Bisher haben wir nur ganzzahlige Gleichungen bezüglich der Unbekannten gelöst, also Gleichungen, bei denen die Nenner (falls vorhanden) die Unbekannte nicht enthielten.

Oft müssen Sie Gleichungen lösen, die die Unbekannte im Nenner enthalten: Solche Gleichungen werden als gebrochen bezeichnet.

Um diese Gleichung zu lösen, multiplizieren wir beide Seiten davon mit einem Polynom, das die Unbekannte enthält. Wird die neue Gleichung der gegebenen äquivalent sein? Um die Frage zu beantworten, lösen wir diese Gleichung.

Wenn wir beide Seiten davon mit multiplizieren, erhalten wir:

Lösen wir diese Gleichung ersten Grades, finden wir:

Gleichung (2) hat also eine einzelne Wurzel

Setzen wir es in Gleichung (1) ein, erhalten wir:

Daher ist auch die Wurzel von Gleichung (1).

Gleichung (1) hat keine anderen Wurzeln. In unserem Beispiel ist dies beispielsweise daran zu erkennen, dass in Gleichung (1)

Wie unbekannter Teiler muss gleich dem Dividenden 1 dividiert durch den Quotienten 2 sein, d.h.

Die Gleichungen (1) und (2) haben also eine einzelne Wurzel und sind daher äquivalent.

2. Wir lösen nun folgende Gleichung:

Protozoen gemeinsamer Nenner: ; multipliziere alle Terme der Gleichung damit:

Nach Reduktion erhalten wir:

Erweitern wir die Klammern:

Wenn wir ähnliche Terme bringen, haben wir:

Lösen wir diese Gleichung, finden wir:

Durch Einsetzen in Gleichung (1) erhalten wir:

Auf der linken Seite haben wir Ausdrücke erhalten, die keinen Sinn ergeben.

Daher ist die Wurzel von Gleichung (1) nicht. Dies impliziert, dass die Gleichungen (1) und nicht äquivalent sind.

In diesem Fall sagen wir, dass Gleichung (1) eine fremde Wurzel angenommen hat.

Vergleichen wir die Lösung von Gleichung (1) mit der Lösung der zuvor betrachteten Gleichungen (siehe § 51). Um diese Gleichung zu lösen, mussten wir zwei solche Operationen durchführen, die zuvor noch nie gesehen worden waren: Erstens multiplizierten wir beide Seiten der Gleichung mit einem Ausdruck, der eine Unbekannte (gemeinsamen Nenner) enthielt, und zweitens reduzierten wir algebraische Brüche in Faktoren, die das Unbekannte enthalten.

Beim Vergleich von Gleichung (1) mit Gleichung (2) sehen wir, dass nicht alle für Gleichung (2) gültigen x-Werte für Gleichung (1) gültig sind.

Es sind die Zahlen 1 und 3, die keine zulässigen Werte der Unbekannten für Gleichung (1) sind und durch die Transformation für Gleichung (2) zulässig wurden. Eine dieser Zahlen stellte sich als Lösung von Gleichung (2) heraus, aber sie kann natürlich keine Lösung von Gleichung (1) sein. Gleichung (1) hat keine Lösungen.

Dieses Beispiel zeigt, dass beim Multiplizieren beider Gleichungsteile mit einem Faktor, der die Unbekannte enthält, und beim Kürzen algebraischer Brüche eine Gleichung erhalten werden kann, die der gegebenen nicht äquivalent ist, nämlich: Fremdwurzeln können auftreten.

Daher ziehen wir folgendes Fazit. Beim Lösen einer Gleichung, die eine Unbekannte im Nenner enthält, müssen die resultierenden Wurzeln durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüft werden. Fremde Wurzeln müssen verworfen werden.

Eine Gleichung ist eine Gleichheit, die einen Buchstaben enthält, dessen Wert gefunden werden soll.

In Gleichungen wird die Unbekannte normalerweise mit Kleinbuchstaben bezeichnet Lateinischer Buchstabe. Die am häufigsten verwendeten Buchstaben sind "x" [x] und "y" [y].

Wurzel der Gleichung ist der Wert des Buchstabens, bei dem die richtige Gleichung erhalten wird zahlenmäßige Gleichheit.

löse die Gleichung- bedeutet, alle seine Wurzeln zu finden oder sicherzustellen, dass es keine Wurzeln gibt.

Nachdem wir die Gleichung gelöst haben, schreiben wir den Scheck immer nach der Antwort.

Informationen für Eltern

Liebe Eltern, bitte beachtet das Grundschule und in der 5. Klasse kennen Kinder das Thema „Negative Zahlen“ NICHT.

Daher müssen sie Gleichungen nur mit den Eigenschaften Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division lösen. Methoden zum Lösen von Gleichungen für Klasse 5 sind unten angegeben.

Versuchen Sie nicht, die Lösung von Gleichungen zu erklären, indem Sie Zahlen und Buchstaben von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit Vorzeichenwechsel übertragen.

In der Lektion "Rechengesetze" können Sie Ihr Wissen über die Begriffe Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auffrischen.

Lösen von Gleichungen für Addition und Subtraktion

Wie man das Unbekannte findet
Begriff

Wie man das Unbekannte findet
Minuend

Wie man das Unbekannte findet
Subtrahend

Finden unbekannter Begriff, muss der bekannte Term von der Summe subtrahiert werden.

Um den unbekannten Minuend zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz hinzufügen.

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, muss die Differenz vom Minuend subtrahiert werden.

x + 9 = 15
x = 15 - 9
x=6
Untersuchung

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Untersuchung

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
Untersuchung

Lösen von Gleichungen für Multiplikation und Division

Wie man das Unbekannte findet
Faktor

Wie man das Unbekannte findet
Dividende

Wie man das Unbekannte findet
Teiler

Finden Unbekannter Multiplikator, ist es notwendig, das Produkt durch einen bekannten Faktor zu dividieren.

Um den unbekannten Dividenden zu finden, musst du den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren.

Um den unbekannten Teiler zu finden, teilen Sie den Dividenden durch den Quotienten.

y4 = 12
y=12:4
y=3
Untersuchung

y:7=2
y = 2 7
y=14
Untersuchung

8:y=4
y=8:4
y=2
Untersuchung

Eine Gleichung ist eine Gleichung, die den Buchstaben enthält, dessen Vorzeichen gefunden werden soll. Die Lösung einer Gleichung ist der Satz von Buchstabenwerten, der die Gleichung in eine echte Gleichheit verwandelt:

Erinnern Sie sich daran, um es zu lösen Gleichung Es ist notwendig, die Terme mit dem Unbekannten auf einen Teil der Gleichheit und die numerischen Terme auf den anderen zu übertragen, ähnliche zu bringen und die folgende Gleichheit zu erhalten:

Aus der letzten Gleichheit bestimmen wir die Unbekannte nach der Regel: "Einer der Faktoren ist gleich dem Quotienten dividiert durch den zweiten Faktor."

