Ang data ng sanggunian sa exponential function ay ibinigay - mga pangunahing katangian, mga graph at mga formula. Isinasaalang-alang mga susunod na tanong: domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga, monotonicity, baligtad na pag-andar, derivative, integral, expansion in serye ng kapangyarihan at representasyon sa pamamagitan ng mga kumplikadong numero.

Kahulugan

Exponential function ay isang paglalahat ng produkto ng n bilang na katumbas ng a :
y (n) = a n = a a a a,
sa hanay ng mga tunay na numero x :
y (x) = x.
Narito ang isang nakapirming tunay na numero, na tinatawag ang base ng exponential function.
Tinatawag din ang exponential function na may base a exponential to base a.

Ang paglalahat ay isinasagawa bilang mga sumusunod.
Para sa natural na x = 1, 2, 3,... , ang exponential function ay ang produkto ng x factor:
.
Bukod dito, mayroon itong mga katangian (1.5-8) (), na sumusunod mula sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga numero. Sa zero at negatibong halaga ng mga integer , ang exponential function ay tinutukoy ng mga formula (1.9-10). Sa mga fractional na halaga x = m/n mga rational na numero, , ito ay tinutukoy ng formula (1.11). Para sa real , ang exponential function ay tinukoy bilang limitasyon ng pagkakasunud-sunod:
,
kung saan ay isang di-makatwirang pagkakasunod-sunod ng mga rational na numero na nagtatagpo sa x : .
Sa kahulugang ito, ang exponential function ay tinukoy para sa lahat , at natutugunan ang mga katangian (1.5-8), pati na rin para sa natural na x .

Ang isang mahigpit na pagbabalangkas sa matematika ng kahulugan ng isang exponential function at isang patunay ng mga katangian nito ay ibinibigay sa pahinang "Kahulugan at patunay ng mga katangian ng isang exponential function".

Mga katangian ng exponential function

Ang exponential function na y = a x ay may mga sumusunod na katangian sa hanay ng mga tunay na numero () :
(1.1) ay tinukoy at tuloy-tuloy, para sa , para sa lahat;
(1.2) kapag ang isang ≠ 1 ay may maraming kahulugan;
(1.3) mahigpit na tumataas sa , mahigpit na bumababa sa ,
ay pare-pareho sa ;
(1.4) sa ;
sa ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Iba pang mga kapaki-pakinabang na formula
.
Ang formula para sa pag-convert sa isang exponential function na may ibang power base:

Para sa b = e , nakukuha namin ang pagpapahayag ng exponential function sa mga tuntunin ng exponent:

Mga pribadong halaga

, , , , .

Ipinapakita ng figure ang mga graph ng exponential function
y (x) = x
para sa apat na halaga mga batayan ng degree:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 at a = 1/8 . Makikita na para sa isang > 1 monotonically tumataas ang exponential function. Paano mas base degree a , mas malakas ang paglago. Sa 0 < a < 1 Ang exponential function ay monotonically bumababa. Kung mas maliit ang exponent a, mas marami malakas na pagbaba.

Pataas pababa

Ang exponential function sa ay mahigpit na monotoniko, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian nito ay ipinakita sa talahanayan.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domain	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Saklaw ng mga halaga	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotone	tumataas monotonically	bumababa nang monotoniko
Mga zero, y= 0	Hindi	Hindi
Mga punto ng intersection sa y-axis, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Baliktad na pag-andar

Ang reciprocal ng isang exponential function na may base ng degree a ay ang logarithm sa base a.

Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.

Differentiation ng exponential function

Upang pag-iba-ibahin ang isang exponential function, ang base nito ay dapat bawasan sa bilang na e, ilapat ang talahanayan ng mga derivatives at ang panuntunan sa pagkita ng kaibhan. kumplikadong pag-andar.

Upang gawin ito, kailangan mong gamitin ang pag-aari ng logarithms
at ang formula mula sa talahanayan ng mga derivatives:
.

Hayaang magbigay ng exponential function:
.
Dinala namin ito sa base e:

Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang isang variable

Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives mayroon tayo (palitan ang variable x ng z ):
.
Dahil ay isang pare-pareho, ang derivative ng z na may paggalang sa x ay
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar:
.

Derivative ng exponential function

.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

Isang halimbawa ng pagkakaiba-iba ng exponential function

Hanapin ang derivative ng isang function
y= 35 x

Desisyon

Ipinapahayag namin ang base ng exponential function sa mga tuntunin ng numero e.
3 = e log 3
Pagkatapos
.
Ipinakilala namin ang isang variable
.
Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
.
Sa abot ng 5ln 3 ay isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng z na may paggalang sa x ay:
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar, mayroon kaming:
.

Sagot

integral

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang function kumplikadong numero z:
f (z) = az
kung saan z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Ipinapahayag namin ang complex constant a sa mga tuntunin ng modulus r at ang argumento φ :
a = r e i φ
Pagkatapos


.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. AT pangkalahatang pananaw
φ = φ 0 + 2 pn,
kung saan ang n ay isang integer. Samakatuwid, ang function na f (z) ay malabo rin. Kadalasang isinasaalang-alang ang pangunahing kahalagahan nito
.

Pagpapalawak sa serye

.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.

Ang modulo sign ay marahil ang isa sa mga pinakakawili-wiling phenomena sa matematika. Kaugnay nito, maraming mga mag-aaral ang may tanong kung paano bumuo ng mga graph ng mga function na naglalaman ng isang module. Suriin natin ang isyung ito nang detalyado.

