აქამდე ჩვენ ამოხსნილი გვაქვს მხოლოდ მთელი რიცხვითი განტოლებები უცნობის მიმართ, ანუ განტოლებები, რომლებშიც მნიშვნელები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში) არ შეიცავს უცნობს.

ხშირად თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებები, რომლებიც შეიცავს უცნობს მნიშვნელებში: ასეთ განტოლებებს წილადს უწოდებენ.

ამ განტოლების ამოსახსნელად, ჩვენ გავამრავლებთ მის ორივე მხარეს, ანუ მრავალწევრზე, რომელიც შეიცავს უცნობს. იქნება თუ არა ახალი განტოლება მოცემულის ეკვივალენტური? კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით ამ განტოლება ამოხსნათ.

მისი ორივე მხარის გამრავლებით მივიღებთ:

პირველი ხარისხის ამ განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ:

ასე რომ, განტოლებას (2) აქვს ერთი ფესვი

მისი (1) განტოლებით ჩანაცვლებით მივიღებთ:

აქედან გამომდინარე, ასევე არის (1) განტოლების ფესვი.

განტოლებას (1) სხვა ფესვები არ აქვს. ჩვენს მაგალითში ეს ჩანს, მაგალითად, იქიდან, რომ განტოლებაში (1)

როგორ უცნობი გამყოფიუნდა იყოს ტოლი დივიდენდის 1 გაყოფილი კოეფიციენტზე 2, ე.ი.

მაშასადამე, (1) და (2) განტოლებებს აქვთ ერთი ფესვი, შესაბამისად, ისინი ეკვივალენტურია.

2. ახლა ჩვენ ვხსნით შემდეგ განტოლებას:

პროტოზოა საერთო მნიშვნელი: ; გაამრავლეთ მასზე განტოლების ყველა პირობა:

შემცირების შემდეგ ვიღებთ:

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:

მსგავსი პირობების შემოტანით, ჩვენ გვაქვს:

ამ განტოლების ამოხსნისას ვპოულობთ:

(1) განტოლებით ჩანაცვლებით მივიღებთ:

მარცხენა მხარეს მივიღეთ გამოთქმები, რომლებსაც აზრი არ აქვს.

მაშასადამე, (1) განტოლების ფესვი არ არის. ეს გულისხმობს, რომ განტოლებები (1) და არ არის ეკვივალენტური.

ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვამბობთ, რომ განტოლებამ (1) შეიძინა უცხო ფესვი.

მოდით შევადაროთ (1) განტოლების ამონახსნი იმ განტოლებების ამოხსნას, რომლებიც ადრე განვიხილეთ (იხ. § 51). ამ განტოლების ამოხსნისას უნდა შეგვესრულებინა ორი ისეთი ოპერაცია, რომელიც აქამდე არ იყო ნანახი: ჯერ ერთი, გავამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე უცნობი (საერთო მნიშვნელის) შემცველი გამოსახულებით და მეორეც, შევამცირეთ. ალგებრული წილადებიუცნობის შემცველ ფაქტორებად.

განტოლების (1) განტოლების (2) შედარებისას, ჩვენ ვხედავთ, რომ ყველა x მნიშვნელობა არ არის მოქმედი განტოლებისთვის (2) მართებულია განტოლებისთვის (1).

ეს არის რიცხვები 1 და 3, რომლებიც არ არის უცნობის დასაშვები მნიშვნელობები (1) და ტრანსფორმაციის შედეგად ისინი დასაშვები გახდნენ განტოლებისთვის (2). ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთი აღმოჩნდა (2) განტოლების ამონახსნი, მაგრამ, რა თქმა უნდა, ეს არ შეიძლება იყოს (1) განტოლების ამონახსნი. განტოლებას (1) არ აქვს ამონახსნები.

ეს მაგალითი გვიჩვენებს, რომ განტოლების ორივე ნაწილი უცნობის შემცველ ფაქტორზე გამრავლებისას და ალგებრული წილადების შემცირებისას შეიძლება მივიღოთ განტოლება, რომელიც არ არის მოცემულის ექვივალენტური, კერძოდ: შეიძლება გამოჩნდეს უცხო ფესვები.

აქედან გამომდინარე ვაკეთებთ შემდეგ დასკვნას. მნიშვნელში უცნობის შემცველი განტოლების ამოხსნისას, მიღებული ფესვები უნდა შემოწმდეს თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით. ზედმეტი ფესვები უნდა განადგურდეს.

განტოლება არის ტოლობა, რომელიც შეიცავს ასოს, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს.

განტოლებებში უცნობი ჩვეულებრივ აღინიშნება მცირე ასოებით ლათინური ასო. ყველაზე ხშირად გამოყენებული ასოებია "x" [x] და "y" [y].

განტოლების ფესვიარის ასოს მნიშვნელობა, რომლითაც მიიღება სწორი განტოლება რიცხვითი თანასწორობა.

განტოლების ამოხსნა- ნიშნავს იპოვო მისი ყველა ფესვი ან დარწმუნდე, რომ ფესვები არ არსებობს.

განტოლების ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ყოველთვის ვწერთ ჩეკს პასუხის შემდეგ.

ინფორმაცია მშობლებისთვის

ძვირფასო მშობლებო, გთხოვთ გაითვალისწინოთ დაწყებითი სკოლახოლო მე-5 კლასში ბავშვებმა არ იციან თემა „უარყოფითი რიცხვები“.

ამიტომ, მათ უნდა ამოხსნან განტოლებები მხოლოდ შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის თვისებების გამოყენებით. მე-5 კლასისთვის განტოლებების ამოხსნის მეთოდები მოცემულია ქვემოთ.

ნუ ეცდებით განტოლებების ამოხსნის ახსნას განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე რიცხვებისა და ასოების ნიშნის ცვლილებით.

შეკრებაზე, გამოკლებასთან, გამრავლებასთან და გაყოფასთან დაკავშირებული ცნებების შესახებ ცოდნა შეგიძლიათ განაახლოთ გაკვეთილზე „არითმეტიკის კანონები“.

შეკრებისა და გამოკლების განტოლებების ამოხსნა

როგორ მოვძებნოთ უცნობი
ვადა

როგორ მოვძებნოთ უცნობი
minuend

როგორ მოვძებნოთ უცნობი
სუბტრაჰენდი

Პოვნა უცნობი ტერმინი, აუცილებელია ჯამს გამოვაკლოთ ცნობილი წევრი.

უცნობი მინიუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ ქვეტრაჰენდი.

უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად აუცილებელია სხვაობის გამოკლება მინუენდისგან.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
ექსპერტიზა

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
ექსპერტიზა

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
ექსპერტიზა

გამრავლებისა და გაყოფის განტოლებების ამოხსნა

როგორ მოვძებნოთ უცნობი
ფაქტორი

როგორ მოვძებნოთ უცნობი
დივიდენდი

როგორ მოვძებნოთ უცნობი
გამყოფი

Პოვნა უცნობი მულტიპლიკატორი, აუცილებელია პროდუქტის გაყოფა ცნობილი ფაქტორით.

უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ კოეფიციენტი გამყოფზე.

უცნობი გამყოფის საპოვნელად, დივიდენდი გაყავით კოეფიციენტზე.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
ექსპერტიზა

y:7=2
y = 2 7
y=14
ექსპერტიზა

8:y=4
y=8:4
y=2
ექსპერტიზა

განტოლება არის განტოლება, რომელიც შეიცავს ასოს, რომლის ნიშანიც უნდა მოიძებნოს. განტოლების გამოსავალი არის ასო მნიშვნელობების ნაკრები, რომელიც აქცევს განტოლებას ნამდვილ ტოლობაში:

შეგახსენებთ, რომ გადაჭრის მიზნით განტოლებააუცილებელია ტოლობის ერთ ნაწილზე გადავიტანოთ ტერმინები უცნობით, ხოლო მეორეზე რიცხვითი, მივიყვანოთ მსგავსი და მივიღოთ შემდეგი ტოლობა:

ბოლო ტოლობიდან უცნობს განვსაზღვრავთ წესით: „ერთ-ერთი ფაქტორი უდრის მეორე ფაქტორზე გაყოფილ კოეფიციენტს“.

