परिचय

1. सैद्धांतिक भाग

1.1 बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं

1.3 कार्डानो फॉर्मूला

2. समस्या समाधान

निष्कर्ष

परिचय

समीकरण। यह निश्चित रूप से कहा जा सकता है कि एक भी व्यक्ति ऐसा नहीं है जो उनसे परिचित नहीं होगा। कम उम्र से, बच्चे "X के साथ समस्याओं" को हल करना शुरू कर देते हैं। आगे। सच है, कई लोगों के लिए, समीकरणों से परिचित होना स्कूल के मामलों के साथ समाप्त होता है। प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ कूरेंट ने लिखा: "दो हजार से अधिक वर्षों के लिए, गणित के क्षेत्र में कुछ का अधिकार, बहुत सतही नहीं, ज्ञान एक आवश्यक था अभिन्न अंगप्रत्येक की बौद्धिक सूची में शिक्षित व्यक्ति". और इस ज्ञान के बीच समीकरणों को हल करने की क्षमता थी।

पहले से ही प्राचीन समय में, लोगों ने महसूस किया कि फॉर्म के बीजीय समीकरणों को हल करना सीखना कितना महत्वपूर्ण है

a0xn + a1xn ​​- 1 + ... + एक = 0

आखिरकार, अभ्यास और प्राकृतिक विज्ञान के बहुत सारे और बहुत विविध प्रश्न उनके लिए कम कर दिए जाते हैं (बेशक, यहाँ हम तुरंत मान सकते हैं कि a0 ¹ 0, क्योंकि अन्यथा समीकरण की डिग्री वास्तव में n नहीं है, लेकिन कम है)। कई, निश्चित रूप से, n की किसी भी शक्ति के लिए सूत्र खोजने के लिए आकर्षक विचार के साथ आए, जो इसके गुणांक के संदर्भ में समीकरण की जड़ों को व्यक्त करेगा, अर्थात, रेडिकल में समीकरण को हल करेगा। हालाँकि, चर्चा के तहत समस्या के संबंध में "उदास मध्य युग" जितना संभव हो उतना उदास निकला - सात पूरी शताब्दियों तक किसी को भी आवश्यक सूत्र नहीं मिले! केवल 16 वीं शताब्दी में, इतालवी गणितज्ञ आगे बढ़ने में कामयाब रहे - n \u003d 3 और 4 के सूत्र खोजने के लिए। उनकी खोजों का इतिहास और यहां तक ​​\u200b\u200bकि पाए गए सूत्रों का लेखकत्व आज तक अस्पष्ट है, और हम इसका पता नहीं लगा पाएंगे यहां मुश्किल रिश्ताफेरो, कार्डानो, टार्टाग्लिया और फेरारी के बीच, लेकिन आइए इसे बेहतर रखें गणितीय सारमामले

कार्य का उद्देश्य थर्ड डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों का पता लगाना है।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, कई कार्यों को करना आवश्यक है:

-विश्लेषण वैज्ञानिक साहित्य;

-विश्लेषण स्कूल की पाठ्यपुस्तकें;

-समाधान के लिए उदाहरणों का चयन;

-विभिन्न विधियों द्वारा समीकरणों का समाधान।

कार्य में दो भाग होते हैं। पहला समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों से संबंधित है। दूसरा भाग समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित है विभिन्न तरीके.

1. सैद्धांतिक भाग

1 बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं

एक घन समीकरण फॉर्म की तीसरी डिग्री का समीकरण है:

वह संख्या x जो समीकरण को एक सर्वसमिका में बदल देती है, समीकरण का मूल या हल कहलाती है। यह तीसरी डिग्री के बहुपद का मूल भी है, जो विहित संकेतन के बाईं ओर है।

जटिल संख्याओं के क्षेत्र में, बीजगणित के मूल प्रमेय के अनुसार, एक घन समीकरण में हमेशा 3 मूल होते हैं (बहुलता को ध्यान में रखते हुए)।

चूँकि प्रत्येक वास्तविक बहुपद नहीं होता है सम डिग्रीकम से कम एक वास्तविक जड़ है, जड़ों की संरचना के सभी संभावित मामले घन समीकरणनीचे वर्णित तीनों से थक गया। इन मामलों को विवेचक का उपयोग करके आसानी से पहचाना जा सकता है

तो केवल तीन संभावित मामले हैं:

यदि एक? > 0, तो समीकरण के तीन भिन्न वास्तविक मूल हैं।

यदि एक?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

यदि एक? = 0, तो कम से कम दो मूल संपाती होते हैं। यह तब हो सकता है जब समीकरण का दोहरा वास्तविक मूल और दूसरा भिन्न वास्तविक मूल हो; या, सभी तीन जड़ें मेल खाती हैं, बहुलता की जड़ बनाती हैं। घन समीकरण और इसके दूसरे व्युत्पन्न का परिणाम इन दो मामलों को अलग करने में मदद करता है: बहुपद में गुणन 3 की जड़ होती है यदि और केवल तभी संकेतित परिणामी भी होता है शून्य.

घन समीकरण के मूल निम्न प्रकार से गुणांकों से संबंधित हैं:

1.2 घन समीकरणों को हल करने की विधियाँ

घन समीकरणों को हल करने की सबसे आम विधि गणना विधि है।

सबसे पहले, गणना द्वारा, हम समीकरण की जड़ों में से एक पाते हैं। तथ्य यह है कि घन समीकरण हमेशा होते हैं कम से कमएक वास्तविक मूल, और पूर्णांक गुणांक वाले घन समीकरण का संपूर्ण मूल मुक्त पद d का भाजक है। इन समीकरणों के गुणांकों को आमतौर पर चुना जाता है ताकि वांछित मूल छोटे पूर्णांकों के बीच हो, जैसे: 0, ± 1, ± 2, ± 3। इसलिए, हम इन संख्याओं के बीच मूल की तलाश करेंगे और इसे प्रतिस्थापित करके इसकी जांच करेंगे। समीकरण। इस दृष्टिकोण के साथ सफलता दर बहुत अधिक है। आइए इस जड़ को मान लें।

समाधान का दूसरा चरण द्विपद x - x1 द्वारा बहुपद का विभाजन है। बेज़ाउट के प्रमेय के अनुसार, यह विभाजन शेषफल के बिना संभव है, और इसके परिणामस्वरूप हमें दूसरी डिग्री का एक बहुपद मिलता है, जिसे शून्य के बराबर होना चाहिए। समाधान प्राप्त द्विघात समीकरण, हम शेष दो मूल ज्ञात करेंगे (या नहीं)।

दो पदों के घन समीकरण का हल

दो-अवधि के घन समीकरण का रूप है (2)

इस समीकरण को गैर-शून्य गुणांक A से विभाजित करके रूप में घटाया जाता है। अगला, घनों के योग के संक्षिप्त गुणन का सूत्र लागू किया जाता है:

पहले कोष्ठक से हम पाते हैं, और वर्ग त्रिपद में केवल जटिल जड़ें.

आवर्तक घन समीकरण

पारस्परिक घन समीकरण में रूप और बी-गुणांक होते हैं।

आइए समूह बनाएं:

जाहिर है, x=-1 ऐसे समीकरण की जड़ है, और परिणामी की जड़ें वर्ग त्रिपदभेदक के माध्यम से आसानी से मिल जाते हैं।

1.3 कार्डानो फॉर्मूला

पर सामान्य मामला, घन समीकरण के मूल कार्डानो सूत्र द्वारा ज्ञात किए जाते हैं।

घन समीकरण (1) के लिए, प्रतिस्थापन का उपयोग करके मान पाए जाते हैं: x= (2), और समीकरण को रूप में घटाया जाता है:

एक अधूरा घन समीकरण जिसमें दूसरी डिग्री वाला कोई पद नहीं होगा।

हम मानते हैं कि समीकरण में गुणांक हैं जटिल आंकड़े. इस समीकरण की हमेशा जटिल जड़ें होंगी।

आइए इनमें से किसी एक मूल को निरूपित करें: . हम एक सहायक अज्ञात u का परिचय देते हैं और बहुपद f(u)= पर विचार करते हैं।

आइए इस बहुपद की जड़ों को किसके माध्यम से निरूपित करें? और?, वियत प्रमेय के अनुसार (पृष्ठ 8 देखें):

समीकरण (3), व्यंजक (4) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

दूसरी तरफ से (5): (7)

यह यहाँ से, अर्थात् सूत्रों (6), (7) से इस प्रकार है कि संख्याएँ समीकरण की जड़ें हैं:

अंतिम समीकरण से:

अन्य दो जड़ें सूत्र द्वारा पाई जाती हैं:

1.4 त्रिकोणमितीय सूत्रवियतनाम

यह सूत्र घटे हुए घन समीकरण का हल ढूंढता है, यानी फॉर्म का एक समीकरण

जाहिर है, किसी भी घन समीकरण को केवल गुणांक a से विभाजित करके फॉर्म (4) के समीकरण में घटाया जा सकता है। तो, इस सूत्र को लागू करने के लिए एल्गोरिथ्म:

गणना

2. गणना करें

3. क) यदि, तो गणना करें

और हमारे समीकरण के 3 मूल (वास्तविक) हैं:

बी) यदि, तो प्रतिस्थापित करें त्रिकोणमितीय फलनअतिपरवलिक।

गणना

तब एकमात्र जड़ (वास्तविक):

काल्पनिक जड़ें:

सी) यदि, तो समीकरण तीन . से कम है विभिन्न समाधान:

2. समस्या समाधान

उदाहरण 1. एक घन समीकरण के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए

हम घनों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र लागू करते हैं:

