Studi tentang persamaan di tautan tengah dimulai dengan pengenalan solusi persamaan linear dan persamaan direduksi menjadi persamaan linier.

Persamaan dua fungsi yang dipertimbangkan dalam domain umum definisi disebut persamaan. Variabel yang termasuk dalam persamaan dilambangkan dengan huruf latin x, y, z, t ... Persamaan dengan satu variabel x dalam bentuk umum ditulis sebagai berikut f (x) \u003d g (x).

Setiap nilai variabel, di mana ekspresi f(x) dan g(x) mengambil nilai numerik yang sama, disebut akar persamaan.

Memecahkan persamaan berarti menemukan semua akarnya atau membuktikan bahwa tidak ada akarnya.

Misalnya, persamaan 3+x=7 memiliki akar tunggal 4, karena dengan ini dan hanya dengan nilai variabel 3+x=7 ini, persamaannya benar.

Persamaan (x-1)(x-2)=0 memiliki 2 akar 1 dan 2.

Persamaan x 2 +1=0 tidak memiliki akar real, karena jumlah dua bilangan positif tidak sama dengan 0.

Untuk menyelesaikan persamaan apa pun dengan satu variabel, siswa harus mengetahui: pertama, aturan, rumus atau algoritma untuk menyelesaikan persamaan jenis ini dan, kedua, aturan untuk melakukan persamaan dan transformasi setara, dengan bantuan persamaan ini dapat direduksi menjadi yang paling sederhana.

Dengan demikian, solusi dari setiap persamaan terdiri dari dua bagian utama:

1. transformasi persamaan yang diberikan ke yang paling sederhana
2. memecahkan persamaan paling sederhana menurut aturan, rumus, atau algoritma yang diketahui.

Jika bagian kedua adalah algoritmik, maka bagian pertama sebagian besar heuristik, yang merupakan yang paling sulit bagi siswa. Dalam proses penyelesaian persamaan, mereka mencoba menggantinya dengan yang lebih sederhana, jadi penting untuk mengetahui transformasi apa yang mungkin dilakukan. Di sini perlu diberikan konsep kesetaraan dalam bentuk yang dapat diakses oleh anak.

Persamaan yang memiliki akar-akar yang sama disebut ekuivalen. Persamaan juga dianggap setara, yang masing-masing tidak memiliki akar.

Misalnya, persamaan x+2=5 dan x+5=8 ekivalen, karena masing-masing memiliki akar tunggal - angka 3. Persamaan x 2 +1=0 dan 2x 2 +5=0 juga ekuivalen - tidak satupun dari mereka memiliki akar.

Persamaan x-5=1 dan x2=36 tidak ekuivalen, karena persamaan pertama hanya memiliki satu akar x=6, sedangkan persamaan kedua memiliki dua akar 6 dan -6.

Transformasi yang setara meliputi:

1) Jika kita menambahkan angka yang sama atau ekspresi aljabar keseluruhan yang sama yang mengandung yang tidak diketahui ke kedua bagian persamaan, maka persamaan baru akan setara dengan yang diberikan.

2) Jika kedua bagian persamaan dikalikan atau dibagi dengan angka bukan nol yang sama, maka persamaan yang setara dengan yang diberikan akan diperoleh.

Misalnya persamaan tersebut setara dengan persamaan x 2 - 1 = 6x

3) Jika dalam persamaan untuk memperluas tanda kurung dan membawa seperti istilah, maka kita mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Belajar menyelesaikan persamaan dimulai dengan persamaan linier paling sederhana dan persamaan yang direduksi menjadi persamaan tersebut. Definisi persamaan linier diberikan dan kasus-kasus di mana persamaan tersebut memiliki satu solusi dipertimbangkan; tidak memiliki solusi dan memiliki set tak terbatas solusi.

Persamaan linier dengan satu variabel x adalah persamaan berbentuk ax \u003d b, di mana a dan b adalah bilangan real, a disebut koefisien variabel, b adalah anggota bebas.

Untuk persamaan linier ax = b dapat disajikan pada kesempatan:

Banyak persamaan direduksi menjadi persamaan linier sebagai hasil dari transformasi.

Jadi di kelas 7, Anda dapat menerapkan persamaan berikut:

1)

Persamaan ini direduksi menjadi persamaan linier.

Mengalikan kedua bagian dengan 12 (penyebut umum terendah 3, 4, 6, 12), kita mendapatkan:

8 + 3x + 2 - 2x = 5x -12,

8 + 2 + 12 = 5x - 3x + 2x,

Jawaban: 5.5.

2) Tunjukkan bahwa persamaan 2 (x + 1) - 1 = 3 - (1 - 2x) tidak memiliki akar.

Sederhanakan kedua ruas persamaan:

2x + 2 - 1 = 3 - 1 + 2x,

2x + 1 = 2 + 2x,

2x - 2x \u003d 2 - 1,

Persamaan ini tidak memiliki akar, karena sisi kiri 0 x adalah 0 untuk setiap x, dan karena itu tidak sama dengan 1.

3) Tunjukkan bahwa persamaan 3(1 - x) + 2 = 5 - 3x memiliki jumlah akar tak terhingga.

Saat membahas topik "persamaan linier dengan dua variabel", Anda dapat menawarkan kepada siswa cara grafis untuk menyelesaikan persamaan. Metode ini didasarkan pada penggunaan grafik fungsi yang termasuk dalam persamaan. Inti dari metode: untuk menemukan absis titik potong grafik fungsi di sisi kiri dan kanan persamaan. Berdasarkan langkah-langkah berikut:

1) Ubah persamaan awal ke bentuk f(x) = g(x), di mana f(x) dan g(x) adalah fungsi, graf yang dapat dibangun.
2) Membuat grafik fungsi f(x) dan g(x)
3) Tentukan titik potong dari grafik yang dibangun.
4) Tentukan absis dari titik-titik yang ditemukan. Mereka akan memberikan satu set solusi untuk persamaan asli.
5) Tuliskan jawabannya.

Keuntungan metode ini adalah memudahkan untuk menentukan jumlah akar persamaan. Kerugiannya adalah bahwa akar umumnya ditentukan kira-kira.

Langkah selanjutnya dalam mempelajari persamaan linier adalah persamaan dengan modul, dan beberapa penyelesaian dilakukan dengan beberapa cara.

Memecahkan persamaan yang mengandung tanda modulus dan persamaan dengan parameter dapat disebut sebagai kegiatan yang dekat dengan penelitian. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa pilihan metode solusi, proses solusi, perekaman jawaban mengandaikan tingkat tertentu pembentukan keterampilan untuk mengamati, membandingkan, menganalisis, mengajukan dan menguji hipotesis, menggeneralisasi hasil yang diperoleh. .

Persamaan yang mengandung tanda modulus sangat menarik.

Dengan definisi modulus dari nomor a, kami memiliki:

Angka –a bisa negatif jika a>0; -positif untuk a<0. из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Оно же показывает, как избавиться от модуля в алгебраических выражениях.

Oleh karena itu, x=5 atau x=-5.

Pertimbangkan persamaannya.

Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan.

1 cara. Dengan definisi modulus angka, kami memiliki:

Jadi x - 3 = 7 atau –x + 3 = 7,

x=10 atau x=-4.

