muitas vezes pega um número e = 2,718281828 . Logaritmos terminados esta razão são chamados natural. Ao realizar cálculos com logaritmos naturais, é comum operar com o sinal eun, mas não registro; enquanto o número 2,718281828 , definindo a base, não indicam.

Em outras palavras, o texto ficará assim: Logaritmo natural números Xé o expoente ao qual o número deve ser elevado e, Obter x.

Então, ln(7.389...)= 2 porque e 2 =7,389... . O logaritmo natural do próprio número e= 1 porque e 1 =e, e o logaritmo natural da unidade zero, como e 0 = 1.

O próprio número e define o limite de uma sequência limitada monótona

calculou que e = 2,7182818284... .

Muitas vezes, para fixar um número na memória, os dígitos do número necessário são associados a alguns data pendente. A velocidade de lembrar os primeiros nove dígitos de um número e após o ponto decimal aumentará se você notar que 1828 é o ano do nascimento de Leo Tolstoy!

Hoje há bastante tabelas completas logaritmos naturais.

gráfico de log natural(funções y=ln x) é uma consequência do gráfico do expoente reflexo do espelho relativamente reto y = x e se parece com:

O logaritmo natural pode ser encontrado para cada positivo número real uma como a área sob a curva y = 1/x a partir de 1 antes da uma.

A natureza elementar dessa formulação, que se encaixa em muitas outras fórmulas nas quais o logaritmo natural está envolvido, foi a razão da formação do nome "natural".

Se analisarmos Logaritmo natural, como uma função real de uma variável real, então ela atua função inversa a uma função exponencial, que se reduz às identidades:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Por analogia com todos os logaritmos, o logaritmo natural converte multiplicação em adição, divisão em subtração:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

O logaritmo pode ser encontrado para cada base positiva que não é igual a um, não apenas para e, mas os logaritmos para outras bases diferem apenas do logaritmo natural fator constante, e são geralmente definidos em termos do logaritmo natural.

Tendo analisado gráfico de log natural, descobrimos que existe em valores positivos variável x. Aumenta monotonicamente em seu domínio de definição.

No x → 0 o limite do logaritmo natural é menos infinito ( -∞ ).No x → +∞ o limite do logaritmo natural é mais infinito ( + ∞ ). Em geral x o logaritmo aumenta bastante lentamente. Qualquer função de energia x a com expoente positivo uma aumenta mais rápido que o logaritmo. O logaritmo natural é uma função monotonicamente crescente, portanto não tem extremos.

Uso logaritmos naturais muito racional ao passar matemática superior. Assim, o uso do logaritmo é conveniente para encontrar a resposta para equações nas quais as incógnitas aparecem como um expoente. O uso de logaritmos naturais nos cálculos torna possível facilitar muito um grande número de fórmulas matemáticas. logaritmos básicos e estão presentes na resolução de um número significativo tarefas físicas e estão naturalmente incluídos descrição matemática processos químicos, biológicos e outros processos individuais. Assim, logaritmos são usados ​​para calcular constante de decaimento por período conhecido meia-vida, ou para calcular o tempo de decaimento na resolução de problemas de radioatividade. Eles atuam em papel de liderança em muitos ramos da matemática e ciências práticas, eles são utilizados no campo das finanças para resolver um grande número tarefas, incluindo juros compostos.

As principais propriedades do logaritmo natural, gráfico, domínio de definição, conjunto de valores, fórmulas básicas, derivada, integral, expansão em série de potência e representando a função ln x em termos de números complexos.

Definição

Logaritmo naturalé a função y = ln x, inverso ao expoente, x \u003d e y , e que é o logaritmo da base do número e: ln x = log e x.

O logaritmo natural é amplamente utilizado em matemática porque sua derivada tem a forma mais simples: (ln x)′ = 1/x.

Sediada definições, a base do logaritmo natural é o número e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Gráfico da função y = ln x.

Gráfico do logaritmo natural (funções y = ln x) é obtido a partir do gráfico do expoente por reflexão no espelho em torno da reta y = x .

O logaritmo natural é definido para valores positivos de x. Aumenta monotonicamente em seu domínio de definição.

Como x → 0 o limite do logaritmo natural é menos infinito ( - ∞ ).

Como x → + ∞, o limite do logaritmo natural é mais infinito ( + ∞ ). Para x grande, o logaritmo aumenta lentamente. Algum Função liga-desliga x a com um expoente positivo a cresce mais rápido que o logaritmo.

Propriedades do logaritmo natural

Domínio de definição, conjunto de valores, extremos, aumento, diminuição

O logaritmo natural é uma função monotonicamente crescente, portanto não tem extremos. As principais propriedades do logaritmo natural são apresentadas na tabela.

ln x valores

log 1 = 0

Fórmulas básicas para logaritmos naturais

Fórmulas decorrentes da definição da função inversa:

A principal propriedade dos logaritmos e suas consequências

Fórmula de substituição de base

Qualquer logaritmo pode ser expresso em termos de logaritmos naturais usando a fórmula de mudança de base:

As provas dessas fórmulas são apresentadas na seção "Logaritmo".

