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पहली डिग्री के समीकरणों के समीकरण और सिस्टम

दो संख्याएँ या कुछ व्यंजक जो "=" रूप" चिह्न से जुड़े हैं समानता. यदि दी गई संख्याएँ या व्यंजक अक्षरों के किसी भी मान के लिए समान हों, तो ऐसी समानता कहलाती है पहचान.

उदाहरण के लिए, जब यह कहा जाता है कि किसी के लिए एकवैध:

एक + 1 = 1 + एक, यहाँ समानता एक पहचान है।

समीकरणएक समानता कहा जाता है जिसमें अज्ञात नंबरअक्षरों से अंकित। इन अक्षरों को कहा जाता है अनजान. एक समीकरण में एक से अधिक अज्ञात हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण 2 . में एक्स + पर = 7एक्स- 3 दो अज्ञात: एक्सतथा पर.

समीकरण के बाईं ओर का व्यंजक (2 .) एक्स + पर) को समीकरण का बायाँ पक्ष कहा जाता है, और समीकरण के दाईं ओर का व्यंजक (7 .) एक्स- 3) इसका दाहिना भाग कहलाता है।

अज्ञात का वह मान जिस पर समीकरण एक पहचान बन जाता है, कहलाता है फेसलाया जड़समीकरण

उदाहरण के लिए, यदि समीकरण 3 . में एक्स+ 7=13 अज्ञात के बजाय एक्ससंख्या 2 को प्रतिस्थापित करने पर हमें पहचान मिलती है। इसलिए, मान एक्स= 2 दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है और संख्या 2 दिए गए समीकरण का हल या मूल है।

दो समीकरण कहलाते हैं बराबर(या बराबर), यदि पहले समीकरण के सभी समाधान दूसरे के समाधान हैं और इसके विपरीत, दूसरे समीकरण के सभी समाधान पहले के समाधान हैं। प्रति समतुल्य समीकरणउन समीकरणों को भी शामिल करें जिनका कोई हल नहीं है।

उदाहरण के लिए समीकरण 2 एक्स- 5 = 11 और 7 एक्स+ 6 = 62 तुल्य हैं क्योंकि उनका मूल समान है एक्स= 8; समीकरण एक्स + 2 = एक्स+5 और 2 एक्स + 7 = 2एक्सबराबर हैं क्योंकि दोनों का कोई हल नहीं है।

समतुल्य समीकरणों के गुण

1. समीकरण के दोनों पक्षों में, आप कोई भी व्यंजक जोड़ सकते हैं जो सभी के लिए उपयुक्त हो अनुमत मानअनजान; परिणामी समीकरण दिए गए समीकरण के बराबर होगा।

उदाहरण। समीकरण 2 एक्स– 1 = 7 का एक मूल है एक्स= 4. दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर, हमें समीकरण 2 . प्राप्त होता है एक्स- 1 + 5 = 7 + 5 या 2 एक्स+ 4 = 12 जिसका मूल समान है एक्स = 4.

2. यदि समीकरण के दोनों भागों में समान पद हैं, तो उन्हें छोड़ा जा सकता है।

उदाहरण। समीकरण 9 एक्स + 5एक्स = 18 + 5एक्सएक जड़ है एक्स= 2. दोनों भागों में लोप करना 5 एक्स, हम समीकरण 9 . प्राप्त करते हैं एक्स= 18 जिसका मूल समान है एक्स = 2.

3. समीकरण के किसी भी पद को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में इसके चिह्न को विपरीत में बदलकर स्थानांतरित किया जा सकता है।

उदाहरण। समीकरण 7 एक्स - 11 = 3 का एक मूल है एक्स= 2. यदि हम 11 को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं विपरीत चिन्ह, हम समीकरण 7 . प्राप्त करते हैं एक्स= 3 + 11 जिसका एक ही हल है एक्स = 2.

4. समीकरण के दोनों हिस्सों को किसी भी अभिव्यक्ति (संख्या) से गुणा किया जा सकता है जो अज्ञात के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए समझ में आता है और गैर-शून्य है, परिणामी समीकरण इस के बराबर होगा।

उदाहरण। समीकरण 2 एक्स - 15 = 10 – 3एक्सएक जड़ है एक्स= 5. दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर, हमें समीकरण 3(2 .) प्राप्त होता है एक्स - 15) = 3(10 – 3एक्स) या 6 एक्स – 45 =30 – 9एक्स, जिसकी जड़ एक ही है एक्स = 5.

5. समीकरण के सभी पदों के चिह्नों को उलटा किया जा सकता है (यह दोनों भागों को (-1) से गुणा करने के बराबर है)।

उदाहरण। समीकरण - 3 एक्स + 7 = - 8 दोनों भागों को (-1) से गुणा करने पर 3 . का रूप लेगा एक्स - 7 = 8. पहले और दूसरे समीकरणों का एक ही मूल है एक्स = 5.

6. समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य के अलावा एक ही संख्या से विभाजित किया जा सकता है (अर्थात शून्य के बराबर नहीं)।

उदाहरण..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> इसके बराबर है क्योंकि इसकी दो जड़ें समान हैं: और https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> दोनों भागों को 14 से गुणा करने के बाद, यह इस तरह दिखेगा:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, जहां मनमानी संख्याएं, एक्स- अज्ञात, बुलाया एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री समीकरण(या रैखिकएक अज्ञात के साथ समीकरण)।

उदाहरण। 2 एक्स + 3 = 7 – 0,5एक्स ; 0,3एक्स = 0.

एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री समीकरण का हमेशा एक समाधान होता है; एक रैखिक समीकरण में समाधान नहीं हो सकते हैं () या उनके पास नहीं हो सकता है अनंत समुच्चय(https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48">.

समाधान। समीकरण के सभी पदों को हर के सबसे छोटे सामान्य गुणज से गुणा करें, जो कि 12 है।

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

हम एक भाग (बाएं) में अज्ञात शब्दों को समूहित करते हैं, और दूसरे भाग में (दाएं) - मुक्त शर्तें:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">। दोनों भागों को (-22) से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं एक्स = 7.

