लॉगरिदमिक समीकरणों का समाधान। भाग 1।

लघुगणक समीकरणएक समीकरण कहा जाता है जिसमें अज्ञात लॉगरिदम के संकेत के तहत निहित होता है (विशेष रूप से, लॉगरिदम के आधार में)।

प्रोटोजोआ लघुगणक समीकरणकी तरह लगता है:

किसी भी लघुगणक समीकरण को हल करनालॉगरिदम के संकेत के तहत लॉगरिदम से अभिव्यक्तियों में संक्रमण शामिल है। हालाँकि, यह क्रिया कार्यक्षेत्र का विस्तार करती है अनुमत मानसमीकरण और उपस्थिति के लिए नेतृत्व कर सकते हैं बाहरी जड़ें. बाहरी जड़ों की उपस्थिति से बचने के लिएआप इसे तीन तरीकों में से एक में कर सकते हैं:

1. एक समान संक्रमण करेंमूल समीकरण से एक प्रणाली सहित

जिसके आधार पर असमानता या आसान।

यदि समीकरण में लघुगणक के आधार पर अज्ञात है:

फिर हम सिस्टम में जाते हैं:

2. समीकरण के स्वीकार्य मानों की सीमा अलग से ज्ञात कीजिए, फिर समीकरण को हल करें और जांचें कि क्या समाधान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

3. समीकरण को हल करें, और फिर एक जाँच करें:मूल समीकरण में पाए गए समाधानों को प्रतिस्थापित करें, और जांचें कि क्या हमें सही समानता मिलती है।

जटिलता के किसी भी स्तर का लघुगणकीय समीकरण अंततः सरलतम लघुगणकीय समीकरण में बदल जाता है।

सभी लघुगणकीय समीकरणों को चार प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है:

1 . वे समीकरण जिनमें केवल प्रथम घात के लघुगणक होते हैं। परिवर्तनों और उपयोग की सहायता से, वे रूप में कम हो जाते हैं

उदाहरण. आइए समीकरण को हल करें:

लघुगणक के चिह्न के तहत भावों की बराबरी करें:

आइए देखें कि क्या समीकरण का हमारा मूल संतुष्ट होता है:

हाँ, यह संतुष्ट करता है।

उत्तर: x=5

2 . वे समीकरण जिनमें 1 के अलावा किसी अन्य घात के लघुगणक होते हैं (विशेषकर, भिन्न के हर में)। इन समीकरणों को का उपयोग करके हल किया जाता है चर के परिवर्तन का परिचय.

उदाहरण।आइए समीकरण को हल करें:

आइए ODZ समीकरण खोजें:

समीकरण में लघुगणक वर्ग होते हैं, इसलिए इसे चर के परिवर्तन का उपयोग करके हल किया जाता है।

जरूरी! एक प्रतिस्थापन शुरू करने से पहले, आपको लॉगरिदम के गुणों का उपयोग करके "ईंटों" में समीकरण का हिस्सा होने वाले लॉगरिदम को "खींचना" होगा।

लॉगरिदम को "खींच" करते समय, लॉगरिदम के गुणों को बहुत सावधानी से लागू करना महत्वपूर्ण है:

इसके अलावा, यहां एक और सूक्ष्म स्थान है, और एक सामान्य गलती से बचने के लिए, हम एक मध्यवर्ती समानता का उपयोग करेंगे: हम इस रूप में लघुगणक की डिग्री लिखते हैं:

वैसे ही,

हम प्राप्त व्यंजकों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं:

अब हम देखते हैं कि अज्ञात समीकरण में के भाग के रूप में समाहित है। हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं: . चूंकि यह कोई वास्तविक मान ले सकता है, इसलिए हम चर पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाते हैं।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने पर पाठों की एक लंबी श्रृंखला के अंतिम वीडियो। इस बार हम मुख्य रूप से लघुगणक के ODZ के साथ काम करेंगे - यह परिभाषा के क्षेत्र के गलत लेखांकन (या अनदेखी) के कारण है कि ऐसी समस्याओं को हल करते समय अधिकांश त्रुटियां होती हैं।

इस लघु वीडियो ट्यूटोरियल में, हम लघुगणक के लिए जोड़ और घटाव फ़ार्मुलों के अनुप्रयोग का विश्लेषण करेंगे, साथ ही भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों से निपटेंगे, जिससे कई छात्रों को समस्या भी होती है।

क्या चर्चा की जाएगी? मुख्य सूत्र, जिससे मैं निपटना चाहता हूं, इस तरह दिखता है:

लॉग ए (एफ जी) = लॉग ए एफ + लॉग ए जी

यह उत्पाद से लघुगणक के योग और इसके विपरीत मानक संक्रमण है। आप शायद इस सूत्र को लघुगणक के अध्ययन की शुरुआत से ही जानते हैं। हालाँकि, यहाँ एक अड़चन है।

जब तक चर a , f और g हैं नियमित संख्या, कोई परेशानी नहीं है। यह सूत्रबहुत अच्छा काम करता है।

हालाँकि, जैसे ही f और g के बजाय फ़ंक्शन दिखाई देते हैं, परिभाषा के क्षेत्र के विस्तार या संकीर्णता की समस्या उत्पन्न होती है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि किस तरह से परिवर्तित किया जाए। अपने लिए न्यायाधीश: बाईं ओर लिखे लघुगणक में, परिभाषा का क्षेत्र इस प्रकार है:

एफजी> 0

लेकिन दाईं ओर लिखे योग में, परिभाषा का क्षेत्र पहले से ही कुछ अलग है:

च > 0

जी > 0

आवश्यकताओं का यह सेट मूल की तुलना में अधिक कठोर है। पहले मामले में, हम विकल्प f . से संतुष्ट होंगे< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 निष्पादित किया जा रहा है)।

इस प्रकार, बाएं निर्माण से दाएं निर्माण में जाने पर, परिभाषा का क्षेत्र संकुचित हो जाता है। यदि पहले हमारे पास एक योग था, और हम इसे एक उत्पाद के रूप में फिर से लिखते हैं, तो परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार होता है।

दूसरे शब्दों में, पहले मामले में, हम जड़ें खो सकते हैं, और दूसरे में, हम अतिरिक्त प्राप्त कर सकते हैं। वास्तविक लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए।

तो पहला कार्य है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

बाईं ओर हम एक ही आधार में लघुगणक का योग देखते हैं। इसलिए, इन लघुगणकों को जोड़ा जा सकता है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

जैसा कि आप देख सकते हैं, दाईं ओर हमने शून्य को सूत्र से बदल दिया है:

ए = लॉग बी बी ए

आइए अपने समीकरण को थोड़ा और पुनर्व्यवस्थित करें:

लघुगणक 4 (x - 5) 2 = लघुगणक 4 1

लॉगरिदमिक समीकरण का विहित रूप होने से पहले, हम लॉग साइन को पार कर सकते हैं और तर्कों को समान कर सकते हैं:

(एक्स - 5) 2 = 1

|x−5| = 1

ध्यान दें: मॉड्यूल कहां से आया? मैं आपको याद दिला दूं कि सटीक वर्ग की जड़ बिल्कुल मापांक के बराबर होती है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

फिर हम हल करते हैं शास्त्रीय समीकरणमॉड्यूल के साथ:

|च| = जी (जी> 0) f = ±g

x - 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 - 1 = 4; एक्स 2 = 5 + 1 = 6

उत्तर के लिए यहां दो उम्मीदवार हैं। क्या वे मूल लघुगणकीय समीकरण के समाधान हैं? बिलकुल नहीं!

