Mga halimbawa:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Paano malutas ang mga exponential equation

Kapag nilulutas ang anumang exponential equation, sinisikap naming dalhin ito sa anyo \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), at pagkatapos ay gawin ang paglipat sa pagkakapantay-pantay ng mga tagapagpahiwatig, iyon ay:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Halimbawa:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Mahalaga! Mula sa parehong lohika, dalawang kinakailangan ang sumusunod para sa naturang paglipat:
- numero sa kaliwa at kanan ay dapat na pareho;
- kaliwa at kanan degree ay dapat na "dalisay", ibig sabihin, hindi dapat magkaroon ng anuman, multiplikasyon, dibisyon, atbp.

Halimbawa:

Upang dalhin ang equation sa anyong \(a^(f(x))=a^(g(x))\) at ginagamit.

Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Desisyon:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Alam namin na \(27 = 3^3\). Sa pag-iisip na ito, binabago namin ang equation.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Sa pamamagitan ng pag-aari ng ugat na \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) nakukuha natin iyon \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Dagdag pa, gamit ang degree property \((a^b)^c=a^(bc)\), nakukuha namin ang \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Alam din natin na \(a^b a^c=a^(b+c)\). Paglalapat nito sa kaliwang bahagi, makukuha natin ang: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Ngayon tandaan na: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ang formula na ito ay maaari ding gamitin sa reverse side: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Pagkatapos ay \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		Ang paglalapat ng property \((a^b)^c=a^(bc)\) sa kanang bahagi, makukuha natin ang: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		At ngayon mayroon kaming mga base na pantay at walang mga nakakasagabal na coefficients, atbp. Para magawa natin ang paglipat.
		Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Desisyon: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Muli naming ginagamit ang degree property \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) sa magkasalungat na daan. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Ngayon tandaan na \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Gamit ang mga katangian ng degree, binabago namin ang: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Tinitingnan naming mabuti ang equation, at nakita namin na ang kapalit na \(t=2^x\) ay nagmumungkahi ng sarili dito. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Gayunpaman, nakita namin ang mga halaga \(t\), at kailangan namin ng \(x\). Bumalik kami sa X, ginagawa ang reverse substitution. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Binabago namin ang pangalawang equation gamit ang property negatibong antas… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...at lutasin hanggang sa sagot. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Sagot : \(-1; 1\). Ang tanong ay nananatili - kung paano maunawaan kung kailan ilalapat kung aling paraan? Ito ay may kasamang karanasan. Pansamantala, hindi mo pa kinita, gamitin mo pangkalahatang rekomendasyon para sa mga solusyon mapaghamong mga gawain"Kung hindi mo alam ang gagawin, gawin mo ang iyong makakaya." Iyon ay, hanapin kung paano mo mababago ang equation sa prinsipyo, at subukang gawin ito - paano kung lumabas ito? Ang pangunahing bagay ay gawin lamang ang mathematically justified transformations. mga exponential equation na walang solusyon Tingnan natin ang dalawa pang sitwasyon na kadalasang nakalilito sa mga estudyante: - positibong numero katumbas ng zero sa kapangyarihan, halimbawa, \(2^x=0\); - positibong numero sa katumbas ng kapangyarihan negatibong numero, halimbawa, \(2^x=-4\). Subukan nating lutasin ito sa pamamagitan ng malupit na puwersa. Kung ang x ay isang positibong numero, kung gayon habang lumalaki ang x, ang buong kapangyarihan \(2^x\) ay lalago lamang: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Nakaraan din. May mga negatibong x. Inaalala ang property na \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), sinusuri namin: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1)=\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Sa kabila ng katotohanan na ang bilang ay nagiging mas maliit sa bawat hakbang, hindi ito aabot sa zero. Kaya hindi rin kami nailigtas ng negatibong antas. Dumating tayo sa isang lohikal na konklusyon: Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay mananatiling isang positibong numero. Kaya, ang parehong mga equation sa itaas ay walang mga solusyon. exponential equation na may iba't ibang base Sa pagsasagawa, minsan may mga exponential equation na may iba't ibang base na hindi mababawasan sa isa't isa, at kasabay ng parehong exponent. Ganito ang hitsura nila: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kung saan ang \(a\) at \(b\) ay mga positibong numero. Halimbawa: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Ang ganitong mga equation ay madaling malutas sa pamamagitan ng paghahati sa alinman sa mga bahagi ng equation (karaniwang paghahati sa kanang bahagi, iyon ay, sa pamamagitan ng \ (b ^ (f (x))) \). Maaari mong hatiin sa ganitong paraan, dahil ang isang positibo ang numero ay positibo sa anumang antas (iyon ay, hindi namin hinahati sa zero.) Nakukuha namin ang: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Desisyon: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Dito hindi natin maaaring gawing tatlo ang lima, o kabaliktaran (ayon sa kahit na, nang walang gamit). Kaya hindi tayo maaaring dumating sa anyong \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Kasabay nito, ang mga tagapagpahiwatig ay pareho. Hatiin natin ang equation sa kanang bahagi, iyon ay, sa pamamagitan ng \(3^(x+7)\) (magagawa natin ito, dahil alam natin na ang triple ay hindi magiging zero sa anumang antas). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Ngayon tandaan ang property \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) at gamitin ito mula sa kaliwa sa kabilang direksyon. Sa kanan, binabawasan lang namin ang fraction. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Parang hindi na gumanda. Ngunit tandaan ang isa pang katangian ng antas: \(a^0=1\), sa madaling salita: "anumang numero sa zero degree katumbas ng \(1\)". Totoo rin ang kabaligtaran: "ang isang yunit ay maaaring katawanin bilang anumang numero na itinaas sa kapangyarihan ng zero." Ginagamit namin ito sa pamamagitan ng paggawa ng base sa kanan na pareho sa isa sa kaliwa. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Tinatanggal namin ang mga pundasyon. Sinusulat namin ang sagot. Sagot : \(-7\). Minsan ang "pagkakapareho" ng mga exponent ay hindi halata, ngunit ang mahusay na paggamit ng mga katangian ng antas ay nalulutas ang isyung ito. Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Desisyon: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ang equation ay mukhang napakalungkot ... Hindi lamang iyon, ang mga base ay hindi maaaring bawasan sa parehong numero(pito ay hindi magiging katumbas ng \(\frac(1)(3)\)), gayundin ang mga tagapagpahiwatig ay iba ... Gayunpaman, ilagay natin ang dalawa sa kaliwang tagapagpahiwatig ng antas. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Isinasaisip ang property \((a^b)^c=a^(b c)\) , ibahin ang anyo sa kaliwa: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ngayon, naaalala ang negatibong katangian ng kapangyarihan \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), binabago namin sa kanan: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluya! Pare-pareho ang scores! Kumilos ayon sa pamamaraan na pamilyar sa amin, nagpasya kami bago ang sagot. Sagot : \(2\).

Lecture: "Mga paraan para sa paglutas ng mga exponential equation."

1 . mga exponential equation.

Ang mga equation na naglalaman ng mga hindi alam sa exponent ay tinatawag na exponential equation. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang equation na ax = b, kung saan ang a > 0 at a ≠ 1.

1) Para sa b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 exponential function, walang solusyon.

2) Para sa b > 0, gamit ang monotonicity ng function at ang root theorem, ang equation ay may iisang ugat. Upang mahanap ito, ang b ay dapat na kinakatawan bilang b = aс, ax = bс ó x = c o x = logab.

exponential equation sa pamamagitan ng mga pagbabagong algebraic patungo sa karaniwang equation, na nalutas gamit ang mga sumusunod na pamamaraan:

1) paraan ng pagbabawas sa isang base;

2) paraan ng pagsusuri;

3) graphic na paraan;

4) ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;

5) paraan ng factorization;

6) nagpapahiwatig - mga equation ng kapangyarihan;

7) exponential na may parameter.