दो अज्ञात के साथ पहली डिग्री के दो समीकरणों की प्रणाली

https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> जैसे समीकरण को कहा जाता है दो अज्ञात x . के साथ प्रथम डिग्री समीकरणतथा पर. यदि वे दो या दो से अधिक समीकरणों के सामान्य समाधान ढूंढते हैं, तो वे कहते हैं कि ये समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं, वे आमतौर पर एक दूसरे के नीचे लिखे जाते हैं और एक घुंघराले ब्रैकेट के साथ संयुक्त होते हैं, उदाहरण के लिए।

अज्ञात का प्रत्येक युग्म जो एक साथ निकाय के दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, कहलाता है सिस्टम समाधान. सिस्टम को हल करें- इसका मतलब है कि इस प्रणाली के सभी समाधान ढूंढना या यह दिखाना कि यह उनके पास नहीं है। समीकरणों की दो प्रणालियों को कहा जाता है बराबर (बराबर), यदि उनमें से एक के सभी समाधान दूसरे के समाधान हैं, और इसके विपरीत, दूसरे के सभी समाधान पहले के समाधान हैं।

उदाहरण के लिए, सिस्टम का समाधान संख्याओं की एक जोड़ी है एक्स= 4 और पर= 3. ये संख्याएं भी हैं एकमात्र समाधानप्रणाली . इसलिए, समीकरणों की ये प्रणाली समतुल्य हैं।

समीकरणों के सिस्टम को हल करने के तरीके

1. मार्ग बीजीय जोड़. यदि दोनों समीकरणों में किसी अज्ञात के गुणांक निरपेक्ष मान में समान हैं, तो दोनों समीकरणों को जोड़कर (या एक को दूसरे से घटाकर), आप एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इस समीकरण को हल करके, एक अज्ञात निर्धारित किया जाता है, और इसे सिस्टम के समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करके, दूसरा अज्ञात पाया जाता है।

उदाहरण: समीकरणों के सिस्टम को हल करें: 1)।

यहाँ के लिए गुणांक परनिरपेक्ष मान में बराबर लेकिन चिह्न में विपरीत होते हैं। एक के साथ समीकरण प्राप्त करने के लिए अज्ञात समीकरणहम सिस्टम शब्द को शब्द से जोड़ते हैं:

प्राप्त मूल्य एक्स= 4 हम सिस्टम के कुछ समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, उदाहरण के लिए, पहले वाले में, और मान ज्ञात करें पर: .

उत्तर: एक्स = 4; पर = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. प्रतिस्थापन विधि।सिस्टम के किसी भी समीकरण से, हम अज्ञात में से एक को बाकी के रूप में व्यक्त करते हैं, और फिर हम इस अज्ञात के मूल्य को शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं। विशिष्ट उदाहरणों के साथ इस विधि पर विचार करें:

1) आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें। आइए हम पहले समीकरण से अज्ञात में से एक को व्यक्त करें, उदाहरण के लिए एक्स: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

स्थानापन्न पर= 1 के लिए व्यंजक में एक्स, हम पाते हैं .

उत्तर: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. इस मामले में, व्यक्त करना सुविधाजनक है परदूसरे समीकरण से:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">मान को प्रतिस्थापित करें एक्स= 5 के लिए व्यंजक में पर, हमें https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src="> मिलता है।

3) आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">। इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं एक अज्ञात के साथ एक समीकरण पर: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

उत्तर: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> ।

आइए सिस्टम को फिर से लिखें: . हम अज्ञात को सेटिंग द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है रैखिक प्रणाली ..gif" width="11 height=17" height="17"> दूसरे समीकरण में, हमें एक अज्ञात के साथ एक समीकरण मिलता है:

मूल्य को प्रतिस्थापित करना वीके लिए अभिव्यक्ति में टी, हम पाते हैं: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> हम पाते हैं।

उत्तर: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, जहां अज्ञात के लिए गुणांक हैं, https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, तो सिस्टम में है एकमात्र वस्तुसमाधान।

बी) यदि https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, तो सिस्टम में है अनंत समुच्चयसमाधान।

उदाहरण..gif" width="47" height="48 src=">), इसलिए सिस्टम का एक अनूठा समाधान है।

सचमुच, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

उदाहरण..gif" चौड़ाई = "91 ऊंचाई = 48" ऊंचाई = "48"> या कमी के बाद, इसलिए सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण..gif" चौड़ाई = "116 ऊँचाई = 48" ऊँचाई = "48"> या छोटा करने के बाद , इसलिए सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

मापांक युक्त समीकरण

मॉड्यूल वाले समीकरणों को हल करते समय, मॉड्यूल की अवधारणा का उपयोग किया जाता है वास्तविक संख्या. मापांक (निरपेक्ष मूल्य ) वास्तविक संख्या एकसंख्या को ही कहा जाता है यदि और विपरीत संख्या (– एक), अगर https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

तो, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, चूंकि संख्या 3 > 0; , क्योंकि संख्या 5 है< 0, поэтому ; , इसलिये (); , इसलिये ।

मॉड्यूल गुण:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

यह देखते हुए कि मॉड्यूल के नीचे की अभिव्यक्ति दो मान ले सकती है https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, फिर दिया गया समीकरणदो समीकरणों को हल करने के लिए कम कर देता है: और or तथा ..gif" width="52" height="20 src=">. आइए प्रत्येक मान को प्रतिस्थापित करके एक जांच करें एक्सस्थिति में: अगर https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 स्रोत = ">।

उत्तर: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

उदाहरण..gif"चौड़ाई="408" ऊंचाई="55">

उत्तर: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

उदाहरण..gif" width="137" height="20"> और . परिणामी मानों को अलग रखें एक्सपर संख्यात्मक अक्ष, इसे अंतराल में तोड़ना:

अगर https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, क्योंकि इस अंतराल में, दोनों भाव मॉड्यूल साइन के नीचे हैं शून्य से कम, और, मॉड्यूल को हटाकर, हमें व्यंजक के चिह्न को विपरीत में बदलना होगा। आइए परिणामी समीकरण को हल करें:

Gif" चौड़ाई = "75 ऊँचाई = 24" ऊँचाई = "24">। सीमा मान को पहले और दूसरे स्पैन दोनों में शामिल किया जा सकता है, जैसे मान को दूसरे और तीसरे दोनों में शामिल किया जा सकता है। दूसरे अंतराल में, हमारा समीकरण रूप लेगा: - इस अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, यानी, इस अंतराल पर, समाधान के समीकरण में मॉड्यूलस चिह्न के तहत समाधान नहीं होते हैं, हम उन्हें शून्य के बराबर करते हैं। हम सभी अभिव्यक्तियों की जड़ों को ढूंढते हैं,

अगली रिक्ति https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" चौड़ाई = "125" ऊंचाई = "25">, जहां ए, बी, सीमनमानी संख्याएं हैं ( एक 0), और एक्सएक चर है जिसे कहा जाता है वर्ग. इस समीकरण को हल करने के लिए, आपको विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है डी = बी 2 – 4एसी. यदि एक डी> 0, तो द्विघात समीकरण के दो हल (मूल) हैं: तथा .

यदि एक डी= 0, द्विघात समीकरण में स्पष्ट रूप से दो हैं समान समाधान(मूल के गुणक)।

यदि एक डी< 0, квадратное уравнение не имеет असली जड़ें.

यदि गुणांकों में से एक बीया सी शून्य, तब द्विघात समीकरण को विवेचक की गणना के बिना हल किया जा सकता है:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> एक्स(कुल्हाड़ी+ बी)=0

2)कुल्हाड़ी 2 + सी = 0 कुल्हाड़ी 2 = – सी; अगर https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

द्विघात समीकरण के गुणांकों और जड़ों के बीच निर्भरताएँ होती हैं, जिन्हें सूत्र या विएटा के प्रमेय के रूप में जाना जाता है:

बिस्क्वेयरसमीकरण फॉर्म के समीकरण हैं https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">, फिर मूल समीकरण से हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है, जो हम पाते हैं पर, और फिर एक्स, सूत्र के अनुसार।

उदाहरण। प्रश्न हल करें . हम समानता के दोनों हिस्सों में भाव लाते हैं आम विभाजक..gif" width="212" height="29 src=">. हम परिणामी द्विघात समीकरण को हल करते हैं: , इस समीकरण में एक= 1, बी= –2,सी= -15, तो विवेचक बराबर है: डी = बी 2 – 4एसी= 64. समीकरण जड़ें: , ..gif" चौड़ाई = "130 ऊंचाई = 25" ऊंचाई = "25">। हम प्रतिस्थापन करते हैं। तब समीकरण बन जाता है एक द्विघात समीकरण है, जहाँ एक= 1, बी= – 4,सी= 3, इसका विभेदक है: डी = बी 2 – 4एसी = 16 – 12 = 4.

द्विघात समीकरण की जड़ें क्रमशः बराबर हैं: तथा .

मूल समीकरण की जड़ें , , , ..gif" चौड़ाई = "78" ऊंचाई = "51">, जहां पीएन(एक्स) तथा बजे(एक्स) डिग्री के बहुपद हैं एनतथा एमक्रमश। एक अंश शून्य होता है यदि अंश शून्य है और हर नहीं है, लेकिन ऐसा बहुपद समीकरण मुख्य रूप से लंबे परिवर्तनों, एक समीकरण से दूसरे समीकरण में संक्रमण के बाद ही प्राप्त होता है। हल करने की प्रक्रिया में, इसलिए, प्रत्येक समीकरण को कुछ नए से बदल दिया जाता है, और नए में नई जड़ें हो सकती हैं। जड़ों में इन परिवर्तनों का पालन करना, जड़ों के नुकसान को रोकना और अतिरिक्त को अस्वीकार करने में सक्षम होना कार्य है सही निर्णयसमीकरण

यह स्पष्ट है कि सबसे अच्छा तरीका- हर बार एक समीकरण को तुल्य समीकरण से बदलें, तो अंतिम समीकरण के मूल मूल समीकरण के मूल होंगे। हालांकि, ऐसे सही रास्ताव्यवहार में लागू करना मुश्किल है। एक नियम के रूप में, समीकरण को इसके परिणाम से बदल दिया जाता है, जो जरूरी नहीं कि इसके बराबर हो, जबकि पहले समीकरण की सभी जड़ें दूसरे की जड़ें हों, यानी जड़ों का नुकसान नहीं होता है, लेकिन बाहरी होते हैं प्रकट हो सकता है (या प्रकट नहीं हो सकता है)। मामले में जब कम से कम एक बार परिवर्तन की प्रक्रिया में समीकरण को एक असमान से बदल दिया गया था, तो हमें चाहिए अनिवार्य जांचप्राप्त जड़ें।

इसलिए, यदि समाधान तुल्यता और बाहरी जड़ों के स्रोतों का विश्लेषण किए बिना किया गया था, तो जाँच है अनिवार्य हिस्सासमाधान। सत्यापन के बिना, समाधान पूर्ण नहीं माना जाएगा, भले ही बाहरी जड़ेंउपस्थित नहीं हुआ। जब वे प्रकट हुए और खारिज नहीं किए गए, तो यह निर्णय बिल्कुल गलत है।

यहाँ एक बहुपद के कुछ गुण दिए गए हैं:

बहुपद की जड़मूल्य को बुलाओ एक्स, जिसके लिए बहुपद शून्य के बराबर है। घात n के किसी भी बहुपद का ठीक-ठीक होता है एनजड़ें यदि बहुपद समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है, तो , कहाँ पे एक्स 1, एक्स 2,…, xnसमीकरण के मूल हैं।

कोई भी बहुपद है सम डिग्रीवास्तविक गुणांकों के साथ कम से कम एक वास्तविक मूल होता है, और सामान्य तौर पर इसकी वास्तविक जड़ों की संख्या हमेशा विषम होती है। सम घात वाले बहुपद के वास्तविक मूल नहीं हो सकते हैं, और जब वे ऐसा करते हैं, तो उनकी संख्या सम होती है।

एक बहुपद को किसी भी परिस्थिति में विघटित किया जा सकता है रैखिक कारकऔर वर्ग ट्रिनोमियल्स . के साथ नकारात्मक विभेदक. अगर हम इसकी जड़ जानते हैं एक्स 1, तो पीएन(एक्स) = (एक्स -एक्स 1) पं- 1(एक्स).

