គោលគំនិតនៃសំណុំគឺជាគំនិតដើមដែលមិនបានកំណត់យ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ នេះគឺជានិយមន័យនៃសំណុំមួយ (ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត ការពន្យល់អំពីគំនិតនៃសំណុំមួយ) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ G. Cantor៖ “តាមប្រភេទ ឬសំណុំ ខ្ញុំមានន័យថាជាទូទៅ អ្វីៗជាច្រើនដែលអាចគិតបានថាតែមួយ។ មួយ ពោលគឺការប្រមូលផ្តុំនៃធាតុមួយចំនួនដែលអាចភ្ជាប់គ្នាដោយមធ្យោបាយនៃច្បាប់មួយទៅក្នុងទាំងមូល។

ជាក្បួន សំណុំនឹងត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង និងធាតុរបស់វាដោយអក្សរតូច ទោះបីជាពេលខ្លះអនុសញ្ញានេះនឹងត្រូវដកចេញក៏ដោយ ព្រោះធាតុនៃសំណុំជាក់លាក់អាចជាសំណុំផ្សេងទៀត។ ការពិតដែលថាធាតុ a ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ A ត្រូវបានសរសេរជា \ ក្នុង A ។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា យើងដោះស្រាយជាមួយនឹងសំណុំជាច្រើនប្រភេទ។ សម្រាប់ធាតុនៃសំណុំទាំងនេះ យើងប្រើសញ្ញាសម្គាល់ពីរប្រភេទសំខាន់ៗ៖ ថេរ និងអថេរ។

ថេរបុគ្គល (ឬគ្រាន់តែជាថេរ) ដែលមានជួរ A តំណាងឱ្យធាតុថេរនៃសំណុំ A ។ ឧទាហរណ៍ បែបនេះគឺជាការកំណត់ (កំណត់ត្រាក្នុងប្រព័ន្ធលេខជាក់លាក់) នៃចំនួនពិត៖ 0;\,2;\,7,\!34។ សម្រាប់ចំនួនថេរពីរ b និង b ដែលមានជួរ A យើងនឹងសរសេរ a = b មានន័យថាដោយនេះជាការចៃដន្យនៃធាតុនៃសំណុំ A ដែលតំណាងដោយពួកគេ។

អថេរបុគ្គល (ឬគ្រាន់តែជាអថេរ) ដែលមានជួរ A តំណាងឱ្យធាតុដែលបំពាន មិនបានកំណត់ទុកជាមុននៃសំណុំ A ។ នៅទីនេះយើងនិយាយថាអថេរ x ដំណើរការតាមរយៈសំណុំ A ឬអថេរ x យកតម្លៃតាមអំពើចិត្តលើសំណុំ A ។ អ្នកអាចជួសជុលតម្លៃនៃអថេរ x ដោយសរសេរ x=a ដែល a ជាថេរដែលមានជួរដូចគ្នានឹង x ។ ក្នុងករណីនេះយើងនិយាយថាជំនួសឱ្យអថេរ x តម្លៃជាក់លាក់របស់វា a ត្រូវបានជំនួស ឬ a ត្រូវបានជំនួសដោយ x ឬអថេរ x បានយកតម្លៃ a ។

សមភាពនៃអថេរ x = y ត្រូវបានយល់ដូចខាងក្រោម៖ នៅពេលណាដែលអថេរ x យកតម្លៃបំពាន a អថេរ y យកតម្លៃដូចគ្នា a និងច្រាសមកវិញ។ ដូច្នេះ អថេរស្មើគ្នា "ធ្វើសមកាលកម្ម" តែងតែយកតម្លៃដូចគ្នា។

ជាធម្មតា ថេរ និងអថេរដែលជួរគឺជាសំណុំលេខមួយចំនួន ពោលគឺមួយក្នុងចំណោមសំណុំ \mathbb(N),\, \mathbb(Z),\, \mathbb(Q),\, \mathbb(R)និង \mathbb(C) ត្រូវបានគេហៅថា រៀងគ្នា ធម្មជាតិ ចំនួនគត់ (ឬចំនួនគត់) សនិទានភាព ពិត និង ថេរស្មុគស្មាញនិងអថេរ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃគណិតវិទ្យាដាច់ដោយឡែក យើងនឹងប្រើចំនួនថេរ និងអថេរផ្សេងៗ ជួរដែលមិនមែនតែងតែជាសំណុំលេខនោះទេ។

ដើម្បីបង្រួមកំណត់ត្រា យើងនឹងប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខល ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដោយសង្ខេប ដូចជារូបមន្តជាដើម។ គំនិតនៃការនិយាយមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ វាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយអាចពិតឬមិនពិត (ជាការពិតណាស់មិនមែនទាំងពីរក្នុងពេលតែមួយទេ!)

ប្រតិបត្តិការឡូជីខល (ចង) លើសំណុំ

ដើម្បីបង្កើតសេចក្តីថ្លែងការណ៍ថ្មីពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមានស្រាប់ ប្រតិបត្តិការឡូជីខលខាងក្រោម (ឬការតភ្ជាប់តក្កវិជ្ជា) ត្រូវបានប្រើ។

1. Disjunction \lor : សំណើ P\lor Q (អាន៖ "P ឬ Q") គឺពិតប្រសិនបើសំណើ P និង Q យ៉ាងហោចណាស់មួយគឺពិត។

2. \land conjunction: P\land Q (អាន៖ "P និង Q") គឺពិតប្រសិនបើ P និង Q គឺពិត។

3. \lnot negation: \lnot P (អានថា "not P") គឺពិតប្រសិនបើ P មិនពិត។

4. Implication \Rightarrow : សំណើ P \Rightarrow Q (អានថា "ប្រសិនបើ P បន្ទាប់មក Q" ឬ "P implies Q") គឺពិត ប្រសិនបើសំណើរពិត ឬសំណើទាំងពីរមិនពិត។

5. សមមូល (ឬសមមូល) \Leftrightarrow : សំណើមួយ (អាន៖ "P if and only if Q") គឺពិតប្រសិនបើសំណើទាំងពីរ P និង Q គឺពិតឬទាំងពីរមិនពិត។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពីរ P និង Q នោះជាការពិត P \\ ព្រួញឆ្វេងស្តាំ Qត្រូវបានគេហៅថាសមមូលតក្កវិជ្ជា ឬសមមូល។

ការសរសេរប្រយោគជាមួយ ប្រតិបត្តិការឡូជីខលយើងសន្មត់ថាលំដាប់នៃការប្រតិបត្តិនៃប្រតិបត្តិការទាំងអស់ត្រូវបានកំណត់ដោយការរៀបចំតង្កៀប។ ដើម្បីសម្រួលការសម្គាល់ វង់ក្រចកត្រូវបានលុបចោលជាញឹកញាប់ ខណៈពេលដែលទទួលយកលំដាប់ជាក់លាក់នៃប្រតិបត្តិការ ("អនុសញ្ញាអាទិភាព")។

ប្រតិបត្តិការ​អវិជ្ជមាន​តែងតែ​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត​ជា​មុន​សិន ដូច្នេះ​ហើយ​វា​មិន​ត្រូវ​បាន​បញ្ចូល​ក្នុង​វង់ក្រចក​ទេ។ ទីពីរ​អនុវត្ត​ប្រតិបត្តិការ​នៃ​ការ​ភ្ជាប់​បន្ទាប់​មក​បំបែក​ និង​ទី​បំផុត​ការ​ជាប់​ពាក់ព័ន្ធ​និង​សមមូល។ ឧទាហរណ៍ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ (\lnot P)\lor Q ត្រូវបានសរសេរជា \lnot P\lor Q ។ សំណើ​នេះ​គឺ​ជា​ការ​បំបែក​នៃ​សំណើ​ពីរ៖ ទីមួយ​គឺ​ការ​បដិសេធ​របស់ P និង​ទីពីរ​គឺ​ការ​បដិសេធ​នៃ Q ។ ផ្ទុយទៅវិញ សំណើ \lnot (P\lor Q) គឺជាការបដិសេធនៃការបំបែកនៃសំណើ P និង Q ។

ឧទាហរណ៍សេចក្តីថ្លែងការណ៍ \lnot P\land Q\lor\lnot Q\land P \Rightarrow\lnot Qបន្ទាប់ពីដាក់តង្កៀបស្របតាមអាទិភាព វានឹងយកទម្រង់

\bigl(((\lnot P)\land Q)\lor ((\lnot Q)\land P)\bigr)\Rightarrow (\lnot Q)។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើមតិមួយចំនួនអំពីការតភ្ជាប់ឡូជីខលដែលបានណែនាំខាងលើ។ ការបកស្រាយប្រកបដោយអត្ថន័យនៃការបំបែក ការភ្ជាប់ និងការបដិសេធ មិនត្រូវការការពន្យល់ពិសេសនោះទេ។ អត្ថន័យ P \Rightarrow Q គឺពិត តាមនិយមន័យ នៅពេលណាដែល Q គឺពិត (ដោយមិនគិតពី P ជាការពិត) ឬ P និង Q មិនពិតទាំងពីរ។ ដូច្នេះប្រសិនបើការជាប់ពាក់ព័ន្ធ P\Rightarrow Q គឺពិត នោះនៅពេលដែល P គឺពិត Q គឺពិត ប៉ុន្តែការសន្ទនាអាចមិនពិត ពោលគឺឧ។ នៅពេលដែល P មិនពិត Q អាចពិតឬមិនពិត។ នេះជំរុញឱ្យមានការអានអត្ថន័យក្នុងទម្រង់ "ប្រសិនបើ P បន្ទាប់មក Q" ។ វាក៏ងាយយល់ដែរថា សេចក្តីថ្លែងការណ៍ P\Rightarrow Q គឺស្មើនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ \lnot P\lor Q ហើយដូច្នេះមានន័យថា "ប្រសិនបើ P នោះ Q" ត្រូវបានកំណត់ថា "មិនមែន P ឬ Q" ។

សមមូល \Leftrightarrow គឺគ្មានអ្វីក្រៅពី "ការជាប់ពាក់ព័ន្ធទ្វេភាគី" ពោលគឺឧ។ P\Leftrightarrow Qគឺស្មើនឹង (P \\ ព្រួញស្ដាំ Q) \\ ដី (Q \\ ព្រួញស្តាំ P). នេះមានន័យថាការពិតរបស់ P បង្កប់ន័យការពិតរបស់ Q ហើយផ្ទុយទៅវិញការពិតរបស់ Q បង្កប់ន័យការពិតរបស់ P ។

ឧទាហរណ៍ 1.1 ។ដើម្បីកំណត់ការពិត ឬភាពមិនពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ស្មុគស្មាញ អាស្រ័យលើការពិត ឬភាពមិនពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា តារាងការពិតត្រូវបានប្រើប្រាស់។

ជួរ​ឈរ​ពីរ​ដំបូង​នៃ​តារាង​កត់ត្រា​សំណុំ​តម្លៃ​ដែល​អាច​ធ្វើ​បាន​ទាំងអស់​ដែល​សេចក្តីថ្លែងការណ៍ P និង Q អាច​យក។ ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយអក្សរ "ខ្ញុំ" ឬលេខ 1 ហើយភាពមិនពិត - ដោយអក្សរ "L" ឬលេខ 0 ។ ជួរឈរដែលនៅសល់ត្រូវបានបំពេញពីឆ្វេងទៅស្តាំ។ ដូច្នេះសម្រាប់សំណុំនៃតម្លៃ P និង Q នីមួយៗ តម្លៃនៃសំណើដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានរកឃើញ។

តារាងការពិតនៃប្រតិបត្តិការឡូជីខលមានទម្រង់សាមញ្ញបំផុត (តារាង 1.1-1.5) ។

ពិចារណាសេចក្តីថ្លែងការណ៍រួម (\lnot P\land Q)\Rightarrow (\lnot Q\land P). ដើម្បីភាពងាយស្រួលក្នុងការគណនា យើងកំណត់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ \lnot P\land Q ដោយ A សេចក្តីថ្លែងការណ៍ \lnot Q\land P ដោយ B ហើយសរសេរសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដើមជា A \Rightarrow B ។ តារាងការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះមានជួរឈរ P,\,Q,\,A,\,B និង A \Rightarrow B (តារាង 1.6)។

ការព្យាករណ៍និងបរិមាណ

សេចក្តីថ្លែងការណ៍រួមត្រូវបានបង្កើតឡើងមិនត្រឹមតែតាមរយៈការភ្ជាប់តក្កវិជ្ជាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានជំនួយពីអ្នកព្យាករណ៍ និងបរិមាណផងដែរ។

ព្យាករណ៍គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមានអថេរបុគ្គលមួយ ឬច្រើន។ ឧទាហរណ៍ "x គឺ ចំនួន​គូ" ឬ "x គឺជានិស្សិតនៃសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋម៉ូស្គូ។ Bauman បានទទួលក្នុងឆ្នាំ 1999។ នៅក្នុងអក្សរកាត់ទីមួយ x គឺជាអថេរចំនួនគត់ ហើយនៅក្នុងទីពីរ - អថេរដែលដំណើរការតាមរយៈសំណុំនៃ "បុគ្គលមនុស្ស" ។ y", "x, y និង z សិក្សាក្នុងក្រុមតែមួយ", "x ត្រូវបានបែងចែកដោយ y", "x គឺតិចជាង y" ។ល។ យើងនឹងសរសេរទស្សន៍ទាយក្នុងទម្រង់ P(x),\, Q(x,y),\, R(x,y,z)ដោយសន្មត់ថាអថេរទាំងអស់ដែលរួមបញ្ចូលក្នុងតារាងព្យាករណ៍ត្រូវបានរាយក្នុងតង្កៀប។

ការជំនួសជំនួសឱ្យអថេរនីមួយៗដែលរួមបញ្ចូលក្នុងទស្សន៍ទាយ P(x_1,\ldots,x_n), តម្លៃជាក់លាក់, i.e. ការជួសជុលតម្លៃ ដែល a_1,\ldots,a_n គឺជាថេរមួយចំនួនដែលមានជួរតម្លៃដែលត្រូវគ្នា យើងទទួលបានសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមិនមានអថេរ។ ឧទាហរណ៍ "2 គឺជាលេខគូ", "Isaac Newton គឺជានិស្សិតនៃសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋម៉ូស្គូដែលដាក់ឈ្មោះតាម Bauman ដែលបានចូលនៅឆ្នាំ 1999" "Ivanov គឺជាកូនប្រុសរបស់ Petrov" "5 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7" ។ ល។ អាស្រ័យលើថាតើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលទទួលបាននេះពិតឬមិនពិត ទស្សន៍ទាយ P ត្រូវបានគេនិយាយថាពេញចិត្ត ឬមិនពេញចិត្តលើសំណុំតម្លៃនៃអថេរ។ x_1=a_1,\ldots,x_n=a_n. ទស្សន៍ទាយដែលពេញចិត្តលើសំណុំនៃអថេរណាមួយដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវាត្រូវបានគេហៅថា identically true ហើយ predicate ដែលមិនពេញចិត្តលើសំណុំនៃតម្លៃនៃអថេររបស់វាត្រូវបានគេហៅថា identically false ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពី predicate អាចទទួលបានមិនត្រឹមតែដោយការជំនួសតម្លៃនៃអថេររបស់វាប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងតាមរយៈ quantifiers ផងដែរ។ បរិមាណពីរត្រូវបានណែនាំ - អត្ថិភាព និងសកល តំណាងឱ្យ \ មាន និង \ សម្រាប់ទាំងអស់រៀងគ្នា។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ (\forall x\in A)P(x)("សម្រាប់រាល់ធាតុ x ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ A , P(x) គឺពិត " ឬដោយសង្ខេប "សម្រាប់ x\in A, P(x) គឺពិត") គឺពិត តាមនិយមន័យ ប្រសិនបើ និង លុះត្រាតែការព្យាករណ៍ P (x) ត្រូវបានប្រតិបត្តិសម្រាប់តម្លៃនីមួយៗនៃអថេរ x ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ (\មាន x\ក្នុង A)P(x)("មាន ឬមាន ធាតុ x នៃសំណុំ A ដែល P(x) គឺពិត" ផងដែរ "សម្រាប់ x\in A P(x) គឺពិត") គឺពិត តាមនិយមន័យ ប្រសិនបើ និងតែប៉ុណ្ណោះ ប្រសិនបើនៅលើតម្លៃមួយចំនួនអថេរ x នោះ predicate P(x) ពេញចិត្ត។

ការភ្ជាប់អថេរព្យាករណ៍ជាមួយ quantifiers

នៅពេលដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានបង្កើតឡើងពី predicate ដោយមធ្យោបាយនៃ quantifier វាត្រូវបាននិយាយថាអថេរនៃ predicate ត្រូវបានចងដោយ quantifier ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អថេរត្រូវបានចងនៅក្នុង predicates ដែលមានអថេរជាច្រើន។ ក្នុងករណីទូទៅការបញ្ចេញមតិនៃទម្រង់

(Q_1x_1\in A_1)(Q_2x_2\in A_2)\ldots (Q_nx_n\in A_n) P(x_1,x_2, \ldots, x_n),

ដែលជាកន្លែងដែលបរិមាណណាមួយនៃ \forall ឬ \មានអាចត្រូវបានជំនួសសម្រាប់អក្សរ Q នីមួយៗជាមួយសន្ទស្សន៍។

ឧទាហរណ៍សេចក្តីថ្លែងការណ៍ (\forall x\in A)(\exist y\in B)P(x,y)អានដូចនេះ៖ "សម្រាប់រាល់ x \ ក្នុង A មាន y \ ក្នុង B ដែល P (x, y) គឺពិត" ។ ប្រសិនបើសំណុំដែលដំណើរការតាមរយៈអថេរព្យាករណ៍ត្រូវបានជួសជុល (មានន័យថា "លំនាំដើម") នោះ quantifiers ត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់អក្សរកាត់៖ (\forall x)P(x) ឬ (\exists x)P(x) .

ចំណាំថាច្រើន។ ទ្រឹស្តីបទគណិតវិទ្យាអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ស្រដៀងទៅនឹង quantifier statements ដែលទើបតែផ្តល់អោយ ឧទាហរណ៍៖ "for all f និង for all a true: ប្រសិនបើ f គឺជាអនុគមន៍ដែលខុសគ្នានៅ a នោះអនុគមន៍ f គឺបន្តនៅ a" ។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់សំណុំ

ដោយបានពិភាក្សាអំពីលក្ខណៈពិសេសនៃការប្រើប្រាស់និមិត្តសញ្ញាឡូជីខលសូមឱ្យយើងត្រលប់ទៅការពិចារណានៃសំណុំ។

សំណុំ A និង B ពីរត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើគ្នាប្រសិនបើធាតុ x នៃសំណុំ A គឺជាធាតុនៃសំណុំ B និងច្រាសមកវិញ។ វាធ្វើតាមនិយមន័យខាងលើនៃសំណុំស្មើគ្នា ដែលសំណុំមួយត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយធាតុរបស់វា។

ចូរយើងពិចារណាវិធីនៃការបញ្ជាក់សំណុំបេតុង។ សម្រាប់សំណុំកំណត់ចំនួននៃធាតុដែលមានទំហំតូច វិធីសាស្ត្រនៃការរាប់បញ្ចូលដោយផ្ទាល់នៃធាតុអាចត្រូវបានប្រើ។ ធាតុនៃសំណុំកំណត់មួយត្រូវបានរាយនៅក្នុងដង្កៀបអង្កាញ់តាមអំពើចិត្ត លំដាប់ថេរ\(1;3;5\) ។ យើងសង្កត់ធ្ងន់ថា ដោយសារសំណុំត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយធាតុរបស់វា នោះនៅពេលដែលសំណុំកំណត់ត្រូវបានបញ្ជាក់ លំដាប់ដែលធាតុរបស់វាត្រូវបានដាក់ក្នុងបញ្ជីមិនមានបញ្ហានោះទេ។ ដូច្នេះកត់ត្រា \{1;3;5\},\, \{3;1;5\},\, \{5;3;1\} ល។ ទាំងអស់កំណត់សំណុំដូចគ្នា។ លើសពីនេះ ជួនកាលពាក្យដដែលៗនៃធាតុត្រូវបានប្រើនៅក្នុងការសម្គាល់នៃសំណុំ។ យើងនឹងសន្មត់ថាសញ្ញាណ \(1;3;3;5;5\) កំណត់សំណុំដូចគ្នាទៅនឹងសញ្ញាណ \(1;3;5\) ។

ក្នុង​ករណី​ទូទៅ សម្រាប់​សំណុំ​កំណត់​កំណត់​ចំណាំ​ត្រូវ​បាន​ប្រើ។ តាមក្បួនមួយពាក្យដដែលៗនៃធាតុត្រូវបានជៀសវាង។ បន្ទាប់មកការកំណត់កំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសញ្ញាណ \(a_1,\ldots,a_n\), មានធាតុ n ។ វាត្រូវបានគេហៅផងដែរថាសំណុំធាតុ n ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់សំណុំដោយការរាប់បញ្ចូលដោយផ្ទាល់នូវធាតុរបស់វា គឺអាចអនុវត្តបានក្នុងជួរតូចចង្អៀតបំផុតនៃសំណុំកំណត់។ មធ្យោបាយទូទៅបំផុតដើម្បីបញ្ជាក់សំណុំបេតុងគឺត្រូវបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិមួយចំនួនដែលធាតុទាំងអស់នៃសំណុំដែលបានពិពណ៌នាត្រូវតែមាន ហើយមានតែពួកវាប៉ុណ្ណោះ។

គំនិតនេះត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធីខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យអថេរ x ដំណើរការតាមរយៈសំណុំមួយចំនួន U ដែលហៅថាសំណុំសកល។ យើងសន្មតថាមានតែសំណុំបែបនេះប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាធាតុនៃសំណុំ U ។ ក្នុងករណីនេះ ទ្រព្យសម្បត្តិដែលមានតែធាតុនៃសំណុំ A ប៉ុណ្ណោះដែលអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយមធ្យោបាយនៃ predicate P(x) ដែលត្រូវបានប្រតិបត្តិប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែអថេរ x យកតម្លៃបំពានពីសំណុំ A ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត P(x) គឺពិតប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើថេរបុគ្គល a\in A ត្រូវបានជំនួសដោយ x ។

ទស្សន៍ទាយ P ត្រូវបានគេហៅថា ក្នុងករណីនេះ ចរិតលក្ខណៈនៃសំណុំ A ហើយទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានបង្ហាញដោយប្រើទស្សន៍ទាយនេះត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិលក្ខណៈ ឬទ្រព្យសម្បត្តិសមូហភាព។

សំណុំដែលបានកំណត់តាមរយៈទស្សន៍ទាយលក្ខណៈត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

A=\bigl\(x\colon~ P(x)\bigr\) ។

ឧទាហរណ៍, A=\(x\in\mathbb(N)\colon\, 2x\)មាន​ន័យ​ថា "A ជា​សំណុំ​ដែល​មាន​ធាតុ​ទាំងអស់ x ដែល​នីមួយៗ​ជា​ចំនួន​ធម្មជាតិ"។

ពាក្យ "ទ្រព្យសមូហភាព" ត្រូវបានជំរុញដោយការពិតដែលថាទ្រព្យសម្បត្តិនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប្រមូលធាតុផ្សេងគ្នាទៅជាទាំងមូលតែមួយ។ ដូច្នេះ ទ្រព្យសម្បត្តិដែលកំណត់សំណុំ G (សូមមើលខាងក្រោម) បង្កើតជាប្រភេទនៃ "សមូហភាព"៖

ប្រសិនបើយើងត្រលប់ទៅនិយមន័យរបស់ Cantor នៃសំណុំមួយ នោះចរិតលក្ខណៈនៃសំណុំគឺជាច្បាប់ដែលសំណុំនៃធាតុមួយត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាទៅជាទាំងមូលតែមួយ។ ការព្យាករណ៍ដែលបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិសមូហភាពអាចកំណត់អត្តសញ្ញាណមិនពិត។ សំណុំដែលបានកំណត់តាមរបៀបនេះនឹងមិនមានធាតុទេ។ វាត្រូវបានគេហៅថាសំណុំទទេ ហើយត្រូវបានតាងដោយ \varnothing ។

ផ្ទុយ​ទៅ​វិញ ការ​កំណត់​លក្ខណៈ​ពិត​ដែល​ដូចគ្នា​បញ្ញត្តិ​កំណត់​សំណុំ​សកល។

ចំណាំថាមិនមែនរាល់ការព្យាករណ៍បង្ហាញពីទ្រព្យសម្បត្តិសមូហភាពមួយចំនួននោះទេ។

ចំណាំ 1.1 ។ខ្លឹមសារជាក់លាក់នៃគំនិតនៃសំណុំសកលត្រូវបានកំណត់ដោយការពិត បរិបទជាក់លាក់ដែលយើងអនុវត្តគំនិតទ្រឹស្តីសំណុំ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយតែជាមួយសំណុំលេខផ្សេងៗ នោះសំណុំ \mathbb(R) នៃចំនួនពិតទាំងអស់អាចលេចឡើងជាសកលមួយ។ សាខានីមួយៗនៃគណិតវិទ្យាទាក់ទងនឹងសំណុំដែលមានកំណត់។ ដូច្នេះវាជាការងាយស្រួលក្នុងការសន្មតថាធាតុនៃសំណុំនីមួយៗទាំងនេះក៏ជាធាតុនៃសំណុំសកលមួយចំនួន "ឱប" ពួកគេ។ តាមរយៈការជួសជុលសំណុំសកល យើងជួសជុលជួរតម្លៃនៃអថេរ និងថេរទាំងអស់ដែលលេចឡើងក្នុងហេតុផលគណិតវិទ្យារបស់យើង។ ក្នុងករណីនេះ វាច្បាស់ណាស់ថាមិនអាចបង្ហាញនៅក្នុង quantifiers សំណុំដែលដំណើរការតាមរយៈអថេរដែលចងដោយ quantifiers ។ នៅក្នុងអ្វីដែលខាងក្រោមនេះ យើងនឹងជួបជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ផ្សេងៗនៃសំណុំជាសកលជាក់ស្តែង។

ទ្រឹស្ដីកំណត់របស់ Cantor ។ Kantor បានបង្កើតបច្ចេកទេសជាក់លាក់មួយសម្រាប់ប្រតិបត្តិការជាមួយនឹងសំណុំគ្មានកំណត់ និងបង្កើត analogue ជាក់លាក់នៃគោលគំនិតនៃបរិមាណសម្រាប់សំណុំគ្មានកំណត់។ មូលដ្ឋាននៃបច្ចេកទេសនេះគឺជាគំនិតនៃការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយរវាងធាតុនៃសំណុំពីរ។ ពួកគេនិយាយថាធាតុនៃសំណុំពីរអាចត្រូវបានដាក់នៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយប្រសិនបើធាតុនីមួយៗនៃសំណុំទីមួយអាចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងធាតុនៃសំណុំទីពីរខុសគ្នា - ខុសគ្នាហើយក្នុងពេលតែមួយធាតុនីមួយៗនៃ សំណុំទីពីរនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងធាតុមួយចំនួននៃទីមួយ។ សំណុំបែបនេះត្រូវបានគេនិយាយថាសមមូល ថាពួកគេមានខាឌីណាល់ដូចគ្នា ឬលេខខាដូចគ្នា។ ប្រសិនបើវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាធាតុនៃសំណុំ A អាចត្រូវបានដាក់នៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់នឹងមួយជាមួយនឹងធាតុនៃសំណុំរង B1 នៃសំណុំ B ហើយធាតុនៃសំណុំ B មិនអាចដាក់នៅក្នុងមួយទល់នឹងមួយ។ - ការឆ្លើយឆ្លងមួយជាមួយនឹងធាតុនៃ A បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថា cardinality នៃ set B គឺធំជាង cardinality នៃ set A ។ និយមន័យទាំងនេះអនុវត្តចំពោះសំណុំកំណត់ផងដែរ។ ក្នុងករណីនេះ ថាមពលគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងចំនួនកំណត់។ ប៉ុន្តែសំណុំគ្មានកំណត់មានលក្ខណៈសម្បត្តិផ្ទុយគ្នាក្នុងន័យនេះ។ សំណុំគ្មានកំណត់ប្រែជាស្មើនឹងផ្នែករបស់វា ឧទាហរណ៍។ របៀបដែលវាកើតឡើងនៅក្នុងអ្វីដែលគេហៅថា។ Paradox របស់ Galileo៖

១, ២, ៣, ៤, ..., ន, ...

2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...

