seterusnya. Dan semua ini sampai hanya ada satu orang yang tersisa tanpa siapa pun untuk dibandingkan. Tapi ternyata inilah yang dia minati! Akibatnya, kami sampai pada kesimpulan bahwa orang yang tidak menarik tidak. Dan argumen dimulai dengan fakta bahwa orang-orang seperti itu ada.

Seseorang dapat, khususnya, mencoba menemukan di antara orang-orang yang tidak menarik, yang paling tidak menarik dari semua yang tidak menarik. Dalam hal ini dia pasti akan menarik, dan dia harus dikeluarkan dari orang-orang yang tidak menarik. Di antara yang lain, sekali lagi, ada yang paling tidak menarik, dan seterusnya.

Pasti ada sentuhan paradoks dalam argumen ini. Apakah ada kesalahan di sini, dan jika demikian, apa itu?

12. Katakanlah Anda diberi selembar kertas kosong dan diperintahkan untuk menggambarkan lembar ini di atasnya. Anda menulis: ini adalah daun bentuk persegi panjang, putih, dari ukuran ini dan itu, dibuat dari serat kayu tekan, dll.

Deskripsinya sepertinya lengkap. Tapi itu jelas tidak lengkap! Dalam proses deskripsi, objek berubah: teks muncul di atasnya. Oleh karena itu, perlu juga menambahkan deskripsi: dan selain itu, pada selembar kertas ini tertulis: ini adalah selembar bentuk persegi panjang, putih ... dll. hingga tak terbatas.

Sepertinya paradoks di sini, bukan?

Sebuah sajak anak-anak yang terkenal:

Pendeta itu punya anjing
Dia mencintainya
Dia makan sepotong daging
Dia membunuhnya.
Dibunuh dan dikubur
Dan di papan tulis dia menulis:
"Pendeta punya anjing ..."

Bisakah pop pecinta anjing ini menyelesaikan batu nisannya? Bukankah susunan prasasti ini mengingatkan Deskripsi lengkap selembar kertas di atasnya?

13. Seorang penulis memberikan nasihat "halus" ini: "Jika trik kecil tidak memungkinkan Anda mencapai apa yang Anda inginkan, gunakan trik besar." Saran ini ditawarkan di bawah judul "Trik perdagangan". Tapi apakah dia benar-benar salah satu dari trik itu? Lagi pula, "trik kecil" tidak membantu, dan hanya untuk alasan ini Anda harus menggunakan saran ini.

14. Kami menyebut permainan normal jika berakhir dengan jumlah gerakan yang terbatas. Contoh permainan normal adalah catur, catur, domino: permainan ini selalu berakhir dengan kemenangan salah satu pihak, atau seri. Permainan, yang tidak normal, berlanjut tanpa batas tanpa hasil apa pun. Mari kita juga memperkenalkan gagasan supergame: langkah pertama dari game semacam itu adalah menentukan game mana yang harus dimainkan. Jika, misalnya, Anda dan saya berniat memainkan permainan super dan saya memiliki langkah pertama, saya dapat mengatakan, "Ayo bermain catur." Kemudian Anda sebagai tanggapan melakukan langkah pertama permainan catur, katakanlah, e2 - e4, dan kami melanjutkan permainan sampai berakhir (khususnya, karena berakhirnya waktu yang ditentukan oleh peraturan turnamen). Sebagai langkah pertama saya, saya dapat menyarankan bermain tic-tac-toe dan sejenisnya. Tapi game yang saya pilih harus normal; Anda tidak dapat memilih permainan yang tidak normal.

Masalah muncul: apakah supergame itu sendiri normal atau tidak? Mari kita asumsikan bahwa ini adalah permainan biasa. Karena dia bisa memilih salah satu game normal sebagai langkah pertamanya, aku bisa bilang, "Ayo main game super." Setelah itu, permainan super telah dimulai, dan langkah selanjutnya adalah milik Anda. Anda berhak mengatakan: "Ayo main game super." Saya dapat mengulangi: "Ayo mainkan game super" dan dengan demikian prosesnya dapat berlanjut tanpa batas. Oleh karena itu, supergame tidak berlaku untuk game biasa. Tetapi karena fakta bahwa supergame tidak normal, saya tidak dapat menyarankan supergame dengan langkah pertama saya di supergame; Saya harus memilih permainan biasa. Tetapi pilihan permainan normal yang memiliki akhir bertentangan dengan fakta yang terbukti bahwa supergame bukan milik yang normal.

Jadi, apakah supergame itu game biasa atau tidak?

Dalam mencoba menjawab pertanyaan ini, tentu saja, seseorang tidak boleh mengikuti jalan yang mudah dari pembedaan yang murni verbal. Cara paling sederhana adalah dengan mengatakan bahwa game normal adalah game, dan game super hanyalah lelucon.

Paradoks apa lagi yang diingatkan oleh paradoks supergame ini sebagai normal dan abnormal?

literatur

Bayif J.K. Tugas logika. -M., 1983.

Bourbaki N. Esai tentang sejarah matematika. -M., 1963.

Gardner M. Ayo tebak! – M.: 1984.

Ivin A.A. Menurut hukum logika. -M., 1983.

Klini S.K. Logika matematika. -M., 1973.

Kecil R.M. Apa nama buku ini? – M.: 1982.

Kecil R.M. Putri atau harimau? – M.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Dasar-dasar teori himpunan. - M., 1966.

pertanyaan tes

Apa pentingnya paradoks bagi logika?

Solusi apa yang diusulkan untuk paradoks pembohong?

Apa saja ciri-ciri bahasa yang tertutup secara semantik?

Apa inti dari paradoks dari banyak himpunan biasa?

Apakah ada solusi untuk perselisihan antara Protagoras dan Euathlus? Solusi apa yang diusulkan untuk perselisihan ini?

Apa inti dari paradoks nama yang tidak tepat?

Apa yang bisa menjadi kekhasan paradoks logis?

Kesimpulan apa yang mengikuti logika dari adanya paradoks logis?

Apa perbedaan antara menghilangkan dan menjelaskan paradoks? Apa masa depan paradoks logis?

