Definiție.

Acesta este un hexagon ale cărui baze sunt două pătrat egal, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri egale

Coastă laterală- Acest latura comuna două feţe laterale adiacente

Înălțimea prismei- aceasta este o tăietură perpendicular pe baze prisme

Diagonala prismei- un segment care leagă două vârfuri ale bazelor care nu aparțin aceleiași fețe

Planul diagonal este planul care trece prin diagonala prismei și a acesteia coaste laterale

Secțiune diagonală - limitele de intersectie a prismei si a planului diagonal. Secțiunea diagonală a corectă prismă pătrangulară este un dreptunghi

Secțiune perpendiculară (secțiune ortogonală)- aceasta este intersecția unei prisme și a unui plan desenat perpendicular pe marginile sale laterale

Elemente ale unei prisme patruunghiulare regulate

Figura prezintă două prisme patrulatere regulate, care sunt marcate cu literele corespunzătoare:

• Bazele ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt egale și paralele între ele
• Fețe laterale AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C și CC 1 D 1 D, fiecare fiind dreptunghi
• Suprafata laterala- suma ariilor tuturor fețelor laterale ale prismei
• Suprafața totală - suma suprafețelor tuturor bazelor și fețelor laterale (suma suprafeței și bazelor laterale)
• Nervurile laterale AA 1 , BB 1 , CC 1 și DD 1 .
• Diagonala B 1 D
• Diagonala bazei BD
• Secțiunea diagonală BB 1 D 1 D
• Secţiune perpendiculară A 2 B 2 C 2 D 2 .

Proprietățile unei prisme patruunghiulare regulate

• Bazele sunt două pătrate egale
• Bazele sunt paralele între ele
• Laturile sunt dreptunghiuri.
• Fețele laterale sunt egale între ele
• Fețele laterale sunt perpendiculare pe baze
• Coastele laterale sunt paralele între ele și egale
• Secțiune perpendiculară perpendiculară pe toate nervurile laterale și paralelă cu bazele
• colțuri sectiune perpendiculara- Drept
• Secțiunea diagonală a unei prisme patruunghiulare obișnuite este un dreptunghi
• Perpendiculară (secțiune ortogonală) paralelă cu bazele

Formule pentru o prismă patruunghiulară obișnuită

Instructiuni pentru rezolvarea problemelor

La rezolvarea problemelor pe tema " prisma patruunghiulara regulata" implică faptul că:

Prisma corectă- o prismă la baza căreia se află poligon regulat, iar marginile laterale sunt perpendiculare pe planurile de bază. Adică o prismă patruunghiulară obișnuită conține la bază pătrat. (vezi mai sus proprietățile unei prisme patruunghiulare obișnuite) Notă. Aceasta face parte din lecția cu sarcini de geometrie (secțiunea geometrie solidă - prismă). Iată sarcinile care provoacă dificultăți în rezolvare. Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie, care nu este aici - scrieți despre ea pe forum. Pentru a indica actiunea de extragere rădăcină pătrată simbolul este folosit în rezolvarea problemelor√ .

Sarcină.

Într-o prismă pătrangulară obișnuită, aria bazei este de 144 cm 2 și înălțimea este de 14 cm. Aflați diagonala prismei și aria suprafata intreaga.

Decizie.
Un patrulater regulat este un pătrat.
În consecință, latura bazei va fi egală cu

√144 = 12 cm.
De unde vine diagonala bazei? prismă dreptunghiulară va fi egal cu
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonală prismă dreaptă forme cu diagonala bazei și înălțimea prismei triunghi dreptunghic. În consecință, conform teoremei lui Pitagora, diagonala unei prisme pătraunghiulare regulate va fi egală cu:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Răspuns: 22 cm

Sarcină

Aflați aria suprafeței totale a unei prisme patrulatere obișnuite dacă diagonala acesteia este de 5 cm și diagonala feței laterale este de 4 cm.

Decizie.
Deoarece baza unei prisme patruunghiulare obișnuite este un pătrat, atunci latura bazei (notată cu a) este găsită de teorema lui Pitagora:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Înălțimea feței laterale (notată cu h) va fi atunci egală cu:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Suprafața totală va fi egală cu suma suprafeței laterale și de două ori suprafața de bază

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Răspuns: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Trebuie remarcat faptul că combinatoria este o ramură independentă matematica superioara(și nu fac parte din terver) și manuale grele au fost scrise în această disciplină, al căror conținut, uneori, nu este mai ușor decât algebra abstractă. Cu toate acestea, o mică parte ne va fi suficientă. cunoștințe teoretice, iar în acest articol voi încerca formă accesibilă să analizeze bazele temei cu sarcini combinatorii tipice. Și mulți dintre voi mă veți ajuta ;-)

Ce vom face? LA sens restrâns combinatoria este numărarea diferitelor combinații care pot fi făcute dintr-un set discret obiecte. Prin obiecte se înțelege orice obiect izolat sau ființă vii - oameni, animale, ciuperci, plante, insecte etc. În același timp, combinatoriei nu îi pasă deloc că setul este format dintr-o farfurie de gris, un fier de lipit și o broască de mlaștină. Este esențial important ca aceste obiecte să fie enumerabile - sunt trei dintre ele. (discretență)și este esențial ca niciuna dintre ele să nu fie la fel.

Cu multe rezolvate, acum despre combinații. Cele mai comune tipuri de combinații sunt permutările obiectelor, selecția lor dintr-un set (combinație) și distribuția (plasarea). Să vedem cum se întâmplă asta chiar acum:

Permutări, combinații și plasări fără repetare

Nu vă fie teamă de termeni obscuri, mai ales că unii dintre ei chiar nu au prea mult succes. Să începem cu coada titlului - ce înseamnă " fără repetare"? Aceasta înseamnă că în acest paragraf vor fi luate în considerare seturi care constau în variat obiecte. De exemplu, ... nu, nu voi oferi terci cu fier de lipit si broasca, ceva mai gustos este mai bine =) Imagineaza-ti ca un mar, o para si o banana s-au materializat pe masa din fata ta (daca sunt orice, situația poate fi simulată în realitate). Așezăm fructele de la stânga la dreapta în următoarea ordine:

mar / para / banana

Întrebarea unu: În câte moduri pot fi rearanjate?

O combinație a fost deja scrisă mai sus și nu există probleme cu restul:

mar / banana / para
para / mar / banana
pară / banană / măr
banană / măr / peră
banană / peră / măr

Total: 6 combinații sau 6 permutări.

Ei bine, nu a fost dificil să enumerați toate cazurile posibile aici, dar dacă există mai multe articole? Deja cu patru fructe diferite, numărul de combinații va crește semnificativ!

Vă rugăm să deschideți materialul de referință (Manualul este ușor de imprimat) iar în paragraful numărul 2, găsiți formula pentru numărul de permutări.