यदि एक पीएन(एक्स) = 0 सम अंश का समीकरण है, तो इसे गुणन करने की विधि के अतिरिक्त आप चर के परिवर्तन को प्रस्तुत करने का प्रयास कर सकते हैं, जिसकी सहायता से समीकरण की घात कम हो जाएगी।

उदाहरण। प्रश्न हल करें:

तीसरी (विषम) डिग्री के इस समीकरण का मतलब है कि एक सहायक चर को पेश करना असंभव है जो समीकरण की डिग्री को कम करेगा। इसे बाईं ओर फैक्टर करके हल किया जाना चाहिए, जिसके लिए हम पहले कोष्ठक खोलते हैं, और फिर इसे मानक रूप में लिखते हैं।

हम पाते हैं: एक्स 3 + 5एक्स – 6 = 0.

यह घटा हुआ समीकरण है (गुणांक at उच्चतम डिग्री एक के बराबर), इसलिए हम मुक्त पद - 6. के गुणनखंडों के बीच इसकी जड़ों की तलाश कर रहे हैं। ये संख्याएँ ±1, ±2, ±3, ±6 हैं। स्थानापन्न एक्स = 1 समीकरण में, हम देखते हैं कि एक्स = 1 इसका मूल है, इसलिए बहुपद एक्स 3 + 5एक्स-6 = 0 से विभाजित ( एक्स- 1) कोई अवशेष नहीं। आइए इस विभाजन को करें:

एक्स 3 + 5एक्स –6 = 0 एक्स- 1

एक्स 3 – एक्स 2 एक्स 2+x + 6

एक्स 2 + 5एक्स- 6

एक्स 2- एक्स

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 एक्स- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 एक्स- 6

इसीलिए एक्स 3 + 5एक्स –6 = 0; (एक्स- 1)(एक्स 2+ एक्स + 6) = 0

पहला समीकरण मूल देता है एक्स = 1, जो पहले से ही चयनित है, और दूसरे समीकरण में डी< 0, इसमें नहीं है वास्तविक समाधान. इस समीकरण के ODZ के बाद से, यह जांचना संभव नहीं है।

उदाहरण..gif" width="52" height="21 src=">. यदि आप पहले गुणनखंड को तीसरे से गुणा करते हैं, और दूसरे को चौथे से गुणा करते हैं, तो इन उत्पादों के वही भाग होंगे, जो इस पर निर्भर करते हैं एक्स: (एक्स 2 + 4एक्स – 5)(एक्स 2 + 4एक्स – = 0.

होने देना एक्स 2 + 4एक्स = आप, तब हम समीकरण को रूप में लिखते हैं ( आप – 5)(वाई- 21) – 297 = 0.

इस द्विघात समीकरण के हल हैं: आप 1 = 32, आप 2 = - 6 ..gif" चौड़ाई = "140" ऊंचाई = "61 src=">; ODZ: एक्स ≠ – 9.

यदि हम इस समीकरण को एक सामान्य हर में घटाते हैं, तो अंश में चौथी डिग्री का एक बहुपद दिखाई देगा। तो, इसे चर को बदलने की अनुमति है, जिससे समीकरण की डिग्री कम हो जाएगी। इसलिए, इस समीकरण को तुरंत एक सामान्य भाजक के रूप में कम करना आवश्यक नहीं है। यहां आप देख सकते हैं कि बाईं ओर वर्गों का योग है। तो, आप इसे इसमें जोड़ सकते हैं पूर्ण वर्गरकम या अंतर। वास्तव में, इन वर्गों के आधारों के गुणनफल को घटाना और जोड़ना: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, फिर आप 2 + 18आप- 40 = 0. वियत प्रमेय के अनुसार आप 1 = 2; आप 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32">, और दूसरे में डी< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

उत्तर: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" चौड़ाई = "132" ऊंचाई = "50 src = ">।

हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है एक(आप 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">।

अपरिमेय समीकरण

तर्कहीनएक समीकरण कहा जाता है जिसमें चर मूलांक (मूल .) के चिह्न के अंतर्गत निहित होता है ) या ऊंचाई के संकेत के तहत भिन्नात्मक डिग्री(..gif" width="120" height="32"> and अज्ञात की परिभाषा का एक ही डोमेन है। पहले और दूसरे समीकरणों का वर्ग करने पर, हमें वही समीकरण मिलता है . इस समीकरण के हल दोनों अपरिमेय समीकरणों के हल हैं।

1. प्रतिस्थापन विधिसिस्टम के किसी भी समीकरण से हम एक अज्ञात को दूसरे के रूप में व्यक्त करते हैं और इसे सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

एक कार्य।समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान।सिस्टम के पहले समीकरण से, हम व्यक्त करते हैं परके माध्यम से एक्सऔर सिस्टम के दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें। आइए सिस्टम प्राप्त करें मूल के बराबर।

ऐसी शर्तें लाने के बाद, सिस्टम रूप लेगा:

दूसरे समीकरण से हम पाते हैं: . इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करना पर = 2 - 2एक्स, हम पाते हैं पर= 3. इसलिए, इस प्रणाली का हल संख्याओं का एक युग्म है।

2. बीजीय जोड़ विधि: दो समीकरणों को जोड़कर एक चर वाला समीकरण प्राप्त करें।

एक कार्य।सिस्टम समीकरण हल करें:

समाधान।दूसरे समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर हमें निकाय प्राप्त होता है मूल के बराबर। इस निकाय के दो समीकरणों को जोड़ने पर हम निकाय पर पहुँचते हैं

समान शर्तों को कम करने के बाद, यह प्रणाली रूप लेगी: दूसरे समीकरण से हम पाते हैं। इस मान को समीकरण 3 . में प्रतिस्थापित करना एक्स + 4पर= 5, हमें प्राप्त होता है , कहाँ पे । इसलिए, इस प्रणाली का हल संख्याओं का एक युग्म है।

3. नए चर पेश करने की विधि: हम सिस्टम में कुछ दोहराए गए अभिव्यक्तियों की तलाश कर रहे हैं, जिन्हें हम नए चरों द्वारा निरूपित करेंगे, जिससे सिस्टम का रूप सरल हो जाएगा।

एक कार्य।समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान।आइए लिखते हैं यह प्रणालीअन्यथा:

होने देना एक्स + वाई = तुम, हो = वीतब हमें सिस्टम मिलता है

आइए इसे प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करते हैं। सिस्टम के पहले समीकरण से, हम व्यक्त करते हैं तुमके माध्यम से वीऔर सिस्टम के दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें। आइए सिस्टम प्राप्त करें वे।

प्रणाली के दूसरे समीकरण से हम पाते हैं वी 1 = 2, वी 2 = 3.