Topik abstrak dan laporan

Konsep paradoks logis

Paradoks Pembohong

paradoks Russell

Paradoks "Protagoras dan Euathlus"

Peran paradoks dalam pengembangan logika

Prospek untuk menyelesaikan paradoks

Perbedaan antara bahasa dan metabahasa

Penghapusan dan penyelesaian paradoks

1 Oktober 2014

Para ilmuwan dan pemikir telah lama senang menghibur diri mereka sendiri dan rekan-rekan mereka dengan menetapkan masalah yang tak terpecahkan dan merumuskan segala macam paradoks. Beberapa dari eksperimen pemikiran ini tetap relevan selama ribuan tahun, yang menunjukkan ketidaksempurnaan banyak model ilmiah populer dan "lubang" dalam teori yang diterima secara umum yang telah lama dianggap fundamental.

Kami mengundang Anda untuk merenungkan paradoks yang paling menarik dan menakjubkan, yang, seperti yang mereka katakan sekarang, "meledakkan otak" lebih dari satu generasi ahli logika, filsuf, dan matematikawan.

1. Aporia "Achilles dan kura-kura"

Paradoks Achilles dan kura-kura adalah salah satu paradoks (pernyataan yang benar secara logis, tetapi bertentangan) yang dirumuskan oleh filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea pada abad ke-5 SM. Esensinya adalah sebagai berikut: pahlawan legendaris Achilles memutuskan untuk bersaing dalam berlari dengan kura-kura. Seperti yang Anda ketahui, kecepatan kura-kura tidak berbeda, jadi Achilles memberi lawan jarak awal 500 m. Ketika kura-kura mengatasi jarak ini, pahlawan mulai mengejar dengan kecepatan 10 kali lebih besar, yaitu, kura-kura merangkak 50 m , Achilles berhasil menjalankan start awal 500 m yang diberikan . Kemudian pelari mengatasi 50 m berikutnya, tetapi saat ini kura-kura merangkak kembali 5 m, tampaknya Achilles akan mengejarnya, tetapi lawannya masih di depan dan saat dia berlari 5 m, dia berhasil maju setengah meter lagi dan seterusnya. Jarak di antara mereka berkurang tanpa batas, tetapi secara teori, pahlawan tidak pernah berhasil mengejar kura-kura yang lambat, itu tidak jauh, tetapi selalu di depannya.

© www.student31.ru

Tentu saja, dari sudut pandang fisika, paradoks itu tidak masuk akal - jika Achilles bergerak lebih cepat, dia akan tetap maju, namun, Zeno, pertama-tama, ingin menunjukkan dengan alasannya bahwa konsep matematika yang diidealkan dari "titik dalam ruang" dan "momen waktu" tidak terlalu cocok untuk penerapan yang benar pada gerak nyata. Aporia mengungkapkan perbedaan antara gagasan yang masuk akal secara matematis bahwa interval ruang dan waktu yang tidak nol dapat dibagi tanpa batas (jadi kura-kura harus selalu berada di depan) dan kenyataan di mana sang pahlawan, tentu saja, memenangkan perlombaan.

2. Paradoks putaran waktu

Penjelajah Waktu Baru oleh David Toomey

Paradoks yang menggambarkan perjalanan waktu telah lama menjadi sumber inspirasi bagi penulis fiksi ilmiah dan pembuat film dan acara TV fiksi ilmiah. Ada beberapa varian paradoks putaran waktu, salah satu contoh paling sederhana dan paling ilustratif dari masalah seperti itu diberikan dalam bukunya The New Time Travelers oleh David Toomey, seorang profesor di University of Massachusetts.

Bayangkan seorang penjelajah waktu telah membeli salinan Hamlet Shakespeare dari toko buku. Kemudian dia pergi ke Inggris pada masa Perawan Ratu Elizabeth I dan, setelah menemukan William Shakespeare, memberinya sebuah buku. Dia menulis ulang dan menerbitkannya sebagai karyanya sendiri. Ratusan tahun berlalu, Hamlet diterjemahkan ke dalam lusinan bahasa, dicetak ulang tanpa henti, dan salah satu salinannya berakhir di toko buku tempat penjelajah waktu membelinya dan memberikannya kepada Shakespeare, yang membuat salinannya, dan seterusnya... Siapa yang harus diperhitungkan dalam kasus ini?penulis tragedi abadi?

3. Paradoks perempuan dan laki-laki

Martin Gardner / © www.post-gazette.com

Dalam teori probabilitas, paradoks ini juga disebut "Anak-anak Tuan Smith" atau "Masalah Nyonya Smith". Ini pertama kali dirumuskan oleh ahli matematika Amerika Martin Gardner dalam salah satu edisi majalah Scientific American. Para ilmuwan telah berdebat tentang paradoks selama beberapa dekade, dan ada beberapa cara untuk menyelesaikannya. Setelah memikirkan masalahnya, Anda dapat menawarkan versi Anda sendiri.

Keluarga itu memiliki dua anak dan diketahui dengan pasti bahwa salah satunya adalah laki-laki. Berapa peluang bahwa anak kedua juga laki-laki? Sepintas, jawabannya cukup jelas - 50 hingga 50, apakah dia benar-benar laki-laki atau perempuan, peluangnya harus sama. Masalahnya adalah bahwa untuk keluarga dengan dua anak, ada empat kemungkinan kombinasi jenis kelamin anak-anak - dua anak perempuan, dua anak laki-laki, seorang anak laki-laki yang lebih tua dan seorang anak perempuan yang lebih muda, dan sebaliknya - seorang anak perempuan yang lebih tua dan seorang anak laki-laki yang lebih muda. Yang pertama dapat dikecualikan, karena salah satu anak pasti laki-laki, tetapi dalam kasus ini ada tiga kemungkinan pilihan, bukan dua, dan kemungkinan anak kedua juga laki-laki adalah satu dari tiga.

4. Paradoks kartu Jourdain

Masalah yang diajukan oleh ahli logika dan matematika Inggris Philippe Jourdain pada awal abad ke-20 dapat dianggap sebagai salah satu jenis paradoks pembohong yang terkenal.

Philippe Jourdain

Bayangkan - Anda memegang kartu pos di tangan Anda, yang mengatakan: "Persetujuan untuk sisi sebaliknya kartu pos benar. Membalik kartu akan mengungkapkan frasa "Pernyataan di sisi lain salah." Seperti yang Anda pahami, ada kontradiksi: jika pernyataan pertama benar, maka yang kedua juga benar, tetapi dalam kasus ini yang pertama pasti salah. Jika sisi pertama kartu pos salah, maka kalimat di sisi kedua juga tidak bisa dianggap benar, artinya pernyataan pertama menjadi benar lagi... Versi yang lebih menarik dari paradoks pembohong ada di paragraf berikutnya.

