"Ygrek venäjäksi tarkoittaa tuntematonta,

laskettava"

E. S. Wentzel

Jokaisen ihmisen elämä heijastaa aikaa. Ja jos se on pitkä elämä, se on harvinaista luova persoonallisuus, silloin tästä heijastuksesta tulee elävämpi ja yleisesti merkittävämpi.

Elena Sergeevnan elämä, 95 vuotta, sisälsi koko olemassaolon Neuvostoliiton valta ja päättyi 2000-luvun alussa.

Hän syntyi Revenissä (nykyinen Tallinna) opettajien perheeseen.

Isä Sergei Fedorovich Dolgintsev opetti matematiikkaa, äiti - kirjallisuutta. Perheessä kasvoi kaksi poikaa - Ilja ja Nikolai - ja tytär Elena. Sergei Fedorovich uskoi, että korkeampi matematiikka oli yksinkertaisempaa kuin alkeet ja opiskeli sitä tyttärensä kanssa, kun tämä oli 7-8-vuotias. Kuten kirjailija itse muistelee: "Menin matematiikkaan isäni takia. Koulutukseltaan matemaatikko hän haaveili näkevänsä ainakin yhden lapsestaan ​​jatkavan työtään. Meistä, kolmesta lapsesta, olin ehkä sopeutunein tähän ... ”Tämän seurauksena matematiikka osti Elena Sergeevnan. Vuonna 1923, 16-vuotiaana, hän tuli Leningradin (silloin vielä Petrogradin) yliopistoon. On huomattava, että matematiikan kurssin tekivät miehet: 280 hengestä oli vain viisi tyttöä.

Valmistuttuaan fysiikan ja matematiikan tiedekunnasta hän muutti vuonna 1935 Moskovaan. Hän työskenteli ilmavoimien akatemiassa. N. E. Žukovski (1935-68), Moskovan liikenneinsinöörien instituutissa (1968-86); oli kihloissa soveltava matematiikka. Matematiikassa hän valitsi runollisimman osan – todennäköisyysteorian. monenlaisia aseet, ammunta lentäviin esineisiin, ilmataistelutaktiikka, ilmapuolustusjärjestelmien organisointimenetelmät. Ja hänen kirjansa Todennäköisyysteoria on tähän päivään asti tärkein oppikirja insinööreille ja opiskelijoille.

E. S. Wentzelin tieteellisten teosten luettelo sisältää noin seitsemänkymmentä avointa ja kuusikymmentä suljettua teosta. Sotainsinööri, merimies, keksijä N. V. Laptsevich kirjoitti hänestä: "Hänen todennäköisyysteorian ja operaatiotutkimuksen oppikirjansa... kuuluvat niihin ... erittäin harvinaisiin mestariteoksiin, joiden kautta koet ... tunnustamisen iloa ja kiitollisuuden tunnetta kirjoittajalle ...".

Tietoja siitä, miten Akatemiassa. Zhukovsky professori ja lääkäri tekniset tieteet E. S. Wentzel pitää luentoja, kaikissa Moskovan matemaattisissa yliopistoissa oli huhuja. Hänen kirjoittamansa todennäköisyysteorian oppikirja otettiin ilolla paitsi tieteellisesti, myös tieteellisesti yleiset kirjastot: ne, jotka halusivat voittaa« Sportloto » , laske elämän olemassaolo muilla planeetoilla, kohtaa kohtalosi.

Insinööri Victor Gastello, nyt sanomalehden kirjeenvaihtaja« Kilpi ja miekka » , poika legendaarinen lentäjä muistutti:

”Hänellä oli erikoinen tapa esittää opetusmateriaalia. Kutsuimme sitä sukellukseksi. Hän piti yleisön jatkuvasti jännityksessä. Esimerkiksi selittäessään yhtä todennäköisyysteorian osioista hän sanoi näin: "Kuvittele, että yleisössä istuu sata apinaa (ja meitä, kuulijoita oli noin sata), he kaikki koputtavat satunnaisesti näppäimistöä. . Kuinka todennäköisesti he kirjoittavat ison Neuvostoliiton tietosanakirja? (http://www.aif.ru/archive/1636620).

Jos Jelena Sergeevnasta tuli matemaatikoiden kuuntelijoiden idoli, niin kirjailijoiden keskuudessa nuorten huomio kiinnitti tiettyyn I. Grekovaan, romaanin "Osasto", tarinoiden "Lesken höyrylaiva", "Naisten" kirjoittaja. Mestari" ... Harvat ihmiset tiesivät, että E. S. Wentzel ja I. Grekova ovat yksi henkilö.

Ihanissa muistoissa filologi Alexandra Alexandrovna Raskina, Elena Sergeevnan pojan, maailmankuulun matemaatikon Alexander Dmitrievich Wentzelin vaimo, kirjasi salanimen syntyhistorian, josta monet lukijat raivosivat: " Kun Tvardovsky oli vielä painamassa "Behind the Gateway", heräsi kysymys salanimestä. E.S. alusta lähtien hän päätti tehdä tiukasti eron näiden kahden inkarnaationsa välillä - kirjailijan ja tiedemiehen (lisäksi sotaakatemian opettajan). Istuimme kotona, ruokasalissa ja koko perhe ymmällämme tästä ongelmasta. Meni Elenan puolesta. Jelena? Jelena? Tanya Wentzel muisti troijalaisen Elenan ja sanoo: Elena Grekova? Ja sitten E.S. huudahti yhtäkkiä: "Igrekova!" Ja heti kävi selväksi, että näin sen pitäisi olla.” A.A. Raskin "Anoppini" )

Elena Sergeevna itse muistaa tämän seuraavasti: " Perheessämme oli perinteinen kiinnostus kirjallisuuteen, me kaikki kirjoitimme jotain. Aloitin kirjoittamisen aikaisin, julkaisemisen myöhään. ...ulkoisesti olin syntynyt matemaatikko. Ja sisäisesti vedin enemmän kirjallisuuteen. Näin minun tulevaisuuden elämä matematiikan ja kirjallisuuden välillä.

"Julkisten" teosten julkaisu liittyy jossain määrin Frida Abramovna Vigdorovan (A.A. Raskinan äiti) nimeen, jonka tapaamisen ja ystävystymisen jälkeen Elena Sergeevna toi hänet lukemaan tarinaansa "Elämän mestarit". A.A. Raskina: " Tarina teki meistä kaikista erittäin paljon suuri vaikutelma, eikä vain aihe, vaikka muistakaa: se oli kuudennenkymmenennen luvun loppu - vielä kaksi vuotta ennen "Yksi päivä Ivan Denisovichissa"! Mutta se oli hyvin kirjoitettu: esimerkiksi siitä lähtien muistan, että junassa tarjoillaan "kylmää sinertävää kaakaota". Ja se meni. Seuraava tarina oli "Keltainen kukka". Vuoden 66 tarinakirjassa sen nimi on "Lyhdyn alla" - kuten muukin kirja. Ja me kaikki myös pidimme siitä. Mutta jostain syystä - ehkä hitaudesta ensimmäinen tarina oli sataprosenttisesti painamaton! - ei ollut puhetta, että se olisi tarpeen tulostaa. "Keltaisella kukalla" oli mielenkiintoinen kohtalo. E.S. Harvat antoivat hänelle tarinoita luettavaksi. Ja äitini, jos hän piti jostakin, antoi sen kaikille ystävilleen luettavaksi - ja heitä oli monia. Ja nyt on vuosi 66 tulossa (äitini ei ollut enää siellä ...), kerää E.S. satukirja, enkä löydä Keltaista kukkaa. Chernoviki E.S. En koskaan säilyttänyt sitä ollenkaan, enkä täältä löytänyt koneella kirjoitettua kopiota. Ja mitä siitä tuli? Niiden joukossa, joille äitini antoi tarinan luettavaksi, oli kirjailija Raisa Orlova. Hänen tyttärensä Masha, silloin vielä koulutyttö, piti tästä tarinasta niin paljon, että hän otti sen ja kopioi sen kaikki käsin vihkoon. Se on tietokonetonta, mutta mitä siellä - Gutenbergiä edeltävä aikakausi, jota elimme! Masha piti muistikirjaa, tarina sisällytettiin kirjaan - yleensä käsikirjoitukset eivät pala!