Als Rationale Zahlen a und b können das gleiche und haben verschiedene Vorzeichen, dann wird das Vorzeichen der Unbekannten durch die Regeln zur Division rationaler Zahlen bestimmt.

Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen

Die lineare Gleichung muss vereinfacht werden, indem die Klammern geöffnet und die Aktionen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) ausgeführt werden.

Verschieben Sie die Unbekannten auf eine Seite des Gleichheitszeichens und die Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens, um mit der angegebenen Gleichheit identisch zu werden.

Bringen Sie like links und rechts vom Gleichheitszeichen, um eine Gleichheit der Form zu erhalten Axt = b.

Berechnen Sie die Wurzel der Gleichung (finden Sie die Unbekannte X von Gleichberechtigung x = b : a),

Führen Sie einen Test durch, indem Sie das Unbekannte durch das ersetzen gegebene Gleichung.

Wenn wir eine Identität in numerischer Gleichheit erhalten, dann ist die Gleichung richtig gelöst.

Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen

1. Wenn ein Die gleichung durch ein Produkt gleich 0 gegeben ist, verwenden wir zur Lösung die Eigenschaft der Multiplikation: "Das Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren oder beide Faktoren gleich Null sind."

27 (x - 3) = 0
27 ist nicht gleich 0, also x - 3 = 0

Das zweite Beispiel hat zwei Lösungen für die Gleichung, da
Dies ist eine Gleichung zweiten Grades:

Wenn die Koeffizienten der Gleichung sind gewöhnliche Brüche, ist das erste, was zu tun ist, die Nenner loszuwerden. Dafür:

Finden Sie einen gemeinsamen Nenner;

Definieren zusätzliche Multiplikatoren für jeden Term der Gleichung;

Multiplizieren Sie die Zähler von Brüchen und ganzen Zahlen mit zusätzlichen Faktoren und schreiben Sie alle Terme der Gleichung ohne Nenner auf (der gemeinsame Nenner kann verworfen werden);

Verschieben Sie die Terme mit Unbekannten in einen Teil der Gleichung und die numerischen Terme vom Gleichheitszeichen in den anderen, um eine äquivalente Gleichheit zu erhalten.

Bringen Sie ähnliche Begriffe;

Grundlegende Eigenschaften von Gleichungen

Jeder Teil der Gleichung kann angegeben werden wie Begriffe oder öffnende Klammern.

Jeder Term der Gleichung kann von einem Teil der Gleichung in einen anderen übertragen werden, indem sein Vorzeichen in das Gegenteil geändert wird.

Beide Seiten der Gleichung können mit derselben Zahl außer 0 multipliziert (dividiert) werden.

Im obigen Beispiel wurden alle seine Eigenschaften verwendet, um die Gleichung zu lösen.

Wie man eine Gleichung mit einer Unbekannten in einem Bruch löst

Manchmal lineare Gleichungen Nehmen Sie das Formular wann Unbekannt erscheint im Zähler eines oder mehrerer Brüche. Wie in der Gleichung unten.

In solchen Fällen können solche Gleichungen auf zwei Arten gelöst werden.

Ich Weg der Lösung
Reduzieren einer Gleichung auf eine Proportion

Beim Lösen von Gleichungen mit der Proportionsmethode müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und als algebraische Brüche addieren (links und rechts soll nur ein Bruch übrig bleiben);

Lösen Sie die resultierende Gleichung mit der Proportionsregel.

Also zurück zu unserer Gleichung. Auf der linken Seite haben wir bereits nur einen Bruch, daher sind darin keine Transformationen erforderlich.

Wir werden mit arbeiten rechte Seite Gleichungen. Vereinfachen rechte Seite Gleichungen so, dass nur noch ein Bruch übrig bleibt. Erinnern Sie sich dazu an die Regeln zum Addieren einer Zahl mit einem algebraischen Bruch.

Jetzt wenden wir die Proportionsregel an und lösen die Gleichung zu Ende.

II Lösungsweg
Reduktion auf eine lineare Gleichung ohne Brüche

Betrachten Sie die obige Gleichung noch einmal und lösen Sie sie auf eine andere Weise.

Wir sehen, dass es zwei Brüche in der Gleichung gibt "

Wie man Gleichungen mit Brüchen löst. Exponentielle Lösung von Gleichungen mit Brüchen.

Gleichungen mit Brüchen lösen Schauen wir uns Beispiele an. Die Beispiele sind einfach und anschaulich. Mit ihrer Hilfe können Sie auf verständlichste Weise verstehen,.
Beispielsweise müssen Sie eine einfache Gleichung x/b + c = d lösen.

Eine solche Gleichung heißt linear, weil der Nenner enthält nur Zahlen.

Die Lösung erfolgt durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit b, dann nimmt die Gleichung die Form x = b*(d – c) an, d.h. der Nenner des Bruchs auf der linken Seite wird gekürzt.

Zum Beispiel, wie man eine Bruchgleichung löst:
x/5+4=9
Wir multiplizieren beide Teile mit 5. Wir erhalten:
x+20=45

Ein weiteres Beispiel, bei dem das Unbekannte im Nenner steht:

Gleichungen dieser Art werden als gebrochen rational oder einfach gebrochen bezeichnet.

Wir würden eine Bruchgleichung lösen, indem wir Brüche loswerden, wonach sich diese Gleichung meistens in eine lineare oder quadratische Gleichung verwandelt, die auf die übliche Weise gelöst wird. Sie sollten nur die folgenden Punkte berücksichtigen:

• der Wert einer Variablen, die den Nenner auf 0 setzt, kann keine Wurzel sein;
• Sie können die Gleichung nicht durch den Ausdruck =0 dividieren oder multiplizieren.

Hier kommt der Bereichsbegriff ins Spiel. zulässige Werte(ODZ) - das sind die Werte der Wurzeln der Gleichung, für die die Gleichung sinnvoll ist.

Um die Gleichung zu lösen, ist es daher notwendig, die Wurzeln zu finden und sie dann auf Übereinstimmung mit der ODZ zu überprüfen. Diejenigen Wurzeln, die nicht unserem DHS entsprechen, werden von der Antwort ausgeschlossen.

Zum Beispiel müssen Sie eine Bruchgleichung lösen:

Aufgrund der obigen Regel kann x nicht = 0 sein, d.h. ODZ ein dieser Fall: x - jeder andere Wert als Null.

Wir beseitigen den Nenner, indem wir alle Terme der Gleichung mit x multiplizieren

Und lösen Sie die übliche Gleichung

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Lösen wir die Gleichung komplizierter:

ODZ ist auch hier vorhanden: x -2.