हमें सब कुछ यूं ही छोड़कर उत्तर लिखने का कोई अधिकार नहीं है। उस चरण पर एक नज़र डालें जहां हम तर्कों के उत्पाद के एक लघुगणक के साथ लघुगणक के योग को प्रतिस्थापित करते हैं। समस्या यह है कि मूल भावों में हमारे पास कार्य हैं। इसलिए, इसकी आवश्यकता होनी चाहिए:

एक्स (एक्स - 5) > 0; (एक्स - 5)/एक्स > 0.

जब हमने उत्पाद को रूपांतरित किया, एक सटीक वर्ग प्राप्त किया, तो आवश्यकताएं बदल गईं:

(एक्स - 5) 2 > 0

यह आवश्यकता कब पूरी होती है? हाँ, लगभग हमेशा! उस स्थिति को छोड़कर जब x - 5 = 0. अर्थात्, असमानता को एक पंचर बिंदु तक कम कर दिया जाएगा:

एक्स -5 ≠ 0 एक्स ≠ 5

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार हुआ है, जिसके बारे में हमने पाठ की शुरुआत में ही बात की थी। इसलिए, अतिरिक्त जड़ें भी दिखाई दे सकती हैं।

इन अतिरिक्त जड़ों के उद्भव को कैसे रोकें? यह बहुत आसान है: हम अपने प्राप्त मूलों को देखते हैं और उनकी तुलना मूल समीकरण के प्रांत से करते हैं। आइये गिनते हैं:

एक्स (एक्स - 5) > 0

हम अंतराल विधि का उपयोग करके हल करेंगे:

एक्स (एक्स - 5) = 0 ⇒ एक्स = 0; एक्स = 5

हम प्राप्त संख्याओं को एक सीधी रेखा पर चिह्नित करते हैं। सभी बिंदु पंचर हैं क्योंकि असमानता सख्त है। हम 5 से बड़ी कोई भी संख्या लेते हैं और प्रतिस्थापित करते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हम अंतरालों (−∞; 0) (5; ) में रुचि रखते हैं। यदि हम खंड पर अपनी जड़ें अंकित करते हैं, तो हम देखेंगे कि x = 4 हमें सूट नहीं करता है, क्योंकि यह मूल मूल लघुगणक समीकरण के क्षेत्र से बाहर है।

हम जनसंख्या पर लौटते हैं, रूट x \u003d 4 को पार करते हैं और उत्तर लिखते हैं: x \u003d 6. यह मूल लघुगणक समीकरण का अंतिम उत्तर है। सब कुछ, कार्य हल हो गया है।

हम दूसरे लॉगरिदमिक समीकरण को पास करते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हम इसे हल करते हैं। ध्यान दें कि पहला पद एक भिन्न है, और दूसरा वही भिन्न है, लेकिन उलटा है। एलजीएक्स अभिव्यक्ति से डरो मत - यह आसान है दशमलव लघुगणक, हम लिख सकते हैं:

एलजीएक्स = लॉग 10 x

चूंकि हमारे पास दो उल्टे अंश हैं, इसलिए मैं एक नया चर पेश करने का प्रस्ताव करता हूं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

इसलिए, हमारे समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

टी + 1/टी = 2;

टी + 1/टी - 2 = 0;

(टी 2 - 2टी + 1)/टी = 0;

(टी -1) 2 / टी = 0।

जैसा कि आप देख सकते हैं, भिन्न का अंश एक सटीक वर्ग है। एक भिन्न शून्य होती है जब उसका अंश शून्य, और हर शून्य से भिन्न है:

(टी - 1) 2 = 0; टी 0

हम पहले समीकरण को हल करते हैं:

टी - 1 = 0;

टी = 1.

यह मान दूसरी आवश्यकता को पूरा करता है। इसलिए, यह तर्क दिया जा सकता है कि हमने अपने समीकरण को पूरी तरह से हल कर लिया है, लेकिन केवल चर t के संबंध में। आइए अब याद करते हैं कि t क्या है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हमें अनुपात मिला:

एलजीएक्स = 2 एलजीएक्स + 1

2 एलजीएक्स - एलजीएक्स = -1

लॉगएक्स = -1

हम इस समीकरण को विहित रूप में लाते हैं:

एलजीएक्स = एलजी 10 −1

एक्स = 10 -1 = 0.1

नतीजतन, हमें एकमात्र जड़ मिला, जो सिद्धांत रूप में, मूल समीकरण का समाधान है। हालाँकि, आइए इसे अभी भी सुरक्षित रखें और मूल समीकरण के डोमेन को लिखें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

इसलिए, हमारी जड़ सभी आवश्यकताओं को पूरा करती है। हमें मूल लघुगणक समीकरण का हल मिल गया है। उत्तर: एक्स = 0.1। समस्या सुलझ गयी।

आज के पाठ में केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है: उत्पाद से योग में संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग करते समय और इसके विपरीत, यह ध्यान रखना सुनिश्चित करें कि परिभाषा का क्षेत्र संक्रमण की दिशा के आधार पर संकीर्ण या विस्तारित हो सकता है।

कैसे समझें कि क्या हो रहा है: संकुचन या विस्तार? बहुत आसान। यदि एक समारोह से पहलेएक साथ थे, और अब वे अलग हो गए हैं, तब परिभाषा का दायरा संकुचित हो गया है (क्योंकि और अधिक आवश्यकताएं हैं)। यदि पहले कार्य अलग थे, और अब वे एक साथ हैं, तो परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार किया जाता है (व्यक्तिगत कारकों की तुलना में उत्पाद पर कम आवश्यकताएं लगाई जाती हैं)।

इस टिप्पणी को ध्यान में रखते हुए, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि दूसरे लघुगणक समीकरण को इन परिवर्तनों की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है, अर्थात हम तर्कों को कहीं भी जोड़ते या गुणा नहीं करते हैं। हालाँकि, यहाँ मैं आपका ध्यान एक और अद्भुत तरकीब की ओर आकर्षित करना चाहूंगा जो आपको समाधान को काफी सरल बनाने की अनुमति देता है। यह एक चर बदलने के बारे में है।

हालांकि, याद रखें कि कोई भी प्रतिस्थापन हमें दायरे से मुक्त नहीं करता है। यही कारण है कि सभी जड़ें मिल जाने के बाद, हम बहुत आलसी नहीं थे और इसके ODZ को खोजने के लिए मूल समीकरण पर लौट आए।

अक्सर एक चर बदलते समय, एक कष्टप्रद गलती तब होती है जब छात्र t का मान पाते हैं और सोचते हैं कि समाधान समाप्त हो गया है। बिलकुल नहीं!