5. Sofisme "Buaya"

Seorang ibu dengan seorang anak sedang berdiri di tepi sungai, tiba-tiba seekor buaya berenang ke arah mereka dan menyeret anak itu ke dalam air. Ibu yang tidak dapat dihibur itu meminta untuk mengembalikan anaknya, dan buaya menjawab bahwa dia setuju untuk mengembalikannya dengan selamat dan sehat jika wanita itu menjawab pertanyaannya dengan benar: "Apakah dia akan mengembalikan anaknya?" Jelas bahwa seorang wanita memiliki dua jawaban - ya atau tidak. Jika dia mengklaim bahwa buaya akan memberinya anak, maka itu semua tergantung pada hewan - mengingat jawabannya benar, penculik akan membiarkan anak itu pergi, tetapi jika dia mengatakan bahwa ibu itu salah, maka dia tidak akan melihat. anak, menurut semua aturan kontrak.

© Corax dari Syracuse

Jawaban negatif wanita itu memperumit banyak hal - jika ternyata benar, penculik harus memenuhi persyaratan kesepakatan dan membebaskan anak, tetapi dengan cara ini jawaban ibu tidak akan sesuai dengan kenyataan. Untuk memastikan kepalsuan jawaban seperti itu, buaya perlu mengembalikan anak itu kepada ibu, tetapi ini bertentangan dengan kontrak, karena kesalahannya harus meninggalkan anak itu dengan buaya.

Perlu dicatat bahwa kesepakatan yang ditawarkan oleh buaya mengandung kontradiksi logis, sehingga janjinya tidak dapat dipenuhi. Penulis sofisme klasik ini dianggap sebagai seorang orator, pemikir dan tokoh politik Corax dari Syracuse, yang hidup pada abad ke-5 SM.

6. Aporia "Dikotomi"

© www.student31.ru

Paradoks lain dari Zeno dari Elea, menunjukkan ketidaktepatan dari yang diidealkan model matematika pergerakan. Masalahnya bisa seperti ini - katakanlah Anda berangkat melalui beberapa jalan di kota Anda dari awal sampai akhir. Untuk melakukan ini, Anda harus mengatasi bagian pertama, lalu setengah dari sisa, lalu setengah dari segmen berikutnya, dan seterusnya. Dengan kata lain - Anda berjalan setengah dari seluruh jarak, lalu seperempat, seperdelapan, seperenam belas - jumlah segmen jalan yang menurun cenderung tak terhingga, karena setiap bagian yang tersisa dapat dibagi menjadi dua, yang berarti tidak mungkin untuk pergi sepanjang jalan. Merumuskan paradoks yang agak dibuat-buat pada pandangan pertama, Zeno ingin menunjukkan bahwa hukum matematika bertentangan dengan kenyataan, karena sebenarnya Anda dapat dengan mudah menempuh seluruh jarak tanpa jejak.

7. Aporia "Panah Terbang"

Paradoks terkenal Zeno dari Elea menyentuh kontradiksi terdalam dalam gagasan para ilmuwan tentang sifat gerak dan waktu. Aporia dirumuskan sebagai berikut: panah yang ditembakkan dari busur tetap tidak bergerak, karena setiap saat ia berhenti tanpa bergerak. Jika pada setiap saat panah diam, maka panah itu selalu diam dan tidak bergerak sama sekali, karena tidak ada momen dalam waktu di mana panah bergerak dalam ruang.

© www.academic.ru

Pikiran umat manusia yang luar biasa telah berusaha selama berabad-abad untuk memecahkan paradoks panah terbang, tetapi dari sudut pandang logis, itu sepenuhnya benar. Untuk menyangkalnya, perlu untuk menjelaskan bagaimana interval waktu yang terbatas dapat terdiri dari jumlah momen waktu yang tidak terbatas - bahkan Aristoteles, yang secara meyakinkan mengkritik aporia Zeno, gagal membuktikan hal ini. Aristoteles dengan tepat menunjukkan bahwa suatu periode waktu tidak dapat dianggap sebagai jumlah dari beberapa momen terisolasi yang tidak dapat dibagi, tetapi banyak ilmuwan percaya bahwa pendekatannya tidak berbeda secara mendalam dan tidak menyangkal adanya paradoks. Perlu dicatat bahwa dengan mengajukan masalah panah terbang, Zeno tidak berusaha untuk menyangkal kemungkinan gerakan, seperti itu, tetapi untuk mengungkapkan kontradiksi dalam konsep matematika idealis.

8. paradoks Galileo

Galileo Galilei / © Wikimedia

Dalam Conversations and Mathematical Proofs Concerning Two New Branches of Science, Galileo Galilei mengusulkan sebuah paradoks yang menunjukkan sifat aneh dari himpunan tak hingga. Ilmuwan merumuskan dua kontradiktif teman penghakiman. Pertama, ada bilangan yang merupakan kuadrat dari bilangan bulat lainnya, seperti 1, 9, 16, 25, 36, dan seterusnya. Ada nomor lain yang tidak memiliki properti ini - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 dan sejenisnya. Dengan demikian, total Harus ada kuadrat yang lebih tepat dan bilangan biasa daripada hanya kuadrat sempurna. Proposisi kedua: untuk setiap bilangan asli ada kuadrat eksaknya, dan untuk setiap kuadrat ada bilangan bulat Akar pangkat dua, yaitu, jumlah kuadrat sama dengan jumlah bilangan asli.

Berdasarkan kontradiksi ini, Galileo menyimpulkan bahwa penalaran tentang jumlah elemen diterapkan hanya untuk himpunan hingga, meskipun matematikawan kemudian memperkenalkan konsep kekuatan himpunan - dengan bantuannya, kebenaran penilaian kedua Galileo juga terbukti untuk himpunan tak terbatas. .

9. Paradoks karung kentang

© nieidealne-danie.blogspot.com

Misalkan seorang petani memiliki sekantong kentang dengan berat tepat 100 kg. Setelah memeriksa isinya, petani menemukan bahwa tas itu disimpan dalam kelembaban - 99% dari massanya adalah air dan 1% dari zat yang tersisa terkandung dalam kentang. Dia memutuskan untuk mengeringkan kentang sedikit sehingga kadar airnya turun menjadi 98% dan memindahkan kantong ke tempat yang kering. Keesokan harinya ternyata 1 liter (1 kg) air benar-benar menguap, tapi berat kantong sudah berkurang dari 100 menjadi 50 kg, kok bisa ya? Mari kita hitung - 99% dari 100 kg adalah 99 kg, yang berarti rasio massa residu kering dan massa air awalnya 1/99. Setelah kering, airnya mengandung 98% massa total kantong, maka perbandingan massa residu kering dengan massa air sekarang adalah 1/49. Karena massa residu tidak berubah, air yang tersisa memiliki berat 49 kg.