Beim Lösen dieser Gleichung werden wir nicht alles in eine Richtung übertragen und Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Wir multiplizieren sofort beide Seiten der Gleichung mit einem Ausdruck, der alle Nenner auf einmal reduziert.

Um die Nenner zu reduzieren, müssen Sie die linke Seite mit x + 2 und die rechte Seite mit 2 multiplizieren. Also müssen beide Seiten der Gleichung mit 2 (x + 2) multipliziert werden:

Genau das gewöhnliche Multiplikation Brüche, die wir oben bereits besprochen haben

Wir schreiben die gleiche Gleichung, aber auf eine etwas andere Weise.

Die linke Seite wird um (x + 2) reduziert und die rechte Seite um 2. Nach der Reduktion erhalten wir die übliche lineare Gleichung:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, was unserer ODZ entspricht

Gleichungen mit Brüchen lösen nicht so schwierig, wie es scheinen mag. In diesem Artikel haben wir dies anhand von Beispielen gezeigt. Wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten damit haben wie man Gleichungen mit Brüchen löst, dann in den Kommentaren abbestellen.

Gleichungen mit Brüchen lösen Klasse 5

Lösung von Gleichungen mit Brüchen. Probleme mit Brüchen lösen.

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"Gleichungen mit Brüchen lösen Klasse 5"

— Addition von Brüchen mit gleiche Nenner.

- Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.

Brüche mit gleichem Nenner addieren.

Um Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, addieren Sie ihre Zähler und lassen den Nenner gleich.

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.

Um Brüche mit gleichem Nenner zu subtrahieren, subtrahieren Sie den Zähler des Subtrahends vom Zähler des Minuends und lassen den Nenner gleich.

Beim Lösen von Gleichungen müssen die Regeln zum Lösen von Gleichungen, die Eigenschaften der Addition und Subtraktion verwendet werden.

Lösen von Gleichungen mit Eigenschaften.

Gleichungen mit Regeln lösen.

Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung ist die Summe.

Laufzeit + Laufzeit = Summe.

Um den unbekannten Term zu finden, subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe.

Minuend – Subtrahend = Differenz

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, subtrahieren Sie die Differenz vom Minuend.

Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung ist die Differenz.

Um den unbekannten Minuend zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz hinzufügen.

VERWENDUNG VON REGELN ZUM LÖSEN VON GLEICHUNGEN.

Auf der linken Seite der Gleichung ist der Ausdruck die Summe.

Anweisung

Der vielleicht offensichtlichste Punkt hier ist natürlich . Zahlenbrüche stellen keine Gefahr dar ( Bruchgleichungen, wo alle Nenner nur Zahlen enthalten, wird im Allgemeinen linear sein), aber wenn im Nenner eine Variable steht, dann muss dies berücksichtigt und vorgeschrieben werden. Erstens ist es so, dass x, das den Nenner zu 0 macht, nicht sein kann, und im Allgemeinen muss die Tatsache, dass x nicht gleich dieser Zahl sein kann, separat registriert werden. Auch wenn Ihnen das beim Einsetzen in den Zähler gelingt, konvergiert alles perfekt und erfüllt die Bedingungen. Zweitens können wir nicht eine oder beide Seiten der Gleichung mit gleich Null multiplizieren.

Danach wird eine solche Gleichung darauf reduziert, alle ihre Terme auf die linke Seite zu übertragen, so dass 0 auf der rechten Seite bleibt.

Es ist notwendig, alle Terme auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, indem man gegebenenfalls die Zähler mit den fehlenden Ausdrücken multipliziert.
Als nächstes lösen wir die übliche Gleichung, die im Zähler geschrieben ist. Wir können aushalten übliche Faktoren aus Klammern, abgekürzte Multiplikation anwenden, like geben, Wurzeln berechnen quadratische Gleichung durch die Diskriminante usw.

Das Ergebnis soll eine Faktorisierung in Form eines Klammerproduktes (x-(i-te Wurzel)) sein. Es kann auch Polynome enthalten, die keine Wurzeln haben, z. B. quadratisches Trinom mit einer Diskriminante kleiner als Null (es sei denn, natürlich nur im Problem echte Wurzeln, wie so oft).
Achten Sie darauf, Nenner und Faktor von der Position der dortigen Klammern zu faktorisieren, die bereits im Zähler enthalten sind. Wenn der Nenner Ausdrücke wie (x-(Zahl)) enthält, sollten beim Reduzieren auf einen gemeinsamen Nenner die darin enthaltenen Klammern nicht "stumpf" multipliziert, sondern als Produkt der ursprünglichen einfachen Ausdrücke belassen werden.
Gleiche Klammern im Zähler und Nenner können durch Vorschreiben, wie oben erwähnt, der Bedingungen auf x reduziert werden.
Die Antwort wird in geschweiften Klammern, als Satz von x-Werten oder einfach durch Aufzählung geschrieben: x1=..., x2=... usw.

Quellen:

• Bruchrationale Gleichungen

Etwas, worauf man in Physik, Mathematik, Chemie nicht verzichten kann. Zumindest. Wir lernen die Grundlagen ihrer Lösung.

Anweisung

In der allgemeinsten und einfachsten Klassifizierung kann sie nach der Anzahl der enthaltenen Variablen und nach den Graden, in denen diese Variablen stehen, unterteilt werden.

Lösen Sie die Gleichung alle ihre Wurzeln oder beweisen Sie, dass sie nicht existieren.

Jede Gleichung hat höchstens P Wurzeln, wobei P das Maximum der gegebenen Gleichung ist.

Einige dieser Wurzeln können jedoch zusammenfallen. So lässt sich zum Beispiel die Gleichung x ^ 2 + 2 * x + 1 = 0, wobei ^ das Potenzierungssymbol ist, in das Quadrat des Ausdrucks (x + 1) falten, also in das Produkt zweier identischer Klammern, die jeweils x = - 1 als Lösung liefern.

Wenn die Gleichung nur eine Unbekannte enthält, bedeutet dies, dass Sie ihre Wurzeln (reell oder komplex) explizit finden können.

Dazu benötigen Sie höchstwahrscheinlich verschiedene Transformationen: abgekürzte Multiplikation, Diskriminante und Wurzeln einer quadratischen Gleichung berechnen, Terme von einem Teil auf einen anderen übertragen, auf einen gemeinsamen Nenner bringen, beide Teile der Gleichung mit demselben Ausdruck multiplizieren, quadrieren und so weiter.

Transformationen, die die Wurzeln der Gleichung nicht beeinflussen, sind identisch. Sie werden verwendet, um das Lösen einer Gleichung zu vereinfachen.

Sie können auch anstelle der traditionellen Analyse verwenden grafische Methode und schreiben Sie diese Gleichung in der Form , nachdem Sie ihre Studie durchgeführt haben.

