Paksa:"Mga Paraan ng Solusyon trigonometriko equation».
Layunin ng Aralin:
pang-edukasyon:
Upang bumuo ng mga kasanayan upang makilala ang mga uri ng trigonometric equation;
Pagpapalalim ng pag-unawa sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometric equation;
pang-edukasyon:
Pagpapalaki interes na nagbibigay-malay sa proseso ng edukasyon;
Pagbubuo ng kakayahang pag-aralan ang gawain;
pagbuo:
Upang mabuo ang kasanayan upang pag-aralan ang sitwasyon na may kasunod na pagpili ng pinaka-makatuwirang paraan sa labas nito.
Kagamitan: poster na may mga pangunahing trigonometric formula, computer, projector, screen.
Simulan natin ang aralin sa pamamagitan ng pag-uulit ng pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng anumang equation: pagbabawas nito sa karaniwang view. Sa pamamagitan ng pagbabago linear na equation bawasan sa form ax \u003d in, square - sa form ax2+bx +c=0. Sa kaso ng mga equation ng trigonometriko, kinakailangang bawasan ang mga ito sa pinakasimpleng anyo: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, na madaling malutas.
Una sa lahat, siyempre, para dito kinakailangan na gamitin ang pangunahing mga formula ng trigonometriko na ipinakita sa poster: mga formula ng karagdagan, mga formula dobleng anggulo, pagpapababa ng multiplicity ng equation. Alam na natin kung paano lutasin ang mga naturang equation. Ulitin natin ang ilan sa mga ito:
Kasabay nito, may mga equation, ang solusyon na nangangailangan ng kaalaman sa ilang mga espesyal na diskarte.
Ang paksa ng aming aralin ay ang pagsasaalang-alang ng mga pamamaraan na ito at ang sistematisasyon ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation.
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
1. I-convert sa quadratic equation na may paggalang sa ilang trigonometric function, na sinusundan ng pagbabago ng variable.
Isaalang-alang natin ang bawat isa nakalistang pamamaraan sa mga halimbawa, ngunit tatalakayin natin nang mas detalyado ang huling dalawa, dahil nagamit na natin ang unang dalawa sa paglutas ng mga equation.
1. Pagbabago sa isang quadratic equation na may paggalang sa anumang trigonometric function.
2. Solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng factorization.
3. Solusyon ng mga homogenous na equation.
Ang mga homogenous na equation ng una at pangalawang degree ay tinatawag na mga equation ng form:
ayon sa pagkakabanggit (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
Kapag nilulutas ang mga homogenous na equation, ang parehong bahagi ng equation ay nahahati sa term sa pamamagitan ng term ng cosx para sa (1) ng equation at ng cos 2 x para sa (2). Posible ang gayong dibisyon, dahil ang sinx at cosx ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras - nagiging zero sila sa iba't ibang puntos. Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga homogenous na equation ng una at pangalawang degree.
Tandaan ang equation na ito: kapag isinasaalang-alang ang susunod na paraan - ang pagpapakilala ng isang pantulong na argumento, malulutas namin ito sa ibang paraan.
4. Pagpapakilala ng isang pantulong na argumento.
Isaalang-alang ang equation na nalutas na ng nakaraang pamamaraan:
Tulad ng nakikita mo, ang parehong resulta ay nakuha.
Tingnan natin ang isa pang halimbawa:
Sa mga halimbawang isinasaalang-alang, sa pangkalahatan ay malinaw kung ano ang kailangang hatiin ng orihinal na equation upang maipakilala ang isang pantulong na argumento. Ngunit maaaring mangyari na hindi halata kung aling divisor ang pipiliin. Mayroong isang espesyal na pamamaraan para dito, na isasaalang-alang natin ngayon pangkalahatang pananaw. Hayaang ibigay ang equation:
Hatiin ang equation sa pamamagitan ng Kuwadrado na ugat mula sa expression (3), nakukuha natin:
asinx + bcosx = c ,
pagkatapos ay a 2 + b 2 = 1 at samakatuwid a = sinx at b = cosx . Gamit ang difference cosine formula, nakukuha natin ang pinakasimpleng trigonometric equation:
na madaling malutas.
Lutasin natin ang isa pang equation:
Binabawasan namin ang equation sa isang argumento - 2 x gamit ang mga formula ng double angle at binabaan ang degree:
Katulad ng mga nakaraang equation, gamit ang sinus formula ng kabuuan, nakukuha natin ang:
na madali ding lutasin.
Magpasya para sa iyong sarili sa pamamagitan ng paunang pagtukoy sa paraan ng solusyon:
Ang resulta ng aralin ay suriin ang solusyon at suriin ang mga mag-aaral.
Takdang-Aralin: p. 11, abstract, No. 164 (b, d), 167 (b, d), 169 (a, b), 174 (a, c).
Ang mga elementarya na trigonometric equation ay mga equation ng anyo, kung saan ang isa sa mga trigonometric na function: , .
Ang mga elementarya na trigonometriko equation ay may walang katapusang maraming ugat. Halimbawa, ang equation ay nasiyahan ang mga sumusunod na halaga: , atbp. Pangkalahatang pormula kung saan matatagpuan ang lahat ng mga ugat ng equation, kung saan, ay:
Dito maaari itong tumagal ng anumang mga halaga ng integer, bawat isa sa kanila ay tumutugma sa isang tiyak na ugat ng equation; sa formula na ito (pati na rin sa iba pang mga formula kung saan nalulutas ang mga elementarya na trigonometric equation) ay tinatawag parameter. Karaniwang isinulat nila ito, sa gayon ay binibigyang-diin na ang parameter ay maaaring kumuha ng anumang mga halaga ng integer.
