Kami terus berbicara tentang solusi persamaan. Dalam artikel ini, kami akan fokus pada persamaan rasional dan prinsip keputusan persamaan rasional dengan satu variabel. Pertama, mari kita cari tahu jenis persamaan apa yang disebut rasional, berikan definisi persamaan rasional bilangan bulat dan rasional pecahan, dan berikan contohnya. Selanjutnya, kami memperoleh algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional, dan, tentu saja, mempertimbangkan solusinya contoh karakteristik dengan semua penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Berdasarkan definisi yang terdengar, kami memberikan beberapa contoh persamaan rasional. Misalnya, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , adalah semua persamaan rasional.

Dari contoh-contoh yang ditunjukkan, dapat dilihat bahwa persamaan rasional, serta persamaan jenis lainnya, dapat berupa satu variabel, atau dengan dua, tiga, dll. variabel. PADA paragraf berikut kita akan berbicara tentang memecahkan persamaan rasional dalam satu variabel. Memecahkan persamaan dengan dua variabel dan mereka jumlah yang besar layak mendapat perhatian khusus.

Selain membagi persamaan rasional dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, mereka juga dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan rasional disebut utuh, jika kedua sisi kiri dan kanannya adalah ekspresi rasional bilangan bulat.

Definisi.

Jika setidaknya salah satu bagian dari persamaan rasional adalah ekspresi pecahan, maka persamaan ini disebut rasional fraksional(atau rasional fraksional).

Jelas bahwa persamaan bilangan bulat tidak mengandung pembagian dengan variabel; sebaliknya, persamaan rasional pecahan harus mengandung pembagian oleh variabel (atau variabel dalam penyebut). Jadi 3 x+2=0 dan (x+y) (3 x 2 1)+x=−y+0,5 adalah seluruh persamaan rasional, kedua bagiannya adalah ekspresi bilangan bulat. A dan x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 adalah contoh persamaan rasional pecahan.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan fakta bahwa persamaan linier dan persamaan kuadrat yang diketahui saat ini adalah persamaan rasional keseluruhan.

Memecahkan persamaan bilangan bulat

Salah satu pendekatan utama untuk menyelesaikan seluruh persamaan adalah pengurangannya menjadi setara persamaan aljabar. Ini selalu dapat dilakukan dengan melakukan transformasi setara berikut dari persamaan:

• pertama, ekspresi dari sisi kanan persamaan bilangan bulat asli dipindahkan ke sisi kiri dengan tanda berlawanan untuk mendapatkan nol di sisi kanan;
• setelah itu, di sisi kiri persamaan, yang dihasilkan tampilan standar.

Hasilnya adalah persamaan aljabar, yang setara dengan seluruh persamaan asli. Jadi paling banyak kasus sederhana menyelesaikan seluruh persamaan direduksi menjadi menyelesaikan persamaan linier atau kuadrat, dan dalam kasus umum– ke solusi persamaan aljabar derajat n. Untuk kejelasan, mari kita menganalisis solusi dari contoh.

Contoh.

Temukan akar dari seluruh persamaan 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Keputusan.

Mari kita kurangi solusi seluruh persamaan ini menjadi solusi persamaan aljabar ekivalen. Untuk melakukan ini, pertama, kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan ke kiri, sebagai hasilnya kami sampai pada persamaan 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Dan, kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri menjadi polinomial dari bentuk standar dengan melakukan hal yang diperlukan: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 5 x−6. Jadi, solusi persamaan bilangan bulat asli direduksi menjadi solusi persamaan kuadrat x 2 5 x−6=0 .

Hitung diskriminannya D=(−5) 2 4 1 (−6)=25+24=49, itu positif, yang berarti bahwa persamaan tersebut memiliki dua akar real, yang kita temukan dengan rumus akar-akar persamaan kuadrat:

Untuk kepercayaan penuh lakukan memeriksa akar yang ditemukan dari persamaan. Pertama, kami memeriksa akar 6, menggantinya dengan variabel x dalam persamaan bilangan bulat asli: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, yang sama, 63=63 . Betul sekali persamaan numerik, oleh karena itu, x=6 memang akar persamaan. Sekarang kita periksa root 1 , kita punya 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, dimana, 0=0 . Untuk x=−1, persamaan asli juga berubah menjadi persamaan numerik sejati, oleh karena itu, x=−1 juga merupakan akar persamaan.

Menjawab:

6 , −1 .

Di sini juga harus dicatat bahwa istilah "kekuatan seluruh persamaan" dikaitkan dengan representasi seluruh persamaan dalam bentuk persamaan aljabar. Kami memberikan definisi yang sesuai:

Definisi.

Derajat seluruh persamaan sebut derajat persamaan aljabar yang setara dengannya.

Menurut definisi ini, seluruh persamaan dari contoh sebelumnya memiliki derajat kedua.

Yang ini bisa menyelesaikan dengan solusi seluruh persamaan rasional, jika bukan untuk satu tapi .... Seperti diketahui, solusi persamaan aljabar dengan derajat yang lebih tinggi dari yang kedua dikaitkan dengan kesulitan yang signifikan, dan untuk persamaan dengan derajat yang lebih tinggi dari yang keempat, tidak ada persamaan seperti itu sama sekali. rumus umum akar. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan seluruh persamaan ketiga, keempat, dan lainnya derajat tinggi sering harus menggunakan metode solusi lain.