Paradoxes ទាំងនេះត្រូវបានគេស្គាល់ជាយូរមកហើយហើយវាគឺជាពួកគេជាពិសេសដែលបានបម្រើជាឧបសគ្គដល់ការពិចារណានៃសំណុំគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដ។ Bolzano បានពន្យល់នៅក្នុង Paradoxes of the Infinite ថាភាពជាក់លាក់នៃភាពគ្មានដែនកំណត់ពិតជាប៉ះពាល់ដល់នៅទីនេះ។ Dedekind បានចាត់ទុកទ្រព្យសម្បត្តិនៃសំណុំគ្មានកំណត់នេះថាជាលក្ខណៈ។

Cantor អភិវឌ្ឍនព្វន្ធនៃលេខខា។ ផលបូកនៃលេខខាពីរគឺជា cardinality នៃសហជីពនៃសំណុំដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងពួកគេផលិតផលគឺជា cardinality នៃអ្វីដែលគេហៅថា។ សំណុំ-ផលិតផលនៃសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរហើយដូច្នេះនៅលើ។ សំខាន់បំផុតគឺការផ្លាស់ប្តូរពីសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅសំណុំ - ដឺក្រេពោលគឺតាមនិយមន័យទៅសំណុំនៃសំណុំរងទាំងអស់នៃសំណុំដើម។ Cantor បង្ហាញទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ទ្រឹស្ដីរបស់គាត់៖ cardinality នៃ set-degree គឺធំជាង cardinality នៃ set ដើម។ ប្រសិនបើអំណាចនៃសំណុំដើមត្រូវបានសរសេរក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ a នោះ ស្របតាមនព្វន្ធនៃលេខខា អំណាចនៃសំណុំ-ដឺក្រេនឹងមាន 2a ហើយយើងមាន ដូច្នេះ 2a > a ។

ដូច្នេះ, ឆ្លងកាត់ពីសំណុំគ្មានកំណត់មួយចំនួន, ឧ។ ពីមនុស្សជាច្រើន លេខធម្មជាតិជាមួយ cardinality ℵα (សញ្ញាសម្គាល់របស់ Cantor) ទៅសំណុំនៃសំណុំរងទាំងអស់នៃសំណុំនេះ ដល់សំណុំរងទាំងអស់នៃសំណុំថ្មីនេះ ។ តើមានដែនកំណត់ចំពោះការកើនឡើងនេះទេ? សំណួរ​នេះ​អាច​ឆ្លើយ​បាន​តែ​ដោយ​ការ​ណែនាំ​ពី​គោល​គំនិត​បន្ថែម​មួយ​ចំនួន​ប៉ុណ្ណោះ។

និយាយជាទូទៅ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដំណើរការជាមួយនឹងសំណុំគ្មានកំណត់ដោយគ្មានរចនាសម្ព័ន្ធបន្ថែមណាមួយឡើយ។ ដូច្នេះ Cantor បានណែនាំសំណុំបញ្ជាឱ្យពិចារណា, i.e. កំណត់សម្រាប់ធាតុពីរដែលទំនាក់ទំនង "ធំជាង" > (ឬ "តិចជាង"<). Это отношение должно быть транзитивным: из a < b и b < с следует: а < с. Собственно, наиболее продуктивным для теории множеств является еще более узкий класс множеств: вполне упорядоченные множества. Так называются упорядоченные множества, у которых каждое подмножество имеет наименьший элемент. Вполне упорядоченные множества легко сравнивать между собой: они отображаются одно на часть другого с сохранением порядка. Символы вполне упорядоченных множеств, или ординальные (порядковые) числа, также образуют вполне упорядоченное множество, и для них также можно определить арифметические действия: сложение (вычитание), умножение, возведение в степень. Ординальные числа играют для бесконечных множеств роль порядковых чисел, кардинальные – роль количественных. Множество (бесконечное) определенной мощности можно вполне упорядочить бесконечным числом способов, каждому из которых будет соответствовать свое ординальное число. Тем самым каждому кардиналу (Кантор ввел для обозначения кардиналов «алефы» – первую букву еврейского алфавита с индексами) ℵα будет соответствовать бесконечно много ординалов:

0 1 2 ... ω0 , ω0 + 1 ... ω1... ω2 ... ωn ... ωω0 ... Ω (ក្បួនដោះស្រាយ)

0 1 2 ... ℵ0 ... ℵ1 ... ℵ2 ℵn …ℵ ω0 … τ (“tau”-cardinals)

យោងតាមទ្រឹស្តីបទនៃទ្រឹស្ដីសំណុំ "ផ្នែក" ណាមួយនៃមាត្រដ្ឋានΩនៃលេខលំដាប់ដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ជាសំណុំលំដាប់ទាំងស្រុងនឹងមានលំដាប់ធំជាងទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុងផ្នែកនេះ។ នេះបញ្ជាក់ថា វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការពិចារណា Ω ទាំងអស់ជាសំណុំ ពីព្រោះ បើមិនដូច្នេះទេ Ω នឹងមានដូចជា β ធម្មតារបស់វា ដែលធំជាងពិធីបរិសុទ្ធទាំងអស់នៅក្នុង Ω ប៉ុន្តែចាប់តាំងពីក្រោយមានពិធីបរិសុទ្ធទាំងអស់ ពោលគឺឧ។ និង β បន្ទាប់មកវានឹងជា៖ β > β (ការប្រៀបធៀប Burali–Forti, 1897) ។ Kantor បានព្យាយាមគេចពីភាពចម្លែកនេះដោយការណែនាំ (តាំងពីទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1880) នូវគំនិតនៃភាពជាប់លាប់។ មិនមែនគ្រប់ពហុភាព (Vielheit) គឺជាពហុភាព (Menge) ទេ។ ពហុភាព​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ស្រប ឬ​ពហុភាព​ប្រសិន​បើ​វា​អាច​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​ទាំងមូល។ ប្រសិនបើការសន្មត់នៃ "អត្ថិភាពរួម" នៃធាតុទាំងអស់នៃពហុគុណនាំទៅរកភាពផ្ទុយគ្នា នោះពហុគុណប្រែទៅជាមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ហើយតាមពិតវាមិនអាចត្រូវបានគេពិចារណានៅក្នុងទ្រឹស្តីសំណុំទេ។ សំណុំមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាបែបនេះជាពិសេស Ω សំណុំនៃលេខធម្មតាទាំងអស់ និង τ ("tau") សំណុំនៃខាទាំងអស់ ("alefs") ។ ដូច្នេះ យើង​ត្រឡប់​ទៅ​ភាព​គ្មាន​កំណត់​ជា​ថ្មី​ម្ដង​ទៀត​ជា​ដំណើរការ។ ដូចដែលអ្នកគណិតវិទូនៃសតវត្សទី 20 បានសរសេរ។ P. Vopenka: “ទ្រឹស្តីនៃសំណុំ ដែលការខិតខំប្រឹងប្រែងរបស់វាត្រូវបានតម្រង់ទៅលើការធ្វើឱ្យមានភាពប្រាកដប្រជានៃសក្តានុពលគ្មានកំណត់ បានប្រែក្លាយថាមិនអាចលុបបំបាត់សក្តានុពលបានទេ ប៉ុន្តែបានត្រឹមតែគ្រប់គ្រងដើម្បីផ្លាស់ទីវាទៅផ្នែកខ្ពស់ជាងនេះប៉ុណ្ណោះ” (Vopenka P. Mathematics in the alternative set theory - "ថ្មីនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្របរទេស។ គណិតវិទ្យា", ឆ្នាំ 1983, លេខ 31, ទំព័រ 124 ។) ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នេះមិនបានធ្វើឱ្យ Kantor ខ្លួនឯងអាម៉ាស់ឡើយ។ គាត់ជឿថាមាត្រដ្ឋាននៃ "Alephs" កើនឡើងដល់ភាពមិនចេះរីងស្ងួតរបស់ព្រះជាម្ចាស់ផ្ទាល់ ហើយហេតុដូច្នេះហើយការពិតដែលក្រោយមកប្រែទៅជាមិនអាចពន្យល់បានតាមគណិតវិទ្យាគឺសម្រាប់គាត់ផ្ទាល់: "ខ្ញុំមិនដែលបន្តពី "Genus supremum" នៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដនោះទេ។ . ផ្ទុយទៅវិញ ខ្ញុំបានបង្ហាញយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនូវភាពគ្មានអត្ថិភាពនៃ "Genus supremum" សម្រាប់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដ។ អ្វី​ដែល​ឆ្លង​ផុត​អ្វីៗ​ទាំង​អស់​ដែល​គ្មាន​ដែន​កំណត់ គឺ​មិន​មែន​ជា​ប្រភេទ​ទេ។ វាគឺជាការរួបរួមបុគ្គលខ្ពស់តែមួយគត់ ដែលអ្វីៗត្រូវបានរួមបញ្ចូល ដែលរួមមាន "ដាច់ខាត" ដែលមិនអាចយល់បានចំពោះការយល់ដឹងរបស់មនុស្ស។ នេះ​គឺ « Actus Purissimus » ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ជា​ព្រះ​ដោយ​មនុស្ស​ជា​ច្រើន » ( Meschkowski H. Zwei unveroffentlichte Briefe Georg Cantors ។ - "Der Mathematilkuntemcht", ឆ្នាំ 1971, លេខ 4, S. 30–34) ។

B.H. Katasonov

សព្វវចនាធិប្បាយទស្សនវិជ្ជាថ្មី។ ជាបួនភាគ។ / វិទ្យាស្ថានទស្សនវិជ្ជា RAS ។ វិទ្យាសាស្ត្រ ed ។ ដំបូន្មាន៖ V.S. Stepin, A.A. Huseynov, G.Yu. Semigin។ M. , ការគិត, 2010, vol. I, A - D, ទំ។ ២៤៩-២៥០។

ខ្ញុំ​ជា​អ្នក​ទ្រឹស្ដី​រូបវិទ្យា ដោយ​ការ​អប់រំ ប៉ុន្តែ​ខ្ញុំ​មាន​ប្រវត្តិ​គណិតវិទ្យា​ល្អ។ នៅក្នុងអង្គចៅក្រម មុខវិជ្ជាមួយគឺទស្សនវិជ្ជា ចាំបាច់ត្រូវជ្រើសរើសប្រធានបទមួយ ហើយដាក់ឯកសារលើវា។ ចាប់តាំងពីជម្រើសភាគច្រើនមានច្រើនជាងម្តង obmusoleny ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តជ្រើសរើសអ្វីដែលកម្រនិងអសកម្ម។ ខ្ញុំ​មិន​ធ្វើ​ពុត​ជា​ថ្មី​ទេ ខ្ញុំ​គ្រាន់​តែ​អាច​ប្រមូល​គ្រប់​អក្សរសិល្ប៍​ដែល​មាន​ស្ទើរតែ​ទាំងអស់​លើ​ប្រធានបទ​នេះ។ ទស្សនវិទូ និងគណិតវិទូអាចគប់ដុំថ្មមកខ្ញុំ ខ្ញុំនឹងដឹងគុណចំពោះការរិះគន់ក្នុងន័យស្ថាបនា។

P.S. "ភាសាស្ងួត" ប៉ុន្តែអាចអានបានបន្ទាប់ពីកម្មវិធីសាកលវិទ្យាល័យ។ សម្រាប់ផ្នែកភាគច្រើន និយមន័យនៃពាក្យប្រៀបធៀបត្រូវបានគេយកចេញពីវិគីភីឌា (ពាក្យសាមញ្ញ និងសញ្ញាសម្គាល់ TeX រួចរាល់)។

សេចក្តីផ្តើម

ទាំងទ្រឹស្ដីកំណត់ខ្លួនវាផ្ទាល់ និងប្រផ្នូលដែលមាននៅក្នុងវាបានលេចឡើងមិនយូរប៉ុន្មានទេ ទើបតែជាងមួយរយឆ្នាំមុន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងអំឡុងពេលនេះ ផ្លូវដ៏វែងមួយត្រូវបានធ្វើដំណើរ ទ្រឹស្តីនៃសំណុំ មធ្យោបាយមួយ ឬវិធីមួយផ្សេងទៀត បានក្លាយជាមូលដ្ឋាននៃផ្នែកភាគច្រើននៃគណិតវិទ្យា។ ភាពផ្ទុយគ្នារបស់វា ដែលភ្ជាប់ជាមួយនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់របស់ Cantor ត្រូវបានពន្យល់ដោយជោគជ័យក្នុងពាក់កណ្តាលសតវត្ស។

អ្នកគួរតែចាប់ផ្តើមជាមួយនិយមន័យ។

តើអ្វីជាហ្វូងមនុស្ស? សំណួរគឺសាមញ្ញណាស់ ចម្លើយចំពោះវាគឺវិចារណញាណណាស់។ សំណុំគឺជាសំណុំនៃធាតុដែលតំណាងដោយវត្ថុតែមួយ។ Cantor នៅក្នុងការងាររបស់គាត់ Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre ផ្តល់និយមន័យមួយ: ដោយ "កំណត់" យើងមានន័យថាការរួមបញ្ចូលគ្នាទៅជា M ទាំងមូលនៃវត្ថុដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អជាក់លាក់ m នៃការសញ្ជឹងគិតរបស់យើង ឬការគិតរបស់យើង (ដែលនឹងត្រូវបានគេហៅថា "ធាតុ" នៃ កំណត់ M) ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញខ្លឹមសារមិនបានផ្លាស់ប្តូរទេភាពខុសគ្នាគឺមានតែនៅក្នុងផ្នែកដែលអាស្រ័យលើទស្សនៈពិភពលោកនៃកត្តាកំណត់ប៉ុណ្ណោះ។ ប្រវត្តិនៃទ្រឹស្តីសំណុំ ទាំងក្នុងតក្កវិជ្ជា និងក្នុងគណិតវិទ្យា គឺមានភាពចម្រូងចម្រាសយ៉ាងខ្លាំង។ តាមពិត Kantor បានដាក់គ្រឹះសម្រាប់វានៅសតវត្សទី 19 បន្ទាប់មក Russell និងអ្នកផ្សេងទៀតបានបន្តការងារនេះ។

Paradoxes (logic and set theory) - ( Greek - unexpected ) - formal logic contradictions that comes in meaningful set theory and formal logic ខណៈពេលដែលរក្សាបាននូវភាពត្រឹមត្រូវឡូជីខលនៃការវែកញែក។ Paradoxes កើតឡើងនៅពេលដែលសំណើផ្តាច់មុខពីរ (ផ្ទុយគ្នា) ដែលអាចបញ្ជាក់បានស្មើគ្នា។ Paradoxes អាចលេចឡើងទាំងនៅក្នុងទ្រឹស្ដីវិទ្យាសាស្ត្រ និងក្នុងហេតុផលធម្មតា (ឧទាហរណ៍ ការប្រៀបធៀបរបស់ Russell អំពីសំណុំនៃឈុតធម្មតាទាំងអស់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ Russell: "អ្នកកាត់សក់ក្នុងភូមិកោរសក់ទាំងអស់ ហើយមានតែអ្នករស់នៅក្នុងភូមិរបស់គាត់ប៉ុណ្ណោះដែលមិនកោរសក់។ គាត់កោរសក់ខ្លួនឯង?) ដោយសារភាពផ្ទុយគ្នាខាងតក្កវិជ្ជាផ្លូវការបំផ្លាញការវែកញែកជាមធ្យោបាយស្វែងរក និងបញ្ជាក់ការពិត (នៅក្នុងទ្រឹស្តីដែលភាពផ្ទុយគ្នាលេចឡើង ប្រយោគណាមួយ ទាំងពិតនិងមិនពិតគឺអាចបញ្ជាក់បាន) បញ្ហាកើតឡើងក្នុងការកំណត់អត្តសញ្ញាណប្រភពនៃភាពផ្ទុយគ្នា និង ស្វែងរកវិធីដើម្បីកម្ចាត់ពួកគេ។ បញ្ហានៃការយល់ដឹងទស្សនវិជ្ជានៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់ចំពោះភាពផ្ទុយគ្នាគឺជាបញ្ហាវិធីសាស្រ្តដ៏សំខាន់មួយ។ តក្កវិជ្ជាផ្លូវការនិងមូលដ្ឋានគ្រឹះឡូជីខលនៃគណិតវិទ្យា។

គោលបំណងនៃការងារនេះគឺដើម្បីសិក្សាពីភាពផ្ទុយគ្នានៃទ្រឹស្ដីសំណុំជាអ្នកស្នងមរតកនៃអនាមិកពីបុរាណ និងលទ្ធផលសមហេតុសមផលនៃការផ្លាស់ប្តូរទៅកម្រិតថ្មីនៃភាពអរូបី - គ្មានដែនកំណត់។ ភារកិច្ចគឺដើម្បីពិចារណាពីភាពផ្ទុយគ្នាសំខាន់, ការបកស្រាយទស្សនវិជ្ជារបស់ពួកគេ។

ភាពផ្ទុយគ្នាជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីសំណុំ

ជាង​កាត់សក់​កោរ​តែ​មនុស្ស​ដែល​មិន​កោរ​សក់។ តើគាត់កោរសក់ខ្លួនឯងទេ?

តោះបន្តដំណើរកំសាន្តខ្លីៗទៅកាន់ប្រវត្តិសាស្ត្រ។

ភាពផ្ទុយគ្នានៃតក្កវិជ្ជាមួយចំនួនត្រូវបានគេស្គាល់តាំងពីបុរាណកាលមក ប៉ុន្តែដោយសារតែការពិតដែលថាទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាត្រូវបានកំណត់ត្រឹមលេខនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រតែម្នាក់ឯង វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការភ្ជាប់ពួកវាជាមួយទ្រឹស្តីសំណុំ។ នៅសតវត្សទី 19 ស្ថានភាពបានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំង: Kantor បានឈានដល់កម្រិតថ្មីនៃការអរូបីនៅក្នុងស្នាដៃរបស់គាត់។ លោក​បាន​ណែនាំ​ពី​គោល​គំនិត​នៃ​ភាព​គ្មាន​ព្រំដែន ដោយ​ហេតុ​នេះ​បាន​បង្កើត ផ្នែកថ្មី។គណិតវិទ្យា ហើយ​ដូច្នេះ​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​មាន​ភាព​គ្មាន​កំណត់​ផ្សេង​គ្នា​ត្រូវ​បាន​ប្រៀបធៀប​ដោយ​ប្រើ​គំនិត​នៃ "អំណាច​នៃ​សំណុំ​មួយ" ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងការធ្វើដូច្នេះ គាត់បានបង្កើតភាពចម្លែកជាច្រើន។ ទីមួយគឺអ្វីដែលគេហៅថា ភាពខុសគ្នានៃ Burali-Forti. នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍គណិតវិទ្យា មានទម្រង់ផ្សេងៗគ្នា ដោយផ្អែកលើវាក្យស័ព្ទផ្សេងៗគ្នា និងសំណុំទ្រឹស្តីបទល្បីៗ។ នេះគឺជានិយមន័យផ្លូវការមួយ។

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាប្រសិនបើ x គឺជាសំណុំតាមអំពើចិត្ត នោះសំណុំផលបូកគឺជាក្បួនធំជាង ឬស្មើនឹងធាតុនីមួយៗ។ x. ឧបមាថាឥឡូវនេះជាសំណុំនៃលេខធម្មតាទាំងអស់។ បន្ទាប់មកគឺជាលេខលំដាប់ធំជាង ឬស្មើនឹងលេខណាមួយនៅក្នុង . ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក និងជាលេខធម្មតា លើសពីនេះទៅទៀត វាគឺធំជាងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ហើយដូច្នេះវាមិនស្មើនឹងលេខណាមួយនៅក្នុង . ប៉ុន្តែនេះផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌដែលជាសំណុំនៃលេខធម្មតាទាំងអស់។

ខ្លឹមសារនៃភាពផ្ទុយគ្នាគឺថានៅពេលដែលសំណុំនៃលេខធម្មតាទាំងអស់ត្រូវបានបង្កើតឡើងនោះថ្មីមួយត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ប្រភេទធម្មតា។ដែលមិនទាន់ស្ថិតក្នុងចំណោមលេខលំដាប់ឆ្លងកាត់ "ទាំងអស់" ដែលមានមុនការបង្កើតសំណុំនៃលេខលំដាប់ទាំងអស់។ ភាពផ្ទុយគ្នានេះត្រូវបានរកឃើញដោយ Cantor ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់ បានរកឃើញដោយឯករាជ្យ និងបោះពុម្ពដោយគណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Burali-Forti កំហុសនៃក្រោយមកទៀតត្រូវបានកែតម្រូវដោយ Russell បន្ទាប់ពីនោះរូបមន្តទទួលបានទម្រង់ចុងក្រោយរបស់វា។

ក្នុងចំណោមការព្យាយាមទាំងអស់ដើម្បីជៀសវាងភាពផ្ទុយគ្នាបែបនេះ និងក្នុងកម្រិតខ្លះព្យាយាមពន្យល់ពួកគេ គំនិតរបស់រ័សុលដែលបានរៀបរាប់រួចហើយសមនឹងទទួលបានការយកចិត្តទុកដាក់បំផុត។ គាត់បានស្នើឱ្យដកចេញពីប្រយោគគណិតវិទ្យា និងតក្កវិជ្ជា ដែលនិយមន័យនៃធាតុនៃសំណុំមួយអាស្រ័យលើក្រោយ ដែលបណ្តាលឱ្យមានភាពផ្ទុយគ្នា។ ច្បាប់ស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ "គ្មានសំណុំ C អាចមានធាតុ m កំណត់តែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃសំណុំ C ក៏ដូចជាធាតុ n ដោយសន្មតថាសំណុំនេះនៅក្នុងនិយមន័យរបស់ពួកគេ" ។ ការរឹតបន្តឹងបែបនេះលើនិយមន័យនៃសំណុំមួយអនុញ្ញាតឱ្យយើងជៀសវាងការប្រៀបធៀប ប៉ុន្តែក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះធ្វើឱ្យវិសាលភាពនៃការអនុវត្តរបស់វានៅក្នុងគណិតវិទ្យារួមតូចយ៉ាងខ្លាំង។ លើសពីនេះទៀត នេះមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពន្យល់ពីធម្មជាតិ និងហេតុផលសម្រាប់រូបរាងរបស់ពួកគេ ឫសគល់នៅក្នុង dichotomy នៃការគិត និងភាសា នៅក្នុងលក្ខណៈពិសេសនៃតក្កវិជ្ជាផ្លូវការនោះទេ។ ក្នុងកម្រិតមួយចំនួន ការដាក់កម្រិតនេះអាចត្រូវបានគេតាមដានពីភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងអ្វីដែលនៅសម័យក្រោយ អ្នកចិត្តសាស្រ្តការយល់ដឹង និងភាសាវិទូបានចាប់ផ្តើមហៅថា "ការចាត់ថ្នាក់កម្រិតមូលដ្ឋាន"៖ និយមន័យត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាគំនិតងាយស្រួលយល់ និងសិក្សាបំផុត។

សន្មតថាសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់មាន។ ក្នុងករណីនេះ វាជាការពិត ពោលគឺសំណុំណាមួយ t គឺជាសំណុំរងនៃ V. ប៉ុន្តែវាកើតឡើងពីនេះថាថាមពលនៃសំណុំណាមួយមិនលើសពីអំណាចរបស់ V. ប៉ុន្តែដោយសារ axiom នៃសំណុំទាំងអស់ សំណុំរងសម្រាប់ V ក៏ដូចជាសំណុំណាមួយមានសំណុំនៃសំណុំរងទាំងអស់ និងដោយទ្រឹស្តីបទរបស់ Cantor ដែលផ្ទុយនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពីមុន។ ដូច្នេះ V មិនអាចមានទេ ដែលផ្ទុយនឹងសម្មតិកម្ម "ឆោតល្ងង់" ដែលត្រឹមត្រូវតាមន័យធៀប លក្ខខណ្ឌប៊ូលីនកំណត់សំណុំ ពោលគឺសម្រាប់រូបមន្ត A ណាមួយដែលមិនមាន y ដោយសេរី។ ភស្តុតាងគួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃអវត្តមាននៃភាពផ្ទុយគ្នាបែបនេះនៅលើមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីសំណុំ Zermelo-Fraenkel axiomatized ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ Potter ។

តាមទស្សនៈឡូជីខល ភាពផ្ទុយគ្នាទាំងពីរខាងលើគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹង "អ្នកកុហក" ឬ "អ្នកកាត់សក់"៖ ការវិនិច្ឆ័យដែលបានបង្ហាញគឺសំដៅមិនត្រឹមតែចំពោះវត្ថុបំណងទាក់ទងនឹងគាត់ប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងចំពោះខ្លួនគាត់ទៀតផង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយមនុស្សម្នាក់គួរតែយកចិត្តទុកដាក់មិនត្រឹមតែចំពោះផ្នែកឡូជីខលប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ផងដែរដែលមានវត្តមាននៅទីនេះ។ អក្សរសិល្ប៍សំដៅលើការងាររបស់ Poincaré ដែលគាត់សរសេរថា: "ជំនឿលើអត្ថិភាពនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ... ធ្វើឱ្យនិយមន័យដែលមិនមែនជាការព្យាករណ៍ទាំងនេះចាំបាច់" ។
ជាទូទៅចំណុចសំខាន់ៗគឺ៖

• នៅក្នុងភាពផ្ទុយគ្នាទាំងនេះ ច្បាប់ត្រូវបានបំពានដើម្បីបំបែក "រង្វង់" នៃទស្សន៍ទាយ និងប្រធានបទយ៉ាងច្បាស់។ កម្រិតនៃភាពច្របូកច្របល់គឺនៅជិតនឹងការជំនួសគំនិតមួយសម្រាប់មួយផ្សេងទៀត។
• ជាធម្មតានៅក្នុងតក្កវិជ្ជា វាត្រូវបានសន្មត់ថានៅក្នុងដំណើរការនៃការវែកញែកប្រធានបទ និងព្យាករណ៍រក្សាបរិមាណ និងខ្លឹមសាររបស់ពួកគេ ក្នុងករណីនេះ
  ការផ្លាស់ប្តូរពីប្រភេទមួយទៅប្រភេទមួយទៀត ដែលបណ្តាលឱ្យមានការមិនស៊ីគ្នា;
• វត្តមាននៃពាក្យ "ទាំងអស់" មានន័យសម្រាប់ចំនួនកំណត់នៃធាតុ ប៉ុន្តែនៅក្នុងករណីនៃចំនួនគ្មានកំណត់នៃពួកវា វាអាចទៅរួចដែលមានមួយនោះ។
  ដើម្បី​កំណត់​ដោយ​ខ្លួន​វា​នឹង​ទាមទារ​ឱ្យ​មាន​និយមន័យ​នៃ​សំណុំ​មួយ​;
• ច្បាប់ឡូជីខលជាមូលដ្ឋានត្រូវបានបំពាន៖
  • ច្បាប់នៃអត្តសញ្ញាណត្រូវបានរំលោភបំពាន នៅពេលដែលការមិនបង្ហាញអត្តសញ្ញាណនៃប្រធានបទ និងបុព្វបទត្រូវបានបង្ហាញ។
  • ច្បាប់នៃភាពផ្ទុយគ្នា - នៅពេលដែលការវិនិច្ឆ័យផ្ទុយគ្នាពីរត្រូវបានចេញដោយសិទ្ធិដូចគ្នា;
  • ច្បាប់នៃអ្នកទីបីដែលត្រូវបានដកចេញ - នៅពេលដែលទីបីនេះត្រូវតែត្រូវបានទទួលស្គាល់ ហើយមិនត្រូវបានដកចេញទេ ព្រោះថា ទីមួយ ឬទីពីរមិនអាចត្រូវបានគេទទួលស្គាល់មួយដោយគ្មានមួយទៀតទេ ពីព្រោះ ពួកគេមានសុពលភាពស្មើគ្នា។

ភាពផ្ទុយគ្នាទីបីមានឈ្មោះរបស់រ័សុល។. និយមន័យមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម។
អនុញ្ញាតឱ្យ K ជាសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់ដែលមិនមានខ្លួនវាជាធាតុរបស់វា។ តើ K មានខ្លួនវាជាធាតុមួយឬ? ប្រសិនបើបាទ/ចាស តាមនិយមន័យរបស់ K វាមិនគួរជាធាតុរបស់ K - ភាពផ្ទុយគ្នាទេ។ ប្រសិនបើមិនមែន - បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យ K វាត្រូវតែជាធាតុរបស់ K - ភាពផ្ទុយគ្នាម្តងទៀត។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ។គឺ​បាន​មក​ពី​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា​របស់ Cantor ដែល​បង្ហាញ​ពី​ទំនាក់ទំនង​របស់​ពួកគេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្លឹមសារទស្សនវិជ្ជាបង្ហាញឱ្យឃើញកាន់តែច្បាស់ ចាប់តាំងពី "ចលនាដោយខ្លួនឯង" នៃគំនិតកើតឡើងត្រឹមត្រូវ "នៅចំពោះមុខភ្នែករបស់យើង" ។

ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Tristram Shandy៖
នៅក្នុង Stern's The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, hero បានរកឃើញថាគាត់ត្រូវការ ពេញ​មួយ​ឆ្នាំដើម្បីពិពណ៌នាអំពីព្រឹត្តិការណ៍នៃថ្ងៃដំបូងនៃជីវិតរបស់គាត់ ហើយមួយឆ្នាំទៀតគឺចាំបាច់ដើម្បីពិពណ៌នាថ្ងៃទីពីរ។ ក្នុងន័យនេះ វីរបុរសត្អូញត្អែរថា សម្ភារៈនៃជីវប្រវត្តិរបស់គាត់នឹងកកកុញលឿនជាងគាត់អាចដំណើរការវាបាន ហើយគាត់នឹងមិនអាចបំពេញវាបានទេ។ “ឥឡូវនេះ ខ្ញុំរក្សា” រ័សុល ជំទាស់នឹងរឿងនេះថា ប្រសិនបើគាត់រស់នៅជារៀងរហូត ហើយការងាររបស់គាត់នឹងមិនក្លាយជាបន្ទុកសម្រាប់គាត់ទេ ទោះបីជាជីវិតរបស់គាត់នៅតែបន្តកើតមានដូចកាលពីដើមក៏ដោយ នោះមិនមែនជាផ្នែកមួយនៃជីវប្រវត្តិរបស់គាត់ទេ។ មិននៅតែមិនត្រូវបានសរសេរ។
ជាការពិតណាស់ Shandy អាចពិពណ៌នាអំពីព្រឹត្តិការណ៍នៃថ្ងៃទី 9 សម្រាប់ឆ្នាំទី 9 ហើយដូច្នេះនៅក្នុងជីវប្រវត្តិរបស់គាត់ ជារៀងរាល់ថ្ងៃនឹងត្រូវបានចាប់យក។

ម្យ៉ាង​ទៀត បើ​ជីវិត​មាន​រយៈពេល​មិន​កំណត់ នោះ​វា​នឹង​មាន​ច្រើន​ឆ្នាំ​ជា​ថ្ងៃ។

Russell គូរភាពស្រដៀងគ្នារវាងប្រលោមលោកនេះ និង Zeno ជាមួយនឹងសត្វអណ្តើករបស់គាត់។ នៅក្នុងគំនិតរបស់គាត់ ដំណោះស្រាយគឺស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាទាំងមូលគឺស្មើនឹងផ្នែករបស់វានៅគ្មានកំណត់។ ទាំងនោះ។ នាំទៅរកភាពផ្ទុយគ្នាតែមួយគត់ "axiom ធម្មតា»។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាគឺស្ថិតនៅក្នុងអាណាចក្រនៃគណិតវិទ្យាសុទ្ធ។ ជាក់ស្តែងមានសំណុំពីរ - ឆ្នាំនិងថ្ងៃរវាងធាតុដែលមានការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយ - ការបដិសេធ។ បន្ទាប់មកនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ ជីវិតគ្មានទីបញ្ចប់តួអក្សរសំខាន់មានពីរសំណុំគ្មានដែនកំណត់នៃអំណាចស្មើគ្នាដែលប្រសិនបើយើងចាត់ទុកអំណាចជាការទូទៅនៃគំនិតនៃចំនួននៃធាតុនៅក្នុងសំណុំមួយ, ដោះស្រាយផ្ទុយ។

Paradox (ទ្រឹស្តីបទ) នៃ Banach-Tarski ឬការបង្កើនភាពផ្ទុយគ្នានៃបាល់ទ្វេដង- ទ្រឹស្តីបទក្នុងទ្រឹស្ដីសំណុំដែលបញ្ជាក់ថា បាល់បីវិមាត្រត្រូវបានផ្សំឡើងដោយចំនួនពីរនៃច្បាប់ចម្លងរបស់វា។
សំណុំរងពីរនៃលំហ Euclidean ត្រូវបានគេហៅថាសមាសភាពស្មើគ្នា ប្រសិនបើគេអាចបែងចែកជាចំនួនកំណត់នៃផ្នែក ផ្លាស់ទីពួកវា និងបង្កើតជាផ្នែកទីពីរ។
កាន់តែច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត សំណុំពីរ A និង B ត្រូវបានផ្សំឡើងស្មើៗគ្នា ប្រសិនបើពួកវាអាចត្រូវបានតំណាងថាជាសហជីពកំណត់នៃសំណុំរងដែលមិនជាប់គ្នា ដូច្នេះសម្រាប់ i នីមួយៗ សំណុំរងគឺស្របគ្នា។

ប្រសិនបើយើងប្រើទ្រឹស្តីបទជម្រើស នោះនិយមន័យស្តាប់ទៅដូចនេះ៖
អ័ក្សនៃជម្រើសបង្កប់ន័យថាមានការបែងចែកផ្ទៃនៃរង្វង់ឯកតាទៅជាចំនួនកំណត់នៃផ្នែក ដែលដោយការបំប្លែងនៃលំហអឺគ្លីឌាបីវិមាត្រដែលមិនផ្លាស់ប្តូររូបរាងនៃធាតុផ្សំទាំងនេះអាចប្រមូលផ្តុំជាពីរ។ រង្វង់នៃកាំឯកតា។

ជាក់ស្តែង ដោយសារតម្រូវការសម្រាប់ផ្នែកទាំងនេះអាចវាស់វែងបាន សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះមិនអាចធ្វើទៅបានទេ។ រូបវិទូដ៏ល្បីល្បាញ Richard Feynman នៅក្នុងជីវប្រវត្តិរបស់គាត់បានប្រាប់ពីរបៀបដែលនៅពេលមួយគាត់អាចយកឈ្នះជម្លោះអំពីការបំបែកពណ៌ទឹកក្រូចទៅជាផ្នែកមួយចំនួន ហើយរៀបចំវាឡើងវិញ។

នៅចំណុចមួយចំនួន ភាពផ្ទុយគ្នានេះត្រូវបានប្រើដើម្បីបដិសេធ axiom នៃជម្រើស ប៉ុន្តែបញ្ហាគឺថាអ្វីដែលយើងពិចារណាធរណីមាត្របឋមគឺមិនសំខាន់ទេ។ គំនិតទាំងនោះដែលយើងចាត់ទុកថាវិចារណញាណគួរត្រូវបានពង្រីកដល់កម្រិតនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍វិចារណញាណ។

ដើម្បីបន្ថយទំនុកចិត្តរបស់អ្នកដែលជឿថា axiom នៃជម្រើសគឺខុស គួរតែនិយាយអំពីទ្រឹស្តីបទ Mazurkiewicz និង Sierpinski ដែលចែងថាមានសំណុំរង E មិនទទេនៃយន្តហោះ Euclidean ដែលមានផ្នែករងមិនជាប់គ្នាពីរ ដែលនីមួយៗ ដែលអាចត្រូវបានបែងចែកទៅជាចំនួនកំណត់នៃផ្នែក ដូច្នេះពួកគេអាចបកប្រែដោយ isometrics ទៅជាការគ្របដណ្តប់នៃសំណុំ E ។
ភ័ស្តុតាងមិនតម្រូវឱ្យមានការប្រើប្រាស់ axiom នៃជម្រើសនោះទេ។
ការស្ថាបនាបន្ថែមទៀតដោយផ្អែកលើ axiom នៃភាពប្រាកដប្រជាផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះភាពផ្ទុយគ្នា Banach-Tarski ប៉ុន្តែមិនមានការចាប់អារម្មណ៍បែបនេះទេ។

• ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Richard: វាត្រូវបានទាមទារឱ្យដាក់ឈ្មោះ " ចំនួនតូចបំផុត។មិនមានឈ្មោះនៅក្នុងសៀវភៅនេះទេ។ ភាពផ្ទុយគ្នាគឺថានៅលើដៃម្ខាង នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយហេតុថាមានចំនួនតិចបំផុតដែលមានឈ្មោះនៅក្នុងសៀវភៅនេះ។ បន្តពីវា មួយក៏អាចដាក់ឈ្មោះតូចបំផុតដែលមិនមានឈ្មោះ។ ប៉ុន្តែនៅទីនេះមានបញ្ហាកើតឡើង៖ ការបន្តគឺមិនអាចរាប់បាន រវាងលេខទាំងពីរណាមួយ អ្នកអាចបញ្ចូលលេខមធ្យមដែលគ្មានកំណត់។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើយើងអាចដាក់ឈ្មោះលេខនេះ វានឹងផ្លាស់ទីដោយស្វ័យប្រវត្តិពីថ្នាក់ដែលមិនបានរៀបរាប់ក្នុងសៀវភៅទៅថ្នាក់ដែលបានរៀបរាប់។
• ភាពផ្ទុយស្រឡះរបស់ Grelling-Nilson៖ ពាក្យ ឬសញ្ញាអាចបង្ហាញពីទ្រព្យសម្បត្តិ ហើយក្នុងពេលតែមួយមាន ឬអត់។ ទម្រង់មិនច្បាស់លាស់បំផុតស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ តើពាក្យថា "heterological" (ដែលមានន័យថា "មិនអាចអនុវត្តបានចំពោះខ្លួនវា") heterological?.. វាស្រដៀងទៅនឹងការប្រៀបធៀបរបស់ Russell ដោយសារតែវត្តមាននៃភាពផ្ទុយគ្នានៃគ្រាមភាសា៖ ភាពពីរនៃទម្រង់ និងខ្លឹមសារ ត្រូវបានរំលោភបំពាន។ ក្នុងករណីពាក្យដែលមានកម្រិតអរូបីខ្ពស់ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការសម្រេចថាតើពាក្យទាំងនេះមានលក្ខណៈតំណពូជ។
• ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Skolem៖ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទនៃភាពពេញលេញរបស់ Godel និងទ្រឹស្តីបទLöwenheim-Skolem យើងទទួលបានទ្រឹស្ដីសំណុំ axiomatic នោះនៅតែជាការពិត ទោះបីជាមានតែសំណុំរាប់ដែលអាចរាប់បានប៉ុណ្ណោះត្រូវបានសន្មត់ (មាន) សម្រាប់ការបកស្រាយរបស់វា។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នា
  ទ្រឹស្ដី axiomatic រួមបញ្ចូលទ្រឹស្តីបទរបស់ Cantor ដែលបានរៀបរាប់រួចហើយ ដែលនាំយើងទៅកាន់សំណុំគ្មានកំណត់។

ដំណោះស្រាយនៃ paradoxes

ការបង្កើតទ្រឹស្ដីសិតបានបង្កឱ្យមានអ្វីដែលចាត់ទុកថាជាវិបត្តិទីបីនៃគណិតវិទ្យា ដែលមិនទាន់ត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងគាប់ចិត្តសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។
តាមប្រវត្តិសាស្ត្រ វិធីសាស្រ្តដំបូងគឺកំណត់ទ្រឹស្តី។ វាត្រូវបានផ្អែកលើការប្រើប្រាស់នៃភាពគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដ នៅពេលដែលវាត្រូវបានគេចាត់ទុកថាលំដាប់គ្មានកំណត់ណាមួយត្រូវបានបញ្ចប់នៅក្នុងភាពគ្មានកំណត់។ គំនិតនេះគឺថានៅក្នុងទ្រឹស្ដីសំណុំ ជារឿយៗត្រូវដំណើរការលើសំណុំដែលអាចជាផ្នែកនៃឈុតធំផ្សេងទៀត។ សកម្មភាពជោគជ័យក្នុងករណីនេះអាចធ្វើទៅបានតែក្នុងករណីមួយប៉ុណ្ណោះ៖ សំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ (គ្មានកំណត់ និងគ្មានកំណត់) ត្រូវបានបញ្ចប់។ ជោគជ័យជាក់លាក់មួយត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ៖ ទ្រឹស្តីសំណុំអ័ក្សរបស់ Zermelo-Fraenkel ដែលជាសាលាគណិតវិទ្យាទាំងមូលដោយ Nicolas Bourbaki ដែលមានអាយុកាលជាងកន្លះសតវត្សហើយនៅតែបង្កឱ្យមានការរិះគន់ជាច្រើន។

តក្កវិជ្ជាគឺជាការប៉ុនប៉ងដើម្បីកាត់បន្ថយគណិតវិទ្យាដែលគេស្គាល់ទាំងអស់ទៅលក្ខខណ្ឌនព្វន្ធ ហើយបន្ទាប់មកកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌនព្វន្ធទៅជាគោលគំនិត។ តក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា. Frege បានយករឿងនេះយ៉ាងជិតស្និទ្ធប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីបញ្ចប់ការងារលើការងារគាត់ត្រូវបានបង្ខំឱ្យចង្អុលបង្ហាញពីភាពមិនស៊ីសង្វាក់របស់គាត់បន្ទាប់ពី Russell បានចង្អុលបង្ហាញពីភាពផ្ទុយគ្នានៅក្នុងទ្រឹស្តី។ រ័សុលដូចគ្នា ដូចដែលបានរៀបរាប់ពីមុន បានព្យាយាមលុបបំបាត់ការប្រើនិយមន័យដែលមិនច្បាស់លាស់ ដោយមានជំនួយពី "ទ្រឹស្ដីប្រភេទ"។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គោលគំនិតរបស់គាត់អំពីសំណុំ និងភាពគ្មានកំណត់ ក៏ដូចជា axiom នៃការកាត់បន្ថយបានប្រែទៅជាមិនសមហេតុផល។ បញ្ហាចំបងគឺថា ភាពខុសគ្នានៃគុណភាពរវាងតក្កវិជ្ជាផ្លូវការ និងគណិតវិទ្យាមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណា ក៏ដូចជាវត្តមាននៃគំនិតដែលលើសលុប រួមទាំងលក្ខណៈវិចារណញាណផងដែរ។
ជាលទ្ធផល ទ្រឹស្ដីតក្កវិជ្ជាមិនអាចលុបបំបាត់ភាពផ្ទុយគ្នានៃគ្រាមភាសានៃពាក្យប្រៀបធៀបដែលទាក់ទងនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់បានទេ។ មាន​តែ​គោលការណ៍ និង​វិធី​ដែល​ធ្វើ​ឱ្យ​វា​អាច​កម្ចាត់​ចោល​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​នូវ​និយមន័យ​ដែល​មិន​អាច​ព្យាករណ៍​បាន។ តាម​ការ​វែកញែក​របស់​គាត់ រ័សុល​គឺ​ជា​អ្នក​ស្នង​មរតក​របស់ Cantor ។

នៅចុងបញ្ចប់នៃ XIX - ការចាប់ផ្តើមនៃសតវត្សទី XX ។ ការរីករាលដាលនៃទស្សនៈផ្លូវការលើគណិតវិទ្យាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍនៃវិធីសាស្រ្ត axiomatic និងកម្មវិធីនៃ substantiation នៃគណិតវិទ្យាដែលត្រូវបានដាក់ទៅមុខដោយ D. Hilbert ។ សារៈសំខាន់នៃការពិតនេះត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយការពិតដែលថាទីមួយនៃបញ្ហាម្ភៃបីដែលគាត់បានបង្ហាញដល់សហគមន៍គណិតវិទ្យាគឺជាបញ្ហានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ការបង្កើតជាផ្លូវការគឺចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់ពីភាពស៊ីសង្វាក់នៃគណិតវិទ្យាបុរាណ "ខណៈពេលដែលមិនរាប់បញ្ចូល metaphysics ទាំងអស់ពីវា" ។ ដោយគិតពីមធ្យោបាយ និងវិធីសាស្រ្តដែលប្រើដោយ Hilbert គោលដៅរបស់គាត់បានប្រែទៅជាមិនអាចទៅរួចជាមូលដ្ឋាន ប៉ុន្តែកម្មវិធីរបស់គាត់មានឥទ្ធិពលយ៉ាងខ្លាំងទៅលើការអភិវឌ្ឍន៍ជាបន្តបន្ទាប់នៃមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា។ Hilbert បានធ្វើការលើបញ្ហានេះអស់រយៈពេលជាយូរ ដោយបានសាងសង់ដំបូងនូវ axiomatics នៃធរណីមាត្រ។ ចាប់តាំងពីដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាបានប្រែក្លាយជាជោគជ័យ គាត់បានសម្រេចចិត្តអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត axiomatic ទៅនឹងទ្រឹស្តីនៃចំនួនធម្មជាតិ។ នេះជាអ្វីដែលគាត់បានសរសេរទាក់ទងនឹងរឿងនេះ៖ "ខ្ញុំដេញតាម គោលដៅសំខាន់៖ វាគឺជាខ្ញុំដែលចង់ដោះស្រាយជាមួយនឹងសំណួរនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យាដូចនេះ ដោយបង្វែររាល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍គណិតវិទ្យាទៅជារូបមន្តដែលអាចទាញយកបានយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ វាត្រូវបានគ្រោងទុកដើម្បីកម្ចាត់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ដោយកាត់បន្ថយវាទៅចំនួនប្រតិបត្តិការកំណត់ជាក់លាក់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគាត់បានងាកទៅរករូបវិទ្យាជាមួយនឹងអាតូមនិយមរបស់វាដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃបរិមាណគ្មានកំណត់។ តាមពិត ហ៊ីលប៊ឺត បានលើកសំណួរអំពីទំនាក់ទំនងរវាងទ្រឹស្តី និងការពិតកម្មវត្ថុ។

ច្រើន​ឬ​តិច ទិដ្ឋភាពពេញលេញវិធីសាស្រ្តកំណត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសិស្សរបស់ Hilbert J. Herbran ។ ដោយហេតុផលច្បាស់លាស់ គាត់យល់ពីហេតុផលបែបនេះដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖ paradoxes ឡូជីខល"- មានតែចំនួនកំណត់ និងច្បាស់លាស់នៃវត្ថុ និងមុខងារប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានពិចារណា។

មុខងារមាន និយមន័យច្បាស់លាស់ហើយនិយមន័យនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាតម្លៃរបស់ពួកគេ;

វា​មិន​ដែល​អះអាង​ថា "វត្ថុ​នេះ​មាន" លុះ​ត្រា​តែ​មាន​វិធី​សាងសង់​វា​ត្រូវ​បាន​គេ​ដឹង។

សំណុំនៃវត្ថុទាំងអស់ X នៃការប្រមូលគ្មានកំណត់ណាមួយមិនដែលត្រូវបានពិចារណាឡើយ។

ប្រសិនបើគេដឹងថាហេតុផល ឬទ្រឹស្តីបទណាមួយគឺជាការពិតសម្រាប់ X ទាំងអស់នេះ នោះមានន័យថាហេតុផលទូទៅនេះអាចត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតសម្រាប់ X ជាក់លាក់នីមួយៗ ហើយហេតុផលទូទៅនេះគួរតែត្រូវបានចាត់ទុកថាគ្រាន់តែជាគំរូសម្រាប់ហេតុផលជាក់លាក់បែបនេះប៉ុណ្ណោះ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅពេលនៃការបោះពុម្ពចុងក្រោយនៅក្នុងតំបន់នេះ Gödel បានទទួលលទ្ធផលរបស់គាត់រួចហើយ ជាសំខាន់គាត់បានរកឃើញម្តងទៀត និងបានអនុម័តវត្តមានរបស់គ្រាមភាសានៅក្នុងដំណើរការនៃការយល់ដឹង។ នៅក្នុងខ្លឹមសារ ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃគណិតវិទ្យាបានបង្ហាញពីការបរាជ័យនៃកម្មវិធីរបស់ Hilbert ។

តើ Gödel បញ្ជាក់អ្វីខ្លះ? មានលទ្ធផលសំខាន់បី៖

1. Gödel បានបង្ហាញពីភាពមិនអាចទៅរួចនៃភស្តុតាងគណិតវិទ្យានៃភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃប្រព័ន្ធណាមួយដែលមានទំហំធំគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីរួមបញ្ចូលនព្វន្ធទាំងអស់ ដែលជាភស្តុតាងដែលនឹងមិនប្រើក្បួនផ្សេងទៀតនៃការសន្និដ្ឋានជាងអ្វីដែលបានរកឃើញនៅក្នុងប្រព័ន្ធខ្លួនឯង។ ភ័ស្តុតាងបែបនេះដែលប្រើក្បួនការសន្និដ្ឋានដ៏មានឥទ្ធិពលអាចមានប្រយោជន៍។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើក្បួននៃការសន្និដ្ឋានទាំងនេះខ្លាំងជាងមធ្យោបាយឡូជីខលនៃការគណនានព្វន្ធ នោះវានឹងមិនមានទំនុកចិត្តលើភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃការសន្មត់ដែលប្រើក្នុងភស្តុតាងនោះទេ។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយ ប្រសិនបើវិធីសាស្ត្រដែលប្រើមិនបានបញ្ចប់ នោះកម្មវិធីរបស់ Hilbert នឹងប្រែទៅជាមិនអាចអនុវត្តបាន។ Gödel គ្រាន់តែបង្ហាញពីភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃការគណនាសម្រាប់ការស្វែងរកភស្តុតាងចុងក្រោយនៃភាពជាប់លាប់នៃនព្វន្ធ។
2. Godel បានចង្អុលបង្ហាញពីដែនកំណត់ជាមូលដ្ឋាននៃលទ្ធភាពនៃវិធីសាស្រ្ត axiomatic: ប្រព័ន្ធ Principia Mathematica ដូចជាប្រព័ន្ធផ្សេងទៀតដែលលេខនព្វន្ធត្រូវបានបង្កើតឡើង គឺមិនពេញលេញជាសំខាន់ ពោលគឺសម្រាប់ប្រព័ន្ធស្របគ្នានៃ axioms នព្វន្ធមានប្រយោគនព្វន្ធពិតដែលមាន។ មិនមែនមកពី axioms ប្រព័ន្ធនេះទេ។
3. ទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel បង្ហាញថា គ្មានផ្នែកបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធនព្វន្ធអាចធ្វើឱ្យវាពេញលេញនោះទេ ហើយទោះបីជាយើងបំពេញវាដោយសំណុំ axioms ដែលគ្មានកំណត់ក៏ដោយ នោះប្រព័ន្ធថ្មីនឹងតែងតែជាការពិត ប៉ុន្តែមិនអាចកាត់ចេញបានតាមរយៈប្រព័ន្ធនេះទេ។ មុខតំណែង។ វិធីសាស្រ្ត axiomatic ទៅនឹងនព្វន្ធនៃចំនួនធម្មជាតិមិនអាចគ្របដណ្តប់អាណាចក្រទាំងមូលនៃសំណើនព្វន្ធពិតនោះទេ ហើយអ្វីដែលយើងចង់មានន័យដោយដំណើរការនៃភស្តុតាងគណិតវិទ្យាមិនត្រូវបានកំណត់ចំពោះការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រ axiomatic នោះទេ។ បន្ទាប់ពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Godel វាក្លាយជាគ្មានន័យក្នុងការរំពឹងថាគំនិតនៃភស្តុតាងគណិតវិទ្យាដែលអាចជឿជាក់បានអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យម្តង និងសម្រាប់ទម្រង់ដែលបានកំណត់ទាំងអស់។

ចុងក្រោយបំផុតនៅក្នុងស៊េរីនៃការប៉ុនប៉ងនេះដើម្បីពន្យល់ទ្រឹស្តីសំណុំគឺវិចារណញាណ។

គាត់បានឆ្លងកាត់ដំណាក់កាលជាច្រើននៅក្នុងការវិវត្តរបស់គាត់ - ពាក់កណ្តាលវិចារណញាណ វិចារណញាណនិយមត្រឹមត្រូវ វិចារណញាណជ្រុលនិយម។ នៅដំណាក់កាលផ្សេងៗគ្នា គណិតវិទូមានការព្រួយបារម្ភអំពីបញ្ហាផ្សេងៗគ្នា ប៉ុន្តែបញ្ហាចម្បងមួយនៃគណិតវិទ្យាគឺបញ្ហានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ គោលគំនិតគណិតវិទ្យានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ និងនិរន្តរភាព គឺជាកម្មវត្ថុនៃការវិភាគទស្សនវិជ្ជាចាប់តាំងពីការចាប់ផ្តើមរបស់ពួកគេ (គំនិតរបស់អាតូមិក, aporias នៃ Zeno នៃ Elea, វិធីសាស្រ្តគ្មានដែនកំណត់នៅសម័យបុរាណ, ការគណនានៃ infinitesimals ក្នុងសម័យទំនើប។ ល។ ) ។ ភាពចម្រូងចម្រាសដ៏ធំបំផុតត្រូវបានបង្កឡើងដោយការប្រើប្រាស់ប្រភេទផ្សេងៗនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ (សក្តានុពល ជាក់ស្តែង) ជាវត្ថុគណិតវិទ្យា និងការបកស្រាយរបស់ពួកគេ។ បញ្ហាទាំងអស់នេះតាមគំនិតរបស់យើងត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយបញ្ហាកាន់តែស៊ីជម្រៅ - តួនាទីនៃប្រធានបទនៅក្នុងចំណេះដឹងវិទ្យាសាស្ត្រ។ ការពិតគឺថាស្ថានភាពនៃវិបត្តិនៅក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយភាពមិនប្រាកដប្រជានៃ epistemological នៃការប្រៀបធៀបនៃពិភពលោកនៃវត្ថុ (ភាពមិនចេះរីងស្ងួត) និងពិភពនៃប្រធានបទ។ គណិតវិទូ​ជា​មុខវិជ្ជា​មួយ​មាន​លទ្ធភាព​ជ្រើសរើស​មធ្យោបាយ​នៃ​ការ​យល់ដឹង​ទាំង​សក្តានុពល ឬ​ភាព​គ្មាន​កំណត់។ ការប្រើសក្ដានុពលនៃអនិច្ចកម្ម ជាការក្លាយជាបុគ្គលនោះ ផ្តល់ឱកាសឱ្យលោកអនុវត្តបាន កសាងនូវសំណង់ដែលគ្មានកំណត់ ដែលអាចសាងឡើងលើកំពូលនៃកំណត់ដោយមិនមានកំណត់ ដោយមិនបញ្ចប់ការសាងសង់ គឺអាចធ្វើទៅបានតែប៉ុណ្ណោះ។ ការប្រើប្រាស់ភាពគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដផ្តល់ឱ្យគាត់នូវឱកាសដើម្បីធ្វើការជាមួយភាពគ្មានទីបញ្ចប់ដូចដែលអាចសម្រេចបានរួចហើយ បានបញ្ចប់នៅក្នុងការសាងសង់របស់វា ដូចដែលបានផ្តល់ឱ្យពិតប្រាកដក្នុងពេលតែមួយ។

នៅដំណាក់កាលនៃ semi-intuitionism បញ្ហានៃ infinity មិនទាន់ឯករាជ្យនៅឡើយទេ ប៉ុន្តែត្រូវបានត្បាញចូលទៅក្នុងបញ្ហានៃការបង្កើតវត្ថុគណិតវិទ្យា និងវិធីដើម្បីបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវរបស់វា។ ពាក់កណ្តាលវិចារណញាណនៃ A. Poincaré និងអ្នកតំណាងនៃសាលាប៉ារីសនៃទ្រឹស្តីនៃមុខងារ Baire, Lebesgue និង Borel ត្រូវបានដឹកនាំប្រឆាំងនឹងការទទួលយក axiom នៃជម្រើសដោយឥតគិតថ្លៃ ដោយមានជំនួយពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Zermelo ត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយបញ្ជាក់ថា ណាមួយ សំណុំអាចត្រូវបានបញ្ជាទិញទាំងស្រុង ប៉ុន្តែដោយមិនបង្ហាញពីវិធីទ្រឹស្តីដើម្បីកំណត់ធាតុនៃសំណុំរងណាមួយនៃសំណុំដែលចង់បាន។ គ្មាន​វិធី​បង្កើត​វត្ថុ​គណិតវិទ្យា​ទេ ហើយ​ក៏​គ្មាន​វត្ថុ​គណិតវិទ្យា​ដែរ។ គណិតវិទូបានជឿថាវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃវិធីសាស្រ្តទ្រឹស្តីសម្រាប់បង្កើតលំដាប់នៃវត្ថុនៃការសិក្សា អាចជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការបញ្ជាក់ ឬបដិសេធ axiom នេះ។ នៅក្នុងកំណែភាសារុស្សី គំនិតពាក់កណ្តាលវិចារណញាណនៅក្នុងមូលដ្ឋានគ្រឹះទស្សនវិជ្ជានៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងទិសដៅដូចទៅនឹងប្រសិទ្ធភាពនិយមដែលបង្កើតឡើងដោយ N.N. លូហ្សីន។ Effectiveism គឺជាការប្រឆាំងទៅនឹងអរូបីសំខាន់ៗនៃគោលលទ្ធិរបស់ Cantor អំពីភាពគ្មានទីបញ្ចប់ - ការពិត, ជម្រើស, អាំងតង់ស៊ីតេឆ្លងកាត់។ល។

សម្រាប់ប្រសិទ្ធភាពនិយម ការអរូបីនៃលទ្ធភាពសក្តានុពលគឺមានតម្លៃជាងអរូបីនៃភាពគ្មានកំណត់ពិតប្រាកដ។ សូមអរគុណដល់ការនេះ វាក្លាយជាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីណែនាំគំនិតនៃពិធីបរិសុទ្ធឆ្លងកាត់ (លេខលំដាប់គ្មានកំណត់) ដោយផ្អែកលើគោលគំនិតដ៏មានប្រសិទ្ធភាពនៃការលូតលាស់នៃមុខងារ។ ការកំណត់ខាងរោគវិទ្យានៃប្រសិទ្ធភាពសម្រាប់បង្ហាញការបន្ត (បន្ត) គឺផ្អែកលើមធ្យោបាយដាច់ពីគ្នា (នព្វន្ធ) និងទ្រឹស្តីពិពណ៌នានៃសំណុំ (មុខងារ) ដែលបង្កើតឡើងដោយ N.N. Luzin ។ វិចារណញាណនិយមរបស់ជនជាតិហូឡង់ L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heyting មើលឃើញនូវលំដាប់ដែលលេចឡើងដោយសេរីនៃប្រភេទផ្សេងៗជាវត្ថុប្រពៃណីនៃការសិក្សា។ នៅដំណាក់កាលនេះ ការដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាបានត្រឹមត្រូវ រួមទាំងការរៀបចំឡើងវិញនូវគណិតវិទ្យាទាំងអស់នៅលើមូលដ្ឋានថ្មី អ្នកវិចារណញាណបានលើកឡើងនូវសំណួរទស្សនវិជ្ជានៃតួនាទីរបស់គណិតវិទូជាប្រធានបទយល់ដឹង។ តើអ្វីជាមុខតំណែងរបស់គាត់ ដែលគាត់មានសេរីភាព និងសកម្មជាងក្នុងការជ្រើសរើសមធ្យោបាយនៃការយល់ដឹង? វិចារណញាណជាអ្នកដំបូង (ហើយនៅដំណាក់កាលនៃពាក់កណ្តាលវិចារណញាណនិយម) ដើម្បីរិះគន់គោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដ ទ្រឹស្ដីនៃសំណុំរបស់ Cantor ដោយមើលឃើញនៅក្នុងនោះការរំលោភលើសមត្ថភាពរបស់ប្រធានបទដើម្បីជះឥទ្ធិពលដល់ដំណើរការនៃការស្វែងរកវិទ្យាសាស្ត្រសម្រាប់ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាស្ថាបនា។ . នៅក្នុងករណីនៃការប្រើប្រាស់សក្តានុពល infinity ប្រធានបទមិនបញ្ឆោតខ្លួនឯងទេព្រោះសម្រាប់គាត់គំនិតនៃភាពគ្មានព្រំដែនដែលមានសក្តានុពលគឺវិចារណញាណច្បាស់ជាងគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដ។ សម្រាប់វិចារណញាណ វត្ថុមួយត្រូវបានចាត់ទុកថាមាន ប្រសិនបើវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយផ្ទាល់ទៅគណិតវិទូ ឬប្រសិនបើវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់វាត្រូវបានគេស្គាល់។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយប្រធានបទអាចចាប់ផ្តើមដំណើរការនៃការបញ្ចប់ការសាងសង់ធាតុមួយចំនួននៃសំណុំរបស់គាត់។ វត្ថុដែលមិនបានសាងសង់មិនមានសម្រាប់អ្នកវិចារណញាណទេ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ មុខវិជ្ជាដែលធ្វើការជាមួយភាពគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដនឹងត្រូវបានដកហូតឱកាសនេះហើយនឹងមានអារម្មណ៍ថាមានភាពងាយរងគ្រោះទ្វេដងនៃមុខតំណែងដែលបានអនុម័ត៖

1) វាមិនអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តការសាងសង់គ្មានកំណត់នេះ;
2) គាត់សម្រេចចិត្តធ្វើប្រតិបត្តិការជាមួយភាពគ្មានទីបញ្ចប់ជាក់ស្តែងដូចទៅនឹងវត្ថុដែលមានកំណត់ ហើយក្នុងករណីនេះបាត់បង់ភាពជាក់លាក់របស់គាត់ចំពោះគោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ វិចារណញាណមនសិការកំណត់លទ្ធភាពរបស់គណិតវិទូដោយការពិតដែលថាគាត់អាចសាងសង់វត្ថុគណិតវិទ្យាទាំងស្រុងដោយមធ្យោបាយដែលថាទោះបីជាទទួលបានដោយជំនួយនៃគំនិតអរូបីក៏ដោយក៏មានប្រសិទ្ធភាពជឿជាក់អាចបញ្ជាក់បានមុខងារស្ថាបនាជាក់ស្តែងជាក់ស្តែងហើយពួកគេផ្ទាល់មានវិចារណញាណច្បាស់លាស់ដូចជាសំណង់។ សំណង់, ភាពជឿជាក់នៃការអនុវត្ត, មិនមានការសង្ស័យទេ។ វិចារណញាណនិយម ពឹងផ្អែកលើគំនិតនៃសក្តានុពលគ្មានដែនកំណត់ និងវិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវស្ថាបនា ទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យានៃការក្លាយជា ទ្រឹស្ដីកំណត់សំដៅលើគណិតវិទ្យានៃភាពជា។

សម្រាប់វិចារណញាណ Brouwer ក្នុងនាមជាអ្នកតំណាងនៃ empiricism គណិតវិទ្យា តក្កវិជ្ជាគឺជាអនុវិទ្យាល័យ គាត់រិះគន់វា និងច្បាប់នៃមជ្ឈិមដែលដកចេញ។

នៅក្នុងស្នាដៃអាថ៌កំបាំងមួយផ្នែករបស់គាត់ គាត់មិនបដិសេធអត្ថិភាពនៃភាពមិនចេះចប់ទេ ប៉ុន្តែមិនអនុញ្ញាតឱ្យមានការពិតទេ គឺមានតែសក្តានុពលប៉ុណ្ណោះ។ រឿងសំខាន់សម្រាប់គាត់គឺការបកស្រាយ និងយុត្តិកម្មនៃមធ្យោបាយតក្កវិជ្ជា និងហេតុផលគណិតវិទ្យាដែលបានប្រើជាក់ស្តែង។ ការរឹតបន្តឹងដែលបានអនុម័តដោយវិចារណញាណបានយកឈ្នះលើភាពមិនប្រាកដប្រជានៃការប្រើប្រាស់គោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់នៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងបង្ហាញពីបំណងប្រាថ្នាចង់យកឈ្នះលើវិបត្តិនៅក្នុងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា។

វិចារណញាណជ្រុលនិយម (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov និងអ្នកដទៃ) គឺជាដំណាក់កាលចុងក្រោយក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍នៃវិចារណញាណនិយម ដែលគំនិតសំខាន់ៗរបស់វាត្រូវបានធ្វើទំនើបកម្ម បំពេញបន្ថែម និងផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងសំខាន់ ដោយមិនផ្លាស់ប្តូរខ្លឹមសាររបស់វា ប៉ុន្តែការយកឈ្នះលើចំណុចខ្វះខាត និងការពង្រឹងទិដ្ឋភាពវិជ្ជមាន ដឹកនាំដោយ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគណិតវិទ្យាដ៏តឹងរ៉ឹង។ ភាពទន់ខ្សោយនៃវិធីសាស្រ្តវិចារណញាណ គឺជាការយល់ដឹងដ៏តូចចង្អៀតនៃតួនាទីនៃវិចារណញាណ ដែលជាប្រភពតែមួយគត់នៃយុត្តិកម្មសម្រាប់ភាពត្រឹមត្រូវ និងប្រសិទ្ធភាពនៃវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យា។ ដោយយក "ភាពច្បាស់លាស់តាមវិចារណញាណ" ជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃសេចក្តីពិតក្នុងគណិតវិទ្យា អ្នកវិចារណញាណវិធីសាស្រ្តបានធ្វើឱ្យអន់ថយលទ្ធភាពរបស់គណិតវិទូជាប្រធានបទនៃចំណេះដឹង កាត់បន្ថយសកម្មភាពរបស់គាត់ត្រឹមតែប្រតិបត្តិការផ្លូវចិត្តដោយផ្អែកលើវិចារណញាណប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនបានរួមបញ្ចូលការអនុវត្តនៅក្នុងដំណើរការនៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យានោះទេ។ កម្មវិធី​វិចារណញាណ​ជ្រុល​និយម​នៃ​ការបញ្ជាក់​គណិតវិទ្យា​គឺជា​អាទិភាព​របស់​រុស្ស៊ី។ ដូច្នេះ គណិតវិទូក្នុងស្រុក ដោយយកឈ្នះលើដែនកំណត់នៃវិចារណញាណនិយម បានទទួលយកវិធីសាស្រ្តដ៏មានប្រសិទ្ធភាពនៃគ្រាមភាសាសម្ភារៈនិយម ដោយទទួលស្គាល់ការអនុវត្តរបស់មនុស្សជាប្រភពនៃការបង្កើតគំនិតគណិតវិទ្យា និងវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យា (ការសន្និដ្ឋាន សំណង់)។ ultraintuitionists បានដោះស្រាយបញ្ហានៃអត្ថិភាពនៃវត្ថុគណិតវិទ្យា ដោយមិនពឹងផ្អែកលើគោលគំនិតប្រធានបទដែលមិនបានកំណត់នៃវិចារណញាណនោះទេ ប៉ុន្តែនៅលើការអនុវត្តគណិតវិទ្យា និងយន្តការជាក់លាក់មួយសម្រាប់បង្កើតវត្ថុគណិតវិទ្យាមួយ - ក្បួនដោះស្រាយដែលបង្ហាញដោយមុខងារដែលអាចគណនាឡើងវិញបាន។

វិចារណញាណជ្រុលនិយម បង្កើនគុណសម្បត្តិនៃវិចារណញាណនិយម ដែលមាននៅក្នុងលទ្ធភាពនៃការបញ្ជាទិញ និងការធ្វើឱ្យទូទៅនូវវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាស្ថាបនាដែលប្រើដោយគណិតវិទូនៃទិសដៅណាមួយ។ ដូច្នេះ វិចារណញាណនៃដំណាក់កាលចុងក្រោយ (ultraintuitionism) គឺជិតនឹង constructivism នៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងទិដ្ឋភាព epistemological គំនិតចម្បងនិងគោលការណ៍នៃ ultraintuitionism មានដូចខាងក្រោម: ការរិះគន់នៃ axiomatics បុរាណនៃតក្កវិជ្ជា; ការប្រើប្រាស់ និងការពង្រឹងយ៉ាងសំខាន់ (តាមការណែនាំច្បាស់លាស់របស់ A.A. Markov) នៃតួនាទីអរូបីនៃការកំណត់អត្តសញ្ញាណ (អរូបីផ្លូវចិត្តពីលក្ខណៈសម្បត្តិមិនដូចគ្នានៃវត្ថុនិងភាពឯកោក្នុងពេលដំណាលគ្នា លក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅ objects) ជាមធ្យោបាយនៃការសាងសង់ និងការយល់ដឹងស្ថាបនានៃគំនិតអរូបី ការវិនិច្ឆ័យគណិតវិទ្យា; ភស្តុតាងនៃភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃទ្រឹស្តីស្រប។ អេ ទិដ្ឋភាពផ្លូវការការប្រើប្រាស់អរូបីនៃការកំណត់អត្តសញ្ញាណត្រូវបានរាប់ជាសុចរិតដោយលក្ខណៈបីរបស់វា (axioms) នៃសមភាព - ការឆ្លុះបញ្ចាំង ការឆ្លងកាត់ និងស៊ីមេទ្រី។