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करना तुम = 5 - वी, हम पाते हैं तुम 1 = 3,
तुम 2 = 2. तब हमारे पास दो प्रणालियाँ हैं

पहली प्रणाली को हल करने पर, हमें संख्याओं के दो जोड़े (1; 2), (2; 1) मिलते हैं। दूसरी प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम

1. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें।

प्राप्त समीकरणों की प्रणाली विस्तृत आवेदनआर्थिक क्षेत्र में गणितीय मॉडलिंग विभिन्न प्रक्रियाएं. उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्ग (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

समीकरण प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है, जब जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल किया जाता है।

व्यवस्था रेखीय समीकरणऐसे दो या दो से अधिक समीकरणों के नाम लिखिए जिनमें कई चर हों जिनके लिए खोजना आवश्यक है सामान्य निर्णय. संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण वास्तविक समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं, जिनका मान ज्ञात होना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसका ग्राफ बनाकर समीकरण को हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखाई देगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद का हल हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल दो चर X और Y वाले रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरण हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहां F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें - इसका अर्थ है ऐसे मान (x, y) को खोजना जिसके लिए प्रणाली एक सच्ची समानता बन जाती है, या यह स्थापित करना कि x और y के कोई उपयुक्त मान नहीं हैं।

बिंदु निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों (x, y) की एक जोड़ी को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों के सजातीय सिस्टम सिस्टम हैं दाहिना भागजो शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद दाहिने भाग का मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली सजातीय नहीं है।

चरों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

सिस्टम का सामना करते हुए, स्कूली बच्चे मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, उनमें से एक मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में हो सकती है।

समीकरणों के निकाय को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

कोई आम नहीं है विश्लेषणात्मक विधिसमान प्रणालियों के समाधान, सभी विधियाँ संख्यात्मक समाधानों पर आधारित होती हैं। स्कूल गणित पाठ्यक्रम में क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान जैसी विधियों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

हल करने के तरीकों को पढ़ाने में मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही तरीके से विश्लेषण कैसे करें और खोजें इष्टतम एल्गोरिथमप्रत्येक उदाहरण के लिए समाधान। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और क्रियाओं की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।

कार्यक्रम की 7वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरण हल करना माध्यमिक स्कूलकाफी सरल और विस्तार से समझाया गया है। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले पाठ्यक्रमों में गॉस और क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों के समाधान का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना है। व्यंजक को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा 7वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक उदाहरण दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर एक्स को एफ (एक्स) = 7 + वाई के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, एक्स के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, ने दूसरे समीकरण में एक चर वाई प्राप्त करने में मदद की . समाधान यह उदाहरणकठिनाइयों का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मूल्यों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में चर की अभिव्यक्ति आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन समाधान भी अव्यावहारिक होता है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग कर समाधान

जोड़ विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, समीकरणों का पदवार जोड़ और गुणा विभिन्न नंबर. एकमात्र उद्देश्य गणितीय संचालनएक चर के साथ एक समीकरण है।

अनुप्रयोगों के लिए यह विधियह अभ्यास और अवलोकन लेता है। 3 या अधिक चरों की संख्या के साथ योग विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। बीजगणितीय योग तब उपयोगी होता है जब समीकरणों में भिन्न और दशमलव संख्याएँ हों।

समाधान क्रिया एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। नतीजतन अंकगणितीय संक्रियाचर के गुणांकों में से एक को 1 के बराबर होना चाहिए।
2. परिणामी व्यंजक पद को पद के अनुसार जोड़ें और अज्ञात में से एक का पता लगाएं।
3. शेष चर को खोजने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर पेश करके समाधान विधि

एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता होती है, तो अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का प्रयोग किसी एक समीकरण को एक नए चर का परिचय देकर सरल बनाने के लिए किया जाता है। नया समीकरण दर्ज अज्ञात के संबंध में हल किया जाता है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण से पता चलता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को मानक तक कम करना संभव था वर्ग त्रिपद. आप विभेदक का पता लगाकर बहुपद को हल कर सकते हैं।

इसके द्वारा विवेचक का मूल्य ज्ञात करना आवश्यक है प्रसिद्ध सूत्र: D = b2 - 4*a*c, जहाँ D वांछित विभेदक है, b, a, c बहुपद के गुणक हैं। पर दिया गया उदाहरणए = 1, बी = 16, सी = 39, इसलिए डी = 100। यदि विवेचक शून्य से बड़ा है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विवेचक शून्य से कम है, तो केवल एक ही समाधान है: x= -b / 2*a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए एक दृश्य विधि

3 समीकरणों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त। विधि पर निर्माण करना है समन्वय अक्षप्रणाली में शामिल प्रत्येक समीकरण के रेखांकन। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निकाय का सामान्य हल होंगे।

ग्राफिक विधि में कई बारीकियां हैं। एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु निकाय का समाधान है।

पर निम्नलिखित उदाहरणखोजने के लिए आवश्यक ग्राफिक समाधानरैखिक समीकरणों की प्रणाली: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0.