1. Pag-plot ng mga function na naglalaman ng module

Halimbawa 1

I-plot ang function na y = x 2 – 8|x| + 12.

Desisyon.

Tukuyin natin ang parity ng function. Ang halaga para sa y(-x) ay kapareho ng halaga para sa y(x), kaya ibinigay na function kahit. Pagkatapos ang graph nito ay simetriko na may paggalang sa Oy axis. Bumubuo kami ng graph ng function na y \u003d x 2 - 8x + 12 para sa x ≥ 0 at simetriko na ipinapakita ang graph na nauugnay sa Oy para sa negatibong x (Fig. 1).

Halimbawa 2

Ang susunod na graph ay y = |x 2 – 8x + 12|.

– Ano ang saklaw ng iminungkahing function? (y ≥ 0).

- Paano ang tsart? (Sa itaas o pagpindot sa x-axis).

Nangangahulugan ito na ang graph ng function ay nakuha tulad ng sumusunod: sila ay nag-plot ng function y \u003d x 2 - 8x + 12, iwanan ang bahagi ng graph na nasa itaas ng Ox axis na hindi nagbabago, at ang bahagi ng graph na nasa ilalim ang abscissa axis ay ipinapakita na simetriko na nauugnay sa Ox axis (Larawan 2).

Halimbawa 3

Upang i-plot ang function na y = |x 2 – 8|x| + 12| magsagawa ng kumbinasyon ng mga pagbabagong-anyo:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Sagot: figure 3.

Ang mga itinuturing na pagbabago ay wasto para sa lahat ng uri ng mga function. Gumawa tayo ng talahanayan:

2. Pag-plot ng mga function na naglalaman ng "nested modules" sa formula

Nakakita na kami ng mga halimbawa ng isang quadratic function na naglalaman ng isang modulus, pati na rin sa pangkalahatang tuntunin pag-plot ng mga function ng anyong y = f(|x|), y = |f(x)| at y = |f(|x|)|. Ang mga pagbabagong ito ay makakatulong sa atin kapag isinasaalang-alang ang sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 4

Isaalang-alang ang isang function ng anyong y = |2 – |1 – |x|||. Ang expression na tumutukoy sa function ay naglalaman ng "mga nested modules".

Desisyon.

Ginagamit namin ang paraan ng mga geometric na pagbabago.

Isulat natin ang isang kadena ng sunud-sunod na pagbabago at gawin ang kaukulang pagguhit (Larawan 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Isaalang-alang ang mga kaso kung saan ang symmetry transformations at parallel transfer ay hindi ang pangunahing pamamaraan para sa pag-plot ng mga graph.

Halimbawa 5

Bumuo ng graph ng isang function ng form na y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Desisyon.

Bago mag-plot ng graph, binabago namin ang formula na tumutukoy sa function at kumuha ng isa pa gawaing pagsusuri function (Larawan 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Palawakin natin ang module sa denominator:

Para sa x > -2, y = x - 2, at para sa x< -2, y = -(x – 2).

Domain D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Saklaw E(y) = (-4; +∞).

Mga punto kung saan nag-intersect ang graph sa coordinate axis: (0; -2) at (2; 0).

Bumababa ang function para sa lahat ng x mula sa pagitan (-∞; -2), tumataas para sa x mula -2 hanggang +∞.

Dito kailangan naming ipakita ang tanda ng modulus at i-plot ang function para sa bawat kaso.

Halimbawa 6

Isaalang-alang ang function na y = |x + 1| – |x – 2|.

Desisyon.

Ang pagpapalawak ng tanda ng module, kinakailangang isaalang-alang ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga palatandaan ng mga expression ng submodule.

Mayroong apat na posibleng kaso:

(x + 1 - x + 2 = 3, na may x ≥ -1 at x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, na may x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, para sa x ≥ -1 at x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, na may x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Pagkatapos orihinal na function magiging ganito ang hitsura:

(3, para sa x ≥ 2;

y = (-3, sa x< -1;

(2x – 1, na may -1 ≤ x< 2.

nakuha piecewise function, ang graph nito ay ipinapakita sa Figure 6.

3. Algorithm para sa pagbuo ng mga graph ng mga function ng form

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + palakol + b.

Sa nakaraang halimbawa, sapat na madaling palawakin ang mga palatandaan ng module. Kung mayroong higit pang mga kabuuan ng mga module, kung gayon ito ay may problemang isaalang-alang ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga palatandaan ng mga expression ng submodule. Paano natin mai-graph ang function sa kasong ito?

Tandaan na ang graph ay isang polyline, na may mga vertices sa mga punto na mayroong abscissas -1 at 2. Para sa x = -1 at x = 2, ang mga expression ng submodule ay katumbas ng zero. Sa isang praktikal na paraan, nilapitan namin ang panuntunan para sa pagbuo ng mga naturang graph:

Graph ng isang function ng anyong y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | Ang + ax + b ay isang putol na linya na may mga walang katapusang dulong link. Upang makabuo ng gayong polyline, sapat na malaman ang lahat ng mga vertex nito (ang vertex abscissas ay mga zero ng mga expression ng submodule) at isang control point bawat isa sa kaliwa at kanang walang katapusang mga link.

Gawain.

I-plot ang function na y = |x| + |x – 1| + |x + 1| at hanapin ang pinakamaliit na halaga nito.

Desisyon:

Mga zero ng mga expression ng submodule: 0; -isa; 1. Vertices ng polyline (0; 2); (-labintatlo); (labing tatlo). Control point sa kanan (2; 6), sa kaliwa (-2; 6). Bumubuo kami ng isang graph (Larawan 7). min f(x) = 2.