2 . Paraan ng pagbabawas sa isang batayan.

Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na pag-aari ng mga degree: kung ang dalawang degree ay pantay at ang kanilang mga base ay pantay, kung gayon ang kanilang mga exponent ay pantay, ibig sabihin, ang equation ay dapat subukan na bawasan sa anyo

Mga halimbawa. Lutasin ang equation:

1 . 3x=81;

Katawanin natin ang kanang bahagi ng equation sa anyong 81 = 34 at isulat ang equation na katumbas ng orihinal na 3 x = 34; x = 4. Sagot: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> at pumunta sa equation para sa mga exponent na 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5 Sagot: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Tandaan na ang mga numerong 0.2, 0.04, √5 at 25 ay mga kapangyarihan ng 5. Gamitin natin ito at baguhin ang orihinal na equation gaya ng sumusunod:

, kung saan ang 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, kung saan matatagpuan natin ang solusyon x = -1. Sagot: -1.

5. 3x = 5. Sa kahulugan ng logarithm, x = log35. Sagot: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Isulat muli ang equation bilang 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> Samakatuwid x - 4 =0, x = 4. Sagot: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, isinusulat namin ang equation sa anyong e.x+1 = 2, x =1. Sagot: 1.

Bangko ng mga gawain No. 1.

Lutasin ang equation:

Pagsubok bilang 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) walang ugat
	1) 7;1 2) walang ugat 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Pagsubok #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) walang ugat 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Paraan ng pagtatasa.

Ang root theorem: kung ang function na f (x) ay tumaas (bumababa) sa interval I, ang numero a ay anumang halaga na kinuha ng f sa interval na ito, kung gayon ang equation na f (x) = a ay may isang ugat sa interval I.

Kapag nilulutas ang mga equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng pagtatantya, ang teorama na ito at ang mga katangian ng monotonicity ng function ay ginagamit.

Mga halimbawa. Lutasin ang mga Equation: 1. 4x = 5 - x.

Desisyon. Isulat muli natin ang equation bilang 4x + x = 5.

1. kung ang x \u003d 1, kung gayon ang 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 ay totoo, kung gayon ang 1 ay ang ugat ng equation.

Ang function na f(x) = 4x ay tumataas sa R ​​at g(x) = x ay tumataas sa R ​​=> h(x)= f(x)+g(x) ay tumataas sa R ​​bilang ang kabuuan ng pagtaas ng mga function, kaya ang x = 1 ay ang tanging ugat ng equation na 4x = 5 – x. Sagot: 1.

2.

Desisyon. Muli naming isinusulat ang equation sa form .

1. kung x = -1, kung gayon , 3 = 3-totoo, kaya ang x = -1 ay ang ugat ng equation.

2. patunayan na ito ay natatangi.

3. Ang function na f(x) = - bumababa sa R, at g(x) = - x - bumababa sa R ​​=> h(x) = f(x) + g(x) - bumababa sa R, bilang kabuuan ng nagpapababa ng mga function. Kaya sa pamamagitan ng root theorem, x = -1 ang tanging ugat ng equation. Sagot: -1.

Bangko ng mga gawain Blg. 2. lutasin ang equation

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable.

Ang pamamaraan ay inilarawan sa seksyon 2.1. Ang pagpapakilala ng isang bagong variable (pagpapalit) ay karaniwang isinasagawa pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo (pagpapasimple) ng mga tuntunin ng equation. Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Mga halimbawa. R kumain ng equation: 1. .

Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Desisyon. Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan:

Ipahiwatig ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - hindi angkop.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - hindi makatwirang equation. Pansinin natin iyon

Ang solusyon sa equation ay x = 2.5 ≤ 4, kaya 2.5 ang ugat ng equation. Sagot: 2.5.

Desisyon. Isulat muli natin ang equation sa anyo at hatiin ang magkabilang panig ng 56x+6 ≠ 0. Nakukuha natin ang equation

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, so..png" width="118" height="56">

Ang mga ugat ng quadratic equation - t1 = 1 at t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Desisyon . Muli naming isinusulat ang equation sa form

at tandaan na ito ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree.

Hatiin ang equation sa pamamagitan ng 42x, nakukuha natin

Palitan ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Sagot: 0; 0.5.

Task Bank #3. lutasin ang equation

b)

G)

Pagsubok #3 na may pagpipilian ng mga sagot. Pinakamababang antas.

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) walang ugat 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) walang ugat 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Pagsubok #4 na may pagpipilian ng mga sagot. Pangkalahatang antas.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) walang ugat

5. Paraan ng factorization.

1. Lutasin ang equation: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , saan galing

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Desisyon. Ilabas natin ang 6x sa kaliwang bahagi ng equation, at 2x sa kanang bahagi. Nakukuha namin ang equation na 6x(1+6) = 2x(1+2+4) o 6x = 2x.

Dahil 2x >0 para sa lahat ng x, maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 2x nang walang takot na mawala ang mga solusyon. Nakukuha namin ang 3x = 1ó x = 0.

3.

Desisyon. Lutasin namin ang equation sa pamamagitan ng factoring.

Pinipili namin ang parisukat ng binomial

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ang ugat ng equation.

Equation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Pagsubok #6 Pangkalahatang antas.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponential - mga equation ng kapangyarihan.

Ang mga exponential equation ay pinagsama ng tinatawag na exponential-power equation, ibig sabihin, ang mga equation ng form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Kung alam na ang f(x)>0 at f(x) ≠ 1, kung gayon ang equation, tulad ng exponential, ay malulutas sa pamamagitan ng equating ng mga exponent g(x) = f(x).

Kung hindi ibinubukod ng kundisyon ang posibilidad ng f(x)=0 at f(x)=1, dapat nating isaalang-alang ang mga kasong ito kapag nilulutas ang exponential power equation.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Desisyon. x2 +2x-8 - may katuturan para sa anumang x, dahil isang polynomial, kaya ang equation ay katumbas ng set

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponential equation na may mga parameter.

1. Para sa anong mga halaga ng parameter p mayroon ang equation 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) tanging desisyon?

Desisyon. Ipakilala natin ang pagbabagong 2x = t, t > 0, pagkatapos ang equation (1) ay magkakaroon ng anyong t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Ang discriminant ng equation (2) ay D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ang equation (1) ay may natatanging solusyon kung ang equation (2) ay may isang positibong ugat. Posible ito sa mga sumusunod na kaso.

1. Kung D = 0, ibig sabihin, p = 1, ang equation (2) ay magkakaroon ng anyong t2 – 2t + 1 = 0, kaya t = 1, samakatuwid, ang equation (1) ay may natatanging solusyon x = 0.

2. Kung p1, pagkatapos ay 9(p – 1)2 > 0, kung gayon ang equation (2) ay may dalawang magkaibang ugat t1 = p, t2 = 4p – 3. Ang set ng mga sistema ay nakakatugon sa kondisyon ng problema

Ang pagpapalit ng t1 at t2 sa mga sistema, mayroon kami

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Desisyon. Hayaan ang equation (3) ay kukuha ng anyong t2 – 6t – a = 0. (4)

Hanapin natin ang mga halaga parameter a kung saan kahit isang ugat ng equation (4) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.