როგორც რაციონალური რიცხვი a და b შეიძლება ჰქონდეს იგივე და სხვადასხვა ნიშნები, მაშინ უცნობის ნიშანი განისაზღვრება რაციონალური რიცხვების გაყოფის წესებით.

წრფივი განტოლებების ამოხსნის პროცედურა

წრფივი განტოლება უნდა გამარტივდეს ფრჩხილების გახსნით და მეორე ეტაპის (გამრავლება და გაყოფა) მოქმედებების შესრულებით.

გადაიტანეთ უცნობები ტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს, ხოლო რიცხვები ტოლობის ნიშნის მეორე მხარეს, რათა მიიღოთ მოცემული ტოლობის იდენტური,

მოიყვანეთ ტოლი ნიშნის მარცხნივ და მარჯვნივ, ფორმის ტოლობის მიღებით ნაჯახი = ბ.

გამოთვალეთ განტოლების ფესვი (იპოვეთ უცნობი Xთანასწორობიდან x = ბ : ა),

შეასრულეთ ტესტი უცნობის ჩანაცვლებით მოცემული განტოლება.

თუ რიცხვით ტოლობაში იდენტობას მივიღებთ, მაშინ განტოლება სწორად ამოხსნილია.

განტოლებების ამოხსნის განსაკუთრებული შემთხვევები

1. Თუ განტოლებამოცემულია 0-ის ტოლი ნამრავლით, შემდეგ მის ამოსახსნელად ვიყენებთ გამრავლების თვისებას: „ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი ან ორივე ფაქტორი ნულის ტოლია“.

27 (x - 3) = 0
27 არ არის 0-ის ტოლი, ასე რომ x - 3 = 0

მეორე მაგალითს აქვს განტოლების ორი ამონახსნი, ვინაიდან
ეს არის მეორე ხარისხის განტოლება:

თუ განტოლების კოეფიციენტები არის ჩვეულებრივი წილადები, პირველი რაც უნდა გააკეთოთ არის მნიშვნელების მოშორება. Ამისთვის:

იპოვნეთ საერთო მნიშვნელი;

განსაზღვრეთ დამატებითი მულტიპლიკატორებიგანტოლების თითოეული წევრისთვის;

გაამრავლეთ წილადებისა და მთელი რიცხვების მრიცხველები დამატებით ფაქტორებზე და ჩაწერეთ განტოლების ყველა პირობა მნიშვნელების გარეშე (საერთო მნიშვნელის გაუქმება შესაძლებელია);

ტოლობის ნიშნიდან გადაიტანეთ უცნობი პირები განტოლების ერთ ნაწილზე, ხოლო რიცხვითი წევრები მეორეზე, ტოლობის ტოლობის მიღებით;

მოიყვანეთ მსგავსი პირობები;

განტოლებების ძირითადი თვისებები

განტოლების ნებისმიერი ნაწილი შეიძლება იყოს მოცემული ტერმინების მსგავსადან გახსენით ფრჩხილები.

განტოლების ნებისმიერი წევრი შეიძლება გადავიდეს განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე მისი ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლით.

განტოლების ორივე მხარე შეიძლება გავამრავლოთ (გაიყოთ) იმავე რიცხვზე, გარდა 0-ისა.

ზემოთ მოცემულ მაგალითში მისი ყველა თვისება გამოყენებული იყო განტოლების ამოსახსნელად.

როგორ ამოხსნათ განტოლება უცნობისთან წილადში

ხანდახან წრფივი განტოლებებიმიიღოს ფორმა, როდესაც უცნობიჩნდება ერთი ან რამდენიმე წილადის მრიცხველში. როგორც ქვემოთ მოცემულ განტოლებაში.

ასეთ შემთხვევებში, ასეთი განტოლებები შეიძლება გადაწყდეს ორი გზით.

მე გადაწყვეტის გზა
განტოლების პროპორციამდე შემცირება

პროპორციული მეთოდის გამოყენებით განტოლებების ამოხსნისას თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი ნაბიჯები:

მოიყვანეთ ყველა წილადი საერთო მნიშვნელთან და დაამატეთ ისინი ალგებრულ წილადებად (მხოლოდ ერთი წილადი უნდა დარჩეს მარცხენა და მარჯვენა მხარეს);

ამოხსენით მიღებული განტოლება პროპორციის წესის გამოყენებით.

ასე რომ, დავუბრუნდეთ ჩვენს განტოლებას. მარცხენა მხარეს უკვე გვაქვს მხოლოდ ერთი წილადი, ამიტომ მასში გარდაქმნები არ არის საჭირო.

ჩვენ ვიმუშავებთ მარჯვენა მხარეგანტოლებები. გამარტივება მარჯვენა მხარეგანტოლებები ისე, რომ დარჩენილია მხოლოდ ერთი წილადი. ამისათვის გაიხსენეთ ალგებრული წილადით რიცხვის დამატების წესები.

ახლა ჩვენ ვიყენებთ პროპორციის წესს და ვხსნით განტოლებას ბოლომდე.

ამოხსნის II მეთოდი
წრფივი განტოლებამდე შემცირება წილადების გარეშე

კვლავ განიხილეთ ზემოთ მოცემული განტოლება და ამოხსენით იგი სხვა გზით.

ჩვენ ვხედავთ, რომ განტოლებაში არის ორი წილადი "

როგორ ამოხსნათ განტოლებები წილადებით. წილადებით განტოლებების ექსპონენციალური ამოხსნა.

განტოლებების ამოხსნა წილადებითგადავხედოთ მაგალითებს. მაგალითები მარტივი და საილუსტრაციოა. მათი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ ყველაზე გასაგებად,.
მაგალითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ მარტივი განტოლება x/b + c = d.

ამ ტიპის განტოლებას წრფივი ეწოდება, რადგან მნიშვნელი შეიცავს მხოლოდ რიცხვებს.

ამოხსნა შესრულებულია განტოლების ორივე მხარის b-ზე გამრავლებით, შემდეგ განტოლება იღებს x = b*(d – c) ფორმას, ე.ი. მარცხენა მხარეს წილადის მნიშვნელი მცირდება.

მაგალითად, როგორ ამოხსნათ წილადი განტოლება:
x/5+4=9
ორივე ნაწილს ვამრავლებთ 5-ზე. მივიღებთ:
x+20=45

კიდევ ერთი მაგალითი, სადაც უცნობი არის მნიშვნელში:

ამ ტიპის განტოლებებს ეწოდება წილადი რაციონალური ან უბრალოდ წილადი.

წილადის განტოლებას ვხსნიდით წილადებისგან თავის დაღწევით, რის შემდეგაც ეს განტოლება, ყველაზე ხშირად, გადაიქცევა წრფივ ან კვადრატულ განტოლებად, რომელიც წყდება ჩვეულებრივი გზით. თქვენ მხოლოდ უნდა გაითვალისწინოთ შემდეგი პუნქტები:

• ცვლადის მნიშვნელობა, რომელიც აქცევს მნიშვნელს 0-ზე, არ შეიძლება იყოს ფესვი;
• თქვენ არ შეგიძლიათ განტოლების გაყოფა ან გამრავლება გამოსახულებით =0.

სწორედ აქ ჩნდება არეალის კონცეფცია. დაშვებული ღირებულებები(ODZ) - ეს არის განტოლების ფესვების მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც განტოლებას აზრი აქვს.

ამრიგად, განტოლების გადასაჭრელად, აუცილებელია ფესვების პოვნა, შემდეგ კი მათი შემოწმება ODZ-სთან შესაბამისობისთვის. ის ფესვები, რომლებიც არ შეესაბამება ჩვენს DHS-ს, გამორიცხულია პასუხიდან.

მაგალითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ წილადი განტოლება:

ზემოაღნიშნული წესიდან გამომდინარე, x არ შეიძლება იყოს = 0, ე.ი. ODZ in ამ საქმეს: x - ნებისმიერი მნიშვნელობა ნულის გარდა.