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं है कि सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

मैट्रिक्स का उपयोग के लिए किया जाता है संक्षेपाक्षररैखिक समीकरणों की प्रणाली। एक टेबल को मैट्रिक्स कहा जाता है। विशेष प्रकारसंख्याओं से भरा हुआ। n*m में n-पंक्तियाँ और m-स्तंभ हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। एक मैट्रिक्स-वेक्टर एक एकल-स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें असीमित संभव पंक्तियों की संख्या होती है। एक विकर्ण और अन्य के साथ इकाइयों के साथ मैट्रिक्स शून्य तत्वएकवचन कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जिसे गुणा करने पर मूल एक इकाई में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त सदस्यों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चर की संख्या भिन्न होती है, तो लापता अज्ञात के स्थान पर शून्य दर्ज करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स के कॉलम सख्ती से चर के अनुरूप होने चाहिए। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

मैट्रिक्स को गुणा करते समय, सभी मैट्रिक्स तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के विकल्प

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहाँ K -1 - उलटा मैट्रिक्स, और |के| - मैट्रिक्स निर्धारक। |के| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास एक समाधान है।

निर्धारक की गणना दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए आसानी से की जाती है, केवल तत्वों को एक दूसरे से तिरछे गुणा करना आवश्यक है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि उत्पाद में तत्वों के स्तंभ और पंक्ति संख्या दोहराई न जाए।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरणों का समाधान

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि से सिस्टम को हल करते समय बोझिल नोटेशन को कम करना संभव हो जाता है बड़ी मात्राचर और समीकरण।

उदाहरण में, एक एनएम समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त शब्द हैं।

गॉस विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

पर उच्च गणितगॉस विधि का क्रैमर विधि के साथ अध्ययन किया जाता है, और सिस्टम का समाधान खोजने की प्रक्रिया को गॉस-क्रैमर समाधान विधि कहा जाता है। खोजने के लिए इन विधियों का उपयोग किया जाता है सिस्टम चरबहुत सारे रैखिक समीकरणों के साथ।

गाऊसी विधि प्रतिस्थापन और बीजीय जोड़ समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गॉस समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों के सिस्टम के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य प्रणाली को एक उल्टे ट्रेपोजॉइड के रूप में लाना है। मार्ग बीजीय परिवर्तनऔर प्रतिस्थापन प्रणाली के समीकरणों में से एक में एक चर का मान है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, और 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के क्रमिक प्रतिस्थापन के लिए आगे का समाधान कम हो जाता है।

पर स्कूल की पाठ्यपुस्तकेंग्रेड 7 के लिए, गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण निम्नानुसार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) में दो समीकरण 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7 प्राप्त हुए। किसी भी समीकरण का हल आपको x n में से किसी एक चर का पता लगाने की अनुमति देगा।

प्रमेय 5, जिसका उल्लेख पाठ में किया गया है, कहता है कि यदि निकाय के समीकरणों में से किसी एक को तुल्य समीकरण से बदल दिया जाए, तो परिणामी निकाय भी मूल समीकरण के तुल्य होगा।

गॉस विधि को समझना विद्यार्थियों के लिए कठिन है उच्च विद्यालय, लेकिन सबसे अधिक में से एक है दिलचस्प तरीकेकार्यक्रम में नामांकित बच्चों की सरलता विकसित करने के लिए गहन अध्ययनगणित और भौतिकी कक्षाओं में।

गणनाओं को रिकॉर्ड करने में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:

समीकरण गुणांक और मुक्त शब्द एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या को दर्शाते हैं।

सबसे पहले, वे उस मैट्रिक्स को लिखते हैं जिसके साथ काम करना है, फिर सभी क्रियाओं को पंक्तियों में से एक के साथ किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स "तीर" चिह्न के बाद लिखा गया है और आवश्यक प्रदर्शन करना जारी रखता है बीजीय क्रियाजब तक परिणाम प्राप्त नहीं हो जाता।

नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात मैट्रिक्स को एक ही रूप में घटाया जाता है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह संकेतन कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देता है।

समाधान के किसी भी तरीके के मुफ्त आवेदन के लिए देखभाल और एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी तरीके लागू नहीं होते हैं। मानव गतिविधि के किसी विशेष क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर होते हैं, जबकि अन्य सीखने के उद्देश्य से मौजूद होते हैं।

I. साधारण अंतर समीकरण

1.1. बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं

एक अवकल समीकरण एक समीकरण है जो एक स्वतंत्र चर से संबंधित है एक्स, वांछित समारोह आपऔर इसके डेरिवेटिव या अंतर।

प्रतीकात्मक अंतर समीकरणइस प्रकार लिखा है:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

एक अवकल समीकरण को साधारण कहा जाता है यदि वांछित फलन एक स्वतंत्र चर पर निर्भर करता है।

अवकल समीकरण को हल करकेऐसा फलन कहलाता है जो इस समीकरण को एक सर्वसमिका में बदल देता है।

अवकल समीकरण का क्रमइस समीकरण में उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है

उदाहरण।

1. पहले क्रम के अंतर समीकरण पर विचार करें

इस समीकरण का हल फलन y = 5 ln x है। दरअसल, प्रतिस्थापित करके वाई"समीकरण में, हमें मिलता है - एक पहचान।

और इसका अर्थ है कि फलन y = 5 ln x- इस अवकल समीकरण का हल है।

2. दूसरे क्रम के अंतर समीकरण पर विचार करें y" - 5y" + 6y = 0. फलन इस समीकरण का हल है।

सचमुच, ।

इन व्यंजकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: - पहचान।

और इसका अर्थ है कि फलन इस अवकल समीकरण का हल है।

अंतर समीकरणों का एकीकरणअवकल समीकरणों के समाधान खोजने की प्रक्रिया है।

अवकल समीकरण का सामान्य हलफॉर्म का एक फ़ंक्शन कहा जाता है , जिसमें समीकरण के क्रम के रूप में कई स्वतंत्र मनमाना स्थिरांक शामिल हैं।

अवकल समीकरण का आंशिक हलमनमाना स्थिरांक के विभिन्न संख्यात्मक मानों के लिए सामान्य समाधान से प्राप्त समाधान कहलाता है। मनमानी स्थिरांक के मान तर्क और कार्य के कुछ प्रारंभिक मूल्यों पर पाए जाते हैं।

अवकल समीकरण के किसी विशेष हल के आलेख को कहते हैं अभिन्न वक्र.