Fără chin - 3 obiecte pot fi rearanjate în moduri.

Întrebarea doi: În câte moduri poți alege a) un fruct, b) două fructe, c) trei fructe, d) cel puțin un fruct?

De ce alege? Așa că și-au făcut pofta de mâncare în paragraful anterior - pentru a mânca! =)

a) Un fruct poate fi ales, evident, în trei moduri - luați fie un măr, fie o peră, fie o banană. Numărarea formală se bazează pe formula pentru numărul de combinații:

Înregistrare în acest caz ar trebui înțeles după cum urmează: „în câte moduri poți alege 1 fruct din trei?”

b) Enumerăm toate combinațiile posibile de două fructe:

măr și pere;
măr și banane;
pere și banane.

Numărul de combinații este ușor de verificat folosind aceeași formulă:

În mod similar se înțelege intrarea: „în câte moduri poți alege 2 fructe din trei?”.

c) Și în final, se pot alege trei fructe singura cale:

Apropo, formula pentru numărul de combinații are sens și pentru o probă goală:
În acest fel, nu puteți alege niciun fruct - de fapt, nu luați nimic și atât.

d) În câte moduri poți lua cel puțin unul fructe? Condiția „cel puțin unul” implică faptul că suntem mulțumiți cu 1 fruct (oricare) sau cu oricare 2 fructe sau cu toate cele 3 fructe:
moduri în care puteți alege cel puțin un fruct.

Cititori care au studiat cu atenție lecție introductivă pe teoria probabilității deja am inteles ceva. Dar despre semnificația semnului plus mai târziu.

Pentru un răspuns la urmatoarea intrebare Am nevoie de doi voluntari ... ... Ei bine, din moment ce nimeni nu vrea, atunci voi suna la consiliu =)

Întrebarea trei: În câte moduri poate fi distribuit un fruct lui Dasha și Natasha?

Pentru a distribui două fructe, trebuie mai întâi să le selectați. Conform paragrafului „fi” din întrebarea anterioară, acest lucru se poate face în moduri, le voi rescrie din nou:

măr și pere;
măr și banane;
pere și banane.

Dar acum vor fi de două ori mai multe combinații. Luați în considerare, de exemplu, prima pereche de fructe:
o poți trata pe Dasha cu un măr și pe Natasha cu o peră;
sau invers - Dasha va primi para, iar Natasha va primi mărul.

Și o astfel de permutare este posibilă pentru fiecare pereche de fructe.

Luați în considerare același lucru grup de elevi care a mers la dans. În câte moduri pot fi împerecheați un băiat și o fată?

Modalități în care poți alege 1 tânăr;
moduri în care poți alege o fată.

Deci un tânăr și se poate alege o fată: moduri.

Când se selectează 1 obiect din fiecare set, atunci este valabil următorul principiu de numărare a combinațiilor: „ toata lumea un obiect dintr-un set poate forma o pereche cu fiecare obiect al altui set.

Adică, Oleg poate invita oricare dintre cele 13 fete la dans, Evgeny - de asemenea, oricare dintre cele treisprezece, iar alți tineri au o alegere similară. Total: posibile perechi.

Trebuie remarcat faptul că în acest exemplu„istoria” formării perechilor nu contează; totuși, dacă se ține cont de inițiativă, atunci numărul de combinații trebuie dublat, deoarece fiecare dintre cele 13 fete poate invita și orice băiat la dans. Totul depinde de condițiile unei anumite sarcini!

Un principiu similar este valabil și pentru combinații mai complexe, de exemplu: în câte moduri pot fi aleși doi tineri și două fete să participe la o scenetă KVN?

Uniune Și sugerează fără ambiguitate că combinațiile trebuie înmulțite:

Posibile grupuri de artiști.

Cu alte cuvinte, fiecare cu care pot concura o pereche de băieți (45 de perechi unice). orice un cuplu de fete (78 de cupluri unice). Și dacă luăm în considerare distribuția rolurilor între participanți, atunci vor exista și mai multe combinații. ... Îmi doresc foarte mult, dar totuși mă voi abține să continui pentru a nu vă insufla aversiune față de viață de student =).

Regula de înmulțire a combinațiilor se aplică și la cantitate mare multiplicatori:

Sarcina 8

Câte numere din trei cifre sunt divizibile cu 5?

Decizie: pentru claritate, notăm număr dat trei stele: ***

LA sute de loc puteți scrie oricare dintre numere (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9). Zero nu este bun, pentru că în acest caz numărul încetează să fie format din trei cifre.

Dar în locul zecilor(„în mijloc”) puteți alege oricare dintre cele 10 cifre: .

După condiție, numărul trebuie să fie divizibil cu 5. Numărul este divizibil cu 5 dacă se termină cu 5 sau 0. Astfel, în cifra cea mai puțin semnificativă, ne mulțumim cu 2 cifre.

Total, există: numere din trei cifre care sunt divizibile cu 5.

În același timp, lucrarea este descifrată astfel: „9 moduri în care poți alege un număr sute de loc și 10 moduri de a selecta un număr în locul zecilor și 2 moduri de intrare cifra unitatii»

Sau chiar mai simplu: fiecare de la 9 cifre la sute de loc combinate cu fiecare de 10 cifre locul zecilor si cu fiecare din două cifre Unități digitale».

Răspuns: 180

Si acum…

Da, aproape am uitat de comentariul promis la problema nr. 5, în care Borya, Dima și Volodya pot primi câte o carte în moduri diferite. Înmulțirea aici are același sens: în moduri puteți extrage 3 cărți din pachet Și în fiecare eșantion pentru a le rearanja moduri.

Acum sarcina pentru decizie independentă... acum voi veni cu ceva mai interesant, ... să fie despre aceeași versiune rusă de blackjack:

Sarcina 9

Câte combinații câștigătoare de 2 cărți există într-un joc „punct”?

Pentru cei care nu știu: combinația câștigătoare 10 + ACE (11 puncte) = 21 de puncte și, să luăm în considerare combinația câștigătoare de doi ași.

(ordinea cărților din orice pereche nu contează)

Soluție rapidăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Apropo, nu este necesar să luăm în considerare un exemplu primitiv. Blackjack-ul este aproape singurul joc pentru care există un algoritm justificat matematic care îți permite să învingi cazinoul. Cei care doresc pot găsi cu ușurință multe informații despre strategia și tactica optime. Adevărat, astfel de maeștri intră rapid pe lista neagră a tuturor unităților =)

Este timpul să consolidăm materialul acoperit cu câteva sarcini solide:

Sarcina 10

Vasya are 4 pisici acasă.

a) În câte moduri pot fi așezate pisicile în colțurile camerei?
b) În câte moduri pot fi lăsate pisicile să hoinărească?
c) în câte moduri poate ridica Vasya două pisici (una în stânga, cealaltă în dreapta)?