ჩვენ ვაშორებთ მნიშვნელს განტოლების ყველა წევრი x-ზე გამრავლებით

და ამოხსენით ჩვეულებრივი განტოლება

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

მოდი, უფრო რთული განტოლება გადავწყვიტოთ:

ODZ ასევე აქ არის: x -2.

ამ განტოლების ამოხსნით ყველაფერს ერთი მიმართულებით არ გადავიტანთ და წილადებს საერთო მნიშვნელამდე არ მივყავართ. ჩვენ დაუყოვნებლივ გავამრავლებთ განტოლების ორივე მხარეს გამოსახულებით, რომელიც შეამცირებს ყველა მნიშვნელს ერთდროულად.

მნიშვნელების შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მარცხენა მხარე x + 2-ზე, ხოლო მარჯვენა მხარე 2-ზე. ასე რომ, განტოლების ორივე მხარე უნდა გავამრავლოთ 2-ზე (x + 2):

ზუსტად ეს ჩვეულებრივი გამრავლებაწილადები, რომლებიც ზემოთ უკვე ვისაუბრეთ

ჩვენ ვწერთ იგივე განტოლებას, მაგრამ ოდნავ განსხვავებული გზით.

მარცხენა მხარე მცირდება (x + 2), ხოლო მარჯვენა მხარე 2-ით. შემცირების შემდეგ მივიღებთ ჩვეულებრივ წრფივ განტოლებას:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, რომელიც შეესაბამება ჩვენს ODZ-ს

განტოლებების ამოხსნა წილადებითარც ისე რთული, როგორც ეს შეიძლება ჩანდეს. ამ სტატიაში ჩვენ ვაჩვენეთ ეს მაგალითებით. თუ რაიმე სირთულე გაქვთ როგორ ამოხსნათ განტოლებები წილადებით, შემდეგ გააუქმეთ გამოწერა კომენტარებში.

წილადებით განტოლებების ამოხსნა მე-5 კლასი

წილადებით განტოლებების ამოხსნა. ამოცანების ამოხსნა წილადებით.

დოკუმენტის შინაარსის ნახვა
"განტოლებების ამოხსნა წილადებით 5 კლასი"

- წილადების შეკრება იგივე მნიშვნელები.

- ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, დაამატეთ მათი მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი იგივე.

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.

ერთიდაიგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლებისთვის, ქვეტრაჰენდის მრიცხველი გამოვაკლოთ მინუენდის მრიცხველს და მნიშვნელი იგივე დავტოვოთ.

განტოლებების ამოხსნისას აუცილებელია განტოლებების ამოხსნის წესების, შეკრებისა და გამოკლების თვისებების გამოყენება.

განტოლებების ამოხსნა თვისებების გამოყენებით.

განტოლებების ამოხსნა წესების გამოყენებით.

განტოლების მარცხენა მხარეს გამოსახულება არის ჯამი.

ვადა + ვადა = ჯამი.

უცნობი წევრის საპოვნელად, გამოაკლეთ ცნობილი წევრი ჯამს.

minuend – subtrahend = განსხვავება

უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად, გამოაკლეთ განსხვავება მინუენდს.

განტოლების მარცხენა მხარეს გამოსახულება არის განსხვავება.

უცნობი მინიუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ ქვეტრაჰენდი.

განტოლებების ამოხსნის წესების გამოყენება.

განტოლების მარცხენა მხარეს, გამოხატულება არის ჯამი.

ინსტრუქცია

ალბათ ყველაზე აშკარა წერტილი აქ არის, რა თქმა უნდა, . რიცხვითი წილადები არ წარმოადგენს საფრთხეს ( წილადი განტოლებები, სადაც ყველა მნიშვნელი შეიცავს მხოლოდ რიცხვებს, ზოგადად იქნება წრფივი), მაგრამ თუ მნიშვნელში არის ცვლადი, მაშინ ეს უნდა იქნას გათვალისწინებული და დაწესებული. ჯერ ერთი, ეს არის ის, რომ x, რომელიც აქცევს მნიშვნელს 0-ზე, არ შეიძლება იყოს და ზოგადად საჭიროა ცალკე დარეგისტრირება იმისა, რომ x არ შეიძლება იყოს ამ რიცხვის ტოლი. მაშინაც კი, თუ თქვენ მოახერხებთ, რომ მრიცხველში ჩანაცვლებისას ყველაფერი მშვენივრად ემთხვევა და აკმაყოფილებს პირობებს. მეორეც, ჩვენ არ შეგვიძლია გავამრავლოთ განტოლების ერთი ან ორივე მხარე ნულის ტოლი.

ამის შემდეგ, ასეთი განტოლება მცირდება მისი ყველა წევრის მარცხენა მხარეს გადასატანად ისე, რომ 0 დარჩეს მარჯვენა მხარეს.

აუცილებელია ყველა ტერმინის საერთო მნიშვნელთან მიყვანა, მრიცხველების გამრავლება გამოტოვებულ გამონათქვამებზე.
შემდეგი, ჩვენ ვხსნით მრიცხველში დაწერილ ჩვეულებრივ განტოლებას. ჩვენ შეგვიძლია გავუძლოთ საერთო ფაქტორებიფრჩხილებიდან გამოიყენე შემოკლებული გამრავლება, მიეცით like, გამოთვალეთ ფესვები კვადრატული განტოლებადისკრიმინანტის მეშვეობით და ა.შ.

შედეგი უნდა იყოს ფაქტორიზაცია ფრჩხილების ნამრავლის სახით (x-(i-th root)). ის ასევე შეიძლება შეიცავდეს მრავალწევრებს, რომლებსაც არ აქვთ ფესვები, მაგალითად, კვადრატული ტრინომიალინულზე ნაკლები დისკრიმინანტით (თუ, რა თქმა უნდა, მხოლოდ პრობლემაში არ არის ნამდვილი ფესვები, როგორც ეს ხშირად ხდება).
დარწმუნდით, რომ ფაქტორიზაცია და მნიშვნელი გააკეთეთ იქ არსებული ფრჩხილების მდებარეობიდან, რომელიც უკვე შეიცავს მრიცხველში. თუ მნიშვნელი შეიცავს გამონათქვამებს, როგორიცაა (x-(რიცხვი)), მაშინ უმჯობესია, საერთო მნიშვნელზე დაყვანისას, არ გავამრავლოთ მასში არსებული ფრჩხილები „პირისპირ“, არამედ დატოვოთ ისინი ნამრავლის სახით. ორიგინალური მარტივი გამონათქვამები.
იგივე ფრჩხილები მრიცხველსა და მნიშვნელში შეიძლება შემცირდეს x-ზე პირობების წინასწარ ჩაწერით, როგორც ზემოთ აღინიშნა.
პასუხი იწერება ხვეული ფრჩხილებით, x მნიშვნელობების სიმრავლის სახით, ან უბრალოდ ჩამოთვლით: x1=..., x2=... და ა.შ.

წყაროები:

• წილადი რაციონალური განტოლებები

ის, რისი უარყოფაც შეუძლებელია ფიზიკაში, მათემატიკაში, ქიმიაში. სულ მცირე. ჩვენ ვსწავლობთ მათი გადაწყვეტის საფუძვლებს.

ინსტრუქცია

ყველაზე ზოგად და უმარტივეს კლასიფიკაციაში ის შეიძლება დაიყოს მათში შემავალი ცვლადების რაოდენობის მიხედვით და ამ ცვლადების დგომის ხარისხების მიხედვით.

ამოხსენით განტოლება მისი ყველა ფესვი ან დაამტკიცეთ, რომ ისინი არ არსებობენ.

ნებისმიერ განტოლებას აქვს მაქსიმუმ P ფესვები, სადაც P არის მოცემული განტოლების მაქსიმუმი.