Hän debytoi tarinalla "Sisäänkäynnille" (1969), jonka hän muuten kirjoitti ystävälleen F.A. Vigdorovalle. A.A.Raskina: "Mutta mikä on tarinan "Tarkintapisteen takana" tarina. Hänen E.S. Kirjoitin nimenomaan äidilleni, kuten sanotaan, sisäiseen käyttöön, jotta äitini oppisi tuntemaan hänet, Elena Sergeevna, ympäristöön suosikkitutkijoittensa, "teknikkojensa" kanssa. … E.S. kirjoitti sen kirjailija Ehrenburgin ja insinööri Poletajevin välisen kiistan "fyysikoista ja sanoittajista" seurauksena, joka valloitti melkein koko maan. E.S., vaikka hänestä oli jo tullut "lyriiko", oli "fyysikot" sielussaan ja halusi näyttää heille parhaasta puolelta: miten hän rakasti heitä koko sydämestään. Ja niinpä, kun tarina oli painettu, hän lähetti sen Ehrenburgiin latinaksi kirjoitettuna: "Audiatur et altera pars" - "Kuulkoon toinen puoli."

Kritiikki kutsui häntä koulutetun väestön "ajatusten hallitsijaksi" vuosina 1960-1970. Jokaista kirjailijan uutta teosta odotettiin innolla, kirjastoissa jonoja aikakauslehtiin. Harva lukijoista saattoi tietää, että sekä kirjailijan itsensä että hänen teostensa kohtalo oli erittäin vaikea, mutta hyvin tyypillinen sulamisen ja pysähtyneisyyden ajalle. Hän aloitti kirjoittamisen aikaisin ja julkaisemisen myöhään. Tarinan "Beyond the Gateway" (kirjoitettu vuonna 1960) julkaisuhetkellä "kirjailijan työpöytä" sisälsi jo tarinat "Elämän mestarit" (tarina syntyperäisestä leningradilaisesta, joka putosi "Kirov-sarjaan", kulki leirin läpi, menetti perheensä) Keltainen kukka"(tunnetaan nimellä" Under the Lantern ")," The First Raid ", romaani" Fresh Tradition "(etunimi on" Peano Curve "), joka kertoo juutalaisten kohtalosta Stalinin aikana. "Elämän mestarit" tulivat lukijalle tutuksi 28 vuotta myöhemmin (vuonna 1988), ja romaani "Fresh Tradition" makasi pöydällä "eeppisen" ajanjakson "kolmenkymmentä vuotta ja kolme vuotta" (julkaistu vuonna 1995 Yhdysvalloissa ). Myöhempi tarina "Ilman hymyjä" pystyi näkemään valon vasta 16 vuotta myöhemmin (vuonna 1986). Kirjoittajalta kesti yli 10 vuotta julkaista tarina "Lesken höyrylaiva" (kirjoitettu 1970-luvun alussa, julkaistu vuonna 1981).

Kuten ennenkin, lukijan suosituimpia teoksia ovat "Tuoli", "Leskihöyrylaiva", "Kotitalon emäntä".

I. Grekovan kirjojen viehätyksen salaisuus on, että ne kertovat aina ihmisistä ja heidän elämänsä olosuhteista. He voivat menestyä tai olla menestymättä, mutta he kärsivät, taistelevat, uskovat tai epäilevät. Ja aina päälinja on moraali tai etsiminen tai sankarien valinta.

Tässä on S. Itskovichin I. Grekovan arvio: " runoilija matematiikassa ja matemaatikko runoudessa, tai pikemminkin proosassa, mutta loppujen lopuksi jopa hänen proosansa on runollista. Pushkinin mukaan hän näyttää onnistuneen uskomaan harmoniaan algebran kanssa: hänen tarinoissaan, romaaneissaan, romaaneissaan jokainen sana varmistetaan ja asetetaan paikalleen matemaattisella tarkkuudella, kuten X ja Y kaavassa, minkä vuoksi hänen proosansa. kuulostaa täydellisesti viritetyltä soittimelta."

Hän esitteli kielen ja juonen käsittelemisen matemaattisesti pakattuja tekstejä ja ytimekkäitä kuvia, jotka olivat äärettömän läheisiä ja ymmärrettäviä lukijoille. Ja jopa matemaattiset termit metaforina paljasti tai täydensi esitettyä kuvaa. Esimerkiksi,

"Monet ihmiset puuhasivat matkatavaroiden kanssa. Pitkä nainen housuissa, kompassi levitti pitkät jalkansa, siirsi varovasti laatikoita soittimien kanssa. I. Grekova näyttää meille, että ei ole tarvetta käyttää suuri määrä metaforia, jos selviät yhdellä sanalla.

"... tässä ei iski ero, vaan identiteetti<…>ja kuin hän olisi täällä: muuttumattomana, identtinen itsensä, näiden kahden - naisen ja pojan - häiritsevä kauneus. Toisin sanoen identtinen tarkoittaa samanlaista, samanlaista. Joten täällä, kun sotilasmies näyttää kuvaa kertojalle, hän tunnistaa välittömästi hänet ja hänen vieressään olevan naisen - tämä on hänen äitinsä, jonka kanssa hän näyttää samanlaiselta.

I. Grekova itse oli ihanteellisen kirjailijan ruumiillistuma: hän yhdisti erinomaisen materiaalin hallinnan erinomaiseen filologiseen oppimiseen. Häntä ihailivat monet ammattikirjailijat. KANSSA syvää surua otti vastaan ​​uutisen I. Grekovin kuolemasta, proosakirjailija, lehden proosaosaston johtaja. Uusi maailma» Ruslan Kireev. Kerran hän, pyrkivä kirjailija, tarjosi lehdelle tarinaansa kampaajasta tietämättä, että I. Grekovan "Ladies' Master" oli jo hyväksytty julkaistavaksi. Kun 15 vuotta myöhemmin Kireevin teksti kuitenkin ilmestyi, jo kuuluisa I. Grekova itse soitti hänelle. Ruslan Kireevin mukaan hän oli aina hämmästynyt kirjailijan eruditiosta, joka luki Proustin ja Shakespearen alkuperäisessä lainauksessa kokonaisia ​​sivuja Gogolista ulkoa: "Hän oli mies kulttuuri XIX vuosisadalla."

Hän kuoli 15. huhtikuuta 2002. Tänään hänen kirjansa, käännetty kielelle eri kieliä maailman katoavat hyllyiltä yhtä nopeasti kuin ennenkin. Loppujen lopuksi ne ovat totta ja tärkeitä. Kun seuraavassa Neuvostoliiton lehdessä hänen käsikirjoitustaan ​​pyydettiin oikaisemaan, hän yksinkertaisesti "vei jälkeläisensä kainalonsa alle ja lähti, jopa helpotuksesta - luojan kiitos, sinun ei tarvitse leikata, murskata eläviä. Tietysti, jos eläisin kirjallisilla maksuilla, olisin mukautuvampi ”, Elena Sergeevna muisteli. Ja laskuvuosina hän kiitti kohtaloa, joka pelasti hänet uppoutumasta vain kirjallisuuteen. Loppujen lopuksi hänen mukaansa "siellä, kuten missä tahansa humanistiset tieteet Tuohon aikaan piti "valehtelu" tavalla tai toisella, mutta meille, matemaatikoille, oli helppoa "elämättä valheilla".