Dalam kasus seperti itu, terkadang pendekatan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional didasarkan pada metode faktorisasi. Pada saat yang sama, algoritma berikut diikuti:

• pertama mereka berusaha untuk memiliki nol di sisi kanan persamaan, untuk ini mereka mentransfer ekspresi dari sisi kanan seluruh persamaan ke kiri;
• kemudian, ekspresi yang dihasilkan di sisi kiri disajikan sebagai produk dari beberapa faktor, yang memungkinkan Anda untuk pergi ke serangkaian persamaan yang lebih sederhana.

Algoritma di atas untuk menyelesaikan seluruh persamaan melalui faktorisasi memerlukan penjelasan rinci menggunakan contoh.

Contoh.

Selesaikan seluruh persamaan (x 2 1) (x 2 10 x+13)= 2 x (x 2 10 x+13) .

Keputusan.

Pertama, seperti biasa, kita pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke ruas kiri persamaan, jangan lupa ubah tandanya, kita peroleh (x 2 1) (x 2 10 x+13) 2 x (x 2 10 x+13)=0 . Cukup jelas di sini bahwa tidak disarankan untuk mengubah ruas kiri persamaan yang dihasilkan menjadi polinomial bentuk standar, karena ini akan memberikan persamaan aljabar derajat keempat bentuk x 4 12 x 3 +32 x 2 16 x−13=0, yang solusinya sulit.

Di sisi lain, jelas bahwa x 2 10·x+13 dapat ditemukan di sisi kiri persamaan yang dihasilkan, sehingga mewakilinya sebagai produk. Kita punya (x 2 10 x+13) (x 2 2 x−1)=0. Persamaan yang dihasilkan ekuivalen dengan seluruh persamaan semula, dan selanjutnya dapat diganti dengan dua persamaan kuadrat x 2 −10·x+13=0 dan x 2 2·x−1=0 . Menemukan akarnya rumus yang diketahui akar melalui diskriminan tidak sulit, akarnya sama. Mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan asli.

Menjawab:

Ini juga berguna untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional. metode untuk memperkenalkan variabel baru. Dalam beberapa kasus, ini memungkinkan seseorang untuk melewati persamaan yang derajatnya lebih rendah dari derajat persamaan bilangan bulat aslinya.

Contoh.

Menemukan akar nyata persamaan rasional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Keputusan.

Mengurangi seluruh persamaan rasional ini menjadi persamaan aljabar, secara halus, bukanlah ide yang bagus, karena dalam kasus ini kita akan menemukan kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat yang tidak memiliki akar rasional. Karena itu, Anda harus mencari solusi lain.

Sangat mudah untuk melihat di sini bahwa Anda dapat memasukkan variabel baru y dan mengganti ekspresi x 2 +3 x dengannya. Penggantian seperti itu membawa kita ke seluruh persamaan (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , yang, setelah mentransfer ekspresi 2 (y−4) ke sisi kiri dan transformasi selanjutnya dari ekspresi yang terbentuk di sana, direduksi menjadi persamaan y 2 +4 y+3=0 . Akar persamaan ini y=−1 dan y=−3 mudah ditemukan, misalnya, mereka dapat ditemukan berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta.

Sekarang mari kita beralih ke bagian kedua dari metode memasukkan variabel baru, yaitu membuat substitusi terbalik. Setelah melakukan substitusi terbalik, kita memperoleh dua persamaan x 2 +3 x=−1 dan x 2 +3 x=−3 , yang dapat ditulis ulang sebagai x 2 +3 x+1=0 dan x 2 +3 x+3 =0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan akar persamaan pertama. Dan persamaan kuadrat kedua tidak memiliki akar real, karena diskriminannya negatif (D=3 2 4 3=9−12=−3 ).

Menjawab:

Secara umum, ketika kita berhadapan dengan persamaan bilangan bulat derajat tinggi, kita harus selalu siap untuk mencari metode non-standar atau perangkat buatan untuk solusi mereka.

Penyelesaian persamaan rasional fraksional

Pertama, akan berguna untuk memahami bagaimana menyelesaikan persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi bilangan bulat rasional. Dan kemudian kami akan menunjukkan cara mengurangi solusi dari persamaan rasional fraksional yang tersisa menjadi solusi persamaan bentuk yang ditunjukkan.

Salah satu pendekatan untuk menyelesaikan persamaan didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik u/v, di mana v adalah bilangan bukan-nol (jika tidak, kita akan menemukan , yang tidak terdefinisi), sama dengan nol jika dan hanya jika pembilangnya nol, yaitu, jika dan hanya jika u=0 . Berdasarkan pernyataan ini, solusi persamaan direduksi menjadi pemenuhan dua kondisi p(x)=0 dan q(x)≠0 .

Kesimpulan ini sesuai dengan yang berikut: algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional. Menyelesaikan persamaan rasional pecahan berbentuk

• selesaikan seluruh persamaan rasional p(x)=0 ;
• dan periksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk setiap akar yang ditemukan, while
• jika benar, maka akar ini adalah akar dari persamaan awal;
• jika tidak, maka akar ini asing, yaitu, itu bukan akar dari persamaan asli.

Mari kita menganalisis contoh penggunaan algoritme bersuara saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Ini adalah persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 2=0 .

