Seit der Antike ist es notwendig, Werte und Mengen zu vergleichen, um praktische Probleme zu lösen. Gleichzeitig erschienen Wörter wie mehr und weniger, höher und niedriger, leichter und schwerer, leiser und lauter, billiger und teurer usw., die die Ergebnisse des Vergleichs homogener Mengen bezeichnen.

Die Begriffe Mehr und Weniger entstanden im Zusammenhang mit dem Zählen von Gegenständen, dem Messen und Vergleichen von Mengen. Zum Beispiel wussten die Mathematiker des antiken Griechenlands, dass die Seite jedes Dreiecks kleiner ist als die Summe der beiden anderen Seiten und das Gegenteil größeren Winkel Die längste Seite ist im Dreieck. Archimedes fand bei der Berechnung des Umfangs eines Kreises heraus, dass der Umfang jedes Kreises gleich dem Dreifachen des Durchmessers ist, mit einem Überschuss, der weniger als ein Siebtel des Durchmessers, aber mehr als zehn Einundsiebzigsten des Durchmessers beträgt.

Schreiben Sie Beziehungen zwischen Zahlen und Mengen symbolisch mit den Zeichen > und b. Einträge, bei denen zwei Zahlen durch eines der Zeichen verbunden sind: > (größer als), stießen Sie ebenfalls auf numerische Ungleichungen niedrigere Noten. Sie wissen, dass Ungleichheiten wahr sein können oder nicht. Beispielsweise ist \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) richtig numerische Ungleichheit, 0,23 > 0,235 - falsche numerische Ungleichung.

Ungleichungen, die Unbekannte enthalten, können für einige Werte der Unbekannten wahr und für andere falsch sein. Beispielsweise ist die Ungleichung 2x+1>5 wahr für x = 3, aber falsch für x = -3. Für eine Ungleichung mit einer Unbekannten können Sie die Aufgabe stellen: Lösen Sie die Ungleichung. Probleme der Lösung von Ungleichungen werden in der Praxis nicht weniger häufig gestellt und gelöst als Probleme der Lösung von Gleichungen. Zum Beispiel viele Wirtschaftsprobleme auf das Studium und die Lösung linearer Ungleichungssysteme reduziert. In vielen Zweigen der Mathematik sind Ungleichungen häufiger als Gleichungen.

Einige Ungleichheiten sind die einzigen Hilfsmittel, mit dem Sie die Existenz eines bestimmten Objekts beweisen oder widerlegen können, beispielsweise die Wurzel einer Gleichung.

Numerische Ungleichungen

Kann man ganze Zahlen vergleichen? Dezimalstellen. Kenne die Vergleichsregeln gewöhnliche Brüche mit gleichen Nennern, aber unterschiedlichen Zählern; mit gleichen Zählern, aber unterschiedlichen Nennern. Hier lernst du, wie man zwei beliebige Zahlen vergleicht, indem man das Vorzeichen ihrer Differenz findet.

Der Vergleich von Zahlen ist in der Praxis weit verbreitet. Zum Beispiel vergleicht ein Ökonom geplante Indikatoren mit tatsächlichen, ein Arzt vergleicht die Temperatur eines Patienten mit der normalen, ein Dreher vergleicht die Abmessungen eines bearbeiteten Teils mit einem Standard. In all diesen Fällen werden einige Zahlen verglichen. Durch den Vergleich von Zahlen entstehen numerische Ungleichheiten.

Definition. Die Zahl a ist größer als die Zahl b, wenn Unterschied a-b positiv. Nummer a weniger als Zahl b wenn die Differenz a-b negativ ist.

Wenn a größer als b ist, dann schreiben sie: a > b; ist a kleiner als b, dann schreiben sie: a Die Ungleichung a > b bedeutet also, dass die Differenz a - b positiv ist, d.h. a - b > 0. Ungleichung a Für zwei beliebige Zahlen a und b aus den folgenden drei Relationen a > b, a = b, a Satz. Wenn a > b und b > c, dann a > c.

Satz. Wird auf beiden Seiten der Ungleichung dieselbe Zahl addiert, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht.
Folge. Jeder Term kann von einem Teil der Ungleichung in einen anderen übertragen werden, indem das Vorzeichen dieses Terms in das Gegenteil geändert wird.

Satz. Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben negativen Zahl multipliziert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung ins Gegenteil.
Folge. Wenn beide Teile der Ungleichung durch dieselbe positive Zahl dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Wenn beide Teile der Ungleichung durch dieselbe negative Zahl dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung ins Gegenteil.

Wissen Sie, dass numerische Gleichheiten Sie können Term für Term addieren und multiplizieren. Als Nächstes lernen Sie, wie Sie ähnliche Aktionen mit Ungleichungen ausführen. Die Möglichkeit, Ungleichungen Term für Term zu addieren und zu multiplizieren, wird in der Praxis häufig genutzt. Diese Aktionen helfen Ihnen, die Probleme beim Auswerten und Vergleichen von Ausdruckswerten zu lösen.

Bei der Entscheidung mehrere Aufgaben oft muss man Term für Term den linken und rechten Teil der Ungleichungen addieren oder multiplizieren. Es wird manchmal gesagt, dass Ungleichheiten addiert oder multipliziert werden. Wenn zum Beispiel ein Tourist am ersten Tag mehr als 20 km und am zweiten Tag mehr als 25 km gelaufen ist, dann kann man argumentieren, dass er in zwei Tagen mehr als 45 km gelaufen ist. Wenn die Länge eines Rechtecks ​​weniger als 13 cm und die Breite weniger als 5 cm beträgt, kann argumentiert werden, dass die Fläche dieses Rechtecks ​​weniger als 65 cm2 beträgt.

Bei der Betrachtung dieser Beispiele gilt Folgendes Sätze über Addition und Multiplikation von Ungleichungen:

Satz. Wenn wir Ungleichungen mit demselben Vorzeichen addieren, erhalten wir eine Ungleichung mit demselben Vorzeichen: Wenn a > b und c > d, dann a + c > b + d.

Satz. Beim Multiplizieren von Ungleichungen gleichen Vorzeichens, bei denen der linke und rechte Teil positiv sind, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens: Wenn a > b, c > d und a, b, c, d positive Zahlen sind, dann ist ac > bd.

Ungleichungen mit dem Vorzeichen > (größer als) und 1/2, 3/4 b, c Neben den strengen Ungleichungen > und Ebenso bedeutet die Ungleichung \(a \geq b \), dass die Zahl a größer als ist oder gleich b, d.h. und nicht kleiner als b.

Ungleichungen, die das Vorzeichen \(\geq \) oder das Vorzeichen \(\leq \) enthalten, heißen nicht-strikt. Beispielsweise sind \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) keine strikten Ungleichungen.

Alle Eigenschaften strenger Ungleichungen gelten auch für nicht strenge Ungleichungen. Außerdem, wenn für strenge Ungleichungen die Vorzeichen > entgegengesetzt betrachtet wurden und Sie das wissen, um die Reihe zu lösen angewandte Aufgaben Sie müssen ein mathematisches Modell in Form einer Gleichung oder eines Gleichungssystems erstellen. Als nächstes erfährst du das Mathematische Modelle Viele Probleme zu lösen sind Ungleichungen mit Unbekannten. Wir werden das Konzept der Lösung einer Ungleichung einführen und zeigen, wie man prüft, ob angegebene Nummer Lösung einer bestimmten Ungleichung.

Ungleichungen der Form
\(ax > b, \quad ax wobei a und b gegebene Zahlen sind und x unbekannt ist, heißt Lineare Ungleichungen mit einem Unbekannten.

Definition. Die Lösung einer Ungleichung mit einer Unbekannten ist der Wert der Unbekannten, für den diese Ungleichung zu einer echten numerischen Ungleichung wird. Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, alle ihre Lösungen zu finden oder festzustellen, dass es keine gibt.

Sie haben die Gleichungen gelöst, indem Sie sie auf die einfachsten Gleichungen reduziert haben. Ebenso neigt man beim Lösen von Ungleichungen dazu, sie mit Hilfe von Eigenschaften auf die Form einfachster Ungleichungen zu reduzieren.

Lösung von Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen

Ungleichungen der Form
\(ax^2+bx+c >0 \) und \(ax^2+bx+c wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und \(a \neq 0 \) aufgerufen werden Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen.

Lösen der Ungleichung
\(ax^2+bx+c >0 \) oder \(ax^2+bx+c \) kann als Finden von Lücken betrachtet werden, wo die Funktion \(y= ax^2+bx+c \) positiv wird oder negative Werte Dazu genügt es zu analysieren, wie sich der Graph der Funktion \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) in der Koordinatenebene befindet: Wo die Zweige der Parabel gerichtet sind - nach oben oder unten , ob die Parabel die x-Achse schneidet und wenn ja, an welchen Stellen.