Ang mga solusyon ng equation, kung saan, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
Ang equation ay malulutas sa pamamagitan ng paglalapat ng formula
at ang equation --- ayon sa formula
Talagang pansinin natin ang ilang mga espesyal na kaso ng elementarya na trigonometric equation, kapag ang solusyon ay maaaring isulat nang hindi gumagamit ng mga pangkalahatang formula:
Kapag nilulutas ang mga trigonometric equation mahalagang papel gumaganap ng panahon ng trigonometriko function. Samakatuwid, ipinakita namin ang dalawang kapaki-pakinabang na theorems:
Teorama Kung ang --- basic panahon ng function, pagkatapos ay ang numero ay ang pangunahing panahon ng function.
Ang mga panahon ng mga pag-andar at sinasabing katapat kung mayroong mga integer at ano.
Teorama Kung ang mga pana-panahong pag-andar at, may katapat at, pagkatapos ay mayroon sila pangkalahatang panahon, na siyang panahon ng mga function, .
Sinasabi ng theorem kung ano ang panahon ng pag-andar, at hindi kinakailangan ang pangunahing panahon. Halimbawa, ang pangunahing panahon ng mga function at ay --- , at ang pangunahing panahon ng kanilang produkto ay --- .
Pagpapakilala ng Pantulong na Argumento
Ang karaniwang paraan upang baguhin ang mga expression ng form ay ang sumusunod na trick: hayaan --- iniksyon, na ibinigay ng mga pagkakapantay-pantay, . Para sa anuman at ganoong anggulo ay umiiral. Sa gayon. Kung, o, sa ibang mga kaso.
Scheme para sa paglutas ng mga trigonometric equation
Ang pangunahing pamamaraan na gagabayan tayo sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko ay ang mga sumusunod:
desisyon ibinigay na equation bumaba sa isang desisyon elementarya equation. Mga tool sa solusyon --- pagbabago, mga kadahilanan, pagbabago ng mga hindi alam. Ang gabay na prinsipyo ay hindi mawalan ng ugat. Nangangahulugan ito na kapag lumipat sa susunod na equation (equation), hindi tayo natatakot sa paglitaw ng mga extra (extraneous) na ugat, ngunit mag-ingat lamang na ang bawat isa ang sumusunod na equation ang aming "kadena" (o ang hanay ng mga equation sa kaso ng pagsasanga) ay bunga ng nauna. Isa sa mga posibleng pamamaraan ang pagpili ng mga ugat ay isang tseke. Napansin namin kaagad na sa kaso ng mga trigonometric equation, ang mga paghihirap na nauugnay sa pagpili ng mga ugat, na may pag-verify, bilang isang panuntunan, ay tumaas nang husto kumpara sa mga algebraic equation. Pagkatapos ng lahat, ito ay kinakailangan upang suriin ang serye na binubuo ng isang walang katapusang bilang mga miyembro.
Espesyal na pagbanggit ay dapat gawin sa pagbabago ng mga hindi alam sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Sa karamihan ng mga kaso, pagkatapos ng kinakailangang kapalit, lumiliko ito algebraic equation. Bukod dito, hindi karaniwan para sa mga equation na, bagaman ang mga ito ay trigonometriko hitsura, sa katunayan, hindi sila, dahil pagkatapos ng unang hakbang --- mga kapalit mga variable --- nagiging algebraic, at ang pagbabalik sa trigonometrya ay nangyayari lamang sa yugto ng paglutas ng elementarya na trigonometric equation.
Alalahanin natin muli: ang pagpapalit ng hindi alam ay dapat gawin sa lalong madaling panahon, ang resultang equation pagkatapos ng pagpapalit ay dapat malutas hanggang sa dulo, kabilang ang yugto ng pagpili ng mga ugat, at pagkatapos lamang ito babalik sa orihinal na hindi alam. .
Ang isa sa mga tampok ng trigonometric equation ay ang sagot sa maraming mga kaso ay maaaring isulat iba't ibang paraan. Kahit na para sa paglutas ng equation, ang sagot ay maaaring isulat tulad nito:
1) sa anyo ng dalawang serye: , ;
2) sa karaniwang anyo, na isang unyon ng serye sa itaas: , ;
3) dahil, kung gayon ang sagot ay maaaring isulat sa form, . (Sa karagdagang, ang pagkakaroon ng isang parameter, o sa tala ng tugon ay awtomatikong nangangahulugan na ang parameter na ito ay tumatagal ng lahat ng posibleng mga halaga ng integer. Ang mga pagbubukod ay tutukuyin.)
Malinaw, ang tatlong nakalistang mga kaso ay hindi nauubos ang lahat ng mga posibilidad para sa pagsulat ng sagot sa equation na isinasaalang-alang (mayroong walang katapusan na marami sa kanila).
Halimbawa, kapag ang pagkakapantay-pantay ay totoo. Samakatuwid, sa unang dalawang kaso, kung, maaari naming palitan ng.
Karaniwan, ang sagot ay nakasulat sa batayan ng talata 2. Kapaki-pakinabang na tandaan ang sumusunod na rekomendasyon: kung ang gawain ay hindi nagtatapos sa solusyon ng equation, kinakailangan pa ring magsagawa ng isang pag-aaral, ang pagpili ng mga ugat, kung gayon ang pinaka-maginhawang paraan ng pag-record ay ipinahiwatig sa talata 1. (Ang isang katulad na rekomendasyon ay dapat ibigay para sa equation.)
Isaalang-alang natin ang isang halimbawa na naglalarawan kung ano ang sinabi.
Halimbawa Lutasin ang equation.
