შუა რგოლში განტოლებების შესწავლა იწყება ამონახსნის შემოღებით წრფივი განტოლებებიდა განტოლებები წრფივზე დაყვანით.

განმარტების ზოგად დომენში განხილული ორი ფუნქციის ტოლობას განტოლება ეწოდება. განტოლებაში შემავალი ცვლადები აღინიშნება ლათინური ასოებით x, y, z, t ... განტოლება ერთი ცვლადის x ზოგადი ფორმით იწერება შემდეგნაირად f (x) \u003d g (x).

ცვლადის ნებისმიერ მნიშვნელობას, რომელშიც გამონათქვამები f(x) და g(x) თანაბარ რიცხვით მნიშვნელობებს იღებენ, განტოლების ფესვი ეწოდება.

განტოლების ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ფესვის პოვნას ან იმის მტკიცებას, რომ არ არსებობს.

მაგალითად, განტოლებას 3+x=7 აქვს ერთი ფესვი 4, ვინაიდან ამ და მხოლოდ 3+x=7 ცვლადის ამ მნიშვნელობით, ტოლობა ჭეშმარიტია.

განტოლებას (x-1)(x-2)=0 აქვს 2 ფესვი 1 და 2.

განტოლებას x 2 +1=0 არ აქვს ნამდვილი ფესვები, რადგან ორის ჯამია დადებითი რიცხვებიარ უდრის 0-ს.

ნებისმიერი განტოლების ერთი ცვლადით ამოსახსნელად, სტუდენტმა უნდა იცოდეს: ჯერ ერთი, ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის წესები, ფორმულები ან ალგორითმები და მეორეც, იდენტური და შესრულების წესები. ექვივალენტური გარდაქმნები, რომლის დახმარებითაც ეს განტოლება შეიძლება დაიყვანა უმარტივესებამდე.

ამრიგად, თითოეული განტოლების ამონახსნი შედგება ორი ძირითადი ნაწილისგან:

1. გარდაქმნები მოცემული განტოლებაუმარტივესამდე
2. უმარტივესი განტოლებების ამოხსნა ცნობილი წესების, ფორმულების ან ალგორითმების მიხედვით.

თუ მეორე ნაწილი ალგორითმულია, მაშინ პირველი ნაწილი ძირითადად ევრისტიკულია, რაც ყველაზე რთულია სტუდენტებისთვის. განტოლების ამოხსნის პროცესში ისინი ცდილობენ შეცვალონ იგი უფრო მარტივით, ამიტომ მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ, რა გარდაქმნებით არის ეს შესაძლებელი. აქ აუცილებელია ეკვივალენტობის კონცეფციის მიცემა ბავშვისთვის ხელმისაწვდომი ფორმით.

განტოლებებს, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე ფესვები, ექვივალენტი ეწოდება. განტოლებები ასევე განიხილება ეკვივალენტად, რომელთაგან თითოეულს არ აქვს ფესვები.

მაგალითად, განტოლებები x+2=5 და x+5=8 ეკვივალენტურია, რადგან თითოეულ მათგანს აქვს ერთი ფესვი - რიცხვი 3. განტოლებები x 2 +1=0 და 2x 2 +5=0 ასევე ეკვივალენტურია. - ფესვები არცერთს არ აქვს.

განტოლებები x-5=1 და x2=36 არ არის ეკვივალენტური, რადგან პირველს აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი x=6, ხოლო მეორეს აქვს ორი ფესვი 6 და -6.

ექვივალენტური გარდაქმნები მოიცავს:

1) თუ განტოლების ორივე ნაწილს დავუმატებთ ერთსა და იმავე რიცხვს ან მთელ ალგებრულ გამოსახულებას, რომელიც შეიცავს უცნობის, მაშინ ახალი განტოლება იქნება მოცემულის ექვივალენტური.

2) თუ განტოლების ორივე ნაწილი გამრავლდება ან იყოფა ერთსა და იმავე არანულოვან რიცხვზე, მაშინ მიიღება მოცემულის ექვივალენტური განტოლება.

მაგალითად, განტოლება უდრის განტოლებას x 2 - 1 = 6x

3) თუ განტოლებაში გავაფართოვოთ ფრჩხილები და მოვიყვანოთ ტერმინების მსგავსად, მაშინ მივიღებთ მოცემულის ტოლფას განტოლებას.

განტოლებების ამოხსნის სწავლა იწყება უმარტივესი წრფივი განტოლებებით და განტოლებებით, რომლებიც მცირდება მათზე. მოცემულია წრფივი განტოლების განმარტება და განიხილება ის შემთხვევები, როდესაც მას აქვს ერთი ამონახსნი; არ აქვს გადაწყვეტილებები და აქვს უსასრულო ნაკრებიგადაწყვეტილებები.

წრფივი განტოლება ერთი ცვლადით x არის ax \u003d b ფორმის განტოლება, სადაც a და b არის რეალური რიცხვები, a ეწოდება ცვლადის კოეფიციენტს, b არის თავისუფალი წევრი.

წრფივი განტოლებისთვის ax = b შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ზოგჯერ:

მრავალი განტოლება გარდაქმნების შედეგად მცირდება წრფივებად.

ასე რომ, მე-7 კლასში შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი განტოლებები:

1)

ეს განტოლება მცირდება წრფივ განტოლებამდე.

ორივე ნაწილის 12-ზე გამრავლებით (ყველაზე დაბალი საერთო მნიშვნელი 3, 4, 6, 12), მივიღებთ:

8 + 3x + 2 - 2x = 5x -12,

8 + 2 + 12 = 5x - 3x + 2x,

პასუხი: 5.5.

2) ვაჩვენოთ, რომ განტოლებას 2 (x + 1) - 1 = 3 - (1 - 2x) არ აქვს ფესვები.

გაამარტივეთ განტოლების ორივე მხარე:

2x + 2 - 1 = 3 - 1 + 2x,

2x + 1 = 2 + 2x,

2x - 2x \u003d 2 - 1,

ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან 0 x-ის მარცხენა მხარე არის 0 ნებისმიერი x-ისთვის და, შესაბამისად, არ უდრის 1-ს.

3) ვაჩვენოთ, რომ განტოლებას 3(1 - x) + 2 = 5 - 3x აქვს ფესვების უსასრულო რაოდენობა.

თემის „წრფივი განტოლებები ორი ცვლადით“ გავლისას შეგიძლიათ შესთავაზოთ სტუდენტებს განტოლების ამოხსნის გრაფიკული გზა. ეს მეთოდი ეფუძნება განტოლებაში შემავალი ფუნქციების გრაფიკების გამოყენებას. მეთოდის არსი: განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციების პოვნა. შემდეგ ნაბიჯებზე დაყრდნობით:

1) გადაიყვანეთ საწყისი განტოლება ფორმაში f(x) = g(x), სადაც f(x) და g(x) არის ფუნქციები, გრაფიკები, რომლებიც შეიძლება აშენდეს.
2) f(x) და g(x) ფუნქციების გრაფიკების აგება
3) დაადგინეთ აგებული გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები.
4) დაადგინეთ ნაპოვნი წერტილების აბსციები. ისინი მისცემს ამონახსნებს თავდაპირველ განტოლებას.
5) ჩაწერეთ პასუხი.

უპირატესობა ამ მეთოდითარის ის, რომ ეს აადვილებს განტოლების ფესვების რაოდენობის განსაზღვრას. მინუსი ის არის, რომ ფესვები ზოგადად დაახლოებით განისაზღვრება.

წრფივი განტოლებების შესწავლის შემდეგი ნაბიჯი არის განტოლებები მოდულებით და ზოგიერთი ამონახსნები შესრულებულია რამდენიმე გზით.

მოდულის ნიშნის შემცველი განტოლებების ამოხსნა და პარამეტრებით განტოლებები შეიძლება ეწოდოს კვლევასთან ახლოს მყოფ აქტივობას. ეს გამოწვეულია იმით, რომ გადაწყვეტის მეთოდის არჩევა, გადაწყვეტის პროცესი, პასუხის ჩაწერა გულისხმობს დაკვირვების, შედარების, ანალიზის, ჰიპოთეზის წამოყენებისა და ტესტირების უნარების ფორმირების გარკვეულ დონეს, მიღებული შედეგების განზოგადებას. .

განსაკუთრებული ინტერესია მოდულის ნიშნის შემცველი განტოლებები.

a რიცხვის მოდულის განმარტებით გვაქვს:

რიცხვი –a შეიძლება იყოს უარყოფითი, თუ a>0; -პოზიტივი ა<0. из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Оно же показывает, как избавиться от модуля в алгебраических выражениях.

აქედან გამომდინარე, x=5 ან x=-5.

განვიხილოთ განტოლება.

განტოლების ამოხსნის ორი გზა არსებობს.

1 გზა. რიცხვის მოდულის განმარტებით გვაქვს:

ამიტომ x - 3 = 7 ან –x + 3 = 7,

x=10 ან x=-4.

პასუხი: 10; -ოთხი.

2 გზა - გრაფიკული. განტოლება შეიძლება დაიწეროს, როგორც ორი განტოლების სისტემა:

ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს და .

ამ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციები არის განტოლების ამონახსნი.

პასუხი: -4; ათი.

ამოხსენით განტოლება, რომელიც შეიცავს ერთზე მეტ მოდულს

გამოვიყენოთ შემდეგი ალგორითმი.