Função inversa

O recíproco do logaritmo natural é o expoente.

Se então

Se então .

Derivada ln x

Derivada do logaritmo natural:
.
Derivada do logaritmo natural do módulo x:
.
Derivada da enésima ordem:
.
Derivação de fórmulas > > >

Integrante

A integral é calculada por integração por partes:
.
Então,

Expressões em termos de números complexos

Considere uma função de uma variável complexa z:
.
Vamos expressar a variável complexa z via módulo r e argumento φ :
.
Usando as propriedades do logaritmo, temos:
.
Ou
.
O argumento φ não é definido exclusivamente. Se colocarmos
, onde n é um número inteiro,
então será o mesmo número para diferentes n.

Portanto, o logaritmo natural, em função de uma variável complexa, não é uma função de valor único.

Expansão da série de potência

Para , a expansão ocorre:

Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.

Muito bom, certo? Enquanto os matemáticos estão procurando por palavras para dar a você uma definição longa e complicada, vamos dar uma olhada mais de perto nesta simples e clara.

O número e significa crescimento

O número e significa crescimento contínuo. Como vimos no exemplo anterior, e x nos permite vincular juros e tempo: 3 anos a 100% de crescimento é o mesmo que 1 ano a 300%, sujeito a "juros compostos".

Você pode substituir qualquer valor percentual e de tempo (50% em 4 anos), mas é melhor definir o percentual como 100% por conveniência (acaba sendo 100% em 2 anos). Ao passar para 100%, podemos nos concentrar apenas no componente de tempo:

e x = e porcentagem * tempo = e 1,0 * tempo = e tempo

Obviamente, e x significa:

• quanto minha contribuição crescerá em x unidades de tempo (assumindo 100% de crescimento contínuo).
• por exemplo, após 3 intervalos de tempo, obterei e 3 = 20,08 vezes mais "coisas".

e x é um fator de escala que mostra para qual nível cresceremos em x períodos de tempo.

Logaritmo natural significa tempo

O logaritmo natural é o inverso de e, um termo tão sofisticado para o oposto. Falando de peculiaridades; em latim é chamado logarithmus naturali, daí a abreviatura ln.

E o que significa essa inversão ou oposto?

• e x nos permite conectar o tempo e obter o crescimento.
• ln(x) nos permite pegar crescimento ou renda e descobrir o tempo que leva para obtê-la.

Por exemplo:

• e 3 é igual a 20,08. Após três períodos de tempo, teremos 20,08 vezes Além disso onde começamos.
• ln(20,08) será cerca de 3. Se você estiver interessado em um aumento de 20,08x, precisará de 3 vezes (novamente, assumindo um crescimento contínuo de 100%).

Você ainda está lendo? O logaritmo natural mostra o tempo que leva para atingir o nível desejado.

Esta contagem logarítmica não padrão

Você passou os logaritmos - isso é criaturas estranhas. Como eles conseguiram transformar a multiplicação em adição? E a divisão em subtração? Vamos dar uma olhada.

O que é ln(1) igual a? Intuitivamente, a pergunta é: quanto tempo tenho que esperar para conseguir 1 vez mais do que tenho?

Zero. Zero. De jeito nenhum. Você já o tem uma vez. Não leva tempo para crescer do nível 1 para o nível 1.

• log(1) = 0

Ok, que tal valor fracionário? Quanto tempo levará para termos 1/2 do que nos resta? Sabemos que com 100% de crescimento contínuo, ln(2) significa o tempo que leva para dobrar. Se nós voltar no tempo(ou seja, espere um tempo negativo), então obtemos metade do que temos.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Lógico, certo? Se voltarmos (tempo de volta) em 0,693 segundos, encontraremos metade do valor disponível. Em geral, você pode inverter a fração e tomar significado negativo: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Isso significa que se voltarmos no tempo para 1,09 vezes, encontraremos apenas um terço do número atual.

Ok, e o logaritmo de um número negativo? Quanto tempo leva para "crescer" uma colônia de bactérias de 1 a -3?

É impossível! Você não pode obter uma contagem negativa de bactérias, pode? Você pode obter um máximo (uh... mínimo) de zero, mas não há como obter um número negativo dessas pequenas criaturas. NO número negativo bactérias simplesmente não faz sentido.

• ln(número negativo) = indefinido

"Indefinido" significa que não há tempo de espera para obter um valor negativo.

A multiplicação logarítmica é simplesmente hilária

Quanto tempo levará para quadruplicar o crescimento? Claro, você pode simplesmente pegar ln(4). Mas é muito fácil, vamos para o outro lado.

Você pode pensar em quadruplicar como dobrar (exigindo ln(2) unidades de tempo) e depois dobrar novamente (exigindo outras ln(2) unidades de tempo):

• Tempo para 4x crescimento = ln(4) = Tempo para dobrar e depois dobrar novamente = ln(2) + ln(2)

Interessante. Qualquer taxa de crescimento, digamos 20, pode ser vista como dobrando imediatamente após um aumento de 10x. Ou crescimento 4 vezes e depois 5 vezes. Ou uma triplicação e depois um aumento de 6,666 vezes. Veja o padrão?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

O logaritmo de A vezes B é log(A) + log(B). Essa relação imediatamente faz sentido se você operar em termos de crescimento.