Tentu saja, pembaca yang penuh perhatian akan segera menemukan yang paling kasar kesalahan matematika dalam perhitungan - komik imajiner "paradoks sekarung kentang" dapat dianggap sebagai contoh yang sangat baik tentang bagaimana, dengan bantuan alasan yang tampaknya "logis" dan "didukung secara ilmiah", Anda benar-benar dapat membangun teori yang bertentangan dengan akal sehat dari awal .

10 Paradoks Gagak

Carl Gustav Hempel / © Wikimedia

Masalahnya juga dikenal sebagai paradoks Hempel - ia menerima nama kedua untuk menghormati matematikawan Jerman Carl Gustav Hempel, penulis versi klasiknya. Masalahnya dirumuskan dengan cukup sederhana: setiap gagak berwarna hitam. Dari sini dapat disimpulkan bahwa apa pun yang tidak hitam tidak bisa menjadi gagak. Hukum ini disebut tandingan logis, yaitu jika suatu premis "A" memiliki konsekuensi "B", maka negasi "B" sama dengan negasi "A". Jika seseorang melihat gagak hitam, ini memperkuat keyakinannya bahwa semua gagak berwarna hitam, yang cukup logis, namun, sesuai dengan kontraposisi dan prinsip induksi, logis untuk menyatakan bahwa pengamatan objek non-hitam (katakanlah , apel merah) juga membuktikan bahwa semua gagak dicat hitam. Dengan kata lain, fakta bahwa seseorang tinggal di Sankt Peterburg membuktikan bahwa dia tidak tinggal di Moskow.

Dari sudut pandang logika, paradoks ini terlihat sempurna, tetapi bertentangan dengan kehidupan nyata - apel merah sama sekali tidak dapat mengkonfirmasi fakta bahwa semua gagak berwarna hitam.

Di sini kami sudah memiliki pilihan paradoks dengan Anda -, serta khususnya, dan Artikel asli ada di website InfoGlaz.rf Tautan ke artikel dari mana salinan ini dibuat -

Filsuf Stephen Reed tentang paradoks pembohong, paradoks semantik dan hubungan langsungnya dengan dasar matematika.

Ada baiknya memulai percakapan tentang paradoks logis dengan sedikit cerita yang diceritakan Cervantes dalam bukunya Don Quixote. Pada satu titik di Don Quixote, dia meninggalkan Sancho Panza sebagai gubernur pulau Barataria, dan saat dia menjadi gubernur, dia tertipu oleh "orang-orangnya". Suatu pagi dia terbangun dan diberi tahu: "Sebelum sarapan, Anda perlu menilai satu hal." Dan di Spanyol pada waktu itu ada banyak gelandangan, jadi Anda harus sangat berhati-hati dengan orang-orang. Dan sekarang, sebuah sungai mengalir melalui tanah salah satu pemilik tanah, yang melaluinya sebuah jembatan dilemparkan, dan, untuk memastikan bahwa semua orang yang lewat dapat dipercaya, pemilik tanah ini menempatkan tiang gantungan dan penjaga di dekat jembatan, yang menuntut dari masing-masing pejalan kaki untuk menjelaskan ke mana dan mengapa dia pergi. Jika orang yang lewat mengatakan yang sebenarnya, dia diizinkan untuk menyeberangi jembatan, dan jika dia berbohong, maka tiang gantungan menunggunya. Dan semuanya baik-baik saja, membantu membedakan siapa gelandangan dan pedagang, sampai suatu hari datang seorang pria yang berkata: "Tujuan saya adalah digantung di tiang gantungan ini, dan tidak lebih." Dan penjaga itu heran dengan hal ini, karena dia berpikir: “Nah, jika kita menggantungnya, ternyata dia mengatakan yang sebenarnya, maka kita seharusnya membiarkannya lewat, tetapi jika kita membiarkannya lewat, itu akan menjadi dia berbohong, maka kita harus membuatnya menutup telepon." "Jadi, Sancho Panza, bagaimana kita menilai kasus ini?" Dan Sancho Panza membutuhkan waktu untuk menghargai paradoks tersebut, tetapi pada akhirnya dia membuat keputusan: gantung separuh dari orang yang berbohong dan biarkan separuh yang mengatakan kebenaran berlalu.

Ini semua terdengar menyenangkan bagi pikiran, tetapi bagi orang yang ingin memahami hal-hal mendasar seperti kebenaran, penalaran, bahasa, dan sebagainya, ini menunjukkan sesuatu yang sangat meresahkan tentang sifat bahasa. Tampaknya sangat mudah untuk jatuh ke dalam paradoks: kita sama sekali tidak tahu apakah pernyataan orang itu benar atau tidak, apakah dia berbohong atau tidak. Dan ini kembali ke paradoks asli pembohong, yang dirumuskan oleh Eubulides pada abad ke-4 SM. Dia mengangkatnya menjadi sebuah karya seni, dia berkata, "Pikirkan untuk mengatakan 'Aku berbohong'." Jika saya mengatakan: "Saya berbohong," saya, tentu saja, dapat berarti beberapa pernyataan saya yang lain, tetapi jika saya menggunakan kata-kata yang sangat hati-hati, maka saya dapat mengatakan: "Tidak, saya berbohong dalam frasa yang saya katakan. sekarang, pernyataan saya ini salah. Dan lagi, jika Anda memikirkannya, Anda akan berkata: “Jika ini benar, maka karena dia mengatakan bahwa pernyataannya salah, maka itu pasti salah, dan tidak benar, yaitu, itu tidak mungkin benar - itu harus palsu. Tetapi jika itu salah, karena dikatakan salah, bahwa dia berbohong, itu pasti benar." Jadi kita berakhir dengan paradoks yang terbungkus rapi dalam satu kalimat.