Jawaban: 10; -4.

2 arah - grafik. Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai sistem dua persamaan:

Kami membuat grafik fungsi dan .

Absis titik potong grafik ini adalah solusi persamaan.

Jawaban: -4; sepuluh.

Memecahkan persamaan yang berisi lebih dari satu modul

Mari kita gunakan algoritma berikut.

1. Tandai semua nol ekspresi submodul pada garis bilangan yang dibagi menjadi interval di mana semua ekspresi submodul memiliki tanda konstan.
2. Dari setiap interval, ambil nomor arbitrer dan tentukan tanda ekspresi submodular dengan menghitung, buka modul.
3. Selesaikan persamaan dan pilih solusi yang termasuk dalam interval yang diberikan.

Jadi, ekspresi submodule menghilang pada x = -1 dan x = -3.

saya interval. Biarkan x < - 3, maka pada interval ini , dan persamaannya akan berbentuk

- x - 1 - x - 3 \u003d 4,

dan karenanya adalah akar persamaan.

Interval II. Biarkan -3< х < -1, тогда , , kita mendapatkan persamaan –x – 1 + x + 3 = 4,

Jadi pada interval (-3; -1) persamaan tersebut tidak memiliki akar.

Interval III. Biarkan x > -1 lalu

x + 1 + x + 3 = 4,

Kita melihat bahwa angka 0 termasuk dalam interval. Begitu juga akarnya. Jadi persamaan memiliki dua akar: 0 dan -4.

pada contoh sederhana pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter: luas nilai yang diizinkan, domain definisi, solusi umum, nilai kontrol parameter, jenis persamaan tertentu. Cara menemukan mereka akan ditetapkan di setiap jenis persamaan secara terpisah.

Berdasarkan konsep yang diperkenalkan, kami mendefinisikan skema umum untuk menyelesaikan persamaan apa pun F(a;x)=0 dengan parameter a (untuk kasus dua parameter, skemanya serupa):

• area nilai parameter yang dapat diterima dan area definisi ditetapkan;
• kontrol nilai parameter, membagi wilayah nilai parameter yang dapat diterima menjadi wilayah keseragaman persamaan tertentu;
• untuk nilai kontrol parameter, persamaan parsial yang sesuai dipelajari secara terpisah;
• solusi umum x=f 1 (a),…, f k (a) dari persamaan F(a;x)=0 ditemukan pada himpunan yang bersesuaian f1 ,…, fk nilai parameter;
• model solusi umum, nilai kontrol parameter dikompilasi;
• interval nilai parameter dengan yang sama solusi umum(bidang keseragaman);
• untuk nilai kontrol parameter dan area keseragaman yang dipilih, karakteristik semua jenis persamaan tertentu ditulis
• Tempat spesial dalam aljabar ditugaskan untuk persamaan linier dengan parameter.

Mari kita lihat beberapa contoh.

1.	2x - 3 \u003d m + 1, 2x - 3 \u003d + 4 m + 1,	di mana m adalah parameter yang tidak diketahui. Mengalikan kedua ruas persamaan dengan 3, kita peroleh
	6x - 9 \u003d m x + 12m +3, 6x - mx + 12m + 12,	Mari kita keluarkan faktor umum kurung, kita dapatkan
	x (6-m) = 12(m+1), , 6 – m? 0, m? 6.	karena merupakan penyebut pecahan.
Jawaban: , untuk m 6.

Persamaan 2x - 3 + m (x / 3 + 4) + 1 memiliki banyak solusi, diberikan oleh rumus untuk semua nilai m kecuali 6.

2. , untuk m 2, x 1, n 0.

mx - n = 2x - 2 + 2n + 3xn,

mx - 2x - 3xn = - 2 + 2n + n,

mx - 2x - 3xn = 3n - 2,

x (m - 2 - 3n) = 3n - 2, dengan m 2, x 1, n 0.

Pertimbangkan kasus di mana a = 0, maka

m - 2 - 3n = 0,

m = 3n +2, untuk n 0

0 x \u003d 3n - 2,

a) 3n ​​- 2 = 0,

x(4 - 2 - 3) = 3 - 2,

x adalah bilangan apa saja kecuali x = 1.

0x = b. Dalam hal ini, persamaan tidak memiliki solusi.

m – 2 – 3n 0

x = , kapan x ? satu,

3n - 2m - 2 - 3n,

3n + 3n 2 – 2 + m,

Dalam hal ini, persamaan tidak memiliki solusi.

Oleh karena itu, untuk n = dan m = 4, x adalah sembarang bilangan kecuali 1; untuk n = 0, m = 6n

(n), m \u003d 3n + 2 (n), m \u003d 2, persamaan tidak memiliki solusi. Untuk semua nilai parameter lainnya x = .

Jawaban: 1. n = , m = 4 - x? R\.

2. n \u003d 0, m \u003d 6n (n), m \u003d 3n + 2 (n), m \u003d 2 - tidak ada solusi.

3. n 0, m 6n, m 3n + 2, m 2 – x = .

Di masa depan, diusulkan untuk mempertimbangkan solusi masalah dengan metode menyusun persamaan linier. Ini proses yang sulit dimana anda harus bisa berpikir, menebak, mengetahui materi yang sebenarnya dengan baik.

Dalam proses pemecahan setiap masalah, empat tahap harus ditandai dengan jelas:

1. mempelajari kondisi masalah;
2. mencari rencana solusi dan persiapannya;
3. eksekusi solusi yang ditemukan;
4. analisis kritis hasil keputusan.

Sekarang perhatikan masalah dalam penyelesaian yang menggunakan persamaan linier.

1. Paduan tembaga dan seng mengandung 640 g tembaga lebih banyak daripada seng. Setelah 6/7 tembaga yang terkandung di dalamnya dan 60% seng diisolasi dari paduan, massa paduan menjadi 200 g. Berapa massa paduan awalnya?

Misalkan ada x g seng dalam paduan, maka tembaga (640 + x) g. 0,4 bagian. Mengetahui bahwa massa paduan ternyata sama dengan 200 g, kami membuat persamaan.

1/7 (x + 640) + 0,4 x \u003d 200,

x + 640 + 2,8 x \u003d 1400,

3,8x \u003d 1400 - 640,

Jadi, seng adalah 200 g, dan tembaga 840 g.

(200 + 640 = 840). 1) 200 + 840 = 1040 (g) - berat paduan. Jawaban: massa awal paduan adalah 1040 g.

2. Berapa liter asam sulfat 60% yang harus ditambahkan ke 10 liter asam 30% untuk mendapatkan larutan 40%?

Biarkan jumlah liter asam 60%, yang kita tambahkan x l, maka solusinya asam murni akan menjadi l. Dan dalam 10 liter larutan 30% asam murni akan terdapat l. Mengetahui bahwa dalam campuran yang dihasilkan (10 + x) akan ada asam murni l, kami membuat persamaan.

60x + 300 = 40x + 400,

60x - 40x \u003d 400 - 300,

Jadi, Anda perlu menambahkan 5 liter asam 60%.

Jawab: 5 liter.

Saat mempelajari topik "Pemecahan persamaan linier", beberapa latar belakang sejarah direkomendasikan.