Se você estiver interessado em um crescimento de 30x, você pode esperar por ln(30) de uma vez, ou esperar que ln(3) triplique, e então outro ln(10) multiplique por dez. Resultado final o mesmo, então é claro que o tempo deve permanecer constante (e permanece).

E a divisão? Em particular, ln(5/3) significa: quanto tempo leva para crescer 5 vezes e obter 1/3 disso?

Ótimo, um fator de 5 é ln(5). Crescer 1/3 vezes levará -ln(3) unidades de tempo. Então,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Isso significa: deixe crescer 5 vezes e depois "volte no tempo" até o ponto em que reste apenas um terço desse valor, para obter um crescimento de 5/3. Em geral, verifica-se

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Espero que a estranha aritmética dos logaritmos esteja começando a fazer sentido para você: multiplicar as taxas de crescimento torna-se somar unidades de tempo de crescimento e dividir torna-se subtrair unidades de tempo. Não memorize as regras, tente entendê-las.

Usando o Logaritmo Natural para Crescimento Arbitrário

Bem, claro, - você diz, - tudo bem se o crescimento for de 100%, mas e os 5% que eu recebo?

Sem problemas. O "tempo" que calculamos com ln() é na verdade uma combinação de taxa de juros e tempo, o mesmo X da equação e x. Acabamos de escolher definir a porcentagem para 100% para simplificar, mas podemos usar qualquer número.

Digamos que queremos alcançar um crescimento de 30x: pegamos ln(30) e obtemos 3,4 Isso significa:

• e x = altura
• e 3,4 = 30

Obviamente, esta equação significa que "100% de retorno em 3,4 anos dá origem a 30 vezes". Podemos escrever essa equação assim:

• e x = e taxa*tempo
• e 100% * 3,4 anos = 30

Podemos alterar os valores de "taxa" e "tempo", desde que a taxa * tempo permaneça 3.4. Por exemplo, se estamos interessados ​​em um crescimento de 30x, quanto tempo teremos que esperar a uma taxa de juros de 5%?

• log(30) = 3,4
• taxa * tempo = 3,4
• 0,05 * tempo = 3,4
• tempo = 3,4 / 0,05 = 68 anos

Eu raciocino assim: "ln(30) = 3,4, então com 100% de crescimento levará 3,4 anos. Se eu dobrar a taxa de crescimento, o tempo necessário será reduzido pela metade."

• 100% em 3,4 anos = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% em 1,7 anos = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% em 6,8 anos = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% acima de 68 anos = 0,05 * 68 = 3,4 .

É ótimo, certo? O logaritmo natural pode ser usado com qualquer taxa de juros e tempo, desde que seu produto permaneça constante. Você pode mover os valores das variáveis ​​o quanto quiser.

Mau Exemplo: A Regra dos Setenta e Dois

A regra dos setenta e dois é uma técnica matemática que permite estimar quanto tempo levará para o seu dinheiro dobrar. Agora vamos derivá-lo (sim!) e, além disso, tentaremos entender sua essência.

Quanto tempo leva para dobrar seu dinheiro a uma taxa de 100% que aumenta a cada ano?

Op-pa. Usamos o logaritmo natural para o caso de crescimento contínuo, e agora você está falando do accrual anual? Esta fórmula não se tornaria inadequada para tal caso? Sim, mas para taxas de juros reais como 5%, 6% ou até 15%, a diferença entre capitalizar anualmente e crescer continuamente será pequena. Então a estimativa aproximada funciona, uh, aproximadamente, então vamos fingir que temos uma provisão completamente contínua.

Agora a pergunta é simples: Quão rápido você pode dobrar com 100% de crescimento? ln(2) = 0,693. Leva 0,693 unidades de tempo (anos no nosso caso) para dobrar nossa soma com um crescimento contínuo de 100%.

Então, e se a taxa de juros não for 100%, mas digamos 5% ou 10%?

Facilmente! Como taxa * tempo = 0,693, dobraremos o valor:

• taxa * tempo = 0,693
• tempo = 0,693 / taxa

Portanto, se o crescimento for de 10%, levará 0,693 / 0,10 = 6,93 anos para dobrar.

Para simplificar os cálculos, vamos multiplicar as duas partes por 100, então podemos dizer "10" e não "0,10":

• tempo de duplicação = 69,3 / aposta, onde a aposta é expressa em percentagem.

Agora é hora de dobrar em 5%, 69,3/5 = 13,86 anos. No entanto, 69,3 não é o dividendo mais conveniente. Vamos escolher um número próximo, 72, que é convenientemente divisível por 2, 3, 4, 6, 8 e outros números.

• tempo de duplicação = 72 / aposta

que é a regra dos setenta e dois. Tudo está encoberto.

Se você precisa encontrar tempo para triplicar, você pode usar ln(3) ~ 109.8 e obter

• triplicando o tempo = 110 / aposta

O que é outro regra útil. A "Regra 72" se aplica ao crescimento por taxa de juros, crescimento populacional, culturas de bactérias e tudo o que cresce exponencialmente.