Ipakilala natin ang function f(t) = t2 – 6t – a. Posible ang mga sumusunod na kaso.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} square trinomial f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Case 2. Ang equation (4) ay may kakaiba positibong desisyon, kung

D = 0, kung a = – 9, ang equation (4) ay magkakaroon ng anyo (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Kaso 3. Ang equation (4) ay may dalawang ugat, ngunit ang isa sa mga ito ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay t > 0. Ito ay posible kung

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Kaya, sa a 0 equation (4) ay may isang positibong ugat . Pagkatapos ang equation (3) ay may natatanging solusyon

Para sa< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

kung ang< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
kung a = – 9, kung gayon x = – 1;

kung a  0, kung gayon

Ihambing natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation (1) at (3). Tandaan na kapag ang paglutas ng equation (1) ay binawasan sa isang quadratic equation, ang discriminant na kung saan ay isang full square; kaya, ang mga ugat ng equation (2) ay agad na kinakalkula ng formula ng mga ugat ng quadratic equation, at pagkatapos ay ginawa ang mga konklusyon tungkol sa mga ugat na ito. Ang equation (3) ay binawasan sa isang quadratic equation (4), ang discriminant na kung saan ay hindi isang perpektong parisukat, samakatuwid, kapag nilutas ang equation (3), ipinapayong gumamit ng theorems sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial at isang graphical na modelo. Tandaan na ang equation (4) ay maaaring malutas gamit ang Vieta theorem.

Lutasin natin ang mas kumplikadong mga equation.

Gawain 3. Lutasin ang equation

Desisyon. ODZ: x1, x2.

Magpakilala tayo ng kapalit. Hayaan ang 2x = t, t > 0, pagkatapos, bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, ang equation ay magkakaroon ng anyong t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Hanapin ang mga halaga ng a kung saan kahit isang ugat ng ang equation (*) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Sagot: kung a > - 13, a  11, a  5, kung gayon kung a - 13,

a = 11, a = 5, pagkatapos ay walang mga ugat.

Bibliograpiya.

1. Guzeev pundasyon ng teknolohiyang pang-edukasyon.

2. Teknolohiya ng Guzeev: mula sa pagtanggap hanggang sa pilosopiya.

M. "Punong Guro" Blg. 4, 1996

3. Guzeev at mga pormang pang-organisasyon pag-aaral.

4. Guzeev at ang pagsasagawa ng integral na teknolohiyang pang-edukasyon.

M." pampublikong edukasyon", 2001

5. Guzeev mula sa mga anyo ng aralin - seminar.

Matematika sa paaralan Blg. 2, 1987, pp. 9 - 11.

6. Mga teknolohiyang pang-edukasyon ng Selevko.

M. "Edukasyon ng mga tao", 1998

7. Ang mga mag-aaral sa Episheva ay natututo ng matematika.

M. "Enlightenment", 1990

8. Ivanov upang maghanda ng mga aralin - mga workshop.

Matematika sa Paaralan Blg. 6, 1990, p. 37-40.

9. Smirnov modelo ng pagtuturo ng matematika.

Matematika sa Paaralan Blg. 1, 1997, p. 32-36.

10. Tarasenko paraan ng pag-aayos ng praktikal na gawain.

Mathematics at School No. 1, 1993, p. 27 - 28.

11. Tungkol sa isa sa mga uri ng indibidwal na gawain.

Mathematics at School No. 2, 1994, pp. 63 - 64.

12. Khazankin Mga malikhaing kasanayan mga mag-aaral.

Matematika sa Paaralan Blg. 2, 1989, p. sampu.

13. Scanavi. Publisher, 1997

14. et al. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Mga materyales sa didactic para sa

15. Mga gawain sa Krivonogov sa matematika.

M. "Una ng Setyembre", 2002

16. Cherkasov. Handbook para sa mga mag-aaral sa high school at

pagpasok sa mga unibersidad. "A S T - press school", 2002

17. Zhevnyak para sa mga aplikante sa mga unibersidad.

Minsk at RF "Repasuhin", 1996

18. Nakasulat D. Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika. M. Rolf, 1999

19. at iba pa.Pag-aaral na lutasin ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

M. "Intellect - Center", 2003

20. at iba pa. Pang-edukasyon - mga materyales ng pagsasanay para maghanda para sa EG E.

M. "Intellect - Center", 2003 at 2004

21 at iba pa. Mga variant ng CMM. Testing Center ng Ministry of Defense ng Russian Federation, 2002, 2003

22. Goldberg equation. "Quantum" No. 3, 1971

23. Volovich M. Paano matagumpay na magturo ng matematika.

Mathematics, 1997 No. 3.

24 Okunev para sa aralin, mga bata! M. Enlightenment, 1988

25. Yakimanskaya - nakatuon sa pag-aaral sa paaralan.

26. Nagtatrabaho si Liimets sa aralin. M. Kaalaman, 1975

Unang antas

mga exponential equation. Komprehensibong gabay (2019)

Hoy! Ngayon ay tatalakayin namin sa iyo kung paano lutasin ang mga equation na maaaring parehong elementarya (at umaasa ako na pagkatapos basahin ang artikulong ito, halos lahat ng mga ito ay para sa iyo), at ang mga karaniwang binibigyan ng "backfill". Kumbaga, para tuluyang makatulog. Ngunit sisikapin kong gawin ang aking makakaya upang ngayon ay hindi ka na magkaproblema kapag nahaharap sa ganitong uri ng equation. Hindi na ako magpapatalo sa paligid, ngunit agad kong bubuksan munting sikreto: ngayon ay magtatrabaho tayo mga exponential equation.

Bago magpatuloy sa pagsusuri ng mga paraan upang malutas ang mga ito, agad kong babalangkasin para sa iyo ang isang bilog ng mga katanungan (medyo maliit) na dapat mong ulitin bago ka magmadali upang salakayin ang paksang ito. Kaya, upang makakuha ng pinakamahusay na resulta, pakiusap, ulitin:

1. ari-arian at
2. Solusyon at Equation

naulit? Kahanga-hanga! Kung gayon hindi magiging mahirap para sa iyo na mapansin na ang ugat ng equation ay isang numero. Sigurado ka bang naiintindihan mo kung paano ko ito ginawa? Katotohanan? Pagkatapos ay nagpatuloy kami. Ngayon sagutin mo ako sa tanong, ano ang katumbas ng ikatlong kapangyarihan? Tamang tama ka: . Ang walo ay anong kapangyarihan ng dalawa? Tama iyon - ang pangatlo! kasi. Kaya, ngayon subukan nating lutasin ang sumusunod na problema: Hayaan akong i-multiply ang numero sa sarili nito nang isang beses at makuha ang resulta. Ang tanong, ilang beses na ba akong dumami sa sarili ko? Siyempre, maaari mong suriin ito nang direkta:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ihanay)

Pagkatapos ay maaari mong tapusin na pinarami ko ang sarili ko. Paano pa ito mapapatunayan? At narito kung paano: direkta sa pamamagitan ng kahulugan ng antas: . Ngunit, dapat mong aminin, kung tatanungin ko kung gaano karaming beses ang dalawa ay dapat i-multiply sa kanyang sarili upang makakuha, sabihin, sasabihin mo sa akin: Hindi ko lolokohin ang aking sarili at paramihin ang aking sarili hanggang sa ako ay asul sa mukha. At siya ay magiging ganap na tama. Dahil paano mo kaya isulat nang maikli ang lahat ng mga aksyon(at ang kaiklian ay kapatid ng talento)

kung saan - ito ang pinaka "mga oras" kapag dumami ka sa sarili mo.