Algorithmus zum Lösen von Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen:
1) Finden Sie die Diskriminante quadratisches Trinom\(ax^2+bx+c \) und finden Sie heraus, ob das Trinom Wurzeln hat;
2) wenn das Trinom Wurzeln hat, dann markiere diese auf der x-Achse und zeichne schematisch eine Parabel durch die markierten Punkte, deren Äste bei a > 0 nach oben oder bei einer 0 nach unten oder bei a 3) unten gerichtet sind Lücken auf der x-Achse, für die die Punkteparabeln oberhalb der x-Achse (wenn sie die Ungleichung \(ax^2+bx+c >0 \) lösen) oder unterhalb der x-Achse (wenn sie die Ungleichung lösen) liegen
\(ax^2+bx+c Lösung von Ungleichungen nach der Methode der Intervalle

Betrachten Sie die Funktion
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge aller Zahlen. Die Nullstellen der Funktion sind die Zahlen -2, 3, 5. Sie unterteilen den Definitionsbereich der Funktion in Intervalle \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) und \( (5; +\infty)\)

Lassen Sie uns herausfinden, was die Zeichen dieser Funktion in jedem der angegebenen Intervalle sind.

Der Ausdruck (x + 2)(x - 3)(x - 5) ist das Produkt aus drei Faktoren. Das Vorzeichen jedes dieser Faktoren in den betrachteten Intervallen ist in der Tabelle angegeben:

Im Allgemeinen sei die Funktion durch die Formel gegeben
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
wobei x eine Variable ist und x 1 , x 2 , ..., x n ungleiche Zahlen sind. Die Zahlen x 1 , x 2 , ..., x n sind die Nullstellen der Funktion. In jedem der Intervalle, in die der Definitionsbereich durch die Nullstellen der Funktion unterteilt wird, bleibt das Vorzeichen der Funktion erhalten, und beim Nulldurchgang ändert sich ihr Vorzeichen.

Diese Eigenschaft wird verwendet, um Ungleichungen der Form zu lösen
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) wobei x 1 , x 2 , ..., x n ungleiche Zahlen sind

Überlegte Methode Das Lösen von Ungleichungen wird Intervallmethode genannt.

Lassen Sie uns Beispiele für die Lösung von Ungleichungen mit der Intervallmethode geben.

Lösen Sie die Ungleichung:

\(x(0.5-x)(x+4) Offensichtlich sind die Nullstellen der Funktion f(x) = x(0.5-x)(x+4) die Punkte \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Gelten numerische Achse Nullen der Funktion und berechnen Sie das Vorzeichen für jedes Intervall:

Wir wählen die Intervalle aus, in denen die Funktion kleiner oder gleich Null ist, und schreiben das Ergebnis auf.

Antworten:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Konzept mathematische Ungleichheit kommt ursprünglich aus Antike. Dies geschah wann primitiver Mann Zählen und Handeln waren gefragt verschiedene Artikel Vergleichen Sie ihre Anzahl und Größe. Seit der Antike wurden Ungleichungen in ihren Überlegungen von Archimedes, Euklid und anderen berühmten Wissenschaftlern verwendet: Mathematikern, Astronomen, Designern und Philosophen.

Aber sie verwendeten in ihren Werken in der Regel verbale Terminologie. Zum ersten Mal moderne Zeichen um die Begriffe "mehr" und "weniger" so zu bezeichnen, wie sie heute jedes Schulkind kennt, haben sie in England erfunden und in die Praxis umgesetzt. Der Mathematiker Thomas Harriot hat den Nachkommen einen solchen Dienst erwiesen. Und es geschah vor ungefähr vier Jahrhunderten.

Es gibt viele Arten von Ungleichheiten. Darunter sind einfache, eine, zwei oder mehr Variablen enthaltende, quadratische, gebrochene, komplexe Verhältnisse und sogar dargestellt durch ein System von Ausdrücken. Und um zu verstehen, wie Ungleichungen gelöst werden können, verwenden Sie am besten verschiedene Beispiele.

Verpassen Sie nicht den Zug

Stellen Sie sich zunächst vor, dass ein Bewohner Landschaft eilt weiter Bahnhof, der 20 km von seinem Dorf entfernt liegt. Um den um 11 Uhr abfahrenden Zug nicht zu verpassen, muss er pünktlich das Haus verlassen. Zu welcher Zeit sollte dies geschehen, wenn die Geschwindigkeit seiner Bewegung 5 km/h beträgt? Lösung dazu praktische Aufgabe wird auf die Erfüllung der Bedingungen des Ausdrucks: 5 (11 - X) ≥ 20 reduziert, wobei X die Abfahrtszeit ist.

Das ist verständlich, denn die Entfernung, die ein Dorfbewohner bis zur Station überwinden muss, entspricht der Bewegungsgeschwindigkeit multipliziert mit der Anzahl der Stunden auf der Straße. Kommen Sie früherer Mann vielleicht, aber er darf nicht zu spät kommen. Wenn wir wissen, wie man Ungleichungen löst, und unsere Fähigkeiten in der Praxis anwenden, werden wir schließlich X ≤ 7 erhalten, was die Antwort ist. Das bedeutet, dass der Dorfbewohner um sieben Uhr morgens oder etwas früher zum Bahnhof gehen sollte.

Nummernlücken auf der Koordinatenlinie

Lassen Sie uns nun herausfinden, wie die beschriebenen Beziehungen nicht streng auf die oben erhaltene Ungleichung abgebildet werden können. Dies bedeutet, dass die Variable Werte kleiner als 7 annehmen und gleich dieser Zahl sein kann. Lassen Sie uns andere Beispiele geben. Betrachten Sie dazu die folgenden vier Abbildungen sorgfältig.

Auf dem ersten sieht man grafisches Bild Spannweite [-7; 7]. Es besteht aus einer Reihe von Zahlen, die sich auf der Koordinatenlinie befinden und sich zwischen -7 und 7 befinden, einschließlich der Grenzen. In diesem Fall werden die Punkte in der Grafik als gefüllte Kreise dargestellt und das Intervall wird mit aufgezeichnet

Die zweite Zeichnung ist grafische Darstellung strikte Ungleichheit. In diesem Fall sind die Randnummern -7 und 7, dargestellt durch ausgestanzte (nicht ausgefüllte) Punkte, nicht enthalten angegebenen Satz. Und das Intervall selbst wird aufgezeichnet Klammern wie folgt: (-7; 7).

Das heißt, nachdem wir herausgefunden haben, wie Ungleichungen dieser Art gelöst werden können, und nachdem wir eine ähnliche Antwort erhalten haben, können wir schließen, dass es sich um Zahlen handelt, die zwischen den betrachteten Grenzen liegen, mit Ausnahme von -7 und 7. Die nächsten beiden Fälle müssen sein ähnlich gewertet. Die dritte Abbildung zeigt die Bilder von Lücken (-∞; -7] U

Lassen Sie uns nun die Aufgabe etwas komplizieren und nicht nur Polynome betrachten, sondern die sogenannten rationalen Brüche der Form:

wobei $P\left(x \right)$ und $Q\left(x \right)$ dieselben Polynome der Form $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, oder das Produkt solcher Polynome.

Dies wird eine rationale Ungleichheit sein. Der grundlegende Punkt ist das Vorhandensein der Variablen $x$ im Nenner. Hier ist es zum Beispiel - rationale Ungleichheiten:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

Und das ist keine rationale, sondern die häufigste Ungleichung, die mit der Intervallmethode gelöst wird:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Mit Blick auf die Zukunft sage ich gleich: Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten, rationale Ungleichungen zu lösen, aber alle sind auf die eine oder andere Weise auf die uns bereits bekannte Methode der Intervalle reduziert. Bevor wir diese Methoden analysieren, erinnern wir uns daher an die alten Fakten, da das neue Material sonst keinen Sinn ergibt.

Was Sie bereits wissen müssen

Es gibt nicht viele wichtige Fakten. Wir brauchen wirklich nur vier.

Abgekürzte Multiplikationsformeln

Ja, ja: Sie werden uns die ganze Zeit folgen Lehrplan Mathematik. Und an der Uni auch. Es gibt einige dieser Formeln, aber wir brauchen nur die folgenden:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\richtig). \\ \end(align)\]

Achten Sie auf die letzten beiden Formeln - dies ist die Summe und Differenz von Kubikzahlen (und nicht die Kubikzahl der Summe oder Differenz!). Sie sind leicht zu merken, wenn Sie bemerken, dass das Vorzeichen in der ersten Klammer dasselbe ist wie das Vorzeichen im ursprünglichen Ausdruck und in der zweiten Klammer das Gegenteil des Vorzeichens im ursprünglichen Ausdruck.