Wenn es mehr als eine Unbekannte in der Gleichung gibt, dann kannst du nur eine davon durch die andere ausdrücken und dadurch eine Reihe von Lösungen zeigen. Das sind zum Beispiel Gleichungen mit Parametern, in denen es ein unbekanntes x und einen Parameter a gibt. Sich entscheiden parametrische Gleichung- bedeutet für alle a, x durch a auszudrücken, also alle möglichen Fälle zu berücksichtigen.

Wenn die Gleichung Ableitungen oder Differentiale von Unbekannten enthält (siehe Bild), herzlichen Glückwunsch, das ist es Differentialgleichung, und hier kann man nicht verzichten höhere Mathematik).

Quellen:

• Identitätstransformationen

Um das Problem mit zu lösen Brüche muss lernen, mit ihnen umzugehen Rechenoperationen. Sie können dezimal sein, werden aber am häufigsten verwendet natürliche Fraktionen mit Zähler und Nenner. Nur dann können Sie zu Lösungen übergehen. Mathe Probleme Mit Bruchwerte.

Du wirst brauchen

• - Taschenrechner;
• - Kenntnis der Eigenschaften von Brüchen;
• - Fähigkeit, mit Brüchen zu arbeiten.

Anweisung

Ein Bruch ist eine Aufzeichnung der Division einer Zahl durch eine andere. Oft kann dies nicht vollständig durchgeführt werden, und daher wird diese Aktion „unvollendet“ gelassen. Die teilbare Zahl (sie steht über oder vor dem Bruchzeichen) wird als Zähler bezeichnet, und die zweite Zahl (unter oder nach dem Bruchzeichen) wird als Nenner bezeichnet. Wenn der Zähler größer als der Nenner ist, wird der Bruch als unechter Bruch bezeichnet und ein ganzzahliger Teil kann daraus extrahiert werden. Wenn der Zähler kleiner als der Nenner, dann heißt ein solcher Bruch echt, und es ist ganzer Teil gleich 0.

Aufgaben sind in mehrere Typen unterteilt. Bestimmen Sie, welches die Aufgabe ist. Die einfachste Möglichkeit- Finden des Bruchs einer als Bruch ausgedrückten Zahl. Um dieses Problem zu lösen, reicht es aus, diese Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren. Beispielsweise wurden 8 Tonnen Kartoffeln eingebracht. In der ersten Woche 3/4 von ihr gesamt. Wie viele Kartoffeln bleiben übrig? Um dieses Problem zu lösen, multiplizieren Sie die Zahl 8 mit 3/4. Es wird sich herausstellen 8 ∙ 3/4 \u003d 6 t.

Wenn du eine Zahl nach ihrem Teil finden musst, multipliziere den bekannten Teil der Zahl mit dem Kehrwert des Bruchs, der zeigt, welchen Anteil dieser Teil in der Zahl hat. Zum Beispiel 8 von 1/3 der Gesamtzahl der Studenten. Wie viele drin? Da 8 Personen der Teil sind, der 1/3 der Gesamtsumme ausmacht, dann finde wechselseitig, was gleich 3/1 oder nur 3 ist. Dann erhält man die Anzahl der Schüler in der Klasse 8∙3=24 Schüler.

Wenn Sie herausfinden müssen, welcher Teil einer Zahl eine andere Zahl ist, teilen Sie die Zahl, die den Teil darstellt, durch diejenige, die die ganze Zahl ist. Beispiel: Wenn die Entfernung 300 km beträgt und das Auto 200 km zurückgelegt hat, wie viel davon entfällt auf die Gesamtstrecke? Teilen Sie den Teil des Pfades 200 durch vollständigen Pfad 300, nach dem Reduzieren des Bruchs erhalten Sie das Ergebnis. 200/300=2/3.

Um den Teil des unbekannten Bruchs einer Zahl zu finden, wenn es einen bekannten gibt, nimm die ganze Zahl als herkömmliche Einheit und subtrahiere den bekannten Bruch davon. Wenn beispielsweise 4/7 der Unterrichtsstunde bereits vergangen sind, ist noch etwas übrig? Nimm die ganze Lektion als konventionelle Einheit und ziehe 4/7 davon ab. Erhalten Sie 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

Wir reden weiter Lösung von Gleichungen. In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf rationale Gleichungen und Entscheidungsprinzipien rationale Gleichungen mit einer Variablen. Lassen Sie uns zuerst herausfinden, welche Art von Gleichungen rational genannt werden, eine Definition von ganzzahligen rationalen und gebrochen rationalen Gleichungen geben und Beispiele geben. Als nächstes erhalten wir Algorithmen zum Lösen rationaler Gleichungen und betrachten natürlich die Lösungen charakteristische Beispiele mit allen notwendigen Erklärungen.

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Basierend auf den erklingenden Definitionen geben wir einige Beispiele für rationale Gleichungen. Beispielsweise sind x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , alle rationale Gleichungen.

Aus den gezeigten Beispielen ist ersichtlich, dass rationale Gleichungen sowie Gleichungen anderer Art entweder mit einer Variablen oder mit zwei, drei usw. Variablen. BEI die folgenden Absätze Wir werden über das Lösen rationaler Gleichungen in einer Variablen sprechen. Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen und sie eine große Anzahl verdienen besondere Aufmerksamkeit.

Neben der Division rationaler Gleichungen durch die Anzahl der unbekannten Variablen werden sie auch in ganzzahlige und gebrochene Gleichungen unterteilt. Geben wir die entsprechenden Definitionen an.

Definition.

Die rationale Gleichung wird aufgerufen ganz, wenn sowohl der linke als auch der rechte Teil ganzzahlige rationale Ausdrücke sind.

Definition.

Wenn mindestens einer der Teile einer rationalen Gleichung ein Bruchausdruck ist, wird eine solche Gleichung aufgerufen teilweise rational(oder gebrochen rational).

Es ist klar, dass ganzzahlige Gleichungen keine Division durch eine Variable enthalten, im Gegenteil, gebrochene rationale Gleichungen enthalten notwendigerweise eine Division durch eine Variable (oder eine Variable im Nenner). Also 3 x+2=0 und (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5 sind ganze rationale Gleichungen, ihre beiden Teile sind ganzzahlige Ausdrücke. A und x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sind Beispiele für gebrochen rationale Gleichungen.

Lassen Sie uns zum Abschluss dieses Absatzes darauf achten, dass die zu diesem Zeitpunkt bekannten linearen Gleichungen und quadratischen Gleichungen vollständige rationale Gleichungen sind.

Ganze Gleichungen lösen

Einer der Hauptansätze zum Lösen ganzer Gleichungen ist ihre Reduktion auf Äquivalente algebraische Gleichungen. Dies kann immer durch Ausführen der folgenden äquivalenten Transformationen der Gleichung erfolgen:

• Zunächst wird der Ausdruck von der rechten Seite der ursprünglichen Ganzzahlgleichung mit auf die linke Seite übertragen entgegengesetztem Vorzeichen Null auf der rechten Seite erhalten;
• danach auf der linken Seite der Gleichung das Ergebnis Standard Ansicht.