Desisyon. Ang pinaka-halata ay susunod na landas. Ang equation na ito nahahati sa dalawa: i. Ang paglutas ng bawat isa sa kanila at pagsasama-sama ng mga sagot na nakuha, nakita namin.
Ibang paraan. Simula noon, pinapalitan at sa pamamagitan ng mga formula ng pagpapababa ng antas. Pagkatapos ng maliliit na pagbabago, narating namin kung saan.
Sa unang tingin, wala mga espesyal na benepisyo ang pangalawang formula ay walang kumpara sa una. Gayunpaman, kung kukuha tayo, halimbawa, lumalabas na, i.e. ang equation ay may solusyon, habang ang unang paraan ay humahantong sa atin sa sagot. Ang "nakikita" at patunayan ang pagkakapantay-pantay ay hindi ganoon kadali.
Sa mga klase ng algebra, sinasabi ng mga guro na mayroong isang maliit (sa katunayan, isang napakalaking) klase ng mga trigonometrikong equation na hindi malulutas. sa mga karaniwang paraan- hindi sa pamamagitan ng factorization, o sa pamamagitan ng pagbabago ng variable, o kahit sa pamamagitan ng homogenous na termino. Sa kasong ito, isang pangunahing naiibang diskarte ang papasok - ang pamamaraan pantulong na sulok.
Ano ang pamamaraang ito at kung paano ilapat ito? Una, alalahanin natin ang mga formula para sa sum/difference sine at ng sum/difference cosine:
\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(align)\]
Sa tingin ko ang mga formula na ito ay kilala sa iyo - ang mga formula ay nagmula sa kanila dobleng argumento, kung wala ang trigonometrya ay wala kahit saan. Ngunit isaalang-alang natin ngayon ang isang simpleng equation:
Hatiin ang parehong bahagi ng 5:
Tandaan na $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, na nangangahulugan na tiyak na mayroong isang anggulo na $\alpha $ kung saan ang mga numerong ito ay cosine at sine, ayon sa pagkakabanggit. Samakatuwid, ang aming equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:
\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end(align)\]
At ito ay madaling malutas, pagkatapos nito ay nananatili lamang upang malaman kung bakit ay katumbas ng anggulo$\alpha $. Paano malalaman, pati na rin kung paano pumili ng tamang numero upang hatiin ang magkabilang panig ng equation (sa ito simpleng halimbawa hinati namin ng 5) - tungkol dito sa video tutorial ngayon:
Ngayon ay susuriin natin ang solusyon ng mga trigonometric equation, o sa halip, isang solong pamamaraan, na tinatawag na "auxiliary angle method". Bakit ito partikular na pamamaraan? Dahil lamang sa nakalipas na dalawa o tatlong araw, noong nagtatrabaho ako sa mga mag-aaral, na pinag-usapan ko tungkol sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko, at sinuri namin, bukod sa iba pang mga bagay, ang paraan ng auxiliary angle, at lahat ng mga mag-aaral bilang isa ay gumagawa ng parehong pagkakamali. Ngunit ang pamamaraan ay karaniwang simple at, bukod dito, ito ay isa sa mga pangunahing pamamaraan sa trigonometrya. Samakatuwid, marami mga problema sa trigonometriko kung hindi sa pamamagitan ng paraan ng auxiliary angle ay hindi sila malulutas sa lahat.
Samakatuwid, ngayon, para sa isang panimula, isasaalang-alang namin ang isang pares ng mga simpleng gawain, at pagkatapos ay magpapatuloy kami sa mas seryosong mga gawain. Gayunpaman, ang lahat ng ito, isang paraan o iba pa, ay mangangailangan sa amin na gamitin ang paraan ng pandiwang pantulong na anggulo, ang kakanyahan kung saan ilalarawan ko na sa unang konstruksiyon.
Paglutas ng mga simpleng problema sa trigonometriko
Halimbawa #1
\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]
Baguhin natin ng kaunti ang ating ekspresyon:
\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \left(-1 \right) \right.\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]
Paano natin ito lulutasin? Karaniwang pagtanggap ay palawakin ang $\sin 2x$ at $\cos 2x$ gamit ang mga formula ng double angle, at pagkatapos ay muling isulat ang unit bilang $((\sin )^(2))x((\cos )^(2))x $ , kumuha homogenous equation, dalhin ito sa tangents at lutasin. Gayunpaman, ito ay isang mahaba at nakakapagod na landas na nangangailangan ng maraming mga kalkulasyon.
Iminumungkahi kong pag-isipan mo ito. Mayroon kaming $\sin$ at $\cos$. Alalahanin ang formula para sa cosine at sine ng kabuuan at pagkakaiba:
\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]
Bumalik tayo sa ating halimbawa. Bawasan natin ang lahat sa sine ng pagkakaiba. Ngunit una, ang equation ay kailangang bahagyang mabago. Hanapin natin ang coefficient:
Ang $\sqrt(l)$ ay ang parehong salik kung saan ang parehong bahagi ng equation ay dapat na hatiin upang ang mga numero ay lumitaw sa harap ng sine at cosine, na sila mismo ay mga sine at cosine. Hatiin natin:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
Tingnan natin kung ano ang nakuha natin sa kaliwa: mayroon bang $\sin $ at $\cos $ na $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$, at $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Malinaw na mayroong: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Samakatuwid, maaari naming muling isulat ang aming expression tulad ng sumusunod:
\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]
Ngayon mayroon kaming formula para sa sine ng pagkakaiba. Maaari tayong sumulat ng ganito:
\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]
Bago sa amin ay ang pinakasimpleng klasikal na trigonometriko na konstruksyon. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo:
Ito ang isinulat namin para sa aming partikular na expression:
\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\ ]
\[\left[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
Nuances ng solusyon
Kaya, ano ang dapat mong gawin kung makakita ka ng katulad na halimbawa:
- Baguhin ang disenyo kung kinakailangan.