Masalah untuk memecahkan persamaan tingkat pertama ditemukan dalam teks paku Babilonia. Mereka juga memiliki beberapa masalah yang mengarah ke persamaan kuadrat dan bahkan kubik (yang terakhir, tampaknya, diselesaikan dengan menggunakan pemilihan akar). Ahli matematika Yunani kuno ditemukan bentuk geometris penyelesaian persamaan kuadrat. Dalam bentuk geometris, matematikawan Arab Omar Khayyam (akhir abad ke-11 - awal abad ke-12 M) mempelajari persamaan kubik, meskipun ia tidak menemukan rumus umum untuk menyelesaikannya. Keputusan persamaan kubik ditemukan pada awal abad ke-16 di Italia. Setelah Scipian del Ferro memutuskan satu tampilan pribadi persamaan tersebut pada tahun 1535, Tartaglia Italia menemukan rumus umum. Dia membuktikan bahwa akar-akar persamaan x 3 + px + q = 0 memiliki bentuk x = .

Ungkapan ini biasanya disebut rumus Cardano, setelah ilmuwan yang mempelajarinya dari Tartaglia dan menerbitkannya pada tahun 1545 dalam bukunya The Great Art of Algebraic Rules. Seorang mahasiswa Cardano, seorang matematikawan muda Ferrari, memecahkan persamaan umum tingkat keempat. Setelah itu, selama dua setengah abad, pencarian rumus untuk menyelesaikan persamaan derajat kelima terus berlanjut. Pada tahun 1823, ahli matematika Norwegia yang luar biasa Niels Hendrik Abel (1802-1829) membuktikan bahwa tidak ada rumus seperti itu. Lebih tepatnya, dia membuktikan bahwa akarnya persamaan umum derajat kelima tidak dapat dinyatakan dalam koefisiennya menggunakan operasi aritmatika dan ekstraksi akar. Sebuah studi mendalam tentang pertanyaan tentang kondisi solvabilitas persamaan dalam radikal dilakukan oleh ahli matematika Prancis Evariste Galois (1811-1832), yang meninggal dalam duel pada usia 21 tahun. Beberapa masalah teori Galois diselesaikan oleh aljabar Soviet I.T. Shafarevich.

Seiring dengan pencarian rumus untuk menyelesaikan persamaan derajat kelima, penelitian lain juga dilakukan di bidang teori persamaan aljabar. Vieta membangun hubungan antara koefisien persamaan dan akarnya. Dia membuktikan bahwa jika x 1 ,…,x n adalah akar-akar dari persamaan x n + a 1 x n-1 +…+a n =0, maka terjadi rumus:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a,
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n-1 x n =a 2
……………………………
x 1 x 2 … x n = (-1) n d n .

Literatur:

1. Jurnal “Matematika di Sekolah” 6, 1999
2. Tambahan untuk surat kabar "First of September" - Matematika 20, 1999.
3. S.I. Tumanov "Aljabar", manual untuk siswa di kelas 6-8.
4. N.I. Alexandrov; I. P. Yarandai “Buku referensi kamus tentang matematika”.
5. TENTANG. Epishev; DI DAN. Krupych "Mengajar anak sekolah untuk belajar matematika".
6. E.I.Yamshchenko "Studi tentang fungsi".
7. A.I. Khudobin; M.F. Shurshalov "Kumpulan masalah dalam aljabar dan fungsi dasar".
8. Sh.A. Alimov, V.A. Ilyin "Aljabar nilai 6-8".

1. Ketentuan umum

1.1. Untuk menjaga reputasi bisnis dan memastikan kepatuhan dengan norma-norma undang-undang federal FGAU GNII ITT "Informika" (selanjutnya disebut Perusahaan) mempertimbangkan tugas yang paling penting memastikan legitimasi pemrosesan dan keamanan data pribadi subjek dalam proses bisnis Perusahaan.

1.2. Untuk mengatasi masalah ini, Perusahaan telah memperkenalkan, mengoperasikan dan melakukan tinjauan (kontrol) berkala terhadap sistem perlindungan data pribadi.

1.3. Pemrosesan data pribadi di Perusahaan didasarkan pada prinsip-prinsip berikut:

Legalitas tujuan dan metode pemrosesan data pribadi dan itikad baik;

Kepatuhan terhadap tujuan pemrosesan data pribadi dengan tujuan yang telah ditentukan dan dinyatakan selama pengumpulan data pribadi, serta wewenang Perusahaan;

Kepatuhan terhadap volume dan sifat data pribadi yang diproses, metode pemrosesan data pribadi dengan tujuan pemrosesan data pribadi;

Keandalan data pribadi, relevansi dan kecukupannya untuk tujuan pemrosesan, tidak dapat diterimanya pemrosesan yang berlebihan sehubungan dengan tujuan pengumpulan data pribadi;

Legitimasi tindakan organisasi dan teknis untuk memastikan keamanan data pribadi;

Peningkatan tingkat pengetahuan karyawan Perusahaan secara terus-menerus di bidang memastikan keamanan data pribadi selama pemrosesan mereka;

Berupaya untuk terus meningkatkan sistem perlindungan data pribadi.

2. Tujuan pemrosesan data pribadi

2.1. Sesuai dengan prinsip pemrosesan data pribadi, Perusahaan menentukan komposisi dan tujuan pemrosesan.

Tujuan pemrosesan data pribadi:

Kesimpulan, pemeliharaan, perubahan, penghentian kontrak kerja, yang menjadi dasar timbulnya atau pemutusan hubungan kerja antara Perusahaan dengan karyawannya;

Penyediaan portal, layanan akun pribadi untuk siswa, orang tua dan guru;

Penyimpanan hasil belajar;

Pemenuhan kewajiban yang ditetapkan oleh undang-undang federal dan tindakan hukum pengaturan lainnya;

3. Aturan untuk pemrosesan data pribadi

3.1. Perusahaan hanya memproses data pribadi yang disajikan dalam Daftar data pribadi yang disetujui yang diproses di FSAI GNII ITT "Informika"

3.2. Perusahaan tidak mengizinkan pemrosesan kategori data pribadi berikut:

Balapan;

Pandangan politik;

Keyakinan filosofis;

Tentang keadaan kesehatan;

Negara kehidupan intim;

Kebangsaan;

Keyakinan agama.

3.3. Perusahaan tidak memproses data pribadi biometrik (informasi yang mencirikan karakteristik fisiologis dan biologis seseorang, atas dasar yang memungkinkan untuk menetapkan identitasnya).

3.4. Perusahaan tidak transmisi lintas batas data pribadi (transfer data pribadi ke wilayah negara asing otoritas negara asing, asing kepada seorang individu atau badan hukum asing).

3.5. Perusahaan melarang pengambilan keputusan mengenai subjek data pribadi hanya berdasarkan pemrosesan otomatis data pribadi mereka.