पहले कोष्ठक से हम पाते हैं कि दूसरे कोष्ठक में वर्ग त्रिपद में नहीं है असली जड़ेंक्योंकि विभेदक नकारात्मक है।

उदाहरण 2. समीकरण को हल करें

यह समीकरण पारस्परिक है। आइए समूह बनाएं:

समीकरण का मूल है। एक वर्ग त्रिपद के मूल ज्ञात करना

उदाहरण 3. एक घन समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

आइए समीकरण को घटाए गए समीकरण में बदलें: दोनों भागों से गुणा करें और चर का परिवर्तन करें।

मुक्त सदस्य 36 है। आइए इसके सभी भाजक लिखें:

जब तक हमें पहचान नहीं मिलती तब तक हम उन्हें समानता में बदल देते हैं:

इस प्रकार जड़ है। मेल खा रहा है

हॉर्नर की योजना का उपयोग करके विभाजित करें।

बहुपद गुणांक2-11129-0.52-11+2*(-0.5)=-1212-12*(-0.5)=189+18*(-0.5)=0

हम पाते हैं

आइए वर्ग त्रिपद के मूल ज्ञात करें:

जाहिर है, यानी इसकी बहुमूलक जड़ है।

उदाहरण 4. समीकरण के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए

समीकरण का मूल है। एक वर्ग त्रिपद के मूल ज्ञात कीजिए।

भेदभाव करने वाले के बाद से शून्य से कम, तो त्रिपद का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

उदाहरण 5. घन समीकरण 2 के मूल ज्ञात कीजिए।

फलस्वरूप,

हम कार्डानो सूत्र में स्थानापन्न करते हैं:

तीन मान लेता है। आइए उन्हें लिख लें।

जब हम रखते है

जब हम रखते है

जब हम रखते है

आइए इन मूल्यों को जोड़े में तोड़ दें, जो उत्पाद में देते हैं

मूल्यों की पहली जोड़ी और

मूल्यों की दूसरी जोड़ी और

मूल्यों की तीसरी जोड़ी और

कार्डानो सूत्र पर वापस जाएं

इस तरह,

निष्कर्ष

घन त्रिपद समीकरण

निष्पादन के परिणामस्वरूप टर्म परीक्षातीसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों की जांच की गई, जैसे कि गणना विधि, कैरानो का सूत्र, वीटा का सूत्र, पारस्परिक हल करने के तरीके, दो-अवधि के समीकरण।

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

1)ब्रोंस्टीन आई.एन., सेमेंडेव के.ए. "तकनीकी विश्वविद्यालयों के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका", एम।, 1986।

2)कोलमोगोरोव ए.एन. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। 9वीं कक्षा के लिए अध्ययन मार्गदर्शिका उच्च विद्यालय, 1977.

)ओमेलचेंको वी.पी. गणित: ट्यूटोरियल/ वी.पी. ओमेलचेंको, ई.वी. कुर्बातोवा। - रोस्तोव एन / ए .: फीनिक्स, 2005.- 380 एस।

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सबक लक्ष्य।

1. "उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करना" विषय पर छात्रों के ज्ञान को गहरा करना और शैक्षिक सामग्री को संक्षेप में प्रस्तुत करना।
2. छात्रों को उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के तरीकों से परिचित कराना।
3. उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करते समय विभाज्यता के सिद्धांत को लागू करने के लिए छात्रों को पढ़ाने के लिए।
4. छात्रों को यह सिखाने के लिए कि "कोने" द्वारा बहुपद को बहुपद में कैसे विभाजित किया जाए।
5. उच्च डिग्री के समीकरणों के साथ काम करने के लिए कौशल और क्षमताओं का विकास करना।

विकसित होना:

1. छात्र ध्यान का विकास।
2. कार्य के परिणाम प्राप्त करने की क्षमता का विकास।
3. बीजगणित सीखने और स्वतंत्र कार्य कौशल में रुचि का विकास।

पोषण:

1. सामूहिकता की भावना जगाना।
2. काम के परिणाम के लिए जिम्मेदारी की भावना का गठन।
3. छात्रों में गठन पर्याप्त आत्म-सम्मानपाठ में काम के लिए चिह्न चुनते समय।

उपकरण: कंप्यूटर, प्रोजेक्टर।

कक्षाओं के दौरान

काम का 1 चरण। आयोजन का समय।

काम का 2 चरण। प्रेरणा और समस्या समाधान

समीकरण एक सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएँअंक शास्त्र। एक विज्ञान के रूप में गणित के जन्म से लेकर समीकरणों को हल करने की विधियों का विकास, लंबे समय के लिएबीजगणित के अध्ययन का मुख्य विषय था।

गणित के अध्ययन के स्कूली पाठ्यक्रम में विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करने पर बहुत ध्यान दिया जाता है। नौवीं कक्षा तक, हम केवल रैखिक और द्विघात समीकरणों को ही हल कर सकते थे। तीसरे, चौथे, आदि के समीकरण। डिग्री को उच्च डिग्री के समीकरण कहा जाता है। नौवीं कक्षा में, हम तीसरी और चौथी डिग्री के कुछ समीकरणों को हल करने के लिए दो बुनियादी तरीकों से परिचित हुए: बहुपद को कारकों में विभाजित करना और चर के परिवर्तन का उपयोग करना।

क्या उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करना संभव है? हम आज इस सवाल का जवाब खोजने की कोशिश करेंगे।

काम का 3 चरण। पहले सीखी गई सामग्री की समीक्षा करें। उच्च डिग्री के समीकरण की अवधारणा का परिचय दें।

1) एक रैखिक समीकरण का हल।

रैखिक रूप का एक समीकरण है, जहां परिभाषा के अनुसार। इस समीकरण का केवल एक मूल है।

2) द्विघात समीकरण का हल।

फॉर्म का एक समीकरण , कहाँ पे । जड़ों और जड़ों की संख्या स्वयं समीकरण के विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है। क्योंकि समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि इसका एक मूल है (दो .) समान जड़ें)

, के लिए दो अलग-अलग जड़ें हैं।

माना रैखिक और द्विघात समीकरणों से, हम देखते हैं कि समीकरण की जड़ों की संख्या इसकी डिग्री से अधिक नहीं है। उच्च बीजगणित के क्रम में, यह सिद्ध हो जाता है कि -th डिग्री के समीकरण में n से अधिक मूल नहीं होते हैं। जहां तक ​​जड़ों की बात है, तो स्थिति कहीं अधिक जटिल है। तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों के लिए, सूत्रों को जड़ों को खोजने के लिए जाना जाता है। हालाँकि, ये सूत्र बहुत जटिल और बोझिल हैं और व्यावहारिक अनुप्रयोगनहीं है। पाँचवीं और उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए, कोई सामान्य सूत्र नहीं हैं और मौजूद नहीं हो सकते हैं (जैसा कि 19 वीं शताब्दी में एन। एबेल और ई। गैलोइस द्वारा सिद्ध किया गया था)।

हम समीकरणों को तीसरा, चौथा, आदि कहेंगे। उच्च डिग्री के समीकरणों द्वारा डिग्री। कुछ समीकरण उच्च डिग्रीदो मुख्य तकनीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है: बहुपद को कारकों में विभाजित करना या चर के परिवर्तन का उपयोग करना।

3) घन समीकरण का हल।

आइए घन समीकरण को हल करें

हम बहुपद के पदों को समीकरण के बाईं ओर समूहबद्ध करते हैं और उसका गुणनखंड करते हैं। हम पाते हैं:

यदि कारकों में से एक शून्य के बराबर है, तो कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है। हमें तीन रैखिक समीकरण मिलते हैं:

तो, इस घन समीकरण के तीन मूल हैं: ; ;.

4) द्विघात समीकरण का हल।

द्विघात समीकरण बहुत सामान्य होते हैं, जिनका रूप होता है (अर्थात वे समीकरण जो के संबंध में द्विघात होते हैं)। उन्हें हल करने के लिए, एक नया चर पेश किया गया है।

हम तय करेंगे द्विघात समीकरण.

आइए एक नए चर का परिचय दें और एक द्विघात समीकरण प्राप्त करें, जिसकी जड़ें संख्याएँ और 4 हैं।

आइए पुराने चर पर वापस जाएं और दो सरल द्विघात समीकरण प्राप्त करें:

(जड़ें और) (जड़ें और)

तो, इस द्विघात समीकरण की चार जड़ें हैं:

; ;.

आइए उपरोक्त विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करने का प्रयास करें।

विफल!!!

काम का 4 चरण। इस रूप के बहुपद के मूल के बारे में कुछ कथन दीजिए, जहाँ बहुपद nthडिग्री

फॉर्म के बहुपद की जड़ों के बारे में यहां कुछ कथन दिए गए हैं:

1) वें डिग्री के बहुपद की जड़ें सबसे अधिक होती हैं (उनकी बहुलता को ध्यान में रखते हुए)। उदाहरण के लिए, एक तृतीय डिग्री बहुपद के चार मूल नहीं हो सकते हैं।

2) विषम घात वाले बहुपद का कम से कम एक मूल होता है। उदाहरण के लिए, पहले, तीसरे, पांचवें आदि के बहुपद। डिग्री में कम से कम एक जड़ होती है। सम घात वाले बहुपदों की जड़ें हो भी सकती हैं और नहीं भी।

3) यदि खंड के सिरों पर बहुपद के मानों के अलग-अलग चिह्न हों (अर्थात, ), तो अंतराल में कम से कम एक रूट होता है। बहुपद के मूलों की अनुमानित गणना के लिए इस कथन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

4) यदि संख्या रूप के बहुपद का मूल है, तो इस बहुपद को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां बहुपद (-थ डिग्री। दूसरे शब्दों में, रूप के बहुपद को शेषफल के बिना विभाजित किया जा सकता है) द्विपद। यह वें डिग्री के समीकरण को समीकरण (-थ डिग्री (समीकरण की डिग्री कम करें) तक कम करने की अनुमति देता है।

5) यदि सभी पूर्णांक गुणांकों वाले समीकरण (इसके अलावा, मुक्त पद) का एक पूर्णांक मूल है, तो यह मूल मुक्त पद का भाजक है। ऐसा कथन आपको बहुपद का संपूर्ण मूल चुनने की अनुमति देता है (यदि यह मौजूद है)।

काम का 5 चरण। दिखाएँ कि उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए विभाज्यता सिद्धांत कैसे लागू किया जाता है। उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें, जिसमें एक बहुपद को एक "कोने" द्वारा बहुपद से विभाजित करने की विधि का उपयोग करके बाईं ओर का गुणनखंड किया जाता है।

उदाहरण 1. समीकरण को हल करें .