- Hanapin ang kadahilanan ng pagwawasto, kunin ang ugat mula dito at hatiin ang parehong bahagi ng halimbawa nito.
- Tinitingnan namin kung anong mga halaga ng sine at cosine ang nakuha mula sa mga numero.
- Binubulok namin ang equation ayon sa mga formula ng sine o cosine ng pagkakaiba o kabuuan.
- Lutasin namin ang pinakasimpleng trigonometric equation.
Kaugnay nito, malamang na magkaroon ng dalawang katanungan ang matulungin na mga mag-aaral.
Ano ang pumipigil sa atin sa pagsulat ng $\sin $ at $\cos $ sa yugto ng paghahanap ng correction factor? — Kami ay hinahadlangan ng pangunahing trigonometric identity. Ang katotohanan ay ang nagreresultang $\sin $ at $\cos $, tulad ng iba pang may parehong argumento, ay dapat magdagdag ng hanggang sa eksaktong "isa" kapag kuwadrado. Sa proseso ng paglutas, kailangan mong maging maingat na huwag mawala ang "deuce" sa harap ng "X".
Ang paraan ng auxiliary angle ay isang tool na tumutulong na bawasan ang isang "pangit" na equation sa isang perpektong sapat at "maganda" isa.
Halimbawa #2
\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]
Nakikita natin na mayroon tayong $((\sin )^(2))x$, kaya gamitin natin ang mga kalkulasyon ng pagbabawas. Gayunpaman, bago gamitin ang mga ito, ilabas natin ang mga ito. Upang gawin ito, tandaan kung paano hanapin ang cosine ng isang dobleng anggulo:
\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]
Kung isusulat namin ang $\cos 2x$ sa ikatlong variant, makukuha namin ang:
\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]
Magsusulat ako nang hiwalay:
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]
Ang parehong ay maaaring gawin para sa $((\cos )^(2))x$:
\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]
Kailangan lang natin ang mga unang kalkulasyon. Magtrabaho tayo sa gawain:
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]
Ngayon ginagamit namin ang mga kalkulasyon ng cosine ng pagkakaiba. Ngunit una, kalkulahin natin ang pagwawasto $l$:
Isulat muli natin ang katotohanang ito sa isip:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]
Sa kasong ito, maaari nating isulat na $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$, at $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Muli nating isulat:
\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]
\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]
Ilagay natin ang "minus" sa bracket sa mapanlinlang na paraan. Upang gawin ito, tandaan ang sumusunod:
\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\]
\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]
Bumalik kami sa aming expression at tandaan na sa papel na ginagampanan ng $\varphi $ mayroon kaming expression na $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x $. Samakatuwid, sumulat kami:
\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos x\]
\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]
Upang malutas ang isang katulad na problema, kailangan mong tandaan ang sumusunod:
\[\cos \alpha =\cos \beta \]
\[\left[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
Tingnan natin ang aming halimbawa:
\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
Kalkulahin natin ang bawat isa sa mga equation na ito:
At ang pangalawa:
Isulat natin ang huling sagot:
\[\left[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(align) \right.\]
Nuances ng solusyon
Sa katunayan, ang expression na ito ay nalutas sa maraming iba't ibang paraan, ngunit ito ay ang auxiliary angle method na nasa kasong ito pinakamainam. Bilang karagdagan, gamit ang halimbawa ng disenyo na ito, nais kong iguhit ang iyong pansin sa maraming mas kawili-wiling mga trick at katotohanan:
- Mga formula ng pagbabawas ng degree. Ang mga formula na ito ay hindi kailangang isaulo, ngunit kailangan mong malaman kung paano makuha ang mga ito, na sinabi ko sa iyo tungkol sa ngayon.
- Solusyon ng mga equation ng anyong $\cos \alpha =\cos \beta $.
- Pagdaragdag ng "zero".
Ngunit hindi lang iyon. Hanggang ngayon, ang $\sin$ at $\cos$, na aming inilalabas bilang karagdagang argumento, naisip namin na dapat maging positibo ang mga ito. Samakatuwid, ngayon ay malulutas natin ang mas kumplikadong mga problema.