Menurut algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional fraksional semacam ini, pertama-tama kita harus menyelesaikan persamaan 3·x−2=0 . Ini persamaan linier, yang akarnya adalah x=2/3 .

Tetap memeriksa akar ini, yaitu, untuk memeriksa apakah memenuhi kondisi 5·x 2 2≠0 . Kami mengganti angka 2/3 alih-alih x ke dalam ekspresi 5 x 2 2, kami mendapatkan . Kondisi terpenuhi, jadi x=2/3 adalah akar dari persamaan awal.

Menjawab:

2/3 .

Solusi persamaan rasional pecahan dapat didekati dari posisi yang sedikit berbeda. Persamaan ini ekuivalen dengan seluruh persamaan p(x)=0 pada variabel x dari persamaan awal. Artinya, Anda bisa mengikuti ini algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional :

• selesaikan persamaan p(x)=0 ;
• temukan variabel ODZ x ;
• mengambil akar milik daerah nilai yang diizinkan, - mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma ini.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Keputusan.

Pertama, kita selesaikan persamaan kuadrat x 2 2·x−11=0 . Akarnya dapat dihitung menggunakan rumus akar untuk koefisien kedua genap, kita peroleh D 1 =(−1) 2 1 (−11)=12, dan .

Kedua, kami menemukan ODZ dari variabel x untuk persamaan asli. Ini terdiri dari semua angka yang x 2 +3 x≠0 , yang sama dengan x (x+3)≠0 , dari mana x≠0 , x≠−3 .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan pada langkah pertama termasuk dalam ODZ. Jelas ya. Oleh karena itu, persamaan rasional fraksional asli memiliki dua akar.

Menjawab:

Perhatikan bahwa pendekatan ini lebih menguntungkan daripada yang pertama jika ODZ mudah ditemukan, dan terutama bermanfaat jika akar persamaan p(x)=0 adalah irasional, misalnya , atau rasional, tetapi dengan pembilang dan/atau penyebut, misalnya 127/1101 dan -31/59 . Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu, memeriksa kondisi q(x)≠0 akan membutuhkan upaya komputasi yang signifikan, dan lebih mudah untuk mengecualikan akar asing dari ODZ.

Dalam kasus lain, saat menyelesaikan persamaan, terutama jika akar persamaan p(x)=0 adalah bilangan bulat, akan lebih menguntungkan untuk menggunakan yang pertama dari algoritma di atas. Artinya, disarankan untuk segera menemukan akar seluruh persamaan p(x)=0 , dan kemudian memeriksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk mereka, dan tidak menemukan ODZ, dan kemudian menyelesaikan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk melakukan pemeriksaan daripada menemukan ODZ.

Pertimbangkan solusi dari dua contoh untuk menggambarkan nuansa yang ditentukan.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Pertama kita cari akar dari seluruh persamaan (2 x−1) (x−6) (x 2 5 x+14) (x+1)=0, disusun menggunakan pembilang pecahan. Ruas kiri persamaan ini adalah produk, dan ruas kanan adalah nol, oleh karena itu, menurut metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi, persamaan ini setara dengan himpunan empat persamaan 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tiga dari persamaan ini linier dan satu kuadrat, kita dapat menyelesaikannya. Dari persamaan pertama kita temukan x=1/2, dari persamaan kedua - x=6, dari persamaan ketiga - x=7, x=−2, dari persamaan keempat - x=−1.

Dengan akar yang ditemukan, cukup mudah untuk memeriksanya untuk melihat apakah penyebut pecahan di sisi kiri persamaan asli tidak hilang, dan tidak mudah untuk menentukan ODZ, karena ini harus menyelesaikan sebuah persamaan aljabar derajat kelima. Karena itu, mari kita menyerah menemukan ODZ mendukung memeriksa akar. Untuk melakukan ini, kami menggantinya secara bergantian sebagai ganti variabel x dalam ekspresi x 5 15 x 4 +57 x 3 13 x 2 +26 x+112, diperoleh setelah substitusi, dan bandingkan dengan nol: (1/2) 5 15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 15 6 4 +57 6 3 13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 15 7 4 +57 7 3 13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 15 (−2) 4 +57 (−2) 3 13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 15 (−1) 4 +57 (−1) 3 13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Jadi, 1/2, 6 dan 2 adalah akar-akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli, dan 7 dan 1 adalah akar-akar asing.

Menjawab:

1/2 , 6 , −2 .

Contoh.

Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan.

Keputusan.

Pertama kita cari akar persamaan (5x2 7x−1)(x−2)=0. Persamaan ini ekuivalen dengan dua persamaan: kuadrat 5·x 2 7·x−1=0 dan linear x−2=0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan dua akar, dan dari persamaan kedua kita memiliki x=2.

Memeriksa apakah penyebut tidak hilang pada nilai x yang ditemukan agak tidak menyenangkan. Dan untuk menentukan kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dalam persamaan aslinya cukup sederhana. Oleh karena itu, kami akan bertindak melalui ODZ.

Dalam kasus kami, ODZ dari variabel x dari persamaan rasional fraksional asli terdiri dari semua bilangan, kecuali yang memenuhi syarat x 2 +5·x−14=0. Akar persamaan kuadrat ini adalah x=−7 dan x=2, dari sini kita menyimpulkan tentang ODZ: ODZ terdiri dari semua x sehingga .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan dan x=2 termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima. Akar - milik, oleh karena itu, mereka adalah akar dari persamaan asli, dan x=2 bukan milik, oleh karena itu, itu adalah akar asing.