"Harmoninen yhdistelmä kirjallisuutta ja tarkkoja tieteitä, moitteeton ammattitaito ja sama moitteeton taito valheellisuuteen sanoissa ja ongelmanratkaisussa - tämä on tämän henkilön tavaramerkki "- arvostavat sanat" Sanomalehti Nezavisimaya", 2002, 19. huhtikuuta.

Ja tässä on mitä D. Bykov sanoo ja neuvoo teitä, lukijat, tänään: "Katso, Grekova, kuten [Vera] Panova, on sellainen tyyliihme, erittäin taloudellinen, erittäin neutraali, maustettu, rauhallinen, mutta samalla tilava, ja hänellä on jo mieli. Tiedätkö, Grekovan lukeminen on kuin seisoisi kylmän suihkun alla helteessä. Ladies' Master on upeaa proosaa, niin tilavaa ja tarkkaa. Ja se koskee tärkeintä - jokapäiväistä jokapäiväistä nöyryytystä. Siellä on paljon…"

16. maaliskuuta oli Frida Abramovna Vigdorovan (1915 - 1965), lahjakkaan kirjailijan, rohkean toimittajan ja ystävällisen, syntymäpäivä, sympaattinen henkilö. Korney Ivanovich Chukovsky sanoi hänestä: "Eniten paras nainen". Kirjoittaessaan tyttärelleen Vigdorovalle Sashalle vuonna 1966 julkaistua kirjaansa "Ajan juoksu" Anna Akhmatova kutsui Frida Vigdorovaa "korkeimmaksi esimerkiksi ystävällisyydestä, jaloudesta ja ihmisyydestä meille kaikille". Lue siitä blogistamme« Tie elämään Frida Vigdorova .

transkriptio

1 E. S. Wentzel TODENNÄKÖISYYSTEORIA Opetus- ja tiedeministeriön suosittelema Venäjän federaatio oppikirjana korkeamman tekniikan opiskelijoille koulutusinstituutiot 11. painos, stereotyyppinen 2010

2 UDC BBK V29 Arvostelijat: G. G. Olkhovsky, toimitusjohtaja All-Russian Thermal Engineering Institute, vastaava jäsen. RAS, Dr. tech. Tieteet, prof. A. M. Petrova, Moskovan johtaja ammattikorkeakoulu, cand. taloutta Tieteet, T. Yu. Simonova, sijainen. Moskovan ammattikorkeakoulun johtaja Venttsel E.S. B29 Todennäköisyyslaskenta: oppikirja / E. S. Wentzel. 11. painos, ster. M.: KNORUS, s. ISBN Kirja on yksi tunnetuimmista todennäköisyysteorian oppikirjoista ja on tarkoitettu niille, jotka tuntevat korkeampi matematiikka ja kiinnostunut todennäköisyysteorian teknisistä sovelluksista. Se kiinnostaa myös niitä, jotka soveltavat todennäköisyysteoriaa omassa käytössään käytännön toimintaa. Kirja annetaan suurta huomiota erilaisia ​​todennäköisyysteorian sovelluksia (todennäköisyysprosessien teoria, informaatioteoria, jonotus jne.). Yliopisto-opiskelijoille. Venttsel Elena Sergeevna TODENNÄKÖISYYSTEORIA Kaupungin terveys- ja epidemiologinen päätelmä D Toim. Allekirjoitettu julkaisua varten Muoto 60 90/16. Kuulokkeet "NewtonC". Offsetpainatus. Tulos uuni l. 41.5. Uh. toim. l. 21.6. Levikki 3000 kappaletta. Tilaus. LLC "KnoRus Publishing House", Moskova, st. Bolshaya Pereyaslavskaya, 46, s. Goncharova, 14. UDC BBK Venttsel E. S. (perilliset), 2010 CJSC "MCFER", 2010 ISBN LLC "Kustantamo KnoRus", 2010

3 Sisällys Esipuhe Luku 1. Johdanto 1.1. Subject of Probability Brief historiallista tietoa Luku 2. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet 2.1. Tapahtuma. Tapahtuman todennäköisyys Suora todennäköisyyksien laskeminen Frequency, tai Tilastollinen todennäköisyys tapahtumalle Satunnaisarvo Käytännössä mahdotonta ja käytännössä varmaa tapahtumaa. Periaate käytännön varmuutta Luku 3. Todennäköisyysteorian peruslauseet 3.1. Päälauseiden tarkoitus. Tapahtumien summa ja tulo Todennäköisyyslisäyslause Todennäköisyyden kertolaskulause Kaava täydellä todennäköisyydellä Hypoteesilause (Bayes-kaava) Luku 4. Kokeiden toisto 4.1. Erityinen lause kokeiden toistamisesta Yleinen lause kokeiden toistosta Luku 5. Satunnaismuuttujat ja niiden jakautumislait 5.1. Jakelualue. Jakaumapolygoni Jakaumafunktio Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja putoaa tietylle alueelle Jakauman tiheys Numeeriset ominaisuudet satunnaismuuttujia. Heidän roolinsa ja tarkoituksensa

4 4 Sisältö 5.6. Aseman ominaisuudet (matemaattinen odotus, tila, mediaani) Momentit. Dispersio. Keskiverto keskihajonta Tasaisen tiheyden laki Poissonin laki Luku 6. Normaalijakauman laki 6.1. Normaalilaki ja sen parametrit Momentit normaalijakauma Todennäköisyys osua satunnaismuuttujaan, joka on alisteinen normaali laki, tietylle alueelle. normaali toiminta jakauma Todennäköinen (mediaani) poikkeama Luku 7. Satunnaismuuttujien jakauman lakien määrittäminen kokeellisen tiedon perusteella 7.1. Matemaattisen tilaston perustehtävät Yksinkertainen tilastollinen perusjoukko. Tilastollinen jakautumisfunktio Tilastosarja. Histogrammi Numeeriset ominaisuudet tilastollinen jakautuminen linjaus tilastollinen sarja Sopivuuskriteerit Luku 8. Satunnaismuuttujien järjestelmät 8.1. Satunnaismuuttujien järjestelmän käsite Kahden satunnaismuuttujan järjestelmän jakautumistiheys Kahden satunnaismuuttujan järjestelmän jakautumistiheys Järjestelmään sisältyvien yksittäisten muuttujien jakauman lait. Ehdolliset jakauman lait Riippuvat ja riippumattomat satunnaismuuttujat Kahden satunnaismuuttujan järjestelmän numeeriset ominaisuudet. korrelaatiohetki. Korrelaatiokerroin mielivaltaisen määrän satunnaismuuttujia järjestelmä Usean satunnaismuuttujan järjestelmän numeeriset ominaisuudet

5 Luku 9. Satunnaismuuttujajärjestelmän normaalijakauman laki Sisällysluettelo Normaalilaki tasossa Sirontaellipsit. Normaalin lain pelkistys kanoniseen muotoon Putoamisen todennäköisyys suorakulmioon, jonka sivut ovat samansuuntaiset pääsironta-akseleiden kanssa. Todennäköisyys putoaa sironta-ellipsiin Todennäköisyys putoaa mielivaltaisen muotoiselle alueelle Normaalilaki kolmen ulottuvuuden avaruudessa. Yleinen sisääntulo normaalilaki mielivaltaisen määrän satunnaismuuttujia systeemille Luku 10. Satunnaismuuttujien funktioiden numeeriset ominaisuudet Funktion matemaattinen odotus. Funktion varianssi numeeriset ominaisuudet ax Numeeristen ominaisuuksien lauseiden sovellukset Luku 11. Funktioiden linearisointi Satunnaisargumenttien funktioiden linearisointimenetelmä Yhden funktion linearisointi satunnainen argumentti Useiden satunnaisargumenttien funktion linearisointi Linearisointimenetelmällä saatujen tulosten tarkentaminen Luku 12. Satunnaisargumenttien funktioiden jakauman lait Kahden satunnaismuuttujan summan jakautuminen. Jakaumalakien koostumus Normaalilakien koostumus Lineaariset funktiot normaalijakauneista argumenteista Normaalilakien koostumus tasossa