Lineare Gleichungen

Das sind die meisten einfache Gleichungen der Form $ax+b=0$, wobei $a$ und $b$ sind regelmäßige Nummern, und $a\ne 0$. Diese Gleichung ist einfach zu lösen:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Ich bemerke, dass wir das Recht haben, durch den Koeffizienten $a$ zu dividieren, weil $a\ne 0$ ist. Diese Anforderung ist ziemlich logisch, denn mit $a=0$ erhalten wir Folgendes:

Erstens gibt es in dieser Gleichung keine $x$-Variable. Dies sollte uns im Allgemeinen nicht verwirren (das passiert zum Beispiel in der Geometrie und ziemlich oft), aber wir sind immer noch keine lineare Gleichung mehr.

Zweitens hängt die Lösung dieser Gleichung allein vom Koeffizienten $b$ ab. Wenn $b$ ebenfalls Null ist, dann lautet unsere Gleichung $0=0$. Diese Gleichheit gilt immer; daher ist $x$ eine beliebige Zahl (normalerweise als $x\in \mathbb(R)$ geschrieben). Wenn der Koeffizient $b$ nicht ist Null, dann ist die Gleichheit $b=0$ niemals erfüllt, d.h. keine Antworten (geschrieben $x\in \varnothing $ und gelesen "Lösungsmenge ist leer").

Um all diese Komplexitäten zu vermeiden, nehmen wir einfach $a\ne 0$ an, was uns in keiner Weise von weiteren Überlegungen abhält.

Quadratische Gleichungen

Ich möchte Sie daran erinnern, dass dies eine quadratische Gleichung genannt wird:

Hier links ist ein Polynom zweiten Grades und wieder $a\ne 0$ (sonst statt quadratische Gleichung wir werden linear). Die folgenden Gleichungen werden durch die Diskriminante gelöst:

1. Wenn $D \gt 0$, erhalten wir zwei verschiedene Wurzeln;
2. Wenn $D=0$, dann ist die Wurzel eins, aber von der zweiten Multiplizität (um welche Art von Multiplizität es sich handelt und wie man sie berücksichtigt - dazu später mehr). Oder wir können sagen, dass die Gleichung zwei identische Wurzeln hat;
3. Für $D \lt 0$ gibt es überhaupt keine Wurzeln, und das Vorzeichen des Polynoms $a((x)^(2))+bx+c$ für jedes $x$ stimmt mit dem Vorzeichen des Koeffizienten $a überein $. Das ist übrigens sehr nützliche Tatsache, über die sie aus irgendeinem Grund im Algebraunterricht nicht sprechen.

Die Wurzeln selbst werden nach der bekannten Formel berechnet:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Daher übrigens die Beschränkungen für die Diskriminante. Letztendlich Quadratwurzel aus negative Zahl existiert nicht. In Bezug auf die Wurzeln haben viele Studenten ein schreckliches Durcheinander im Kopf, also habe ich es extra aufgeschrieben ganze Lektion: Was ist eine Wurzel in der Algebra und wie berechnet man sie - ich empfehle dringend, sie zu lesen. :)

Operationen mit rationalen Brüchen

Alles, was oben geschrieben wurde, wissen Sie bereits, wenn Sie die Methode der Intervalle studiert haben. Aber was wir jetzt analysieren werden, hat keine Analoga in der Vergangenheit - das ist eine völlig neue Tatsache.

Definition. Ein rationaler Bruch ist ein Ausdruck der Form

\[\frac(P\links(x \rechts))(Q\links(x \rechts))\]

wobei $P\left(x \right)$ und $Q\left(x \right)$ Polynome sind.

Es ist offensichtlich, dass es einfach ist, aus einem solchen Bruch eine Ungleichung zu erhalten - es reicht aus, nur rechts das Zeichen „größer als“ oder „kleiner als“ zuzuweisen. Und etwas weiter werden wir feststellen, dass das Lösen solcher Probleme ein Vergnügen ist, dort ist alles sehr einfach.

Probleme beginnen, wenn mehrere solcher Brüche in einem Ausdruck vorkommen. Sie müssen zu sich gebracht werden gemeinsamer Nenner- und in diesem Moment ist es erlaubt große Menge peinliche Fehler.

Daher z erfolgreiche Lösung rationale Gleichungen Zwei Fähigkeiten müssen fest beherrscht werden:

1. Faktorisierung des Polynoms $P\left(x \right)$;
2. Eigentlich Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Wie faktorisiert man ein Polynom? Sehr einfach. Lassen Sie uns ein Polynom der Form haben

Setzen wir es gleich Null. Wir erhalten die Gleichung $n$-ten Grades:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Nehmen wir an, wir haben diese Gleichung gelöst und die Wurzeln $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ erhalten (keine Sorge: In den meisten Fällen gibt es keine mehr als zwei dieser Wurzeln). In diesem Fall kann unser ursprüngliches Polynom wie folgt umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Das ist alles! Bitte beachten Sie: Der führende Koeffizient $((a)_(n))$ ist nirgendwo verschwunden - er steht als separater Faktor vor den Klammern und kann bei Bedarf in jede dieser Klammern eingefügt werden (Übung zeigt dass bei $((a)_ (n))\ne \pm 1$ fast immer Brüche zwischen den Wurzeln stehen).

Aufgabe. Den Ausdruck vereinfachen:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Entscheidung. Schauen wir uns zunächst die Nenner an: Sie sind alle lineare Binome, und hier gibt es nichts zu faktorisieren. Also faktorisieren wir die Zähler:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\rechts)\links(x-1\rechts); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \rechts)\links(2-5x \rechts). \\\end(align)\]

Bitte beachten Sie: Im zweiten Polynom erschien der Senior-Koeffizient "2" in voller Übereinstimmung mit unserem Schema zuerst vor der Klammer und wurde dann in die erste Klammer aufgenommen, da dort ein Bruch herauskam.

Dasselbe geschah beim dritten Polynom, nur dass dort auch die Reihenfolge der Terme verwechselt wird. Der Koeffizient „−5“ wurde jedoch in die zweite Klammer aufgenommen (denken Sie daran: Sie können einen Faktor nur in einer Klammer eingeben!), was uns vor den Unannehmlichkeiten bewahrt hat, die mit gebrochenen Wurzeln verbunden sind.

Was das erste Polynom betrifft, so ist dort alles einfach: Seine Wurzeln werden entweder auf übliche Weise durch die Diskriminante oder mit dem Vieta-Theorem gesucht.

Gehen wir zurück zum ursprünglichen Ausdruck und schreiben ihn mit den in Faktoren zerlegten Zählern um:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrix)\]

Antwort: $5x+4$.

Wie Sie sehen können, nichts Kompliziertes. Ein bisschen Mathematik der 7. bis 8. Klasse und das war's. Der Sinn aller Transformationen besteht darin, einen komplexen und beängstigenden Ausdruck in etwas Einfaches und Leichtes zu verwandeln.

Dies wird jedoch nicht immer der Fall sein. Nun betrachten wir ein ernsteres Problem.

Aber zuerst wollen wir herausfinden, wie man zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Der Algorithmus ist denkbar einfach:

1. Zerlege beide Nenner;
2. Betrachten Sie den ersten Nenner und fügen Sie die Faktoren hinzu, die im zweiten Nenner vorhanden sind, aber nicht im ersten. Das resultierende Produkt ist der gemeinsame Nenner;
3. Finden Sie heraus, welche Faktoren jedem der ursprünglichen Brüche fehlen, damit die Nenner gleich dem gemeinsamen Nenner werden.

Vielleicht scheint Ihnen dieser Algorithmus nur ein Text zu sein, in dem es „viele Buchstaben“ gibt. Schauen wir uns also ein konkretes Beispiel an.

Aufgabe. Den Ausdruck vereinfachen:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Entscheidung. Solche umfangreichen Aufgaben löst man am besten in Teilen. Schreiben wir auf, was in der ersten Klammer steht:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Im Gegensatz zum vorherigen Problem sind hier die Nenner nicht so einfach. Lassen Sie uns jeden von ihnen faktorisieren.

Das quadratische Trinom $((x)^(2))+2x+4$ kann nicht faktorisiert werden, da die Gleichung $((x)^(2))+2x+4=0$ keine Wurzeln hat (die Diskriminante ist negativ) . Wir lassen es unverändert.

Der zweite Nenner, das kubische Polynom $((x)^(3))-8$, ist bei näherer Betrachtung die Differenz von Kubikzahlen und lässt sich mit den abgekürzten Multiplikationsformeln leicht zerlegen:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \rechts)\]

Nichts anderes kann faktorisiert werden, da die erste Klammer ein lineares Binom enthält und die zweite eine uns bereits bekannte Konstruktion ist, die keine wirklichen Wurzeln hat.