Das Ergebnis ist algebraische Gleichung, was der ursprünglichen ganzen Gleichung entspricht. Also am meisten einfache Fälle Das Lösen ganzer Gleichungen wird auf das Lösen linearer oder quadratischer Gleichungen reduziert, und in Allgemeiner Fall– zur Lösung einer algebraischen Gleichung vom Grad n. Lassen Sie uns zur Verdeutlichung die Lösung des Beispiels analysieren.

Beispiel.

Finde die Wurzeln der ganzen Gleichung 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Lösung.

Reduzieren wir die Lösung dieser ganzen Gleichung auf die Lösung einer äquivalenten algebraischen Gleichung. Dazu übertragen wir zunächst den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke, als Ergebnis kommen wir zur Gleichung 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Und zweitens wandeln wir den auf der linken Seite gebildeten Ausdruck in ein Polynom der Standardform um, indem wir das Notwendige tun: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Somit wird die Lösung der ursprünglichen ganzzahligen Gleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung x 2 – 5·x – 6 = 0 reduziert.

Berechnen Sie ihre Diskriminante D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, sie ist positiv, was bedeutet, dass die Gleichung zwei reelle Wurzeln hat, die wir durch die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung finden:

Zum volles Vertrauen Tu es Überprüfung der gefundenen Wurzeln der Gleichung. Zuerst überprüfen wir die Wurzel 6 und ersetzen sie anstelle der Variablen x in der ursprünglichen Ganzzahlgleichung: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, was dasselbe ist, 63=63 . Dies ist eine gültige numerische Gleichung, also ist x=6 tatsächlich die Wurzel der Gleichung. Jetzt prüfen wir die Wurzel −1 , wir haben 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, womit 0=0 . Für x=−1 wurde die ursprüngliche Gleichung auch zu einer echten numerischen Gleichheit, daher ist x=−1 auch die Wurzel der Gleichung.

Antworten:

6 , −1 .

An dieser Stelle sei noch angemerkt, dass der Begriff „Potenz einer ganzen Gleichung“ mit der Darstellung einer ganzen Gleichung in Form einer algebraischen Gleichung verbunden ist. Wir geben die entsprechende Definition:

Definition.

Der Grad der gesamten Gleichung nennen wir den Grad einer algebraischen Gleichung, der ihr äquivalent ist.

Nach dieser Definition hat die gesamte Gleichung aus dem vorherigen Beispiel den zweiten Grad.

Darauf könnte man mit der Lösung ganzer rationaler Gleichungen abschließen, wenn nicht für eine, aber .... Die Lösung von algebraischen Gleichungen höheren Grades als dem zweiten ist bekanntlich mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden, und für Gleichungen höheren Grades als dem vierten gibt es solche Gleichungen überhaupt nicht. allgemeine Formeln Wurzeln. Daher, um ganze Gleichungen der dritten, vierten und mehr zu lösen hohe Abschlüsse oft auf andere Lösungsansätze zurückgreifen müssen.

In solchen Fällen basiert manchmal der Ansatz auf der Lösung ganzer rationaler Gleichungen Faktorisierungsmethode. Dabei wird folgender Algorithmus befolgt:

• zuerst versuchen sie, Null auf der rechten Seite der Gleichung zu haben, dazu übertragen sie den Ausdruck von der rechten Seite der gesamten Gleichung auf die linke;
• dann wird der resultierende Ausdruck auf der linken Seite als Produkt mehrerer Faktoren dargestellt, wodurch Sie zu einem Satz mehrerer einfacherer Gleichungen gelangen können.

Der obige Algorithmus zur Lösung der gesamten Gleichung durch Faktorisierung bedarf einer ausführlichen Erläuterung anhand eines Beispiels.

Beispiel.

Löse die ganze Gleichung (x 2 − 1) (x 2 − 10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Lösung.

Zuerst übertragen wir wie üblich den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite der Gleichung, ohne zu vergessen, das Vorzeichen zu ändern, erhalten wir (x 2 – 1) (x 2 – 10 x+13) – 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Es ist hier ganz offensichtlich, dass es nicht ratsam ist, die linke Seite der resultierenden Gleichung in ein Polynom der Standardform umzuwandeln, da dies eine algebraische Gleichung vierten Grades der Form ergibt x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, deren Lösung schwierig ist.

Andererseits ist es offensichtlich, dass x 2 −10·x+13 auf der linken Seite der resultierenden Gleichung zu finden ist und somit als Produkt dargestellt wird. Wir haben (x 2 – 10 x + 13) (x 2 – 2 x – 1) = 0. Die resultierende Gleichung ist äquivalent zur ursprünglichen Gesamtgleichung und kann wiederum durch einen Satz von zwei quadratischen Gleichungen x 2 – 10·x + 13 = 0 und x 2 – 2·x – 1 = 0 ersetzt werden. Ihre Wurzeln finden bekannte Formeln Wurzeln durch die Diskriminante ist nicht schwierig, die Wurzeln sind gleich. Sie sind die gewünschten Wurzeln der ursprünglichen Gleichung.

Antworten:

Es ist auch nützlich, um ganze rationale Gleichungen zu lösen. Methode zur Einführung einer neuen Variablen. In einigen Fällen ermöglicht es einen, zu Gleichungen überzugehen, deren Grad niedriger ist als der Grad der ursprünglichen ganzzahligen Gleichung.

Beispiel.

Finden Sie die wahren Wurzeln einer rationalen Gleichung (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Lösung.

Diese ganze rationale Gleichung auf eine algebraische Gleichung zu reduzieren, ist, gelinde gesagt, keine sehr gute Idee, da wir in diesem Fall auf die Notwendigkeit stoßen werden, eine Gleichung vierten Grades zu lösen, die keine hat rationale Wurzeln. Daher müssen Sie nach einer anderen Lösung suchen.

Hier sieht man leicht, dass man eine neue Variable y einführen und den Ausdruck x 2 +3 x damit ersetzen kann. Eine solche Ersetzung führt uns auf die ganze Gleichung (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , die nach Übertragung des Ausdrucks −2 (y−4) auf die linke Seite und anschließender Transformation des dort gebildeten Ausdrucks entsteht , reduziert sich auf die Gleichung y 2 +4 y+3=0 . Die Nullstellen dieser Gleichung y=−1 und y=−3 sind leicht zu finden, sie können zum Beispiel basierend auf dem inversen Theorem von Vietas Theorem gefunden werden.