ដើម្បីដោះស្រាយភាពផ្ទុយគ្នាដ៏សំខាន់នៅក្នុងគណិតវិទ្យាលើបញ្ហានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ដែលបណ្តាលឱ្យមានវិបត្តិនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះរបស់វានៅដំណាក់កាលនៃវិចារណញាណជ្រុលនិយមនៅក្នុងស្នាដៃរបស់ A.N. Kolmogorov បានស្នើវិធីចេញពីវិបត្តិដោយការដោះស្រាយបញ្ហានៃទំនាក់ទំនងរវាងតក្កវិជ្ជាបុរាណ និងវិចារណញាណ គណិតវិទ្យាបុរាណ និងវិចារណញាណ។ វិចារណញាណរបស់ Brouwer ទាំងមូលបានបដិសេធតក្កវិជ្ជា ប៉ុន្តែដោយសារគណិតវិទូណាម្នាក់មិនអាចធ្វើបានដោយគ្មានតក្កវិជ្ជា ការអនុវត្តនៃហេតុផលតក្កវិជ្ជានៅតែត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងវិចារណញាណ គោលការណ៍មួយចំនួននៃតក្កវិជ្ជាបុរាណត្រូវបានអនុញ្ញាត ដែលមាន axiomatics ជាមូលដ្ឋានរបស់វា។ អេស.ខេ. Kleene, R. Wesley ថែមទាំងកត់សម្គាល់ថាគណិតវិទ្យាវិចារណញាណអាចត្រូវបានពិពណ៌នាថាជាប្រភេទនៃការគណនាមួយហើយការគណនាគឺជាវិធីនៃការរៀបចំចំណេះដឹងគណិតវិទ្យានៅលើមូលដ្ឋាននៃតក្កវិជ្ជាផ្លូវការនិងទម្រង់របស់វា - algorithmization ។ កំណែថ្មីនៃទំនាក់ទំនងរវាងតក្កវិជ្ជា និងគណិតវិទ្យាក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃតម្រូវការវិចារណញាណសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់នៃវិចារណញាណនៃការវិនិច្ឆ័យ ជាពិសេសអ្នកដែលរួមបញ្ចូលការបដិសេធ A.N. Kolmogorov បានស្នើឡើងដូចខាងក្រោម: គាត់បានបង្ហាញតក្កវិជ្ជាវិចារណញាណដែលទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងគណិតវិទ្យាវិចារណញាណក្នុងទម្រង់ជាការគណនាតិចតួចបំផុតនៃ axiomatic implicative នៃ propositions និង predicates ។ ដូច្នេះហើយ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របានបង្ហាញគំរូថ្មីនៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យា ដោយយកឈ្នះលើដែនកំណត់នៃវិចារណញាណក្នុងការទទួលស្គាល់តែវិចារណញាណជាមធ្យោបាយនៃការយល់ដឹង និងដែនកំណត់នៃតក្កវិជ្ជា ដែលលុបបំបាត់លទ្ធភាពនៃតក្កវិជ្ជាក្នុងគណិតវិទ្យា។ ទីតាំងនេះបានធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្ហាញនៅក្នុងទម្រង់គណិតវិទ្យានៃការសំយោគនៃវិចារណញាណនិងឡូជីខលជាមូលដ្ឋាននៃហេតុផលដែលអាចបត់បែនបាននិងប្រសិទ្ធភាពស្ថាបនារបស់វា។

ការរកឃើញ។ ដូច្នេះទិដ្ឋភាព epistemological នៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យាអនុញ្ញាតឱ្យយើងវាយតម្លៃ ការផ្លាស់ប្តូរបដិវត្តន៍នៅដំណាក់កាលនៃវិបត្តិនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យានៅលើ វេននៃ XIX-XXសតវត្ស ពីមុខតំណែងថ្មីក្នុងការយល់ដឹងអំពីដំណើរការនៃការយល់ដឹង លក្ខណៈ និងតួនាទីនៃប្រធានបទនៅក្នុងវា។ ប្រធានបទ Gnoseological ទ្រឹស្តីប្រពៃណីចំនេះដឹង ដែលត្រូវគ្នានឹងរយៈពេលនៃការត្រួតត្រានៃវិធីសាស្រ្តកំណត់ទ្រឹស្តីនៅក្នុងគណិតវិទ្យា គឺជាប្រធានបទអរូបី មិនពេញលេញ "ផ្នែក" ដែលតំណាងនៅក្នុងទំនាក់ទំនងវត្ថុវត្ថុ ដែលហែកចេញដោយអរូបី តក្កវិជ្ជា ផ្លូវការនិយមពីការពិត ហេតុផល ទ្រឹស្តីដឹង។ វត្ថុរបស់វា និងយល់ថាជាកញ្ចក់ ឆ្លុះបញ្ចាំងយ៉ាងត្រឹមត្រូវ និងចម្លងការពិត។ តាមការពិត ប្រធានបទត្រូវបានដកចេញពីការយល់ដឹងជាដំណើរការពិត និងជាលទ្ធផលនៃអន្តរកម្មជាមួយវត្ថុ។ ការចូលនៃវិចារណញាណនិយមចូលទៅក្នុងឆាកនៃការតស៊ូនៃនិន្នាការទស្សនវិជ្ជាក្នុងគណិតវិទ្យាបាននាំឱ្យមានការយល់ដឹងថ្មីអំពីគណិតវិទូដែលជាប្រធានបទនៃចំណេះដឹង - បុគ្គលដែលដឹងដែលអរូបីទស្សនវិជ្ជាត្រូវតែត្រូវបានបង្កើតឡើងដូចដែលវាកើតឡើងម្តងទៀត។ គណិតវិទូបានលេចចេញជាមុខវិជ្ជាជាក់ស្តែង យល់រួចជាស្រេចថាជាបុគ្គលពិតប្រាកដ រួមបញ្ចូលនូវលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់ដែលត្រូវបានអរូបីពីក្នុងមុខវិជ្ជា epistemological - ភាពជាក់ស្តែងជាក់ស្តែង ភាពប្រែប្រួល ប្រវត្តិសាស្រ្ត។ វា​គឺ​ជា​ការ​សម្ដែង​និង​ការ​យល់​ដឹង​នៅ​ក្នុង​ការ​យល់​ដឹង​ពិត​ប្រាកដ, គំនិត​ច្នៃ​ប្រឌិត, វិចារណញាណ, ប្រឌិតប្រធានបទ។ ទស្សនវិជ្ជានៃគណិតវិទ្យាវិចារណញាណបានក្លាយទៅជាមូលដ្ឋាន ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគំរូ epistemological ទំនើប ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើគោលគំនិតនៃហេតុផលដែលអាចបត់បែនបាន ដែលមនុស្សម្នាក់គឺជាប្រធានបទនៃការយល់ដឹង (រួម) ដែលមានគុណសម្បត្តិនៃការយល់ដឹងថ្មី វិធីសាស្រ្ត នីតិវិធី។ គាត់សំយោគលក្ខណៈ និងទម្រង់បែបបទ និងទម្រង់អរូបី-អេបស្ត្រូនិក និងឡូជីខល ហើយក្នុងពេលតែមួយទទួលបានការយល់ដឹងអំពីអត្ថិភាព-នរវិទ្យា និង "ប្រវត្តិសាស្រ្ត- metaphysical" ។

ចំណុចសំខាន់មួយផងដែរគឺវិចារណញាណក្នុងការយល់ដឹង និងជាពិសេសនៅក្នុងការបង្កើតគំនិតគណិតវិទ្យា។ ជាថ្មីម្តងទៀត មានការតស៊ូជាមួយទស្សនវិជ្ជា ព្យាយាមដកចេញច្បាប់នៃមជ្ឈិមដែលដកចេញ ព្រោះថាគ្មានន័យក្នុងគណិតវិទ្យា ហើយចូលមកក្នុងវាពីទស្សនវិជ្ជា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វត្តមាននៃការសង្កត់ធ្ងន់លើសលប់លើវិចារណញាណ និងកង្វះនៃយុត្តិកម្មគណិតវិទ្យាច្បាស់លាស់មិនអនុញ្ញាតឱ្យផ្ទេរគណិតវិទ្យាទៅជាមូលដ្ឋានគ្រឹះដ៏រឹងមាំនោះទេ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយបន្ទាប់ពីការបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1930 គំនិតតឹងរឹងដំបងនៃក្បួនដោះស្រាយពីវិចារណញាណនិយមត្រូវបានកាន់កាប់ដោយ constructivism គណិតវិទ្យាដែលអ្នកតំណាងបានរួមចំណែកយ៉ាងសំខាន់ចំពោះទ្រឹស្តីទំនើបនៃការគណនា។ លើសពីនេះទៀតនៅក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1970 និង 1980 ទំនាក់ទំនងសំខាន់ៗត្រូវបានរកឃើញរវាងគំនិតមួយចំនួននៃវិចារណញាណ (សូម្បីតែអ្វីដែលពីមុនហាក់ដូចជាមិនសមហេតុផល) និងទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យានៃ topos ។ គណិតវិទ្យាដែលរកឃើញនៅក្នុង topoi មួយចំនួនគឺស្រដៀងទៅនឹងអ្វីដែលវិចារណញាណកំពុងព្យាយាមបង្កើត។

ជាលទ្ធផល មនុស្សម្នាក់អាចធ្វើសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយបាន៖ ភាគច្រើននៃពាក្យប្រៀបធៀបខាងលើមិនមាននៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃសំណុំជាមួយនឹងភាពជាម្ចាស់ខ្លួនឯងនោះទេ។ តើ​វា​ជា​វិធី​ចុងក្រោយ​ឬ​អត់? បញ្ហាចម្រូងចម្រាស, ការងារបន្ថែមទៀតនៅក្នុងតំបន់នេះនឹងបង្ហាញ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ការវិភាគតាមគ្រាមភាសា-សម្ភារៈនិយមបង្ហាញថា ភាពផ្ទុយគ្នាគឺជាផលវិបាកនៃឌីកូតូមីតនៃភាសា និងការគិត ការបញ្ចេញមតិនៃគ្រាមភាសាដ៏ស៊ីជម្រៅ (ទ្រឹស្តីបទរបស់ហ្គោឌែលបានធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្ហាញពីគ្រាមភាសាក្នុងដំណើរការនៃការយល់ដឹង) និងការលំបាកខាងវិញ្ញាណដែលទាក់ទងនឹងគំនិតនៃវត្ថុ និងប្រធានបទ។ area in formal logic, a set (class) in logic and set theory, with the use of the abstraction principle, which allow the new (abstract) objects (infinity) with method for defining abstract objects in science.ល។ មធ្យោបាយសកលដើម្បីលុបបំបាត់ភាពផ្ទុយគ្នាទាំងអស់មិនអាចផ្តល់ឱ្យបានទេ។

ថាតើវិបត្តិទីបីនៃគណិតវិទ្យាបានបញ្ចប់ឬអត់ (ព្រោះវាស្ថិតនៅក្នុងទំនាក់ទំនងបុព្វហេតុជាមួយ paradoxes ឥឡូវនេះ paradoxes គឺជាផ្នែកសំខាន់មួយ) - មតិខុសគ្នានៅទីនេះ ទោះបីជា paradoxes ដែលគេស្គាល់ជាផ្លូវការត្រូវបានលុបចោលនៅឆ្នាំ 1907 ក៏ដោយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ឥឡូវនេះនៅក្នុងគណិតវិទ្យាមានកាលៈទេសៈផ្សេងទៀតដែលអាចចាត់ទុកថាជាវិបត្តិ ឬបង្ហាញពីវិបត្តិមួយ (ឧទាហរណ៍ អវត្តមាននៃយុត្តិកម្មដ៏តឹងរឹងសម្រាប់អាំងតេក្រាលផ្លូវ)។

ចំពោះភាពផ្ទុយគ្នា ការភូតកុហកដ៏ល្បីបានដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងគណិតវិទ្យា ក៏ដូចជាស៊េរីនៃភាពផ្ទុយគ្នាទាំងមូលនៅក្នុងអ្វីដែលគេហៅថា ទ្រឹស្តីសំណុំបែបឆោតល្ងង់ (មុននេះ) ដែលបណ្តាលឱ្យមានវិបត្តិនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះ (មួយក្នុងចំណោមការប្រៀបធៀបទាំងនេះបានលេង។ តួនាទីដ៏គ្រោះថ្នាក់នៅក្នុងជីវិតរបស់ H. Frege) ។ ប៉ុន្តែ ប្រហែលជាបាតុភូតមួយក្នុងចំនោមបាតុភូតដែលគេប៉ាន់ស្មានមិនដល់បំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប ដែលអាចហៅបានទាំងភាពផ្ទុយគ្នា និងវិបត្តិ គឺជាដំណោះស្រាយរបស់ Paul Cohen ក្នុងឆ្នាំ 1963 នៃបញ្ហាដំបូងរបស់ Hilbert ។ ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត មិនមែនជាការពិតនៃការសម្រេចចិត្តនោះទេ ប៉ុន្តែជាធម្មជាតិនៃការសម្រេចចិត្តនេះ។

អក្សរសិល្ប៍

1. Georg Cantor ។ Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, ៤៦:៤៨១-៥១២, ១៨៩៥។
2. I.N. ប៊ូរ៉ូវ៉ា។ Paradoxes នៃទ្រឹស្តីសំណុំ និងគ្រាមភាសា។ វិទ្យាសាស្ត្រឆ្នាំ ១៩៧៦ ។
3. M.D. ជាងស្មូន។ កំណត់ទ្រឹស្តី និងទស្សនវិជ្ជារបស់វា៖ សេចក្តីផ្តើមសំខាន់។ សារព័ត៌មានសាកលវិទ្យាល័យ Oxford, Incorporated, 2004 ។
4. Zhukov N.I. មូលដ្ឋានគ្រឹះទស្សនវិជ្ជានៃគណិតវិទ្យា។ ទីក្រុង Minsk: Universitetskoe ឆ្នាំ 1990 ។
5. Feynman R.F., S. Ilyin ។ ជាការពិតណាស់ អ្នកកំពុងនិយាយលេងទេ លោក ហ្វៃមែន! Hummingbird, ឆ្នាំ ២០០៨។
6. O.M. Mizhevich ។ វិធីពីរយ៉ាងដើម្បីយកឈ្នះលើភាពផ្ទុយគ្នានៅក្នុងទ្រឹស្តីកំណត់របស់ G. Kantor ។ ការសិក្សាឡូជីខល និងទស្សនវិជ្ជា, (៣):២៧៩--២៩៩, ២០០៥។
7. S. I. Masalova ។ ទស្សនវិជ្ជានៃគណិតវិទ្យា វិចារណញាណ។ ព្រឹត្តិបត្រ DSTU, (4), 2006 ។
8. Chechulin V.L. ទ្រឹស្តីនៃសំណុំជាមួយនឹងភាពជាម្ចាស់ដោយខ្លួនឯង (មូលដ្ឋានគ្រឹះ និងកម្មវិធីមួយចំនួន)។ Perm ។ រដ្ឋ un-t ។ - Perm, ឆ្នាំ 2012 ។
9. S. N. ទ្រីនីន។ អរូបី​នៃ​ការ​បង្រៀន​ស្តី​ពី​វិន័យ ""ទស្សនវិជ្ជា​គណិតវិទ្យា"។ កាហ្សាន ឆ្នាំ ២០១២។
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. សិក្សាលើទ្រឹស្តីសំណុំ និងតក្កវិជ្ជាមិនបុរាណ។ វិទ្យាសាស្ត្រឆ្នាំ ១៩៧៦ ។
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: កម្រងផ្កាគ្មានទីបញ្ចប់នេះ។ Bahrakh-M, 2001 ។
12. Kabakov F.A., Mendelson E. ការណែនាំអំពីតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា។ គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ព "ណាវកា" ឆ្នាំ ១៩៧៦ ។
13. បាទ បូឆវ៉ា។ លើសំណួរនៃភាពផ្ទុយគ្នានៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា និងទ្រឹស្តីកំណត់។ បណ្តុំគណិតវិទ្យា, ៥៧(៣):៣៦៩--៣៨៤, ១៩៤៤។

ជំនួសឱ្យចំណារពន្យល់៖

"... ភស្តុតាងតាមអង្កត់ទ្រូងរបស់ Cantor គឺជាសកម្មភាពមួយសម្រាប់មនុស្សល្ងង់ដែលមិនពាក់ព័ន្ធនឹងអ្វីដែលជាធម្មតាហៅថាការកាត់ចេញនៅក្នុងតក្កវិជ្ជាបុរាណ។"

L. Wittgenstein

“... ទ្រឹស្តីរបស់ Cantor បង្ហាញ ឧប្បត្តិហេតុ pathological ក្នុងប្រវត្តិសាស្រ្ត គណិតវិទ្យា ដែលនឹងមកដល់ ជំនាន់​នឹង​ត្រូវ​តែ​រន្ធត់​»

K. Bauer ស្ថាបនិកនៃ topology

1. វិបត្តិនៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប។

គណិតវិទ្យាដើរតួនាទីឈានមុខគេក្នុងដំណើរការបំប្លែង nuka បុរាណ និងមជ្ឈិមសម័យ ទៅជាអឺរ៉ុបទំនើប ព្រោះទ្រឹស្តីវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិគឺមិនអាចទៅរួចទេបើគ្មានគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិអឺរ៉ុបសម័យទំនើប វាមិនមែនជាឧបទ្ទវហេតុទេដែលគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថា "មហាក្សត្រីនៃវិទ្យាសាស្ត្រ" ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងយុគសម័យបុរាណ វាត្រូវបានបំបែកចេញពីវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ ហើយប្រធានបទរបស់វា គឺជាផ្នែកនៃឧត្តមគតិ អង្គភាពគណិតវិទ្យាបន្ទាប់មកក្នុងសម័យទំនើបនេះ ស្ថានភាពប្រែប្រួលយ៉ាងខ្លាំង។ គណិតវិទ្យាខិតទៅជិតវិទ្យាសាស្ត្រនៃធម្មជាតិ ហើយចាប់ផ្តើមកំណត់ក្បួនផ្ទាល់ខ្លួននៃការរួមរស់ជាមួយពួកគេ។ ក្នុងន័យនេះ វិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ គំនិតទំនើបទទួលបាននិយមន័យនៃគណិតវិទ្យា។ វិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិសម័យទំនើបជំពាក់គុណភាពជោគជ័យរបស់ពួកគេចំពោះគណិតវិទ្យាអឺរ៉ុបទំនើប។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិបត្តិទីបីចុងក្រោយ ដែលបាននិងកំពុងបន្តអស់រយៈពេលជាងមួយរយឆ្នាំ បង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃបញ្ហាធ្ងន់ធ្ងរនៅក្នុងមូលដ្ឋានរបស់វា។

មានទស្សនៈបែបប្រពៃណីដែលនៅវេននៃសតវត្សទី XIX-XX ។ មានវិបត្តិទី 3 នៅក្នុងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា មូលហេតុដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការបញ្ចូលគ្នានៃគណិតវិទ្យាជាមួយនឹងតក្កវិជ្ជា ក៏ដូចជាតម្រូវការក្នុងការបញ្ជាក់គោលគំនិតគណិតវិទ្យាដូចជា ចំនួន កំណត់ ដែនកំណត់ អនុគមន៍ ។ល។

ប្រភពដើមនៃវិបត្តិនេះត្រលប់ទៅសតវត្សទី 17-18 នៅពេលដែលគណិតវិទ្យាបានបង្កើតវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហានៅក្នុងវិទ្យាសាស្រ្តធម្មជាតិ។ គណិតវិទូនៅសម័យនោះមិនយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះហេតុផលសម្រាប់វិធីសាស្រ្តផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេ [L.S. Freynman ។ អ្នកបង្កើតគណិតវិទ្យាខ្ពស់។ M., 1968. S. 83-84]

នៅសតវត្សទី 19 មានការពិនិត្យឡើងវិញនូវគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន និងការបង្កើតទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យា។ នេះនាំឱ្យមានការបង្កើតទ្រឹស្តីសំណុំ និងនព្វន្ធនៃគណិតវិទ្យា។

គណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃសតវត្សទីដប់ប្រាំបួនបានព្យាយាមកាត់បន្ថយការពិតទាំងអស់នៃគណិតវិទ្យាដើម្បី ចំនួននិងអភិវឌ្ឍយ៉ាងខ្លាំងក្លា ដោយចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការស៊ើបអង្កេតនព្វន្ធរបស់ Gauss (1801) ទ្រឹស្តីនៃចំនួន [F.A. Medvedev. ការវិវឌ្ឍន៍នៃទ្រឹស្តីកំណត់នៅសតវត្សទី 19 ។ M. , 1965. S. 35-36. ]។ ដំបូងបង្អស់វាអនុវត្តចំពោះការវិភាគគណិតវិទ្យា។ បញ្ហាបំផុតគឺមូលដ្ឋានគ្រឹះឡូជីខលរបស់វា។ ក្នុងន័យនេះនៅក្នុងសតវត្សទី XIX ។ ការអភិវឌ្ឍនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា និងវិធីសាស្រ្តដ៏តឹងរ៉ឹងសម្រាប់និយមន័យ និងភស្តុតាងរបស់វាចាប់ផ្តើម។

នៅក្នុងដំណើរការនៃការរៀបចំរចនាសម្ព័ន្ធនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា មានការជឿជាក់ថាទ្រឹស្តីបទនៃពិជគណិត និងការវិភាគគណិតវិទ្យាអាចត្រូវបានបង្កើតជាទ្រឹស្តីបទស្តីពីលេខធម្មជាតិ [ Dedekind R. តើចំនួនលេខ និងអ្វីដែលពួកគេបម្រើ។ កាហ្សាន៖ អេដ។ សាកលវិទ្យាល័យអធិរាជ, 1905. ស. 5] ។

លទ្ធផលនៃដំណើរការនេះគឺការសម្រេចចំនួនជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃគណិតវិទ្យាទាំងអស់ និងការកសាងទ្រឹស្តីនៃចំនួនពិតដោយគណិតវិទូដូចជា Bolzano, Weierstrass, Dedekind និង Kantor ។

នៅពាក់កណ្តាលទីពីរនៃសតវត្សទី 19 បញ្ហានៃការបញ្ជាក់គណិតវិទ្យាបានកើតឡើងរួចហើយ។ តួនាទីដ៏អស្ចារ្យនៅក្នុងដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានលេងដោយការស្ថាបនាទ្រឹស្តីនៃសំណុំដោយ G. Kantor ។ ជាលទ្ធផល គោលគំនិតនៃការវិភាគ និងទ្រឹស្តីមុខងារត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងន័យនៃទ្រឹស្តីសំណុំ។ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ក្រោយគឺ គំនិតនៃសំណុំគ្មានកំណត់។

ការអភិវឌ្ឍន៍នៃទ្រឹស្ដីសំណុំដោយការបញ្ចូលនូវគោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ជាក់ស្តែងមានន័យថា បដិវត្តន៍ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រគណិតវិទ្យា ប្រៀបធៀបទៅនឹងបដិវត្តន៍ Copernicus ទ្រឹស្ដីនៃទំនាក់ទំនង និងមេកានិចកង់ទិច។ ទ្រឹស្ដីកំណត់បានផ្ដល់ឱ្យនូវវិធីសាស្រ្តសកល ដែលបានក្លាយជាមូលដ្ឋាន ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតគណិតវិទ្យា។

ដំណាក់កាលបន្ទាប់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការបញ្ចូលគ្នានៃពិជគណិត តក្កវិជ្ជា និងទ្រឹស្តីសំណុំ។ គណិតវិទ្យាប្រើទម្រង់អរូបីដែលមិនធ្លាប់មានពីមុនមក។ នេះមានន័យថាការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានឡូជីខលនៃគណិតវិទ្យា។ ការរួមចំណែកដ៏លេចធ្លោមួយចំពោះមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានធ្វើឡើងដោយ G. Frege ("មូលដ្ឋានគ្រឹះនព្វន្ធ" និង "ច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃនព្វន្ធដែលទទួលបានដោយការគណនានៃគោលគំនិត")។ វាអនុវត្តការស្ថាបនាដកយក axiomatic នៃតក្កវិទ្យាគណិតវិទ្យា (ការគណនា propositional, predicate calculus) ។ បញ្ហានៃការបញ្ជាក់ឡូជីខលនៃចំនួន ឯករាជ្យភាព ភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា និងភាពពេញលេញនៃប្រព័ន្ធ axiom កំពុងត្រូវបានដោះស្រាយ។ “ភ័ស្តុភារ” កើតឡើងជាបទបង្ហាញនៃគណិតវិទ្យាជាភាសាតក្កវិជ្ជា។ មានដំណើរការនៃការអភិវឌ្ឍន៍អ្នកមានអំណាច ការវិភាគឡូជីខលនិងជាផ្លូវការនៃតក្កវិជ្ជា។

គំនិតនៃការកាត់ចេញនៃគណិតវិទ្យាពីតក្កវិជ្ជាកំពុងទទួលបានដី។ Frege ដោយបានកំណត់គោលគំនិតនៃ "ចំនួន" និង "បរិមាណ" នៅក្នុងពាក្យតក្កវិជ្ជានៃ "ថ្នាក់" និង "ទំនាក់ទំនង" គ្រប់គ្រងដើម្បីរៀបចំទ្រឹស្តីនៃសំណុំ និងបង្ហាញគណិតវិទ្យាជាផ្នែកបន្ថែមនៃតក្កវិជ្ជា។

ដំណើរការនេះបញ្ចប់ដោយការបង្កើតការងារបីភាគជាមូលដ្ឋាន Principia Mathematica (1910-1913) ដោយ Russell និង Whitehead ។

នៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 19 ស្ថានភាពមួយបានកើតឡើងនៅក្នុងគណិតវិទ្យាស្រដៀងទៅនឹងរូបវិទ្យានៅដើមទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1990 នៅពេលដែលគំនិតនៃភាពពេញលេញនៃរូបវិទ្យាបុរាណត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ហើយ​បន្ទាប់​មក​បាន​ធ្វើ​តាម​ព្រឹត្តិការណ៍​ដ៏​គួរ​ឲ្យ​ភ្ញាក់​ផ្អើល ដែល​យើង​បាន​រស់​នៅ​មុន​នេះ។

នៅវេននៃសតវត្សទី XIX-XX ។ គណិតវិទ្យាឈានចូលដល់ដំណាក់កាលនៃវិបត្តិស្រួចស្រាវ ដែលបណ្តាលមកពីការលេចចេញនូវស៊េរីនៃគណិតវិទ្យា ឡូជីខល និងន័យធៀបដែលមិនអាចដោះស្រាយបាន ដែលបង្កឱ្យមានការសង្ស័យលើទ្រឹស្តីរបស់ Cantor នៃសំណុំ និងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យាបុរាណ។ នេះបានធ្វើឱ្យសូម្បីតែគណិតវិទូដ៏លេចធ្លោដូចជា Cantor, Frege និងអ្នកផ្សេងទៀតចូលទៅក្នុងភាពអស់សង្ឃឹម G. Weyl សូម្បីតែច្រើនឆ្នាំក្រោយមកបានសរសេរបន្ទាត់ខាងក្រោមអំពីសម័យកាលនេះនៅក្នុងប្រវត្តិសាស្រ្តនៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យា៖ " ឥឡូវនេះ យើងមិនសូវប្រាកដអំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា និងតក្កវិជ្ជាទេ។ យើងកំពុងជួបប្រទះ "វិបត្តិ" របស់យើងតាមរបៀបដូចគ្នាទៅនឹងមនុស្សគ្រប់រូប និងអ្វីៗទាំងអស់នៅក្នុងពិភពសម័យទំនើបកំពុងជួបប្រទះ។ វិបត្តិនេះបានបន្តអស់រយៈពេល 50 ឆ្នាំមកហើយ (បន្ទាត់ទាំងនេះត្រូវបានសរសេរនៅឆ្នាំ 1946) ។ នៅ glance ដំបូង វាហាក់បីដូចជាវាមិនរំខានជាពិសេសដល់ការងារប្រចាំថ្ងៃរបស់យើងទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយខ្ញុំត្រូវតែសារភាពភ្លាមៗថារបស់ខ្ញុំ ការងារគណិតវិទ្យាវិបត្តិនេះមានផលប៉ះពាល់ជាក់ស្តែងគួរឱ្យកត់សម្គាល់៖ វាបានដឹកនាំផលប្រយោជន៍របស់ខ្ញុំទៅក្នុងផ្នែកដែលខ្ញុំចាត់ទុកថាជា "សុវត្ថិភាព" ហើយតែងតែធ្វើឱ្យខូចដល់ភាពរីករាយ និងការប្តេជ្ញាចិត្តដែលខ្ញុំបានបន្តការស្រាវជ្រាវរបស់ខ្ញុំ។ បទពិសោធន៍របស់ខ្ញុំប្រហែលជាត្រូវបានចែករំលែកដោយគណិតវិទូផ្សេងទៀតដែលមិនព្រងើយកន្តើយនឹងកន្លែងដែលសកម្មភាពវិទ្យាសាស្ត្រផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេកាន់កាប់នៅក្នុងពិភពលោកនេះក្នុងបរិបទទូទៅនៃការក្លាយជាមនុស្សដែលចាប់អារម្មណ៍ រងទុក្ខ និងបង្កើត។» [ម. ខេលីន។ គណិតវិទ្យា។ ការបាត់បង់ភាពប្រាកដប្រជា។ M.: Mir, 1984. S. 387]។ D. Gilbert សរសេរថា "... ស្ថានភាពដែលយើងឥឡូវនេះទាក់ទងនឹងភាពផ្ទុយគ្នា" នៅលើ យូរមិនអាចទ្រាំទ្របាន។ គិត៖ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា - គំរូនៃភាពប្រាកដប្រជា និងការពិត - ការបង្កើតគំនិត និងវគ្គនៃការសន្និដ្ឋាន ដូចដែលមនុស្សគ្រប់គ្នាសិក្សា បង្រៀន និងអនុវត្តវានាំទៅរកភាពមិនសមហេតុផល។ កន្លែងដែលត្រូវរកមើលភាពជឿជាក់ និងការពិត ប្រសិនបើសូម្បីតែការគិតគណិតវិទ្យាខ្លួនឯងក៏ខុស? [D. Gilbert ។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃធរណីមាត្រ។ M.-L., 1948. S.349]។

ការប៉ុនប៉ងមិនជោគជ័យដើម្បីដោះស្រាយភាពផ្ទុយគ្នាបាននាំឱ្យគណិតវិទូជឿថាមូលហេតុនៃវិបត្តិគឺស្ថិតនៅក្នុងផ្នែកនៃគំនិតជាមូលដ្ឋាន និងវិធីសាស្រ្តនៃហេតុផល។ ចាំបាច់ត្រូវគិតឡើងវិញនូវគោលការណ៍គណិតវិទ្យា ហើយបោះបង់ចោលនូវគោលគំនិតចាស់មួយចំនួន។ ហើយនេះជាដំបូងនៃការទាំងអស់ទាក់ទងនឹងការរៀបចំរចនាសម្ព័ន្ធឡើងវិញនៃទ្រឹស្តីនៃសំណុំ និងការកែលម្អនៃគោលគំនិតនៃសំណុំមួយនៅលើមូលដ្ឋានថ្មីទាំងស្រុង [S. ខេលិន។ សេចក្តីផ្តើមអំពីគណិតវិទ្យា។ M. , 1957. S. 42. ]។ ឧត្តមគតិនៃតក្កវិជ្ជាជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ភាពម៉ត់ចត់នៃភស្តុតាងគណិតវិទ្យាត្រូវបានបំផ្លាញ។ដូច្នេះ គណិតវិទ្យាបានប្រឈមមុខនឹងភារកិច្ចស្ដារឡើងវិញនូវភាពអាចជឿជាក់បានពីមុន និងភាពជឿជាក់នៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យា។ លក្ខណៈវិចារណញាណនៃហេតុផលឡូជីខល និងភាសាដែលត្រូវគ្នាលែងសមនឹងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រទៀតហើយ [Kh. ការី។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា។ M. , 1969. S. 26. ]។ កម្មវិធីស្រាវជ្រាវចំនួនបីលេចឡើង៖ តក្កវិជ្ជា ផ្លូវការនិយម និងវិចារណញាណ។

ការវិភាគសង្ខេបអំពីប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើបបង្ហាញថា មូលដ្ឋានគ្រឹះរបស់វា ហើយជាលទ្ធផល វិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិនៃគណិតវិទ្យាទាំងមូលស្ថិតនៅ ទ្រឹស្តីជាមូលដ្ឋាន Cantor កំណត់ជាមួយនឹងគោលគំនិតវិទ្យាសាស្ត្រជាមូលដ្ឋាននៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដ។ ហើយគណិតវិទ្យាខ្លួនឯងមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធជាមួយនឹងគោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ដែលជារឿយៗវាត្រូវបានកំណត់ថាជាវិទ្យាសាស្ត្រនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។

គណិតវិទ្យា ដូចជាវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត (និងទស្សនវិជ្ជា) ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងស៊ីជម្រៅដោយគំរូខាងវិញ្ញាណ និងប្រវត្តិសាស្ត្រជាមូលដ្ឋាន។ ជំនឿនេះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយស្នាដៃរបស់ P.P. Gaidenko ដែលឧទ្ទិសដល់ការវិវត្តនៃគំនិតវិទ្យាសាស្ត្រក្នុងបរិបទនៃប្រវត្តិសាស្រ្តទស្សនវិជ្ជា [P.P. Gaidenko ។ ការវិវត្តន៍នៃគំនិតវិទ្យាសាស្ត្រ (ការបង្កើតនិងការអភិវឌ្ឍន៍កម្មវិធីវិទ្យាសាស្ត្រវិទ្យាសាស្ត្រដំបូង) ។ M. "វិទ្យាសាស្ត្រ", ឆ្នាំ 1980 ។ - (ដោយគ្មានលេខយោង) - [ ធនធានអេឡិចត្រូនិក] URL៖ http://www.philosophy.ru/library/gaid/pgaid_physics.html] ។ ហើយទោះបីជានៅក្នុងការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់ អ្នកនិពន្ធផ្តោតលើអន្តរកម្មនៃចំណេះដឹងវិទ្យាសាស្ត្រ និងទស្សនវិជ្ជា យ៉ាងណាក៏ដោយ ឥទ្ធិពលនៃបរិបទសាសនាលើកម្មវិធីវិទ្យាសាស្ត្រអាចត្រូវបានគេតាមដាននៅក្នុងពួកគេមិនច្បាស់តិចទេ។ ឥទ្ធិពលនៃសាសនា បរិវេណទ្រឹស្ដីលើខ្លឹមសារនៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើបក៏ត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងជឿជាក់នៅក្នុងស្នាដៃរបស់ V.N. Katasonova [V.N. កាតាសណូវ។ គំនិតវិទ្យាសាស្ត្រ និងទស្សនវិជ្ជានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ និងគ្រិស្តសាសនា។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.bestreferat.ru/referat-73817.html] និង A.A. Zenkin [A.A. Zenkin ។ Transfinite Paradise ដោយ Georg Cantor៖ រឿងព្រះគម្ពីរនៅមុនថ្ងៃនៃ Apocalypse ។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.com2com.ru/alexzen/] ជាដើម។