Sa tingin ko, alam mo (at kung hindi mo alam, mapilit, napaka-apurahang ulitin ang mga degree!) na ang aking problema ay isusulat sa form:

Paano mo makatuwirang mahihinuha na:

Kaya, tahimik, isinulat ko ang pinakasimpleng exponential equation:

At kahit na natagpuan ito ugat. Hindi mo ba iniisip na ang lahat ay medyo walang halaga? Ganyan din ang iniisip ko. Narito ang isa pang halimbawa para sa iyo:

Ngunit ano ang gagawin? Pagkatapos ng lahat, hindi ito maaaring isulat bilang isang antas ng isang (makatwirang) numero. Huwag tayong mawalan ng pag-asa at tandaan na ang parehong mga numerong ito ay perpektong ipinahayag sa mga tuntunin ng kapangyarihan ng parehong numero. Ano? Kanan: . Pagkatapos ang orihinal na equation ay binago sa anyo:

Mula sa kung saan, gaya ng naunawaan mo na, . Huwag na nating hilahin at isulat kahulugan:

Sa aming kaso sa iyo: .

Ang mga equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga ito sa anyo:

na may kasunod na solusyon ng equation

Sa katunayan, ginawa namin ito sa nakaraang halimbawa: nakuha namin iyon. At nalutas namin ang pinakasimpleng equation sa iyo.

Parang wala namang kumplikado diba? Magsanay muna tayo sa pinakasimple. mga halimbawa:

Muli nating nakikita na ang kanan at kaliwang bahagi ng equation ay dapat na kinakatawan bilang kapangyarihan ng isang numero. Totoo, nagawa na ito sa kaliwa, ngunit sa kanan ay may isang numero. Pero, ayos lang, kung tutuusin, at ang equation ko himala ay mababago sa ganito:

Ano ang kailangan kong gawin dito? Anong tuntunin? Power to Power Rule na nagbabasa:

Paano kung:

Bago sagutin ang tanong na ito, punan natin ang sumusunod na talahanayan kasama mo:

Hindi mahirap para sa atin na mapansin na ang mas kaunti, ang mas kaunting halaga, ngunit gayunpaman, ang lahat ng mga halagang ito ay mas malaki kaysa sa zero. AT MAGIGING GANYAN LAGI!!! Ang parehong ari-arian ay totoo PARA SA ANUMANG BASE NA MAY ANUMANG INDEX!! (para sa anuman at). Kung gayon ano ang maaari nating tapusin tungkol sa equation? At narito ang isa: ito walang ugat! Tulad ng anumang equation ay walang mga ugat. Ngayon ay magsanay tayo at Lutasin natin ang ilang simpleng halimbawa:

Suriin natin:

1. Walang hinihiling sa iyo dito, maliban sa pag-alam sa mga katangian ng mga kapangyarihan (na, sa pamamagitan ng paraan, hiniling ko sa iyo na ulitin!) Bilang isang patakaran, ang lahat ay humahantong sa pinakamaliit na base: , . Kung gayon ang orihinal na equation ay magiging katumbas ng sumusunod: Ang kailangan ko lang ay gamitin ang mga katangian ng mga kapangyarihan: kapag nagpaparami ng mga numero na may parehong base, ang mga exponent ay idinagdag, at kapag hinahati, ang mga ito ay ibinabawas. Pagkatapos ay makukuha ko: Buweno, ngayon na may malinis na budhi ay lilipat ako mula sa exponential equation patungo sa linear: \begin(align)
at 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
at 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. Sa pangalawang halimbawa, kailangan mong maging mas maingat: ang problema ay sa kaliwang bahagi, hindi rin namin maaaring katawanin ang parehong numero bilang isang kapangyarihan. Sa kasong ito minsan ito ay kapaki-pakinabang kumakatawan sa mga numero bilang isang produkto ng mga kapangyarihan na may iba't ibang mga base, ngunit ang parehong mga exponent:

Ang kaliwang bahagi ng equation ay kukuha ng anyo: Ano ang ibinigay nito sa atin? At narito kung ano: Ang mga numero na may iba't ibang mga base ngunit ang parehong exponent ay maaaring i-multiply.Sa kasong ito, ang mga base ay pinarami, ngunit ang exponent ay hindi nagbabago:

Inilapat sa aking sitwasyon, ito ay magbibigay ng:

\begin(align)
at 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
at 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
at ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
at ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Hindi masama, tama ba?

3. Hindi ko gusto kapag mayroon akong dalawang termino sa isang bahagi ng equation, at wala sa kabilang panig (kung minsan, siyempre, ito ay makatwiran, ngunit hindi ito ang kaso ngayon). Ilipat ang minus term sa kanan:

Ngayon, tulad ng dati, isusulat ko ang lahat sa pamamagitan ng kapangyarihan ng triple:

Idinaragdag ko ang mga kapangyarihan sa kaliwa at kumuha ng katumbas na equation

Madali mong mahahanap ang ugat nito:

4. Tulad ng tatlong halimbawa, ang term na may minus - isang lugar sa kanang bahagi!

Sa kaliwa, halos lahat ay maayos sa akin, maliban sa ano? Oo, ang "maling antas" ng deuce ay bumabagabag sa akin. Ngunit madali kong maaayos ito sa pamamagitan ng pagsulat ng: . Eureka - sa kaliwa, ang lahat ng mga base ay iba, ngunit ang lahat ng mga antas ay pareho! Mabilis tayong dumami!

Narito muli, ang lahat ay malinaw: (kung hindi mo naintindihan kung gaano kaakit-akit na nakuha ko ang huling pagkakapantay-pantay, magpahinga ng isang minuto, magpahinga at basahin muli ang mga katangian ng degree nang mabuti. Sino ang nagsabi na maaari mong laktawan ang degree na may negatibong tagapagpahiwatig? Well, narito ako tungkol sa parehong bagay na walang sinuman). Ngayon ay makakakuha ako ng:

\begin(align)
at ((2)^(4\kaliwa((x) -9 \kanan)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Narito ang mga gawain na dapat mong pagsasanay, kung saan ibibigay ko lamang ang mga sagot (ngunit sa isang "halo-halong" form). Lutasin ang mga ito, suriin, at ipagpapatuloy namin ang aming pananaliksik!

handa na? Mga sagot tulad ng mga ito:

1. kahit anong numero

Okay, okay, nagbibiro ako! Narito ang mga balangkas ng mga solusyon (ang ilan ay medyo maikli!)

Hindi mo ba naisip na hindi nagkataon na ang isang fraction sa kaliwa ay isang "baligtad" na iba? Magiging kasalanan ang hindi gamitin ito:

Ang panuntunang ito ay kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga exponential equation, tandaan itong mabuti!

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging:

Paglutas nito quadratic equation, makukuha mo ang mga sumusunod na ugat:

2. Isa pang solusyon: paghahati sa parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng expression sa kaliwa (o kanan). Hahatiin ko sa kung ano ang nasa kanan, pagkatapos ay makukuha ko:

Saan (bakit?!)

3. Ayaw ko nang ulitin, lahat ay "nguya" na ng sobra.

4. katumbas ng isang quadratic equation, ang mga ugat

5. Kailangan mong gamitin ang formula na ibinigay sa unang gawain, pagkatapos ay makukuha mo iyon:

Ang equation ay naging isang maliit na pagkakakilanlan, na totoo para sa alinman. Kung gayon ang sagot ay anumang tunay na numero.

Buweno, narito ka at nagsanay upang magdesisyon ang pinakasimpleng exponential equation. Ngayon gusto kong bigyan ka mga halimbawa ng buhay, na tutulong sa iyo na maunawaan kung bakit kailangan ang mga ito sa prinsipyo. Dito ay magbibigay ako ng dalawang halimbawa. Ang isa sa kanila ay medyo pang-araw-araw, ngunit ang isa ay higit na pang-agham kaysa sa praktikal na interes.