Menjawab:

Juga akan berguna untuk membahas secara terpisah kasus-kasus di mana suatu bilangan ada dalam pembilangnya dalam bentuk persamaan rasional pecahan, yaitu, ketika p (x) diwakili oleh suatu bilangan. Di mana

• jika bilangan ini berbeda dengan nol, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar, karena pecahan adalah nol jika dan hanya jika pembilangnya nol;
• jika angka ini nol, maka akar persamaannya adalah angka apa pun dari ODZ.

Contoh.

Keputusan.

Karena ada bilangan bukan-nol pada pembilang pecahan di sisi kiri persamaan, untuk tidak ada x dapat nilai pecahan ini sama dengan nol. Karena itu, persamaan yang diberikan tidak memiliki akar.

Menjawab:

tidak ada akar.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Keputusan.

Pembilang pecahan di ruas kiri persamaan rasional pecahan ini adalah nol, jadi nilai pecahan ini adalah nol untuk setiap x yang masuk akal. Dengan kata lain, solusi persamaan ini adalah sembarang nilai x dari DPV variabel ini.

Tetap menentukan kisaran nilai yang dapat diterima ini. Ini mencakup semua nilai x yang x 4 +5 x 3 0. Solusi dari persamaan x 4 +5 x 3 \u003d 0 adalah 0 dan 5, karena persamaan ini setara dengan persamaan x 3 (x + 5) \u003d 0, dan, pada gilirannya, setara dengan kombinasi dari dua persamaan x 3 \u003d 0 dan x +5=0 , dari mana akar-akar ini terlihat. Oleh karena itu, rentang nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah x , kecuali untuk x=0 dan x=−5 .

Jadi, persamaan rasional fraksional memiliki banyak solusi, yang merupakan bilangan apa pun kecuali nol dan minus lima.

Menjawab:

Akhirnya, saatnya berbicara tentang menyelesaikan persamaan rasional pecahan tipe sewenang-wenang. Mereka dapat ditulis sebagai r(x)=s(x) , di mana r(x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Ke depan, kami mengatakan bahwa solusi mereka direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk yang sudah akrab bagi kami.

Diketahui bahwa pemindahan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain yang berlawanan tanda mengarah ke setara dengan persamaan, sehingga persamaan r(x)=s(x) setara dengan persamaan r(x)−s(x)=0 .

Kita juga tahu bahwa any bisa identik sama dengan ekspresi ini. Jadi, kita selalu dapat mengubah ekspresi rasional di ruas kiri persamaan r(x)−s(x)=0 menjadi pecahan rasional yang identik dengan bentuk .

Jadi, kita beralih dari persamaan rasional pecahan asli r(x)=s(x) ke persamaan , dan solusinya, seperti yang kita temukan di atas, direduksi menjadi penyelesaian persamaan p(x)=0 .

Tetapi di sini perlu untuk mempertimbangkan fakta bahwa ketika mengganti r(x)−s(x)=0 dengan , dan kemudian dengan p(x)=0 , rentang nilai yang diizinkan dari variabel x dapat diperluas .

Oleh karena itu, persamaan asli r(x)=s(x) dan persamaan p(x)=0 , yang kita dapatkan, mungkin tidak setara, dan dengan menyelesaikan persamaan p(x)=0 , kita dapat memperoleh akar yang akan menjadi akar asing dari persamaan asli r(x)=s(x) . Dimungkinkan untuk mengidentifikasi dan tidak memasukkan akar asing dalam jawaban, baik dengan melakukan pemeriksaan, atau dengan memeriksa apakah akar tersebut termasuk dalam ODZ dari persamaan asli.

Kami merangkum informasi ini dalam algoritma untuk memecahkan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x). Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x) , kita harus

• Dapatkan nol di sebelah kanan dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan dengan tanda yang berlawanan.
• Lakukan tindakan dengan pecahan dan polinomial di sisi kiri persamaan, sehingga mengubahnya menjadi bentuk pecahan rasional.
• Selesaikan persamaan p(x)=0 .
• Identifikasi dan singkirkan akar-akar asing, yang dilakukan dengan mensubstitusinya ke dalam persamaan asli atau dengan memeriksa kepemilikannya pada ODZ dari persamaan asli.

Untuk kejelasan yang lebih besar, kami akan menunjukkan seluruh rantai penyelesaian persamaan rasional pecahan:
.

Mari kita lihat solusi dari beberapa contoh dengan penjelasan rinci tentang solusi untuk memperjelas blok informasi yang diberikan.

Contoh.

Memecahkan persamaan rasional pecahan.

Keputusan.

Kami akan bertindak sesuai dengan algoritma solusi yang baru saja diperoleh. Dan pertama-tama kita mentransfer istilah dari sisi kanan persamaan ke sisi kiri, sebagai hasilnya kita lolos ke persamaan .

Pada langkah kedua, kita perlu mengubah ekspresi rasional pecahan di ruas kiri persamaan yang dihasilkan ke dalam bentuk pecahan. Untuk melakukan ini, kami melakukan pemeran pecahan rasional ke faktor persekutuan dan sederhanakan ekspresi yang dihasilkan: . Jadi kita sampai pada persamaan.