May tanong ka ba? Hindi alam kung paano mag-graph ng isang function na may isang modulus?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

buod ng iba pang mga presentasyon

"Tukuyin kung ang isang function ay pantay o kakaiba" - Ang function ay kakaiba. Hindi kakaiba. Ay hindi kahit na. Graph ng pantay na function. Graph ng isang kakaibang function. Function. Symmetry tungkol sa axis. Kahit na mga function. Ay hindi kahit function. Kolum. Kahit na at kakaibang function. Halimbawa. Ang pag-andar ba ay pantay. kakaibang function.

""Exponential function" Grade 11" - Lutasin ang equation. Kahulugan. Suriin ang iyong sarili. exponential inequalities. Sa x=0, ang halaga ng function ay 1. Pagsubok. mga exponential equation. Derivative at prototype. functional na paraan. Pangunahin reference signal. Tumataas ang function sa buong domain ng kahulugan. Exponential function. Lugar ng halaga. Degree properties na may makatwirang tagapagpahiwatig. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation. Mga katangian ng exponential function.

"Mga halimbawa ng logarithmic inequalities" - Hanapin ang tamang desisyon. Alin sa mga function ang tumataas at alin ang bumababa? Good luck sa pagsusulit! Mga graph mga function ng logarithmic. Buod ng aralin. Cluster na dapat punan sa panahon ng aralin: Dumadami. Gawain: magpasya hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, iminungkahi sa mga gawain ng USE-2010. Sa pagitan ng mga numerong m at n, ilagay ang tanda > o<.(m, n >0). Pababa. Paghahanda para sa pagsusulit! Mga layunin ng aralin: Algebra Baitang 11. Hanapin ang saklaw ng function.

"Pag-graph ng isang function gamit ang isang module" - Graph ng isang function. Pinagsama-samang kaalaman sa mga naunang pinag-aralan na function. Tanong sa klase. Nakuhang kaalaman. Y \u003d x2 - 2x - 3. Mga function sa pag-plot. Paglalahat. Linear function. Aktibidad ng proyekto. Y = f(x). Aral ng generalization at systematization ng kaalaman. Pag-update ng kaalaman tungkol sa mga function graph. Y = lnx. Subukang bumuo ng iyong sariling mga tsart. Y \u003d x - 2. Y \u003d sinx.

"Mga power function" Grade 11 "- Function y \u003d x0. kubiko function. Hyperbola. Y = x. Function y=x-3. Ang graph ay isang parabola. Power function na may natural na tagapagpahiwatig. Function y \u003d x2n-1. Function y = x2n. Pag-andar ng kapangyarihan. Function y=x-2. Function y=x4.

"Ang geometric na kahulugan ng derivative ng isang function" - Ginawa ko ito. Mga resulta ng pagkalkula. Ang limitasyon ng posisyon ng secant. Hanapin ang dalisdis. Secant. geometric na kahulugan derivative. Algorithm para sa pag-compile ng tangent equation. Kahulugan. Ang halaga ng derivative ng function. tama ideya sa matematika. Ang equation ng tangent sa graph ng function. Gumawa ng mag-asawa. Equation ng isang tuwid na linya na may slope factor. Isulat ang equation para sa tangent sa graph ng function.

transcript

1 Rehiyon siyentipiko at praktikal na kumperensya gawaing pang-edukasyon at pananaliksik ng mga mag-aaral sa mga baitang 6-11 "Inilapat at mga pangunahing katanungan matematika "Methodological aspeto ng pag-aaral ng matematika Konstruksyon ng mga graph ng mga function na naglalaman ng module Gabova Anzhela Yurievna, grade 10, MOBU "Gymnasium 3" Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, guro ng matematika MOBU "Gymnasium 3" Kudymkar16 Perm, 20

2 Nilalaman: Panimula...pahina 3 I. Pangunahing katawan...pahina 6 1.1 Sanggunian sa kasaysayan.. 6 p. 2. Mga pangunahing kahulugan at katangian ng mga function p. 2.1 quadratic function..7 p. 2.2 Linear function...8 p. 2.3 Fractional-rational function p. 8 3. Graphing algorithm na may module 9 p. 3.1 Depinisyon ng module.. 9 p. linear function na may module...9 p. 3.3 Graphing ng mga function na naglalaman ng "nested modules" sa formula.10 p. 3.5 Algorithm para sa pagplot ng graph ng quadratic function na may modulus. 14 p. 3.6 Algorithm para sa pagplot ng graph ng isang fractionally rational function na may modulus. 15p. 4. Mga pagbabago sa graph ng isang quadratic function depende sa lokasyon ng sign ganap na halaga..17p. II. Konklusyon ... 26 p. III. Listahan ng mga sanggunian at mapagkukunan...27 p. IV. Paglalapat....28p. 2