जब आपने t का मान प्राप्त कर लिया है, तो आपको मूल समीकरण पर लौटने की आवश्यकता है और देखें कि वास्तव में हमने इस पत्र द्वारा क्या दर्शाया है। नतीजतन, हमें एक और समीकरण हल करना होगा, हालांकि, मूल समीकरण की तुलना में बहुत आसान होगा।

यह ठीक एक नए चर को पेश करने का बिंदु है। हम मूल समीकरण को दो मध्यवर्ती में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक को बहुत आसान हल किया जाता है।

"नेस्टेड" लॉगरिदमिक समीकरणों को कैसे हल करें

आज हम लघुगणकीय समीकरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और निर्माणों का विश्लेषण करते हैं जब एक लघुगणक दूसरे लघुगणक के चिह्न के अधीन होता है। हम विहित रूप का उपयोग करके दोनों समीकरणों को हल करेंगे।

आज हम लघुगणकीय समीकरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और निर्माणों का विश्लेषण करते हैं जब एक लघुगणक दूसरे के चिह्न के अधीन होता है। हम विहित रूप का उपयोग करके दोनों समीकरणों को हल करेंगे। आपको याद दिला दूं कि यदि हमारे पास फॉर्म का सबसे सरल लॉगरिदमिक समीकरण है, तो लॉग ए एफ (एक्स) \u003d बी, फिर इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए हम प्रदर्शन करते हैं अगले कदम. सबसे पहले, हमें संख्या b को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:

बी = लॉग ए ए बी

ध्यान दें कि a b एक तर्क है। इसी तरह, मूल समीकरण में, तर्क फलन f(x) है। फिर हम समीकरण को फिर से लिखते हैं और यह निर्माण प्राप्त करते हैं:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

उसके बाद, हम तीसरा चरण कर सकते हैं - लघुगणक के संकेत से छुटकारा पाएं और बस लिखें:

एफ (एक्स) = एक बी

नतीजतन, हमें एक नया समीकरण मिलता है। इस मामले में, फ़ंक्शन f(x) पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। उदाहरण के लिए, इसके स्थान पर भी खड़ा हो सकता है लॉगरिदमिक फ़ंक्शन. और फिर हमें फिर से एक लघुगणकीय समीकरण मिलता है, जिसे हम फिर से सरलतम में कम करते हैं और विहित रूप के माध्यम से हल करते हैं।

लेकिन गाने के बोल काफी हैं। आइए असली समस्या का समाधान करें। तो कार्य संख्या 1:

लघुगणक 2 (1 + 3 लघुगणक 2 x ) = 2

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे पास एक साधारण लघुगणकीय समीकरण है। एफ (एक्स) की भूमिका निर्माण 1 + 3 लॉग 2 एक्स है, और संख्या बी संख्या 2 है (ए की भूमिका भी दो है)। आइए इन दोनों को इस प्रकार फिर से लिखें:

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लॉगरिदम के आधार से पहले दो ड्यूज हमारे पास आए, यानी यदि मूल समीकरण में 5 थे, तो हमें वह 2 = लॉग 5 5 2 मिलेगा। सामान्य तौर पर, आधार पूरी तरह से लघुगणक पर निर्भर करता है, जो शुरू में समस्या में दिया गया है। और हमारे मामले में यह संख्या 2 है।

इसलिए, हम अपने लॉगरिदमिक समीकरण को फिर से लिखते हैं, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि दो, जो दाईं ओर है, वास्तव में एक लघुगणक भी है। हम पाते हैं:

लघुगणक 2 (1 + 3 लघुगणक 2 x ) = लघुगणक 2 4

हम अपनी योजना के अंतिम चरण से गुजरते हैं - हमें विहित रूप से छुटकारा मिलता है। हम कह सकते हैं, बस लॉग के संकेतों को पार करें। हालाँकि, गणित के दृष्टिकोण से, "लॉग आउट करना" असंभव है - यह कहना अधिक सही है कि हम केवल तर्कों की बराबरी करते हैं:

1 + 3 लघुगणक 2 x = 4

यहां से 3 लॉग 2 x खोजना आसान है:

3 लघुगणक 2 x = 3

लॉग 2 एक्स = 1

हमें फिर से सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण मिला, आइए इसे विहित रूप में वापस लाते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें निम्नलिखित परिवर्तन करने होंगे:

1 = लघुगणक 2 2 1 = लघुगणक 2 2

आधार पर एक ड्यूस क्यों है? क्योंकि हमारे में विहित समीकरणबाईं ओर आधार 2 का लघुगणक है। हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए समस्या को फिर से लिखते हैं:

लॉग 2 एक्स = लॉग 2 2

फिर से, हम लघुगणक के चिन्ह से छुटकारा पाते हैं, अर्थात, हम केवल तर्कों की बराबरी करते हैं। हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि आधार समान हैं, और कोई और अतिरिक्त क्रिया न तो दाईं ओर या बाईं ओर की गई है:

बस इतना ही! समस्या सुलझ गयी। हमें लघुगणकीय समीकरण का हल मिल गया है।

टिप्पणी! यद्यपि चर x तर्क में है (अर्थात, परिभाषा के क्षेत्र के लिए आवश्यकताएं हैं), हम कोई अतिरिक्त आवश्यकता नहीं करेंगे।

जैसा कि मैंने ऊपर कहा, यह चेकअनावश्यक है यदि चर केवल एक लघुगणक के केवल एक तर्क में होता है। हमारे मामले में, x वास्तव में केवल तर्क में है और केवल एक लॉग चिह्न के नीचे है। इसलिए, कोई अतिरिक्त जांच की आवश्यकता नहीं है।

हालांकि, अगर आपको भरोसा नहीं है यह विधि, तो आप आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि x = 2 वास्तव में एक मूल है। इस संख्या को मूल समीकरण में बदलने के लिए पर्याप्त है।

आइए दूसरे समीकरण पर चलते हैं, यह थोड़ा और दिलचस्प है:

लॉग 2 (लॉग 1/2 (2x -1) + लॉग 2 4) = 1

यदि हम फ़ंक्शन f (x) द्वारा बड़े लघुगणक के अंदर के व्यंजक को निरूपित करते हैं, तो हमें सबसे सरल लघुगणक समीकरण मिलता है जिसके साथ हमने आज का वीडियो पाठ शुरू किया। इसलिए, कैनोनिकल फॉर्म को लागू करना संभव है, जिसके लिए इकाई को फॉर्म लॉग 2 2 1 = लॉग 2 2 में प्रस्तुत करना आवश्यक है।

हमारे बड़े समीकरण को फिर से लिखना:

लॉग 2 (लॉग 1/2 (2x -1) + लॉग 2 4) = लॉग 2 2

हम तर्कों की बराबरी करते हुए लघुगणक के चिन्ह से छुटकारा पाते हैं। हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि आधार बाईं ओर और दाईं ओर समान हैं। साथ ही, ध्यान दें कि लघुगणक 2 4 = 2 :

लॉग 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

लॉग 1/2 (2x - 1) = 0

हमारे सामने फिर से फॉर्म का सबसे सरल लॉगरिदमिक समीकरण है a f (x) \u003d b। हम विहित रूप में जाते हैं, अर्थात हम फॉर्म में शून्य का प्रतिनिधित्व करते हैं लॉग 1/2 (1/2)0 = लॉग 1/2 1.