उदाहरण

1. प्रथम कोटि के अवकल समीकरण का विशेष हल ज्ञात कीजिए

xdx + ydy = 0, यदि आप= 4 पर एक्स = 3.

समाधान। समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं

टिप्पणी। एकीकरण के परिणामस्वरूप प्राप्त एक मनमाना स्थिरांक सी को आगे के परिवर्तनों के लिए सुविधाजनक किसी भी रूप में दर्शाया जा सकता है। इस मामले में, वृत्त के विहित समीकरण को ध्यान में रखते हुए, रूप में एक मनमाना स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक है।

अवकल समीकरण का सामान्य हल है।

एक समीकरण का एक विशेष समाधान जो प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है आप = 4 पर एक्स = 3 प्रारंभिक स्थितियों को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करके सामान्य से पाया जाता है: 3 2 + 4 2 = C 2; सी = 5।

C=5 को व्यापक हल में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं x2+y2 = 5 2 .

यह दी गई प्रारंभिक स्थितियों के तहत सामान्य समाधान से प्राप्त अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान है।

2. अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए

इस समीकरण का हल रूप का कोई भी फलन है, जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है। वास्तव में, समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: , ।

इसलिए, इस अंतर समीकरण में अनंत संख्या में समाधान हैं, क्योंकि निरंतर सी के विभिन्न मूल्यों के लिए, समानता निर्धारित करती है विभिन्न समाधानसमीकरण

उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि फ़ंक्शन समीकरण के हल हैं।

एक समस्या जिसमें समीकरण का एक विशेष हल खोजने की आवश्यकता होती है वाई" = एफ (एक्स, वाई)प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करना y(x0) = y0कॉची समस्या कहा जाता है।

समीकरण समाधान वाई" = एफ (एक्स, वाई), प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करना, y(x0) = y0, कौची समस्या का समाधान कहा जाता है।

कॉची समस्या के समाधान का एक सरल ज्यामितीय अर्थ है। दरअसल, इन परिभाषाओं के अनुसार, कॉची समस्या को हल करने के लिए वाई" = एफ (एक्स, वाई)इस शर्त पर y(x0) = y0, समीकरण का अभिन्न वक्र खोजने का मतलब है वाई" = एफ (एक्स, वाई)जो गुजरता है दिया गया बिंदु एम0 (x0 .),वाई 0).

द्वितीय. पहले क्रम के अंतर समीकरण

2.1. मूल अवधारणा

एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण फॉर्म का एक समीकरण है एफ (एक्स, वाई, वाई") = 0।

पहले ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन में पहला व्युत्पन्न शामिल होता है और इसमें उच्च ऑर्डर डेरिवेटिव शामिल नहीं होता है।

समीकरण वाई" = एफ (एक्स, वाई)व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया प्रथम-क्रम समीकरण कहलाता है।

प्रथम-क्रम अवकल समीकरण का एक सामान्य समाधान रूप का एक फलन होता है, जिसमें एक मनमाना स्थिरांक होता है।

उदाहरण।पहले क्रम के अंतर समीकरण पर विचार करें।

इस समीकरण का हल फलन है।

वास्तव में, इस समीकरण को इसके मान से बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं

वह है 3x=3x

इसलिए, फलन किसी भी स्थिरांक C के समीकरण का एक सामान्य हल है।

इस समीकरण का एक विशेष हल खोजें जो प्रारंभिक शर्त को पूरा करता हो वाई(1)=1प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करना एक्स = 1, वाई = 1समीकरण के व्यापक हल में, हम प्राप्त करते हैं जहाँ से सी = 0.

इस प्रकार, हम इस समीकरण में परिणामी मान को प्रतिस्थापित करके सामान्य से एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं सी = 0निजी फैसला है।

2.2. वियोज्य चर के साथ विभेदक समीकरण

वियोज्य चर के साथ एक अंतर समीकरण फॉर्म का एक समीकरण है: वाई" = एफ (एक्स) जी (वाई)या अंतर के माध्यम से, जहां एफ (एक्स)तथा जी (वाई)कार्य दिए गए हैं।

उन लोगों के लिए आप, जिसके लिए , समीकरण वाई" = एफ (एक्स) जी (वाई)समीकरण के बराबर है जिसमें चर आपकेवल बाईं ओर मौजूद है, और चर x केवल दाईं ओर मौजूद है। वे कहते हैं, "समीकरण में y"=f(x)g(yचर को अलग करना।

समीकरण टाइप करें पृथक चर समीकरण कहलाता है।

समीकरण के दोनों भागों को समाकलित करने के बाद पर एक्स, हम पाते हैं जी (वाई) = एफ (एक्स) + सीसमीकरण का सामान्य हल है, जहाँ जी (वाई)तथा एफ (एक्स)कुछ प्रतिअवकलज हैं, क्रमशः, कार्यों के और एफ (एक्स), सीमनमाना स्थिरांक।

वियोज्य चर के साथ प्रथम-क्रम अंतर समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम

उदाहरण 1

प्रश्न हल करें वाई" = xy

समाधान। एक समारोह का व्युत्पन्न वाई"के साथ बदलें

हम चर को अलग करते हैं

आइए समानता के दोनों भागों को एकीकृत करें:

उदाहरण 2

2वर्ष" = 1- 3x 2, यदि वाई 0 = 3पर x0 = 1

यह एक अलग चर समीकरण है। आइए इसे अंतरों में दर्शाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इस समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं यहाँ से

अंतिम समानता के दोनों भागों को एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं

प्रारंभिक मूल्यों को प्रतिस्थापित करना एक्स 0 = 1, वाई 0 = 3पाना से 9=1-1+सी, अर्थात। सी = 9.