3 Panimula Ang mga function ng plotting ay isa sa mga ito. mga kawili-wiling paksa sa matematika ng paaralan. Ang pinakadakilang matematiko sa ating panahon, si Israel Moiseevich Gelfand, ay sumulat: "Ang proseso ng pag-plot ng mga graph ay isang paraan ng paggawa ng mga formula at paglalarawan sa mga geometric na imahe. Ang pag-plot na ito ay isang paraan upang makita ang mga formula at function at makita kung paano nagbabago ang mga function na ito. Halimbawa, kung ang y \u003d x 2 ay nakasulat, pagkatapos ay makikita mo kaagad ang isang parabola; kung y = x 2-4, makikita mo ang isang parabola na binabaan ng apat na unit; kung y \u003d - (x 2 4), pagkatapos ay makikita mo ang nakaraang parabola na tinanggihan. Ang kakayahang makita ang formula nang sabay-sabay, at nito geometric na interpretasyon ay mahalaga hindi lamang para sa pag-aaral ng matematika, kundi pati na rin sa iba pang mga paksa. Ito ay isang kasanayang mananatili sa iyo habang buhay, tulad ng pag-aaral na sumakay ng bisikleta, mag-type, o magmaneho ng kotse." Ang mga pangunahing kaalaman sa paglutas ng mga equation na may mga module ay nakuha sa ika-6 na ika-7 na baitang. Pinili ko ang partikular na paksang ito dahil naniniwala ako na nangangailangan ito ng mas malalim at mas masusing pag-aaral. Gusto kong makakuha ng higit pang kaalaman tungkol sa modulus ng isang numero, iba't-ibang paraan pagbuo ng mga graph na naglalaman ng sign ng absolute value. Kapag ang "standard" na mga equation ng mga linya, parabola, hyperbola ay kasama ang tanda ng modulus, ang kanilang mga graph ay nagiging hindi pangkaraniwan at kahit na maganda. Upang matutunan kung paano bumuo ng gayong mga graph, dapat na makabisado ng isa ang mga pamamaraan para sa pagbuo ng mga pangunahing figure, pati na rin ang matatag na pag-alam at pag-unawa sa kahulugan ng modulus ng isang numero. AT kurso sa paaralan Ang matematika ng mga graphics na may isang module ay hindi isinasaalang-alang nang malalim, kaya't nais kong palawakin ang aking kaalaman sa paksang ito, upang magsagawa ng aking sariling pananaliksik. Nang hindi nalalaman ang kahulugan ng modyul, imposibleng bumuo ng kahit na ang pinaka simpleng graphics, na naglalaman ng ganap na halaga. katangian na tampok mga function graph na naglalaman ng mga expression na may modulo sign, 3

Ang 4 ay ang pagkakaroon ng mga kinks sa mga puntong iyon kung saan ang expression sa ilalim ng module sign ay nagbabago ng sign. Ang layunin ng gawain: upang isaalang-alang ang pagbuo ng isang graph ng linear, quadratic at fractional makatwirang pag-andar, na naglalaman ng variable sa ilalim ng module sign. Mga Gawain: 1) Pag-aralan ang literatura sa mga katangian ng absolute value ng linear, quadratic at fractionally rational mga function. 2) Siyasatin ang mga pagbabago sa mga graph ng mga function depende sa lokasyon ng sign ng absolute value. 3) Matutong mag-plot ng mga equation graph. Layunin ng pag-aaral: mga graph ng linear, quadratic at fractionally rational function. Paksa ng pag-aaral: mga pagbabago sa graph ng linear, quadratic at fractionally rational function depende sa lokasyon ng sign ng absolute value. Praktikal na kahalagahan ang aking gawain ay: 1) sa paggamit ng nakuhang kaalaman sa paksa, pati na rin ang pagpapalalim nito at paglalapat nito sa iba pang mga function at equation; 2) sa paggamit ng mga kasanayan gawaing pananaliksik sa hinaharap mga aktibidad sa pagkatuto. Kaugnayan: Ang mga gawain sa pag-graph ay tradisyonal na isa sa mga pinaka mahirap na mga paksa matematika. Ang ating mga nagtapos ay nahaharap sa problema ng matagumpay na pagpasa sa GIA at sa Unified State Examination. Problema sa pananaliksik: pag-plot ng mga function na naglalaman ng modulus sign mula sa ikalawang bahagi ng GIA. Pananaliksik hypothesis: application na binuo batay sa karaniwang paraan pagbuo ng mga graph ng mga function na naglalaman ng sign ng module, mga pamamaraan para sa paglutas ng mga gawain ng ikalawang bahagi ng GIA ay magbibigay-daan sa mga mag-aaral na lutasin ang mga gawaing ito 4

5 sa isang nakakamalay na batayan, piliin ang pinaka makatwirang pamamaraan solusyon, ilapat iba't ibang pamamaraan desisyon at matagumpay na pumasa sa GIA. Mga pamamaraan ng pananaliksik na ginamit sa gawain: 1. Pagsusuri ng literatura sa matematika at mga mapagkukunan ng Internet sa paksang ito. 2. Reproductive reproduction ng pinag-aralan na materyal. 3.Informative- aktibidad sa paghahanap. 4. Pagsusuri at paghahambing ng datos sa paghahanap ng solusyon sa mga problema. 5. Pahayag ng mga hypotheses at ang kanilang pagpapatunay. 6. Paghahambing at paglalahat mga katotohanan sa matematika. 7. Pagsusuri ng mga nakuhang resulta. Sa pagsulat ng gawaing ito, ginamit namin ang mga sumusunod na mapagkukunan: Mga mapagkukunan sa Internet, Mga pagsubok sa OGE, panitikan sa matematika. 5