यदि इस समीकरण का एक पूर्णांक मूल है, तो यह मुक्त पद (-1) का भाजक है, अर्थात। संख्याओं में से एक के बराबर होती है: . चेक से पता चलता है कि समीकरण की जड़ संख्या -1 है। इसलिए, बहुपद को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात्। एक बहुपद को बिना किसी शेषफल के द्विपद में विभाजित किया जा सकता है। आइए "कोने" द्वारा निम्नलिखित विभाजन करें:

इस प्रकार, हमने वास्तव में समीकरण के बाईं ओर को कारकों में विघटित कर दिया है:

यदि कारकों में से एक शून्य के बराबर है, तो कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है। हमें दो समीकरण मिलते हैं।

सिमोनियन अल्बिना

पेपर घन समीकरणों को हल करने के लिए तकनीकों और विधियों पर विचार करता है। गणित में परीक्षा की तैयारी में आने वाली समस्याओं को हल करने के लिए कार्डानो सूत्र का अनुप्रयोग।

डाउनलोड:

पूर्वावलोकन:

बच्चों और युवाओं के लिए एमओयू डीओडी पैलेस ऑफ क्रिएटिविटी

युवा शोधकर्ताओं के लिए डॉन एकेडमी ऑफ साइंसेज

खंड: गणित - बीजगणित और संख्या सिद्धांत

अनुसंधान कार्य

"आइए फ़ार्मुलों की दुनिया में देखें"

इस विषय पर "तीसरी डिग्री के समीकरणों का समाधान"

पर्यवेक्षक: गणित शिक्षक बबीना नताल्या अलेक्सेवना

जी. साल्स्क 2010

1. परिचय …………………………………………………………………………….3
2. मुख्य भाग………………………………………………………………….4
3. व्यावहारिक भाग…………………………………………………………10-13
4. निष्कर्ष…………………………………………………………………………….14
5. साहित्य………………………………………………………………..15
6. अनुप्रयोग

1 परिचय

में प्राप्त गणित की शिक्षा सामान्य शिक्षा स्कूल, है आवश्यक भाग सामान्य शिक्षाऔर सामान्य संस्कृति आधुनिक आदमी. एक व्यक्ति को घेरने वाली लगभग हर चीज किसी न किसी तरह से गणित से जुड़ी होती है। लेकिन हाल की उपलब्धियांभौतिकी, प्रौद्योगिकी में, सूचान प्रौद्योगिकीइसमें कोई संदेह नहीं है कि भविष्य में भी चीजें वैसी ही रहेंगी। इसलिए, कई का निर्णय व्यावहारिक कार्यएक निर्णय के लिए नीचे आता है विभिन्न प्रकारहल करने के तरीके सीखने के लिए समीकरण। रेखीय समीकरणपहली डिग्री, हमें पहली कक्षा में हल करना सिखाया गया था, और हमने उनमें ज्यादा दिलचस्पी नहीं दिखाई। अधिक दिलचस्प अरेखीय समीकरण- समीकरण अधिक डिग्री. गणित क्रम, समरूपता और निश्चितता को प्रकट करता है, और यह है उच्च प्रजातिसुंदर।

"तीसरी डिग्री के घन समीकरणों का समाधान" विषय पर मेरी परियोजना "आइए सूत्रों की दुनिया में देखें" का उद्देश्य घन समीकरणों को हल करने के तरीके के बारे में ज्ञान को व्यवस्थित करना है, खोजने के लिए एक सूत्र के अस्तित्व के तथ्य को स्थापित करना है। तीसरी डिग्री के समीकरण की जड़ें, साथ ही घन समीकरण में जड़ों और गुणांक के बीच संबंध। कक्षा में, हमने घन और 3 से अधिक डिग्री वाले समीकरणों को हल किया। समीकरण हल करना विभिन्न तरीके, हमने गुणांकों को जोड़ा, घटाया, गुणा किया, विभाजित किया, उन्हें एक शक्ति तक बढ़ाया और उनसे जड़ें निकालीं, संक्षेप में, प्रदर्शन किया बीजीय क्रिया. द्विघात समीकरणों को हल करने का एक सूत्र है। क्या तीसरी डिग्री के समीकरण को हल करने का कोई सूत्र है, अर्थात। संकेत किस क्रम में और कौन से बीजीय संक्रियाओं को गुणांकों के साथ किया जाना चाहिए ताकि जड़ें प्राप्त की जा सकें। मेरे लिए यह जानना दिलचस्प हो गया कि क्या प्रसिद्ध गणितज्ञों ने खोजने की कोशिश की? सामान्य सूत्रघन समीकरणों को हल करने के लिए उपयुक्त है? और अगर उन्होंने कोशिश की, तो क्या वे समीकरण के गुणांक के रूप में जड़ों की अभिव्यक्ति प्राप्त करने में सक्षम थे?

2. मुख्य निकाय:

उन दूर के समय में, जब ऋषियों ने पहली बार अज्ञात मात्राओं वाली समानता के बारे में सोचना शुरू किया, तब शायद अभी तक कोई सिक्के या पर्स नहीं थे। प्राचीन में गणितीय समस्यामेसोपोटामिया, भारत, चीन, ग्रीस, अज्ञात मात्राओं ने बगीचे में मोर की संख्या, झुंड में बैलों की संख्या, संपत्ति को विभाजित करते समय ध्यान में रखी गई चीजों की समग्रता को व्यक्त किया। जो स्रोत हमारे पास आए हैं, वे बताते हैं कि प्राचीन वैज्ञानिकों के पास कुछ का स्वामित्व था आम तरकीबेंअज्ञात मात्रा के साथ समस्याओं को हल करना। हालाँकि, एक भी पपीरस नहीं, एक भी नहीं मिट्टी की गोलीइन तकनीकों का कोई विवरण नहीं दिया गया है। अपवाद अलेक्जेंड्रिया के ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस (III सदी) का "अंकगणित" है - उनके समाधानों की एक व्यवस्थित प्रस्तुति के साथ समीकरणों को संकलित करने के लिए समस्याओं का एक संग्रह। हालाँकि, प्राप्त करने के लिए पहली समस्या-समाधान मार्गदर्शिका व्यापक लोकप्रियता, 9वीं शताब्दी के बगदाद वैज्ञानिक का काम था। मुहम्मद बिन मूसा अल-ख्वारिज्मी।

इसलिए मुझे एक प्रोजेक्ट बनाने का विचार आया "आइए फ़ार्मुलों की दुनिया में देखें ...", मौलिक प्रश्न यह परियोजनाबनना:

1. यह स्थापित करना कि क्या घन समीकरणों को हल करने का कोई सूत्र है;
2. सकारात्मक उत्तर के मामले में, एक घन समीकरण की जड़ों को उसके गुणांकों पर बीजगणितीय संक्रियाओं की एक सीमित संख्या के रूप में व्यक्त करने वाले सूत्र की खोज।

चूँकि पाठ्यपुस्तकों में, और गणित की अन्य पुस्तकों में, अधिकांश तर्क-वितर्क और प्रमाण इस पर नहीं किए जाते हैं ठोस उदाहरण, और में सामान्य दृष्टि से, फिर मैंने उन विशेष उदाहरणों की तलाश करने का फैसला किया जो मेरे विचार की पुष्टि या खंडन करते हैं। घन समीकरणों को हल करने के लिए एक सूत्र की तलाश में, मैंने द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए परिचित एल्गोरिदम का पालन करने का निर्णय लिया। उदाहरण के लिए, समीकरण को हल करना x 3 + 2x 2 - 5x -6=0 अकेले बाहर पूर्ण घन, सूत्र लागू करना (x + a) 3 \u003d एक्स 3 + 3एक्स 2 ए + 3ए 2 एक्स + ए 3 . मेरे द्वारा लिए गए समीकरण के बाईं ओर से एक पूर्ण घन का चयन करने के लिए, मैंने इसे 2x में बदल दिया 2 3x 2 . में और वे। मैं ऐसी तलाश कर रहा था, जिससे समानता सत्य हो 2x 2 \u003d 3x 2 ए . यह गणना करना आसान था कि a = . इस समीकरण के बाएँ पक्ष को बदल दियाइस प्रकार है: x 3 + 2x 2 -5x-6=0

(x 3 + 3x 2 a + 3x। +) - 3x। - - 5x - 6= (x+) 3 - 6x - 6 मैंने एक प्रतिस्थापन y \u003d x +, अर्थात् बनाया। एक्स = वाई - वाई 3 - 6(y -) - 6=0; तीन बजे - 6y + 4- 6=0; मूल समीकरण ने रूप लिया: 3 - 6y - 2=0; यह एक बहुत ही सुंदर समीकरण नहीं निकला, क्योंकि पूर्णांक गुणांक के बजाय मेरे पास अब भिन्नात्मक हैं, हालांकि अज्ञात के वर्ग वाले समीकरण की अवधि गायब हो गई है! क्या मैं अपने लक्ष्य के करीब हूं? आखिरकार, अज्ञात की पहली शक्ति वाला शब्द बना रहा। हो सकता है कि एक पूर्ण घन का चयन करना आवश्यक था ताकि पद - 5x गायब हो जाए? (एक्स+ए) 3 \u003d एक्स 3 + 3एक्स 2 ए + 3ए 2 एक्स + ए 3 . कुछ ऐसा मिला 3a 2 x \u003d -5x; वे। 2 . के लिए = - लेकिन फिर यह काफी बुरी तरह से निकला - इस समानता में, बाईं ओर है सकारात्मक संख्याऔर दाईं ओर नकारात्मक है। ऐसी कोई समानता नहीं हो सकती। अभी तक मैं समीकरण को हल नहीं कर पाया हूँ, मैं इसे केवल रूप में ला सकता हूँ 3 - 6y - 2=0.