Pagsusuri ng mas kumplikadong mga problema
Halimbawa #1
\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]
Ibahin natin ang unang termino:
\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]
\[=2\kaliwa(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]
At ngayon pinapalitan namin ang lahat ng ito sa aming orihinal na konstruksyon:
\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin 2x\cos x-\operatorname(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]
Ipakilala natin ang ating pagwawasto:
Sumulat kami:
\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]
$\alpha $ na ang $\sin $ o $\cos $ ay magiging katumbas ng $\frac(3)(5)$ at $\frac(4)(5)$ in trigonometriko talahanayan hindi. Samakatuwid, isulat lamang natin at bawasan ang expression sa sine ng kabuuan:
\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]
\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]
Ito ay espesyal na kaso, ang pinakasimpleng konstruksyon ng trigonometriko:
Ito ay nananatili upang mahanap kung ano ang katumbas ng $\varphi $. Dito nagkakamali ang maraming estudyante. Ang katotohanan ay dalawang kinakailangan ang ipinapataw sa $\varphi $:
\[\left\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]
Gumuhit tayo ng isang radar at tingnan kung saan nangyayari ang mga halagang ito:
Pagbabalik sa aming ekspresyon, isinusulat namin ang sumusunod:
Ngunit ang entry na ito ay maaaring mapabuti ng kaunti. Dahil alam natin ang mga sumusunod:
\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]
pagkatapos sa aming kaso maaari naming isulat ito tulad nito:
Halimbawa #2
Mangangailangan ito ng mas malalim na pag-unawa sa mga paraan ng paglutas mga karaniwang gawain walang trigonometry. Ngunit para lutasin ang halimbawang ito, ginagamit din namin ang paraan ng auxiliary angle.\[\]
Ang unang bagay na nakakakuha ng iyong mata ay walang mga degree na mas mataas kaysa sa una, at samakatuwid ay walang maaaring mabulok ayon sa mga formula ng pagpapalawak ng mga degree. Gumagamit ng inverses:
Bakit ako nagkalat ng $5. Tumingin dito:
Yunit ayon sa pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan maaari nating isulat bilang $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:
Ano ang nagbibigay sa atin ng gayong rekord? Ang katotohanan ay sa unang bracket mayroong isang eksaktong parisukat. I-roll up natin ito at kunin:
Iminumungkahi kong ipakilala ang isang bagong variable:
\[\sin x+\cos x=t\]
Sa kasong ito, nakukuha namin ang expression:
\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]
\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]
Sa kabuuan, nakukuha namin ang:
\[\left[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]
Siyempre, sasabihin na ngayon ng mga may kaalamang mag-aaral na ang ganitong mga konstruksyon ay madaling malutas sa pamamagitan ng pagbawas sa isang homogenous. Gayunpaman, lulutasin natin ang bawat equation gamit ang auxiliary angle method. Upang gawin ito, kalkulahin muna namin ang pagwawasto $l$:
\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]
Hatiin ang lahat sa $\sqrt(2)$:
\[\left[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\end(align) \right.\]
Bawasan natin ang lahat sa $\cos$:
\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(4))\]
\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ kanan)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\end(align) \right.\]
Tingnan natin ang bawat isa sa mga ekspresyong ito.
Ang unang equation ay walang mga ugat, at ang irrationality sa denominator ay makakatulong sa atin na patunayan ang katotohanang ito. Tandaan ang sumusunod:
\[\sqrt(2)<1,5\]
\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1,5)=\frac(3)(3)=1\]
Sa kabuuan, malinaw naming napatunayan na kinakailangan na ang $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ ay ay katumbas ng bilang, na mas malaki kaysa sa "isa" at, samakatuwid, ang konstruksiyon na ito ay walang mga ugat.
Harapin natin ang pangalawa:
Lutasin natin ang disenyong ito:
Sa prinsipyo, maaari mong iwanan ang sagot tulad nito, o maaari mo itong ipinta:
Mahahalagang Punto
Sa konklusyon, nais kong muling iguhit ang iyong pansin sa gawaing may "pangit" na mga argumento, i.e. kapag ang $\sin$ at $\cos$ ay hindi mga halaga ng talahanayan. Ang problema ay kung sasabihin natin na sa ating equation na $\frac(3)(5)$ ay $\cos $ at $\frac(4)(5)$ ay $\sin $, at sa huli, pagkatapos nating magpasya sa disenyo, kailangan nating isaalang-alang ang parehong mga kinakailangang ito. Kumuha kami ng isang sistema ng dalawang equation. Kung hindi natin ito isasaalang-alang, makukuha natin ang sumusunod na sitwasyon. Sa kasong ito, makakakuha tayo ng dalawang puntos at kapalit ng $\varphi $ magkakaroon tayo ng dalawang numero: $\arcsin \frac(4)(5)$ at $-\arcsin \frac(4)(5)$, ngunit ang huli ay hindi nasiyahan. Gayon din ang mangyayari sa puntong $\frac(3)(5)$.
Ang problemang ito ay nangyayari lamang kapag nag-uusap kami tungkol sa "pangit" na mga argumento. Kapag meron na tayo mga halaga ng talahanayan, tapos wala naman.
Inaasahan kong nakatulong sa iyo ang aralin ngayon na maunawaan kung ano ang paraan ng auxiliary angle at kung paano ito ilalapat kasama ng mga halimbawa. iba't ibang antas kahirapan. Ngunit hindi lamang ito ang aralin na nakatuon sa paglutas ng mga problema gamit ang auxiliary angle method. Kaya manatili sa amin!
Buod ng aralin para sa mga baitang 10-11
Paksa 1 : Paraan ng pag-input ng pantulong na argumento. Derivation ng mga formula.
Mga layunin:
Pagbubuo ng kaalaman ng isang bagong pamamaraan para sa paglutas ng mga gawain sa trigonometrya, kung saan posible o kinakailangan ang aplikasyon nito;
Pagbubuo ng mga kasanayan upang pag-aralan ang kalagayan ng problema, ihambing at hanapin ang mga pagkakaiba;
Pag-unlad ng pag-iisip, lohika at bisa ng mga pahayag, ang kakayahang gumawa ng mga konklusyon at pangkalahatan;
Pag-unlad ng pagsasalita, pagpapayaman at komplikasyon bokabularyo, mastering ang nagpapahayag na katangian ng wika ng mga mag-aaral;
Ang pagbuo ng saloobin sa paksa, sigasig para sa kaalaman, paglikha ng mga kondisyon para sa isang malikhaing hindi pamantayang diskarte sa pag-master ng kaalaman.
Kinakailangang kaalaman, kakayahan at kakayahan:
Makuha ang mga trigonometric formula at gamitin ang mga ito sa mga iba pang gawain;
Magagawang lutasin o magkaroon ng ideya kung paano lutasin mga gawaing trigonometriko;
Alamin ang mga pangunahing trigonometric formula.