3.6. Perusahaan tidak memproses data catatan kriminal subjek.

3.7. Perusahaan tidak menempatkan data pribadi subjek di sumber publik tanpa persetujuan sebelumnya.

4. Persyaratan yang diterapkan untuk memastikan keamanan data pribadi

4.1. Untuk memastikan keamanan data pribadi selama pemrosesan, Perusahaan menerapkan persyaratan berikut: dokumen normatif Federasi Rusia di bidang pemrosesan dan jaminan keamanan data pribadi:

hukum federal tanggal 27 Juli 2006 No. 152-FZ “Tentang Data Pribadi”;

Keputusan Pemerintah Federasi Rusia tanggal 1 November 2012 N 1119 "Atas persetujuan persyaratan untuk perlindungan data pribadi selama pemrosesannya di sistem Informasi data pribadi";

Keputusan Pemerintah Federasi Rusia 15 September 2008 No. 687 “Atas persetujuan Peraturan tentang kekhususan pemrosesan data pribadi yang dilakukan tanpa menggunakan alat otomatisasi”;

Perintah FSTEC Rusia tertanggal 18 Februari 2013 N 21 "Atas persetujuan Komposisi dan konten tindakan organisasi dan teknis untuk memastikan keamanan data pribadi selama pemrosesannya dalam sistem informasi data pribadi";

Model dasar ancaman keamanan data pribadi selama pemrosesannya dalam sistem informasi data pribadi (disetujui oleh Wakil Direktur FSTEC Rusia pada 15 Februari 2008);

Metodologi untuk menentukan ancaman aktual terhadap keamanan data pribadi selama pemrosesannya dalam sistem informasi data pribadi (disetujui oleh Wakil Direktur FSTEC Rusia pada 14 Februari 2008).

4.2. Perusahaan menilai kerugian yang mungkin ditimbulkan pada subjek data pribadi dan menentukan ancaman terhadap keamanan data pribadi. Sesuai dengan ancaman aktual yang teridentifikasi, Perusahaan menerapkan langkah-langkah organisasi dan teknis yang diperlukan dan memadai, termasuk penggunaan alat keamanan informasi, deteksi akses yang tidak sah, pemulihan data pribadi, penetapan aturan untuk akses ke data pribadi, serta memantau dan mengevaluasi efektivitas tindakan yang diambil.

4.3. Perusahaan telah menunjuk orang yang bertanggung jawab untuk mengatur pemrosesan dan memastikan keamanan data pribadi.

4.4. Manajemen Perusahaan menyadari kebutuhan dan tertarik untuk memastikan bahwa baik dari segi persyaratan dokumen peraturan Federasi Rusia, dan dibenarkan dalam hal penilaian risiko untuk bisnis, tingkat keamanan data pribadi yang diproses sebagai bagian dari bisnis inti Perseroan.

Saat memecahkan persamaan, untuk menyederhanakannya, kami melakukan transformasi identik ekspresi. Dalam persamaan dengan satu variabel, terkadang solusi persamaan dapat direduksi menjadi solusi persamaan linier setara dengan satu variabel.

Mari kita lihat contoh. Selesaikan persamaan (2x+1)(3x-2)-6x(x+4)=67-2x. Di sisi kiri persamaan, kalikan polinomial 2x+1 dengan polinomial 3x-2, dan juga monomial 6x dengan polinomial x+4. Setelah mengalikan polinomial 2x + 1 dengan polinomial 3x-2, kita mendapatkan polinomial 6x 2 + 3x-4x-2, dan setelah mengalikan monomial 6x dengan polinomial x + 4, kita mendapatkan polinomial 6x 2 + 24x. Persamaan kita akan berbentuk (6x 2 + 3x-4x-2) - (6x 2 + 24x) \u003d 67-2x. Setelah itu, kami membuka tanda kurung dan mendapatkan 6x 2 + 3x-4x-2-6x 2 -24x \u003d 67-2x. Kami memindahkan istilah dengan yang tidak diketahui ke sisi kiri, dan tanpa yang tidak diketahui - ke kanan. Persamaan ekivalen yang baru terlihat seperti ini: 6x 2 -6x 2 +3x-4x+2x-24x=67+2. Kami menyajikan yang serupa. Kami mendapatkan -23x=69. Bagilah kedua ruas persamaan dengan -23. Kami mendapatkan x = -3. Kami berturut-turut mengganti persamaan dengan persamaan yang setara. Jadi persamaan aslinya setara dengan persamaan -23x=69 dan memiliki akar tunggal - bilangan -3.

Contoh kedua. Selesaikan persamaan (x+2)/3-(3x-1)/4=-2. Di ruas kiri persamaan ini terdapat pecahan (x+2)/3 dan (3x-1)/4. Kalikan kedua ruas persamaan dengan yang terkecil faktor persekutuan dari pecahan ini - angka 12. [(x+2)/3-(3x-1)4].12=-2,12. Buka kurung dan kalikan setiap pecahan dengan 12. Kita peroleh (x+2)12/3-(3x-1)12/4+-24. Di pecahan pertama, 12 dan 3 akan dikurangi, dan di pecahan kedua, 12 dan 4. Setelah pengurangan, persamaan kita akan menjadi 4 (x + 2) -3 (3x-1) \u003d -24. Jadi, kami menyingkirkan penyebutnya. Setelah membuka tanda kurung, kita mendapatkan 4x + 8-9x + 3 \u003d -24. Segala sesuatu yang mengandung variabel dipindahkan ke sisi kiri, dan segala sesuatu yang tidak mengandung variabel dipindahkan ke kanan. Persamaan menjadi 4x-9x=-24-8-3. Kami memberikan yang serupa dan mendapatkan -5x \u003d -35. Bagilah kedua ruas persamaan dengan -5 dan ternyata x=7. Mengganti persamaan langkah demi langkah dengan parameter yang setara, kami telah memperoleh persamaan linier -5x=-35, yang setara dengan yang diberikan. Persamaan linier ini memiliki akar tunggal - angka 7.

Dalam contoh yang dipertimbangkan, solusi persamaan asli direduksi menjadi solusi persamaan linier bentuk ax=b, di mana koefisien a tidak sama dengan 0.

Namun, mungkin juga terjadi bahwa dengan mengganti satu persamaan dengan persamaan lain yang setara, kita dapat memperoleh persamaan linier dalam bentuk 0x=b, di mana b tidak sama dengan 0 atau 0x=0. Dalam kasus pertama, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan asli tidak memiliki akar, karena ada 0 di sisi kiri persamaan, dan jumlahnya tidak sama dengan 0 di sebelah kanan. jumlah tak terbatas akar, karena ruas kiri persamaan akan selalu 0, dan ruas kanan juga akan 0. Persamaan akan selalu benar, berapa pun nilai variabelnya.

Contoh tiga. Selesaikan persamaan (2x-7)/2-(4x-1)/4=0. Sekali lagi, persamaan kita berisi pecahan, jadi kita kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut terkecil. Angka ini adalah 4. Kita mendapatkan [(2x-7)/2-(4x-1)/4].4=0.4. Mari kita buka tanda kurung: 4(2x-7)/2-4(4x-1)/4=0. Kami mengurangi faktor dan mendapatkan persamaan 2(2x-7)-(4x-1)=0. Buka tanda kurung lagi: 4x-14-4x+1=0. Mari pindahkan suku dengan yang tidak diketahui ke sisi kiri persamaan, dan tanpa yang tidak diketahui - ke kanan. Persamaan tersebut akan berbentuk 4x-4x=14-1. Kami memberikan yang serupa dan mendapatkan 0x \u003d 13. Persamaan ini tidak memiliki akar karena 0x sama dengan 0 untuk setiap nilai x. Ternyata kesetaraan tidak akan pernah tercapai, untuk nilai x apa pun. Ini berarti bahwa persamaan asli yang setara dengannya tidak memiliki akar.