Qual é o próximo?

Espero que o logaritmo natural agora faça sentido para você - mostra o tempo que leva para qualquer número crescer exponencialmente. Acho que se chama natural porque e é uma medida universal de crescimento, então ln pode ser considerado uma forma universal de determinar quanto tempo leva para crescer.

Toda vez que você ver ln(x), lembre-se "o tempo que leva para crescer x vezes". Em um próximo artigo, descreverei e e ln em conjunto, para que o aroma fresco da matemática preencha o ar.

Complemento: Logaritmo natural de e

Quiz rápido: quanto será ln(e)?

• o robô matemático dirá: como eles são definidos como o inverso um do outro, é óbvio que ln(e) = 1.
• pessoa compreensiva: ln(e) é o número de vezes para crescer "e" vezes (cerca de 2,718). No entanto, o próprio número e é uma medida de crescimento por um fator de 1, então ln(e) = 1.

Pensar claramente.

9 de setembro de 2013

Então, temos potências de dois. Se você pegar o número da linha de fundo, poderá encontrar facilmente a potência à qual precisa aumentar um dois para obter esse número. Por exemplo, para obter 16, você precisa elevar dois à quarta potência. E para obter 64, você precisa elevar dois à sexta potência. Isso pode ser visto na tabela.

E agora - de fato, a definição do logaritmo:

O logaritmo da base a do argumento x é a potência à qual o número a deve ser elevado para obter o número x.

Notação: log a x \u003d b, onde a é a base, x é o argumento, b é realmente o que igual ao logaritmo.

Por exemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (o logaritmo de base 2 de 8 é três porque 2 3 = 8). Pode também logar 2 64 = 6 porque 2 6 = 64 .

A operação de encontrar o logaritmo de um número para uma determinada base é chamada de logaritmo. Então, vamos adicionar uma nova linha à nossa tabela:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Infelizmente, nem todos os logaritmos são considerados tão facilmente. Por exemplo, tente encontrar log 2 5 . O número 5 não está na tabela, mas a lógica determina que o logaritmo estará em algum lugar no segmento. Porque 2 2< 5 < 2 3 , а чем mais grau dois, maior será o número.

Esses números são chamados de irracionais: os números após a vírgula podem ser escritos indefinidamente e nunca se repetem. Se o logaritmo for irracional, é melhor deixá-lo assim: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

É importante entender que o logaritmo é uma expressão com duas variáveis ​​(base e argumento). A princípio, muitas pessoas confundem onde está a base e onde está o argumento. Evitar infelizes mal-entendidosé só dar uma olhada na foto:

Diante de nós nada mais é do que a definição do logaritmo. Lembrar: o logaritmo é a potência, para o qual você precisa aumentar a base para obter o argumento. É a base que é elevada a uma potência - na foto ela está destacada em vermelho. Acontece que a base está sempre no fundo! Eu conto essa regra maravilhosa para meus alunos na primeira aula - e não há confusão.

Descobrimos a definição - resta aprender a contar logaritmos, ou seja, livrar-se do sinal "log". Para começar, notamos que dois fatos importantes decorrem da definição:

1. O argumento e a base devem ser sempre maiores que zero. Isso decorre da definição do grau indicador racional, ao qual se reduz a definição do logaritmo.
2. A base deve ser diferente da unidade, pois uma unidade para qualquer poder ainda é uma unidade. Por causa disso, a questão “a que poder um deve ser elevado para obter dois” não tem sentido. Não existe esse grau!

Tais restrições são chamadas área valores permitidos (ODZ). Acontece que a ODZ do logaritmo se parece com isso: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Observe que não há restrições quanto ao número b (o valor do logaritmo) não é imposto. Por exemplo, o logaritmo pode ser negativo: log 2 0,5 \u003d -1, porque 0,5 = 2 −1 .

No entanto, por enquanto estamos considerando apenas expressões numéricas, onde não é necessário conhecer a ODZ do logaritmo. Todas as restrições já foram levadas em consideração pelos compiladores dos problemas. Mas quando eles vão equações logarítmicas e desigualdades, os requisitos do DHS se tornarão obrigatórios. De fato, na base e argumento pode haver construções muito fortes, que não necessariamente correspondem às restrições acima.

Agora considere esquema geral cálculos logarítmicos. Consiste em três etapas:

1. Expresse a base a e o argumento x como uma potência com a menor base possível maior que um. Ao longo do caminho, é melhor se livrar das frações decimais;
2. Resolva a equação para a variável b: x = a b ;
3. O número resultante b será a resposta.

Isso é tudo! Se o logaritmo for irracional, isso já será visto na primeira etapa. A exigência de que a base seja maior que um é muito relevante: isso reduz a probabilidade de erro e simplifica muito os cálculos. Da mesma forma com frações decimais: se você as converter imediatamente para as ordinárias, haverá muitas vezes menos erros.

Vamos ver como esse esquema funciona em exemplos específicos:

Uma tarefa. Calcule o logaritmo: log 5 25

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de cinco: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Vamos fazer e resolver a equação:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Recebeu uma resposta: 2.