हम अपने समीकरण को फिर से लिखते हैं और तर्कों की बराबरी करके लॉग साइन से छुटकारा पाते हैं:

लॉग 1/2 (2x -1) = लॉग 1/2 1

2x - 1 = 1

फिर से, हमें तत्काल प्रतिक्रिया मिली। कोई अतिरिक्त जाँच की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि मूल समीकरण में, केवल एक लघुगणक में तर्क में फ़ंक्शन होता है।

इसलिए, कोई अतिरिक्त जांच की आवश्यकता नहीं है। हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि x = 1 इस समीकरण का एकमात्र मूल है।

लेकिन अगर दूसरे लघुगणक में चार के बजाय x का कुछ कार्य होगा (या 2x तर्क में नहीं, बल्कि आधार में होगा) - तो परिभाषा के डोमेन की जांच करना आवश्यक होगा। अन्यथा, अतिरिक्त जड़ों में दौड़ने का एक बड़ा मौका है।

ये अतिरिक्त जड़ें कहां से आती हैं? इस बिंदु को बहुत स्पष्ट रूप से समझने की जरूरत है। मूल समीकरणों को देखें: हर जगह फ़ंक्शन x लघुगणक के चिह्न के नीचे है। इसलिए, चूंकि हमने लॉग 2 x लिखा है, हम स्वचालित रूप से आवश्यकता x> 0 सेट करते हैं। अन्यथा, इस रिकॉर्ड का कोई मतलब नहीं है।

हालांकि, जैसे ही हम लॉगरिदमिक समीकरण को हल करते हैं, हम लॉग के सभी संकेतों से छुटकारा पाते हैं और सरल निर्माण प्राप्त करते हैं। यहां कोई और प्रतिबंध नहीं हैं, क्योंकि रैखिक प्रकार्य x के किसी भी मान के लिए परिभाषित।

यह समस्या है, जब अंतिम कार्य हर जगह और हमेशा परिभाषित किया जाता है, और प्रारंभिक एक हर जगह और हमेशा नहीं होता है, यही कारण है कि लॉगरिदमिक समीकरणों के समाधान में अतिरिक्त जड़ें अक्सर दिखाई देती हैं।

लेकिन मैं एक बार फिर दोहराता हूं: यह केवल उस स्थिति में होता है जहां फ़ंक्शन या तो कई लघुगणक में होता है, या उनमें से किसी एक के आधार पर होता है। आज हम जिन समस्याओं पर विचार कर रहे हैं, उनमें सैद्धांतिक रूप से परिभाषा के क्षेत्र के विस्तार में कोई समस्या नहीं है।

विभिन्न आधारों के मामले

यह पाठ समर्पित है जटिल संरचनाएं. आज के समीकरणों में लघुगणक अब "रिक्त" हल नहीं होंगे - पहले आपको कुछ परिवर्तन करने की आवश्यकता है।

हम लॉगरिदमिक समीकरणों को पूरी तरह से अलग-अलग आधारों के साथ हल करना शुरू करते हैं, जो एक दूसरे की सटीक शक्तियां नहीं हैं। ऐसे कार्यों से डरो मत - उन्हें हल करना सबसे कठिन से अधिक कठिन नहीं है सरल डिजाइनजिसकी हमने ऊपर चर्चा की है।

लेकिन सीधे समस्याओं पर आगे बढ़ने से पहले, मैं आपको विहित रूप का उपयोग करके सरलतम लघुगणक समीकरणों को हल करने के सूत्र की याद दिलाता हूं। इस तरह की समस्या पर विचार करें:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

यह महत्वपूर्ण है कि फ़ंक्शन f (x) केवल एक फ़ंक्शन है, और संख्याएँ a और b बिल्कुल संख्याएँ होनी चाहिए (बिना किसी चर x के)। बेशक, शाब्दिक रूप से एक मिनट में हम ऐसे मामलों पर भी विचार करेंगे जब चर ए और बी के बजाय कार्य होते हैं, लेकिन यह अब उसके बारे में नहीं है।

जैसा कि हमें याद है, संख्या b को उसी आधार a में एक लघुगणक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जो बाईं ओर है। यह बहुत सरलता से किया जाता है:

बी = लॉग ए ए बी

बेशक, "किसी भी संख्या बी" और "किसी भी संख्या ए" शब्दों का अर्थ ऐसे मूल्यों से है जो परिभाषा के क्षेत्र को संतुष्ट करते हैं। विशेष रूप से, में दिया गया समीकरण हम बात कर रहे हेकेवल आधार a > 0 और a 1 है।

हालांकि यह आवश्यकतास्वचालित रूप से किया जाता है, क्योंकि मूल समस्या में पहले से ही आधार के लिए एक लघुगणक होता है - यह निश्चित रूप से 0 से अधिक होगा और 1 के बराबर नहीं होगा। इसलिए, हम लघुगणक समीकरण का समाधान जारी रखते हैं:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

इस तरह के एक संकेतन को विहित रूप कहा जाता है। इसकी सुविधा यह है कि हम तर्कों की बराबरी करके तुरंत लॉग साइन से छुटकारा पा सकते हैं:

एफ (एक्स) = एक बी

यह वह तकनीक है जिसका उपयोग अब हम लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए करेंगे परिवर्तनीय आधार. तो चलते हैं!

लॉग 2 (x 2 + 4x + 11) = लॉग 0.5 0.125

आगे क्या होगा? कोई अब कहेगा कि आपको सही लघुगणक की गणना करने की आवश्यकता है, या उन्हें एक आधार, या कुछ और कम करने की आवश्यकता है। और वास्तव में, अब आपको दोनों आधारों को एक ही रूप में लाने की आवश्यकता है - या तो 2 या 0.5। लेकिन आइए एक बार और सभी के लिए निम्नलिखित नियम सीखें:

यदि लघुगणक समीकरण में शामिल है दशमलव, इन भिन्नों को . से परिवर्तित करना सुनिश्चित करें दशमलव अंकनसामान्य में। ऐसा परिवर्तन समाधान को काफी सरल बना सकता है।

इस तरह के एक संक्रमण को तुरंत किया जाना चाहिए, इससे पहले कि कोई भी क्रिया और परिवर्तन किया जाए। आइए एक नजर डालते हैं:

लॉग 2 (x 2 + 4x + 11) = लॉग 1/2 1/8

ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? हम 1/2 और 1/8 को एक शक्ति के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं नकारात्मक संकेतक:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हमारे पास विहित रूप है। तर्कों की बराबरी करें और शास्त्रीय प्राप्त करें द्विघात समीकरण:

एक्स 2 + 4x + 11 = 8

एक्स 2 + 4x + 3 = 0

हमारे सामने दिया गया द्विघात समीकरण है, जिसे Vieta सूत्रों का उपयोग करके आसानी से हल किया जाता है। आपको हाई स्कूल में मौखिक रूप से इसी तरह की गणना देखनी चाहिए:

(एक्स + 3)(एक्स + 1) = 0

एक्स 1 = -3

एक्स 2 = -1

बस इतना ही! मूल लघुगणक समीकरण हल हो गया है। हमारी दो जड़ें हैं।

मैं आपको याद दिला दूं कि दायरे को परिभाषित करने के लिए इस मामले मेंआवश्यक नहीं है, क्योंकि चर x वाला फ़ंक्शन केवल एक तर्क में मौजूद है। इसलिए, दायरा स्वचालित रूप से किया जाता है।

तो पहला समीकरण हल हो गया है। आइए दूसरे पर चलते हैं:

लॉग 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = लॉग 3 1/9

लघुगणक 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = लघुगणक 3 9 -1

और अब ध्यान दें कि पहले लघुगणक के तर्क को एक नकारात्मक घातांक वाली घात के रूप में भी लिखा जा सकता है: 1/2 = 2 -1। फिर आप समीकरण के दोनों पक्षों की शक्तियों को निकाल सकते हैं और सब कुछ -1 से विभाजित कर सकते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

और अब हमने बहुत कुछ किया है महत्वपूर्ण कदमएक लघुगणकीय समीकरण को हल करने में। शायद किसी ने कुछ नोटिस नहीं किया, तो मैं समझाता हूं।