Ada banyak paradoks seperti itu, dan mudah untuk memahami mengapa mereka disebut paradoks logis: kontradiksi yang terkandung di dalamnya terungkap dengan bantuan logika. Beberapa orang telah mendengar tentang Epimenides: dia adalah penduduk asli Kreta, dan dia sangat kecewa dengan kemampuan orang-orang sebangsanya untuk mengatakan yang sebenarnya sehingga dia pernah berkata, "Semua orang Kreta adalah pembohong." Jika dia benar, jika memang semua orang Kreta pembohong, atau jika orang Kreta lainnya selalu berbohong, maka pernyataannya sendiri pastilah paradoks. Lagi pula, jika dia mengatakan: "Semua orang Kreta adalah pembohong," maka dia mengatakan bahwa pernyataannya sendiri salah, tetapi dalam kasus ini, memang, setiap orang Kreta adalah pembohong, yang berarti bahwa dia mengatakan yang sebenarnya ketika dia mengatakan itu. semua orang Kreta - pembohong. Jalan keluar dari paradoks, tentu saja, adalah jika beberapa orang Kreta mengatakan yang sebenarnya, maka pernyataannya akan salah, bukan paradoks.

Jadi kita punya jumlah yang banyak paradoks semacam itu. Inilah satu paradoks yang sangat saya sukai: Ambil kartu yang bertuliskan di satu sisi, "Pernyataan di belakang kartu ini benar." Anda membaliknya, dan tertulis: "Pernyataan di belakang kartu ini salah." Dan jika dipikir-pikir, itu hanya paradoks, karena jika pernyataan di sisi pertama benar, maka pernyataan di sisi belakang juga benar, karena pernyataan pertama mengatakan demikian; tetapi pada sisi kedua tertulis bahwa pernyataan pertama salah, yaitu jika pernyataan pertama benar, maka juga salah. Tapi ini tidak mungkin, jadi pernyataan kedua pasti salah; tetapi dikatakan bahwa pernyataan pertama salah, maka pernyataan pertama tidak mungkin salah - itu pasti benar. Tetapi kita telah melihat bahwa jika pernyataan pertama benar, maka itu salah, jadi kita mendapatkan paradoks murni.

Beberapa pemikir abad pertengahan lebih suka menggambarkan paradoks ini dalam istilah Socrates dan Plato, atau terkadang Plato dan Aristoteles. Jadi, Plato adalah guru Aristoteles dan menganggapnya sebagai murid terbaiknya, jadi suatu hari dia berkata: "Semua yang dikatakan Aristoteles adalah benar." Tapi Aristoteles bukan yang paling siswa teladan dalam arti dia ingin menantang ajaran Plato, jadi dia berkata, "Semua yang dikatakan Plato salah," yang sangat mirip dengan paradoks kartu.

Semua ini adalah paradoks di bidang kebenaran, kebohongan, dan bahasa. Namun di abad ke-20, kita menghadapi paradoks dalam matematika. Sejarah singkat dari pertanyaan ini adalah: setelah munculnya kalkulus, dan kemudian setelah bekerja dengan deret tak hingga pada abad ke-18, dasar-dasar matematika ternyata tidak stabil, orang bertanya-tanya: “Bagaimana deret tak hingga bekerja tanpa membawa kita ke kontradiksi dalam matematika?”. Dan pada abad ke-19, sebuah gerakan besar terjadi, yang tujuannya adalah untuk mencari dasar matematika yang stabil. Kemudian teori himpunan menjadi dasar seperti itu. Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan melalui beberapa properti: misalnya, dapat berupa himpunan semua bilangan asli, himpunan bilangan genap, atau bahkan himpunan puding beras - Anda dapat mengambil set berbeda. Dalam matematika, tentu saja, hanya himpunan numerik yang digunakan.

Dan semua ini tampak baik-baik saja sampai akhir abad ke-19. Frege, Dedekind, dan banyak pemikir lainnya mendirikan matematika, atau apa yang tampaknya menjadi dasar yang kuat dari teori himpunan. Tetapi kemudian Bertrand Russell, filsuf Inggris yang terkenal, membaca karya Frege, berpikir: “Anda dapat mengatur banyak angka, Anda dapat memberikan banyak himpunan; Anda dapat menentukan satu set set yang menyertakan diri mereka sendiri, atau Anda dapat menentukan satu set set yang tidak menyertakan diri mereka sendiri. Dan kemudian dia berpikir, "Tunggu sebentar, jika kita memiliki satu set yang tidak menyertakan diri mereka sendiri, apakah set ini akan menyertakan dirinya sendiri atau tidak?" Jika himpunan seperti itu termasuk dirinya sendiri, maka himpunan itu tidak boleh menyertakan dirinya sendiri, karena menurut kesepakatan kita hanya mengambil himpunan yang tidak menyertakan dirinya sendiri. Jadi sebaiknya himpunan ini tidak termasuk dirinya sendiri, tetapi jika tidak termasuk dirinya sendiri, maka himpunan itu adalah himpunan yang tidak termasuk dirinya, dan harus menjadi bagian dari himpunan ini. Dan, seperti yang saya katakan, semua paradoks ini pada awalnya terlihat seperti hiburan bagi pikiran, tetapi sekarang, pada awal abad ke-20, kami telah menemukan sebuah paradoks, sebuah kontradiksi di inti dari apa yang seharusnya menjadi dasar matematika. Seperti yang diketahui secara luas, itu adalah pukulan besar untuk Frege: dia akan menerbitkan volume kedua dari Hukum Dasar Aritmatika, dan dia harus menambahkan lampiran di mana dia menulis: "Bertrand Russell menunjukkan kelemahan di jantung teori saya, tapi saya pikir saya bisa selesaikan masalah ini”, dan dia menyarankan solusi, tetapi ternyata, itu tidak benar.

Saya akan beralih secara singkat ke paradoks dalam teori himpunan, karena ada paradoks lain yang agak menarik yang membawa kita kembali ke pembahasan tentang paradoks yang berkaitan dengan kebenaran, atau yang disebut paradoks semantik. Jadi, sekitar 40 tahun kemudian, sekitar tahun 1940, ahli matematika dan logika Amerika Haskell B. Curry merenungkan paradoks Russell dan berkata, "Paradoks Russell didasarkan pada negasi - ini berbicara tentang banyak himpunan yang tidak menyertakan diri mereka sendiri." Apakah mungkin untuk mendapatkan paradoks yang sama tanpa menggunakan negasi? Apakah ada cara? Dan dia bilang ada jalan. Ambil set dari semua set; jika mereka memasukkan diri mereka sendiri, maka nol sama dengan satu. Menurut teori himpunan, ini adalah himpunan yang sepenuhnya dapat diterima. Tetapi jika kita mulai mempertimbangkan himpunan seperti itu, jika itu termasuk dirinya sendiri, maka itu akan memenuhi kondisi bahwa jika itu termasuk dirinya sendiri, maka nol sama dengan satu.