ដូច្នេះហើយ គំនិតដែលថាគណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រសេរី (ឯករាជ្យ) និងសកលលោក ដែលអភិវឌ្ឍដោយយោងទៅតាមច្បាប់របស់វា គឺត្រូវបានបំផ្លើសយ៉ាងខ្លាំង។

2. សេចក្តីសង្ខេបនៃទ្រឹស្តីរបស់ G. Kantor នៃសំណុំ។

G. Kantor ចាត់ទុកកម្មវិធីវិទ្យាសាស្ត្រ Pythagorean-Platonic ជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីនៃសំណុំ ការរិះគន់ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ Aristotle ប៉ុន្តែវាត្រូវបានរស់ឡើងវិញម្តងទៀតនៅក្នុងទស្សនវិជ្ជានៃក្រុមហ៊ុន Renaissance ។ ដើម្បីបញ្ជាក់វា អាគុយម៉ង់ខាងទ្រឹស្ដីនៃការបង្រៀនកាតូលិកត្រូវបានប្រើប្រាស់។ ការគិតបែបទស្សនវិជ្ជា និងគណិតវិទ្យា ដែលចាប់ផ្តើមពីសតវត្សទី 15 បានរៀបចំបណ្តើរៗនូវការបង្កើតទ្រឹស្តីនេះ។

Georg Cantor គឺជាអ្នកបង្កើតទ្រឹស្តីសំណុំ និងទ្រឹស្តីនៃលេខឆ្លងកាត់។ គំនិតចម្បងនៃទ្រឹស្ដីរបស់គាត់អំពីសំណុំគ្មានកំណត់មាននៅក្នុងការបដិសេធយ៉ាងដាច់អហង្ការនៃនិក្ខេបបទរបស់អារីស្តូតអំពីសំណុំគ្មានកំណត់។ Kantor ផ្អែកលើការសិក្សារបស់គាត់អំពីសំណុំគ្មានកំណត់លើគំនិតនៃការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយរវាងធាតុនៃសំណុំប្រៀបធៀប។ ប្រសិនបើការឆ្លើយឆ្លងបែបនេះអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងធាតុនៃសំណុំពីរ នោះសំណុំត្រូវបានគេនិយាយថាមានខាដូចគ្នា ពោលគឺវាសមមូល ឬសមមូល។ Kantor បានសរសេរថា "នៅក្នុងករណីនៃសំណុំកំណត់" "ខាគឺដូចគ្នាទៅនឹងចំនួននៃធាតុ" ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលអំណាចត្រូវបានគេហៅថាលេខខា (បរិមាណ) នៃសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ [P. Stakhov ។ នៅក្រោមសញ្ញានៃ "ផ្នែកមាស"៖ ចម្លើយសារភាពរបស់កូនប្រុសសិស្ស ជំពូកទី 5. ទ្រឹស្តីនៃការវាស់វែង។ ៥.៥. បញ្ហានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ក្នុងគណិតវិទ្យា។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

នៅឆ្នាំ 1874 គាត់បានបង្កើតអត្ថិភាពនៃការមិនសមមូល ពោលគឺសំណុំគ្មានកំណត់ជាមួយនឹង cardinalities ផ្សេងគ្នា នៅឆ្នាំ 1878 គាត់បានណែនាំ គំនិតទូទៅ cardinalities នៃសំណុំ (នៅក្នុងការរចនានៃ cardinalities នៃសំណុំដែលបានស្នើឡើងដោយគាត់និងបានទទួលយកនៅក្នុងគណិតវិទ្យាដោយអក្សរនៃអក្ខរក្រមហេប្រ៊ូ, ដើមកំណើតជ្វីហ្វរបស់គាត់, នេះបើយោងតាមឪពុករបស់គាត់, ប្រហែលជារងផលប៉ះពាល់) ។ នៅក្នុងការងារសំខាន់ "នៅលើការបង្កើតចំណុចលីនេអ៊ែរគ្មានកំណត់" (1879-84) Kantor បានពន្យល់ជាប្រព័ន្ធនូវគោលលទ្ធិនៃសំណុំ ហើយបានបញ្ចប់វាដោយការសាងសង់ឧទាហរណ៍នៃសំណុំដ៏ល្អឥតខ្ចោះមួយ (ដែលហៅថាសំណុំ Cantor) [Kantor G. On infinite linear ការបង្កើតចំណុច។ // គំនិតថ្មីក្នុងគណិតវិទ្យា ឆ្នាំ ១៩៩៤ លេខ ៦ សាំងពេទឺប៊ឺគ] ។

Kantor បានផ្តល់ខ្លឹមសារគណិតវិទ្យាដល់គំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដ។ Kantor បានគិតពីទ្រឹស្ដីរបស់គាត់ថាជាការគណនាថ្មីទាំងស្រុងនៃគណិតវិទ្យា "transfinite" (នោះគឺ "superfinite") គណិតវិទ្យា។ ភាពគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដគឺដូចជាវាជា "បង្កាន់ដៃ" ដែលស៊េរីនៃភាពគ្មានដែនកំណត់ដែលមានសក្តានុពលកើតឡើង ហើយឧបករណ៍ទទួលនេះត្រូវតែជាទិន្នន័យជាក់ស្តែងរួចហើយ។

យោងទៅតាមគំនិតរបស់គាត់ ការបង្កើតការគណនាបែបនេះត្រូវបានគេសន្មត់ថាធ្វើបដិវត្តន៍មិនត្រឹមតែគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាន metaphysics និងទ្រឹស្ដីផងដែរ ដែលចាប់អារម្មណ៍ Cantor ស្ទើរតែច្រើនជាងការស្រាវជ្រាវវិទ្យាសាស្ត្រទៅទៀត។ គាត់គឺជាគណិតវិទូ និងជាទស្សនវិទូតែមួយគត់ដែលជឿថា ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដមិនត្រឹមតែមានទេ ប៉ុន្តែក៏ត្រូវបានយល់ដោយមនុស្សក្នុងន័យពេញលេញ ហើយការយល់ដឹងនេះនឹងលើកកំពស់គណិតវិទូ ហើយបន្ទាប់ពីពួកគេជាអ្នកទ្រឹស្ដីកាន់តែខ្ពស់ និងកាន់តែជិតស្និទ្ធនឹងព្រះ។. គាត់បានលះបង់ជីវិតរបស់គាត់ដើម្បីកិច្ចការនេះ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជឿជាក់យ៉ាងមុតមាំថាគាត់ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយព្រះដើម្បីធ្វើបដិវត្តន៍ដ៏អស្ចារ្យនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ ហើយជំនឿនេះត្រូវបានគាំទ្រដោយការមើលឃើញអាថ៌កំបាំង។

វិធីសាស្រ្តនេះបាននាំ Cantor ទៅរកការរកឃើញប្លែកៗជាច្រើន ដែលផ្ទុយស្រឡះពីវិចារណញាណរបស់យើង។ ដូច្នេះ មិនដូចសំណុំកំណត់ដែលជាកម្មវត្ថុនៃ axiom Euclidean "ទាំងមូលគឺធំជាងផ្នែក" សំណុំគ្មានកំណត់មិនគោរពតាម axiom នេះទេ។ ជាឧទាហរណ៍ វាងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតសមមូលនៃសំណុំលេខធម្មជាតិ និងផ្នែករបស់វា - សំណុំនៃលេខគូ ដោយបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់មួយដូចខាងក្រោម៖ [ទំ. Stakhov ។ នៅក្រោមសញ្ញានៃ "ផ្នែកមាស"៖ ចម្លើយសារភាពរបស់កូនប្រុសសិស្ស ជំពូកទី 5. ទ្រឹស្តីនៃការវាស់វែង។ ៥.៥. បញ្ហានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ក្នុងគណិតវិទ្យា។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm] ។

សំណុំមួយ យោងទៅតាម Cantor ត្រូវបានគេហៅថាគ្មានកំណត់ ប្រសិនបើវាស្មើនឹងផ្នែករងរបស់វាមួយ។ សំណុំមួយត្រូវបានគេហៅថា finite ប្រសិនបើវាមិនស្មើនឹងសំណុំរងណាមួយរបស់វា។ សំណុំដែលអាចរាប់បានគឺជាសំណុំដែលស្មើនឹងសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ ចាប់តាំងពីធាតុរបស់វាអាចត្រូវបានរាប់បញ្ចូល [Ibid.] ។

Kantor ជឿថា សំណុំនៃលេខធម្មជាតិ សនិទាន និងពិជគណិត មានអត្ថន័យដូចគ្នា ពោលគឺឧ។ អាចរាប់បាន [Ibid.] ។

Cantor ក៏បានព្យាយាមបញ្ជាក់ផងដែរថា សំណុំ N នៃលេខធម្មជាតិអាចត្រូវបានផ្គូផ្គងទៅផ្នែកមួយនៃសំណុំ R នៃចំនួនពិត ខណៈដែល cardinality នៃចំនួនពិតគឺធំជាង cardinality នៃសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ [Ibid.] ។

នៅឆ្នាំ 1886 Kantor បានស្វែងរកដើម្បីបញ្ជាក់ថាមិនមានពិន្ទុច្រើននៅក្នុងឯកតាការ៉េជាងនៅក្នុងផ្នែកឯកតាទេ។ អាស្រ័យហេតុនេះ អំណាចនៃបច្ច័យពីរគឺស្មើនឹងអំណាចនៃបច្ច័យនៃអង្គធាតុមួយ [Ibid.] ។

គំនិតរបស់ Cantor ប្រែទៅជាមិននឹកស្មានដល់ និងផ្ទុយស្រឡះពីភាពល្បីល្បាញ គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Henri Poincaré បានហៅទ្រឹស្តីនៃលេខឆ្លងកាត់ថាជា "ជំងឺ" ដែលគណិតវិទ្យាត្រូវតែព្យាបាលនៅថ្ងៃណាមួយ។ Leopold Kronecker - គ្រូបង្រៀនរបស់ Cantor និងជាគណិតវិទូដែលគួរឱ្យគោរពបំផុតមួយរូបនៅក្នុងប្រទេសអាឡឺម៉ង់ - ថែមទាំងបានវាយប្រហារ Cantor ផ្ទាល់ដោយហៅគាត់ថា "charlatan" "អ្នកបដិសេធ" និង "molester of youth" [នៅក្នុងពិភពវិទ្យាសាស្ត្រ។ Scientific American · Russian Edition No. 8 · August 1983 · P. 76–86 / Georg Cantor and the Birth of Transfinite Set Theory]។

ទ្រឹស្តីកំណត់ក៏បានបើកទំព័រថ្មីមួយក្នុងការសិក្សាអំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យាផងដែរ - ការងាររបស់ Kantor បានធ្វើឱ្យវាអាចទៅរួចជាលើកដំបូងក្នុងការបង្កើតគំនិតទូទៅសម័យទំនើបយ៉ាងច្បាស់អំពីប្រធានបទនៃគណិតវិទ្យា រចនាសម្ព័ន្ធនៃទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យា តួនាទីនៃ axiomatics និងគោលគំនិត។ នៃ isomorphism នៃប្រព័ន្ធនៃវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យរួមគ្នាជាមួយនឹងទំនាក់ទំនងដែលភ្ជាប់ពួកវា។ ទ្រឹស្ដីសំណុំរបស់គាត់គឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះមួយនៃគណិតវិទ្យា។

នៅក្នុងទស្សនវិជ្ជានៃគណិតវិទ្យា Kantor បានវិភាគបញ្ហានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ការបែងចែកពីរប្រភេទនៃគណិតវិទ្យាគ្មានកំណត់ - មិនសមរម្យ (សក្តានុពល) និងត្រឹមត្រូវ (ជាក់ស្តែង យល់ទាំងមូល) - Kantor មិនដូចអ្នកកាន់តំណែងមុនរបស់គាត់បានទទូចលើភាពស្របច្បាប់នៃប្រតិបត្តិការក្នុងគណិតវិទ្យាជាមួយនឹងគំនិតនៃការពិតគ្មានដែនកំណត់។ អ្នកគាំទ្រនៃប្លាតុននិយម លោក Cantor បានឃើញនៅក្នុងគណិតវិទ្យាពិតប្រាកដ-គ្មានកំណត់មួយក្នុងចំនោមទម្រង់នៃភាពគ្មានដែនកំណត់ជាទូទៅ ដោយទទួលបាននូវភាពពេញលេញខ្ពស់បំផុតនៅក្នុងភាពដ៏ទេវភាព។

3. ការប្រឈមមុខគ្នាដ៏អស្ចារ្យរវាង Cantorians និងប្រឆាំង Cantorians ។

ការរិះគន់ដោយ A.A. Zenkin នៃទ្រឹស្តីសំណុំអរូបី

G. Kantor និង "ការបង្រៀនអំពីការឆ្លងកាត់" ។

ក្នុងចំណោមអក្សរសិល្ប៍សំខាន់ៗជាច្រើនដែលឧទ្ទិសដល់ទ្រឹស្តីកំណត់របស់ G. Kantor ការសិក្សារបស់គណិតវិទូរុស្ស៊ី A. A. Zenkin សមនឹងទទួលបានការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេស។ យោងទៅតាមគណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញ A.P. Stakhov ប្រហែលជាគាត់ (Zenkin) ដែលនឹងដាក់ចំណុចចុងក្រោយនៅក្នុងជម្លោះជាមួយ Kantor និងក្នុងការដោះស្រាយវិបត្តិគណិតវិទ្យានៅក្នុងគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប។[ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm] ។

នៅក្នុងអត្ថបទដើម “ឋានសួគ៌ឆ្លងដែនរបស់ George Kantor ។ រឿងព្រះគម្ពីរនៅលើកម្រិតនៃ Apocalypse "អ្នកវិទ្យាសាស្ត្ររុស្ស៊ី A.A. Zenkin វិភាគគុណវិបត្តិនៃ epistemological នៅក្នុងតក្កវិជ្ជានៃភស្តុតាងរបស់ Cantor នៃការមិនអាចរាប់បាននៃការបន្ត ដោយផ្អែកលើគោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដ[A.A. Zenkin ។ ឋានសួគ៌ឆ្លងកាត់នៃ Georg Kantor: រឿងព្រះគម្ពីរនៅលើកម្រិតនៃ Apocalypse ។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.com2com.ru/alexzen/] ។

អស់រយៈពេលរាប់ពាន់ឆ្នាំ - កំណត់ចំណាំ A.A. Zenkin - អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ និងទស្សនវិទូឆ្នើមដូចជា Aristotle, Euclid, Leibniz, Berkeley, Locke, Descartes, Kant, Spinoza, Lagrange, Gauss, Kronecker, Lobachevsky បានគាំទ្រ និងចែករំលែកអាកប្បកិរិយាអវិជ្ជមានចំពោះគោលគំនិតរបស់ AB, Cauchy, F. Klein, Hermite, Poincare, ​​Baer, ​​​​Borel, Brouwer, Quine, Wittgenstein, Weil, Luzin, និងរួចទៅហើយនៅថ្ងៃនេះ - Erret Bishop, Solomon Feferman, Yaroslav Peregrin, Vladimir Turchin, Pyotr Vopenka និងអ្នកផ្សេងទៀតជាច្រើន។

ចាប់តាំងពីទសវត្សរ៍ទី 70 នៃសតវត្សទី 19 មានអាកប្បកិរិយាអវិជ្ជមានយ៉ាងខ្លាំងចំពោះទ្រឹស្តីនៃសំណុំដោយ Georg Cantor ដោយផ្អែកលើគោលគំនិតរបស់ AB ។ A.A. Zenkin ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមានលក្ខណៈជាក់លាក់បំផុតដែលផ្ញើទៅកាន់នាង។ ដូច្នេះ លោក Henri Poincaré បានសន្និដ្ឋានថា “គ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដទេ។ Cantorians ភ្លេចអំពីវាហើយធ្លាក់ចូលទៅក្នុងភាពចម្រូងចម្រាស។ មនុស្សជំនាន់ក្រោយនឹងចាត់ទុកទ្រឹស្ដីកំណត់របស់ Cantor ថាជាជំងឺដែលទីបំផុតត្រូវបានព្យាបាលហើយ»។[A.Poincaré, ស្តីពីវិទ្យាសាស្ត្រ។ - អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៨៣]។ ស្ថាបនិកនៃ topology ទំនើប L. Brouwer គឺមិនមានលក្ខណៈរ៉ាឌីកាល់តិចនៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់គាត់ទេ៖ " ទ្រឹស្ដីរបស់ Cantor ទាំងមូលគឺជាឧប្បត្តិហេតុ pathological នៅក្នុងប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគណិតវិទ្យាដែលមនុស្សជំនាន់ក្រោយនឹងគួរឱ្យរន្ធត់។[A.A. Frenkel, I. Bar-Hillel ។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីសំណុំ។ - M. : "Mir"] ។

អ្នកគណិតវិទូជនជាតិរុស្សីបានសរសេរថា "ទោះជាយ៉ាងណា សូម្បីតែថ្ងៃនេះក៏ដោយ ក៏ដូចនៅដើមសតវត្សទី 20 ដែរ មាន "ការប្រឈមមុខដាក់គ្នាដ៏អស្ចារ្យ" រវាងតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាមេតានៃ Cantorians ដែលទទួលស្គាល់ភាពស្របច្បាប់នៃ "គោលលទ្ធិនៃ Cantor" របស់ Cantor ។ Transfinite” ក្នុងទម្រង់ “មិនឆោតល្ងង់” (សូមមើលខាងក្រោម) កំណែនៃ “ការបង្រៀន” នេះ ពោលគឺឧ។ នៅក្នុងទម្រង់នៃទ្រឹស្ដីសំណុំ axiomatic ទំនើប (តទៅនេះ - អេធីអឹម) ដោយផ្អែកលើការប្រើប្រាស់ (តាស៊ីត - សូមមើលខាងក្រោម) នៃគោលគំនិត AB និងវិចារណញាណគណិតវិទ្យានៃអ្នកប្រឆាំង Cantorians ដែលបដិសេធគោលគំនិតនៃ AB និង G. Cantor "គោលលទ្ធិ នៃ Transfinite" ដោយផ្អែកលើគំនិតនេះ" [ A.A. Zenkin ។ ឋានសួគ៌ឆ្លងកាត់នៃ Georg Kantor: រឿងព្រះគម្ពីរនៅលើកម្រិតនៃ Apocalypse ។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.com2com.ru/alexzen/] ។

ការប្រើប្រាស់គោលគំនិត AB នាំទៅរកភាពផ្ទុយគ្នានៃតក្កវិជ្ជា និងគណិតវិទ្យា ដែលជាយន្តការជំនាន់ដែលនៅតែមិនទាន់រកឃើញរហូតមកដល់បច្ចុប្បន្ន។ ក្នុងន័យនេះ ការលាតត្រដាងអំពីលក្ខណៈឡូជីខលនៃពាក្យផ្ទុយ និងភាពស្របច្បាប់នៃការប្រើប្រាស់គោលគំនិត AB ក្នុងគណិតវិទ្យាគឺពាក់ព័ន្ធសព្វថ្ងៃនេះ។ Frenkel និង Bahr-Hillel ចង្អុលបង្ហាញថាមិនមានអ្វីសោះក្នុងការបកស្រាយបែបបុរាណនៃតក្កវិជ្ជា និងគណិតវិទ្យា ដែលអាចប្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការលុបបំបាត់អង្គបដិបក្ខរបស់ Russell ។<АЗ: а также парадокса «Лжец»>. យើងជឿថាការប៉ុនប៉ងណាមួយដើម្បីចេញពីស្ថានការណ៍ដោយជំនួយពីប្រពៃណី ... វិធីនៃការគិតរហូតមកដល់ពេលនេះបានបរាជ័យជាមិនខាន គឺជាក់ស្តែងមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់គោលបំណងនេះ។ ការចាកចេញខ្លះពីវិធីនៃការគិតធម្មតាគឺចាំបាច់យ៉ាងច្បាស់ ទោះបីជាទីកន្លែងនៃការចាកចេញនេះមិនច្បាស់លាស់ជាមុនក៏ដោយ” [A.A. Frenkel, I. Bar-Hillel. មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីសំណុំ។ - M. : "Mir"] ។

ទ្រឹស្ដីសំណុំអរូបី និងការអះអាងរបស់វានៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រទំនើប យោងតាម ​​A.A. Zenkin គឺជាឧទាហរណ៍ដ៏រស់រវើកនៃ pseudo-science ដែលជាករណីមិនធ្លាប់មានពីមុនមកនៃការបង្កើតទេវកថាមិនពិតនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រតាមរយៈការប្រើប្រាស់បច្ចេកវិទ្យា PR ។

លើសពីនេះទៅទៀត A.A. Zenkin បង្ហាញដោយចេតនានូវខ្លឹមសារមិនលំអៀងពិតនៃវិទ្យាសាស្ត្រទំនើបជាស្ថាប័នសង្គមមួយ៖ “ATM - គំនិតផ្តួចផ្តើមនេះបានបង្កឱ្យមានបាតុភូតអវិជ្ជមានទ្រង់ទ្រាយធំដូចជា bourbakism, i.e. ហួសហេតុ, មិនចាំបាច់, គ្មានន័យ, ស្រឡាំងកាំង, stupefying និង zombifying ផ្លូវការនៃគណិតវិទ្យា និងការអប់រំគណិតវិទ្យា. ដោយពណ៌នាអំពីផលវិបាកអវិជ្ជមាននៃ burbakization នេះ គណិតវិទូ និងគ្រូឆ្នើមជនជាតិរុស្សី អ្នកសិក្សា V.I. Arnold សរសេរថា "នៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 20 ពួកម៉ាហ្វីយ៉ានៃ "គណិតវិទូអឌ្ឍគោលខាងឆ្វេង" ដែលមានឥទ្ធិពលខ្លាំងបានគ្រប់គ្រងមិនរាប់បញ្ចូលធរណីមាត្រពីគណិតវិទ្យា។ ការអប់រំ ... ការជំនួសផ្នែកខ្លឹមសារទាំងមូលនៃវិន័យនេះជាមួយនឹងការបណ្តុះបណ្តាលក្នុងការរៀបចំជាផ្លូវការនៃគំនិតអរូបី។ ការពណ៌នាអរូបីនៃគណិតវិទ្យាបែបនេះមិនសមរម្យសម្រាប់ការបង្រៀន ឬសម្រាប់ការអនុវត្តជាក់ស្តែងណាមួយឡើយ។ ការអប់រំជាផ្លូវការ (burbakized) ទំនើបក្នុងគណិតវិទ្យា - ផ្ទុយទាំងស្រុងការបង្រៀនសមត្ថភាពក្នុងការគិត និងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃវិទ្យាសាស្ត្រ។ វាមានគ្រោះថ្នាក់សម្រាប់មនុស្សជាតិទាំងអស់។ អនាគត​នៃ​គណិតវិទ្យា​ដែល​ឆ្លង​ជំងឺ​នេះ​មើល​ទៅ​កាន់​តែ​អាប់អួរ​ទៅ​ហើយ» [A.A. Zenkin. ឋានសួគ៌ឆ្លងកាត់នៃ Georg Kantor: រឿងព្រះគម្ពីរនៅលើកម្រិតនៃ Apocalypse ។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.com2com.ru/alexzen/] ។

គណិតវិទូជនជាតិរុស្សីបង្កើតឧទាហរណ៍ចំនួនបួននៃ "កុហកដើម្បីរក្សាទុកអេធីអឹមរបស់ H. Kantor"៖

កុហកមុន។ "គណិតវិទ្យាគឺជាមហាក្សត្រីនៃវិទ្យាសាស្ត្រទាំងអស់ ហើយអេធីអឹមគឺជាមហាក្សត្រីនៃគណិតវិទ្យា"! ក្នុងឱកាសនេះ A.A. Zenkin សរសេរថា អេធីអឹមទំនើបបោកបញ្ឆោតសហគមន៍គណិតវិទ្យាដែលមានជំនាញវិជ្ជាជីវៈ និងធ្វើឱ្យអ្នកគណិតវិទ្យាវ័យក្មេងជំនាន់ថ្មី។ Cantorians ប្រកែកថាប្រសិនបើនៅដើមសតវត្សទី 20 អ្នកគណិតវិទូឆ្នើមជាច្រើនបានបដិសេធចោលនូវម៉ាស៊ីនអេធីអឹមជាវិទ្យាសាស្ត្រក្លែងក្លាយនោះ សព្វថ្ងៃនេះ "អ្នកគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប ទីបំផុត បានបំភ្លឺអំពីវា។ថាគ្មានដែនកំណត់ទាំងអស់។ ពាក់ព័ន្ធបានផ្លាស់ប្តូរគំនិតរបស់ពួកគេលើប្រធានបទដែលទ្រឹស្តី ចុងក្រោយលេខធម្មជាតិគឺ "ទទួលបាន" ពីទ្រឹស្តី ឆ្លងកាត់លេខ ដែលគោលគំនិតនៃសំណុំទទេត្រូវបានដកចេញពីគោលគំនិតនៃសំណុំគ្មានកំណត់ពិតប្រាកដ គណិតវិទ្យាទំនើបទាំងអស់អាចទទួលបានពីម៉ាស៊ីនអេធីអឹមនិងទទួលស្គាល់ជាផ្លូវការថា "គណិតវិទ្យាគឺជាមហាក្សត្រីនៃវិទ្យាសាស្ត្រទាំងអស់ ហើយអេធីអឹមគឺជាមហាក្សត្រីនៃគណិតវិទ្យា"! អ្នកប្រឆាំងទាំងអស់របស់ ATM ថ្ងៃនេះយល់ស្របថា ATM គឺ សមិទ្ធិផលឆ្នើមគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប ដែលជាសមិទ្ធិផលដែលបានផ្លាស់ប្តូរមុខនៃគណិតវិទ្យាទាំងអស់នៅក្នុងសតវត្សទី 20” [Ibid.] ។

"នេះជាការពិតជាក់ស្តែង" Martin Davis និង Reuben Hersh កំពុងតែធ្វើឱ្យសហគមន៍អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រកំពុងញាប់ញ័ររួចទៅហើយ" ប្រហែល 90% នៃអ្នកគណិតវិទ្យាដែលកំពុងធ្វើការបានទទួលយកទ្រឹស្តីកំណត់របស់ Cantor ទាំងទ្រឹស្តី និងក្នុងការអនុវត្ត។ ក្នុងកម្រិតខ្លះ» [Ibid.] ។

បន្ទាប់មក តាមការពិត A.A. Zenkin កត់ចំណាំ ជនជាតិ Cantorians មានល្បិចកលដោយចេតនា ហើយមិនធ្វើឱ្យមានភាពខុសគ្នាខ្លាំងរវាងភាសានៃទ្រឹស្តីសំណុំអរូបី និងគោលលទ្ធិរបស់ Cantor នៃពិធីបរិសុទ្ធឆ្លងដែន និងខា។ ជាការពិតណាស់ ភាសានៃទ្រឹស្តីសំណុំបានក្លាយទៅជាភាសាគណិតវិទ្យាសកល។ ខណៈពេលដែលគោលលទ្ធិនៃពិធីបរិសុទ្ធឆ្លងដែន និងខាឌីណាល់ ដោយសារតែភាពគ្មានប្រយោជន៍ទាំងស្រុងរបស់ពួកគេ 90% នៃគណិតវិទូដែលធ្វើការពិតប្រាកដមិនអនុវត្តនៅគ្រប់ទីកន្លែងទេ។ ក្នុងចំណោមអ្នកដែលនៅសេសសល់ 9% នៃគណិតវិទូតាមប្រភេទមិនទទួលយកគោលលទ្ធិនេះទេ ហើយមានតែ 1% ប៉ុណ្ណោះដែលជា ATM-adepts ឬ Bourbakists ។

កុហកទីពីរ។ អេធីអឹមទំនើបគឺផ្អែកលើ "វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយ" ពាក់កណ្តាលឧក្រិដ្ឋកម្មដែលមានលក្ខណៈវិទ្យាសាស្រ្ត សំណួរវិទ្យាសាស្ត្រអំពីធម្មជាតិឡូជីខល ភាពគ្មានទីបញ្ចប់នៃគណិតវិទ្យា . ខ្លឹមសាររបស់វាស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាទ្រឹស្ដីកំណត់របស់ Cantor ដោយផ្អែកលើគោលគំនិតនៃ AB ត្រូវបានប្រកាសថា "ឆោតល្ងង់" ហើយពាក្យ AB ខ្លួនវាត្រូវបានដកចេញពីព្រំដែននៃវិទ្យាសាស្ត្រមេតាម៉ាទិកដែលគួរឱ្យគោរព។ វាគឺជាយុទ្ធនាការផ្សព្វផ្សាយ PR ដែលមានប្រសិទ្ធភាពបំផុតដែលមិនធ្លាប់មានក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រវិទ្យាសាស្ត្រ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ទ្រឹស្តីទំនើបរបស់អេធីអឹមបានខ្ចីពីទ្រឹស្តី "ឆោតល្ងង់" ដែលជាទ្រឹស្តីបទស្តីពីការមិនអាចរាប់បាននៃការបន្ត ដែលជាភស្តុតាងដែលផ្អែកលើការប្រើប្រាស់គំនិតផ្ទុយគ្នាជាក់ស្តែងនៃ AB ។ ក្នុងន័យនេះ A.A. Zenkin ចាត់ទុកទ្រឹស្តីរបស់ Cantor ថាជាប្រភពសំខាន់មួយ។មហាវិបត្តិទី៣ នៃមូលដ្ឋានគ្រឹះគណិតវិទ្យា ដែលបន្តរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ។

កុហកទីបី។ ល័ក្ខខ័ណ្ឌសម្រាប់ការបញ្ជាក់ម៉ាស៊ីនអេធីអឹម មិនត្រូវបានបង្កើតច្បាស់លាស់ទេ ប៉ុន្តែត្រូវបានបង្កប់ក្នុងកម្រិតនៃបទប្បញ្ញត្តិទស្សនវិជ្ជា។តាមទស្សនៈនៃតក្កវិជ្ជាបុរាណ និងគណិតវិទ្យា "ការសន្មត់ AB" គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការកាត់ទ្រឹស្តីបទ ATM ភាគច្រើន។

កុហកទីបួន។ ទ្រឹស្តីកំណត់បានបរាជ័យ នៅទីបញ្ចប់ ដើម្បីលុបបំបាត់សក្តានុពលដោយ វិធីសាស្រ្តវិទ្យាសាស្ត្រ, i.e. បង្ហាញពីភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃគំនិត PB ។ អេធីអឹមបានទៅវិធីផ្សេង។ នាងបានប្រកាសអំពីបញ្ហានៃភាពស្របច្បាប់នៃការប្រើប្រាស់ AB ជាទស្សនវិជ្ជាមួយ។ A.A. Zenkin មើលឃើញថានេះជាសភាវគតិនៃការរក្សាខ្លួនឯងរបស់អ្នកគាំទ្រ ATM ចាប់តាំងពីការប៉ុនប៉ងដើម្បីផ្តល់និយមន័យដ៏តឹងរឹងនៃគោលគំនិតរបស់ AB នឹងនាំឱ្យមានការយល់ដឹងយ៉ាងច្បាស់អំពីភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នារបស់វា។ ហើយនេះនឹងធ្វើឱ្យប៉ះពាល់ដល់មូលនិធិល្អ និងជាទម្លាប់ សុខុមាលភាពរបស់ម៉ាស៊ីនអេធីអឹមជាទៀងទាត់នៅក្នុង "ឋានសួគ៌ឆ្លងកាត់" របស់ Cantor ។ នៅក្នុងវិធីបែបវិទ្យាសាស្ត្រពាក់កណ្តាលឧក្រិដ្ឋកម្ម និងក្លែងក្លាយ អេធីអឹម - "ត្រកូល" បានដោះស្រាយជាមួយគូប្រជែងរបស់ខ្លួន។

ហើយទីបំផុតការកុហកទីប្រាំ។ ការដាក់ "រឿងភ័យរន្ធត់" លើសហគមន៍គណិតវិទ្យាដែលភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទបន្តដែលមិនអាចរាប់បានគឺពិបាកខ្លាំងណាស់ ដែលវាមានសម្រាប់តែអ្នកជំនាញដែលបានជ្រើសរើសប៉ុណ្ណោះ។ . គណិតវិទូជាច្រើនបានជឿលើទេវកថានេះ ហើយបានទទួលស្គាល់ភាពអសមត្ថភាពរបស់ពួកគេនៅពេលពិភាក្សាអំពីទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានរបស់ Cantor អំពីភាពមិនអាចរាប់បាននៃការបន្ត។ជាភស្តុតាងនៃភាពមិនពិតជាក់ស្តែងនៃទេវកថានេះ A.A. Zenkin ស្នើឱ្យប្រៀបធៀបវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ Cantor និងទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរដ៏ល្បី។