1. მონიშნეთ ქვემოდულის გამოსახულებების ყველა ნული რიცხვით წრფეზე დაყოფილი ინტერვალებად, რომლებზეც ქვემოდულის ყველა გამონათქვამს აქვს მუდმივი ნიშანი.
2. ყოველი ინტერვალიდან აიღეთ თვითნებური რიცხვი და დათვლით განსაზღვრეთ სუბმოდულური გამოხატვის ნიშანი, გახსენით მოდულები.
3. ამოხსენით განტოლება და აირჩიეთ ამონახსნი, რომელიც მიეკუთვნება მოცემულ ინტერვალს.

Ისე, ქვემოდულის გამონათქვამები ქრება x = -1 და x = -3.

მე ინტერვალი. მოდით x < - 3, შემდეგ ამ ინტერვალზე , და განტოლება მიიღებს ფორმას

- x - 1 - x - 3 \u003d 4,

და აქედან გამომდინარე არის განტოლების ფესვი.

II ინტერვალი. მოდით -3< х < -1, тогда , , ვიღებთ განტოლებას –x – 1 + x + 3 = 4,

ასე რომ, ინტერვალზე (-3; -1) განტოლებას არ აქვს ფესვები.

III ინტერვალი. მოდით x > -1 მაშინ

x + 1 + x + 3 = 4,

ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვი 0 ეკუთვნის ინტერვალს. ასეა ფესვიც. ასე რომ, განტოლება აქვს ორი ფესვი: 0 და -4.

Ზე მარტივი მაგალითებიგანვიხილოთ განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი პარამეტრებით: ფართობი დაშვებული ღირებულებები, განსაზღვრების დომენი, ზოგადი ამონახსნები, პარამეტრების საკონტროლო მნიშვნელობები, კონკრეტული განტოლებების ტიპები. მათი პოვნის გზები ცალ-ცალკე ჩამოყალიბდება განტოლებების თითოეულ ტიპში.

შემოღებული ცნებებიდან გამომდინარე განვსაზღვრავთ F(a;x)=0 ნებისმიერი განტოლების ამოხსნის ზოგად სქემას a პარამეტრით (ორი პარამეტრის შემთხვევაში სქემა მსგავსია):

• დაყენებულია პარამეტრის დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი და განმარტების ფართობი;
• კონტროლი პარამეტრის მნიშვნელობებიპარამეტრის დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონის დაყოფა კონკრეტული განტოლებების ერთგვაროვნების რეგიონებად;
• პარამეტრის საკონტროლო მნიშვნელობებისთვის ცალკე შესწავლილია შესაბამისი ნაწილობრივი განტოლებები;
• F(a;x)=0 განტოლების x=f 1 (a),…, f k (a) ზოგადი ამონახსნები გვხვდება A f1 ,…, А fk პარამეტრების სიდიდეების შესაბამის სიმრავლეებზე;
• შედგენილია ზოგადი გადაწყვეტილებების მოდელი, პარამეტრის საკონტროლო მნიშვნელობები;
• პარამეტრის მნიშვნელობების ინტერვალები იგივე საერთო გადაწყვეტილებები(ერთგვაროვნების სფეროები);
• პარამეტრის საკონტროლო მნიშვნელობებისთვის და ერთგვაროვნების შერჩეული უბნებისთვის იწერება ყველა სახის ნაწილობრივი განტოლების მახასიათებლები
• განსაკუთრებული ადგილიალგებრაში ენიჭება წრფივი განტოლებები პარამეტრებით.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

1.	2x - 3 \u003d m + 1, 2x - 3 \u003d + 4 მ + 1,	სადაც m არის უცნობი პარამეტრი. განტოლების ორივე მხარე 3-ზე გავამრავლოთ, მივიღებთ
	6x - 9 \u003d m x + 12m +3, 6x - m x + 12m + 12,	ამოვიღოთ საერთო ფაქტორიფრჩხილები, მივიღებთ
	x (6-მ) = 12 (მ+1), , 6 – მ? 0,მ? 6.	რადგან ის წილადის მნიშვნელშია.
პასუხი: m 6-ისთვის.

განტოლებას 2x - 3 + m (x / 3 + 4) + 1 აქვს მრავალი ამონახსნები, მოცემული ფორმულით m-ის ყველა მნიშვნელობისთვის 6-ის გარდა.

2. , m 2, x 1, n 0-ისთვის.

mx - n = 2x - 2 + 2n + 3xn,

mx - 2x - 3xn = - 2 + 2n + n,

mx - 2x - 3xn = 3n - 2,

x (m - 2 - 3n) = 3n - 2, m 2, x 1, n 0-ით.

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც a = 0, მაშინ

m - 2 - 3n = 0,

m = 3n +2, n 0-ისთვის

0 x \u003d 3n - 2,

ა) 3n - 2 = 0,

x(4 - 2 - 3) = 3 - 2,

x არის ნებისმიერი რიცხვი x = 1-ის გარდა.

0 x = b. ამ შემთხვევაში, განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

m – 2 – 3n 0

x = , როდის x ? ერთი,

3n - 2m - 2 - 3n,

3n + 3n 2 – 2 + m,

ამ შემთხვევაში, განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

აქედან გამომდინარე, n = და m = 4-ისთვის x არის ნებისმიერი რიცხვი 1-ის გარდა; n = 0-ისთვის, m = 6n

(n), m \u003d 3n + 2 (n), m \u003d 2, განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. ყველა სხვა პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის x =.

პასუხი: 1. n = , m = 4 - x? რ\.

2. n \u003d 0, m \u003d 6n (n), m \u003d 3n + 2 (n), m \u003d 2 - გადაწყვეტილებები არ არის.

3. n 0, m 6n, m 3n + 2, m 2 – x =.

სამომავლოდ შემოთავაზებულია ამოცანების ამოხსნის განხილვა წრფივი განტოლებების შედგენის მეთოდით. ის რთული პროცესისადაც უნდა შეგეძლოს ფიქრი, გამოცნობა, რეალური მასალის კარგად ცოდნა.

თითოეული პრობლემის გადაჭრის პროცესში მკაფიოდ უნდა აღინიშნოს ოთხი ეტაპი:

1. პრობლემის მდგომარეობის შესწავლა;
2. გადაწყვეტის გეგმის ძიება და მისი მომზადება;
3. ნაპოვნი გადაწყვეტის შესრულება;
4. კრიტიკული ანალიზიგადაწყვეტილების შედეგი.

ახლა განვიხილოთ ამოცანები, რომელთა ამოხსნისას გამოიყენება წრფივი განტოლებები.

1. სპილენძისა და თუთიის შენადნობი შეიცავს 640 გ-ით მეტ სპილენძს, ვიდრე თუთია. მას შემდეგ, რაც მასში შემავალი სპილენძის 6/7 და თუთიის 60% იზოლირებული იქნა შენადნობიდან, შენადნობის მასა აღმოჩნდა 200 გ, რა იყო შენადნობის მასა თავდაპირველად?

შენადნობში იყოს x გ თუთია, შემდეგ სპილენძი (640 + x) გ. 0.4 ნაწილი. იმის ცოდნა, რომ შენადნობის მასა 200 გ-ის ტოლი აღმოჩნდა, ვაკეთებთ განტოლებას.

1/7 (x + 640) + 0.4 x \u003d 200,

x + 640 + 2.8 x \u003d 1400,

3.8x \u003d 1400 - 640,

ასე რომ, თუთია იყო 200 გ, ხოლო სპილენძი 840 გ.

(200 + 640 = 840). 1) 200 + 840 = 1040 (გ) - შენადნობის წონა. პასუხი: შენადნობის საწყისი მასაა 1040 გ.

2. რამდენი ლიტრი 60%-იანი გოგირდმჟავა უნდა დაემატოს 10 ლიტრ 30%-იან მჟავას 40%-იანი ხსნარის მისაღებად?

გამოვყოთ 60% მჟავას ლიტრის რაოდენობა, რომელსაც ვუმატებთ x ლ, შემდეგ ხსნარს სუფთა მჟავაიქნება ლ. ხოლო 10 ლიტრ სუფთა მჟავას 30%-იან ხსნარში იქნება ლ. იმის ცოდნა, რომ მიღებულ (10 + x) ნარევში იქნება სუფთა მჟავა l, ჩვენ ვადგენთ განტოლებას.

60x + 300 = 40x + 400,

60x - 40x \u003d 400 - 300,

ასე რომ, თქვენ უნდა დაამატოთ 5 ლიტრი 60% მჟავა.

პასუხი: 5 ლიტრი.

თემის „წრფივი განტოლებების ამოხსნა“ შესწავლისას რეკომენდებულია გარკვეული ისტორიული ფონი.