Halimbawa 1 (mercantile) Hayaan kang magkaroon ng mga rubles, ngunit nais mong gawing rubles. Inaalok ka ng bangko na kunin ang perang ito mula sa iyo sa taunang rate ng interes na may buwanang capitalization ng interes (buwanang accrual). Ang tanong, ilang buwan ang kailangan mong magbukas ng deposito para makolekta ang nais na huling halaga? Isang makamundong gawain, hindi ba? Gayunpaman, ang solusyon nito ay konektado sa pagbuo ng kaukulang exponential equation: Hayaan - ang paunang halaga, - ang huling halaga, - rate ng interes bawat panahon, - ang bilang ng mga panahon. Pagkatapos:

Sa aming kaso (kung ang rate ay bawat taon, pagkatapos ito ay kinakalkula bawat buwan). Bakit ito nahahati sa? Kung hindi mo alam ang sagot sa tanong na ito, tandaan ang paksang ""! Pagkatapos makuha namin ang sumusunod na equation:

Ang exponential equation na ito ay malulutas na lamang gamit ang isang calculator (its hitsura pahiwatig nito, at nangangailangan ito ng kaalaman sa logarithms, na makikilala natin sa ibang pagkakataon), na gagawin ko: ... Kaya, upang makatanggap ng isang milyon, kailangan nating magdeposito para sa isang buwan (hindi napakabilis, tama?).

Halimbawa 2 (medyo siyentipiko). Sa kabila ng kanyang, ilang "paghihiwalay", inirerekumenda ko na bigyang-pansin mo siya: regular siyang "nakapasok sa pagsusulit!! (gawain na kinuha mula sa "tunay" na bersyon) Sa panahon ng pagbagsak radioactive isotope bumababa ang masa nito ayon sa batas, kung saan ang (mg) ay ang inisyal na masa ng isotope, (min.) ay ang oras na lumipas mula sa unang sandali, (min.) ay ang kalahating buhay. AT paunang sandali oras isotope mass mg. Ang kalahating buhay nito ay min. Sa ilang minuto magiging katumbas ng mg ang masa ng isotope? Okay lang: kinukuha at pinapalitan lang namin ang lahat ng data sa formula na iminungkahi sa amin:

Hatiin natin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng, "sa pag-asa" na sa kaliwa ay makakakuha tayo ng isang bagay na natutunaw:

Well, napakaswerte namin! Nakatayo ito sa kaliwa, pagkatapos ay lumipat tayo sa katumbas na equation:

Kung saan min.

Tulad ng makikita mo, ang mga exponential equation ay may tunay na aplikasyon sa pagsasanay. Ngayon gusto kong talakayin sa iyo ang isa pang (simple) na paraan upang malutas ang mga exponential equation, na nakabatay sa pagkuha ng karaniwang kadahilanan sa mga bracket at pagkatapos ay pagpangkatin ang mga termino. Huwag kang matakot sa aking mga salita, naranasan mo na ang pamamaraang ito sa ika-7 baitang noong nag-aral ka ng polynomials. Halimbawa, kung kailangan mong i-factor ang expression:

Magpangkat tayo: ang una at ikatlong termino, gayundin ang pangalawa at ikaapat. Malinaw na ang una at pangatlo ay ang pagkakaiba ng mga parisukat:

at ang pangalawa at pang-apat ay mayroon karaniwang salik tatlong nangungunang:

Kung gayon ang orihinal na expression ay katumbas nito:

Kung saan kunin ang karaniwang kadahilanan ay hindi na mahirap:

Kaya naman,

Ito ay humigit-kumulang kung paano tayo kikilos kapag nilulutas ang mga exponential equation: hanapin ang "pagkakatulad" sa mga termino at alisin ito sa mga bracket, at pagkatapos - ano man ang mangyari, naniniwala ako na magiging masuwerte tayo =)) Halimbawa:

Sa kanan ay malayo sa kapangyarihan ng pito (nasuri ko!) At sa kaliwa - medyo mas mahusay, maaari mong, siyempre, "putulin" ang kadahilanan a mula sa unang termino at mula sa pangalawa, at pagkatapos ay harapin ang kung ano ang mayroon ka, ngunit gawin natin nang mas maingat sa iyo. Hindi ko nais na harapin ang mga praksyon na hindi maiiwasang ginawa ng "pagpipilian", kaya't hindi ba dapat mas mabuting magtiis ako? Kung gayon hindi ako magkakaroon ng mga fraction: gaya ng sinasabi nila, parehong puno ang mga lobo at ligtas ang mga tupa:

Bilangin ang expression sa mga bracket. Magically, magically, lumalabas na (nakakagulat, bagaman ano pa ang maaari nating asahan?).

Pagkatapos ay binabawasan namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng kadahilanang ito. Nakukuha namin: saan.

Narito ang isang mas kumplikadong halimbawa (medyo, talaga):

Eto ang gulo! Wala kami dito karaniwang lupa! Ito ay hindi lubos na malinaw kung ano ang gagawin ngayon. At gawin natin ang ating makakaya: una, ililipat natin ang "apat" sa isang direksyon, at ang "lima" sa kabilang direksyon:

Ngayon, alisin natin ang "karaniwan" sa kaliwa at kanan:

So ano ngayon? Ano ang pakinabang ng gayong hangal na pagpapangkat? Sa unang sulyap, hindi ito nakikita, ngunit tingnan natin nang mas malalim:

Kaya, ngayon gawin natin na sa kaliwa ay mayroon lamang tayong expression na c, at sa kanan - lahat ng iba pa. Paano natin ito magagawa? At narito kung paano: Hatiin muna ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (para maalis natin ang exponent sa kanan), at pagkatapos ay hatiin ang magkabilang panig sa (para maalis natin ang numerical factor sa kaliwa). Sa wakas makuha namin:

Hindi kapani-paniwala! Sa kaliwa mayroon kaming isang expression, at sa kanan - lamang. Pagkatapos ay agad naming hinuhusgahan iyon

Narito ang isa pang halimbawa upang palakasin:

ihahatid ko siya maikling solusyon(hindi talaga nag-abala na ipaliwanag), subukang alamin ang lahat ng "subtleties" ng solusyon sa iyong sarili.

Ngayon ang pangwakas na pagsasama-sama ng materyal na sakop. Subukang lutasin ang mga sumusunod na problema sa iyong sarili. magdadala lang ako maikling rekomendasyon at mga tip para sa paglutas ng mga ito:

1. Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:
2. Kinakatawan namin ang unang expression sa anyo: , hatiin ang parehong bahagi at kunin iyon
3. , pagkatapos ay ang orihinal na equation ay na-convert sa anyo: Well, ngayon ay isang pahiwatig - hanapin kung saan mo at ako ay nalutas na ang equation na ito!
4. Isipin kung paano, paano, ah, mabuti, pagkatapos ay hatiin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng, upang makuha mo ang pinakasimpleng exponential equation.
5. Alisin ito sa mga bracket.
6. Alisin ito sa mga bracket.

EXPOSITIONAL EQUATIONS. GITNANG ANTAS

Ipinapalagay ko na pagkatapos basahin ang unang artikulo, na sinabi ano ang mga exponential equation at kung paano lutasin ang mga ito pinagkadalubhasaan mo kinakailangang minimum kaalaman na kailangan upang malutas ang mga simpleng halimbawa.

Ngayon ay susuriin ko ang isa pang paraan para sa paglutas ng mga exponential equation, ito ay

"paraan ng pagpapakilala ng bagong variable" (o pagpapalit). Nilulutas niya ang karamihan sa mga "mahirap" na problema, sa paksa ng mga exponential equation (at hindi lamang mga equation). Ang pamamaraang ito ay isa sa mga pinakakaraniwang ginagamit sa pagsasanay. Una, inirerekomenda ko na maging pamilyar ka sa paksa.