នៅក្នុងទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរៀន កំណត់ចំណាំ A.A. Zenkin, បី (!) គំនិតបឋមគណិតវិទ្យា (គំនិត ត្រីកោណកែងគោលគំនិតនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ គោលគំនិតនៃសមាមាត្រ) និងប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាចំនួនបី (!) ត្រូវបានអនុវត្ត៖ គុណពីរ និងការបូកមួយ កន្សោមពិជគណិត. ភស្តុតាងខ្លួនវា (ដោយគ្មានរូបភាព) យក 5 (ប្រាំ!) បន្ទាត់។ ភស្តុតាងរបស់ Cantor ប្រើគោលគំនិតបឋមចំនួនបី (!) នៃគណិតវិទ្យា (គោលគំនិតនៃចំនួនធម្មជាតិ គំនិតនៃចំនួនពិត និងគោលគំនិតនៃលំដាប់គ្មានកំណត់នៃចំនួនពិតដែលបានរាប់បញ្ចូល) និង មិនមានប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាតែមួយ (!) ត្រូវបានអនុវត្តទេ។ ភ័ស្តុតាងខ្លួនវាត្រូវចំណាយពេល 5 (ប្រាំ!) បន្ទាត់ដែលសរសេរជាភាសានៃតក្កវិជ្ជាបឋមនៃពាក់កណ្តាលទីពីរនៃសតវត្សទី 19 ។[Ibid] ។

ភាពត្រឹមត្រូវនៃភស្តុតាងនេះជួបនឹងការជំទាស់យ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរពីគណិតវិទូ អ្នកតក្កវិជ្ជា និងទស្សនវិទូដ៏ល្បី។ " នៅក្នុងភាពពាក់ព័ន្ធនៃគំរូរបស់វាសម្រាប់ទស្សនវិជ្ជា តក្កវិជ្ជា គណិតវិទ្យា និងចិត្តវិទ្យានៃចំណេះដឹង ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cantor គឺមិនអាចប្រៀបផ្ទឹមបាន។ ទស្សនវិជ្ជា "វាសនា" ខុសគ្នានៃទ្រឹស្តីបទទាំងនេះ ដូច្នេះស្រដៀងគ្នានៅក្នុងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យផ្លូវការ (និងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ "ការស្រែក" ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃភស្តុតាង) ត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ Cantor ប្រើគំនិតផ្ទុយគ្នា (ដោយប្រយោល) នៃ ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដ» [Ibid.] ។

A.A. Zenkin មិនឈប់នៅអាគុយម៉ង់នេះទេ ហើយបន្តដោយផ្ទាល់ទៅការវិភាគនៃវិធីសាស្ត្រអង្កត់ទ្រូង (DM) ដែលជាភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Cantor ស្តីពីការមិនអាចរាប់បាននៃការបន្ត។

ដោយពិចារណាលើទម្រង់ Canonical នៃ DM អ្នកវិទ្យាសាស្ត្ររុស្ស៊ីបានសន្និដ្ឋានថា "ភស្តុតាងអង្កត់ទ្រូងរបស់គាត់ (Cantor)) នៃភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃបរិមាណនៃសំណុំគ្មានកំណត់ពីរ X និង N គឺផ្អែកលើការពិតដែលថាសំណុំគ្មានកំណត់ X តែងតែមានធាតុបន្ថែមមួយ (Cantor's ថ្មី AD-d.h. x*) សម្រាប់ការរាប់បញ្ចូលដែល "ដូចដែលតែងតែ" មានធាតុមួយបាត់ពីសំណុំគ្មានកំណត់ N ឬជាផ្លូវការពីការពិតដែលថាសំណុំគ្មានកំណត់ X មានធាតុមួយច្រើនជាងសំណុំគ្មានកំណត់។ N. ខ្ញុំគិតថានេះគឺជា - វាច្បាស់ណាស់ថាកន្លែងនៅក្នុងភស្តុតាងរបស់ Cantor ដែលតែងតែបណ្តាលឱ្យមានការបដិសេធប្រភេទ (ការបដិសេធ) នៅលើផ្នែកនៃវិចារណញាណវិទ្យាសាស្រ្តនៃអ្នកជំនាញគណិតវិទ្យាឆ្នើម (សូមមើលបញ្ជី-1)” [Ibid.] ។ A.A. Zenkin ផ្តល់ការវាយតម្លៃលើភ័ស្តុតាងបែបនេះដោយ Wittgenstein៖ "មនុស្សម្នាក់ធ្វើការរាល់ថ្ងៃដោយញើសនៃចិញ្ចើមរបស់គាត់ - គាត់ធ្វើបញ្ជីនៃចំនួនពិតទាំងអស់ហើយឥឡូវនេះនៅពេលដែលបញ្ជីត្រូវបានបញ្ចប់ អ្នកលេងប៉ាហីម្នាក់លេចឡើង។ អង្កត់ទ្រូងនៃបញ្ជីនេះនិងនៅចំពោះមុខភ្នែករបស់គាត់នៃទស្សនិកជនភ្ញាក់ផ្អើលដោយមានជំនួយពីក្បួនដោះស្រាយជា "esoteric" ប្រែវាទៅជា ... ប្រឆាំងអង្កត់ទ្រូង, i.e. ទៅលេខពិតថ្មី AD ដែលមិនមាននៅក្នុងបញ្ជីដើម . នៃប្រភេទបែបនេះភស្តុតាងតាមអង្កត់ទ្រូងរបស់ Cantor គឺជាសកម្មភាពមួយសម្រាប់មនុស្សល្ងង់ដែលមិនមានអ្វីដែលត្រូវធ្វើជាមួយអ្វីដែលហៅថាការកាត់ចេញនៅក្នុងតក្កវិជ្ជាបុរាណ។.

លើសពីនេះទៅទៀត គណិតវិទូជនជាតិរុស្សី បានរកឃើញជាលើកដំបូង ការពិតតែមួយគត់នៅក្នុងភស្តុតាងរបស់ Cantor ។ ចំណុចសំខាន់នៃភ័ស្តុតាងរបស់ Cantor គឺការប្រើប្រាស់ច្បាស់លាស់នៃវិធីសាស្ត្រប្រឆាំងឧទាហរណ៍។ ហើយ "ឧទាហរណ៍ផ្ទុយពីខ្លួនវាមិនត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសំណុំនៃការសម្រេចបានទាំងអស់នៃអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។ ទូទៅការអះអាង ប៉ុន្តែជាក្បួនដោះស្រាយ កាត់ចេញពីការអះអាងទូទៅដែលឧទាហរណ៍ផ្ទុយនេះមានបំណងបដិសេធ (ក្នុងទម្រង់ ដកប្រាក់លទ្ធផល នៅទីនេះ B= "បញ្ជី (1) មាន d.h. ពី X”)” [A.A. Zenkin ។ ឋានសួគ៌ឆ្លងកាត់នៃ Georg Kantor: រឿងព្រះគម្ពីរនៅលើកម្រិតនៃ Apocalypse ។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.com2com.ru/alexzen/] ។

ជាលទ្ធផលនៃការស្គាល់អ្នកជំនាញ ATM ជាមួយនឹងការរកឃើញរបស់ A.A. Zenkin ភាពចម្រូងចម្រាសយ៉ាងខ្លាំងបានកើតឡើងដែលក្នុងនោះ "វិជ្ជាជីវៈក្លែងក្លាយទាំងអស់របស់អាជ្ញាធរ ATM ដែលត្រូវបានទទួលស្គាល់មួយចំនួនត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងវិស័យតក្កវិជ្ជាបឋម" [Ibid.] ។

ដោយសង្ខេបលទ្ធផលនៃការចម្រូងចម្រាស A.A. Zenkin ឈានដល់ការសន្និដ្ឋានដែលមិនរំពឹងទុកដូចខាងក្រោម: » ស្ថានការណ៍​អាស្រូវ​កើតឡើង​! - អស់រយៈពេលជាងមួយរយឆ្នាំមកហើយ អ្នកជំនាញឆ្នើម (មិនមែនដូច្នេះទេ) ក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យាមេតា តក្កគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្ដីសំណុំ axiomatic និង Bourbakists ផ្សេងទៀតបានកំពុងបង្រៀនសិស្សជំនាន់ថ្មី (កាន់តែត្រឹមត្រូវជាងនេះទៅទៀត) ជារៀងរាល់ឆ្នាំ។ ដើម្បីបញ្ជាក់បានត្រឹមត្រូវ” ភាពមិនអាចរាប់បាននៃការបន្តដោយប្រើវិធីសាស្ត្រអង្កត់ទ្រូងដ៏ល្បី Cantor ពិតជាមិនយល់ពីលក្ខណៈឡូជីខលនៃវិធីសាស្ត្រនេះទេ!

ជាការពិតណាស់ "ឧបទ្ទវហេតុរោគសាស្ត្រដែលយោងទៅតាម Brouwer ជំនាន់អនាគតនឹងរន្ធត់"! - ឬផ្ទុយទៅវិញពួកគេនឹងសើច "ពីជម្រៅនៃព្រលឹងរបស់ពួកគេ" ប៉ុន្តែ ... "រហូតដល់ខ្ញុំដួលទាំងស្រុង" ។ - លើអ្នកណា? - ខ្ញុំគិតអំពី 90% នៃគណិតវិទូ "ធ្វើការ" ដែលពេញមួយសតវត្សន៍ទាំងមូល "មិនចាប់អារម្មណ៍" បានលះបង់ "មហាក្សត្រីនៃវិទ្យាសាស្ត្រទាំងអស់" របស់ពួកគេសម្រាប់ "ការប្រើប្រាស់មិនសមរម្យ" ដោយ "អ្នកជំងឺខួរក្បាលខាងឆ្វេង" ។ ចំពោះការសើចចំអកឱ្យអ្នកជម្ងឺ សូម្បីតែអ្នកខួរក្បាលខាងឆ្វេងក៏គ្មានន័យដែរ ។[Ibid] ។

គណិតវិទូជនជាតិរុស្សីបញ្ចប់ការវិភាគយ៉ាងសំខាន់នៃភ័ស្តុតាង DMC ជាមួយនឹងរឿងរ៉ាវនៃភាពផ្ទុយគ្នាដ៏អស្ចារ្យរបស់លោក David Hilbert ដែលបានស្នើឡើងកាលពី 80 ឆ្នាំមុន។ នៅក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1920 លោក D. Hilbert ដើម្បីបង្ហាញពីភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានរវាងសំណុំគ្មានកំណត់ និងគ្មានកំណត់នៅក្នុងទ្រឹស្ដីកំណត់របស់ Cantor បានស្នើឱ្យមានភាពខុសគ្នាដ៏ពេញនិយមមួយក្រោមឈ្មោះ "Grand Hotel" ។ ការបង្ហាញនៃភាពផ្ទុយគ្នាដោយខ្លួនឯងគឺពិបាកជាង ដូច្នេះសូមឱ្យយើងបង្កើតខ្លឹមសាររបស់វា។ ភាពផ្ទុយគ្នានៃ "Grand Hotel" បង្ហាញពីទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសំណុំគ្មានកំណត់៖ "... ប្រសិនបើសំណុំគ្មានកំណត់ ឬរាប់បញ្ចូលត្រូវបានបន្ថែមទៅឈុតគ្មានកំណត់ នោះតម្លៃនៃឈុតទីមួយនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ" [Ibid.] ។

ការប្រៀបធៀបភ័ស្តុតាង DMC ជាមួយនឹងភាពផ្ទុយគ្នារបស់ D. Hilbert A. A. Zenkin ឈានដល់ការសន្និដ្ឋានដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់មួយ៖ ភស្តុតាង DMC នៃភាពមិនអាចរាប់បាននៃការបន្តគឺជាគំរូដកប្រាក់ (ក្នុងន័យនៃ Tarski) នៃ "Grand Hotel" របស់ D. Hilbert ។

នៅក្នុងភាពផ្ទុយគ្នារបស់ D. Hilbert យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណើរការដែលគ្មានកំណត់ដែលមានសក្តានុពល ដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានដូចខាងក្រោម៖ រហូតដល់ដំណើរការនេះបញ្ចប់។ "មិនមានហេតុផល (ឡូជីខល និងគណិតវិទ្យា) ដែលត្រូវអះអាងថា ការសន្មត់ "X អាចរាប់បាន" គឺមិនពិតទេ។ ដូច្នេះក្នុងករណីដែលសំណុំ Y 1 គឺរាប់មិនអស់នោះ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Cantor "X គឺមិនអាចរាប់បាន" គឺមិនអាចប្រកែកបាន"[Ibid] ។

អំណះអំណាងខាងលើ A.A. Zenkin សន្និដ្ឋានបង្ហាញថា “ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cantor ស្តីពីការមិនអាចរាប់បាននៃការបន្តគឺមិនអាចប្រកែកបាន។ នេះមានន័យថា ភាពខុសគ្នារវាងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ដោយចំនួនធាតុ គឺជាការបង្កើតទេវកថា។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើភាពមិនអាចរាប់បាននៃការបន្តគឺមិនអាចប្រកែកបាននោះ ទ្រឹស្ដីរបស់ G. Cantor នៃសំណុំ transfinite មិនមែនគ្រាន់តែជា "ឆោតល្ងង់" ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែជាវិទ្យាសាស្ត្រក្លែងក្លាយ ហើយដូច្នេះ "ឋានសួគ៌" transfinite របស់ G. Cantor អាចត្រូវបានបិទដោយគ្មានការខូចខាតណាមួយចំពោះ "ធ្វើការ" "គណិតវិទ្យា"[Ibid] ។

បញ្ចប់ការធ្វើបទបង្ហាញនៃការសិក្សាសំខាន់ៗរបស់ A.A. Zenkin លើទ្រឹស្តីនៃសំណុំគ្មានកំណត់ដោយ Georg Kantor ខ្ញុំចង់បញ្ជាក់អំពីសារៈសំខាន់នៃការសន្និដ្ឋានរបស់គាត់ដូចខាងក្រោម។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cantor គឺមិនត្រឹមត្រូវតាមទស្សនៈនៃតក្កវិជ្ជាបុរាណរបស់អារីស្តូត។

4. ការរិះគន់នៃវិធីសាស្រ្ត axiomatic របស់ A.A. Zenkin

វិធីសាស្រ្ត axiomatic ដែលស្នើឡើងដោយ A. Zenkin សម្រាប់គោលគំនិតនៃ AB និង PB គឺតាមទស្សនៈរបស់យើង វិធីសាស្រ្តមិនត្រឹមត្រូវ។

axiom របស់ Aristotle និង axiom របស់ Cantor ត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរយៈគោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ដែលមិនត្រូវបានកំណត់យ៉ាងតឹងរ៉ឹង និងជាផ្លូវការ។ ដោយផ្អែកលើរូបមន្តនៃ axioms វាដូចខាងក្រោមថា PB និង AB គឺជាប្រភេទនៃគ្មានកំណត់ដូចជា i.e. ប្រភេទ។

វិនាទី។ គោលគំនិតរបស់ PB និង AB Aristotle បានពិចារណាលើមូលដ្ឋាននៃគោលលទ្ធិផ្ទាល់ខ្លួនរបស់គាត់អំពីភាពជា និងខ្លឹមសារដោយផ្អែកលើច្បាប់នៃតក្កវិជ្ជាបុរាណ (ប្រពៃណី)។ ខណៈពេលដែល Cantor នៅក្នុងទ្រឹស្ដីសំណុំរបស់គាត់បានបន្តពីកម្មវិធីស្រាវជ្រាវ Pythagorean-Platonic ។ គោលលទ្ធិ និងខ្លឹមសាររបស់ផ្លាតូ គឺជាជម្រើសជំនួសទស្សនវិជ្ជា peripatetic ហើយស្របជាមួយនឹងតក្កវិជ្ជាគ្រាមភាសា និងគោលការណ៍នៃភាពចៃដន្យនៃការផ្ទុយ។

អារីស្តូតមិនបានចាត់ទុកគោលគំនិតរបស់ AB និង PB ថាផ្ទុយគ្នាទេ ជាចម្បងដោយសារតែគោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់គឺជាក់លាក់ណាស់ ហើយគោលការណ៍ និងច្បាប់នៃតក្កវិជ្ជាប្រពៃណីមិនអាចអនុវត្តបានចំពោះវាទេ។ អារីស្តូតបានហៅវាថាជាគំនិតមិនស្របច្បាប់ ដែលជាទូទៅមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទាំងអារម្មណ៍ ឬការគិតរបស់យើង។ Infinite មានតែនៅក្នុងលទ្ធភាពប៉ុណ្ណោះ មិនមែននៅក្នុងការពិតទេ។ សម្រាប់ប្រសិនបើវាមាននៅក្នុងការពិត វានឹងជាបរិមាណជាក់លាក់ (ជាក់លាក់) ឬតម្លៃកំណត់។ ដូច្នេះ អនិច្ចាមានជាទ្រព្យ។

Infinity យោងទៅតាម Aristotle គឺជាកន្លែងដែលយកចំនួនជាក់លាក់មួយ អ្នកតែងតែអាចយកអ្វីមួយបន្ទាប់ពីវា។ ហើយកន្លែងដែលមិនមានអ្វីនៅខាងក្រៅវាគឺជាទាំងមូល។ ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ គឺការដែលអវត្តមានពីអ្វីមួយ នៅខាងក្រៅរបស់វា។ “ទាំងមូល និងកំណត់ (គ្មានកំណត់) មិនមែននៅក្នុងខ្លួនវាទេ ប៉ុន្តែទាក់ទងនឹងរបស់មួយទៀត ហើយដោយសារវាគ្មានកំណត់ វាមិនអោបក្រសោបទេ ប៉ុន្តែត្រូវបានទទួលយក។ គ្មានទម្រង់ទេ ដូច្នេះហើយ ទើបដឹងច្បាស់ថា អនិច្ចកម្ម សមនឹងនិយមន័យនៃផ្នែកមួយ ជាជាងទាំងមូល ព្រោះរូបធាតុជាផ្នែកមួយទាំងមូល ដូចជាទង់ដែងសម្រាប់រូបសំណាកទង់ដែង។ ប្រសិនបើវាចាប់យកវត្ថុដែលយល់ឃើញ នោះនៅក្នុងវិស័យនៃ គំនិត "ធំ" និង "តូច" ដែលមិនអាចយល់បាន ត្រូវតែទទួលយក [គំនិត] ដែលមិនអាចយល់បាន ប៉ុន្តែវាមិនទំនងទាល់តែសោះ និងមិនអាចទៅរួចសម្រាប់អ្នកដែលមិនអាចដឹងបាន និងមិនកំណត់ដើម្បីទទួលយក និងកំណត់" [អារីស្តូត។ ស្នាដៃដែលប្រមូលបានក្នុង 4 ភាគ។ V.3, Moscow, "គំនិត ", 1981, ទំព័រ 120 ].

អាស្រ័យហេតុនេះ អារីស្តូតពិចារណាគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ក្នុងទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធជាមួយនឹងប្រភេទសំខាន់ៗនៃទស្សនវិជ្ជារបស់គាត់៖ ទម្រង់ - បញ្ហាលទ្ធភាព - ការពិតផ្នែក - ទាំងមូល។ នៅក្នុងបរិបទនេះ គំនិតនៃ AB គឺមិនផ្ទុយនឹង PB ទេ ប៉ុន្តែមិនអាចគិតបានទាំងស្រុងពីទស្សនៈនៃតក្កវិជ្ជារបស់អារីស្តូត។ Contradictorial PB គឺ​ជា​គំនិត​នៃ​ការ​កំណត់​ជា​ទំនាក់​ទំនង​នៃ​ភាព​មិន​កំណត់​និង​កំណត់។ ប្រសិនបើ PB ត្រូវបានពិចារណាក្នុងបរិបទនៃផ្នែកមួយ - ទាំងមូល នោះនិយមន័យនៃផ្នែកមួយគឺសមរម្យជាងសម្រាប់វា។ បន្ទាប់មកទាក់ទងនឹងវា ភាពគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដបន្ថែមទៀតត្រូវគ្នាទៅនឹងគោលគំនិតទាំងមូល។ ក្នុង​ករណី​នេះ PB ជា​គោល​គំនិត​ក្រោម​គោល​គំនិត AB។ នេះជារបៀបដែល G. Kantor ខ្លួនគាត់បកស្រាយវា។

ដូច្នេះសម្រាប់អារីស្តូត មនុស្សម្នាក់អាចនិយាយបានតែពីភាពគ្មានទីបញ្ចប់ក្នុងន័យតែមួយគត់នៃ PB ។ គោល​គំនិត​មួយ​មិន​អាច​ទាក់​ទង​នឹង​វា ដែល​មិន​ត្រូវ​បាន​គេ​ទទួល​ស្គាល់​ថា​ជា​គោល​គំនិត​នោះ​ទេ ឧ. AB ហើយគោលគំនិតនៃ PB គឺគ្មានកំណត់ មិនអាចដឹងបាន និងមិនមានការពិត។

វាគឺជាស្ថានភាពពិសេសនៃគោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ដែលអារីស្តូតនិយាយអំពី ដែលមិនអនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តប្រតិបត្តិការបែបប្រពៃណីនៃតក្កវិជ្ជាផ្លូវការចំពោះវា។ គោលគំនិតនៃ PB មិនមែនជាវត្ថុគណិតវិទ្យាក្នុងន័យតឹងរឹងនៃពាក្យនោះទេ។

គោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់មិនមែនជារបស់នៅក្នុងន័យដ៏តឹងរឹងចំពោះគណិតវិទ្យា កើតឡើងពីនិយមន័យនៃចំនួន និងរ៉ិចទ័រ។ នេះគឺជានិយមន័យនៃអារីស្តូតម្តងទៀត។ “បរិមាណ​គឺ​ជា​ផ្នែក​ដែល​ចែក​ចេញ​ជា​ផ្នែក​មួយ​ចំនួន ដែល​ផ្នែក​នីមួយៗ ទោះ​ជា​មាន​ពីរ ឬ​ច្រើន​នោះ​គឺ​ដោយ​ធម្មជាតិ​ជា​អ្វី​មួយ និង​ជា​អ្វី​មួយ​ជាក់លាក់។ បរិមាណនីមួយៗគឺជាសំណុំប្រសិនបើវាអាចរាប់បាន និងទំហំប្រសិនបើវាអាចវាស់វែងបាន។ សំណុំ​មួយ​គឺ​ជា​ការ​ដែល​ក្នុង​លទ្ធភាព​ត្រូវ​បាន​បែងចែក​ទៅ​ជា​ផ្នែក​ដែល​មិន​បន្ត​មួយ​ជា​បរិមាណ - ទៅ​ជា​ផ្នែក​ដែល​បន្ត ... នៃ​បរិមាណ​ទាំង​អស់​នេះ មានកំណត់កំណត់ជាលេខ មានកំណត់ប្រវែងបន្ទាត់, មានកំណត់ទទឹង - ផ្ទះល្វែង, មានកំណត់ជម្រៅគឺជារូបកាយ” [អារីស្តូត។ អូ។ ក្នុង 4 ភាគ។ ភាគ 1. M.: Thought, 1976, p.164]។ ពីការអនុម័តខាងលើរបស់អារីស្តូត វាដូចខាងក្រោមថា មុខវិជ្ជាសំខាន់នៃគណិតវិទ្យា គឺគោលគំនិតនៃទំហំ និងលេខ។ ចំនួន​គឺ​ជា​សំណុំ​មាន​កំណត់ តម្លៃ​គឺ​ជា​ទំហំ​ធរណីមាត្រ​មាន​កំណត់ (បន្ទាត់ យន្តហោះ តួ)។ សំណុំគ្មានដែនកំណត់ និងទំហំគ្មានដែនកំណត់គឺគ្មានដែនកំណត់ ជាទម្រង់ពីរនៃបរិមាណ គ្មានព្រំដែន ចុងបញ្ចប់ ឬដែនកំណត់។ ដូច្នេះ​ហើយ​ពួក​វា​គឺ​ជា​ការ​មិន​កំណត់​ហើយ​ដូច្នេះ​មិន​អាច​ដឹង​។

លើសពីនេះ Infinity សម្រាប់ Aristotle គឺជាទ្រព្យសម្បត្តិនៃការគិតជាដំបូង មិនមែនមុខវិជ្ជារូបវិទ្យា ឬគណិតវិទ្យាទេ។ « ការ​ជឿ​លើ​ការ​គិត​ក្នុង​សំណួរ​នៃ​ភាព​គ្មាន​កំណត់​គឺ​មិន​ទំនង​ទាល់​តែ​សោះ, ចាប់តាំងពីលើសនិងកង្វះ (ក្នុងករណីនេះ) មិនស្ថិតនៅក្នុងវត្ថុនោះទេប៉ុន្តែនៅក្នុងការគិត។យ៉ាងណាមិញ យើងម្នាក់ៗអាចស្រមើស្រមៃបានច្រើនដងច្រើនជាងគាត់ ដោយបង្កើនវារហូតដល់គ្មានទីបញ្ចប់ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនដោយសារតែនរណាម្នាក់នៅខាងក្រៅទីក្រុង ឬមានទំហំខ្លះដោយសារតែនរណាម្នាក់គិតបែបនេះទេ ប៉ុន្តែដោយសារតែវាដូច្នេះ [ការពិត] ; ហើយការពិត [ដែលនរណាម្នាក់គិតបែបនេះ] នឹងជា [សម្រាប់គាត់] កាលៈទេសៈចៃដន្យ” [Ibid.] ។ ប្រសិនបើភាពគ្មានទីបញ្ចប់មិនមាននៅក្នុងវត្ថុនោះ តើយើងធ្វើដូចម្តេច axiomatize - សកម្មភាពនៃការគិត?ហើយ​គណិតវិទ្យា​ទាក់ទង​នឹង​អ្វី? សម្រាប់ប្រធានបទរបស់វាគឺបរិមាណសុទ្ធ: ចំនួននិងទំហំ?

គោលគំនិតនៃការសាងសង់ Cantor គ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដ ធ្វើតាមប្រពៃណីរបស់ Pythagoreans ដែលដូចដែល Aristotle ថ្លែងទីបន្ទាល់ថា "ការផ្សំឡើងពីចំនួន" ។ Kantor ជឿថាបរិមាណបន្តអាចត្រូវបានវាស់ដោយលេខជាសំណុំពិតនៃឯកតាដែលមិនអាចបំបែកបាន។ វាច្បាស់ណាស់ថាវិធីសាស្រ្តបែបនេះមិនអាចទទួលយកបានទាំងស្រុងសម្រាប់អារីស្តូត។ សម្រាប់គាត់តម្លៃត្រូវបានបែងចែកទៅជាផ្នែកដែលអាចបែងចែកបាន។ ដូច្នេះ បរិមាណ​មួយ​មិន​អាច​ត្រូវ​បាន​ផ្សំ​ឡើង​ដោយ​ការ​មិន​អាច​បំបែក​បាន​ឡើយ។ បើមិនដូច្នោះទេ aporias របស់ Zeno អំពីភាពផ្ទុយគ្នានៃចលនានឹងមិនត្រូវបានដោះស្រាយទេ ហើយវាក៏នឹងមិនអាចពន្យល់ពីលទ្ធភាពនៃចលនា ការបន្តនៃពេលវេលា និងលំហ។

យោងតាម ​​axiom របស់ Kantor នេះបើយោងតាម ​​​​Zenkin វាកើតឡើងថាគាត់បដិសេធមិនកំណត់សក្តានុពល។ Kantor មិនត្រឹមតែមិនបដិសេធ PB ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែមិនបានចាត់ទុកវាថាពិតជាគ្មានដែនកំណត់នោះទេ។ សម្រាប់គាត់ PB គឺជាបរិមាណកំណត់អថេរ។ លើសពីនេះទៅទៀត គាត់ជឿថា ប្រសិនបើអ្នកយក PB នោះអ្នកគួរតែយក AB កាន់តែច្រើន។

ការសន្និដ្ឋានមានដូចខាងក្រោម។ ទ្រឹស្ដីនៃអារីស្តូត និង Cantor ដែលបង្កើតដោយ Zenkin មិនឆ្លុះបញ្ចាំងពីអាកប្បកិរិយាជាក់ស្តែងចំពោះគំនិតនៃ PB និង AB របស់ Aristotle និង Cantor ទេ។ នៅក្នុង axioms ទាំងពីរ នៅក្នុង axiom របស់ Aristotle (សតវត្សទី 4 មុនគ.ស) : "All infinite sets are potentially infinite sets" ហើយក្នុងរយៈពេលជាងមួយរយឆ្នាំនៃ de facto ដែលមានស្រាប់ និងផ្ទុយពី axiom របស់ Cantor (សតវត្សទី XIX នៃគ.ស) : " សំណុំគ្មានកំណត់ទាំងអស់គឺ សំណុំពិតប្រាកដគ្មានដែនកំណត់" [សូមមើល A.A. Zenkin ។ ឋានសួគ៌ឆ្លងកាត់នៃ Georg Kantor: រឿងព្រះគម្ពីរនៅលើកម្រិតនៃ Apocalypse ។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.com2com.ru/alexzen/ ] គំនិតទូទៅនៃ "សំណុំគ្មានកំណត់" ត្រូវបានកំណត់តាមប្រភេទរបស់វា។ នៅក្នុង axiom របស់ Aristotle - តាមរយៈសំណុំគ្មានដែនកំណត់ដែលមានសក្តានុពល នៅក្នុង axiom របស់ Cantor - តាមរយៈសំណុំគ្មានកំណត់។ ទាំងគំនិតនៃ PB ឬ AB គឺជាវត្ថុគណិតវិទ្យាក្នុងន័យដ៏តឹងរឹងនៃពាក្យនេះ ព្រោះវាមានតែនៅក្នុងលទ្ធភាពប៉ុណ្ណោះ មិនអាចដឹងបាន និងមិនអាចកំណត់បាន។ គោលគំនិតនៃ AB និង PB មិនមែនជាចំនួន ឬទំហំទេ ប៉ុន្តែជាទ្រព្យសម្បត្តិនៃការគិតបែបអរូបីរបស់យើង។

ទាំងអស់ខាងលើមិនមានជាប់ទាក់ទងនឹងផ្នែកនៃការងាររបស់ Zenkin នោះទេ ដែលគាត់បង្ហាញឱ្យឃើញដោយផ្អែកលើតក្កវិជ្ជាបុរាណថា ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cantor លើភាពមិនអាចរាប់បាននៃការបន្តគឺមិនអាចប្រកែកបាន។ Zenkin បានបង្ហាញថាវិធីសាស្ត្រអង្កត់ទ្រូងរបស់ Cantor (DMC) ដែលជាភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ គឺជាកំណែជាក់លាក់នៃគំរូប្រឆាំងដែលគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ចំពោះ Pythagoras និង Euclid ។ ហើយការប្រៀបធៀបដ៏ល្បីល្បាញ "Grand Hotel" ដោយ D. Hilbert គឺជាគំរូកាត់កង (ក្នុងន័យ A. Tarsky) នៃ DMC- ភស្តុតាងនៃភាពមិនអាចរាប់បាននៃការបន្តដោយ G. Kantor ។ ដោយផ្អែកលើគំរូនេះ Zenkin សន្និដ្ឋានថាភស្តុតាង DMC គឺមិនត្រឹមត្រូវតាមទស្សនៈនៃតក្កវិជ្ជាបុរាណ។ ដូច្នេះហើយ មិនមានសំណុំដែលមិនអាចរាប់បានឡើយ ហើយសំណុំគ្មានកំណត់ទាំងអស់មានខានីនីតដូចគ្នា។ ដូច្នេះ "ការបង្រៀនអំពីការផ្លាស់ប្តូរ" ដ៏អស្ចារ្យទាំងមូលដោយ G. Kantor កំពុងដួលរលំ។

ដូច្នេះការសន្និដ្ឋានចម្បងដែលណែនាំខ្លួនវាផ្ទាល់លើការសិក្សាដោយប្រុងប្រយ័ត្ននៃទ្រឹស្តីបទស្តីពីការមិនអាចរាប់បាននៃការបន្តនិងទ្រឹស្តីនៃលេខឆ្លងកាត់របស់ Cantor ដោយផ្អែកលើវាគឺថាភាពមិនពិតរបស់វាគឺងាយស្រួលណាស់ (ដូចដែល A.A. Zenkin បានបង្ហាញ) បានបដិសេធនៅលើមូលដ្ឋាននៃអារីស្តូត។ តក្កវិជ្ជាបុរាណ។

ហើយមិនសំខាន់តិចជាងការសន្និដ្ឋានចុងក្រោយ។ ទ្រឹស្ដីរបស់ Cantor មិនមែនជាបាតុភូតចៃដន្យនៅក្នុងគណិតវិទ្យាអ៊ឺរ៉ុបនោះទេ ប៉ុន្តែជាលទ្ធផលធម្មជាតិនៃការកំណត់អត្តសញ្ញាណនៃគោលគំនិតនៃចំនួន និងរ៉ិចទ័រ ដែលនាំឱ្យការគណនានព្វន្ធបន្តិចម្តងៗនៃគណិតវិទ្យា ភាពស្មាន និងអរូបីមិនមធ្យម។