პირველი ხარისხის განტოლებების ამოხსნის ამოცანები გვხვდება ბაბილონის ლურსმული ტექსტებში. მათ ასევე აქვთ გარკვეული პრობლემები, რომლებიც იწვევს კვადრატულ და თუნდაც კუბურ განტოლებებს (ეს უკანასკნელი, როგორც ჩანს, გადაწყდა ფესვების შერჩევის გამოყენებით). აღმოაჩინეს ძველი ბერძენი მათემატიკოსები გეომეტრიული ფორმაკვადრატული განტოლების ამოხსნა. გეომეტრიული ფორმით, არაბმა მათემატიკოსმა ომარ ხაიამმა (მე-11 საუკუნის ბოლოს - მე-12 საუკუნის დასაწყისი) შეისწავლა კუბური განტოლება, თუმცა მან ვერ იპოვა. ზოგადი ფორმულამის მოსაგვარებლად. გამოსავალი კუბური განტოლებანაპოვნია მე -16 საუკუნის დასაწყისში იტალიაში. მას შემდეგ რაც სციპიან დელ ფერომ გადაწყვიტა ერთი პირადი ხედიასეთი განტოლებები 1535 წელს იტალიელმა ტარტალიამ იპოვა ზოგადი ფორმულა. მან დაამტკიცა, რომ x 3 + px + q = 0 განტოლების ფესვებს აქვთ x = ფორმა. .

ამ გამოთქმას ჩვეულებრივ უწოდებენ კარდანოს ფორმულას, მეცნიერის სახელით, რომელმაც ის ისწავლა ტარტაგლიასგან და გამოაქვეყნა 1545 წელს თავის წიგნში „ალგებრული წესების დიდი ხელოვნება“. კარდანოს სტუდენტმა, ახალგაზრდა მათემატიკოსმა ფერარის, ამოხსნა მეოთხე ხარისხის ზოგადი განტოლება. ამის შემდეგ, ორნახევარი საუკუნის განმავლობაში, მეხუთე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის ფორმულის ძიება გაგრძელდა. 1823 წელს გამოჩენილმა ნორვეგიელმა მათემატიკოსმა ნილს ჰენდრიკ აბელმა (1802-1829) დაამტკიცა, რომ ასეთი ფორმულა არ არსებობდა. უფრო სწორედ, მან დაამტკიცა, რომ ფესვები ზოგადი განტოლებამეხუთე ხარისხი არ შეიძლება გამოიხატოს მისი კოეფიციენტებით არითმეტიკული და ფესვის ამოღების ოპერაციების გამოყენებით. რადიკალებში განტოლებების ამოხსნადობის პირობების საკითხის ღრმა შესწავლა ჩაატარა ფრანგმა მათემატიკოსმა ევარისტ გალუამ (1811-1832), რომელიც გარდაიცვალა დუელში 21 წლის ასაკში. გალუას თეორიის ზოგიერთი პრობლემა გადაჭრა საბჭოთა ალგებრისტმა ი.ტ შაფარევიჩმა.

მეხუთე ხარისხის განტოლების ამოხსნის ფორმულის ძიებასთან ერთად სხვა კვლევებიც ჩატარდა ალგებრული განტოლებების თეორიის სფეროში. ვიეტამ დაამყარა კავშირი განტოლებების კოეფიციენტებსა და მის ფესვებს შორის. მან დაამტკიცა, რომ თუ x 1 ,…,x n არის განტოლების ფესვები x n + a 1 x n-1 +…+a n =0, მაშინ ფორმულები ხდება:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a,
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n-1 x n =a 2
……………………………
x 1 x 2 … x n = (-1) n d n.

ლიტერატურა:

1. ჟურნალი „მათემატიკა სკოლაში“ 6, 1999 წ
2. გაზეთ „პირველი სექტემბრის“ დანართი - მათემატიკა 20, 1999 წ.
3. ს.ი. თუმანოვი „ალგებრა“, სახელმძღვანელო 6-8 კლასების მოსწავლეებისთვის.
4. ნ.ი. ალექსანდროვი; I. P. Yarandai "ლექსიკონი-საცნობარო წიგნი მათემატიკაში".
5. შესახებ. ეპიშევი; და. კრუპიჩი "სკოლის მოსწავლეებს მათემატიკის სწავლა".
6. E.I.Yamshchenko "ფუნქციების შესწავლა".
7. ა.ი. ხუდობინი; მ.ფ. შურშალოვი "პრობლემების კრებული ალგებრაში და ელემენტარულ ფუნქციებში".
8. შ.ა.ალიმოვი, ვ.ა. ილინი "ალგებრა 6-8 კლასები".

1. ზოგადი დებულებები

1.1. შესანარჩუნებლად საქმიანი რეპუტაციადა ფედერალური კანონმდებლობის ნორმებთან შესაბამისობის უზრუნველყოფა FGAU GNII ITT „ინფორმიკა“ (შემდგომში კომპანია) მიიჩნევს ყველაზე მნიშვნელოვანი ამოცანაკომპანიის ბიზნეს პროცესებში სუბიექტების პერსონალური მონაცემების დამუშავებისა და უსაფრთხოების ლეგიტიმურობის უზრუნველყოფა.

1.2. ამ პრობლემის გადასაჭრელად კომპანიამ დანერგა, ფუნქციონირებს და გადის პერსონალური მონაცემთა დაცვის სისტემის პერიოდულ განხილვას (კონტროლს).

1.3. პერსონალური მონაცემების დამუშავება კომპანიაში ეფუძნება შემდეგ პრინციპებს:

პერსონალური მონაცემების დამუშავების მიზნებისა და მეთოდების კანონიერება და კეთილსინდისიერება;

პერსონალური მონაცემების დამუშავების მიზნების შესაბამისობა პერსონალური მონაცემების შეგროვებისას წინასწარ განსაზღვრულ და გამოცხადებულ მიზნებთან, ასევე კომპანიის უფლებამოსილებთან;

დამუშავებული პერსონალური მონაცემების მოცულობისა და ხასიათის, პერსონალური მონაცემების დამუშავების მეთოდების შესაბამისობა პერსონალური მონაცემების დამუშავების მიზნებთან;

პერსონალური მონაცემების სანდოობა, მათი შესაბამისობა და საკმარისობა დამუშავების მიზნებისთვის, გადაჭარბებული დამუშავების დაუშვებლობა პერსონალური მონაცემების შეგროვების მიზნებთან მიმართებაში;

პერსონალური მონაცემების უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად ორგანიზაციული და ტექნიკური ღონისძიებების კანონიერება;

კომპანიის თანამშრომლების ცოდნის დონის უწყვეტი გაუმჯობესება მათი დამუშავებისას პერსონალური მონაცემების უსაფრთხოების უზრუნველყოფის სფეროში;

პერსონალური მონაცემების დაცვის სისტემის უწყვეტი გაუმჯობესებისკენ სწრაფვა.

2. პერსონალური მონაცემების დამუშავების მიზნები

2.1. პერსონალური მონაცემების დამუშავების პრინციპების შესაბამისად, კომპანია განსაზღვრავს დამუშავების შემადგენლობას და მიზნებს.

პერსონალური მონაცემების დამუშავების მიზნები:

დასკვნა, შენარჩუნება, ცვლილება, შეწყვეტა შრომითი ხელშეკრულებები, რომლებიც საფუძვლად უდევს კომპანიასა და მის თანამშრომლებს შორის შრომითი ურთიერთობების წარმოშობას ან შეწყვეტას;

პორტალის უზრუნველყოფა, მომსახურება პირადი ანგარიშისტუდენტებისთვის, მშობლებისთვის და მასწავლებლებისთვის;

სწავლის შედეგების შენახვა;

ფედერალური კანონმდებლობითა და სხვა მარეგულირებელი სამართლებრივი აქტებით გათვალისწინებული ვალდებულებების შესრულება;

3. პერსონალური მონაცემების დამუშავების წესები

3.1. კომპანია ამუშავებს მხოლოდ იმ პერსონალურ მონაცემებს, რომლებიც წარმოდგენილია FSAI GNII ITT "Informika"-ში დამუშავებული პერსონალური მონაცემების დამტკიცებულ სიაში.

3.2. კომპანია არ იძლევა პერსონალური მონაცემების შემდეგი კატეგორიის დამუშავებას:

რასის;

Პოლიტიკური შეხედულებები;

ფილოსოფიური შეხედულებები;

ჯანმრთელობის მდგომარეობის შესახებ;

სახელმწიფო ინტიმური ცხოვრება;

ეროვნება;

Რელიგიური რწმენა.

3.3. კომპანია არ ამუშავებს ბიომეტრიულ პერსონალურ მონაცემებს (ინფორმაციას, რომელიც ახასიათებს პირის ფიზიოლოგიურ და ბიოლოგიურ მახასიათებლებს, რის საფუძველზეც შესაძლებელია მისი ვინაობის დადგენა).

3.4. კომპანია არა ტრანსსასაზღვრო გადაცემაპერსონალური მონაცემები (პერსონალური მონაცემების ტერიტორიაზე გადატანა უცხო სახელმწიფოუცხო სახელმწიფოს ავტორიტეტი, უცხო ინდივიდსან უცხოური იურიდიული პირი).

3.5. კომპანია კრძალავს გადაწყვეტილების მიღებას პერსონალური მონაცემების სუბიექტებთან დაკავშირებით მხოლოდ მათი პერსონალური მონაცემების ავტომატური დამუშავების საფუძველზე.

3.6. კომპანია არ ამუშავებს მონაცემებს სუბიექტების კრიმინალური ჩანაწერების შესახებ.

3.7. კომპანია არ ათავსებს სუბიექტის პერსონალურ მონაცემებს საჯარო წყაროებში მისი წინასწარი თანხმობის გარეშე.