Dan kami berasumsi bahwa itu termasuk dirinya sendiri, oleh karena itu, nol benar-benar sama dengan satu. Tapi cukup jelas bahwa nol tidak bisa sama dengan satu, jadi kami memainkan semuanya mundur dan berasumsi bahwa satu set tidak bisa memasukkan dirinya sendiri. Jika tidak termasuk dirinya sendiri, itu segera mengikuti baik itu tidak termasuk dirinya sendiri atau nol sama dengan satu. Tapi itu sama dengan mengatakan bahwa jika itu termasuk dirinya sendiri, nol benar-benar sama dengan satu - itu sama dengan mengatakan bahwa itu tidak termasuk dirinya sendiri, atau nol sama dengan satu. Dan ini seperti mengatakan bahwa jika suatu himpunan mencakup dirinya sendiri, maka itu bukan non-inklusif, maka nol sama dengan satu. Tetapi kemudian itu termasuk dirinya sendiri, yaitu, kami telah membuktikan itu termasuk dirinya sendiri, tetapi karena kami telah membuktikannya, oleh karena itu, nol sama dengan satu. Menyimpan! Kami baru saja membuktikan bahwa nol sama dengan satu! Jadi tepat di jantung matematika, kita memiliki paradoks mimpi buruk lagi.

Dan beberapa tahun kemudian paradoks ini berubah menjadi salah satu paradoks semantik yang saya bicarakan sebelumnya, dan itu berbentuk pernyataan: "Jika pernyataan ini benar, maka nol sama dengan satu." Atau bahkan: "Jika pernyataan ini benar, maka Tuhan itu ada." Dan kemudian hanya dalam beberapa baris kita dapat membuktikan bahwa Tuhan ada atau apa pun: nol sama dengan satu, Tuhan ada, hari ini hujan di Moskow - kita dapat membuktikan apa pun dengan pernyataan seperti itu. Orang banyak berpikir tentang kebenaran, jadi itu sangat berbahaya: apakah kebenaran benar-benar seperti itu? Apakah kebenaran benar-benar konsep yang kontroversial?

Dan saya akan mengakhiri dengan berbicara singkat tentang paradoks lain untuk menunjukkan bahwa paradoks tidak berhenti di situ. Inilah pernyataannya: "Anda tidak tahu pernyataan ini" - Anda tidak tahu persis pernyataan yang saya ucapkan sekarang. Sekarang anggaplah Anda mengenalnya. Konsep pengetahuan dan kebenaran memberi tahu kami bahwa Anda hanya dapat mengetahui apa yang benar, sehingga jika Anda mengetahuinya, itu benar, dalam hal ini Anda tidak mengetahuinya karena dikatakan demikian. Jadi jika kita berasumsi bahwa Anda mengenalnya, maka ternyata Anda tidak mengenalnya. Jadi kami telah membuktikan bahwa Anda tidak mengenalnya, tetapi dikatakan bahwa Anda tidak mengenalnya, jadi kami telah membuktikannya. Dan tentu saja, jika kita telah membuktikan sesuatu, maka itu benar, maka kita mengetahuinya, karena kita memiliki bukti. Dan ternyata kami telah membuktikan bahwa Anda mengetahui pernyataan ini dan Anda tidak mengetahuinya, sehingga kami kembali memiliki paradoks epistemik.

Mari kita rangkum. Saya telah menjelaskan beberapa paradoks semantik, terutama terkait dengan konsep kebenaran, dan juga menunjukkan bahwa mereka sangat mirip dengan paradoks yang terkait dengan teori himpunan, yang terletak di jantung matematika. Selain itu, kami berkenalan dengan paradoks epistemik yang terkait tidak hanya dengan konsep kebenaran, tetapi juga dengan konsep pengetahuan. Jadi, kami telah menganalisis beberapa paradoks semantik, seperti paradoks pembohong, paradoks Epimenides dan paradoks kartu, yang didasarkan pada konsep kebenaran (di dalamnya kita berbicara tentang kebohongan, ketidakbenaran, kebenaran, dan sebagainya), dan kemudian kami telah menganalisis beberapa paradoks yang muncul dalam matematika, mereka terkait dengan teori himpunan. Dan pada akhirnya, kami juga berbicara tentang jenis paradoks lainnya - paradoks epistemik.

Anda dapat segera melihat betapa pentingnya bagi kami untuk menemukan solusi untuk paradoks ini, karena matematika terlibat di dalamnya, karena kami mencari dasar matematika yang kuat untuk memastikan bahwa kami tidak membuat kesalahan - dan sekarang kami telah menemukan kontradiksi di dalamnya. Jadi kita benar-benar membutuhkan solusi ketika datang ke paradoks matematika yang berkaitan dengan teori himpunan, tetapi kita juga membutuhkannya untuk paradoks semantik. Banyak filsuf berpikir tentang konsep kebenaran, dan mereka ingin memahami sifat kebenaran, apa itu pernyataan yang benar. Wajar untuk menganggap proposisi itu benar jika semuanya seperti yang dikatakannya; sekarang lihat paradoks pembohong: benar jika saya berbohong - itu paradoks dan mengarah ke kontradiksi. Jadi kita perlu memikirkan kembali konsep kebenaran, beberapa ingin memikirkan kembali logika di baliknya dan metode pembuktian yang membawa kita pada kontradiksi. Dan sangat penting bahwa kita melakukan ini jika kita ingin memperoleh pemahaman penuh tentang konsep kebenaran dan pengetahuan.

gif: postnauka.ru/ Stephen Reid

Menurut hukum logika Ivin Alexander Arkhipovich

APA ITU PARADOKS LOGIS?

Tidak ada daftar lengkap paradoks logis, dan itu tidak mungkin.

Paradoks yang dipertimbangkan hanyalah bagian dari semua yang ditemukan sejauh ini. Kemungkinan banyak jenis lain dan bahkan yang sama sekali baru akan ditemukan di masa depan. Konsep paradoks itu sendiri tidak begitu pasti sehingga memungkinkan untuk menyusun daftar paradoks yang setidaknya sudah diketahui.

“Paradoks teori himpunan adalah masalah yang sangat serius, bukan untuk matematika, tetapi untuk logika dan epistemologi,” tulis matematikawan dan ahli logika Austria K. Gödel. “Logikanya tidak konsisten. Tidak ada paradoks logis, - kata matematikawan Soviet D. Bochvar. - Perbedaan seperti itu terkadang signifikan, terkadang verbal. Intinya sebagian besar pada apa yang sebenarnya dimaksud dengan "paradoks logis".