Pada langkah berikutnya, kita perlu menyelesaikan persamaan 2·x−1=0 . Cari x=−1/2 .

Tetap memeriksa apakah angka yang ditemukan 1/2 adalah akar asing dari persamaan asli. Untuk melakukan ini, Anda dapat memeriksa atau menemukan variabel ODZ x dari persamaan asli. Mari kita tunjukkan kedua pendekatan tersebut.

Mari kita mulai dengan cek. Kami mengganti angka 1/2 alih-alih variabel x ke dalam persamaan asli, kami mendapatkan , yang sama, 1=−1. Substitusi memberikan persamaan numerik yang benar, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.

Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana langkah terakhir dari algoritma dilakukan melalui ODZ. Rentang nilai yang dapat diterima dari persamaan asli adalah himpunan semua bilangan, kecuali untuk 1 dan 0 (untuk x=−1 dan x=0, penyebut pecahan hilang). Akar x=−1/2 yang ditemukan pada langkah sebelumnya termasuk dalam ODZ, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.

Menjawab:

−1/2 .

Mari kita pertimbangkan contoh lain.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Kita perlu memecahkan persamaan rasional fraksional, mari kita lihat semua langkah algoritmanya.

Pertama, kita pindahkan suku dari ruas kanan ke kiri, kita peroleh .

Kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri: . Akibatnya, kita sampai pada persamaan x=0 .

Akarnya jelas - nol.

Pada langkah keempat, masih mencari tahu apakah akar yang ditemukan bukan akar luar untuk persamaan rasional fraksional asli. Ketika disubstitusikan ke persamaan asli, ekspresi diperoleh. Jelas, itu tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Dari mana kita menyimpulkan bahwa 0 adalah akar asing. Oleh karena itu, persamaan asli tidak memiliki akar.

7 , yang mengarah ke persamaan . Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ekspresi penyebut ruas kiri harus sama dengan ruas kanan, yaitu . Sekarang kita kurangi dari kedua bagian triple: . Dengan analogi, dari mana, dan selanjutnya.

Pemeriksaan menunjukkan bahwa kedua akar yang ditemukan adalah akar dari persamaan rasional pecahan asli.

Menjawab:

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku siswa institusi pendidikan/ A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Aljabar: Kelas 9: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Sejauh ini, kita hanya menyelesaikan persamaan bilangan bulat yang berkaitan dengan yang tidak diketahui, yaitu persamaan yang penyebutnya (jika ada) tidak mengandung yang tidak diketahui.

Seringkali Anda harus menyelesaikan persamaan yang penyebutnya tidak diketahui: persamaan seperti itu disebut pecahan.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita kalikan kedua ruasnya dengan polinomial yang mengandung yang tidak diketahui. Apakah persamaan baru akan setara dengan yang diberikan? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, mari selesaikan persamaan ini.

Mengalikan kedua ruas dengan , kita peroleh:

Memecahkan persamaan derajat pertama ini, kami menemukan:

Jadi, persamaan (2) memiliki akar tunggal

Substitusikan ke persamaan (1), kita peroleh:

Oleh karena itu, juga merupakan akar dari persamaan (1).

Persamaan (1) tidak memiliki akar lain. Dalam contoh kita, ini dapat dilihat, misalnya, dari fakta bahwa dalam persamaan (1)

bagaimana pembagi yang tidak diketahui harus sama dengan dividen 1 dibagi dengan hasil bagi 2, yaitu

Jadi, persamaan (1) dan (2) memiliki akar tunggal, sehingga keduanya ekuivalen.

2. Sekarang kita selesaikan persamaan berikut:

Penyebut umum paling sederhana: ; kalikan semua suku persamaan dengan itu:

Setelah reduksi kita peroleh:

Mari kita perluas tanda kurung:

Membawa istilah yang sama, kami memiliki:

Memecahkan persamaan ini, kami menemukan:

Substitusi ke persamaan (1), kita peroleh:

Di sisi kiri, kami menerima ekspresi yang tidak masuk akal.

Oleh karena itu, akar persamaan (1) bukan. Ini menyiratkan bahwa persamaan (1) dan tidak setara.

Dalam hal ini, kita katakan bahwa persamaan (1) telah memperoleh akar asing.

Mari kita bandingkan solusi persamaan (1) dengan solusi persamaan yang kita bahas sebelumnya (lihat 51). Dalam menyelesaikan persamaan ini, kami harus melakukan dua operasi yang belum pernah terlihat sebelumnya: pertama, kami mengalikan kedua sisi persamaan dengan ekspresi yang mengandung yang tidak diketahui (penyebut umum), dan, kedua, kami mengurangi pecahan aljabar dengan faktor yang mengandung yang tidak diketahui.

Membandingkan Persamaan (1) dengan Persamaan (2), kita melihat bahwa tidak semua nilai x yang valid untuk Persamaan (2) berlaku untuk Persamaan (1).

Angka 1 dan 3 bukanlah nilai yang dapat diterima dari yang tidak diketahui untuk persamaan (1), dan sebagai hasil dari transformasi, mereka menjadi dapat diterima untuk persamaan (2). Salah satu dari angka-angka ini ternyata menjadi solusi untuk persamaan (2), tetapi, tentu saja, itu tidak bisa menjadi solusi untuk persamaan (1). Persamaan (1) tidak memiliki solusi.