4. დანერგილი მოთხოვნები პერსონალური მონაცემების უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად

4.1. მათი დამუშავებისას პერსონალური მონაცემების უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, კომპანია ახორციელებს შემდეგ მოთხოვნებს ნორმატიული დოკუმენტებირუსეთის ფედერაცია პერსონალური მონაცემების დამუშავებისა და უსაფრთხოების უზრუნველყოფის სფეროში:

ფედერალური კანონი 2006 წლის 27 ივლისის No152-FZ „პერსონალური მონაცემების შესახებ“;

მთავრობის დადგენილება რუსეთის ფედერაცია 2012 წლის 1 ნოემბრის N 1119 „პერსონალური მონაცემების დაცვის მოთხოვნების დამტკიცების შესახებ მათი დამუშავებისას ქ. ინფორმაციული სისტემებიპერსონალური მონაცემები";

რუსეთის ფედერაციის მთავრობის 2008 წლის 15 სექტემბრის No687 დადგენილება „ავტომატიზაციის ხელსაწყოების გამოყენების გარეშე განხორციელებული პერსონალური მონაცემების დამუშავების სპეციფიკის შესახებ დებულების დამტკიცების შესახებ“;

რუსეთის ფედერაციის FSTEC 2013 წლის 18 თებერვლის N 21 ბრძანება "ორგანიზაციული და ტექნიკური ღონისძიებების შემადგენლობისა და შინაარსის დამტკიცების შესახებ პერსონალური მონაცემების უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად პერსონალური მონაცემების საინფორმაციო სისტემებში მათი დამუშავებისას";

პერსონალური მონაცემების უსაფრთხოების საფრთხის ძირითადი მოდელი პერსონალურ მონაცემთა საინფორმაციო სისტემებში მათი დამუშავებისას (დამტკიცებული რუსეთის FSTEC-ის დირექტორის მოადგილის მიერ 2008 წლის 15 თებერვალს);

პერსონალური მონაცემების საინფორმაციო სისტემებში მათი დამუშავებისას პერსონალური მონაცემების უსაფრთხოებისთვის რეალური საფრთხეების დადგენის მეთოდოლოგია (დამტკიცებული რუსეთის FSTEC-ის დირექტორის მოადგილის მიერ 2008 წლის 14 თებერვალს).

4.2. კომპანია აფასებს ზიანს, რომელიც შეიძლება მიყენდეს პერსონალური მონაცემების სუბიექტებს და ადგენს საფრთხეებს პერსონალური მონაცემების უსაფრთხოებაზე. გამოვლენილი ფაქტობრივი საფრთხეების შესაბამისად, კომპანია მიმართავს აუცილებელ და საკმარის ორგანიზაციულ და ტექნიკურ ზომებს, მათ შორის ინფორმაციული უსაფრთხოების ინსტრუმენტების გამოყენებას, არაავტორიზებული წვდომის გამოვლენას, პერსონალურ მონაცემებს აღდგენას, პერსონალურ მონაცემებზე წვდომის წესების დაწესებას, აგრეთვე. განხორციელებული ღონისძიებების ეფექტურობის მონიტორინგი და შეფასება.

4.3. კომპანიამ დანიშნა პირები, რომლებიც პასუხისმგებელნი არიან პერსონალური მონაცემების დამუშავებისა და უსაფრთხოების უზრუნველყოფაზე.

4.4. კომპანიის ხელმძღვანელობამ იცის აუცილებლობა და დაინტერესებულია უზრუნველყოს, რომ როგორც რუსეთის ფედერაციის მარეგულირებელი დოკუმენტების მოთხოვნების, ისე ბიზნესის რისკის შეფასების თვალსაზრისით გამართლებული, პერსონალური მონაცემების უსაფრთხოების დონე, რომელიც დამუშავებულია, როგორც ნაწილი. კომპანიის ძირითადი საქმიანობა.

განტოლებების ამოხსნის გამარტივების მიზნით ვასრულებთ იდენტური გარდაქმნებიგამონათქვამები. ერთი ცვლადის მქონე განტოლებებში, ზოგჯერ განტოლების ამონახსნი შეიძლება შემცირდეს ექვივალენტური წრფივი განტოლების ამონახვამდე ერთი ცვლადით.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს. ამოხსენით განტოლება (2x+1)(3x-2)-6x(x+4)=67-2x. განტოლების მარცხენა მხარეს გავამრავლოთ მრავალწევრი 2x+1 მრავალწევრზე 3x-2, ასევე მონომი 6x მრავალწევრზე x+4. მრავალწევრის 2x + 1 3x-2 მრავალწევრზე გამრავლების შემდეგ მივიღებთ მრავალწევრს 6x 2 + 3x-4x-2, ხოლო მონომის 6x მრავალწევრზე x + 4-ზე გამრავლების შემდეგ მივიღებთ მრავალწევრს 6x 2 + 24x. ჩვენი განტოლება მიიღებს ფორმას (6x 2 + 3x-4x-2) - (6x 2 + 24x) \u003d 67-2x. ამის შემდეგ, ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს და ვიღებთ 6x 2 + 3x-4x-2-6x 2 -24x \u003d 67-2x. ტერმინებს უცნობით გადავიტანთ მარცხენა მხარეს, ხოლო უცნობის გარეშე - მარჯვნივ. ახალი ეკვივალენტური განტოლება ასე გამოიყურება: 6x 2 -6x 2 +3x-4x+2x-24x=67+2. წარმოგიდგენთ მსგავსებს. ვიღებთ -23x=69. გაყავით განტოლების ორივე მხარე -23-ზე. ვიღებთ x=-3. ჩვენ თანმიმდევრულად ვცვლით განტოლებებს ეკვივალენტებით. ასე რომ, თავდაპირველი განტოლება უდრის -23x=69 განტოლებას და აქვს ერთი ფესვი - რიცხვი -3.

მეორე მაგალითი. ამოხსნათ განტოლება (x+2)/3-(3x-1)/4=-2. ამ განტოლების მარცხენა მხარეს არის წილადები (x+2)/3 და (3x-1)/4. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე უმცირესზე საერთო მნიშვნელიამ წილადებიდან - რიცხვი 12. [(x+2)/3-(3x-1)4].12=-2.12. გავხსნათ ფრჩხილები და გავამრავლოთ თითოეული წილადი 12-ზე. მივიღებთ (x+2)12/3-(3x-1)12/4+-24. პირველ წილადში 12 და 3 შემცირდება, ხოლო მეორეში 12 და 4. შემცირების შემდეგ ჩვენი განტოლება გახდება 4 (x + 2) -3 (3x-1) \u003d -24. ამრიგად, ჩვენ გავთავისუფლდით მნიშვნელებისგან. ფრჩხილების გახსნის შემდეგ ვიღებთ 4x + 8-9x + 3 \u003d -24. ყველაფერი, რაც შეიცავს ცვლადს, გადაადგილდება მარცხენა მხარეს, ხოლო ყველაფერი, რაც არ შეიცავს ცვლადს, გადაადგილდება მარჯვნივ. განტოლება ხდება 4x-9x=-24-8-3. ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს და ვიღებთ -5x \u003d -35. გაყავით განტოლების ორივე მხარე -5-ზე და გამოდის, რომ x=7. განტოლების ეტაპობრივად ჩანაცვლებით ეკვივალენტური პარამეტრით მივიღეთ წრფივი განტოლება -5x=-35, რომელიც მოცემულის ტოლფასია. ამ წრფივ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი - რიცხვი 7.

განხილულ მაგალითებში თავდაპირველი განტოლების ამონახსნები დაყვანილ იქნა ax=b ფორმის წრფივი განტოლების ამონახვამდე, რომელშიც a კოეფიციენტი არ არის 0-ის ტოლი.

თუმცა შეიძლება ისეც მოხდეს, რომ ერთი განტოლების მეორე ექვივალენტით ჩანაცვლებით მივიღოთ 0x=b ფორმის წრფივი განტოლება, სადაც b არ არის 0-ის ან 0x=0-ის ტოლი. პირველ შემთხვევაში შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან განტოლების მარცხენა მხარეს არის 0, ხოლო მარჯვნივ რიცხვი არ არის 0-ის ტოლი, მეორე შემთხვევაში განტოლებას აქვს. უსასრულო რიცხვიფესვები, რადგან განტოლების მარცხენა მხარე ყოველთვის იქნება 0, ხოლო მარჯვენა მხარე ასევე იქნება 0. ტოლობა ყოველთვის იქნება ჭეშმარიტი, ცვლადის მნიშვნელობის მიუხედავად.

მაგალითი სამი. ამოხსნათ განტოლება (2x-7)/2-(4x-1)/4=0. ისევ ჩვენი განტოლება შეიცავს წილადებს, ამიტომ განტოლების ორივე მხარეს ვამრავლებთ უმცირეს საერთო მნიშვნელზე. ეს რიცხვია 4. ვიღებთ [(2x-7)/2-(4x-1)/4].4=0.4. გავხსნათ ფრჩხილები: 4(2x-7)/2-4(4x-1)/4=0. ვამცირებთ ფაქტორებს და ვიღებთ განტოლებას 2(2x-7)-(4x-1)=0. ისევ გახსენით ფრჩხილები: 4x-14-4x+1=0. ტერმინები უცნობით გადავიტანოთ განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო უცნობის გარეშე - მარჯვნივ. განტოლება მიიღებს 4x-4x=14-1 ფორმას. ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს და ვიღებთ 0x \u003d 13. ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან 0x უდრის 0-ს x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. გამოდის, რომ თანასწორობა არასოდეს მიიღწევა x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. ეს ნიშნავს, რომ მის ეკვივალენტურ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

მაგალითი ოთხი. ამოხსენით განტოლება (5x-1)-2(3x-6)=11-x. გავხსნათ ფრჩხილები: 5x-1-6x+12=11-x. x-ის შემცველი ტერმინები გადავიტანოთ მარცხნივ, ხოლო x-ის შემცველები - ზე მარჯვენა მხარეგანტოლებები. ვიღებთ 5x-6x+x=11+1-12. მივცეთ მსგავსები: 0x=0. ამ განტოლებას 0x=0 და, შესაბამისად, ეკვივალენტურ თავდაპირველ განტოლებას აქვს ფესვების უსასრულო რაოდენობა. ვინაიდან 0 გამრავლებული ნებისმიერ რიცხვზე უდრის 0-ს, ტოლობა მოქმედებს x-ის ნებისმიერ მნიშვნელობაზე.