მაგრამ ამ ფესვებიდან ზოგიერთი შეიძლება ემთხვეოდეს. ასე, მაგალითად, განტოლება x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, სადაც ^ არის სიძლიერის ხატულა, იკეცება გამოხატვის კვადრატში (x + 1), ანუ ორი იდენტური ფრჩხილის ნამრავლში, რომელთაგან თითოეული იძლევა x = - 1 გამოსავალს.

თუ განტოლებაში მხოლოდ ერთი უცნობია, ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეძლებთ მკაფიოდ იპოვოთ მისი ფესვები (რეალური ან რთული).

ამისათვის, სავარაუდოდ, დაგჭირდებათ სხვადასხვა ტრანსფორმაციები: შემოკლებული გამრავლება, კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტის და ფესვების გამოთვლა, ტერმინების ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანა, საერთო მნიშვნელის შემცირება, განტოლების ორივე ნაწილის გამრავლება ერთი და იგივე გამოსახულებით. კვადრატში და ა.შ.

გარდაქმნები, რომლებიც გავლენას არ ახდენენ განტოლების ფესვებზე, იდენტურია. ისინი გამოიყენება განტოლების ამოხსნის პროცესის გასამარტივებლად.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ტრადიციული ანალიტიკური ნაცვლად გრაფიკული მეთოდიდა ჩაწერეთ ეს განტოლება ფორმით, მისი შესწავლის შემდეგ.

თუ განტოლებაში ერთზე მეტი უცნობია, მაშინ თქვენ შეძლებთ მხოლოდ ერთი მათგანის გამოხატვას მეორის თვალსაზრისით, რითაც აჩვენებთ ამონახსნთა ერთობლიობას. ასეთია, მაგალითად, განტოლებები პარამეტრებით, რომლებშიც არის უცნობი x და პარამეტრი a. გადაწყვიტე პარამეტრული განტოლება- ნიშნავს ყველა a-ს გამოსახოს x a-ით, ანუ განიხილოს ყველა შესაძლო შემთხვევა.

თუ განტოლება შეიცავს უცნობის წარმოებულებს ან დიფერენციალებს (იხ. სურათი), გილოცავთ, ეს არის დიფერენციალური განტოლება, და აქ თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გარეშე უმაღლესი მათემატიკა).

წყაროები:

• იდენტობის გარდაქმნები

პრობლემის მოსაგვარებლად წილადებიუნდა ვისწავლოთ მათთან ურთიერთობა არითმეტიკული მოქმედებები. ისინი შეიძლება იყოს ათობითი, მაგრამ ყველაზე ხშირად გამოიყენება ბუნებრივი ფრაქციებიმრიცხველით და მნიშვნელით. მხოლოდ ამის შემდეგ შეძლებთ გადაწყვეტილების მიღებას. მათემატიკის ამოცანებითან წილადური მნიშვნელობები.

დაგჭირდებათ

• - კალკულატორი;
• - წილადების თვისებების ცოდნა;
• - წილადებთან მუშაობის უნარი.

ინსტრუქცია

წილადი არის ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფის ჩანაწერი. ხშირად ამის გაკეთება შეუძლებელია მთლიანად და, შესაბამისად, ეს ქმედება რჩება „დაუსრულებელი. რიცხვს, რომელიც იყოფა (იგი წილადის ნიშნის ზემოთ ან მის წინ არის) მრიცხველი ეწოდება, ხოლო მეორე რიცხვს (წილადის ნიშნის ქვეშ ან მის შემდეგ) მნიშვნელი. თუ მრიცხველი მნიშვნელზე მეტია, წილადს არასწორ წილადს უწოდებენ და მისგან შეიძლება ამოღებულ იქნას მთელი რიცხვი. თუ მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლები, მაშინ ასეთ წილადს სათანადო ეწოდება და მისი მთელი ნაწილიუდრის 0.

Დავალებებიიყოფა რამდენიმე ტიპად. განსაზღვრეთ რომელია დავალება. უმარტივესი ვარიანტი- წილადით გამოხატული რიცხვის წილადის პოვნა. ამ პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისია ეს რიცხვი გავამრავლოთ წილადზე. მაგალითად, შემოიტანეს 8 ტონა კარტოფილი. პირველ კვირაში მისი 3/4 სულ. რამდენი კარტოფილი დარჩა? ამ პრობლემის გადასაჭრელად, რიცხვი 8 გაამრავლეთ 3/4-ზე. გამოვა 8 ∙ 3/4 \u003d 6 ტ.

თუ რიცხვის პოვნა გჭირდებათ მისი ნაწილის მიხედვით, გაამრავლეთ რიცხვის ცნობილი ნაწილი იმ წილადის საპასუხოდ, რომელიც აჩვენებს ამ ნაწილის რა პროპორციას შეიცავს რიცხვში. მაგალითად, 8 სტუდენტთა საერთო რაოდენობის 1/3-დან. რამდენში? ვინაიდან 8 ადამიანი არის ის ნაწილი, რომელიც წარმოადგენს ჯამის 1/3-ს, მაშინ იპოვეთ ორმხრივი, რაც უდრის 3/1-ს ან უბრალოდ 3-ს. შემდეგ მივიღოთ კლასში მოსწავლეთა რაოდენობა 8∙3=24 მოსწავლე.

როდესაც თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვის რომელი ნაწილია ერთი რიცხვი მეორისგან, გაყავით რიცხვი, რომელიც წარმოადგენს ნაწილს მთელ რიცხვზე. მაგალითად, თუ მანძილი არის 300 კმ და მანქანამ გაიარა 200 კმ, რამდენი იქნება ეს მთლიანი მგზავრობიდან? გაყავით ბილიკის ნაწილი 200-ზე სრული გზა 300, წილადის შემცირების შემდეგ მიიღებთ შედეგს. 200/300=2/3.

რიცხვის უცნობი წილადის ნაწილის საპოვნელად, როცა არის ცნობილი, აიღეთ მთელი რიცხვი, როგორც ჩვეულებრივი ერთეული და გამოვაკლოთ ცნობილი წილადი. მაგალითად, თუ გაკვეთილის 4/7 უკვე გავიდა, კიდევ დარჩა? აიღეთ მთელი გაკვეთილი ჩვეულებრივი ერთეულის სახით და გამოაკლეთ 4/7. მიიღეთ 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

ჩვენ ვაგრძელებთ საუბარს განტოლებების ამოხსნა. ამ სტატიაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ რაციონალური განტოლებებიდა გადაწყვეტილების პრინციპები რაციონალური განტოლებებიერთი ცვლადით. ჯერ გავარკვიოთ, რა სახის განტოლებებს ეწოდება რაციონალური, მივცეთ მთელი რაციონალური და წილადი რაციონალური განტოლებების განმარტება და მოვიყვანოთ მაგალითები. შემდეგი, ჩვენ ვიღებთ ალგორითმებს რაციონალური განტოლებების გადასაჭრელად და, რა თქმა უნდა, განვიხილავთ ამონახსნებს დამახასიათებელი მაგალითებიყველა საჭირო განმარტებით.

გვერდის ნავიგაცია.

გაჟღერებულ განმარტებებზე დაყრდნობით, რაციონალური განტოლებების რამდენიმე მაგალითს ვაძლევთ. მაგალითად, x=1, 2 x−12 x 2 y z 3 =0, , ყველა რაციონალური განტოლებაა.

ნაჩვენები მაგალითებიდან ჩანს, რომ რაციონალური განტოლებები, ისევე როგორც სხვა ტიპის განტოლებები, შეიძლება იყოს ან ერთი ცვლადით, ან ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები. AT შემდეგი აბზაცებივისაუბრებთ რაციონალური განტოლებების ერთ ცვლადში ამოხსნაზე. განტოლებების ამოხსნა ორი ცვლადითდა ისინი დიდი რიცხვიგანსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს.

გარდა იმისა, რომ რაციონალური განტოლებები იყოფა უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, ისინი ასევე იყოფა მთელ რიცხვებად და წილადებად. მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტებები.

განმარტება.

რაციონალური განტოლება ე.წ მთლიანითუ მისი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები მთელი რაციონალური გამონათქვამებია.

განმარტება.