6 I. Pangunahing bahagi 1.1 Kaligirang pangkasaysayan. Sa unang kalahati ng ika-17 siglo, ang ideya ng isang function bilang isang pag-asa ng isa variable mula sa iba. Kaya, Mga matematikong Pranses Naisip nina Pierre Fermat () at Rene Descartes () ang isang function bilang dependence ng ordinate ng curve point sa abscissa nito. Paano naman ang English siyentipikong si Isaac Naunawaan ni Newton () ang isang function bilang isang time-varying coordinate ng isang gumagalaw na punto. Ang terminong "function" (mula sa Latin function performance, commission) ay unang ipinakilala ng German mathematician na si Gottfried Leibniz (). Iniugnay niya ang isang function sa isang geometric na imahe (isang graph ng isang function). Nang maglaon, ang Swiss mathematician na si Johann Bernoulli () at isang miyembro ng St. Petersburg Academy of Sciences, ang sikat na mathematician ng ika-18 siglo na si Leonhard Euler () ay itinuring ang function bilang analitikong pagpapahayag. Meron din si Euler karaniwang pagkakaunawaan gumaganap bilang mga dependency ng isang variable sa isa pa. Ang salitang "module" ay nagmula sa salitang Latin na "modulus", na nangangahulugang "sukat" sa pagsasalin. Ito ay polysemantic na salita(homonym), na may maraming kahulugan at ginagamit hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa arkitektura, pisika, engineering, programming at iba pa eksaktong agham. Sa arkitektura, ito ang paunang yunit ng sukat na itinakda para sa isang naibigay istraktura ng arkitektura at nagsisilbi upang ipahayag ang maramihang mga ratios nito mga sangkap na bumubuo. Sa engineering, ito ay isang terminong ginamit sa iba't ibang lugar teknolohiya nang walang pangkalahatang halaga at nagsisilbing italaga iba't ibang coefficient at mga dami tulad ng modulus ng pakikipag-ugnayan, modulus ng elasticity, at mga katulad nito. 6

7 Bulk modulus (sa physics)-ratio normal na boltahe sa materyal sa relatibong pagpahaba. 2. Mga pangunahing kahulugan at katangian ng mga function Ang function ay isa sa pinakamahalaga mga konsepto ng matematika. Ang isang function ay isang dependence ng variable y sa variable x, kung saan ang bawat value ng variable x ay tumutugma sa iisang kahulugan variable y. Mga paraan ng pagtatakda ng isang function: 1) analytical method (ang function ay nakatakda gamit ang mathematical formula); 2) tabular na paraan(ang function ay nakatakda gamit ang talahanayan); 3) paraan ng paglalarawan (ibinigay ang function pandiwang paglalarawan); 4) graphic na paraan(ang function ay nakatakda gamit ang isang graph). Ang graph ng isang function ay ang set ng lahat ng puntos coordinate na eroplano, na ang mga abscissas ay katumbas ng halaga ng argumento, at ang mga ordinate ay katumbas ng mga katumbas na halaga ng function. 2.1 Quadratic function tunay na mga numero, at a = 0, ay tinatawag na quadratic. Ang graph ng function na y \u003d ax 2 + in + c ay isang parabola; ang axis ng symmetry ng parabola y \u003d ax 2 + in + c ay isang tuwid na linya, para sa a> 0 ang "mga sanga" ng parabola ay nakadirekta pataas, para sa isang<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (para sa mga function ng isang variable). Ang pangunahing pag-aari ng mga linear na function ay ang pagtaas ng function ay proporsyonal sa pagtaas ng argumento. Ibig sabihin, ang function ay isang generalization ng direct proportionality. Ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya, kaya ang pangalan nito. Ito ay may kinalaman sa isang tunay na function ng isang tunay na variable. 1) Sa, ang tuwid na linya ay bumubuo ng isang matinding anggulo na may positibong direksyon ng x-axis. 2) Kapag, ang linya ay bumubuo ng isang obtuse angle na may positibong direksyon ng x-axis. 3) ay isang tagapagpahiwatig ng ordinate ng punto ng intersection ng linya na may y-axis. 4) Kapag, ang linya ay dumaan sa pinanggalingan. , 2.3 Ang fractional-rational function ay isang fraction na ang numerator at denominator ay mga polynomial. Mayroon itong anyo kung saan, mga polynomial sa anumang bilang ng mga variable. Ang mga rational function ng isang variable ay isang espesyal na kaso: kung saan at mga polynomial. 1) Anumang expression na maaaring makuha mula sa mga variable gamit ang apat na arithmetic operations ay isang rational function. walo

9 2) Ang hanay ng mga rational function ay sarado sa ilalim ng arithmetic operations at ang operasyon ng komposisyon. 3) Anumang rational function ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga simpleng fraction - ito ay ginagamit sa analytical integration .., 3. Graphing algorithm na may module kung ang a ay negatibo. a = 3.2 Algorithm para sa pagbuo ng isang graph ng isang linear function na may isang modulus Upang i-plot ang mga graph ng mga function y= x, kailangan mong malaman na para sa positibong x mayroon kaming x = x. Kaya para sa mga positibong halaga ng argumentong graph na y= x ay tumutugma sa graph na y=x, ibig sabihin, ang bahaging ito ng graph ay isang sinag na lumalabas mula sa pinanggalingan sa isang anggulo na 45 degrees hanggang sa abscissa axis. Para sa x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Para sa pagtatayo, kumukuha kami ng mga puntos (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Ngayon, bumuo tayo ng isang graph y= x-1. Kung ang A ay ang graph point y= x na may mga coordinate (a; a), kung gayon ang graph point na y= x-1 na may parehong halaga ng Y ordinate ay magiging point A1 (a+1; a). Ang puntong ito ng pangalawang graph ay maaaring makuha mula sa punto A(a; a) ng unang graph sa pamamagitan ng paglipat ng kahanay sa Ox axis sa kanan. Nangangahulugan ito na ang buong graph ng function na y= x-1 ay nakuha mula sa graph ng function na y= x sa pamamagitan ng paglilipat parallel sa Ox axis sa kanan ng 1. Bumuo tayo ng mga graph: y= x-1 Upang bumuo, kumukuha kami ng mga puntos (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Pagbubuo ng mga graph ng mga function na naglalaman ng "nested modules" sa formula Isaalang-alang natin ang construction algorithm gamit ang isang partikular na halimbawa.