Ang antas ng paghahanda ng mga mag-aaral para sa malay-tao na pang-unawa:
Kagamitan: AWP, pagtatanghal na may mga kondisyon ng gawain, mga solusyon at mga kinakailangang formula, mga card na may mga gawain at sagot.
Istraktura ng aralin:
1. Pagtatakda ng layunin ng aralin (2
Paghahanda para sa pag-aaral ng bagong materyal (12 min).
Pagkilala sa bagong materyal (15 min).
Pangunahing pag-unawa at pagsasabuhay ng natutuhan (10 min).
Pagtatakda ng takdang-aralin (3 min).
Pagbubuod ng aralin (3 min).
Sa panahon ng mga klase.
1. Pagtatakda ng layunin ng aralin.
Suriin ang kahandaan ng mga mag-aaral at kagamitan para sa aralin. Maipapayo na maghanda nang maaga takdang aralin sa pisara para talakayin ang solusyon. Tandaan na ang layunin ng aralin ay palawakin ang kaalaman tungkol sa mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang mga gawain sa trigonometrya at subukan ang iyong kamay sa pag-master ng mga ito.
2. Paghahanda para sa pag-aaral ng bagong materyal.
Talakayin ang takdang-aralin: tandaan ang mga pangunahing trigonometric formula, ang mga halaga ng trigonometriko function para sa pinakasimpleng argumento. Suriin ang takdang-aralin.
Mga formula:
; 
;
; 
;
Gawain: Ipahayag ang ekspresyon bilang isang produkto.
Ang mga mag-aaral ay malamang na mag-alok susunod na solusyon:
kasi alam nila ang mga formula para sa pag-convert ng kabuuan ng trigonometriko function sa isang produkto.
Nagmumungkahi kami ng isa pang solusyon sa problema: . Dito, kapag nagresolve, ginamit ang formula para sa cosine ng pagkakaiba ng dalawang argumento, kung saan ang auxiliary. Tandaan na sa bawat isa sa mga pamamaraang ito, maaaring gumamit ng iba pang katulad na mga formula.
3. Pagkilala sa bagong materyal.
Ang tanong ay lumitaw, saan nagmula ang auxiliary argument?
Upang makakuha ng sagot, isaalang-alang karaniwang desisyon problema, binabago namin ang expression sa isang produkto, kung saan at mga arbitrary na hindi zero na numero.
ipinakilala namin ang isang karagdagang anggulo (auxiliary argument), kung saan , , pagkatapos ang aming expression ay kukuha ng form:
Kaya, nakuha namin ang formula: .
Kung ang anggulo ay ipinasok ayon sa mga formula, ang expression ay kukuha ng form at makakakuha tayo ng ibang anyo ng formula: .
Nakakuha kami ng mga formula para sa karagdagang anggulo, na tinatawag na mga formula ng auxiliary argument:
Ang mga formula ay maaari ding magkaroon ng ibang anyo (kinakailangan itong bigyang pansin Espesyal na atensyon at ipakita na may mga halimbawa).
Tandaan na sa pinakasimpleng mga kaso, ang paraan ng pagpapakilala ng isang pantulong na argumento ay nabawasan sa pagpapalit ng mga numero; ; ; ; isa; trigonometriko function kaukulang sulok.
4. Pangunahing pag-unawa at pagsasabuhay ng mga natutunan .
Upang pagsama-samahin ang materyal, iminungkahi na isaalang-alang ang ilang higit pang mga halimbawa ng mga gawain:
Ipahayag bilang produkto ng expression:
Maipapayo na suriin ang mga gawain 3 at 4 sa klase (ang pagsusuri ng mga gawain ay naroroon sa mga materyales para sa mga klase). Maaaring gawin ang mga gawain 1, 2 at 5 malayang desisyon(mga sagot na ibinigay).
Upang pag-aralan ang mga tampok ng mga kondisyon ng mga tipikal na gawain kung saan maaaring gamitin ang itinuturing na paraan ng solusyon, maaaring gamitin ang iba't ibang mga pamamaraan. Tandaan na ang gawain 1. ay maaaring isagawa sa iba't ibang paraan, at upang makumpleto ang mga gawain 2 - 5 ay mas maginhawang gamitin ang paraan ng pagpapakilala ng isang pantulong na anggulo
Sa kurso ng isang pangharap na pag-uusap, dapat itong talakayin kung paano ang mga gawaing ito ay katulad ng halimbawa na isinasaalang-alang sa simula ng aralin, ano ang mga pagkakaiba, kung ang iminungkahing pamamaraan ay maaaring ilapat upang malutas ang mga ito at kung bakit ang paggamit nito ay mas maginhawa. .
Pagkakatulad: sa lahat ng mga iminungkahing halimbawa, posibleng ilapat ang paraan ng pagpapakilala ng isang pantulong na argumento, at ito ay isang mas maginhawang paraan na humahantong kaagad sa resulta.
Pagkakaiba: sa unang halimbawa, ang isang iba't ibang mga diskarte ay posible, at sa lahat ng iba pa, isang paraan ng paglalapat ng isang auxiliary argument gamit ang hindi isa, ngunit ilang mga formula ay posible.
Pagkatapos talakayin ang mga gawain, maaari mong anyayahan ang mga lalaki na lutasin ang natitira sa kanilang sarili sa bahay.
5. Pahayag ng takdang-aralin.
Sa bahay, inaanyayahan kang maingat na pag-aralan ang buod ng aralin at subukang lutasin ang mga sumusunod na pagsasanay.
Paksa ng aralin: Isang paraan para sa pagpapakilala ng isang pantulong na anggulo sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
Aktwalisasyon.
Guro.