Tulad ng naintindihan mo na mula sa pangalan, ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay upang ipakilala ang gayong pagbabago ng variable na ang iyong exponential equation ay mahimalang magbabago sa isa na madali mo nang malulutas. Ang natitira lang para sa iyo pagkatapos malutas ang napaka "pinasimpleng equation" na ito ay gumawa ng "reverse replacement": ibig sabihin, bumalik mula sa pinalitan sa pinalitan. Ilarawan natin ang sinabi natin sa isang napakasimpleng halimbawa:

Halimbawa 1:

Ang equation na ito ay nalutas sa pamamagitan ng isang "simpleng pagpapalit," bilang mathematicians disparagingly tawag dito. Sa katunayan, ang pagpapalit dito ay ang pinaka-halata. Kailangan lang makita iyon

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging:

Kung iisipin din natin kung paano, kung gayon medyo malinaw kung ano ang kailangang palitan: siyempre, . Ano ang nagiging orihinal na equation? At narito kung ano:

Madali mong mahahanap ang mga ugat nito sa iyong sarili:. Ano ang dapat nating gawin ngayon? Oras na para bumalik sa orihinal na variable. Ano ang nakalimutan kong isama? Namely: kapag pinapalitan ang isang tiyak na antas ng isang bagong variable (iyon ay, kapag pinapalitan ang isang uri), magiging interesado ako sa lamang positibong mga ugat! Ikaw mismo ay madaling makasagot kung bakit. Kaya, hindi kami interesado sa iyo, ngunit ang pangalawang ugat ay angkop para sa amin:

Tapos saan.

Sagot:

Tulad ng makikita mo, sa nakaraang halimbawa, ang kapalit ay humihingi ng aming mga kamay. Sa kasamaang palad, hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, huwag tayong dumiretso sa malungkot, ngunit magsanay sa isa pang halimbawa na may medyo simpleng kapalit

Halimbawa 2

Malinaw na malamang na kakailanganing palitan (ito ang pinakamaliit sa mga kapangyarihang kasama sa ating equation), gayunpaman, bago magpakilala ng kapalit, ang ating equation ay kailangang "ihanda" para dito, ibig sabihin: , . Pagkatapos ay maaari mong palitan, bilang isang resulta ay makukuha ko ang sumusunod na expression:

Diyos ko: cubic equation na may ganap na kahila-hilakbot na mga pormula para sa paglutas nito (mabuti, nagsasalita sa pangkalahatang mga termino). Ngunit huwag tayong mawalan ng pag-asa kaagad, ngunit isipin kung ano ang dapat nating gawin. Imumungkahi ko ang pagdaraya: alam natin na para makakuha ng "maganda" na sagot, kailangan nating makakuha ng ilang kapangyarihan ng tatlo (bakit ganoon, ha?). At subukan nating hulaan ang hindi bababa sa isang ugat ng ating equation (magsisimula akong manghula mula sa mga kapangyarihan ng tatlo).

Unang hula. Ay hindi ugat. Sayang at ah...

.
Ang kaliwang bahagi ay pantay.
kanang bahagi:!
meron! Nahulaan ang unang ugat. Ngayon ang mga bagay ay magiging mas madali!

Alam mo ba ang tungkol sa "sulok" na pamamaraan ng paghahati? Siyempre alam mo, ginagamit mo ito kapag hinati mo ang isang numero sa isa pa. Ngunit kakaunti ang nakakaalam na ang parehong ay maaaring gawin sa mga polynomial. Mayroong isang kahanga-hangang teorama:

Naaangkop sa aking sitwasyon sinasabi nito sa akin kung ano ang mahahati nang walang nalalabi sa. Paano isinasagawa ang paghahati? ganyan:

Tinitingnan ko kung aling monomial ang dapat kong i-multiply para makakuha ng Clear, pagkatapos ay:

Ibinabawas ko ang nagresultang expression mula sa, nakukuha ko:

Ngayon, ano ang kailangan kong i-multiply para makuha? Ito ay malinaw na sa, pagkatapos ay makakakuha ako ng:

at muli ibawas ang nagresultang expression mula sa natitira:

Well, ang huling hakbang, i-multiply ko sa, at ibawas mula sa natitirang expression:

Hooray, tapos na ang division! Ano ang naipon natin nang pribado? Sa sarili: .

Pagkatapos ay nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na polynomial:

Lutasin natin ang pangalawang equation:

Ito ay may mga ugat:

Pagkatapos ang orihinal na equation:

may tatlong ugat:

Siyempre, itinatapon namin ang huling ugat, dahil ito mas mababa sa zero. At ang unang dalawa pagkatapos ng reverse replacement ay magbibigay sa atin ng dalawang ugat:

Sagot:..

Sa halimbawang ito, hindi ko nais na takutin ka; sa halip, itinakda ko upang ipakita na hindi bababa sa mayroon kaming sapat simpleng kapalit, gayunpaman ito ay humantong sa lubos kumplikadong equation, ang solusyon na nangangailangan ng ilang espesyal na kasanayan mula sa amin. Well, walang immune mula dito. Ngunit ang kapalit sa kasong ito ay medyo halata.

Narito ang isang halimbawa na may bahagyang hindi gaanong halatang pagpapalit:

Hindi malinaw kung ano ang dapat nating gawin: ang problema ay sa ating equation mayroong dalawa iba't ibang batayan at ang isang pundasyon ay hindi nakukuha mula sa iba sa pamamagitan ng pagtataas nito sa anumang (makatwiran, natural) na antas. Gayunpaman, ano ang nakikita natin? Ang parehong mga base ay naiiba lamang sa sign, at ang kanilang produkto ay ang pagkakaiba ng mga parisukat na katumbas ng isa:

Kahulugan:

Kaya, ang mga numero na base sa ating halimbawa ay conjugate.

Sa kasong iyon, ang magiging matalinong hakbang i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa conjugate number.

Halimbawa, sa, pagkatapos ay ang kaliwang bahagi ng equation ay magiging pantay, at ang kanang bahagi. Kung gagawa kami ng kapalit, ang aming orihinal na equation sa iyo ay magiging ganito:

ang mga ugat nito, kung gayon, ngunit ang pag-alala niyan, nakukuha natin iyon.

Sagot: , .

Bilang isang patakaran, ang paraan ng kapalit ay sapat na upang malutas ang karamihan sa mga "paaralan" na mga equation ng exponential. Ang mga sumusunod na gawain ay kinuha mula sa USE C1 ( nakataas na antas kahirapan). Mayroon ka nang sapat na literate upang malutas ang mga halimbawang ito sa iyong sarili. Ibibigay ko lang ang kinakailangang kapalit.

1. Lutasin ang equation:
2. Hanapin ang mga ugat ng equation:
3. Lutasin ang equation: . Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa segment:

Ngayon para sa ilang mabilis na paliwanag at sagot:

1. Dito sapat na upang tandaan na at. Kung gayon ang orihinal na equation ay magiging katumbas nito: Ang equation na ito nalutas sa pamamagitan ng kapalit Gumawa ng karagdagang mga kalkulasyon sa iyong sarili. Sa huli, ang iyong gawain ay mababawasan sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometriko (depende sa sine o cosine). Desisyon katulad na mga halimbawa i-explore natin sa ibang sections.
2. Dito maaari mo ring gawin nang walang kapalit: sapat na upang ilipat ang subtrahend sa kanan at kumakatawan sa parehong mga base sa pamamagitan ng mga kapangyarihan ng dalawa: at pagkatapos ay agad na pumunta sa quadratic equation.
3. Ang ikatlong equation ay nalutas din sa isang medyo karaniwang paraan: isipin kung paano. Pagkatapos, ang pagpapalit ay makakakuha tayo ng isang quadratic equation: pagkatapos,

   Alam mo na ba kung ano ang logarithm? Hindi? Pagkatapos ay agad na basahin ang paksa!