Kommen wir nun zum zweiten Teil der Methode zur Einführung einer neuen Variablen, also zur Durchführung einer umgekehrten Substitution. Nach Durchführung der umgekehrten Substitution erhalten wir zwei Gleichungen x 2 +3 x=−1 und x 2 +3 x=−3 , die umgeschrieben werden können als x 2 +3 x+1=0 und x 2 +3 x+3 =0 . Nach der Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung finden wir die Wurzeln der ersten Gleichung. Und die zweite quadratische Gleichung hat keine echten Wurzeln, da ihre Diskriminante negativ ist (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Antworten:

Im Allgemeinen müssen wir, wenn wir es mit ganzzahligen Gleichungen hohen Grades zu tun haben, immer bereit sein, zu suchen nicht standardisierte Methode oder ein künstliches Gerät für ihre Lösung.

Lösung von gebrochen rationalen Gleichungen

Zunächst ist es hilfreich zu verstehen, wie man gebrochen rationale Gleichungen der Form löst, wobei p(x) und q(x) rationale ganzzahlige Ausdrücke sind. Und dann zeigen wir, wie man die Lösung der verbleibenden gebrochen rationalen Gleichungen auf die Lösung von Gleichungen der angegebenen Form reduziert.

Einer der Ansätze zur Lösung der Gleichung basiert auf der folgenden Aussage: Der Zahlenbruch u/v, wobei v eine Zahl ungleich Null ist (sonst stoßen wir auf , was nicht definiert ist), ist genau dann gleich Null sein Zähler Null, also genau dann, wenn u=0 . Aufgrund dieser Aussage reduziert sich die Lösung der Gleichung auf die Erfüllung zweier Bedingungen p(x)=0 und q(x)≠0 .

Diese Schlussfolgerung stimmt mit der folgenden überein Algorithmus zum Lösen einer gebrochen rationalen Gleichung. Eine gebrochene rationale Gleichung der Form lösen

• löse die ganze rationale Gleichung p(x)=0 ;
• und prüfen, ob die Bedingung q(x)≠0 für jede gefundene Nullstelle erfüllt ist, while
• wenn wahr, dann ist diese Wurzel die Wurzel der ursprünglichen Gleichung;
• Wenn nicht, dann ist diese Wurzel fremd, das heißt, sie ist nicht die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Analysieren wir ein Beispiel für die Verwendung des stimmhaften Algorithmus beim Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung.

Beispiel.

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.

Lösung.

Dies ist eine gebrochen rationale Gleichung der Form , wobei p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Gemäß dem Algorithmus zum Lösen derartiger gebrochen rationaler Gleichungen müssen wir zunächst die Gleichung 3·x−2=0 lösen. Dies ist eine lineare Gleichung, deren Wurzel x=2/3 ist.

Es bleibt, diese Nullstelle zu prüfen, dh zu prüfen, ob sie die Bedingung 5·x 2 −2≠0 erfüllt. Wir setzen die Zahl 2/3 anstelle von x in den Ausdruck 5 x 2 −2 ein, wir erhalten . Die Bedingung ist erfüllt, also ist x=2/3 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Antworten:

2/3 .

Die Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung kann von einer etwas anderen Position aus angegangen werden. Diese Gleichung ist äquivalent zur gesamten Gleichung p(x)=0 auf der Variablen x der ursprünglichen Gleichung. Das heißt, Sie können dem folgen Algorithmus zum Lösen einer gebrochen rationalen Gleichung :

• löse die Gleichung p(x)=0 ;
• finde ODZ-Variable x ;
• Nehmen Sie die Wurzeln, die zum Bereich der zulässigen Werte gehören - sie sind die gewünschten Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung.

Lassen Sie uns zum Beispiel eine gebrochene rationale Gleichung mit diesem Algorithmus lösen.

Beispiel.

Löse die Gleichung.

Lösung.

Zuerst lösen wir die quadratische Gleichung x 2 −2·x−11=0 . Seine Wurzeln können mit der Wurzelformel für einen geraden zweiten Koeffizienten berechnet werden, wir haben D 1 = (–1) 2 –1 (–11)=12, und .

Zweitens finden wir die ODZ der Variablen x für die ursprüngliche Gleichung. Sie besteht aus allen Zahlen, für die x 2 +3 x≠0 , was dasselbe x (x+3)≠0 ist, womit x≠0 , x≠−3 .

Es bleibt zu prüfen, ob die im ersten Schritt gefundenen Wurzeln in der ODZ enthalten sind. Natürlich ja. Daher hat die ursprüngliche gebrochen rationale Gleichung zwei Wurzeln.

Antworten:

Beachten Sie, dass dieser Ansatz rentabler ist als der erste, wenn die ODZ leicht zu finden ist, und dass er besonders vorteilhaft ist, wenn die Wurzeln der Gleichung p(x)=0 irrational sind, z. B. , oder rational, aber mit einem ziemlich großen Zähler und/oder Nenner, zum Beispiel 127/1101 und -31/59 . Dies liegt daran, dass in solchen Fällen die Überprüfung der Bedingung q(x)≠0 erheblichen Rechenaufwand erfordert und es einfacher ist, fremde Wurzeln aus der ODZ auszuschließen.

In anderen Fällen ist es beim Lösen der Gleichung, insbesondere wenn die Wurzeln der Gleichung p(x) = 0 ganze Zahlen sind, vorteilhafter, den ersten der obigen Algorithmen zu verwenden. Das heißt, es ist ratsam, sofort die Wurzeln der gesamten Gleichung p(x)=0 zu finden und dann zu prüfen, ob die Bedingung q(x)≠0 für sie erfüllt ist, und nicht die ODZ zu finden und dann die Gleichung zu lösen p(x)=0 auf dieser ODZ . Dies liegt daran, dass es in solchen Fällen in der Regel einfacher ist, eine Überprüfung vorzunehmen, als die ODZ zu finden.

Betrachten Sie die Lösung von zwei Beispielen, um die vorgeschriebenen Nuancen zu veranschaulichen.

Beispiel.

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.

Lösung.

Zuerst finden wir die Wurzeln der ganzen Gleichung (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, zusammengesetzt aus dem Zähler des Bruchs. Die linke Seite dieser Gleichung ist ein Produkt und die rechte Seite ist Null, daher ist diese Gleichung gemäß der Methode zum Lösen von Gleichungen durch Faktorisierung äquivalent zu dem Satz von vier Gleichungen 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Drei dieser Gleichungen sind linear und eine quadratisch, wir können sie lösen. Aus der ersten Gleichung finden wir x=1/2, aus der zweiten - x=6, aus der dritten - x=7, x=−2, aus der vierten - x=−1.

Mit den gefundenen Wurzeln ist es ziemlich einfach, sie zu überprüfen, um zu sehen, ob der Nenner des Bruchs auf der linken Seite der ursprünglichen Gleichung nicht verschwindet, und es ist nicht so einfach, die ODZ zu bestimmen, da diese an lösen muss algebraische Gleichung fünften Grades. Geben wir deshalb auf ODZ finden zugunsten der Überprüfung der Wurzeln. Dazu ersetzen wir sie wiederum anstelle der Variablen x im Ausdruck x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, erhalten nach Substitution, und vergleiche sie mit Null: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (–2)+112=–720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Somit sind 1/2, 6 und –2 die gewünschten Wurzeln der ursprünglichen gebrochen rationalen Gleichung, und 7 und –1 sind fremde Wurzeln.