हमारे समीकरण पर एक नज़र डालें: लॉग बाईं और दाईं ओर है, लेकिन आधार 2 लघुगणक बाईं ओर है, और आधार 3 लघुगणक दाईं ओर है। पूरी डिग्रीदो और इसके विपरीत: यह लिखना असंभव है कि 2 पूर्णांक घात के लिए 3 है।

इसलिए, ये विभिन्न आधारों वाले लघुगणक हैं, जो साधारण घातांक द्वारा एक-दूसरे से कम नहीं होते हैं। एक ही रास्ताऐसी समस्याओं को हल करना इनमें से किसी एक लघुगणक से छुटकारा पाना है। इस मामले में, चूंकि हम अभी भी काफी विचार कर रहे हैं सरल कार्य, दाईं ओर लघुगणक की गणना की गई थी, और हमें सबसे सरल समीकरण मिला - ठीक उसी के बारे में जिसकी हमने आज के पाठ की शुरुआत में बात की थी।

आइए संख्या 2 का प्रतिनिधित्व करें, जो दाईं ओर है, जैसे लॉग 2 2 2 = लॉग 2 4। और फिर लॉगरिदम के संकेत से छुटकारा पाएं, जिसके बाद हमारे पास केवल एक द्विघात समीकरण रह जाता है:

लघुगणक 2 (5x 2 + 9x + 2) = लघुगणक 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x - 2 = 0

हमारे सामने सामान्य द्विघात समीकरण है, लेकिन इसे कम नहीं किया गया है, क्योंकि x 2 पर गुणांक एकता से अलग है। इसलिए, हम इसे विवेचक का उपयोग करके हल करेंगे:

डी = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (−9 - 11) / 10 \u003d -2

बस इतना ही! हमें दोनों मूल मिले, जिसका अर्थ है कि हमें मूल लघुगणक समीकरण का हल मिल गया है। दरअसल, मूल समस्या में, चर x वाला फ़ंक्शन केवल एक तर्क में मौजूद होता है। इसलिए, परिभाषा के क्षेत्र पर कोई अतिरिक्त जांच की आवश्यकता नहीं है - दोनों जड़ें जो हमें मिलीं, निश्चित रूप से सभी संभावित प्रतिबंधों को पूरा करती हैं।

यह आज के वीडियो ट्यूटोरियल का अंत हो सकता है, लेकिन निष्कर्ष में मैं फिर से कहना चाहूंगा: लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय सभी दशमलव अंशों को सामान्य में परिवर्तित करना सुनिश्चित करें। ज्यादातर मामलों में, यह उनके समाधान को बहुत सरल करता है।

विरले ही, बहुत कम ही, ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें दशमलव भिन्नों से छुटकारा पाना केवल गणनाओं को जटिल बनाता है। हालांकि, ऐसे समीकरणों में, एक नियम के रूप में, शुरू में यह स्पष्ट है कि दशमलव अंशों से छुटकारा पाना आवश्यक नहीं है।

अधिकांश अन्य मामलों में (विशेषकर यदि आप लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए प्रशिक्षण लेना शुरू कर रहे हैं), तो बेझिझक दशमलव अंशों से छुटकारा पाएं और उन्हें सामान्य अंशों में अनुवाद करें। क्योंकि अभ्यास से पता चलता है कि इस तरह आप बाद के समाधान और गणनाओं को बहुत सरल कर देंगे।

समाधान की सूक्ष्मताएं और तरकीबें

आज हम आगे बढ़ते हैं जटिल कार्यऔर हम एक लघुगणकीय समीकरण को हल करेंगे, जो किसी संख्या पर नहीं, बल्कि एक फलन पर आधारित है।

और भले ही यह फ़ंक्शन रैखिक हो, आपको समाधान योजना में जोड़ना होगा थोड़ा बदलाव, जिसका अर्थ है अतिरिक्त जरूरतेंलघुगणक के डोमेन पर आरोपित।

कठिन कार्य

यह पाठ काफी लंबा होगा। इसमें, हम दो बल्कि गंभीर लघुगणकीय समीकरणों का विश्लेषण करेंगे, जिसके समाधान में कई छात्र गलतियाँ करते हैं। गणित में एक शिक्षक के रूप में अपने अभ्यास के दौरान, मुझे लगातार दो प्रकार की त्रुटियों का सामना करना पड़ा:

1. लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र के विस्तार के कारण अतिरिक्त जड़ों का प्रकट होना। ऐसी आपत्तिजनक गलतियाँ करने से बचने के लिए, बस प्रत्येक परिवर्तन पर कड़ी नज़र रखें;
2. जड़ों का नुकसान इस तथ्य के कारण है कि छात्र कुछ "सूक्ष्म" मामलों पर विचार करना भूल गया - यह ऐसी स्थितियों पर है जिस पर हम आज ध्यान केंद्रित करेंगे।

ये है अंतिम पाठलघुगणक समीकरणों के लिए समर्पित। यह लंबा होगा, हम जटिल लघुगणकीय समीकरणों का विश्लेषण करेंगे। अपने आप को सहज बनाएं, अपने लिए कुछ चाय बनाएं, और हम शुरू करेंगे।

पहला समीकरण काफी मानक दिखता है:

लघुगणक x + 1 (x - 0.5) = लघुगणक x - 0.5 (x + 1)

तुरंत, हम देखते हैं कि दोनों लघुगणक एक दूसरे की उलटी प्रतियाँ हैं। आइए याद करते हैं अद्भुत सूत्र:

लॉग ए बी = 1/लॉग बी ए

हालाँकि, इस सूत्र की कई सीमाएँ हैं जो तब उत्पन्न होती हैं जब संख्या a और b के बजाय चर x के कार्य होते हैं:

बी > 0

1 ए > 0

इन आवश्यकताओं को लघुगणक के आधार पर लगाया जाता है। दूसरी ओर, एक भिन्न में, हमारे पास 1 a > 0 होना आवश्यक है, क्योंकि लघुगणक के तर्क में न केवल चर a है (इसलिए, a > 0), बल्कि लघुगणक स्वयं के हर में है अंश। लेकिन लॉग बी 1 = 0, और भाजक गैर-शून्य होना चाहिए, इसलिए ≠ 1।

इसलिए, चर a पर प्रतिबंध संरक्षित हैं। लेकिन चर b का क्या होता है? एक ओर, b > 0 आधार से, दूसरी ओर, चर b ≠ 1 का अनुसरण करता है, क्योंकि लघुगणक का आधार 1 से भिन्न होना चाहिए। कुल मिलाकर, यह सूत्र के दाईं ओर से अनुसरण करता है कि 1 ≠ बी > 0.

लेकिन यहाँ समस्या है: दूसरी आवश्यकता (बी ≠ 1) बाएं लघुगणक पर पहली असमानता से गायब है। दूसरे शब्दों में, इस परिवर्तन को करते समय, हमें अवश्य करना चाहिए अलग से जांचेंकि तर्क b एक से अलग है!