5. អាថ៌កំបាំងនៃភាពគ្មានដែនកំណត់

សំណួរសំខាន់ស្មើគ្នា ដែល Zenkin បានលើកឡើងដោយអចេតនា នៅពេលបង្ហាញពីភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Cantor លើការរាប់មិនអាចរាប់បាននៃការបន្តគឺទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងខ្លឹមសារនៃសក្តានុពលគ្មានដែនកំណត់ដែលត្រូវបានទទួលស្គាល់នៅក្នុងគណិតវិទ្យា។

នៅក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1920 លោក David Hilbert បានស្នើនូវភាពស្រដៀងគ្នាដ៏ពេញនិយមមួយហៅថា "Grand Hotel" (តទៅនេះ សម្រាប់ភាពសង្ខេប GO) ដែលបង្ហាញពីភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានរវាងសំណុំគ្មានកំណត់ និងគ្មានកំណត់នៅក្នុងទ្រឹស្ដីកំណត់របស់ Cantor (ក៏ដូចជានៅក្នុងសម័យទំនើប) ។ យើង​នឹង​មិន​បង្ហាញ​ភាព​ចម្លែក​ដោយ​ខ្លួន​ឯង​ទេ ព្រោះ​វា​ជា​រឿង​ពិបាក​ជាង។ ខ្លឹមសាររបស់វាគឺថាវាបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់អំពីទ្រព្យសម្បត្តិចម្បងនៃសំណុំគ្មានកំណត់៖ ប្រសិនបើសំណុំគ្មានកំណត់ ឬរាប់ដែលអាចរាប់បានត្រូវបានបន្ថែមទៅក្នុងសំណុំគ្មានកំណត់ នោះតម្លៃនៃសំណុំដំបូងនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

Zenkin បង្ហាញថា DMC ភស្តុតាងនៃការមិនអាចរាប់បាននៃការបន្តគឺជាគំរូដក (ក្នុងន័យនៃ Tarski) នៃ D. Hilbert's GO paradox [A.A. Zenkin ។ ឋានសួគ៌ឆ្លងកាត់នៃ Georg Kantor: រឿងព្រះគម្ពីរនៅលើកម្រិតនៃ Apocalypse ។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.com2com.ru/alexzen/] ។

ដោយបានបង្កើតឡើងថានៅក្នុងវិធីសាស្រ្ត DNA Kantor មិនប្រើដំណើរការ AB ប៉ុន្តែដំណើរការ PB នោះ Zenkin កត់សម្គាល់ថាគ្មាននរណាម្នាក់នឹងដឹងពីការពិតនៃការអះអាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះទេ ព្រោះដំណើរការគ្មានកំណត់មិនមានធាតុចុងក្រោយ។

Zenkin បានបង្ហាញថាភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដរបស់ Cantor គឺ ចាំបាច់លក្ខខណ្ឌនៃភស្តុតាង DMC នៃភាពមិនអាចរាប់បាននៃការបន្តគឺជាការពិត សក្តានុពល- ការពិភាក្សាគ្មានទីបញ្ចប់។ "នេះ​បញ្ជាក់​ថា" ប្រធានបទ" និង "គ្មានកំណត់" នៅក្នុងក្របខណ្ឌនៃភស្តុតាងរបស់ Cantor ។ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការមិនអាចរាប់បាននៃការបន្តគឺ (ឡូជីខល និង algorithmically) ផ្ទុយគំនិត ហើយជាលទ្ធផល គំនិតនៃ " ប្រធានបទ"និង" ចុងក្រោយ» ជាក្បួនដោះស្រាយ ដូចគ្នាបេះបិទ» [Ibid.] ។ ហើយប្រសិនបើនេះជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមានសក្តានុពលគ្មានដែនកំណត់ នោះការពិតរបស់វាមិនអាចបង្កើតបានទេ ដោយសារដំណើរការគ្មានដែនកំណត់មិនមានធាតុចុងក្រោយ។ ការសន្និដ្ឋានរបស់ Zenkin នេះបញ្ជាក់ពីការសន្មត់របស់យើងដែលថាសញ្ញាណនៃ finite មិនមែន AB ផ្ទុយនឹងសញ្ញាណនៃ PB ។

ដូច្នេះ Zenkin សរសេរ បង្ហាញឱ្យឃើញជាលើកដំបូងការផ្តល់វិចារណញាណដ៏អស្ចារ្យ (និងការព្រមាន!) របស់ Aristotle, Euclid, Leibniz និងជាច្រើនផ្សេងទៀត (សូមមើលបញ្ជី-1) តក្កវិជ្ជា គណិតវិទូ និងទស្សនវិទូឆ្នើមដែល " ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដ" គឺជា ភាពផ្ទុយគ្នាផ្ទៃក្នុងគំនិត (អ្វីមួយដូចជា " បានបញ្ចប់(ដោយ Cantor) ភាពគ្មានទីបញ្ចប់”) ហើយដូច្នេះការប្រើប្រាស់របស់វានៅក្នុងគណិតវិទ្យាគឺមិនអាចទទួលយកបានទេ” [Ibid.] ។

ជាអកុសល ដើម្បីបញ្ជាក់ពីភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាផ្ទៃក្នុងនៃគោលគំនិតនៃការពិត (បានបញ្ចប់ មានន័យថា បានបញ្ចប់ កំណត់) ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ គឺក្នុងកម្រិតជាក់លាក់មួយ ការងារឥតប្រយោជន៍ ដោយសារតែភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាជាក់ស្តែងរបស់វា។ នៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃតក្កវិជ្ជា Aristotelian បុរាណ នេះគឺមិនអាចទៅរួចទេ។ នៅក្នុងបរិបទនៃតក្កវិជ្ជាប៉ាន់ស្មាន (គ្រាមភាសា) ដែលបដិសេធច្បាប់នៃភាពផ្ទុយគ្នា នេះគឺអាចទទួលយកបាន។

Zenkin ក៏បានរកឃើញថាទម្រង់ Canonical នៃភស្តុតាង "អង្កត់ទ្រូង" របស់ Cantor នៃទ្រឹស្តីបទបន្តដែលមិនអាចរាប់បានគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងទម្រង់ Canonical infinite (P2) នៃ "Liar" paradox:

"មាននរណាម្នាក់និយាយថា "ខ្ញុំជាអ្នកកុហក" ។ - តើគាត់ជាអ្នកកុហកទេ? បើ​គេ​កុហក​គេ​កុហក​គេ​ថា​កុហក ដូច្នេះ គាត់មិនមែនជាអ្នកកុហកទេ។ តែ​បើ​គាត់​មិន​មែន​ជា​អ្នក​ភូត​ទេ គាត់​និយាយ​ការពិត ដោយ​អះអាង​ថា​គាត់​កុហក។ ដូច្នេះ គាត់​ជា​អ្នក​កាប់ ឬ​និយាយ​ឲ្យ​ខ្លី (នៅទីនេះ A = "ខ្ញុំ​ជា​អ្នក​កាប់") និង [ØA ® A] (P1)" [Ibid.]

Zenkin ក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថា "អ្វីដែលការក្លែងបន្លំនៃការកុហកក្លែងក្លាយមិនមែនសម្រាប់កុំព្យូទ័រអាណាឡូកបង្ហាញឱ្យឃើញ។ ថាការប្រឌិតនេះមិនមានទម្រង់កំណត់ទេ ប៉ុន្តែគ្មានកំណត់ខាងក្រោមនេះ A ® ØA ® A ® ØA ® A® ØA ® A ® ... (P2) ហើយមិនមានហេតុផលឡូជីខល និងគណិតវិទ្យា ហេតុផល ឬហេតុផលសម្រាប់ការបញ្ចប់រឿងនេះទេ។ សក្តានុពល- ដំណើរការគ្មានកំណត់” [Ibid.] ។

ជាលទ្ធផលគណិតវិទូជនជាតិរុស្ស៊ីធ្វើការសន្និដ្ឋានគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍។ "វាគួរតែត្រូវបានសង្កត់ធ្ងន់ថាវាជាទម្រង់គ្មានកំណត់ (P2) ដែលអនុវត្តចាំបាច់និង គ្រប់គ្រាន់លក្ខខណ្ឌ (ក្នុងន័យឡូជីខល និងគណិតវិទ្យាដ៏តឹងរឹង) នៃបាតុភូតនៃភាពផ្ទុយគ្នា។ ក្នុង​ករណី​នេះ ពាក្យ «​សច្ចៈ​» ពិត​នៃ​ពាក្យ​ផ្ទុយ​គ្នា​នេះ មិនមែន​ទាល់តែ​សោះ​ថា សេចក្តីថ្លែងការណ៍ «​ខ្ញុំ​ជា​អ្នក​កុហក​» «​មិន​អាច​ពិត ឬ​មិន​ពិត​ឡើយ​» ប៉ុន្តែ​ថា​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​នេះ ផ្ទុយ​ទៅ​វិញ​។ ទាំង​ពិត​និង​មិន​ពិត"ក្នុងពេលជាមួយគ្នា នៅកន្លែងតែមួយ និងក្នុងការគោរពដូចគ្នា"។ ម្យ៉ាងវិញទៀត នៅក្នុងពាក្យ «ភូតភរ» ក្នុងទម្រង់ (P2) ការពិត និងភាពមិនពិតត្រូវបានលាយឡំគ្នា ដែលមានន័យថា ការពិត និងភាពមិនពិត ក្លាយទៅជាមិនអាចបែងចែកបាន» [Ibid.] ។

វាពិបាកក្នុងការមិនយល់ស្របនឹងរឿងនេះ។ យោងទៅតាមប្លាតុង ភាពគ្មានកំណត់ គឺជាអ្វីដែលមានលក្ខណៈបរិមាណមិនកំណត់ និងមិនអនុញ្ញាតឱ្យមាននិយមន័យតឹងរឹង។ គាត់ហៅភាពគ្មានកំណត់ថា "ភាពមិនកំណត់" វាតែងតែមានអត្ថន័យពីរ ហើយមិនអាចទទួលយកបាននូវអត្ថន័យមួយ មិនអាចកំណត់បានឡើយ។“... ភាពមិនចេះរីងស្ងួតអាចមានដូចជាថ្ងៃមួយ ឬជាការប្រកួតប្រជែងមួយ ក្នុងន័យថាវា។ តែង​តែ​ខុស​ប្លែក​ពី​គេ» [P.P. Gaidenko ។ ប្រវត្តិសាស្រ្តនៃទស្សនវិជ្ជាក្រិកនៅក្នុងការតភ្ជាប់របស់វាជាមួយនឹងវិទ្យាសាស្រ្ត។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.philosophy.ru/library/gaid/0.html] ។

សំណួរកើតឡើងតើអត្ថន័យឡូជីខលនៃគំនិត Platonic នៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ជាដំណើរការនៃ "ក្លាយជាតែងតែខុសគ្នានិងខុសគ្នា" គឺជាអ្វី? តាមគំនិតរបស់យើង គោលគំនិតនៃភាពគ្មានដែនកំណត់ដ៏មានសក្តានុពលមានបង្កប់នូវគោលការណ៍ដែលបដិសេធច្បាប់នៃភាពផ្ទុយគ្នា។ នេះ "ផ្សេងទៀត និងផ្សេងទៀត" ជំនួសឱ្យ "អ្វីផ្សេងទៀត" គឺជាគោលការណ៍មិនប្រាកដប្រជា។ ប្រសិនបើច្បាប់នៃភាពផ្ទុយគ្នានៅក្នុងការបកស្រាយរបស់អារីស្តូតត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោមៈ "វាមិនអាចទៅរួចទេសម្រាប់រឿងដូចគ្នានិងមិនមែននៅក្នុងរឿងដូចគ្នានិងក្នុងន័យដូចគ្នា" បន្ទាប់មកក្នុងករណីរបស់យើងជាមួយនឹងនិយមន័យនៃ PB, "មួយ និងដូចគ្នា" គឺដូចគ្នាបេះបិទនៅក្នុងអត្ថន័យនៃគំនិតនៃ "ផ្សេងទៀត" នៅក្នុង Plato ។ ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងនិយមន័យរបស់ Plato យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបដិសេធច្បាប់នៃភាពផ្ទុយគ្នា។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាស៊េរីនៃលេខធម្មជាតិ៖ 1, 2, 3, 4, 5… ជាឧទាហរណ៍នៃភាពគ្មានដែនកំណត់។ ប្រសិនបើយើងយកគូនៃលេខជិតខាងណាមួយ នោះវាមិនអាចទៅរួចទេសម្រាប់សមាមាត្រទាំងបីប្រភេទរបស់ពួកគេដើម្បីជាការពិតក្នុងទំហំ: 3> 4, 4> 3 ឬ 3 = 4 ។ ប្រសិនបើយើងយកលេខកំណត់ 4 នោះ ជាឧទាហរណ៍ ទាក់ទងនឹងទំហំរបស់វា វាមិនអាចធំជាងខ្លួនវាបានទេ។ ចំណែកឯនៅក្នុងស៊េរីលេខគ្មានកំណត់ តម្លៃនៃលេខតែងតែផ្លាស់ប្តូរ ហើយយើងមិនអាចអនុវត្តច្បាប់នៃភាពផ្ទុយគ្នាជាច្បាប់នៃភាពប្រាកដប្រជាចំពោះវាបានទេ។ដូច្នេះ ភាពគ្មានដែនកំណត់មានសក្តានុពលស្មើគ្នានៅក្នុងលេខទាំងអស់នៃស៊េរីធម្មជាតិ៖ 1 និងផ្សេងទៀត (2) និងផ្សេងទៀត (3) និងផ្សេងទៀត (4) ។ ដូច្នេះសញ្ញានៃការបំបែកត្រូវតែត្រូវបានជំនួសដោយការភ្ជាប់។ ហើយ​ការ​ដាក់​ឱ្យ​ប្រើ​ច្បាប់ coincidentia oppositorum ជំនួស​ឱ្យ​ច្បាប់​នៃ​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា​នាំ​ឱ្យ​មាន​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា ។ អ្វី​ទៅ​ជា​ការ​ខុស​គ្នា? នេះគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្ទុយ។

ហើយជាចុងក្រោយ ឧទាហរណ៍នៃពាក្យកុហកបោកប្រាស់។ នរណាម្នាក់និយាយថា "ខ្ញុំកំពុងនិយាយកុហក" ។ ប្រសិនបើគាត់និយាយកុហកដូច្នេះ អ្វី​ដែល​គាត់​និយាយ​គឺ​ជា​ការ​កុហក ដូច្នេះ​ហើយ​គាត់​មិន​កុហក​ទេ។ បើគាត់មិនកុហកទេអ្វី​ដែល​គាត់​និយាយ​គឺ​ជា​ការ​ពិត ហើយ​ដូច្នេះ​គាត់​កំពុង​តែ​កុហក។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយវាប្រែថាគាត់កំពុងនិយាយកុហកហើយមិនកុហកក្នុងពេលតែមួយ [Logical dictionary-reference. N.I. ខុនដាកូវ។ វិទ្យាសាស្ត្រ។ M. , 1976 ។ ស.៤៣៣]។ នៅក្នុងភាពផ្ទុយគ្នានេះ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងការរំលោភបំពានដោយចេតនានៃច្បាប់នៃភាពផ្ទុយគ្នា។ វាមិនអាចទៅរួចទេដែលនរណាម្នាក់កុហកនិងមិនកុហកនៅក្នុងការគោរពដូចគ្នា។ ហើយ​ការ​បំពាន​នេះ​គឺ​មាន​នៅ​ក្នុង​រចនាសម្ព័ន្ធ​នៃ​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា​។

ដូច្នេះ ដូចដែល Zenkin បង្ហាញ ហើយនេះបន្តពីការវិភាគនៃភាពមិនដូចគ្នានេះដោយផ្អែកលើតក្កវិជ្ជាបុរាណ ការរំលោភលើច្បាប់នៃភាពផ្ទុយគ្នាគឺបង្កប់ដោយអត្ថន័យនៅក្នុងខ្លឹមសារនៃគោលគំនិតនៃភាពគ្មានព្រំដែនដែលមានសក្តានុពល ដែលនាំទៅដល់បាតុភូតនៃភាពផ្ទុយគ្នា។. ប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីស៊េរីនៃលេខធម្មជាតិ នោះលេខធម្មជាតិនីមួយៗដែលបង្កើតជាស៊េរីគឺត្រូវបានបញ្ចូលទាំងពីរ និងមិនរាប់បញ្ចូលក្នុងស៊េរីលេខធម្មជាតិដែលគ្មានកំណត់។ ទីមួយ លេខមួយ ឧទាហរណ៍ 5 បញ្ចូលនៅពេលដែលយើងទៅដល់វាកំឡុងពេលគណនា ហើយបន្ទាប់មកលេខ 6 ផ្លាស់ប្តូរវា ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ភាពប្រាកដប្រជាកំពុងផ្លាស់ប្តូរឥតឈប់ឈរ ដូច្នេះហើយ ប្រហែលជាមិនអាចទៅរួចនោះទេ រូបរាងនៃភាពផ្ទុយគ្នា។

ប្រសិនបើនៅក្នុងគោលគំនិតនៃ AB ភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា និងធម្មជាតិនៃគំនិតនេះគឺជាក់ស្តែង នោះនៅក្នុងគំនិតនៃ PB វាត្រូវបានលាក់។

ការយល់ដឹងអំពីធម្មជាតិនៃ PB មនុស្សម្នាក់មិនអាចព្រងើយកន្តើយនឹងគោលគំនិតនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រគ្មានកំណត់បានទេ។ ចូរយើងពិចារណាគំនិតទាំងនេះឱ្យបានលម្អិតបន្ថែមទៀត។

លំដាប់នៃលេខធម្មជាតិ 1, 2, 3, ..., (1)

តំណាងឱ្យឧទាហរណ៍ដំបូង និងសំខាន់បំផុតនៃសំណុំគ្មានកំណត់។ ចាប់តាំងពីសម័យ Hegel នព្វន្ធគ្មានដែនកំណត់នៃស៊េរីធម្មជាតិ 1 + 1 + 1 + ... ដោយសារតែភាពអស់សង្ឃឹមរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា "អាក្រក់" ឬ "អាក្រក់" គ្មានដែនកំណត់។

Geometric Infinity មាននៅក្នុងការបែងចែកគ្មានដែនកំណត់នៃផ្នែកជាពាក់កណ្តាល។ លោក Pascal បានសរសេរខាងក្រោមអំពីភាពគ្មានកំណត់នៃធរណីមាត្រថា “គ្មានធរណីមាត្រណាដែលមិនជឿថាលំហអាចបែងចែកទៅជាគ្មានកំណត់នោះទេ។ គាត់មិនអាចធ្វើដោយគ្មានវាបានទេ ដូចជាមនុស្សមិនអាចដោយគ្មានព្រលឹង។ ហើយ​ក៏​មិន​មាន​បុរស​ណា​យល់​ពី​ភាព​មិន​ចេះ​ចប់​មិន​ចេះ​ដែរ…»។ [ A.P. Stakhov នៅក្រោមសញ្ញានៃ "ផ្នែកមាស": ការសារភាពរបស់កូនប្រុសរបស់កងវរសេនាតូចនិស្សិត។ ជំពូកទី 5. ទ្រឹស្ដីរង្វាស់ក្បួន។ ៥.៥. បញ្ហានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ក្នុងគណិតវិទ្យា។ សក្ដានុពល និងគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដ។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm] ។

ជាការពិតណាស់ នេះគឺជាសំណួរដ៏សំខាន់បំផុត ដែលមិនអាចដោះស្រាយបាននៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃគំរូ anthropocentric លេចធ្លោនាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ។

D. Gilbert សរសេរថា "ចំណាប់អារម្មណ៍ឆោតល្ងង់ដំបូងដែលបង្កើតដោយបាតុភូតធម្មជាតិ និងរូបធាតុ" គឺជាការចាប់អារម្មណ៍លើអ្វីមួយជាបន្ត ឥតឈប់ឈរ។ ប្រសិនបើយើងមានដុំលោហៈ ឬបរិមាណជាក់លាក់នៃអង្គធាតុរាវនៅពីមុខយើង នោះគំនិតនេះត្រូវបានដាក់មកលើយើងថា ពួកវាអាចបែងចែកបានដោយឥតកំណត់ ដែលថាបំណែកតូចមួយនៃវត្ថុរាវតាមអំពើចិត្តម្តងទៀតមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែនៅកន្លែងណាដែលវិធីសាស្ត្រនៃការស៊ើបអង្កេតរូបវិទ្យាត្រូវបានកែលម្អឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់ នោះយើងឆ្លងកាត់ដែនកំណត់នៃការបែងចែកនេះ ដែលមិនមែននៅក្នុងភាពមិនល្អឥតខ្ចោះនៃបទពិសោធន៍របស់យើងនោះទេ ប៉ុន្តែនៅក្នុងធម្មជាតិនៃវត្ថុនោះផ្ទាល់ ដើម្បីឱ្យមនុស្សម្នាក់អាចយល់ឃើញដោយផ្ទាល់។ និន្នាការនៃវិទ្យាសាស្រ្តសម័យទំនើបជាការរំដោះពីតូចគ្មានកំណត់; ឥឡូវនេះ វាអាចទៅរួចក្នុងការប្រឆាំងនឹងនិក្ខេបបទចាស់ "natura nonfacit saltus" (ធម្មជាតិមិនលោតផ្លោះ) ជាមួយនឹងការប្រឆាំង៖ "ធម្មជាតិធ្វើឱ្យលោត" [Gilbert D. On the Infinite ។ ប្រភពស្កេន៖ Gilbert D. On the Infinite // Him ។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃធរណីមាត្រ។ - M.-L. , 1948. 491 ទំ។ (អត្ថបទសង្ខេបពី Mathematischen Annalen, v. 95 ។ ) - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.fidel-kastro.ru/matematika/gilbert/hilbert2.htm] ។

“ការបែងចែកគ្មានកំណត់មានតែនៅក្នុងគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ។ នៅក្នុងធម្មជាតិ ការពិសោធន៍រូបវិទ្យា និងគីមីវិទ្យា រកមិនឃើញទេ ដូច្នេះហើយ នេះគ្រាន់តែជាគំនិតគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ ដែលជាផលិតផលនៃការគិតគណិតវិទ្យា! គំនិត សកលលោកគ្មានកំណត់ត្រួតត្រាអស់រយៈពេលជាយូរមុនពេល Kant និងក្រោយ។ ប៉ុន្តែគំនិតនេះគឺជាផ្នែកបញ្ច្រាសនៃដែនកំណត់នៃបទពិសោធន៍របស់យើង និងដំណើរការនៃការយល់ដឹង” [Ibid.] ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃធរណីមាត្រគ្មានដែនកំណត់ ជាការបែងចែកគ្មានដែនកំណត់នៃផ្នែកមួយនៅក្នុងពាក់កណ្តាល គឺមិនអាចដោះស្រាយបានក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃធរណីមាត្រ ហើយទាមទារឱ្យមានការចូលរួមពីទស្សនវិជ្ជា និងទ្រឹស្ដី។

ទីមួយដំណើរការនៃការបែងចែកផ្នែកបង្ហាញពីទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃការគិតសមហេតុផល - ការបំផ្លាញ (ការបែងចែក) នៃវត្ថុដែលកំពុងសិក្សា។ ការយល់ដឹងធ្វើសកម្មភាពក្នុងវិធីបែងចែកទាក់ទងនឹងវត្ថុរបស់វា ដោយសារភាពប្រាកដប្រជាត្រូវបានសម្រេច។

ទីពីរ។ ការបែងចែកគ្មានកំណត់នៃផ្នែកមួយគឺដោយសារតែការពិតដែលថាផ្នែកធរណីមាត្រគឺជាទម្រង់នៃបរិមាណបន្ត។ ហើយបរិមាណខ្លួនវាគឺជាអរូបីនៃវត្ថុដែលសមហេតុសមផល ដោយមិនគិតពីគុណភាព។

នៅក្នុងពិភពវត្ថុបំណងមិនមានបរិមាណសុទ្ធទេ អ្វីៗទាំងអស់មានរង្វាស់ ហើយអរគុណចំពោះវា ដែលពួកវាដូចគ្នាបេះបិទនឹងខ្លួន និងខុសពីអ្នកដទៃ។ រង្វាស់គឺជាការឯកភាពដោយផ្ទាល់នៃគុណភាព និងបរិមាណ។ នៅក្នុងផ្នែកធរណីមាត្រ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងភាពធំធេង ពោលគឺឧ។ វិធានការហួសពីដែនកំណត់នៃភាពប្រាកដប្រជាគុណភាពរបស់វា។ វត្ថុបំណងណាមួយមានដែនកំណត់នៃគុណភាពរបស់វា។ ប្រសិន​បើ​គេ​ត្រូវ​បំផ្លាញ នោះ​របស់​ខ្លួន​ឯង​ក៏​ត្រូវ​បំផ្លាញ។ ដូច្នេះ វត្ថុដែលសមហេតុសមផល (កំណត់) មិនអាចបែងចែកទៅជាស្ថានភាពនៃសក្តានុពល (អាក្រក់) គ្មានកំណត់នោះទេ។ ការកំណត់គុណភាពនៃវត្ថុមួយប្រឆាំងនឹងដំណើរការនៃការបែងចែកនេះ។ ឧទាហរណ៍ ដើមឈើមួយដុំអាចបែងចែកបាន ដរាបណាបំណែកនៃការបែងចែករក្សាបាននូវលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ដើមឈើនេះ ពោលគឺឧ។ ទៅព្រំដែនម៉ូលេគុលនៃម៉ូលេគុលសែលុយឡូស។ ការបែងចែកបន្ថែមទៀតនៃម៉ូលេគុលសែលុយឡូសគឺជាដំណើរការនៃការបែងចែកវត្ថុមួយផ្សេងទៀតដូច្នេះដំណើរការនៃការបែងចែកឈើមានដែនកំណត់ទាបជាង - ម៉ូលេគុលសែលុយឡូស។ ការបែងចែកម៉ូលេគុលនឹងមានកម្រិតទាបជាងនៅកម្រិតអាតូមិក។ ការបែងចែក អាតូមជាក់លាក់ធាតុ​នឹង​នាំ​ឱ្យ​មាន​ការ​បែង​ចែក​ទៅ​កម្រិត​នៃ​ផ្នែក subatomic ។ល។ អាស្រ័យហេតុនេះ ការបែងចែកវត្ថុបំណងណាមួយមានកំណត់។ ប្រសិនបើយើងពិចារណាដំណើរការនៃការបែងចែកដោយមិនគិតពីគុណភាព និងការវាស់វែង នោះដំណើរការនៃការបែងចែកពិតជាក្លាយជាគ្មានកំណត់។ ប៉ុន្តែតើយើងវាស់វែងអ្វីនៅពេលនោះ? អរូបីនៃវត្ថុកំណត់ - បញ្ហា។ វត្ថុដែលជាវត្ថុសមហេតុសមផល (នៅក្នុងធម្មជាតិ ដើមកំណើត ការពិតដែលមិនផ្លាស់ប្តូរ) មិនមានទេ វាគឺជាផលិតផលដូចគ្នានៃគំនិតអរូបី ដូចជាផ្នែកធរណីមាត្រខ្លួនឯង។

ដូច្នេះ ទាំងផ្នែកធរណីមាត្រ និងរូបធាតុ គឺអាចបែងចែកបានរហូតដល់ភាពអាក្រក់ (សក្តានុពល) គ្មានដែនកំណត់។ ប៉ុន្តែនៅទីនេះ យើងមិនបានដោះស្រាយជាមួយនឹងអ្វីដែលសមហេតុសមផលពិតប្រាកដនោះទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងបរិមាណដ៏បរិសុទ្ធ ដែលមិនមានវិធានការនៅក្នុងខ្លួនវា ដូច្នេះហើយ វាតែងតែហួសពីដែនកំណត់របស់វា។ វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែល Hegel បានសរសេរនៅក្នុងវិទ្យាសាស្រ្តនៃតក្កវិជ្ជាថា គំនិតនៃបរិមាណមានតម្រូវការដើម្បីហួសពីព្រំដែនរបស់វា។

ត្រឡប់ទៅនិយមន័យរបស់អារីស្តូតវិញ៖ “បរិមាណគឺផ្នែកដែលបែងចែកជាផ្នែកៗរបស់វា ដែលផ្នែកនីមួយៗ ទោះមានពីរ ឬច្រើនក៏ដោយ គឺដោយធម្មជាតិមួយ និងរបស់ជាក់លាក់មួយ…” [អារីស្តូត។ អូ។ ក្នុង 4 ភាគ។ ភាគ 1. M.: Thought, 1976, p. 164] វាច្បាស់ណាស់ថាគណិតវិទ្យាទាក់ទងនឹងបរិមាណសុទ្ធ i.e. មិនមែនជាមួយនឹងបរិមាណសមហេតុសមផលនៃវត្ថុកំណត់ដែលរូបវិទ្យាសិក្សានោះទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងបរិមាណដែលមិនអាចវាស់វែងបានដ៏បរិសុទ្ធ - ចំនួន និងទំហំ។ ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងធម្មជាតិដែលយល់ឃើញជាប្រធានបទនៃរូបវិទ្យា មិនត្រឹមតែមានសក្តានុពល ឬភាពគ្មានទីបញ្ចប់ប៉ុណ្ណោះទេ។ ពិភពលោក​គឺ​មាន​កម្រិត​ទាំង​ក្នុង​ន័យ​ទូលំទូលាយ និង​ខ្លាំង​ក្លា។ មិន​ចម្លែក​ទេ អារីស្តូត​បាន​កត់​សម្គាល់ ភាពគ្មានទីបញ្ចប់មិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទាំងអារម្មណ៍ឬចិត្តហើយបានហៅវាថាជាគំនិតខុសច្បាប់. ព្រះបានរៀបចំអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងលោកីយ៍នេះ ទៅតាមរង្វាស់ ចំនួន និងទំហំ (បទគម្ពីរបរិសុទ្ធ)។

នៅក្នុងឋានានុក្រមនៃទម្រង់នៃការយល់ដឹង អារីស្តូតបន្ទាប់ពី metaphysics (ក្រោមការដែលគាត់យល់យ៉ាងតឹងរឹងបានយល់ពីទ្រឹស្ដីជាវិទ្យាសាស្ត្រនៃភាពអស់កល្បជានិច្ច) ជាទស្សនវិជ្ជាដំបូងគេដាក់រូបវិទ្យា ហើយមានតែគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ។ ហើយនេះជាការពិត ចាប់តាំងពីមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យា - បរិមាណសុទ្ធ មានឫសគល់នៅក្នុងធម្មជាតិនៃសម្ភារៈសមរម្យ។ ប្រធានបទរបស់វាគឺចំនួន និងទំហំជាទម្រង់នៃបរិមាណអរូបី។ ការអភិវឌ្ឍន៍ប្រវត្តិសាស្ត្រ ទម្រង់អរូបីនៅក្នុងគណិតវិទ្យានាំឱ្យការពិតដែលថាប្រធានបទសំខាន់នៃការសិក្សារបស់វាគឺលំហនៃវត្ថុគណិតវិទ្យាដ៏ល្អ: ចំនួន, រ៉ិចទ័រ, ចំណុច, បន្ទាត់, សំណុំ។ គោលគំនិតនៃភាពគ្មានដែនកំណត់ដែលមានសក្តានុពលគឺជាផ្នែកមួយនៃពួកគេ។ ដូច្នេះហើយ ការសន្និដ្ឋានដែលបង្ហាញខ្លួនឯងនៅទីនេះ គឺដំបូងបង្អស់ ចាំបាច់ត្រូវទទួលស្គាល់យ៉ាងច្បាស់នូវលក្ខណៈពិសេស និងព្រំដែននៃគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ។ ហើយទីពីរនៅក្នុងការសិក្សាអំពីធម្មជាតិ (រូបវិទ្យា ជីវវិទ្យា។ ហើយទោះបីជាប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគណិតវិទ្យាមានឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃអន្តរកម្មបញ្ច្រាសក៏ដោយក៏ការអនុវត្តនេះមានករណីលើកលែងជាមូលដ្ឋានជាច្រើន។

6. ទ្រឹស្តីលេខ និងទ្រឹស្តីកំណត់ G. Kantor

"ប្រធានបទនៃទ្រឹស្តីលេខស្របគ្នា។

មុខវិជ្ជា (សិក្សា) នៃគណិតវិទ្យាទាំងអស់។

A.M. Vinogradov

ជាប្រវត្តិសាស្ត្រ ការបង្កើតគោលគំនិតនៃលេខបានធ្វើឡើងនៅលើមូលដ្ឋាននៃប្រតិបត្តិការផ្លូវការនៃការធ្វើទូទៅ (ការពង្រីក) នៃបរិមាណ ដោយសារតែការបញ្ចូលប្រភេទលេខថ្មី (សំណុំ) នៅក្នុងសមាសភាពរបស់វា។

គំនិតដំបូងអំពីលេខកើតចេញពីការរាប់មនុស្ស សត្វ ផ្លែឈើ ផលិតផលផ្សេងៗ។ល។ លទ្ធផលគឺលេខធម្មជាតិ៖ ១, ២, ៣, ៤, ...