Antworten:

1/2 , 6 , −2 .

Beispiel.

Finden Sie die Wurzeln einer gebrochenen rationalen Gleichung.

Lösung.

Zuerst finden wir die Wurzeln der Gleichung (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Diese Gleichung ist äquivalent zu einem Satz von zwei Gleichungen: dem Quadrat 5·x 2 −7·x−1=0 und dem linearen x−2=0 . Nach der Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung finden wir zwei Wurzeln und aus der zweiten Gleichung haben wir x=2.

Zu prüfen, ob der Nenner bei den gefundenen Werten von x nicht verschwindet, ist eher unangenehm. Und den Bereich akzeptabler Werte der Variablen x in der ursprünglichen Gleichung zu bestimmen, ist ziemlich einfach. Daher werden wir über die ODZ agieren.

In unserem Fall besteht die ODZ der Variablen x der ursprünglichen gebrochen rationalen Gleichung aus allen Zahlen, außer denen, für die die Bedingung x 2 +5·x−14=0 erfüllt ist. Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sind x=−7 und x=2, woraus wir auf die ODZ schließen: Sie besteht aus allen x, so dass .

Es bleibt zu prüfen, ob die gefundenen Nullstellen und x=2 in den Bereich zulässiger Werte gehören. Die Wurzeln - gehören dazu, also sind sie die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und x=2 gehört nicht dazu, also ist es eine fremde Wurzel.

Antworten:

Es wird auch nützlich sein, separat auf Fälle einzugehen, in denen eine rationale Bruchgleichung der Form eine Zahl im Zähler enthält, dh wenn p (x) durch eine Zahl dargestellt wird. Dabei

• wenn diese Zahl von Null verschieden ist, dann hat die Gleichung keine Wurzeln, da der Bruch genau dann Null ist, wenn sein Zähler Null ist;
• Wenn diese Zahl Null ist, dann ist die Wurzel der Gleichung eine beliebige Zahl aus der ODZ.

Beispiel.

Lösung.

Da im Zähler des Bruchs auf der linken Seite der Gleichung eine Zahl ungleich Null steht, kann für kein x der Wert dieses Bruchs gleich Null sein. Daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Antworten:

Keine Wurzeln.

Beispiel.

Löse die Gleichung.

Lösung.

Der Zähler des Bruchs auf der linken Seite dieser rationalen Bruchgleichung ist null, also ist der Wert dieses Bruchs null für jedes x, für das es Sinn macht. Mit anderen Worten, die Lösung dieser Gleichung ist ein beliebiger Wert von x aus dem DPV dieser Variablen.

Es bleibt, diesen Bereich akzeptabler Werte zu bestimmen. Es enthält alle solche Werte x, für die x 4 +5 x 3 ≠0. Die Lösungen der Gleichung x 4 +5 x 3 \u003d 0 sind 0 und –5, da diese Gleichung der Gleichung x 3 (x + 5) \u003d 0 entspricht und ihrerseits der Kombination entspricht von zwei Gleichungen x 3 \u003d 0 und x +5=0 , von wo aus diese Wurzeln sichtbar sind. Daher ist der gewünschte Bereich akzeptabler Werte jedes x , mit Ausnahme von x=0 und x=−5 .

Somit hat eine gebrochen rationale Gleichung unendlich viele Lösungen, die beliebige Zahlen außer null und minus fünf sind.

Antworten:

Schließlich ist es an der Zeit, über das Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen zu sprechen beliebiger Typ. Sie können als r(x)=s(x) geschrieben werden, wobei r(x) und s(x) rationale Ausdrücke sind und mindestens einer von ihnen gebrochen ist. Mit Blick auf die Zukunft sagen wir, dass ihre Lösung auf das Lösen von Gleichungen der uns bereits bekannten Form reduziert ist.

Es ist bekannt, dass die Übertragung eines Terms von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit entgegengesetztem Vorzeichen zu führt Äquivalent zur Gleichung, also ist die Gleichung r(x)=s(x) äquivalent zur Gleichung r(x)−s(x)=0 .

Wir wissen auch, dass any diesem Ausdruck identisch sein kann. Auf diese Weise, rationaler Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung r(x)−s(x)=0 können wir immer in einen identisch gleichen rationalen Bruch der Form überführen.

Wir gehen also von der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung r(x)=s(x) zur Gleichung über, und ihre Lösung, wie wir oben herausgefunden haben, reduziert sich auf die Lösung der Gleichung p(x)=0 .

Aber hier muss berücksichtigt werden, dass beim Ersetzen von r(x)−s(x)=0 durch und dann durch p(x)=0 der Bereich der zulässigen Werte der Variablen x erweitert werden kann .

Daher sind die ursprüngliche Gleichung r(x)=s(x) und die Gleichung p(x)=0 , zu der wir gekommen sind, möglicherweise nicht äquivalent, und durch Lösen der Gleichung p(x)=0 können wir Wurzeln erhalten das sind fremde Wurzeln der ursprünglichen Gleichung r(x)=s(x) . Es ist möglich, fremde Wurzeln zu identifizieren und nicht in die Antwort aufzunehmen, entweder durch Überprüfen oder durch Überprüfen ihrer Zugehörigkeit zur ODZ der ursprünglichen Gleichung.

Wir fassen diese Informationen in zusammen Algorithmus zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung r(x)=s(x). Um die gebrochene rationale Gleichung r(x)=s(x) zu lösen, muss man

• Erhalten Sie Null auf der rechten Seite, indem Sie den Ausdruck von der rechten Seite mit dem entgegengesetzten Vorzeichen verschieben.
• Führen Sie Aktionen mit Brüchen und Polynomen auf der linken Seite der Gleichung aus und wandeln Sie sie dadurch in einen rationalen Bruch der Form um.
• Lösen Sie die Gleichung p(x)=0 .
• Identifizieren und schließen Sie Fremdwurzeln aus, indem Sie sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen oder ihre Zugehörigkeit zur ODZ der ursprünglichen Gleichung überprüfen.

Zur besseren Übersicht zeigen wir die gesamte Lösungskette für gebrochene rationale Gleichungen:
.

Lassen Sie uns die Lösungen einiger Beispiele mit einer detaillierten Erklärung der Lösung durchgehen, um den gegebenen Informationsblock zu verdeutlichen.

Beispiel.

Lösen Sie eine gebrochene rationale Gleichung.

Lösung.

Wir werden gemäß dem soeben erhaltenen Lösungsalgorithmus handeln. Und zuerst übertragen wir die Terme von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite, als Ergebnis gehen wir zur Gleichung über.