यहां, आइए इसकी जांच करें। आइए अपना सूत्र लागू करें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

1 एक्स - 0.5> 0; 1 एक्स + 1 > 0

तो हमने पाया कि पहले से ही मूल लॉगरिदमिक समीकरण से यह निम्नानुसार है कि ए और बी दोनों 0 से अधिक होना चाहिए और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए। इसलिए, हम लॉगरिदमिक समीकरण को आसानी से फ्लिप कर सकते हैं:

मैं एक नया चर पेश करने का प्रस्ताव करता हूं:

लॉग एक्स + 1 (एक्स - 0.5) = टी

इस मामले में, हमारे निर्माण को निम्नानुसार फिर से लिखा जाएगा:

(टी 2 - 1)/टी = 0

ध्यान दें कि अंश में हमारे पास वर्गों का अंतर है। हम संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके वर्गों के अंतर को प्रकट करते हैं:

(टी -1)(टी + 1)/टी = 0

एक भिन्न शून्य होती है जब उसका अंश शून्य होता है और उसका हर गैर-शून्य होता है। लेकिन अंश में उत्पाद होता है, इसलिए हम प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करते हैं:

t1 = 1;

t2 = -1;

टी 0.

जैसा कि आप देख सकते हैं, चर t के दोनों मान हमें सूट करते हैं। हालाँकि, समाधान वहाँ समाप्त नहीं होता है, क्योंकि हमें t नहीं, बल्कि x का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है। हम लघुगणक पर लौटते हैं और प्राप्त करते हैं:

लॉग एक्स + 1 (एक्स - 0.5) = 1;

लॉग एक्स + 1 (एक्स - 0.5) = -1।

आइए इनमें से प्रत्येक समीकरण को विहित रूप में लाएं:

लघुगणक x + 1 (x - 0.5) = लघुगणक x + 1 (x + 1) 1

लघुगणक x + 1 (x - 0.5) = लघुगणक x + 1 (x + 1) −1

हम पहले मामले में लघुगणक के संकेत से छुटकारा पाते हैं और तर्कों की बराबरी करते हैं:

एक्स - 0.5 = एक्स + 1;

एक्स - एक्स \u003d 1 + 0.5;

इस तरह के समीकरण की कोई जड़ नहीं होती है, इसलिए पहले लघुगणकीय समीकरण की भी कोई जड़ें नहीं होती हैं। लेकिन दूसरे समीकरण के साथ, सब कुछ बहुत अधिक दिलचस्प है:

(x - 0.5)/1 = 1/(x + 1)

हम अनुपात को हल करते हैं - हमें मिलता है:

(एक्स - 0.5) (एक्स + 1) = 1

मैं आपको याद दिलाता हूं कि लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय, सभी सामान्य दशमलव अंशों को देना अधिक सुविधाजनक होता है, तो आइए अपने समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

(x - 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

एक्स 2 + 1/2x - 3/2 = 0।

इससे पहले कि हम दिए गए द्विघात समीकरण हैं, इसे Vieta सूत्रों का उपयोग करके आसानी से हल किया जाता है:

(एक्स + 3/2) (एक्स - 1) = 0;

एक्स 1 \u003d -1.5;

एक्स 2 = 1.

हमें दो जड़ें मिलीं - वे मूल लघुगणक समीकरण को हल करने के लिए उम्मीदवार हैं। यह समझने के लिए कि उत्तर में वास्तव में क्या जड़ें होंगी, आइए मूल समस्या पर वापस जाएं। अब हम यह देखने के लिए अपनी प्रत्येक जड़ की जांच करेंगे कि क्या वे दायरे से मेल खाते हैं:

1.5 x > 0.5; 0 ≠ एक्स > -1.

ये आवश्यकताएं दोहरी असमानता के समान हैं:

1 एक्स > 0.5

यहाँ से हम तुरंत देखते हैं कि मूल x = −1.5 हमें सूट नहीं करता है, लेकिन x = 1 काफी संतुष्ट है। इसलिए एक्स \u003d 1 - अंतिम निर्णयलघुगणक समीकरण।

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

लॉग x 25 + लॉग 125 x 5 = लॉग 25 x 625

पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि सभी लघुगणक अलग आधारऔर विभिन्न तर्क। ऐसी संरचनाओं का क्या करें? सबसे पहले, ध्यान दें कि संख्याएँ 25, 5 और 625 5 की घात हैं:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

और अब हम लघुगणक के उल्लेखनीय गुण का उपयोग करेंगे। तथ्य यह है कि आप कारकों के रूप में तर्क से डिग्री निकाल सकते हैं:

लॉग ए बी एन = एन ∙ लॉग ए बी

पर दिया गया परिवर्तनउस स्थिति में भी प्रतिबंध लगाए जाते हैं जब b के स्थान पर कोई फ़ंक्शन होता है। लेकिन हमारे साथ b सिर्फ एक संख्या है, और कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं है। आइए अपने समीकरण को फिर से लिखें:

2 लॉग x 5 + लॉग 125 x 5 = 4 लॉग 25 x 5

हमें लॉग साइन वाले तीन पदों वाला एक समीकरण मिला है। इसके अलावा, तीनों लघुगणक के तर्क समान हैं।

अब समय आ गया है कि लघुगणक को एक ही आधार पर लाया जाए - 5. चूंकि चर b एक स्थिरांक है, इसलिए कार्यक्षेत्र में कोई परिवर्तन नहीं होता है। हम बस फिर से लिखते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

जैसा कि अपेक्षित था, वही लघुगणक हर में "क्रॉल आउट" हो गए। मैं चर बदलने का सुझाव देता हूं:

लॉग 5 एक्स = टी

इस मामले में, हमारे समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखा जाएगा:

आइए अंश लिखें और कोष्ठक खोलें:

2 (टी + 3) (टी + 2) + टी (टी + 2) - 4 टी (टी + 3) = 2 (टी 2 + 5 टी + 6) + टी 2 + 2 टी - 4 टी 2 - 12 टी = 2 टी 2 + 10 टी + 12 + टी 2 + 2t -4t 2 -12t = −t 2 + 12

हम अपने अंश पर लौटते हैं। अंश शून्य होना चाहिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

और हर शून्य से अलग है:

टी 0; टी -3; टी -2

अंतिम आवश्यकताएं स्वचालित रूप से पूरी होती हैं, क्योंकि वे सभी पूर्णांकों से "बंधे" हैं, और सभी उत्तर तर्कहीन हैं।

इसलिए, भिन्नात्मक परिमेय समीकरणहल, चर t के मान पाए जाते हैं। हम लघुगणकीय समीकरण के हल पर लौटते हैं और याद करते हैं कि t क्या है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हम इस समीकरण को विहित रूप में लाते हैं, हमें एक संख्या मिलती है तर्कहीन डिग्री. इसे आप भ्रमित न होने दें - ऐसे तर्कों की भी बराबरी की जा सकती है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हमारी दो जड़ें हैं। अधिक सटीक रूप से, उत्तर के लिए दो उम्मीदवार - आइए उन्हें दायरे के अनुपालन के लिए जांचें। चूँकि लघुगणक का आधार चर x है, हमें निम्नलिखित की आवश्यकता है:

1 एक्स > 0;

उसी सफलता के साथ, हम दावा करते हैं कि x 1/125, अन्यथा दूसरे लघुगणक का आधार एक में बदल जाएगा। अंत में, तीसरे लघुगणक के लिए x 1/25।

कुल मिलाकर, हमें चार प्रतिबंध मिले:

1 एक्स > 0; एक्स 1/125; एक्स 1/25

अब प्रश्न यह है कि क्या हमारी जड़ें इन आवश्यकताओं को पूरा करती हैं? निश्चित रूप से संतुष्ट! क्योंकि किसी भी घात के लिए 5 शून्य से अधिक होगा, और आवश्यकता x > 0 स्वतः पूरी हो जाती है।