6 6 Sisällysluettelo Luku 13. Todennäköisyysteorian rajalauseet Laki suuria lukuja ja keskusrajalause Tšebyševin epäyhtälö Suurten lukujen laki (Tšebyshevin lause) Yleistetty Tšebyševin lause. Markovin lause Suurten lukujen lain seuraukset: Bernoullin ja Poissonin lauseet Massasatunnaisilmiöt ja keskirajalause Tunnusfunktiot Keskirajalause identtisesti jakautuneille termeille Kaavat, jotka ilmaisevat keskus rajalause ja tavata hänet käytännön sovellus Luku 14. Kokeiden käsittely Rajoitettujen kokeiden käsittelyn piirteet. Arviot jakautumislain tuntemattomille parametreille Arviot for matemaattinen odotus ja varianssi Luottamusväli. Luottamuksen todennäköisyys Tarkat rakennusmenetelmät luottamusvälit normaalin lain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan parametreille Todennäköisyysarvio taajuudella Arvioita satunnaismuuttujien järjestelmän numeerisille ominaisuuksille Laukaisukäsittely Tasoitus kokeelliset riippuvuudet menetelmän mukaan pienimmän neliösumman Luku 15 satunnainen toiminto Satunnaisfunktion käsite satunnaismuuttujien järjestelmän käsitteen jatkeena. Satunnaisfunktion jakautumislaki Satunnaisfunktioiden ominaisuudet Satunnaisfunktion ominaisuuksien määrittäminen kokemuksesta

7 Sisällysluettelo Menetelmiä muunnettujen satunnaisfunktioiden ominaisuuksien määrittämiseksi alkuperäisten satunnaisfunktioiden ominaisuuksista Lineaariset ja epälineaariset operaattorit. Dynaaminen järjestelmäoperaattori Lineaariset muunnokset satunnaisfunktiot Satunnaisfunktioiden lisäys Monimutkaiset satunnaisfunktiot Luku 16. Satunnaisfunktioiden kanoniset laajennukset Kanonisten laajennusten menetelmän idea. Satunnaisfunktion esitys alkeissatunnaisfunktioiden summana Satunnaisfunktion kanoninen laajennus annettujen satunnaisfunktioiden lineaariset muunnokset kanoniset laajennukset Luku 17 Dispersiospektri Kiinteän satunnaisfunktion spektrilaajennus äärettömällä aikavälillä. Spektritiheys stationaarinen satunnaisfunktio Satunnaisfunktion spektrilaajennus in monimutkainen muoto Kiinteän satunnaisfunktion muuntaminen stationääriseksi lineaarinen järjestelmä Stacionaaristen satunnaisprosessien teorian sovellukset analyysiin ja synteesiin liittyvien ongelmien ratkaisemiseen dynaamiset järjestelmät Stacionaaristen satunnaisfunktioiden ergodinen ominaisuus Ergodisen stationaarisen satunnaisfunktion ominaisuuksien määrittäminen yhdestä toteutuksesta Luku 18. Tietoteorian peruskäsitteet Tietoteorian aihe ja tehtävät Entropia tilan epävarmuusasteen mittarina fyysinen järjestelmä

8 8 Sisällys Entropia monimutkainen järjestelmä. Entropian summauslause Ehdollinen entropia. Riippuvien järjestelmien entropian ja tiedon yhdistäminen Tapahtumaviestiin sisältyvät yksityiset tiedot järjestelmästä. Yksityinen tieto tapahtumasta, joka sisältyy toista tapahtumaa koskevaan sanomaan Entropia ja tiedot järjestelmille, joissa on jatkuva tilajoukko Viestien koodauksen ongelmat. Shannon Fano koodi Vääristyneen tiedon välittäminen. Kaistanleveys kohinainen kanava Luku 19. Jonoteorian elementit Jonoteorian aihe Satunnainen prosessi, jossa on laskettava tilajoukko Tapahtumien kulku. Yksinkertaisin virtaus ja sen ominaisuudet Epävakaa Poisson-virtaus Rajoitetun jälkivaikutuksen virtaus (Palm flow) Palveluaika Markovin stokastinen prosessi Jonojärjestelmä, jossa on vikoja. Erlang-yhtälöiden tasainen palvelutila. Erlang-kaavat Odottava jonojärjestelmä Järjestelmä sekoitettu tyyppi jonon pituuden rajoituksella Liite Hakemisto

9 Esipuhe Tämä kirja on kirjoitettu todennäköisyysteorian luentojen pohjalta, joita kirjoittaja on useiden vuosien aikana pitänyt Suomen opiskelijoille. insinööriakatemia niitä. N. E. Zhukovsky, samoin kuin kirjoittajan oppikirja samasta aiheesta. Oppikirja on tarkoitettu pääasiassa insinöörille matemaattinen koulutus korkeampien teknisten oppilaitosten tavanomaisen kurssin aikana. Kirjaa laatiessaan kirjoittaja asetti tehtäväksi esittää aiheen yksinkertaisimmalla ja selkeimmällä tavalla sitomatta itseään täydellisen matemaattisen kurinalaisuuden kehykseen. Tältä osin tiettyjä säännöksiä annetaan ilman todisteita (luottamusrajoja ja luottamustodennäköisyyksiä käsittelevä osio; A. N. Kolmogorovin lause, joka liittyy sopimuskriteeriin, ja joitain muita); jotkin säännökset eivät ole aivan tarkasti todistettuja (jakaumalakien kertolaskulause; matemaattisen odotuksen ja korrelaatiofunktion muunnossäännöt satunnaisfunktiota integroitaessa ja differentioitaessa jne.). Sovellettu matemaattinen laitteisto ei periaatteessa ylitä kurssia korkeampi matematiikka, ilmoitettu korkeammissa teknisissä oppilaitoksissa; jossa kirjoittajan on käytettävä vähemmän tunnettuja käsitteitä (esimerkiksi käsite lineaarinen operaattori, matriisit, neliöllinen muoto jne.), nämä käsitteet selitetään. Kirja tarjotaan iso määrä esimerkkejä, joissain tapauksissa laskennallisia, joissa esitettyjen menetelmien soveltamista havainnollistetaan tietyllä tavalla käytännöllinen materiaali ja tuonut numeeriseen tulokseen. Hieman konkreettisesta esimerkkivalikoimasta huolimatta kirjaan sijoitettu havainnollistava materiaali on siinä työskenteleville insinööreille ymmärrettävää eri alueita tekniikkaa ja kaikkia, jotka käyttävät työssään todennäköisyyslaskennan menetelmiä. Kirjoittaja on syvästi kiitollinen professori E. B. Dynkinille ja professori V. S. Pugacheville useista arvokkaista ehdotuksista. E. Wentzel

E.S. Wentzel L.A. Ovcharov TODENNÄKÖISYYSTEORIA JA SEN TEKNISET SOVELLUKSET Venäjän federaation opetus- ja tiedeministeriön suosittelema opinto-opas korkeamman tekniikan opiskelijoille

Sisältö Esipuhe Johdanto Todennäköisyyslaskenta Luku 1. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet 1.1. Kokemus ja tapahtuma Tapahtumien kertolasku Toiminta Tapahtumien yhteenlasku Toiminta Tapahtumien vähentäminen Toiminta