Contoh empat. Selesaikan persamaan (5x-1)-2(3x-6)=11-x. Mari kita buka tanda kurung: 5x-1-6x+12=11-x. Mari pindahkan suku-suku yang mengandung x ke ruas kiri, dan suku-suku yang tidak mengandung x - ke sisi kanan persamaan. Kami mendapatkan 5x-6x+x=11+1-12. Mari kita berikan yang serupa: 0x=0. Persamaan ini 0x=0, dan karenanya persamaan asli yang setara, memiliki jumlah akar yang tak terbatas. Karena 0 dikalikan dengan angka berapa pun sama dengan 0, persamaan berlaku untuk setiap nilai x.

Dan seterusnya, adalah logis untuk berkenalan dengan persamaan jenis lain. Baris berikutnya adalah persamaan linear, studi tujuan yang dimulai pada pelajaran aljabar di kelas 7.

Jelas bahwa pertama-tama Anda perlu menjelaskan apa itu persamaan linier, berikan definisi persamaan linier, koefisiennya, tunjukkan bentuk umum. Kemudian Anda dapat mengetahui berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan linier tergantung pada nilai koefisien, dan bagaimana akarnya ditemukan. Ini akan memungkinkan Anda untuk beralih ke pemecahan contoh, dan dengan demikian mengkonsolidasikan teori yang dipelajari. Pada artikel ini kita akan melakukan ini: kita akan membahas secara rinci semua poin teoretis dan praktis mengenai persamaan linier dan solusinya.

Katakanlah segera bahwa di sini kita hanya akan mempertimbangkan persamaan linier dengan satu variabel, dan dalam artikel terpisah kita akan mempelajari prinsip-prinsip penyelesaian persamaan linear dua variabel.

Navigasi halaman.

Apa itu persamaan linier?

Definisi persamaan linier diberikan oleh bentuk notasinya. Selain itu, dalam buku teks matematika dan aljabar yang berbeda, rumusan definisi persamaan linier memiliki beberapa perbedaan yang tidak mempengaruhi esensi masalah.

Misalnya, dalam buku teks aljabar untuk kelas 7 oleh Yu.N. Makarycheva dan lainnya, persamaan linier didefinisikan sebagai berikut:

Definisi.

Ketik persamaan kapak = b, di mana x adalah variabel, a dan b adalah beberapa angka, disebut persamaan linear dengan satu variabel.

Mari kita berikan contoh persamaan linier yang sesuai dengan definisi bersuara. Misalnya, 5 x=10 adalah persamaan linier dengan satu variabel x , di sini koefisien a adalah 5 , dan angka b adalah 10 . Contoh lain: 2.3 y=0 juga merupakan persamaan linier, tetapi dengan variabel y , di mana a=−2.3 dan b=0 . Dan pada persamaan linier x=−2 dan x=3.33 a tidak ada secara eksplisit dan masing-masing sama dengan 1 dan 1, sedangkan pada persamaan pertama b=−2 dan persamaan kedua - b=3.33 .

Dan setahun sebelumnya, dalam buku teks matematika oleh N. Ya. Vilenkin, persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui, selain persamaan bentuk a x = b, juga dianggap persamaan yang dapat direduksi menjadi bentuk ini dengan mentransfer suku dari satu bagian dari persamaan ke bagian lain dengan tanda berlawanan, serta dengan mengurangi suku-suku sejenis. Menurut definisi ini, persamaan bentuk 5 x=2 x+6 , dll. juga linier.

Pada gilirannya, definisi berikut diberikan dalam buku teks aljabar untuk 7 kelas oleh A. G. Mordkovich:

Definisi.

Persamaan linier dengan satu variabel x adalah persamaan berbentuk a x+b=0 , di mana a dan b adalah beberapa bilangan, yang disebut koefisien persamaan linier.

Misalnya, persamaan linier semacam ini adalah 2 x−12=0, di sini koefisien a sama dengan 2, dan b sama dengan 12, dan 0,2 y+4.6=0 dengan koefisien a=0.2 dan b =4.6. Tetapi pada saat yang sama, ada contoh persamaan linier yang bentuknya bukan a x+b=0 , tetapi a x=b , misalnya 3 x=12 .

Mari, agar kita tidak memiliki perbedaan di masa depan, di bawah persamaan linier dengan satu variabel x dan koefisien a dan b kita akan memahami persamaan bentuk a x+b=0 . Jenis persamaan linier ini tampaknya menjadi yang paling dibenarkan, karena persamaan linier adalah persamaan aljabar gelar pertama. Dan semua persamaan lain yang ditunjukkan di atas, serta persamaan yang direduksi menjadi bentuk a x+b=0 dengan bantuan transformasi yang setara, akan disebut persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier. Dengan pendekatan ini, persamaan 2 x+6=0 adalah persamaan linier, dan 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, dst. adalah persamaan linier.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear?

Sekarang saatnya untuk mencari tahu bagaimana persamaan linear a x+b=0 diselesaikan. Dengan kata lain, inilah saatnya untuk mengetahui apakah persamaan linear memiliki akar, dan jika demikian, berapa banyak dan bagaimana menemukannya.

Kehadiran akar persamaan linier tergantung pada nilai koefisien a dan b. Dalam hal ini, persamaan linear a x+b=0 memiliki

• satu-satunya akar di a≠0 ,
• tidak memiliki akar untuk a=0 dan b≠0 ,
• memiliki banyak akar tak hingga untuk a=0 dan b=0 , dalam hal ini bilangan apa pun adalah akar persamaan linier.

Mari kita jelaskan bagaimana hasil ini diperoleh.

Kita tahu bahwa untuk menyelesaikan persamaan, adalah mungkin untuk berpindah dari persamaan asli ke persamaan yang setara, yaitu, ke persamaan dengan akar yang sama atau, seperti yang asli, tanpa akar. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan transformasi setara berikut:

• transfer istilah dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan tanda yang berlawanan,
• dan juga mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol yang sama.

Jadi, dalam persamaan linier dengan satu jenis variabel a x+b=0 kita dapat memindahkan suku b dari ruas kiri ke ruas kanan dengan tanda yang berlawanan. Dalam hal ini, persamaan akan berbentuk a x = b.

Dan kemudian pembagian kedua bagian persamaan dengan angka a menunjukkan dirinya sendiri. Tetapi ada satu hal: angka a bisa sama dengan nol, dalam hal ini pembagian seperti itu tidak mungkin. Untuk mengatasi masalah ini, pertama-tama kita akan mengasumsikan bahwa angka a berbeda dari nol, dan kasusnya sama dengan nol a akan dipertimbangkan secara terpisah nanti.

Jadi, ketika a tidak sama dengan nol, maka kita dapat membagi kedua bagian persamaan a x=−b dengan a , setelah itu diubah menjadi bentuk x=(−b):a , hasil ini dapat ditulis menggunakan a garis padat sebagai.