11 y \u003d i-2-ix + 5ii 1. Bumubuo kami ng graph ng function. 2. Ipinapakita namin ang graph ng lower half-plane paitaas nang simetriko na may paggalang sa axis ng OX at makuha ang graph ng function. labing-isa

12 3. Ipinapakita namin ang graph ng function pababa sa simetriko tungkol sa OX axis at makuha ang graph ng function. 4. Ipinapakita namin ang graph ng function pababa sa simetriko na may paggalang sa OX axis at makuha ang graph ng function 5. Ipakita ang graph ng function na may paggalang sa OX axis at kunin ang graph. 12

13 6. Bilang resulta, ang graph ng function ay ganito ang hitsura 3.4. Isang algorithm para sa pagbuo ng mga graph ng mga function ng form na y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. Sa nakaraang halimbawa, sapat na madaling palawakin ang mga palatandaan ng module. Kung mayroong higit pang mga kabuuan ng mga module, kung gayon ito ay may problemang isaalang-alang ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga palatandaan ng mga expression ng submodule. Paano natin mai-graph ang function sa kasong ito? Tandaan na ang graph ay isang polyline, na may mga vertices sa mga punto na mayroong abscissas -1 at 2. Para sa x = -1 at x = 2, ang mga expression ng submodule ay katumbas ng zero. Sa isang praktikal na paraan, nilapitan namin ang panuntunan para sa pagbuo ng mga naturang graph: Ang graph ng isang function ng form na y \u003d a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b ay isang polyline na may walang katapusan na matinding mga link. Upang makabuo ng ganoong polyline, sapat na malaman ang lahat ng vertices nito (ang abscissas ng vertices ay mga zero ng submodule expression) at isang control point bawat isa sa kaliwa at kanang walang katapusang mga link. labintatlo

14 Gawain. I-plot ang function na y = x + x 1 + x + 1 at hanapin ang pinakamaliit na halaga nito. Solusyon: 1. Mga zero ng mga expression ng submodule: 0; -isa; Mga polyline vertices (0; 2); (-labintatlo); (1; 3). (Ang mga zero ng submodule na expression ay pinapalitan sa equation) Bumubuo kami ng isang graph (Larawan 7), ang pinakamaliit na halaga ng function ay Algorithm para sa pag-plot ng isang graph ng isang quadratic function na may module Pagguhit ng mga algorithm para sa pag-convert ng mga graph ng mga function. 1.Pagbubuo ng isang graph ng function na y= f(x). Ayon sa kahulugan ng module, ang function na ito ay nabubulok sa isang set ng dalawang function. Samakatuwid, ang graph ng function na y= f(x) ay binubuo ng dalawang graph: y= f(x) sa kanang kalahating eroplano, y= f(-x) sa kaliwang kalahating eroplano. Batay dito, maaari tayong magbalangkas ng isang panuntunan (algorithm). Ang graph ng function na y= f(x) ay nakuha mula sa graph ng function na y= f(x) tulad ng sumusunod: sa x 0 ang graph ay napanatili, at sa x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. Upang makabuo ng graph ng function na y= f(x), kailangan mo munang i-graph ang function na y= f(x) para sa x> 0, pagkatapos ay para sa x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Upang makuha ang graph na ito, sapat lamang na ilipat ang dating nakuhang graph ng tatlong unit sa kanan. Tandaan na kung ang denominator ng fraction ay x + 3, pagkatapos ay ililipat namin ang graph sa kaliwa: Ngayon kailangan naming i-multiply sa dalawa ang lahat ng mga ordinates upang makuha ang graph ng function Sa wakas, inilipat namin ang graph sa pamamagitan ng dalawang yunit. : Ang huling bagay na kailangan nating gawin , ay i-plot ang ibinigay na function kung ito ay nakapaloob sa ilalim ng sign ng modulus. Upang gawin ito, sumasalamin kami sa simetriko pataas sa buong bahagi ng graph, ang mga ordinate nito ay negatibo (ang bahagi na nasa ibaba ng x-axis): Fig.4 16