Guys! Nakilala namin ang iba't ibang uri ng trigonometric equation at natutunan namin kung paano lutasin ang mga ito. Ngayon ay gagawin nating pangkalahatan ang kaalaman sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko iba't ibang uri. Upang gawin ito, hinihiling ko sa iyo na magtrabaho sa pag-uuri ng mga equation na iminungkahi sa iyo (tingnan ang mga equation Blg. 1-10 sa Appendix - sa dulo ng abstract sa PDF form)
Punan ang talahanayan: ipahiwatig ang uri ng equation, ang paraan para sa paglutas nito at itugma ang mga numero ng mga equation sa uri kung saan sila nabibilang.
Mga mag-aaral. Punan ang talahanayan.
| Uri ng equation | Paraan ng Solusyon | Mga equation |
| Protozoa | Mga formula ng ugat | №1 |
| Nababawasan sa parisukat | Paraan ng pagpapalit ng variable | №2,3 |
| Kumplikadong trigonometriko view | Pasimplehin sa kilalang anyo gamit ang mga formula ng trigonometry | №4,5 |
| Homogeneous unang degree | Hatiin ang termino ng equation sa pamamagitan ng termino sa pamamagitan ng cosine ng variable | №6 |
| Homogeneous pangalawang degree | Hatiin ang termino ng equation sa pamamagitan ng termino sa pamamagitan ng parisukat ng cosine ng variable | №7 |
Problematisasyon.
Ang pagpuno sa talahanayan, ang mga mag-aaral ay nahaharap sa isang problema. Hindi nila matukoy ang uri at paraan ng paglutas ng tatlong equation: No. 8,9,10.
Guro. Nagawa mo bang uriin ang lahat ng equation ayon sa anyo at paraan ng solusyon?
Tugon ng mga mag-aaral. Hindi, tatlong equation ang hindi mailagay sa talahanayan.
Guro. Bakit?
Tugon ng mga mag-aaral. Hindi sila kamukha sikat na species. Ang paraan ng solusyon ay hindi malinaw.
Pagtatakda ng layunin.
Guro. Kung gayon, paano natin bubuoin ang layunin ng ating aralin?
Sagutin ang mga mag-aaral. Tukuyin ang Natuklasan bagong uri equation at humanap ng paraan para malutas ang mga ito.
Guro. Posible bang bumalangkas ng paksa ng aralin kung hindi natin alam ang uri ng mga natuklasang equation at ang paraan ng paglutas ng mga ito?
Tugon ng mag-aaral. Hindi, ngunit magagawa natin ito sa ibang pagkakataon, kapag nalaman natin kung ano ang ating kinakaharap.
Pagpaplano ng aktibidad.
Guro. Planuhin natin ang ating mga aktibidad. Karaniwan naming tinutukoy ang uri at pagkatapos ay naghahanap ng isang paraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation. Sa ating kasalukuyang sitwasyon, posible bang magbigay ng isang tiyak na pangalan sa uri ng mga equation na natuklasan? At sa pangkalahatan, nabibilang ba sila sa parehong species?
Tugon ng mga mag-aaral. Ang hirap gawin.
Guro. Pagkatapos ay isipin, baka may nag-uugnay sa kanila, o katulad ba sila sa ilang uri?
Tugon ng mga mag-aaral. Ang kaliwang bahagi ng mga equation na ito ay kapareho ng mga homogenous, ngunit ang kanilang kanang bahagi ay hindi katumbas ng zero. Kaya, ang paghahati sa cosine ay magpapalubha lamang sa solusyon.
Guro. Siguro magsisimula tayo sa paghahanap ng paraan ng solusyon, at pagkatapos ay tukuyin ang uri ng equation? Alin sa 3 equation ang sa tingin mo ang pinakasimple?
Sagot ng mga mag-aaral ngunit walang pinagkasunduan. Marahil ay mahulaan ng isang tao na ang mga coefficient sa equation No. 8 ay dapat ipahayag bilang sine at cosine ng anggulo ng talahanayan. At pagkatapos ay tutukuyin ng klase ang equation na maaaring malutas muna. Kung hindi, iminumungkahi ng guro na isaalang-alang karagdagang equation (tingnan ang equation No. 11 sa Appendix - sa dulo ng abstract sa PDF form). Sa loob nito, ang mga coefficient ay katumbas ng sine at cosine ng isang kilalang anggulo, at dapat itong mapansin ng mga mag-aaral.
Ibibigay ng guro ang pagkakasunod-sunod ng mga gawain. ( Tingnan mo mga equation sa Appendix - sa PDF form sa dulo ng abstract).
- Lutasin ang unang equation (№11), sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coefficient sa mga halaga ng sine at cosine ng kilalang anggulo at paglalapat ng formula para sa sine ng kabuuan.
- Subukang i-convert ang iba pang mga equation sa anyo ng una at ilapat ang parehong paraan. ( tingnan ang Equation #8,9,12)
- I-generalize at i-extend ang paraan sa anumang coefficient at bumuo ng pangkalahatang algorithm ng mga aksyon (tingnan ang Equation #10).
- Ilapat ang pamamaraan upang malutas ang iba pang mga equation ng parehong uri. (tingnan ang Equation Nos. 12,13, 14).
Pagpapatupad ng plano.
Guro. Well, nakagawa na kami ng plano. Simulan natin itong ipatupad.
Sa pisara, nilulutas ng mag-aaral ang equation No. 11.
Ang pangalawang mag-aaral ay nilulutas ang sumusunod na equation No. 8, pagkatapos itong hatiin sa pare-parehong numero at, sa gayon, binabawasan ang sitwasyon sa isang nahanap na solusyon.
Iminumungkahi ng guro na lutasin ang mga equation Blg. 9.12 sa kanilang sarili. Sinusuri ang kawastuhan ng mga pagbabago at ang hanay ng mga solusyon.