თუ რაციონალური განტოლების ერთი ნაწილი მაინც არის წილადი, მაშინ ასეთი განტოლება ე.წ. ფრაქციულად რაციონალური(ან წილადი რაციონალური).

ცხადია, რომ მთელი რიცხვები არ შეიცავს გაყოფას ცვლადით, პირიქით, წილადი რაციონალური განტოლებები აუცილებლად შეიცავს გაყოფას ცვლადზე (ან ცვლადზე მნიშვნელში). ანუ 3 x+2=0 და (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5არის მთელი რაციონალური განტოლებები, მათი ორივე ნაწილი არის მთელი რიცხვი. A და x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 არის წილადი რაციონალური განტოლებების მაგალითები.

ამ აბზაცის დასასრულს, ყურადღება მივაქციოთ იმ ფაქტს, რომ ამ მომენტისთვის ცნობილი წრფივი განტოლებები და კვადრატული განტოლებები მთლიანი რაციონალური განტოლებებია.

მთელი განტოლებების ამოხსნა

მთლიანი განტოლებების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი მიდგომაა მათი შემცირება ეკვივალენტამდე ალგებრული განტოლებები. ეს ყოველთვის შეიძლება გაკეთდეს განტოლების შემდეგი ეკვივალენტური გარდაქმნების შესრულებით:

• პირველი, გამონათქვამი საწყისი მთელი რიცხვის განტოლების მარჯვენა მხრიდან გადაეცემა მარცხენა მხარეს საპირისპირო ნიშანიმარჯვენა მხარეს ნულის მისაღებად;
• ამის შემდეგ, განტოლების მარცხენა მხარეს, მიღებულია სტანდარტული ხედი.

შედეგი არის ალგებრული განტოლება, რომელიც უდრის თავდაპირველ მთლიან განტოლებას. ასე რომ, ყველაზე მარტივი შემთხვევებიმთელი განტოლებების ამოხსნა მცირდება წრფივი ან კვადრატული განტოლებების ამოხსნამდე და ში ზოგადი შემთხვევა– n ხარისხის ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე. სიცხადისთვის, მოდით გავაანალიზოთ მაგალითის ამოხსნა.

მაგალითი.

იპოვეთ მთელი განტოლების ფესვები 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

გადაწყვეტილება.

მთელი ამ განტოლების ამონახვა შევამციროთ ეკვივალენტური ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე. ამისათვის, პირველ რიგში, ჩვენ გადავიტანთ გამონათქვამს მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, რის შედეგადაც მივდივართ განტოლებამდე 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. და მეორეც, მარცხენა მხარეს წარმოქმნილ გამოსახულებას ვაქცევთ სტანდარტული ფორმის პოლინომად საჭიროების გაკეთებით: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. ამრიგად, თავდაპირველი მთელი განტოლების ამონახსნი მცირდება x 2 −5·x−6=0 კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე.

გამოთვალეთ მისი დისკრიმინანტი D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, ის დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი, რომელსაც ვპოულობთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულით:

ამისთვის სრული ნდობაგააკეთე განტოლების ნაპოვნი ფესვების შემოწმება. პირველ რიგში, ჩვენ ვამოწმებთ ფესვს 6, ვცვლით მას ცვლადის x-ის ნაცვლად თავდაპირველ მთელ რიცხვში განტოლებაში: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, რაც იგივეა, 63=63 . ეს არის სწორი რიცხვითი განტოლება, ამიტომ x=6 ნამდვილად არის განტოლების ფესვი. ახლა ვამოწმებთ ფესვს −1 , გვაქვს 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, საიდანაც, 0=0 . x=−1-ისთვის თავდაპირველი განტოლება ასევე გადაიქცა ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში, შესაბამისად, x=−1 ასევე განტოლების ფესვია.

პასუხი:

6 , −1 .

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ ტერმინი „მთელი განტოლების ძალა“ ასოცირდება მთელი განტოლების წარმოდგენასთან ალგებრული განტოლების სახით. ჩვენ ვაძლევთ შესაბამის განმარტებას:

განმარტება.

მთელი განტოლების ხარისხივუწოდოთ მისი ექვივალენტური ალგებრული განტოლების ხარისხი.

ამ განმარტების მიხედვით, წინა მაგალითის მთელ განტოლებას მეორე ხარისხი აქვს.

ამაზე შეიძლება დასრულდეს მთელი რაციონალური განტოლების ამოხსნით, თუ არა ერთი, არამედ .... როგორც ცნობილია, მეორეზე მაღალი ხარისხის ალგებრული განტოლებების ამოხსნა დაკავშირებულია მნიშვნელოვან სირთულეებთან, ხოლო მეოთხეზე მაღალი ხარისხის განტოლებისთვის ასეთი განტოლებები საერთოდ არ არსებობს. ზოგადი ფორმულებიფესვები. ამიტომ, მესამე, მეოთხე და მეტი განტოლებების ამოხსნა მაღალი გრადუსიხშირად უწევთ გადაწყვეტის სხვა მეთოდებს მიმართოთ.

ასეთ შემთხვევებში, ზოგჯერ მიდგომა გადაჭრის მთელი რაციონალური განტოლებების საფუძველზე ფაქტორიზაციის მეთოდი. ამავე დროს, გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:

• პირველ რიგში, ისინი ეძებენ ნულის ქონას განტოლების მარჯვენა მხარეს, ამისთვის ისინი გამოხატავენ მთელი განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ;
• შემდეგ, მარცხენა მხარეს მიღებული გამოხატულება წარმოდგენილია, როგორც რამდენიმე ფაქტორის პროდუქტი, რაც საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ რამდენიმე მარტივი განტოლების სიმრავლეზე.

ზემოაღნიშნული ალგორითმი ფაქტორიზაციის გზით მთელი განტოლების ამოხსნისთვის მოითხოვს დეტალურ ახსნას მაგალითის გამოყენებით.

მაგალითი.

ამოხსენით მთელი განტოლება (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

გადაწყვეტილება.

პირველ რიგში, ჩვეულებისამებრ, გამონათქვამს გადავიტანთ განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს, არ დაგვავიწყდეს ნიშნის შეცვლა, მივიღებთ (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0. აქ აშკარაა, რომ არ არის მიზანშეწონილი მიღებული განტოლების მარცხენა მხარის გადაქცევა სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად, რადგან ეს მისცემს ფორმის მეოთხე ხარისხის ალგებრულ განტოლებას. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, რომლის გადაწყვეტა რთულია.

მეორეს მხრივ, აშკარაა, რომ x 2 −10·x+13 შეიძლება მოიძებნოს მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს, რითაც წარმოადგენს მას ნამრავლად. Ჩვენ გვაქვს (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. მიღებული განტოლება თავდაპირველი მთლიანი განტოლების ტოლია და ის, თავის მხრივ, შეიძლება შეიცვალოს ორი კვადრატული განტოლების სიმრავლით x 2 −10·x+13=0 და x 2 −2·x−1=0 . მათი ფესვების პოვნა ცნობილი ფორმულებიფესვები დისკრიმინანტის მეშვეობით არ არის რთული, ფესვები თანაბარია. ისინი ორიგინალური განტოლების სასურველი ფესვებია.

პასუხი:

ის ასევე სასარგებლოა მთელი რაციონალური განტოლებების ამოსახსნელად. ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი. ზოგიერთ შემთხვევაში, ის საშუალებას აძლევს ადამიანს გადავიდეს განტოლებებზე, რომელთა ხარისხი უფრო დაბალია, ვიდრე ორიგინალური მთელი განტოლების ხარისხი.

მაგალითი.

იპოვეთ რაციონალური განტოლების ნამდვილი ფესვები (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

გადაწყვეტილება.

მთელი ამ რაციონალური განტოლების ალგებრულ განტოლებამდე დაყვანა, რბილად რომ ვთქვათ, არც თუ ისე კარგი იდეაა, რადგან ამ შემთხვევაში მივალთ მეოთხე ხარისხის განტოლების ამოხსნის აუცილებლობამდე, რომელსაც არ გააჩნია რაციონალური ფესვები. ამიტომ, თქვენ მოგიწევთ სხვა გამოსავლის ძებნა.