Jadi, untuk a≠0, persamaan linier a·x+b=0 ekuivalen dengan persamaan , dari mana akarnya terlihat.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa akar ini unik, yaitu, persamaan linier tidak memiliki akar lain. Ini memungkinkan Anda untuk melakukan metode sebaliknya.

Mari kita nyatakan akarnya sebagai x 1 . Misalkan ada akar lain dari persamaan linier, yang kita nyatakan x 2, dan x 2 x 1, yang karena definisi angka yang sama melalui perbedaan ekuivalen dengan kondisi x 1 x 2 0 . Karena x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan linear a x+b=0, maka persamaan numerik a x 1 +b=0 dan a x 2 +b=0 terjadi. Kita dapat mengurangi bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan-persamaan ini, yang mana sifat-sifat persamaan numerik memungkinkan kita untuk melakukannya, kita memiliki a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , dari mana a (x 1 x 2)+( b−b)=0 dan kemudian a (x 1 x 2)=0 . Dan persamaan ini tidak mungkin, karena keduanya a≠0 dan x 1 x 2 0. Jadi kita sampai pada suatu kontradiksi, yang membuktikan keunikan akar persamaan linear a·x+b=0 untuk a≠0 .

Jadi kita telah menyelesaikan persamaan linear a x+b=0 dengan a≠0 . Hasil pertama yang diberikan pada awal subbagian ini dibenarkan. Ada dua lagi yang memenuhi syarat a=0 .

Untuk a=0 persamaan linear a·x+b=0 menjadi 0·x+b=0 . Dari persamaan ini dan sifat mengalikan bilangan dengan nol, dapat disimpulkan bahwa berapa pun bilangan yang kita ambil sebagai x, ketika kita mensubstitusikannya ke dalam persamaan 0 x+b=0, kita mendapatkan persamaan numerik b=0. Persamaan ini benar ketika b=0 , dan dalam kasus lain ketika b≠0 persamaan ini salah.

Oleh karena itu, untuk a=0 dan b=0, bilangan apa pun adalah akar dari persamaan linier a x+b=0, karena dalam kondisi ini, mensubstitusikan bilangan apa pun sebagai ganti x memberikan persamaan numerik yang benar 0=0. Dan untuk a=0 dan b≠0, persamaan linier a x+b=0 tidak memiliki akar, karena dalam kondisi ini, mensubstitusikan bilangan apa pun sebagai ganti x menghasilkan persamaan yang salah persamaan numerik b=0 .

Pembenaran di atas memungkinkan untuk membentuk urutan tindakan yang memungkinkan penyelesaian persamaan linier apa pun. Jadi, algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear adalah:

• Pertama, dengan menulis persamaan linier, kita menemukan nilai koefisien a dan b.
• Jika a=0 dan b=0 , maka persamaan ini memiliki banyak akar tak terhingga, yaitu, bilangan apa pun adalah akar dari persamaan linier ini.
• Jika a berbeda dari nol, maka
• koefisien b dipindahkan ke ruas kanan dengan tanda yang berlawanan, sedangkan persamaan linier diubah menjadi bentuk a x=−b ,
• setelah itu kedua bagian persamaan yang dihasilkan dibagi dengan angka bukan nol a, yang memberikan akar persamaan linier asli yang diinginkan.

Algoritma tertulis adalah jawaban lengkap untuk pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikan persamaan linier.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, perlu dikatakan bahwa algoritma serupa digunakan untuk menyelesaikan persamaan dalam bentuk a x=b. Perbedaannya terletak pada kenyataan bahwa ketika a≠0, kedua bagian persamaan langsung dibagi dengan angka ini, di sini b sudah berada di bagian persamaan yang diinginkan dan tidak perlu dipindahkan.

Untuk menyelesaikan persamaan bentuk a x=b, algoritma berikut digunakan:

• Jika a=0 dan b=0 , maka persamaan tersebut memiliki banyak akar tak terhingga, yang merupakan bilangan apa pun.
• Jika a=0 dan b≠0 , maka persamaan awal tidak memiliki akar.
• Jika a bukan nol, maka kedua ruas persamaan dibagi dengan bilangan bukan nol a, yang darinya hanya ditemukan akar persamaan yang sama dengan b / a.

Contoh penyelesaian persamaan linear

Mari kita lanjutkan untuk berlatih. Mari kita menganalisis bagaimana algoritma untuk memecahkan persamaan linier diterapkan. Berikut adalah solusinya contoh karakteristik sesuai arti yang berbeda koefisien persamaan linier.

Contoh.

Selesaikan persamaan linear 0 x−0=0 .

Keputusan.

Dalam persamaan linier ini, a=0 dan b=−0 , yang sama dengan b=0 . Oleh karena itu, persamaan ini memiliki banyak akar tak terhingga, bilangan apa pun adalah akar dari persamaan ini.

Menjawab:

x adalah bilangan apa saja.

Contoh.

Apakah persamaan linear 0 x+2.7=0 memiliki solusi?

Keputusan.

PADA kasus ini koefisien a sama dengan nol, dan koefisien b dari persamaan linier ini sama dengan 2,7, yaitu berbeda dari nol. Oleh karena itu, persamaan linier tidak memiliki akar.

Dalam video ini, kami akan menganalisis seluruh rangkaian persamaan linier yang diselesaikan menggunakan algoritma yang sama - itulah mengapa mereka disebut yang paling sederhana.

Untuk memulainya, mari kita definisikan: apa itu persamaan linier dan mana yang harus disebut yang paling sederhana?

Persamaan linear adalah persamaan yang hanya memiliki satu variabel, dan hanya memiliki derajat pertama.

Persamaan paling sederhana berarti konstruksi:

Semua persamaan linier lainnya direduksi menjadi yang paling sederhana menggunakan algoritma:

1. Tanda kurung buka, jika ada;
2. Pindahkan suku-suku yang mengandung variabel ke satu sisi tanda sama dengan, dan suku-suku tanpa variabel ke sisi lainnya;
3. Bawa suku-suku sejenis ke kiri dan kanan tanda sama dengan;
4. Bagilah persamaan yang dihasilkan dengan koefisien variabel $x$ .

Tentu saja, algoritma ini tidak selalu membantu. Faktanya adalah bahwa kadang-kadang, setelah semua intrik ini, koefisien variabel $x$ ternyata sama dengan nol. Dalam hal ini, dua opsi dimungkinkan:

1. Persamaan tidak memiliki solusi sama sekali. Misalnya, ketika Anda mendapatkan sesuatu seperti $0\cdot x=8$, mis. di sebelah kiri adalah nol, dan di sebelah kanan adalah angka bukan nol. Dalam video di bawah ini, kita akan melihat beberapa alasan mengapa situasi ini mungkin terjadi.
2. Solusinya adalah semua angka. Satu-satunya kasus ketika ini mungkin adalah ketika persamaan telah direduksi menjadi konstruksi $0\cdot x=0$. Cukup logis bahwa berapa pun $x$ yang kita substitusikan, tetap akan menghasilkan "nol sama dengan nol", yaitu. persamaan numerik yang benar.

Dan sekarang mari kita lihat bagaimana semuanya bekerja pada contoh masalah nyata.