17 4. Mga pagbabago sa graph ng isang quadratic function depende sa lokasyon ng sign ng absolute value. I-plot ang function na y \u003d x 2 - x -3 1) Dahil x \u003d x sa x 0, ang kinakailangang graph ay tumutugma sa parabola y \u003d 0.25 x 2 - x - 3. Kung x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Samakatuwid, kumpletuhin ko para sa x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Fig. 4 Ang graph ng function na y \u003d f (x) ay tumutugma sa graph ng function na y \u003d f (x) sa set not mga negatibong halaga argumento at simetriko dito na may paggalang sa y-axis sa hanay ng mga negatibong halaga ng argumento. Patunay: Kung x 0, kung gayon f (x) = f (x), i.e. sa hanay ng mga di-negatibong halaga ng argumento, ang mga graph ng mga function na y = f (x) at y = f (x) ay nag-tutugma. Dahil ang y \u003d f (x) ay isang pantay na pag-andar, kung gayon ang graph nito ay simetriko na may paggalang sa OS. Kaya, ang graph ng function na y \u003d f (x) ay maaaring makuha mula sa graph ng function na y \u003d f (x) tulad ng sumusunod: 1. i-plot ang function na y \u003d f (x) para sa x>0; 2. Para sa x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Para sa x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Kung x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 at simetriko na sinasalamin ang bahagi y \u003d f (x) sa y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, pagkatapos ay f (x) \u003d f (x), na nangangahulugang sa bahaging ito ang graph ng function y \u003d f (x) ay tumutugma sa graph ng function mismo y \u003d f (x). Kung f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Fig.5 Konklusyon: Upang i-plot ang function y= f(x) 1. I-plot ang function y=f(x) ; 2. Sa mga lugar kung saan matatagpuan ang graph sa lower half-plane, ibig sabihin, kung saan f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Trabaho sa pananaliksik sa pag-plot ng mga function graph y \u003d f (x) Ang paglalapat ng kahulugan ng absolute value at ang naunang isinasaalang-alang na mga halimbawa, i-plot namin ang mga function graph: y \u003d 2 x - 3 y \u003d x 2-5 x y \ u003d x 2-2 at gumawa ng mga konklusyon. Upang makabuo ng graph ng function na y = f (x) ito ay kinakailangan: 1. Bumuo ng isang graph ng function na y = f (x) para sa x>0. 2. Buuin ang pangalawang bahagi ng graph, ibig sabihin, ipakita ang itinayong graph nang simetriko patungkol sa OS, dahil ang function na ito ay pantay. 3. Ang mga seksyon ng resultang graph na matatagpuan sa lower half-plane ay dapat na i-convert sa upper half-plane na simetriko sa OX axis. Bumuo ng isang graph ng function y \u003d 2 x - 3 (1st method para sa pagtukoy ng module) X< -1,5 и х>1.5 a) y = 2x - 3, para sa x>0 b) para sa x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) para sa x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Bumubuo kami ng isang tuwid na linya na simetriko sa itinayo na may paggalang sa axis ng OS. 3) Ang mga seksyon ng graph na matatagpuan sa lower half-plane ay ipinapakita nang simetriko tungkol sa OX axis. Ang paghahambing ng parehong mga graph, nakikita namin na ang mga ito ay pareho. 21

22 Mga halimbawa ng problema Halimbawa 1. Isaalang-alang ang graph ng function na y = x 2 6x +5. Dahil ang x ay squared, kung gayon anuman ang tanda ng numerong x pagkatapos i-squaring ito ay magiging positibo. Ito ay sumusunod mula dito na ang graph ng function na y \u003d x 2-6x +5 ay magiging magkapareho sa graph ng function na y \u003d x 2-6x +5, i.e. graph ng isang function na hindi naglalaman ng absolute value sign (Fig. 2). Fig.2 Halimbawa 2. Isaalang-alang ang graph ng function na y \u003d x 2 6 x +5. Gamit ang kahulugan ng modulus ng isang numero, pinapalitan namin ang formula na y \u003d x 2 6 x +5 Ngayon ay nakikitungo kami sa isang piecewise dependency assignment na kilala sa amin. Bubuo kami ng isang graph tulad nito: 1) bumuo ng parabola y \u003d x 2-6x +5 at bilugan ang bahaging iyon, na 22

23 ay tumutugma sa mga hindi negatibong halaga ng x, ibig sabihin. ang bahagi sa kanan ng y-axis. 2) sa parehong coordinate plane, gumawa kami ng parabola y \u003d x 2 +6x +5 at bilugan ang bahagi nito na tumutugma sa mga negatibong halaga ng x, i.e. ang bahagi sa kaliwa ng y-axis. Ang mga bilog na bahagi ng mga parabola na magkasama ay bumubuo ng isang graph ng function na y \u003d x 2-6 x +5 (Fig. 3). Fig.3 Halimbawa 3. Isaalang-alang ang graph ng function na y \u003d x 2-6 x +5. kasi ang graph ng equation y \u003d x 2 6x +5 ay kapareho ng graph ng function na walang modulus sign (isinasaalang-alang sa halimbawa 2), sumusunod na ang graph ng function na y \u003d x 2 6 x +5 ay magkapareho sa graph ng function y \u003d x 2 6 x +5 , isinasaalang-alang sa halimbawa 2 (Larawan 3). Halimbawa 4. Bumuo tayo ng graph ng function na y \u003d x 2 6x +5. Upang gawin ito, bumuo kami ng isang graph ng function na y \u003d x 2-6x. Upang makuha mula dito ang graph ng function na y \u003d x 2-6x, kailangan mong palitan ang bawat punto ng parabola na may negatibong ordinate na may isang punto na may parehong abscissa, ngunit may kabaligtaran (positibong) ordinate. Sa madaling salita, ang bahagi ng parabola na matatagpuan sa ibaba ng x-axis ay dapat mapalitan ng isang linyang simetriko tungkol sa x-axis. kasi kailangan nating bumuo ng isang graph ng function na y \u003d x 2-6x +5, pagkatapos ay ang graph ng function na isinasaalang-alang namin na y \u003d x 2-6x ay kailangan lamang na itaas kasama ang y axis ng 5 units pataas (Fig . 4). 23

24 Fig.4 Halimbawa 5. Bumuo tayo ng graph ng function na y \u003d x 2-6x + 5. Upang gawin ito, ginagamit namin ang kilalang piecewise function. Hanapin ang mga zero ng function na y \u003d 6x +5 6x + 5 \u003d 0 sa. Isaalang-alang ang dalawang kaso: 1) Kung, ang equation ay nasa anyo na y = x 2 6x -5. Buuin natin itong parabola at bilugan ang bahagi nito kung saan. 2) Kung, kung gayon ang equation ay tumatagal sa anyo y \u003d x 2 + 6x +5. Buuin natin ang parabola na ito at bilugan ang bahaging iyon, na matatagpuan sa kaliwa ng punto na may mga coordinate (Larawan 5). 24