Uma tarefa. Calcule o logaritmo:

Uma tarefa. Calcule o logaritmo: log 4 64

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Vamos fazer e resolver a equação:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Recebeu uma resposta: 3.

Uma tarefa. Calcule o logaritmo: log 16 1

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Vamos fazer e resolver a equação:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Recebeu uma resposta: 0.

Uma tarefa. Calcule o logaritmo: log 7 14

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de sete: 7 = 7 1 ; 14 não é representado como uma potência de sete, porque 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Decorre do parágrafo anterior que o logaritmo não é considerado;
3. A resposta é nenhuma mudança: log 7 14.

Uma pequena nota para último exemplo. Como ter certeza de que um número não é uma potência exata de outro número? Muito simples - basta expandi-lo para fatores primos. Se houver pelo menos dois fatores distintos na expansão, o número não é uma potência exata.

Uma tarefa. Descubra se as potências exatas do número são: 8; 48; 81; 35; quatorze .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - o grau exato, porque há apenas um multiplicador;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 não é uma potência exata porque existem dois fatores: 3 e 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grau exato;
35 = 7 5 - novamente não é um grau exato;
14 \u003d 7 2 - novamente não é um grau exato;

Também notamos que nós números primos são sempre poderes exatos de si mesmos.

logaritmo decimal

Alguns logaritmos são tão comuns que têm um nome e uma designação especiais.

O logaritmo decimal do argumento x é o logaritmo de base 10, ou seja, a potência à qual você precisa elevar o número 10 para obter o número x. Designação: lg x .

Por exemplo, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

A partir de agora, quando uma frase como “Find lg 0.01” aparecer no livro, saiba que isso não é um erro de digitação. Este é o logaritmo decimal. No entanto, se você não estiver acostumado com essa designação, sempre poderá reescrevê-la:
log x = log 10 x

Tudo o que é verdade para logaritmos comuns também é verdade para decimais.

Logaritmo natural

Há outro logaritmo que tem sua própria notação. Em certo sentido, é ainda mais importante do que decimal. É sobre sobre o logaritmo natural.

O logaritmo natural de x é a base e logaritmo, ou seja a potência à qual o número e deve ser elevado para obter o número x. Designação: ln x .

Muitos vão perguntar: o que mais é o número e? isto Número irracional, seu valor exato impossível encontrar e gravar. Aqui estão apenas os primeiros números:
e = 2,718281828459...

Não vamos nos aprofundar no que é esse número e por que ele é necessário. Basta lembrar que e é a base do logaritmo natural:
ln x = log e x

Assim ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. Por outro lado, ln 2 é um número irracional. Em geral, o logaritmo natural de qualquer número racional é irracional. Exceto, é claro, a unidade: ln 1 = 0.

Para logaritmos naturais, todas as regras que são verdadeiras para logaritmos comuns são válidas.

logaritmo determinado número chamado o expoente ao qual você deseja elevar outro número, chamado base logaritmo para obter o número dado. Por exemplo, o logaritmo do número 100 na base 10 é 2. Em outras palavras, 10 deve ser elevado ao quadrado para obter o número 100 (10 2 = 100). Se um n- um determinado número, b-fundo e eué o logaritmo, então bl = n. Número n também chamado de antilogaritmo de base b números eu. Por exemplo, o antilogaritmo de 2 para a base 10 é 100. Isso pode ser escrito como log b n = eu e antilog bl = n.

As principais propriedades dos logaritmos:

Algum número positivo, além da unidade, pode servir como base de logaritmos, mas, infelizmente, acontece que se b e n são números racionais, então casos raros existe um número racional eu, o que bl = n. No entanto, pode-se definir um número irracional eu, por exemplo, tal que 10 eu= 2; é um número irracional eu pode ser aproximado com qualquer precisão necessária números racionais. Acontece que neste exemplo eué aproximadamente igual a 0,3010, e esse valor aproximado do logaritmo na base 10 do número 2 pode ser encontrado em tabelas de quatro dígitos logaritmos decimais. Os logaritmos de base 10 (ou logaritmos decimais) são usados ​​com tanta frequência em cálculos que são chamados comum logaritmos e escrito como log2 = 0,3010 ou log2 = 0,3010, omitindo a indicação explícita da base do logaritmo. logaritmos básicos e, um número transcendental aproximadamente igual a 2,71828, são chamados natural logaritmos. Eles ocorrem principalmente em trabalhos sobre análise matemática e suas aplicações para várias ciências. Os logaritmos naturais também são escritos sem indicar explicitamente a base, mas usando a notação especial ln: por exemplo, ln2 = 0,6931, porque e 0,6931 = 2.

Usando tabelas de logaritmos comuns.