აქ ადვილი მისახვედრია, რომ შეგიძლიათ შემოიტანოთ ახალი ცვლადი y და შეცვალოთ გამოხატვა x 2 +3 x მასთან. ასეთი ჩანაცვლება მიგვიყვანს მთელ განტოლებამდე (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , რომელიც −2 (y−4) გამოხატვის მარცხენა მხარეს გადატანისა და გამოსახულების შემდგომი ტრანსფორმაციის შემდეგ წარმოიქმნება. იქ, მცირდება განტოლებამდე y 2 +4 y+3=0 . ამ განტოლების y=−1 და y=−3 ფესვების პოვნა ადვილია, მაგალითად, მათი პოვნა შესაძლებელია ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემის საფუძველზე.

ახლა გადავიდეთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდის მეორე ნაწილზე, ანუ საპირისპირო ჩანაცვლებაზე. საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულების შემდეგ ვიღებთ ორ განტოლებას x 2 +3 x=−1 და x 2 +3 x=−3 , რომელიც შეიძლება გადაიწეროს x 2 +3 x+1=0 და x 2 +3 x+3. =0. კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ პირველი განტოლების ფესვებს. ხოლო მეორე კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, ვინაიდან მისი დისკრიმინანტი უარყოფითია (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

პასუხი:

ზოგადად, როდესაც საქმე გვაქვს მაღალი ხარისხის მთელ რიცხვებთან, ყოველთვის მზად უნდა ვიყოთ საძიებლად არასტანდარტული მეთოდიან ხელოვნური მოწყობილობა მათი გადაწყვეტისთვის.

წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა

პირველ რიგში, სასარგებლო იქნება იმის გაგება, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებები, სადაც p(x) და q(x) რაციონალური მთელი რიცხვი გამოსახულებებია. შემდეგ კი ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა შევიყვანოთ დარჩენილი წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა მითითებული ფორმის განტოლებამდე.

განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთი მიდგომა ემყარება შემდეგ დებულებას: რიცხვითი წილადი u/v, სადაც v არის არანულოვანი რიცხვი (წინააღმდეგ შემთხვევაში შევხვდებით , რომელიც არ არის განსაზღვრული), ნულის ტოლია თუ და მხოლოდ მაშინ. მისი მრიცხველი ნული, ანუ თუ და მხოლოდ თუ u=0 . ამ დებულების მიხედვით, განტოლების ამონახსნები მცირდება ორი პირობის შესრულებამდე p(x)=0 და q(x)≠0 .

ეს დასკვნა შეესაბამება შემდეგს წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი. ფორმის წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნა

• ამოხსენით მთელი რაციონალური განტოლება p(x)=0 ;
• და შეამოწმეთ დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა q(x)≠0 თითოეული ნაპოვნი ფესვისთვის, ხოლო
• თუ მართალია, მაშინ ეს ფესვი არის საწყისი განტოლების ფესვი;
• თუ არა, მაშინ ეს ფესვი ზედმეტია, ანუ ის არ არის საწყისი განტოლების ფესვი.

გავაანალიზოთ გახმოვანებული ალგორითმის გამოყენების მაგალითი წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნისას.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ეს არის ფორმის წილადი რაციონალური განტოლება, სადაც p(x)=3 x−2, q(x)=5 x 2 −2=0.

ამ ტიპის წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის მიხედვით, ჯერ უნდა ამოხსნათ განტოლება 3·x−2=0. ეს არის წრფივი განტოლება, რომლის ფესვი არის x=2/3.

რჩება ამ ფესვის შემოწმება, ანუ შევამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა ის პირობას 5·x 2 −2≠0 . ჩვენ ვცვლით რიცხვს 2/3 x-ის ნაცვლად გამოსახულებაში 5 x 2 −2, მივიღებთ . პირობა დაკმაყოფილებულია, ამიტომ x=2/3 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი:

2/3 .

წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნას შეიძლება მივუდგეთ ოდნავ განსხვავებული პოზიციიდან. ეს განტოლება უდრის მთლიანი განტოლების p(x)=0 საწყისი განტოლების x ცვლადზე. ანუ შეგიძლია მიჰყვე ამას წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი :

• ამოხსენით განტოლება p(x)=0 ;
• იპოვეთ ODZ ცვლადი x ;
• აიღეთ დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონის კუთვნილი ფესვები - ისინი ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვებია.

მაგალითად, ამ ალგორითმის გამოყენებით ამოვხსნათ წილადი რაციონალური განტოლება.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვხსნით კვადრატულ განტოლებას x 2 −2·x−11=0 . მისი ფესვები შეიძლება გამოითვალოს ფესვის ფორმულის გამოყენებით თუნდაც მეორე კოეფიციენტისთვის, ჩვენ გვაქვს D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, და .

მეორეც, ჩვენ ვპოულობთ x ცვლადის ODZ-ს საწყისი განტოლებისთვის. იგი შედგება ყველა რიცხვისაგან, რომლებისთვისაც x 2 +3 x≠0 , რაც იგივეა x (x+3)≠0 , საიდანაც x≠0 , x≠−3 .

რჩება იმის შემოწმება, შედის თუ არა პირველ ეტაპზე ნაპოვნი ფესვები ODZ-ში. ცხადია, დიახ. მაშასადამე, თავდაპირველ წილადობრივად რაციონალურ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

პასუხი:

გაითვალისწინეთ, რომ ეს მიდგომა უფრო მომგებიანია, ვიდრე პირველი, თუ ODZ ადვილად მოიძებნება, და განსაკუთრებით მომგებიანია, თუ განტოლების p(x)=0 ფესვები არის ირაციონალური, მაგალითად, ან რაციონალური, მაგრამ საკმაოდ დიდი. მრიცხველი და/ან მნიშვნელი, მაგალითად, 127/1101 და -31/59. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ შემთხვევებში q(x)≠0 პირობის შემოწმება დასჭირდება მნიშვნელოვან გამოთვლით ძალისხმევას და უფრო ადვილია ODZ-დან გარე ფესვების გამორიცხვა.

სხვა შემთხვევებში, განტოლების ამოხსნისას, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც განტოლების ძირები p(x)=0 არის მთელი რიცხვები, უფრო ხელსაყრელია ზემოთ ჩამოთვლილი ალგორითმებიდან პირველის გამოყენება. ანუ მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ იპოვოთ მთელი განტოლების ფესვები p(x)=0 , შემდეგ კი შეამოწმოთ არის თუ არა პირობა q(x)≠0 მათთვის და არ იპოვოთ ODZ და შემდეგ ამოხსნათ განტოლება. p(x)=0 ამ ODZ-ზე. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ უფრო ადვილია შემოწმების გაკეთება, ვიდრე ODZ-ის პოვნა.

განვიხილოთ ორი მაგალითის ამოხსნა გათვალისწინებული ნიუანსების საილუსტრაციოდ.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვპოულობთ მთელი განტოლების ფესვებს (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, შედგენილი წილადის მრიცხველის გამოყენებით. ამ განტოლების მარცხენა მხარე არის ნამრავლი, ხოლო მარჯვენა მხარე არის ნული, შესაბამისად, განტოლებების ფაქტორიზაციის გზით ამოხსნის მეთოდის მიხედვით, ეს განტოლება უდრის ოთხი განტოლების სიმრავლეს 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . ამ განტოლებიდან სამი წრფივია და ერთი კვადრატული, ჩვენ შეგვიძლია მათი ამოხსნა. პირველი განტოლებიდან ვხვდებით x=1/2, მეორიდან - x=6, მესამედან - x=7, x=−2, მეოთხედან - x=−1.