   Ang unang ugat, malinaw naman, ay hindi kabilang sa segment, at ang pangalawa ay hindi maintindihan! Ngunit malalaman natin ito sa lalong madaling panahon! Dahil, pagkatapos (ito ay isang pag-aari ng logarithm!) Paghambingin natin:

   Ibawas mula sa parehong bahagi, pagkatapos ay makukuha natin:

   Ang kaliwang bahagi ay maaaring kinakatawan bilang:

   i-multiply ang magkabilang panig sa pamamagitan ng:

   maaaring i-multiply sa, kung gayon

   Pagkatapos ay ihambing natin:

   Simula noon:

   Pagkatapos ang pangalawang ugat ay kabilang sa nais na pagitan

   Sagot:

Tulad ng nakikita mo, ang pagpili ng mga ugat ng exponential equation ay nangangailangan ng sapat malalim na kaalaman mga katangian ng logarithms, kaya ipinapayo ko sa iyo na maging maingat hangga't maaari sa paglutas ng mga exponential equation. Tulad ng alam mo, sa matematika ang lahat ay magkakaugnay! Gaya ng sinasabi ng aking guro sa matematika: "Hindi mo mababasa ang matematika tulad ng kasaysayan nang magdamag."

Bilang isang tuntunin, lahat ang kahirapan sa paglutas ng mga problema C1 ay tiyak ang pagpili ng mga ugat ng equation. Magsanay tayo sa isa pang halimbawa:

Malinaw na ang equation mismo ay nalutas nang simple. Nang magawa ang pagpapalit, binabawasan namin ang aming orihinal na equation sa mga sumusunod:

Tingnan muna natin ang unang ugat. Paghambingin at: simula, noon. (pag-aari ng logarithmic function, at). Pagkatapos ay malinaw na ang unang ugat ay hindi kabilang sa aming pagitan. Ngayon ang pangalawang ugat: . Ito ay malinaw na (dahil ang pag-andar ay tumataas). Ito ay nananatiling upang ihambing at

mula noon, pagkatapos, sa parehong oras. Kaya, maaari akong "magmaneho ng peg" sa pagitan ng at. Ang peg na ito ay isang numero. Ang unang expression ay mas mababa kaysa at ang pangalawa ay mas malaki kaysa. Kung gayon ang pangalawang expression ay mas malaki kaysa sa una at ang ugat ay kabilang sa pagitan.

Sagot: .

Sa konklusyon, tingnan natin ang isa pang halimbawa ng isang equation kung saan ang kapalit ay medyo hindi pamantayan:

Magsimula tayo kaagad sa kung ano ang maaari mong gawin, at kung ano - sa prinsipyo, magagawa mo, ngunit mas mahusay na huwag gawin ito. Posible - upang kumatawan sa lahat sa pamamagitan ng mga kapangyarihan ng tatlo, dalawa at anim. Saan ito humahantong? Oo, at hindi hahantong sa anuman: isang hodgepodge ng mga degree, ang ilan sa mga ito ay medyo mahirap alisin. Ano ang kailangan? Pansinin natin na a At ano ang ibibigay nito sa atin? At ang katotohanan na maaari nating bawasan ang solusyon ng halimbawang ito sa solusyon ng isang medyo simpleng exponential equation! Una, muling isulat natin ang ating equation bilang:

Ngayon hinati namin ang magkabilang panig ng nagresultang equation sa:

Eureka! Ngayon ay maaari naming palitan, makuha namin:

Buweno, ngayon ay iyong pagkakataon na lutasin ang mga problema para sa pagpapakita, at bibigyan ko lamang sila ng mga maikling komento upang hindi ka maligaw! Good luck!

1. Ang pinakamahirap! Ang makakita ng kapalit dito oh, ang pangit! Gayunpaman, ang halimbawang ito ay maaaring ganap na malutas gamit alokasyon buong parisukat . Upang malutas ito, sapat na tandaan na:

Kaya narito ang iyong kapalit:

(Tandaan na dito, sa aming pagpapalit, hindi namin maaaring itapon negatibong ugat!!! Bakit sa tingin mo?)

Ngayon, upang malutas ang halimbawa, kailangan mong lutasin ang dalawang equation:

Pareho silang nalutas sa pamamagitan ng "karaniwang kapalit" (ngunit ang pangalawa sa isang halimbawa!)

2. Pansinin iyon at gumawa ng pagpapalit.

3. Palawakin ang bilang sa mga coprime factor at pasimplehin ang resultang expression.

4. Hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa (o kung gusto mo) at gawin ang pagpapalit o.

5. Tandaan na ang mga numero at ay conjugate.

EXPOSITIONAL EQUATIONS. ADVANCED LEVEL

Bilang karagdagan, tingnan natin ang isa pang paraan - solusyon ng mga exponential equation sa pamamagitan ng logarithm method. Hindi ko masasabi na ang solusyon ng mga exponential equation sa pamamagitan ng pamamaraang ito ay napakapopular, ngunit sa ilang mga kaso ay maaari lamang itong humantong sa atin sa tamang desisyon ang ating equation. Lalo na madalas itong ginagamit upang malutas ang tinatawag na " halo-halong equation ': iyon ay, ang mga kung saan mayroong mga pag-andar ng iba't ibang uri.

Halimbawa, isang equation tulad ng:

sa pangkalahatang kaso maaari lamang malutas sa pamamagitan ng pagkuha ng logarithm ng parehong bahagi (halimbawa, ayon sa base), kung saan ang orihinal na equation ay nagiging sumusunod:

Isaalang-alang natin ang sumusunod na halimbawa:

Malinaw na interesado lamang tayo sa ODZ ng logarithmic function. Gayunpaman, ito ay sumusunod hindi lamang mula sa ODZ ng logarithm, ngunit para sa isa pang dahilan. Sa tingin ko, hindi ka mahihirapang hulaan kung alin.

Dalhin natin ang logarithm ng magkabilang panig ng ating equation sa base:

Tulad ng nakikita mo, ang pagkuha ng logarithm ng aming orihinal na equation ay mabilis na humantong sa amin sa tamang (at maganda!) na sagot. Magsanay tayo sa isa pang halimbawa:

Dito rin, walang dapat ikabahala: kinukuha natin ang logarithm ng magkabilang panig ng equation sa mga tuntunin ng base, pagkatapos ay makukuha natin:

Gumawa tayo ng kapalit:

Gayunpaman, may napalampas kami! Napansin mo ba kung saan ako nagkamali? Pagkatapos ng lahat, pagkatapos:

na hindi nakakatugon sa kinakailangan (isipin kung saan ito nanggaling!)

Sagot:

Subukang isulat ang solusyon ng mga exponential equation sa ibaba:

Ngayon suriin ang iyong solusyon gamit ito:

1. Logarithm namin ang parehong mga bahagi sa base, na ibinigay na:

(ang pangalawang ugat ay hindi nababagay sa amin dahil sa kapalit)

2. Logarithm sa base:

Ibahin natin ang resultang expression sa sumusunod na anyo:

EXPOSITIONAL EQUATIONS. MAIKLING PAGLALARAWAN AT BATAYANG FORMULA

exponential equation

Uri ng equation:

tinawag ang pinakasimpleng exponential equation.

Mga katangian ng degree

Mga Diskarte sa Solusyon

• Pagbawas sa parehong base
• Nag-cast sa ang parehong tagapagpahiwatig degrees
• Pagpapalit ng variable
• Pasimplehin ang expression at ilapat ang isa sa itaas.

Ang mga equation ay tinatawag na exponential kung ang hindi alam ay nakapaloob sa exponent. Ang pinakasimpleng exponential equation ay may anyo: a x \u003d a b, kung saan ang a> 0, at 1, x ay hindi kilala.