दूसरी ओर, 1 = 5 0 , 1/25 = 5 −2 , 1/125 = 5 −3, जिसका अर्थ है कि हमारी जड़ों के लिए ये प्रतिबंध (जो, मैं आपको याद दिला दूं, अपरिमेय संख्या) भी संतुष्ट हैं, और दोनों ही उत्तर समस्या का समाधान हैं।

तो हमें अंतिम उत्तर मिल गया है। प्रमुख बिंदुइस एक में दो कार्य हैं:

1. तर्क और आधार के उलट होने पर लघुगणक को उलटते समय सावधान रहें। इस तरह के परिवर्तन परिभाषा के क्षेत्र पर अनावश्यक प्रतिबंध लगाते हैं।
2. लॉगरिदम को परिवर्तित करने से डरो मत: आप न केवल उन्हें फ्लिप कर सकते हैं, बल्कि उन्हें योग सूत्र के अनुसार भी खोल सकते हैं और आम तौर पर लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों को हल करते समय आपके द्वारा अध्ययन किए गए किसी भी सूत्र के अनुसार उन्हें बदल सकते हैं। हालांकि, हमेशा याद रखें कि कुछ परिवर्तन दायरे का विस्तार करते हैं, और कुछ इसे कम करते हैं।

जैसा कि आप जानते हैं, जब व्यंजकों को घातों से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक हमेशा जोड़ते हैं (a b * a c = a b + c)। यह गणितीय नियमआर्किमिडीज द्वारा व्युत्पन्न किया गया था, और बाद में, 8 वीं शताब्दी में, गणितज्ञ विरासेन ने पूर्णांक संकेतकों की एक तालिका बनाई। यह वे थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए कार्य किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहां सरल जोड़ के लिए बोझिल गुणा को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट का समय लगाते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे कार्य करें। सरल और सुलभ भाषा।

गणित में परिभाषा

लघुगणक निम्नलिखित रूप का व्यंजक है: log a b=c, अर्थात् किसी का लघुगणक गैर-ऋणात्मक संख्या(अर्थात कोई भी धनात्मक) "बी" के आधार "ए" को "सी" की शक्ति माना जाता है, जिसके लिए आधार "ए" को अंततः "बी" मान प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए। आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक व्यंजक है लॉग 2 8. उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत आसान है, आपको इतनी डिग्री ढूंढनी होगी कि 2 से आवश्यक डिग्री तक आपको 8 मिले। अपने दिमाग में कुछ गणना करने के बाद, हमें नंबर 3 मिलता है! और ठीक ही है, क्योंकि 2 का घात 3 उत्तर में 8 अंक देता है।

लघुगणक की किस्में

कई विद्यार्थियों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में, लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि उनके सामान्य अर्थ को समझना और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखना। वहाँ तीन हैं विशेष प्रकारलघुगणक अभिव्यक्तियाँ:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव a, जहाँ आधार 10 है।
3. आधार a>1 से किसी भी संख्या b का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक तय है एक मानक तरीके से, जिसमें सरलीकरण, कमी और बाद में एक लघुगणक का उपयोग करके कमी शामिल है लघुगणक प्रमेय. ग्रहण करना सही मानलघुगणक, आपको उनके गुणों और उनके निर्णयों में क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में, कई नियम-सीमाएँ हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे चर्चा के अधीन नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, आप संख्याओं को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, और जड़ निकालना भी असंभव है सम डिग्रीसे ऋणात्मक संख्या. लॉगरिदम के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप आसानी से सीख सकते हैं कि लंबी और विशाल लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों के साथ भी कैसे काम किया जाए:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए, और साथ ही 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि "1" और "0" किसी भी डिग्री तक हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a > 0, तो a b > 0, यह पता चलता है कि "c" शून्य से बड़ा होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, समीकरण 10 x \u003d 100 का उत्तर खोजने का कार्य दिया गया है। यह बहुत आसान है, आपको दस की संख्या बढ़ाकर ऐसी शक्ति चुनने की आवश्यकता है जिससे हमें 100 मिले। यह निश्चित रूप से 10 2 है। \u003d 100.

आइए अब कल्पना करें दी गई अभिव्यक्तिलॉगरिदमिक रूप में। हमें लॉग 10 100 = 2 मिलता है। लॉगरिदम को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस डिग्री को खोजने के लिए अभिसरण करती हैं जिस पर किसी दिए गए नंबर को प्राप्त करने के लिए लॉगरिदम का आधार दर्ज किया जाना चाहिए।

मूल्य के त्रुटि मुक्त निर्धारण के लिए अज्ञात डिग्रीआपको डिग्री की तालिका के साथ काम करना सीखना होगा। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ घातांकों का सहज रूप से अनुमान लगाया जा सकता है यदि आपके पास तकनीकी मानसिकता और गुणन तालिका का ज्ञान है। हालांकि, के लिए बड़े मूल्यआपको डिग्री की एक तालिका चाहिए। इसका उपयोग वे लोग भी कर सकते हैं जो जटिल रूप से कुछ भी नहीं समझते हैं गणितीय विषय. बाएँ स्तंभ में संख्याएँ (आधार a) हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति घात c का मान है, जिससे संख्या a उठाई जाती है। कोशिकाओं में प्रतिच्छेदन पर, संख्याओं के मान निर्धारित किए जाते हैं, जो उत्तर (a c =b) हैं। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 10 के साथ बहुत पहले सेल को लें और इसे वर्ग करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो हमारे दो कोशिकाओं के चौराहे पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे वास्तविक मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानता

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत, घातांक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक व्यंजक को लघुगणक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 =81 को आधार 3 के 81 के लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है, जो चार है (लॉग 3 81 = 4)। के लिए नकारात्मक शक्तियांनियम समान हैं: 2 -5 \u003d 1/32 हम एक लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लॉग 2 (1/32) \u003d -5 मिलता है। गणित के सबसे आकर्षक वर्गों में से एक "लघुगणक" का विषय है। समीकरणों के गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, हम समीकरणों के उदाहरणों और समाधानों पर थोड़ा कम विचार करेंगे। अब आइए देखें कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित रूप का व्यंजक दिया गया है: लघुगणक 2 (x-1) > 3 - यह है लघुगणक असमानता, चूंकि अज्ञात मान "x" लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत है। और व्यंजक में भी दो मात्राओं की तुलना की जाती है: आधार दो में वांछित संख्या का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, 2 x = √9 का लघुगणक) एक या अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मूल्य, असमानता को हल करते समय, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा और इस फ़ंक्शन के असंततता बिंदु दोनों निर्धारित किए जाते हैं। एक परिणाम के रूप में, उत्तर एक साधारण सेट नहीं है व्यक्तिगत संख्याजैसा कि समीकरण के उत्तर में है, और a निरंतर श्रृंखलाया संख्याओं का एक सेट।

लघुगणक के बारे में मूल प्रमेय

लॉगरिदम के मूल्यों को खोजने पर आदिम कार्यों को हल करते समय, इसके गुणों का पता नहीं चल सकता है। हालांकि, जब लॉगरिदमिक समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लॉगरिदम के सभी बुनियादी गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम बाद में समीकरणों के उदाहरणों से परिचित होंगे, आइए पहले प्रत्येक गुण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