Noi decidem: în primul rând, trebuie remarcat din nou că problema este despre diferit obiecte (chiar dacă pisicile sunt gemeni identici). Aceasta este foarte condiție importantă!

a) Tăcerea pisicilor. Această execuție este supusă toate pisicile deodată
+ locația lor este importantă, așa că există permutări aici:
moduri în care poți așeza pisicile în colțurile camerei.

Repet că în permutări, doar numărul de obiecte diferite și a acestora aranjament reciproc. În funcție de starea sa, Vasya poate așeza animalele în semicerc pe canapea, la rând pe pervaz etc. - vor exista 24 de permutări în toate cazurile.Pentru comoditate, cei care doresc își pot imagina că pisicile sunt multicolore (de exemplu, alb, negru, roșu și dungi) și să enumere toate combinațiile posibile.

b) În câte moduri pot fi lăsate pisicile să hoinărească?

Se presupune că pisicile ies la plimbare doar pe ușă, în timp ce întrebarea implică indiferență cu privire la numărul de animale - 1, 2, 3 sau toate cele 4 pisici pot merge la plimbare.

Luăm în considerare toate combinațiile posibile:

Modalități în care puteți lăsa să plece la plimbare o pisică (oricare dintre cele patru);
modalități în care puteți lăsa două pisici să iasă la plimbare (enumerați singur opțiunile);
moduri prin care poți lăsa trei pisici să iasă la plimbare (una dintre cele patru stă acasă);
mod în care poți elibera toate pisicile.

Probabil ați ghicit că valorile obținute ar trebui rezumate:
modalități de a lăsa pisicile să meargă la plimbare.

Pentru entuziaști, ofer o versiune complicată a problemei - atunci când orice pisică din orice probă poate ieși aleatoriu afară, atât prin ușă, cât și prin fereastra de la etajul 10. Vor fi mai multe combinații!

c) În câte moduri poate ridica Vasya două pisici?

Situația implică nu numai alegerea a 2 animale, ci și plasarea lor pe mâini:
moduri în care poți ridica 2 pisici.

A doua soluție: în moduri puteți alege două pisici și moduri de a planta fiecare un cuplu in mana:

Răspuns: a) 24, b) 15, c) 12

Ei bine, ca sa-mi lasam constiinta ceva mai specific pe inmultirea combinatiilor.... Lasă-l pe Vasya să aibă 5 pisici în plus =) De câte moduri poți lăsa 2 pisici să iasă la plimbare și 1 pisica?

Adică cu fiecare câteva pisici pot fi eliberate fiecare pisică.

Un alt acordeon cu butoane pentru o decizie independentă:

Sarcina 11

3 pasageri au urcat în liftul unei clădiri cu 12 etaje. Toată lumea, independent de ceilalți, poate ieși la orice (începând de la etajul 2) cu aceeași probabilitate. În câte moduri:

1) Pasagerii pot coborî la același etaj (Ordinea de ieșire nu contează);
2) două persoane pot coborî la un etaj și o a treia la altul;
3) oamenii pot coborî la etaje diferite;
4) Pot pasagerii să iasă din lift?

Și aici se întreabă des din nou, mă lamuresc: dacă la același etaj ies 2 sau 3 persoane, atunci nu contează ordinea de ieșire. Gândește, folosește formule și reguli pentru combinații de adunare/înmulțire. În caz de dificultate, este util ca pasagerii să dea nume și motive în ce combinații pot ieși din lift. Nu trebuie să fii supărat dacă ceva nu merge, de exemplu, punctul 2 este destul de insidios.

Soluție completă cu comentarii detaliate la sfârșitul lecției.

Ultimul paragraf este dedicat combinațiilor care sunt, de asemenea, destul de comune - în opinia mea evaluare subiectivă, aproximativ 20-30% probleme combinatorii:

Permutări, combinații și plasări cu repetări

Specii enumerate combinațiile sunt prezentate în paragraful numărul 5 material de referinta Formule de bază ale combinatoriei, totuși, unele dintre ele pot să nu fie foarte clare la prima lectură. În acest caz, este recomandabil să vă familiarizați mai întâi cu exemple practice, și abia atunci înțelegeți formularea generală. Merge:

Permutări cu repetări

În permutările cu repetări, ca în permutările „obișnuite”, întregul set de obiecte deodată, dar există un lucru: în această mulțime se repetă unul sau mai multe elemente (obiecte). Îndeplinește următorul standard:

Sarcina 12

Câte combinații diferite de litere pot fi obținute prin rearanjarea cardurilor cu următoarele litere: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?

Decizie: în cazul în care toate literele au fost diferite, atunci ar trebui aplicată o formulă trivială, totuși, este destul de clar că pentru setul de cărți propus, unele manipulări vor funcționa „inactiv”, deci, de exemplu, dacă schimbați oricare două carduri cu literele „K în orice cuvânt, va fi același cuvânt. Mai mult, fizic cărțile pot fi foarte diferite: una poate fi rotundă cu litera „K” tipărită, cealaltă este pătrată cu litera „K” desenată. Dar, în funcție de sensul problemei, chiar și astfel de carduri considerat la fel, deoarece condiția întreabă despre combinațiile de litere.

Totul este extrem de simplu - în total: 11 cărți, inclusiv litera:

K - repetat de 3 ori;
O - repetat de 3 ori;
L - repetat de 2 ori;
b - repetat 1 dată;
H - repetat 1 dată;
Și - se repetă de 1 dată.

Verificați: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, ceea ce am vrut să verificăm.

Conform formulei numărul de permutări cu repetări:
pot fi obținute diverse combinații de litere. Mai mult de jumătate de milion!

Pentru a calcula rapid o valoare factorială mare, este convenabil de utilizat functie standard Excel: punctăm în orice celulă =FACT (11)și faceți clic introduce.

În practică, este perfect acceptabil să nu scrieți formula generalași, în plus, omite factorii unitari:

Dar sunt necesare comentarii preliminare despre scrisorile repetate!

Răspuns: 554400

Un alt exemplu tipic de permutări cu repetări apare în problema de plasare piese de șah care se gaseste in stoc soluții gata făcuteîn pdf-ul corespunzător. Și pentru o soluție independentă, am venit cu o sarcină mai puțin șablon:

Sarcina 13

Alexey face sport și 4 zile pe săptămână - atletism, 2 zile - exerciții de forță si 1 zi de odihna. În câte moduri își poate programa cursurile săptămânale?

Formula nu funcționează aici, deoarece ia în considerare permutările suprapuse (de exemplu, când exercițiile de forță de miercuri sunt schimbate cu exercițiile de forță de joi). Și din nou - de fapt, aceleași 2 sesiuni de antrenament de forță pot fi foarte diferite unele de altele, dar în contextul sarcinii (în ceea ce privește programul), sunt considerate aceleași elemente.