तो, मेरे काम का परिणाम आरंभिक चरण: घन समीकरण से दूसरी डिग्री वाले पद को हटाने में सक्षम था, अर्थात्। अगर दिया गया विहित समीकरणओह 3 + 2 . में + cx + d, तो इसे अपूर्ण घन समीकरण x . में घटाया जा सकता है 3 +px+q=0. अगला, अलग के साथ काम करना संदर्भ साहित्य, मैं यह पता लगाने में सक्षम था कि फॉर्म का समीकरणएक्स 3 + पीएक्स \u003d क्यू इतालवी गणितज्ञ दल फेरो (1465-1526) को हल करने में कामयाब रहे। इस तरह के लिए क्यों और तरह के लिए नहींएक्स 3 + पीएक्स + क्यू \u003d 0? यह क्योंकि उस समय ऋणात्मक संख्याओं का परिचय नहीं हुआ था और समीकरणों को केवल धनात्मक गुणांकों के साथ ही माना जाता था। और ऋणात्मक संख्याओं को थोड़ी देर बाद पहचाना गया।इतिहास संदर्भ:दल फेरो ने दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र के अनुरूप कई विकल्पों का चयन किया। उन्होंने इस तरह तर्क दिया: द्विघात समीकरण का मूल है - ± यानी। का रूप है: x=t ± । इसका मतलब है कि घन समीकरण की जड़ भी कुछ संख्याओं का योग या अंतर होना चाहिए, और, शायद, उनमें से तीसरी डिग्री की जड़ें होनी चाहिए। वास्तव में कौन से? कई विकल्पों में से, एक सफल निकला: उसने उत्तर को अंतर के रूप में पाया - यह अनुमान लगाना और भी कठिन था कि t और u को चुना जाना चाहिए ताकि =। x के स्थान पर अंतर -, और p के बजाय उत्पाद को प्रतिस्थापित करनाप्राप्त: (-) 3 +3 (-) = क्यू। कोष्ठक खोले गए: t - 3 +3- u+3- 3=q. समान पदों को लाने के बाद, हमें प्राप्त हुआ: t-u=q.

समीकरणों की परिणामी प्रणाली है:

टी यू = () 3 टी-यू = क्यू। आइए दाएं और बाएं उठाएंपहले समीकरण के भागों का वर्ग करें, और दूसरे समीकरण को 4 से गुणा करें और पहले और दूसरे समीकरण को जोड़ें। 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (टी+यू) 2 =4()+() 3 टी+यू =2 से नई प्रणालीटी+यू=2 ; t -u=q हमारे पास है: t= + ; यू = -। x के स्थान पर व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता हैपरियोजना पर काम के दौरान, मैंने सबसे दिलचस्प सामग्री सीखी। यह पता चला है कि दल फेरो ने उस पद्धति को प्रकाशित नहीं किया था जो उन्होंने पाया था, लेकिन उनके कुछ छात्रों को इस खोज के बारे में पता था, और जल्द ही उनमें से एक, एंटोनियो फियोर ने इसका इस्तेमाल करने का फैसला किया।उन वर्षों में, सार्वजनिक विवाद व्यापक थे वैज्ञानिक मुद्दे. ऐसे विवादों के विजेताओं को आमतौर पर एक अच्छा इनाम मिलता था, उन्हें अक्सर उच्च पदों पर आमंत्रित किया जाता था।

साथ ही में इतालवी शहरवेरोना एक गरीब गणित शिक्षक निकोलो (1499-1557) रहते थे, जिसका नाम टार्टाग्लिया (यानी हकलाना) था। वह बहुत प्रतिभाशाली था और दल फेरो की तकनीक (परिशिष्ट 1) को फिर से खोजने में कामयाब रहा।Fiore और Tartaglia के बीच एक द्वंद्व हुआ। शर्त के अनुसार, प्रतिद्वंद्वियों ने तीस समस्याओं का आदान-प्रदान किया, जिसका समाधान 50 दिनों का समय दिया गया था। लेकिन जबसे Fior केवल एक ही समस्या को जानता था और निश्चित था कि कोई शिक्षक इसे हल नहीं कर सकता है, तो सभी 30 समस्याएं एक ही प्रकार की निकलीं। टार्टाग्लिया ने उनसे 2 घंटे में निपटा। दूसरी ओर, Fiore दुश्मन द्वारा प्रस्तावित एक भी कार्य को हल नहीं कर सका। जीत ने पूरे इटली में टार्टाग्लिया को गौरवान्वित किया, लेकिन इस मुद्दे को पूरी तरह से हल नहीं किया गया था। .

यह सब गेरोलामो कार्डानो ने किया था। वही सूत्र जो दल फेरो द्वारा खोजा गया था और टार्टाग्लिया द्वारा फिर से खोजा गया था, कार्डानो सूत्र (परिशिष्ट 2) कहलाता है।

कार्डानो गिरोलामो (24 सितंबर, 1501-सितंबर 21, 1576) एक इतालवी गणितज्ञ, मैकेनिक और चिकित्सक थे। पाविया में पैदा हुए। उन्होंने पाविया और पडुआ विश्वविद्यालयों में अध्ययन किया। अपनी युवावस्था में, उन्होंने चिकित्सा का अभ्यास किया। 1534 में मिलान और बोलोग्ना में गणित के प्रोफेसर बने। गणित में, कार्डानो नाम आमतौर पर एक घन समीकरण को हल करने के लिए एक सूत्र से जुड़ा होता है, जिसे उन्होंने एन। टार्टाग्लिया से उधार लिया था। यह सूत्र कार्डानो की महान कला, या बीजगणित के नियमों पर (1545) में प्रकाशित हुआ था। उस समय से, टार्टाग्लिया और कार्डानो नश्वर दुश्मन बन गए हैं। यह पुस्तक मुख्य रूप से घन वाले समीकरणों को हल करने के लिए कार्डानो के आधुनिक तरीकों को व्यवस्थित रूप से रेखांकित करती है। कार्डानो पूरा हुआ रैखिक परिवर्तन, जो क्यूबिक समीकरण को 2 डिग्री के एक पद से मुक्त रूप में कम करना संभव बनाता है और समीकरण की जड़ों और गुणांक के बीच निर्भरता को इंगित करता है, अंतर x - a से बहुपद की विभाज्यता, यदि a है इसकी जड़। कार्डानो यूरोप में अस्तित्व को स्वीकार करने वाले पहले लोगों में से एक थे नकारात्मक जड़ेंसमीकरण उनके काम में, काल्पनिक मात्रा पहली बार दिखाई देती है। यांत्रिकी में, कार्डानो ने लीवर और भार के सिद्धांत का अध्ययन किया। पक्षों के साथ खंड के आंदोलनों में से एक समकोणयांत्रिकी करदा को एक नया आंदोलन कहते हैं। तो, कार्डानो फॉर्मूला के अनुसार, फॉर्म के समीकरणों को हल किया जा सकता हैएक्स 3 + पीएक्स + क्यू \u003d 0 (परिशिष्ट 3)

ऐसा लगता है कि इस मुद्दे को सुलझा लिया गया है। घन समीकरणों को हल करने का एक सूत्र है।

वहाँ है वो!

जड़ के नीचे का व्यंजक -भेदभाव करने वाला डी = () 2 + () 3 मैंने अपने समीकरण पर वापस जाने का फैसला किया और कार्डानो के सूत्र का उपयोग करके इसे हल करने का प्रयास किया: मेरा समीकरण है: 3 - 6y - 2=0, जहां p= - 6=-; क्यू = - 2 = -। यह गणना करना आसान है कि () 3 ==- और () 2 ==, () 2 + () 3 = = - = -। इसलिए? इस भिन्न के अंश से मैंने आसानी से मूल निकाला, यह 15 निकला। और हर का क्या करें? जड़ न केवल पूरी तरह से निकाली जाती है, बल्कि इसे निकालने के लिए भी आवश्यक है ऋणात्मक संख्या! क्या बात है? यह माना जा सकता है कि इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि D . के लिए इसलिए, परियोजना पर काम करने के दौरान, मुझे एक और समस्या का सामना करना पड़ा।क्या बात है? मैंने ऐसे समीकरण लिखना शुरू किया जिनकी जड़ें हैं, लेकिन उनमें अज्ञात के वर्ग का पद नहीं है:

1. एक समीकरण बनाया जिसका मूल x \u003d - 4 है।

एक्स 3 + 15x + 124 = 0 और वास्तव में, जाँच करके मुझे विश्वास हो गया कि -4 समीकरण का मूल है। (-चार) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

मैंने जाँच की कि क्या यह रूट कार्डानो फॉर्मूला x=+=+= ==1- 5 =- 4 . का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है

प्राप्त, x = -4।

1. एक दूसरा समीकरण बनाया जिसका वास्तविक मूल x \u003d 1: x . है 3 + 3x - 4 = 0 और सूत्र की जाँच की।

और इस मामले में, सूत्र ने त्रुटिपूर्ण रूप से काम किया।

1. समीकरण x . उठाया 3 +6x+2=0, एक आईआर having तर्कसंगत जड़.