Schließlich ist der dritte Nenner ein lineares Binom, das nicht zerlegt werden kann. Somit nimmt unsere Gleichung die Form an:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Es ist ziemlich offensichtlich, dass $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ der gemeinsame Nenner sein wird, und um alle Brüche darauf zu reduzieren, Sie müssen den ersten Bruch mit $\left(x-2 \right)$ und den letzten mit $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ multiplizieren. Dann bleibt nur noch folgendes zu bringen:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ rechts))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\links(x-2 \rechts)\links (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ links(((x)^(2))+2x+4 \rechts)). \\ \end(matrix)\]

Achten Sie auf die zweite Zeile: Wenn der Nenner bereits gemeinsam ist, d.h. Anstelle von drei separaten Brüchen haben wir einen großen geschrieben, Sie sollten die Klammern nicht sofort loswerden. Es ist besser, eine zusätzliche Zeile zu schreiben und zu beachten, dass beispielsweise vor dem dritten Bruch ein Minus stand - und es wird nirgendwo hingehen, sondern im Zähler vor der Klammer „hängen“. Das erspart Ihnen viele Fehler.

Nun, in der letzten Zeile ist es sinnvoll, den Zähler zu faktorisieren. Außerdem ist dies ein exaktes Quadrat, und die abgekürzten Multiplikationsformeln kommen uns wieder zu Hilfe. Wir haben:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Gehen wir nun genauso mit der zweiten Klammer um. Hier schreibe ich einfach eine Kette von Gleichheiten:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrix)\]

Wir kehren zum ursprünglichen Problem zurück und betrachten das Produkt:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Antwort: \[\frac(1)(x+2)\].

Die Bedeutung dieses Problems ist dieselbe wie beim vorherigen: zu zeigen, wie viel vereinfacht werden kann rationale Ausdrücke, wenn Sie ihre Transformation mit Bedacht angehen.

Und jetzt, wenn Sie das alles wissen, gehen wir zum Hauptthema der heutigen Lektion über – dem Lösen von gebrochenen rationalen Ungleichungen. Außerdem werden nach einer solchen Vorbereitung die Ungleichheiten selbst wie Nüsse klicken. :) :)

Der wichtigste Weg, um rationale Ungleichungen zu lösen

Es gibt mindestens zwei Ansätze zur Lösung rationaler Ungleichungen. Jetzt werden wir einen von ihnen betrachten - den, der allgemein akzeptiert wird Schulkurs Mathematik.

Aber zuerst, lassen Sie uns festhalten wichtiges Detail. Alle Ungleichungen werden in zwei Arten unterteilt:

1. Streng: $f\left(x \right) \gt 0$ oder $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Nonstrict: $f\left(x \right)\ge 0$ oder $f\left(x \right)\le 0$.

Ungleichungen des zweiten Typs lassen sich leicht auf den ersten reduzieren, ebenso wie die Gleichung:

Dieser kleine "Zusatz" $f\left(x \right)=0$ führt zu so unangenehmen Dingen wie gefüllten Punkten - wir sind ihnen bei der Intervallmethode wieder begegnet. Ansonsten gibt es keine Unterschiede zwischen strengen und nicht strengen Ungleichungen, also analysieren wir den universellen Algorithmus:

1. Sammeln Sie alle Nicht-Null-Elemente auf einer Seite des Ungleichheitszeichens. Zum Beispiel links;
2. Bringen Sie alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (wenn es mehrere solcher Brüche gibt), bringen Sie ähnliche. Zerlege dann, wenn möglich, in Zähler und Nenner. Auf die eine oder andere Weise erhalten wir eine Ungleichung der Form $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, wobei das Häkchen das Ungleichheitszeichen ist.
3. Setzen Sie den Zähler auf Null: $P\left(x \right)=0$. Wir lösen diese Gleichung und erhalten die Wurzeln $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Dann verlangen wir dass der Nenner nicht gleich Null war: $Q\left(x \right)\ne 0$. Natürlich müssen wir im Wesentlichen die Gleichung $Q\left(x \right)=0$ lösen und erhalten die Wurzeln $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (in echten Problemen wird es kaum mehr als drei solcher Wurzeln geben).
4. Wir markieren alle diese Wurzeln (sowohl mit als auch ohne Sternchen) auf einer einzigen Zahlenlinie, und die Wurzeln ohne Sterne werden übermalt und die mit Sternen ausgestanzt.
5. Wir platzieren die Plus- und Minuszeichen und wählen die Intervalle aus, die wir benötigen. Wenn die Ungleichung die Form $f\left(x \right) \gt 0$ hat, dann ist die Antwort die mit einem "Plus" markierten Intervalle. Wenn $f\left(x \right) \lt 0$, dann betrachten wir Intervalle mit "Minus".

Die Praxis zeigt, dass die Punkte 2 und 4 die größten Schwierigkeiten bereiten - kompetente Umformungen und die richtige Anordnung der Zahlen in aufsteigender Reihenfolge. Seien Sie beim letzten Schritt äußerst vorsichtig: Wir platzieren Schilder immer basierend auf die letzte geschriebene Ungleichung, bevor Sie zu den Gleichungen übergehen. Das universelle Regel, geerbt von der Intervallmethode.

Es gibt also ein Schema. Lass uns üben.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Entscheidung. Vor uns strikte Ungleichheit der Form $f\left(x \right) \lt 0$. Offensichtlich sind die Punkte 1 und 2 aus unserem Schema bereits fertig: Alle Elemente der Ungleichheit sind auf der linken Seite gesammelt, nichts muss auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Kommen wir also zum dritten Punkt.

Setzen Sie den Zähler auf Null:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(align)\]

Und der Nenner:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

An dieser Stelle bleiben viele Leute hängen, weil man theoretisch $x+7\ne 0$ aufschreiben muss, wie es die ODZ verlangt (man kann nicht durch Null teilen, das ist alles). Aber schließlich werden wir in Zukunft die Punkte herausstechen, die aus dem Nenner kamen, also sollten Sie Ihre Berechnungen nicht noch einmal verkomplizieren - schreiben Sie überall ein Gleichheitszeichen und machen Sie sich keine Sorgen. Dafür wird niemand Punkte abziehen. :)

Vierter Punkt. Wir markieren die erhaltenen Wurzeln auf dem Zahlenstrahl:

Alle Punkte sind punktiert, weil die Ungleichung streng ist

Beachten Sie: alle Punkte sind punktiert, weil die ursprüngliche Ungleichung streng ist. Und hier spielt es keine Rolle mehr: Diese Punkte kamen vom Zähler oder vom Nenner.

Nun, schau dir die Zeichen an. Nehmen Sie eine beliebige Zahl $((x)_(0)) \gt 3$. Zum Beispiel $((x)_(0))=100$ (aber Sie hätten genauso gut $((x)_(0))=3.1$ oder $((x)_(0)) = nehmen können 1.000.000 $). Wir bekommen:

Rechts von allen Wurzeln haben wir also einen positiven Bereich. Und beim Durchgang durch jede Wurzel ändert sich das Vorzeichen (das wird nicht immer der Fall sein, aber dazu später mehr). Deshalb fahren wir mit dem fünften Punkt fort: Wir platzieren die Schilder und wählen das richtige aus:

Wir kehren zur letzten Ungleichung zurück, die vor dem Lösen der Gleichungen war. Eigentlich stimmt es mit dem Original überein, weil wir bei dieser Aufgabe keine Transformationen vorgenommen haben.

Da es notwendig ist, eine Ungleichung der Form $f\left(x \right) \lt 0$ zu lösen, habe ich das Intervall $x\in \left(-7;3 \right)$ schattiert - es ist das einzige mit einem Minuszeichen gekennzeichnet. Das ist die Antwort.

Antwort: $x\in \left(-7;3 \right)$

Das ist alles! Ist es schwer? Nein, es ist nicht schwierig. Tatsächlich war es eine leichte Aufgabe. Lassen Sie uns nun die Mission ein wenig komplizieren und eine etwas "schickere" Ungleichung betrachten. Bei der Lösung werde ich nicht mehr so ​​detaillierte Berechnungen anstellen - ich werde einfach angeben Schlüsselpunkte. Im Allgemeinen werden wir es so arrangieren, wie wir es arrangieren würden unabhängige Arbeit oder Prüfung. :)

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Entscheidung. Dies ist eine nicht-strikte Ungleichung der Form $f\left(x \right)\ge 0$. Alle Nicht-Null-Elemente werden auf der linken Seite gesammelt, verschiedene Nenner Nein. Kommen wir zu den Gleichungen.

Zähler:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rechtspfeil ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Nenner:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Ich weiß nicht, was für ein Perverser dieses Problem verursacht hat, aber die Wurzeln sind nicht sehr gut ausgefallen: Es wird schwierig sein, sie auf einer Zahlenlinie anzuordnen. Und wenn mit der Wurzel $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ alles mehr oder weniger klar ist (das ist die einzige positive Zahl - sie steht rechts), dann $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ und $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ erfordern weitere Studien: welche ist größer?