აღმოჩენილი ფესვებით, მათი შემოწმება საკმაოდ მარტივია იმის დასანახად, არ ქრება თუ არა თავდაპირველი განტოლების მარცხენა მხარეს მყოფი წილადის მნიშვნელი, და არც ისე ადვილია ODZ-ის დადგენა, რადგან მას მოუწევს ამოხსნას მეხუთე ხარისხის ალგებრული განტოლება. ამიტომ, თავი დავანებოთ პოვნა ODZფესვების შემოწმების სასარგებლოდ. ამისათვის ჩვენ მათ რიგრიგობით ვცვლით გამოხატულებაში x ცვლადის ნაცვლად x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, მიღებული ჩანაცვლების შემდეგ და შეადარეთ ისინი ნულთან: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

ამრიგად, 1/2, 6 და −2 არის თავდაპირველი წილადობრივად რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვები, ხოლო 7 და −1 არის უცხო ფესვები.

პასუხი:

1/2 , 6 , −2 .

მაგალითი.

იპოვეთ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ვპოულობთ განტოლების ფესვებს (5x2 −7x−1)(x−2)=0. ეს განტოლება უდრის ორი განტოლების სიმრავლეს: კვადრატი 5·x 2 −7·x−1=0 და წრფივი x−2=0 . კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ ორ ფესვს, ხოლო მეორე განტოლებიდან გვაქვს x=2.

იმის შემოწმება, რომ მნიშვნელი არ ქრება x-ის აღმოჩენილ მნიშვნელობებზე, საკმაოდ უსიამოვნოა. და ცვლადის x მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის დადგენა თავდაპირველ განტოლებაში საკმაოდ მარტივია. ამიტომ, ჩვენ ვიმოქმედებთ ODZ-ის მეშვეობით.

ჩვენს შემთხვევაში, თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების x ცვლადის ODZ შედგება ყველა რიცხვისგან, გარდა იმ რიცხვებისა, რომელთათვისაც დაკმაყოფილებულია პირობა x 2 +5·x−14=0. ამ კვადრატული განტოლების ფესვებია x=−7 და x=2, საიდანაც დავასკვნით ODZ-ის შესახებ: იგი შედგება ყველა x-ისგან ისეთი, რომ .

რჩება იმის შემოწმება, ეკუთვნის თუ არა ნაპოვნი ფესვები და x=2 დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონს. ფესვები - ეკუთვნის, მაშასადამე, ისინი თავდაპირველი განტოლების ფესვებია, ხოლო x=2 არ ეკუთვნის, მაშასადამე, ის უცხო ფესვია.

პასუხი:

ასევე სასარგებლო იქნება ცალკე ვისაუბროთ შემთხვევებზე, როდესაც რიცხვი არის მრიცხველში ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებით, ანუ, როდესაც p (x) წარმოდგენილია გარკვეული რიცხვით. სადაც

• თუ ეს რიცხვი განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან წილადი არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის ნული;
• თუ ეს რიცხვი არის ნული, მაშინ განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი რიცხვი ODZ-დან.

მაგალითი.

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან განტოლების მარცხენა მხარეს წილადის მრიცხველში არის არანულოვანი რიცხვი, არც ერთი x-ისთვის არ შეიძლება ამ წილადის მნიშვნელობა ნულის ტოლი იყოს. ამრიგად, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

პასუხი:

ფესვების გარეშე.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ამ წილადი რაციონალური განტოლების მარცხენა მხარეს მდებარე წილადის მრიცხველი არის ნული, ამიტომ ამ წილადის მნიშვნელობა არის ნული ნებისმიერი x-ისთვის, რომლისთვისაც აზრი აქვს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ განტოლების ამონახსნი არის x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა ამ ცვლადის DPV-დან.

რჩება მისაღები მნიშვნელობების ამ დიაპაზონის განსაზღვრა. იგი მოიცავს ყველა ასეთ მნიშვნელობას x, რომლისთვისაც x 4 +5 x 3 ≠0. x 4 +5 x 3 \u003d 0 განტოლების ამონახსნები არის 0 და −5, რადგან ეს განტოლება უდრის x 3 (x + 5) \u003d 0 განტოლებას და ის, თავის მხრივ, უდრის კომბინაციას ორი განტოლების x 3 \u003d 0 და x +5=0 , საიდანაც ჩანს ეს ფესვები. ამიტომ, მისაღები მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი არის ნებისმიერი x, გარდა x=0 და x=−5.

ამრიგად, წილადობრივად რაციონალურ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნი, რომელიც არის ნებისმიერი რიცხვი, გარდა ნულისა და მინუს ხუთისა.

პასუხი:

დაბოლოს, დროა ვისაუბროთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნაზე თვითნებური ტიპი. ისინი შეიძლება დაიწეროს როგორც r(x)=s(x) , სადაც r(x) და s(x) რაციონალური გამონათქვამებია და ერთი მათგანი მაინც არის წილადი. წინ რომ ვუყურებთ, ჩვენ ვამბობთ, რომ მათი ამოხსნა მცირდება ჩვენთვის უკვე ნაცნობი ფორმის განტოლებების ამოხსნით.

ცნობილია, რომ ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით იწვევს განტოლების ტოლფასი, ასე რომ, განტოლება r(x)=s(x) უდრის r(x)−s(x)=0 განტოლებას.

ჩვენ ასევე ვიცით, რომ ნებისმიერი შეიძლება იდენტურად იყოს ამ გამოთქმის ტოლი. ამრიგად, რაციონალური გამოხატულებაგანტოლების მარცხენა მხარეს r(x)−s(x)=0, ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია გარდავქმნათ ფორმის იდენტურად ტოლ რაციონალურ წილადად.

ასე რომ, ჩვენ გადავდივართ საწყისი წილადი რაციონალური განტოლებიდან r(x)=s(x) განტოლებამდე და მისი ამოხსნა, როგორც ზემოთ გავარკვიეთ, მცირდება განტოლების p(x)=0 ამოხსნამდე.

მაგრამ აქ გასათვალისწინებელია ის ფაქტი, რომ r(x)−s(x)=0-ით ჩანაცვლებისას და შემდეგ p(x)=0-ით, x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი შეიძლება გაფართოვდეს. .

მაშასადამე, თავდაპირველი განტოლება r(x)=s(x) და განტოლება p(x)=0, რომელზეც მივედით, შეიძლება არ იყოს ეკვივალენტური და განტოლების p(x)=0 ამოხსნით მივიღოთ ფესვები. ეს იქნება საწყისი განტოლების უცხო ფესვები r(x)=s(x) . შესაძლებელია ამოიცნოთ და არ შევიტანოთ პასუხში ზედმეტი ფესვები, ან შემოწმებით, ან მათი კუთვნილების შემოწმებით თავდაპირველი განტოლების ODZ-თან.

ჩვენ ვაჯამებთ ამ ინფორმაციას წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი r(x)=s(x). წილადი რაციონალური განტოლების ამოსახსნელად r(x)=s(x) უნდა

• მიიღეთ ნული მარჯვნივ გამოხატვის მარჯვენა მხრიდან საპირისპირო ნიშნით გადაადგილებით.
• შეასრულეთ მოქმედებები წილადებთან და მრავალწევრებთან განტოლების მარცხენა მხარეს, რითაც გადააქციეთ იგი ფორმის რაციონალურ წილადად.
• ამოხსენით განტოლება p(x)=0 .
• უცხო ფესვების იდენტიფიცირება და გამორიცხვა, რაც ხდება მათი საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებით ან თავდაპირველი განტოლების ODZ-თან მათი კუთვნილების შემოწმებით.

მეტი სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის მთელ ჯაჭვს:
.

გადავიდეთ რამდენიმე მაგალითის ამონახსნები ამოხსნის დეტალური ახსნით, რათა დავაზუსტოთ ინფორმაციის მოცემული ბლოკი.

მაგალითი.

ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვიმოქმედებთ ახლახან მიღებული ამოხსნის ალგორითმის შესაბამისად. და ჯერ ტერმინებს გადავიტანთ განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს, შედეგად გადავდივართ განტოლებაზე.