Contoh ini menunjukkan bahwa ketika kedua sisi persamaan dikalikan dengan faktor yang mengandung yang tidak diketahui dan ketika pecahan aljabar persamaan mungkin diperoleh yang tidak setara dengan yang satu ini, yaitu: akar asing mungkin muncul.

Oleh karena itu kami menarik kesimpulan berikut. Saat menyelesaikan persamaan yang berisi penyebut yang tidak diketahui, akar yang dihasilkan harus diperiksa dengan substitusi ke dalam persamaan asli. akar asing harus dibuang.

Persamaan dengan pecahan sendiri tidaklah sulit dan sangat menarik. Perhatikan jenis-jenis persamaan pecahan dan cara menyelesaikannya.

Bagaimana menyelesaikan persamaan dengan pecahan - x di pembilang

Dalam kasus yang diberikan persamaan pecahan, di mana yang tidak diketahui ada di pembilangnya, solusinya tidak memerlukan kondisi tambahan dan diselesaikan tanpa masalah yang tidak perlu. Bentuk umum persamaan tersebut adalah x/a + b = c, di mana x tidak diketahui, a, b dan c adalah bilangan biasa.

Cari x: x/5 + 10 = 70.

Untuk menyelesaikan persamaan, Anda harus menyingkirkan pecahan. Kalikan setiap suku persamaan dengan 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x dan 5 dikurangi, 10 dan 70 dikalikan 5 dan kita mendapatkan: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Cari x: x/5 + x/10 = 90.

Contoh ini adalah versi yang sedikit lebih rumit dari yang pertama. Ada dua solusi di sini.

• Opsi 1: Singkirkan pecahan dengan mengalikan semua suku persamaan dengan penyebut yang lebih besar, yaitu dengan 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Opsi 2: Tambahkan sisi kiri persamaan. x/5 + x/10 = 90. Penyebutnya adalah 10. Bagi 10 dengan 5, kalikan dengan x, kita dapatkan 2x. 10 dibagi 10, dikalikan x, kita peroleh x: 2x+x/10 = 90. Jadi 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Seringkali ada persamaan pecahan di mana x berada di sisi yang berbeda tanda sama. Dalam situasi seperti itu, perlu untuk mentransfer semua pecahan dengan x ke satu arah, dan angka ke arah lain.

• Cari x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Gerakkan 2x/5 ke kanan dengan tanda yang berlawanan: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Kami mengurangi 5x/5 dan mendapatkan: x = 130.

Bagaimana menyelesaikan persamaan dengan pecahan - x dalam penyebut

Jenis persamaan pecahan ini membutuhkan penulisan kondisi tambahan. Indikasi syarat tersebut merupakan bagian yang wajib dan tidak terpisahkan keputusan tepat. Dengan tidak menghubungkannya, Anda mengambil risiko, karena jawabannya (bahkan jika itu benar) mungkin tidak dihitung.

Bentuk umum persamaan pecahan, di mana x adalah penyebutnya, adalah: a/x + b = c, di mana x adalah bilangan yang tidak diketahui, a, b, c adalah bilangan biasa. Perhatikan bahwa x mungkin bukan bilangan apa pun. Misalnya, x tidak boleh nol, karena Anda tidak dapat membagi dengan 0. Ini adalah apa syarat tambahan, yang harus kita tentukan. Ini disebut kisaran nilai yang dapat diterima, disingkat - ODZ.

Cari x: 15/x + 18 = 21.

Kami segera menulis ODZ untuk x: x 0. Sekarang ODZ ditunjukkan, kami menyelesaikan persamaan sesuai dengan skema standar, menghilangkan pecahan. Kami mengalikan semua suku persamaan dengan x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Seringkali ada persamaan di mana penyebut tidak hanya berisi x, tetapi juga beberapa operasi lain dengannya, misalnya, penambahan atau pengurangan.

Cari x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Kita telah mengetahui bahwa penyebut tidak boleh nol, yang berarti x-3 0. Kita pindahkan -3 ke sisi kanan, sambil mengubah tanda “-” menjadi “+” dan kita mendapatkan bahwa x 3. ODZ ditunjukkan.

Selesaikan persamaan, kalikan semuanya dengan x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Pindahkan x ke kanan, angka ke kiri: 24 = 3x => x = 8.

Petunjuk

Mungkin poin yang paling jelas di sini adalah, tentu saja, . Pecahan numerik tidak menimbulkan bahaya (persamaan pecahan, di mana hanya angka yang ada di semua penyebut, umumnya akan linier), tetapi jika ada variabel dalam penyebut, maka ini harus diperhitungkan dan ditentukan. Pertama, x, yang mengubah penyebut menjadi 0, tidak mungkin, dan secara umum perlu untuk mendaftarkan fakta bahwa x tidak dapat sama dengan angka ini secara terpisah. Bahkan jika Anda berhasil bahwa ketika mensubstitusi ke pembilang, semuanya konvergen dengan sempurna dan memenuhi kondisi. Kedua, kita tidak dapat mengalikan salah satu atau kedua ruas persamaan dengan sama dengan nol.