Guro. Guys, paano mo matatawag ang anggulo na lumilitaw sa halip na mga coefficient ng equation at tumutulong sa amin na maabot ang isang solusyon?
Tugon ng mga mag-aaral. Dagdag. (Pagpipilian: pantulong).
Guro. Hindi laging madaling makahanap ng ganitong pantulong na anggulo. Posible bang mahanap ito kung ang mga coefficient ay hindi sine at cosine kilalang mga sulok? Anong pagkakakilanlan ang dapat matugunan ng mga naturang coefficient kung gusto nating katawanin ang mga ito bilang sine at cosine ng auxiliary angle?
Sagot. Pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan.
Guro. Magaling! Tama! Kaya ang aming gawain ay upang makakuha ng mga coefficient na ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng isa! Subukang makabuo ng isang numero kung saan kailangan mong hatiin ang equation upang ang kundisyong ipinahiwatig namin ay nasiyahan.
Ang mga mag-aaral ay nag-iisip at, marahil, nag-aalok na hatiin ang lahat sa pamamagitan ng square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coefficient ng equation. Kung hindi, aakayin sila ng guro sa kaisipang ito.
Guro. Ito ay nananatiling para sa amin upang piliin kung alin sa mga bagong coefficient ang itatalaga bilang sine ng auxiliary angle, at kung alin bilang cosine. Mayroong dalawang mga pagpipilian. Ang paglipat sa pinakasimpleng equation na may isang sine o isang cosine ay nakasalalay sa pagpili.
Mga mag-aaral nag-aalok sila ng solusyon, at kinukumpleto ito ng guro, na binibigyang pansin ang anyo ng pagtatala ng pangangatwiran at ang sagot. Lutasin ang Equation 10.
Guro. Natuklasan ba natin ang isang paraan para sa paglutas ng bagong uri ng equation? Ano ang tawag natin sa ganitong uri?
Sagot. Nagtrabaho kami sa pamamagitan ng paraan ng paghahanap ng isang pandiwang pantulong na anggulo. Siguro ang mga equation ay dapat na tinatawag na mga equation na nalutas gamit ang mga auxiliary na anggulo?
Guro. Syempre kaya mo. May naiisip ka bang formula para sa kanila? Ito ay magiging mas maikli.
Sagot. Oo. Mga equation na may mga coefficient A, B at C.
Guro. I-generalize natin ang paraan para sa arbitrary coefficients.
Tinatalakay at isusulat ng guro sa pisara ang mga formula para sa sine at cosine ng auxiliary angle para sa generalized coefficients. Pagkatapos, sa tulong nila, nilulutas niya ang mga equation No. 13 at 14.
Guro. Natutunan na ba natin ang pamamaraan?
Sagot. Hindi. Ito ay kinakailangan upang malutas ang mga naturang equation at pagsamahin ang kakayahang gamitin ang paraan ng auxiliary angle.
Guro. Paano natin malalaman na ang pamamaraan ay pinagkadalubhasaan?
Sagot. Kung malulutas natin ang ilang mga equation sa ating sarili.
Guro. Magtatag tayo ng isang sukat ng husay para sa mastering ng pamamaraan.
Kilalanin ang mga katangian ng mga antas at ilagay ang mga ito sa isang sukat na sumasalamin sa antas ng karunungan ng kasanayang ito. Iugnay ang katangian ng antas at ang marka (mula 0 hanggang 3)
- Kaya kong lutasin ang mga equation na may iba't ibang coefficient
- Hindi malutas ang mga equation
- Kaya kong lutasin ang mga kumplikadong equation
- Kaya kong lutasin ang mga equation na may mga tabular coefficient
Guro.(Pagkatapos sumagot ng mga mag-aaral) Kaya, ang aming rating scale ay ang mga sumusunod:
Sa parehong prinsipyo, tinatantya namin pansariling gawain paksa sa susunod na aralin.
At ngayon, mangyaring lutasin ang mga equation No. 1148 g, 1149 g, 1150 g at tukuyin ang iyong antas ng asimilasyon ng paksa.
Huwag kalimutang kumpletuhin ang mga entry sa talahanayan at pangalanan ang paksa: "Introduction of an auxiliary angle when solving trigonometric equation."
Pagninilay ng paraan upang makamit ang layunin.
Guro. Guys, naabot na ba natin ang layunin ng aralin?
Mga tugon ng mag-aaral. Oo, natutunan namin na makilala ang isang bagong uri ng equation.
Natagpuan namin ang isang paraan para sa paglutas ng mga ito gamit ang isang auxiliary angle.
Natutong ilapat ang pamamaraan sa pagsasanay.
Guro. Paano tayo kumilos? Paano natin naunawaan ang kailangan nating gawin?
Sagot. Isinaalang-alang namin ang ilang mga espesyal na kaso ng mga equation na may mga "kilalang" coefficient at pinalawak ang lohika na ito sa anumang mga halaga ng A, B at C.
Guro. Ito ay isang inductive na paraan ng pag-iisip: nakuha namin ang isang paraan mula sa ilang mga kaso at inilapat ito sa mga katulad na kaso.
Pananaw. Saan natin mailalapat ang ganitong paraan ng pag-iisip? (sagot ng mag-aaral)
Maganda ang ginawa mo ngayon sa klase. Sa bahay, basahin ang paglalarawan ng paraan ng auxiliary na anggulo sa aklat-aralin at lutasin ang No. 1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c). Umaasa ako na sa susunod na aralin ay magiging mahusay kayong lahat sa paggamit ng paraang ito sa paglutas ng mga trigonometric equation.
Salamat sa aral!