Das kannst du zum Beispiel herausfinden:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Ich hoffe, Sie müssen nicht erklären, warum der numerische Bruch $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Bei Bedarf empfehle ich, sich daran zu erinnern, wie man Aktionen mit Brüchen ausführt.

Und wir markieren alle drei Wurzeln auf dem Zahlenstrahl:

Die Punkte vom Zähler sind schraffiert, vom Nenner ausgeschnitten

Wir haben Schilder aufgestellt. Zum Beispiel können Sie $((x)_(0))=1$ nehmen und das Vorzeichen an dieser Stelle herausfinden:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Die letzte Ungleichung vor den Gleichungen war $f\left(x \right)\ge 0$, also interessiert uns das Pluszeichen.

Wir haben zwei Mengen: eine ist ein gewöhnliches Segment und die andere ist ein offener Strahl auf der Zahlengeraden.

Antwort: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Ein wichtiger Hinweis zu den Zahlen, die wir ersetzen, um das Zeichen im Intervall ganz rechts herauszufinden. Es ist nicht erforderlich, eine Zahl in der Nähe der Wurzel ganz rechts zu ersetzen. Sie können Milliarden oder sogar "plus-unendlich" nehmen - in diesem Fall wird das Vorzeichen des Polynoms in Klammer, Zähler oder Nenner allein durch das Vorzeichen des führenden Koeffizienten bestimmt.

Schauen wir uns noch einmal die Funktion $f\left(x \right)$ aus der letzten Ungleichung an:

Es enthält drei Polynome:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\links(x \rechts)=11x+2; \\ & Q\links(x\rechts)=13x-4. \end(align)\]

Alle sind lineare Binome und alle haben positive Koeffizienten (Nummern 7, 11 und 13). Daher beim Auswechseln sehr große Zahlen Die Polynome selbst werden auch positiv sein. :) :)

Diese Regel mag übermäßig kompliziert erscheinen, aber nur auf den ersten Blick, wenn wir sehr einfache Probleme analysieren. Bei schwerwiegenden Ungleichungen ermöglicht uns die Substitution „plus-unendlich“, die Zeichen viel schneller herauszufinden als mit dem Standard $((x)_(0))=100$.

Wir werden uns sehr bald solchen Herausforderungen stellen. Aber zuerst schauen wir uns einen alternativen Weg an, um gebrochene rationale Ungleichungen zu lösen.

Alternativer Weg

Diese Technik wurde mir von einem meiner Schüler vorgeschlagen. Ich selbst habe es nie benutzt, aber die Praxis hat gezeigt, dass es für viele Schüler wirklich bequemer ist, Ungleichungen auf diese Weise zu lösen.

Die Originaldaten sind also die gleichen. Entscheiden müssen fraktionale rationale Ungleichheit:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Überlegen wir einmal: Warum ist das Polynom $Q\left(x \right)$ "schlechter" als das Polynom $P\left(x \right)$? Warum müssen wir überlegen einzelne Gruppen Wurzeln (mit und ohne Sternchen), an gestanzte Punkte denken etc.? Ganz einfach: Ein Bruch hat einen Definitionsbereich, wonach der Bruch nur dann Sinn macht, wenn sein Nenner von Null verschieden ist.

Ansonsten gibt es keine Unterschiede zwischen Zähler und Nenner: Wir setzen ihn ebenfalls gleich Null, suchen die Wurzeln und markieren sie dann auf dem Zahlenstrahl. Warum also nicht den Bruchstrich (eigentlich das Divisionszeichen) ersetzen? gewöhnliche Multiplikation, und schreiben Sie alle Anforderungen der ODZ als separate Ungleichung? Zum Beispiel so:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Bitte beachten Sie: Mit diesem Ansatz können Sie das Problem auf die Methode der Intervalle reduzieren, die Lösung wird jedoch nicht komplizierter. Immerhin setzen wir das Polynom $Q\left(x \right)$ gleich Null.

Mal sehen, wie es bei realen Aufgaben funktioniert.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Entscheidung. Kommen wir also zur Intervallmethode:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Die erste Ungleichung wird elementar gelöst. Setzen Sie einfach jede Klammer auf Null:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rechtspfeil ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Auch bei der zweiten Ungleichung ist alles einfach:

Wir markieren die Punkte $((x)_(1))$ und $((x)_(2))$ auf der reellen Geraden. Alle von ihnen sind punktiert, weil die Ungleichung streng ist:

Es stellte sich heraus, dass der rechte Punkt zweimal durchstochen war. Es ist in Ordnung.

Achten Sie auf den Punkt $x=11$. Es stellt sich heraus, dass es "zweimal ausgehöhlt" ist: einerseits wegen der Schwere der Ungleichheit, andererseits wegen zusätzliches Bedürfnis ODZ.

In jedem Fall wird es nur ein punktierter Punkt sein. Daher setzen wir Vorzeichen für die Ungleichung $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - die letzte, die wir gesehen haben, bevor wir mit dem Lösen der Gleichungen begonnen haben:

Wir interessieren uns für positive Regionen, da wir eine Ungleichung der Form $f\left(x \right) \gt 0$ lösen, und wir werden sie einfärben. Es bleibt nur, die Antwort aufzuschreiben.

Antworten. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Anhand dieser Lösung als Beispiel möchte ich Sie vor einem häufigen Fehler unter Anfängern warnen. Nämlich: Öffnen Sie niemals Klammern in Ungleichungen! Versuchen Sie im Gegenteil, alles zu berücksichtigen – das vereinfacht die Lösung und erspart Ihnen viele Probleme.

Jetzt versuchen wir etwas Schwierigeres.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Entscheidung. Dies ist eine nicht-strikte Ungleichung der Form $f\left(x \right)\le 0$, daher müssen Sie hier die gefüllten Punkte sorgfältig überwachen.

Kommen wir zur Intervallmethode:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Kommen wir zur Gleichung:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Rechtspfeil ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Rechtspfeil ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Wir berücksichtigen die zusätzliche Anforderung:

Wir markieren alle erhaltenen Wurzeln auf dem Zahlenstrahl:

Wird ein Punkt gleichzeitig ausgestanzt und ausgefüllt, gilt er als ausgestanzt.

Auch hier "überlappen" sich zwei Punkte - das ist normal, es wird immer so sein. Es ist nur wichtig zu verstehen, dass ein Punkt, der sowohl als ausgestanzt als auch ausgefüllt markiert ist, tatsächlich ein ausgestanzter Punkt ist. Jene. „Ausfugen“ ist eine stärkere Aktion als „Überstreichen“.

Das ist absolut logisch, denn durch die Punktierung markieren wir Punkte, die das Vorzeichen der Funktion beeinflussen, aber selbst nicht an der Antwort beteiligt sind. Und wenn die Nummer irgendwann nicht mehr zu uns passt (z. B. nicht in die ODZ fällt), löschen wir sie bis zum Ende der Aufgabe aus der Betrachtung.

Hören Sie im Allgemeinen auf zu philosophieren. Wir ordnen die Zeichen an und übermalen die Intervalle, die mit einem Minuszeichen gekennzeichnet sind:

Antworten. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Und wieder wollte ich Ihre Aufmerksamkeit auf diese Gleichung lenken:

\[\links(2x-13 \rechts)\links(12x-9 \rechts)\links(15x+33 \rechts)=0\]

Nochmals: Öffnen Sie niemals Klammern in solchen Gleichungen! Du machst es dir damit nur noch schwerer. Denken Sie daran: Das Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Somit, gegebene Gleichung es „zerfällt“ einfach in mehrere kleinere, die wir in der vorherigen Aufgabe gelöst haben.

Unter Berücksichtigung der Vielfalt der Wurzeln

Aus den vorherigen Problemen ist das leicht zu erkennen die größte Schwierigkeit stellen gerade nicht strenge Ungleichungen dar, da sie die gefüllten Punkte im Auge behalten müssen.

Aber es gibt ein noch größeres Übel auf der Welt – dies sind mehrere Wurzeln in Ungleichheiten. Hier ist es bereits erforderlich, dort nicht einigen gefüllten Punkten zu folgen - hier darf sich das Ungleichheitszeichen beim Durchlaufen eben dieser Punkte nicht plötzlich ändern.

Wir haben so etwas in dieser Lektion noch nicht betrachtet (obwohl ähnliches Problem häufig bei der Methode der Intervalle anzutreffen). Führen wir also eine neue Definition ein:

Definition. Die Wurzel der Gleichung $((\left(x-a \right))^(n))=0$ ist gleich $x=a$ und heißt Wurzel der $n$-ten Multiplizität.