Contoh penyelesaian persamaan

Hari ini kita berurusan dengan persamaan linier, dan hanya yang paling sederhana. Secara umum, persamaan linier berarti setiap persamaan yang memuat tepat satu variabel, dan hanya berlaku sampai derajat pertama.

Konstruksi semacam itu diselesaikan dengan cara yang kira-kira sama:

1. Pertama-tama, Anda perlu membuka tanda kurung, jika ada (seperti pada gambar kami contoh terakhir);
2. Kemudian bawa yang serupa
3. Akhirnya, isolasi variabel, mis. segala sesuatu yang berhubungan dengan variabel - istilah yang dikandungnya - dipindahkan ke satu sisi, dan segala sesuatu yang tersisa tanpa variabel dipindahkan ke sisi lain.

Kemudian, sebagai aturan, Anda perlu membawa persamaan di setiap sisi dari persamaan yang dihasilkan, dan setelah itu hanya tinggal membagi dengan koefisien di "x", dan kami akan mendapatkan jawaban akhir.

Secara teori, ini terlihat bagus dan sederhana, tetapi dalam praktiknya, bahkan siswa sekolah menengah yang berpengalaman dapat membuat kesalahan yang menyinggung dalam persamaan linier yang cukup sederhana. Biasanya, kesalahan dibuat baik saat membuka tanda kurung, atau saat menghitung "plus" dan "minus".

Selain itu, kebetulan persamaan linier tidak memiliki solusi sama sekali, atau sehingga solusinya adalah seluruh garis bilangan, mis. nomor apapun. Kami akan menganalisis seluk-beluk ini dalam pelajaran hari ini. Tapi kami akan mulai, seperti yang sudah Anda pahami, dengan yang paling tugas sederhana.

Skema untuk menyelesaikan persamaan linier sederhana

Untuk memulainya, izinkan saya sekali lagi menulis seluruh skema untuk menyelesaikan persamaan linier paling sederhana:

1. Perluas tanda kurung, jika ada.
2. Variabel terpisah, mis. segala sesuatu yang mengandung "x" dipindahkan ke satu sisi, dan tanpa "x" - ke sisi lain.
3. Kami menyajikan istilah serupa.
4. Kami membagi semuanya dengan koefisien di "x".

Tentu saja, skema ini tidak selalu berhasil, ia memiliki kehalusan dan trik tertentu, dan sekarang kita akan mengenalnya.

Memecahkan contoh nyata persamaan linier sederhana

Tugas 1

Pada langkah pertama, kita diharuskan untuk membuka kurung. Tapi mereka tidak ada dalam contoh ini, jadi kita lewati tahap ini. Pada langkah kedua, kita perlu mengisolasi variabel. Catatan: kita sedang berbicara hanya tentang istilah individu. Mari menulis:

Kami memberikan istilah serupa di kiri dan di kanan, tetapi ini sudah dilakukan di sini. Oleh karena itu, kami melanjutkan ke langkah keempat: bagi dengan faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Di sini kami mendapat jawabannya.

Tugas #2

Dalam tugas ini, kita dapat mengamati tanda kurung, jadi mari kita kembangkan:

Baik di kiri maupun di kanan, kita melihat konstruksi yang kira-kira sama, tetapi mari kita bertindak sesuai dengan algoritme, yaitu. variabel penyerap:

Berikut beberapa seperti:

Pada akar apa ini bekerja? Jawaban: untuk apa saja. Oleh karena itu, kita dapat menulis bahwa $x$ adalah bilangan apa saja.

Tugas #3

Persamaan linier ketiga sudah lebih menarik:

\[\kiri(6-x \kanan)+\kiri(12+x \kanan)-\kiri(3-2x \kanan)=15\]

Ada beberapa tanda kurung di sini, tetapi tidak dikalikan dengan apa pun, mereka hanya berdiri di depannya berbagai tanda. Mari kita uraikan:

Kami melakukan langkah kedua yang sudah kami ketahui:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Mari kita hitung:

Kami melakukan langkah terakhir - kami membagi semuanya dengan koefisien di "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Hal-hal yang Perlu Diingat Saat Menyelesaikan Persamaan Linier

Jika kita mengabaikan tugas yang terlalu sederhana, maka saya ingin mengatakan yang berikut:

• Seperti yang saya katakan di atas, tidak setiap persamaan linier memiliki solusi - terkadang tidak ada akar;
• Bahkan jika ada akar, nol bisa masuk di antara mereka - tidak ada yang salah dengan itu.

Nol adalah angka yang sama dengan yang lain, Anda tidak boleh membeda-bedakannya atau berasumsi bahwa jika Anda mendapatkan nol, maka Anda melakukan sesuatu yang salah.

Fitur lain terkait dengan perluasan tanda kurung. Harap diperhatikan: ketika ada "minus" di depannya, kami menghapusnya, tetapi dalam tanda kurung kami mengubah tanda menjadi di depan. Dan kemudian kita dapat membukanya sesuai dengan algoritma standar: kita akan mendapatkan apa yang kita lihat dalam perhitungan di atas.

Memahami ini fakta sederhana akan menjaga Anda dari membuat kesalahan bodoh dan menyakitkan di sekolah menengah ketika melakukan hal-hal seperti itu dianggap biasa.

Memecahkan persamaan linier kompleks

Mari kita lanjutkan ke lebih banyak lagi persamaan kompleks. Sekarang konstruksi akan menjadi lebih rumit dan fungsi kuadrat akan muncul ketika melakukan berbagai transformasi. Namun, Anda tidak perlu takut akan hal ini, karena jika, menurut maksud penulis, kita memecahkan persamaan linier, maka dalam proses transformasi semua monomial yang mengandung fungsi kuadrat akan direduksi.

Contoh 1

Jelas, langkah pertama adalah membuka kurung. Mari kita lakukan ini dengan sangat hati-hati:

Sekarang mari kita ambil privasi:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Berikut beberapa seperti:

Jelas, persamaan ini tidak memiliki solusi, jadi dalam jawabannya kami menulis sebagai berikut:

\[\variasi \]

atau tanpa akar.

Contoh #2

Kami melakukan langkah yang sama. Langkah pertama:

Mari kita pindahkan semuanya dengan variabel ke kiri, dan tanpa itu - ke kanan:

Berikut beberapa seperti:

Jelas, persamaan linier ini tidak memiliki solusi, jadi kami menulisnya seperti ini:

\\[\varnothing\],

atau tanpa akar.

Nuansa solusi

Kedua persamaan diselesaikan sepenuhnya. Pada contoh dua ekspresi ini, kami sekali lagi memastikan bahwa bahkan dalam persamaan linier paling sederhana, semuanya tidak bisa sesederhana itu: bisa ada satu, atau tidak ada, atau banyak sekali. Dalam kasus kami, kami mempertimbangkan dua persamaan, di keduanya tidak ada akar.

Tetapi saya ingin menarik perhatian Anda ke fakta lain: cara bekerja dengan tanda kurung dan cara memperluasnya jika ada tanda minus di depannya. Pertimbangkan ungkapan ini:

Sebelum membuka, Anda perlu mengalikan semuanya dengan "x". Harap dicatat: kalikan setiap istilah individu. Di dalamnya ada dua istilah - masing-masing, dua istilah dan dikalikan.