O logaritmo comum de um número é o expoente ao qual você precisa aumentar 10 para obter o número fornecido. Como 10 0 = 1, 10 1 = 10 e 10 2 = 100, obtemos imediatamente log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 e assim por diante. para aumentar potências inteiras de 10. Da mesma forma, 10 -1 = 0,1, 10 -2 = 0,01 e, portanto, log0,1 = -1, log0,01 = -2 e assim por diante. para todos os inteiros poderes negativos 10. Os logaritmos usuais dos números restantes são colocados entre os logaritmos das potências inteiras mais próximas de 10; log2 deve estar entre 0 e 1, log20 entre 1 e 2 e log0.2 entre -1 e 0. Assim, o logaritmo tem duas partes, um inteiro e fração decimal entre 0 e 1. A parte inteira é chamada característica logaritmo e é determinado pelo próprio número, a parte fracionária é chamada mantissa e pode ser encontrado nas tabelas. Além disso, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. O logaritmo de 2 é 0,3010, então log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Da mesma forma, log0,2 = log(2ё10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0,3010 - 1. Ao subtrair, obtemos log0,2 = -0,6990. No entanto, é mais conveniente representar log0,2 como 0,3010 - 1 ou como 9,3010 - 10; pode ser formulado e regra geral: todos os números obtidos a partir de um determinado número multiplicando por uma potência de 10 têm a mesma mantissa igual à mantissa do número dado. Na maioria das tabelas, as mantissas de números que variam de 1 a 10 são dadas, já que as mantissas de todos os outros números podem ser obtidas a partir das da tabela.

A maioria das tabelas fornece logaritmos com quatro ou cinco casas decimais, embora existam tabelas de sete dígitos e tabelas com ainda mais casas decimais. Aprender a usar essas tabelas é mais fácil com exemplos. Para encontrar log3.59, em primeiro lugar, notamos que o número 3.59 está entre 10 0 e 10 1, então sua característica é 0. Encontramos o número 35 (à esquerda) na tabela e movemos ao longo da linha para o coluna que tem o número 9 no topo; a interseção desta coluna e linha 35 é 5551, então log3,59 = 0,5551. Para encontrar a mantissa de um número com quatro algarismos significativos, é necessário recorrer à interpolação. Em algumas tabelas, a interpolação é facilitada pelas partes proporcionais fornecidas nas últimas nove colunas do lado direito de cada página da tabela. Encontre agora log736.4; o número 736,4 está entre 10 2 e 10 3, então a característica de seu logaritmo é 2. Na tabela encontramos a linha à esquerda da qual é 73 e a coluna 6. Na interseção desta linha e desta coluna está o número 8669. Entre as partes lineares encontramos a coluna 4 Na interseção da linha 73 e coluna 4 está o número 2. Somando 2 a 8669, obtemos a mantissa - é igual a 8671. Assim, log736,4 = 2,8671.

logaritmos naturais.

As tabelas e propriedades dos logaritmos naturais são semelhantes às tabelas e propriedades dos logaritmos comuns. A principal diferença entre os dois é que a parte inteira do logaritmo natural não é significativa na determinação da posição ponto decimal, e, portanto, a diferença entre a mantissa e a característica não desempenha um papel especial. Logaritmos naturais dos números 5.432; 54,32 e 543,2 são, respectivamente, 1,6923; 3,9949 e 6,2975. A relação entre esses logaritmos torna-se aparente se considerarmos as diferenças entre eles: log543,2 - log54,32 = 6,2975 - 3,9949 = 2,3026; último número nada mais é do que o logaritmo natural do número 10 (escrito assim: ln10); log543,2 - log5,432 = 4,6052; o último número é 2ln10. Mas 543,2 \u003d 10ґ54,32 \u003d 10 2 ґ5.432. Assim, pelo logaritmo natural de um determinado número uma você pode encontrar logaritmos naturais de números, igual a obras números uma em qualquer grau n número 10 se k ln uma adicione ln10 multiplicado por n, ou seja ln( umaґ10n) = log uma + n ln10 = ln uma + 2,3026n. Por exemplo, ln0,005432 = ln(5,432´10 -3) = ln5,432 - 3ln10 = 1,6923 - (3´2,3026) = - 5,2155. Portanto, tabelas de logaritmos naturais, como tabelas de logaritmos comuns, geralmente contêm apenas os logaritmos de números de 1 a 10. No sistema de logaritmos naturais, pode-se falar de antilogaritmos, mas mais frequentemente se fala de uma função exponencial ou exponencial. . Se um x=ln y, então y = ex, e y chamado de expoente x(para a conveniência da composição tipográfica, eles geralmente escrevem y=exp x). O expoente desempenha o papel do antilogaritmo do número x.

Com a ajuda de tabelas de logaritmos decimais e naturais, você pode criar tabelas de logaritmos em qualquer base diferente de 10 e e. Se logar BA = x, então bx = uma, e, portanto, logar c b x= registro c a ou x registro c b= registro c a, ou x= registro c a/registro c b= registro BA. Portanto, usando esta fórmula de inversão da tabela de logaritmos para a base c você pode construir tabelas de logaritmos em qualquer outra base b. Multiplicador 1/log c b chamado módulo de transição a partir do solo c para a base b. Nada impede, por exemplo, usar a fórmula de inversão, ou a transição de um sistema de logaritmos para outro, encontrar logaritmos naturais da tabela de logaritmos comuns ou fazer a transição inversa. Por exemplo, log105.432 = log e 5.432/log e 10 \u003d 1,6923 / 2,3026 \u003d 1,6923´0,4343 \u003d 0,7350. O número 0,4343, pelo qual o logaritmo natural de um dado número deve ser multiplicado para obter o logaritmo ordinário, é o módulo de transição para o sistema de logaritmos ordinários.