და ასე შემდეგ, ლოგიკურია გაეცნოთ სხვა ტიპის განტოლებებს. შემდეგი რიგში არიან წრფივი განტოლებები, რომლის მიზანმიმართული შესწავლა მე-7 კლასში ალგებრის გაკვეთილებზე იწყება.

გასაგებია, რომ ჯერ უნდა აგიხსნათ რა არის წრფივი განტოლება, მიეცით წრფივი განტოლების განმარტება, მისი კოეფიციენტები, აჩვენეთ იგი ზოგადი ფორმა. შემდეგ შეგიძლიათ გაარკვიოთ რამდენი ამონახსნები აქვს წრფივ განტოლებას კოეფიციენტების მნიშვნელობებზე და როგორ არის ნაპოვნი ფესვები. ეს საშუალებას მოგცემთ გადახვიდეთ მაგალითების ამოხსნაზე და ამით გააერთიანოთ შესწავლილი თეორია. ამ სტატიაში ჩვენ ამას გავაკეთებთ: დეტალურად ვისაუბრებთ ყველა თეორიულ და პრაქტიკულ პუნქტზე წრფივი განტოლებებისა და მათი ამოხსნის შესახებ.

მაშინვე ვთქვათ, რომ აქ განვიხილავთ მხოლოდ წრფივ განტოლებებს ერთი ცვლადით და ცალკე სტატიაში შევისწავლით ამოხსნის პრინციპებს წრფივი განტოლებები ორ ცვლადში.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის წრფივი განტოლება?

წრფივი განტოლების განმარტება მოცემულია მისი აღნიშვნის ფორმით. უფრო მეტიც, მათემატიკისა და ალგებრის სხვადასხვა სახელმძღვანელოებში, წრფივი განტოლებების განმარტებების ფორმულირებებს აქვთ გარკვეული განსხვავებები, რომლებიც გავლენას არ ახდენს საკითხის არსზე.

მაგალითად, იუ.ნ. მაკარიჩევას და სხვების მიერ მე-7 კლასის ალგებრის სახელმძღვანელოში, წრფივი განტოლება განისაზღვრება შემდეგნაირად:

განმარტება.

ტიპის განტოლება ცული=ბ, სადაც x არის ცვლადი, a და b არის რამდენიმე რიცხვი, ეწოდება წრფივი განტოლება ერთი ცვლადით.

მოვიყვანოთ გახმოვანებული განმარტების შესაბამისი წრფივი განტოლებების მაგალითები. მაგალითად, 5 x=10 არის წრფივი განტოლება ერთი x ცვლადით, აქ კოეფიციენტი a არის 5, ხოლო b რიცხვი არის 10. კიდევ ერთი მაგალითი: −2.3 y=0 ასევე წრფივი განტოლებაა, მაგრამ y ცვლადით, სადაც a=−2.3 და b=0. ხოლო წრფივ განტოლებებში x=−2 და −x=3.33 a აშკარად არ არის წარმოდგენილი და უდრის შესაბამისად 1 და −1, ხოლო პირველ განტოლებაში b=−2 , ხოლო მეორეში - b=3.33 .

და ერთი წლით ადრე, ნ.ია. ვილენკინის მათემატიკის სახელმძღვანელოში, წრფივი განტოლებები ერთი უცნობით, x = b ფორმის განტოლებების გარდა, ასევე განიხილებოდა განტოლებები, რომლებიც შეიძლება ამ ფორმამდე შემცირდეს ერთიდან ტერმინების გადატანით. განტოლების ნაწილი მეორესთან ერთად საპირისპირო ნიშანი, ასევე მსგავსი ტერმინების შემცირებით. ამ განსაზღვრების მიხედვით 5 x=2 x+6 ფორმის განტოლებები და ა.შ. ასევე ხაზოვანი.

თავის მხრივ, შემდეგი განმარტება მოცემულია ალგებრის სახელმძღვანელოში 7 კლასისთვის A.G. Mordkovich-ის მიერ:

განმარტება.

წრფივი განტოლება ერთი x ცვლადითარის a x+b=0 ფორმის განტოლება, სადაც a და b არის რამდენიმე რიცხვი, რომელსაც ეწოდება წრფივი განტოლების კოეფიციენტები.

მაგალითად, ამ სახის წრფივი განტოლებებია 2 x−12=0, აქ კოეფიციენტი a არის 2, და b უდრის −12 და 0.2 y+4.6=0 კოეფიციენტებით a=0.2 და b =4.6. მაგრამ ამავე დროს, არის ხაზოვანი განტოლებების მაგალითები, რომლებსაც აქვთ ფორმა არა x+b=0, არამედ x=b, მაგალითად, 3 x=12.

მოდით, რათა მომავალში არ გვქონდეს შეუსაბამობები, წრფივი განტოლების ქვეშ ერთი ცვლადი x და a და b კოეფიციენტებით გავიგებთ a x+b=0 ფორმის განტოლებას. ამ ტიპის წრფივი განტოლება, როგორც ჩანს, ყველაზე გამართლებულია, რადგან წრფივი განტოლებები არის ალგებრული განტოლებები პირველი ხარისხი. და ყველა სხვა ზემოთ მითითებული განტოლება, ისევე როგორც განტოლებები, რომლებიც მცირდება x+b=0 სახით ეკვივალენტური გარდაქმნების დახმარებით, ე.წ. წრფივი განტოლებამდე დაყვანის განტოლებები. ამ მიდგომით განტოლება 2 x+6=0 არის წრფივი განტოლება და 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12 და ა.შ. არის წრფივი განტოლებები.

როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებები?

ახლა დროა გავარკვიოთ, როგორ ამოიხსნება x+b=0 წრფივი განტოლებები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დროა გავარკვიოთ, აქვს თუ არა წრფივ განტოლებას ფესვები და თუ ასეა, რამდენი და როგორ ვიპოვოთ ისინი.

წრფივი განტოლების ფესვების არსებობა დამოკიდებულია a და b კოეფიციენტების მნიშვნელობებზე. ამ შემთხვევაში წრფივი განტოლება a x+b=0 აქვს

• ერთადერთი ფესვი a≠0-ზე,
• არ აქვს ფესვები a=0 და b≠0,
• აქვს უსასრულოდ ბევრი ფესვი a=0 და b=0-სთვის, ამ შემთხვევაში ნებისმიერი რიცხვი არის წრფივი განტოლების ფესვი.

მოდით განვმარტოთ, როგორ იქნა მიღებული ეს შედეგები.

ჩვენ ვიცით, რომ განტოლებების ამოსახსნელად შესაძლებელია საწყისი განტოლებიდან გადავიდეთ ეკვივალენტურ განტოლებაზე, ანუ განტოლებებზე ერთი და იგივე ფესვებით ან, როგორც ორიგინალი, ფესვების გარეშე. ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ექვივალენტური გარდაქმნები:

• ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით,
• და ასევე განტოლების ორივე მხარის გამრავლება ან გაყოფა იმავე არანულოვანი რიცხვით.

ასე რომ, წრფივი განტოლებაში ერთი ტიპის ცვლადი a x+b=0 შეგვიძლია b ტერმინი მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ გადავიტანოთ საპირისპირო ნიშნით. ამ შემთხვევაში განტოლება მიიღებს x=−b ფორმას.

შემდეგ კი განტოლების ორივე ნაწილის გაყოფა a რიცხვზე თავს გვთავაზობს. მაგრამ არის ერთი რამ: რიცხვი a შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ამ შემთხვევაში ასეთი გაყოფა შეუძლებელია. ამ პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ პირველ რიგში ვივარაუდებთ, რომ რიცხვი a განსხვავდება ნულიდან და შემთხვევა ნულის ტოლი a მოგვიანებით განიხილება ცალკე.

ასე რომ, როდესაც a არ არის ნულის ტოლი, მაშინ შეგვიძლია a x=−b განტოლების ორივე ნაწილი გავყოთ a-ზე, რის შემდეგაც იგი გარდაიქმნება x=(−b ფორმაში): a , ეს შედეგი შეიძლება დაიწეროს a-ს გამოყენებით. მყარი ხაზი, როგორც.

ამრიგად, a≠0-სთვის წრფივი განტოლება a·x+b=0 უდრის განტოლებას, საიდანაც ჩანს მისი ფესვი.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ ეს ფესვი უნიკალურია, ანუ წრფივ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს. ეს საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ საპირისპირო მეთოდი.