Im zweiten Schritt müssen wir den gebrochenen rationalen Ausdruck auf der linken Seite der resultierenden Gleichung in die Form eines Bruchs umwandeln. Dazu führen wir die Reduktion rationaler Brüche auf einen gemeinsamen Nenner durch und vereinfachen den resultierenden Ausdruck: . Damit kommen wir zur Gleichung.

Im nächsten Schritt müssen wir die Gleichung −2·x−1=0 lösen. Finde x=−1/2 .

Es bleibt zu prüfen, ob die gefundene Zahl −1/2 ist fremde Wurzel ursprüngliche Gleichung. Dazu können Sie die ODZ-Variable x der ursprünglichen Gleichung überprüfen oder finden. Lassen Sie uns beide Ansätze demonstrieren.

Beginnen wir mit einem Scheck. Wir setzen die Zahl −1/2 anstelle der Variablen x in die ursprüngliche Gleichung ein, wir erhalten , was dasselbe ist, −1=−1. Die Substitution ergibt die korrekte numerische Gleichheit, daher ist x=−1/2 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Nun zeigen wir, wie der letzte Schritt des Algorithmus durch die ODZ durchgeführt wird. Der Bereich der zulässigen Werte der ursprünglichen Gleichung ist die Menge aller Zahlen außer −1 und 0 (wenn x=−1 und x=0, verschwinden die Nenner von Brüchen). Die im vorherigen Schritt gefundene Wurzel x=−1/2 gehört zur ODZ, daher ist x=−1/2 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Antworten:

−1/2 .

Betrachten wir ein anderes Beispiel.

Beispiel.

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.

Lösung.

Wir müssen eine gebrochen rationale Gleichung lösen, gehen wir alle Schritte des Algorithmus durch.

Zuerst übertragen wir den Term von der rechten Seite auf die linke, wir erhalten .

Zweitens transformieren wir den auf der linken Seite gebildeten Ausdruck: . Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung x=0 .

Seine Wurzel ist offensichtlich - es ist Null.

Im vierten Schritt bleibt herauszufinden, ob die gefundene Wurzel nicht außerhalb der ursprünglichen gebrochen rationalen Gleichung liegt. Wenn es in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, wird der Ausdruck erhalten. Offensichtlich macht es keinen Sinn, da es eine Division durch Null enthält. Daraus schließen wir, dass 0 eine fremde Wurzel ist. Daher hat die ursprüngliche Gleichung keine Wurzeln.

7 , was zu der Gleichung führt . Daraus können wir schließen, dass der Ausdruck im Nenner der linken Seite gleich dem der rechten Seite sein muss, also . Nun subtrahieren wir von beiden Teilen des Tripels: . Analog von wo und weiter.

Die Überprüfung zeigt, dass beide gefundenen Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung sind.

Antworten:

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14.00 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Schüler Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkowitsch. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: Klasse 9: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2009. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Bruchgleichungen. ODZ.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Wir beherrschen weiterhin die Gleichungen. Wir wissen bereits, wie man mit linearen und quadratischen Gleichungen arbeitet. Die letzte Ansicht bleibt Bruchgleichungen. Oder sie werden auch viel solider genannt - gebrochene rationale Gleichungen. Das ist das gleiche.

Bruchgleichungen.

Wie der Name schon sagt, enthalten diese Gleichungen zwangsläufig Brüche. Aber nicht nur Brüche, sondern Brüche, die haben unbekannt im Nenner. Zumindest in einem. Zum Beispiel:

Ich möchte Sie daran erinnern, wenn auch nur in den Nennern Zahlen, das sind lineare Gleichungen.

Wie entscheiden Bruchgleichungen? Zuerst die Brüche loswerden! Danach verwandelt sich die Gleichung meistens in eine lineare oder quadratische. Und dann wissen wir, was zu tun ist ... In einigen Fällen kann es zu einer Identität wie 5=5 oder einem falschen Ausdruck wie 7=2 werden. Aber das passiert selten. Unten werde ich es erwähnen.

Aber wie wird man Brüche los!? Sehr einfach. Anwenden der gleichen identischen Transformationen.

Wir müssen die gesamte Gleichung mit demselben Ausdruck multiplizieren. Damit alle Nenner kleiner werden! Alles wird sofort einfacher. Ich erkläre es an einem Beispiel. Nehmen wir an, wir müssen die Gleichung lösen:

wie eingelernt niedrigere Noten? Wir übertragen alles in eine Richtung, bringen es auf einen gemeinsamen Nenner usw. Vergiss wie Albtraum! So machen Sie es, wenn Sie addieren oder subtrahieren Bruchausdrücke. Oder mit Ungleichheiten arbeiten. Und in Gleichungen multiplizieren wir beide Teile sofort mit einem Ausdruck, der uns die Möglichkeit gibt, alle Nenner zu kürzen (dh im Wesentlichen auf einen gemeinsamen Nenner). Und was ist dieser Ausdruck?

Auf der linken Seite musst du mit multiplizieren, um den Nenner zu reduzieren x+2. Und rechts ist eine Multiplikation mit 2 erforderlich, also muss die Gleichung mit multipliziert werden 2(x+2). Wir multiplizieren:

Dies ist die übliche Multiplikation von Brüchen, aber ich werde im Detail schreiben:

Bitte beachten Sie, dass ich die Klammer noch nicht öffne. (x + 2)! Also schreibe ich es in seiner Gesamtheit:

Auf der linken Seite ist es vollständig reduziert (x+2), und rechts 2. Nach Bedarf! Nach Reduktion erhalten wir linear Die gleichung:

Jeder kann diese Gleichung lösen! x = 2.

Lösen wir ein weiteres Beispiel, etwas komplizierter:

Wenn wir uns daran erinnern, dass 3 = 3/1, und 2x = 2x/ 1 kann geschrieben werden:

Und wieder werden wir das los, was uns nicht wirklich gefällt - von Brüchen.

Wir sehen, dass es notwendig ist, den Bruch mit zu multiplizieren, um den Nenner mit x zu kürzen (x - 2). Und Einheiten sind für uns kein Hindernis. Nun, lass uns multiplizieren. Alle linke Seite u alle rechte Seite:

Nochmal Klammern (x - 2) Ich verrate es nicht. Ich arbeite mit der Klammer als Ganzes, als wäre es eine Zahl! Dies muss immer gemacht werden, sonst wird nichts gekürzt.

Mit einem Gefühl tiefer Zufriedenheit schneiden wir (x - 2) und wir erhalten die Gleichung ohne Brüche in einem Lineal!

Und jetzt öffnen wir die Klammern:

Wir geben ähnliche, übertragen alles auf die linke Seite und erhalten:

Aber vorher werden wir lernen, andere Probleme zu lösen. Für Interesse. Diese Rechen übrigens!

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