Fitur penting dari paradoks logis adalah kamus logis. Paradoks yang logis harus dirumuskan dalam istilah yang logis. Namun, dalam logika tidak ada kriteria yang jelas untuk membagi istilah menjadi logis dan ekstralogis. Logika, yang berhubungan dengan kebenaran penalaran, berusaha untuk mereduksi konsep-konsep di mana kebenaran kesimpulan yang diterapkan secara praktis bergantung seminimal mungkin. Tetapi minimum ini tidak ditentukan sebelumnya dengan jelas. Selain itu, pernyataan non-logis juga dapat dirumuskan dalam istilah logis. Apakah suatu paradoks tertentu hanya menggunakan premis-premis logis murni, jauh dari selalu mungkin untuk ditentukan dengan jelas.

Paradoks logis tidak dipisahkan secara kaku dari semua paradoks lainnya, seperti halnya paradoks yang terakhir tidak secara jelas dibedakan dari segala sesuatu yang non-paradoks dan konsisten dengan ide-ide yang berlaku.

Pada awal studi tentang paradoks logis, tampaknya mereka dapat dibedakan dengan melanggar beberapa posisi atau aturan logika yang belum dijelajahi. “Prinsip lingkaran setan” yang diperkenalkan oleh B. Russell sangat aktif dalam mengklaim peran aturan semacam itu. Prinsip ini menyatakan bahwa kumpulan objek tidak dapat berisi anggota yang ditentukan hanya oleh koleksi yang sama.

Semua paradoks memiliki satu kesamaan - penerapan diri, atau sirkularitas. Di masing-masing dari mereka, objek yang dimaksud dicirikan oleh beberapa set objek yang menjadi miliknya. Jika kita memilih, misalnya, seseorang sebagai yang paling licik di kelas, kita melakukan ini dengan bantuan sekelompok orang yang juga termasuk dalam orang ini (dengan bantuan "kelasnya"). Dan jika kita mengatakan: "Pernyataan ini salah," kita mengkarakterisasi pernyataan yang menarik bagi kita dengan mengacu pada totalitas semua pernyataan palsu yang menyertakannya.

Dalam semua paradoks, penerapan diri terjadi, yang berarti bahwa seolah-olah ada gerakan dalam lingkaran, yang pada akhirnya mengarah ke titik awal. Dalam upaya untuk mengkarakterisasi objek yang menarik bagi kita, kita beralih ke himpunan objek yang menyertakannya. Namun, ternyata, untuk kepastiannya, ia sendiri membutuhkan objek yang dipertimbangkan dan tidak dapat dipahami dengan jelas tanpanya. Dalam lingkaran ini, mungkin, terletak sumber paradoks.

Namun, situasinya rumit karena fakta bahwa lingkaran seperti itu juga ada dalam banyak argumen yang sepenuhnya non-paradoks. Edaran adalah berbagai macam cara berekspresi yang paling umum, tidak berbahaya dan sekaligus nyaman. Contoh-contoh seperti "yang terbesar dari semua kota", "yang terkecil dari semua bilangan asli", "salah satu elektron dari atom besi", dll., menunjukkan bahwa tidak setiap kasus penerapan-diri mengarah pada kontradiksi dan itu penting tidak hanya dalam bahasa biasa, tetapi juga dalam bahasa sains.

Dengan demikian, referensi belaka untuk penggunaan konsep yang dapat diterapkan sendiri tidak cukup untuk mendiskreditkan paradoks. Beberapa kriteria tambahan diperlukan untuk memisahkan penerapan diri, yang mengarah ke paradoks, dari semua kasus lainnya.

Ada banyak usulan untuk efek ini, tetapi tidak ada klarifikasi yang berhasil tentang sirkularitas yang ditemukan. Ternyata tidak mungkin untuk mengkarakterisasi sirkularitas sedemikian rupa sehingga setiap penalaran melingkar mengarah ke paradoks, dan setiap paradoks adalah hasil dari beberapa penalaran melingkar.

Upaya untuk menemukan beberapa prinsip logika tertentu, yang pelanggarannya akan menjadi ciri khas dari semua paradoks logis, tidak mengarah pada sesuatu yang pasti.

Beberapa jenis klasifikasi paradoks tidak diragukan lagi akan berguna, membaginya ke dalam jenis dan tipe, mengelompokkan beberapa paradoks dan menentangnya dengan yang lain. Namun, tidak ada yang berkelanjutan telah dicapai dalam kasus ini juga.

Ahli logika Inggris F. Ramsey, yang meninggal pada tahun 1930, ketika dia belum berusia dua puluh tujuh tahun, mengusulkan untuk membagi semua paradoks menjadi sintaksis dan semantik. Yang pertama mencakup, misalnya, paradoks Russell, yang kedua - paradoks "pembohong", Grelling, dll.

Menurut F. Ramsey, paradoks kelompok pertama hanya berisi konsep-konsep yang termasuk logika atau matematika. Yang terakhir mencakup konsep-konsep seperti "kebenaran", "dapat didefinisikan", "penamaan", "bahasa", yang tidak sepenuhnya matematika, melainkan terkait dengan linguistik atau bahkan teori pengetahuan. Paradoks semantik tampaknya muncul bukan karena kesalahan logika, tetapi karena ketidakjelasan atau ambiguitas beberapa konsep non-logis, oleh karena itu masalah yang mereka ajukan menyangkut bahasa dan harus dipecahkan oleh linguistik.

Tampaknya F. Ramsey bahwa matematikawan dan ahli logika tidak perlu tertarik pada paradoks semantik.

Belakangan ternyata, bagaimanapun, bahwa beberapa hasil paling signifikan dari logika modern diperoleh secara tepat sehubungan dengan studi yang lebih dalam tentang paradoks "non-logis" ini.

Pembagian paradoks yang diusulkan oleh F. Ramsey digunakan secara luas pada awalnya dan tetap memiliki arti penting bahkan sampai sekarang. Pada saat yang sama, menjadi semakin jelas bahwa pembagian ini agak kabur dan terutama bergantung pada contoh, dan bukan pada analisis komparatif mendalam dari dua kelompok paradoks. Konsep semantik sekarang didefinisikan dengan baik, dan sulit untuk tidak mengenali bahwa konsep ini memang logis. Dengan perkembangan semantik, yang mendefinisikan konsep dasarnya dalam kerangka teori himpunan, perbedaan yang dibuat oleh F. Ramsey semakin kabur.