Dan hanya setelah transformasi yang tampaknya mendasar, tetapi sangat penting dan berbahaya ini telah selesai, braket dapat dibuka dari sudut pandang bahwa ada tanda minus setelahnya. Ya, ya: baru sekarang, ketika transformasi selesai, kami ingat bahwa ada tanda minus di depan tanda kurung, yang berarti bahwa semuanya turun hanya mengubah tanda. Pada saat yang sama, tanda kurung itu sendiri menghilang dan, yang paling penting, "minus" depan juga menghilang.

Kami melakukan hal yang sama dengan persamaan kedua:

Bukan kebetulan bahwa saya memperhatikan fakta-fakta kecil yang tampaknya tidak penting ini. Karena penyelesaian persamaan selalu merupakan barisan transformasi dasar di mana ketidakmampuan untuk secara jelas dan kompeten melakukan langkah sederhana mengarah pada fakta bahwa siswa sekolah menengah datang kepada saya dan belajar memecahkan persamaan sederhana seperti itu lagi.

Tentu saja, saatnya akan tiba ketika Anda akan mengasah keterampilan ini menjadi otomatisme. Anda tidak lagi harus melakukan begitu banyak transformasi setiap kali, Anda akan menulis semuanya dalam satu baris. Tetapi saat Anda baru belajar, Anda perlu menulis setiap tindakan secara terpisah.

Memecahkan persamaan linier yang lebih kompleks

Apa yang akan kita selesaikan sekarang hampir tidak bisa disebut tugas paling sederhana, tetapi artinya tetap sama.

Tugas 1

\[\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]

Mari kita kalikan semua elemen di bagian pertama:

Mari kita lakukan retret:

Berikut beberapa seperti:

Mari kita lakukan langkah terakhir:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Inilah jawaban terakhir kami. Dan, terlepas dari kenyataan bahwa dalam proses penyelesaian kami memiliki koefisien dengan fungsi kuadrat, namun, mereka saling membatalkan, yang membuat persamaan persis linier, bukan persegi.

Tugas #2

\[\kiri(1-4x \kanan)\kiri(1-3x \kanan)=6x\kiri(2x-1 \kanan)\]

Mari lakukan langkah pertama dengan hati-hati: kalikan setiap elemen di kurung pertama dengan setiap elemen di kurung kedua. Secara total, empat istilah baru harus diperoleh setelah transformasi:

Dan sekarang dengan hati-hati lakukan perkalian di setiap suku:

Mari pindahkan suku dengan "x" ke kiri, dan tanpa - ke kanan:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Berikut adalah istilah serupa:

Kami telah menerima jawaban yang pasti.

Nuansa solusi

Pernyataan paling penting tentang kedua persamaan ini adalah sebagai berikut: segera setelah kita mulai mengalikan tanda kurung di mana ada suku yang lebih besar darinya, maka ini dilakukan sesuai dengan aturan selanjutnya: kami mengambil suku pertama dari yang pertama dan mengalikan dengan setiap elemen dari yang kedua; kemudian kami mengambil elemen kedua dari yang pertama dan dengan cara yang sama mengalikan dengan setiap elemen dari yang kedua. Hasilnya, kami mendapatkan empat suku.

Pada jumlah aljabar

Dengan contoh terakhir, saya ingin mengingatkan siswa apa itu jumlah aljabar. Dalam matematika klasik, dengan $1-7$ yang kami maksud adalah konstruksi sederhana: kami mengurangi tujuh dari satu. Dalam aljabar, yang kami maksud dengan ini adalah sebagai berikut: ke angka "satu" kami menambahkan angka lain, yaitu "dikurangi tujuh." Jumlah aljabar ini berbeda dari jumlah aritmatika biasa.

Segera setelah melakukan semua transformasi, setiap penambahan dan perkalian, Anda mulai melihat konstruksi yang mirip dengan yang dijelaskan di atas, Anda tidak akan memiliki masalah dalam aljabar saat bekerja dengan polinomial dan persamaan.

Sebagai kesimpulan, mari kita lihat beberapa contoh lagi yang akan lebih kompleks daripada yang baru saja kita lihat, dan untuk menyelesaikannya, kita harus sedikit memperluas algoritme standar kita.

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan

Untuk menyelesaikan tugas seperti itu, satu langkah lagi harus ditambahkan ke algoritme kami. Tapi pertama-tama, saya akan mengingatkan algoritma kami:

1. Buka kurung.
2. Variabel terpisah.
3. Bawa serupa.
4. Bagi dengan faktor.

Sayangnya, algoritme yang luar biasa ini, untuk semua efisiensinya, tidak sepenuhnya tepat ketika kita memiliki pecahan di depan kita. Dan dalam apa yang akan kita lihat di bawah, kita memiliki pecahan di kiri dan kanan di kedua persamaan.

Bagaimana cara bekerja dalam kasus ini? Ya, itu sangat sederhana! Untuk melakukan ini, Anda perlu menambahkan satu langkah lagi ke algoritme, yang dapat dilakukan sebelum tindakan pertama dan sesudahnya, yaitu, singkirkan pecahan. Dengan demikian, algoritmanya akan menjadi sebagai berikut:

1. Singkirkan pecahan.
2. Buka kurung.
3. Variabel terpisah.
4. Bawa serupa.
5. Bagi dengan faktor.

Apa artinya "menyingkirkan pecahan"? Dan mengapa mungkin melakukan ini setelah dan sebelum langkah standar pertama? Faktanya, dalam kasus kami, semua pecahan adalah numerik dalam hal penyebut, yaitu. dimana-mana penyebutnya hanyalah sebuah angka. Oleh karena itu, jika kita mengalikan kedua bagian persamaan dengan angka ini, maka kita akan menghilangkan pecahan.

Contoh 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Mari kita singkirkan pecahan dalam persamaan ini:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Harap dicatat: semuanya dikalikan dengan "empat" sekali, mis. hanya karena Anda memiliki dua tanda kurung tidak berarti Anda harus mengalikan masing-masing tanda kurung dengan "empat". Mari menulis:

\[\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]

Sekarang mari kita buka:

Kami melakukan pengasingan variabel:

Kami melakukan pengurangan istilah serupa:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \kanan) \kanan.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Kita punya keputusan terakhir, kita lolos ke persamaan kedua.

Contoh #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Di sini kami melakukan semua tindakan yang sama:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Masalah terpecahkan.

Sebenarnya, hanya itu yang ingin saya ceritakan hari ini.

Poin-poin penting

Temuan kuncinya adalah sebagai berikut:

• Mengetahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear.
• Kemampuan untuk membuka kurung.
• Jangan khawatir jika di suatu tempat Anda memiliki fungsi kuadrat, kemungkinan besar, dalam proses transformasi lebih lanjut, mereka akan berkurang.
• Akar dalam persamaan linier, bahkan yang paling sederhana, terdiri dari tiga jenis: satu akar tunggal, seluruh garis bilangan adalah akar, tidak ada akar sama sekali.

Saya harap pelajaran ini akan membantu Anda menguasai topik yang sederhana, tetapi sangat penting untuk pemahaman lebih lanjut tentang semua matematika. Jika ada yang tidak jelas, buka situsnya, selesaikan contoh yang disajikan di sana. Nantikan, masih banyak hal menarik lainnya menanti Anda!