მეორე საფეხურზე, მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს წილადი რაციონალური გამოხატულება უნდა გადავიყვანოთ წილადის სახით. ამისთვის ვასრულებთ რაციონალური წილადების შემცირებას საერთო მნიშვნელამდე და ვამარტივებთ მიღებულ გამოსახულებას: . ასე რომ მივედით განტოლებამდე.

შემდეგ ეტაპზე უნდა ამოხსნათ განტოლება −2·x−1=0 . იპოვეთ x=−1/2 .

რჩება იმის შემოწმება, არის თუ არა ნაპოვნი რიცხვი -1/2 უცხო ფესვიორიგინალური განტოლება. ამისათვის შეგიძლიათ შეამოწმოთ ან იპოვოთ ორიგინალური განტოლების ODZ ცვლადი x. მოდით ვაჩვენოთ ორივე მიდგომა.

დავიწყოთ შემოწმებით. x ცვლადის ნაცვლად რიცხვს −1/2 ვცვლით თავდაპირველ განტოლებაში, ვიღებთ −1=−1, რომელიც იგივეა. ჩანაცვლება იძლევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობას, შესაბამისად, x=−1/2 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ ხორციელდება ალგორითმის ბოლო ნაბიჯი ODZ-ის მეშვეობით. საწყისი განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ყველა რიცხვის სიმრავლე, გარდა −1 და 0 (როდესაც x=−1 და x=0, წილადების მნიშვნელები ქრება). წინა საფეხურზე ნაპოვნი ფესვი x=−1/2 ეკუთვნის ODZ-ს, შესაბამისად, x=−1/2 არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი:

−1/2 .

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი.

მაგალითი.

იპოვეთ განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ წილადი რაციონალური განტოლება, მოდით გავიაროთ ალგორითმის ყველა საფეხური.

ჯერ ტერმინს გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, მივიღებთ .

მეორეც, ჩვენ გარდაქმნით მარცხენა მხარეს წარმოქმნილ გამონათქვამს: . შედეგად მივდივართ განტოლებამდე x=0.

მისი ფესვი აშკარაა - ის ნულია.

მეოთხე საფეხურზე რჩება იმის გარკვევა, არის თუ არა ნაპოვნი ფესვი გარედან ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლებისთვის. როდესაც იგი ჩანაცვლებულია თავდაპირველ განტოლებაში, მიიღება გამოხატულება. ცხადია, აზრი არ აქვს, რადგან შეიცავს ნულზე გაყოფას. საიდანაც დავასკვნათ, რომ 0 არის უცხო ფესვი. ამრიგად, თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

7 , რომელიც მივყავართ განტოლებამდე . აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მარცხენა მხარის მნიშვნელში გამოხატული უნდა იყოს ტოლი მარჯვენა მხრიდან, ანუ . ახლა გამოვაკლებთ სამეულის ორივე ნაწილს: . ანალოგიით, საიდან და შემდგომ.

შემოწმება აჩვენებს, რომ ორივე ნაპოვნი ფესვი არის თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები.

პასუხი:

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე ნაწილი 1. მოსწავლის სახელმძღვანელო საგანმანათლებო ინსტიტუტები/ A.G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.

წილადი განტოლებები. ოძ.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ჩვენ ვაგრძელებთ განტოლებების დაუფლებას. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ ვიმუშაოთ წრფივ და კვადრატულ განტოლებებთან. ბოლო ხედი რჩება წილადი განტოლებები. ან მათ ასევე უწოდებენ ბევრად უფრო მყარებს - წილადი რაციონალური განტოლებები. ეს იგივეა.

წილადი განტოლებები.

როგორც სახელი გულისხმობს, ეს განტოლებები აუცილებლად შეიცავს წილადებს. მაგრამ არა მხოლოდ წილადები, არამედ წილადები, რომლებსაც აქვთ უცნობია მნიშვნელში. ერთში მაინც. Მაგალითად:

შეგახსენებთ, თუ მხოლოდ მნიშვნელებში ნომრები, ეს არის წრფივი განტოლებები.

როგორ გადაწყვიტოს წილადი განტოლებები? უპირველეს ყოვლისა, მოიშორეთ წილადები! ამის შემდეგ, განტოლება, ყველაზე ხშირად, იქცევა წრფივ ან კვადრატად. შემდეგ კი ჩვენ ვიცით, რა უნდა გავაკეთოთ... ზოგიერთ შემთხვევაში, ის შეიძლება იქცეს იდენტობად, მაგალითად 5=5 ან არასწორ გამონათქვამად, მაგალითად 7=2. მაგრამ ეს იშვიათად ხდება. ქვემოთ აღვნიშნავ.

მაგრამ როგორ მოვიშოროთ წილადები!? Ძალიან მარტივი. ყველა იგივე იდენტური ტრანსფორმაციის გამოყენება.

ჩვენ უნდა გავამრავლოთ მთელი განტოლება იმავე გამოსახულებით. ისე რომ ყველა მნიშვნელი შემცირდეს! ყველაფერი მაშინვე უფრო ადვილი გახდება. მაგალითით ავხსნი. ვთქვათ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ განტოლება:

როგორც ასწავლიან ქვედა კლასები? ყველაფერს ერთი მიმართულებით გადავცემთ, ვამცირებთ საერთო მნიშვნელზე და ა.შ. დაივიწყე როგორ საშინელი სიზმარი! ასე აკეთებთ, როცა ამატებთ ან აკლებთ წილადური გამონათქვამები. ან იმუშავეთ უთანასწორობებთან. განტოლებებში კი ორივე ნაწილს მაშინვე ვამრავლებთ გამონათქვამით, რომელიც მოგვცემს შესაძლებლობას შევამციროთ ყველა მნიშვნელი (ანუ, არსებითად, საერთო მნიშვნელით). და რა არის ეს გამოთქმა?

მარცხენა მხარეს, მნიშვნელის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ x+2. მარჯვნიდან კი საჭიროა 2-ზე გამრავლება. ასე რომ, განტოლება უნდა გამრავლდეს 2 (x+2). ვამრავლებთ:

ეს არის წილადების ჩვეულებრივი გამრავლება, მაგრამ დეტალურად დავწერ:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჯერ არ ვხსნი ფრჩხილებს. (x + 2)! ასე რომ, მთლიანობაში ვწერ:

მარცხენა მხარეს, ის მთლიანად შემცირებულია (x+2), და მარჯვნივ 2. როგორც საჭიროა! შემცირების შემდეგ ვიღებთ ხაზოვანიგანტოლება:

ნებისმიერს შეუძლია ამ განტოლების ამოხსნა! x = 2.

მოდით მოვაგვაროთ კიდევ ერთი მაგალითი, ცოტა უფრო რთული:

თუ გავიხსენებთ, რომ 3 = 3/1 და 2x = 2x/ 1 შეიძლება დაიწეროს:

და ისევ ვაშორებთ იმას, რაც ნამდვილად არ მოგვწონს - წილადებისგან.

ჩვენ ვხედავთ, რომ x-ით მნიშვნელის შესამცირებლად საჭიროა წილადის გამრავლება (x - 2). და ერთეულები არ არის ჩვენთვის დაბრკოლება. აბა, გავამრავლოთ. ყველამარცხენა მხარეს და ყველამარჯვენა მხარე:

ისევ ფრჩხილები (x - 2)არ ვამხელ. ვმუშაობ ფრჩხილთან მთლიანობაში, თითქოს ეს იყოს ერთი ნომერი! ეს ყოველთვის უნდა გაკეთდეს, წინააღმდეგ შემთხვევაში არაფერი შემცირდება.

ღრმა კმაყოფილების განცდით ვჭრით (x - 2)და ვიღებთ განტოლებას ყოველგვარი წილადების გარეშე, სახაზავში!

ახლა კი ვხსნით ფრჩხილებს:

ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს, გადავიტანთ ყველაფერს მარცხენა მხარეს და ვიღებთ:

მანამდე კი სხვა პრობლემების გადაჭრას ვისწავლით. ინტერესისთვის. სხვათა შორის, ეს რაკი!

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.