Eigentlich sind wir nicht besonders interessiert genauer Wert Vielzahl. Wichtig ist nur, ob gerade diese Zahl $n$ gerade oder ungerade ist. Weil:

1. Wenn $x=a$ eine Wurzel gerader Vielfachheit ist, dann ändert sich das Vorzeichen der Funktion beim Durchlaufen nicht;
2. Und umgekehrt, wenn $x=a$ eine Wurzel mit ungerader Vielfachheit ist, dann ändert sich das Vorzeichen der Funktion.

Ein Spezialfall einer Wurzel mit ungerader Vielfachheit sind alle bisherigen Probleme, die in dieser Lektion behandelt wurden: Dort ist die Vielfachheit überall gleich eins.

Und weiter. Bevor wir anfangen, Probleme zu lösen, möchte ich Ihre Aufmerksamkeit auf eine Feinheit lenken, die einem erfahrenen Schüler offensichtlich erscheint, aber viele Anfänger in den Wahnsinn treibt. Nämlich:

Die Multiplizitätswurzel $n$ tritt nur auf, wenn der gesamte Ausdruck potenziert wird: $((\left(x-a \right))^(n))$, und nicht $\left(((x)^( n) )-a\right)$.

Noch einmal: Die Klammer $((\left(x-a \right))^(n))$ gibt uns die Wurzel $x=a$ der Multiplizität $n$, aber die Klammer $\left(((x)^( n)) -a \right)$ oder, wie so oft, $(a-((x)^(n)))$ gibt uns eine Wurzel (oder zwei Wurzeln, wenn $n$ gerade ist) der ersten Multiplizität , egal was gleich $n$ ist.

Vergleichen:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Hier ist alles klar: Die gesamte Klammer wurde in die fünfte Potenz erhoben, sodass wir am Ausgang die Wurzel des fünften Grades erhalten haben. Und jetzt:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Wir haben zwei Wurzeln, aber beide haben die erste Multiplizität. Oder hier ist noch einer:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Und lassen Sie sich nicht vom zehnten Grad verwirren. Hauptsache 10 ist gerade Zahl, also haben wir zwei Wurzeln am Ausgang, und beide haben wieder die erste Multiplizität.

Seien Sie generell vorsichtig: Multiplizität tritt nur dann auf, wenn Der Grad gilt für die gesamte Klammer, nicht nur für die Variable.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7 \right))^(5)))\ge 0\]

Entscheidung. Versuchen wir es zu lösen alternativer Weg- durch den Übergang vom Besonderen zum Produkt:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\Rechts.\]

Die erste Ungleichung behandeln wir mit der Intervallmethode:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rechtspfeil x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rechtspfeil x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

Zusätzlich lösen wir die zweite Ungleichung. Eigentlich haben wir es schon gelöst, aber damit die Rezensenten nichts an der Lösung bemängeln, ist es besser, es noch einmal zu lösen:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Beachte, dass es in der letzten Ungleichung keine Multiplizitäten gibt. In der Tat: Welchen Unterschied macht es, wie oft man den Punkt $x=-7$ auf dem Zahlenstrahl durchstreicht? Mindestens einmal, mindestens fünfmal - das Ergebnis wird dasselbe sein: ein punktierter Punkt.

Notieren wir alles, was wir auf der Zahlenlinie haben:

Wie gesagt, der Punkt $x=-7$ wird schließlich ausgestanzt. Die Multiplizitäten werden basierend auf der Lösung der Ungleichung durch die Intervallmethode angeordnet.

Es bleibt, die Zeichen zu setzen:

Da der Punkt $x=0$ eine Wurzel gerader Vielfachheit ist, ändert sich das Vorzeichen beim Durchlaufen nicht. Die restlichen Punkte haben eine ungerade Vielfachheit, und mit ihnen ist alles einfach.

Antworten. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Achten Sie wieder auf $x=0$. Durch die gleichmäßige Vielfältigkeit ergibt sich ein interessanter Effekt: Links davon wird alles übermalt, rechts auch - und der Punkt selbst wird komplett übermalt.

Folglich muss es beim Aufzeichnen einer Antwort nicht isoliert werden. Jene. Sie müssen nicht so etwas wie $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ schreiben (obwohl eine solche Antwort formal auch richtig wäre). Stattdessen schreiben wir gleich $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Solche Effekte sind nur für Wurzeln mit gerader Multiplizität möglich. Und in der nächsten Aufgabe werden wir auf die umgekehrte "Manifestation" dieses Effekts stoßen. Bereit?

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Entscheidung. Diesmal folgen wir dem Standardschema. Setzen Sie den Zähler auf Null:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rechtspfeil ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

Und der Nenner:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rechtspfeil x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Da wir eine nicht-strikte Ungleichung der Form $f\left(x \right)\ge 0$ lösen, werden die Wurzeln des Nenners (mit Sternchen) ausgeschnitten und die des Zählers übermalt .

Wir ordnen die Zeichen und streichen die mit einem „Plus“ gekennzeichneten Bereiche:

Der Punkt $x=3$ ist isoliert. Dies ist ein Teil der Antwort

Bevor Sie die endgültige Antwort aufschreiben, sehen Sie sich das Bild genau an:

1. Der Punkt $x=1$ hat eine gerade Multiplizität, ist aber selbst punktiert. Daher muss es in der Antwort isoliert werden: Sie müssen $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ schreiben und nicht $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.
2. Der Punkt $x=3$ hat ebenfalls eine gerade Multiplizität und ist schattiert. Die Anordnung der Schilder zeigt an, dass der Punkt an sich zu uns passt, aber ein Schritt nach links und rechts – und wir befinden uns in einem Bereich, der uns definitiv nicht passt. Solche Punkte werden isoliert genannt und als $x\in \left\( 3 \right\)$ geschrieben.

Wir fügen alle erhaltenen Teile zu einem gemeinsamen Satz zusammen und schreiben die Antwort auf.

Antwort: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definition. Das Lösen der Ungleichung bedeutet Finden Sie die Menge aller seiner Lösungen, oder beweise, dass diese Menge leer ist.

Es scheint: Was kann hier unverständlich sein? Ja, Tatsache ist, dass Mengen auf verschiedene Arten spezifiziert werden können. Lassen Sie uns die Antwort auf das letzte Problem umschreiben:

Wir lesen buchstäblich, was geschrieben steht. Die Variable "x" gehört zu einer bestimmten Menge, die durch die Vereinigung (Symbol "U") von vier getrennten Mengen erhalten wird:

• Das Intervall $\left(-\infty ;1 \right)$, was wörtlich "alle Zahlen kleiner als eins, aber nicht eine selbst" bedeutet;
• Das Intervall ist $\left(1;2 \right)$, d.h. "alle Zahlen zwischen 1 und 2, aber nicht die Zahlen 1 und 2 selbst";
• Die Menge $\left\( 3 \right\)$, bestehend aus einer einzigen Zahl - drei;
• Das Intervall $\left[ 4;5 \right)$ enthält alle Zahlen zwischen 4 und 5, plus 4 selbst, aber nicht 5.

Interessant ist hier der dritte Punkt. Im Gegensatz zu Intervallen, die unendliche Mengen von Zahlen definieren und nur die Grenzen dieser Mengen bezeichnen, definiert die Menge $\left\( 3 \right\)$ genau eine Zahl durch Aufzählung.

Um zu verstehen, dass wir die spezifischen Zahlen auflisten, die in der Menge enthalten sind (und keine Grenzen oder etwas anderes festlegen), werden geschweifte Klammern verwendet. Zum Beispiel bedeutet die Notation $\left\( 1;2 \right\)$ genau "eine Menge, die aus zwei Zahlen besteht: 1 und 2", aber kein Segment von 1 bis 2. Verwechseln Sie diese Konzepte auf keinen Fall .

Multiplizitätsadditionsregel

Nun, am Ende der heutigen Lektion eine kleine Dose von Pavel Berdov. :)

Aufmerksame Schüler haben sich wahrscheinlich schon die Frage gestellt: Was passiert, wenn man in Zähler und Nenner die gleichen Wurzeln findet? Also funktioniert folgende Regel:

Vielheiten identische Wurzeln addieren. Stets. Auch wenn diese Wurzel sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt.

Manchmal ist es besser zu entscheiden als zu reden. Daher lösen wir folgendes Problem:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Bisher nichts besonderes. Nenner auf Null setzen:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rechtspfeil x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rechtspfeil x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Es werden zwei identische Wurzeln gefunden: $((x)_(1))=-2$ und $x_(4)^(*)=-2$. Beide haben die erste Multiplizität. Daher ersetzen wir sie durch eine Wurzel $x_(4)^(*)=-2$, aber mit einer Multiplizität von 1+1=2.

Außerdem gibt es auch identische Wurzeln: $((x)_(2))=-4$ und $x_(2)^(*)=-4$. Sie sind auch von der ersten Multiplizität, also bleibt nur $x_(2)^(*)=-4$ der Multiplizität 1+1=2 übrig.