នៅពេលរាប់វត្ថុនីមួយៗ មួយគឺជាចំនួនតូចបំផុត ហើយវាមិនចាំបាច់ទេ ហើយពេលខ្លះមិនអាចទៅរួចក្នុងការបែងចែកវាទៅជាភាគហ៊ុន ទោះជាយ៉ាងនេះក្តី សូម្បីតែការវាស់វែងនៃបរិមាណក៏ដោយ ក៏ត្រូវបែងចែក 1 ទៅជាភាគហ៊ុនដែរ។ ជាប្រវត្តិសាស្ត្រ ការបន្ថែមដំបូងនៃគោលគំនិតនៃលេខគឺការបន្ថែមលេខប្រភាគទៅជាលេខធម្មជាតិ។ សេចក្តីណែនាំនៃលេខប្រភាគត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងតម្រូវការក្នុងការធ្វើការវាស់វែង។ ការវាស់វែងនៃតម្លៃណាមួយមាននៅក្នុងការប្រៀបធៀបវាជាមួយមួយផ្សេងទៀត មានលក្ខណៈដូចគ្នាជាមួយនឹងវា ហើយយកជាឯកតារង្វាស់។ ការប្រៀបធៀបនេះត្រូវបានអនុវត្តដោយមធ្យោបាយនៃប្រតិបត្តិការជាក់លាក់នៃ "ការទុកចោល" ឯកតារង្វាស់នៅលើរង្វាស់ និងរាប់ចំនួននៃការថយក្រោយបែបនេះ។ នេះជារបៀបដែលប្រវែងត្រូវបានវាស់ដោយកំណត់ផ្នែកដែលយកជាឯកតារង្វាស់ បរិមាណរាវត្រូវបានវាស់ដោយប្រើធុងវាស់។ល។

ប្រភាគគឺជាផ្នែកមួយ (ចំណែក) នៃឯកតា ឬផ្នែកស្មើគ្នាជាច្រើនរបស់វា។

កំណត់៖ ដែល m និង n ជាចំនួនគត់; - ការកាត់បន្ថយប្រភាគ; - ផ្នែកបន្ថែម។ ប្រភាគដែលមានភាគបែងនៃ 10 n ដែល n ជាចំនួនគត់ត្រូវបានគេហៅថាទសភាគ។

ក្នុងចំណោម ប្រភាគទសភាគ កន្លែងពិសេសកាន់កាប់ប្រភាគតាមកាលកំណត់៖ - ​​ប្រភាគតាមកាលកំណត់សុទ្ធ, - ប្រភាគតាមកាលកំណត់ចម្រុះ

ការពង្រីកបន្ថែមទៀតនៃគោលគំនិតនៃចំនួនត្រូវបានបង្កឡើងដោយការអភិវឌ្ឍនៃគណិតវិទ្យាខ្លួនវា (ពិជគណិត)។ Descartes នៅសតវត្សទី 17 ណែនាំគំនិត លេខអវិជ្ជមានដែលបានផ្តល់ការបកស្រាយធរណីមាត្ររបស់វាជាទិសដៅនៃផ្នែក។ ការបង្កើតដោយ Descartes ធរណីមាត្រវិភាគដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីពិចារណាឫសនៃសមីការជាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃខ្សែកោងមួយចំនួនជាមួយនឹងអ័ក្ស abscissa ទីបំផុតបានលុបភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានរវាងឫសវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាននៃសមីការ ការបកស្រាយរបស់ពួកគេបានប្រែទៅជាសំខាន់។ ដូច​គ្នា។

លេខទាំងមូល (វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន) ប្រភាគ (វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន) និងសូន្យត្រូវបានគេហៅថា លេខសមហេតុផល. លេខសនិទានភាពណាមួយអាចត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគកំណត់ និងតាមកាលកំណត់។

សំណុំនៃលេខសនិទានប្រែថាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការសិក្សាការផ្លាស់ប្តូរអថេរជាបន្តបន្ទាប់។ នៅទីនេះ ការបន្ថែមថ្មីនៃគោលគំនិតនៃចំនួនបានប្រែទៅជាចាំបាច់ដែលមាននៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរពីសំណុំនៃលេខសនិទានទៅជាសំណុំនៃចំនួនពិត (ពិត)។ ការណែនាំនៃចំនួនពិតបានកើតឡើងដោយការបន្ថែមលេខមិនសមហេតុផលទៅជាលេខសនិទាន៖ លេខអសមហេតុផលគឺជាប្រភាគទសភាគគ្មានទីបញ្ចប់។

លេខមិនសមហេតុផលបានលេចឡើងនៅពេលវាស់ផ្នែកដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន (ចំហៀង និងអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ) ជាពិជគណិត - នៅពេលស្រង់ឫស ឧទាហរណ៏នៃលេខអសមតុល្យវិសេសគឺ π, អ៊ី។

និយមន័យច្បាស់លាស់នៃគោលគំនិតនៃចំនួនពិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយស្ថាបនិកមួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាគឺ I. Newton នៅក្នុង "នព្វន្ធទូទៅ": "តាមចំនួន យើងមានន័យថាមិនច្រើនទេ សំណុំនៃឯកតា ប៉ុន្តែសមាមាត្រអរូបីនៃ បរិមាណខ្លះទៅបរិមាណផ្សេងទៀតនៃប្រភេទដូចគ្នា ដែលយើងយកជាឯកតា។ រូបមន្តនេះផ្តល់និយមន័យតែមួយនៃចំនួនពិត សនិទាន ឬមិនសមហេតុផល។ ក្រោយមកទៀតនៅទសវត្សរ៍ទី 70 ។ សតវត្សទី 19 គំនិតនៃចំនួនពិតប្រាកដត្រូវបានកែលម្អដោយផ្អែកលើការវិភាគស៊ីជម្រៅនៃគោលគំនិតនៃការបន្តនៅក្នុងស្នាដៃរបស់ R. Dedekind, G. Kantor និង K. Weierstrass ។

យោងទៅតាម Dedekind លក្ខណៈសម្បត្តិបន្តនៃបន្ទាត់ត្រង់គឺថា ប្រសិនបើចំនុចទាំងអស់ដែលបង្កើតជាបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបែងចែកជាពីរថ្នាក់ ដូច្នេះចំនុចនីមួយៗនៃថ្នាក់ទីមួយស្ថិតនៅខាងឆ្វេងនៃចំនុចនីមួយៗនៃថ្នាក់ទីពីរ (“break " បន្ទាត់ត្រង់ជាពីរផ្នែក) បន្ទាប់មកនៅក្នុងថ្នាក់ទីមួយមានចំណុចខាងស្តាំបំផុតឬនៅក្នុងទីពីរ - ចំណុចខាងឆ្វេងបំផុតពោលគឺចំណុចដែល "បំបែក" នៃបន្ទាត់បានកើតឡើង។

សំណុំនៃលេខសនិទានភាពទាំងអស់មិនមានទ្រព្យសម្បត្តិបន្តទេ។ ប្រសិនបើសំណុំនៃលេខសនិទានភាពទាំងអស់ត្រូវបានបែងចែកទៅជាពីរថ្នាក់ ដូច្នេះចំនួននីមួយៗនៃថ្នាក់ទីមួយគឺតិចជាងចំនួននីមួយៗនៃថ្នាក់ទីពីរ បន្ទាប់មកជាមួយនឹងភាគថាសបែបនេះ (ផ្នែក "របស់ Dedekind) វាអាចនឹងបង្ហាញថានៅក្នុងថ្នាក់ទីមួយ វានឹងមិនមានចំនួនធំបំផុតទេ ហើយនៅក្នុងទីពីរ - តិចបំផុត។ ដូច្នេះវានឹងក្លាយជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើលេខសនិទានអវិជ្ជមានទាំងអស់ លេខសូន្យ និងលេខវិជ្ជមានទាំងអស់ដែលការេតិចជាងពីរត្រូវបានផ្តល់ទៅថ្នាក់ទីមួយ ហើយលេខវិជ្ជមានទាំងអស់ដែលការ៉េធំជាងពីរត្រូវបានផ្តល់ទៅឱ្យទីពីរ។ ការកាត់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាមិនសមហេតុផល។ បន្ទាប់មកនិយមន័យខាងក្រោមនៃចំនួនមិនសមហេតុផលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ ផ្នែកមិនសមហេតុផលនីមួយៗនៅក្នុងសំណុំនៃលេខសនិទានភាពត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយចំនួនមិនសមហេតុផល ដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាធំជាងលេខណាមួយនៃថ្នាក់ដំបូង និងតិចជាងចំនួនណាមួយនៃថ្នាក់ខាងលើ។ ចំនួនសរុបនៃចំនួនពិតទាំងអស់ សនិទាន និងអសមហេតុផល មានទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបន្តរួចហើយ។

ហេតុផលរបស់ Cantor សម្រាប់គោលគំនិតនៃចំនួនពិតខុសពី Dedekind ប៉ុន្តែក៏ផ្អែកលើការវិភាគនៃគោលគំនិតនៃការបន្ត។ ទាំងនិយមន័យរបស់ Dedekind និងនិយមន័យរបស់ Cantor ប្រើអរូបីនៃភាពគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដ។ ដូច្នេះនៅក្នុងទ្រឹស្ដីរបស់ Dedekind ចំនួនមិនសមហេតុផលត្រូវបានកំណត់ដោយមធ្យោបាយនៃផ្នែកមួយនៅក្នុងចំនួនសរុបនៃចំនួនសនិទានទាំងអស់ ដែលត្រូវបានគិតដូចដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងមូល។

ទាំងអស់។ ចំនួនពិតអាចត្រូវបានបង្ហាញនៅលើបន្ទាត់លេខ។ អ័ក្សលេខ (បន្ទាត់លេខ)៖

ក) បន្ទាត់ត្រង់ផ្តេកជាមួយនឹងទិសដៅដែលបានជ្រើសរើសនៅលើវា;

ខ) ចំណុចយោង - ចំណុច 0;

គ) ឯកតាមាត្រដ្ឋាន

[សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150404/Number]។

រហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ មានកម្រិតទូទៅចំនួនប្រាំពីរដែលទទួលយកបានជាទូទៅនៃលេខ៖ ធម្មជាតិ សនិទានភាព ពិត ស្មុគស្មាញ វ៉ិចទ័រ ម៉ាទ្រីស និងលេខឆ្លងកាត់។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រខ្លះស្នើឱ្យពិចារណាមុខងារជាលេខមុខងារ និងពង្រីកកម្រិតនៃភាពទូទៅនៃលេខដល់ដប់ពីរកម្រិត។

[Anishchenko Evgeny Alexandrovich ។ "លេខជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃគណិតវិទ្យា"។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://www.referat.ru/referats/view/7401] ។

អ្នកវិទ្យាសាស្ត្ររុស្ស៊ី Ozolin E.E. បានបង្ហាញនូវគំនិតដ៏សំខាន់មួយដែលបង្ហាញយ៉ាងត្រឹមត្រូវនូវបរិយាកាសបញ្ញាសម័យទំនើបនៅក្នុងសហគមន៍គណិតវិទ្យា។ មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹងថាទ្រឹស្ដីលេខគឺជាផ្នែកដ៏ស្មុគស្មាញ និងសំខាន់បំផុតនៃគណិតវិទ្យា។ យ៉ាង​ណា​មិញ ទ្រឹស្ដី​នៃ​លេខ​ហាក់​ដូច​ជា​ត្រូវ​បាន​គេ​មើល​រំលង។ ខណៈពេលដែលការផ្លាស់ប្តូរមិនសំខាន់បំផុតនៅក្នុងទ្រឹស្តីនេះអាចបង្កឱ្យមាន "ព្យុះ" នៅក្នុងផ្នែកទាំងអស់នៃគណិតវិទ្យា [Ozolin E.E. (អូហ្សេស) ខែតុលា ឆ្នាំ ២០០៤។ គំនិតនៃលេខមួយ។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm] ។

លើសពីនេះទៅទៀត - E.E. Ozolin សរសេរដោយការភ្ញាក់ផ្អើល - ទោះបីជាការពិតដែលថាក្រិកបុរាណដឹងឆ្ងាយពីអ្វីគ្រប់យ៉ាងអំពីលេខក៏ដោយអ្វីដែលសោកសៅគឺការពិតដែលថា "អ្នកគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប (មិននិយាយអំពីអ្នកផ្សេងទៀតទាំងអស់) មានគំនិតនិងចំណេះដឹងដែលលេខជួនកាលទាបជាង។ ទៅក្រិកបុរាណ។

នេះ​អ្នក​ឃើញ​ថា​មិន​សម​ហេតុ​ផល​រួច​ទៅ​ហើយ» [Ibid.] ។

ជាការបញ្ជាក់ពីការពិចារណានេះ E.E. Ozolin ធ្វើការវិភាគប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគោលការណ៍សម្រាប់ការសាងសង់គោលគំនិតនៃចំនួន ហើយឈានដល់ការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម។ គណិតវិទ្យាអ៊ឺរ៉ុប ជាពិសេសតាំងពីសតវត្សទី 13 មក បង្កើតគោលគំនិតនៃលេខ យោងទៅតាមគោលការណ៍នៃការដាក់សំបុករបស់ Thales spheres “នោះគឺ សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានបណ្តាក់ទុកក្នុងសំណុំនៃចំនួនគត់ សំណុំនៃចំនួនគត់ត្រូវបានបណ្តាក់ទុកនៅក្នុងសំណុំ។ នៃចំនួនសនិទានភាព សំណុំនៃចំនួនសនិទានត្រូវបានវិនិយោគនៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនពិត សំណុំនៃចំនួនពិតត្រូវបានបង្កប់នៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច។ល។)” [Ibid.] ។ "ហើយទោះបីជាការពិតដែលថាទាំង Kurt Gödel ពីទស្សនៈនៃតក្កវិជ្ជាផ្លូវការ (ត្រឡប់មកវិញក្នុងឆ្នាំ 1931) និងខ្លួនខ្ញុំផ្ទាល់ពីទស្សនៈនៃ metamathematics បានបង្ហាញជាយូរមកហើយនិងបញ្ជាក់ឡើងវិញថារចនាសម្ព័ន្ធប្រាំស្រទាប់នៃ spheres spheres មិនអាចពេញលេញនិង ត្រឹមត្រូវតាមតក្កវិជ្ជា យើងម្តងហើយម្តងទៀត យើងត្រូវប្រឈមមុខនឹង " dogmas សាលា" ដែលខុសឆ្គងក្នុងទម្រង់នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដោយសមហេតុផល ដែលឧទាហរណ៍ លេខធម្មជាតិគឺជាសំណុំរងនៃលេខសនិទាន។

ដូច្នេះ ជាថ្មីម្តងទៀត ខ្ញុំចង់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នកចំពោះការពិតដែលថា វាមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងក្របខណ្ឌនៃគណិតវិទ្យា យើងអាចនិយាយបានតែអំពីសមភាពផ្លូវការនៃលេខធម្មជាតិ 1 (មួយ) ដល់លេខសនិទានភាព 1.00(0) ទៅមួយ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ អត្ថន័យឡូជីខល គណិតវិទ្យា (និងរូបវន្ត!) នៃលេខទាំងនេះគឺខុសគ្នាទាំងស្រុង។ ឧទាហរណ៍ ឯកតាធម្មជាតិគឺជាលេខដែលនៅពេលបន្ថែមទៅលេខដែលមានស្រាប់ ផ្តល់លេខបន្ទាប់ ឯកតាសនិទានភាពជាលេខដែលនៅពេលគុណនឹង លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនប្រែអត្ថន័យ! តើឯកតាអាចផ្លាស់ប្តូរអត្ថន័យយ៉ាងដូចម្តេច” [Ibid.] ???

"លើសពីនេះទៅទៀត - បន្ត E.E. Ozolin - លេខធម្មជាតិនិងសនិទានភាពជាកម្មសិទ្ធិរបស់រចនាសម្ព័ន្ធលោហធាតុខុសគ្នាទាំងស្រុង។ ដូច្នេះហើយ យើងមិនអាចសូម្បីតែនិយាយអំពីទំនាក់ទំនងគណិតវិទ្យាផ្លូវការនៃលេខទាំងនេះ។

នៅ glance ដំបូង វាហាក់ដូចជាថាបញ្ហានៃភាពខុសគ្នាឡូជីខលរវាងលេខធម្មជាតិ និងសនិទានភាពដែលខ្ញុំបានចង្អុលបង្ហាញគឺ "មិនសមហេតុផលទេ" ។ ហើយគណិតវិទូភាគច្រើន ទោះបីជាពួកគេយល់ស្របជាមួយខ្ញុំក៏ដោយ ក៏ប្រាកដជានឹងនិយាយថា “ឯកតាក៏ជាឯកតានៅក្នុងទ្វីបអាហ្រ្វិកដែរ ហើយតើវាខុសគ្នាត្រង់ណាដែលធ្វើឱ្យអត្ថន័យគណិតវិទ្យា និងតក្កវិជ្ជាដាក់ចូលទៅក្នុងពួកវា ដូចគ្នា ឬខុសគ្នា” [Ibid.] .

ប៉ុន្តែទស្សនៈបែបនេះគឺជាការយល់ខុសដ៏ធំមួយ - "ទេវកថាដ៏គ្រោះថ្នាក់នៃការអប់រំនៅសាលា" ដែលមិនមានមូលដ្ឋានគណិតវិទ្យានិងឡូជីខល។ «ហើយ​នៅ​ពេល​ការ​ពិចារណា​កាន់តែ​ជិត​និង​ល្អិតល្អន់ វា​បាន​បង្ហាញ​ថា​ភាព​ខុស​គ្នា​ក្នុង​ន័យ​ឡូជីខល​នៃ​ចំនួន​សនិទានភាព​និង​ផល​វិបាក​យ៉ាង​ធ្ងន់ធ្ងរ។ ការអនុវត្តជាក់ស្តែងគណិតវិទ្យា” [ibid.] ។

ហើយនៅក្នុងការសន្និដ្ឋាន E.E. Ozolin ធ្វើការសន្និដ្ឋានដោយស្មោះត្រង់ដូចខាងក្រោម: " ... គណិតវិទ្យា​ជា​វិទ្យាសាស្ត្រ​សេរី​ខ្លាំង​ណាស់ ហើយ​ភាព​រឹង​មាំ​នៃ​គណិតវិទ្យា​គឺ​មាន​តែ​ជាក់ស្តែង​ប៉ុណ្ណោះ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អ្នកអាចបង្កើតរចនាសម្ព័ន្ធ axiomatic ដែលមិនគួរឱ្យជឿបំផុតណាមួយ ហើយស្វែងយល់ពីពួកវា ទោះបីជាវាគ្មានន័យ និងអរូបីពីការពិតយ៉ាងណាក៏ដោយ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត បង្កើត និងព្យាយាមឱ្យអស់ពីចិត្ត។ នៅក្នុង metamathematics វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើដូចនេះ ហើយរចនាសម្ព័ន្ធទាំងអស់នៃ metamathematics វិធីមួយឬផ្សេងទៀតត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយការពិត។ Paradoxical ដូចដែលវាហាក់ដូចជាការពិតប្រែទៅជាសម្បូរបែបជាង "ការស្រមើលស្រមៃរបស់យើង" ។"[Ibid.] ។

ត្រឡប់ទៅប្រធានបទភ្លាមៗនៃការសិក្សារបស់យើង យើងអាចទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម។ គ្រប់ប្រភេទនៃលេខ (សំណុំលេខ) មានលក្ខណៈឡូជីខលខុសៗគ្នា លក្ខណៈសម្បត្តិគណិតវិទ្យា. ដូច្នេះ វា​ជា​វិធីសាស្ត្រ​មិនត្រឹមត្រូវ​ក្នុង​ការ​បង្កើត​ទ្រឹស្ដី​នៃ​លេខ​ដោយ​ការ​ទូទៅ​ផ្ទាល់។ ទំនាក់ទំនងសំខាន់នៃការសន្និដ្ឋាននេះទាក់ទងនឹងចំនួនធម្មជាតិ និងពិត។ ឯកតានៃចំនួនធម្មជាតិ និងឯកតានៃចំនួនពិតមានប្រភពដើមខុសគ្នាទាំងស្រុង និងលក្ខណៈសម្បត្តិគណិតវិទ្យាផ្សេងគ្នា។ អ្នកមិនអាចវាស់ចំនួនផ្លែប៉ោមដោយប្រើបន្ទាត់បានទេ។ ស្មើៗគ្នា វាមិនអាចទៅរួចទេ មានតែចេះរាប់ និងមិនមានបន្ទាត់នៅនឹងដៃ ដើម្បីវាស់ប្រវែងតុ។ មួយមិនអាចកាត់បន្ថយទៅមួយទៀតបានទេ។ ឯកតា​នៃ​អតីត​គឺ​មិន​អាច​បំបែក​បាន​ខណៈ​ពេល​ដែល​ឯកតា​នៃ​ក្រោយ​គឺ​ចាំបាច់​ត្រូវ​បែងចែក​។ ចំនួនគត់ធម្មជាតិពិតជាលេខក្នុងន័យតឹងរ៉ឹង ខណៈពេលដែលចំនួនពិតជាកម្មសិទ្ធិរបស់ទម្រង់បរិមាណដូចជារ៉ិចទ័រ។ ភាពច្របូកច្របល់រវាងទម្រង់នៃចំនួន និងរ៉ិចទ័រ ដែលត្រលប់ទៅ Pythagoreans គឺជាប្រភពចម្បងនៃវិបត្តិទំនើបក្នុងគណិតវិទ្យា និងតម្រូវការជាមុនដ៏សំខាន់បំផុតសម្រាប់ការគណនានព្វន្ធនៃធរណីមាត្រ និងទ្រឹស្តីកំណត់របស់ G. Cantor ចាប់តាំងពីគំនិតនៃ ការបង្កើតវត្ថុគណិតវិទ្យាដែលអាចបែងចែកបានពីវត្ថុដែលមិនអាចបំបែកបាន ផ្អែកលើការស្ថាបនារបស់ G. Cantor នៃគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដ។

ចំណាំមួយទៀត។ គណិតវិទូសម័យទំនើបមិនត្រឹមតែមិនយល់ពីធម្មជាតិនៃចំនួនមួយ ដូចដែល E. Ozolin បានកត់សម្គាល់ត្រឹមត្រូវនោះទេ ប៉ុន្តែក៏មិនយល់ពីលក្ខណៈឡូជីខល និងគណិតវិទ្យានៃបរិមាណ និងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា (ឧទាហរណ៍ សំណុំ)។

ជាឧទាហរណ៍ ខាងក្រោមនេះជាអ្វីដែលអ្នកគណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញសរសេរអំពីតម្លៃ៖

A.N. សរសេរថា "តម្លៃគឺជាគោលគំនិតគណិតវិទ្យាជាមូលដ្ឋាន អត្ថន័យនៃការដែលជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍនៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានទទួលរងនូវការទូទៅមួយចំនួន" សរសេរ A.N. Kolmogorov [Kolmogorov A.N. តម្លៃ។ - TSB ។ - T. 7. - M. , 1951. C. 340] ។ "នេះ ... ទ្រឹស្តី - គោលលទ្ធិនៃទំហំ - ស្ទើរតែមិនលេង តួនាទីសំខាន់នៅក្នុងការបញ្ជាក់នៃគណិតវិទ្យាទាំងអស់” គណិតវិទូសូវៀតដ៏ល្បីល្បាញ V.F. កាហ្គាន [Kagan V.F. អត្ថបទលើធរណីមាត្រ។ - M. : Moscow University, 1963. S. 109] ។

ចូរយើងរស់នៅលើចុងក្រោយ ដែលអត្ថន័យនៃគំនិតនៃបរិមាណគឺស្រប និងច្បាស់លាស់បំផុត។ V.F. Kagan បានសរសេរថា "... សម្រាប់គណិតវិទូម្នាក់ តម្លៃត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុង នៅពេលដែលសំណុំនៃធាតុ និងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀបត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ" [Ibid., p. 107] ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត បរិមាណគឺជាសំណុំនៃវត្ថុដូចគ្នា ការប្រៀបធៀបនៃធាតុដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រើពាក្យ "ស្មើ" "ធំជាង" "តិច" ។ សំណួរប្រឆាំងមួយកើតឡើង ប្រសិនបើយើងប្រៀបធៀបសំណុំនៃលេខធម្មជាតិមួយនឹងសំណុំជាក់លាក់ផ្សេងទៀតនៃលេខធម្មជាតិដូចគ្នា ឧទាហរណ៍ លេខ 5 និងលេខ 7 តើយើងអាចអនុវត្តលក្ខខណ្ឌខាងលើចំពោះពួកគេបានទេ? សំណួរគឺវោហាសាស្ត្រ។ និយមន័យដែលបានស្នើឡើងនៃគោលគំនិតនៃបរិមាណ ជាការពិត បង្ហាញថាអ្នកនិពន្ធរបស់ខ្លួនមិនបានបែងចែករវាងទាំងពីរនេះទាល់តែសោះ។ គំនិតជាមូលដ្ឋាន(ចំនួននិងទំហំ) ។ អ្នកគាំទ្រទ្រឹស្តីសំណុំ និង Cantor ខ្លួនឯងក៏បានទួញសោកថា គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីនេះក៏ពិបាកកំណត់ផងដែរ។ E. Ozolin នៅក្នុងអត្ថបទរបស់គាត់បានកត់សម្គាល់ថា វាពិបាកណាស់ក្នុងការកំណត់គណិតវិទ្យាជាមុខវិជ្ជា [Ozolin E.E. (អូហ្សេស) ខែតុលា ឆ្នាំ ២០០៤។ គំនិតនៃលេខមួយ។ - [ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ URL៖ http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm] ។

ដើម្បីធ្វើឱ្យប្រាកដថាការសង្ស័យទាំងអស់នេះគឺគ្មានមូលដ្ឋាន វាចាំបាច់ក្នុងការត្រលប់ទៅអារីស្តូតម្តងទៀត ដែលតាមនិយមន័យជាច្រើន ផ្តល់ចម្លើយយ៉ាងពេញលេញចំពោះសំណួររបស់យើង។

“បរិមាណ​គឺ​ជា​ផ្នែក​ដែល​ចែក​ចេញ​ជា​ផ្នែក​មួយ​ចំនួន ដែល​ផ្នែក​នីមួយៗ ទោះ​ជា​មាន​ពីរ ឬ​ច្រើន​នោះ​គឺ​ដោយ​ធម្មជាតិ​ជា​អ្វី​មួយ និង​ជា​អ្វី​មួយ​ជាក់លាក់។ បរិមាណនីមួយៗគឺជាសំណុំប្រសិនបើវាអាចរាប់បាន ហើយទំហំគឺប្រសិនបើវាអាចវាស់វែងបាន។ សំណុំគឺជាអ្វីដែលអាចបែងចែកទៅជាផ្នែកមិនបន្ត បរិមាណមួយ - ចូលទៅក្នុងផ្នែកបន្ត ... ក្នុងចំណោមបរិមាណទាំងអស់នេះ សំណុំមានកំណត់គឺជាលេខ ប្រវែងកំណត់គឺជាបន្ទាត់ ទទឹងមានកំណត់គឺជាយន្តហោះ ជម្រៅមានកំណត់។ គឺជារូបកាយ” [អារីស្តូត។ អូ។ ជាបួនភាគ។ T.1. រូបវិទ្យា។ ទំ.១៦៤]។

ពីបំណែកនៃអារីស្តូតនេះ។ យើងទទួលបាននិយមន័យយ៉ាងម៉ត់ចត់ដូចខាងក្រោម។

គណិតវិទ្យា​ជា​វិទ្យាសាស្ត្រ​ដែល​មុខវិជ្ជា​គឺ​បរិមាណ​សុទ្ធ។

បរិមាណគឺជាផ្នែកដែលបែងចែកទៅជាផ្នែកសមាសធាតុរបស់វា ដែលនីមួយៗ ទោះបីជាមានពីរ ឬច្រើនក៏ដោយ គឺដោយធម្មជាតិនៃអ្វីមួយ និងអ្វីមួយជាក់លាក់។

សំណុំគឺជាបរិមាណដែលអាចរាប់បាន, i.e. បែងចែកជាផ្នែកដែលមិនបន្ត។

បរិមាណគឺជាបរិមាណដែលអាចវាស់វែងបាន ពោលគឺឧ។ ចែកជាផ្នែកជាបន្តបន្ទាប់

ចំនួនមានកំណត់។

បន្ទាត់ត្រូវបានកំណត់ប្រវែង។

យន្តហោះមានទទឹងកំណត់។

រាងកាយមានជម្រៅកំណត់។

ពីបទប្បញ្ញត្តិទាំងនេះដូចខាងក្រោមៈ

ឯកតានៃលេខមួយមិនមានវិមាត្រទេ វាជាឯកតានៃគណនី ពោលគឺឧ។ មិនអាចបែងចែកបានទេ ព្រោះយើងរាប់តែក្នុងចំនួនទាំងមូលប៉ុណ្ណោះ។

ឯកតានៃរ៉ិចទ័រតែងតែអាចបែងចែកបាន។

ឯកតានៃចំនួនគឺជាទម្រង់ដ៏បរិសុទ្ធបំផុតនៃបរិមាណអរូបី ពោលគឺឧ។ វា​ជា​ទម្រង់​ដែល​មិន​ខុស​ពី​លំហ​ធរណីមាត្រ។

ឯកតានៃរ៉ិចទ័រគឺជាបរិមាណសុទ្ធបូកនឹងលំហធរណីមាត្រ។

លំហធរណីមាត្រគឺជាអរូបីនៃការពិតរូបវន្ត។ ភាពពិតខាងរូបវន្ត មានភាពប្រាកដប្រជា និងផ្នែកបន្ថែម។ ប្រសិនបើយើងអរូបីពីភាពជាក់លាក់នៃគុណភាពនៃការពិតរូបវន្ត យើងទទួលបានលំហធរណីមាត្រ។

ជាផ្លូវការ ទាំងឯកតានៃចំនួនមួយ និងឯកតានៃរ៉ិចទ័រ គឺជាចំនួនមួយ ប៉ុន្តែខ្លឹមសារ និងលក្ខណៈសម្បត្តិគណិតវិទ្យានៃលេខទាំងនេះគឺខុសគ្នា។ ពីឯកតានៃលេខ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការទទួលបានឯកតានៃរ៉ិចទ័រ។ ចំណែកឯពីតម្លៃអ្នកអាចទទួលបានលេខសុទ្ធ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ក្នុងការអរូបីពីលំហធរណីមាត្រ - វិមាត្រ។ ចំណុចទាំងនេះត្រូវបានវិភាគយ៉ាងល្អនៅក្នុងរូបវិទ្យារបស់អារីស្តូត។

ដូច្នេះពីលេខ (ក្នុងន័យតឹងរឹង) វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការទទួលបានតម្លៃ។ ហើយដោយសារប្រធានបទនព្វន្ធគឺជាគោលគំនិតនៃចំនួន ហើយប្រធានបទនៃធរណីមាត្រគឺទំហំ នោះធរណីមាត្រមិនអាចកាត់បន្ថយទៅជានព្វន្ធបានទេ។ ទាំងនេះគឺជាវិធីផ្សេងគ្នានៃអត្ថិភាពនៃភាពជាក់លាក់បរិមាណនៃពិភពសម្ភារៈ។

ដូច្នេះហើយ បេះដូងនៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើបគឺការយល់ច្រឡំយ៉ាងជ្រាលជ្រៅ - ការកំណត់អត្តសញ្ញាណខុសច្បាប់នៃចំនួន និងរ៉ិចទ័រ នព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ។ គោលគំនិតនៃទំហំគឺជាមូលដ្ឋានជាង ពីព្រោះពីវាយើងអាចទាញយកគំនិតនៃលេខ។ លើសពីនេះ គំនិតនេះ "ភ្ជាប់" គណិតវិទ្យាជាមួយរូបវិទ្យា បង្កើតឧបសគ្គសម្រាប់ការបង្កើតទម្រង់មិនសមហេតុផល និងសំណង់ប៉ាន់ស្មាន។ ដូច្នេះ នព្វន្ធ​នៃ​ធរណីមាត្រ​បាន​នាំ​ឱ្យ​មាន​ការ​ធ្លាក់​ចុះ​នៃ​មុខវិជ្ជា​គណិតវិទ្យា ការ​ធ្វើ​ជា​ផ្លូវការ​របស់​វា (Bourbakization) និង​ទ្រឹស្តី​នៃ​លេខ​ចម្លង។ តាមពិត នព្វន្ធ​គណិតវិទ្យា​គឺ​ជា​ដំណើរ​ការ​នៃ​ការ​កាត់​បន្ថយ​មុខវិជ្ជា​គណិតវិទ្យា​មក​ជា​លេខ។