Ivanovsky R. I. Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot. Perusteet, soveltavat näkökohdat esimerkeineen ja tehtäviä Mathcad-ympäristössä. Pietari: BHV-Peterburg, 2008. 528 s.: ill. + CD-ROM (opetusohjelma) B

SISÄLTÖ Johdanto...... 14 OSA ENSIMMÄINEN SATUNNAISET TAPAHTUMAT Luku 1. Todennäköisyysteorian peruskäsitteet... 17 1. Testit ja tapahtumat... 17 2. Satunnaistapahtumien tyypit... 17 3. Klassinen määritelmä

8. ESIMERKKIKYSYMYKSET ALAKOKEEEN (TESTI) VALMISTAUTTAMISEEN 1. Todennäköisyysteorian peruskäsitteet ja määritelmät. Satunnaisten tapahtumien tyypit. Klassinen ja tilastollinen todennäköisyyden määritelmä

Oppikirja on tarkoitettu lukijoille, jotka tuntevat korkeamman matematiikan kurssin differentiaali- ja integraalilaskenta yhden muuttujan funktioita. Esitetty materiaali kattaa perusasioita

SISÄLLYS OSA ENSIMMÄINEN SATUNNAISET TAPAHTUMAT Luku 1. Todennäköisyyden määritelmä.. 8 1. Klassinen ja tilastolliset määritelmät todennäköisyydet.. 8 2. Geometriset todennäköisyydet... 12 Luku 2. Main

A. M. Karlov Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot ekonomisteille

INDEKSI Rajojen keskihajontojen funktion matemaattisen odotuksen rajojen keskimääräisten varianssien vektori määrä hypersatunnainen vektori jatkuva 1,2 skalaari 1,2 intervalli

VE Gmurman OPAS ONGELMIEN RATKAISEMINEN TODENNÄKÖISYYSTEORIASSA JA MATEMAATTISET TILASTOT M.: Vyssh. koulu, 1979, 400 s. Käsikirja sisältää tarvittavat teoreettiset tiedot ja kaavat, ratkaisut annetaan

RPD EN.F.03.08-2005 Penzan osavaltion yliopiston tiedekunta tietokone Tiede"Diskreetin matematiikan" todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilastotieteen laitos Työohjelma akateeminen kurinalaisuus

"KAZAN FEDERAL UNIVERSITY" TALOUS- JA RAHOITUSINSTITUUTTI Matematiikan laitos ja talousinformatiikka Metodinen kehitys tieteenalalla "Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilastointi"

VENÄJÄN OPETUS- JA TIETEMINISTERIÖ oppilaitos korkeampi ammatillinen koulutus"MOSKOVAN VALTION RADIOTEKNIIKKA-, ELEKTRONIIKA- JA AUTOMAATIOINSTITUUTTI (TEKNINEN YLIOPISTO)"

SISÄLLYS ESIPUHE 3 JOHDANTO 5 OSA 1. satunnaisia ​​tapahtumia ja niiden todennäköisyydet Luku 1. Todennäköisyyden käsite 1.1. Satunnaisten tapahtumien tyypit. Diskreetti joukko perustapahtumia. Monet kokemuksen tulokset

N. Yu. AFANASIEVA TIETEELLISEN KOKEEEN LASKENTA- JA KOKEELLISET MENETELMÄT N.E. Bauman" opetusapuvälineenä

Ohjeita käytännön (seminaari) tunneille Käytännön tunnit (seminaarit) 3. lukukausi p / p C1 C2 C3 C4 C5 C6 tieteenalaosio Nimi käytännön harjoituksia(seminaarit) Kombinatoriikka:

LIITTOVALTION OPETUSVIRASTO VALTION Ammattikorkeakoulun OPETUSLAITOS "TYUMENIN VALTION ÖLJY- JA KAASUN YLIOPISTO" KYBERNETIIKAN, TIETOTIETEEN INSTITUUTTI

B A K A L A V R I A T V.Ya. Derr TOIMINNALLINEN ANALYYSI Luennot ja harjoitukset Klassisen UMO:n hyväksymä yliopisto koulutus opetusapuna erikoisalalla opiskeleville yliopisto-opiskelijoille

Ei-valtiollinen korkea-asteen ammatillinen oppilaitos "Johdon instituutti" Taloustieteellisen tiedekunnan laitos tietotekniikat Ja soveltava matematiikka KURIOHJELMA

RPD EN.F.03-2005 Penzan osavaltion yliopisto Tietokonetekniikan tiedekunta "Diskreetin matematiikan" todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen laitos Akateemisen tieteenalan työohjelma

SISÄLLYSLUETTELO 1 OPETUSALA-OHJELMAN PASSI OPETUSOPIN RAKENNE JA SISÄLTÖ 3 OPETUSALAOHJELMAN TOTEUTTAMISEN EHDOT3 OPETUSOHJELMAN OHJELMAN OHJELMAN JA ARVIOINTI

LIITTOVALTION LENTOKULJETUSVIRASTO LIITTOVALTION OPETUSLAITOS KORKEAN AMMATILLINEN KOULUTUS "MOSKOVAN OSAVALTION TEKNINEN YLIOPISTO SIVUILLE

liittovaltion virasto koulutuksen mukaan Valtion ammatillinen korkeakouluoppilaitos Pietarin osavaltio Institute of Technology (Teknillinen yliopisto)

1. Tieteen tavoitteet ja tavoitteet: hankkiminen perustieto sekä käytännön talouselämässä esiin tulevien ongelmien ratkaisemiseen tarvittavien todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen perustaitojen muodostaminen

O.S. Litvinskaya N.I. Tšernyšev Tiedonvälityksen teorian perusteet UMO:n hyväksymä yliopisto-ammattikorkeakoulukoulutukseen opetusvälineeksi erikoistumisopiskelijoille 230101

Koulutus- ja metodologiakompleksi kurssilla "TODENNÄKÖISYYSTEORIAN JA MATEMAATTISEN TILASTOTILAN PERUSTEET" Selittävä huomautus Kurssi Todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilastotieteen perusteet kuuluu luonnontieteiden kiertokulkuun.

VENÄJÄN LIITTOVALTION HALLITUKSEN ALAINEN KORKEAKOULULAITOS RAHOITUSYLIOPISTO (Penzan haara) Hallinto-, tieto- ja tietotekniikan laitos

N. I. GUSEVA, N. S. DENISOVA, O. Yu. TESLYA Geometrian tehtäväkokoelma 2 osana Osa I UMO:n suosittelema erikoisaloilla opettajan koulutus opetusvälineenä korkeakouluopiskelijoille

OSA 7 TODENNÄKÖISYYSTEORIAN OSIA JA SEN SOVELTAMINEN AUTOMAATTINEN OHJAUSJÄRJESTELMIEN TUTKIMUKSESSA Luku 22 PERUSTIETOA TODENNÄKÖISYYSTEORIASTA 22.1. Tapahtuma, tapahtumaluokitus, todennäköisyys

KESKINEN AMMATTIKOULUTUS V.P. GALAGANOV Liittovaltion suosittelema valtion virasto « Liittovaltion instituutti koulutuksen kehittäminen" oppikirjana oppilaitosten opiskelijoille

3 1. SELITYS Matemaattisten tilastojen lisääntyneen roolin yhteydessä moderni tiede Energiatehokkaiden teknologioiden tulevaisuuden asiantuntijat tarvitsevat vakavaa tietoa teoriasta

1. Alan tavoitteet ja tavoitteet

Todennäköisyyskaavat I. Satunnaiset tapahtumat. Peruskaavat kombinatoriikka a) permutaatiot P =! = 3...(). b) sijoitus A m = ()...(m +). A! c) yhdistelmät C = =. P()!!. Klassinen määritelmä