Bitte beachten Sie: In beiden Fällen haben wir genau die „ausgeschnittene“ Wurzel gelassen und die „übermalte“ aus der Betrachtung geworfen. Denn schon zu Beginn des Unterrichts waren wir uns einig: Wenn ein Punkt gleichzeitig ausgestanzt und übermalt wird, dann betrachten wir ihn trotzdem als ausgestanzt.

Als Ergebnis haben wir vier Wurzeln, und es stellte sich heraus, dass alle ausgehöhlt wurden:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Wir markieren sie unter Berücksichtigung der Multiplizität auf dem Zahlenstrahl:

Wir platzieren die Schilder und übermalen die für uns interessanten Bereiche:

Alles. Keine isolierten Punkte und andere Perversionen. Sie können die Antwort aufschreiben.

Antworten. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Multiplikationsregel

Manchmal tritt eine noch unangenehmere Situation auf: Eine Gleichung, die mehrere Wurzeln hat, wird selbst potenziert. Dies ändert die Multiplizitäten aller ursprünglichen Wurzeln.

Dies ist selten, daher haben die meisten Schüler keine Erfahrung mit der Lösung solcher Probleme. Und hier gilt die Regel:

Wenn eine Gleichung mit $n$ potenziert wird, erhöht sich auch die Multiplizität aller ihrer Wurzeln um den Faktor $n$.

Mit anderen Worten, das Potenzieren führt dazu, dass Multiplizitäten mit derselben Potenz multipliziert werden. Nehmen wir diese Regel als Beispiel:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Entscheidung. Setzen Sie den Zähler auf Null:

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Mit dem ersten Multiplikator ist alles klar: $x=0$. Und hier fangen die Probleme an:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Wie Sie sehen können, hat die Gleichung $((x)^(2))-6x+9=0$ eine eindeutige Wurzel der zweiten Multiplizität: $x=3$. Die ganze Gleichung wird dann quadriert. Daher wird die Multiplizität der Wurzel $2\cdot 2=4$ sein, was wir schließlich aufgeschrieben haben.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Auch mit dem Nenner kein Problem:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Insgesamt haben wir fünf Punkte bekommen: zwei ausgestanzte und drei ausgefüllte. Es gibt keine übereinstimmenden Wurzeln in Zähler und Nenner, also markieren wir sie einfach auf dem Zahlenstrahl:

Wir ordnen die Zeichen unter Berücksichtigung der Vielfachheiten und übermalen die uns interessierenden Intervalle:

Wieder eine isolierte Stelle und eine durchstochen

Aufgrund der Wurzeln der gleichmäßigen Vielfalt erhielten wir wieder ein paar „nicht standardmäßige“ Elemente. Dies ist $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nicht $x\in \left[ 0;2 \right)$, und auch ein isolierter Punkt $ x\in \links\( 3 \rechts\)$.

Antworten. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Wie Sie sehen können, ist alles nicht so schwierig. Hauptsache Achtsamkeit. Letzter Abschnitt dieser Lektion ist Transformationen gewidmet - genau denjenigen, die wir ganz am Anfang besprochen haben.

Vorkonvertierungen

Die Ungleichungen, die wir in diesem Abschnitt diskutieren werden, sind nicht komplex. Im Gegensatz zu den vorherigen Aufgaben müssen Sie hier jedoch Fähigkeiten aus der Theorie der rationalen Brüche anwenden - Faktorisierung und Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner.

Wir haben dieses Thema ganz am Anfang der heutigen Lektion ausführlich besprochen. Wenn Sie nicht sicher sind, ob Sie verstehen, worum es geht, empfehle ich Ihnen dringend, zurückzugehen und es zu wiederholen. Denn es macht keinen Sinn, die Methoden zum Lösen von Ungleichungen zu pauken, wenn man in der Umrechnung von Brüchen "schwimmt".

BEIM HausaufgabenÜbrigens wird es auch viele ähnliche Aufgaben geben. Sie werden in einem separaten Unterabschnitt platziert. Und dort finden Sie sehr nicht-triviale Beispiele. Aber das wird in den Hausaufgaben sein, aber jetzt wollen wir ein paar solcher Ungleichungen analysieren.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Entscheidung. Alles nach links verschieben:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Wir bringen auf einen gemeinsamen Nenner, öffnen die Klammern, geben wie Begriffe im Zähler:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ rechts))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Jetzt haben wir eine klassische gebrochene rationale Ungleichung, deren Lösung nicht mehr schwierig ist. Ich schlage vor, es durch eine alternative Methode zu lösen - durch die Methode der Intervalle:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Vergessen Sie nicht die Einschränkung, die vom Nenner kommt:

Wir markieren alle Zahlen und Einschränkungen auf dem Zahlenstrahl:

Alle Wurzeln haben eine erste Multiplizität. Kein Problem. Wir platzieren einfach die Schilder und übermalen die Bereiche, die wir brauchen:

Das ist alles. Sie können die Antwort aufschreiben.

Antworten. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Dies war natürlich ein sehr einfaches Beispiel. Schauen wir uns das Problem nun genauer an. Übrigens ist das Niveau dieser Aufgabe ziemlich konsistent mit unabhängig und Kontrollarbeit zu diesem Thema in der 8.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Entscheidung. Alles nach links verschieben:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Bevor wir beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, zerlegen wir diese Nenner in Faktoren. Plötzlich kommen die gleichen Klammern heraus? Mit dem ersten Nenner ist es einfach:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Der zweite ist etwas schwieriger. Fühlen Sie sich frei, einen konstanten Multiplikator zu der Klammer hinzuzufügen, in der der Bruch gefunden wurde. Denken Sie daran: Das ursprüngliche Polynom hatte ganzzahlige Koeffizienten, daher ist es sehr wahrscheinlich, dass die Faktorisierung auch ganzzahlige Koeffizienten hat (tatsächlich wird sie das immer tun, außer wenn die Diskriminante irrational ist).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Wie wir sehen, gibt es gemeinsame Klammer: $\links(x-1\rechts)$. Wir kehren zur Ungleichung zurück und bringen beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ left(3x-2\right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

Nenner auf Null setzen:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( ausrichten)\]

Keine Multiplizitäten und keine übereinstimmenden Wurzeln. Wir markieren vier Zahlen auf einer geraden Linie:

Wir platzieren die Zeichen:

Wir schreiben die Antwort auf.

Antwort: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ rechts)$.

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>>Mathe: Rationale Ungleichungen

Eine rationale Ungleichung mit einer Variablen x ist eine Ungleichung der Form - rationale Ausdrücke, d.h. algebraische Ausdrücke, zusammengesetzt aus Zahlen und der Variablen x mit den Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung. Natürlich kann die Variable mit jedem anderen Buchstaben bezeichnet werden, aber in der Mathematik wird am häufigsten der Buchstabe x bevorzugt.

Beim Lösen rationaler Ungleichungen werden die drei oben in § 1 formulierten Regeln verwendet, mit deren Hilfe eine gegebene rationale Ungleichung üblicherweise in die Form / (x) > 0 überführt wird, wobei / (x) eine Algebra ist Bruch (oder Polynom). Zerlegen Sie als Nächstes Zähler und Nenner des Bruchs f (x) in Faktoren der Form x - a (falls dies natürlich möglich ist) und wenden Sie die Intervallmethode an, die wir oben bereits erwähnt haben (siehe Beispiel 3 im vorherigen Absatz).

Beispiel 1 Lösen Sie die Ungleichung (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Entscheidung. Betrachten Sie den Ausdruck f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Es wird an den Punkten 1,-1,2 zu 0; Markiere diese Punkte auf dem Zahlenstrahl. Die numerische Linie wird durch die angegebenen Punkte in vier Intervalle unterteilt (Abb. 6), auf denen jeweils der Ausdruck f (x) erhalten bleibt bleibendes Zeichen. Um dies zu überprüfen, führen wir vier Argumente durch (für jedes dieser Intervalle separat).

Nehmen Sie einen beliebigen Punkt x aus dem Intervall (2, Dieser Punkt befindet sich auf dem Zahlenstrahl rechts von Punkt -1, rechts von Punkt 1 und rechts von Punkt 2. Das bedeutet, dass x> -1, x> 1, x > 2 (Abb. 7), aber dann x-1 > 0, x+1 > 0, x - 2 > 0 und damit f (x) > 0 (als Produkt einer rationalen Ungleichung von drei). positive Zahlen). Die Ungleichung f (x) > 0 gilt also für das gesamte Intervall.