इस समीकरण को हल करने के बाद, मुझे यह मूल x = - मिला और फिर मेरी एक धारणा थी: यदि समीकरण में केवल एक जड़ होती तो सूत्र काम करता। और मेरे समीकरण, जिसके समाधान ने मुझे एक मृत अंत तक पहुँचाया, की तीन जड़ें थीं! यहीं आपको कारण खोजने की जरूरत है!अब मैंने एक समीकरण लिया है जिसके तीन मूल हैं: 1; 2; -3.एक्स 3 - 7x +6=0 पी= -7; q = 6. विवेचक की जाँच की गई: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

जैसा कि मैंने सुझाव दिया, संकेत के तहत वर्गमूलफिर से एक ऋणात्मक संख्या निकली। मैं इस नतीजे पर पहुंचा:समीकरण x . के तीन मूलों का पथ 3 +px+q=0 एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालने की असंभव संक्रिया की ओर ले जाता है।

1. अब मुझे यह पता लगाना बाकी है कि समीकरण के दो मूल होने पर मुझे क्या सामना करना पड़ेगा। मैंने एक समीकरण चुना जिसकी दो जड़ें हैं: x 3 - 12 x + 16 \u003d 0. p \u003d -12, q \u003d 16.

डी=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 \u003d 64-64 \u003d 0 डी \u003d 64 - 64 \u003d 0. अब यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि रूप के घन समीकरण की जड़ों की संख्याएक्स 3 + पीएक्स + क्यू \u003d 0 विवेचक के चिन्ह पर निर्भर करता है D=() 2 +() 3 इस अनुसार:

यदि D>0, तो समीकरण का 1 हल है।

अगर डी

यदि D=0, तो समीकरण के 2 हल हैं।

मुझे गणित पर एक संदर्भ पुस्तक, लेखक एन.आई. ब्रोंशेटिन में अपने निष्कर्ष की पुष्टि मिली। तो मेरा निष्कर्ष: कार्डानो के सूत्र का उपयोग तब किया जा सकता है जब हम सुनिश्चित हों कि जड़ अद्वितीय है।मेरे लिए यह स्थापित करने में कामयाब रहे कि एक घन समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए एक सूत्र है, लेकिन फॉर्म के लिएएक्स 3 + पीएक्स + क्यू \u003d 0।

3. व्यावहारिक भाग.

प्रोजेक्ट पर काम करना "... मापदंडों के साथ कुछ समस्याओं को हल करते समय मुझे बहुत मदद मिली। उदाहरण के लिए:1. समीकरण x . का सबसे छोटा प्राकृतिक मान क्या है? 3 -3x+4=a का 1 हल है? समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखा गया था x 3 -3x+4-a=0; पी = -3; क्यू = 4-ए। शर्त के अनुसार, इसका 1 समाधान होना चाहिए यानी। डी>0डी खोजें। डी=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

ए (-∞;2) (6;∞)

इस अंतराल में a का सबसे छोटा प्राकृतिक मान 1 है।

उत्तर। एक

2. किस पर पैरामीटर का सबसे बड़ा प्राकृतिक मान एक समीकरण x 3 + एक्स 2 -8x+2-a=0 के तीन मूल हैं?

समीकरण x 3 +3x 2 -24x + 6-3a = 0 हम y के रूप में लाते हैं 3 + आरयू + क्यू = 0, जहां ए = 1; पर=3; सी = -24; डी = 6-3 ए जहां क्यू= - + और 3 पी = क्यू=32-3ए; पी = -27। इस प्रकार के समीकरण के लिए D=() 2 + () 3 = () 2 +(-9) 3 = -729 =; डी 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 और 1 = ==28, और 2 == - = -7।

+_ . __-___ . _+

7 28

ए (-7; 28)

इस अंतराल से a का सबसे बड़ा प्राकृतिक मान: 28.

उत्तर.28

3. पैरामीटर a के मानों के आधार पर, समीकरण के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिएएक्स 3 - 3x - ए \u003d 0

समाधान। समीकरण में, p = -3; क्यू = -ए। डी = () 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

(-∞;-2) (2;∞) के लिए समीकरण का 1 हल है;

जब a (-2; 2) समीकरण के 3 मूल हों;

जब एक \u003d -2; समीकरण 2 के 2 हल हैं।

परीक्षण:

1. समीकरणों के कितने मूल हैं:

1) x 3 -12x+8=0?

ए) 1; बी) 2; तीन बजे; घ)4

2) x 3 -9x+14=0

ए) 1; बी) 2; तीन बजे; घ)4

2. पी समीकरण x . के किन मूल्यों पर 3 +px+8=0 की दो जड़ें हैं?

ए) 3; बी) 5; तीन बजे; घ) 5

उत्तर: 1.d) 4

2.सी) 3.

3.सी)-3

हमसे 400 साल पहले फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस वियत (1540-1603) (परिशिष्ट 4) दूसरी डिग्री के समीकरण की जड़ों और उनके गुणांक के बीच एक संबंध स्थापित करने में सक्षम था।

एक्स 1 + एक्स 2 \u003d -पी;

एक्स 1 x 2 \u003d क्यू।

मेरे लिए यह जानना दिलचस्प हो गया: क्या तीसरी डिग्री के समीकरण की जड़ों और उनके गुणांक के बीच संबंध स्थापित करना संभव है? यदि हां, तो यह संबंध क्या है ? इस तरह मेरा मिनी प्रोजेक्ट आया। मैंने अपनी समस्या को हल करने के लिए अपने मौजूदा द्विघात कौशल का उपयोग करने का निर्णय लिया। सादृश्य द्वारा अभिनय किया। मैंने समीकरण x . लिया 3 + पीएक्स 2 +qх+r =0. यदि हम समीकरण के मूल को निरूपित करते हैंएक्स 1, एक्स 2, एक्स 3 , तो समीकरण को रूप में लिखा जा सकता है (x-x 1) (एक्स-एक्स 2) (एक्स-एक्स 3 .) )=0 कोष्ठकों का विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है: x 3 - (x 1 + x 2 + x 3) x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x - x 1 x 2 x 3 \u003d 0. निम्नलिखित प्रणाली मिली:

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 \u003d - पी;

एक्स 1 एक्स 2 एक्स 3 = - आर।

इस प्रकार, कोई भी मनमानी डिग्री के समीकरणों की जड़ों को उनके गुणांक से जोड़ सकता है।जिस प्रश्न में मेरी रुचि है, उसमें विएटा के प्रमेय से क्या निकाला जा सकता है?

1. समीकरण के सभी मूलों का गुणनफल मुक्त पद के मापांक के बराबर होता है। यदि समीकरण के मूल पूर्णांक हैं, तो वे मुक्त पद के विभाजक होने चाहिए।

आइए x समीकरण पर वापस जाएं। 3 + 2x 2 -5x-6=0. पूर्णांक सेट से संबंधित होने चाहिए: ±1; ± 2; ±3; ±6. संख्याओं को समीकरण में क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित करने पर, हमें मूल प्राप्त होते हैं: -3; -एक; 2.

2. यदि आप इस समीकरण को गुणनखंडन द्वारा हल करते हैं, तो विएटा का प्रमेय एक "संकेत" देता है:यह आवश्यक है कि विस्तार के लिए समूहों को संकलित करते समय, संख्याएँ दिखाई दें - मुक्त अवधि के भाजक। यह स्पष्ट है कि आप तुरंत नहीं सीख सकते, क्योंकि सभी भाजक समीकरण के मूल नहीं होते हैं। और, अफसोस, यह बिल्कुल भी काम नहीं कर सकता है - आखिरकार, समीकरण की जड़ें पूर्णांक नहीं हो सकती हैं।

समीकरण को हल करें x 3 +2x 2 -5x-6=0 गुणनखंडन एक्स 3 + 2x 2 -5x-6 \u003d x 3 + (3x 2 - x 2) -3x-2x-6 \u003d x 2 (एक्स + 3) - एक्स (एक्स + 3) - 2 (एक्स + 3) \u003d (एक्स + 3) (एक्स 2 -x-2) \u003d \u003d (x + 3) (x 2 + x -2x -2) \u003d (x + 3) (x (x + 1) -2 (x + 1)) \u003d (x + 2) (x + 1) (x-2) मूल समीकरण है इसके बराबर: ( x+2)(x+1)(x-2)=0. और इस समीकरण के तीन मूल हैं: -3; -1; 2. विएटा के प्रमेय के "संकेत" का उपयोग करते हुए, मैंने निम्नलिखित समीकरण को हल किया: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16। मुक्त अवधि के विभाजक: ± 1; ± 2; ± 4; ± 8; ± 16। एक्स 3 -12x + 16 \u003d x 3 -4x-8x + 16 \u003d (x 3 -4x) - (8x-16) \u003d x (x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

\u003d (x-2) (x (x + 2) -8) \u003d (x-2) (x 2 + 2x-8) (x-2) (x 2 + 2x-8) \u003d 0 x- 2 \u003d 0 या x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; एक्स 2 \u003d 2. उत्तर। -चार; 2.