ძირი ავღნიშნოთ x 1-ით. დავუშვათ, რომ არსებობს წრფივი განტოლების სხვა ფესვი, რომელსაც აღვნიშნავთ x 2, და x 2 ≠ x 1, რომელიც განმარტებები თანაბარი რიცხვებიგანსხვავების მეშვეობითუდრის x 1 − x 2 ≠0 პირობას. ვინაიდან x 1 და x 2 არის წრფივი განტოლების ფესვები a x+b=0, მაშინ ხდება რიცხვითი ტოლობები a x 1 +b=0 და a x 2 +b=0. ჩვენ შეგვიძლია გამოვაკლოთ ამ ტოლობების შესაბამისი ნაწილები, რის საშუალებასაც გვაძლევს რიცხვითი ტოლობების თვისებები, გვაქვს x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , საიდანაც a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 და შემდეგ a (x 1 − x 2)=0 . და ეს ტოლობა შეუძლებელია, რადგან a≠0 და x 1 − x 2 ≠0. ასე რომ, მივედით წინააღმდეგობამდე, რომელიც ადასტურებს წრფივი განტოლების ფესვის უნიკალურობას a≠0-სთვის.

ამგვარად, ჩვენ ამოვხსენით x+b=0 წრფივი განტოლება a≠0-ით. ამ ქვეპუნქტის დასაწყისში მოცემული პირველი შედეგი გამართლებულია. არის კიდევ ორი, რომელიც აკმაყოფილებს a=0 პირობას.

a=0-სთვის წრფივი განტოლება a·x+b=0 ხდება 0·x+b=0. ამ განტოლებიდან და რიცხვების ნულზე გამრავლების თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ როგორი რიცხვიც არ უნდა ავიღოთ x, როდესაც მას ჩავანაცვლებთ განტოლებაში 0 x+b=0, მივიღებთ რიცხვით ტოლობას b=0. ეს ტოლობა მართალია, როდესაც b=0 , ხოლო სხვა შემთხვევებში, როდესაც b≠0 ეს ტოლობა მცდარია.

მაშასადამე, a=0 და b=0-ით ნებისმიერი რიცხვი არის a x+b=0 წრფივი განტოლების ფესვი, ვინაიდან ამ პირობებში, x-ის ნაცვლად ნებისმიერი რიცხვის ჩანაცვლება იძლევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობას 0=0. ხოლო a=0 და b≠0 წრფივ განტოლებას a x+b=0 არ აქვს ფესვები, რადგან ამ პირობებში, x-ის ნაცვლად ნებისმიერი რიცხვის ჩანაცვლება იწვევს არასწორს. რიცხვითი თანასწორობა b=0.

ზემოაღნიშნული დასაბუთებები შესაძლებელს ხდის მოქმედებების თანმიმდევრობის ჩამოყალიბებას, რომელიც იძლევა ნებისმიერი წრფივი განტოლების ამოხსნის საშუალებას. Ისე, წრფივი განტოლების ამოხსნის ალგორითმიარის:

• ჯერ წრფივი განტოლების დაწერით ვპოულობთ a და b კოეფიციენტების მნიშვნელობებს.
• თუ a=0 და b=0 , მაშინ ამ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ფესვი, კერძოდ, ნებისმიერი რიცხვი არის ამ წრფივი განტოლების ფესვი.
• თუ a განსხვავდება ნულიდან, მაშინ
• კოეფიციენტი b გადადის მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით, ხოლო წრფივი განტოლება გარდაიქმნება x=−b სახით,
• რის შემდეგაც მიღებული განტოლების ორივე ნაწილი იყოფა არანულოვანი რიცხვით a, რომელიც იძლევა საწყისი წრფივი განტოლების სასურველ ფესვს.

წერილობითი ალგორითმი არის ამომწურავი პასუხი კითხვაზე, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ წრფივი განტოლებები.

ამ აბზაცის დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ მსგავსი ალგორითმი გამოიყენება x=b ფორმის განტოლებების ამოსახსნელად. მისი განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ როდესაც a≠0, განტოლების ორივე ნაწილი მაშინვე იყოფა ამ რიცხვზე, აქ b უკვე განტოლების სასურველ ნაწილშია და მისი გადატანა არ არის საჭირო.

x=b ფორმის განტოლებების ამოსახსნელად გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:

• თუ a=0 და b=0 , მაშინ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ფესვი, რომელიც არის ნებისმიერი რიცხვი.
• თუ a=0 და b≠0, მაშინ თავდაპირველ განტოლებას ფესვები არ აქვს.
• თუ a არ არის ნულოვანი, მაშინ განტოლების ორივე მხარე იყოფა არანულოვანი რიცხვით a, საიდანაც ნაპოვნია განტოლების ერთადერთი ფესვი, რომელიც ტოლია b/a.

ხაზოვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

მოდით გადავიდეთ პრაქტიკაზე. მოდით გავაანალიზოთ, თუ როგორ გამოიყენება წრფივი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი. აქ არის გადაწყვეტილებები დამახასიათებელი მაგალითებიშესაბამისი სხვადასხვა მნიშვნელობაწრფივი განტოლებების კოეფიციენტები.

მაგალითი.

ამოხსენით წრფივი განტოლება 0 x−0=0 .

გამოსავალი.

ამ წრფივ განტოლებაში a=0 და b=−0, რაც იგივეა, რაც b=0. ამრიგად, ამ განტოლებას უსასრულოდ ბევრი ფესვი აქვს, ნებისმიერი რიცხვი არის ამ განტოლების ფესვი.

პასუხი:

x არის ნებისმიერი რიცხვი.

მაგალითი.

აქვს თუ არა ამონახსნები წრფივ განტოლებას 0 x+2.7=0?

გამოსავალი.

AT ამ საქმესკოეფიციენტი a არის ნულის ტოლი, ხოლო ამ წრფივი განტოლების კოეფიციენტი b უდრის 2,7-ს, ანუ განსხვავდება ნულისაგან. ამრიგად, წრფივ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

ამ ვიდეოში გავაანალიზებთ წრფივი განტოლებების მთელ კრებულს, რომლებიც ამოხსნილია ერთი და იგივე ალგორითმის გამოყენებით - ამიტომაც მათ უმარტივესებს უწოდებენ.

დასაწყისისთვის განვსაზღვროთ: რა არის წრფივი განტოლება და რომელს უნდა ვუწოდოთ უმარტივესი?

წრფივი განტოლება არის ის, რომელშიც მხოლოდ ერთი ცვლადია და მხოლოდ პირველ ხარისხში.

უმარტივესი განტოლება ნიშნავს კონსტრუქციას:

ყველა სხვა წრფივი განტოლება მცირდება უმარტივესამდე ალგორითმის გამოყენებით:

1. გახსენით ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში;
2. ცვლადის შემცველი ტერმინების გადატანა ტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს, ხოლო ტერმინები ცვლადის გარეშე მეორე მხარეს;
3. მიიტანეთ მსგავსი ტერმინები ტოლობის ნიშნის მარცხნივ და მარჯვნივ;
4. მიღებული განტოლება გავყოთ $x$ ცვლადის კოეფიციენტზე.

რა თქმა უნდა, ეს ალგორითმი ყოველთვის არ ეხმარება. ფაქტია, რომ ზოგჯერ ამ მაქინაციების შემდეგ $x$ ცვლადის კოეფიციენტი ნულის ტოლი აღმოჩნდება. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია ორი ვარიანტი:

1. განტოლებას საერთოდ არ აქვს ამონახსნები. მაგალითად, როცა იღებთ $0\cdot x=8$-ს მსგავსს, ე.ი. მარცხნივ არის ნული, ხოლო მარჯვნივ არის არანულოვანი რიცხვი. ქვემოთ მოცემულ ვიდეოში განვიხილავთ რამდენიმე მიზეზს, რის გამოც შესაძლებელია ეს სიტუაცია.
2. გამოსავალი არის ყველა რიცხვი. ერთადერთი შემთხვევა, როდესაც ეს შესაძლებელია, არის განტოლება დაყვანილი $0\cdot x=0$ კონსტრუქციამდე. სავსებით ლოგიკურია, რაც არ უნდა $x$-ს ჩავანაცვლოთ, მაინც გამოვა "ნული უდრის ნულს", ე.ი. სწორი რიცხვითი ტოლობა.

ახლა კი ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს ყველაფერი რეალური პრობლემების მაგალითზე.

განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

დღეს ჩვენ საქმე გვაქვს წრფივ განტოლებებთან და მხოლოდ უმარტივესთან. ზოგადად, წრფივი განტოლება ნიშნავს ნებისმიერ ტოლობას, რომელიც შეიცავს ზუსტად ერთ ცვლადს და ის მხოლოდ პირველ ხარისხამდე მიდის.

ასეთი კონსტრუქციები წყდება დაახლოებით იმავე გზით:

1. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გახსნათ ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში (როგორც ჩვენს ბოლო მაგალითი);
2. შემდეგ მოიყვანეთ მსგავსი
3. ბოლოს გამოვყოთ ცვლადი, ე.ი. ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია ცვლადთან - ტერმინები, რომლებშიც ის შეიცავს - გადადის ერთ მხარეს, ხოლო ყველაფერი, რაც მის გარეშე რჩება, მეორე მხარეს.