2 TIIVISTELMÄ Tieteenalat B2.B3 Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilasto 1. Tieteen opiskelun tarkoitus ja tavoitteet ( harjoituskurssi) Hankinnan tarkoitus teoreettista tietoa kurssin pääosissa muodostuminen

2 1. Tieteen tavoitteet ja tavoitteet tilastollisia säännönmukaisuuksia,

1. Tieteen tavoitteet ja tavoitteet 1.1 Tavoitteena on persoonallisuuden muodostuminen, älyn ja kyvyn kehittäminen looginen ajattelu, toimintakyvyn kehittäminen abstrakteja esineitä; assimilaatio matemaattisia menetelmiä,

TIIVISTELMÄ kohteeseen työohjelma tieteenala "Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilastotiede" Koulutuksen suunta (erikoisuus) 38.03.04 Valtion ja kunnanhallitus 1. KURIN TAVOITTEET JA TEHTÄVÄT

Venäjän federaation opetus- ja tiedeministeriö Liittovaltion valtion budjetin korkea-asteen ammatillinen koulutuslaitos "Siperian valtio Geodeettinen akatemia»

Luento 8 JATKUVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN JAKAUTUMINEN LUENTON TARKOITUS: määrittää satunnaismuuttujien tiheysfunktiot ja numeeriset ominaisuudet, joilla on tasainen eksponentiaalinen normaali- ja gamma-jakauma

Liittovaltion koulutusvirasto Vladivostokin osavaltion talous- ja palveluyliopisto TODENNÄKÖISYYSTEORIA, MATEMAATTISET TILASTOT JA SATUNNAISPROSESSIT Koulutusohjelma tieteenalat sisään

Oppilaitos "Valko-Venäjän valtio Pedagoginen yliopisto nimetty Maxim Tankin mukaan "Syventävien opintojen ja uudelleenkoulutuksen instituutti Uudelleenkoulutuksen koulutuksen asiantuntijoiden osasto

SISÄLLYS Esipuhe...3 A. VEKTORIEN JA MATRIISIEN ALGEBRIEN PERUSTEET...5 1. Lineaariyhtälöjärjestelmien ratkaiseminen...5 1.1. Lineaariset yhtälöt...5 1.2. Lineaariyhtälöjärjestelmät...7 1.3. Sallitut lineaariset järjestelmät

Arviointirahasto suorittamista varten keskitason sertifiointi tieteenalan opiskelijat (moduuli) Yleistä tietoa 1. Osasto. valmistelun suunta. Tieteenala (moduuli) Matematiikka, fysiikka ja informaatio

A.I.Kibzun, E.R.Goryainova, A.V.Naumov, A.N.Sirotin TODENNÄKÖISYYSTEORIA JA MATEMAATISET TILASTOTIEDOT. PERUSKURSSI ESIMERKKEIN JA TEHTÄVÄIN M.: FIZMATLIT, 2002. - 224 s. Kirja on tarkoitettu aloittelijoille

Ammattikorkeamman KOULUTUKSEN VALTIOSTON ULKOPUOLINEN OPETUSLAITOS "SAMARA HUMANITARIAN AKADEMY" Haara Toljatissa HYVÄKSYNTÄLUETTELO: Varahenkilö. SD R.V.:n johtaja. Zakomoldin

VENÄJÄN FEDERAATION OPETUS- JA TIEDEMISTERIÖ Liittovaltion budjettitaloudellinen korkea-asteen koulutuslaitos "UFA STATE AVIATION TECHNICAL

HYVÄKSYTTY liittovaltion koulutus- ja metodologisen yhdistyksen päätöksellä Yleissivistävä koulutus(Pöytäkirja 28.6.2016 2/16h) ESIMERKKI YLEISKOULUTUKSEN PERUSKOULUTUSOHJELMA (Fragmentti)

Geologian, geofysiikan ja geokemian tiedekunta VENÄJÄN VALTION ÖLJY- JA KAASUN YLIOPISTO. NIITÄ. GUBKINA KALENTERISUUNNITELMA Tieteenala "Todennäköisyysteorian ja matematiikan elementit. tilastot” OPETUSSUUNNITELMA Yhteensä

2 tieteenalan välitestit: Luettelo tieteenalan "Matematiikka" kokeen kysymyksistä I lukukausi I Elementit lineaarialgebra 1. 2. ja 3. kertaluvun determinanttien käsite, niiden laskenta ja

Razat- Fə üzrə İmtaha Sualları Rus Bölməs. Tutki sarjan konvergenssia d'Alembert-kriteerillä: = 3 + 7. Tutki sarjan konvergenssia kiinteä ominaisuus Cauchy: = 3 3. Laske sarjan konvergenssisäde: 3

Venäjän federaation opetus- ja tiedeministeriö Altain valtionyliopisto S.V. Droonit TODENNÄKÖISYYSTEORIA: alkeellisia menetelmiä, satunnaismuuttujat, rajalauseet Oppikirja matematiikan opiskelijoille

V.D. SEKERIN MARKKINOINNIN PERUSTEET Kasvatusmetodinen yhdistys Kaupan ja markkinoinnin koulutuksessa opetusvälineenä opiskeleville yliopisto-opiskelijoille

Kislovodskin humanitaarisen ja teknisen instituutin TYÖOHJELMA tieteenalalla "TODENNÄKÖISYYSTEORIA JA MATEMAATTISET TILASTOT" tekniset järjestelmät» Kislovodsk, 2016

Sisällysluettelo 1. Tieteen tarkoitus ja tavoitteet... 4 2. Tieteen paikka BEP:n rakenteessa... 4 3. Vaatimukset akateemisen tieteenalan hallitsemisen tuloksille

Valko-Venäjän valtionyliopisto HYVÄKSY Dekaani Taloustieteen tiedekunta M.M. Kovalev (allekirjoitus) 25. kesäkuuta 2009 (hyväksymispäivä) Rekisteröinti UD-80 /r. TODENNÄKÖISYYSTEORIA JA MATEMATIIKKA

Arviointityökalut varten nykyinen ohjaus suorituskyky, alan hallinnan tuloksiin perustuva välisertifiointi ja koulutus- ja metodologinen tuki itsenäinen työ opiskelijat 1 vaihtoehtoa valvoa työtä

I. Organisatorinen ja metodologinen osa 1.1. Tieteen tarkoitus: on opiskelijoiden perustavanlaatuinen valmistautuminen matemaattisten perusmenetelmien omaksumiseen sekä suunnitteluun ja tutkimukseen valmistautuminen

Tieteenala: "TODENNÄKÖISYYSTEORIA JA MATEMAATTISET TILASTOT" Erikoisuus: Tiedekunta: "Lääketieteellinen-BIOLOGINEN" Lukuvuosi: 016-017 Kysymyksiä kokeeseen tieteenalalla "TODENNÄKÖISYYSTEORIA ja MATEMAATIIKKA

MATEMAATTISEN TILASTON ELEMENTIT Matemaattisten tilastojen peruskäsitteet Joukko on joukko objekteja (joukon elementtejä), joilla on yhteistä omaisuutta. Väestön määrä on luku

V.A. KOLEMAEV, V.N. KALININA TODENNÄKÖISYYSTEORIA JA MATEMAATTINEN TILASTO

2 SELITYS Opetussuunnitelma "Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilastotiede" kehitettiin erikoisalaa 1-21 06 01-01 "Modern" varten. vieraat kielet"korkeakoulut. Tutkimuksen tarkoitus

Publishing and Trade Corporation Dashkov ja K. V. Baldin, V. N. Bashlykov, A. V. Rukosuev TODENNÄKÖISYYSTEORIA JA MATEMAATTISET TILASTOT Oppikirja 2. painos Suosittelee GOU VPO « valtion yliopisto