Setelah ini, persamaan tersebut direduksi menjadi mentransfer semua sukunya ke sisi kiri sehingga 0 tetap di sisi kanan.

Penting untuk membawa semua istilah ke penyebut yang sama, mengalikan, jika perlu, pembilangnya dengan ekspresi yang hilang.
Selanjutnya, kami memecahkan persamaan biasa yang ditulis dalam pembilang. Kita bisa bertahan faktor umum keluar dari tanda kurung, menerapkan perkalian yang disingkat, memberikan yang serupa, menghitung akar persamaan kuadrat melalui diskriminan, dll.

Hasilnya harus berupa faktorisasi dalam bentuk perkalian kurung (x-(i-th root)). Ini juga dapat mencakup polinomial yang tidak memiliki akar, misalnya, trinomial persegi dengan diskriminan kurang dari nol (kecuali, tentu saja, hanya ada akar nyata dalam masalah, seperti yang paling sering terjadi).
Pastikan untuk memfaktorkan dan penyebut dari letak kurung di sana, yang sudah ada di pembilangnya. Jika penyebut berisi ekspresi seperti (x-(angka)), maka lebih baik, ketika mengurangi ke penyebut yang sama, tidak mengalikan tanda kurung di dalamnya "secara langsung", tetapi membiarkannya dalam bentuk produk dari ekspresi sederhana asli.
Tanda kurung yang sama pada pembilang dan penyebut dapat dikurangi dengan menulis sebelumnya, seperti disebutkan di atas, kondisi pada x.
Jawabannya ditulis dalam kurung kurawal, sebagai kumpulan nilai x, atau cukup dengan enumerasi: x1=..., x2=..., dst.

Sumber:

• Persamaan rasional pecahan

Sesuatu yang tidak bisa dilepaskan dalam fisika, matematika, kimia. Paling sedikit. Kami mempelajari dasar-dasar solusi mereka.

Petunjuk

Dalam klasifikasi yang paling umum dan paling sederhana, dapat dibagi menurut jumlah variabel yang dikandungnya, dan menurut derajat di mana variabel-variabel ini berdiri.

Memecahkan persamaan semua akarnya atau membuktikan bahwa mereka tidak ada.

Setiap persamaan memiliki paling banyak akar P, di mana P adalah maksimum dari persamaan yang diberikan.

Tetapi beberapa dari akar ini mungkin bertepatan. Jadi, misalnya, persamaan x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, di mana ^ adalah ikon eksponensial, dilipat menjadi kuadrat dari ekspresi (x + 1), yaitu, menjadi produk dari dua tanda kurung yang identik, masing-masing memberikan x = - 1 sebagai solusi.

Jika hanya ada satu yang tidak diketahui dalam persamaan, ini berarti Anda akan dapat menemukan akarnya secara eksplisit (nyata atau kompleks).

Untuk melakukan ini, kemungkinan besar Anda memerlukan berbagai transformasi: perkalian disingkat, menghitung diskriminan dan akar persamaan kuadrat, mentransfer suku dari satu bagian ke bagian lain, mengurangi ke penyebut yang sama, mengalikan kedua bagian persamaan dengan ekspresi yang sama, kuadrat, dan sebagainya.

Transformasi yang tidak mempengaruhi akar persamaan adalah identik. Mereka digunakan untuk menyederhanakan proses penyelesaian persamaan.

Anda juga dapat menggunakan alih-alih analitik tradisional metode grafis dan tulis persamaan ini dalam bentuk , setelah melakukan studinya.

Jika ada lebih dari satu yang tidak diketahui dalam persamaan, maka Anda hanya dapat menyatakan salah satunya dalam bentuk yang lain, sehingga menunjukkan serangkaian solusi. Seperti, misalnya, adalah persamaan dengan parameter di mana ada x yang tidak diketahui dan parameter a. Memutuskan persamaan parametrik- berarti semua a menyatakan x melalui a, yaitu, untuk mempertimbangkan semua kemungkinan kasus.

Jika persamaan mengandung turunan atau diferensial yang tidak diketahui (lihat gambar), selamat, ini adalah persamaan diferensial, dan di sini Anda tidak dapat melakukannya tanpa matematika yang lebih tinggi).

Sumber:

• Transformasi identitas

Untuk memecahkan masalah dengan pecahan harus belajar berhubungan dengan mereka operasi aritmatika. Mereka bisa desimal, tetapi paling sering digunakan pecahan alami dengan pembilang dan penyebut. Hanya dengan begitu Anda dapat beralih ke solusi. Soal matematika dengan nilai pecahan.

Anda akan perlu

• - Kalkulator;
• - pengetahuan tentang sifat-sifat pecahan;
• - Kemampuan untuk bekerja dengan pecahan.

Petunjuk

Pecahan adalah catatan membagi satu nomor dengan yang lain. Seringkali ini tidak dapat dilakukan sepenuhnya, dan karena itu tindakan ini dibiarkan “belum selesai. Bilangan yang habis dibagi (di atas atau sebelum tanda pecahan) disebut pembilang, dan bilangan kedua (di bawah atau setelah tanda pecahan) disebut penyebut. Jika pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, maka pecahan tersebut disebut pecahan biasa, dan bagian bilangan bulat dapat diekstraksi darinya. Jika pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka pecahan seperti itu disebut wajar, dan seluruh bagian sama dengan 0.

tugas dibagi menjadi beberapa jenis. Tentukan mana yang merupakan tugas. Opsi paling sederhana- menemukan pecahan dari suatu bilangan yang dinyatakan sebagai pecahan. Untuk mengatasi masalah ini, cukup dengan mengalikan angka ini dengan pecahan. Misalnya, 8 ton kentang dibawa masuk. Di minggu pertama, 3/4 darinya total. Berapa banyak kentang yang tersisa? Untuk mengatasi masalah ini, kalikan angka 8 dengan 3/4. Ini akan menjadi 8 3/4 \u003d 6 t.