Mesas especiais.

Os logaritmos foram originalmente inventados para usar seu log de propriedades ab= registro uma+registro b e log uma/b= registro uma-registro b, transformar produtos em somas e quocientes em diferenças. Em outras palavras, se logar uma e log b são conhecidos, então, com a ajuda de adição e subtração, podemos encontrar facilmente o logaritmo do produto e o quociente. Em astronomia, no entanto, muitas vezes definir valores registro uma e log b precisa encontrar log( uma + b) ou log( uma – b). Claro, pode-se primeiro encontrar a partir de tabelas de logaritmos uma e b, em seguida, execute a adição ou subtração especificada e, novamente consultando as tabelas, encontre os logaritmos necessários, mas tal procedimento exigiria três viagens às tabelas. Z. Leonelli em 1802 publicou as tabelas dos chamados. logaritmos gaussianos- logaritmos de adição de somas e diferenças - que permitiam restringir o acesso às tabelas.

Em 1624, I. Kepler propôs tabelas de logaritmos proporcionais, i.e. logaritmos de números uma/x, Onde uma- alguns positivos constante. Essas tabelas são usadas principalmente por astrônomos e navegadores.

Logaritmos proporcionais em uma= 1 são chamados logaritmos e são usados ​​em cálculos quando se trata de produtos e quocientes. O logaritmo de um número né igual ao logaritmo número recíproco; Essa. colo n= log1/ n= -log n. Se log2 = 0,3010, então colog2 = - 0,3010 = 0,6990 - 1. A vantagem de usar logaritmos é que ao calcular o valor do logaritmo de expressões da forma pq/r triplicar a soma dos positivos decimais registro p+registro q+ colo ré mais fácil de encontrar do que a soma mista e a diferença de log p+registro q-registro r.

História.

O princípio subjacente a qualquer sistema de logaritmos é conhecido há muito tempo e pode ser rastreado até a antiga matemática babilônica (por volta de 2000 aC). Naquela época, a interpolação entre valores da tabela inteira graus positivos números inteiros foram usados ​​para calcular os juros compostos. Muito mais tarde, Arquimedes (287-212 aC) usou as potências de 10 8 para encontrar um limite superior no número de grãos de areia necessários para preencher completamente o universo conhecido na época. Arquimedes chamou a atenção para a propriedade dos expoentes subjacente à eficácia dos logaritmos: o produto das potências corresponde à soma dos expoentes. No final da Idade Média e início da Nova Era, os matemáticos começaram a se referir cada vez mais à relação entre progressões geométricas e aritméticas. M. Stiefel em seu ensaio Aritmética inteira(1544) deu uma tabela de potências positivas e negativas do número 2:

Stiefel notou que a soma dos dois números na primeira linha (a linha dos expoentes) é igual ao expoente de dois, que corresponde ao produto dos dois números correspondentes na linha inferior (a linha dos expoentes). Em conexão com esta tabela, Stiefel formulou quatro regras, equivalentes a quatro regras modernas operações em expoentes ou quatro regras para operações em logaritmos: a soma na linha superior corresponde ao produto na linha inferior; a subtração na linha superior corresponde à divisão na linha inferior; a multiplicação na linha superior corresponde à exponenciação na linha inferior; a divisão na linha superior corresponde à extração da raiz na linha inferior.

Aparentemente, regras semelhantes às regras de Stiefel levaram J. Naper à introdução formal do primeiro sistema de logaritmos no ensaio Descrição da incrível tabela de logaritmos, publicado em 1614. Mas os pensamentos de Napier têm estado ocupados com o problema de converter produtos em somas, pois mais de dez anos antes da publicação de seu trabalho, Napier recebeu notícias da Dinamarca de que seus assistentes no observatório de Tycho Brahe tinham um método para converter obras em somas. O método descrito na comunicação de Napier baseou-se no uso de fórmulas trigonométricas tipo

então as tabelas de Napier consistiam principalmente em logaritmos funções trigonométricas. Embora o conceito de base não tenha sido explicitamente incluído na definição proposta por Napier, o papel equivalente à base do sistema de logaritmos em seu sistema foi desempenhado pelo número (1 - 10 -7)ґ10 7, aproximadamente igual a 1/ e.

Independentemente de Neuper e quase simultaneamente com ele, um sistema de logaritmos, de tipo bastante próximo, foi inventado e publicado por J. Bürgi em Praga, que publicou em 1620 Tabelas de progressão aritmética e geométrica. Estas eram tabelas de antilogaritmos em base (1 + 10 –4) ґ10 4 , uma boa aproximação do número e.