LIITTOVALTION TALOUSARVIOKOULUTUSLAITOS Ammatillisesta KORKEASTA KOULUTUKSESTA "NIZHNY NOVGORODIN OSAVALTION TEKNINEN YLIOPISTO, joka on nimetty N.I. R.E. ALEKSEEV LIIKENNEJÄRJESTELMÄN INSTITUUTTI

LÄHTEISTYÖT 1. Khusnutdinov, R. Sh. Todennäköisyysteorian kurssi. Kazan: Izdvo KSTU, 2000. 200 s. 2. Khusnutdinov, R. Sh. Matemaattisen tilastotieteen kurssi. Kazan: Publishing House of KSTU, 2001. 344 s. 3. Khusnutdinov,

ARVIOINTIVÄLINEIDEN RAHASTO OPPILASTEN VÄLILAISTA TUTKIMUKSESTA OIKEALALLE (MODULI). 1. Osasto Yleistä 2. Koulutuksen suunta 3. Oppiala (moduuli) 4. Koulutusvaiheiden lukumäärä

Todennäköisyysteorian tehtäviä ja harjoituksia. Ventzel E.S., Ovcharov L.A.

5. painos, rev. - M.: Akatemia, 2003.- 448 s..

Tämä käsikirja on systemaattinen kokoelma todennäköisyysteorian ongelmia ja harjoituksia. Kaikkiin ongelmiin tarjotaan vastaukset, ja useimpiin - ratkaisuineen. Jokaisen luvun alussa yhteenveto tärkeimmistä teoreettiset määräykset ja ongelmien ratkaisemiseen tarvittavia kaavoja.

Korkeampien teknisten oppilaitosten opiskelijoille. Sitä voivat käyttää opettajat, insinöörit ja tiedemiehet, jotka ovat kiinnostuneita hallitsemaan todennäköisyyslaskentamenetelmiä käytännön ongelmien ratkaisemiseksi.

Muoto: pdf

Koko: 7 Mt

yandex.disk

Muoto: djvu/zip

Koko: 4,03 Mb

/ Lataa tiedosto

SISÄLLYSLUETTELO
Esipuhe 3
Luku 1. Peruskäsitteet. Suora todennäköisyyslaskenta 4
Luku 2. Todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskulauseet 19
Luku 3 Kokonaistodennäköisyyskaava ja Bayesin kaava 49
Luku 4
Luku 5. Satunnaismuuttujat. Jakelulainsäädäntö. Satunnaismuuttujien numeeriset ominaisuudet 85
Luku 6. Satunnaismuuttujien järjestelmät (satunnaisvektorit) 124
Luku 7. Satunnaismuuttujien funktioiden numeeriset ominaisuudet 152
Luku 8. Satunnaismuuttujien funktioiden jakauman lait. Todennäköisyysteorian rajalauseet 207
Luku 9 Satunnaisfunktiot 261
Luku 10 Markovin stokastiset prosessit 317
Luku 11 Jonoteoria 363
Hakemukset 428
Lähteet 440

Nimi: Todennäköisyysteoria. 1969.

Kirja on oppikirja, joka on tarkoitettu henkilöille, jotka tuntevat matematiikan VTUZ-säännöllisen kurssin puitteissa ja ovat kiinnostuneita todennäköisyysteorian teknisistä sovelluksista, erityisesti ammuntateoriasta. Kirja kiinnostaa myös muiden erikoisalojen insinöörejä, jotka joutuvat soveltamaan todennäköisyysteoriaa käytännön toiminnassaan.
Kirja eroaa muista samalle lukijaryhmälle tarkoitetuista oppikirjoista suurta huomiota uusiin sovellusten kannalta tärkeisiin todennäköisyysteorian haaroihin (esim. todennäköisyysprosessien teoria, informaatioteoria, jonoteoria jne.).

Todennäköisyysteoria on matemaattinen tiede, tutkii satunnaisten ilmiöiden malleja.
Sovitaan, mitä tarkoitamme "satunnaisella ilmiöllä".
klo tieteellinen tutkimus erilaisia ​​fyysisiä ja teknisiä ongelmia on usein käsiteltävä erityinen tyyppi ilmiöitä, joita yleensä kutsutaan satunnaisiksi. Satunnainen ilmiö on sellainen ilmiö, joka toistuessaan saman kokemuksen etenee joka kerta hieman eri tavalla.