Ang mga pangunahing katangian ng mga degree, sa tulong ng kung saan ang mga exponential equation ay binago: a>0, b>0.

Kapag nilulutas ang mga exponential equation, ginagamit din ang mga sumusunod na katangian ng exponential function: y = a x , a > 0, a1:

Upang kumatawan sa isang numero bilang isang kapangyarihan, gamitin ang base pagkakakilanlan ng logarithmic: b = , a > 0, a1, b > 0.

Mga gawain at pagsubok sa paksang "Exponential Equation"

• mga exponential equation

  Aralin: 4 Takdang-Aralin: 21 Pagsusulit: 1

• mga exponential equation - Mahahalagang Paksa upang ulitin ang pagsusulit sa matematika

  Mga Gawain: 14

• Mga sistema ng exponential at logarithmic equation - Demonstratibo at mga function ng logarithmic Baitang 11

  Mga Aralin: 1 Takdang-Aralin: 15 Pagsusulit: 1

• §2.1. Solusyon ng mga exponential equation

  Mga Aralin: 1 Takdang-Aralin: 27

• §7 Exponential at logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay - Seksyon 5. Exponential at logarithmic function Grade 10

  Mga Aralin: 1 Takdang-Aralin: 17

Para sa matagumpay na solusyon exponential equation Dapat mong malaman ang mga pangunahing katangian ng mga kapangyarihan, ang mga katangian ng exponential function, ang pangunahing logarithmic identity.

Kapag nilulutas ang mga exponential equation, dalawang pangunahing pamamaraan ang ginagamit:

1. paglipat mula sa equation na a f(x) = a g(x) sa equation na f(x) = g(x);
2. pagpapakilala ng mga bagong linya.

Mga halimbawa.

1. Pagbabawas ng mga Equation hanggang sa Pinakasimple. Ang mga ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagdadala sa magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan na may parehong base.

3x \u003d 9x - 2.

Desisyon:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Sagot: 4.

2. Nalutas ang mga equation sa pamamagitan ng pag-bracket sa karaniwang salik.

Desisyon:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Sagot: 3.

3. Nalutas ang mga Equation sa pamamagitan ng Pagbabago ng Variable.

Desisyon:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Tinutukoy namin ang 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. Ang equation ay walang mga solusyon, dahil 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Sagot: log 2 3.

4. Mga equation na naglalaman ng mga kapangyarihan na may dalawang magkaibang (hindi mababawasan sa isa't isa) base.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Sagot: 2.

5. Mga equation na homogenous na may kinalaman sa a x at b x .

Pangkalahatang anyo: .

9 x + 4 x = 2.5 x 6 x .

Desisyon:

3 2x – 2.5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
Ipahiwatig ang (3/2) x = y.
y 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Sagot: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Sa youtube channel ng aming site site upang malaman ang lahat ng mga bagong aralin sa video.

Upang magsimula, tandaan natin mga pangunahing pormula degree at ang kanilang mga katangian.

Produkto ng isang numero a nangyayari sa sarili nito ng n beses, maaari nating isulat ang expression na ito bilang a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = isang nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Power o exponential equation- ito ay mga equation kung saan ang mga variable ay nasa kapangyarihan (o mga exponent), at ang base ay isang numero.

Mga halimbawa ng exponential equation:

AT halimbawang ito ang numero 6 ay ang base, ito ay palaging nasa ibaba, at ang variable x antas o sukat.

Magbigay tayo ng higit pang mga halimbawa ng mga exponential equation.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Ngayon tingnan natin kung paano nalutas ang mga exponential equation?

Kumuha tayo ng isang simpleng equation:

2 x = 2 3

Ang ganitong halimbawa ay maaaring malutas kahit sa isip. Makikita na x=3. Pagkatapos ng lahat, upang ang kaliwa at kanang bahagi ay pantay, kailangan mong ilagay ang numero 3 sa halip na x.
Ngayon tingnan natin kung paano dapat gawin ang desisyong ito:

2 x = 2 3
x = 3

Upang malutas ang equation na ito, inalis namin parehong batayan(iyon ay, deuces) at isinulat kung ano ang natitira, ito ay mga degree. Nakuha namin ang sagot na hinahanap namin.

Ngayon ay ibubuod natin ang ating solusyon.

Algorithm para sa paglutas ng exponential equation:
1. Kailangang suriin pareho kung ang mga base ng equation sa kanan at sa kaliwa. Kung ang mga batayan ay hindi pareho, naghahanap kami ng mga pagpipilian upang malutas ang halimbawang ito.
2. Matapos ang mga base ay pareho, itumbas degree at lutasin ang nagresultang bagong equation.

Ngayon lutasin natin ang ilang mga halimbawa:

Magsimula tayo sa simple.

Ang mga base sa kaliwa at kanang bahagi ay katumbas ng numero 2, na nangangahulugang maaari nating itapon ang base at ipantay ang kanilang mga degree.

x+2=4 Ang pinakasimpleng equation ay lumabas.
x=4 - 2
x=2
Sagot: x=2

AT sumusunod na halimbawa Makikita na magkaiba ang mga base - 3 at 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Upang magsimula, inilipat namin ang siyam sa kanang bahagi, nakukuha namin:

Ngayon ay kailangan mong gawin ang parehong mga base. Alam natin na 9=3 2 . Gamitin natin ang power formula (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Nakukuha namin ang 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ngayon ay makikita mo na sa kaliwa at kanang bahagi ang mga base ay pareho at katumbas ng tatlo, na nangangahulugang maaari nating itapon ang mga ito at ipantay ang mga degree.

Nakuha ng 3x=2x+16 ang pinakasimpleng equation
3x-2x=16
x=16
Sagot: x=16.

Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Una sa lahat, tinitingnan natin ang mga base, ang mga base ay magkaiba dalawa at apat. At kailangan nating maging pareho. Binabago namin ang quadruple ayon sa formula (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

At gumagamit din kami ng isang formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Idagdag sa equation:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Nagbigay kami ng isang halimbawa para sa parehong mga kadahilanan. Ngunit ang ibang mga numero 10 at 24 ay nakakasagabal sa atin. Ano ang gagawin sa kanila? Kung titingnan mong mabuti, makikita mo na sa kaliwang bahagi ay inuulit namin ang 2 2x, narito ang sagot - maaari naming ilagay ang 2 2x sa labas ng mga bracket:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Kalkulahin natin ang expression sa mga bracket:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Hinahati namin ang buong equation sa pamamagitan ng 6:

Isipin 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 base ay pareho, itapon ang mga ito at ipantay ang mga degree.
2x \u003d 2 pala ang pinakasimpleng equation. Hinahati namin ito sa 2, nakukuha namin
x = 1
Sagot: x = 1.

Lutasin natin ang equation:

9 x - 12*3 x +27= 0

Ibahin natin:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Nakukuha namin ang equation:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Ang mga base ay pareho para sa amin, katumbas ng tatlo. Sa halimbawang ito, makikita na ang unang triple ay may degree na dalawang beses (2x) kaysa sa pangalawa (x lang). Sa kasong ito, maaari kang magpasya paraan ng pagpapalit. Numero na may pinakamababang degree palitan:

Pagkatapos ay 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Pinapalitan namin ang lahat ng degree ng x sa equation na may t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Kumuha kami ng isang quadratic equation. Malutas namin sa pamamagitan ng discriminant, nakukuha namin:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Bumalik sa Variable x.

Kinukuha namin ang t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Yan ay,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Isang ugat ang natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawa, mula sa t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Sagot: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Sa site na maaari mong sa seksyon TULONG MAGPASIYA upang magtanong ng mga katanungan ng interes, tiyak na sasagutin ka namin.

Sumali sa isang grupo