შემდეგ, როგორც წესი, თქვენ უნდა მოიტანოთ მსგავსი ტოლობის თითოეულ მხარეს და ამის შემდეგ რჩება მხოლოდ კოეფიციენტზე გაყოფა "x"-ზე და მივიღებთ საბოლოო პასუხს.

თეორიულად, ეს გამოიყურება ლამაზი და მარტივი, მაგრამ პრაქტიკაში, გამოცდილ საშუალო სკოლის მოსწავლეებსაც კი შეუძლიათ შეურაცხმყოფელი შეცდომები დაუშვან საკმაოდ მარტივ ხაზოვან განტოლებებში. როგორც წესი, შეცდომებს უშვებენ ან ფრჩხილების გახსნისას, ან „პლუსების“ და „მინუსების“ დათვლისას.

გარდა ამისა, ხდება ისე, რომ წრფივ განტოლებას საერთოდ არ აქვს ამონახსნები, ან ისე, რომ ამონახსნი არის მთელი რიცხვითი წრფე, ე.ი. ნებისმიერი ნომერი. ჩვენ გავაანალიზებთ ამ დახვეწილობას დღევანდელ გაკვეთილზე. მაგრამ ჩვენ დავიწყებთ, როგორც უკვე მიხვდით, ყველაზე მეტად მარტივი დავალებები.

მარტივი წრფივი განტოლებების ამოხსნის სქემა

დასაწყისისთვის, ნება მომეცით კიდევ ერთხელ დავწერო უმარტივესი წრფივი განტოლებების ამოხსნის მთელი სქემა:

1. გააფართოვეთ ფრჩხილები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში.
2. გამოყავით ცვლადები, ე.ი. ყველაფერი, რაც შეიცავს "x"-ს, გადადის ერთ მხარეს, ხოლო "x"-ის გარეშე - მეორეზე.
3. წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.
4. ყველაფერს ვყოფთ კოეფიციენტზე "x".

რა თქმა უნდა, ეს სქემა ყოველთვის არ მუშაობს, მას აქვს გარკვეული დახვეწილობა და ხრიკები და ახლა ჩვენ გავეცნობით მათ.

მარტივი წრფივი განტოლებების რეალური მაგალითების ამოხსნა

დავალება #1

პირველ ეტაპზე ჩვენ უნდა გავხსნათ ფრჩხილები. მაგრამ ისინი არ არიან ამ მაგალითში, ამიტომ ჩვენ გამოვტოვებთ ამ ეტაპზე. მეორე ეტაპზე ჩვენ უნდა გამოვყოთ ცვლადები. Შენიშვნა: ჩვენ ვსაუბრობთმხოლოდ ცალკეულ კომპონენტებზე. Მოდი დავწეროთ:

ჩვენ ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს მარცხნივ და მარჯვნივ, მაგრამ ეს უკვე გაკეთდა აქ. მაშასადამე, მივდივართ მეოთხე საფეხურზე: გავყოთ ფაქტორზე:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

აქ მივიღეთ პასუხი.

დავალება #2

ამ ამოცანაში შეგვიძლია დავაკვირდეთ ფრჩხილებს, ამიტომ გავაფართოვოთ ისინი:

როგორც მარცხნივ, ასევე მარჯვნივ, ჩვენ ვხედავთ დაახლოებით ერთნაირ კონსტრუქციას, მაგრამ ვიმოქმედოთ ალგორითმის მიხედვით, ე.ი. სეკვესტრის ცვლადები:

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

რა ფესვებზე მუშაობს ეს? პასუხი: ნებისმიერისთვის. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია დავწეროთ, რომ $x$ არის ნებისმიერი რიცხვი.

დავალება #3

მესამე წრფივი განტოლება უკვე უფრო საინტერესოა:

\[\ მარცხნივ(6-x \მარჯვნივ)+\მარცხნივ(12+x \მარჯვნივ)-\მარცხნივ(3-2x \მარჯვნივ)=15\]

აქ რამდენიმე ფრჩხილია, მაგრამ არაფრით არ მრავლდება, უბრალოდ წინ დგას სხვადასხვა ნიშნები. მოდით დავშალოთ ისინი:

ჩვენ ვასრულებთ ჩვენთვის უკვე ცნობილ მეორე საფეხურს:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

მოდით გამოვთვალოთ:

ჩვენ ვასრულებთ ბოლო საფეხურს - ყველაფერს ვყოფთ კოეფიციენტზე "x"-ზე:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

რა უნდა გვახსოვდეს წრფივი განტოლებების ამოხსნისას

თუ ჩვენ უგულებელვყოფთ ძალიან მარტივ დავალებებს, მაშინ მინდა ვთქვა შემდეგი:

• როგორც ზემოთ ვთქვი, ყველა წრფივ განტოლებას არ აქვს გამოსავალი - ზოგჯერ ფესვები უბრალოდ არ არსებობს;
• ფესვები რომც იყოს, მათ შორის ნული მოხვდება - ამაში ცუდი არაფერია.

ნული იგივე რიცხვია, რაც დანარჩენი, თქვენ არ უნდა განასხვავოთ იგი ან ჩათვალოთ, რომ თუ თქვენ მიიღებთ ნულს, მაშინ რაღაც არასწორად გააკეთეთ.

კიდევ ერთი ფუნქცია დაკავშირებულია ფრჩხილების გაფართოებასთან. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: როდესაც მათ წინ არის "მინუსი", ჩვენ მას ვხსნით, მაგრამ ფრჩხილებში ვცვლით ნიშნებს. საწინააღმდეგო. შემდეგ კი შეგვიძლია გავხსნათ სტანდარტული ალგორითმების მიხედვით: მივიღებთ იმას, რაც ვნახეთ ზემოთ გამოთვლებში.

ამის გაგება მარტივი ფაქტიშეგიშლით ხელს გიმნაზიაში სულელური და მავნე შეცდომების დაშვებისგან, როდესაც ასეთი საქმის კეთება თავისთავად მიიღება.

რთული წრფივი განტოლებების ამოხსნა

მოდით გადავიდეთ უფრო მეტზე რთული განტოლებები. ახლა კონსტრუქციები გართულდება და სხვადასხვა გარდაქმნების შესრულებისას გამოჩნდება კვადრატული ფუნქცია. ამასთან, ამის არ უნდა შეგეშინდეთ, რადგან თუ ავტორის განზრახვის თანახმად, ჩვენ გადავჭრით წრფივ განტოლებას, მაშინ ტრანსფორმაციის პროცესში აუცილებლად შემცირდება კვადრატული ფუნქციის შემცველი ყველა მონომი.

მაგალითი #1

ცხადია, პირველი ნაბიჯი არის ფრჩხილების გახსნა. მოდით გავაკეთოთ ეს ძალიან ფრთხილად:

ახლა ავიღოთ კონფიდენციალურობა:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

ცხადია, ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, ამიტომ პასუხში ვწერთ შემდეგნაირად:

\[\ჯიში \]

ან ფესვების გარეშე.

მაგალითი #2

ჩვენ ვასრულებთ იგივე ნაბიჯებს. Პირველი ნაბიჯი:

მოდით გადავიტანოთ ყველაფერი ცვლადით მარცხნივ, ხოლო მის გარეშე - მარჯვნივ:

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

ცხადია, ამ წრფივ განტოლებას არ აქვს ამონახსნი, ამიტომ ვწერთ მას ასე:

\[\არაფერი\],

ან ფესვების გარეშე.

ხსნარის ნიუანსი

ორივე განტოლება მთლიანად ამოხსნილია. ამ ორი გამონათქვამის მაგალითზე კიდევ ერთხელ დავრწმუნდით, რომ უმარტივეს წრფივ განტოლებებშიც კი ყველაფერი შეიძლება არც ისე მარტივი იყოს: შეიძლება იყოს ან ერთი, ან არცერთი, ან უსასრულოდ ბევრი. ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ განვიხილეთ ორი განტოლება, ორივეში უბრალოდ ფესვები არ არის.

მაგრამ თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო კიდევ ერთ ფაქტზე: როგორ ვიმუშაოთ ფრჩხილებით და როგორ გავაფართოვოთ ისინი, თუ მათ წინ არის მინუს ნიშანი. განვიხილოთ ეს გამოთქმა:

გახსნამდე ყველაფერი უნდა გაამრავლოთ "x"-ზე. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: გაამრავლეთ თითოეული ინდივიდუალური ვადა. შიგნით არის ორი წევრი - შესაბამისად, ორი წევრი და მრავლდება.

და მხოლოდ ამ ერთი შეხედვით ელემენტარული, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანი და საშიში გარდაქმნების დასრულების შემდეგ შეიძლება ფრჩხილის გახსნა იმ თვალსაზრისით, რომ მის შემდეგ არის მინუს ნიშანი. დიახ, დიახ: მხოლოდ ახლა, როდესაც ტრანსფორმაციები კეთდება, გვახსოვს, რომ ფრჩხილების წინ არის მინუს ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ ყველაფერი ქვემოთ უბრალოდ ცვლის ნიშანს. ამავდროულად, თავად ფრჩხილები ქრება და, რაც მთავარია, წინა „მინუსიც“ ქრება.