3. परिणामी समानता प्रणाली को जानकर, आप समीकरण के अज्ञात गुणांकों को समीकरण के मूल से ज्ञात कर सकते हैं.

परीक्षण:

1. समीकरण x 3 + px 2 + 19x - 12=0 के मूल 1, 3, 4 हैं। गुणांक p ज्ञात कीजिए;उत्तर। क) 12; बी) 19; बारह बजे; घ) -8 2. समीकरण x 3 - 10 x 2 + 41x + r=0 के मूल 2, 3, 5 हैं। गुणांक r ज्ञात कीजिए;उत्तर। ए) 19; बी) -10; ग) 30; घ) -30।

इस परियोजना के परिणामों को पर्याप्त मात्रा में लागू करने के कार्य M.I.Skanavi द्वारा संपादित विश्वविद्यालय के आवेदकों के लिए मैनुअल में पाए जा सकते हैं। विएटा के प्रमेय का ज्ञान ऐसी समस्याओं को हल करने में अमूल्य मदद कर सकता है।

№6.354

4। निष्कर्ष

1. जड़ों को व्यक्त करने वाला एक सूत्र है बीजीय समीकरणसमीकरण के गुणांक के माध्यम से:जहां डी ==() 2 + () 3 डी> 0, 1 समाधान। फॉर्मूला कार्डानो।

2. घन समीकरण के मूलों का गुणधर्म

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 \u003d - पी;

एक्स 1। एक्स 2 + एक्स 1 एक्स 3 + एक्स 2 एक्स 3 = क्यू;

एक्स 1 एक्स 2 एक्स 3 = - आर।

नतीजतन, मैं इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि एक सूत्र है जो घन समीकरणों की जड़ों को उसके गुणांक के रूप में व्यक्त करता है, और समीकरण की जड़ों और गुणांक के बीच एक संबंध भी है।

5. साहित्य:

1. विश्वकोश शब्दकोश युवा गणितज्ञ. एपी सविन। -एम.: शिक्षाशास्त्र, 1989।

2. गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा - 2004। कार्य और समाधान। वी.जी.अगाकोव, एन.डी.पोल्याकोव, एम.पी.उरुकोवा और अन्य। चेबोक्सरी। पब्लिशिंग हाउस चुवाश। अन-टा, 2004.

3. मापदंडों के साथ समीकरण और असमानताएं। वी.वी. मोचलोव, सिल्वेस्ट्रोव वी.वी. मापदंडों के साथ समीकरण और असमानताएं: प्रोक। भत्ता। -चेबोक्सरी: चुवाश पब्लिशिंग हाउस. विश्वविद्यालय, 2004।

4. गणित में समस्याएं। बीजगणित। सहायता गाइड. वाविलोव वी.वी., ओलेनिक एस.एन.-एम.: नौका, 1987।

5. एम.आई.स्कनवी द्वारा संपादित संग्रह के गणित में सभी प्रतिस्पर्धी समस्याओं का रेशेबनिक। पब्लिशिंग हाउस "यूक्रेनी इनसाइक्लोपीडिया" का नाम एमपी बाज़ोव, 1993 के नाम पर रखा गया।

6. बीजगणित पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। एल.एफ. पिचुरिन.-एम.: ज्ञानोदय, 1990.

पूर्वावलोकन:

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स्लाइड कैप्शन:

आइए नजर डालते हैं सूत्रों की दुनिया पर

सामान्य शिक्षा विद्यालयों में प्राप्त गणितीय शिक्षा सामान्य शिक्षा और आधुनिक मनुष्य की सामान्य संस्कृति का सबसे महत्वपूर्ण घटक है। एक व्यक्ति को घेरने वाली लगभग हर चीज किसी न किसी तरह से गणित से जुड़ी होती है। और भौतिकी, प्रौद्योगिकी, सूचना प्रौद्योगिकी में नवीनतम उपलब्धियां इस बात में कोई संदेह नहीं छोड़ती हैं कि भविष्य में भी स्थिति जस की तस बनी रहेगी। इसलिए, कई व्यावहारिक समस्याओं का समाधान विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए कम किया जाता है जिन्हें हल करने के लिए सीखने की आवश्यकता होती है। पहली डिग्री के रैखिक समीकरण, हमें पहली कक्षा में हल करना सिखाया गया था, और हमने उनमें अधिक रुचि नहीं दिखाई। अधिक दिलचस्प गैर-रेखीय समीकरण हैं - बड़ी डिग्री के समीकरण। गणित क्रम, समरूपता और निश्चितता को प्रकट करता है, और ये सुंदरता के उच्चतम रूप हैं। परिचय:

समीकरण का रूप है (1) हम समीकरण को इस तरह से बदलते हैं जैसे कि सटीक घन का चयन करें: हम गुणा करते हैं (1) समीकरणों को 3 से (2) हम रूपांतरित करते हैं (2) समीकरण हमें मिलते हैं निम्नलिखित समीकरणसमीकरण के दाएं और बाएं पक्षों (3) को तीसरी शक्ति तक बढ़ाएं समीकरण की जड़ें खोजें घन समीकरण को हल करने के उदाहरण

द्विघात समीकरण उस रूप के समीकरण जहाँ विभेदक वास्तविक संख्याओं के बीच कोई मूल नहीं होते हैं

तीसरी डिग्री का समीकरण

ऐतिहासिक नोट: उन दूर के समय में, जब बुद्धिमान पुरुषों ने पहली बार अज्ञात मात्राओं वाली समानता के बारे में सोचना शुरू किया, तब शायद अभी तक कोई सिक्के या पर्स नहीं थे। मेसोपोटामिया, भारत, चीन, ग्रीस की प्राचीन गणितीय समस्याओं में, अज्ञात मात्राओं ने बगीचे में मोर की संख्या, झुंड में बैलों की संख्या, संपत्ति को विभाजित करते समय ध्यान में रखी गई चीजों की समग्रता को व्यक्त किया। जो स्रोत हमारे पास आए हैं, वे बताते हैं कि प्राचीन वैज्ञानिकों के पास अज्ञात मात्राओं के साथ समस्याओं को हल करने के लिए कुछ सामान्य तरीके थे। हालांकि, एक भी पपीरस नहीं, एक भी मिट्टी की गोली इन तकनीकों का विवरण नहीं देती है। अपवाद अलेक्जेंड्रिया के ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस (III सदी) का "अंकगणित" है - उनके समाधानों की एक व्यवस्थित प्रस्तुति के साथ समीकरणों को संकलित करने के लिए समस्याओं का एक संग्रह। हालांकि, 9वीं शताब्दी के बगदाद विद्वान का काम व्यापक रूप से ज्ञात समस्याओं को हल करने के लिए पहला मैनुअल बन गया। मुहम्मद बिन मूसा अल-ख्वारिज्मी।

समीकरण का रूप है (1) हम सूत्र 1 लागू करते हैं खोजने के लिए चयन करके और ताकि निम्नलिखित समानता पूरी हो, हम समीकरण के बाईं ओर (1) समीकरण को निम्नानुसार बदलते हैं: पूर्ण घन को y के रूप में चुनें, हम प्राप्त करते हैं y के लिए समीकरण (2) सरल करें (2) समीकरण (3) में (3) में, अज्ञात के वर्ग वाला पद गायब हो गया, लेकिन अज्ञात की पहली शक्ति वाला पद 2 रह गया) चयन द्वारा, एक ऐसा खोजें कि निम्नलिखित समानता संतुष्ट है। यह समानता असंभव है क्योंकि बाईं ओर एक सकारात्मक संख्या है और बाईं ओर एक ऋणात्मक संख्या है। यदि हम इस पथ का अनुसरण करते हैं, तो अटक जाते हैं .... चुने हुए रास्ते पर, हम असफल होंगे। हम अभी तक समीकरण हल नहीं कर पाए हैं।

फॉर्म के समीकरण के घन समीकरण जहां (1) 1. आइए ए से विभाजित समीकरणों को सरल करें, फिर "x" पर गुणांक 1 के बराबर हो जाएगा, इसलिए किसी भी घन समीकरण का समाधान योग घन सूत्र पर आधारित होता है: (2) यदि हम लेते हैं तो समीकरण (1) समीकरण (2) से भिन्न होता है, केवल x पर गुणांक और मुक्त पद। हम समीकरण (1) और (2) जोड़ते हैं और समान देते हैं: यदि हम यहां कोई बदलाव करते हैं, तो हमें बिना पद के y के संबंध में एक घन समीकरण मिलता है:

कार्डानो गिरोलामो

कार्डानो गिरोलामो (24 सितंबर, 1501-सितंबर 21, 1576) एक इतालवी गणितज्ञ, मैकेनिक और चिकित्सक थे। पाविया में पैदा हुए। उन्होंने पाविया और पडुआ विश्वविद्यालयों में अध्ययन किया। अपनी युवावस्था में, उन्होंने चिकित्सा का अभ्यास किया। 1534 में मिलान और बोलोग्ना में गणित के प्रोफेसर बने। गणित में, कार्डानो नाम आमतौर पर एक घन समीकरण को हल करने के लिए एक सूत्र से जुड़ा होता है, जिसे उन्होंने एन। टार्टाग्लिया से उधार लिया था। यह सूत्र कार्डानो की महान कला, या बीजगणित के नियमों पर (1545) में प्रकाशित हुआ था। उस समय से, टार्टाग्लिया और कार्डानो नश्वर दुश्मन बन गए हैं। यह पुस्तक मुख्य रूप से घन वाले समीकरणों को हल करने के लिए कार्डानो के आधुनिक तरीकों को व्यवस्थित रूप से रेखांकित करती है। कार्डानो ने एक रैखिक परिवर्तन किया, जिससे क्यूबिक समीकरण को दूसरी डिग्री की अवधि से मुक्त रूप में लाना संभव हो गया; उन्होंने समीकरण की जड़ों और गुणांक के बीच संबंध को इंगित किया, अंतर x द्वारा बहुपद की विभाज्यता - ए, अगर ए इसकी जड़ है। कार्डानो यूरोप में समीकरणों की नकारात्मक जड़ों के अस्तित्व को स्वीकार करने वाले पहले लोगों में से एक थे। उनके काम में, काल्पनिक मात्रा पहली बार दिखाई देती है। यांत्रिकी में, कार्डानो ने लीवर और भार के सिद्धांत का अध्ययन किया। एक समकोण के किनारों के साथ एक खंड के आंदोलनों में से एक को यांत्रिकी में कार्डन आंदोलन कहा जाता है। कार्डानो गिरोलामो की जीवनी

उसी समय, इतालवी शहर वेरोना में एक गरीब गणित शिक्षक निकोलो (1499-1557) रहता था, जिसका नाम टार्टाग्लिया (यानी हकलाना) था। वह बहुत प्रतिभाशाली थे और दल फेरो की तकनीक को फिर से खोजने में कामयाब रहे। Fiore और Tartaglia के बीच एक द्वंद्व हुआ। शर्त के अनुसार प्रतिद्वंद्वियों ने 30 समस्याओं का आदान-प्रदान किया, जिसका समाधान 50 दिन का समय दिया गया। लेकिन चूंकि फियोर को केवल एक ही समस्या का पता था और उसे यकीन था कि कोई शिक्षक इसे हल नहीं कर सकता है, तो सभी 30 समस्याएं एक ही प्रकार की निकलीं। टार्टाग्लिया ने उनसे दो घंटे में निपटा। दूसरी ओर, Fiore शत्रु द्वारा प्रस्तावित किसी भी कार्य को हल नहीं कर सका। जीत ने पूरे इटली में टार्टाग्लिया को गौरवान्वित किया, लेकिन समस्या पूरी तरह से हल नहीं हुई थी। वह सरल चाल जिसके साथ हम एक वर्ग वाले समीकरण की अवधि का सामना करने में सक्षम थे अज्ञात मूल्य(एक पूर्ण घन का चयन), फिर समीकरणों का हल अलग - अलग प्रकारसिस्टम में नहीं डाला गया है। टार्टाग्लिया के साथ फियोरा द्वंद्वयुद्ध

इस समीकरण से रूप का एक समीकरण a हम समीकरण के विवेचक की गणना करते हैं न केवल इस समीकरण की जड़ पूरी तरह से निकाली नहीं गई है, बल्कि इसे अभी भी एक ऋणात्मक संख्या से निकालने की आवश्यकता है। क्या बात है? यह माना जा सकता है कि इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि D

एक घन समीकरण की जड़ें विवेचक पर निर्भर करती हैं, समीकरण का 1 हल होता है, समीकरण के 3 हल होते हैं, समीकरण के 2 हल होते हैं निष्कर्ष

समीकरण का रूप है कार्डानो सूत्र का उपयोग करके समीकरण की जड़ें खोजें कार्डानो सूत्र का उपयोग करके घन समीकरणों को हल करने के उदाहरण

इस समीकरण से फॉर्म (1) का एक समीकरण और चूंकि, शर्त के अनुसार, इस समीकरण का 1 समाधान होना चाहिए, तो हम समीकरण के विवेचक (1) की गणना करते हैं + - + 2 6 उत्तर: सबसे छोटा प्राकृतिक मान a से यह अंतराल 1 है सबसे छोटे प्राकृतिक मान पर समीकरण का 1 हल क्या है?

वीटा विधि द्वारा घन समीकरणों का समाधान समीकरणों का रूप होता है

समीकरण को हल करें यदि यह ज्ञात हो कि इसकी दो जड़ों का गुणनफल 1 के बराबर है और हमारे पास शर्त है, या हम मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं या हम मान को तीसरे समीकरण से पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं , हम समीकरण के मूल ज्ञात करेंगे या उत्तर:

साहित्य का इस्तेमाल किया: "गणित। शिक्षक का सहायक» यू.ए. गुसमैन, ए.ओ. स्मिरनोव। विश्वकोश “मैं दुनिया को जानता हूं। गणित" - मॉस्को, एएसटी, 1996। " गणित। शिक्षण सहायता » वी.टी. लिसिच्किन। विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए एक गाइड, एम.आई.स्कनवी द्वारा संपादित। अकेला राज्य परीक्षागणित में - 2004

ध्यान देने के लिए आपका धन्यवाद

घन समीकरणों का रूप होता है कुल्हाड़ी 3 + बीएक्स 2 + सीएक्स + डी= 0)। इस तरह के समीकरणों को हल करने की एक विधि कई शताब्दियों के लिए जानी जाती है (इसकी खोज 16 वीं शताब्दी में इतालवी गणितज्ञों द्वारा की गई थी)। कुछ घन समीकरणों को हल करना काफी कठिन है, लेकिन सही दृष्टिकोण के साथ (और .) अच्छा स्तर सैद्धांतिक ज्ञान) आप सबसे जटिल घन समीकरणों को भी हल करने में सक्षम होंगे।

कदम

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र का उपयोग करके समाधान

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, घन समीकरणों का रूप है a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), जहां गुणांक सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी)तथा d (\displaystyle d)बराबर हो सकता है 0 (\displaystyle 0), अर्थात्, एक घन समीकरण में केवल एक पद (तीसरी डिग्री में एक चर के साथ) शामिल हो सकता है। सबसे पहले, जांचें कि क्या आपको दिए गए घन समीकरण में एक अवरोधन है, अर्थात, d (\displaystyle d). यदि कोई मुक्त पद नहीं है, तो आप द्विघात समीकरण को हल करने के सूत्र का उपयोग करके इस घन समीकरण को हल कर सकते हैं।

• यदि कोई अवरोधन है, तो किसी भिन्न समाधान विधि का उपयोग करें (निम्न अनुभाग देखें)।

1. चूंकि दिया गया समीकरणकोई मुक्त पद नहीं है, तो इस समीकरण के सभी पदों में एक चर होता है x (\displaystyle x), जिसे ब्रैकेट किया जा सकता है: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

   • उदाहरण। 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). यदि आप सहते हैं x (\displaystyle x)कोष्ठक, आपको मिलता है x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).

2. ध्यान दें कि कोष्ठक में दिया गया समीकरण रूप का द्विघात समीकरण है ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), जिसे सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है ((- बी +/-√ (). एक द्विघात समीकरण को हल करें और आप एक घन समीकरण को हल करेंगे।

   • हमारे उदाहरण में, गुणांक के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी), सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी) (3 (\डिस्प्लेस्टाइल 3), -2 (\displaystyle -2), 14 (\डिस्प्लेस्टाइल 14)) सूत्र में: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) - (- 2) ± ((- 2) 2 - 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2))2)) )-4(3)(14)))(2(3)))) 2 ± 4 - (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 - 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168))))(6))) 2 ± - 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
   • समाधान 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12.8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12.8i)(6)))
   • समाधान 2: 2 - 12.8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12.8i)(6)))

3. याद रखें कि द्विघात समीकरणों के दो हल होते हैं, जबकि घन समीकरणों के तीन हल होते हैं।आपको द्विघात के दो हल मिले हैं, और इसलिए एक घन समीकरण। ऐसे मामलों में जहां आप कोष्ठक में से "x" डालते हैं, तीसरा समाधान हमेशा होता है 0 (\displaystyle 0).

   • यह सत्य है क्योंकि किसी भी संख्या या व्यंजक को से गुणा किया जाता है 0 (\displaystyle 0), बराबर 0 (\displaystyle 0). जब से तुमने सहा x (\displaystyle x)कोष्ठकों में से, तो आपने घन समीकरण को दो कारकों में विघटित कर दिया है ( x (\displaystyle x)और एक द्विघात समीकरण), जिनमें से एक के बराबर होना चाहिए 0 (\displaystyle 0)ताकि पूरा समीकरण के बराबर हो 0 (\displaystyle 0).

   गुणनखंडन का उपयोग करके संपूर्ण समाधान खोजना

   1. जांचें कि क्या आपको दिए गए घन समीकरण में एक अवरोधन है।पिछले अनुभाग में वर्णित विधि घन समीकरणों को हल करने के लिए उपयुक्त नहीं है जिसमें एक मुक्त शब्द है। इस मामले में, आपको इस या अगले भाग में वर्णित विधि का उपयोग करना होगा।

      • उदाहरण। 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). यहाँ, एक ढीला डिक ले जाएँ d = − 6 (\displaystyle d=-6)समीकरण के बाईं ओर ताकि दाईं ओरप्राप्त 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).

   2. गुणांक गुणक खोजें ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)(गुणांक पर x 3 (\displaystyle x^(3))) और मुक्त सदस्य d (\displaystyle d). किसी संख्या के गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें गुणा करने पर प्राप्त होता है मूल संख्या. उदाहरण के लिए, संख्या के कारक 6 (\डिस्प्लेस्टाइल 6)नंबर हैं 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2), 3 (\डिस्प्लेस्टाइल 3), 6 (\डिस्प्लेस्टाइल 6) (6×1 (\displaystyle 6\बार 1)तथा 2 × 3 (\displaystyle 2\बार 3)).