Jika Anda perlu mencari suatu bilangan dengan bagiannya, kalikan bagian bilangan yang diketahui dengan kebalikan dari pecahan yang menunjukkan berapa proporsi bagian ini dalam bilangan tersebut. Misalnya, 8 dari 1/3 jumlah siswa. Berapa banyak di ? Karena 8 orang adalah bagian yang mewakili 1/3 dari jumlah keseluruhan, maka cari timbal-balik, yaitu sama dengan 3/1 atau hanya 3. Maka banyaknya siswa dalam kelas tersebut adalah 8∙3=24 siswa.

Ketika Anda perlu menemukan bagian mana dari suatu angka yang merupakan satu angka dari angka lainnya, bagilah angka yang mewakili bagian tersebut dengan angka keseluruhan. Misalnya, jika jaraknya 300 km, dan mobil menempuh jarak 200 km, berapa jarak dari total perjalanan? Bagilah bagian jalan 200 dengan jalur penuh 300, setelah mengurangi pecahan Anda akan mendapatkan hasilnya. 200/300=2/3.

Untuk menemukan bagian dari pecahan yang tidak diketahui dari suatu bilangan, jika ada pecahan yang diketahui, ambil bilangan bulat sebagai satuan konvensional, dan kurangi pecahan yang diketahui darinya. Misalnya, jika 4/7 pelajaran sudah berlalu, apakah masih ada yang tersisa? Ambil seluruh pelajaran sebagai unit konvensional dan kurangi 4/7 darinya. Dapatkan 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan mari kita lihat contoh. Contohnya sederhana dan ilustratif. Dengan bantuan mereka, Anda dapat memahami dengan cara yang paling mudah dipahami.
Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan sederhana x/b + c = d.

Persamaan jenis ini disebut linier, karena penyebut hanya berisi angka.

Penyelesaian dilakukan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan b, kemudian persamaan tersebut berbentuk x = b*(d – c), yaitu. penyebut pecahan di ruas kiri diperkecil.

Misalnya, cara menyelesaikan persamaan pecahan:
x/5+4=9
Kami mengalikan kedua bagian dengan 5. Kami mendapatkan:
x+20=45
x=45-20=25

Contoh lain di mana yang tidak diketahui ada di penyebut:

Persamaan jenis ini disebut pecahan rasional atau sederhananya pecahan.

Kami akan memecahkan persamaan pecahan dengan menghilangkan pecahan, setelah itu persamaan ini, paling sering, berubah menjadi persamaan linier atau kuadrat, yang diselesaikan dengan cara biasa. Anda hanya harus mempertimbangkan poin-poin berikut:

• nilai variabel yang mengubah penyebut menjadi 0 tidak bisa menjadi akar;
• Anda tidak dapat membagi atau mengalikan persamaan dengan ekspresi =0.

Di sini mulai berlaku konsep seperti area nilai yang diizinkan (ODZ) - ini adalah nilai dari akar persamaan yang persamaannya masuk akal.

Dengan demikian, memecahkan persamaan, perlu untuk menemukan akarnya, dan kemudian memeriksanya untuk memenuhi ODZ. Akar yang tidak sesuai dengan DHS kami dikeluarkan dari jawaban.

Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan pecahan:

Berdasarkan aturan di atas, x tidak mungkin = 0, yaitu. ODZ di kasus ini: x - nilai apa pun selain nol.

Kami menghilangkan penyebut dengan mengalikan semua suku persamaan dengan x

Dan selesaikan persamaan biasa

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Jawab: x = 1/3

Mari kita selesaikan persamaan yang lebih rumit:

ODZ juga hadir di sini: x -2.

Memecahkan persamaan ini, kami tidak akan mentransfer semuanya dalam satu arah dan membawa pecahan ke penyebut yang sama. Kami segera mengalikan kedua sisi persamaan dengan ekspresi yang akan mengurangi semua penyebut sekaligus.

Untuk mengurangi penyebut, Anda perlu mengalikan ruas kiri dengan x + 2, dan ruas kanan dengan 2. Jadi, kedua ruas persamaan harus dikalikan dengan 2 (x + 2):

Persis ini perkalian biasa pecahan, yang telah kita bahas di atas

Kami menulis persamaan yang sama, tetapi dengan cara yang sedikit berbeda.

Ruas kiri dikurangi (x + 2), dan ruas kanan dikurangi 2. Setelah dikurangi, kita mendapatkan persamaan linier biasa:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, yang sesuai dengan ODZ kami

Jawab: x = 2.

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan tidak sesulit kelihatannya. Dalam artikel ini, kami telah menunjukkannya dengan contoh. Jika Anda mengalami kesulitan dengan cara menyelesaikan persamaan dengan pecahan, lalu berhenti berlangganan di komentar.