Nimm irgendeinen Punkt x aus dem Intervall (1,2). Dieser Punkt befindet sich auf der Zahlenlinie rechts von Punkt-1, rechts von Punkt 1, aber links von Punkt 2. Daher x\u003e -1, x\u003e 1, aber x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1 > 0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Nehmen Sie einen beliebigen Punkt x aus dem Intervall (-1,1). Dieser Punkt befindet sich auf dem Zahlenstrahl rechts von Punkt -1, links von Punkt 1 und links von Punkt 2. Also x > -1, aber x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x-1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (als Produkt aus zwei negativen und einer positiven Zahl). Auf dem Intervall (-1,1) gilt also die Ungleichung f (x)> 0.

Nehmen Sie schließlich einen beliebigen Punkt x aus dem offenen Strahl (-oo, -1). Dieser Punkt befindet sich auf dem Zahlenstrahl links von Punkt -1, links von Punkt 1 und links von Punkt 2. Das bedeutet, dass x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Fassen wir zusammen. Die Vorzeichen des Ausdrucks f (x) in den ausgewählten Intervallen sind wie in Abb. 11. Wir interessieren uns für diejenigen von ihnen, auf denen die Ungleichung f (x) > 0 erfüllt ist. 11 stellen wir fest, dass die Ungleichung f (x) > 0 auf dem Intervall (–1, 1) oder auf dem offenen Balken erfüllt ist
Antworten: -1 < х < 1; х > 2.

Beispiel 2 Löse die Ungleichung
Entscheidung. Wie im vorherigen Beispiel zeichnen wir notwendige Informationen aus Abb. 11, jedoch mit zwei Änderungen gegenüber Beispiel 1. Erstens interessiert uns, welche Werte von x die Ungleichung f(x) erfüllen< 0, нам придется выбрать промежутки Zweitens sind wir auch mit den Punkten zufrieden, an denen die Gleichheit f (x) = 0 erfüllt ist, das sind die Punkte -1, 1, 2, wir markieren sie in der Abbildung mit dunklen Kreisen und nehmen sie in die Antwort auf. Auf Abb. 12 zeigt ein geometrisches Modell der Antwort, von dem es nicht schwierig ist, zu einer analytischen Aufzeichnung zu gelangen.
Antworten:
BEISPIEL 3. Löse die Ungleichung
Entscheidung. Zerlegen wir Zähler und Nenner des algebraischen Bruchs fx, der auf der linken Seite der Ungleichung enthalten ist. Im Zähler haben wir x 2 - x \u003d x (x - 1).

Um das im Nenner des Bruchs enthaltene quadratische Trinom x 2 - bx ~ 6 zu faktorisieren, finden wir seine Wurzeln. Aus der Gleichung x 2 - 5x - 6 \u003d 0 finden wir x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Daher (Wir haben die Formel zum Faktorisieren eines quadratischen Trinoms verwendet: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Damit haben wir die gegebene Ungleichung in die Form überführt

Betrachten Sie den Ausdruck:

Der Zähler dieses Bruchs wird an den Punkten 0 und 1 zu 0 und an den Punkten -1 und 6 zu 0. Markieren wir diese Punkte auf dem Zahlenstrahl (Abb. 13). Die Zahlenlinie wird durch die angegebenen Punkte in fünf Intervalle unterteilt, und auf jedem Intervall behält der Ausdruck fx) ein konstantes Vorzeichen. Mit der gleichen Argumentation wie in Beispiel 1 kommen wir zu dem Schluss, dass die Vorzeichen des Ausdrucks fx) in den ausgewählten Intervallen wie in Abb. 13. Uns interessiert, wo die Ungleichung f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 Antwort: -1

Beispiel 4 Löse die Ungleichung

Entscheidung. Bei der Lösung rationaler Ungleichungen ziehen sie es in der Regel vor, auf der rechten Seite der Ungleichung nur die Zahl 0 zu lassen, deshalb wandeln wir die Ungleichung in die Form um

Weiter:

Wenn die rechte Seite der Ungleichung nur die Zahl 0 enthält, ist es erfahrungsgemäß bequemer zu argumentieren, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner auf der linken Seite einen positiven Leitkoeffizienten haben.Und was haben wir?Wir haben alles in der Nenner des Bruchs in diesem Sinne in Ordnung (der führende Koeffizient, d. H. Der Koeffizient bei x 2, ist 6 - eine positive Zahl), aber im Zähler ist nicht alles in Ordnung - der Senior-Koeffizient (der Koeffizient bei x) ist - 4 (negative Zahl) Wenn wir beide Seiten der Ungleichung mit -1 multiplizieren und das Vorzeichen der Ungleichung in das Gegenteil ändern, erhalten wir eine äquivalente Ungleichung

Erweitern wir Zähler und Nenner algebraischer Bruch für Multiplikatoren. Im Zähler ist alles einfach:
Das im Nenner eines Bruchs enthaltene quadratische Trinom faktorisieren

(Wir haben wieder die Formel zur Faktorisierung eines quadratischen Trinoms verwendet).
Damit haben wir die gegebene Ungleichung auf die Form gebracht

Betrachten Sie den Ausdruck

Der Zähler dieses Bruchs wird am Punkt und der Nenner an den Punkten zu 0. Wir notieren diese Punkte auf der Zahlenlinie (Abb. 14), die durch die angegebenen Punkte in vier Intervalle unterteilt ist, und auf jedem Intervall den Ausdruck f (x) behält ein konstantes Vorzeichen (diese Vorzeichen sind in Fig. 14 angegeben). Uns interessieren diejenigen Intervalle, in denen die Ungleichung fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

In allen betrachteten Beispielen haben wir die gegebene Ungleichung in eine äquivalente Ungleichung der Form f (x) > 0 oder f (x)<0,где
In diesem Fall kann die Anzahl der Faktoren im Zähler und Nenner eines Bruchs beliebig sein. Dann wurden die Punkte a, b, c, e auf dem Zahlenstrahl markiert. und bestimmt die Vorzeichen des Ausdrucks f (x) auf den ausgewählten Intervallen. Wir haben festgestellt, dass ganz rechts in den ausgewählten Intervallen die Ungleichung f (x) > 0 erfüllt ist, und dann wechseln sich die Vorzeichen des Ausdrucks f (x) entlang der Intervalle ab (siehe Abb. 16a). Dieser Wechsel wird zweckmäßigerweise mit Hilfe einer Wellenkurve veranschaulicht, die von rechts nach links und von oben nach unten gezeichnet wird (Abb. 166). In den Intervallen, in denen diese Kurve (manchmal Vorzeichenkurve genannt) über der x-Achse liegt, ist die Ungleichung f (x) > 0 erfüllt; wo diese Kurve unterhalb der x-Achse liegt, ist die Ungleichung f (x)< 0.

Beispiel 5 Löse die Ungleichung

Entscheidung. Wir haben

(beide Teile der vorherigen Ungleichung wurden mit 6 multipliziert).
Um die Intervallmethode zu verwenden, markieren Sie die Punkte auf dem Zahlenstrahl (an diesen Stellen verschwindet der Zähler des auf der linken Seite der Ungleichung enthaltenen Bruchs) und Punkte (an diesen Stellen verschwindet der Nenner des angegebenen Bruchs). Normalerweise werden die Punkte schematisch markiert, wobei die Reihenfolge berücksichtigt wird, in der sie folgen (rechts, links) und nicht besonders auf die Skala geachtet wird. Es ist klar, dass Komplizierter stellt sich die Situation bei Zahlen dar. Die erste Schätzung zeigt, dass beide Zahlen etwas größer als 2,6 sind, woraus nicht geschlossen werden kann, welche der angegebenen Zahlen größer und welche kleiner ist. Angenommen (zufällig), dass Then
Es stellte sich die richtige Ungleichung heraus, was bedeutet, dass unsere Vermutung bestätigt wurde: tatsächlich
So,

Wir markieren die angegebenen 5 Punkte in der angegebenen Reihenfolge auf dem Zahlenstrahl (Abb. 17a). Ordnen Sie die Zeichen des Ausdrucks
auf den erhaltenen Intervallen: ganz rechts - ein + Zeichen, und dann wechseln sich die Zeichen ab (Abb. 176). Zeichnen wir eine Vorzeichenkurve und wählen (schraffiert) diejenigen Intervalle aus, auf denen die uns interessierende Ungleichung f (x) > 0 erfüllt ist (Abb. 17c). Lassen Sie uns das endlich berücksichtigen wir redenüber die nichtstrikte Ungleichung f (x) > 0, was bedeutet, dass uns auch die Stellen interessieren, an denen der Ausdruck f (x) verschwindet. Dies sind die Wurzeln des Zählers des Bruchs f (x), d.h. Punkte wir markieren sie in Abb. 17 in dunklen Kreisen (und natürlich in die Antwort aufnehmen). Hier ist jetzt das Bild. 17c gibt ein vollständiges geometrisches Modell für Lösungen der gegebenen Ungleichung.