अत: वांछित आंशिक समाकल होगा या

उदाहरण 3

एक बिंदु से गुजरने वाले वक्र के लिए एक समीकरण लिखें एम(2;-3)और एक ढलान के साथ एक स्पर्शरेखा होना

समाधान। शर्त के अनुसार

यह एक वियोज्य चर समीकरण है। चरों को विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करना, एक्स = 2तथा वाई=-3पाना सी:

इसलिए, वांछित समीकरण का रूप है

2.3. पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण

एक प्रथम-क्रम रैखिक अवकल समीकरण फ़ॉर्म का एक समीकरण है वाई" = एफ (एक्स) वाई + जी (एक्स)

कहाँ पे एफ (एक्स)तथा जी (एक्स)- कुछ दिए गए कार्य।

यदि एक जी (एक्स) = 0तब रैखिक अंतर समीकरण को सजातीय कहा जाता है और इसका रूप होता है: y" = f(x)y

यदि तब समीकरण वाई" = एफ (एक्स) वाई + जी (एक्स)विषमांगी कहा जाता है।

एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान y" = f(x)yसूत्र द्वारा दिया गया: जहाँ सेएक मनमाना स्थिरांक है।

विशेष रूप से, यदि सी \u003d 0,तो समाधान है वाई = 0यदि रैखिक सजातीय समीकरणरूप है वाई" = क्यूकहाँ पे ककुछ स्थिर है, तो इसके सामान्य समाधान का रूप है:।

एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान वाई" = एफ (एक्स) वाई + जी (एक्स)सूत्र द्वारा दिया गया ,

वे। संबंधित रैखिक समांगी समीकरण के सामान्य समाधान और इस समीकरण के विशेष समाधान के योग के बराबर है।

फॉर्म के रैखिक अमानवीय समीकरण के लिए वाई" = केएक्स + बी,

कहाँ पे कतथा बी- कुछ संख्याएँ और एक विशेष हल एक स्थिर फलन होगा। इसलिए, सामान्य समाधान का रूप है।

उदाहरण. प्रश्न हल करें वाई" + 2y +3 = 0

समाधान। हम रूप में समीकरण का प्रतिनिधित्व करते हैं वाई" = -2y - 3कहाँ पे के = -2, बी = -3सामान्य समाधान सूत्र द्वारा दिया गया है।

अत: जहाँ C एक स्वेच्छ अचर है।

2.4. बर्नौली विधि द्वारा प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों का हल

प्रथम-क्रम रैखिक विभेदक समीकरण का सामान्य हल ढूँढना वाई" = एफ (एक्स) वाई + जी (एक्स)प्रतिस्थापन का उपयोग करके अलग किए गए चर के साथ दो अंतर समीकरणों को हल करने के लिए कम कर देता है वाई = यूवी, कहाँ पे तुमतथा वी- से अज्ञात कार्य एक्स. इस समाधान विधि को बर्नौली विधि कहा जाता है।

प्रथम-क्रम रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम

वाई" = एफ (एक्स) वाई + जी (एक्स)

1. एक प्रतिस्थापन दर्ज करें वाई = यूवी.

2. इस समानता में अंतर करें वाई"=यू"वी + यूवी"

3. स्थानापन्न आपतथा वाई"इस समीकरण में: यू "वी + यूवी" =एफ (एक्स) यूवी + जी (एक्स)या यू "वी + यूवी" + एफ (एक्स) यूवी = जी (एक्स).

4. समीकरण के पदों को इस प्रकार समूहित करें कि तुमइसे कोष्ठक से बाहर निकालें:

5. कोष्टक से, इसे शून्य के बराबर करके, फलन ज्ञात कीजिए

यह एक वियोज्य समीकरण है:

चर को विभाजित करें और प्राप्त करें:

कहाँ पे . .

6. प्राप्त मूल्य को प्रतिस्थापित करें वीसमीकरण में (आइटम 4 से):

और फलन ज्ञात कीजिए यह एक वियोज्य समीकरण है:

7. सामान्य समाधान इस रूप में लिखें: , अर्थात। .

उदाहरण 1

समीकरण का एक विशेष हल खोजें वाई" = -2y +3 = 0यदि वाई = 1पर एक्स = 0

समाधान। आइए इसे प्रतिस्थापन के साथ हल करें वाई = यूवी,.वाई"=यू"वी + यूवी"

स्थानापन्न आपतथा वाई"इस समीकरण में, हम प्राप्त करते हैं

समीकरण के बाईं ओर दूसरे और तीसरे पदों को समूहीकृत करते हुए, हम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं तुम कोष्ठक से बाहर

हम कोष्ठक में व्यंजक को शून्य के बराबर करते हैं और परिणामी समीकरण को हल करने के बाद, हम फ़ंक्शन पाते हैं वी = वी (एक्स)

हमें अलग-अलग चर के साथ एक समीकरण मिला है। हम इस समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं: फ़ंक्शन खोजें वी:

परिणामी मान को प्रतिस्थापित करें वीसमीकरण में हमें मिलता है:

यह एक अलग चर समीकरण है। हम समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं: आइए फ़ंक्शन ढूंढें यू = यू (एक्स, सी) आइए एक सामान्य समाधान खोजें: आइए हम समीकरण का एक विशेष हल खोजें जो प्रारंभिक शर्तों को संतुष्ट करता है वाई = 1पर एक्स = 0:

III. उच्च क्रम अंतर समीकरण

3.1. बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं

एक दूसरे क्रम का अंतर समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें दूसरे क्रम से अधिक व्युत्पन्न नहीं होते हैं। सामान्य स्थिति में, दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है: एफ (एक्स, वाई, वाई", वाई") = 0

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का सामान्य समाधान रूप का एक कार्य है, जिसमें दो मनमानी स्थिरांक शामिल हैं सी 1तथा सी2.

एक दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान सामान्य से प्राप्त एक समाधान है जो मनमाने स्थिरांक के कुछ मूल्यों के लिए होता है सी 1तथा सी2.

3.2. के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण स्थिर अनुपात।

स्थिर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरणफॉर्म का समीकरण कहा जाता है y" + py" + qy = 0, कहाँ पे पीतथा क्यूस्थिर मूल्य हैं।

स्थिर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के सजातीय अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1. अवकल समीकरण को रूप में लिखिए: y" + py" + qy = 0.

2. इसका अभिलक्षणिक समीकरण लिखिए, जो को निरूपित करता है वाई"के माध्यम से r2, वाई"के माध्यम से आर, आपपहले में: आर 2 + पीआर + क्यू = 0