Soluție pe două rânduri și răspuns la sfârșitul lecției.

Combinații cu repetări

Caracteristică Acest tip de combinație este că eșantionul este extras din mai multe grupuri, fiecare dintre ele constând din aceleași obiecte.

Toată lumea a muncit din greu astăzi, așa că este timpul să vă împrospătați:

Sarcina 14

Cantina studențească vinde cârnați în aluat, prăjituri cu brânză și gogoși. În câte moduri pot fi cumpărate cinci prăjituri?

Decizie: acordați atenție imediat criteriului tipic pentru combinațiile cu repetări - în funcție de condiție, nu un set de obiecte ca atare, ci tipuri diferite obiecte; se presupune că sunt la vânzare cel puțin cinci hot dog, 5 cheesecake și 5 gogoși. Plăcintele din fiecare grup, desigur, sunt diferite - pentru că gogoșile absolut identice pot fi modelate doar pe computer =) Cu toate acestea caracteristici fizice plăcintele nu sunt esențiale în sensul problemei, iar hot dog-urile / cheesecake-urile / gogoșile din grupele lor sunt considerate la fel.

Ce poate fi în eșantion? În primul rând, trebuie menționat că eșantionul va conține în mod necesar plăcinte identice(deoarece alegem 5 piese, și există 3 tipuri din care să alegeți). Opțiuni aici pentru toate gusturile: 5 hot dog, 5 cheesecake, 5 gogoși, 3 hot dog + 2 cheesecake, 1 hot dog + 2 + cheesecake + 2 gogoși etc.

Ca și în cazul combinațiilor „obișnuite”, ordinea de selecție și plasare a plăcintelor în probă nu contează - au ales doar 5 bucăți și atât.

Folosim formula numărul de combinații cu repetări:
mod în care poți cumpăra 5 plăcinte.

Poftă bună!

Răspuns: 21

Ce concluzie se poate trage din multe probleme combinatorii?

Uneori, cel mai dificil lucru este să înțelegeți starea.

Un exemplu similar pentru o soluție de tip do-it-yourself:

Sarcina 15

Este destul în portofel un numar mare de Monede de 1, 2, 5 și 10 ruble. În câte moduri pot fi scoase trei monede din portofel?

Pentru stăpânire de sine, răspunde la un cuplu întrebări simple:

1) Toate monedele din eșantion pot fi diferite?
2) Numiți combinația de monede „cea mai ieftină” și cea mai „scumpe”.

Soluție și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Din a mea experienta personala, pot spune că combinațiile cu repetiții sunt cel mai rar invitat în practică, despre care nu se poate spune următoarea formă combinatii:

Plasări cu repetări

Dintr-un set format din elemente, elementele sunt selectate, iar ordinea elementelor din fiecare probă este importantă. Și totul ar fi bine, dar o glumă destul de neașteptată este că putem alege orice obiect din setul original de câte ori vrem. Figurat vorbind, din „mulțimea nu va scădea”.

Când se întâmplă? Exemplu tipic este un lacăt cu combinație cu mai multe discuri, dar datorită dezvoltării tehnologiei, este mai relevant să luăm în considerare descendentul său digital:

Sarcina 16

Câte coduri PIN din 4 cifre există?

Decizie: de fapt, pentru a rezolva problema, este suficient să cunoașteți regulile combinatoriei: puteți alege prima cifră a codului pin în moduri și moduri - a doua cifră a codului PIN șiîn tot atâtea feluri – un al treilea și tot atâtea – al patrulea. Astfel, conform regulii înmulțirii combinațiilor, un cod pin format din patru cifre poate fi compus: în moduri.

Și acum cu formula. După condiție, ni se oferă un set de numere, din care numerele sunt selectate și plasate într-o anumită ordine, în timp ce numerele din eșantion pot fi repetate (adică orice cifră a setului original poate fi folosită de un număr arbitrar de ori). Conform formulei pentru numărul de plasări cu repetări:

Răspuns: 10000

Ce imi vine in minte aici... ... daca ATM-ul "manca" cardul dupa al treilea incercare eșuată introducerea unui cod PIN, atunci șansele de a-l ridica la întâmplare sunt foarte iluzorii.

Și cine a spus că nu există sens practic în combinatorică? O sarcină cognitivă pentru toți cititorii site-ului:

Problema 17

Conform standard de stat, o plăcuță de înmatriculare a mașinii este formată din 3 cifre și 3 litere. În acest caz, nu este permis un număr cu trei zerouri, iar literele sunt selectate din setul A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X (se folosesc doar acele litere chirilice, a căror ortografie se potrivește cu literele latine).

Câte plăcuțe de înmatriculare diferite pot fi compuse pentru o regiune?

Apropo, nu așa și multe. LA regiunile majore acest număr nu este suficient și, prin urmare, pentru ei există mai multe coduri pentru inscripția RUS.

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Nu uitați să folosiți regulile combinatoriei ;-) …Am vrut să mă laud că sunt exclusivist, dar s-a dovedit a nu fi exclusiv =) M-am uitat pe Wikipedia - acolo sunt calcule, totuși, fără comentarii. Deși în scopuri educationale, probabil, puțini oameni au rezolvat-o.

Este a noastra o activitate incitantă s-a încheiat și, în final, vreau să spun că nu ți-ai pierdut timpul - pentru că formulele combinatorice găsesc una mai vitală uz practic: se întâlnesc în diverse sarcini pe teoria probabilității,
si in sarcini privind definiția clasică a probabilității- mai ales des

Vă mulțumesc tuturor pentru Participarea activă si ne vedem curand!

Soluții și răspunsuri:

Sarcina 2: Decizie: găsiți numărul tuturor permutărilor posibile a 4 cărți:

Când un card cu zero este pe primul loc, numărul devine din trei cifre, așa că aceste combinații ar trebui excluse. Fie zero pe primul loc, apoi celelalte 3 cifre din cifrele cele mai puțin semnificative pot fi rearanjate în moduri.

Notă : deoarece Există puține cărți, este ușor să enumerați toate astfel de opțiuni aici:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Astfel, din setul propus, puteți realiza:
24 - 6 = 18 numere din patru cifre
Răspuns : 18

Sarcina 4: Decizie: 3 cărți pot fi selectate din 36 de moduri.
Răspuns : 7140

Sarcina 6: Decizie: moduri.
O alta solutie : moduri prin care puteți selecta două persoane din grup și și
2) Setul „cel mai ieftin” conține 3 monede de ruble, iar cel mai „scump” set conține 3 monede de zece ruble.