1. मूल पहचान इस तरह दिखती है: a logaB =B. यह केवल तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद के लघुगणक को निम्न सूत्र में दर्शाया जा सकता है: लॉग डी (एस 1 * एस 2) = लॉग डी एस 1 + लॉग डी एस 2. इसके अलावा, शर्तहै: डी, ​​एस 1 और एस 2> 0; ए≠1. आप लघुगणक के इस सूत्र के लिए उदाहरण और समाधान के साथ एक प्रमाण दे सकते हैं। मान लीजिए a s 1 = f 1 लॉग करें और a s 2 = f 2 लॉग करें, फिर a f1 = s 1 , a f2 = s 2. हमें वह मिलता है s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (डिग्री गुण) ), और आगे परिभाषा के अनुसार: लॉग ए (एस 1 * एस 2) = एफ 1 + एफ 2 = लॉग ए एस 1 + लॉग ए एस 2, जिसे साबित करना था।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: लॉग ए (एस 1 / एस 2) = लॉग ए एस 1 - लॉग ए एस 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय प्राप्त करता है अगला दृश्य: लॉग ए क्यू बी एन = एन/क्यू लॉग ए बी।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री का गुण" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्री के गुणों जैसा दिखता है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सभी गणित नियमित पदों पर टिकी हुई है। आइए सबूत देखें।

लॉग a b \u003d t दें, यह a t \u003d b निकलता है। यदि आप दोनों भागों को घात m: a tn = b n तक बढ़ाते हैं;

लेकिन चूँकि a tn = (a q) nt/q = b n , इसलिए a q b n = (n*t)/t लॉग करें, फिर a q b n = n/q log a b लॉग करें। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

सबसे आम प्रकार की लघुगणक समस्याएं समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और उनमें भी शामिल हैं अनिवार्य हिस्सागणित की परीक्षा। विश्वविद्यालय में प्रवेश या उत्तीर्ण होने के लिए प्रवेश परीक्षागणित में, आपको यह जानना होगा कि ऐसी समस्याओं को सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, लघुगणक के अज्ञात मूल्य को हल करने और निर्धारित करने के लिए कोई एकल योजना या योजना नहीं है, हालांकि, प्रत्येक के लिए गणितीय असमानताया लघुगणक समीकरण लागू किया जा सकता है निश्चित नियम. सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है या घटाकर सामान्य दृष्टि से. लंबा सरल करें लघुगणक व्यंजकआप कर सकते हैं, यदि आप उनके गुणों का सही उपयोग करते हैं। आइए जल्द ही उन्हें जान लेते हैं।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि हमारे सामने किस प्रकार का लॉगरिदम है: अभिव्यक्ति के उदाहरण में प्राकृतिक लॉगरिदम या दशमलव हो सकता है।

यहाँ उदाहरण ln100, ln1026 हैं। उनका समाधान इस तथ्य तक उबाल जाता है कि आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। समाधान के लिए प्राकृतिक लघुगणकआवेदन करने की जरूरत है लघुगणकीय पहचानया उनके गुण। आइए उदाहरणों के साथ समाधान देखें। लघुगणक समस्याविभिन्न प्रकार।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक पर मुख्य प्रमेयों के उपयोग के उदाहरण देखें।

1. उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां विस्तार करना आवश्यक है बडा महत्वसंख्या बी सरल कारकों में। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लॉगरिदम की डिग्री की चौथी संपत्ति का उपयोग करके, हम पहली नज़र में एक जटिल और असफल अभिव्यक्ति को हल करने में कामयाब रहे। केवल आधार को गुणनखंड करना और फिर घातांक मानों को लघुगणक के चिह्न से बाहर निकालना आवश्यक है।

परीक्षा से कार्य

लॉगरिदम अक्सर पाए जाते हैं प्रवेश परीक्षा, विशेष रूप से परीक्षा में बहुत सारी लघुगणकीय समस्याएं ( राज्य परीक्षासभी हाई स्कूल स्नातकों के लिए)। आमतौर पर ये कार्य न केवल भाग ए (सबसे आसान .) में मौजूद होते हैं परीक्षण भागपरीक्षा), लेकिन भाग सी (सबसे कठिन और भारी कार्य) में भी। परीक्षा का तात्पर्य "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और सही ज्ञान है।

उदाहरण और समस्या समाधान आधिकारिक से लिए गए हैं उपयोग विकल्प. आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लघुगणक 2 (2x-1) = 4. हल:
आइए व्यंजक को फिर से लिखें, इसे थोड़ा सा सरल करते हुए लॉग 2 (2x-1) = 2 2, लघुगणक की परिभाषा से हमें 2x-1 = 2 4 मिलता है, इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5।

• सभी लघुगणक को एक ही आधार पर सबसे अच्छा कम किया जाता है ताकि समाधान बोझिल और भ्रमित न हो।
• लघुगणक के चिह्न के तहत सभी भाव सकारात्मक के रूप में इंगित किए जाते हैं, इसलिए, अभिव्यक्ति के घातांक के घातांक को निकालते समय, जो लघुगणक के संकेत के तहत होता है और इसके आधार के रूप में, लघुगणक के तहत शेष अभिव्यक्ति सकारात्मक होनी चाहिए।

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लघुगणक अभिव्यक्ति, उदाहरणों का समाधान। इस लेख में, हम लघुगणक को हल करने से संबंधित समस्याओं पर विचार करेंगे। कार्य अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने का सवाल उठाते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि लघुगणक की अवधारणा का उपयोग कई कार्यों में किया जाता है और इसका अर्थ समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है। USE के लिए, समीकरणों को हल करते समय लघुगणक का उपयोग किया जाता है, in लागू कार्य, कार्यों के अध्ययन से संबंधित कार्यों में भी।

लघुगणक के अर्थ को समझने के लिए यहां उदाहरण दिए गए हैं:

मूल लघुगणकीय पहचान:

लघुगणक के गुण जो आपको हमेशा याद रखने चाहिए:

*उत्पाद का लघुगणक योग के बराबर हैकारकों के लघुगणक।

* * *

* भागफल (अंश) का लघुगणक गुणनखंडों के लघुगणक के अंतर के बराबर होता है।

* * *

*डिग्री का लघुगणक उत्पाद के बराबर हैइसके आधार के लघुगणक का घातांक।

* * *

*नए आधार पर संक्रमण

* * *

अधिक गुण:

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संगणना लघुगणक घातांक के गुणों के उपयोग से निकटता से संबंधित है।

हम उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करते हैं:

सार दी गई संपत्तियह है कि अंश को हर में स्थानांतरित करते समय और इसके विपरीत, घातांक का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। उदाहरण के लिए:

इस संपत्ति का परिणाम:

* * *

किसी घात को घात में बढ़ाते समय, आधार वही रहता है, लेकिन घातांक गुणा किया जाता है।

* * *

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक की अवधारणा सरल है। मुख्य बात यह है कि क्या आवश्यक है अच्छा अभ्यास, जो एक निश्चित कौशल देता है। निश्चित रूप से सूत्रों का ज्ञान अनिवार्य है। यदि प्राथमिक लघुगणक के परिवर्तन में कौशल नहीं बनता है, तो हल करते समय सरल कार्यगलती करना आसान है।

अभ्यास करें, पहले गणित पाठ्यक्रम से सरलतम उदाहरणों को हल करें, फिर अधिक जटिल उदाहरणों पर आगे बढ़ें। भविष्य में, मैं निश्चित रूप से दिखाऊंगा कि "बदसूरत" लघुगणक कैसे हल होते हैं, परीक्षा में ऐसे कोई नहीं होंगे, लेकिन वे रुचि के हैं, इसे याद मत करो!

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।