იგივეს ვაკეთებთ მეორე განტოლებით:

შემთხვევითი არ არის, რომ ამ პატარა, ერთი შეხედვით უმნიშვნელო ფაქტებს ვაქცევ ყურადღებას. რადგან განტოლებების ამოხსნა ყოველთვის თანმიმდევრობაა ელემენტარული გარდაქმნებისადაც ნათლად და კომპეტენტურად შესრულების შეუძლებლობა მარტივი ნაბიჯებიმივყავართ იქამდე, რომ საშუალო სკოლის მოსწავლეები მოდიან ჩემთან და ისევ სწავლობენ ასეთი მარტივი განტოლებების ამოხსნას.

რა თქმა უნდა, დადგება დღე, როცა ამ უნარებს ავტომატიზმამდე მიიყვანთ. ყოველ ჯერზე ამდენი ტრანსფორმაციის შესრულება აღარ მოგიწევთ, ყველაფერს ერთ სტრიქონში დაწერთ. მაგრამ სანამ მხოლოდ სწავლობთ, თქვენ უნდა დაწეროთ თითოეული მოქმედება ცალკე.

კიდევ უფრო რთული წრფივი განტოლებების ამოხსნა

რისი გადაჭრას ახლა ვაპირებთ, ძნელად შეიძლება ეწოდოს უმარტივესი ამოცანა, მაგრამ მნიშვნელობა იგივე რჩება.

დავალება #1

\[\ მარცხნივ(7x+1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(3x-1 \მარჯვნივ)-21((x)^(2))=3\]

მოდით გავამრავლოთ ყველა ელემენტი პირველ ნაწილში:

მოდით გავაკეთოთ უკან დახევა:

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

მოდით გავაკეთოთ ბოლო ნაბიჯი:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

აქ არის ჩვენი საბოლოო პასუხი. და, მიუხედავად იმისა, რომ ამოხსნის პროცესში გვქონდა კვადრატული ფუნქციის მქონე კოეფიციენტები, მაგრამ ისინი ურთიერთგანადგურდნენ, რაც განტოლებას ხდის ზუსტად წრფივ და არა კვადრატს.

დავალება #2

\[\მარცხნივ(1-4x \მარჯვნივ)\მარცხნივ(1-3x \მარჯვნივ)=6x\მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ)\]

მოდით გავაკეთოთ პირველი ნაბიჯი ფრთხილად: გავამრავლოთ პირველი ფრჩხილის ყველა ელემენტი მეორეში ყველა ელემენტზე. მთლიანობაში, ოთხი ახალი ტერმინი უნდა იქნას მიღებული ტრანსფორმაციის შემდეგ:

ახლა კი ფრთხილად შეასრულეთ გამრავლება თითოეულ წევრში:

მოდით გადავიტანოთ ტერმინები "x"-ით მარცხნივ, ხოლო გარეშე - მარჯვნივ:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

აქ არის მსგავსი ტერმინები:

ჩვენ მივიღეთ საბოლოო პასუხი.

ხსნარის ნიუანსი

ყველაზე მნიშვნელოვანი შენიშვნა ამ ორ განტოლებასთან დაკავშირებით ასეთია: როგორც კი დავიწყებთ ფრჩხილების გამრავლებას, რომლებშიც მასზე დიდი ტერმინია, მაშინ ეს ხდება მიხედვით. შემდეგი წესი: ვიღებთ პირველ წევრს პირველიდან და ვამრავლებთ მეორის თითოეულ ელემენტს; შემდეგ ვიღებთ მეორე ელემენტს პირველიდან და ანალოგიურად ვამრავლებთ მეორის თითოეულ ელემენტს. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ოთხ ტერმინს.

ალგებრულ ჯამზე

ბოლო მაგალითით მინდა შევახსენო მოსწავლეებს რა არის ალგებრული ჯამი. კლასიკურ მათემატიკაში $1-7$-ში ვგულისხმობთ მარტივ კონსტრუქციას: ერთს ვაკლებთ შვიდს. ალგებრაში ჩვენ ვგულისხმობთ შემდეგს: რიცხვს "ერთი" ვუმატებთ მეორე რიცხვს, კერძოდ "მინუს შვიდს". ეს ალგებრული ჯამი განსხვავდება ჩვეულებრივი არითმეტიკული ჯამისგან.

როგორც კი ყველა გარდაქმნის, ყოველი შეკრებისა და გამრავლების შესრულებისას დაიწყებთ ზემოთ აღწერილი კონსტრუქციების მსგავს კონსტრუქციებს, უბრალოდ არ გექნებათ პრობლემები ალგებრაში მრავალწევრებთან და განტოლებებთან მუშაობისას.

დასასრულს, მოდით გადავხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს, რომლებიც კიდევ უფრო რთული იქნება, ვიდრე ჩვენ ახლახან შევხედეთ და მათი გადასაჭრელად, ჩვენ ოდნავ უნდა გავაფართოვოთ ჩვენი სტანდარტული ალგორითმი.

განტოლებების ამოხსნა წილადით

ასეთი ამოცანების გადასაჭრელად, კიდევ ერთი ნაბიჯი უნდა დაემატოს ჩვენს ალგორითმს. მაგრამ პირველ რიგში, მე შევახსენებ ჩვენს ალგორითმს:

1. გახსენით ფრჩხილები.
2. ცალკე ცვლადები.
3. მოიყვანეთ მსგავსი.
4. გაყავით ფაქტორზე.

სამწუხაროდ, ეს მშვენიერი ალგორითმი, მთელი თავისი ეფექტურობით, არ არის მთლად მიზანშეწონილი, როდესაც ჩვენ წინ გვაქვს წილადები. და რასაც ქვემოთ ვნახავთ, ორივე განტოლებაში გვაქვს წილადი მარცხნივ და მარჯვნივ.

როგორ ვიმუშაოთ ამ შემთხვევაში? დიახ, ეს ძალიან მარტივია! ამისათვის თქვენ უნდა დაამატოთ კიდევ ერთი ნაბიჯი ალგორითმში, რომელიც შეიძლება შესრულდეს როგორც პირველ მოქმედებამდე, ასევე მის შემდეგ, კერძოდ, წილადებისგან თავის დაღწევა. ამრიგად, ალგორითმი იქნება შემდეგი:

1. მოიშორეთ წილადები.
2. გახსენით ფრჩხილები.
3. ცალკე ცვლადები.
4. მოიყვანეთ მსგავსი.
5. გაყავით ფაქტორზე.

რას ნიშნავს „წილადების მოშორება“? და რატომ არის შესაძლებელი ამის გაკეთება როგორც პირველი სტანდარტული ნაბიჯის შემდეგ, ისე ადრე? სინამდვილეში, ჩვენს შემთხვევაში, ყველა წილადი რიცხვითია მნიშვნელის მიხედვით, ე.ი. ყველგან მნიშვნელი მხოლოდ რიცხვია. მაშასადამე, თუ განტოლების ორივე ნაწილს ამ რიცხვზე გავამრავლებთ, მაშინ მოვიშორებთ წილადებს.

მაგალითი #1

\[\frac(\left(2x+1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(2x-3 \მარჯვნივ))(4)=((x)^(2))-1\]

მოვიშოროთ წილადები ამ განტოლებაში:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \მარჯვნივ)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \მარჯვნივ)\cdot ოთხი \]

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ყველაფერი მრავლდება "ოთხზე" ერთხელ, ე.ი. მხოლოდ იმიტომ, რომ თქვენ გაქვთ ორი ფრჩხილები, არ ნიშნავს რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ თითოეული მათგანი "ოთხზე". Მოდი დავწეროთ:

\[\ მარცხნივ(2x+1 \მარჯვნივ)\ მარცხენა (2x-3 \მარჯვნივ)=\ მარცხენა (((x)^(2))-1 \მარჯვნივ)\cdot 4\]

ახლა გავხსნათ:

ჩვენ ვასრულებთ ცვლადის გამოყოფას:

ჩვენ ვახორციელებთ მსგავსი პირობების შემცირებას:

\[-4x=-1\მარცხნივ| :\left(-4 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Მივიღეთ საბოლოო გადაწყვეტილება, გადავდივართ მეორე განტოლებაზე.

მაგალითი #2

\[\frac(\ მარცხნივ(1-x \მარჯვნივ)\მარცხნივ(1+5x \მარჯვნივ))(5)+((x)^(2))=1\]

აქ ჩვენ ვასრულებთ ყველა იგივე მოქმედებას:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \მარჯვნივ)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

პრობლემა მოგვარებულია.

სინამდვილეში, ეს არის ყველაფერი, რისი თქმაც მინდოდა დღეს.

საკვანძო პუნქტები

ძირითადი დასკვნები შემდეგია:

• იცოდე წრფივი განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი.
• ფრჩხილების გახსნის შესაძლებლობა.
• არ ინერვიულოთ, თუ სადმე გაქვთ კვადრატული ფუნქციები, სავარაუდოდ, შემდგომი გარდაქმნების პროცესში ისინი შემცირდება.
• წრფივი განტოლებების ფესვები, თუნდაც უმარტივესი, სამი ტიპისაა: ერთი ფესვი, მთელი რიცხვითი წრფე არის ფესვი, ფესვები საერთოდ არ არსებობს.

ვიმედოვნებ, რომ ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ დაეუფლონ მარტივ, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვან თემას ყველა მათემატიკის შემდგომი გაგებისთვის. თუ რამე გაუგებარია, გადადით საიტზე, მოაგვარეთ იქ წარმოდგენილი მაგალითები. თვალყური ადევნეთ, კიდევ ბევრი საინტერესო რამ გელოდებათ!