Sarcina 17: Decizie: moduri în care puteți face o combinație digitală a unei plăcuțe de înmatriculare, în timp ce una dintre ele (000) ar trebui exclusă:.
moduri în care puteți face o combinație de litere a unui număr de mașină.
Conform regulii înmulțirii combinațiilor, totul poate fi compus:
numere de mașină
(fiecare combinație digitală combinată cu fiecare combinație de litere).
Răspuns : 1726272

Probleme combinatorii

1 . Katya, Masha și Ira se joacă cu o minge. Fiecare dintre ei trebuie să arunce mingea o dată în direcția fiecărui prieten. De câte ori ar trebui să arunce fiecare dintre fete mingea? De câte ori va fi aruncată mingea? Stabiliți de câte ori va fi aruncată mingea dacă la joc participă: patru copii; cinci copii.

2 . Având în vedere trei fațade și două acoperișuri care au aceeași formă, dar sunt vopsite în culori diferite: fațadele sunt galbene, albastre și roșii, iar acoperișurile sunt albastre și roșii. Ce case se pot construi? Câte combinații există?

3 . Având în vedere trei fațade identice ale casei: albastru, galben și roșu - și trei acoperișuri: albastru, galben și roșu. Ce case se pot construi? Câte combinații există?

4 . Desenele de pe steaguri pot fi cerc, pătrat, triunghi sau stea și pot fi colorate în verde sau roșu. Câte steaguri diferite pot fi?

5. În cantina școlii pentru prânz s-au pregătit feluri secunde carne, chifteluțe și pește. Pentru desert - inghetata, fructe si placinta. Puteți alege un fel principal și un fel de desert. Câte există diverse opțiuni Masa de pranz?

6. În cantina școlii pentru prânz s-au pregătit ca primele feluri ciorbă cu carne și ciorbă vegetariană, carne, chiftele și pește pentru al doilea, înghețată, fructe și o plăcintă pentru dulciuri. Câte opțiuni diferite există pentru o masă cu trei feluri?

7. În câte moduri pot fi așezați trei elevi la rând pe scaune? Enumerați toate cazurile posibile.

8 . În câte moduri se pot alinia patru (cinci) persoane?

9 . Cu partide diferite Trei poteci se ridică pe deal și converg în vârf. Alcătuiește multe trasee pe care le poți parcurge în sus și în jos pe deal. Rezolvați aceeași problemă dacă trebuie să urcați și să coborâți pe căi diferite.

10 . Trei drumuri duc de la Akulovo la Rybnitsa, iar patru drumuri duc de la Rybnitsa la Kitovo. Câte moduri de călătorie există de la Akulovo la Kitovo prin Rybnitsa?

11 . O silabă se numește deschisă dacă începe cu o consoană și se termină cu o vocală. Câte silabe deschise de două litere pot fi scrise folosind literele „a”, „b”, „c”, „d”, „e”, „i”, „o”? Scrie aceste silabe.

12. Câte costume diferite de bluză și fustă poți face dacă ai 4 bluze și 4 fuste?

13. Când Petya merge la școală, se întâlnește uneori cu unul sau mai mulți dintre prietenii săi: Vasya, Lenya, Tolya. Enumerați toate cazurile posibile în care aceasta ar putea fi.

14 . Notați toate numerele posibile din două cifre folosind numerele 7 și 4.

15 . Misha a plănuit să cumpere: un creion, o riglă, un caiet și un caiet. Astăzi a cumpărat doar două subiect diferit. Ce putea să cumpere Misha, presupunând că magazinul avea toate rechizitele educaționale de care avea nevoie?

16 . Cele patru persoane și-au dat mâna. Câte strângeri de mână au fost?

17 . Câte numere din două cifre există fără cifra 0?

18 . Notați toate numerele posibile din trei cifre care pot fi formate din numerele 1 și 2.

19 . Notați toate numerele posibile, chiar și de trei cifre, formate din numerele 1 și 2.

20 . Notați toate numerele posibile din două cifre care folosesc numerele 2, 8 și 5.

21 . Câte numere diferite din două cifre există, ale căror cifre sunt impare?

22 . Ce numere din trei cifre pot fi scrise folosind numerele 3, 7 și 1, cu condiția ca numărul să nu conțină aceleași cifre? Câte astfel de numere?

23 . Cât costă numere din trei cifre poate fi format din numerele 1, 2, 4, 6, dacă niciun număr nu este folosit de mai multe ori? Câte dintre aceste numere vor fi pare? Câte ciudate?

24 . Masina are cinci locuri. În câte moduri pot intra cinci persoane în această mașină dacă doar doi dintre ei pot ocupa locul șoferului?

25. Există 5 birouri individuale în clasă. În câte moduri pot fi așezați pe ei doi (trei) școlari nou sosiți?

26 . Amintiți-vă de fabula lui I. Krylov „Cvartetul”:

Maimuța obraznică, Măgarul, Capra și Piciorul Stab Mishka au început să cânte la Cvartet. Ei lovesc arcurile, rup, dar nu are sens. „Opriți-vă, fraților, opriți-vă! – strigă Maimuța. - Aștepta! Cum merge muzica? Nu stai așa.” Câți căi diferite pot acești muzicieni să încerce să se așeze? Poate îmbunătăți calitatea jocului lor?

27 . Băieții și fetele sunt așezați la rând în locuri consecutive, băieții stând în locuri impare, iar fetele în locuri pare. În câte moduri se poate face acest lucru dacă:

a) 3 băieți și 3 fete sunt așezați în 6 locuri;

b) 5 băieți și 5 fete sunt așezați în 10 locuri?

28 . Două piese trebuie plasate pe o tablă goală - alb-negru. Câte posturi diferite pot ocupa pe tablă?

29. Lăsați numărul mașinii să fie compus din două litere urmate de două numere, de exemplu AB-53. Câte numere diferite pot fi făcute folosind 5 litere și 6 numere?

30 . Numărul vehiculului este format din trei litere și patru cifre. Câte diferite plăcuțe de înmatriculare(trei litere sunt luate din 29 de litere ale alfabetului rus)?

31 . Să presupunem că trebuie să mergi la bibliotecă, la banca de economii, la poștă și să dai pantofi pentru reparații. Pentru a alege traseul cel mai scurt, este necesar să luați în considerare toate opțiunile posibile. Câte modalități există dacă biblioteca, banca de economii, oficiul poștal și magazinul de încălțăminte sunt departe?

32. Să presupunem că trebuie să mergi la bibliotecă, la banca de economii, la poștă și să dai pantofi pentru reparații. Pentru a alege traseul cel mai scurt, este necesar să luați în considerare toate opțiunile posibile. Câte căi rezonabile există dacă biblioteca și oficiul poștal sunt aproape, dar departe de banca de economii și magazinul de încălțăminte, care sunt departe unul de celălalt?