SISÄLLYSLUETTELO
Toisen painoksen esipuhe
Ensimmäisen painoksen esipuhe 9
Luku 1 Johdanto 11
1.1. Todennäköisyysteorian aihe 11
1.2. Lyhyt historiatieto 17
Luku 2. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet 23
2.1. Tapahtuma. Tapahtuman todennäköisyys 23
2.2. Suora todennäköisyyslaskenta 24
2.3. taajuus tai tilastollinen todennäköisyys, tapahtumat 28
2.4. Satunnainen arvo 32
2.5. Melkein mahdotonta ja lähes varmoja tapahtumia. Käytännön varmuuden periaate 34
Luku 3. Todennäköisyysteorian peruslauseet 37
3.1. Päälauseiden tarkoitus. Tapahtumien summa ja tulo 37
3.2. Todennäköisyyslisäyslause 40
3.3. Todennäköisyyksien kertolaskulause 45
3.4. Kokonaistodennäköisyyskaava 54
3.5. Hypoteesilause (Bayesin kaava) 56
Luku 4
4.1. Erityinen lause kokeiden toistamisesta 59
4.2. Yleinen lause kokeiden toistamisesta 61
Luku 5. Satunnaismuuttujat ja niiden jakautumislait 67
5.1. Jakelualue. Jakaumapolygoni 67
5.2. Jakotoiminto 72
5.3. Satunnaismuuttujan osumisen todennäköisyys tietyllä alueella 78
5.4. Jakaantumistiheys 80
5.5. Satunnaismuuttujien numeeriset ominaisuudet. Heidän roolinsa ja tarkoituksensa 84
5.6. Aseman ominaisuudet (matemaattinen odotus, tila, mediaani) 85
5.7. Hetkiä. Dispersio. Keskiverto keskihajonta 92
5.8. Tasaisen tiheyden laki 103
5.9. Poissonin laki. 106
Kappale 6
6.1. Normaalilaki ja sen parametrit 116
6.2. Normaalijakauman momentit 120
6.3. Todennäköisyys, että normaalilakia noudattava satunnaismuuttuja osuu tietylle alueelle. Normaalijakaumafunktio 122
6.4 Todennäköinen (mediaani) poikkeama 127
Luku 7. Satunnaismuuttujien jakauman lakien määrittäminen kokeellisten tietojen perusteella 131
7.1. Matemaattisen tilaston perustehtävät 131
7.2. Yksinkertainen tilasto. Tilastollinen jakaumafunktio 133
7.3. Tilastollinen rivi. Histogrammi 133
7.4 Tilastollisen jakauman numeeriset ominaisuudet 139
7.5 Litistävä tilastosarja 143
7.6 Suostumuskriteerit 149
Luku 8. Satunnaismuuttujien järjestelmät 159
8.1. Satunnaismuuttujien järjestelmän käsite 159
8.2. Kahden satunnaismuuttujan järjestelmän jakaumafunktio 163
8.3 Kahden satunnaismuuttujan järjestelmän jakautumistiheys 163
8.4 Järjestelmään sisältyvien yksittäisten määrien jakautumislait. Jakauman ehdolliset lait 163
8.5 Riippuvat ja riippumattomat satunnaismuuttujat 171
8.6. Kahden satunnaisarvon järjestelmän numeeriset ominaisuudet. korrelaatiohetki. Korrelaatiokerroin 175
8.7 Mielivaltaisen määrän satunnaismuuttujia järjestelmä 182
8.8 Useiden satunnaismuuttujien järjestelmän numeeriset ominaisuudet 184
Luku 9. Satunnaismuuttujien normaalijakauman laki 188
9.1. Normaali laki koneessa 188
9.2. Hajaantuvia ellipsejä. Normaalin lain pelkistys kanoniseen muotoon 193
9.3. Todennäköisyys osua suorakulmioon, jonka sivut ovat yhdensuuntaiset päädispersioakseleiden kanssa 196
9.4 Todennäköisyys osua dispersioellipsiin 198
9.5 Todennäköisyys osua vapaamuotoiseen alueeseen 202
9.6. Normaalilaki kolmen ulottuvuuden avaruudessa. Satunnaismuuttujien järjestelmän normaalin lain yleinen merkintä 205
Luku 10. Satunnaismuuttujien funktioiden numeeriset ominaisuudet 210
10.1. Funktion matemaattinen odotus. Funktion varianssi 210
10.2. Lauseet numeerisista ominaisuuksista 219
10.3. Lauseen sovellukset numeerisille ominaisuuksille 230
Luku 11 Linearisointifunktiot 252
11.1. Linearisointimenetelmä satunnaisargumenttien funktioille 252
11.2. Yhden satunnaisargumentin funktion linearisointi 253
11.3. Useiden satunnaisargumenttien funktion linearisointi 255
11.4. Linearisointimenetelmällä saatujen tulosten tarkentaminen 259
Luku 12. Satunnaisargumenttien funktioiden jakauman lait 263
12.1. Yhden satunnaisargumentin monotonisen funktion jakautumislaki 643
12.2. Normaalilain alaisen argumentin lineaarisen funktion jakautumislaki 266
12.3. Yhden satunnaisargumentin epämonotonisen funktion jakautumislaki 267
12.4. Kahden satunnaismuuttujan funktion jakautumislaki 269
12.5. Kahden satunnaismuuttujan summan jakautumislaki. Jakautumislakien koostumus 271
12.6. Normaalilakien koostumus 275
12.7. Normaalisti jakautuneiden argumenttien lineaarifunktiot 279
12.8. Normaalilakien koostumus tasossa 280
Luku 13
13.1. Suurten lukujen laki ja keskirajalause 286
13.2. Tšebyshevin epäyhtälö 28713.3. Suurten lukujen laki (Tšebyshevin lause) 290
13.4. Yleistetty Chebyshevin lause. Markovin lause 292
13.5. Suurten lukujen lain seuraukset: Bernoullin ja Poissonin lauseet 295
13.6. Massasatunnaiset ilmiöt ja keskusrajalause 297
13.7. Ominaiset toiminnot 299
13.8. Keskirajalause identtisesti jakautuneille termeille 302
13.9. Keskeistä rajalausetta ilmaisevat ja sen käytännön sovelluksessa kohtaavat kaavat 306
Luku 14 Käsittelykokemukset 312
14.1. Rajoitettujen kokeiden käsittelyn ominaisuudet. Arviot jakautumislain 312 tuntemattomille parametreille
14.2. Arviot odotukselle ja vaihtelulle 314
14.3. Luottamusväli. Luottamuksen todennäköisyys 317
14.4. Tarkat menetelmät normaalilain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan parametrien luottamusvälien muodostamiseen 324
14.5. Todennäköisyysarvio 330
14.6. Arviot satunnaismuuttujien järjestelmän numeerisille ominaisuuksille 339
14.7. Polttokäsittely 347
14.8. Kokeellisten riippuvuuksien tasoitus pienimmän neliösumman menetelmällä 351
Luku 15. Satunnaisfunktioteorian peruskäsitteet 370
15.1. Satunnaisfunktion käsite 370
15.2. Satunnaisfunktion käsite satunnaismuuttujien järjestelmän käsitteen jatkeena. Satunnaisfunktion jakautumislaki 374
15.3. Satunnaisfunktioiden ominaisuudet 377
15.4. Satunnaisfunktion ominaisuuksien määrittäminen kokemuksen perusteella 383
15.5. Menetelmät muunnettujen satunnaisfunktioiden ominaisuuksien määrittämiseksi alkuperäisten satunnaisfunktioiden ominaisuuksista 385
15.6. Lineaariset ja epälineaariset operaattorit. Dynaaminen järjestelmäoperaattori 388
15.7. Satunnaisfunktioiden lineaariset muunnokset 393
15.8. Satunnaisfunktioiden lisääminen 39E
15.9. Monimutkaiset satunnaisfunktiot 402
Luku 16. Satunnaisfunktioiden kanoniset laajennukset 405
16.1. Ajatus kanonisten laajennusten menetelmästä. Satunnaisfunktion esitys perussatunnaisfunktioiden summana 406
16.2. Satunnaisfunktion 410 kanoninen laajennus
16.3. Kanonisten laajennusten 411 määrittelemien satunnaisfunktioiden lineaariset muunnokset
Luku 17 Kiinteät satunnaisfunktiot 419
17.1. Kiinteän satunnaisprosessin käsite 419
17.2. Kiinteän satunnaisfunktion spektrilaajentuminen äärellisellä aikavälillä. Dispersiospektri 427
17.3. Kiinteän satunnaisfunktion spektrilaajennus äärettömällä aikavälillä. Kiinteän satunnaisfunktion 431 spektritiheys
17.4. Satunnaisfunktion spektrilaajennus kompleksisessa muodossa 438
17.5. Kiinteän satunnaisfunktion muuntaminen kiinteällä lineaarisella järjestelmällä 447
17.6. Stationaaristen satunnaisprosessien teorian sovellukset dynaamisten järjestelmien analysointiin ja synteesiin liittyvien ongelmien ratkaisemiseen 454
17.7. Stacionaaristen satunnaisfunktioiden ergodinen ominaisuus 457
17.8. Ertodisen stationaarisen satunnaisfunktion ominaisuuksien määrittäminen yhdestä toteutuksesta 462
Luku 18. Tietoteorian peruskäsitteet 468
18.1. Aihe ja tehtävät, informaatioteoria 468
18.2. Entropia fyysisen järjestelmän tilan epävarmuusasteen mittana 469
18.3. Monimutkaisen järjestelmän entropia. Entropian summauslause 475
15.1. Ehdollinen entropia. Riippuvien järjestelmien yhdistäminen 477
18.1. Entropia n tiedot 481
18.2. Tapahtumaviestin sisältämät henkilötiedot järjestelmästä. Toiseen tapahtumaviestiin sisältyvät yksityiset tapahtumatiedot 489
18.7. Entropia ja informaatio järjestelmille, joissa on jatkuva tilajoukko 493
18.8. Viestin koodausongelmat. Shannon Code - Fano 502
18.9. Tietojen välittäminen vääristyneillä. Noisy kanavan kapasiteetti 509
Luku 19
19.1. Jonoteoria-aine 515
19.2. Satunnainen prosessi, jossa on laskettava tilajoukko 517
19.3. Tapahtumien virtaus. Yksinkertaisin virtaus ja sen ominaisuudet 520
19.4. Epävakaa Poisson-virtaus 527
19. 5. Virtaus rajoitetulla jälkivaikutuksella (Palma-virtaus) 529
16. 6. Palveluaika 534
19. 7. Markovin stokastinen prosessi 537
19. 8. Jonojärjestelmä, jossa on vikoja. Erlangin yhtälöt 540
19. 9. Tasainen palvelutila. Erlangin kaavat 544
19.10. Odotusjonojärjestelmä 548
19.11. Sekajärjestelmä, jossa on rajoitettu jonon pituus 557
Sovellus. Taulukot 561
Kirjallisuus 573
Indeksi 574