25 Fig.5 Halimbawa6. I-plot natin ang function na y \u003d x 2 6 x +5. Upang gawin ito, i-plot namin ang function na y \u003d x 2-6 x +5. Inilagay namin ang graph na ito sa Halimbawa 3. Dahil ang aming function ay ganap na nasa ilalim ng module sign, upang mai-plot ang function graph y \u003d x 2 6 x +5, kailangan mo ang bawat punto ng function graph y \u003d x 2 6 x + 5 na may negatibong ordinate, palitan ng isang punto na may parehong abscissa, ngunit sa kabaligtaran (positibong) ordinate, i.e. ang bahagi ng parabola na matatagpuan sa ibaba ng Ox axis ay dapat mapalitan ng isang linya na simetriko na may paggalang sa Ox axis (Fig. 6). Fig.6 25

26 II. Konklusyon "Ang impormasyon sa matematika ay magagamit lamang nang may kasanayan at kumikita kung ito ay pinagkadalubhasaan sa malikhaing paraan, upang makita ng mag-aaral sa kanyang sarili kung paano ito magiging posible na makarating dito nang nakapag-iisa." A.N. Kolmogorov. Ang mga gawaing ito ay lubhang interesado sa mga mag-aaral sa ika-siyam na baitang, dahil karaniwan ang mga ito sa mga pagsusulit sa OGE. Ang kakayahang bumuo ng mga graph ng mga function na ito ay magbibigay-daan sa iyo na makapasa sa pagsusulit nang mas matagumpay. Ang mga French mathematician na sina Pierre Fermat () at Rene Descartes () ay nag-isip ng isang function bilang dependence ng ordinate ng isang curve point sa abscissa nito. At naunawaan ng English scientist na si Isaac Newton () ang function bilang isang coordinate ng isang gumagalaw na punto na nagbabago depende sa oras. 26

27 III. Listahan ng mga sanggunian at mapagkukunan 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Koleksyon ng mga problema sa algebra para sa mga baitang 8 9: Proc. allowance para sa mga mag-aaral sa paaralan. at mga klase na may pagpapalalim. pag-aaral Mathematics 2nd ed. M .: Enlightenment, Dorofeev G.V. Mathematics. Algebra. Mga pag-andar. Pagsusuri sa datos. Baitang 9: m34 Proc. para sa pangkalahatang pag-aaral sa edukasyon. manager 2nd ed., stereotype. M .: Bustard, Solomonik V.S. Koleksyon ng mga tanong at problema sa matematika M .: "Higher school", Yashchenko I.V. GIA. Matematika: karaniwang mga opsyon sa pagsusulit: Tungkol sa mga opsyon.m .: "Pambansang Edukasyon", p. 5. Yashchenko I.V. OGE. Matematika: karaniwang mga opsyon sa pagsusulit: Tungkol sa mga opsyon.m .: "Pambansang Edukasyon", p. 6. Yashchenko I.V. OGE. Matematika: karaniwang mga opsyon sa pagsusulit: Tungkol sa mga opsyon.m .: "Pambansang Edukasyon", p.

28 Apendise 28

29 Halimbawa 1. I-plot ang function na y = x 2 8 x Solution. Tukuyin natin ang parity ng function. Ang halaga para sa y(-x) ay kapareho ng halaga para sa y(x), kaya ang function na ito ay pantay. Pagkatapos ang graph nito ay simetriko na may paggalang sa Oy axis. Bumubuo kami ng graph ng function na y \u003d x 2 8x + 12 para sa x 0 at ipinapakita ang graph na simetriko na nauugnay sa Oy para sa negatibong x (Fig. 1). Halimbawa 2. Ang sumusunod na graph ng form na y \u003d x 2 8x Nangangahulugan ito na ang graph ng function ay nakuha tulad ng sumusunod: bumuo sila ng isang graph ng function na y \u003d x 2 8x + 12, iwanan ang bahagi ng graph na nasa itaas ng Ox axis na hindi nagbabago, at ang bahagi ng graph na nasa ilalim ng abscissa axis, ay ipinapakita nang simetriko na may kinalaman sa Ox axis (Fig. 2). Halimbawa 3. Upang i-plot ang function na y \u003d x 2 8 x + 12, ang isang kumbinasyon ng mga pagbabago ay isinasagawa: y \u003d x 2 8x + 12 y \u003d x 2 8 x + 12 y \u003d x 2 8 x Sagot : Figure 3. Halimbawa 4 Ang expression na nakatayo sa ilalim ng module sign, nagbabago ng sign sa puntong x=2/3. Sa x<2/3 функция запишется так: 29

30 Para sa x>2/3, ang function ay isusulat tulad ng sumusunod: Iyon ay, ang puntong x=2/3 ay naghahati sa ating coordinate plane sa dalawang rehiyon, kung saan ang isa (sa kanan) ay binubuo natin ang function at sa iba pa (sa kaliwa) ang graph ng function na Binubuo namin: Halimbawa 5 Susunod ang graph ay nasira din, ngunit may dalawang breakpoints, dahil naglalaman ito ng dalawang expression sa ilalim ng mga sign ng module:

31 Palawakin ang mga module sa unang pagitan: Sa ikalawang pagitan: Sa ikatlong pagitan: Kaya, sa pagitan (- ; 1.5] mayroon kaming graph na isinulat ng unang equation, sa pagitan ang graph na isinulat ng pangalawang equation, at sa pagitan)