33. S-a purtat o discuție aprinsă despre cele patru reviste între pasagerii din vagon. S-a dovedit că toată lumea este abonată la două reviste, iar fiecare dintre combinațiile posibile a două reviste este abonată de o persoană. Câte persoane erau în acest grup?

34 . Există cinci zaruri care diferă unul de celălalt doar prin culoare: 2 roșii, 1 alb și 2 negre. Există două cutii A și B, unde A deține 2 cuburi și B deține 3. În câte moduri diferite pot fi plasate aceste cuburi în cutiile A și B?

35. Pentru a aduce mere întineritoare Tatălui-Țar, Ivan Tsarevich trebuie să găsească singura cale adevărată către grădina magică. L-am întâlnit pe Ivan Tsarevich la bifurcația din cele trei drumuri ale bătrânului corb și iată sfatul pe care l-am auzit de la el:

1) mergeți acum pe drumul cel bun;

2) pe următoarea furcă nu alege calea corectă;

3) la a treia bifurcație, nu luați poteca din stânga.

Un porumbel care zbura pe lângă i-a șoptit lui Ivan Tsarevich că un singur sfat de la corb este corect și că trebuie neapărat să mergi pe poteci în direcții diferite. Eroul nostru a finalizat sarcina și a ajuns într-o grădină magică. Ce traseu a luat?

Ofer cititorilor „Habrahabr” o traducere a publicației „100 Prisoners Escape Puzzle”, pe care am găsit-o pe site-ul DataGenetics. Vă rugăm să trimiteți toate erorile din acest articol în mesaje private.

În funcție de starea problemei, în închisoare sunt 100 de deținuți, fiecare având un număr personal de la 1 la 100. temnicerul decide să le dea prizonierilor o șansă de eliberare și se oferă să treacă testul inventat de el. Dacă toți prizonierii reușesc, atunci sunt liberi, dacă măcar unul eșuează, toți mor.

Sarcină

temnicerul merge la camera secretași pregătește 100 de cutii cu capace. Pe fiecare cutie marchează numere de la 1 la 100. Apoi aduce 100 de tăblițe de hârtie, în funcție de numărul deținuților, și numere aceste tăblițe de la 1 la 100. După aceea, amestecă 100 de tăblițe și pune câte o tabletă în fiecare cutie, închiderea capacului. Prizonierii nu văd cum efectuează temnicerul toate aceste acțiuni.

Competiția începe, temnicerul duce fiecare prizonier pe rând în camera cu cutiile și le spune prizonierilor că trebuie să găsească o cutie care să conțină o plăcuță cu numărul prizonierului. Prizonierii încearcă să găsească plăcuța cu numărul lor deschizând cutiile. Fiecare are permisiunea de a deschide până la 50 de cutii; dacă fiecare dintre prizonieri își găsește numărul, atunci prizonierii vor fi eliberați, dacă cel puțin unul dintre ei nu își găsește numărul în 50 de încercări, atunci toți prizonierii vor muri.

Pentru ca prizonierii să fie eliberați, TOȚI deținuții trebuie să treacă testul cu succes.

Deci, care este șansa ca prizonierii să fie grațiați?

• După ce prizonierul deschide cutia și verifică farfuria, aceasta este pusă înapoi în cutie și capacul este închis din nou;
• Locurile plăcilor nu pot fi schimbate;
• Prizonierii nu pot lăsa indicii unul altuia sau nu pot interacționa între ei în niciun fel odată ce procesul a început;
• Deținuților li se permite să discute despre strategie înainte de începerea procesului.

Care este strategia optimă pentru deținuți?

Intrebare suplimentara:

Dacă un prieten al prizonierilor (nu este un participant la test) va putea intra în camera secretă înainte de începerea testului, examinează toate tabletele din toate cutiile și (opțional, dar nu este obligatoriu) schimbă două tablete din două cutii (în acest caz, tovarășul nu va avea ocazia să informeze atât deținuții despre rezultatul acțiunilor sale), atunci ce strategie ar trebui să ia pentru a crește șansele prizonierilor de a evada?

Soluție improbabilă?

La prima vedere, această sarcină pare aproape fără speranță. Se pare că șansa pentru fiecare dintre prizonieri de a-și găsi tableta este microscopic mică. În plus, prizonierii nu pot face schimb de informații între ei în timpul procesului.

Şansele unui prizonier sunt 50:50. Sunt 100 de cutii în total și poate deschide până la 50 de cutii în căutarea semnului său. Dacă deschide cutiile la întâmplare și deschide jumătate din toate cutiile, își va găsi tableta în jumătatea deschisă a cutiilor, sau tableta lui va rămâne în cele 50 de cutii închise. Șansele lui de succes sunt ½.

Să luăm doi prizonieri. Dacă ambii aleg casete la întâmplare, șansele pentru fiecare dintre ele vor fi ½, iar pentru două ½x½=¼.
(pentru doi prizonieri, succesul va fi într-un caz din patru).

Pentru trei prizonieri, șansele sunt ½ × ½ × ½ = ⅛.

Pentru 100 de prizonieri, șansele sunt: ​​½ × ½ × … ½ × ½ (înmulțiți de 100 de ori).

Aceasta este egală

Pr ≈ 0,00000000000000000000000000000008

Deci este o șansă foarte mică. În acest scenariu, cel mai probabil, toți prizonierii vor fi morți.

Incredibil raspuns

Dacă fiecare prizonier deschide cutiile la întâmplare, este puțin probabil să treacă testul. Există o strategie în care deținuții se pot aștepta să aibă succes mai mult de 30% din timp. Acesta este un rezultat uimitor de incredibil (dacă nu ați auzit de asta problema de matematica anterior).

Mai mult de 30% pentru toți cei 100 de prizonieri! Da, acestea sunt chiar mai mari decât șansele pentru doi prizonieri, cu condiția să deschidă cutiile la întâmplare. Dar cum este posibil acest lucru?

Este clar că câte unul pentru fiecare deținut, șansele nu pot fi mai mari de 50% (la urma urmei, nu există nicio cale de comunicare între deținuți). Dar nu uitați că informațiile sunt stocate în locația plăcuțelor din interiorul cutiilor. Nimeni nu amestecă tabletele între vizitele în cameră ale prizonierilor individuali, așa că putem folosi aceste informații.

Decizie

În primul rând, vă voi spune soluția, apoi vă voi explica de ce funcționează.