No sistema de Napier, o logaritmo do número 10 7 era tomado como zero e, à medida que os números diminuíam, os logaritmos aumentavam. Quando G. Briggs (1561-1631) visitou Napier, ambos concordaram que seria mais conveniente usar o número 10 como base e considerar o logaritmo de um igual a zero. Então, à medida que os números aumentam, seus logaritmos aumentariam. Assim conseguimos sistema moderno logaritmos decimais, uma tabela que Briggs publicou em seu ensaio Aritmética logarítmica(1620). logaritmos básicos e, embora não sejam exatamente os introduzidos por Napier, são muitas vezes referidos como Napier's. Os termos "característica" e "mantissa" foram propostos por Briggs.

Primeiros logaritmos em vigor razões históricas usou aproximações para os números 1/ e e e. Um pouco mais tarde, a ideia de logaritmos naturais começou a ser associada ao estudo de áreas sob uma hipérbole xy= 1 (Fig. 1). No século XVII mostrou-se que a área delimitada por esta curva, o eixo x e ordenadas x= 1 e x = uma(na Fig. 1 esta área é coberta com pontos mais grossos e mais raros) aumenta progressão aritmética, quando uma aumenta em progressão geométrica. É essa dependência que surge nas regras para ações em expoentes e logaritmos. Isso deu motivos para chamar os logaritmos de Napier "logaritmos hiperbólicos".

Função logarítmica.

Houve um tempo em que os logaritmos eram considerados apenas como meio de cálculo, mas no século XVIII, principalmente devido ao trabalho de Euler, o conceito foi formado função logarítmica. O gráfico dessa função y=ln x, cujas ordenadas aumentam em progressão aritmética, enquanto as abcissas aumentam em progressão geométrica, é mostrada na Fig. 2, uma. Gráfico da função inversa ou exponencial (exponencial) y = e x, cujas ordenadas aumentam exponencialmente, e a aritmética de abcissas, é apresentada, respectivamente, na Fig. 2, b. (Curvas y= registro x e y = 10x semelhante em forma às curvas y=ln x e y = ex.) também foram sugeridos definições alternativas função logarítmica, por exemplo,

kpi; e, da mesma forma, os logaritmos naturais de -1 são números complexos espécies (2 k + 1)pi, Onde ké um número inteiro. Afirmações semelhantes também são verdadeiras para logaritmos comuns ou outros sistemas de logaritmos. Além disso, a definição de logaritmos pode ser generalizada usando as identidades de Euler para incluir os logaritmos complexos de números complexos.

Uma definição alternativa da função logarítmica dá análise funcional. Se um f(x) – função contínua número real x, que tem as três propriedades a seguir: f (1) = 0, f (b) = 1, f (UV) = f (você) + f (v), então f(x) é definido como o logaritmo do número x Por razão b. Esta definição tem uma série de vantagens sobre a definição dada no início deste artigo.

Formulários.

Os logaritmos foram originalmente usados ​​apenas para simplificar cálculos, e esta aplicação ainda é uma das mais importantes. O cálculo de produtos, quocientes, potências e raízes é facilitado não apenas pela ampla disponibilidade de tabelas de logaritmos publicadas, mas também pelo uso dos chamados. régua de cálculo- uma ferramenta de computação, cujo princípio é baseado nas propriedades dos logaritmos. A régua está equipada com escalas logarítmicas, ou seja, distância do número 1 a qualquer número x escolhido igual a log x; deslocando uma escala em relação a outra, é possível traçar as somas ou diferenças de logaritmos, o que possibilita a leitura de produtos ou parciais dos números correspondentes diretamente da escala. Aproveitar a apresentação dos números de forma logarítmica permite o chamado. papel logarítmico para plotagem (papel com escalas logarítmicas impressas ao longo de ambos os eixos de coordenadas). Se a função satisfaz uma lei de potência da forma y = kxn, então seu gráfico logarítmico parece uma linha reta, porque registro y= registro k + n registro xé uma equação linear em relação ao log y e log x. Pelo contrário, se o gráfico logarítmico de alguma dependência funcional tem a forma de uma linha reta, então essa dependência é uma lei de potência. O papel semi-logarítmico (em que o eixo y tem escala logarítmica e a abcissa tem escala uniforme) é útil nos casos em que é necessário identificar funções exponenciais. Equações da forma y = kb rx ocorrer sempre que uma quantidade, como população, quantidade de material radioativo ou saldo bancário, diminui ou aumenta a uma taxa proporcional à disponibilidade este momento o número de habitantes substância radioativa ou dinheiro. Se tal dependência for aplicada ao papel semi-logarítmico, o gráfico parecerá uma linha reta.

A função logarítmica surge em conexão com uma variedade de formas naturais. Flores em inflorescências de girassol se alinham em espirais logarítmicas, conchas de moluscos torcem Nautilus, chifres de uma ovelha da montanha e bicos de papagaios. Todos estes formas naturais podem servir como exemplos de uma curva conhecida como espiral logarítmica, porque em um sistema de coordenadas polares sua equação é r = ae bq, ou ln r=ln uma + churrasco. Tal curva é descrita por um ponto móvel, cuja distância do pólo cresce exponencialmente, e o ângulo descrito por seu raio vetor cresce aritmética. A onipresença de tal curva e, portanto, da função logarítmica, é bem ilustrada pelo fato de que ela surge em vários campos, como o contorno de uma came excêntrica e a trajetória de alguns insetos voando em direção à luz.