Dari buku Dialektika Mitos pengarang Losev Alexey Fyodorovich

a) sifat ekstra-logis dari ketergantungan pada sensasi; a) Yaitu, kami menyatakan di atas bahwa pengetahuan secara logis mengandaikan konfrontasi ekstra-logis antara yang mengetahui dan yang diketahui. Sangat mudah untuk melihat bahwa ini tidak lain adalah postulat sensasi (atau persepsi). Dengan kata lain, kita

Dari buku Materialisme dan Empirokritisme pengarang Lenin Vladimir Ilyich

1. APA ITU MASALAH? APA ITU PENGALAMAN? Yang pertama dari pertanyaan-pertanyaan ini terus-menerus direcoki oleh kaum idealis, agnostik, termasuk kaum Machis, hingga materialis; dengan yang kedua - materialis hingga Machis. Mari kita coba mencari tahu apa masalahnya di sini.Avenarius mengatakan tentang pertanyaan materi: “Di dalam

Dari buku Sejarah Filsafat pengarang Skirbek Gunnar

Positivisme logis Antara perang dunia pertama dan kedua, baru ide-ide filosofis. Banyak dari mereka dirangsang oleh perkembangan fisika non-klasik dan menjadi subjek analisis epistemologis yang serius oleh positivisme logis.

Dari buku Pengantar Filsafat penulis Frolov Ivan

3. Analisis logika (B. Russell) Bertrand Russell (1872–1970) adalah seorang ilmuwan, filsuf, dan tokoh masyarakat Inggris yang terkenal di dunia. Pada usia enam belas tahun, dia membaca The Autobiography of godfather, J. S. Mill, yang sangat berkesan baginya. peru milla

Dari buku Filsafat Sosial pengarang Krapivensky Solomon Eliazarovich

2. Positivisme logis Pada tahun 1922, di Departemen Filsafat Alam Universitas Wina, yang setelah kematian E. Mach dipimpin oleh Profesor M. Schlick, sekelompok ilmuwan muda berkumpul yang menetapkan tujuan berani mereka sendiri - untuk mereformasi ilmu pengetahuan dan filsafat. Grup ini ada di

Dari buku Filsafat Barat Abad ke-20 pengarang Zotov Anatoly Fedorovich

Metode historis dan logis Pada umumnya tingkat empiris pengetahuan ilmiah itu sendiri tidak cukup untuk menembus ke dalam esensi hal-hal, termasuk pola fungsi dan perkembangan masyarakat. Pada tahap tertentu, ketika lebih dari

Dari buku Yesus Kristus oleh Kasper Walter

1. Atomisme logis B. Russell "Kakek" positivisme logis adalah Moore dan Russell. Peran Moore (1873-1958) biasanya ditekankan oleh para peneliti Inggris. Itu terdiri dari fakta bahwa ia menarik perhatian pada analisis makna kata-kata dan pernyataan yang digunakan oleh para filsuf.

Dari buku Theory of Consciousness penulis Priest Steven

3. Karakter Teologis Kerajaan Allah Dalam tradisi Perjanjian Lama dan Yudaisme, kedatangan Kerajaan Allah berarti kedatangan Allah. Pusat harapan eskatologis adalah “Hari Yahweh” yang ditentukan dan dilaksanakan oleh Tuhan, hari dimana Tuhan akan menjadi “segalanya”, ketika

Dari buku Lingkaran Wina. Munculnya neopositivisme penulis Kraft Victor

BAB 2 PERILAKU LOGIS Behaviorisme logis adalah teori bahwa berada dalam keadaan mental berarti berada dalam keadaan perilaku. Berpikir, berharap, memahami, mengingat, dll. - semua ini harus dipahami sebagai perilaku atau kepemilikan

Dari buku Chaos and Structure pengarang Losev Alexey Fyodorovich

II. ANALISIS LOGIS BAHASA Sebuah logika baru telah dikembangkan untuk konstruksi teoritis matematika. Di Lingkaran Wina, umumnya menjadi sarana untuk menciptakan teori ilmu pengetahuan. Tidak seperti logika murni, logika terapan digunakan untuk menyempurnakan filosofis

Dari buku The Art of Thinking Right pengarang Ivin Alexander Arkhipovich

15. KAMUS LOGIKA INFINITESIMALb Ini menyimpulkan pesan singkat pada penerapan metode infinitesimals untuk logika. Sebaliknya, ini bukan pesan, tetapi hanya saran, hanya petunjuk sederhana di area yang tidak bisa tidak sangat besar. Logika dan matematika tidak

Dari buku Filsafat. Buku tiga. Metafisika pengarang Jaspers Karl Theodor

APA ITU PARADOKS LOGIS? Tidak ada daftar lengkap paradoks logis. Paradoks logis yang dianggap hanya sebagian dari semua yang ditemukan sejauh ini. Kemungkinan akan lebih banyak lagi yang akan dibuka di masa depan.

Dari buku Filsafat Marxis di abad ke-19. Buku satu (Dari kemunculan filsafat Marxis hingga perkembangannya pada tahun 50-an - 60-an abad XIX) oleh penulis

2. Keruntuhan logis - Apa yang dapat ditunjukkan atau yang perlu dibuktikan adalah pengetahuan tertinggi tentang sesuatu yang istimewa. Eksistensi dan transendensi, dalam pengertian keberadaan ini, tidak ada. Jika kita memikirkannya, maka pemikiran itu mengambil bentuk logis, yang

Dari buku 12 filsuf terkemuka di zaman kita oleh Camp Gary

Metode penelitian "Logis" dan "historis" Dalam "Modal", terutama dalam volume keempatnya, masalah epistemologis penting tentang hubungan antara konstruksi logis teori suatu objek dan metode historis studinya tercermin - yang kedua dari

Dari buku Logika. tutorial pengarang Gusev Dmitry Alekseevich

Positivisme logis Carnap Positivisme logis adalah bentuk empirisme yang dimodifikasi. Empirisme dalam bentuknya yang paling murni adalah doktrin bahwa semua pengetahuan berasal dari pengalaman indrawi. Positivisme logis terlihat lebih lemah dari itu dalam satu hal. poin penting, tapi lebih kuat di

Dari buku penulis

2.9. Kotak logis Hubungan antara proposisi sederhana yang sebanding digambarkan secara skematis menggunakan kotak logis, yang dikembangkan oleh ahli logika abad pertengahan. Seperti yang Anda lihat, simpul bujur sangkar menunjukkan empat jenis penilaian sederhana, dan sisi-sisinya dan