Strategia este extrem de ușoară. Primul dintre prizonieri deschide cutia cu numărul care este scris pe haine. De exemplu, prizonierul cu numărul 78 deschide cutia cu numărul 78. Dacă își găsește numărul pe plăcuța din interiorul cutiei, e grozav! Dacă nu, se uită la numărul de pe plăcuță din caseta „lui” și apoi deschide următoarea casetă cu acel număr. După ce a deschis a doua cutie, se uită la numărul tabletei din interiorul acestei cutii și deschide a treia cutie cu acest număr. Apoi pur și simplu transferăm această strategie în casetele rămase. Pentru claritate, priviți imaginea:

În cele din urmă, prizonierul fie își va găsi numărul, fie va ajunge la limita de 50 de cutii. La prima vedere, acest lucru pare inutil în comparație cu alegerea pur și simplu a unei cutii la întâmplare (și pentru un singur prizonier este așa), dar, deoarece toți cei 100 de prizonieri vor folosi același set de cutii, are sens.

Frumusețea asta problema de matematica- nu numai pentru a cunoaște rezultatul, ci și pentru a înțelege De ce această strategie funcționează.

Deci de ce funcționează strategia?

Fiecare cutie conține o farfurie - iar această farfurie este unică. Aceasta înseamnă că placa se află într-o cutie cu același număr sau că indică o cutie diferită. Deoarece toate plăcile sunt unice, există o singură placă pentru fiecare cutie care indică către ea (și o singură cale de a ajunge la acea cutie).

Dacă te gândești bine, cutiile formează un lanț circular închis. O casetă poate face parte dintr-un singur lanț, deoarece în interiorul casetei există un singur indicator către următorul și, în consecință, în caseta anterioară există un singur indicator către această casetă (programatorii pot vedea analogia cu listele legate).

Dacă cutia nu indică spre sine (numărul casetei este egal cu numărul plăcii din ea), atunci va fi în lanț. Unele lanțuri pot consta din două cutii, altele sunt mai lungi.

Deoarece toți prizonierii încep cu o cutie cu același număr pe haine, ei sunt, prin definiție, plasați pe lanțul care conține plăcuța lor (există o singură plăcuță care indică această casetă).

Explorând cutiile de-a lungul acestui lanț într-un cerc, ei au garantat că în cele din urmă își vor găsi farfuria.

Singura întrebare rămâne dacă își vor găsi tableta în 50 de mișcări.

Lungimea lanțului

Pentru ca toți prizonierii să treacă testul, lungimea maximă a lanțului trebuie să fie mai mică de 50 de cutii. Dacă lanțul este mai lung de 50 de cutii, prizonierii cu numere din acele lanțuri vor pisa testul - și toți prizonierii vor fi morți.

Dacă lungimea maximă a celui mai lung lanț este mai mică de 50 de cutii, atunci toți prizonierii vor trece testul!

Gândește-te o secundă. Se dovedește că poate exista un singur lanț mai lung de 50 de cutii în orice aspect al plăcilor (avem doar 100 de cutii, deci dacă un lanț este mai lung de 50, restul va fi mai scurt de 50 în total).

Cote de mână cu lanț lung

Odată ce v-ați convins că lungimea maximă a lanțului trebuie să fie mai mică sau egală cu 50 pentru a reuși și că nu poate exista decât un lanț lung în orice set, putem calcula probabilitatea de a trece provocarea:

Mai multă matematică

Deci de ce avem nevoie pentru a ne da seama de probabilitatea unui lanț lung?

Pentru un lanț de lungime l, probabilitatea ca cutiile să fie în afara acestui lanț este:

Există (l-1) în această colecție de numere! modalități de aranjare a semnelor.

Semnele rămase pot fi localizate (100-l)! modalități (nu uitați că lungimea lanțului nu depășește 50).

Având în vedere acest lucru, numărul de permutări care conțin lanțul lungimea exacta l: (>50)

Rezultă că există 100(!) moduri de aranjare a plăcilor, astfel încât probabilitatea de existență a unui lanț de lungime l este egală cu 1/l. Apropo, acest rezultat nu depinde de numărul de cutii.

După cum știm deja, poate exista un singur caz în care există un lanț cu o lungime > 50, deci probabilitatea de succes este calculată prin această formulă:

Rezultat

31,18% - probabilitatea ca dimensiunea celui mai lung lanț să fie mai mică de 50 și fiecare dintre prizonieri să-și poată găsi tableta, având în vedere limita de 50 de încercări.

Probabilitatea ca toți deținuții să-și găsească plăcuțele și să treacă testul este de 31,18%

Mai jos este un grafic care arată probabilitățile (pe axa y) pentru toate lanțurile de lungime l (pe axa x). Roșu înseamnă toate „eșecurile” (curba dată aici este doar un grafic de 1/l). Culoarea verdeînseamnă „succes” (calculul este puțin mai complicat pentru această parte a graficului, deoarece există mai multe moduri de a determina lungime maxima <50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Număr armonic (această parte a articolului este pentru tocilari)

În matematică, al n-lea număr armonic este suma reciprocelor primelor n numere consecutive ale seriei naturale.

Să calculăm limita dacă în loc de cutii de 100a avem un număr mare arbitrar de cutii (să presupunem că avem 2n cutii în total).

Constanta Euler-Mascheroni este o constantă definită ca limita diferenței dintre suma parțială a unei serii armonice și logaritmul natural al unui număr.

Pe măsură ce numărul deținuților crește, dacă supraveghetorul permite prizonierilor să deschidă jumătate din toate cutiile, atunci șansa de salvare tinde la 30,685%

(Dacă luați o decizie în care prizonierii ghicesc cutiile aleatoriu, atunci pe măsură ce numărul deținuților crește, probabilitatea de a fi salvați tinde spre zero!)

Întrebare suplimentară

Îți mai amintește cineva întrebarea suplimentară? Ce poate face tovarășul nostru de ajutor pentru a ne crește șansele de supraviețuire?

Acum știm deja soluția, așa că strategia de aici este simplă: trebuie să examineze toate semnele și să găsească cel mai lung lanț de cutii. Dacă cel mai lung lanț este mai mic de 50, atunci nu trebuie să schimbe deloc tabletele sau să le schimbe astfel încât cel mai lung lanț să nu devină mai lung de 50. Totuși, dacă găsește un lanț mai lung de 50 de cutii, tot ce trebuie să facă este să schimbe conținutul a două cutii din acel lanț pentru a rupe acel lanț în două lanțuri mai scurte.

Ca urmare a acestei strategii, nu vor exista lanțuri lungi și toți prizonierii au garantat să-și găsească semnul și salvarea. Deci, schimbând două semne, reducem probabilitatea de mântuire la 100%!

2017-2018 Munca de pregatire la matematica Clasa a 11-a

Opțiunea 2 (de bază)

Răspunsul la fiecare sarcină este o fracție zecimală finală, un număr întreg sau o secvență de cifre. Notați răspunsurile la sarcini în câmpul de răspuns în textul lucrării, apoi transferați-le în formularul de răspuns nr. 1 din dreapta numărului sarcinii corespunzătoare. Dacă răspunsul este o succesiune de numere, atunci notează această secvență în foaia de răspuns nr. 1fără spații, virgule și alte caractere suplimentare. Scrieți fiecare număr, semnul minus și virgulă într-o casetă separată. Nu sunt necesare unități de măsură.