      • हमारे उदाहरण में a = 2 (\displaystyle a=2)तथा d = 6 (\displaystyle d=6). मल्टीप्लायरों 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2)नंबर हैं 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1)तथा 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2). मल्टीप्लायरों 6 (\डिस्प्लेस्टाइल 6)नंबर हैं 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2), 3 (\डिस्प्लेस्टाइल 3), तथा 6 (\डिस्प्लेस्टाइल 6).

   3. गुणांक गुणकों को विभाजित करें ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)मुक्त अवधि के कारकों द्वारा d (\displaystyle d). आपको भिन्न और पूर्ण संख्याएँ मिलेंगी। आपको दिए गए घन समीकरण का पूर्णांक हल या तो इन पूर्णांकों में से एक होगा, या इनमें से किसी एक पूर्णांक का ऋणात्मक मान होगा।

      • हमारे उदाहरण में, कारकों को विभाजित करें ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए) (1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2)) कारकों द्वारा d (\displaystyle d) (1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2), 3 (\डिस्प्लेस्टाइल 3), 6 (\डिस्प्लेस्टाइल 6)) और पाओ: 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), , , , 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2)तथा । अब संख्याओं की इस पंक्ति में जोड़ें उनके नकारात्मक मान: 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), -1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), - 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2), -2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))तथा − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). आपको दिए गए घन समीकरण के पूर्णांक हल संख्याओं की इस श्रृंखला में हैं।

   4. अब आप अपने घन समीकरण में संख्याओं की मिली श्रृंखला से पूर्णांकों को प्रतिस्थापित करके पूर्णांक समाधान पा सकते हैं। लेकिन अगर आप इस पर समय बर्बाद नहीं करना चाहते हैं तो इसका इस्तेमाल करें। इस योजना में पूर्णांकों को मानों में विभाजित करना शामिल है ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी), सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी), d (\displaystyle d)घन समीकरण दिया है। यदि शेष है 0 (\displaystyle 0), पूर्णांक घन समीकरण के समाधानों में से एक है।

      • हॉर्नर का विभाजन एक आसान विषय नहीं है; पाने के लिए अतिरिक्त जानकारीऊपर दिए गए लिंक का पालन करें। हॉर्नर डिवीज़न का उपयोग करके आपको दिए गए घन समीकरण का कोई एक हल खोजने का तरीका यहां दिया गया है: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 शेष के बाद से 0 (\displaystyle 0), तो समीकरण के समाधानों में से एक पूर्णांक है -1 (\displaystyle -1).

   विभेदक का उपयोग करना

   1. इस विधि में, आप गुणांक मानों के साथ कार्य करेंगे ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी), सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी), d (\displaystyle d). इसलिए, इन गुणांकों के मूल्यों को पहले से लिखना बेहतर है।

      • उदाहरण। गणित>x^3-3x^2+3x-1. यहां a = 1 (\displaystyle a=1), b = -3 (\displaystyle b=-3), c = 3 (\displaystyle c=3), d = − 1 (\displaystyle d=-1). यह मत भूलो कि जब x (\displaystyle x)कोई गुणांक नहीं है, इसका मतलब है कि गुणांक बराबर है 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1).

   2. गणना △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \triangle _(0)=b^(2)-3ac). इस पद्धति के लिए कुछ जटिल गणनाओं की आवश्यकता होगी, लेकिन यदि आप इसे समझते हैं, तो आप सबसे जटिल घन समीकरणों को हल करने में सक्षम होंगे। शुरू करने के लिए, गणना करें 0 (\displaystyle \triangle _(0)), कई महत्वपूर्ण मात्राओं में से एक जिसकी हमें सूत्र में उपयुक्त मानों को प्रतिस्थापित करके आवश्यकता होगी।

      • हमारे उदाहरण में: b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (- 3) 2 - 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 - 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 - 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\triangle _(0)) 2 (- 27) - 9 (- 9) + 27 (- 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) - 54 + 81 - 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 - 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\triangle _(1))

   3. गणना Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 एक 2 . अब 0 और 1 के पाए गए मानों का उपयोग करके समीकरण के विवेचक की गणना करें। विवेचक एक संख्या है जो आपको बहुपद के मूल के बारे में जानकारी देती है (आप पहले से ही जानते होंगे कि द्विघात समीकरण का विभेदक है बी 2 - 4एसी) घन समीकरण के मामले में, यदि विवेचक धनात्मक है, तो समीकरण के तीन हल हैं; यदि विवेचक शून्य है, तो समीकरण के एक या दो हल हैं; यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो समीकरण का केवल एक ही हल है। एक घन समीकरण का हमेशा कम से कम एक हल होता है क्योंकि इस तरह के समीकरण का ग्राफ x-अक्ष को कम से कम एक बिंदु पर काटता है।

      • यदि आप मात्राओं के उपयुक्त मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको प्राप्त होता है संभव समाधानआपको दिया गया घन समीकरण। उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और यदि समानता मिलती है, तो समाधान सही हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप मानों को सूत्र में प्लग करते हैं और 1 प्राप्त करते हैं, तो 1 को में प्लग करें एक्स 3 - 3एक्स 2 + 3एक्स- 1 और 0 प्राप्त करें। यानी समानता देखी जाती है, और 1 आपको दिए गए घन समीकरण के समाधानों में से एक है।

घन समीकरणों को हल करना सीखें। मामला जब एक जड़ ज्ञात होता है तो माना जाता है। पूर्णांकों और को खोजने की विधियाँ तर्कसंगत जड़ें. किसी भी घन समीकरण को हल करने के लिए कार्डानो और वीटा फ़ार्मुलों का अनुप्रयोग।

यहां हम फॉर्म के घन समीकरणों के समाधान पर विचार करते हैं
(1) .
इसके अलावा, हम मानते हैं कि यह है वास्तविक संख्या.

(2) ,
फिर इसे से विभाजित करके, हम गुणांक के साथ फॉर्म (1) का एक समीकरण प्राप्त करते हैं
.

समीकरण (1) के तीन मूल हैं: , तथा । जड़ों में से एक हमेशा वास्तविक होती है। हम वास्तविक जड़ को निरूपित करते हैं। जड़ें और या तो वास्तविक या जटिल संयुग्म हो सकती हैं। असली जड़ें कई हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, यदि , तो और दोहरे मूल (या बहुलता 2 के मूल) हैं, और एक साधारण जड़ है।

यदि केवल एक जड़ ज्ञात हो

आइए जानते हैं घन समीकरण (1) का एक मूल। निरूपित ज्ञात जड़कैसे । फिर समीकरण (1) को से भाग देने पर हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। द्विघात समीकरण को हल करने पर हमें दो और मूल मिलते हैं।

प्रमाण के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि घन बहुपद को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
.
फिर, (1) को से भाग देने पर हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है।

पृष्ठ पर बहुपदों के विभाजन के उदाहरण प्रस्तुत किए गए हैं
"एक कोने और एक स्तंभ द्वारा एक बहुपद को एक बहुपद से भाग और गुणा करना"।
द्विघात समीकरणों का हल पृष्ठ पर माना जाता है
"एक द्विघात समीकरण की जड़ें"।

यदि जड़ों में से एक है

यदि मूल समीकरण है:
(2) ,
और इसके गुणांक , , , पूर्णांक हैं, तो आप एक पूर्णांक मूल खोजने का प्रयास कर सकते हैं। यदि इस समीकरण का पूर्णांक मूल है, तो यह गुणांक का भाजक है। पूर्णांक मूलों को खोजने की विधि यह है कि हम किसी संख्या के सभी भाजक ढूंढते हैं और जांचते हैं कि क्या समीकरण (2) उनके लिए सही है। यदि समीकरण (2) संतुष्ट हो जाता है, तो हमें उसका मूल ज्ञात हो जाता है। आइए इसे इस रूप में निरूपित करें। इसके बाद, हम समीकरण (2) को से विभाजित करते हैं। हमें द्विघात समीकरण मिलता है। इसे हल करने पर हमें दो और जड़ें मिलती हैं।

पूर्णांक जड़ों को परिभाषित करने के उदाहरण पृष्ठ पर दिए गए हैं
बहुपदों के गुणनखंडन के उदाहरण > > > ।

तर्कसंगत जड़ें ढूँढना

यदि समीकरण (2) में, , , पूर्णांक हैं, और , और कोई पूर्णांक मूल नहीं हैं, तो आप परिमेय मूल, अर्थात् रूप के मूल, जहां और पूर्णांक हैं, को खोजने का प्रयास कर सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, हम समीकरण (2) को गुणा करते हैं और प्रतिस्थापन करते हैं:
;
(3) .
इसके बाद, हम मुक्त पद के भाजक के बीच समीकरण (3) के पूर्णांक मूल की तलाश करते हैं।

यदि हमें समीकरण (3) का एक पूर्णांक मूल मिला है, तो चर पर लौटने पर, हमें समीकरण (2) का एक परिमेय मूल प्राप्त होता है:
.

घन समीकरण को हल करने के लिए कार्डानो और वीटा सूत्र

यदि हम कोई मूल नहीं जानते हैं, और कोई पूर्णांक मूल नहीं हैं, तो हम कार्डानो के सूत्रों का उपयोग करके एक घन समीकरण के मूल ज्ञात कर सकते हैं।

घन समीकरण पर विचार करें:
(1) .
आइए एक प्रतिस्थापन करें:
.
उसके बाद, समीकरण अपूर्ण या कम रूप में कम हो जाता है:
(4) ,
कहाँ पे
(5) ; .

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, लैन, 2009।
जी. कॉर्न, गणित की हैंडबुक फॉर वैज्ञानिकऔर इंजीनियर, 2012।