1

Răspuns: _________________.

2 . Aflați valoarea expresiei:

Răspuns: _________________.

3 . La școală, fetele reprezintă 51% din totalul elevilor. Câte fete sunt în această școală dacă sunt cu 8 mai multe fete decât băieți?

Răspuns: _________________.

4 . Media armonică a trei numereA , b șicu, se calculează prin formula Găsiți media armonică a numerelor

Răspuns: _________________.

5. Calculati:

Răspuns: _________________.

6 . În căminul bărbătesc al institutului nu pot fi cazate mai mult de trei persoane în fiecare cameră. Care este cel mai mic număr de camere necesare pentru a găzdui 79 de studenți din afara orașului?

Răspuns: _________________.

7 .Găsiți rădăcina ecuației

Răspuns: _________________.

8 . Apartamentul este compus din doua camere, o bucatarie, un hol si o baie (vezi desen). Prima cameră are 4 m pe 4 m, a doua - 4 m pe 3,5 m, bucătăria are dimensiuni de 4 m pe 3,5 m, baia - 1,5 m pe 2 m. Aflați suprafața coridorului. Dați răspunsul în metri pătrați.

Răspuns: _________________.

9 . Stabiliți o corespondență între cantități și valorile lor posibile: pentru fiecare element din prima coloană, selectați elementul corespunzător din a doua coloană.

VALORI VALOARE

A) volumul comodei 1) 0,75 l

B) volumul de apă din Marea Caspică 2) 78200 km 3

C) volumul pachetului de ryazhenka 3) 96 l

D) volumul vagonului de cale ferată 4) 90 m 3

În tabel, sub fiecare literă corespunzătoare valorii, indicați numărul valorii sale posibile.

Răspuns:

Răspuns: _________________.

10 . La olimpiada de limbă rusă, participanții sunt așezați în trei săli de clasă. În primele două, câte 130 de persoane, restul sunt duși într-o sală de rezervă dintr-o altă clădire. La numărare, s-a dovedit că au fost 400 de participanți în total. Găsiți probabilitatea ca un participant selectat aleatoriu să fi scris olimpiada în camera liberă.

Răspuns: _________________.

11 . Figura prezintă un grafic al valorilor presiunii atmosferice într-un anumit oraș timp de trei zile. Zilele săptămânii și ora sunt indicate pe orizontală, valorile presiunii atmosferice în milimetri de mercur sunt indicate pe verticală. Aflați valoarea presiunii atmosferice miercuri la ora 12. Dați răspunsul în milimetri de mercur.

Răspuns: ____________.

12. Din paragrafDAR la paragrafD trei drumuri duc. Prin articolLA un camion circulă cu o viteză medie de 44 km/h prin punctCu Un autobuz circulă cu o viteză medie de 36 km/h. Cel de-al treilea drum este fără puncte intermediare, iar pe el se deplasează o mașină de pasageri cu o viteză medie de 48 km/h. Diagrama arată distanța dintre puncte în kilometri. Autobuzul, camionul și mașina au părăsit punctul în același timpDAR . La ce mașină a ajunsD mai tarziu decat altii? În răspunsul tău, indicați câte ore a fost pe drum.

Răspuns: _________________.

13. O piramidă hexagonală regulată cu muchia 1 a fost lipită de o prismă hexagonală regulată cu muchia 1, astfel încât fețele bazelor să coincidă. Câte fețe are poliedrul rezultat (marginile invizibile nu sunt prezentate în figură)?

Răspuns: _________________.

14. Figura prezintă un grafic al funcției puncteA, B, C, DșiEaşezat pe axăX patru intervale. Folosind graficul, potriviți fiecare interval cu caracteristica unei funcții sau a derivatei acesteia.

INTERVALE ALE CARACTERISTICII UNEI FUNCȚII SAU DERIVAT

A) (A; B) 1) funcția își schimbă semnul din „-” în „+”

B) (C; C) 2) derivata își schimbă semnul din „-” în „+”

B) (C;D) 3) derivata își schimbă semnul de la „+” la „-”

G) (D; E) 4) funcția este pozitivă și crescătoare

În tabelul de sub fiecare literă, indicați numărul corespunzător.

15 . Pe un cerc cu centruO punctele sunt marcateDAR șiLA astfel încât lungimea arcului mai micAB este 3. Aflați lungimea arcului mai mare.

Răspuns: _________________.

16 . Avand in vedere doua cutii care au forma unei prisme patrulatere regulate. Prima casetă este de patru ori și jumătate mai mică decât a doua, iar a doua este de trei ori mai îngustă decât prima. De câte ori este mai mare volumul primei cutii decât volumul celei de-a doua?

Răspuns: _________________.

17. Fiecare dintre cele patru inegalități din coloana din stânga corespunde uneia dintre soluțiile din coloana din dreapta. Stabiliți o corespondență între inegalități și soluțiile acestora.

INEGALITATEA SOLUȚIILOR

DAR)

B)

LA)

G)

Scrieți în tabelul dat în răspuns sub fiecare literă numărul corespunzător deciziei.

Răspuns:

18 . La Jocurile Olimpice de iarnă, echipa rusă a câștigat mai multe medalii decât echipa canadiană, echipa canadiană - mai multe decât echipa germană și echipa norvegiană - mai puțin decât echipa canadiană.

Selectați afirmațiile care sunt adevărate în condițiile date.

1) Dintre echipele numite, echipa canadiană a ajuns pe locul al doilea la numărul de medalii.

2) Printre echipele numite sunt trei care au câștigat un număr egal de medalii.

3) Echipa germană a câștigat mai multe medalii decât echipa rusă.

4) Echipa rusă a câștigat mai multe medalii decât fiecare dintre celelalte trei echipe.

În răspunsul dvs., indicați numărul de afirmații corecte în ordine crescătoare.

Răspuns: _________________.

19 . chetynumăr din trei cifreDAR este format din numere 3; 4; opt; 9, apatrunumăr din trei cifreAT - din numerele 6; 7; opt; 9. Se ştie căLA = 2 DAR. Găsiți un numărDAR. În răspunsul dvs., indicați oricare astfel de număr, cu excepția numărului 3489.

Răspuns: _________________.

20 . Dreptunghiul este împărțit în patru dreptunghiuri mici prin două tăieturi drepte. Perimetrele a trei dintre ele, începând din stânga sus și mergând în sensul acelor de ceasornic, sunt 17, 15 și 18. Aflați perimetrul celui de-al patrulea dreptunghi.

17

15

?

18